Лавинные процессы в теории самоорганизованной критичности тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

1 Асимметричный лавинный процесс.

1.1 Формулировка модели.

1.2 Основное кинетическое уравнение.

1.3 Двухчастичная приводимость.

1.4 Уравнение для производящей функции.

1.5 Анзац Бете.

1.6 Основное состояние.

1.7 Явное решение уравнений Бете.

1.8 Уравнения Бете в термопределе.

1.9 Средняя скорость лавинного процесса.

1.10 Пределы применимости решения.

2 Динамика эйлеровых блужданий.

2.1 Алгебраические свойства эйлеровых блужданий.

2.2 Лавинная динамика.

2.3 Численное исследование лавин общего положения.

2.4 Распространение эйлеровых блужданий.

3 Исследование моделей самоорганизованной критичности с помощью пространственной ренормгруппы.

3.1 Модель Бака-Танга-Вейзенфельда.

3.2 Динамическая пространственная ренормгруппа.

3.3 Ренормализационная схема для модели БТВ.

3.4 Пример расчетов для простейшего случая. Метод производящих функций.

3.5 Обобщенная модель необратимых химических реакций.

3.6 Вывод соотношений рекурсии на границе.

3.6.1 Закрытые граничные условия.

3.6.2 Открытые граничные условия.

3.7 Схема ДПРГ на треугольной решётке.

3.8 Вычисление критических экспонент.

3.9 Полученные результаты.

Лавинная динамика это основной сценарий релаксации нестабильных состояний в экстремальных системах, где каждый подвижный элемент находится около порога стабильности. Типичное распределение лавин, имеющее характерные степенное убывание, ведет к возникновению дисперсного транспорта частиц, вовлеченных в лавину [1]. Многие физические явления, такие как распространение фронтов [2, 3, 4], землетрясения [5], смачиваемость пористой среды [6], движение дислокаций [7], биологическая эволюция [8] и процесс распространения эпидемий [9] могут рассматриваться в терминах лавинной динамики .

Характерный пример систем с лавинной динамикой - гранулярные системы, которые непосредственно порождают прерывистые лавины, поддерживающие равновесие в системе. В 1987 г. П.Бак, Ч.Танг и К.Визен-фельд [10] предложили теорию самоорганизованной критичности (СОК) для объяснения поведения таких систем. Согласно этой теории, неравновесные гранулярные системы могут естественным образом эволюционировать к определенному критическому состоянию, в котором они теряют характерные масштабы как длины, так и времени, т.е. их корреляционный радиус становится равным бесконечности, а корреляционные функции имеют степенные асимптотики. Это критическое состояние не зависит от начального состояния системы, и, в отличие от обычных критических явлений, не требуется никакой точной подгонки параметров, чтобы достичь его. При этом лавинные процессы играют роль механизма, удерживающего систему в критическом состоянии, изменяя надлежащим образом транспортные свойства системы.

Трудность исследования систем с лавинной динамикой связана со сложным многочастичным характером лавинных процессов. Для таких систем характерно разделение временных масштабов. Тогда как в состоянии ниже порога стабильности характерные времена изменения системы определяются в основном медленными диффузионными процессами, при превышении этого порога лавинообразное изменение системы происходит почти мгновенно. За малое время лавина может охватывать неограниченно большие области, что приводит к кардинальной перестройке системы. При этом возникновение лавины может быть вызвано локальными микроскопическими изменениями а её окончание определяется установлением общего равновесия. Таким образом, именно нелокальный характер лавин вносит основные трудности в аналитическое описание систем с лавинной динамикой.

Способы преодоления этих трудностей заключаются в исследовании точнорешаемых прототипов таких систем или создании способов их упрощённого описания. Эти способы оказываются успешными в силу того, что многие статистические характеристики неравновесных явлений, демонстрирующих, в том числе, и лавинные механизмы, обладают свойством универсальности, т.е. одинаковы для широких классов систем, отличающихся деталями взаимодействия на микроскопическом уровне [11]. Обычно это происходит когда в системе исчезают характерные пространственные масштабы и возникающее в системе самоподобие обусловливается стремлением системы к состоянию динамического равновесия.

