Линейные функционально-дифференциальные уравнения с внутренними сингулярностями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

П Г Г" Л ч

• ' о 0.1

На правах рукописи

* * — ** ^

4 . ' ' Л

Бравый Евгений Ильич

ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ВНУТРЕННИМИ СИНГУЛЯРНОСТЯМИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь — 1996

Работа выполнена в Пермском государственном техническом уним?]»-ситете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Рахматуллина Л.Ф.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Дерр В.Я.,

кандидат физико-математических наук, доцент Кокурин М.Ю.

Ведущая организация — Тамбовский государственный технический университет.

Защита диссертации состоится 1996 г. в 14 часов на

заседании диссертационного совета К 063.66.09 в Пермском государственном техническом университете по адресу: 614000, г.Пермь, Комсомольский проспект 29", ауд. 423.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного технического университета.

Автореферат разослан 13 <лссу>т&. 1996 года.

Ученый секретарь диссертационного совета: канд. физ.-мат.наук, до-

цент

В.А. Соколов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В работе рассматривается уравнение

(£X)(t)sn(t)xM(t) + (Tx){t) = f(t), teM, (1)

где ^

т(<)=П1'-°Г. *€ [а,Ь], i=l

а = а1 < ... < ак = 6, 0 < /х, < п, i = 2,...,к - 1, > 0; линейный

оператор Т действует из некоторого функционального пространства X в лебегово пространство Lp; f € Lp, 1 < р < оо.

Уравнение (1) является сингулярным, так как коэффициент при старшей производной имеет нули на отрезке [а, 6]. Нули функции 7Г — точки а; при fi{ > 0, называются сингулярными точками. Дополнительная особенность уравнения (1) — наличие при к > 2 сингулярных точек внутри рассматриваемого отрезка — так называемых внутренних сингулярностей.

Линейные скалярные обыкновенные дифференциальное уравнения с особенностями возникают во многих физических задачах и издавна привлекали внимание математиков. Такие уравнения первоначально рассматривались в пространстве аналитических функций (Эйлер, Фукс и др.), и только во второй половине нашего века были получены результаты, относящиеся к сингулярным уравнениям в пространствах дифференцируемых функций, а также в различных весовых пространствах (И.Т. Кигу-радзе, JI. Д. Кудрявцев, В. П. Глушко, J. Elschner). Задачи с сингулярными точками внутри отрезка, на котором изучается обыкновенное дифференциальное уравнение, рассматривались в работах W.N.Everitt, A.Zettl, В.П.Гпушко, J.Elschner и др. Спектральные многоточечные задачи для сингулярного обыкновенного дифференциальною уравнения рассмотрены Ю.В. Покорным и его учениками.

Краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) с сингулярностями изучали L.J.Grimm, L.M.Hall, С.М.Лабовский, А.И.Шиндяпин, В. Puza, И.Т.Кигурадэе. При этом основные вопросы решались с помощью рассмотрения уравнения на отрезке, внутри которого не было сингулярных точек. Такой подход не может быть применим при рассмотрении задач для ФДУ в общем случае произвольного отклонения аргумента.

Функционально-дифференциальные уравнения с внутренними сингулярностями до сих пор, насколько нам известно, не рассматривались. Также, по-видимому, не исследовались вариационные задачи, уравнение Эйлера

для которых имеет внутренние сингулярности.

Если линейный оператор Т непрерывно действует из традиционного д.тя уравнений n-го порядка пространства W£ таких функций с абсолютно непрерывной (п - 1)-ой производной, что е Lp, в пространство Ьр, то оператор £ : W£ -> Lp в уравнении (1) непрерывен. При этом, если оператор Т вполне непрерывен, то оператор С не является нётеровым, так как не может быть нормально разрешимым, если хотя бы одно из чисел больше нуля. Ткким образом, к уравнению (1) в пространстве не может быть непосредственно применена теория функционально-дифференциальных уравнений, построенная в монографии Н.В.Азбелева, В.П.Максимова, Л.Ф.Рахматуллиной".

