Лавинообразная динамика магнитного потока и самоорганизация критического состояния в дискретных сверхпроводниках тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ПЕТЕРБУРГСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ им.- Б.П. Константинов^

• , На правах рукописи

УДК 538.9

Савицкая Наталья Евгеньевна

ЛАВИНООБРАЗНАЯ ДИНАМИКА МАГНИТНОГО

ПОТОКА

И САМООРГАНИЗАЦИЯ КРИТИЧЕСКОГО

состояния

В ДИСКРЕТНЫХ СВЕРХПРОВОДНИКАХ

01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Гатчина - 2007

003065ВЭ4

003065694

Работа выполнена в Петербургском институте ядерной физики им. Б.П. Константинова РАН Научный консультант:

доктор физико-математических наук, Старший научный ' - ' сотрудник

' Гинзбург Саул Лейбович.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Приезжев Вячеслав Борисович,

доктор физико-математических наук, старший научный

сотрудник

Бобыль Александр Васильевич,

доктор физико-математических наук, профессор Письмак Юрий Михайлович

Ведущая организация: .

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ" им. В И Ульянова (Ленина)

Защита диссертации состоится "Ж". 2007 г. в

часов на заседании диссертационного,совета Д-002.115 01 при Петербургском институте ядерной физики им. Б.П. Константинова РАН.

Адрес- 188300, Ленинградская область, г Гатчина, Орлова Роща.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПИЯФ РАН. Автореферат разослан

«£_» Се^мЯиЬ 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета , И А. Митропольский

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Изучение динамики магнитного потока в критическом состоянии в жестких сверхпроводниках второго рода и дискретных сверхпроводниках становится все более актуальным, поскольку эта задача тесно связана с проблемой создания новых сверхпроводящих материалов, способных нести токи большой величины (сильноточные материалы) Так, создаваемые в настоящее время сверхпроводящие провода второго поколения из иттриевой керамики (УВСО), являющейся дискретным сверхпроводником, при охлаждении жидким азотом могут нести ток, примерно в 150 раз больший, чем медные провода тех же размеров В перспективе новые провода могут использоваться для передачи электроэнергии, питания электромоторов, в регуляторах мощности и ограничителях тока короткого замыкания, в силовых кабелях поездов на магнитной подвеске и т п

Однако, как известно, движение магнитного потока, проникающего в сверхпроводник, уменьшает его токонесущую способность Таким образом, подробное изучение вихревой динамики в дискретных сверхпроводниках представляется интересным не только с теоретической точки зрения, но также важно с точки зрения практического применения новых сверхпроводящих материалов

Наиболее интересным результатом экспериментальных исследований в этой области является наблюдение лавинообразной динамики магнитного потока в критическом состоянии в жестких сверхпроводниках второго рода, а также дискретных сверхпроводниках. Это означает, что при равномерном изменении внешнего магнитного поля магнитный поток в образцах изменялся скачкообразно, причем скачки эти были случайны во времени и имели различную величину При этом функция распределения изменений магнитного потока в образце демонстрировала степенное распределение.

На основе полученных результатов было выдвинуто предполо-

жение о реализации в жестких сверхпроводниках второго рода и дискретных сверхпроводниках явления самоорганизованной критичности (СОК), то есть возникновения такого критического состояния, которое представляет собой по структуре набор мета-стабильных критических состояний, переходящих друг в друга посредством "лавин" Лавины могут быть как малыми, так и охватывающими всю систему, и те и другие вызываются одинаково малыми внешними возмущениями.

Однако это предположение до сих пор не было ни подтверждено, ни опровергнуто в связи с отсутствием теоретической модели, адекватно описывающей лавинообразное поведение магнитного потока в изучаемых системах и учитывающей все особенности этого явления Таким образом, построение такой теоретической модели является весьма актуальной задачей, решение которой позволило бы существенно продвинуться в понимании критических явлений, наблюдаемых в таких промышленно важных материалах, как жесткие сверхпроводники второго рода и дискретные сверхпроводники

Современное состояние исследований. Основные эксперименты. Впервые наиболее показательные работы по экспериментальному изучению лавин магнитного потока были сделаны С Филдом (S Field, J. Witt, F Non, X. Ling, "Superconducting Vortex Avalanches", Phys Rev Lett 74, 1206-1209 (1995)) с соавторами В этих экспериментах полый цилиндр из сплава NbTi помещался во внешнее магнитное поле, приложенное вдоль его оси, на внутренней поверхности цилиндра была помещена измерительная катушка. Эксперимент проводился для трех различных интервалов изменения внешнего поля Во всех случаях наблюдались лавины магнитного потока, размеры которых демонстрировали степенное распределение (рисунок 1). «

Непосредственное измерение размера лавины с учетом каждого вовлеченного в нее вихря было сделано в экспериментах с применением датчиков Холла (Е. Altshuler, Т H. Johansen, Y Paltiel,

Рисунок 1- Функция распределения размеров лавин, полученная в работе S. Field, J. Witt, F. Non, X Ling, "Superconducting Vortex Avalanches", Phys Rev. Lett 74, 1206-1209, (1995) Три графика соответствуют трем различным интервалам изменения внешнего магнитного поля. Видно, что размеры лавин демонстрируют степенное распределение, что может свидетельствовать о реализации в системе самоорганизованного критического состояния На врезке изображена схема экспериментальной установки

P Jin, О Ramos, К Е. Bassler, G Reiter, E Zeldov, С W Chu, "Vortex avalanches with robust statistics observed in superconducting niobiumPhys. Rev В 70, 140505 (2004)) В этих экспериментах были зарегистрированы лавины очень малых размеров и также было показано, что размеры лавин демонстрируют степенное распределение.

Кроме описанных экспериментов, исследования лавинообразной динамики магнитного потока в сверхпроводниках были проведены также с помощью магнито-оптических методов С использованием этой техники в работах С Аегертера с соавторами было изучено поведение магнитного потока в тонких пленках YBaCuO (С.М. Aegerter, M S Welling, R J Wijngaarden, "S elf-organized crit-icahty in Bean State in УВа2Сиз07_х thin films" Europhys Lett 65 753-759 (2004)). В результате была получена четкая картина лавинообразного изменения потока в образце. После каждого изменения поля магнитный поток менялся скачкообразно, величины возникающих скачков были различны.

Лавины магнитного потока также наблюдались в искусственно созданных решетках джозефсоновских контактов (С.М. Ишикаев, Э.В. Матизен, В.В Рязанов, В А. Обознов, А В. Веретенников, Письма в ЖЭТФ, "Магнитные свойства двумерных джозефсоновских сеток Самоорганизованная критичность в динамике магнитного потока", 72, 39-43 (2000))

Теоретические исследования. Несколько раньше, чем начали проводиться интенсивные исследования лавин в сверхпроводниках, в 1987 году возникла и начала развиваться концепция самоорганизации критического состояния и был построен ряд математических моделей, демонстрирующих самоорганизованное поведение (Р Bäk, С Tang, К Wiesenfeld, "Self-organized critical-ity: An Explanation of 1/f Noise", Phys Rev Lett , 59, 381-384 (1987)) Реализация самоорганизованного критического состояния в системе означает, что она под влиянием малых внешних возбуждений приходит в критическое состояние, которое в про-

цессе дальнейшей эволюции является самоподдерживающимся По структуре оно представляет собой набор метастабильных состояний, переходящих друг в друга посредством лавин, инициируемых малыми внешними возбуждениями Размеры возникающих лавин демонстрируют степенное распределение

Наиболее популярными математическими моделями, иллюстрирующими концепцию самоорганизации, являются модели типа "кучи песка", описываемые клеточными автоматами (D Dhar, "Self-organized critical state of Sandpile Automaton Models", Phys. Rev Lett., 64, 1613-1616 (1990)). Название этого класса моделей возникло из-за того, что первым физическим объектом, на котором было продемонстрировано самоорганизованное поведение, была реальная куча песка Однако необходимо отметить, что, несмотря на бурное теоретическое развитие концепции самоорганизации, ее практическое применение для объяснения конкретных физических явлений до сих пор весьма ограничено

Привлечение концепции самоорганизованной критичности к объяснению лавинообразной динамики потока в жестких сверхпроводниках второго рода привело к созданию математической модели движения вихрей в такой системе (К.Е Bassler, M Paczuski, "Simple Model of Superconductmg Vortex Avalanches", Phys Rev Lett., 81, 3761-3764 (1998), К E. Bassler, M. Paczuski, E. Altshuler, "Simple model for plastic dynamics of a disordered flux-hne lattice Phys Rev В 64, 224517 (2001)) Однако, как указывают сами авторы данной модели, она является феноменологической, учитывающей лишь основные особенности вихревой динамики, не рассматривая всех деталей явления в целом Это связано со сложностью точного математического описания процессов, происходящих в жестких сверхпроводниках второго рода.

В то же время, с момента открытия высокотемпературной сверхпроводимости активно изучаются магнитные свойства таких систем, как дискретные сверхпроводники системы,представляющие собой так называемую джозефсоновскую среду (J R Clem,

"Granular and Superconducting Glass properties of the high-temperature superconductors", Physica С 153-155, 50-55 (1988)) - отдельные сверхпроводящие гранулы, соединенные джозефсоновскими переходами. Будучи помещенной в магнитное поле, величина которого меньше первого критического поля гранул, такая дискретная система ведет себя как жесткий сверхпроводник второго рода (S L Ginzburg, V P. Khavronin, G.Yu Logvinova, I.D. Lusyanin et al., "Low-field electrodynamics of high-Tc superconductors - theory and experiment", Physica С 174, 109-116 (1991)). В работах D.-X Chen, J J. Moreno, A. Hernando, "Evolution from the vortex state to the critical state in a square-columnar Josephson-junction array", Phys. Rev В 53, 6579-6584 (1996); A. Manjhofer, line-breake T. Wolf, W. Dieterich, "Irreversible magnetization effect in a network of resistwely shunted tunnel junctions", Phys. Rev. В 44, 9634-9638 (1991) это утверждение было проверено методом компьютерного моделирования для таких моделей дискретных сверхпроводников, как решетки джозефсоновских контактов (многоконтактные СКВИДы).

Кроме того, в этих работах было теоретически показано, что магнитные свойства дискретных сверхпроводников полностью зависят от основного параметра системы V ~ jca3/<i>o, (jc — плотность критического тока контактов, Фо — квант потока магнитного поля, а -— характерный размер гранул). В частности, было продемонстрировано, что при V > 1 каждая ячейка дискретной системы способна пиннинговать магнитный поток, и в ней реализуется явление квантования магнитного потока. В работе C.JI. Гтнзбург&"Самоорганизация критического состояния в гранулированных сверхпроводниках и решетках джозефсоновских контактов", ЖЭТФ, 106, 607-626 (1994) было показано, что при V 1, именно благодаря наличию в системе квантования магнитного потока, систему дифференциальных уравнений, описывающих дискретный сверхпроводник, можно свести к алгоритмам, подобным тем, что описывают модели "кучи песка"

Таким образом, мы видим, что многие факты указывают на возможность реализации самоорганизованного критического состояния в дискретных сверхпроводниках, которые, при определенных условиях, хорошо воспроизводят все магнитные свойства жестких сверхпроводников второго рода Однако, несмотря на это, до сих пор не было проведено систематического теоретического исследования магнитной динамики дискретных сверхпроводников с точки зрения реализации в них явления самоорганизованной критичности.

Цели и задачи работы. Основной задачей настоящей работы было теоретическое и численное изучение критического состояния в модели дискретного сверхпроводника (многоконтактного СКВИДа), помещенного во внешнее магнитное поле Главная цель данного исследования — теоретически показать, что динамика магнитного потока в критическом состоянии дискретного сверхпроводника носит лавинообразный характер, и это объясняется реализацией в системе явления самоорганизованной критичности Это означает, что критическое состояние представляет собой набор метастабильных состояний, переходящих друг в друга посредством лавин. Лавины характеризуются изменениями магнитного потока в системе, и эти изменения демонстрируют степенное распределение

Основываясь на предположении об универсальности критического поведения для жестких сверхпроводников второго рода и дискретных сверхпроводников, мы надеемся, что результаты, полученные нами для дискретной системы, могут быть также применены для объяснения и описания критической лавинообразной динамики вихрей, которая наблюдалась в экспериментах, не только в искусственно созданных решетках джозефсоновских контактов и гранулированных сверхпроводниках, но и в случае жестких сверхпроводников второго рода.

