L-проблема Золотарева и аппроксимационные свойства двух сопряженных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

Глава I. КРУГ ИДЕЙ КОРКИНА-ЗОЛОТАРЁВА.

§ 1. Метод максимальных полиномов в проблеме Золотарёва

§ 2. Формы максимальных полиномов наименьшего уклонения от нуля чётного порядка.

§ 3. Формы максимальных полиномов нечётной степени.

§ 4. Решение задачи для случая трёх коэффициентов.

§ 5. Единая форма максимальных полиномов, явно задаваемая их старшими коэффициентами.

Глава II. О ФУНКЦИЯХ С НАПЕРЕД ЗАДАННЫМИ СТРУКТУРНЫМИ

И КОНСТРУКТИВНЫМИ СВОЙСТВАМИ.

§1. Построение и свойства

§2. Построение и свойства /2,/2.

§ 3. Поиск крайней функции /3.

§ 4. О функциях, являющихся вторым модулем непрерывности.

Глава III. АППРОКСИМАЦИОННЫЕ ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ.

§ 1. Об условиях вложения классов

§ 2. Теоремы вложения относительно (С,а)- приближений.

§ 3. Теоремы вложения для классов Боаса.

Глава IV. ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПОРЯДКОВЫХ СООТНОШЕНИЙ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ.

§ 1. Критерии непустоты порядковых классов

§ 2. О порядке (С,ас) - приближений на классе Н,(о))к.

§ 3. Порядки верхних граней наилучших приближений и модулей гладкости г-тых производных на классах и #,(«)<•.

§ 4. Об условиях совпадения некоторых классов, задаваемых порядковыми соотношениями.

Глава V. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ В ПЕРИОДИЧЕСКОМ

СЛУЧАЕ.

§ 1. Об условиях вложения в класс функций с абсолютно сходящимся рядом Фурье.

§ 2. Критерий выполнимости равенства Парсеваля с ограниченной и суммируемой функциями.

§ 3. Теоремы об эквивалентности некоторых 0 - соотношений и порядковых соотношений с r-тыми производными.

§ 4. Характеризация последовательности приближений средними Зигмунда.

Глава VI. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЗОЛОТАРЁВА О ПОЛИНОМАХ Яд+4(х).

§ 1. Вспомогательные результаты.

§2. Поиск множества Dx(n,4).

§ 3. Характеризация точек множества D2(n,4).

§ 4. Окончательное описание множества D2(n,4).

§5. Область максимальности D4(n,4).

Остановимся сначала на результатах работы, относящихся к непериодическому случаю теории приближений, т.е. на главах 1,\/1. В них рассматривается восходящая к Чебышеву и Золотареву проблема отыскания всех алгебраических полиномов, наименее уклоняющихся от нуля в той или иной метрике, по известным значениям их старших коэффициентов, заранее заданных в некотором количестве I. В главе VI получено решение этой задачи в пространстве Ц-1,1] при 1=4 на основе результатов главы I, к обсуждению которых теперь и приступим.

Пусть для произвольно заданных вещественных чисел Л0 =1,Л,,.,Лм(/>1) и целого пе!+ ищется вектор (а„.,о((„)еЛп+', для которого Ц-1,1] - норма полинома

Я„+/(*) = .А/1) = х^+А1х"^1 + . + А,1х"^+а/х" + (1) имеет наименьшее значение. При /=1 решение опубликовали Коркин и Золотарев [1] в виде чебышевского полинома второго рода ип+1 (*) = Д„+10) = ' = агссоэх.

2 эш/

Это был первый пример тех экстремальных полиномов в (1), у которых число перемен знака на (-1,1) является максимально возможным, то есть совпадает с их степенью « + /. Они получили название максимальных полиномов наименьшего уклонения от нуля и обозначаются здесь через Соответственно этому при 1=2 имеем (см.[12, 2, 4])

К„+2(х,А1) = и„+2(х) + Л1и„+1(х) + (А>/2)2и„(х), \А\<1.

Особая роль максимальных полиномов состоит в следующем. При зафиксированном I > 1 все немаксимальные экстремальные в

1) полиномы получаются домножением некоторых Л, шах

ОТ предыдущих шагов (1</</) на подходящие полиномы не меняющие знака в интервале (-1,1), см. теорему 1.1 главы 1.