Основными целями работы являются:

1) построение и изучение свойств такого пространства D, что оператор С действует из пространства D в пространство Lp, ограничен и нётеров;

2) изучение условий разрешимости краевых задач для уравнения (1) в пространстве D.

Методика исследования. В диссертации используются методы теории абстрактных функционально-дифференциальных уравнений, основные элементы которой изложены в 6-ой главе книги".

Метод исследования уравнения (1) основан на построении такого пространства D с X, что оператор С : D -♦ Lp обладает нужными свойствами. Для этого выбирается "модельная" сингулярная операция Са, находится такое пространство D, что требуемыми свойствами обладает оператор ¿о : D Lp, и изучаются условия, при которых оператор С = Со + Т наследует свойства операции Cq. В качестве модельного используется интегрируемое обыкновенное дифференциальное выражение

(£0х)(<) = (6x)(t) = w(t)*M(0. * € («, Ь]. (2)

Выбирается такой вектор-функционал г : D -» R" , что система уравнений (краевая задача) дх = /, тх = а имеет единственное решение в пространстве D при всех / £ Lp, а е R". Решение этой задачи строится в явном виде:

х = Л/ + ¥а,

где Л : Lp -> D, Y : RN -*D — линейные ограниченные операторы. Таким образом, пространство D = ALpqYRn изоморфно прямому произведению пространств Lp и Rw; изоморфизм задается оператором [6, г]: D -> LpxRN;

'Н.В.Аобелев, В.П.Максимов, Л.Ф.Рахматудлнна Введение в теорию функциои&льно-дифференциаль-иых уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

о -

для элементов пространства Б имеет место представление х = КЬх + Кп; пространство Б с нормой

является банаховым.

Научная новиона. Результаты диссертации являются новыми:

- предложена новая методика исследования уравнений с внутренней сингулярностью, сформулированы условия, при которых краевые задачи для таких ФДУ сводятся к интегральному уравнению в пространстве суммируемых функций;

- построено пространство функций и сформулированы условия, при выполнении которых уравнение (1) в данном пространстве нётерово;

- получены условия фредгольмовости и достаточные условия однозначной разрешимости некоторых краевых задач для уравнения (1).

- предложен новый метод доказательства однозначной разрешимости сингулярной краевой задачи Балле Пуссена для обыкновенного дифференциального уравнения, а также метод доказательства знакорегу-лярных свойств функции Г^ина такой задачи;

- сформулированы условия однозначной разрешимости одного класса сингулярных вариационных задач.

Практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ре зультаты диссертации могут применяться при исследовании различных задач, сводящихся к сингулярным ФДУ, в том числе при поучении спектральных свойств сингулярных краевых задач и установлении существования минимума сингулярных функционалов.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на Пермском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям под руководством профессора Н.В. Азбелева (1992 - 1995 гг.), на Ижевском городском семинаре под руководством профессора Е.Л. Тонкова (1993 г.), на втором международном семинаре "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации" (Челябинск, 1993 г.), на семинаре института математики РАН им. В.А. Стеклова под руководством академика РАН С.М. Никольского (1994 г.).

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 4 работы, которые отражают содержание диссертации. Список работ приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и четырех глав, разбитых на 11 параграфов. Работа занимает 107 страниц. Список литературы состоит из 58 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даны общая характеристика темы диссертации и краткое изложение результатов диссертации.

В первой главе в качестве модельной операции для построения пространства решений сингулярного уравнения берется "сингулярная" операция <5, определенная равенством (2).

Построено банахово пространство Юр1'' таких функций х : [а, 6] —> Л1 с абсолютно непрерывной (п — 1)-ой производной на каждом отрезке, не содержащем сингулярных точек, что ь

< оо, при р € [1, оо),

а

уга1зир|7г(<)а;'п'(<)| < оо, при р = оо,

<еМ

и таких, что производные х(Л при 3 = 0,1,... ,п -1 - Д* непрерывны в точке а(, г = где Д; = если /х,- — целое число, и Д,- = +- 1/р], если

число не является целым.

Норма в пространстве ТУ},'1* задается равенством

М = И^'^ + ЕЕ (3)

¡=1 }=0

где <,• е (а,-,а1+1),= 1,... ,к -1, - произвольно выбранные точки. При этом пространство банахово, и все нормы (3), получающиеся при различном выборе точек *,-,» = 1, 1, эквивалентны.

