Левитационные свойства объемных высокотемпературных сверхпроводников тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

ЕРМОЛАЕВ Юрий Сергеевич

ЛЕВИТАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ОБЪЕМНЫХ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ СВЕРХПРОВОДНИКОВ

01.04.07 - Физика конденсированного состояния

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

АВТОРЕФЕРАТ

004600936

Москва 2010

004600936

Работа выполнена в Национальном исследовательском ядерном университете «МИФИ».

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент, Руднев Игорь Анатольевич

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, Ковалев Константин Львович, Московский авиационный институт (государственный технический университет)

кандидат физико-математических наук, Применко Алексей Эдуардович, Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова, Физический факультет

Ведущая организация:

Институт сверхпроводимости и физики твердого тела РНЦ «Курчатовский институт»

Защита состоится «19» мая 2010 г. в 16 часов 30 минут

на заседании диссертационного совета Д 212.130.04 в НИЯУ «МИФИ»

по адресу: 115409, Москва, Каширское шоссе, д. 31.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Н1 *ЯУ «МИФИ».

Автореферат разослан «05>> апреля 2010 г.

Просим принять участие в работе совета или прислать отзыв в одном экземпляре, заверенный печатью организации, по адресу НИЯУ «МИФИ».

Ученый секретарь диссертационного совета

НИЯУ «МИФИ», д.ф.-м.н., профессор И.И. Чернов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы.

Большинство магнитных систем подчиняется известной теореме Эрн-шоу, которая заключается в том, что совокупность зарядов с потенциалом взаимодействия вида ~ Иг (г - расстояние между зарядами) является статически неустойчивой. Теорема Эрншоу была расширена Браунбеком, где было доказано, что устойчивый статический магнитный подвес невозможен для материалов с относительной магнитной проницаемостью ц> 1, но возможен для материалов с ц. < 1.

Теорема Эрншоу обосновывает невозможность создания бесконтактных подвесов на основе ферромагнитных материалов. Существуют способы, позволяющие избежать следствий данной теоремы. К ним относятся использование методов добавления устойчивости и использование систем, не подчиняющихся теореме Эрншоу. Основным способом создания устойчивости в исходно неустойчивых магнитных системах и практически единственным способом надежного бесконтактного подвеса массивных макроскопических объектов являются системы с активными обратными связями. Однако эксплуатация таких систем существенно затратна, а их КПД далеко не идеален. Также существуют некоторые другие методы создания бесконтактных подвесов, но они обладают рядом недостатков по сравнению с системами с активными обратными связями (связанных, главным образом, с проблемами надежности подвеса и ограничениями на массу подвешенного объекта), в связи с чем не получили широкого распространения.

Не подчиняются теореме Эрншоу системы с диамагнитными материалами, к которым относятся материалы со слабым молекулярным диамагнетизмом и, что важно, сверхпроводящие материалы (как 1-го, так и Н-го рода). Так, система, состоящая из магнита, который является источником неоднородного магнитного поля, и сверхпроводника И-го рода с жестким пиннингом, обладает рядом характерных свойств, не присущих другим магнитным системам. Одна из таких особенностей состоит в том, что магнит и сверхпроводник могут образовывать устойчивую стабильную систему. Силу, с которой взаимодействуют магнит и сверхпроводник, согласно устоявшейся в литературе терминологии, будем называть силой левитации. Стабильность левитации подразумевает, что при смещении магнита из положения равновесия возникают силы, возвращающие его обратно. Если эти силы преодолеть, то магнит перемещается в новое устойчивое положение равновесия. При перемещении магнита вверх сверхпроводник стремится вверх за магнитом так, что расстояние между магнитом и сверхпроводником остается почти неизменным. То есть магнит

«сцеплен» со сверхпроводником. Магнит цилиндрической формы с цилиндрически симметричным магнитным полем может свободно вращаться вокруг оси симметрии.

Этими необычными свойствами обусловлен ряд применений, в которых подвесы или подшипники на основе сверхпроводников П-го рода обладают лучшими характеристиками и меньшей эксплуатационной стоимостью, чем их традиционные аналоги.

Кроме того, на основе измерения характеристик взаимодействия сверхпроводящих образцов с неоднородным магнитным полем можно разработать простые научно обоснованные методы тестирования сверхпроводящих образцов (в том числе высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП)), которые представляют практический интерес, т.к. традиционные методы тестирования, такие как регистрация критического тока, намагниченности, а также измерение динамических параметров требуют относительно больших затрат времени и специальных аппаратных средств. Первые работы, проведенные в этом направлении, показали принципиальную возможность определения критического тока и других параметров сверхпроводника из силы взаимодействия между сверхпроводником и магнитом.

Таким образом, данные о взаимодействии сверхпроводника и источника неоднородного магнитного поля, определение основных параметров этого взаимодействия являются актуальными и представляют значительный научный и прикладной интерес.

Целью работы явилось установление физических закономерностей взаимодействия сверхпроводника с постоянным магнитом, определение влияния параметров сверхпроводника, магнита и внешних условий на силу взаимодействия.

Для выполнения поставленной цели решены следующие задачи:

• Разработана и изготовлена универсальная автоматизированная экспериментальная установка, предназначенная для измерения статических и динамических характеристик силы взаимодействия образца и магнита.

• Получены подробные экспериментальные данные по статическим и динамическим зависимостям силы взаимодействия образца и магнита в различных режимах охлаждения и в различных конфигурациях магнит-сверхпроводник.

• Получены данные о влиянии сверхпроводящих и геометрических параметров образца на силу взаимодействия сверхпроводника с магнитом.

• Получены экспериментальные данные, характеризующих влияние внешнего переменного магнитного поля на силу взаимодействия магнит-сверхпроводник.

• Обобщены и обсуждены экспериментальные результаты на основе сравнения экспериментальных и расчетных данных.

• Получены из измеренной силы левитации характеристики сверхпроводника.

Научная новизна работы.

• Разработан и изготовлен оригинальный автоматизированный экспериментальный стенд, предназначенный для измерения силы взаимодействия между сверхпроводящим образцом и постоянным магнитом в различных режимах охлаждения в зависимости от времени и взаимного положения магнита и сверхпроводника.

• Получены комплексные экспериментальные данные, выявляющие как основные закономерности формирования силы взаимодействия сверхпроводника с магнитом, так и характер зависимости силы взаимодействия от свойств сверхпроводника, в частности, от плотности критического тока сверхпроводника и его толщины.

• Впервые обнаружен эффект подавления силы взаимодействия сверхпроводника с неоднородным магнитным полем при добавлении слабого поперечного переменного магнитного поля.

• Впервые развиты и применены методы определения значений плотности критического тока, вольтамперной характеристики, петли намагниченности из результатов измерений силы взаимодействия сверхпроводника с магнитом.

Научная и практическая ценность. Результаты диссертационной работы могут быть использованы при конструировании и расчете бесконтактных подвесов и подшипников на основе сверхпроводящих материалов, в том числе для оптимизации массогабаритных характеристик таких подшипников и для обеспечения безопасного функционирования этих устройств в условиях воздействия внешних переменных электромагнитных полей, а также для бесконтактного измерения характеристик сверхпроводящих образцов.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Разработанная методика измерения силы взаимодействия сверхпроводника и магнита.

2. Экспериментальные результаты по выявлению закономерностей формирования статических и динамических свойств силы взаимодействия сверхпроводника с магнитом в различных условиях охлаждения.

3. Результаты экспериментов, определяющие характер влияния физических параметров сверхпроводника на силу взаимодействия сверхпроводника с магнитом.

4. Результаты измерений силы взаимодействия сверхпроводника с магнитом в присутствии поперечного переменного магнитного поля, свидетельствующие о том, что слабое магнитное поле подавляет силу взаимодействия сверхпроводника и магнита.

5. Разработанные физические принципы и методы определения критического тока, намагниченности и вольтамперных характеристик сверхпроводника по измеренной силе взаимодействия его с магнитом.

Достоверность научных положений, результатов и выводов. Достоверность экспериментальных данных подтверждена совпадением измеренной силы взаимодействия между двумя постоянными магнитами с аналитическим расчетом таковой. Достоверность расчетов подтверждается совпадением в предельных случаях с известными аналитическими методами расчета. Часть полученных результатов согласуется с результатами других авторов.

Личный вклад соискателя. Все результаты, представленные в работе, получены соискателем лично, либо в соавторстве при его непосредственном участии.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов и библиографии. Работа изложена на 115 страницах, содержит 46 рисунков, 4 таблицы и список цитируемой литературы из 108 наименований.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: научных конференциях ИСФТТ РНЦ «Курчатовский институт» в 2004, 2005, 2006 и 2007 годах; научных сессиях МИФИ в 2002, 2004, 2005, 2006 и 2007 годах; 5-й международной конференции «Электротехнические материалы и компоненты» (сентябрь 2004 г., г. Алушта); 1-й и 2-й международных конференциях «Фундаментальные проблемы высокотемпературной сверхпроводимости» (октябрь 2004 г., октябрь 2006 г., г. Звенигород); 7th and 8th European Conference on Applied Superconductivity (11-15 September 2005, Vienna - Austria; 17-20 September 2007, Brussels - Belgium); XXXIV совещании по физике низких температур (HT-34; 26-29 сентября 2006 г.).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликованы 26 печатных работ, в том числе 5 статей в журналах, рекомендованных ВАК, и 2 статьи в иностранных журналах.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы, указана научная новизна и практическая ценность, изложены основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава уделена литературному обзору по магнитным бесконтактным подвесам. Приведено сравнение технических и экономических характеристик различных типов подшипников, краткие описания методик измерения силы взаимодействия сверхпроводника с источником магнитного поля и основные методы расчета силы взаимодействия. Обсуждены литературные экспериментальные данные о силе взаимодействия и их корреляции с расчетами. Отмечено, что, несмотря на относительно большое число экспериментальных и теоретических работ, ряд вопросов все еще не достаточно исследованы.