Исходя из основной цели исследований, мы решали следующие частные задачи:

1 Построение модели дискретного сверхпроводника, учитывающей все особенности строения и магнитной динамики системы В частности, модель должна учитывать нерегулярную пространственную структуру дискретных сверхпроводников (внутреннюю пространственную стохастичность)

2 Исследование с помощью построенной модели критического состояния дискретного сверхпроводника, помещенного во внешнее магнитное поле, при различных значениях параметра V Исследование включает в себя изучение статистики изменений магнитного потока в дискретном сверхпроводнике, анализ структуры лавин и процесса их развития, а также природы возникновения лавинообразных процессов в системе

3 Изучение роли внутренней пространственной стохастично-сти в возникновении в дискретном сверхпроврднике лавин магнитного потока и самоорганизации критического состояния в системе

4. Исследование влияния способа изменения внешнего магнитного поля на размеры возникающих в дискретном сверхпроводнике лавин магнитного потока

5 В случае V >> 1 построение упрощенной модели дискретного сверхпроводника с внутренней пространственной сто-хастичностью, которая является новой моделью типа "кучи песка", а также подробное изучение ее свойств

В процессе решения каждой из перечисленных задач возникали более частные вопросы, которые также решались.

Научная новизна. Представленная работа является первым систематическим теоретическим исследованием критического состояния дискретных сверхпроводников на предмет реализации в них явления самоорганизации критического состояния

В работе построена новая модель дискретного сверхпроводника с внутренней пространственной стохастичностью, учитывающая особенности строения реальных дискретных сверхпроводников С ее помощью показано, что обнаруженная экспериментально в дискретных сверхпроводниках (гранулированных сверхпроводниках, решетках джозефсоновских контактов) лавинообразная динамика магнитного потока объясняется реализацией в этих системах явления самоорганизованного критического состояния. Это означает, что критическое состояние таких систем представляет собой набор метастабильных состояний, переходящих друг в друга посредством лавин. Лавина характеризуется вхождением в систему магнитного потока. Размеры возникающих лавин, то есть величины изменений магнитного потока за время лавины, демонстрируют степенное распределение Также показано, что решающую роль в возникновении в дискретных сверхпроводниках самоорганизованного критического состояния играет именно внутренняя пространственная стохастичность (разупорядоченность) системы

Впервые теоретически исследована магнитная динамика в критическом состоянии дискретного сверхпроводника при различных значениях основного параметра системы V и показано, что самоорганизованное критическое состояние реализуется в системе при переходном и малом значении основного параметра V", то есть лавинообразная динамика магнитного потока и степенное распределение лавин сохраняются и в этих случаях

Впервые исследовано влияние способа изменения внешнего магнитного поля на возникновение самоорганизованного критического состояния в дискретных сверхпроводниках. При этом показано, что размер возникающей лавины и величина вызвавшего его изменения внешнего магнитного поля являются статистически независимыми величинами Это означает, что лавина любого размера может быть вызвана как малым, так и большим изменением внешнего магнитного поля

На основе модели дискретного сверхпроводника построена упрощенная модель системы, которая является новой моделью типа "кучи песка" с внутренней пространственной стохастичностью С помощью одномерной модели "кучи песка" с внутренней пространственной стохастичностью показано, что механизм возникновения самоорганизованного критического состояния в дискретных сверхпроводниках точно такой же, как в ранее изученных классических моделях "кучи песка".

Путем обобщения модели "кучи песка" с внутренней пространственной стохастичностью построен целый класс моделей систем с внутренней пространственной стохастичностью, который разделяется на два подкласса: потенциальные и непотенциальные системы. Показано, что в них реализуется самоорганизованное критическое состояние. При этом в непотенциальных моделях самоорганизация возникает при гораздо меньшей степени стоха-стичности системы, чем в потенциальных

Изучение критического состояния в модели дискретного сверхпроводника позволило получить новые сведения о явлении самоорганизации критического состояния. Впервые был получен наиболее общий вид системы дифференциальных уравнений, с помощью которой можно моделировать явление СОК Также был рассмотрен вопрос о возможности сосуществования явления самоорганизованной критичности и такого распространенного в природе и технике явления, как 1//-шум, в результате была обнаружена лишь одна система, в которой данные явления сосуществуют

Научная и практическая значимость работы. В работе, исходя из первых принципов, построены одномерная и двумерная модели дискретного сверхпроводника с внутренней пространственной стохастичностью, учитывающие особенности строения реальных сверхпроводящих систем Новые модели адекватно описывают все особенности критического поведения дискретных сверхпроводников и просты для анализа, что позволяет использовать их для дальнейшего изучения магнитных свойств дискретных

сверхпроводников.

Объясняя уже существующие эксперименты, наша работа открывает путь для новых, направленных исследований, которые будут способствовать описанию сложной картины поведения жестких сверхпроводников второго рода в критическом состоянии, что очень важно, например, для создания новых материалов, способных нести большие сверхпроводящие токи (сильноточные материалы) .

Кроме того, наша работа открывает новую страницу и в исследовании явления самоорганизованной критичности.

Во-первых, она описывает объект, доступный для экспериментальных исследований, который проявляет свойство самоорганизации Мы надеемся, что с помощью направленных исследований на дискретных сверхпроводниках можно будет обнаружить новые закономерности поведения самоорганизованных систем

Во-вторых, мы вводим новую для теории самоорганизации, более физическую, характеристику для лавин в критическом состоянии (изменение магнитного потока за время лавины) Данная величина может быть исследована экспериментально Таким образом, мы расширяем определение самоорганизованного критического состояния, что весьма актуально в свете происходящего в настоящее время пересмотра этого понятия, а также включению его в более общее понятие "complexity", которым характеризуется поведение сложных динамических систем, состоящих из большого числа взаимодействующих элементов Понятие "complexity" в настоящее время широко обсуждается научной общественностью и включает в себя определение общих черт поведения таких разнообразных систем, как Интернет, нейронные сети, эволюционные процессы и многое другое

Основные положения, выносимые на защиту

1. Исходя из первых принципов, построена модель дискретного сверхпроводника с внутренней пространственной сто-хастичностью, которая достаточно проста для анализа, учи-

тывает специфику строения реальных сверхпроводящих систем, а также адекватно описывает все особенности критического поведения дискретных сверхпроводников

2 Обнаруженная экспериментально в дискретных сверхпроводниках (гранулированных сверхпроводниках, решетках джозефсоновских контактов), помещенных в медленно меняющееся внешнее магнитное поле, лавинообразная динамика магнитного потока в критическом состоянии объясняется реализацией в этих системах явления самоорганизованного критического состояния Это означает, что критическое состояние таких систем представляет собой набор метаста-бильных состояний, переходящих друг в друга посредством лавин Лавина характеризуется вхождением в систему магнитного потока Размеры возникающих лавин, то есть величины изменений магнитного потока за время лавины, демонстрируют степенное распределение

3 Решающую роль в возникновении в дискретных сверхпроводниках, помещенных в возрастающее внешнее магнитное поле, самоорганизованного критического состояния играет внутренняя пространственная стохастичность (разупорядо-ченность) системы

4 В дискретных сверхпроводниках в самоорганизованном критическом состоянии размер возникающей лавины и величина вызвавшего ее изменения внешнего магнитного поля являются статистически независимыми величинами Это означает, что лавина любого размера может быть вызвана как малым, так и большим изменением внешнего магнитного поля.

5 Самоорганизованное критическое состояние в одномерном дискретном сверхпроводнике реализуется как при больших значениях основного параметра V, так и при переходном и

малом значении этого параметра, то есть лавинообразная динамика магнитного потока и степенное распределение лавин сохраняются и в этих случаях.

6. Путем упрощения и обобщения построенной модели дискретного сверхпроводника построен новый класс математических моделей типа "кучи песка", демонстрирующих самоорганизованное поведение,— модели с внутренней пространственной стохастичностью Данный класс разделяется на два подкласса потенциальные (примером является дискретный сверхпроводник) и непотенциальные системы В обоих подклассах системы демонстрируют самоорганизованное поведение, но в случае непотенциальных систем для этого требуется гораздо меньшая степень стохастичности, чем в случае потенциальных.

-Т Получены новые сведения о явлении самоорганизации критического состояния а) Получен наиболее общий вид системы дифференциальных уравнений, с помощью которой можно моделировать явление самоорганизованной критичности б) Показано, что сосуществование в одной системе таких явлений, как 1//-шум и самоорганизация, крайне неустойчиво к изменению внешних условий.

Апробация работы. Результаты работы опубликованы в 12 статьях в реферируемых российских и зарубежных журналах По результатам работы издана монография "Лавины магнитного потока и самоорганизованная критичность в дискретных сверхпроводниках" (изд-во ПИЯФ РАН, 2007) Материалы диссертации неоднократно докладывались на семинарах и Зимних школах ПИЯФ, а также в СПбГУ, ИТФ им ЛД Ландау (Москва), ОИЯИ (г. Дубна), на международных совещаниях и конференциях, в том числе на Первой и Второй международных конференциях по фундаментальным проблемам сверхпроводимости (Звенигород, Москва 2004, 2006 годы), Совещаниях по физике низких

температур (Казань 2000 год, Екатеринбург 2003 год), международных конференциях Renormalization Group (Высокие Татры, Словакия, 2002, Хельсинки, Финляндия, 2005 год), на LXXVII сессии летней физической школы "Slow relaxation and nonequilib-rium dynamics in condenced matter" (Франция, Лез Уш, 2002 год), NATO advansed workshop on vortex dynamics in Hihg temperature superconductors (VDHT 2002) (Ташкент, 2002 год), на Симпозиуме/Семинаре "Complexity and Criticality" (Копенгаген, Дания, 2003 год), на Школе-Конференции "Fundamental aspects of Complexity" (ICTP, Триест, Италия, 2004 год)

Структура диссертации

Диссертация изложена на 186 страницах и состоит из Введения, восьми глав и Заключения, включает 48 рисунков, библиография включает 81 наименование.

Содержание работы

Работа состоит из Введения, восьми глав и Заключения.

Во Введении обсуждается актуальность проблемы, современное состояние исследований, формулируется основная цель работы, обсуждается ее научная и практическая ценность, представлен список результатов, выносимых на защиту.

В первой главе подробно анализируются особенности поведения дискретных сверхпроводников в критическом состоянии, которые делают эти системы кандидатами на обнаружение в них явления самоорганизации критического состояния.

В разделе 1.1 мы рассматриваем простейший пример дискретного сверхпроводника — одноконтактный СКВИД. Мы показываем, что параметр V является определяющим для магнитных свойств одноконтактного СКВИДа Одноконтактный СКВИД при V >> 1 представляет собой пороговый элемент, обладающий большим числом метастабильных состояний Кроме того, при V 1 в системе реализуется явление квантования магнитного потока

внутри кольца СКВИДа, что позволяет свести дифференциальные уравнения, описывающие СКВИД, к алгоритму для безразмерного тока Полученный алгоритм подобен тем, в которых формулируется одна из математических моделей СОК — Абелева модель "кучи песка". Это и есть первая причина, по которой можно предположить, что в системе, состоящей из большого числа подобных элементов, можно ожидать возникновения СОК.

В разделе 1.2 дается подробное описание Абелевой модели "кучи песка"

В разделе 1.3 мы рассматриваем одну из возможных реализаций дискретного сверхпроводника — двумерный многоконтактный СКВИД. Мы показываем, что свойства такой системы зависят от величины СКВИД-параметра V. При V > 1 СКВИД обладает большим числом метастабильных состояний, что позволяет рассматривать его как систему, в которой возможна реализация самоорганизованного критического состояния Это выражается в том, что при таком условии уравнения, описывающие многоконтактный СКВИД, могут быть сведены к системам отображений, полностью аналогичным алгоритмам, описывающим классическую модель системы с самоорганизацией — Абелеву модель "кучи песка". Возмущение системы в этом случае производится путем инжекции в нее тока, а роль высоты кучи играет безразмерный ток в контакте.

В разделе 1.4 изучается критическое состояние двумерного многоконтактного СКВИДа. Мы показываем, что при том режиме, в котором обычно изучаются системы с самоорганизацией, критическое состояние рассматриваемого двумерного многоконтактного СКВИДа является самоорганизованным Оно представляет собой набор метастабильных состояний, переходящих друг в друга посредством лавин, возникающих после локального внешнего возмущения системы. Лавины обнаруживают себя как всплески напряжения на контактах. Прямым аналогом размера лавины, как он определен для случая "кучи песка",является усред-

ненный интеграл от возникшего в системе напряжения за время лавины. Эта величина демонстрирует степенное распределение.

Параллельно с исходной системой, описываемой дифференциальными уравнениями, изучается упрощенная модель, описываемая системой отображений Показано, что поведение основной характеристики системы (размера лавины) для обоих способов описания системы одинаково Следовательно, введенные упрощения не изменяют основных физических свойств системы.

Таким образом, в первой главе работы делаются первые, и поэтому очень важные, шаги на пути к описанию структуры критического состояния дискретных сверхпроводников и пониманию природы лавин, возникающих в этих системах, но нами было сделано немало существенных упрощений, которые могли несколько исказить картину критического поведения дискретных сверхпроводников. Кроме того, основной нашей задачей является описание лавинообразной динамики потока, наблюдаемой на экспериментах, что требует максимального приближения рассматриваемых в теории моделей к реальным системам. В результате возникает ряд проблем, решение которых привело к необходимости корректировки модели дискретного сверхпроводника

1 Самоорганизация критического состояния в изучаемых двумерных многоконтактных СКВИДах возможна лишь при определенных способах внешнего воздействия на систему, в частности, при инжекции тока в случайно выбранный контакт, что соответствует тому методу возмущения системы, который используется в классической модели "кучи песка' Однако такой способ воздействия сложно реализовать в эксперименте, поэтому необходимо перейти к рассмотрению более реалистичного режима возмущения системы.