В том случае, когда внутри отрезка [а, Ь] нет сингулярных точек, т.е. когда к = 2, пространство рассматривалось Л.Д. Кудрявцевым и

С.М. Лабовским.

В первой главе показано, что

1) областью значений непрерывного оператора 6, определенного на пространстве Бр''1 равенством (2), является все пространство 1Р;

2) на пространстве Т>р'>> определены и ограничены линейные функционалы

х-*х^(с), се [а,6],

при j е {0,1,...,П-1},ССЛИС6 [a,i]\{a1)...,al}, и j е {0,1,...,я-1 -Д,}, если с = а,-;

3) множество решений однородного уравнения 6х = 0 конечномерно:

dimkeri = n + £ Дs jV. i=2

Если 0 < fii < п при i = 1,... ,к, то можно подобрать такое пространство LP. р е [1,оо). что й,- < п -1 для всех i = 1.....А. Если и< п - 1. t = 1,... ,к, то для этого можно взять любое р, в противном случае достаточно взять р > тах^ ^L-. Таким образом, рассматриваются задачи с так

называемыми "слабыми" сиягулярностямп, когда Д; < п -1.

В § 1.1 и § 1.2 исследуются линейные операторы на пространстве Dp1''. В § 1.1 доказаны теоремы о непрерывном и вполне непрерывном действии

Эр'*1 в пространства Lp,

операторов дифференцирования из пространства Dp'*1 в пространства Lv

L, и W™.

Теорема 1.4. Оператор определенный равенством

ieMl,

где

|i - a,|a', если число а,- не целое,

"»-{Ж

' '' " "'• если число а; целое,

при ] + тп < п непрерывно действует из пространства Ор''1 в пространство W™, если

а,-> j + m -n + m, i = l,...,k, при pe[l,oo), Qj> j +ТП-П + fli, 1 = 1,... При p = 00,

(4)

а, > тп - 1/р ( если а,- — целое число, то а,- > 0), г = 1,... ,к.

Если при этом ] + тп < п и все неравенства в условиях (4) строгие, - то оператор : Т)^'11 -» вполне непрерывен.

Сформулированы условия, при которых пространство Ор '1 вложено в пространство ЛУ™ и в пространство непрерывных функций С.

Следствие 1.2. Пространство Юр''1 непрерывно вложено в пространство если < п-тп, г = 1,... ,к, прир е [1,оо). Если /х,- < п -т, г = 1,...,к, то вложение вполне непрерывно при любом р ~ [1, со].

Теорема 1.5. Пространство ТУр''1 вполне непрерывно пложено л пространство С, если /X,- < п - 1/р, i = 1,. ..,к, при ре [1,оо]. Прир — 1 и < п - 1, 1 = 1,...,к, вложение О^ с С непрерывно.

Во втором параграфе первой главы приведены условия непрерывного и вполне непрерывного действия из пространства в пространство Ьр некоторых линейных функционально-дифференциальных операторов. В частности, пусть оператор Т определен равенством

где д е Ьр,

Г<? - / »(МО). если МОе М' еслиЛ(0^М],

функция Н : [а, Ь] -» И1 измерима. Тогда оператор Т действует из пространства Бр'/1 в пространство Ьр и вполне непрерывен, если выполнены неравенства

ai>j + m + ^li + l-n, ¿ = 1,..., к, ау > т +1 - 1/р (если т = 0 и р = 1, то о,- > О,), I = 1,... ,к, ] + тп <п-1.

Этот оператор будет непрерывным, если первые из этих неравенств заменить на нестрогие неравенства ai>j + m + fli + l- n, = 1 ,...,к.

В третьем параграфепервой главы на основе результатов В.Я. Дерра доказывается существование такого вектор-функционала г : Т)^11 -» 11^, задающего условия краевой задачи Валле Пуссена,

тх = {х(С1),х(С1),... ,жСл-1>(С1), ... ,*('.-')(<;,)}, (5)

О < С1 < С2 <-.. <СЧ <6, Я >2,

я

р,- е {1,-.-,п-1}, 1 = 1,...,9, £р;=ЛГ,

1=1

что задача

6х = /, тх = а, (6)

имеет единственное решение х 6 при всех / € Ьр, а 611^.

