Линейные и нелинейные волны в PT-симметричных оптических системах

Сучков, Сергей Владимирович

Линейные и нелинейные волны в PT-симметричных оптических системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Сучков, Сергей Владимирович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Челябинск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Линейные и нелинейные волны в PT-симметричных оптических системах»

Автореферат диссертации на тему "Линейные и нелинейные волны в PT-симметричных оптических системах"

005534822

На правах рукописи

Сучков Сергей Владимирович

Линейные и нелинейные волны РТ - симметричных оптических системах

01.04.02 - Теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 О ОКТ 2013

Челябинск - 2013

005534822

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки «Институт проблем сверхпластичности металлов» Российской академии наук.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, Дмитриев Сергей Владимирович.

Официальные оппоненты:

Розанов Николай Николаевич, доктор физико-математических наук,

член-корреспондент РАН,профессор, ОАО «Государственный оптический институт» им. С.И. Вавилова», заведующий теоретическим отделом;

Замоздра Сергей Николаевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической физики Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет».

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Башкирский государственный университет».

Защита состоится «18» октября 2013 года в 16:30 па заседании диссертационного совета Д 212.296.03 при ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет», расположенном по адресу: 454001, Челябинск ул. Братьев .

Кашириных, 129, ЧелГУ, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЧелГУ. Автореферат разослан «17» сентября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н., профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности

В настоящее время вопросам математического описания распространения света в нелинейных средах уделяется большое внимание, в частности, в связи с необходимостью совершенствования оптических систем передачи и обработки информации. Интерес к нелинейным оптическим системам начал расти в первой половине 20 века, и их свойства были описаны во многих трудах, например [1, 2]. Такие системы обладают существенным преимуществом над электронными аналогами, поскольку они позволяют существенно повысить скорость передачи данных. Современное развитие технологий еще не позволяет осуществлять активное управление оптическими сигналами без помощи электронных устройств. Это делает необходимым неоднократное преобразование оптического сигнала в электрический и обратно. Электрические контроллеры снижают скорость передачи данных на несколько порядков, поэтому возникла идея разработки их оптических аналогов, обладающих большим быстродействием. В качестве таких контроллеров могут выступать оптические системы с областями усиления и потерь, которые распределены в пространстве определенным симметричным образом. Возникает необходимость теоретического анализа подобных систем.

Из квантовой механики известно, что все наблюдаемые параметры системы должны описываться вещественными величинами. Однако недавно было показано, что физические системы, описываемые неэрмитовыми гамильтонианами, могут обладать полностью вещественным спектром собственных значений, если они удовлетворяют условиюТТ- симметрии [3]. В работе [4] было показано, что необходимым условием РТ- симметрии системы является следующее свойство потенциала, связанного с данной системой: V(х) = У*(—х). В оптике роль такого потенциала может играть комплексный показатель

преломления. Таким образом, фотонные структуры с областями усиления и потерь, расположенными специальным образом, могут обладать свойством ТТ- симметрии, что дает принципиально новые возможности управления оптическими импульсами по сравнению с консервативными структурами [5]. Уникальные отличительные особенности ТТ- симметричных систем обусловлены нетривиальной интерференцией волн и ■возможностью переключения режима от устойчивого к неустойчивому, связанному с нарушением ТТ- симметрии [6, 7].

Простейшим ТТ- симметричным оптическим элементом является пара волноводов с потерями в одном из них и усилением в другом. Такой элемент принято называть 'РТ-каплером. Недавно опубликованные результаты [8] показывают, что 'РГ-каплеры могут использоваться для усиления линейных и нелинейных волн в оптических системах, в качестве переключателей режимов системы, а так же в качестве фильтров сигналов. Дизайн и теоретический анализ свойств оптических систем, включающих ТТ- каплеры или состоящих из них, является актуальной задачей, решение которой поможет осуществить переход к технологиям хранения и передачи информации, использующим только оптические системы, и обладающим на порядки большим быстродействием, чем электронные системы.

Целью диссертационной работы являлось теоретическое изучение распространения линейных и нелинейных оптических сигналов в системах, содержащих ТТ- каплеры или состоящих из них, и выяснение перспектив использования таких систем для фильтрации, усиления или ослабления сигналов. Для достижения данной цели решались следующие задачи:

1. Разработка математических моделей, описывающих распространение световых сигналов в системах оптических волноводов с ТТ- каплерами.

2. Исследование устойчивости полученных математических моделей по

отношению к линейным волнам, иными словами, определение порога нарушения ~РТ- симметрии.

3. Изучение рассеяния линейных волн на дефектах периодичности систем оптических волноводов с ТТ- каплерами. Построение линейных решений, локализованных на дефектах.

4. Математическое описание нелинейных мод в рассматриваемых системах. Изучение устойчивости, определение порога нарушения 'РТ-симметрии.

5. Численное исследование рассеяния оптических солитонов друг на друге и на дефектах периодичности рассматриваемых систем.

Методы исследования. Для линейных систем использовались аналитические методы исследования. При анализе устойчивости систем решались задачи на нахождение собственных значений и собственных векторов соответствующей спектральной задачи.

Для систем, описываемых дискретными нелинейными уравнениями Шре-дингера, аналитическими методами были построены приближенные солитон-ные решения, проведен анализ устойчивости некоторых нелинейных мод. Численные методы применялись для изучения распространения и взаимодействия волн солитонного типа. Расчеты проводились с помощью неявной, безусловно устойчивой схемы Кранка-Николсона четвертого порядка.

Научная новизна

• В работе впервые предложен и проанализирован ряд оптических систем, включающих ТТ- каплеры, описываемых системой дискретных нелинейных уравнений Шредингера. Значительным элементом новизны данной работы является рассмотрение дискретных нелинейных оптических систем, в то время как в большинстве опубликованных к настоящему времени работ изучались континуальные Т>Т- симметричные модели.