Наиболее распространенным экспериментальным способом внешнего воздействия на систему является медленное изменение внешнего магнитного поля В этом случае возму-

щение системы происходит лишь в граничных контактах. Если использовать такой метод воздействия в описанной выше модели дискретного сверхпроводника, исследуемой в работах [4] и [1], то самоорганизованного критического состояния не возникнет. Вместо набора метастабильных состояний в системе будет существовать одно единственное метастабильное состояние, в которое она возвращается после каждой лавины В то же время в экспериментах именно при таком способе воздействия наблюдалась лавинообразная динамика магнитного потока Следовательно, нашу модель необходимо скорректировать с учетом всех особенностей строения реальных дискретных сверхпроводников.

2 Измерение интегрального напряжения, которое является прямым аналогом размера лавины, в том виде, как он определяется концепцией СОК (S.S Manna and J Kertesz, "Correlations and scaling in the outflow statistics of a sandpile automaton", Physica A 173, 49-59 (1991)), в эксперименте является сложной задачей Это эквивалентно, например, подсчету всех актов соскальзывания песчинок в реальной куче песка В случае экспериментов с кучей песка измеряемой характеристикой являлась масса системы(С A. Held, D.H Solma, D.T. Keane, W G Hang, P.M Horn, G Grinstein, "Experimental study of critical-mass fluctuations in an evolving sandpile" Phys. Rev. Lett., 65, 1120-1123 (1990)). Аналогом этой величины для случал дискретных сверхпроводников является полный магнитный поток в системе. Именно эта характеристика и ее изменение изучались в экспериментах Поэтому возникает задача перехода к другому определению размера лавины и изучения статистики этой величины

Во второй главе мы представляем модель дискретного сверхпроводника, учитывающую особенности строения реальных сверхпроводников, а именно,внутреннюю пространственную стохастич-

Рисунок 2- Сечение одномерного многоконтактного СКВИДа плоскостью (х, г)

ность таких систем, то есть некоторый разброс межконтактных расстояний. Мы рассматриваем наиболее простой случай — одномерный дискретный сверхпроводник (многоконтактный СКВИД) (рисунок 2) На этом примере мы показываем, каким образом введение внутренней пространственной стохастичности изменяет уравнения, описывающие динамику системы. Также мы рассматриваем упрощенную модель пространственно разупорядоченной системы, которая является новой моделью типа "кучи песка" для изучения самоорганизации критического состояния Мы показываем, что внутренняя пространственная стохастичность играет решающукГроль в возникновении самоорганизованного критического состояния в системе даже в тех условиях, в которых ранее самоорганизации не наблюдалось.

В разделе 2.1 подробно анализируется система дифференциальных уравнений для калибровочно-инвариантных фаз на контактах (рг, описывающая такой одномерный многоконтактный

СКВИД, помещенный во внешнее магнитное поле Hext. Она имеет следующий вид

т/ • , 9<pt

V sin <pt + T—

= [JiVt+i ~ («Л + + «Д-iVt-i], гф 1, AT;

V sin ipi + Т-~ = [Ji<¿>2 - JlVl] - 27r/lea;í ,

Л

Vsin 4>N + T-~- = [—Jjv-iViV + «/at-iV^-i] + 27rft.ea;t;

l%K2al\Ljc 8па1Хь

v —-~ж-; т =-1

Ф0 р

Т - — h - 2A¿Q и m

1 — и ' "eart — Л , ^JJ

0г Фо

где jc — плотность критического тока контактов, A¿ — лондонов-ская глубина проникновения, р — поверхностное сопротивление контактов, а — характерное расстояние между контактами, Фо — квант потока

Безразмерный параметр V является определяющим для нашей системы От его величины зависят магнитные свойства системы, в частности, структура ее критического состояния.

Внутренняя пространственная стохастичность системы при этом характеризуется разбросом входящих в уравнение коэффициентов J, = a/bt, где а — характерный параметр упорядоченной решетки (рисунок 2) Коэффициенты J, зависят от площади ячеек в системе и связаны с их индуктивностью Если все коэффициенты Jl равны единице, то система полностью упорядочена.

В разделе 2.2, используя физические особенности поведения дискретных сверхпроводников при V > 1, мы строим упрощенную модель одномерного многоконтактного СКВИДа, которая является одномерной моделью "кучи песка" с внутренней пространственной стохастичностью.

В разделе 2.3 мы изучаем критическое состояние одномерного многоконтактного СКВИДа, помещенного во внешнее магнитное

поле, пользуясь для описания системы как системой дифференциальных уравнений, так и построенной нами моделью "кучи песка" Мы показываем, что даже незначительного разброса межконтактных расстояний достаточно, чтобы критическое состояние одномерного многоконтактнбго СКВИДа стало самоорганизованным в условиях, которые близки к экспериментальным, но в которых ранее самоорганизации не наблюдалось (рисунок 3). В нашей модели СОК реализуется при воздействии на нее внешним магнитным полем, то есть при возмущении в граничных контактах, и при закрытых граничных условиях, благодаря наличию в нашей системе двух критических значений для величины безразмерного тока и процессу аннигиляции положительных и отрицательных токов, который заменяет процесс ухода тока из системы, обеспечивающий существование СОК при открытых граничных условиях

Таким образом, введением внутренней пространственной сто-хастичности мы решили первую из проблем, обозначенных в конце Главы 1 и приведших к модификации модели дискретного сверхпроводника. Далее мы совершаем переход от изучения статистики интегрального напряжения к рассмотрению изменений магнитного потока в системе во время лавин.

В третьей главе критическое состояние одномерного многоконтактного СКВИДа, помещенного во внешнее магнитное поле, рассматривается при различных значениях основного параметра системы V.

В разделе 3.1 подробно обсуждается влияние внутренней пространственной стохастичности на структуру критического состояния системы. Показано, что при введении внутренней пространственной стохастичности у системы появляется большое количество возможных метастабильных критических состояний, переход между которыми осуществляется посредством лавинообразных процессов, сопровождаемых изменением полного магнитного потока в системе.

5

о. А

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0

а Р(\ЛО

- О р(и/Фо)

■. . . ,

10"

§ ю-2

о.

10"

О

1x10"4

а,

1x10

32,48 32,50 32,52 32,54 и/Ф„,\Л/

о Г ^-Чт^ ° оо С

p(W)

' ° Р(и/Ф0) ..................

Ю <„100

101 10°

I 1°;

о! 10

^ Ю3 1 1x10" а 1x105 10е 107

50 100150200250300350

и/Фо,\Л/

7 <1

p(W)

: ° Р(и/Ф0) ........1 . •■.п. \ ....

1

10и/Ф,\Л/100

о'

Рисунок 3 Плотности вероятности интегральных напряжений для одномерного многоконтактного СКВИДа, рассчитанные для случая описания системы дифференциальными уравнениями р(и/Фо),и для упрощенной модели р(Ш) для различных разбросов межконтактных расстояний1 а) все Зг одинаковы и равны 1; Ь) разброс /г от 1 до 1 01; с) разброс ,1г от 1 до 1 2, прямая имеет наклон а — —1.62; с1) разброс от 1 до 1.4, прямая имеет наклон а = —12. Рисунок из работы [10] Небольшая протяженность степенного участка обусловлена небольшим размером исследуемой системы. Как будет показано далее, при увеличении размера системы данный участок значительно расширяется.

Рассматривается структура критического состояния не только при большом значении параметра V >> 1, но также и при переходном V и 1 и малом V < 1 его значениях. Показано, что при этом меняется профиль магнитного поля внутри системы, но лавинообразная динамика потока сохраняется. Проводится сравнение полученных результатов с экспериментально наблюдаемой картиной.

В разделе 3.2 рассматривается структура лавин, возникающих в критическом состоянии разупорядоченной системы Изучается процесс прохождения лавины через систему при различных значениях параметра V

В разделе 3.3 изучается статистика изменений полного магнитного потока в системе ДФ,

ДФ = Ф(д-Ф(гь),

где Ф — величина полного магнитного потока в системе, — моменты начала и конца соответствующей лавины. Далее приводятся функции распределения размеров лавин в критическом состоянии Система рассматривается при различных значениях параметра V. Показано, что участок степенного поведения в функции распределения размеров лавин имеется для всех рассмотренных значений параметра У, что говорит о реализации в системе самоорганизованного критического состояния (рисунок 4) Величина Д «7 характеризует стохастичность системы, коэффициенты <Л являются случайными числами из интервала [1,1 + Д«7]

Таким образом, в третьей главе делается важнейший шаг на пути объяснения лавинообразной динамики магнитного потока в дискретных сверхпроводниках, которая наблюдается в экспериментах. Мы переходим к новой характеристике лавин, возникающих в критическом состоянии в дискретном сверхпроводнике. Мы показываем, что лавина полностью характеризуется изменением полного магнитного потока в системе Данная величина является более универсальной характеристикой системы, чем ин-

10

1

о 01

е 0 01

§ 1Е-3

1Е-4

1Е-5

1Е-6

1Е-7

г ^^вбванщв

■ г ■ 1 1 1■и1 1 1 ■ >•> и1 \ 1 1 1 1 1 11.1

100

1000 ДФ/Ф.

10000

АФ/Ф.

Рисунок 4- Плотности вероятности для изменений полного магнитного потока в одномерном дискретном сверхпроводнике />(ДФ/Ф0) для Д./ = 0.5 (а) V = 40, (Ь) V = 1 2, (с) V = 0 6

[П]

тегральное напряжение за время лавины, так как может показать наличие в системе самоорганизации даже в тех случаях, когда величина интегрального напряжения не является адекватной физической характеристикой системы, а именно,при малых значениях параметра V Кроме того, именно изменение магнитного потока в системе измеряется при экспериментальном изучении критического состояния в дискретных сверхпроводниках.

Четвертая глава посвящена изучению динамики магнитного потока в критическом состоянии двумерного дискретного сверхпроводника, помещенного во внешнее магнитное поле, которое изменяется "нестационарным" образом, то есть очередное изменение поля происходит лишь после того, как все динамические процессы, вызванные предшествующим изменением, остановились. Такой метод возмущения системы эквивалентен ступенчатому возрастанию внешнего магнитного поля, применяемому в экспериментах и описанному, например, в работе С М Aegerter, M.S Welling, R J Wijngaarden, "Self-organized croticahty in Bean State m YBa2Cu307-x thin films", Europhys Lett. 65 753-759 (2004). Двумерный дискретный сверхпроводник, рассмотренный в данной главе, имеет структуру, отличную от той, что рассматривалась в первой главе В настоящей главе мы рассматриваем двумерную систему, имеющую вид решетки из сверхпроводящих ребер, на которых расположены джозефсоновские контакты Такой вид системы больше соответствует экспериментально изучаемым дискретным сверхпроводникам (рисунок 5)

Раздел 4.1 посвящен анализу дифференциальных уравнений для калибровочно-инвариантных фаз на контактах^, описывающих изучаемую систему, помещенную во внешнее магнитное поле Hext Она имеет следующий вид

У sin вг} + = + 0„+i - Vi+ij ~ 0%])-

- ^j-iiftj-i + o%3 - v«+ij-i -

Рисунок 5" Сечение плоскостью (х,у) двумерного дискретного сверхпроводника На рисунке показана деформация решетки. Полые кружки обозначают узлы недеформированной решетки, черные — узлы решетки после деформации, крестами показаны места расположения джозефсоновских контактов. Стрелками указаны возможные направления токов [12]

а2 = (Stj)

Ажа21 Р

(2)

Граничные условия: d9 i

V sin вг1 + Г—= ((ptl + вг2 - (р%+п - öil) - 27Гhext , Vsmipxj + r—^- - 2тrhext - sl3{ípl3 + в1}+1 - - 0\3) , (3)

где /iea;i = Hexta2/Ф0. Аналогичные условия имеются для оставшихся двух границ

В этом случае стохастичность системы характеризуется коэффициентами Sjj = a2/Sij, где а — параметр упорядоченной решетки (рисунок 5). Если все коэффициенты stj одинаковы, то система является квадратной решеткой джозефсоновских контактов. Мы рассмотрели наиболее простую деформацию двумерной решетки, при которой каждый узел регулярной решетки с координатами (®, у) смещается в точку с координатами (г = x + ax,j = у + Ьу)] величины ах, Ьу для всех узлов случайны, независимы и равномерно распределены на отрезке [—d, d\ Задавая различные величины разброса d, мы можем получить решетки с разной степенью разупорядоченности по сравнению с регулярной системой В нашей работе мы будем рассматривать d = 0 4.

