Структура критического состояния и магнитные характеристики сверхпроводящих пленок с краевым барьером тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.13 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. СТРУКТУРА КРИТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ТОНКОЙ СВЕРХПРОВОДЯЩЕЙ ПЛЕНКИ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ.

1.1 Введение.

1.2 условия проникновения вихрей в пленку. энергетический карьер на вход и на выход вихрей. параметр доминирующей необратимости.

1.3 Основное уравнение задачи.15 •

1.4 Режим первоначального ввода поля в сверхпроводник.

1.5 Режим снижения поля.

1.6 Выводы.

1.7 Рисунки к Главе 1.

ГЛАВА 2. ОСОБЕННОСТИ КРИТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КВАЗИДВУМЕРНЫХ СВЕРХПРО-ВОДНИКОВ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ.

2.1 Введение.

2.2 Режимы критического состояния сверхпроводника с краевым барьером.

2.3 Кривая намагниченности.

2.4 Гмс ерезисная кривая.

2.5 Пот-ри.

2.6 Экп i ери ментальное изучение.

2.7 Выводы.

2.8 Рисунки к Главе 2.

ГЛАВА 3. СТРУКТУРА СТАТИЧЕСКОГО СМЕШАННОГО СОСТОЯНИЯ В ТОНКИХ СВЕРХПРОВОДЯЩИХ ПЛЕНКАХ, НЕСУЩИХ ТРАНСПОРТНЫЙ ТОК.

3.1 Введение.

3.2 Квазиравновесные структуры потока и распределения плотности тока в пленке, несущей транспортный ток. Режим ввода тока.

3.3 Критический ток пленки в отсутствие внешнего магнитного поля.

3.4 Квазиравновесные распределения вихрей и токов в режиме снижения транспортного тока.

3.5 Гистерезисная кривая и мощность гистерезисных потерь.

3.6 Выводы.

3.7 Рисунки к Главе 3.

ГЛАВА 4. СМЕШАННОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛЕНКИ, НЕСУЩЕЙ ТРАНСПОРТНЫЙ ТОК, ВО ВНЕШНЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ. КРИТИЧЕСКИЙ ТОК В ТОНКИХ СВЕРХПРОВОДЯЩИХ ПЛЕНКАХ.

4.1 Введение.

4.2 Переход из смешанного статического в смешанное динамическое состояние.

4.3 Переход в резистивное состояние непосредственно из мейсснеровского состояния.

4.4 Обобщенная диаграмма состояний тонкой сверхпроводящей пленки с краевым барьером.

4.5 Выводы.

4.6 Рисунки к Главе 4.

АКЛЮЧЕНИЕ.

1РИЛОЖЕНИЕ 1.

1РИЛОЖЕНИЕ 2.

1РИЛОЖЕНИЕ 3.

1РИЛОЖЕНИЕ 4.

1УБЛИКАЦИИ.

В последние годы ведется интенсивное исследование высокотемпературных сверхпроводящих (ВТСП) материалов, в частности сверхпроводников II рода пониженной размерности (пленок, кристаллов с большим размагничивающим фактором и т.д.). Использование подобных образцов в современном эксперименте, а также в качестве токонесущих ВТСП - элементов, диктует настоятельную необходимость создания теории, способной количественно описать магнитные и транспортные свойства этих систем. Значительное число опубликованных работ посвящено изучению свойств критического состояния в этом классе ВТСП-систем. Традиционно наиболее популярной теоретической моделью для описания критического состояния в сверхпроводниках является модель Бина [1], базирующаяся в своем первоначальном варианте на нескольких существенных предположениях, а именно [2, 3, 4, 5, 6]: а) независимость плотности критического тока Jc сверхпроводника от локальной магнитной индукции В; б) отсутствие краевых эффектов (размагничивающего фактора, поверхностного барьера и т.д.); в) равенство В = пренебрегающее обратимой намагниченностью образца; г) пренебрежение конечной величиной нижнего критического поля: Hci = 0. При этих условиях на масштабах, сравнимых с размерами образца, связь между индукцией и плотностью тока носит локальный характер и описывается относительно простыми дифференциальными уравнениями. В результате получается простая физическая картина: проникшее вглубь сверхпроводника магнитное поле спадает с постоянным градиентом, пропорциональным критическому току; во внутренней области образца, где вихри отсутствую!, плотность тока равна нулю; глубина проникновения потока линейно зависи т от величины приложенного внешнего поля.