Вторая глава посвящена основным экспериментальным данным по силе взаимодействия сверхпроводника с постоянным магнитом.

Приведено описание автоматизированного стенда, разработанного и собранного для измерения силы взаимодействия сверхпроводника с источником неоднородного магнитного поля. Стенд состоит из двух основных частей: механической, которая принудительно перемещает сверхпроводник относительно магнита по заданной программе в соответствии с режимом измерения, и измерительной, которая измеряет вертикальную компоненту силы, действующей между магнитом и сверхпроводником. Механическая часть приводится в движение шаговыми двигателями через червячные передачи. Управление стендом и сбор данных производится при помощи компьютера.

На рис. 1 приведено относительное расположение сверхпроводника и магнита при измерениях, введены основные обозначения.

Основные характеристики измерительного стенда: чувствительность измерения силы 1-1(Г2Н, погрешность измерения силы 3%, доступно дискретное перемещение в вертикальном и горизонтальном направлении, шаг перемещения до 0,25 мм, минимальное доступное расстояние по вертикали = 2 мм.

Сверхпроводник

Магнит

Рис. 1. Относительное расположение сверхпроводника и магнита при измерениях. Характерные расстояния: г-расстояние по вертикали, х - межосевое расстояние. Компоненты силы, действующей на магнит со стороны сверхпроводника: К - вертикальная, Рх -горизонтальная.

Измерения проводились на образцах плавленно-текстурированной керамики УВагСиэСЬ-г, поскольку этот материал является одним из наиболее перспективных для левитационных применений. В качестве источника магнитного поля использовались Nd-Fe-B магниты с остаточной индукцией около Вгет = 1,2 Тл. Всего сила взаимодействия промерена на 36 образцах.

Приведены характерные полученные зависимости силы Fz от расстояния по вертикали между образцом и магнитом z. Обсуждены характерные свойства этих зависимостей: рост отталкивающей силы Fz с уменьшением расстояния z, наличие области с притягивающей силой Fz, гистерезисный характер зависимости. Показано, что большое значение имеет величина приложенного поля в объеме сверхпроводника при охлаждении его ниже критической температуры. В частности, при охлаждении сверхпроводника ниже критической температуры в присутствии магнитного поля (вблизи магнита, field cooled (FC), см. рис. 2) при некотором промежуточном расстоянии z наблюдается значительная притягивающая сила. При величине z меньше нескольких миллиметров сила остается отталкивающей.

Также приведены характерные зависимости силы взаимодействия Fz от расстояния х между осями симметрии сверхпроводника и магнита. Показано, что с уменьшением расстояния между сверхпроводником и магнитом наблюдается рост силы Fz и гистерезисный характер зависимости FJx). В режиме охлаждения сверхпроводника в магнитном поле на зависимости Fz(x) существует область с притягивающей силой Fz (или со значительным минимумом на отталкивающей силе - см. рис. 3).

Наблюдалась релаксация силы взаимодействия (спад силы при посто-

Рис. 2. Типичная экспериментальная зависимость силы взаимодействия от расстояния по вертикали 2, режим ГС. Стрелками показано направление изменения расстояния г.

О X, см

Рис. 3. Типичная экспериментальная зависимость силы от межосевого расстояния х, режим ГС, г~1 мм. Стрелками показано направление изменения расстояния х.

янном расстоянии между образцом и магнитом, т.е. постоянном приложенном поле). Кроме известной релаксации со спадом силы, наблюдалось, что при релаксации сила может расти. Предварительный рост приложенного поля приводит к уменьшению силы в ходе релаксации, предварительное уменьшение приложенного поля наоборот - дает рост силы. Обнаружено, что на крупных образцах возникает эффект остановки релаксации, т.е. после 1,5-2 минут релаксации сила переставала изменяться (с точностью до чувствительности датчика силы), причем на небольших образцах релаксация силы происходила неопределенно долго.

Обнаружено изменение предельной силы (соответствующей минимальному расстоянию z) в ходе большого количества циклов увеличения и последующего уменьшения приложенного поля (т.е. уменьшения/увеличения расстояния z). Установлено, что сила Fz уменьшается с ростом количества циклов N, и это уменьшение хорошо описывается функцией вида (в режиме охлаждения без магнитного поля): FZ(N) =FyN~' + Fco, где F\ + - максимальная сила за первый цикл, FK -максимальная сила (за цикл) после большого количества циклов, т - коэффициент, характеризующий скорость спада силы. В режиме охлаждения в магнитном поле предельная сила также сильно изменяется, сначала быстро увеличивается, затем уменьшается.

Приведены экспериментальные данные по взаимосвязи силы взаимодействия Fz с плотностью критического тока jc. Полученные экспериментальные данные позволяют сделать следующие предположения. При маленьком расстоянии 2, по-видимому, имеется линейный рост силы с ростом критического тока. При некотором большом z зависимость слабее, чем линейная. Обсуждение этих данных и сопоставление с расчетом приведено в главе 3.

Приведены данные по зависимости силы от толщины массива сверхпроводников. Толщина изменялась путем варьирования количества образцов N в массиве. Обнаружено, что в режиме охлаждения сверхпроводника ниже критической температуры в отсутствии магнитного поля (далеко от магнита, zero field cooled (ZFC)) при количестве образцов N <2 сила Fz с ростом N изменяется примерно линейно, а при N>3 практически не зависит от N. Аналогичные данные получены в режиме FC, следует отметить, что при N>2 сила Fz от N практически не зависит. Сравнение экспериментальных данных с расчетными данными и обсуждение приведено в главе 3.

Обнаружен эффект подавления силы взаимодействия образца с магнитом в переменных ортогональных магнитных полях. Дополнительное магнитное поле, ортогональное полю постоянного магнита, создавалось медным соленоидом. Измерения проводились на образцах с диаметром 14 мм и толщиной 2 мм. Максимальное поле магнита в объеме образца

1.8

1.6

1.4

X

г, 1.2

0.8

0.6 200

240

280 г, с

320

Рис. 4. Подавление силы Рг при воздействии слабым переменным дополнительным полем, ортогональным основному (линия). Стрелками показаны начало и конец первого импульса. Для сравнения показана обычная релаксация силы (пунктирная линия).

составляло 0,27 Тл. На рис. 4 показана релаксация силы, на фоне которой воздействовали импульсами дополнительного поля амплитудой 0,105 Тл и длительностью около 1 с. Явно виден значительный спад силы в момент этих воздействий. Так, спад силы после первого импульса составляет 25%. При последующих воздействиях импульсов дополнительного поля величина спада силы уменьшается, и после большого количества импульсов дополнительного поля сила перестает изменяться. Установлено, что величина спада силы пропорциональна амплитуде импульса. Продолжительное воздействие переменным дополнительным полем также приводит к значительному спаду силы взаимодействия, причем после воздействия релаксация силы прекращается или заметно ослабевает.

Для технических расчетов величины подавления силы взаимодействия (полученной после большого количества воздействий переменным ортогональным полем) можно ограничиться простой моделью, в соответствии с которой токи, возникающие при экранировании дополнительного поля, подавляют уже имеющиеся токи (возникшие при экранировании основного поля и образующие силу). Следует отметить, что образец находился в насыщенном состоянии, т.е. не мог экранировать дальнейшего роста магнитного поля. Кроме того, при экранировании дополнительного поля возникают токи в кристаллографическом направлении с, критический ток в котором значительно меньше такового в направлении а-Ъ (на коэффициент анизотропии у~ 10). В результате этого для экранирования даже небольшого дополнительного поля требуется сравнительно большая толщина, что в сочетании с эффектом подавления уже имеющихся токов приводит значительному подавлению силы.

Третья глава посвящена обсуждению полученных экспериментальных данных. Приведено описание алгоритма расчета силы взаимодействия, сопоставление экспериментальных данных с расчетом, расчет силы в зависимости от ряда параметров системы сверхпроводник-магнит.

Суть метода численного вычисления силы левитации, который описан в ряде работ, состоит в расчете силы взаимодействия поля постоянного

магнита с индуцированными в сверхпроводнике токами. Сверхпроводник можно представить в виде совокупности токов, а именно, Мейсснеров-ских токов и токов вихрей Абрикосова. Чтобы не рассматривать динамику вихрей Абрикосова воспользуемся моделью критического состояния, которая с приемлемой точностью позволяет моделировать магнитные свойства сверхпроводников с жестким хаотическим пиннингом, а именно-моделью Бина. Модель Бина постулирует, что ток, текущий по сверхпроводнику, ограничен величиной критического тока jc:

и не рассматривает зависимость величины jc от внешних параметров.

Сила взаимодействия токов с магнитным полем на единицу объема дается выражением:

f = jxB,

где j - плотность тока, В - индукция магнитного поля. Полная сила получается после интегрирования по всему объему сверхпроводника со: F= Jf dv = JjxBdv.

Таким образом, расчет силы F взаимодействия сверхпроводника с постоянным магнитом сводится к расчету токов j в объеме сверхпроводника.

Рассмотрены цилиндрические и соосные магнит и сверхпроводник. В случае цилиндрической симметрии задача значительно упрощается, поскольку задача становится двухмерной, а часть компонент векторов будут нулевыми.

Суммарное магнитное поле связано с векторным потенциалом соотношением: В = rot А. Материальный закон взят в виде В = |i0H. Из уравнения Максвелла с калибровкой Кулона div А = 0 следует:

rot rot А = ц0 j • (1)

При этом использовано граничное условие: ^|г_оо = 0. Магнит задан токами Jm, которые текут по его боковой поверхности и могут быть рассчитаны из остаточной индукции Brem.