• Для рассмотренных систем показана возможность гибкого управления

распространением света. В частности, продемонстрировано, что в оптических системах с ~РТ- каплерами можно добиться усиления или ослабления световых сигналов. Показано, что дефекты периодичности рассматриваемых дискретных систем могут быть использованы для фильтрации сигналов, а также для переключения режимов системы.

• Обнаружены новые эффекты, не свойственные консервативным оптическим системам, например, выявлен нелокальный характер влияния типа граничных условий на устойчивостьсистемы, а так же описано нетривиальное рассеяние волн на дефекте типа доменной стенки.

Практическая значимость

К настоящему моменту экспериментально были изучены лишь несколько линейных Т>Т- симметричных моделей. В тоже время, при распространении оптических сигналов большой интенсивности начинают проявляться эффекты нелинейности в данных средах, связанные с зависимостью показателя преломления среды от интенсивности светового сигнала. Поэтому теоретическое исследование нелинейных Т>Т- симметричных оптических систем является важным шагом, предваряющим постановку соответствующих экспериментов. Результаты данного диссертационного исследования могут быть использованы при разработке ~РТ- симметричных оптических контроллеров, которые заменят существующие электронные аналоги, что позволит повысить скорость передачи данных на несколько порядков.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Дискретные нелинейные модели, описывающие распространение оптических сигналов в системах волноводов с ТТ- каплерами.

2. Результаты моделирования рассеяния линейных и нелинейных волн на дефекте, представляющем собой ТТ-каплер, внедренный в массив кон-

сервативных оптических волноводов.

3. Результаты исследования влияния VT- каплера, внедренного в массив консервативных оптических волноводов, на устойчивость системы по отношению к блоховским волнам.

4. Результаты изучения рассеяния линейных волн на дефекте в виде доменной стенки в модели взаимосвязанных VT- каплеров.

5. Построение и анализ приближенных решений, описывающих локализованные нелинейные моды, распространяющиеся в цепочке VT- каплеров. Изучение взаимодействия солитонных решений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: CLEO/Europe EQEC Conference (2011, Munich); International workshop "Nonlinear Photonics: Theory, Materials, Applications" (Saint-Petersburg 2011); Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и её приложения в естествознании "(Уфа, 2011); "Дни дифракции 2012"(Санкт-Петербург 2012); Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и её приложения в естествознании "(Уфа, 2012); International workshop "Tacona photonics"(2012, Bad Honnef, Germany); META 2013, the 4th International Conference on Metamaterials, Photonic Crystals and Plasmonics (2013, Sharjah, Emirates).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 12 печатных работах, из них 6 статей в журналах из списка ВАК и 4 тезиса докладов конференций.

также как и большинство аналитических рассуждений. Также автор принимал непосредственное участие в постановке задач и обсуждении результатов исследования. Подготовка публикаций проводилась совместно с соавторами, причем, вклад диссертанта был определяющим для большинства из них. Все представленные в диссертации результаты получены автором в сотрудничестве с соавторами опубликованных работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, трех основных глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 125 страниц, включая 43 рисунка. Библиография включает 101 наименование.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе представлены работы, наиболее близко относящейся к теме диссертационной работы.

В первом разделе дан обзор работ, раскрывающих понятие ТТ- симметрии. Было показано, что существует узкий класс систем с неэрмитовыми гамильтонианами, обладающими полностью вещественным спектром собственных значений если гамильтониан системы обладает свойством 'РТ- симметрии [3]. Необходимым условием РТ-симметрии является свойство потенциала связанного с системой: У(х) = У*(—х). Обосновывается мотивация исследования РТ-симметричных систем.

Во втором разделе представлены работы по изучению ТТ- симметричных систем в оптике. В частности, приведены основополагающие эксперимен-

тальные работы по конструированию подобных систем [9, 10], и теоретические работы по изучению линейных и нелинейных континуальных систем.

В третьем разделе представлены работы по дискретным нелинейным РТ-симметричным моделям. В работе [11] изучается нелинейная модель ТТ-каплера. Данная система исследована на устойчивость в зависимости от интенсивности усиления и потерь для различных значений параметров модели. Также рассмотрены работы по изучению солитонов в таких системах и рассеянию волн.

В заключении главы определяется цель диссертационного исследования.

Во второй главе изучаются линейные РТ-симметричные модели дискретных оптических систем. Линейные модели адекватно описывают распространение света малой интенсивности, однако, результат полученный для линейных систем будет справедлив и в нелинейном случае.

В первом разделе рассматривается линейная модель, описывающая цепочку волноводов, включающую РТ-каплер (см. Рисунок 1).

Рис. 1. Система волноводов, содержащая "РТ- каплер. Синим (темно-серый) цветом отмечен волновод с потерями, красным (светло-серый) - с усилением.

Распространение света малой интенсивности в такой системе описывается системой уравнений, формально совпадающих с дискретными уравнениями Шредингера [12]

ййп

г-^ + Сга^г + Сха^ = 0, j ^ 0,1,

г— - гра0 + С^а^ + С2а 1 = 0, (1)

с1а 1

+ гРа1 + Огао + С\а% = О,

ах

где Oj огибающая электрического поля в j-м волноводе, z направление распространения света, р определяет величину потерь и усиления, Ci,2 - константы связи между консервативными волноводами и между волноводами VT-каплера, соответственно.

