Структурные и динамические свойства абелевой модели самоорганизованной критичности тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РГБ ОД

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

5-95-155

На правах рукописи УДК 531.19

ИВАШКЕВИЧ Евгений Васильевич

СТРУКТУРНЫЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АБЕЛЕВОЙ МОДЕЛИ САМООРГАНИЗОВАННОЙ КРИТИЧНОСТИ

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Дубна 1995

Работа выполнена и Лабор.иории n-opoiической физики им. 11.11. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник B.C. Приезж

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук.

ведущий научный сотрудник СЛ. Гипзбу

доктор физико-математических илун,

профессор И.И. Оселсд

Ведущая организация: Вычислительный центр РАН

часов

Защита диссертации''состоится ^ ^ мал 191)5 г. н */^) на заседании специализированного совета К047.01.01 при Лаборатории теоретичеси физики Объединенного института ядерных исследований но адресу: Московская о< г. Дубна.

С диссертацией можно озпакоми п.сн в библиотеке Объединенного института нд< ^пых исследований.

Автореферат разослан^^ апреля 1995 г

Ученый секретарь

специализированного совета К047.01.01 доктор физико-математических наук

А.Е. Дорохов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В 1987 г. П.Бак, Ч.Танг и К.Визенфельд редложили теорию самоорганизованной критичности для объяснения оведения больших динамических систем. Согласно этой теории, мно-ие динамические системы естественным образом эволюционируют к пределенному критическому состоянию, в котором они теряет харак-срные масштабы как длины, так и времени, т.е. их корреляционный адиус становится равным бесконечности, а корреляционные функции меют степенные асимптотики. Это критическое состояние не зави-ит от начального состояния системы, и, в отличие от обычных кри-ических явлений, не требуется никакой точной подгонки параметров, тобы достичь его. В этом состоянии малое событие вызывает цепную еакцию, которая может повлиять на любое число элементов системы, 'ак следует из теории критичности малые события обусловлены том е механизмом, что и крупные. Более того, сложные динамические си-семы никогда не достигают равновесия, а эволюционируют от одного етастабильного состояния к другому.

В последние семь лет эксперименты и модельные расчеты пока-ши, что многие динамические системы, стоящие в центре исследова-яй в геологии, экономике, биологии и метеорологии, обнаруживают эизнаки самоорганизованной критичности. Как полагают, это яв-зние также должно лежать в основе описания критических явлений, ¡язанных с диссипативным транспортом в открытых системах, таких, шример, как фликкер-шум в проводнике.

Начиная с пионерских работ П.Бака с соавторами, было предло-ено огромное количество различных компьютерных моделей для опи-1ния самоорганизованной критичности. Это прежде всего модели пе-:а (sandpile models), модели землетрясений, модели лесных пожаров, вдели критического состояния Бина в многоточечных СКВИДах и

гранулированных сверхпроводниках, знаменитая игра "Жизнь", пред ложенная Конвеем в 1970 г., и многие другие.

Абелева модель самоорганизованной критичности, хотя и являете; простейшей из возможных, но, по-видимому, схватывает все основньи стороны этого явления. Поэтому попытка аналитического рассмотре ния этой модели и сравнение с богатым численным и эксперименталь ным материалом представляется весьма актуальной.

Цель работы. Целью настоящей диссертации является развит» уже существующих и создание новых аналитических методов исследо вания абелевой модели самоорганизованной критичности.

Научная новизна и практическая ценность.

Разработанные в диссертации методы могут быть использованы дл, исследования широкого класса моделей самоорганизованной критично сти. Полученные в диссертации результаты позволяют понять основные свойства различных вариантов абелевой модели самоорганизованно] критичности и могут служить основой для дальнейших исследованш в этом направлении. Предложенные в диссертации понятия прямой ] обратной волн осыпания являются основой для более глубокого пони мания динамического поведения этих моделей.

На защиту выдвигаются следующие результаты.

- разработан новый метод вычисления граничных корреляционны: функций, основанный на представлении конфигураций модели чере покрывающие деревья на решетке;

- на основе предложенного метода вычислены вероятности высот н. границе и парные корреляционные функции как для задачи Неймана так и для задачи Дирихле;

- на основе предположения о применимости конформной теори] поля к непрерывному пределу этой модели показано, что объемны корреляторы должны подчиняться тому же степенному закону что ]

граничные;

- изучены поправки конечного размера для распределений единичных высох и показано их полное согласие с предсказаниями конформной теории поля, что оправдывает выводы, сделанные в предыдущем пункте;

- вычислены точно граничные индексы лавин как для двумерной абелевой модели самоорганизованной критичности, так и для её многомерных аналогов, причем вычисления эти основаны на том наблюдении, что динамика модели естественно представляется в виде последовательных шагов, названных в диссертации волнами осыпаний;

