Стохастически-детерминистическое моделирование электрического триинга в полимерах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Феноменологическое описание и математическое моделирование роста дендритов и частичных разрядов в диэлектриках под действием высокого напряжения

1.1. Частичные разряды в дендритах

1.1.1. Характеристики частичных разрядов

1.1.2. Физические процессы, определяющие развитие частичных разрядов в наполненных газом каналах

1.1.3. Математические модели частичных разрядов

1.2. Рост древовидных разрядных структур

1.2.1. Закономерности роста дендритов

1.2.2. Физические механизмы формирования наполненных газом каналов

1.2.3. Математические модели роста древовидных структур

Глава 2. Самосогласованная стохастически-детерминистическая модель электрического триинга

2.1. Нерешеточное моделирование роста разрядных структур

2.1.1. Нерешеточная модель роста разрядных структур

2.1.2. Применение нерешеточной модели для описания развития разряда в диэлектрике

2.2. Моделирование частичного разряда в узком канале

2.2.1. Модель частичного разряда

2.2.2. Результаты моделирования развития частичных разрядов в узком канале

2.3. Формулировка самосогласованной стохастически-детерминистической модели электрического триинга

2.3.1. Основные положения

2.3.2. Численная реализация модели

2.3.3. Параметры модели

Глава 3. Результаты компьютерного моделирования электрического триинга

3.1. Исследование влияния напряжения и проводимости изоляции на развитие электрического триинга

3.2. Результаты моделирования электрического триинга в эпоксидной смоле

Глава 4. Самоорганизованная критичность при электрическом триинге

4.1.Свидетельство присутствия самоорганизованной критичности при электрическом триинге

4.2.Модификация модели песочной кучи для описания динамики зарядов при электрическом триинге

4.3.Моделирование динамики песчаной кучи при периодическом возмущении

4.4.Характер самоорганизованной критичности при электрическом триинге

Электрическим триингом называют явление роста в твердом диэлектрике наполненных газом каналов, которое возникает при электрическом пробое под действием переменного электрического поля и сопровождается частичными разрядами (ЧР) [7,13,39]. Электрический триинг является одной из основных причин старения и выхода из строя полимерной изоляции. Формирующиеся в диэлектрике каналы стохастически ветвятся и изгибаются, образуя древовидные разрядные структуры (PC). Инициирование роста PC происходит в областях с высокой напряженностью электрического поля, например вблизи острийных электродов, проводящих и газовых включений, пустот и т.д. После инициирования древовидная PC растет в межэлектродном промежутке вследствие ЧР в ее каналах. ЧР вызывают усиление локальных значений электрического поля на концах каналов и повреждение окружающего каналы диэлектрического материала, что приводит к формированию новых каналов. Рост PC может заканчиваться перемыканием межэлектродного промежутка и пробоем изоляции.

Повышение требований к электрической прочности и долговечности полимерной изоляции, а также большой объем накопленных экспериментальных данных делают актуальной задачу количественного описания электрического триинга. Изучение электрического триинга стало особенно актуальным в связи с использованием кабелей с полимерной изоляцией при напряжениях до 500 кВ. С 1962 по 1996 гг. градиенты поля в изоляции увеличились с 4 до 15 кВ/мм [76]. В последние годы были проведены многочисленные экспериментальные исследования электрического триинга в полимерной изоляции. С помощью электронно-оптических и электронных измерительных установок были определены параметры частичных разрядов и пространственно-временные характеристики роста дендритов [27,29,41,66,77,103]. Однако, при диагностике состояния изоляции на практике ограничиваются измерением ЧР. Имеющиеся методики и системы измерения ЧР дают лишь косвенную информацию о фактическом состоянии изоляции и характере повреждений. Создание адекватной модели разрушения изоляции под действием ЧР позволило бы исследовать связь ЧР с ростом PC. Такая модель могла бы найти применение для диагностики состояния изоляции и прогнозирования срока ее службы.

В настоящее время отсутствует теория пробоя, способная количественно описывать электрический триинг в диэлектриках. Такое положение дел обусловлено большим количеством неравновесных процессов, одновременно протекающих при электрическом триинге, и стохастическим характером развития разрядной структуры. В имеющихся теориях пробоя обычно выделяется какой-то один процесс, происходящий в диэлектрике (тепловой, электрострикционный, ударной ионизации, газообразования и т.д.), а критерием пробоя считается условие нарастающей неустойчивости этого процесса. Однако, опыт показывает, что для реализации любой отдельно взятой неустойчивости требуется напряженность поля, на один - два порядка превышающая прочность диэлектрика. Кроме того, в этих теориях не рассматривается процесс развития разрядной структуры, от которого во многом зависят пробивные характеристики диэлектрика. Все это позволяет сделать вывод, что достоверная теория электрического триинга может быть создана лишь на основе интегральной физической картины явления, учитывающей пространственно-временные характеристики развития неустойчивостей и роста разрядной структуры.