В разделе 4.2 изучается статистика изменений полного магнитного потока в системе ДФ Мы считали, что лавина произошла, если ДФ > 0.5Фо, где Фо — квант потока. Двумерный дискретный сверхпроводник рассматривается при большом значении параметра V. Показано, что в этом случае в системе реализуется самоорганизованное критическое состояние, то есть критическое

1Е-7 1 ' ■ I_|_'_1_I I I I I I_I_I_ь

1 10

ДФ/Ф

п

Рисунок 6 Плотность вероятности размеров лавин ДФ. Наличие в распределении степенного участка говорит о том, что критическое состояние исследуемого двумерного дискретного сверхпроводника является самоорганизованным

состояние представляет собой набор метастабильных состояний, переходящих друг в друга посредством лавин. Лавина характеризуется вхождением в систему магнитного потока. Размеры возникающих лавин, то есть величины изменений магнитного потока за время лавины, демонстрируют степенное распределение (рисунок 6) Проводится сравнение полученных результатов с результатами экспериментов

Основываясь на положении об универсальности критических явлений в жестких сверхпроводниках второго рода и дискретных сверхпроводниках, мы надеемся, что полученные результаты мо-

гут быть применены для объяснения лавинообразной динамики в жестких сверхпроводниках второго рода, наблюдаемой в экспериментах

В разделе 4 3 мы рассматриваем возможность существования такого минимального изменения внешнего магнитного поля7при котором в дискретном сверхпроводнике не возникают лавины Мы изучаем статистику изменений внешнего магнитного поля 5h, порождающих лавины Эта величина рассчитывалась следующим образом. Мы увеличивали внешнее поле на 5h, дожидались окончания релаксации и рассчитывали ДФ Если величина магнитного потока, проникнувшего в систему после очередного увеличения внешнего магнитного поля на 5h, была меньше фиксированного значения ДФтш = 0 5Фо, то мы считали, что лавины не произошло Далее мы вновь увеличивали внешнее поле на 5h и дожидались окончания релаксации, и так до тех пор, пока изменение магнитного потока после очередного увеличения поля не оказывалось больше ДФт1П Тогда мы считали, что произошла пая лавина, и обозначали ту величину внешнего магнитного поля, при котором она началась, через hextn После этого мы продолжали моделирование по описанной схеме до тех пор, пока величина магнитного потока, проникнувшего в систему после очередного увеличения поля, вновь не превысит значение ДФтш Тогда мы считали, что произошла (п + 1)-ая лавина. Разницу в значениях внешнего магнитного поля, при которых начались п-ая и (п + 1)-ая лавины, мы и считали тем изменением внешнего поля, которое вызвало (п+1)-ую лавину. Тогда n-ая лавина вызывается изменением внешнего поля, которое можно вычислить как

Д hn = hextn — hextn_ [ . (4)

Мы показываем, что в рассмотренных нами пределах даже минимальное изменение внешнего магнитного поля порождает лавины (рисунок 7).

В разделе 4.4, рассматривая совместную плотность вероятно-

1

0,1

0,01

1Е-3

< 1Е-4

ч-^

1Е-5

1Е-6

1Е-7

Рисунок 7: Плотность вероятности изменений внешнего магнитного поля А/г., вызвавших лавины в системе. Наличие роста функции на малых значениях А/г означает, что вплоть до Ак — Ю-4 в системе нет такого значения ¿/1тш, что при 8к < 5ктт лавины бы не возникали.

сти размеров лавин и изменений внешнего магнитного поля, их порождающих, мы показываем, что размер лавины не зависит от величины изменения внешнего магнитного поля, вызвавшего эту лавину.

Результаты, представленные в четвертой главе можно считать основными в нашем исследовании. Мы показали, что критическое состояние дискретных сверхпроводников является самоорганизованным Возникающие лавины — неотъемлемая часть динамики систем с СОК Таким образом, нам удалось найти объяснение интересному и важному с точки зрения практического применения сверхпроводников явлению, привлекая для этого концепцию, которая развивалась ранее, в основном благодаря математическому моделированию

Пятая глава посвящена изучению причин возникновения самоорганизованного критического состояния в моделях дискретных сверхпроводников с внутренней пространственной стохастич-ностью на примере одномерной модели

В разделе 5 1 мы обсуждаем механизмы возникновения ячеек-"ловушек" и "возвратных" лавин в модели при различных способах возмущения системы. Ячейки-"ловушки" — это такие ячейки системы, высота в которых такова, что даже после осыпания соседних ячеек наклон в соответствующих узлах не превышает критический; это приводит к ограничению области распространения лавины, эффективно уменьшал ее размер "Возвратные" лавины, т е динамические процессы, распространяющиеся по решетке как в прямом, так и в обратном направлениях, наоборот, увеличивают число ячеек, вовлеченных в лавину.

Мы показываем, что наличие внутренней пространственной стохастичности приводит к точно таким же последствиям, что и наличие разницы в добавляемых и осыпающихся песчинках, а также случайное возмущение в одномерных моделях, исследованных в S.T R Pinho, С.P.C. Prado, S R Sahnas, "Complex behavior in one-dimensional sandpile modelsPhys Rev E 55, 2159-2165

(1997). Это позволяет сделать вывод, что механизм возникновения самоорганизации в модели кучи песка с внутренней пространственной стохастичностью и в классической одномерной модели "кучи песка" одинаков.

Кроме того, в модели, изучаемой в работе STR. Pmho, С.Р С Prado, S R. Salmas, "Complex behavior т one-dimensional sandpile modelsPhys Rev. E 55, 2159-2165 (1997), детерминированный способ добавления не дал бы нетривиального поведения системы. В этом смысле система с внутренней пространственной стохастичностью обладает более богатыми свойствами. Даже при детерминированном добавлении в ней возникают "ловушки", а также "скользкие" конфигурации, что приводит к разнообразию в размерах лавин.

В шестой главе представлен класс одномерных систем, в которых самоорганизованное критическое состояние возникает благодаря свойству внутренней пространственной стохастичности Математически данные системы описываются моделями типа "кучи песка", построенными на основе уравнений, описывающих физическую систему — одномерный многоконтактный СКВИД со случайным расположением контактов.

В разделе 6 1 показано, что класс систем с внутренней пространственной стохастичностью делится на два основных подкласса: потенциальные и непотенциальные системы Примером потенциальной системы служит изученный авторами ранее одномерный многоконтактный СКВИД.

Далее, в разделах 6 2 и 6 3 мы рассматриваем статистику размеров лавин в потенциальных и непотенциальных системах, для систем большого размера (рисунок 8) Мы показываем, что самоорганизация в таких системах возникает при ничтожно малой степени стохастичности системы, а также, что критическое состояние в непотенциальных системах становится самоорганизованным при меньшей степени стохастичности системы

Также показано, что в таких системах самоорганизация возни-

Рисунок 8- Плотность вероятности размеров лавин р{Ш) в потенциальной системе с Д/ = 0 05 Наклон фитирующей прямой а = — 1 46 Из рисунка видно, что, благодаря увеличению размера исследуемой системы, участок степенного поведения плотности вероятности становится значительно шире, чем для ранее рассмотренных небольших систем

кает даже в случае полностью детерминированного возмущения, чего не наблюдалось в ранее исследованных моделях"кучи песка".

В седьмой главе мы рассматриваем наиболее общий вид системы дифференциальных уравнений, которые описывают систему с самоорганизацией критического состояния. Результаты, полученные в этой главе, открывают возможность обнаружения новых реальных физических систем, в которых возможна реализация самоорганизованного критического состояния.

В разделах 7.1 и 7 2 рассматриваются два физически важных обобщения системы дифференциальных уравнений, описывающих многоконтактный СКВИД. Первое из них представляет собой обобщение данной системы на случай асимметричного потенциала и может быть использовано для описания так называ-

емых храповиков. Второе содержит двухмасштабную периодическую функцию и может описывать, к примеру, многослойные системы. Мы показали, что критическое состояние в этих системах действительно является самоорганизованным.

Восьмая глава посвящена рассмотрению вопроса о связи таких явлений, как самоорганизованная критичность и 1//-шум на примере модели дискретного сверхпроводника, помещенного во внешнее магнитное поле. Показано, что в спектрах среднего тока систем различных размеров имеется широкая область 1//-шума, ограниченная лишь размерами системы Однако сосуществование 1//-шума и самоорганизации критического состояния наблюдалось лишь в единственной системе в двумерном случае

В Заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы:

Основной вывод

Показано, что обнаруженная экспериментально в дискретных сверхпроводниках (гранулированных сверхпроводниках, решетках джозефсоновских контактов) лавинообразная динамика магнитного потока объясняется реализацией в этих системах явления самоорганизованного критического состояния Это означает, что критическое состояние дискретных сверхпроводников представляет собой набор метастабильных состояний, переходящих друг в друга посредством лавин Лавина характеризуется вхождением в систему магнитного потока Размеры возникающих лавин, то есть величины изменений магнитного потока за время лавины, демонстрируют степенное распределение

Предполагая универсальность критических явлений в жестких сверхпроводниках второго рода и дискретных сверхпроводниках, мы считаем, что полученные результаты могут быть применены для объяснения лавинообразной динамики в жестких сверхпроводниках второго рода, наблюдаемой в экспериментах

Также получены следующие результаты

1 Исходя из первых принципов, построены одномерная и двумерная модели дискретного сверхпроводника с внутренней пространственной стохастичностью, учитывающие особенности строения реальных сверхпроводящих систем Новые модели адекватно описывают все особенности критического поведения дискретных сверхпроводников и просты для анализа.

2 Показано, что наличие внутренней пространственной сто-хастичности в дискретном сверхпроводнике играет решающую роль для возникновения в нем самоорганизованного критического состояния при возмущении системы внешним магнитным, полем

3 Показано, что изменение магнитного потока за время лавины является более информативной характеристикой этого процесса, в отличие от ранее используемого в теоретических работах интегрального напряжения.

4 Показано, что в дискретных сверхпроводниках в самоорганизованном критическом состоянии размер возникающей лавины и величина вызвавшего ее изменения внешнего магнитного поля являются статистически независимыми величинами Это означает, что лавина любого размера может быть вызвана как малым, так и большим изменением внешнего магнитного поля

5 На примере одномерного дискретного сверхпроводника показано, что самоорганизованное критическое состояние реализуется в системе как при больших значениях основного параметра V, так и при переходном и малом значении этого параметра, то есть лавинообразная динамика магнитного потока и степенное распределение лавин сохраняются и в этих случаях.

6 На основе модели дискретного сверхпроводника построена упрощенная модель системы, которая является моделью типа "кучи песка" с внутренней пространственной стохастично-стью.

В одномерном случае путем обобщения данной модели построен целый класс моделей систем с внутренней пространственной стохастичностью, который разделяется на два подкласса потенциальные и непотенциальные системы.

7 С помощью одномерной модели "кучи песка" с внутренней пространственной стохастичностью показано, что механизм возникновения самоорганизованного критического состояния в дискретных сверхпроводниках точно такой же, как в ранее изученных классических моделях "кучи песка" Это означает, что пространственная случайность эффективно заменяет случайность временную, которую необходимо было вводить ранее в модели "кучи песка" для реализации в них СОК При этом внутренняя пространственная стохастич-ность представляется гораздо более физическим свойством, чем наличие в системе временной случайности

8 Изучение критического состояния в потенциальных и непотенциальных моделях типа "кучи песка" показало, что в них реализуется самоорганизованное критическое состояние При этом в непотенциальных моделях самоорганизация возникает при гораздо меньшей степени стохастичности системы, чем в потенциальных

9 Изучение критического состояния в модели дискретного сверхпроводника позволило получить новые сведения о явлении самоорганизации критического состояния. Был получен наиболее общий вид системы дифференциальных уравнений, с помощью которой можно моделировать явление СОК Также был рассмотрен вопрос о возможности сосуществова-

ния явления самоорганизованной критичности и 1// шума, в результате была обнаружена лишь одна конфигурация системы, при которой данные явления сосуществуют, то есть сосуществование в одной системе 1//-шума и самоорганизации крайне неустойчиво к изменению внешних условий

В Заключении также обсуждается значимость полученных результатов и дальнейшие перспективы исследований

Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих публикациях

[1] S L Ginzburg, М.А Pustovoit, N.E. Savitskaya, "Interavalanche correlations in self-organized critical state of multi-junction SQUID", Phys Rev E 57 (1998) 1319-1326

[2] С Л Гинзбург, H Е Савицкая, "Самоорганизация критического состояния в цепочке СКВИДов ", Письма в ЖЭТФ 68 (1998) 688-694

[3] С.Л Гинзбург, Н Е Савицкая, "Самоорганизация критического состояния в многоконтактном СКВИДе при закрытых граничных условиях", Письма в ЖЭТФ 69 (1999) 119-121.

[4] С Л Гинзбург, Н Е Савицкая, "Самоорганизация критического состояния в гранулированных сверхпроводниках", ЖЭТФ, 117 (2000) 227-241.