Доказаны теоремы о возможности различного выбора таких вектор-функционалов г, что краевая задача (6) однозначно разрешима.

— о —

Теорема 1.11. Для того чтобы существовал такой вектор-функционал вида

гх = {г(в1),г(а1).....

что задача (6) имеет единственное решение х е О^1'1 при всех / £ Ьр, а б И", необходимо и достаточно, чтобы Д,- + Д1+1 < п при г = 1,... ,к - 1.

Решение "модельной" задачи (6) находится в явном виде:

х = {Л,У}{г,а} = Лг + Уа, (7)

где линейные операторы А : Ьр — Ор", У : Н" -• Щ * известны, причем Л - оператор Г^эина краевой задачи 6х = г, гх = а, - является интегральным оператором с ограниченным при /I; < п - 1, г = 1,... ,к, ядром Л(<, 5). Таким образом, пространство Юр1'1 изоморфно прямому произведению пространств Ьр и 11^, если в пространстве Ьр х определить норму равенством ||{г,а}||£рХ11* =:|[г||£р + ||а||ая. При этом {Л,У}"1 =[5,г] : Т>р'ц -» Ьр х ЛЛ' ([5, г]х = {6х, гх}, г € Вр'''). Для элементов пространства О"1'' имеет место представление (7). Функционал

М1 = ||<5Г||£)> + ||ГХ||ЕЛГ

задает в пространстве Юр1,1 норму, эквивалентную исходной норме (3). В частности, если Д,- + Д,+1 < п, г = 1,...,/:- 1, то функционалы

*-1/~,Ч1-1 , 4 п-^-1

И*11г = \\bxWL, + Е Е + Е <=1 1/=0

1=2 с=0 |/=0

являются нормами в пространстве Ор'*1, каждая из которых эквивалентна исходной норме (3).

В следующих теоремах получены оценки, обобщающие некоторые утверждения работ Л.Д. Кудрявцева4.

Теорема 1.14. Пусть Д; + Д,+1 < тг, г = 1,... ,к - 1. Если а,- > 0, г = 1,... и

а»>.?- п + 11{, { = к, при ре!1,оо), а,- >7 -п + ¿ = 1 ,...,к, при р = со, то существует такая постоянная С, что для всех х е

Щ|--а;Гх«(|^<С||х||т, т = 2,3. 1=1

'Л. Д. Кудрявцев Функциональные пространства со степенным весом // Доклады АН СССР. 1983. Т. 270, МЬ 6. С. 1317 - 1322.

Теорема 1.15. Если /г,- + /21+1 < п, г = 1,... ,к - 1, то для каждого í б [а, '<] существует такая постоянная С|, что

< С<Мт, т = 2,3, (8)

ч-чпи п 1 ~с,л Г 0, если^а,-

при всех х е Б"'^ и J = 0,... ,п -1 - цш, где = < _ ±

* I если I = а,.

Для каждого е > О существует такая постоянная С, что при С< = С неравенства (8) будут выполнены для всех х € Ор1'', при ] = 0,1,... \п - 1 и всех таких г е [а,6], что - а,| > г, г = 1,... ,к.

Если ] <п - 1 - /¡(г) для каждого I € [а, Ь], то существует такая постоянная С, что при С( = С неравенства (8) будут выполнены для всех

Во второй главе рассматривается уравнение

£* = / (9)

с линейным ограниченным нётеровым оператором £ : -» ¿р.

В § 2.1 результаты теории абстрактного ФДУ применяются к изучению уравнения (9) и линейных краевых задач для этого уравнения.