- получены оценки аналогичных объемных индексов, хорошо согласующиеся с результатами компьютерного моделирования методом Монте-Карло.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на: international Conference on Dynamical Systems and Chaos, Tokyo, May 1994; Xl-th International Congress of Mathematical Physics, Paris, Inly 1994; International Congress of Mathematicians, Zurich, august 1994; International seminar "Strongly Correlated Systems", Dubna, September 1994; 34-th Schladming Winter School on Theoretical Physics, Austria, March 1995; Семинаре кафедры "Теория вероят-юсти" МГУ, Москва; Семинаре отдела "Статистическая механика" Лаборатории теоретической физики ОИЯИ, Дубна.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в заботах [1-6].

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и заключения. Общий объем диссертанта 81 страницы машинописного текста, включая 12 рисунков и список штературы из 61 наименования.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, дается краткий обзор развития основных проблем, затронутых в диссертации, а также описаны структура диссертации и ее основные результаты.

В первой главе "Вероятности высот и корреляционные фун кции" дается определение абелевой модели самоорганизованной критичности и ставится основная проблема вычисления её корреляционных функций. Естественная формулировка модели самоорганизации дается в терминах целочисленной функции высот принимающей значения на квадратной решетке £. Физически г,- может быть истолкованг как высота столбика песка в точке г, а правило изменения этой пере менной как правило осыпания песка. Случайное добавление песка I систему вызывает её эволюцию во времени. Песчинки добавляются в случайно выбранные узлы решетки и добавление песчинки увели чивает высоту в этом узле на единицу. Если эта высота превышаем некоторое критическое значение Ац, то эта точка осыпается; в резуль тате её высота уменьшается на Ац, а высоты каждого из её ближайши: соседей у увеличиваются на —ДЗдесь Д это матрица дискретноп Лапласиана решетки С, со следующими элементами

Дч

4 , г - з -1 , = 1 (1 О , оШегтве .

где символ |г — ;)\ обозначает расстояние между точками г и j.

Для того, чтобы сформулировать правила осыпания на границе д1 решетки, мы ставим две стандартные граничные задачи для Лапласи ана на конечной решетке С.

1. Задача Дирихле. Открытые граничные условия, когда Ац — для г € дС, и, следовательно, песчинки могут покидать систем;

через границу.

2. Задача Неймана. Закрытые граничные условия, когда А и = 3 для / (Е дС. и песчинки не могут покидать систему через ОС.

Сели в со границы закрыты, то никакое устойчивое состояние системы, онечно же, невозможно. Следовательно мы предполагаем, что хотя бы дна граница решетки является открытой.

Состояния, в которых ни одна высота не превышает критическую, азываются устойчивыми состояниями. Их число, как нетрудно ви-;еть, равно 4Л", где N - размер решетки. В процессе своей стоха-тической эволюции эта модель проходит по множеству устойчивых онфигураций, но в конце концов замыкается в некотором его под-[ножестве (аттракторе), которое уже не может покинуть. Этот прочее называется самоорганизацией, а множество состояний аттрактора рекуррентными состояниями или состояниями самоорганизованной ритичности (СОК). Как было показано Д.Дхаром все эти состояния процессе дальнейшей эволюции модели возникают с равной вероят-остыо, а их число дается следующей простой формулой

Ян = Д (2)

«ак известно, число покрывающих деревьев на этой решетке, согла-но матричной теореме Кирхгофа, дается точно таким же выражением. >скоре С.Н.Мажумдар и Д.Дхар доказали взаимно однозначное соот-етствио между деревьями на графе и СОК состояниями этой модели, еорема Кирхгофа представляет собой эффективное средство для ис-ледования статических характеристик абелевой модели, более того эта еорема обнаруживает также близкое её родство с другими точно реша-мыми моделями статистической механики такими как модель Поттса. оде ль димеров и т.д.

о

Пространственная структура состояний самоорганизованной критичности полностью характеризуется корреляционными функциями: вероятностью "Ра, а € {1,2,3,4} обнаружить высоту г, — а в данной точке решетки г, двухточечной корреляционной функцией "Раь(г) для любых точек г, ^ € С с высотами а и Ь соответственно, расположенными на расстоянии г, и т.д.

Для единичной высоты объемные вероятности и парные корреляционные функции были вычислены С.Н.Мажумдаром и Д.Дхаром. Для того, чтобы вычислить все остальные вероятности высот, В.Б.Приезжег недавно разработал довольно сложную технику, основанную на перечислении 0-графов. Он обнаружил, что несмотря на локальный характер переменных (высот) в модели самоорганизации, их представленж посредством деревьев существенно нелокально, за исключением простейшего случая единичной высоты. К сожалению, метод перечисления в - графов чрезвычайно трудно (а может быть и невозможно) непосредственно обобщить для вычисления асимптотики парного коррелятора.