[5] С Л. Гинзбург, Н Е Савицкая, "Возникновение самоорганизации критического состояния в одномерном многоконтактном СКВИДе как следствие случайного расположения контактов", Письма в ЖЭТФ 73 (2001) 163-166

[6] С Л. Гинзбург, Н Е Савицкая, Письма в ЖЭТФ, "Самоорганизация и 1/f-шум в гранулированных сверхпроводниках", 73 (2001) 243-247.

[7] S.L Ginzburg and N.E. Savitskaya, "Granular Superconductors and Sandpile Model with Intrinsic Spatial Randomness", Phys. Rev E 66 (2002) 026128.

[8] S.L. Ginzburg and N E Savitskaya "Self-organization of the critical state m the physical systems described by differential equationsActa Physica Slovaca, 52 (6) (2002) 597-601.

[9] S L Ginzburg and N E. Savitskaya, "Self-organized criticality in granular superconductors", Сборник лекций LXXVII сессии летней школы "Slow relaxation and nonequilibnum dynamics in condensed matter", Les Houches, France, 2002 Springer, 706718 (2003)

[10] S L Ginzburg and N E. Savitskaya, "Self-organization of the critical state in granular superconductors", Jornal of Low Temperature Physics 130, No. 3/4 (2003) 333-346.

[11] S L Ginzburg, A.V Nakin, N E Savitskaya, "The magnetic flux dynamics in the critical state of one-dimensional discrete superconductor", Physica С 436/1 (2006) 7-13.

[12] С JI Гинзбург, А В Накин, Н.Е Савицкая, "Лавинообразная динамика магнитного потока в двумерном дискретном сверхпроводнике", ЖЭТФ 130 (2006) 862-872.

[13] С Л.Гинзбург, Н Е Савицкая, "Лавины магнитного потока и самоорганизованная критичность в дискретных сверхпроводниках", Изд-во ПИЯФ РАН (2007) 156 стр

Отпечатано в типографии ПИЯФ РАН

188300, Гатчина Ленинградской обл, Орлова роща Зак 263, тир 100, уч-изд л 2,3, 25 07 2007 г

Введение ^ б

1 Дискретные сверхпроводники и модель кучи песка

1.1 Одноконтактный СКВИД.

1.2 Абелева модель кучи песка.

1.3 Двумерный многоконтактный СКВИД.

1.4 Самоорганизация критического состояния в двумерном многоконтактном СКВИДе.

1.5 Итоги Главы 1.

2 Модель одномерного дискретного сверхпроводника с внутренней пространственной стохастичностью, помещенного во внешнее магнитное поле

2.1 Основные уравнения

2.2 Модель кучи песка с внутренней пространственной стохастичностью

2.3 Возникновение самоорганизации критического состояния в одномерном многоконтактном СКВИДе как следствие случайного расположения контактов

2.4 Итоги Главы 2.

3 Критическое состояние одномерного многоконтактного

СКВИДа, помещенного во внешнее магнитное поле, при различных значениях основного параметра системы

3.1 Структура критического состояния одномерного многоконтактного СКВИДа при различных значениях параметра V.

3.2 Структура лавин в критическом состоянии в одномерном дискретном сверхпроводнике.

3.3 Статистика размеров лавин в критическом состоянии в одномерном дискретном сверхпроводнике и самоорганизованная критичность.

3.4 Итоги Главы

4 Лавинообразная динамика магнитного потока в двумерном дискретном сверхпроводнике с внутренней пространственной стохастичностью

4.1 Основные уравнения.

4.2 Статистика размеров лавин магнитного потока в критическом состоянии.

4.3 Статистика різменений внешнего магнитного поля

4.4 Независимость размера лавины от изменения внешнего поля, ее вызвавшего.

4.5 Итоги Главы 4.

5 Природа самоорганизации критического состояния в дискретных сверхпроводниках

5.1 "Возвратные" лавины, "ловушки" и "скользящие" конфигурации в модели кучи песка с внутренней пространственной стохастичностью.

5.2 Итог Главы 5.

6 Самоорганизация критического состояния в потенциальных и непотенциальных системах

6.1 Новый класс моделей кучи песка.

6.2 Потенциальные системы

6.3 Непотенциальные системы.

6.4 Итоги Главы 6.

7 Самоорганизация критического состояния в физических системах, описываемых дифференциальными уравнениями

7.1 Самоорганизация критического состояния в асимметричной системе.

7.2 Самоорганизация критического состояния в "двухмасштаб-ной" системе.

7.3 Итоги Главы 7.

8 Самоорганизация и 1//-шум

8.1 Модель и результаты компьютерного моделирования

8.2 Итоги Главы 8.

Около трех десятилетий назад Чарльзом Бином была предложена модель критического состояния жесткого сверхпроводника второго рода [1], сверхпроводящей системы с искусственными или естественными дефектами (центрами пиннинга), способными останавливать движение магнитных вихрей, вызванное силой магнитного давления, возникающей в результате внешнего воздействия на систему. Вихрь представляет собой такое распределение магнитного поля, при котором оно максимально в центре вихря и убывает по мере удаления от него. С каждым из таких вихрей связан квант потока магнитного поля Фо- Согласно модели Ч. Бина, в результате уравновешивания сил магнитного давления и пиннинга, действующих на вихрь, в образце возникает критическое состояние, в котором плотность вихрей максимальна у краев образца и линейно спадает к его центру.

Вскоре после построения данной модели, Поль Де Жен [2] заметил сходство картины поведения магнитного поля в сверхпроводнике с динамикой кучи песка. Тогда же он высказал утверждение, что, как при превышении наклоном кучи критического значения песок начинает соскальзывать вниз, образуя лавины, так и в жестких сверхпроводниках второго рода в надкритическом состоянии, когда сила магнитного давления, стремящаяся сорвать вихри с центров пиннинга, превысит силу пиннинга, должны возникать связки, состоящие из десятков и сотен вихрей, движущихся с поверхности сверхпроводника к центру образца. Однако эксперименты по обнаружению лавин в сверхпроводниках и изучению распределения их размеров появились лишь в последние годы благодаря развитию новых экспериментальных методик. В ряде экспериментов по изучению критического состояния жестких сверхпроводников второго рода, а также дискретных сверхпроводников (многоконтактных СКВИДов), действительно, была обнаружена лавинообразная динамика магнитного потока [3]—[5].

Первые работы по экспериментальному изучению лавин магнитного потока были сделаны С. Филдом [3] с соавторами. В этих экспериментах полый цилиндр из сплава NbTi помещался во внешнее магнр1тное поле, приложенное вдоль его оси, на внутренней поверхности цилиндра была помещена измерительная катушка. Внешнее магнитное поле изменялось со скоростью 5 э/с внутри некоторого интервала величин. Напряжение, возникающее при этом в катушке, регистрировалось компьютером. Эксперимент проводился для трех различных интервалов изменения внешнего поля. Во всех случаях наблюдались лавины магнитного потока, размеры которых демонстрировали степенное распределение (рисунок 1). Размер лавины определялся как s rî /Ф, где I — это размер участка трубки, на котором было зарегистрировано "вытекание" вихрей (лавина), а Ф — величина "вытекшего" потока, которая определялась из зарегистрированного напряжения: U = n(dQ/dt), где п — IN/L — число витков, в которых регистрировалось напряжение, N — полное число витков в обмотке, L — длина обмотки. Тогда s = (L/N)fUdt. к»

JÔ о. s 0 01 тсо mua îooso s = Number of Vortices in Avafonche

Рисунок 1: Функция распределения размеров лавин, полученная в работе [3]. Лавины демонстрируют степенное распределение, что может свидетельствовать о реализации в системе самоорганизованного критического состояния. На врезке изображена схема экспериментальной установки

Непосредственное измерение размера лавины с учетом каждого вовлеченного в нее вихря было сделано в экспериментах с применением датчиков Холла [6]—[9]. Лавинообразный процесс проявлялся в этом случае как ступенька в холловском сигнале. Изменение числа вихрей в области под холловским датчиком и определяло размер лавины с точностью до одиночного вихря. Наиболее представительными являются данные, полученные таким методом Е. Альтшулером с соавторами, которые также провели точный количественный анализ размеров лавин, возникающих в ниобиевой фольге [9], помещенной в медленно увеличивающееся внешнее магнитное поле. В этих экспериментах были зарегистрированы лавины очень малых размеров и показано, что размеры лавин демонстрируют степенное распределение (рисунок 2).

Кроме опр1санных экспериментов, исследования лавинообразной ди

Та

1 Nî^.

МЫ! Tube

-".a 5

П 2.25 kG N? о

О 5.33 kG Ni

• 7.55 kG N

20000

Applied field (Oe)

Рисунок 2: Изменение числа вихрей в области под датчиком Холла при увеличении внешнего магнитного поля (рисунок из работы [9]). На нижней врезке показан увеличенный фрагмент кривой, а на верхней — функция распределения размеров лавин, измеряемых как число вихрей, вовлеченных в каждую лавину. Четко видна лавинообразная динамика магнитного потока в системе, размеры лавин распределены степенным образом намики магнитного потока в сверхпроводниках были проведены также с помощью магнитооптических методов. Так, с использованием этой техники в работах С. Аегертера с соавторами было изучено поведение магнитного потока в тонких пленках УВаСиО [4]. Эксперименты были поставлены в условиях, когда внешнее поле менялось скачкообразно, каждый раз на величину 0.5 э, после каждого изменения поле оставалось постоянным в течение 10 секунд, за которые образец приходил в равновесное состояние. В результате была получена четкая картина лавинообразного изменения потока в образце. После каждого изменения поля магнитный поток менялся скачкообразно, величины возникающих скачков были различны (рисунок 3).

Лавины магнитного потока также наблюдались в искусственно созданных решетках джозефсоновских контактов [5]. На рис. 4 представлена петля гистерезиса для полного магнитного момента в решетке при медленном изменении внешнего магнитного поля. Как мы видим, изменения магнитного момента имеют различную величину, достигающую иногда сотен квантов потока. На рисунке приведены несколько наложенных друг на друга петель гистерезиса, полученных в одних и тех же условиях. Несовпадение значений полного магнитного момента для различных петель при одном и том же значении внешнего магнитного поля означает, что скачки магнитного момента случайны во времени.

Несколько раньше, чем начали проводиться интенсивные исследования лавин в сверхпроводниках, в 1987 году, возникла и начала разви

Рисунок 3: Изменение магнитного потока внутри образца УВаСиО как функция времени, представленное в работе [4]. Данные взяты из девяти серий экспериментов, данные от разных серий разделены стрелками. Четко видны случайные по времени изменения магнитного потока, различные по величине

Н (тОе)

Рисунок 4: Петли гистерезиса для полного магнитного момента в двумерной решетке джо-зефсоновских контактов, рассмотренной в [5] ваться концепция самоорганизации критического состояния, которая, по замыслу ее авторов, должна была объяснить общие особенности в поведении гигантских диссипативных динамических систем, состоящих из большого числа взаимодействующих друг с другом элементов [10]. Примерами таких систем могут служить и земная кора, и рынки акций, и гигантские популяции. Неотъемлемой частью их динамики являются цепные реакции любых масштабов: от малых, незначительных событий до катастроф, охватывающих всю систему (сходы снежных лавин, финансовые кризисы, землетрясения и т. п.).

Согласно концепции самоорганизованной критичности (СОК), гигант/ ские динамические системы, накапливая малые возмущения, естественным образом эволюционируют к критическому состоянию, которое в дальнейшем является самоподдерживающимся, то.есть не требует для своего существования точной подстройки внешних параметров. По своей структуре это критическое состояние является набором большого числа метастабильных критических состояний, по которым блуждает система. Очередное малое внешнее воздействие выводит систему из одного метастабильного критического состояния и порождает в ней динамический процесс ("лавину"), по окончании которого система оказывается в другом метастабильном критическом состоянии. Лавины могут быть как малыми, так и гигантскими, охватывающими всю систему, но и те и другие порождаются одинаково малыми возмущениями. Именно такой тип поведения и был назван самоорганизованной критичностью. Находящаяся в самоорганизованном критическом состояниии система теряет характерные масштабы как длины, так и времени, и ее корреляционные функции имеют степенные асимптотики. В частности, математическим критерием наличия в системе СОК является степенное распределение размеров лавин.

Наиболее простой моделью для наблюдения СОК является обычная песчаная куча. При насыпании кучи, она сначала растет до тех пор пока ее наклон не достигнет некоторого критического значения, а затем при очередном добавлении песчинки, песок начинает соскальзывать со склонов, возникает "лавина". После остановки "лавины" оказывается, что часть песка осыпалась с кучи, а остальной перераспределился так, что наклон кучи остается критическим, хотя она и находится уже в другом метастабильном состоянии. По аналогичному сценарию развиваются и многие другие природные и социальные процессы, например, землятресения. В случае, когда напряжение в земной коре, постепенно незначительно увеличиваясь, превысит некий порог, появляется излом. В результате происходит переход в новое метастабильное состояние, и процесс повторяется. Тому же закону подчиняются и экономические, и многие биологические системы.