Неравновесные процессы, включающие в себя развитие неустойчивостей, не могут быть описаны детерминистически, поскольку они высокочувствительны к происходящим в рассматриваемой открытой системе разрядная структура - диэлектрик микрофлуктуациям. Неустойчивый характер процессов является причиной того, что микрофлуктуации быстро увеличиваются и приводят к макроскопическим последствиям. В последние годы интенсивно развивается новый подход к описанию развития разрядных явлений, основанный на совместном учете различных процессов с помощью моделей стохастического роста. Наиболее интересные результаты получены на основе модели пробоя диэлектриков [83] и модели разрядных лавин [40]. В модели пробоя диэлектриков рост каналов определяется напряженностью электрического поля. Вероятность роста принимается пропорциональной степени локальной напряженности поля. Распределение электрического поля рассчитывается на основе уравнения Лапласа. Потенциал дендрита принимается равным потенциалу электрода или задается падение напряжения вдоль каналов. С помощью различных модификаций модели пробоя диэлектриков было смоделировано формирование различных типов дендритов (в виде дерева или куста) [5,84,111], а также влияние барьеров и включений с различной диэлектрической проницаемостью [1], проводимостью [2] и прочностью [105] на рост каналов. В модели разрядных лавин [38,40,47] рассматривается накопление разрушений в материале диэлектрика под действием электронных лавин. Рост каналов описывается с помощью случайных флуктуаций локального электрического поля. Задавая различные диапазоны флуктуаций, в рамках этой модели также удалось описать рост разных типов дендритов.

К недостаткам перечисленных моделей роста дендритов следует отнести то, что они не рассматривают частичные разряды в каналах дендрита и, следовательно, не описывают реальную динамику распределения зарядов и полей в диэлектрике. Вместе с тем, существующие модели частичных разрядов, например [28,114-117], не рассматривают процесс роста дендрита и не могут быть использованы для количественного описания пробоя изоляции. Поэтому представляется актуальным создание комплексной самосогласованной модели, описывающей как рост дендритов под действием частичных разрядов, так и частичные разряды в существующих каналах. Это позволит получить распределение по фазе импульсов ЧР во время формирования PC и исследовать связь характеристик роста и ЧР.

Развитием модели пробоя диэлектриков [83] является стохастически-детерминистический подход к описанию роста фрактальных структур при электрическом разряде в диэлектриках. Новизна стохастически-детерминистического подхода связана с синергетической связью макро- и микроскопических процессов, происходящих при пробое диэлектрика. Нелинейная связь различающихся своими временными и пространственными масштабами процессов приводит к формированию фрактальных разрядных структур. Макроскопические процессы, определяющие распределения электрических, механических напряжений, тепловых и др. полей, а также непрерывные изменения состояния диэлектрика и разрядных каналов, описываются детерминистически. Скачкообразные изменения состояния вещества вследствие развития различных неустойчивостей (ионизационной, тепловой, токовой, электрострикционной и т.д.) описываются стохастически. Целесообразность использования стохастического элемента обусловлена тем, что в ходе развития любой неустойчивости микроскопические флуктуации быстро нарастают и приводят к макроскопическим последствиям. Детерминистическое описание нестабильных нелинейных систем на микроуровне не представляется возможным. Однако, результат конкурирующего развития различных неустойчивостей можно описать путем введения соответствующих вероятностных законов роста. При этом вероятность роста определяется как параметрами среды, так и величинами соответствующих полей (электрическое поле, давление, температура, механическое напряжение) в точке роста. Таким образом, переход от стохастического описания к детерминистическому происходит при увеличении масштабов процессов. Стохастически-детерминистический подход используется в настоящей работе для моделирования роста разрядных структур.

Цель диссертационной работы

Создание теоретической модели электрического триинга в полимерах; разработка численного алгоритма и программного обеспечения, позволяющих количественно описать рост дендритов и ЧР, объяснить общие закономерности электрического триинга, а также исследовать влияние параметров напряжения и свойств диэлектрика на характеристики электрического триинга.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. провести анализ физических процессов, происходящих при электрическом триинге в полимерной изоляции на переменном напряжении; разработать основные положения модели;

2. создать теоретическую модель электрического триинга, включающую в рассмотрение как рост дендритов, так и ЧР;

3. на основе теоретической модели разработать численный алгоритм и программное обеспечение для компьютерного моделирования электрического триинга;

4. определить параметры модели путем сопоставления результатов компьютерного моделирования с данными лабораторных экспериментов;

5. провести численное исследование влияния параметров напряжения и свойств изоляции на развитие электрического триинга в полимерной изоляции при различных условиях;

6. проанализировать полученные результаты и установить общие закономерности, характерные для электрического триинга в полимерной изоляции при переменном напряжении.

Представляемая диссертация состоит из четырех глав. В первой главе рассмотрены общие закономерности роста дендритов, проанализированы физические механизмы формирования каналов PC, сделан обзор методов математического моделирования электрического триинга. Также рассмотрены характеристики ЧР, описаны методы их регистрации и анализа, рассматриваются физические процессы, определяющие развитие ЧР. Кроме этого, кратко описаны математические модели ЧР.

Во второй главе представлена самосогласованная стохастически-детерминистическая модель электрического триинга. Рассмотрен нерешеточный подход к описанию роста дендритов и метод совместного моделирования развития каналов и динамики заряда. Предложенный подход применен при описании разряда в масле на импульсном напряжении, а также разряда в объемно-заряженном диэлектрике. Рассмотрена модель ЧР в узком канале. Разработанные методы описания роста разрядных каналов и ЧР использованы для создания модели электрического триинга в полимерной изоляции. Модель электрического триинга сформулирована в виде системы уравнений, задающих вероятность роста PC, условия зажигания и гашения ЧР, динамику заряда и электрического поля. Дано описание численного алгоритма модели электрического триинга. Приведена физическая интерпретация параметров модели и дана оценка их величин.

В третьей главе приводятся результаты численных экспериментов. Исследовано влияние напряжения и проводимости изоляции на характеристики электрического триинга. Количественно описаны экспериментальные данные, полученные при электрическом триинге в эпоксидной смоле для геометрии электродов острие-плоскость.