Пеерсторфер дал фактически и некоторую характеризацию максимальных полиномов. Он использовал для этого введённые С. Н. Бернштейном обобщённые чебышевские полиномы первого и второго рода, см. [ 3, стр. 290-294]. Кроме того, Ф. Пеерсторфер опирался на решение очень трудной проблемы Каратеодори-Фейера, см. [ 3, стр. 305-310]. Поэтому естественной представляется задача получать полиномы Л™/" на другой, более элементарной основе, учитывая их особую значимость. Этому посвящаются параграфы 2, 3, 5 главы 1, где изложены результаты автора [ 9-11 ]. Они являются прямым развитием идей и методов, заложенных в работе Коркина и Золотарева [ 1 ]. Так, в главе 1 в качестве ключевой используется их идея искать максимальные полиномы в виде произведения

-1 <а1 <а2 <. < а„+/ < 1. Тогда коэффициенты сгу(н),<тДч) для V, II суть элементарные

Разумеется, этот принцип проявился уже при 1=2 [13,14], где наряду с решением задачи (1) при /=3

12], а затем в , Ф. симметрические многочлены переменных или

-соответственно. А привлечением условия экстремальности впервые полученного в [1], стало возможным при выявить до определённой степени вид V, II, а при £>/-1 - даже найти V, и полностью. Предварительно в основных леммах 2.1,3.1

Введение6 главы I был обнаружен принципиальный факт, нигде раннее не отмеченный: каждое сгт(Н) есть , вообще говоря, линейная комбинация cгJ (ч), 1 < j < ш со скалярами, не зависящими от А,,., А1} . Отсюда при к <1-1 сразу получаются теоремы 2.3,3.3 главы!, доказанные в [9,теоремы 2.1,3.1].Они входят в число основных результатов главы I, наряду с теоремой 5.1, где рассмотрен оставшийся случай к >1-1, когда количество искомых в (1) коэффициентов не менее числа исходных данных Основная теорема 5.1 появилась впервые в работе автора [10,теорема 6], а по поводу её доказательства см. [11, теорема 1.1]. Она основывалась сначала на теоремах 2.2, 3.2 из [9], доказанных раннее в [5]. Однако они утратили своё первоначальное значение, поскольку теперь теорема 5.1 доказывается по-новому и значительно проще, привлечением одних лишь лемм 5.1,5.2 главы I. Они являются обобщениями некоторых утверждений из [1] .Заметим, что представление форм К™* из теоремы 5.1 предпочтительнее имеющегося в [13,14] тем, что напрямую зависит от исходных данных и выводится непосредственно. В главе VI потребуется еще вид области £>3(л,3), состоящей из всех тех точек (Л,,Л2) е Я2, в которых экстремальный полином Яя+3(х,Л,,Л2) в (1) является максимальным.

Впервые она была получена в [13,14], а затем в [18]. Ради замкнутости изложения , независимо от этих малодоступных работ , в § 4. гл.1 приводится решение задачи (1) при 1 = 3 , опубликованное автором в [11].

Обсудим теперь результаты глав ИЛ/, останавливаясь лишь на принципиальной стороне рассматриваемых вопросов . Они из того раздела теории приближения периодических функций , где начиная с исследований Джексона [17,18], С.Н.Бернштейна [7] и Ш.Валле-Пусена [21],

Введение7 изучется взаимосвязь структурных свойств функций (гладкость, дифференцируемость и т.п.) с конструктивными ( характер приближения тем или иным способом).

Эти исследования продолжил А.Зигмунд [22,23], Е.Квад [24], А.Маршо[19].Наиболее важные результаты в этом направлении были получены в работах отечественных математиков: И.И.Привалова, С.Б.Стечкина, Н.К.Бари, С.М.Лозинского, С.М.Никольского, П.Л.Ульянова и других (см.напр., [25]).

Ниже Ь2я означает пространство 2ж - периодических, суммируемых на [0,2л \ функций /, а Си -пространство 2п - периодических, непрерывных на оси функций / с чебышевской нормой.

После работы автора [44] оставался без решения ещё ряд важных вопросов по выяснению взаимосвязи конструктивных и структурных свойств функции и её тригонометрически сопряжённой, см. стр. 82 главы

III, а также в главе IV стр. 111. Причина заключалась в том, что недоставало ещё некоторых теорем существования функций с наперёд заданными аппроксимационными свойствами (см. вступление к главе II).