Моделирование сверхпроводника в рамках модели Бина осуществляется специальным алгоритмом (front-tracking алгоритм), который находит как изменяется граница между областями с токами 0, +jc> -jc на каждом шаге по времени. В этом алгоритме сверхпроводник разделяется на два типа областей, определенных следующим образом: область <й|, в которой токи j и векторный потенциал А сохраняются с предыдущего шага по времени, и область (£)2, в которой токи ограничены величиной j„ а векторный потенциал связан с токами через уравнение (1). Определения областей а>| и а>2 задают дополнительные условия на токи и векторный потенциал, при этом токи на границе этих областей не фиксированы и могут быть рассчитаны для заданных Ш] и ш2. Сначала считается, что области coi принадле-

жит весь сверхпроводник. Далее, производится расчет токов j на границе между со| и юг, и те области, где полученные токи j превысили критический ток /с, переводится из области со [ в область а>г. Так получаем новые области (Oj и оо2- Процедура пересчета <И| и <в2 повторяется до тех пор, пока есть токи, превышающих критический ток.

Начальные условия при охлаждении без магнитного поля (ZFC) имеют вид: Л1,«о = 0и;'|/=о = 0-

Указанные уравнения с граничными условиями, начальными условиями, и front-tracking алгоритмом позволяют найти токи в сверхпроводнике.

Сравнение описанного метода расчета с экспериментом показало приемлемое количественное совпадение. Небольшое расхождение можно объяснить грубостью модели Бина, которая не учитывает зависимости критического тока от индукции поля, неоднородностью образца. Вместе с силой взаимодействия может быть рассчитан ряд промежуточных величин, а именно - пространственных распределений магнитного поля, токов в сверхпроводнике, плотности силы. Приведен пример расчета указанных величин. Кроме того, при переходе в несимметричную прямоугольную систему координат появляется возможность рассчитывать продольные системы, причем вместе с вертикальной компонентой силы Fz может быть рассчитана горизонтальная компонента силы Fx.

Показано, что сила взаимодействия зависит от плотности критического тока и получен вид зависимости, показанный на рис. 5: линейный рост и выход на константу FM, соответствующую эффекту Мейсснера. Проведено сравнение расчетной и экспериментальной зависимостей FZ(JC). Для этого для серии образцов были измерены jc методом захваченного поля и F,. Получено хорошее количественно совпадение (рис. б), что свидетельствует о применимости расчета.

Проведены расчеты, демонстрирующие влияние размеров сверхпроводника и магнита на силу взаимодействия между ними. Характер влияния размеров на силу определяется следующими факторами. Поле магнита сильно неоднородно, и его максимум находится вблизи магнита. Размеры магнита влияют на величину и конфигурацию его поля. Параметры сверхпроводника влияют на то, на сколько он попадает в область пространства с максимумом приложенного поля и его градиента.

, ю

Рис. 5. Рассчитанная зависимость силы взаимодействия Fz от плотности критического тока.

Получены следующие зависимости. С ростом толщины сверхпроводника (рис. 7) сила взаимодействия линейно растет и выходит на константу. С ростом радиуса сверхпроводника (рис. 8) сила взаимодействия сначала растет, затем при небольшом превышении радиуса магнита выходит на максимум, и при дальнейшем росте радиуса сверхпроводника выходит на константу, Рост толщины магнита приводит к плавному росту его поля к максимальному значению, что в свою очередь приводит к плавному росту силы взаимодействия к некоторой константе. Рост радиуса магнита существенно влияет на пространственное распределение его поля, что дает максимум на силе взаимодействия при радиусе магнита, близком к радиусу сверхпроводника.

Подробно исследовано формирование силы взаимодействия в многообразцовом случае, когда изменение количества образцов дает изменение толщины массива образцов. Обнаружена неаддитивность силы взаимодействия, т.е. что сила взаимодействия массива образцов с магнитом не

кА/шг

Рис. 6. Зависимость силы взаимодействия от плотности критического тока: сравнение экспериментальных (точки) и расчетных данных (линия).

0.S

« 0-6 £.0.4

0.2

0

О 1 23 4 5 Z/Z*

Рис. 7. Рассчитанная зависимость силы взаимодействия F, от толщины Z образца, Z* - толщина, необходимая для экранировки приложенного поля, примерно равная Hq/Jc-

Рис. 8. Рассчитанная зависимость силы взаимодействия Р, от радиуса Я сверхпроводящего образца, Ят - радиус магнита.

является простой суммой сил взаимодействия с магнитом каждого образца по отдельности. На рис. 9 показана зависимость силы, полученная в режиме 2РС после подвода сверхпроводника к магниту до 2 мм, от количества образцов Л''в массиве образцов. Получен близкий к линейному рост силы при N<211 выход на константу при N > 3.

Проведен расчет силы от массива образцов из предположения аддитивности, а именно, сила от массива образцов посчитана как сумма сил от каждого образца в отдельности:

= = !), (2)

/=0

где Г2(го + Ъ\) - сила взаимодействия на начальном подводе сверхпроводника к магниту, гй + 2-1- расстояние по вертикали между образом и магнитом, взятое с учетом положения образца в массиве. Полученный результат (см. рис. 9) совпадает с экспериментальными данными при N< 2 и значительно расходится при N>2. Это означает, что формула (2) в общем виде не применима. Таким образом, при расчете индуцированных токов надо принимать во внимание экранировку поля дальних от магнита образов ближними образцами. Действительно, расчет методом конечных элементов, который учитывает такую экранировку, дал хорошее совпадение с экспериментом (см. рис. 9).

На рис. 10 представлено объемное распределение токов внутри сверхпроводящих образцов при увеличении их числам, полученное в результате расчета методом конечных элементов. Один образец (рис. 10, а): почти во всем образце течет критический ток, кроме небольшой области в середине, образец не экранирует поле. Семь образцов (рис. 10,6): видно, что основная часть токов сосредоточена в первом образце и в радиальной части остальных образцов; основной вклад в силу взаимодействия дают два первых образца в сверхпроводящем блоке; добавление А^ 1-го (следующего) образца приводит к изменению распределения токов только в Я-ном образце, причем в сторону уменьшения Рис. 9. Зависим0сть силы взаимодейст-вклада И-го образца в силу взаимо- вия от количества образцов в массиве: действия. • - эксперимент, ► - расчет из пред-

На рис. 10, в представлены рас- положения аддитивности, линия - распределения, полученные для еди- чет с учетом взаимной экранировки.

ничных образцов без учета экранировки. Как отчетливо видно, распределения токов на рис. 10, б и в различаются, что соответствует разнице в силе примерно в 1,5 раза.

Анализ разницы между цельным образцом и слоистым массивом образцов показывает, что объем, занятый токами у цельного образца (см. рис. 10, б) и у слоистого массива образцов (см. рис. 10, г) примерно одинаков. Разницу составляют только зазоры между образцами и экранирующий ток вдоль этих зазоров. Сила взаимодействия от слоеного сверхпроводящего блока незначительно меньше, чем от цельного (4,78 Н и 4,68 Н соответственно, разница в 2%). То есть, в данном случае, появление зазоров между различными частями массива образцов несущественно сказывается на конечной силе

Обнаружено влияние величины приложенного поля на силу взаимодействия Г2. Расчет показал, что при некотором малом приложенном поле Н0 его величина дает квадратичный вклад в силу Г,, а при некотором большом Но оно дает линейный вклад в Р2.

При исследовании влияния на силу взаимодействия пространственного

2й

Рис. 10. Распределения токов в массиве образцов: г = г0, ТЯС, расчет методом конечных элементов. Показано сечение по диаметру: черный цвет - ток с величиной }с, белый цвет - тока нет, светло-серым цветом показана граница образцов. а - Аг= 1; б- N = 7; в - один образец на расстояниях г кратных его толщине I в ходе приближения к магниту после 2РС, распределение токов соответствуют предположению аддитивности; г - цельный образец.

распределения поля магнита, а именно влияния конфигурации магнитных полюсов при использовании массива магнитов, установлено, что более желательны конфигурации магнитов с чередованием магнитных полюсов, т.к. они дают больший градиент поля. При этом менее желательно чередование полюсов такое, что эффективно получается один магнит с двумя полюсами. При разных значениях расстояния между магнитами и образцом могут выигрывать разные конфигурации. В большинстве случаев наибольшую силу взаимодействия дает конфигурация магнитов, известная как массив Халбаха.

Четвертая глава посвящена расчету физических характеристик сверхпроводящих образцов из измеренной силы взаимодействия образца с магнитом. Исходя из модели критического состояния сверхпроводников второго рода и модели термоактивированного крипа магнитного потока, из единственной измеряемой величины г-товой компоненты силы взаимодействия определены такие важные характеристики как плотность критического тока, намагниченность, вольтамперная характеристика, энергия пиннинга вихревой структуры Абрикосова.

Разработан метод расчета намагниченности в диамагнитном случае, который базируется на сравнении экспериментальной и рассчитанной сил. Сначала определяется коэффициент а, характеризующий степень захвата поля образцом, который вычисляется из предположения, что результирующая сила есть сумма сил максимальной отталкивающей, полностью диамагнитной, и максимальной притягивающей, соответствующей захвату поля:

К 00 = ла(*) + трреЛ (г, 20) • а • (3)

Затем находится намагниченность как разница между приложенным Но(го) и захваченным полем Вг ,гаррг1г) = Ц0#0,(20)-а, т-е-ЦоМ/г) = роЯо2(2о)-а - 1±0Яс-(г). Выражая а через формулу (3), и подставляя в выражение для намагниченности, получаем: д

р (2) _ р. (V)

р0 МДЯ0р(г)) = ц0 ИМ 2Т \ "Т -Цо #„,(*) •

ггаррес/ \2> 2о )

Тестовый расчет намагниченности по этому алгоритму, дал верный качественный результат.

В насыщенном случае намагниченность можно вычислить из предположения, что по всему сверхпроводнику течет одинаковый ток. Тогда сила дается выражением:

... .; г к

^(2)=271Ц0./ф ||я0р(р,2 + 2*)рйрй2'>

о о

и намагниченность:

0 2 2 г

так что намагниченность через силу выражается следующим образом:

А__Но., (4)

Л2(Н0!(г)) 2

где А\ - форм-фактор, - сила взаимодействия единичного тока в объеме всего образца с приложенным полем. На рис. 11 приведено сравнение рассчитанной намагниченности с намагниченностью, измеренной холлов-ским методом. Полученные зависимости совпадают в области, соответствующей насыщению образца (т.е. в том случае, для которого получена формула (4)), что свидетельствует о применимости выражения (4).