В данной системе изучалось рассеяние блоховских волн на дефекте, в виде VT-каплера. Аналитически были найдены коэффициенты прохождения и отражения волн,

е-^Югвтк 1 - с\ - р2 - 2рСх sinfc Т(р) =--р-, ЩР) --^-. W

соответственно, где

D = С\ ехр(-2гк) + р2 - 1, р = Сг = Ц. (3)

Здесь к - блоховское волновое число, /3 - константа распространения, удовлетворяющая соотношению /3 = -2С\ cos (к). В зависимости от параметров падающей волны и порядка прохождения элементов РГ-каплера, отраженные и прошедшие волны могут испытывать как усиление, так и ослабление. Было показано, что существуют области параметров, в которых модуль коэффициентов отражения и прохождения значительно превышает единицу, т.е. отраженные и прошедшие волны могут быть существенно усилены с помощью VT- каплера. А поскольку данные коэффициенты также зависят от константы распространения, 'РТ-каплер может выступать в роли фильтра линейных волн.

Было показано, что при значениях параметров связи Ci < Ci система поддерживает решение в виде локализованной на дефекте моды, описывае-

мой уравнениями

аДг) =-- Вд •'ехр(-г^г), ] < О, а_,(г) = В^'1 ехр(-гр1г + щ),з > 1,

Аи = ±(У-сГ2-1) (1-р2)-1/2С2,

\рх — агсзт р, (^2 = 7г — агсвт р.

где В - амплитуда моды, а /3; - константа распространения. При значениях параметров связи С2 < С\, локализованная мода является неустойчивой. Данная мода может влиять на распространение волн высокой интенсивности.

Во втором разделе изучалось влияние граничных условий на устойчивость тривиального решения. Условие У{х) — У*(—х) является необходимым для РТ-симметрии системы, но не достаточным. В потенциал У(х) рассматриваемой системы входит параметр усиления и потерь р. Если значение данного параметра превышает некоторое пороговое значение, то баланс между усилением и потерями нарушается и спектр перестает быть полностью вещественным. Такое значение называется порогом нарушения 'РТ-симметрии.

Было установлено, что для системы с нулевыми граничными условиями, при достаточно большом числе волноводов, порог нарушения РТ- симметрии определяется выражением

(сплошная линия на Рисунке 2 (а, в). Отметим, что в данное выражение входят лишь параметры РТ-каплера и не входят параметры остальной части цепочки.

Для системы с периодическими граничными условиями пороговое значе-

\Р\ = \сг\,

(5)

Рис. 2. Максимальное значение показателя критических экспонент на плоскости параметров модели (1), представленное цветовым кодом согласно приведенной шкалы. Результаты для (а), (в) нулевых и (б), (г) периодических граничных условий. Число волноводов на (а), (б) N = 20, на (в), (г) N = 100.

ние р определяется выражением

P=\\Ci\-\<h\\ (6)

(сплошная линия на Рисунке 2 (б, г), а для бесконечно длинной цепочки выражением

\Р\ = yJcl + Cl (7)

(штриховая линия на Рисунке 2).

Интересно выяснить, почему для различных граничных условий порог нарушения РТ-симметрии оказывается столь различным. Для этого рассмотрим поведение показателей критических экспонент в зависимости от параметров системы и количества волноводов в системе. Оказывается, что в областях II на Рисунке 2 показатели критических экспонент отличны от нуля (т.е. система неустойчива) при любом конечном числе волноводов N, но они стремятся к нулю при увеличении числа волноводов и, в пределе N —» оо, область неустойчивости лежит выше штриховой лини, в области III. В области I показатели критических экспонент остаются равными нулю при любом

N. Таким образом, в задачах с конечным числом волноводов, в области параметров II на Рисунке 2, в системе будет развиваться неустойчивая динамика, но скорость ее развития будет падать с ростом числа волноводов в цепочке, и для достаточно длинной цепочки можно полагать, что система устойчива по отношению к линейным волнам. На Рисунке 2 цветом показано максимальное значение показателя критических экспонент для задачи с нулевыми (а, в) и периодическими граничными условиями (б, г). На (а, б) количество волноводов N = 20, на (в, г) N = 100. Отметим также, что неустойчивая динамика имеет различный характер для данных областей. Так, в области II неустойчивыми являются блоховские волны, в то время как в области III неустойчивы моды, локализованные на каплере.

С физической точки зрения, различие условий устойчивости в зависимости от типов граиичных условий объясняется поведением малых возмущений распространяющихся от РТ-каилера. В случае нулевых граничных условий, возмущение доходит до границ системы, отражается от них и возвращается к VT-каплеру, где оно претерпевает дальнейшее усиление. Для периодических граничных условий возмущение проходит по всем элементам цепочки и приходит к VT-каплеру с другой стороны. Для длинной цепочки, возмущение не возвращается обратно к РТ-каплеру (этим объясняется более высокое значение порога нарушения РГ-еимметрии).

В третьем разделе изучалась модель взаимосвязанныхРТ-каплеров, описываемая системой линейных дискретных уравнений Шредингера duj

-jj — puj + iVj + ¿Ci(Uj_i - 2щ + uj+1), dvj

— = -pvj + iuj + iCxivj-! - 2vj + vJ+1), (8)

где Uj огибающая электрического поля в j-ом волноводе с усилением, а Vj -в j-ом волноводе с потерями, Ci константа связи между каплерами.

Для данной системы был определен порог нарушения РТ-симметрии:

Рис. 3. Две ветви соотношения между и> и fc. БВ - область блоховских волн, к = гк; ЭВ -область экспоненциальных волн, fc = к; СЭВ - область экспоненциальных стаггеред волн,

к = 7Г — ÍK.