Дальнейшее продвижение в данном вопросе по сравнению с [44] стало возможным благодаря леммам 1-3 стр. 86-92. Их оказалось уже достаточно для завершения программы установление полной системы теорем вложения для основных классов теории приближений ( и их сопряженных ), см.

1) -10) на стр.81 в главе III. Исторические сведения в связи с этим см. там же, в гл.III. А здесь необходимо сразу отметить, что создание упомянутой полной системы теорем вложения в современной форме связано прежде всего с работами С.Б.Стечкина [13] и С.М.Лозинского [8], которые предшествовали последующим глубоким исследованиям С.Б.Стечкина и Н.К.Бари, см. работы этих авторов [1,3,11,14,16].

Эти работы и явились источником достаточных условий почти всех вложений на стр. 81 в гл. III. Однако доказательство необходимости возникающих условий тех или иных вложений сразу натолкнулось на ряд трудностей, особенно в случае пространства R = LU, о чем прямо сказано у Н.К.Бари [1] и С.Б.Стечкина [15]. А в их совместной работе [3] об этом говорится также и в отношении пространства R = С2я, ( см. там страницы 485,

486, 506, 515). При попытке найти решение многочисленных задач из указанных только что работ, автор настоящего исследования обнаружил некоторую, вполне определенную методику построения функций с наперед заданными структурными и конструктивными свойствами, которая оказалась одинаково эффективной - как в пространстве суммируемых, так и в пространстве непрерывных функций. Этот способ не вошёл в текст работы [44], где содержался только начальный итог найденного подхода .Он изложен теперь в главе II, а его основой служат разнообразные оценки снизу и сверху модулей гладкости и наилучших приближений £„(/),< для каждого из пространств Я = С2я,Ь2я\ см. их в работах автора

46,47,50; 44, гл. I ].

Автор благодарит участников семинара под руководством профессора Н.И.Черныха и члена-корреспондента РАН Ю.Н.Субботина за оказанное внимание и интерес к настоящей работе.

1.KorkinA.N, Zolotarev G.1. Sur une certain minimum // Nouv. Ann. de math., ser. 2. 1873. №12. P. 337-355.

2. Галеев Э.М. Задача Золотарёва в метрике ¿-1,1. // Мат. заметки 1975. Т.17. №1. С. 13-20.

3. Ахиезер Н.И. Лекции no теории аппроксимации. М.: Физматгиз. 1965. 407 с.

4. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теорий приближений. М.: Издательство МГУ. 1976. 304 с.

5. Гейт В.Э. О форме золотарёвских полиномов в пространстве ¿-1,1. M.: ВИНИТИ, 22.04.98, №1228-В 98. 25 с.

6. Гейт В.Э. Решение ¿ -проблемы Золотарёва в одном частном случае. М.: ВИНИТИ, 27.11.98, №3492-В 98. 24 с.

7. Гейт В.Э. Классификация полиномов с наименьшей интегральной нормой по четырем их старшим коэффициентам // Труды матем. центра им. Н.И.Лобачевского. Том 8. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Казань: Издательство ДАС. 2001. С. 69-71.

8. Гейт В.Э. О полиномах, наименее уклоняющихся от нуля в метрике ¿-1,1. // СибЖВМ. 1999. Т.2. №3. С. 223-238.

9. Гейт В.Э. О полиномах, наименее уклоняющихся от нуля в метрике ¿-1,1. // Доклады РАН. 2000. Т.370. №5. С. 583-586.

10. Гейт В.Э. О полиномах, наименее уклоняющихся от нуля в метрике ¿-1,1. (второе сообщение) // СибЖВМ. 2001. Т. 4. №2. С. 123- 136.

11. Geronimus J. Sur quelques propriétés de polynomes don't les coefficients premiers sont donnes, // Сообщ. Харьк. мат. об-ва. Серия 4. 1935. Т. 12. С. 49-59.

12. Peherstorfer F. Erweiterung des Satzes von Markoff, in Linear Spaces and Approximation. ISNM40. Birkhäuser, Basel. 1978. S.423-427.

13. Peherstorfer F. Lineare und nichtlineare ¿'- Approximation. Dissertation. Wien, 1978.

14. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М: Наука, 1984.