При помощи метода расчета силы взаимодействия, описанного в главе 3, можно рассчитать зависимость Ргсыс{!с) для заданных параметров системы магнит-сверхпроводник. Данная зависимость хорошо согласуется с экспериментальными данными, в которых сила Рг и критический ток ]с измерены для нескольких разных сверхпроводников (см. рис. 6 и комментарии к нему). Следовательно, решая уравнение

= Р ( / )

2 сак V./ с /

(5)

относительно ]с, можем найти значение критического тока ]с, соответствующее измеренной силе Р, ехрег. Следует отметить, что зависимость Р2(]'с) монотонная, следовательно, уравнение (5) не является обратной задачей, а

может быть решено простым итерационным методом.

Разработан метод оценки вольт-амперной характеристики сверхпроводника из измеренной релаксации силы взаимодействия. Метод основан на использовании рези-стивного уравнения, представляющего сверхпроводник в виде эквивалентной электрической цепи, состоящей из сопротивления и индуктивности. В виду сложности задачи рассмотрена простая геометрия с эффективными параметрами сверхпроводника. Полученную экспериментально релаксацию силы ^(0 можно пересчитать в зависимость среднему по образцу току /ф от времени ^ которую можно преобразо-

Рис. 11. Сравнение намагниченностей, рассчитанных из измеренной силы взаимодействия (точки) с намагниченностью, полученной холловским методом (сплошная линия).

вать в изменение тока <3/ф(г)/ог, необходимое для резистивного уравнения:

где Ке/- эффективный радиус, 1еу- эффективная индуктивность. Из резистивного уравнения непосредственно получается зависимость £(/'), т.е. искомая вольтамперная характеристика (ВАХ). При проведении тестовых расчетов получен верный вид зависимости £(/'). Как известно, вольтам-перную характеристику плавленно-текстурированной керамики можно аппроксимировать функцией вида:

Такая аппроксимация дала типичные значения параметров ВАХ.

Кроме того, разработан метод получения энергии термоактивации вихрей, точнее ее зависимости от приложенного поля. На основе зависимости средней скорости движения вихря от энергии термоактивации получена взаимосвязь средней энергии активации депининга вихрей с вольтамперной характеристикой, а именно - следующая формула:

где а, со - расстояние и частота перемещений вихря, /со - ток, при котором потенциальный барьер исчезает. В соответствии с этой формулой по известной зависимости ЕЦ, Но) можно получить параметры зависимости иЦ, Но). Тестовый расчет по этой формуле дал верные порядок энергии термоактивации и вид зависимости от приложенного поля (спад таковой при росте приложенного поля).

5?

е(Л=ЕШУ-

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Разработана методика и изготовлен универсальный компьютеризированный стенд, предназначенный для измерения силы взаимодействия между сверхпроводящим образом и постоянным магнитом в зависимости от расстояния по вертикали между образцом и магнитом, а также в зависимости от величины продольного перемещения образца относительно магнита.

2. Определены основные физические закономерности, характеризующие статическое и динамическое взаимодействие массивных ВТСП с полем постоянного магнита. Установлено, что такое взаимодействие может носить как отталкивающий, так и притягивающий характер.

3. Обнаружено, что сила взаимодействия растет с увеличением критического тока по линейному закону и стремится к постоянному значению при больших значениях критического тока. Показано, что по известному критическому току можно рассчитать силу взаимодействия, и, наоборот, по измеренной силе можно определить критический ток.

4. Найдены зависимости силы взаимодействия от геометрических параметров сверхпроводника и магнита, в том числе впервые экспериментально определены зависимости максимальной отталкивающей силы и максимальной притягивающей силы от толщины ВТСП в режимах охлаждения сверхпроводника как в нулевом, так и в конечном магнитном поле.

5. Установлено, что особенность наблюдаемого поведения силы взаимодействия при изменении параметров сверхпроводника и магнита связана как с неоднородностью приложенного поля, так и с результирующей неоднородностью распределения индуцированных в сверхпроводнике токов.

6. Впервые обнаружено явление существенного уменьшения силы взаимодействия в малых переменных скрещенных магнитных полях. Показано, что причиной наблюдаемого эффекта может быть подавление критического состояния в сверхпроводнике.

7. Разработаны и реализованы физические подходы и методы получения из силы взаимодействия важнейших характеристик сверхпроводящего образца: намагниченности, плотности критического тока, вольтампер-ной характеристики.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ю. С. Ермолаев, А. В. Еремин, И. А. Руднев, А. Е. Ходот. Автоматизированная система для исследования левитационных характеристик ВТСП материалов // В кн.: Труды научной сессии МИФИ-2002, т. 4, с. 104-105.

2. Ю. С. Ермолаев, А. В. Еремин, И. А. Руднев, А. Е. Ходот. Исследование силы магнитной левитации в массивных ВТСП материалах // В кн.: Труды научной сессии МИФИ-2002, т. 4, с. 106-107.

3. Ю. С. Ермолаев, И. А. Руднев. Автоматизированная система для измерения силы магнитной левитации // ПТЭ, 2004, № 1, с. 164-165.

4. Ю. С. Ермолаев, И. А. Руднев. Определение намагниченности ВТСП по силе магнитной левитации // В кн.: Труды научной сессии МИФИ-2004, т. 4, с. 153-155.

5. Ю. С. Ермолаев, И. А. Руднев. Новый метод определения обратимой петли намагниченности массивных высокотемпературных сверхпроводников // Письма в ЖТФ, 2004, т. 30, вып. 17, с. 1-6.

6. Ю.С. Ермолаев, И.А. Руднев. Автоматизированный стенд для комплексных измерений силы магнитной левитации // В кн.: Труды ежегодной научной конференции ИСФТТ РНЦ «Курчатовский институт», 2004, с. 104.

7. О. JI. Полущенко, Н. А. Нижельский, В. А. Матвеев, И. А. Руднев, Ю. С. Ермолаев. Левитационные характеристики объемных монодоменных YBCO сверхпроводников // В кн.: Труды 5 Международной конференции «Электротехнические материалы и компоненты», Алушта, сентябрь 2004 г., с. 185-188.

8. И. А. Руднев, Ю. С. Ермолаев, О. Л. Полущенко, Н. А. Нижельский, В. А. Матвеев. Магнитные и левитационные свойства монодоменных сверхпроводников Y-Ba-Cu-О // В кн.: Труды Международной конференции «Фундаментальные проблемы высокотемпературной сверхпроводимости», Москва- Звенигород, октябрь 2004 г., с. 281282.

9. Ю. С. Ермолаев, И. А. Руднев. Левитационные характеристики многослойных сверхпроводящих блоков // В кн.: Труды научной сессии МИФИ-2005, т. 4, с. 163-164.

10. Ю. С. Ермолаев, И. А. Руднев, О. Л. Полущенко, Н. А. Нижельский. Влияние толщины сверхпроводящего блока на силу магнитной левитации // В кн.: Труды ежегодной научной конференции ИСФТТ РНЦ «Курчатовский институт», 2005, с. 125.

11. Ю. С. Ермолаев, И. А. Руднев. Оптимизация объема сверхпроводника в простейшей левитационной системе: расчет методом конечных

элементов // В кн.: Труды ежегодной научной конференции ИСФТТ РНЦ «Курчатовский институт», 2005, с. 126.

12.1. A. Rudnev, Y. S. Ermolaev, O. L. Poluschenko, N. A. Nizelskiy. Nonad-ditivity of Magnetic Lévitation Force // In: Proc. of 7th European Conference on Applied Superconductivity, Vienna- Austria, 11-15 September 2005, p. 223.

13.1. A. Rudnev and Yu. S. Ermoiaev. Non-additivity of magnetic lévitation force //J. Phys.: Conf. Ser. 2006,43, 983-986.

14. Ю. С. Ермолаев, И. А. Руднев. Метод расчета силы левитации в системе магнит-сверхпроводник // Письма в ЖТФ, 2005, т. 31, вып. 24, с. 60-66.

15.10. С. Ермолаев, И. А. Руднев. Факторы, влияющие на силу левитации //В кн.: Труды научной сессии МИФИ-2006, т. 4, с. 164-166.

16. Ю. С. Ермолаев, И.А.Руднев. Левитационные свойства сверхпроводящего блока // Инженерная физика, 2006, вып. 4, с. 45-50.

17. Ю. С.Ермолаев, И.А.Руднев. Влияние параметров системы магнит-сверхпроводник на силу левитации // В кн.: Труды ежегодной научной конференции ИСФТТ РНЦ «Курчатовский институт», 2006, с. 158.

18. И. А. Руднев, Ю. С. Ермолаев. Влияние характеристик сверхпроводника на левитационные свойства системы магнит-сверхпроводник // В кн.: Сборник трудов XXXIV совещания по физике низких температур (НТ-34), Ростов-на-Дону, 26-29 сентября 2006 г., т. 2, стр. 202-204.

19. И. А. Руднев, 10. С. Ермолаев, О. Л. Полущенко, Н. А. Нижельский. Левитационные свойства многослойного сверхпроводящего блока // В кн.: Труды 2-ой международной конференции «Фундаментальные проблемы высокотемпературной сверхпроводимости», Звенигород, октябрь 2006 г., с. 292-293.

20. Ю. С. Ермолаев, И.А.Руднев, Применение высокотемпературных сверхпроводников в подшипниках и бесконтактных опорах // В кн.: Труды научной сессии МИФИ-2007, т. 4, с. 177-179.

21. И. А. Руднев, Ю. С. Ермолаев, Подавление силы левитации в скрещенных магнитных полях // В кн.: Труды научной сессии МИФИ-2007, т. 4, с. 179-180.