Линейным абстрактным ФДУ называется уравнение Сх = / с линейным непрерывным оператором С:ТУ В, где пространство О изоморфно прямому произведению В х Г1Л, В — банахово пространство. Если оператор 3 = {А,У} : В х. -» Б, определенный равенством 3{г,а} = Лг + У а, — линейный изоморфизм, и 3~х = [£сьг] ([£<ьг1х = {¿о-г, гх}), то, применяя оператор С к обеим частям равенства

а; = Л£0х + Кп, же Б, (10)

получаем представление для оператора С

Сх = <ЭС0х + Агх, х £ Б,

где (2 = С А, А = СУ. В главе б книги ° построена теория абстрактного ФДУ с фредгольмовым операторрм ф : В -♦ В, который называют главной частью оператора С. Все предложения абстрактной теории применимы к уравнению (9) при В = Ьр, Б = Юр '' и С0 = 6.

Оператор С в уравнении (9) имеет фредгольмову главную часть, если он представим в виде

Сх = Р6х + Кх, (11)

где линейный ограниченный оператор Р : Ьр -> Ьр обратим и оператор К : -> Ьр вполне непрерывен при р е (1>оо) или слабо вполне непрерывен при.р = 1,оо. Показано, что при естественных ограничениях многие виды функционально-дифференциальных операторов К удовлетворяют этим условиям.

Пусть t: Бр''' -» — непрерывный линейный вектор-функционал с линейно независимыми компонентами. Краевая задача в пространстве Юр1''

[С,£]х = {/,<*}, {/,а}€1рх1г", (12)

является фредгольмовой, если фредгольмова главная часть оператора С.

Краевая задача (12) называется однозначно разрешимой, если обратим оператор \С,(]: Б"''' -» £„ х И".

Если I = г, то краевая задача (12) называется главной. Главная краевая задача однозначно разрешима тогда и только тогда, когда обратима главная часть <2 : Ьр -» Ьр оператора С.

Если задача (12) однозначно разрешима, то решение задачи имеет представление

х = [С, £]"'{/, а} = {G,X}{f,a)=Gf + X а.

Линейный ограниченный оператор' <3 : Ьр -» Т)^'11 называется оператором Грина этой краевой задачи. Если оператор Грпна имеет интегральное представление (это так, если, например, р < оо), то в этом случае ядро интегрального представления называется функцией Грина краевой задачи (12). Рассмотрим, например, краевую задачу в пространстве Вр '1:

+|0м<)4:>«=/о. «е м, (13)

Здесь

х(Л(с,-) = ву, ] =0,1,...,р; -1, » = 1,... ,д

Мы - / *М(Ч*))> еслп МО € М]

4 к"> ^ " еслп Л(<) ^ [а,6],

н { 0, е

/ € Ьр, ри е Ьр, функции /(„ : [а,Ь] И1 измеримы при и = 0,1,... ,тп,

а < < с2 < ... < с, < 6,

р,- е {0,1,... ,п - 1}, г = 1,... ,д; р,- + Д,- < п в том случае, когда с,- = апри некоторых г, у, а^ е И1.

Из результатов § 2.1 следует, что краевая задача (13) фредгольмова,

если

<? к-1

т< .тш (п-Д,-1), £>,•=£ Д,-+ п.

1=1.....к х=1 ¡=2

Во втором и третьем параграфах второй главы рассматриваются конкретные сингулярные ФДУ. Для каждого случая выбрано соответству-

ющее пространство решений и получены условия однозначной разрешимости главной краевой задачи. В частности, рассмотрена краевая задача

(< + а)<2(« - а)х^Щ +р(0(5Лх)(<) = /(<), < 6 [-а, а], х(-а) = 0, х'(—а) = 0, х"(~а)=°> х(а) = 0, —х (а) = 0, х"(а) = О,

(14)

где р,/ е Ь\, х б Б^1'2'1'. В^'1'2,1) — банахово пространство таких абсолютно непрерывных функций х : [-а, а] -»И1, что функции х' абсолютно непрерывны на отрезке [-а, а], функции х" локально абсолютно непрерывны на [-в,0) и (0,а], функции х'" локально абсолютно непрерывны на (-а,0) и (О,а); + е Ь\. Модельная краевая задача

| х(-а) = х'(-а) = х"(-а) = О,

(. х(а) = х'(а) = х"(о) =0, х € В^1'2'1),

имеет единственное решение, задаваемое равенством

а

х(<) = J С(1,8)г(з)<18, <е[-а,а],

—а

где функция Грина (?(<, в) непрерывна в квадрате [-а, а] х [-а,а]:

t<s<a, -а < г < 0,

С(*,в) =

(<+ а)3 12а3(« + а)'

—^-*-V,, ,—---, 0<t<s<a,

(а - №

-1М70 < ( < а, -а < в < 52(2а3 - (а + <)3) - з(-6а2г2 - 2<3д) - 2аг<3

-12а3(з-а>2

Т2а'

, -а < в < г < о, < = 5 = 0.