15. Фаддеев Д.К. Соминский И.О. Сборник задач по высшей алгебре. М: Наука. 1977.

16. Пухов C.B. Экстремальная задача о полиномах, наименее уклоняющихся от нуля в пространстве ¿-1,1., три старших коэффициента которых заданы. Алгебраические системы. Иваново: 1991. С. 142-149.

17. Гейт В.Э. Решение одной задачи типа Золотарёва в метрике ¿-1,1. //Докл. РАН. 2002. Т.387. №4. С.443-446.

18. Гейт В.Э. О полиномах, наименее уклоняющихся от нуля в метрике ¿M.1. (третье сообщение) // СибЖВМ. 2003. Т.6. №1. С. 37-57.Библиография к главам II-V

19. Бари Н.К. О наилучшем приближении тригонометрическими полиномами двух сопряжённых функций // Изв. АНСССР, сер. матем. 1955. Т.19. № 5. С. 285-302.

20. Бари Н.К. О локально наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами // Учён. зап. МГУ, сер. матем. 1956. Т.8. С. 103-138.

21. Бари Н.К. и Стечкин С.Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряжённых функций II Труды Московского матем. об-ва, 1956. Т. 5. С.483-522.

22. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз. 1961. 936 с.

23. Зигмунд А. Тригонометрические ряды, Государственное объединённое научно-техническое издательство НКТП СССР, Редакция технико-теоретической литературы. Москва, Ленинград, 1939.

24. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Издательство «Мир», Москва. Том 1.1965.

25. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений. Конструктивная теория функций. Т. 1 1905-1930, 1952. Т. 2 1931-1953,1954. М. Изд-во АНСССР.

26. Лозинский С.М. Обращение теорем Джексона II Доклады Академии наук СССР. 1952. Т.85, №5. С. 645-647.

27. Петровская М.Б. О рядах по системе Хаара и функциях класс Il.„(6)

28. Сибирский математический журнал. 1968. Том 9, №4. С. 863-869.

29. Privaloff J. Sur les functions conjuguees II Bull. Soc. Math, de France 1916. V.44. P. 100-103.

30. Стечкин С.Б. О приближении периодических функций суммами Фейера // Труды Мат. ин-та им. В.А. Стеклова АНСССР. 1961. Т.62. С. 48-60.

31. Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций II Изв. АН, сер. матем. 1951. Т.15, №3. С.219-242.

32. Стечкин С.Б. О наилучших приближениях периодических функций тригонометрическими полиномами II ДАНСССР. 1952. Т.83, №5. С.651-654.

33. Стечкин С.Б. Об абсолютной сходимости рядов Фурье (первое сообщение) // Изв. АНСССР. сер. матем. 1953. Т.17, №2. С. 87-98; (второе сообщение) // Изв. АНСССР. сер. матем. 1955. Т.19, №4. С. 221-246.

34. Стечкин С.Б. О наилучшем приближении сопряжённых функций тригонометрическими полиномами II Изв. АНСССР. сер. матем. 1956. Т.20, №2. С.197-206.

35. Никольский С.Н. Ряды Фурье функций с данным модулем непрерывности // Докл. Акад. Наук СССР. 1946. Т.52. С.191-194.

36. Jackson D. Über die Genauigkeit der Annäherung stetiger Funktionen durch ganze rationale Funktionen gegebenen Grades und trigonometrische Summen gegebener Ordnung. Diss. Gottingen, 1911.

37. Jackson D. The theory of Approximation II Amer. Math. Soc. Colloquium publication. 1930. V.11.

38. Marshaud A. Sur les derivees et sur les differences des fonctions de variables reeles II Journ Mathem. Pures et appl. 1927. V.9, №6. P. 337-425.

39. Nagy Sz. B. Über gewisse Extremalfragen bei transformierten trigonometrischen Entwicklungen II Berichte Akad. d. Wiss. Leipzig. 1938. V.90.

40. Valle-Poussin Ch. de la. Leçons sur l'approximation des fonctions d'une variable reelle Paris. 1919.

41. Zygmund A. О module ciaglosci sumy szeregu sprezenego z szeregiem Fouriera II Prace Mat.-fiz. 1924. V.33. P.125-132.

42. Zygmund A. Smooth function II Duke Math Journal. 1945 V.12. P.4776.

43. Quade E.S. Trigonometrie approximation in the mean II Duke Math. Journal. 1937. V.3. P.529 543.

44. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. Москва: Физматгиз. 1960.