Известно, однако, что конформная теория поля обеспечивает тесную связь между граничными и объемными свойствами двумерных моделей. Поэтому, решив граничную задачу, мы можем надеяться получить соответствующую информацию и об объемных корреляциях г модели. Именно этому подходу к изучению корреляционных функции посвящена первая глава диссертации.

Основная идея метода вычисления граничных корреляторов сводится к следующему. Сначала, следуя идее В.Б.Приезжева, мы находим представление высот на границе через нелокальные древесные диаграммы. Затем, при помощи теоремы Кирхгофа мы вычисляем некоторые локальные диаграммы. Оказывается, что они могут быть разложены в суммы как раз тех нелокальных диаграмм, которые встречаются

в определении вероятностей высот. Получающаяся в результате система линейных уравнений оказывается полной и позволяет вычислить все нелокальные диаграммы и, тем самым, найти все корреляционные функции. При этом оказалось, что все граничные парные корреляторы имеют одну и ту же экспоненту ссц = 2. Следовательно, они должны описываться в скейлинговом пределе одним и тем же флуктуирующим полем, т.е. все высоты должны быть связаны с одним и тем же конформным полем в соответствующей конформной теории поля. Теперь ясно, что для того, чтобы описать поведение всех объемных корреляторов, достаточно детально изучить только один из них. Как уже упоминалось С.Н.Мажумдар и Д.Дхар выполнили эту работу для коррелятора единичных высот, и его асимптотика также оказалась г~4.

Отсюда мы можем заключить, что не только граничные, но и все объемные корреляторы имеют такую же асимптотику. Интересно заметить, что в О-компонентной модели Поттса, все конфигурации которой также находятся во взаимно однозначном соответствии с покрывающими деревьями, коррелятор энергия-энергия также имеет экспоненту г = 2 на основе этого можно предположить, что оператор энергии в Э-компонентной модели Поттса соответствует высоте в абелевой модели самоорганизации.

Во второй главе "Конечно-размерный анализ" мы фактически

троверяем сделанное в предыдущей главе предположение о применимости конформной теории поля к этой задаче. Для этого мы вычисляем конечно-размерные поправки к вероятности обнаружения единичной зысоты и к соответствующим корреляционным функциям на полосе лириной Ь для трех типов граничных условий: открытых, закрытых

I периодических. Значение граничного показателя ггц, согласно пред-жазаниям конформной теории поля, должно быть связано с амплитудой 4 обратной корреляционной длины = А/Ь, которая соответствует

экспоненциальному убыванию асимптотики парного коррелятора вдоль бесконечно длинной полосы ширины Ь. А именно, амплитуда и показатель должны быть связаны соотношением

, открытые гран, условия , периодические гран, условия

В этой главе нами получены следующие результаты: В случае бесконечно длинной полосы ширины Ь, убывание парного коррелятора 'Рц(г) вдоль центральной линии полосы происходит по закону

Г11(г]Ь) = -ТКЬ/+ , (4)

как в случае открытых, так и в случае закрытых граничных условий. Здесь конечно-размерная поправка к вероятности единичной высоты в середине полосы Т\{Ь/2) равна:

7М£/2) = 7>,(оо)(1±£1 + ...) . (5)

Верхний знак соответствует открытым, а нижний закрытым граничным условиям

Для периодических граничных условий найденный нами парный коррелятор имеет следующий вид:

■Рп(г; I) = + • • ■ , (6)

где

Эти результаты прекрасно согласуются с предсказаниями конформной теории поля. Действительно, как было получено в предыдущей главе граничный критический индекс равен хц = 2, а из (4) мы имеем А — 2тг, в согласии с соотношением (3). Для периодических граничных

условий уравнение (6) дает А — а объемный индекс для коррелятора единичных высот, вычисленный С.Н.Мажумдаром и Д.Дхаром равен х — 2, что опять же согласуется с соотношением (3).

В третей главе "Динамические критические индексы" мы изучаем динамику лавин в абелевой модели самоорганизации. Свойство абелевости модели допускает произвольный порядок осыпания неустойчивых точек в процессе схода лавины. Мы выбираем специальный, но наиболее естественный способ среди всех возможных. А именно, добавляя частицу в данную точку с максимальной высотой, мы осыпаем сё только один раз и не даем ей осыпаться второй раз пока все другие точки не станут устойчивыми. Оказывается, что все остальные точки решетки при атом не могут осыпаться более чем один раз. Осыпавшиеся точки мы назвали первой волной осыпаний. После этого мы осыпаем выбранную нами точку второй раз, снова предохраняя её от последующих осыпаний. Таким образом мы строим вторую, третью и.т.д. волны осыпаний. Когда исходная точка станет устойчивой, процесс остановится. Таким образом мы получаем представление динамики лавины в виде последовательности волн однократных осыпаний.