Краевая задача (14) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда имеет единственное решение уравнение

(0 = /(<). *€[-о,а],

-О

относительно г е Ь\ или уравнение

а

У(0= / +/(«))<*«,*€ [-а,а],

относительно у е С. На основании полученных оценок функции Г^ина: 0 <

1 а С

G(t,s) < при t,s € [-а,а] и max J G(t,s)ds = jj^, устанавливается,

что краевая оадача (14) однозначно разрешима, если

/ 1р(<)1Х[-а,0](Л(<))Л < 12а или vrmsup|K0lX[-«,#(0) <

Если хотя бы одно из этих условий выполнено и p(t) < 0, /(<) > 0 при почти всех t с [—а,а], то решение задачи (14) неотрицательно.

Третья глава посвящена рассмотрению сингулярной краевой задачи Балле Пуссена для обыкновенного дифференциального уравнения:

| тг£дх = /, , ,,

\ хО)(а) = ац, 1 = 1,...,9, ¿ = 0,1,...,р,-1, хеОп/, К >

гдетг(<) = П {0,1,...,п-1},г = 1,...,к; а = с1 < с2 < ... < с, = Ь,

1=1

р; € {0,1,... ,п - 1}, г = 1,... ,<7, причем, если с; = а, при некоторых г, то

Рх + Р, < Щ Е pi = Ё ¿1; + п; = +°Е1р,х<'), е г '= 1,... £0 — ¿=1 1=2 1=0 неосциллирующий дифференциальный оператор на пространстве

Доказаны теоремы онеобходимых и достаточных условиях существования и единственности решения этой задачи, о знаке и о знакорегулярно-сти функции Грина. Эти вопросы в случае дифференциального оператора без сингулярностей рассмотрены в работах В.Я. Деррас и в диссертации О.Ю. Литманович'*. В предлагаемой работе доказательство проводится методом, отличным от использовавшихся ранее для несингулярных задач, и не потребовало применения никаких других результатов, кроме известной леммы Пойя-Маммана о разложении неосциллирующего дифференциального оператора и теоремы Ролля.

Пусть е с [а,6]. Обозначим р(е) = £ р,-; р(е) = Е Рг-

с,- ее а,- ее

В § 3.1 доказана

Теорема 3.1. Задача (15) имеет единственное решение при всех / 6 Ьр, ау б К1 тогда и только тогда, когда

р([а',Ь']) < п + /х((а',Ь')) для каждого отрезка [а',6'] с [а, Ь].

СВ.Я. Дерр К обобщенной задаче Валле-Пуссена // Дифференц.уравнения- 1987. Т. 23, Mill. С. 1861 - 1872.

''О.Ю. Литманович Спектральные свойства функции Т^ииа. Интегральные преобразования с конечными пределами. Автореферат дис—канд. фиэ.-мат. наук, Ижевск, 1995. 12 с.

Последнее условие можно записать в форме В.Я. Дерра

Р(М1)<»» + /»((а,-,Ь)), К '

Пусть s е (а,Ь). Определим числа í0(s) и í¡,(s) следующим образом: если на промежутке (a, s] найдется хотя бы одно такое число t, что р(\а, íj) = (i((a,t)) -f- ti, то ia(s) — максимальное из таких чисел, в противном случае ta(s) = а; если на промежутке [s,b) найдется хотя бы одно такое число t, что p([t, fr]) = ¡i((t, b)) + n, то tb(s) — минимальное ио таких чисел, в противном случае <t(s) = Ь.