45. Тиман А.Ф. и Тиман М.Ф. О зависимости между модулями гладкости функций, заданных на всей вещественной оси II ДАНСССР. 1957. Т.113, №5. С.995 997.

46. Тиман М.Ф. Особенности основных теорем конструктивной теории функций в пространстве Lp. Исследования по современнымпроблемам конструктивной теории функций. Баку. 1965. С.18-25.

47. Буадзе А.И. Об одной задаче П.Л. Ульянова II Сообщение АН Груз ССР. 1965. Т.40, №3. С.543 550.

48. Теляковский С.А. Некоторые оценки для тригонометрических рядов с квазивыпуклыми коэффициентами II Математ. сборник. 1964. Т.63, №3. С.426 444.

49. Aljancic S., Tomic M. Über den Stetigkeitsmodul von FourierReihen mit monotonen Koeffizienten II Math. Zeitschr. 1965. Bd. 88, №3. S.274-284.

50. Aljancic S., Tomic M. Sur la borne inférieure du module de continuité de la fonction exprimee par les coefficients de Fourier // Bull. Acad. Serbe, sei. math. 1967. V.40, №6. P.39-51.

51. Rees C.S. A Bound for the Integral Modulus of Continuity II Journal of Mathematical Analisis and Applications. 1967. V.19, №3. P.469-474.

52. Конюшков A.A. Наилучшие приближения тригонометрическими полиномами и коэффициенты Фурье II Матем. сборник. 1958. Т. 44, №1. С.53 84.

53. Чень Тянь-Пин. О тригонометрических рядах со знакоопределёнными коэффициентами II Цзыжань кэсюэ, Fudan daxue xuebao. Acta scient, natur. Fudan. 1966. V.11, №1. P. 1-6.

54. Жук B.B. Об одном методе суммирования рядов Фурье. Ряды Фурье с положительными коэффициентами II Сборник научных трудов Ленинградского механического ин-та. 1965. №50. -Ленинград. С.73-92.

55. Конюшков A.A. О наилучших приближениях при преобразовании коэффициентов Фурье методом средних арифметических и о рядах Фурье с неотрицательными коэффициентами II Сибирский математ. журнал. 1962. Т.З, №1. С.56 78.

56. Boas R. Р. Fourier Series with Positive Coefficients II Journal of Mathematical Analisis and Application. 1967. V.17, №3. P.463 483.

57. Ульянов П.Л. Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках // Математ. сборник. 1970. Т.81, №1. С.104 -131.

58. Карлесон Л. О сходимости рядов Фурье и о росте их частичных сумм II Математика. Сборник переводов. 1967. №9. С.113-132.

59. Шмуклер А.И. О некоторых специальных тригонометрических рядах II Математ. сборник. 1987. Т.72, №3. С.339-364.

60. Гейт В.Э. О коэффициентах Фурье и структурных свойствах дифференцируемых функций II Мат. записки УрГУ. 1967. Т.5, №4. С.19 22.

61. Гейт В.Э. О структурных свойствах двух сопряжённых функций II Мат. записки Уральского госуниверситета. 1967. Т. 1, №2 С.24-31.

62. Гейт В.Э. О структурных и конструктивных свойствах синус- и косинус- рядов с монотонной последовательностью коэффициентов Фурье II Изв. вузов. Математика. 1967. №7. С.39 47.

63. Гейт В.Э. Структурные и конструктивные свойства функции и её сопряжённой. Кандидатская диссертация. Свердловск. 1970. 148 с.

64. Гейт В.Э. О точности некоторых неравенств в теории приближений II Математич. заметки. 1971. Т.10, №5. С.571 582.

65. Гейт В.Э. Теоремы вложения для некоторых классов периодич. непрерывных функций II Изв. вузов. Математика. 1972. №4. С.67 77.

66. Гейт В.Э. О структурных и конструктивных свойствах функции и её сопряжённой в 1-11 Изв. вузов. Математика. 1972. №7. С.19-30.

67. Гейт В.Э. Об условиях вложения классов II"к и Н'1',{ ИМатемат. заметки. 1973. Т.13, №2. С.169 178.