22. И. А. Руднев, Ю. С. Ермолаев. Влияние характеристик сверхпроводника на левитационные свойства системы магнит-сверхпроводник // ЖЭТФ, 2007, т. 105, вып. 1, с. 290-293.

23.1. A. Rudnev, Yu. S. Ermolaev. Suppression of magnetic lévitation force in melt-textured YBCO superconductors by a transverse AC magnetic field // European Conference on Applied Superconductivity, Brussels - Belgium, 17-20 September 2007, p. M0012.

24. И. А. Руднев, Ю. С. Ермолаев. Уменьшение силы левитации под воздействием поперечного магнитного поля // В кн.: Труды ежегодной

научной конференции ИСФТТ РНЦ «Курчатовский институт», 26-30 ноября 2007 г., с. 219.

25.1. A. Rudnev, Yu. S. Ermolaev. Suppression of magnetic lévitation force in melt-textured УВа2Сиз07_х superconductors by a transverse AC magnetic field // J. of Physics: Conference Series, 2008, 97, p. 012006-4.

26. И. А. Руднев, Ю.С.Ермолаев. Уменьшение силы магнитной левитации в скрещенных магнитных полях II Инженерная физика, 2008, № 2, с. 23-25.

Подписано в печать: 01.04.2010

Заказ № 3491 Тираж - 90 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499)788-78-56 www.autoreferat.ru

Введение.

Глава 1. Литературный обзор.

1.1. Магнитные бесконтактные подвесы.

1.2. Бесконтактные подвесы на основе сверхпроводников П-го рода.

1.3. Методы описания взаимодействия сверхпроводника с неоднородным магнитным полем.

1.4. Экспериментальные данные по силе взаимодействия между сверхпроводником и магнитом.

1.5. Методы расчета и результаты расчетов силы взаимодействия между сверхпроводником и магнитом.

1.6. Расчет характеристик сверхпроводящего образца.

1.7. Постановка задачи.

Глава 2. Результаты экспериментов.

2.1. Описание стенда для измерения силы взаимодействия сверхпроводника с магнитом.

2.2. Экспериментальные зависимости силы взаимодействия сверхпроводника с магнитом от координат сверхпроводника относительно магнита.

2.3. Динамические эффекты.

2.4. Влияние толщины массива сверхпроводников.

2.5. Влияние плотности критического тока.

2.6. Подавление силы взаимодействия сверхпроводника с магнитом действием переменного магнитного поля.

Большинство магнитных систем подчиняется известной теореме Эрншоу (см. [1-4] и ссылки в них), которая заключается в том, что совокупность зарядов с потенциалом взаимодействия вида ~ 1 /г (где г -расстояние между зарядами) является статически неустойчивой. Теорема Эрншоу была расширена Браунбеком [1, 4] (и ссылки в них), где было доказано, что устойчивый статический магнитный подвес невозможен для материалов с относительной магнитной проницаемостью ju> 1, но возможен для материалов с /л < 1.

Теорема Эрншоу обосновывает невозможность создания бесконтактных подвесов на основе ферромагнитных материалов. Существуют способы, позволяющие избежать следствий данной теоремы. К ним относятся: использование методов добавления устойчивости и использование систем, не подчиняющихся теореме Эрншоу. Основным способом создания устойчивости в исходно неустойчивых магнитных системах, и практически единственным способом надежного бесконтактного подвеса массивных макроскопических объектов, являются системы с активными обратными связями [4]. Однако эксплуатация таких систем существенно затратна, а их КПД далеко не идеален [5]. Также существуют некоторые другие методы создания бесконтактных подвесов, но они обладают рядом недостатков по сравнению с системами с активными обратными связями (связанных, главным образом, с проблемами надежности подвеса и ограничениями на массу подвешенного объекта), в связи с чем не получили широкого распространения [4].

Не подчиняются теореме Эрншоу системы с диамагнитными материалами [1, 3, 4], к которым относятся материалы со слабым молекулярным диамагнетизмом и, что важно, сверхпроводящие материалы (как 1-го, так и П-го рода). Так, система, состоящая из магнита, который является источником неоднородного магнитного поля, и сверхпроводника П-го рода с жестким пиннингом, обладает рядом характерных свойств, не присущих другим магнитным системам [1, 6,

7]. Одна из таких особенностей состоит в том, что магнит и сверхпроводник могут образовывать устойчивую стабильную систему. Силу, с которой взаимодействуют магнит и сверхпроводник, согласно устоявшейся в литературе терминологии, будем называть силой левитации. Стабильность левитации подразумевает, что при смещении магнита из положения равновесия возникают силы, возвращающие его обратно. Если эти силы преодолеть, то магнит перемещается в новое устойчивое положение равновесия. При перемещении магнита вверх сверхпроводник стремится вверх за магнитом так, что расстояние между магнитом и сверхпроводником остается почти неизменным. То есть магнит «сцеплен» со сверхпроводником. Магнит цилиндрической формы с цилиндрически симметричным магнитным полем может свободно вращаться вокруг оси симметрии.

Этими необычными свойствами обусловлен ряд применений [1, 5, 7-35], в которых подвесы или подшипники на основе сверхпроводников П-го рода обладают лучшими характеристиками и меньшей эксплуатационной стоимостью, чем их традиционные аналоги [5, 8, 9].

Кроме того, на основе измерения характеристик взаимодействия сверхпроводящих образцов с неоднородным магнитным полем можно разработать простые научно обоснованные методы тестирования сверхпроводящих образцов (в том числе высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП)), которые представляют практический интерес, т.к. традиционные методы тестирования, такие как регистрация критического тока, намагниченности, а также измерение динамических параметров требуют относительно больших затрат времени и специальных аппаратных средств. Первые работы, проведенные в этом направлении, показали принципиальную возможность определения критического тока и других параметров сверхпроводника из силы взаимодействия между сверхпроводником и магнитом [17, 36-43].

Таким образом, исследование взаимодействия сверхпроводника и источника неоднородного магнитного поля, определение основных параметров этого взаимодействия являются актуальными и представляют значительный научный и прикладной интерес.

Целью работы явилось установление физических закономерностей взаимодействия сверхпроводника с постоянным магнитом, определение 5 влияния параметров сверхпроводника, магнита и внешних условий на силу взаимодействия.

Для выполнения поставленной цели решены следующие задачи:

• Разработана и изготовлена универсальная автоматизированная экспериментальная установка, предназначенная для измерения статических и динамических характеристик силы взаимодействия образца и магнита.

• Получены подробные экспериментальные данные по статическим и динамическим зависимостям силы взаимодействия образца и магнита в различных режимах охлаждения и различных конфигурациях магнит-сверхпроводник.

• Получены данные о влиянии сверхпроводящих и геометрических параметров образца на силу взаимодействия сверхпроводника с магнитом.

• Получены экспериментальные данные, характеризующие влияние внешнего переменного магнитного поля на силу взаимодействия магнит-сверхпроводник.

• Обобщены и обсуждены экспериментальные результаты на основе сравнения экспериментальных и расчетных данных.

• Получены из измеренной силы левитации характеристики сверхпроводника.

Научная новизна работы.

• Разработан и изготовлен оригинальный автоматизированный экспериментальный стенд, предназначенный для измерения силы взаимодействия между сверхпроводящим образцом, и постоянным магнитом в различных режимах охлаждения в зависимости от времени и взаимного положения магнита и сверхпроводника.

• Получены комплексные экспериментальные данные, выявляющие как основные закономерности формирования силы взаимодействия сверхпроводника с магнитом, так и характер зависимости силы взаимодействия от свойств сверхпроводника, в частности, от плотности критического тока сверхпроводника и его толщины.

• Впервые обнаружен эффект подавления силы взаимодействия сверхпроводника с неоднородным магнитным полем при добавлении слабого поперечного переменного магнитного поля.

• Впервые развиты и применены методы определения значений плотности критического тока, вольтамперной характеристики, петли намагниченности из результатов измерений силы взаимодействия сверхпроводника с магнитом.

Научная и практическая ценность. Результаты диссертационной работы могут быть использованы при конструировании и расчете бесконтактных подвесов и подшипников на основе сверхпроводящих материалов, в том числе для оптимизации массогабаритных характеристик таких подшипников и для обеспечения безопасного функционирования этих устройств в условиях воздействия внешних переменных электромагнитных полей, а также для бесконтактного измерения характеристик сверхпроводящих образцов.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Разработанная методика измерения силы взаимодействия сверхпроводника и магнита.

2. Экспериментальные результаты по выявлению закономерностей формирования статических и динамических свойств силы взаимодействия сверхпроводника с магнитом в различных условиях охлаждения.

3. Результаты экспериментов, определяющие характер влияния физических параметров сверхпроводника на силу взаимодействия, сверхпроводника с магнитом.

4. Результаты измерений силы взаимодействия сверхпроводника с магнитом в присутствии поперечного переменного магнитного поля, свидетельствующие о том, что слабое магнитное поле подавляет силу взаимодействия сверхпроводника и магнита.

5. Разработанные физические принципы и методы определения критического тока, намагниченности и вольтамперных характеристик сверхпроводника по измеренной силе взаимодействия его с магнитом.

Достоверность научных положений, результатов и выводов. Достоверность экспериментальных данных подтверждена совпадением измеренной силы взаимодействия между двумя постоянными магнитами с аналитическим расчетом таковой. Достоверность расчетов подтверждается совпадением в предельных случаях с известными аналитическими методами расчета. Часть полученных результатов согласуется с результатами других авторов.

Личный вклад соискателя. Все результаты, представленные в работе, получены соискателем лично, либо в соавторстве при его непосредственном участии.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов и библиографии. Работа изложена на 115 страницах, содержит 46 рисунков, 4 таблицы и список цитируемой литературы из 108 наименований.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Разработана методика и изготовлен универсальный компьютеризированный стенд, предназначенный для измерения силы взаимодействия между сверхпроводящим образом и постоянным магнитом в зависимости от расстояния по вертикали между образцом и магнитом, а также в зависимости от величины продольного перемещения образца относительно магнита.