В четвертой главе электрический триинг анализируется с помощью концепции самоорганизованной критичности, предложенной в работах [19,20] для объяснения фрактального поведения диссипативных систем с большим числом степеней свободы. Динамика зарядов трактуется как процесс диссипации энергии электрического поля в системе с большим числом степеней свободы. Предложена модификация классической модели песчаной кучи [19,20], позволяющая качественно описать динамику зарядов при электрическом триинге. Проведен анализ характера самоорганизованной критичности при электрическом триинге.

Научная новизна

1. Разработан стохастически-детерминистический подход к моделированию электрического триинга. Создана самосогласованная теоретическая модель электрического триинга в полимерной изоляции.

2. Количественно описаны пространственно-временные и токовые характеристики электрического триинга в полимерной изоляции. С помощью модели удалось воспроизвести такие экспериментально наблюдаемые эффекты, как: рост фрактальной размерности PC, уменьшение времени до пробоя и повышение интенсивности ЧР при увеличении напряжения, замедление роста PC на начальной стадии развития и ускорение роста при приближении каналов к плоскому электроду.

3. Впервые произведен анализ электрического триинга с помощью концепции самоорганизованной критичности. Определены характеристики самоорганизованной критичности при электрическом триинге.

Научная и практическая ценность работы

Разработанный самосогласованный стохастически-детерминистический подход впервые позволил количественно описать самосогласованные процессы роста фрактальных структур и динамики зарядов, происходящие в изоляции при электрическом триинге. Полученные результаты способствуют пониманию протекающих при пробое процессов, а также развитию математических моделей пробоя. Подход был применен для описания роста разрядных каналов при импульсном пробое жидкой изоляции, а также вызванного объемным зарядом пробоя полимерной изоляции. Кроме этого, представленный подход может быть обобщен и использован для описания роста стохастически ветвящихся структур в других процессах.

В рамках разработанного подхода к описанию электрического триинга сформулированы модели электрического триинга, импульсного пробоя жидкой изоляции, и развития разряда в объемно-заряженном твердом диэлектрике. Для моделирования электрического триинга и частичных разрядов в каналах разрядных структур создана нерешеточная трехмерная модель, базирующаяся на понятиях энергии и электрического поля. Произведен приближенный расчет параметров модели для полимерной изоляции. Создано соответствующее программное обеспечение, которое позволяет проводить вычислительные эксперименты при различных условиях и параметрах моделей. Использование программного обеспечения для исследования электрического триинга позволило установить зависимости среднего времени до пробоя, фрактальной размерности PC, средних значений количества ЧР, их величин и суммарного заряда за период от прикладываемого напряжения, обнаружить корреляцию между величиной ЧР и длиной их траекторий.

Полученные результаты могут применяться как при проведении диагностики текущего состояния изоляции и прогнозировании срока ее службы, так и при разработке новых изоляционных конструкций повышенной надежности. Созданные модели могут быть легко модифицированы для описания роста дендритов в других условиях, например, при импульсном газовом разряде, молнии, поверхностном и коронном разряде, и т.д.

Достоверность полученных результатов подтверждается сравнением результатов моделирования с экспериментальными данными. Сравнение показывает, что модель адекватно описывает основные черты электрического триинга при разных значениях прикладываемого напряжения. Это служит подтверждением того, что предложенный самосогласованный подход отражает принципиальные аспекты природы электрического триинга. Количественное согласие результатов моделирования с экспериментальными данными подтверждает справедливость приближенного расчета параметров модели, а также правильность разработанного подхода.

Анализ электрического триинга с позиций концепции самоорганизованной критичности позволил понять наблюдаемые закономерности явления. С помощью модификации модели песчаной кучи удалось качественно воспроизвести статистику частичных разрядов, что доказывает справедливость предположения о наличии самоорганизованной критичности в электрическом триинге.

Большинство полученных теоретических и экспериментальных результатов являются оригинальными и были представлены в статьях и докладах на конференциях [9,10,74,86-91,98].

Основные положения, выносимые на защиту

1) Самосогласованная теоретическая модель роста дендритов и частичных разрядов в полимерной изоляции под действием переменного напряжения.

2) Результаты исследований роста каналов и характеристик частичных разрядов в процессе электрического триинга при переменном напряжении для геометрии электродов острие-плоскость.

3) Понятие динамической самоорганизованной критичности и объяснение с его помощью динамики движения зарядов по разрядной структуре при электрическом триинге.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Электрический триинг, происходящий под действием переменного электрического поля и сопровождающийся ЧР, является одной из основных причин старения и выхода из строя полимерной изоляции. Для проведения диагностики состояния изоляции, прогнозирования срока ее службы, а также для повышения надежности проектируемых изоляционных конструкций необходимо иметь количественное описание электрического триинга. В связи с большим количеством взаимосвязанных неравновесных процессов, происходящих в диэлектрике при электрическом триинге, наиболее удобным способом решения этой задачи является создание адекватной по сложности теоретической модели и соответствующего программного обеспечения. Разработка такой модели и программного обеспечения, а также проведение численного моделирования электрического триинга было целью настоящей работы.

В целом по работе можно сделать следующие выводы:

1. Рост дендритов происходит в результате разрушения диэлектрика под действием энергии, выделяющейся при частичных разрядах. Зажигание и гашение частичных разрядов определяется локальным электрическим полем, создаваемым распределенными по каналам и по поверхности электродов зарядами. Движение зарядов по каналам определяется распределением электрического поля и траекториями частичных разрядов. Таким образом, рост каналов, зажигание и гашение частичных разрядов, а также перенос зарядов по разрядной структуре являются взаимозависящими и согласованными процессами.