68. Гейт В.Э. О порядке (С,а) приближений на некоторых классах периодических функций II Математ. заметки. Т.15, №1. С.15 - 20.

69. Гейт В.Э. О наилучшем приближении в среднем косинус- ряда с выпуклыми коэффициентами II Изв. вузов. Математика. 1978. №8. С.50- 55.

70. Гейт В.Э. Об абсолютной сходимости рядов Фурье II Изв. вузов. Математика. 1978. №9. С.31-36.

71. Гейт В.Э. Критерий выполнимости равенства Парсеваля для ограниченной и суммируемой функции // Изв. вузов. Математика. 1992. №7. С. 9-11.

72. Гейт В.Э. Теоремы вложения для классов Боаса II Изв. вузов. Математика. 1996. №5. С.29 33.

73. Гейт В.Э. Теоремы вложения относительности (С,a)-приближений II Изв. вузов. Математика. 1995. №9. С.83 58.

74. Гейт В.Э. Обобщённая теорема Лоренца о рядах Фурье с монотонными коэффициентами и её обращение II Изв. вузов. Математика. 1998. №4. С.15 -18.

75. Гейт В.Э. Об аппроксимационных свойствах высших производных периодических функций II Изв. вузов. Математика. 1997. №10. С.24 30.

76. Гейт В.Э. Структурные и конструктивные свойства функции и сопряжённой. Автореферат кандидатской диссертации. Калинин. 1971. 14с.

77. Kolmogoroff A.N. Über die beste Annäherung von Funktionen einer gegebenen Funktionklassen II Ann. Math. 1936. Bd. 37. S.107-111.

78. Тихомиров B.M. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений // Успехи матем. наук. 1960. Т.15, №3. С.81-120.

79. Ефимов A.B. О линейных методах суммирования рядов Фурье II Изв. АНСССР, серия матем. 1960. Т.24, №5. С.743 756.

80. Ефимов A.B. Оценка интеграла от модуля многочлена на единичной окружности II Успехи математических наук. 1960. Т.15, №4. С.215 218.

81. Ефимов A.B. Линейные методы приближения некоторых классов непрерывных периодических функций II Труды МИАН. 1961. Т.62. С.З 47.

82. Теляковский С.А. О нормах тригонометрических полиномов и приближении дифференцируемых функций линейными средними их рядов Фурье II l.-Труды МИАН. 1961. Т.62. С.61 97; ll.-Изв. АНСССР, серия матем. 1963. Т.27, №2. С.253 - 272.

83. Теляковский С.А. Оценки тригонометрических рядов и полиномов в связи с задачами теории приближения функций II Матем. заметки. 1967. Т.1, №5. С.611 623.

84. Тайков Л.В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитических функций // Матем. заметки. 1967 Т.1, №2. С.155 162.

85. Корнейчук Н.П. О наилучшем равномерном приближении непрерывных функций. Докт. дисс. Днепропетровск. 1963.

86. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука. 1986.

87. Стечкин С.Б., Теляковский С.А. О приближении дифференцируемых функций тригонометрическими полиномами в метрике L II Труды МИАН. 1967. Т.88. С.20 29.

88. Субботин Ю.Н. Наилучшее приближение класса функций другим классом II Матем. заметки. 1967. Т.2, №5. С.495 504.

89. Субботин Ю.Н. О связи между конечными разностями и соответствующими производными II Труды МИАН. 1965. Т.78. С.24 42.

90. Субботин Ю.Н. Функциональная интерполяция в среднем с наименьшей п-й производной // Труды МИАН. 1967. Т.88. С.ЗО 60.

91. Стечкин С.Б. Наилучшее приближение линейных операторов II Матем. заметки. 1967. Т.1, №2. С.137 -148.

92. Субботин Ю.Н. Приближение «сплайн»-функциями и оценки поперечников II Труды МИАН. 1971. Т.109. С.35 60.

93. Купцов Н.П. Прямые и обратные теоремы теории приближений и полугруппы операторов II УМН. 1968. Т.23, №4. С.117 178.

94. Ульянов П.Л. Вложение некоторых классов функций 11р IIИзв. АНСССР, серия матем. 1968. Т.32. С.649 686.

95. Андриенко В.А. О необходимых условиях вложения классов функций Н" II Матем. сборник. 1968. Т.78. С.280 300.