2. Определены основные физические закономерности, характеризующие статическое и динамическое взаимодействие массивных ВТСП с полем постоянного магнита. Установлено, что такое взаимодействие может носить как отталкивающий, так и притягивающий характер.

3. Обнаружено, что сила взаимодействия растет с увеличением критического тока по линейному закону и стремится к постоянному значению при больших значениях критического тока. Показано, что по известному критическому току можно рассчитать силу взаимодействия, и, наоборот, по измеренной силе можно определить критический ток.

4. Найдены зависимости силы взаимодействия от геометрических параметров сверхпроводника и магнита, в том числе впервые экспериментально определены зависимости максимальной отталкивающей силы и максимальной притягивающей силы от толщины ВТСП в режимах охлаждения сверхпроводника как в нулевом, так и в конечном магнитном поле.

5. Установлено, что особенность наблюдаемого поведения силы взаимодействия при изменении параметров сверхпроводника и магнита связана как с неоднородностью приложенного поля, так и с результирующей неоднородностью распределения индуцированных в сверхпроводнике токов.

6. Впервые обнаружено явление существенного уменьшения силы взаимодействия в малых переменных скрещенных магнитных полях. Показано, что причиной наблюдаемого эффекта может быть подавление критического состояния в сверхпроводнике.

7. Разработаны и реализованы физические подходы и методы получения из силы взаимодействия важнейших характеристик сверхпроводящего образца: намагниченности, плотности критического тока, вольтамперной характеристики.

Список работ по теме диссертации

Полученные результаты опубликованы в работах:

1. Ю. С. Ермолаев, А. В. Еремин, И. А. Руднев, А. Е. Ходот, Автоматизированная система для исследования левитационных характеристик ВТСП материалов, Труды Научная сессия МИФИ-2002, том 4, стр. 104-105.

2. Ю. С. Ермолаев, А. В. Еремин, И. А. Руднев, А. Е. Ходот, Исследование силы магнитной левитации в массивных ВТСП материалах, Труды Научная сессия МИФИ-2002, том 4, стр. 106-107.

3. Ю. С. Ермолаев, И. А. Руднев, Автоматизированная система для измерения силы магнитной левитации // ПТЭ, № 1, 2004, стр. 164-165.

4. Ю. С. Ермолаев, И. А. Руднев, Определение намагниченности ВТСП по силе магнитной левитации, Труды Научная сессия МИФИ-2004, том 4, стр. 153-155.

5. Ю. С. Ермолаев, И. А. Руднев, Новый метод определения обратимой петли намагниченности массивных высокотемпературных сверхпроводников // Письма в ЖТФ, т. 30, вып. 17, стр. 1-6, 2004.

6. Ю. С. Ермолаев, И. А. Руднев, Автоматизированный стенд для комплексных измерений силы магнитной левитации, Ежегодная научная конференция ИСФТТ, 2004, с. 104.

7. Полущенко О. JL, Нижельский Н. А., Матвеев В. А., Руднев И. А., Ермолаев Ю. С., Левитационные характеристики объемных монодоменных YBCO сверхпроводников, Труды 5 Международной конференции «Электротехнические материалы и компоненты», Алушта, сентябрь 2004 г., стр. 185-188.

8. И. А. Руднев, Ю. С. Ермолаев, О. JI. Полущенко, Н. А. Нижельский, В. А. Матвеев, Магнитные и левитационные свойства монодоменных сверхпроводников Y-Ba-Cu-O, Труды Международной конференции «Фундаментальные проблемы высокотемпературной сверхпроводимости», Москва -Звенигород, октябрь 2004 г., с. 281-282.

9. Ю. С. Ермолаев, И. А. Руднев, Левитационные характеристики многослойных сверхпроводящих блоков, Труды Научная сессия МИФИ-2005, том 4, стр. 163-164.

10. Ю. С. Ермолаев, И.А.Руднев, О. JI. Полущенко, Н. А. Нижельский, Влияние толщины сверхпроводящего блока на силу магнитной левитации, Ежегодная научная конференция ИСФТТ, 2005, с. 125.

11. Ю. С. Ермолаев, И.А.Руднев, Оптимизация объема сверхпроводника в простейшей левитационной системе: расчет методом конечных элементов, Ежегодная научная конференция ИСФТТ, 2005, с. 126.

12. I. A. Rudnev, Y. S. Ermolaev, О. L. Poluschenko, N. A. Nizelskiy, Nonadditivity of Magnetic Levitation Force, 7th European Conference on Applied Superconductivity, Vienna - Austria, 11-15 September 2005, p. 223.

13. I. A. Rudnev and Yu. S. Ermolaev, Non-additivity of magnetic levitation force // J. Phys.: Conf. Ser. 43, 2006, pp. 983-986.

14. Ю. С. Ермолаев, И. А. Руднев, Метод расчета силы левитации в системе магнит-сверхпроводник // Письма в ЖТФ, т. 31, вып. 24, стр. 60-66, 2005.

15. Ю. С. Ермолаев, И.А.Руднев, Факторы, влияющие на силу левитации, Труды научной сессии МИФИ 2006, том 4, стр. 164166.

16. Ю. С. Ермолаев, И. А. Руднев, Левитационные свойства сверхпроводящего блока // Инженерная физика, вып. 4, 2006, стр. 45-50.

17. Ю. С. Ермолаев, И.А.Руднев, Влияние параметров системы магнит-сверхпроводник на силу левитации, Ежегодная научная конференция ИСФТТ, 2006, стр. 158.

18. И А. Руднев, Ю.С.Ермолаев, Влияние характеристик сверхпроводника на левитационные свойства системы магнит-сверхпроводник, XXXIV совещание по физике низких температур (НТ-34), Ростов-на-Дону, 26-29 сентября 2006 г.,

103 т. 2, стр. 202-204.

19. И. А. Руднев, Ю. С. Ермолаев, О. JI. Полущенко, Н. А. Нижельский, Левитационные свойства многослойного сверхпроводящего блока, 2-я международная конференция «Фундаментальные проблемы высокотемпературной сверхпроводимости», Звенигород, октябрь 2006 г., стр. 292-293.

20. Ю. С. Ермолаев, И. А. Руднев, Применение высокотемпературных сверхпроводников в подшипниках и бесконтактных опорах, Труды научной сессии МИФИ 2007, том 4, стр. 177179.

21. И. А. Руднев, Ю.С.Ермолаев, Подавление силы левитации в скрещенных магнитных полях, Труды научной сессии МИФИ 2007, том 4, стр. 179-180.

22. И. А. Руднев, Ю. С. Ермолаев, Влияние характеристик сверхпроводника на левитационные свойства системы магнит-сверхпроводник//ЖЭТФ, 2007, т. 105, вып. 1, стр. 290-293.

23. I. A. Rudnev, Yu. S. Ermolaev, Suppression of magnetic levitation force in melt-textured YBCO superconductors by a transverse AC magnetic field, European Conference on Applied Superconductivity, Brussels - Belgium, 17-20 September 2007, p. M0012.

24. И. А. Руднев, Ю. С. Ермолаев, Уменьшение силы левитации под воздействием поперечного магнитного поля, Ежегодная научная конференция ИСФТТ по физике конденсированного состояния, сверхпроводимости и материаловедению, 26-30 ноября 2007 г., стр. 219.

25. I. A. Rudnev, Yu. S. Ermolaev, Suppression of magnetic levitation force in melt-textured УВа2Сиз07.х superconductors by a transverse AC magnetic field // J. of Physics: Conference Series 97, 2008, p. 012006-4.

26. И. А. Руднев, Ю. С. Ермолаев, Уменьшение силы магнитной левитации в скрещенных магнитных полях // Инженерная физика, №2, 2008, стр. 23-25.

Заключение

1. HullJ. R. Superconducting bearings // Supercond. Sci. Technol., 2000, v. 13, pp. R1-R15.

2. Тамм И. E. Основы теории электричества.— 11-е изд.- М.: «Физматлит», 2003.-616 с.

3. J. R. Hull, Effect of permanent-magnet irregularities in levitation force measurements // Supercond. Sci. Technol., v. 13, 2000, pp. 854-856.

4. Журавлев Ю. H. Активные магнитные подшипники. Теория, расчет, применение. — СПб.: «Политехника», 2003 206 с.

5. F. N. Werfel, Anwendungen supraleitender Levitationslager // Forum Hannovermesse 2006: "Hochtemperatur-Supraleiter Innovative Materialien und Betriebsmittel fur die Energietechnik".

6. Superconducting levitation. Superconductivity Lab, Department of Physics, University of Oslo, http://www.fys.uio.no/super/levitation/.

7. M. Muralidhar, N. Sakai, M. Jirsa, M. Murakami and N. Koshizuka, Superconducting levitation at 90 К a base for construction of non-contact liquid oxygen pumps // Supercond. Sci. Technol., v. 18, 2005, pp. S47-S51.

8. John R. Hull, Applications of high-temperature superconductors in power technology // Rep. Prog. Phys., v. 66, 2003, pp. 1865-1886.

9. John R. Hull, Masato Murakami, Applications of Bulk High-Temperature Superconductors // Proceedings of the IEEE, v. 92, n. 10, 2004, pp. 1705-1718.

10. S. O. Siems, W.-R. Canders, H. Walter and J. Bock, Superconducting magnetic bearing for a 2 MW/10 kWh class energy storage flywheel system // Supercond. Sci. Technol., 2004, v. 17, pp. S229-S233.

11. Т. H. Sung, J. L. Lee, Y. H. Han, S. C. Han, C. J. Kim, G. W. Hong, S. K. Choi, Y. C. Kim, S. J. Kim, Flywhell energy storage system with a horizontal axle mounted on high Tc superconductor bearings // Cryogenics, v. 41, pp. 461-467, 2001.

12. Т. M. Mulcahy, J. R. Hull, K. L. Uherka, R. G. Abboud, and J. J. Juna, Test Results of 2-kWh Flywheel Using Passive PM and HTS Bearings // IEEE Transactions on Applied Superconductivity, 11(1), pp. 1729-1732, 2001.