2. Разработана самосогласованная модель роста дендритов и частичных разрядов в полимерной изоляции. Модель основана на энергетическом подходе и пороговой зависимости роста каналов, а также зажигания и гашения разрядов в каналах дендрита, от локальной напряженности поля.

Параметры модели имеют ясную физическую интерпретацию и могут рассматриваться в качестве интегральных параметров, связанных с совместным действием разных процессов, протекающих при электрическом триинге. Создана нерешеточная трехмерная численная реализация модели, позволяющая с помощью вычислительных экспериментов изучать рост дендритов и частичных разрядов при геометрии острие-плоскость на переменном напряжении.

3. С помощью численного моделирования количественно описаны характеристики роста PC и ЧР. Описан рост фрактальной размерности при увеличении напряжения. Увеличение напряжения также приводит к ускорению роста и уменьшению времени до пробоя. В течение начальной стадии развития рост разрядной структуры замедляется. Ускорение роста наблюдается, когда каналы приближаются к противоположному электроду. Увеличение радиальной протяженности разрядной структуры на первой стадии развития и суммарной длины всех каналов разрядной структуры описаны степенными функциями времени. Проведено исследование зависимости характеристик частичных разрядов от геометрии разрядной структуры и прикладываемого напряжения. Средняя величина частичных разрядов, их количество и суммарный заряд за период увеличиваются по мере роста разрядной структуры. Для разрядных структур с одинаковой длиной интенсивность частичных разрядов увеличивается с напряжением. Анализ фазовых характеристик частичных разрядов на синусоидальном и треугольном напряжениях показал, что величина разрядов увеличивается с ростом мгновенного значения прикладываемого напряжения, а частота разрядов - с ростом скорости изменения напряжения.

Количественное соответствие между результатами моделирования и экспериментальными данными подтверждает адекватность модели и достоверность полученных результатов. Это предполагает, что предложенный самосогласованный подход, основанный на понятиях энергии повреждения и пороговых напряженноетей отражает принципиальные аспекты природы электрического триинга и может быть использован в качестве основы для количественного описания данного явления.

4. Выполнен анализ электрического триинга с позиций концепции самоорганизованной критичности. Распределенные по PC электрические заряды рассматриваются как диссипативная система с большим числом степеней свободы, в которой ЧР являются механизмом рассеяния энергии электрического поля. Под воздействием переменного напряжения в системе периодически возникает критическое состояние, т.е. появляется область, где могут происходить ЧР. С помощью модификации модели песчаной кучи, учитывающей периодический характер внешнего воздействия, удалось качественно воспроизвести статистику частичных разрядов, что доказывает справедливость предположения о наличии самоорганизованной критичности в электрическом триинге.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю кандидату физ.-мат. наук, доценту М.Д. Носкову и научному консультанту доктору физ.-мат. наук, профессору А.В. Шаповалову за постановку задачи, общее руководство и полезные обсуждения; доктору физ.-мат. наук, профессору В.В. Лопатину за ценные замечания и плодотворное сотрудничество.

1. Развитие разряда в слоистых диэлектриках / О.С. Гефле, А.В. Демин, В.Р. Кухта и др. // Электричество. 1994. - № 7. - С.61-63.

2. Карпов Д.И., Лопатин В.В., Носков М.Д. Влияние высокопроводящих барьеров на развитие дендритов в диэлектрике // Электричество. 1995. -№ 7. - С.59-61.

3. Кухта В.Р., Лопатин В.В., Носков М.Д. Влияние объемного внедренного заряда на развитие разрядных структур в диэлектриках // Письма в ЖТФ. 1993. - Т. 19, Вып.23. - С.39-44.

4. Кухта В.Р., Лопатин В.В., Носков М.Д. Применение фрактальной модели к описанию развития разряда в конденсированных диэлектриках // ЖТФ. 1995. - Т.65, Вып.2. - С.63-75.

5. Феноменология и моделирование импульсного разряда в воде / В.Р. Кухта, В.В. Лопатин, М.Д. Носков, О.И. Плешков // Известия вузов. Физика. 1996. - № 4 (приложение).- С.63-70.

6. Кучинский Г.С. Частичные разряды в высоковольтных конструкциях. -Л.: Энергия. Ленингр. отд-ние, 1979.

7. Лагарьков А.Н., Руткевич И.М. Волны электрического пробоя в органической плазме. М.: Наука, 1989. - 206 с.

8. Моделирование роста дендритов и частичных разрядов в эпоксидной смоле / М.Д. Носков, А.С. Малиновский, М. Закк, А.Й. Шваб // ЖТФ. -2002. Т.72, Вып.2. - С.121-128.

9. Моделирование развития разряда в объемно-заряженном диэлектрике / М.Д. Носков, А.С. Малиновский, Ч.М. Кук и др. // ЖТФ. 2002. - Т.72, Вып.4. - С.107-112.

10. Ретер Г. Электронные лавины и пробой в газах. М.: Мир, 1968. 391 с.

11. Сканави Т.Н. Физика диэлектриков. Т.2. Сильные электрические поля. -М.: ГИФМЛ, 1961.

12. Техника высоких напряжений / Под ред. Д.В. Разевига. Изд. 2-е. М.: Энергия, 1976.

13. Федер Е. Фракталы / Пер. с англ. М.: Мир, 1991.

14. Arbab M.N., Auckland D.W. Growth of electrical trees in solid insulation // Proc. IEE. 1989. - Vol.136. - No.2. - P.73-78.