В работе [11] была предложена математическая модель для такого типа поведения — модель кучи песка, а затем была предложена ее модификация, названная Абелевой моделью кучи песка [12], которая активно исследовалась теоретически (см., например, [12]—[15]) и методом машинного моделирования (см., например, [16]—[22]). Помимо этой модели был предложен и изучен целый ряд математических моделей, которые демонстрируют СОК. Это не только модели типа кучи песка ([23]—[25]), но и модель лесных пожаров ([26, 27]), игра "Жизнь" ([28, 29]), модели землетрясений ([30] — [33]), модель "рисовой кучи" ([34]), модель развития популяций ([35]), Eulerian Walker model ([36]), ряд одномерных моделей ([37]-[40]) и другие (см., например, [41]—[43])-Кроме того, были проведены эксперименты по изучению самоорганизованного критического состояния на реальной куче песка [44]. Наиболее подробно и популярно процесс развития этой интереснейшей концепции и ее применений описан в книге "отца" теории, Пера Бака [45]. Однако необходимо отметить, что, несмотря на бурное теоретическое развитие данной концепции, ее практическое применение для объяснения конкретных физических явлений до сих пор весьма ограничено ([46]—[49]).

Как видно даже на уровне такого краткого описания, имеется сходство явлений, возникающих в критическом состоянии жестких сверхпроводников второго рода и в системах с самоорганизацией, вплоть до того, что и то и другое сравнивается с динамикой кучи песка. Физически, в обоих случаях мы имеем дело с самоподдерживающимся критическим состоянием, возникающим в результате малых внешних воздействий, без точной подстройки параметров. Кроме того, неотъемлемой частью динамики систем и в случае сверхпроводников, и в случае самоорганизации являются лавины. Поэтому возникает естественный вопрос, не является ли наблюдаемая экспериментально лавинообразная динамика магнитного потока в жестких сверхпроводниках второго рода и дискретных сверхпроводниках результатом реализации в них явления самоорганизованной критичности.

Здесь необходимо отметить одну трудность, которая возникала практически во всех экспериментах по обнаружению лавинообразной динамики в жестких сверхпроводниках второго рода. Дело в том, что во многих экспериментах в образцах возникали термомагнитные неустойчивости, которые приводили к гигантским скачкам магнитного потока, скрывающим другие динамические явления в системах,.в частности, малые лавины, вызванные изменением внешнего магнитного поля (динамически управляемые лавины). Динамически управляемые лавины включают относительно небольшое количество отдельных вихрей и не разрушают критическое состояние в образце, в то время как гигантские скачки магнитного потока, которые возникали в результате термоактивации при слишком быстром изменении внешнего магнитного поля (термически управляемые лавины), вызывают разрушение критического состояния. Исходя из этого, на объяснение лавинообразной динамики магнитного потока в сверхпроводниках с помощью концепции СОК можно рассчитывать только, если считать, что лавина возникает за счет изменения внешнего магнитного поля. Поскольку концепция СОК не учитывает влияния температурных факторов на поведение системы, то она неприменима для объяснения природы гигантских лавин, возникающих за счет термомагнитных неустойчиво-стей, которые подробно изучались экспериментально, например, в [50]. В настоящей работе мы будем рассматривать только лавины, возникающие за счет изменения внешнего магнитного поля.

Привлечение концепции самоорганизованной критичности к объяснению лавинообразной динамики потока в жестких сверхпроводниках второго рода привело к созданию математической модели движения вихрей в такой системе [51, 52]. Однако, как указывают сами авторы данной модели, она является феноменологической, представляя движение вихря в жестком сверхпроводнике как результат суммарного воздействия на него сил магнитного давления, которые увеличиваются по мере того, как все больше вихрей проникало в образец, и сил пиннинга, учитывая, таким образом, лишь основные особенности вихревой динамики, не рассматривая всех деталей явления в целом.

Таким образом, проблема создания модели, адекватно описывающей лавинообразную динамику магнитного потока в жестких сверхпроводниках второго рода и учитывающей все особенности этого явления, до настоящего времени так и не имела полноценного решения. Это связано со сложностью точного математического описания процессов, происходящих в жестких сверхпроводниках второго рода.

В то же время, с момента открытия высокотемпературной сверхпроводимости активно изучаются магнитные свойства таких систем, как гранулированные сверхпроводники. Эти дискретные системы представляют собой так называемую джозефсоновскую среду [53] - отдельные сверхпроводящие гранулы, соединенные джозефсоновскими переходами. Будучи помещенной в магнитное поле, величина которого меньше первого критического поля гранул, такая дискретная система

-1ЯЗей

Рисунок 5: Фрагмент дискретного сверхпроводника в модели, используемой в работах [55, 56] ведет себя как жесткий сверхпроводник второго рода [54]. В этом случае дискретный сверхпроводник хорошо воспроизводит все магнитные свойства жестких сверхпроводников второго рода.

В работах [55, 56] это утверждение было проверено теоретически и методом компьютерного моделирования для таких моделей дискретных сверхпроводников, как решетки джозефсоновских контактов (многоконтактные СКВИДы) (рис. 5).

В работах [55, 56] было обнаружено, что малые внешние поля не проникают в образец, при увеличении лее поля оно начинает проникать в систему в виде вихрей. Вихрь в данной системе представляет собой такое распределение поля внутри образца, при котором магнитное поле максимально в центре вихря, то есть в области размером а, равном постоянной решетки, и далее убывает на расстоянии Л/ от центра (Л/ = а/л/У, У ~ ]саъ/Фо, ]с — плотность критического тока контактов, Фо — квант потока магнитного поля). С каждым из таких вихрей связан квант потока магнитного поля Фд. Было также показано, что после сбрасывания внешнего магнитного поля, часть внутреннего поля в образце остается, то есть в системе имеется пиннинг.

Кроме того, в работах Чена и Вольфа было теоретически показано, что магнитные свойства дискретных сверхпроводников сильно зависят от основного параметра системы V [55, 56]. Согласно приведенному выше определению, этот параметр можно трактовать как соотношение размера вихря, проникающего в сверхпроводник, и характерного размера решетки а. В случае, когда V <С 1, система может рассматриваться как сверхпроводник без пиннинга. Если же условие V <С 1 не со/ у' блюдено, то гранулированный сверхпроводник, благодаря дискретности своей структуры,, обладает свойством внутреннего пиннига. Если V < 1, то вихри пиннингуются группами ячеек, и профиль магнитного потока в образце представляет собой набор вихрей, распределенных по ячейкам. В случае же V 1, мы имеем систему с сильным пиннин-гом, каждая ячейка системы может удерживать большое число квантов магнитного потока, и критическое состояние в ней может быть описано моделью Бина (смотри рис. 6).

Это наводит на мысль, что основные магнитные свойства дискретных сверхпроводников в критическом состоянии аналогичны свойствам жестких сверхпроводников второго рода, где роль длины когерентности £ играет параметр решетки а, а глубина проникновения равна А/. Однако, если в жестких сверхпроводниках второго рода необходимо искусственно создавать дефекты для закрепления вихревых нитей, то в

Рисунок 6: Профили магнитного потока в дискретном сверхпроводнике при V < 1 из работы [56] (вверху) и V > 1 из работы[55] (внизу) дискретных сверхпроводниках "зацепление" вихрей происходит благодаря дискретности системы, то есть они обладают собственным или внутренним (intrinsic) пиннингом.

Более того, динамические свойства дискретного сверхпроводника описываются системой дифференциальных уравнений для калибровочно-инвариантной разности фаз на контактах системы [55]. Данные уравнения выводятся непосредственно из уравнений Максвелла и соотношений Джозефсона, поэтому математическая модель дискретного сверхпроводника (многоконтактного СКВИДа) учитывает все особенности критического поведения физической системы. Это и является основным преимуществом модели, которой мы будем пользоваться в данной работе для описания магнитных свойств дискретного сверхпроводника, по сравнению, например, с феноменологической моделью сверхпроводника второго рода [51]. Кроме того, описывающие модель уравнения достаточно просты для анализа.

Таким образом, своей основной задачей мы считаем теоретическое и численное изучение критического состояния в модели дискретного сверхпроводника (многоконтактного СКВИДа), помещенного во внешнее магнитное поле. Главная цель данного исследования — теоретически показать, что динамика магнитного потока в критическом состоянии дискретного сверхпроводника носит лавинообразный характер, и это объясняется реализацией в системе явления самоорганизованной критичности. Это означает, что критическое состояние представляет собой набор метастабильных состояний, переходящих друг в друга посредством лавин. Лавины характеризуется изменениями магнитного потока в системе, и эти изменения демонстрируют степенное распределение.

Основываясь на предположении об универсальности критического поведения для жестких сверхпроводников второго рода и дискретных сверхпроводников, мы надеемся, что результаты, полученные нами для дискретной системы, могут быть также применены для объяснения и описания критической лавинообразной динамики вихрей, которая наблюдалась в экспериментах, не только в искуственно созданных решетках джозефсоновских контактов [5] и гранулированных сверхпроводниках [4], но и в случае жестких сверхпроводников второго рода [3]:

Изучение вихревой динамики в дискретных сверхпроводниках в последние годы становится очень актуальным в связи с проблемой создания и, в дальнейшем, полномасштабного промышленного производства сверхпроводящих материалов, способных нести ток большой величины (сильноточные материалы). Однако, как известно, движение магнитного потока, проникающего в сверхпроводник в виде вихрей, уменьшает его токонесущую способность. Поэтому подробное изучение вихревой динамики в дискретных сверхпроводниках представляется интересным не только с теоретической точки зрения, но также важно с точки зрения создания и практического применения новых сверхпроводящих материалов.

Так, создаваемые в настоящее время сверхпроводящие провода второго поколения из иттриевой керамики (УВСО), являющейся дискретным сверхпроводником, при охлаждении жидким азотом могут нести ток примерно в 150 раз больший, чем медные провода тех же размеров. В перспективе, новые провода могут использоваться для передачи электроэнергии, питания электромоторов, в регуляторах мощности и ограничителях тока короткого замыкания, а также в силовых кабелях поездов на магнитной подвеске. Промышленные интересы России требуют энергичного развития и использования сверхпроводниковых технологий как в электроэнергетике, так и в других отраслях. Это связано с тем, что уже в ближайшие годы предстоит увеличить выработку электроэнергии в связи с ростом промышленного производства. При этом в ближайшие годы необходимо произвести замену значительной доли (более 70 %) практически выработавшего свой ресурс электроэнергетического оборудования. Предстоит обновить или реконструировать действующие станции и сети, построить новые. Колоссальный объем предстоящих работ требует, чтобы была максимально снижена, в частности, стоимость транспортировки электроэнергии по сравнению с традиционными линиями электропередач. Решать этот сложный комплекс проблем можно только на базе новых технологий, которые обеспечат повышение эффективности оборудования, приемлемую его стоимость, соблюдение режима энерго и ресурсосбережения при минимальной нагрузке на окружающую среду. К их числу, прежде всего, относятся сверхпроводниковые технологии нового поколения, превосходящие по всем параметрам традиционные [57].

Структура настоящей работы следующая.

В первой главе подробно анализируются особенности поведения дискретных сверхпроводников в критическом состоянии, которые делают эти системы кандидатами на обнаружение в них явления самоорганизации критического состояния.

В разделе 1.1 мы рассматриваем простейший пример дискретного сверхпроводника — одноконтактный СКВИД. Мы показываем, что параметр V является определяющим для магнитных свойств одноконтактного СКВИДа. Одноконтактный СКВИД при V >> 1 представляет собой пороговый элемент, обладающий большим числом метастабильных состояний. Кроме того, при F > 1 в системе реализуется явле ние квантования магнитного потока внутри кольца СКВИДа, что позволяет свести дифференциальные уравнения, описывающие СКВИД к алгоритму для безразмерного тока. Полученный алгоритм подобен тем, в которых формулируется одна из математических моделей СОК — Абелева модель кучи песка. Это и есть первая причина, по которой можно предположить, что в системе, состоящей из большого числа подобных элементов, можно ожидать возникновения СОК.

В разделе 1.2 дается подробное описание Абелевой модели кучи песка.

В разделе 1.3 мы рассматриваем одну из возможных реализаций дискретного сверхпроводника — двумерный многоконтактный СКВИД. Мы показываем, что свойства такой системы зависят от величины СКВИД-параметра V. При V 1 СКВИД обладает большим числом метастабильных состояний, что позволяет рассматривать его, как систему, в которой возможна реализация самоорганизованного критического состояния. Это выражается в том, что при таком условии, уравнения, описывающие многоконтактный СКВИД, могут быть сведены к системам отображений, полностью аналогичным алгоритмам, описывающим классическую модель системы с самоорганизацией — абелеву модель кучи песка. Возмущение системы в этом случае производится путем инжекции в нее тока, а роль высоты кучи играет безразмерный ток в контакте.