96. Приближение периодических функций II Труды МИАН. 1971. С1Х.

97. Тиман М.Ф. О вложении классов функций II Изв. вузов. Математика. 1974. №10. С.61 74.

98. Коляда В.И. О вложении в классы срЩ II Изв. АНСССР, серия матем. 1975. Т.39. С.418 437.

99. Бесов О.В., Стечкин С.Б. Описание модулей непрерывности в Ь2 И Труды МИАН. 1975. Т. 134. С.23 30.

100. Коляда В.И. Теоремы вложения и неравенства разных метрик для наилучших приближений II Матем. сборник. 1977. Т.102, №2. С.195 -215.

101. Шевчук И.А. Некоторые замечания о функциях типа модуля непрерывности порядка >2 II В сборн. «Вопросы теории приближения функций и её приложения» Киев. 1976. С.194 -199.

102. Тайков Л.В. Наилучшие приближения дифференцируемых функций в метрике пространства L2 II Матем. заметки. 1977. Т.22, №4. С.535 542.

103. Арестов В.В. О равномерной регуляризации задачи вычисления значений оператора II Матем. заметки. 1977. Т.22, №2. С.231 244.

104. Steckin S.B. On the approximation of periodic functions by de la Valle'Poussin sums II Analys Math. 1977. V.4, №1. S.61 74.

105. Radoslavova T.V. Decrease orders of the Lr moduli of continuity (0</?<oo) II Analys Math. 1979. T. 5, №3. S.219 - 234

106. Тайков Л.В. Структурные и конструктивные характеристики функций из L2 II Матем. заметки. 1979. Т.25, №2. С.217 223.

107. Стечкин С.Б. Некоторые новые задачи теории приближений II В сборнике «Конструктивная теория функций» София. 1983.

108. Стечкин С.Б. Оценки остатка ряда Фурье для дифференцируемых функций II Труды Матем. ин-та. им. В.А. Стеклова. 1980, Т.145. С.126- 151.

109. Байбородов С.П. Приближения функций суммами Валле-Пуссена // Матем. заметки. 1980. Т.27, №1. С.ЗЗ 48.

110. Рубинштейн А.И. Равенство Парсеваля для функций, определённых на нульмерной группе II Успехи матем. наук. 1980. Т.35, №4. С.207 208.

111. Рубинштейн А.И. О равенстве Парсеваля II Известия вузов. Математика. 1978. №6. С.102 -108.

112. Тайков Л.В. Наилучшие приближения в /,2(0,2я) классов периодических функций с производными ограниченной вариации II Матем. заметки. 1980. Т.28, №2. С.239 242.

113. Осколов К.И. Аппроксимативные свойства классов периодических функций II Матем. заметки. 1980. Т.27, №4. С.651 666.

114. Черных Н.И. О поведении частичных сумм тригонометрических рядов Фурье II Успехи матем. наук. 1968. Т.23, №6. С.З 29.

115. Потапов М.К. Об условиях совпадения некоторых классов функций // Труды семинара им. И.Г.Петровского. МГУ. 1981. №6. С.223- 238.

116. Жижиашвили Л.В. Обобщение одного результата А.Зигмунда // Сообщение АНГруз. ССР. 1981. №3. С.553 555.

117. Dickmeis W. Nessel R. J. Единый подход к некоторым контрпримерам в теории аппроксимации // Journ. Approxim. Theory. 1981. V.31, №2. P. 161-171.

118. Баскаков B.A. О приближении с наилучшим порядком в Lvt С // В сборнике «Применение функционального анализа в теории приближений» Калинин. 1982.

119. Баскаков В.А. О теореме Лоренца. Там же, 1983.

120. Баскаков В.А. О сравнении порядков приближения классов функций WrII„ II Матем. заметки. 1984. Т.36, №3. С.319 328.

121. Баскаков В.А. О приближении классов функции С(£) суммами Валле Пуассона II Изв. вузов. Математика. 1984. №5. С.19 - 24.

122. Ильясов H.A. Теоремы вложения для некоторых классов периодических функций в L,,(\<p<oo) II ДАНСССР. 1984. Т.276, №6. С.1301 -1304.

123. Гаврилюк В.Г., Стечкин С.Б. Приближение непрерывных периодических функций суммами Фурье // Труды матем. ин-та АНСССР. 1985. Т.172. С.107 127.