р = 1. Далее изучалось рассеяние линейных волн вида

^ exp[¿(fcn — u>z)], (9)

где sin ¿ = —р и — 2Ci(l - cosfc) - eos S, на дефекте, являющимся доменной стенкой. Данный дефект был получен путем смены знака р в одной из половин цепочки. Для вещественных к имеем блоховские волны, а для ком-плекснозначных - экспоненциальные волны. Поскольку cosí = ±\Л — Р2, соотношение между ш и к имеет две ветви, нижнюю и верхнюю (см. Рисунок 3), то есть имеется два типа блоховских и экспоненциальных волн.

Было установлено, что падающая волна любого типа в результате рассеяния на дефекте возбуждает прошедшие и отраженные волны обоих типов, что не наблюдается в консервативном случае (р = 0). Это объясняется тем, что перераспределение энергии между модами происходит благодаря временному дисбалансу усиления и потерь в момент прохождения волн через дефект. Также было установлено, что падающая блоховская волна может возбуждать волны с экспоненциально затухающей амплитудой и наоборот. На Рисунке 3 показана схема определения типа возбуждаемых волн. Так, если на дефект падает блоховская волна с ш} и волновым числом к = k¡, то возбуждается блоховская волна той же частоты ш} и волновым числом к = к*к. Если же падает блоховская волна с частотой ш}* и волновым числом к = к", то воз-

буждается волна с экспоненциально убывающей амплитудой той же частоты с волновым числом к — г к".

Аналитически были получены коэффициенты отражения и прохождения, построены графики для нескольких наборов параметров модели. Показано, что в определенных областях параметров модели можно добиться усиления или ослабления как отраженных так и прошедших волн.

В третьей главе рассматриваются модели с керровской нелинейностью аналогичные моделям, изученным в предыдущей главе. Строятся солитонные решения, изучается рассеяние данных решений на дефектах, а также взаимодействие нелинейных импульсов между собой.

В нелинейных средах, благодаря компенсации пространственной дисперсии нелинейным откликом среды, могут распространяться локализованные импульсы [13]. Часто такие импульсы имеют форму солитонов или солитон-ных волн. Такие солитонные решения возникают в физике твердого тела, оптике, электромагнетизме, биофизике и других областях физики [14, 15]. В данном исследовании в качестве одного из основных типов распространяющихся сигналов будут рассмотрены солитонные волны.

В первом разделе изучается рассеяние солитонов на дефекте в нелинейной модели цепочки волноводов с "РТ- симметричным каплером

Параметры модели определяются также, как в модели (1).

Данная система интегрировалась численно, с помощью неявной безусловно устойчивой схемой Кранка-Никалсона четвертого порядка. Начальные условия, описывающие солитонные решения могут быть получены из кон-

+ Сха^-х + Сха}+1 + \а5\2а5 = 0, з ф 0,1 - гра0 + Сга-г + С2а1 + |а0|2а0 = 0, + + С2а0 + Сха2 + |ах|2а1 = 0.

(10)

0.014

0.006

а" 0.008

0.012

0.010

0.004

0.002

O.OOJ

8.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 03 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

И "0.2 03 04 05 А

Рис. 4. Коэффициенты отражения NR (светлые точки) и прохождения Nt (темные точки) рассеяния солитонов в сравнении с предсказанием линейной теории (тонкая и толстая пунктирная линия соответственно). На (а) представлена зависимость от нормированной величина параметра р\ на (б) зависимость от амплитуды падающего солитона А. На (в) показаны энергия локализованной моды, |а0|2 4- |aj|2, после взаимодействия солитона амплитуды А с дефектом.

тинуального нелинейного аналога модели (10) при р = 0 и С\ = На Рисунке 4 представлен результат рассеяния солитонов в сравнении с рассеянием линейных волн. На (а, б) изображены коэффициенты отражения NR = |Я|2 и прохождения NT = |Т|2 найденные аналитически для линейных волн (2) (тонкая и толстая пунктирная линия соответственно) в сравнении с аналогичными коэффициентами рассеяния солитонов, которые показывают какая часть энергии начального импульса прошла через дефект (темные точки), а какая часть отразилась (светлые точки). На (а) приведена зависимость |iVß| и |iVr| от р при фиксированной амплитуде А падающего солитона. По оси абсцисс отложена нормированная величина параметра усиления и потерь, где Pcrit = + Cf порог нарушения РТ-симметрии. Отметим, что коэффициенты отражения и прохождения достигают максимального значения при некотором значении р, отличного от Pa-it, и в окрестности данной точки наблюдается наибольшее расхождение предсказания линейной теории и результата рассеяния солитонов. На (б) показано отличие предсказаний линейной теории от результатов рассеяния солитонов в зависимости от амплитуды А падающего солитона. Исследование показывает, что линейная теория дает хорошее предсказание рассеяния нелинейных волн в широком диапазоне параметров

модели. Также было установлено, что при прохождении через дефект нелинейные волны могут возбуждать локализованную на дефекте моду. На (в) показана энергия локализованной на РТ-каплере моды |а0|2 + [а-!|2 после прохождения солитона амплитуды А через дефект. При увеличении амплитуды падающего солитона на дефекте образуется мода большей интенсивности, поэтому взаимодействие солитона с локализованной модой также было изучено и показана нетривиальная зависимость поведения системы от соотношения фаз падающего солитона и локализованной моды.

Во втором разделе изучается дискретная модель цепочки взаимосвязанных каплеров, описываемая системой нелинейных уравнений Шредингера (1и

= рип + 1\и„\2ип + гуп + гС1(ип+1 + ип_1 - 2ип), йъп ,2

— = -руп + Цуп\ ьп + гип + гС1{уп+1 + «п_1 - 2и„). (И)

Для данной модели были построены солитонные решения двумя способами. При малой дискретности модели, т.е. при С\ > 1, приближенное солитон-ное решение было получено из точного решения континуального аналога модели. Для большой дискретности, при С\ 1, солитонное решение было получено при помощи так называемого антиконтинуального метода. Численно было показано, что в такой системе темные солитоны, а также "скручен-ные"солитоны являются неустойчивыми вследствии неустойчивости фонового решения таких солитонов. Светлые солитонные решения были численно исследованы на устойчивость и показано, что при значениях амплитуды солитона А > — (р- "РТ-симметрия данной моды нарушается, т.е. усиление и потери становятся несбалансированными. Было показано, что результат взаимодействия солитонов существенно зависит от их взаимной фазы. Так, солитоны разного типа после взаимодействия могут порождать бризерные объекты, обладающие переменной вдоль координаты 2 суммарной интенсивностью.