Наибольшие успехи в области точнорешаемых моделей лавинной динамики были достигнуты в теории абелевой модели сэндпайл (АМС) [12,13]. Благодаря детерминистическому характеру этой модели, удалось найти точное представление её стационарного состояния и описать некоторые характеристики возникающих в ней лавинных процессов [14, 15, 16]. Однако, полученные для АМС и других моделей СОК [17, 18, 19, 20] результаты относятся только к критической точке и не дают информации о лавинных процессах в других областях фазового пространства системы. Кроме того определение положения самой критической точки на фазовой диаграмме для моделей со стохастической динамикой можно отнести к разряду нерешённых проблем.

Что касается методов упрощённого описания систем с лавинной динамикой, среди них следует выделить метод динамической пространственной ренормгруппы, предложенный в работе [21]. Этот метод подобен пространственной ренормгруппе, предложенной Кадановым для описания критической точки в модели Изинга [22]. Суть этого метода в огрублении характеристик лавинной динамики при увеличении масштаба рассмотрения. При этом возникающее в критической точке самоподобие обеспечивает возможность сохранять число динамических параметров при переходе с масштаба на масштаб. С помощью ренормгруппы были вычислены критические индексы, характеризующие распределения лавин и вероятности высот в модели Бака, Танга, Визенфельда (БТВ) в объёме. К недостаткам метода ренормгруппы можно отнести отсутствие критерия точности полученных результатов. Поэтому выяснение пределов применимости этого метода и областей его наибольшей эффективности представляет большой интерес.

Диссертация посвящена исследованию точнорешаемых моделей лавинных процессов и методов их упрощённого описания. В первой главе исследуется модель асимметричного лавинного процесса. Эта одномерная система, в которой частицы движутся по решётке с периодическими граничными условиями. Взаимодействие между частицами таково, что повышение их локальной концентрации приводит к возникновению лавинообразных релаксационных процессов. При стремлении размера системы к бесконечности на её фазовой диаграмме появляется критическая точка, что выражается в стремлении средней скорости частиц к бесконечности при приближении плотности частиц к критическому значению, которое зависит от параметров взаимодействия. В в первой главе диссертации найдено положение критической точки, и вычислена средняя скорость частиц во всей области изменения параметров.

Кроме изучения аспектов лавинной динамики, решение модели асимметричного лавинного процесса представляет также чисто методический интерес. Динамика модели формулируется в терминах основного кинетического уравнения, которое оказывается вполне интегрируемым уравнением, решаемым с помощью анзаца Бете. Первый многочастичный стохастический процесс, проинтегрированный с помощью анзаца Бете, это так называемый асимметричный процесс с исключением - модель одномерного решёточного газа с короткодействующим отталкивающим взаимодействием, движущегося во внешнем поле [23, 24]. Наибольшим достижением в исследованиях процессов с исключением в рамках анзаца Бете, можно считать получение систематического способа расчёта всех физических характеристик процесса, таких как средняя скорость потока, коэффициент диффузии и т.д. [25]. Это оказывается возможным только в полностью асимметричном случае, благодаря специальной факторизу-емости возникающих уравнений Бете. Подобный расчет для случая частично асимметричного движения потребовал создания матричного метода [26, 27, 28, 29], применение которого ограничено открытыми граничными условиями и, вообще говоря, не несёт информации об интегрируемости системы.

Модель асимметричного лавинного процесса отличается от модели процесса с исключением тем, что взаимодействие в ней носит сильно нелокальный характер и может мгновенно приводить к перестройке больших областей системы. Тем не менее, с помощью наложения на основное кинетическое уравнение специальных рекуррентных граничных условий, удалось обеспечить применимость к нему анзаца Бете. Кроме того, предложен метод, позволяющий рассчитывать физические характеристики в термопределе, в случае нефакторизуемых уравнений Бете. В диссертации этот метод применён только для расчёта средней скорости потока частиц, хотя, в принципе, он может быть обобщён на получение коэффициента диффузии и других моментов распределения пути, пройденного частицей.