Дальнейшие исследования критического состояния шли во многом по пути снятия ограничений, накладываемых стандартной моделью Бина. Так целый ряд работ (см. [2, 5]) был посвящен изучению свойств критсостояния, реализующегося при различных видах зависимости JC(B). Наиболее известной такой работой, по видимости, является модель Кима-Андерсона [7,8], учитывающая термоактивационный крип потока, в ней используется зависимость JC(B) = Jc(0)/( Н-|В|/Во), полученная экспериментально в работе [9]. Много работ посвящено также динамике установления критического состояния при различных предположениях относительно зависимости

ЦВ) (см, например, аналитические решения в [10, 11], см. также [5]). Одновременно исследовались и магнитные характеристики данных систем, к примеру, мощности потерь в переменном магнитном поле для разных зависимостей .ЦВ) рассчитаны в [12]. В этой же работе исследованы эффекты, связанные с ненулевой величиной поля Нсь

Еще одним обстоятельством, не учитываемым традиционной моделью Бина, является нелокальность связи между магнитной индукцией и плотностью вихрей внутри сверхпроводника. В объемных сверхпроводниках эффекты нелокальности проявляются на масштабах порядка лондоновской глубины проникновения X, т.к. именно на этом масштабе экпоненциально спадает поле одиночного абрикосовского вихря [13]. Влияние эффектов нелокальности на структуру критического состояния исследовано группой под руководством Л.М.Фишера в серии работ [14, 15, 16, 17].

Более подробно остановимся на влиянии краевых эффектов на структуру критического состояния. Для объемных сверхпроводников в продольной геометрии основным таким эффектом является наличие краевого энергетического барьера на вход/выход вихрей. Первой работой, посвященной рассмотрению барьера на вход вихря в сверхпроводник, стала работа Бина и Ливингстона [18], в которой показано, что в объемных сверхпроводниках с идеальной поверхностью барьер возникает вследствие притяжения входящего вихря к поверхности образца, и что это притяжение может быть рассчитано как взаимодействие вихря и «антивихря»-изображения. Поле входа первого вихря оказывается равным термодинамическому критическому полю Нс.

Ф. Ф. Терновский и Л. Н. Шехата [19], используя дискретный подход, рассчитали, как вихревая решетка, установившаяся в образце, искажается вблизи границы сверхпроводника вследствие взаимодействия вихрей с границей. Авторы рассчитали также интервал изменения внешнего поля, в котором поток, захваченный в образце, остается неизменным, другими словами, определили условия подавления барьера на вход/выход вихрей. Дж. Клем [20], используя более простой континуальный подход, получил замкнутые выражения для энергии Гиббса пробного вихря и с их помощью проанализировал условия подавления барьера; его результаты во многом совпали с результатами работы [19] (см. также [21]).

Точное знание формы потенциального барьера необходимо для расчета скорости термоактивационного проникновения магнитного потока в сверхпроводник. Как установлено, в объемных сверхпроводниках вихри проникают через барьер посредством образования вихревых зародышей в форме полупетель на границе образца

В. П. Галайко [22], Б. В. Петухов, В. Р. Чечеткин [23], А. Е. Кошелев [24]). Для большинства низкотемпературных сверхпроводников скорость проникновения вихрей пренебрежимо мала, но для высокотемпературных сверхпроводников этот процесс приводит к существенному снижению величины поля проникновения по сравнению с Нс.

Значительное число работ посвящено изучению влияния краевого барьера на проникновение магнитного потока в гранулярные среды (см., например, [25, 26, 27]).

Влияние краевого барьера на магнитные характеристики объемных сверхпроводников было исследовано экспериментально Улмайером в серии работ (см., например, [28]), и теоретически в работах [12], [29].