15. Auckland D.W., Varlow B.R. Electrical treeing in solid polymeric insulation // Engineering Science and Education Journal. 1995. - Feb. - P. 11-16.

16. Bak P. Self-organized criticality in non-conservative models // Physica A. -1992.-Vol.191.-P.41-46.

17. Bak P. How Nature Works: The science of self-organized criticality. New York: Springer, 1996.

18. Bak P., Tang C., Wiesenfeld K. Self-organized criticality: an explanation of \/f noise // Phys. Rev. Lett. 1987. - Vol.59. - P.381-384.

19. Bak P., Tang C., Wiesenfeld K. Self-organized criticality // Phys. Rev. A. -1988.-Vol.38.-P.364-374.

20. Stochastic modelling of electrical treeing: fractal and statistical characteristics / A.L. Barclay, P.J. Sweeney, L.A. Dissado, G.C. Stevens // J. Phys. D: Appl. Phys. 1990. - Vol.23. - P.1536-1545.

21. Beroual A., Tobazeon R. Prebreakdown phenomena in liquid dielectrics // IEEE Trans. EI. 1986. - Vol.21,No.4. - P.613-627.

22. Biller P. Fractals streamer models with physical time // Proc. 11th Int. Conf. on Cond. and Breakdown in Diel. Liquids. 1993. - P. 199-203.

23. Chadband W.G. The ubiquitous positive streamer // IEEE Trans. EI. 1988. -Vol.23,No.4. - P.697-706.

24. Champion J.V., Dodd S.J. The effect of voltage and material age on the electrical tree growth and breakdown characteristics of epoxy resins // J. Phys. D: Appl. Phys. 1995. - Vol.28, No.2. - P.398-407.

25. Champion J.V., Dodd S.J. Systematic and reproducible partial discharge patterns during electrical tree growth in an epoxy resin // J. Phys. D: Appl. Phys. 1996. - Vol.29, No.3. - P.862-868.

26. Champion J.V., Dodd S.J. An approach to the modelling of partial discharges in electrical trees // J. Phys. D: Appl. Phys. 1998. - Vol.31. - P.2305-2314.

27. Champion J.V., Dodd S.J., Alison J.M. The correlation between the partial discharge behavior and the spatial and temporal development of electrical trees grown in an epoxy resin // J. Phys. D: Appl. Phys. 1996. - Vol.29, No. 10. - P.2689-2695.

28. Champion J.V., Dodd S.J., Stevens G.C. Long-term light emission measurement and imaging during the early stages of electrical breakdown in epoxy resin // J. Phys. D: Appl. Phys. 1994. - Vol.27, No.3. - P.604-610.

29. Champion J.V., Dodd S.J., Stevens G.C. Analysis and modelling of electrical tree growth in synthetic resins over a wide range of stressing voltage // J. Phys. D: Appl. Phys. 1994. - Vol.27, No.5. - P.1020-1030.

30. Cho Y.-S., Shim M.-J., Kim S.-W. Fractal characteristics of electrical treeing phenomena in electric power distributing cable insulation // Proc. of 5th Int. Conf. on Properties and Applications of Dielectric Materials. 1997. - Vol.1. . p.443-446.

31. Cooke C.M., Williams E.R., Wright K.A. Electrical discharge propagation in space-charged PMMA // IEEE Int. Symp. on Electrical Insulation. 1982. -P.95-101.

32. Cooke C.M., Williams E.R., Wright K.A. Space charge stimulated growth of electrical trees // Proc. of Int. Conf. on Properties and Applications of Dielectric Materials. 1985. - Vol.2. - P. 1-6.

33. David E. Comparison between experimental results and fractal growth model for electrical treeing in polyethylene // Proc. of 5th Int. Conf. on Conduction and Breakdown in Solid Dielectrics. 1995. - P. 199-203.

34. Densley J., Kalicki Т., Nadolny Z. Characteristics of PD pulses in electrical trees and interfaces in extruded cables // IEEE Trans. Dielectrics EI. 2001. -Vol.8.-P.48-57.

35. Dissado L.A. Understanding electrical treeing in solids: from experiment to theory // Proc. of IEEE 7th Int. Conf. on Solid Dielectrics. 2001. - P. 15-26.

36. Propagation of electrical tree structures in solid polymeric insulation / L.A. Dissado, S.J. Dodd, J.V. Champion et al // IEEE Trans. Dielectrics EI. 1997. - Vol.4. - P.259-279.

37. Dissado L.A., Fothergill J.C. Electrical degradation and breakdown in polymers. London: Peregrinus, 1992.

38. Dissado L.A., Sweeney P.J.J. Physical model for breakdown structures in solid dielectrics // Phys. Rev. B. 1993. - Vol.48. - P.16261-16268.

39. Fractal analysis of the treeing process from luminous discharge image and measurement of discharge magnitude / Y. Ehara, M. Naoe, K. Urano et al // IEEE Trans. Dielectrics and EI. 1998. - Vol.5,No.5. - P.728-733.

40. Ershov A.P., Kupershtokh A.L. Fluctuation model of liquid dielectrics breakdown with incomplete charge relaxation // Proc. 11th Int. Conf. on Cond. and Breakdown in Diel. Liquids. 1993. - P.194-198.

41. Femia N., Niemeyer L., Tucci V. Fractal characteristics of electrical discharges: experiments and simulation // J. Phys. D: Appl. Phys. 1993. -Vol.26, No.4. - P.619-627.

42. Forster E.O. Progress in the understanding of electrical breakdown in condensed matter//J. Phys. D.: Appl. Phys. 1990. - Vol.23. - P. 1506-1514.