Во второй главе диссертации рассмотрена предложенная в работе [30] модель эйлеровых блужданий (МЭБ). Эта модель представляет собой частицу, блуждающую в среде с памятью. В процессе блуждания частица изменяет среду таким образом, чтобы вынос из системы последующих частиц происходил наиболее эффективно. При этом среда начинает проявлять характерные признаки критичности, такие как бесконечная корреляционная длина и степенное убывание корреляций. Несмотря на од-ночастичный характер МЭБ, она проявляет черты лавинной динамики. Модель интересна тем что её рекуррентное состояние, куда система попо-дает в результате эволюции, отображается на множество покрывающих деревьев решётки [31]. Точно такую же структуру имеет рекуррентное состояние АМС [14]. Более того, отдельные стадии блуждания частицы представимы такими же объектами как и различные стадии лавины в АМС [16]. Во второй главе диссертации аналитически вычислены значения критических экспонент, характеризующих распределение продолжительности первых лавин и закон зависимости среднеквадратичного смещения от времени в рекуррентном и транзиентном состояниях модели эйлеровых блужданий. С помощью численного моделирования получены критические экспоненты распределения продолжительности и числа посещённых узлов для лавин общего положения.

В третей главе диссертации рассматривается применение ренормали-зационной группы Питронеро к модели БТВ. Поскольку не существует метода оценки точности результатов, получаемых с помощью данной ре-нормгруппы, целью исследования является сравнение ренормгрупповых результатов с аналитическими и численными аналогами. В работе ренор-мгрупповой аппарат обобщён для исследования граничных свойств лавин в модели БТВ. При этом использована обобщённая модель необратимых химических реакций и аппарат производящих функций, разработанный в [32]. Кроме того ренормгруппа применена для исследования объемных лавин на треугольной решётке. Интерес представляют результаты применимости метода для случая открытых граничных условий. Их хорошее соответствие аналитическим значениям видимо объясняется тем, что лавина у открытой границы представляет собой чисто двумерный объект.

Основные результаты диссертации составили содержание работ [33, 34, 35, 36, 37].

Заключение

На защиту выдвигаются следующие результаты:

Основное кинетическое уравнение асимметричного лавинного процесса проинтегрировано с помощью анзаца Бете. Вычислена средняя скорость лавинного процесса в термодинамическом пределе как функция взаимодействия и плотности частиц. Определено положение критической точки на фазовой диаграмме.

Аналитически вычислены значения критических экспонент, характеризующих распределение продолжительности первых лавин, и закон зависимости среднеквадратичного смещения от времени в рекуррентном и транзиентном состояниях модели эйлеровых блужданий. С помощью численного моделирования получены критические экспоненты распределения продолжительности и числа посещённых узлов для лавин общего положения.

Построена ренормгрупповая схема для вычисления критических экспонент граничных лавин для открытой и закрытой границы на квадратной решётке в модели Бака-Танга-Вейзенфельда. Получены ре-нормгрупповые оценки для критических экспонент в объёме треугольной решётки.