В третьем разделе исследованы свойства бризерных решений в континуальном аналоге модели (11), который описывает плоскийТ>Т- симметричный каплер. Бризерные решения существуют и в консервативной модели, однако то, что такие решения не вызывают дисбаланса в системе с потерями и усилением, является интересным свойством РТ-симметричных систем.

Для данной системы приближенное бризерное решение может быть записано в следующем виде

и{г) а

А0

В0

Аг

Вг 9

Численно было продемонстрировано, что данная формула дает достаточно хорошее приближение при значениях малого параметра« < 0.5. Исследовано образование бризеров в следствии взаимодействия солитонов. Таким образом, бризерные решения являются более общими, чем солитоны в данной модели.

В четвертой главе была рассмотрена дискретная нелинейная модель взаимосвязанных РГ-каплеров, допускающая точные решения. Благодаря отсутствию потенциала Пайерлса-Набарро солитоны в такой системе более подвижны, и изучать их взаимодействие значительно легче. Данная модель

= а + Ь, ь(г) = ё9Ь - е г0а, где = >/2ф4о + еАг + 0(е2)}, Ь = тДЦВ0 + еВг + <Э{е%

-¡(ыо-е)2

>/з

эссЬ (\/ёж)

■Л

эесЬ (\[кх) 1 +

102шо

102а,'о

(6 +весЬ^а:)) (б + зесЬ2(х))

6\/За;о

весЬ"

(у/У) [е1

(Зы0г+2в) _

Агре

-¿(3^02+0)

-эесЬ3 (\/бж) 4г

6^/Зшо агсвт р, шо = соя 0.

,1(3ш0г+2б) + е-г(Зш0г+9)

(12)

описывается системой уравнений

дип I .о ип—1 + ип+1

= рип + ivn + г \ипI ---+ iC (ип_! - 2ип + un+i), (13)

= -pvn + iun + i |v„|2t>"~1 * г"+1 + iC - 2г;„ + un+i). (14)

Здесь u„ и vn - огибающие электрического поля в волноводах с усилением и потерями соответственно, р - интенсивность усиления и потерь, С - параметр связи между волноводами, z координата распространения света.

В данной системе изучалось взаимодействие солитонных решений, начальные условия для которых задаются с помощью выражений

J U" 1 = Asech[/3(n -vz + S1)}eit-ulz-kn+5^ J ^ i , (15)

[ vn J [ e~ie/2 f

где A - амплитуда солитона, /3 - обратная ширина, v - скорость, к - волновое число связаны соотношениями: А2 = 2Csinh/?2, Bv = — 2Сsin/fc sinh/3, sin0 = —p, ш = cos0 — 2C(1 - cosfccosh/3).

В данной модели существует два вида солитонов - со значениями # = 0h, удовлетворяющими уравнению cos Он = — \/l — Р2, и с 0 = при cos в\ = •\А — р2- Было показано, что при взаимодействии солитонов одного типа, данная система сводится к интегрируемой модели, в которой солитоны взаимодействуют упруго. При взаимодействии солитонов разного типа возникают бризерные решения с переменной интенсивностью. Построены графики перераспределения энергии в системе после взаимодействия солитонов в зависимости от их начальной разности фаз.

Таким образом, результат взаимодействии солитонов разного типа определяется их относительной фазой.

В Заключении приведены основные результаты и выводы работы.

1)Предложен ряд математических моделей, описывающих распространение света в системах оптических волноводов, включающих'РТ-симметричные

каплеры (пары волноводов, с усилением в одном из них и потерями в другом).

2) Получены условия устойчивости тривиальных решений рассматриваемых моделей (определен порог нарушения'РТ-симметрии).

Для модели, описывающей цепочку волноводов включающую ТТ- симметричный каплер, показано, что условия устойчивости тривиального решения существенно различаются для трех типов граничных условий: нулевых, периодических и для бесконечной цепочки. Однако, при достаточно большом числе волноводов в цепочке, для любых типов граничных условий, в качестве условия устойчивости можно использовать условие устойчивости задачи с бесконечно большим числом волноводов.

3) Изучено рассеяние линейных волн в цепочке волноводов на дефекте в виде ТТ-каплера. Аналитически получены коэффициенты отражения и прохождения линейных волн. Показано, что с помощью РТ-кап л ер а можно добиться усиления как прошедших, так и отраженных волн. Построены решения локализованные на дефекте.

Для цепочки взаимосвязанных РТ-каплеров изучено рассеяние линейных волн на дефекте типа доменной стенки. Аналитически получены коэффициенты отражения и прохождения линейных волн. Показана возможность существенного усиления, либо ослабления как прошедших, так и отраженных волн. Показана возможность фильтрации волн с помощью данного дефекта.

4) Для цепочки взаимосвязанных РТ-каплеров полуаналитически построены солитонные решения для предельных случаев большой и малой дискретности. Показано, что в рассматриваемой системе устойчивыми являются только светлые солитоны. Установлено существование устойчивых бризерных решений. Получены амплитудные уравнения, приближенно описывающие динамику бризеров.