Низкоразмерными сверхпроводниками (СП пониженной размерности) мы будем называть сверхпроводники, толщина d которых значительно меньше остальных размеров образца. Как было показано Пирлом [30] силовая линия магнитного поля, проникшая в низкоразмерный СП с d « X (такие СП мы будем называть тонкими пленками), экранируется сверхпроводящим током значительно слабее, чем в объемных СГ1, в силу превалирования поверхностных эффектов, что приводит к медленному степенному спаданию магнитного поля по мере удаления от кора пирл-абрикосовского вихря. Кроме того низкоразмерные сверхпроводники, находящиеся в перпендикулярном к их поверхности магнитное поле (перпендикулярная геометрия), характеризуются высоким размагничивающим фактором, вследствие которого мейсснеровский ток, текущий через низкоразмерный СП, не спадает экспоненциально быстро в прикраевых областях, а с конечной плотностью распределен по всему сечению образца [31]. Эти два обстоятельства приводят к тому, что в низкоразмерных СП связь между магнитной индукцией и плотностью тока оказывается интегральной, что значительно усложняет математическую сторону проблемы.

Модель критического состояния применительно к низкоразмерным сверхпроводникам в перпендикулярной геометрии развивалась рядом авторов на протяжении последних десяти лет. Для тонких полосок и длинных пленок прямоугольного сечения критическое состояние описано Э. Г. Брандтом с соавторами в работах [32,33] и практически одновременно с ними Е. Зельдовым и др. в работе [34]. В этих работах предполагалось, что критический ток не зависит от магнитного поля: Jc = const, Hei = 0, В7 = |J.oHz ™ краевой барьер отсутствует. Как было показано авторами, магнитное поле проникает в образец с непостоянным градиентом, причем индукция поля стремится к бесконечности на краях образца; в прикраевых областях, занятых вошедшими вихрями, плотность тока равна плотности тока депиннинга, в то время как в центральной области, свободной от проникшего потока, течет экранирующий ток, т.е. сохраняется остаточное мейсснеровское состояние.

Диссипативные характеристики иизкоразмерных сверхпроводников без краевого барьера были исследованы в работах [35, 36].

Для тонкого диска аналитический расчет структуры критического состояния был выполнен П. Н. Михеенко и Ю. Е. Кузовлевым [37]. Их результаты были уточнены в работе [38]. Магнитные характеристики тонкого сверхпроводящего диска подробно исследованы Э. Г. Брандтом в работе [39].

Условия вхождения магнитного потока в низкоразмерный сверхпроводник изучались Клемом с соавторами в серии работ [40, 41, 42].

Для случая тонких пленок существенный вклад в теорию краевого барьера внес К. К. Лихарев [43], рассчитавший с использованием метода изображений, энергию Гиббса пробного вихря. М. Ю. Куприянов и К. К. Лихарев [44] исследовали структуру смешанного состояния, устанавливающегося в тонкой пленке с краевым барьером при заданной величине внешнего магнитного поля/трапспортного тока (1с = 0). Оказалось, что распределения вихрей и токов коренным образом отличаются от случая объемных сверхпроводников. Вихревая область теперь расположена в центральной части образца и отделена от краев экранирующими сверхпроводящими токами. Зарождаясь (при достижении внешним полем величины поля вхождения) в глубине сверхпроводника, область концентрации захваченного потока расширяется с ростом поля к краям образца. Структуру и характеристики смешанного состояния тонких пленок с краевым барьером (.1с = 0) на полном цикле изменения внешнего магнитного поля рассчитали М. Бенкраода и Дж. Клем в работе [42], а также И. Л. Максимов и Г. М. Максимова в работе [45].

Отметим, что авторы работы [42] рассматривали при этом барьер другой природы - геометрический, концепция которого была сформулирована в работе [46]. По их мнению, именно такой барьер должен доминировать в сверхпроводниках с толщиной порядка глубины проникновения (см. также [47]). На данный момент отсутствует строгая аналитическая модель геометрического барьера, однако, его качественная природа понятна: если сверхпроводник имеет форму прямоугольной полоски (возможно со скругленными краями), то входящему вихрю необходимо увеличивать свою длину по мере продвижения внутрь образца, т.е. увеличивать свою энергию.