В разделе 1.4 изучается критическое состояние двумерного многоконтактного СКВИДа. Мы показываем, что при том режиме, в котором обычно изучаются системы с самоорганизацией, критическое состояние рассматриваемого двумерного многоконтактного СКВИДа является самоорганизованным. Оно представляет собой набор мета-стабршьных состояний, переходящих друг в друга посредством лавин, возникающих после локального внешнего возмущения системы. Лавины обнаруживают себя, как всплески напряжения на контактах. Прямым аналогом размера лавины, как он определен для случая кучи песка, является усредненный интеграл от возникшего в системе напряжения за время лавины. Эта величина демонстрирует степенное распределение.

Параллельно с исходной системой, описываемой дифференциальными уравнениями, изучается упрощенная модель, описываемая системой отображений. Показано, что поведение основной характеристики системы (размера лавины) для обоих способов описания системы одинаково. Следовательно, введенные упрощения не изменяют основных физических свойств системы.

В конце главы обозначаются основные проблемы, для решения которых необходима корректировка модели дискретного сверхпроводника, которая заключается в том, что, во-первых, модель необходимо скорректировать с учетом всех особенностей строения реальных дискретных сверхпроводников, а, во-вторых, возникает задача перехода к другому определению размера лавины и изучения статистики этой величины.

Во второй главе мы представляем модель дискретного сверхпроводника, учитывающую особенности строения реальных сверхпровод/ ников, а именно внутреннюю пространственную стохастичность таких систем, то есть некоторый разброс межконтактных расстояний. Мы рассматриваем наиболее простой случай — одномерный дискретный сверхпроводник (многоконтактный СКВИД) (рисунок 11). На этом примере мы показываем, каким образом введение внутренней пространственной стохастичности изменяет уравнения, описывающие динамику системы. Также мы рассматриваем упрощенную модель пространственно разупорядоченной системы, которая является новой моделью типа "кучи песка" для изучения самоорганизации критического состояния. Мы показываем, что внутренняя пространственная стохастичность играет решающую роль в возникновении самоорганизованного критического состояния в системе даже в тех условиях, в которых ранее самоорганизации не наблюдалось.

В разделе 2.1 подробно анализируется система дифференциальных уравнений для калибровочно-инвариантных фаз на контактах описывающая такой одномерный многоконтактный СКВИД, помещенный во внешнее магнитное поле Нех1 •

В разделе 2.2, используя физические особенности поведения дискретных сверхпроводников при V 1, мы строим упрощенную модель одномерного многококонтактного СКВИДа, которая является одномерной моделью кучи песка с внутренней пространственной стохастичностью.

В разделе 2.3 мы изучаем критическое состояние одномерного многоконтактного СКВИДа, помещенного во внешнее магнитное поле, пользуясь для описания системы как системой дифференциальных уравнений, так и построенной нами моделью кучи песка. Мы показываем, что даже незначительного разброса межконтактных расстояний достаточно, чтобы критическое состояние одномерного многоконтактного СКВИДа стало самоорганизованным в условиях, которые близки к экспериментальным, но в которых ранее самоорганизации не наблюдалось.

В третьей главе критическое состояние одномерного многоконтактного СКВИДа, помещенного во внешнее магнитное поле, рассматривается при различных значениях основного параметра системы V.

В разделе 3.1 подробно обсуждается влияние внутренней пространственной стохастичности на структуру критического состояния системы. Показано, что при введении внутренней пространственной стохастичности у системы появляется большое количество возможных ме-тастабильных критических состояний, переход между которыми осуществляется посредством лавинообразных процессов, сопровождаемых изменением полного магнитного потока в системе.

Рассматривается структура критического состояния не только при большом значении параметра V 1, но также и при переходном V ~ 1 и малом V < 1 его значениях. Показано, что при этом меняется профиль магнитного поля внутри системы, но лавинообразная динамика потока сохраняется. Проводится сравнение полученных результатов с экспериментально наблюдаемой картиной.

В разделе 3.2 рассматривается структура лавин, возникающих в критическом состоянии разупорядоченной системы. Изучается процесс / прохождения лавины через систему при различных значениях параме^ тра V.

В разделе 3.3 изучается статистика изменений полного магнитного потока в системе. Далее приводятся функции распределения размеров лавин в критическом состоянии. Система рассматривается при различных значениях параметра V. Показано, что участок степенного поведения в функции распределения размеров лавин имеется для всех рассмотренных значений параметра V, что говорит о реализации в системе самоорганизованного критического состояния.

Четвертая глава посвящена изучению динамики магнитного потока в критическом состоянии двумерного дискретного сверхпроводника, помещенного во внешнее магнитное поле, которое изменяется "нестационарным" образом, то есть очередное изменение поля происходит лишь после того, как все динамические процессы, вызванные предшествующим изменением, остановились. Такой метод возмущения системы эквивалентен ступенчатому возрастанию внешнего магнитного поля, применяемому в экспериментах и описанному, например, в работе [4]. Дискретный сверхпроводник, рассмотренный в данной главе имеет структуру, отличную от той, что рассматривалась в первой главе. В настоящей главе мы рассматриваем двумерную систему, имеющую вид решетки из сверхпроводящих ребер, на которых расположены джозефсоновские контакты. Такой вид системы больше соответствует экспериментально изучаемым дискретным сверхпроводникам.

Раздел 4.1 посвящен анализу дифференциальных уравнений для ка-либровочно-инвариантных фаз на контактах описывающих изучаемую систему, помещенную во внешнее магнитное поле Hext.

В разделе 4.2 изучается статистика изменений полного магнитного потока в системе АФ. Показано, что в этом случае в системе реализуется самоорганизованное критическое состояние, то есть критическое состояние представляет собой набор метастабильных состояний, переходящих друг в друга посредством лавин. Лавина характеризуется вхождением в систему магнитного потока. Размеры возникающих лавин, то есть величины изменений магнитного потока за время лавины, демонстрируют степенное распределение. Проводится сравнение полученных результатов с результатами экспериментов.

В разделе 4.3 мы рассматриваем возможность существования такого минимального изменения внешнего магнитного поля при котором в дискретном сверхпроводнике не возникают лавины. Мы изучаем статистику изменений внешнего магнитного поля порождающих лавины. Мы показываем, что в рассмотренных нами пределах даже минимальное изменение внешнего магнитного поля порождает лавины.

В разделе 4.4 рассматривая совместную плотность вероятности размеров лавин и изменений внешнего магнитного поля, их порождающих, мы показываем, что размер лавины не зависит от величины изменения внешнего магнитного поля, вызвавшего эту лавину.

Пятая глава посвящена изучению причин возникновения самоогра-низованного критического состояния в моделях дискретных сверхпроводников с внутренней пространственной стохастичностью на примере одномерной модели.

В разделе 5.1 мы обсуждаем механизмы возникновения ячеек-"ловушек" и "возвратных" лавин в модели при различных способах возмущения системы. Ячейки-"ловушки" — это такие ячейки системы, высота в которых такова, что даже после осыпания соседних ячеек наклон в со-тветствующих узлах не превышает критический, это приводит к ограничению области распространения лавины, эффективно уменьшая ее размер. "Возвратные" лавины, т.е. динамические процессы, распространяющиеся по решетке как в прямом, так и в обратном направлении, наоборот, увеличивают число ячеек, вовлеченных в лавину.

Мы показываем, что наличие внутренней пространст'венной стоха-стичности приводит к точно таким же последствиям, что и наличие разницы в добавляемых и осыпающихся песчинках, а также случайное возмущение в одномерных моделях, исследованных в [39]. Это позволяет сделать вывод, что механизм возникновения самоорганизации в модели кучи песка с внутренней пространственной стохастичностью и в классической одномерной модели кучи песка одинаков.

В шестой главе представлен класс одномерных систем, в которых самоорганизованное критическое состояние возникает благодаря свойству внутренней пространственной стохастичности. Математически данные системы описываются моделями типа "кучи песка", построенными на основе уравнений, описывающих физическую систему — одномерный многоконтактный СКВИД со случайным расположением контактов.

В разделе 6.1 показано, что класс систем с внутренней пространственной стохастичностью делится на два основных подкласса: потенциальные и непотенциальные системы. Примером потенциальной системы служит изученный авторами ранее одномерный многоконтактный СКВИД.

Далее, в разделах 6.2 и 6.3 мы рассматриваем статистику размеров лавин в потенциальных и непотенциальных системах, для систем боль- -шого размера. Мы показываем, что самоорганизация в таких системах возникает при ничтожно малой степени стохастичности системы, а также, что критическое состояние в непотенциальных системах становится самоорганизованным при меньшей степени стохастичности системы.

Также показано, что в таких системах самоорганизация возникает даже в случае полностью детерминированного возмущения, чего не наблюдалось в ранее исследованных моделях кучи песка.

В седьмой главе мы рассматриваем наиболее общий вид системы дифференциальных уравнений, которые описывают систему с самоорганизацией критического состояния. Результаты, полученные в этой главе, открывают возможность обнаружения новых реальных физических систем, в которых возможна реализация самоорганизованного критического состояния.

В разделах 7.1 и 7.2 рассматривается два физически важных обобщения системы дифференциальных уравнений, описывающих многокон тактный СКВИД. Первое из них представляет собой обобщение данной системы на случай асимметричного потенциала и может быть использована для описания так называемых храповиков. Второе содержит двухмасштабную периодическую функцию и может описывать, к примеру, многослойные системы. Мы показали, что критическое состояние в этих системах действительно является самоорганизованным.

Восьмая глава посвящена рассмотрению вопроса о связи таких явлений как самоорганизованная критичность и 1//-шум на примере модели дискретного сверхпроводника, помещенного во внешнее магнитное поле. Показано, что в спектрах среднего тока систем различных размеров имеется широкая область 1 //-шума, ограниченная лишь размерами системы. Однако сосуществование 1 //-шума и самоорганизации критического состояния наблюдалось лишь в единственной системе в двумерном случае.

В Заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Исходя из первых принципов, в работе построена модель дискретного сверхпроводника с внутренней пространственной стохастич-ностью, которая достаточно проста для анализа, учитывает специфику строения реальных сверхпроводящих систем, а также адекватно описывает все особенности критического поведения дискретных сверхпроводников.

2. Обнаруженная экспериментально в дискретных сверхпроводниках (гранулированных сверхпроводниках, решетках джозефсоновских контактов), помещенных в медленно меняющееся внешнее магнитное поле, лавинообразная динамика магнитного потока в критическом состоянии объясняется реализацией в этих системах явления самоорганизованного критического состояния. Это означает, что критическое состояние таких систем представляет собой набор ме-тастабильных состояний, переходящих друг в друга посредством лавин. Лавина характеризуется вхождением в систему магнитного потока. Размеры возникающих лавин, то есть величины изменений магнитного потока за время лавины, демонстрируют степенное распределение.

3. Решающую роль в возникновении в дискретных сверхпроводниках, помещенных в возрастающее внешнее магнитное поле, самоорганизованного критического состояния играет внутренняя пространственная стохастичность (разупорядоченность) системы.

4. В дискретных сверхпроводниках в самоорганизованном критическом состоянии размер возникающей лавины и величина вызвавшего ее изменения внешнего магнитного поля являются статистически независимыми величинами. Это означает, что лавина любого размера может быть вызвана как малым, так и большим изменением внешнего магнитного поля.

5. Самоорганизованное критическое состояние в одномерном дискретном сверхпроводнике реализуется, как при больших значениях основного параметра V, так и при переходном и малом значении этого параметра, то есть лавинообразная динамика магнитного потока и степенное распределение лавин сохраняются и в этих случаях.

6. Путем упрощения и обобщения построенной модели дискретного сверхпроводника, построен новый класс математических моделей типа "кучи песка", демонстрирующих самоорганизованное поведение — модели с внутренней пространственной стохастичностью. Данный класс разделяется на два подкласса: потенциальные (примером является дискретный сверхпроводник) и непотенциальные системы. В обоих подклассах системы демонстрируют самоорганизованное поведение, но в случае непотенциальных систем для этого требуется гораздо меньшая степень стохастичности, чем в случае потенциальных.

7. Получены новые сведения о явлении самоорганизации критического состояния, а) Получен наиболее общий вид системы дифференциальных уравнений, с помощью которой можно -моделировать явление самоорганизованной критичности, б) Показано, что сосуществование в одной системе ткаих явлений, как 1//-шум и самоорганизация крайне неустойчиво к изменению внешних условий.

1. С.P. Bean, "Magnetization of High-Field Superconductors", Rev. Mod. Phys. 36 (1964) 31-39.

2. П. Де Жен, Сверхпроводимость металлов и сплавов, "Мир", Москва, 1968, 280 стр.

3. S. Field, J. Witt, F. Nori, X. Ling, "Superconducting Vortex AvalanchesPhys. Rev. Lett. 74 (1995) 1206-1209.

4. C.M. Aegerter, M.S. Welling, R.J. Wijngaarden, "Self-organized crot-icality in Bean State in УВа2Сиз07х thin films",Europhys. Lett. 65 (2004) 753-759.