5) Численно установлено, что рассеяние солитонов малых и умеренных

амплитуд на РТ-каплере хорошо описывается линейной теорией. Рассеяние солитонов больших амплитуд приводит к возбуждению моды, локализованной на дефекте. При взаимодействии солитонов с локализованными модами больших амплитуд в системе может происходить переключение между режимами функционирования от устойчивого к неустойчивому.

Для цепочки взаимосвязанных РТ-каплеров изучено взаимодействие солитонов. Показано, что при взаимодействии солитонов могут образовываться бризерные объекты.

Список публикаций автора по теме диссертации I. Статьи в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования результатов диссертационных работ.

1) Scattering of solitons in nonlinear waveguide arrays on a pair ofPT-symmetric waveguides with balanced gain and loss / S. V. Dmitriev, S. V. Suchkov,

A. A. Sukhorukov, Yu. S. Kivshar // Phys. Rev. A. - 2011. - V. 84. - P. 013833-5.

2) Solitons in a chain of parity-time-invariant dimers / S. V. Suchkov,

B. A. Malomed, S. V. Dmitriev, Yu. S. Kivshar // Phys. Rev. E. - 2011. - V. 84.

- P. 046609-8.

3) Nonlocality in PT-symmetric waveguide arrays with gain and loss / A. A. Sukhorukov, S. V. Dmitriev, S. V. Suchkov, Yu. S. Kivshar // Opt. Lett. -2012. - V. 37. - no 11. - P. 2148-2150.

4) Wave scattering on a domain wall in a chain of VT-symmetric couplers / S. V. Suchkov, S. V. Dmitriev, B. A. Malomed, Yu. S. Kivshar // Phys. Rev. A.

- 2012. - V. 85. - P. 033825-6.

5) Breathers in Pi-symmetric optical couplers / I. V. Barashenkov, S. V. Suchkov, A. A. Sukhorukov, S. V. Dmitriev, Yu. S. Kivshar // Phys. Rev. A. - 2012. - V. 86.

- P. 053809-12.

6) Scattering of the discrete solitons on the PT-symmetric defects /

S. V. Suchkov, A. A. Sukhorukov, S. V. Dmitriev, Yu. S. Kivshar // Europhysics Letters. - 2012. - V. 100. - P. 54003-5.

II. Статьи в других журналах, тезисы докладов конференций.

7) Time-reversal and nonlocal effects in TT-symmetric nonlinear lattices with balanced gain and loss / A. A. Sukhorukov, Z. Xu, S. V. Dmitriev, S. V. Suchkov, Yu. S. Kivshar // SPIE. - 2011. - V. Active Photonic Materials IV. - P. 8095N- 8.

8) Сучков, С. В. Взаимодействие солитонов в дискретных "РТ-симметричных системах без потенциала Пайерлса-Набарро / С. В. Сучков, А. Кхаре // Письма о материалах. - 2011. - Т. 1. - С. 222-225.

9) Сучков, С. В. Распространение света в системе РТ-симметричных кап-леров / С. В. Сучков // "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании". Уфа. - 2012. - С. 22.

10)Propagation of light beams through the system of "PT-symmetric couplers / S. V. Suchkov, S. V. Dmitriev, A. A. Sukhorukov, Yu. S. Kivshar // "Days on diffraction". Saint Petersburg. - 2012. - C. 107-108.

11) Nonlocal effect in waveguide arrays with PT-symmetric defect / A. A. Sukhorukov, S. V. Dmitriev, S. V. Suchkov, Yu. S. Kivshar // CLEO/ Europe-EQEC Conference. Munich. - 2011. - P. 138.

12) Soliton scattering in the chain of optical waveguides including PT-symmetric defect / S. V. Suchkov, S. V. Dmitriev, A. A. Sukhorukov, Yu. S. Kivshar // META 2013. Shardjah. - 2013. - P. 631-632.

Цитированная литература

1. Ахманов, С. А. Проблемы нелинейной оптики: Электромагнитные волны в нелинейных диспергирующих средах / С. А. Ахманов, Р. В. Хохлов. - Москва: ВИНИТИ, 1964. -298 с.

2. Сухоруков, А. П. Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике / А. П. Сухоруков. - Москва: Наука, 1988. - 664 с.

3. Bender, С. М. Real spectra in non-Hermitian Hamiltonians having PT symmetry / С. M. Bender, S. Boettcher // Phys. Rev. Lett. - 1998. - V. 80. - no. 24. - P. 5243-5246.

4. Theory of coupled optical PT-symmetric structures / R. El-Ganainy, K. G. Makris, D. N. Christodoulides, Z. H. Musslimani // Opt. Lett. - 2007. - V. 32. - P. 2632-2634.

5. Klaiman, S. Visualization of branch points in PT-symmetric waveguides / S. Klaiman, U. Guenther, N. Moiseyev // Phys. Rev. Lett - 2008. - V. 101. - P. 080402-4.

6. Longhi, S. Bloch oscillations in complex crystals with PT symmetry / S. Longi // Phys. Rev. Lett. - 2009. - V. 103. - P. 123601^1.

7. PT optical lattices and universality in beam dynamics / M. C. Zheng, D. N. Christodoulides, R. Fleischmann, T. Kottos // Phys. Rev. A. -2010. - V. 82. - P. 10103-4.

8. Dmitriev, S. V. Binary parity-time-symmetric nonlinear lattices with balanced gain and loss / S. V. Dmitriev, A. A. Sukhorukov, Yu. S. Kivshar // Opt Lett. - 2010. - V. 35. -no. 17. -P. 2976-2978.

9. Observation ofPT-symmetiy breaking in complex optical potentials/A. Guo, G. Salamo, D. Duchesne. R- MorandottL, M. Volatier-Ravat, V. Aimez, G. A. Siviloglou, D. N. Cristodoulides //Phys. Rjev. Lett. - 2011. - V. 103. - P. 093902-4.