Кроме двух названных выше возможны и другие типы поверхностных энергетических барьеров, например: барьер, созданный искусственным повышением интенсивности объемного пиниинга в узком приповерхностном слое образца [48], барьер, возникающий вследствие нелокальной связи между магнитной индукцией и плотностью вихрей [15]. Подробная классификация разных типов поверхностного барьера дана в обзоре Э. Г. Брандта [5].

В печати не раз высказывались сомнения по поводу применимости метода изображений в случае низкоразмерных сверхпроводников (см. например [49]). Авторами работы [50] показано, однако, что электромагнитные характеристики тонких пленок очень незначительно зависят от конкретного вида выражений, описывающих барьер. Концепция барьера развивается, как правило, в рамках лондоновского приближения, наряду с этим можно анализировать условия входа вихрей и с использованием уравнений Гинзбурга-Ландау, исследуя развитие неустойчивости параметра порядка на краю образца относительно бесконечно малых возмущений. Такой подход использовали Л. Г. Асламазов и С. В. Лемпицкий [51], изучая условия установления резистивного состояния в тонкой пленке. В недавней публикации [52] в результате анализа условий вхождения вихря в пленку на основе теории Гинзбурга-Ландау показано, что универсальным условием входа вихря в сверхпроводник, помещенный в поле, является равенство приграничной плотности тока плотности тока вхождения. Этот факт дает возможность отвлечься от конкретной природы барьера и учитывать энергетический барьер на вход вихрей чисто феноменологическим путем: считать плотность тока на краю, с которого заходят вихри, равной некоторой заданной плотности тока вхождения.

Таким образом, существует настоятельная необходимость построения теории критического состояния низкоразмерных сверхпроводников, учитывающей влияние краевого энергетического барьера. Первым вкладом в решение этой задачи стала работа [46], авторы которой изучили структуру критического состояния длинной сверхпроводящей полоски при наличии как краевого барьера, так и объемного пиннига вихрей. Аналогичное исследование независимо и практически одновременно было проведено в работе [53]. Динамику установления критического состояния этого типа численно исследовали М. Бенкраода и Д. Клем в работе [42]. И. Л. Максимов [54] рассчитал структуру токового состояния тонкой пленки с барьером в пределе слабого объемного ииннинга вихрей.

Экспериментальному исследованию поведения захваченного потока в низкоразмерных сверхпроводниках с краевым барьером и объемным пиннингом вихрей посвящены работы [46, 48, 55, 56, 57, 58]. Эти работы подробно обсуждены в разделе 2.6 "Экспериментальное изучение". Значительное число работ посвящено изучению токового состояния в низкоразмерных сверхпроводниках с краевым барьером (см., например, [59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66]).

Цель работы

Целыо работы явилось построение обобщенной модели критического состояния сверхпроводящих пленок, учитывающей как поверхностный (краевой), так и объемный механизмы необратимости, а также расчет на основе этой модели основных электромагнитных характеристик изучаемого класса сверхпроводников.

Научная новизна

1. В работе предложен новый метод расчета магнитных характеристик низкоразмерных сверхпроводников, основанный на технике повторного обращения интегралов типа Коши.

2. Впервые исследованы вихревые структуры, возникающие в критическом состоянии тонких сверхпроводящих пленок при произвольном соотношении между интенсивностями краевого и объемного пиннинга вихрей.

3. В работе впервые изучены электромагнитные и диссипативные характеристики тонких сверхпроводящих пленок в присутствие как краевого барьера, так и объемного пиннинга вихрей. В частности, построены кривые намагниченности и гистерезисные кривые, а также оценена мощность гистерезисных потерь на полном цикле изменения внешнего магнитного поля (транспортного тока).

4. Впервые классифицированы режимы резистивного перехода тонких сверхпроводящих пленок, рассчитана зависимость критического тока от внешнего магнитного поля при произвольном соотношении между вкладами поверхностного и объемного механизмов необратимости.

Научная и практическая значимость работы

1. В работе дано теоретическое описание основных механизмов необратимости (краевого барьера и объемного пиннинга) и построена обобщенная модель критического состояния в низкоразмерных сверхпроводниках второго рода.