В § 3.2 доказана

Теорема 3.3. Пусть задача (15) однозначно разрешима, тогда функция Грина задачи (15) удовлетворяет неравенству

G^sX-l)''^'^ > 0 при t е [a.b], se(a,b), s¿a¡, i = 2,...,k-l,

При t e (ta(s),tb(s)), 15¿= с,-, i = l,... выполнено строгое неравенство

G(t,s)(-iy.+ме,»]) > 0.

Если íQ(s) > а, то G(í,s) = 0 яри < € [а, *„(«)]• Если í4(s) < 6, то G(í,s) = 0 при« е [í6(s),6].

Отсюда следует, что функция Грина задачи (15) не меняет знака в квадрате [а, 6] х [а, 6] тогда и только тогда, когда ¿ = 2,... ,q-1, — четные числа. При этом

G(г,í)(-l)''*+',« > 0, í.seM],

Оператор Г^ина G задачи (15), непрерывно действующий из пространства Lp в пространство Dp1'', допускает действующее в пространство D™''1 непрерывное расширение на пространство L\. Так как D"^ непрерывно вложено в пространство непрерывных функций С, то интегральный оператор G непрерывно действует из пространства Li в пространство С. Отсюда следует ограниченность функции Г)эина G(t,s) задачи (15).

Следуя работе', назовем функцию Цэина W(*,s) некоторой краевой задачи знакорегулярной, если

Кт =

W(tusx) ... lV(ii,ín)

W{tm,sx) ... lV(fm,s:n)

>0

"А.Ю. Левин, Д.Г. Степанов Одномерные краевые оадачи с операторами, не понижающими числа перемен опма //Сив. матем. журн. 1979. Т. 17, ЛЬ 3. С. 608 - 025

при а < '' ^ < < Ь, т > 1. В § 3.3 онакорегулярность функции Грина < ••• < 8т

1У(1,в) оадачи

доказывается с помощью полученной в этом параграфе формулы

т

Кт = Д И^,-!^,,®,), 1=1

где точки t¡ не совпадают с точками с,-; точки 8,- не совпадают с точками а,-; Ши(1,я) — функция Г^ина оадачи вида (15)

хЩъ) = ау, ¿ = 1,...,9, ] = 0,1,... ,/?,• - 1, (Р„)

!(«,-)= о, « = 1,...,Е/,

Бр'*1 — пространство, построенное по той же схеме, что и пространство Бр1'', но с дополнительными разрывами (п-1)-ой производной в точках я,, ¿ = 1,...,1/.

Знак функции а) известен из теоремы 3.2:

ПС " Шя - я,-) > 0, <,8 б [а, 6], ¿=1

причем знак в этом неравенстве строгий, если задача (Рт) однозначно разрешима и < <;, я ф г = 1,...,и. Поэтому > 0 при

I>= 1,...,ш.

В теореме 3.6 установлено, что задача (Р„) однозначно разрешима тогда и только тогда, когда К? £ 0. Из теоремы 3.7 следует, что если задача (Рт), т > 2, однозначно разрешима, то все оадачи (Р„), V = 1,... ,т -1, также однозначно разрешимы.

Теорема 3.13. К„ > 0 при V = 1,... ,т, причем К„ > 0 при V = 1,... ,т, если задача (Рт) однозначно разрешима.

Условия однозначной разрешимости задачи (Рт) легко следуют из общих условий однозначной разрешимости задачи вида (15). В частности, задача (Рт) однозначно разрешима, если в условиях (16) однозначной разрешимости задачи (Ро) все неравенства строгие и

< и, 1 = 2,... ,т; <,• < г = 1,... ,т - 1.

Для функций Грпна «) задач (Р„) доказано следующее утверждение

— 1С

Теорема 3.14. Еели задача (Рт) при m > 1 однозначно разрешима, то О < W„(t,s) < W(t,s) при t б [i„,6], s 6 [s,,6], v = l,...,m, и при t e [a,^], s 6 [a,Si], i/ = l,...,m.

Предложенный подход может быть применен при исследовании осцил-ляционных свойств спектра сингулярных краевых задач, а для несингулярного случая дает новые доказательства ряда известных теорем.