43. Fothergill J.C. Filamentary electromechanical breakdown // IEEE Trans. Elect. Insul. 1991. - Vol.26,No.6. - P. 1124-1129.

44. Fothergill J.C. Filamentary electromechanical breakdown in polymers // Proc. of 4th Int. Conf. on Conduction and Breakdown in Solid Dielectrics. 1992. -P.323 -327.

45. Fothergill J.C., Dissado L. A., Sweeney PJJ. A Discharge avalanche theory for the propagation of electrical trees. A physical basis for their voltage dependence // IEEE Trans. Dielectrics EI. 1994. - Vol.1. - P.474-486.

46. Fractal character of dc trees in polymethylmethacrylate / M. Fujii, M. Watanabe, I. Kitani, K. Arii // IEEE Trans. Elect. Insul. 1991. - Vol.26, No.6. - P.1159-1162.

47. Fujimori S. Electric discharge and fractals // Jap. Journ. Appl. Phys. 1985. -Vol.24, No.9. -P.l 198-1203.

48. Furuta J., Hiraoka E., Okamoto. Discharge figures in dielectrics by electron injection // J. Appl. Phys. 1966. - Vol.37, No.4. - P. 1873-1878.

49. Gross В., Nablo S.V. High potentials in electron-irradiated dielectrics // J. Appl. Phys. 1967. - Vol.38, No.5. - P.2272-2275.

50. Gross В., Wright K.A. Charge distribution and range effects produced by 3 MeV electrons in plexiglas and aluminum // Phys. Rev. 1959. - Vol.114. -P.725.

51. Gu W.Y., Laurent C., Mayoux C. Characteristics of discharges inside simulated tree channels under impulse voltage // J. Phys. D: Appl. Phys. -1986.-Vol.19.-P.2197-2207.

52. Gutfleisch F., Niemeyer L. Measurement and simulation of PD in epoxy voids // IEEE Trans. Dielectrics EI. 1995. - Vol.2. - P.729-743.

53. Hoof M., Patch R. A physical model, describing the nature of partial discharge pulse sequences // Proc. of 5th Int. Conf. on Properties and Application of Dielectric Materials. 1997. - P.283-286.

54. Ieda M. Dielectric breakdown process of polymers // IEEE Trans. Elect. Insul. 1980.-Vol.15.-P.206-224.

55. Jensensen H.J. Self-organized criticality. Cambridge: Cambridge University Press, 1998.

56. Kaneiwa H., Suzuoki Y., Mizutani T. Partial discharge characteristics and tree inception in artificial simulated tree channels // IEEE Trans. Dielectrics EI. -2000. Vol.7. - P.843-848.

57. Kaneiwa H., Suzuoki Y., Mizutani T. Characteristics of partial discharges in artificial simulated tree channels during tree inception // IEEE Trans. Dielectrics EI. 2001. - Vol.8. - P.72-77.

58. Klein N. Electrical breakdown in solids. Advances in electronics and electron physics / ed. L. Marton. New York: Academic Press, 1969. - Vol.26. -P.309-424.

59. Estimation of 3D fractal dimension of real electrical tree patterns / S. Kobayashi, S. Maruyama, H. Kawai, K. Kudo // Proc. of 4th Int. Conf. on Properties and Applications of Dielectric Materials. 1994. - P.359-362.

60. Fractal analysis of 3D reconstructed patterns of real electrical tree / S. Kobayashi, S. Maruyama, H. Kawai et al // Proc. of 5th Int. Conf. on Cond. and Breakdown in Solid Dielect. 1995. - P.299-303.

61. Kudo K. Fractal analysis of electrical trees // IEEE Trans. Dielectrics and EI. -1998.-Vol.5.-P.713-727.

62. Lackner H., Kohlberg I., Nablo S.V. Production of large electric fields in dielectrics by electron injection // J. Appl. Phys. 1965. - Vol.36,No.6. -P.2064-2065.

63. Landau L.D., Lifshitz E.M. Electrodynamics of continuous media. London, New York, Paris: Pergamon Press, 1960.

64. Laurent С., Mayoux С. Analysis of the propagation of electrical treeing using optical and electrical methods // IEEE Trans. Elect. Insul. 1980. - Vol.15. -P.33-42.

65. An accurate method for numerical simulation of electrical tree growth process by finite element method / J.-H. Lee, G.-S. Park, Y. Dong-Young, S.-G. Kim // Conf. Rec. of Int. Symp. on Electrical Insulation. 1992. - P.70-73.

66. Lewis T.J. A new model for the primary process of electrical breakdown in liquids // IEEE Trans. Dielectrics EI. 1998. - Vol.5,No.3. - P.306-315.

67. Loeb L.B., Meek J.M. The mechanism of electric spark. Oxford: Clarendon Press, 1941.

68. Lopatin V.V., Noskov M.D., Kukhta V.R. Fractal description of discharge propagation in liquid // Proc. 11th Int. Conf. on Cond. and Breakdown in Diel. Liquids. 1993. - P.204-208.

69. Experimental study and simulation of predischarge phenomena in insulating oil / V.V. Lopatin, M.D. Noskov, R. Badent et al // 1996 IEEE Annual Report Conf. on Electr. Insul. and Dielect. Phenomena. - 1996. - Vol.1. - P.356-360.

70. Positive discharge development in insulating oil. Opticall observation and simulation / V.V. Lopatin, M.D. Noskov, R. Badent et al // IEEE Trans, on Diel. and Electr. Insul. 1998. - Vol.5, No.2. - P.250-255.