5. C.M. Ишикаев, Э.В. Матизен, B.B. Рязанов, В.А. Обознов, А.В. Веретенников, "Магнитные свойства двумерных джозефсоновских сеток. Самоорганизованная критичность в динамике магнитного потока", Письма в ЖЭТФ 72 (2000) 39-43.

6. G.T. Seidler, C.S. Carillo, T.F. Rosenbaum, U. Welp, G.W. Grabtree, V.M. Vinokur, "Vanishing magnitization relaxation in the high field quantum limit in УВагСизОу-^",Phys. Rev. Lett. 70 (1993) 2814-2817.

7. E.R. Nowak, O.W. Taylor, L. Liu, H.M. Jaeger, T.J. Selinder, "Magnetic flux instabilities in superconducting niobium rings: Tuning the avalanche behaviour", Phys. Rev. В 55 (1997)11702-11705.

8. K. Behnia, C. Capan, D. Mailly, B. Etienne, "Internal avalanches in a pile of superconducting vortices", Phys. Rev. B 61 (2000) R3815-R3818.

9. E. Altshuler, T.H. Johansen, Y. Paltiel, P. Jin, O. Ramos, K.E. Bassler, G. Reiter, E. Zeldov, C.W. Chu, uVortex avalanches with robust statistics observed in superconducting niobium ", Phys. Rev. B 70 (2004) 140505.

10. P. Bak, C. Tang, K. Wiesenfeld, "Self-organized criticality: An Explanation ofl/f Noise", Phys. Rev. Lett. 59 (1987) 381-384.

11. P. Bak, C. Tang, and K. Wiesenfeld, "Self-organized criticality", Phys. Rev. A 38 (1988) 364-374.

12. D. Dhar, "Self-organized critical state of Sandpile Automaton Models", Phys. Rev. Lett. 64 (1990) 1613-1616.

13. D. Dhar and S.N. Majumdar, "Abelian sandpile model on the Bethe lattice", J. Phys. A 23 (1990) 4333-4350.

14. D. Dhar, S.N. Majumdar, "Height correlations in the Abelian Sandpile model", J. Phys. A 24 (1990) L357-L362.

15. V.B. Priezzhev, "Structure of 2D sandpile. Height Probabilities", J. Stat. Phys 74 (1994) 955-979.

16. S.S. Manna and J. Kertesz, "Correlations and scaling in the outflow statistics of a sandpile automaton", Physica A 173 (1991) 49-59.

17. S.S. Manna, "Large-Scale Simulation of Avalanche Cluster Distribution in Sand Pile Model", J. Stat. Phys. 59 (1990) 509-521.

18. S.S. Manna, "Critical exponents of the sand pile models in two dimensionsPhysica A 179 (1991) 249-268.

19. H.J. Jensen, K. Christensen, H.C. Fogedby, "1/f noise, distribution of lifetime and a pile of sand", Phys. Rev. B 40 (1989) 7425-7427.

20. K. Christensen, H.C. Fogedby, H.J. Jensen, uDynamical and Spatial Aspects of sandpile Cellular Automata", J. Stat. Phys. 63 (1991) 653684.

21. J.K. Kertesz and L.B. Kiss, "The noise spectrum in the model of self-organized criticality", J. Phys. A 23 (1990) L433-L438.

22. P. Grassberger and S.S. Manna, "Some more sandpile", J. de Physique 51 (1990) 1077-1085.

23. C. Tang and P. Bak, "Critical exponents and Scaling Relation for Self-organized critical phenomena", Phys. Rev. Lett. 60 (1988) 2347-2350.

24. C. Tang and P. Bak, "Mean Field Theory of Self-Organized Critical Phenomena", J. Stat. Phys. 51 (1988) 797-802.

25. P. Bak, "Self-organized criticality in non-conservative models", Physica A 191 (1992) 41-44.

26. B. Drossel and F. Schwabl, "Self-organized critical forest fire model", Phys. Rev. Lett 69 (1992) 1629-1632.

27. B. Drossel, S. Clar, F. Schwabl, "Exact results for one-dimensional critical forest fire model", Phys. Rev. Lett. 71 (1993) 3739-3742.

28. P. Bak, T. Chen, D. Creutz, "Self-organized criticality in the "Game of Life", Nature 342 (1989) 780-781.

29. P. Alstrom, J. Leao, uS elf-organized criticality in the "Game of Life", Phys. Rev. E 49 (1994) R2507-R2508.

30. Z. Olami, H.J.S. Feder, and K. Christensen, "Self-organized criticality in a continuous Nonconservative Cellular Automaton Modelling Earthquakes", Phys. Rev. Lett. 68 (1992) 1244-1247.

31. K. Christensen, Z. Olami, and P. Bak, "Deterministic 1/f Noise in Nonconservative Models of S elf-organized Criticality", Phys. Rev. Lett. 68 (1992) 2417-2420.

32. J.M. Carlson and J.S. Langer, "Properties of Earthquakes Generated by Fault Dynamics", Phys. Rev. Lett. 62 (1989) 2632-6635.

33. H. Feder and J. Feder, "Self-organized criticality in a stick-slip processPhys. Rev. Lett. 66 (1991) 2669-2672; 67 (1991) 283(E).

34. V. Frette, K. Christensen, A. Malthe-S0renssen, J. Feder, T. J0ssang, P. Meakin, "Avalanche dynamics in a pile of rice", Nature 379 (1996) 49-51.

35. P. Bak and K. Sneppen, "Punctuated Equilibrium and Criticality in Simple Model of Evolution", Phys. Rev. Lett 71 (1993) 4083-4086.

36. V.B. Priezzhev, D. Dhar, A. Dhar, S. Krishnamurty, "Eulerian Walker as a model of SOC", Phys. Rev. Lett. 77 (1996) 5079-5082.

37. Y.-C. Zhang, "Scaling theory of self-organized criticality", Phys. Rev. Lett. 63 (1989) 470-473.

38. L. Kadanoff, S.R. Nagel, L. Wu, S.-m. Zhou, "Scaling and universality in avalanches", Phys. Rev. A 39 (1989) 6524-6537.

39. S.T.R. Pinho, C.P.C. Prado, S.R. Salinas, "Complex behavior in one-dimensional sandpile models", Phys. Rev. E 55 (1997) 2159-2165.

40. A.B. Chhabra, M.J. Feigenbaum, L.P. Kadanoff, A.J. Kolan, I. Procac-cia, "Sandpiles, avalanches, and the statistical mechanics of nonequi-librium stationary states", Phys. Rev. E 47 (1993) 3099-3121.

41. V. Frette, "Sandpile models with dynamically varying Critical Slope", Phys. Rev. Lett. 70 (1993) 2762-2765.

42. J. Suzuki and K. Kaneko, "Imitation games", Physica D 75 (1994) 328-342.

43. A. Papa and C. Tsallis, "Imitation games: Power-law sensitivity to initial conditions and nonextensivity", Phys. Rev. E 57 (1998) 39233927.

44. G.A. Held, D.H. Solina, D.T. Keane, W.G. Hang, P.M. Horn, G. Grin-stein, "Experimental study of critical-mass fluctuations in an evolving sandpile", Phys. Rev. Lett. 65 (1990) 1120-1123.

45. P. Bale, "How nature works", Oxford University press, 1997, 212 pp.

46. K. Chen, P. Bak, S.P. Obukhov uSelf-organized criticality in crack-propagation model of earthquakes", Phys. Rev. A 43 (1990) 625-630.

47. H.-H. St0lum, "Fluctuations at self-organized critical state", Phys. Rev. E, 56 (1997) 6710-6718.

48. E.V. Albano, "Self-Organized Collective Displacement of Self-Driven Individuals", Phys. Rev. Lett. 77 (1996) 2129-2132.

49. N. Miranda and D. Hermann "Self-organized criticality with disoder and fluctuation", Physica A 175 (1991) 339-344.

50. D.V. Shantsev, A.V. Bobyl, Y.M. Galperin, T.H. Johansen, S.I. Lee, "Size of flux jumps on superconducting films", Phys. Rev. B 72 (2005) 024541.

51. K.E. Bassler and M. Paczuski, "Simple Model of Superconducting vortex avalanches" Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 3761-3764.

52. K.E. Bassler, M. Paczuski, E. Altshuler, "Simple model for plastic dynamics of a disordered flux-line lattice",Phys. Rev. B, 64 (2001) 224517.

53. J.R. Clem, "Granular and Superconducting Glass properties of the high-temperature superconductors", Physica C 153—155 (1988) 50-55.

54. S.L. Ginzburg, V.P. Khavronin, G.Yu. Logvinova, I.D. Lusyanin et al, "Low-field electrodynamics ofhigh-Tc superconductors theory and experiment", Physica С 174 (1991) 109-116.

55. D.-X. Chen, J.J. Moreno, A. Hernando, "Evolution from the vortex state to the critical state in a square-columnar Josephson-junction array", Phys. Rev. В 53 (1996) 6579-6584.

56. A. Manjhofer, T. Wolf, W. Dieterich, "Irreversible magnetization effect in a network of resistively shunted tunnel junctions", Phys. Rev. В 44 (1991) 9634-9638.

57. H.A. Черноплеков, "Сверхпроводниковые технологии:современное состояние и перспективы практического примененияВестник РАН 71 (4) (2001) 303-319.

58. С.Л. Гинзбург, "Самоорганизация критического состояния в гранулированных сверхпроводниках и решетках джозефсоновских контактов", ЖЭТФ 106 (1994) 607-626.

59. С.Л. Гинзбург, Н.Е. Савицкая, "Самоорганизация критического состояния в гранулированных сверхпроводниках", ЖЭТФ, 117, (2000), 227-241.

60. К.К. Лихарев, Введение в динамику джозефсоновских переходов, Наука, Москва, 1985, 320 стр.

61. О.И. Кулик, И.К. Янсон, Эффект Джозефсона в сверхпроводящих туннельных структурах, Наука, М.,1970, 272 стр.

62. S.L. Ginzburg, М.А. Pustovoit, N.E. Savitskaya, "Interavalanche correlations in self-organized critical state of multijunction SQUID", Phys. Rev. E 57 (1998) 1319-1326.

63. S.S. Manna, "Two-state model of self-organized criticality", J. Phys. A 24 (1992) L363.

64. S.L. Ginzburg and N.E. Savitskaya, "Self-organization of the critical state in granular superconductors Jornal of Low Temperature Physics 130, No. 3/4 (2003) 333-346.

65. C.JI. Гинзбург, H.E. Савицкая, "Самоорганизация критического состояния в многоконтактном СКВИДе при закрытых граничных условияхПисьма в ЖЭТФ 69 (1999) 119-121.

66. S.L. Ginzburg, A.V. Nakin, N.E. Savitskaya, "The magnetic flux dynamics in the critical state of one-dimensional discrete superconductor», Physica С 436/1 (2006) 7-13.

67. С.JI. Гинзбург, А.В. Накин, Н.Е. Савицкая, "Лавинообразная динамика магнитного потока в двумерном дискретном сверхпроводнике", ЖЭТФ 130 (2006) 862-872.

68. С.Л. Гинзбург, Н.Е. Савицкая, аВозникновение самоорганизации критического состояния в одномерном многоконтактном СКВИДе как следствие случайного расположения контактов", Письма в ЖЭТФ 73 (2001) 163-166.

69. S.L. Ginzburg and N.E. Savitskaya, "Granular Superconductors and Sandpile Model with Intrinsic Spatial Randomness",Phys. Rev. E 66 (2002) 026128.

70. С.Л.Гинзбург, Н.Е.Савицкая, "Лавины магнитного потока и самоорганизованная критичность в дискретных сверхпроводниках", Изд-во ПИЯФ РАН (2007) 156 стр.

71. A. Afsar and D. Dhar, "Breakdown of simple scaling in Abelian sand-pile model in one dimension", Phys. Rev. E 51 (1995) R2705-R2708.

72. S.L. Ginzburg and N.E. Savitskaya "Self-organization of the critical state in the physical systems described by differential equations", Acta Physica Slovaca, 52 (6) (2002) 597-601.

73. C.JI. Гинзбург, H.E. Савицкая, "Самоорганизация критического состояния в цепочке СКВИДов Письма в ЖЭТФ 68 (1998) 688694.

74. C.JI. Гинзбург, Н.Е. Савицкая, "Самоорганизация и l/f-шум в гранулированных сверхпроводникахПисьма в ЖЭТФ73 (2001) 243-247.

75. S. Maslov, С. Tang, Y.-C. Zhang, Phys. Rev. Lett, "1/f noise in Bah-Tang-Wiesenfeld Models on narrow stripes", 83 (1999) 2449-2452.

76. P. De Los Rios and Y.-C. Zhang, "Universal 1/f Noise fron dissipative Self-Organized Criricality Model", Phys. Rev. Lett.82 (1999) 472-475.

77. Дж. Бендат, А. Пирсол, Прикладной анализ случайных данных, "Мир", Москва, 1989, 540 стр.

78. Т. Vicsek, "Complexity: The bigger picture", Nature 418 (2002) 131.

79. S. Strogatz, "Exploring complex networksNature 410 (2001) 268-276.