2. Развитая модель и разработанные математические методы могут служить методической основой для расчета прикладных электромагнитных характеристик сверхпроводников пониженной размерности, используемых в реальных экспериментах, а также в качестве элементной базы при создании устройств на основе ВТСП-технологий.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались на 9-м Международном семинаре по магнитным и резистивным свойствам сверхпроводников МЯ88-95 (Черноголовка, 1995 г.), на Международных конференциях по физике низких температур (ЬТ-21, Прага, 1996 г.; ЬТ-22, Хельсинки, 1999 г.), на 10-м Германо-Российско-Украинском Совещании по сверхпроводимости (Н.Новгород, 1997 г.), на 1-ой Российской школе по сверхпроводимости (Черноголовка, 1998 г.).

Публикации

Основные результаты работы изложены в 6 публикациях, список которых приведен в конце диссертации. Работа выполнялась при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант №93-2-16876), Международного Научного Фонда (грант № 1Ш300), Миннауки РФ (Проекты № 95-057 и № 98-012), Госкомвуза РФ (грант №95-0-7.3-178), Международного Центра - Фонда Перспективных Исследований П. Новгорода (гранты №97-2-10 и № 99-2-03).

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, четырех приложений и списка используемой литературы. Объем диссертации составляет 100 страниц, включая 26 рисунков. Список литературы содержит 70 наименований.

В заключение заметим, что к настоящему времени опубликовано достаточно большое количество экспериментальных работ, посвященных изучению токового состояния в низкоразмерных сверхпроводниках (см. [60] - [66]). Так, например, авторы работ [60, 61, 62] наблюдали неравномерное распределение плотности транспортного тока по сечению тонкой прямоугольной пластины. Авторы работы [66] магнитооптическими методами исследовали токовое состояние низкоразмерного сверхпроводника без краевого барьера. Однако, насколько известно автору, в настоящий момент отсутствуют работы, устанавливающие вид распределений захваченного потока в низкоразмерных сверхпроводниках с краевым барьером, поэтому выводы данной главы во многом носят предсказательный характер.

1. P. Bean, Magnetization of hard superconductivity, Phys. Rev. Lett., 8, 250 (1962)

2. А. Кемпбелл, Дж. Иветс, Критические токи в сверхпроводниках, М., Мир, 1975

3. Р. Г. Минц, А. Л. Рахманов, Неустойчивости в сверхпроводниках, М. Наука, 1984

4. А. В. Гуревич, Р. Г. Минц, А. Л. Рахманов, Физика композитных сверхпроводников,М.,Наука, 19875 11. Brandt, The flux-line lattice in superconductors, Per. Prog. Phys. 58, 1465-1594 (1995)

5. G. Blatter, M. V. Feigelman, V. B. Geshkenbein, A. I. Larkin, V. M. Vinokur, Vortices inhigh-temperature superconductors, Rev. Mod. Phys., 66, 4, 1125-1388 (1994)

6. P. W. Anderson, Theory of flux creep in hard superconductors, 19, 7, 309, 1962

7. P. W. Anderson, Y.B. Kim, Hard Superconductivity: theory of the motion of Abrikosov fluxlines, Rev. Mod. Phys, 40, Jun., 39-43 (1964)

8. Y. B. Kim, C. F. Hempstead, and A. R. Strand, Critical persistent currents in hardsuperconductors, Phys. Rev. Lett., 19, 7, 306-309, (1962)

9. V. M. Vinokur, M. V. Feigelman, V. B. Geshkenbein, Exact solution for flux creep with logarithmic dependence: self-organized critical state in high-Tc superconductors, Phys. Rev. Lett., 67, 7,???, 1991

10. С. H. Дороговцев, Точные решения в задаче о нелинейной нелокальной диффузии магнитного потока в пленках сверхпроводников II рода. Письма в ЖЭТФ, 61, 6, 477481 (1995)

11. W.I. Dunn, P. Hlawiczka, Brit. Journ. Appl. Phys., 1, 1469 (1968)

12. Г1. Де Жен, Сверхпроводимость металлов и сплавов, М: Мир, 1968

13. И. Ф. Волошин, В. С. Горбачев, С. Е. Савельев, Л. М. Фишер, В. А. Ямпольский, Нелокальные эффекты и поверхностный импеданс пластины жесткого сверхпроводника, Письма в ЖЭТФ, 59, 1, 55-59, (1994)