10; Observation of parity-time symmetry in optics / С. E. Ruter, K. G. Makris, R. El-Ganainy, D. N. Cristodoulides, M. Segev, D. Kip//Nature Physics. 2010. - V. 6. - P. 192-195.

11. Sukhorukov, A. A. Nonlinear suppression of time reversals in PT-symmetric optical couplers / A. A. Sukhorukov, Z. Y. Xu, Yu. S. Kivshar//Phys. Rev. A. 2010. - V. 82. -P. 043818-5.

12. Ландсберг, Г. С. Оптика; учебн. пособие для вузов / Г. С. Ландсберг. - Москва: Физматлит, 2003. - 848 с.

13. Беспмов, В. И. Нелинейная оггшка/В. И. Беспалов, Г. А. Пасманик. - Москва: Наука, 1980. - 282 с.

14. Филиппов, А: Т. Многоликий солитон /А. Т. Филипов.-Москва:Наука, 1986.-223с.

15. Кившарь, Ю. С. Оптические солитоны. От волоконных световодов до фотонных кристаллов / Ю. С. Кившарь, Г. П. Агравал. - Москва: Физматлит, 2005. - 648 с.

Подписано к нечаста 15.09.13. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать плоская. Гарнитура Тайме. : Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ № 389 . Копировальный салон «АЗ» Центр оперативной полиграфии. 450000, ул. Ленина, д. 16.

Текст научной работы диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Сучков, Сергей Владимирович, Челябинск

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем сверхпластичности металлов Российской академии наук

На правах рукописи

04201364748 Сучков Сергей Владимирович

Линейные и нелинейные волны в ТТ - симметричных оптических системах

01.04.02 - Теоретическая физика

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф.-м. н.

Дмитриев Сергей Владимирович

Челябинск - 2013

Содержание

Введение .................................... 3

Глава 1. Обзор литературы................................................9

1.1. РТ- симметрия..........................................................9

1.2. Оптические системы, обладающие свойством РТ-симметрии ... 10

1.3. Дискретные РТ- симметричные структуры ........................19

1.4. Выводы к первой главе. Постановка задачи исследования .... 22

Глава 2. Линейные РТ-симметричные модели ......................25

2.1. Система волноводов, включающая РТ-каплер......................25

2.2. Рассеяние линейных волн на РТ-симметричном каплере..........27

2.3. Определение порога нарушения РТ-симметрии системы оптических волноводов с РТ-каплером......................................31

2.4. Цепочка РТ-симметричных оптических каплеров..................39

Глава 3. Нелинейные РТ- симметричные модели ......... 58

3.1. Рассеяние солитонов на РТ-симметричном дефекте....... 58

3.2. Нелинейная модель взаимосвязанных РТ-симметричных каплеров 68

3.3. Бризеры в модели плоского РТ-симметричного каплера..... 89

Глава 4. Дискретная РТ-симметричная модель без потенциала Пайерлса-Набарро............................105

4.1. Описание модели ...........................105

4.2. Взаимодействие солитонов......................106

Заключение...................................112

Цитированная литература..........................113

Введение

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности

В настоящее время вопросам математического описания распространения света в нелинейных средах уделяется большое внимание, в частности, в связи с необходимостью совершенствования оптических систем передачи и обработки информации. Интерес к нелинейным оптическим системам начал расти в первой половине 20 века, и их свойства были описаны во многих трудах, например [1,2]. Такие системы обладают существенным преимуществом над электронными аналогами, поскольку они позволяют существенно повысить скорость передачи данных. Современное развитие технологий еще не позволяет осуществлять активное управление оптическими сигналами без помощи электронных устройств. Это делает необходимым неоднократное преобразование оптического сигнала в электрический и обратно. Электрические контроллеры снижают скорость передачи данных на несколько порядков, поэтому возникла идея разработки их оптических аналогов, обладающих большим быстродействием. В качестве таких контроллеров могут выступать оптические системы с областями усиления и потерь, которые распределены в пространстве определенным симметричным образом. Возникает необходимость теоретического анализа подобных систем.

Из квантовой механики известно, что все наблюдаемые параметры системы должны описываться вещественными величинами. Однако недавно было показано, что физические системы, описываемые неэрмитовыми гамильтонианами, могут обладать полностью вещественным спектром собственных значений, если они удовлетворяют условию ТТ- симметрии [3]. В работе [4] было показано, что необходимым условием 'РТ- симметрии системы является следующее свойство потенциала, связанного с данной системой: У{х) = У*(—х). В оптике роль такого потенциала может играть комплексный показатель преломления. Таким образом, фотонные структуры с областями усиления и потерь, распо-

ложенными специальным образом, могут обладать свойством РТ- симметрии, что дает принципиально новые возможности управления оптическими импульсами по сравнению с консервативными структурами [5]. Уникальные отличительные особенности РТ- симметричных систем обусловлены нетривиальной интерференцией волн и возможностью переключения режима от устойчивого к неустойчивому, связанному с нарушением РТ- симметрии [6, 7].

Простейшим РТ- симметричным оптическим элементом является пара волноводов с потерями в одном из них и усилением в другом. Такой элемент принято называть РТ-каплером. Недавно опубликованные результаты [9] показывают, что РТ-каплеры могут использоваться для усиления линейных и нелинейных волн в оптических системах, в качестве переключателей режимов системы, а так же в качестве фильтров сигналов. Дизайн и теоретический анализ свойств оптических систем, включающих РТ- каплеры или состоящих из них, является актуальной задачей, решение которой поможет осуществить переход к технологиям хранения и передачи информации, использующим только оптические системы, и обладающим на порядки большим быстродействием, чем электронные системы.