124. Баскаков В.А. О функциях с монот. коэфф-ми в пространстве /„,, //Применение функц. анализа в теории приближений Калинин. 1985.

125. Приближение функций полиномами и сплайнами // Сборник работ под редакцией Ю.Н. Субботина Свердловск. 1985.152 с.

126. Ильясов H.A. Приближение периодических функций средними Зигмунда II Матем. заметки. 1986. Т.39, №3. С.367 382.

127. Ильясов H.A. О приближении периодических функций средними Фейера Зигмунда в разных метриках // Матем. заметки. 1990. Т.48, №4. С.48 - 57.

128. Ильясов H.A. К неравенству между модулями гладкости различных порядков в разных метриках II Матем. заметки. 1991. Т.50, №2. С.153 -155.

129. Ильясов H.A. Обратные теоремы теории приближений в разных метриках И Матем. заметки. 1991. Т.50, №6. С.57 65.

130. Rathore R.K.S. The problem of A.F.Timan on the precise order of decrease of the Best Approximations // Journ of Approximation Theory. 1994. V.77. P.153 -166.

131. Конягин C.B. О модулях непрерывности функций. Всесоюзная школа по теории приближения функций. Тезисы докладов. Кемерово. 1983. 59 с.

132. Белов A.C. О порядковых оценках наилучших приближений и модулей непрерывности суммы тригонометрического ряда сквазимонотонными коэффициентами II Мат. заметки. 1992. Т. 51, №4. С. 132-134.

133. Теляковский С.А. Оценки снизу интегрального модуля непрерывности функции через коэффициенты Фурье II Мат. заметки. 1992. Т.52, №5. С.107 -112.

134. Гейт В.Э. Minimization of Integeral Norm of Zolotarev's Plynomials II Nonsmoots and discontinuos problems of control and optimization. Proceedings of the International Workshop Chelyabinsk: 1998. P.256.

135. Гейт В.Э. Точное приближение в среднем по обобщённой схеме Маркова-Надя II ВИНИТИ. №3397-В96. М.:1996.19 с.

136. Гейт В.Э. Характеризация последовательности приближений средними Зигмунда II Изв. вузов. Математика. 1996. №6. С.78 -79.

137. Шевчук И.А. Приближения многочленами и следы непрерывных на отрезке функций. Киев: Наукова думка, 1992. 225 с.

138. Гейт В.Э. О функциях, являющихся вторым модулем непрерывности II Известия вузов. Математика. 1998. №9. С.38 41.

139. Полиа Г., Сегё Г. Задачи и теоремы из анализа, часть II. М: Наука. 1978. 389 с.

140. Харди Г.Х., Рогозинский В.В. Ряды Фурье. М.: Физматгиз. 1962.156 с.

141. Потапов М.К. О свойствах и о применении в теории приближений одного семейства операторов обобщённого сдвига II Матем. заметки. 2001. Т.69. №9. С.412 426.

142. Потапов М.К. О приближении алгебраическими многочленами в интегральной метрике с весом Якоби II Вестн. МГУ. 1983. №4. С.43 52.

143. Лоран П.Ж. Аппроксимация и оптимизация. М.: Мир. 1975. 495с.

144. Стечкин С.Б. Избранные труды. М.: Физматлит. 1998. 384 с.

145. Арестов В.В. Интегральные неравенства для алгебраических многочленов на единичной окружности II Мат. заметки. 1990. Т.48, №4. С.7-18.

146. Бадков В.М. Приближение функции в равномерной метрике суммами Фурье по ортогональным полиномам II Тр. МИАН СССР. 1980. Т.145. С.20-62.

147. Бабенко А.Г., Черных Н.И., Шевалдин В.Т. Неравенства Джексона-Стечкина в L2 с тригонометрическим модулем непрерывности // Мат. заметки. 1999. Т.65, №6. С.928 932.

148. Юдин В.А. О модуле непрерывности в L1 II Сиб. мат. журн. 1979. Т.20, №2. С.449 450.

149. Ульянов П.Л. Об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье II Мат. сборник. 1967. Т.72, №2. С.193 225.

150. Потапов М.К. Приближение полиномами на конечном инервале действительной оси // Конструктивная теория функций. -Варна: 1981. С.134-138.

151. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука. 1977. 512 с.