Четвертая глава посвящена изложению схемы исследования вариационной задачи для квадратичного сингулярного функционала с линейными ограничениями. В традиционном пространстве WJ рассматриваемые функционалы, даже если они ограничены снизу, вообще говоря, не достигают своего минимума. В построенном в первой главе пространстве при р = 2 эти функционалы будут достигать своего минимального значения, если они ограничены снизу. С помощью общего подхода к вариационным задачам, предложенного участниками Пермского семинара по функционально-дифференциальным уравнениям f, здесь получены необходимые и достаточные условия существования и единственности решения сингулярной вариационной задачи в пространстве D%,/J. Кроме того, получено уравнение, которому удовлетворяет экстремальный элемент.

В работах Л.Д. Кудрявцева' рассматривалась задача минимизации сингулярной квадратичной формы в случае двух сингулярных точек на концах отрезка. Предлагаемый подход позволяет рассматривать более широкий класс задач, причем на основании отличного от работ Л.Д. Кудрявцева метода.

В § 4.1 изучается задача минимизации в пространстве DJ''' функционала

+ £(Tux)(t)(T2ix)(t) + (T0x)(t)y0(t)) dt -, min, (18)

a »=1

при условиях, задаваемых равенствами гя = а, (х = ¡3, где линейные операторы Т0, Тц, Тц : Dj''' -> ¿2, i — 1,... ,m, ограничены; i/o 6 Ьг\ непрерывный линейный вектор-функционал г таков, что краевая задача 6х = f, rx — у имеет единственное решение х g Dj''1 при всех / 6 ¿2i 7 6 R^; линейный вектор-функционал I : DJ1'' -> RWl непрерывен; а е Rw, Р е RWl.

Результаты этого параграфа иллюстрирует следующий пример: рас' Аобелев Н.В. Состояние и тенденции развития теории функционально-дифференциальных уравнении // Математика. Навести* вуоов. 1994, ЛЬ б. С. 8 - 19.

'Л.Д. Кудрявцев О вариационном методе отыскания обобщенных решений дифференциальных уравнений в функциональных пространствах со степенным весом // Дифференциальные уравнения. 1983, Т. 19. ЛЬ 10. С. 1723 - 1740.

смотрим задачу

где

Хх=1 [^£^+И<)(5А,х)(<)(5Лаа;)(<) + (Гх)(<)г/(0] Л-тш,

х(-а) = а1, х(-а)=а2, *(-<*) = аз. ■ х(а) = а4, х(а) = а5, х(а) = аб,

— -г и.)1 — -{1), 1Ь[-а,а],

(19)

(20)

р 6 ¿1; Т : Б4/1'2'» -» ¿2 — линейный ограниченный оператор; функции Л,: [-а,а] -> И1, г = 1,2, измеримы; у € Ь2; а,- € Я1,» = 1,... ,6.

а

Показано, что, если / |р(<)\<И < 36а, то функционал I на множестве

—а

функций из пространства Б^1,2,1', удовлетворяющих условиям (19), (20), имеет единственную точку минимума.

В § 4.2 рассматривается вариационная задача (18) в случае, когда То, Т^, ¿ = 1,... ,т, j = 1,2, — обыкновенные дифференциальные операторы.

Список опубликованных работ.

1. Бравый Е.И. О выборе области определения сингулярной дифференциальной операции // Краевые задачи: Межвуз.сб.науч.тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1991. С. 12 - 19.

2. Бравый Е.И. О сингулярных вариационных задачах в пространствах, изоморфных Хг[о,Ь] х К" : Тез. докл. второго международного семинара "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации". Челябинск, 1993. С. 31 - 32.

3. Бравый Е.И. О разрешимости одной краевой задачи для нелинейного сингулярного функционально-дифференциального уравнения // Изв. вузов. Математика. 1993. .Л/о 5. С. 17 - 23.

4. Бравый Е.И. О регуляризации сингулярных функционально-дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30, ЛГо 1. С. 26 - 34.

Подписано в печать 6.03.96 Формат 60 х 84/16. Объём 1 уч.-изд.л. Тираж 100. Заказ Яо 38.

Редакционно-издательский отдел и ротапринт Пермского государственного технического университета