13. S. Nagaya, N. Kashima, M. Minami, H. Kawashima and S. Unisuga, Study on High Temperature Superconducting Magnetic Bearing for 10 kWh Flywheel Energy Storage System // IEEE Transactions on Applied Superconductivity, 11(1), pp. 1649-1652,2001.

14. A. M. Wolsky, An overview of flywheel energy systems with HTS bearings // Supercond. Sci. Technol., v. 15, 2002, pp. 836-837.

15. Т. H. Sung, S. C. Han, Y. H. Han, J. S. Lee, N. H. Jeong, S. D. Hwang, S. K. Choi, Designs and analyses of flywheel energy storage systems using high-Tc superconductor bearings // Cryogenics, v. 42, 2002, pp. 357-362.

16. S. Nagaya, K. Komura, N. Kashima, H. Kawashima, S. Unisuga, Y. Kakiuchi, Development of the composite superconducting magnetic bearing for superconducting flywheel // Physica C, v. 392-396, 2003, pp. 719-722.

17. K. Matsunaga, N. Yamachi, M. Tomita, M. Murakami, N. Koshizuka,

18. Characterization of YBCO bulk superconductors for 100 kWh flywheel // Physica C, v. 392-396, 2003, pp. 723-728.

19. J.-S. Kim and S.-H. Lee, Dynamic characteristics of a flywheel energy storage system using superconducting magnetic bearings // Supercond. Sci. Technol., v. 16, 2003, pp. 473-478.

20. O. Tsukamoto, S. Akita, Overview of R&D activities on applications of superconductivity to power apparatuses in Japan // Cryogenics, v. 42, 2002, pp. 337-344.

21. S. Y. Wang, J. S. Wang, Z. Y. Ren, M. Zhu, H. Jiang, X. R. Wang, X. M. Shen, H. H. Song, High temperature superconducting Maglev equipment on vehicle // Physica C, v. 386,2003, pp. 531-535.

22. R. M. Stephan, R. de Andrade Jr., G. C. dos Santos, M. A. Neves, R. Nicolsky, Levitation force and stability of superconducting linear bearings using NdFeB and ferrite magnets // Physica C, v. 386, 2003, pp. 490-494.

23. Z. Ren, J. Wang, S. Wang, H. Jiang, M. Zhu, X. Wang, X. Shen, A hybrid maglev vehicle using permanent magnets and high temperature superconducting bulks // Physica C, v. 387-381, 2002, pp. 873-876.

24. H. Fujimoto, Technical issues of a high-Tc superconducting bulk magnet // Supercond. Sci. Technol., v. 13, 2000, pp. 827-829.

25. C. Gu, M. Liu, H. Xing, T. Zhou, W. Yin, J. Zong, Z. Han, Design, construction and performance of an EMS-based HTS maglev vehicle // Physica C, v. 423, 2005, pp.37-44.

26. R.M. Stephan, R. Nicolsky, M.A. Neves, A.C. Ferreira, R. de Andrade Jr., M.A. Cruz Moreira, M.A. Rosaario, O.J. Machado, A superconducting levitation vehicle prototype // Physica C, v. 408-410, 2004, pp. 932-934.

27. J. Wang, S. Wang, C. Deng, Y. Zeng, H. Song and H. Huang, A superhigh speed HTS maglev vehicle // Int. J. of Modern Physics B, v. 19, n. 1-3, 2005, pp. 399-401.

28. Y. P. Zhang, Y. Zhao, Applications in the advanced transportation system and impact on superconductivity industry of HTSM // Int. J. of Modern Physics B, v. 19, n. 1-3, 2005, pp. 427-429.

29. T. Matsumura, S. Hanany, J. R. Hull, B. Johnson, T. Jones, P. K. Oxley, Development of a cryogenic induction motor for use with a superconducting magnetic bearing // Physica C, v. 426-431, 2005, pp. 746-751.

30. S. Fukui, R. Sato, J. Ogawa, Т. Oka, M. Yamaguchi, T. Sato, S. Miyazaki, T.

31. Sasahara, Т. Tamaki, S. Nishiwaki, Y. Yuki, Study on application of magnetic levitation utilizing HTS bulks to spin processors for photo mask production // Physica C, v. 463-465,2007, pp. 1289-1292.

32. N. Koshizuka, R&D of superconducting bearing technologies for flywheel energy storage systems // Physica C, v. 445-448, 2006, pp. 1103-1108.

33. Guangtong Ma, Jiasu Wang, Suyu Wang, Minxian Liu, Hua Jing, Yiyun Lu, Qunxu Lin, A novel propulsion method for high- Tc superconducting maglev vehicle 11 Physica C, v. 468, 2008, pp. 7-11.

34. H. Jing, J. Wang, S. Wang, L. Wang, L. Liu, J. Zheng, Z. Deng, G. Ma, Y. Zhang, J. Li, A two-pole Halbach permanent magnet guideway for high temperature superconducting Maglev vehicle // Physica C, v. 463-465,2007, pp. 426-430.

35. A. B. Riise, Т. H. Johansen, H. Bratsberg, M. R. Koblischka, Y. Q. Shen, Levitation force from high-Tc superconducting thin-film disks // Phys. Rev. B, 1999, v. 60, n. 13, pp. 9855-9861.

36. Т. H. Johansen, A. B. Riise, H. Bratsberg, Y. Q. Shen, Magnetic Levitation with High-Tc Superconducting Thin Films // J. of Supercond., 11 (5), pp. 519-524, 1998.

37. О. А. Кордкж, В. В. Немошкаленко, Р. В. Визниченко, Метод экранирующих токов для расчета левитационных сил в массивных ВТСП // Металлофиз. новейшие технологии, 21(8), стр. 15-22, 1999.

38. A. A. Kordyuk, V. V. Nemoshkalenko, Study of the dynamics of vortex structures in bulk HTS with levitation techniques // J. of Low Temperature Physics, v. 130, n. 3/4,2003, pp. 207-235.

39. С. H. Chiang, C. W. Yang, P. L. Hseih, W. C. Chan, Levitation force measurement at different temperatures for YBCO superconductor // J. of Low Temperature Physics, v. 131, n. 3/4,2003, pp. 743-746.

40. A. A. Kordyuk, V. V. Nemoshkalenko, R. V. Viznichenko, W. Gawalek, The investigation of magnetic flux dynamics in the bulk HTS with the levitation techniques // Material Science and Engineering, v. B53, 1998, pp. 174-176.

41. A. Saito, K. Takeishi, Y. Yakano, T. Nakamura, M. Yokoo, M. Mukaida, S. Hirano, S. Ohshima, Rapid and simple measurement of critical current density in HTS thin films using a permanent magnet method // Physica C, v. 426-431, 2005, pp. 11221126.

42. Levitation System. Transrapid international, http://www.transrapid.de/cgi-tdb/en/basics.prg?ano=41.

43. Верещагин В.П., Вейнберг Д.М., Спирин A.B., Сарычев А.П., Чернышов В.И., Лебедев В.М., Седов В.В. Патент «Магнитный подвес». RU №92001922, класс F16C32/04, опубликован 1996.08.20.

44. Гузельбаев Я. 3., Андрианов А. В. Патент «Подшипник системы энергонезависимого активного магнитного подвеса ротора». RU №2003121103, класс F16C32/04, опубликован 2005.01.10.

45. Geim A. Everyone's Magnetism // Physics Today, 1998.

46. Свободный подвес диамагнитных тел в постоянном магнитном поле // УФН, т.100, вып. 3, 1970, стр. 511 -512.

47. Principle of Maglev. Railway Technical Research Institute, Tokyo, Japan, 19972007. http://www.rtri.or.ip/rd/maglev/html/enelish/maglev principle E.html. http://www.rtri.or.ip/rd/maglev/html/english/iriaglevframe E.html.

48. B. Oswald, K.-J. Best, M. Setzer, M. Soli, W. Gawalek, A. Gutt, L. Kovalev, G. Krabbes, L. Fisher and H. C. Freyhardt, Reluctance motors with bulk HTS material // Supercond. Sci. Technol., 2005, v. 18, pp. S24-S29.

49. S. Nariki, M. Fujikura, N. Sakai, I. Hirabayashi, M. Murakami, Field trapping and magnetic levitation performances of large single-grain Gd-Ba-Cu-0 at different temperatures // Physica C, v. 426-431, 2005, pp. 654-659.

50. E. Ito, T. Suzuki, T. Sakai, S. Koga, M. Murakami, K. Nagashima, N. Sakai, I. Hirabayashi, K. Sawa, Levitation forces of bulk RE-Ba-Cu-0 in high magnetic fields // Physica C, v. 445-448,2006, pp. 412-416.

51. J. S. Wang, S. Y. Wang, Z. Y. Ren, M. Zhu, H. Jiang, Q. X. Tang, Levitation Force of a YBaCuO Bulk Temperature Superconductor Over a NdFeB Guideway // IEEE Transaction on Applied Superconductivity, 11 (1), pp. 1901-1804, 2001.

52. Z. Ren, J. Wang, S. Wang, H. Jiang, M. Zhu, X. Wang, H. Song, Influence of shape and thickness on the levitation force of YBaCuO bulk HTS over a NdFeB guideway // Physica C, v. 384,2003, pp. 159-162.

53. H. Jiang, J. Wang, S. Wang, Z. Ren, M. Zhu, X. Wang, X. Shen, The magnetic levitation performance of YBaCuO bulk at different temperature // Physica C, 2002, v. 378-381, pp. 869-872.

54. X. R. Wang, H. H. Song, Z. Y. Ren, M. Zhu, J. S. Wang, S. Y. Wang, X. Z. Wang,1.vitation force and guidance force of YBaCuO bulk in applied field // Physica C, v. 386, 2003, pp. 536-539.