71. Malamud B.D., Turcotte D.L. Cellular-automata models applied to natural hazards // Computing in Science & Engineering. 2000. - Vol.2, No.3. - P.42-51.

72. Simulation of partial discharges and electrical tree growth in solid insulation under AC voltage / A.S. Malinovski, M.D. Noskov, M. Sack, A.J. Schwab //

73. Proceedings of the 1998 IEEE 6th International Conference on Conduction and Breakdown in Solid Dielectrics. 1998. - P.305-308.

74. Mandelbrot B.B. The fractal geometry of nature. New York: W. H. Freeman, 1983.

75. Mayoux C. Degradation of insulating materials under electrical stress // IEEE Trans. Dielectrics EI. 2000. - Vol.7,No.5. - P.590-601.

76. Mayoux C., Laurent C. Contribution of partial discharges to electrical breakdown of solid insulating materials // IEEE Trans. Dielectrics EI. 1995. -Vol.2,No. 4. - P.641-652.

77. Polarity dependence of fractal geometry in partial discharge in dielectrics / R.D. McLeod, D. Liu, W. Pries et al // Solid State Communications. 1985. -Vol.56,No.2. - P.197-199.

78. Morrow R., Lowke J.J. Streamer propagation in air // J. Phys. D: Appl. Phys. 1997. - Vol.30, P.614-627.

79. The fractal analysis of the treeing process / M. Naoe, Y. Ehara, H. Kishida, T. Ito // Annual Report Conference on Electrical Insulation and Dielectric Phenomena, CEIDP. 1996. - P.779-782.

80. Fractal analysis of the tree pattern and the discharge luminescence pattern / M. Naoe, Y. Ehara, H. Kishida, T. Ito // Annual Report Conference on Electrical Insulation and Dielectric Phenomena, CEIDP. 1997. - P.431-434.

81. Niemeyer L. A generalized approach to partial discharge modelling // IEEE Trans. Dielectrics EI. 1995. - Vol.2. - P.510-528.

82. Niemeyer L., Pietronero L., Wiesmann H.J. Fractal dimension of dielectric breakdown // Phys. Rev. Lett. 1984. - Vol.52. - P. 1033-1036.

83. Noskov M.D., Kukhta V.R., Lopatin V.V. Simulation of the electrical discharge development in inhomogeneous insulators // J. Phys. D: Appl. Phys. 1995. - Vol.28. -P.l 187-1194.

84. The simulation of the discharge channels propagation in liquids / M. Noskov, D. Karpov, V. Lopatin, O. Pleshkov // Conference Recerd of the 12th Int. Conf. on Conduction and Breakdown in Dielectric Liquids. 1996. - P.263-266.

85. Experimental study and simulation of space charge stimulated discharge / M.D. Noskov, A.S. Malinovski, C.M. Cooke et al // Journal of Applied Physics. 2002. - Vol.92, No.9. - P.4926-4934.

86. Computer investigation of voltage effect on electrical treeing / M.D. Noskov, A.S. Malinovski, M. Sack, A.J. Schwab // Conference Publication No. 467. High Voltage Engineering Symposium. 1999. - Vol.2. - P. 136-139.

87. Numerical investigation of insulation conductivity effect on electrical treeing / M.D. Noskov, A.S. Malinovski, M. Sack, A.J. Schwab // 1999 IEEE Conference on Electrical Insulation and Dielectric Phenomena, CEIDP. -1999. Vol.2. -P.597-600.

88. Self-consistent modeling of electrical tree propagation and PD activity / M.D. Noskov, A.S. Malinovski, M. Sack, A.J. Schwab // IEEE Trans. Dielectrics EI. 2000. - Vol.7,No.6. - P.725-733.

89. Self-organized criticality in electrical treeing / M.D. Noskov, A.S. Malinovski, M. Sack, A.J. Schwab // Physica A. 2001. - Vol.301/1-4. - P.85-96.

90. Measurement and simulation of electrical tree growth and partial discharge activity in epoxy resin / M.D. Noskov, M. Sack, A.S. Malinovski, A.J.

91. Schwab // Journal of Physics D: Applied Physics. 2001. - Vol.34. - P. 13891398.

92. Noto F., Yoshimura N. Voltage and frequency dependence of tree growth in polyethylene // Ann. Rep. Conf. Elect. Insul. Dielect. Phenom. 1974. -P.207-217.

93. O'Dwyer J.J. The theory of electrical conduction and breakdown in solid dielectrics. London: Oxford University Press, 1973.

94. Pietronero L., Wiesmann H.J. From physical dielectric breakdown to the stochastic fractal model // J. Phys. В Condensed Matter. - 1988. - Vol.70. -P.87-93.

95. The breakdown and glow phases during the initiation of discharges for lamps / L.C. Pitchford, I. Peres, K.B. Liland et al // J. Appl. Phys. 1997. - Vol.82. -P.112-119.

96. Rezinkina M.M., Rezinkin O.L. Experimental research of the correlation between partial discharges in polyethylene insulation and fractal characteristics of causing them treeing // Proc. of IEEE 7th Int. Conf. on Solid Dielectrics. 2001. - P.404-407.

97. Rompe R., Weizel W. tiber das Toeplersche Funkengesetz // Zs. Physik. -1944. -Vol.B. 122, P.9-12.

98. Electrical treeing in epoxy resin: experimental investigation and simulation / M. Sack, A.J. Schwab, M.D. Noskov, A.S. Malinovski // 2000 Annual Report Conference on Electrical Insulation and Dielectric Phenomena, CEIDP. -2000. Vol.1. -P.313-316.