14. L. М. Fisher, I. F. Voloshin, V. S. Gorbachev, S. E. Savel'ev, V. A. Yampol'skii, Nonlocal critical state model for hard superconductors, Physica C, 245, 231-237 (1995)

15. В. С. Горбачев, С. E. Савельев, Нелокальные эффекты в модели критического состояния, ЖЭТФ, 107, 1247-1268 (1995)

16. В. С. Горбачев, С. Е. Савельев, Поверхностные эффекты в нелокальной модели критического состояния, ЖЭТФ, 109, 1387-1404 (1996)

17. С. P. Bean and J. D. Livingston, Surface barrier in type-II superconductors, Phys. Rev. Lett. 12, 14-16(1964)

18. Ф. Ф. Терновский, JI. H. Шехата, Структура смешанного состояния вблизи границы полубесконечного сверхпроводника II рода, ЖЭТФ, 35, 1202 (1972)

19. J. Clem, A model for flux pinning in superconductors, Low Temp. Phys. LT13, vol.3, eds. K. D. Timmerkaus, W. J. O'Sullivan, and E. F. Hammel, (Plenum, New-York, 1994, p. 102)

20. A. E. Koshelev, Surface barrier in the mixed state of type-II superconductors near equilibrium, Physica C, 223, 276-282 (1994)

21. В. П. Галайко, Образование вихревых зародышей в сверхпроводниках II рода, ЖЭТФ, 50,1322-1326(1996)

22. Б. В. Петухов, В. Р. Чечеткин, Скорость проникновения магнитного потока в сверхпроводники II рода, ЖЭТФ, 65, 4, 1653 (1978)

23. А. Е. Koshelev, Thermally activated penetration of magnetic flux through a surface barrier in high-Tc superconductors, Physica C, 191, 219-223 (1992)

24. К. I. Kugel, A. L. Rakhmanov, Critical current relaxation in ceramic superconductors. Effect of the surface barrier, Physica C, 251, 307-314, (1995)

25. К. С. Пигальский, Л. Г. Мамсурова, Динамическая магнитная проницаемость тонкой пластинки ВТСП, ФТТ, 39, 116 1943-1947 (1997)

26. К. I. Kugel, L. G. Mamsurova, К. S. Pigalskiy, A. L. Rakhmanov, Surfase barrier and magnetic hysteresis of ac permeability in YBaCuO single crystal, Physica С 300 270-280 (1998)

27. H. A. Ullmaier, AC measurements on hard superconductors, Phys. Stat. Sol., 17, 631-6431966)J. R. Clem, Theory of ac losses in type-II superconductors with a field-dependent surfase barrier, J. Appl. Phys. 50, 5, 3518-3530 (1978)

28. J. Pearl, Current distribution in superconducting films carrying quantized fluxoids, Appl. Phys. Lett., 5, 65-66(1964)А. И .Ларкин, IO. H. Овчинников, Влияние неоднородностей на свойства сверхпроводников, ЖЭТФ 61, 1221 (1971)

29. Е. II. Brandt, M.V. Indenbom and A. Forkl, Type-II superconducting strip in perpendicular magnetic field, Europhys. Lett. 22, 735 (1993)

30. E. H. Brandt and M.V.Indenbom, Phys. Rev. В , 48, 12893 (1993).

31. E. Zeldov, J. Clem, M. McElfresh and M. Darwin, Phys. Rev. В 49, 9802 (1994)

32. W. T. Norris, Calculation of hysteresis losses in hard superconductors carrying ac: isolated conductors and edges of thin sheets, J. Phys. D, 3, 489-507 (1970)

33. J. R. Clem and A.Sanchez, Phys. Rev. B, 50, 9355 (1994)

34. P. N. Mikheenko and Yu. E. Kuzovlev, Physica С (Amsterdam) 204, 229 (1993)

35. J. Zhu, J.Mester, J.Lockhart and J. Turneaure, Physica С 212, 216 (1993)

36. E. II. Brandt, Susceptibility of superconductor disks and rings with and without flux creep, Phys. Rev. В 55, 21, 14514-14526 (1997)