1. H.Scher,M.Shlesinger, and J.Bendler, Physics Today 44 1,26 (1991).

2. J.Krug and H.Spohn, Solids Far From Equilibrium, C.Godreche,ed. (Cambridge University Press, 1991).

3. K. Sneppen, PRL 69, 3539 (1992)

4. L.H. Tang, M. Kardar, D. Dhar, PRL 74, 920, (1995)

5. R.Burridge and L.Knopoff, Bull.Siesmol.Soc.Am. 57,341 (1967).

6. D. Wilkinson and J.F. Willemsen, J.Phys. A, 16, 3365 (1983)

7. S.I. Zaitsev, Physisca A, 189, 411 (1992)

8. P. Bak and K. Sneppen, PRL 71, 4083 (1993)

9. From Phase Transitions to Chaos, WS, Singapore, 1992

10. P.Bak, C.Tang, and K.Wiesenfeld, Phys. Rev. Lett. 59, 381 (1987).

11. T. Halpi-Healy and Y.C. Zhang, Phys. Rep. 254,215 (1995)

12. D.Dhar, Phys. Rev. Lett. 64, 1613 (1990).

13. V.B. Priezzhev, J. Stat. Phys. 74, 955 (1994).

14. S.N. Majumdar and D. Dhar, J.Phys. A 24, L357 (1991).

15. E.V. Ivashkevich, D.V. Ktitarev and V.B. Priezzhev, Physica (Amsterdam) 209A, 347 (1994)

16. V.B. Priezzhev, D.V. Ktitarev, E.V. Ivashkevich, Phys. Rev. Lett. 76, 2093 (1996).

17. D.Dhar and R.Ramaswamy, Phys. Rev. Lett. 63,1659 (1989).

18. S.Maslov and Y.C.Zhang, Phys. Rev. Lett. 75, 1550 (1995).

19. M. Paczuski and K.E. Bassler, Phys. Rev. E 62 5347 (2000)

20. M. Kloster, S. Maslov, C. Tang Phys. Rev. E 63 (2001) 026111

21. L. Pietronero, A. Vespignani and S. Zapperi, Phys. Rev. Lett. 72, 1690 (1994);

22. J. Cardy, Scaling and Renormalization in Statistical Physics, Cambrige University Press

23. D. Dhar, Phase Transitions 9, 51 (1987)

24. L.-H. Gwa, H.Spohn, Phys.Rev.Lett. 68, 725 (1992).

25. B.Derrida and J.L.Lebowitz, Phys.Rev.Let. 80, 209 (1998).

26. B.Derrida, Phys.Rep. 301, 65 (1998).

27. B. Derrida, E. Domany, D. Mukamel, J. Stat. Phys. 69 (1992) 667.

28. B. Derrida, M.R. Evans, V. Hakim, V. Pasquier, J. Phys. A 26 (1993) 1493.

29. G. Schutz, E. Domany, J. Stat. Phys. 72 (1993) 277.

30. V.B. Priezzhev, D. Dhar, A. Dhar, and S. Krishnamurthy, Phys.Rev.Lett. 77, 5079 (1996).

31. F. Harary, E.M. Palmer Graphical Enumeration Academic Press, New York and London (1973)

32. E. V. Ivashkevich, Phys. Rev. Lett. 76, 3368 (1996).

33. V.B. Priezzhev, E.V. Ivashkevich, A.M. Povolotsky, С. K. Hu, submitted to PRL

34. E.V. Ivashkevich, A.M. Povolotsky, A. Vespignani, S. Zapperi, Phys.Rev.E, v.60, N.2 (1999) 1239

35. A.M. Povolotsky , V.B. Priezzhev, R.R Shcherbakov, Phys.Rev.E, v.58, N.5 (1998) 5449

36. VI. V. Papoyan, A.M. Povolotsky, Physica A 246 (1997) 241-252

37. R.R. Shcherbakov, Vl.V. Papoyan, A.M. Povolotsky Phys.Rev. E 55, 3686 (1997)

38. I.M.Nolden, J. Stat. Phys. 67,155 (1992).

39. D.J.Bukman and J.D.Shore, J.Stat.Phys. 78, 1277 (1995).

40. V.B. Priezzhev, cond-mat/9605094

41. S.S. Manna, D. Dhar and S.N. Majumdar, Phys. Rev. A 46 (1992) R4471.

42. A. Dhar and D. Dhar, Phys. Rev. E 55, R2093 (1997)

43. L.P.Kadanoff, L.Nagel, L.Wu, and S.Zhou, Phys. Rev. A 39, 6524 (1989).

44. M.N.Barber, in Phase Transitions and Critical Phenomena, edited by C.Domb and J.L.Lebowitz (Academic, London, 1983), Vol.8, p.144.

45. S.S.Manna, Physica A 179, 249 (1991).

46. P. Grassberger and S.S. Manna, J.Phys.Rrance 51, 1077 (1990).

47. S.S. Manna, J.Stat.Phys. 59, 509 (1990).

48. S.S. Manna, Physica (Amsterdam) 179A, 249 (1991).

49. T. Niemeijer and J. M. J. van Leeuwen, in ref.53] vol.6 (1976).

50. R. Dickman, Phys. Rev. A 38, 2588 (1988).

51. E.V. Ivashkevich, J. Phys. A 27 3643 (1994).

52. M. De Menech, A. L. Stella, C. Tebaldi, Phys. Rev. E 58 R2677 (1998)

53. C. Domb and M. S. Green (eds), 'Phase Transition and Critical Phenomena", vols 1-6, Academic Press (London, 1972-76); C. Domb and J. L. Lebowitz (eds), "Phase Transition and Critical Phenomenavols 7-17 , Academic Press (London, 1983-95).