55. B. A. Tent, D. Qu, D. Shi, Angle dependence of levitation force in a YBa2Cu30x sphere // Physica C, v. 309, pp. 89-97, 1998.

56. W. M. Yang, Y. Feng, L. Zhou, P. X. Zhang, M. Z. Wu, S. Chen, X. Z. Wu, W. Gawalek, The effect of the grain alignment on the levitation force in single domain YBa2Cu3Oy bulk superconductors // Physica C, v. 319, pp. 164-168, 1999.

57. Б. M. Смоляк, Г. H. Перелыптейн, Г. В. Ермаков, Внутренняя магнитная релаксация в левитирующих сверхпроводниках // Письма в ЖТФ, 2001, т. 27, в. 16, стр. 21-26.

58. А. В. Riise, Т. Н. Johansen, Н. Bratsberg, Z. J. Yang, Logarithmic relaxation in the levitation force in a magnet-high Tc superconductor system // Appl. Phys. Lett., v. 60, n. 18,1992, pp. 2294-2296.

59. Y. Postrekhin, К. В. Ma, H. Ye, W.-K. Chu, Dynamics and relaxation of magnetic stress between magnet and superconductor in a levitation system // IEEE Trans, on Applied Superconductivity, 11(1), 2001, pp. 1984-1987.

60. B.M. Smolyak, G.N. Perelshtein, G.V. Ermakov, Effects of relaxation in levitating superconductors // Cryogenics, v. 42, 2002, pp. 635-644.

61. W. Henning, R. Weinstein, D. Parks, R.-P. Sawh and Y. Ren, Enhanced levitation force using YBa2Cu30y trapped field magnets // Supercond. Sci. Technol., v. 13, 2000, pp. 861-865.

62. W. M. Yang, L. Zhou, Y. Feng, P. X. Zhang, J. R. Wang, C. P. Zhang, Z. M. Yu, X. D. Tang, W. Wei, The effect of magnet configurations on the levitation force of melt processed YBCO bulk superconductors // Physica C, v. 354, 2002, pp. 5-12.

63. G.G. Sotelo, J.L. da Silva Neto, R. de Andrade Jr., A.C. Ferreira, R. Nicolsky, Comparative analysis of two topologies for rotational superconducting magnetic bearing // Physica C, v. 460^162,2007, pp. 1459-1461.

64. C. Leblond, I. Monot, D. Bourgault and G. Desgardin, Effect of the oxygenation time and of the sample thickness on the levitation force of top seeding melt-processed YBCO // Supercond. Sci. Technol., v. 12,1999, pp. 405-410.

65. W. M. Yang, X. X. Chao, X. B. Bian, P. Liu, Y. Feng, P. X. Zhang and L. Zhou, The effect of magnet size on the levitation force and attractive force of single-domain YBCO bulk superconductors // Supercond. Sci. Technol., v. 16, 2003, pp. 789-792.

66. W.M.Yang, L.Zhou, Y.Feng, C.P.Zhang, Z.M.Yu, X.D.Tang, Effect of perimeters of induced shielding current loops on levitation force in melt grown single-domain YBa2Cu307-x bulk//Appl. Phys. Lett., v. 79, n. 13, 2001, pp. 2043-2045.

67. W. M. Yang, L. Zhou, Y. Feng, P. X. Zhang, C. P. Zhang, Z. M. Yu, X. D. Tang, R. Nicolsky, R. Andrade Jr., Identification of the effect of grain size on levitation force of well-textured YBCO bulk superconductors // Cryogenics, v. 42, 2002, pp. 589592.

68. W. M. Yang, L. Zhou, Y. Feng, P. X. Zhang, C. P. Zhang, Z. M. Yu, X. D. Tang, The relationship of levitation force between single and multiple YBCO bulk superconductors // Physica C, v. 371,2002, pp. 219-223.

69. W. M. Yang, L. Zhou and R. Nicolsky, The relationship of levitation force between individual discs and double-layer disc YBa2Cu307-x superconductors // Supercond.

70. Sci. Technol., v. 16, 2003, pp. 451-454.

71. W. M. Yang, L. Zhou, Y. Feng, P. X. Zhang, R. Nicolsky, R. de Andrade Jr., The characterization of levitation force and attractive force of single-domain YBCO bulk under different field cooling process // Physica C, v. 398,2003, pp. 141-146.

72. H. Lee, Y. Iwasa, Levitation force in YBCO/Nd-Fe-B permanent magnet system // IEEE Trans, on Appl. Supercond., v. 11, n. 1, 2001, pp. 1805-1807.

73. J. L. Perez-Diaz, J. C. Garcia-Prada, Interpretation of the method of images in estimating superconducting levitation // Physica C, v. 467,2007, pp. 141-144.

74. Xing-Yi Zhang, You-He Zhou, Jun Zhou, Modeling of symmetrical levitation force under different field cooling processes // Physica C, v. 468, 2008, pp. 401-404.

75. Qiong-Gui Lin, Theoretical development of the image method for a general magnetic source in the presence of a superconducting sphere or a long superconducting cylinder // Phys. Rev. B, v. 74, pp. 024510-1-12, 2006.

76. M.J. Qin, G. Ki, H.K. Liu, S.X. Dou, E.H. Brandt, Calculation of the hysteretic force between a superconductor and a magnet // Phys. Rev. B, 2002, v. 66, pp. 024516-1-11.

77. D. Ruiz-Alonso, T. Coombs and A. M. Campbell, Computer modelling of high-temperature superconductors using an A-V formulation // Supercond. Sci. Technol., v. 17, 2004, pp. S305-S310.

78. D. Ruiz-Alonso, T. A. Coombs, and A. M. Campbell, Numerical Analysis of High-Temperature Superconductors with the Critical-State Model // IEEE Trans, on Appl. Supercond., v. 14, n. 4, 2004, pp. 2053-2063.

79. F. Grilli, S. Stavrev, Y. L. Floch, M. Costa-Bouzo, E. Vinot, I. Klutsch, G. Meunier, P. Tixador, B. Dutoit, Finite-Element Method Modeling of Superconductors: From 2-D to 3-D // IEEE Trans, on Appl. Supercond., 2005, v. 15, n. 1, pp. 17-25.

80. A. Gurevich, E. H. Brandt, Flux Creep in Superconducting Films: An Exact Solution//Phys. Rev. Lett., v. 73, n. 1, 1994, pp. 178-181.

81. Carles Navau and Alvaro Sanchez, Magnetic properties of finite superconducting cylinders. II. Nonuniform applied field and levitation force // Phys. Rev. B, v. 64,2001, pp. 214507-1-10.

82. Artorix de la Cruz, Antonio Badfa, Analytical model for the levitation force between a small magnet and a superconducting cylinder in the critical state // Physica B, v. 321,2002, pp. 356-359.

83. Mark W. Coffey, Levitation Force between a Horizontally Oriented Point Magnetic Dipole and a Superconducting Sphere // Journal of Superconductivity, v. 15, n. 4,2002, pp. 257-262.

84. A. M. Campbell, Forces between arrays of magnets and superconductors // Supercond. Sci. Technol., v. 15,2002, pp. 759-762.

85. L. M. Fisher, A. V. Kalinov, I. F. Voloshin, and V. A. Yampol'skii, Suppression of magnetic relaxation processes in melt-textured УВагСизОх superconductors by a transverse ac magnetic field // Phys. Rev. B, v. 71, pp. 140503-1-4, 2005.

86. I. F. Voloshin, A. V. Kalinov, L. M. Fisher, A. A. Levchenko and V. A. Yampol'skii, Collapse of static magnetization of type II anisotropic superconductors // Journal of Experimental and Theoretical Physics, v. 97, n. 1, 2003, pp. 144-153.

87. В. M. Smolyak, G. V. Ermakov, L. I. Chubraeva, The effect of ac magnetic fields on the lifting power of levitating superconductors // Supercond. Sci. Technol., v. 20, 2007, pp. 406-411.

88. C. P. Bean, Magnetization of Hard Superconductors // Phys. Rev. Lett., 1962, v. 8, pp. 250-251.

89. C. P. Bean, Magnetization of High-Field Superconductors // Rev. Mod. Phys., v. 36, n. 1, 1964, pp. 31-39.

90. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред. 4-е изд., - М.: «Физматлит», 2005. - 656 с.

91. L. Prigozhin, The Bean model in superconductivity: Variational formulation and numerical solution // Journal of computational physics, v. 129, pp. 190-200, 1996.

92. Alvaro Sanchez and Carles Navau, Magnetic properties of finite superconducting cylinders. I. Uniform applied field // Phys. Rev. B, v. 61, 2001, pp. 214506-1-10.

93. X.-F. Zhao, Y.Liu, Influence of the surface magnetic field of a cylindrical permanent magnet on the maximum levitation force in high-Tc superconductors // Supercond. Sci. Technol., v. 19, 2006, pp. 618-622.

94. X. Wang, S. Wang, J. Wang, FEM analysis of a new hybrid superconducting magnetic levitation system // Int. J. of Modern Physics B, v. 19, 2005, pp. 403-405.

95. В. P. Романовский, Допустимый перегрев и предельный ток в сверхпроводящем композите при крипе магнитного потока // ЖТФ, 2003, т. 73, вып. 1, стр. 55-59.

96. L. Shlyk, G. Krabbes, G. Fuchs, К. Nenkov, and В. Schiipp, Flux pinning and magnetic relaxation in melt-processed YBa2Cu307e doped with Li // Journal of Applied Physics, v. 96, n. 6, 2004, pp. 3371-3378.

97. L. Shlyk, G. Krabbes, G. Fuchs, K. Nenkov, Flux pinning enhancement in melt-processed YBa2Cu307 with extended nanodefects // Appl. Phys. Lett., v. 86, 2005, pp. 092503-1-3.

98. Б. M. Смоляк, Г. H. Перельштейн, Г.В.Ермаков, Замедление магнитной релаксации в левитирующих сверхпроводниках // Письма в ЖТФ, 2006, т. 32, вып. 3, с. 8-13.