37. R. P. Huebener, R. T. Kampwirth, J. R. Clem, Meissner shielding currents and magnetic flux penetration in thin-film superconductors, Journ. Low Temp. Phys., 6, 275-285, (1972)

38. Т. Schuster, M. V. Indenbom, H. Kuhn, E. H. Brandt, M. Konczykowski, Phys. Rev. Lett., 73, 1424(1994)

39. V. G. Kogan, Pearl's vortex near the film edge, Phys. Rev. В 49 15847 (1994)

40. A. V. Kuznetsov, D. V. Eremenko, V. N. Trofimov, Onset of flux penetration into a thin superconducting film strip, Phys. Rev. В 59, 1507 (1999)

41. Jl. Г. Асламазов, С. В. Лемпицкий, Резистивное состояние в широких сверхпроводящих пленках, ЖЭТФ 84, 2216-2227 (1983)

42. D. Yu. Vodolazov, I. L. Maksimov, E. H. Brandt, Modulation instability of the order parameter in thin-film superconductors with edge barrier, Europhys. Lett. 48, 313-319 (1999)

43. И. Л. Максимов, А. А. Елистратов, Краевой барьер и структура критического состояния в тонких сверхпроводящих пленках, Письма в ЖЭТФ, т. 61, с. 204-208 (1995).

44. I. L. Maksimov, Edge pinning and critical state structure in thin-film superconductors, Europhys. Letters, v. 13, 453 (1995)

45. T. Shuster, H. Kuhn, E. H. Brandt, M. Indenbom, M.R.Koblishka, M. Konczykowski, Flux motion in thin superconductors with inhormogeneous pinning, Phys. Rev. В 50, 22, 16684 (1994)

46. В. Khaykovich, E. Zeldov, M. Konczykowski, D. Majer, A. I. Larkin, J. Clem, Vortex dynamics in a ring-like irradiated Bi^S^CaC^Og crystal, Physica C, 235-240, 2757 (1994)

47. R. I. Khasanov, Y. I. Talanov, W. Assmus, G. B. Teitel'baum, Phys. Rev. В 54, 13339 (1996)

48. D. Zeeh, S. L. Lee, H. Keller, G. Blatter, P. H. Kes, T. W. Lee, Phase diagram of Bi2 i 5Sri .85CaCu208+5 iii the presense of columnar defects, Phys. Rev. В 54, 9, 6129 (1996)

49. L. Burlachkov, A. E. Koshelev, V. M. Vinokur, Transport properties of high-temperature superconductors: Surface vs bulk effect, Phys. Rev. В 54, 9 6750 (1996)

50. D. T. Fuchs, R. A. Doyle, E. Zeldov, S. F. W. R. Rycroft, T. Tamegai, S.Ooi, M. L. Rappaport, Y. Myasoedov, Transport properties of l^S^CaCi^Og crystals with and without surface barriers, Phys. Rev. Lett. 80, 4971(1998)

51. D. T. Fuchs et al, Nature 391, 373 (1998)

52. Y. Paltiel, D. T. Fuchs, E. Zeldov, Y. N. Myasoedov, H. Shtrikman, M.L. Rappoport, E. Y. Andrei, Surface barrier dominated transport in NbSe2, cond-mat/9808218 (1999)

53. Y. Iijima, M. Hosaka, N. Sadakata, T. Saiton, O. Kohno, Self-field ac losses in biaxially aligned Y-Ba-Cu-0 tape conductors, Appl. Phys. Lett 71 (18), 2695-2697 (1997)

54. L. Burlachkov, V. Ginodman, I. Shlimak, Effect of surface and bulk pinning on the distribution of transport current in a superconducting film, Phys. Rev. В 59, 13, 8917-8922 (1999)

55. Ю.М.Иванченко, В.Ф.Хирный, П.Н.Михеенко, ЖЭТФ, 84, 2216, (1983)

56. Н.И.Мусхелишвнлн, Сингулярные интегральные уравнения, М., Физматгиз, 1963

57. Ф.Д.Гахов, Краевые задачи, М., Физматгиз, 1958

58. Н. М. Плакида, Высокотемпературные сверхпроводники, М., Международная программа образования, 1996.