При этом нетрудно заметить, что процесс осыпания каждой волны в точности совпадает с процедурой построения покрывающего дерева по данной конфигурации, что естественно приводит к графическому представлению волн осыпаний как двукорневых деревьев на решетке1. Эти деревья состоят из двух не связанных между собой кластеров, причем первый включает в себя точки, осыпавшиеся в результате схода волны, а второй все остальные точки решетки.

С другой стороны, двукорневые деревья дают естественное представление решеточной гриновской функции С,г Мы доказали, что Си строго пропорционально числу двукорневых деревьев таких, что точки I и ] принадлежат одному кластеру. Таким образом, картина волн осы-

паний дает теоретико-графическое объяснение простого но глубокоп результата Д.Дхара что С,} равно ожидаемому числу осыпаний в точю ] при условии что лавина была инициирована добавлением частицы ] точке г.

Параллельное рассмотрение волн осыпаний, двукорневых дсревьс: и гриновской функции позволяет прояснить многие особенности про цесса осыпания. В частности, можно построить простую процедур; восстановления предыдущей волны из последующих и, вообще, исхо дной устойчивой конфигурации по конечной.

Используя известные асимптотики функции Грина легко найти ве роятностное распределение размеров волн, которое ведет себя как 1/. при больших я. Этот степенной закон, вообще говоря, не может быт; непосредственно связан с асимптотикой распределения лавин. Однак< при рассмотрении лавин, инициированных на границе решетки, ситуа ция меняется радикально. В этом случае лавина, как нетрудно понять состоит только из одной волны. Поэтому распределения волн и лавиз в этом случае совпадают. Мы рассматриваем наиболее общий случай когда два луча границы образуют угол а. Из теории функций ком плексного переменного известно, что гриновская функция оператор; Лапласа в области, ограниченной углом а имеет вид

где г — х + ¿у, (х, у) прямоугольные координаты на решетке. Тако! характер асимптотики гриновской функции приводит к следующем] распределению граничных лавин

что дает индекс т4. = 1 +

Эти результаты были проверены нами с помощью численных экс периментов методом Монте-Карло. Мы рассмотрели решетки размер;

(э;

зплоть до 100 с углами а = тг/2, тг, 37г/2,2тт при статистике вплоть до К)6 лавин.

таблица 1. Граничные показатели для углов кратных п/2.

а тг/2 7Г Зтг/2 2тг

Г, 1.9 1.51 1.32 1.21

ехасЧ 2 3/2 4/3 5/4

Таблица 1 показывает, что данные, полученные нами численно, на-содятся в хорошем согласии с нашими теоретическими предсказаниями.

Особый интерес представляет угол 27г. В этом случае лавина на-гинается с вершины разреза на плоскости. Можно предположить, что ¡лияние разреза не должно приводить к сильному искажению геометрии лавины по сравнению с её распространением в объеме решетки, поэтому можно ожидать, что критические индексы в обеих этих слу-гаях должна быть близки. Действительно, разница между численным >езультатом С. Манны т, = 1.22 и полученным нами показателем г.ч = 5/4 для угла г»' = 2тт не превышает 3%.

В приложении точно вычислены некоторые корреляторы в мо-

хе ли ветвящихся полимеров. Конформная теория поля с зарядом с = -2 предсказывает критические индексы для этой модели, одновременно (опуская наличие логарифмических поправок к степенному закону сбывания корреляционных функций. В то же время, результаты, по-гученные на основе ренормгрупповых соображений и техники кулоно-¡ского газа, дают чисто степенной характер асимптотик. В этой части >аботы нам удалось, используя теорему Кирхгофа, точно вычислить некоторые корреляторы в этой модели и объяснить причины возникно-

вения логарифмических поправок.

В заключении кратко сформулированы полученные в диссертации результаты, которые и выносятся на защиту.

Литература

[1] Brankov J G, Ivashkevich E V and Priezzhev V В J. Phys. I France 3 (1993) 1729

[2] Ivashkevich E V J. Phys. A: Math. Gen. 27 (1994) 3643

[3] Ivashkevich E V, Ktitarev D V and Priezzhev V В Physica 209A (1994) 347

[4] Ivashkevich E V, Ktitarev D V and Priezzhev V В J. Phys. A Math. Gen 27 (1994) L585

[5] Ivashkevich E V, Ktitarev D V and Priezzhev V В Proceedings of Tokyo International Conference on Dynamical Systems and Chaos (World Scientific,1994)

[6] Ивашкевич E В, "О корреляционных функциях в модели ветвящихся полимеров", Препринт ОИЛИ Р5-95-12, Дубна, 1995.

Рукопись поступила в издательский отдел 7 апреля 1995 года.