99. Satpathy S. Dielectric breakdown in three dimensions: results of numerical simulation // Phys. Rev. B. 1986. - Vol.33,No.7. - P.5093-5095.

100. Shimizu N., Horii K. The effect of absorbed oxygen on electrical treeing in polymers // IEEE Trans. Elect. Insul. 1985. - Vol.20. - P.561-566.

101. Shimizu N., Takahashi Т., Iemura S. Initiation mechanism of electrical tree under alternating stress electron impact or UV photo-degradation? // Proc. of 7nd Int. Conf. on Solid Dielect. - 2001. - P.423-426.

102. Singer H., Steinbigler H., Weiss P. A charge simulation method for the calculation of high voltage field // IEEE Trans. Power Apparatus and Systems. 1974. - Vol.93. - P.1660-1668.

103. Partial discharges due to electrical treeing in polymers: phase-resolved and time-sequence observation and analysis / Suwarno, Y. Suzuoki, F. Komori, T. Mizutani // J. Phys. D: Appl. Phys. 1996. - Vol.29. - P.2922-2931.

104. Suwarno, Suzuoki Y., Mizutani T. Computer simulation of partial discharges associated with electrical treeing // Ann. Rep. Conf. Elect. Insul. Dielect. Phenom. 1996. - P.480-483.

105. Sweeney P.J.J., Dissado L.A., Cooper J.M. Simulation of the effect of barriers upon electrical tree propagation // J. Phys. D: Appl. Phys. 1992. - Vol.25. -P.113-119.

106. Turcotte D.L. Self-organized Criticality // Rep. Prog. Phys. 1999. - Vol.62. -P.1377.

107. Uehara H., Kudo K. The 3-D fractal analysis of electrical trees using a serial sectioning method and a CT method // Proc. of 6th Int. Conf. on Cond. and Breakdown in Solid Dielect. 1998. - P.309-312.

108. Varlow B.R, Auckland D.W. Mechanical aspects of electrical treeing in solid insulation // IEEE Elect. Insul. Magazine. 1996. - Vol.l2,No.2. - P.21-26.

109. Vitello P. A., Penetrante B.M., Bardsley J.N. Simulation of negative-streamer dynamics in nitrogen // Phys. Rev. E. 1994. - Vol.49. - P.5574-5598.

110. Wiesmann H.J. Realistic models of dielectric breakdown // Fractals' Physical Origin and Properties. New York: Plenum Press, 1989.

111. Wiesmann H.J., Zeller H.R. A fractal model of dielectric breakdown and prebreakdown in solid dielectrics // J. Appl. Phys. 1986. - Vol.60. - P. 17701773.

112. The experimental study on tree growth in XLPE using 3D PD patterns / G. Wu, X. Jiang, H. Xie, D.-H. Park // Proc. of 6th Int. Conf. on Properties and Applications of Dielectric Materials. 2000. - P.558-561.

113. The physical model for PD in tree channel and its effects on tree growth / K. Wu, Y. Suzuoki, T. Mizutani, H. Xie // Proc. of 5th Int. Conf. on Properties and Applications of Dielectric Materials. 1997. - P.430-433.

114. A novel physical model for partial discharge in narrow channel / K. Wu, Y. Suzuoki, T. Mizutani, H. Xie // IEEE Trans. Dielectrics and EI. 1999. -Vol.6.-P.181-190.

115. Model for partial discharges associated with treeing breakdown: I. PDs in tree channels / K. Wu, Y. Suzuoki, T. Mizutani, H. Xie // J. Phys. D: Appl. Phys. -2000. Vol.33. -P.l 197-1201.

116. Model for partial discharges associated with treeing breakdown: II. tree growth affected by PDs / K. Wu, Y. Suzuoki, T. Mizutani, H. Xie // J. Phys. D: Appl. Phys. 2000. - Vol.33. - P. 1202-1208.

117. Model for partial discharges associated with treeing breakdown: III. PD extinction and re-growth of tree / K. Wu, Y. Suzuoki, T. Mizutani, H. Xie // J. Phys. D: Appl. Phys. 2000. - Vol.33. - P.1209-1218.

118. Wu К., Suzuoki Y., Xie H. Sub-fractal structure of single partial discharge in an electrical tree // J. Phys. D: Appl. Phys. 2000. - Vol.33, No.22. - P.2954-2957.

119. Positive streamer in cyclohexane under microsecond pulse voltage / H. Yamada, T. Murakami, K. Kusano et al // IEEE Trans. EI. 1991. -Vol.26,No.4. -P.708-714.

120. Yamashita H., Amano H. Prebreakdown phenomena in hydrocarbon liquids // IEEE Trans. EI. 1988. - Vol.23,No.4. - P.739-750.

121. Zeller H.R. Breakdown and prebreakdown phenomena in solid dielectrics // Proc. of 2nd Int. Conf. on Cond. and Breakdown in Solid Dielect. 1986. -P.98-109.

122. Zeller H.R. Breakdown and prebreakdown processes in solid dielectrics // IEEE Trans. Elect. Insul. 1987. - Vol.22. - P. 115-122.

123. The physics of electrical breakdown and prebreakdown in solid dielectrics / H.R. Zeller, T. Baumann, E. Cartier et al // Advances in Solid State Physics. -1987.-Vol.27.-P.223-240.

124. Zeller H.R., Schneider W.R. Electrofracture mechanics of dielectric aging // J. Appl. Phys. 1984. - Vol.56. - P.455-459.