Целью диссертационной работы являлось теоретическое изучение распространения линейных и нелинейных оптических сигналов в системах, содержащих РТ- каплеры или состоящих из них, и выяснение перспектив использования таких систем для фильтрации, усиления или ослабления сигналов. Для достижения данной цели решались следующие задачи:

1. Разработка математических моделей, описывающих распространение световых сигналов в системах оптических волноводов с РТ- каплерами.

2. Исследование устойчивости полученных математических моделей по отношению к линейным волнам, иными словами, определение порога нарушения РТ- симметрии.

3. Изучение рассеяния линейных волн на дефектах периодичности систем

оптических волноводов с Т>Т- каплерами. Построение линейных решений, локализованных на дефектах.

4. Математическое описание нелинейных мод в рассматриваемых системах. Изучение устойчивости, определение порога нарушения РТ-симметрии.

Научная новизна

• В работе впервые предложен и проанализирован ряд оптических систем, включающих Т*Т- каплеры, описываемых системой дискретных нелинейных уравнений Шредингера. Значительным элементом новизны данной работы является рассмотрение дискретных нелинейных оптических систем, в то время как в большинстве опубликованных к настоящему времени работ изучались континуальные ТТ- симметричные модели.

• Для рассмотренных систем показана возможность гибкого управления распространением света. В частности, продемонстрировано, что в оптических системах с ТТ- каплерами можно добиться усиления или ослабления световых сигналов. Показано, что дефекты периодичности рассматриваемых дискретных систем могут быть использованы для фильтрации сигналов, а также для пере-

ключения режимов системы.

Практическая значимость

К настоящему моменту экспериментально были изучены лишь несколько линейных РТ- симметричных моделей. В тоже время, при распространении оптических сигналов большой интенсивности начинают проявляться эффекты нелинейности в данных средах, связанные с зависимостью показателя преломления среды от интенсивности светового сигнала. Поэтому теоретическое исследование нелинейных РТ- симметричных оптических систем является важным шагом, предваряющим постановку соответствующих экспериментов. Результаты данного диссертационного исследования могут быть использованы при разработке РТ- симметричных оптических контроллеров, которые заменят существующие электронные аналоги, что позволит повысить скорость передачи данных на несколько порядков.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Дискретные нелинейные модели, описывающие распространение оптических сигналов в системах волноводов с РТ- каплерами.

2. Результаты моделирования рассеяния линейных и нелинейных волн на дефекте, представляющем собой РТ-каплер, внедренный в массив консервативных оптических волноводов.

3. Результаты исследования влияния РТ- каплера, внедренного в массив консервативных оптических волноводов, на устойчивость системы по отношению к блоховским волнам.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: CLEO/Europe EQEC Conference (2011, Munich); International workshop "Nonlinear Photonics: Theory, Materials, Applications" (Saint-Petersburg 2011); Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и её приложения в естествознании "(Уфа, 2011); "Дни дифракции 2012" (Санкт-Петербург 2012); Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и её приложения в естествознании "(Уфа, 2012); International workshop "Tacona photonics"(2012, Bad Honnef, Germany); МЕТА 2013, the 4th International Conference on Metamaterials, Photonic Crystals and Plasmonics (2013, Sharjah, Emirates).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 12 печатных работах, из них б статей в журналах из списка ВАК и 4 тезиса докладов конференций.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают личный вклад автора в опубликованные работы. Все численные эксперименты были проведены лично автором, также как и большинство аналитических рассуждений. Также автор принимал непосредственное участие в постановке задач и обсуждении результатов исследования. Подготовка публикаций проводилась совместно с соавторами, причем, вклад диссертанта был определяющим для большинства из них. Все представленные в диссертации результаты получены автором в сотрудничестве с соавторами

опубликованных работ.

Глава 1 Обзор литературы

1.1. РТ-симметрия

Из квантовой механики известно, что все наблюдаемые величины должны описываться действительными переменными. Для этого достаточно, чтобы система обладала эрмитовым гамильтонианом, что обеспечивает полностью действительный спектр этого гамильтониана. Однако, были обнаружены частные случаи систем с неэрмитовыми гамильтонианами (например Н = р2 + х2 + гхъ), обладающие полностью действительным спектром собственных значений. Чуть позднее, в работе [3], было показано, что такое свойство характерно для систем, обладающих РТ-симметрией. Отметим, что РТ- это оператор, в котором оператор V отвечает за пространственное преобразование р —» — р и х —> —х, а оператор Т за преобразование времени р —> — р и х —> х, % -Л —г. Гамильтониан системы Н, который в квантовой механике также является оператором, может быть не инвариантен относительно каждого из преобразований V, либо Т, однако он будет обладать полностью вещественным положительным спектром, если будет инвариантен относительно преобразования ТТ. В работе [3] исследовался класс гамильтонианов типа

Н = р2 гп2х2 — (гх)м,

где N - вещественный параметр. В зависимости от параметров N и т2 были обнаружены различные фазовые состояния с точками переходов, в которых спектр переставал быть полностью вещественным. Случай, когда гамильтониан инвариантен относительно преобразований ТТ, но его спектр не является полностью вещественным, называется спонтанным нарушениемРТ-симметрии.

Считается, что с момента выхода работы [3], "РХ-симметричные системы,

которые раньше рассматривались только как математическая абстракция, начали активно привлекать внимание ученых из различных областей знаний.

Чуть позднее, в работе [10], было введено более широкое понятие СТТ-симметрии. Оказывается, если в системе условие "РТ-симметрии не нарушено, то можно построить скрытую С симметрию такой системы. Тогда условие СРТ-симметрии будет обобщением условия эрмитовости гамильтониана, и все наблюдаемые величины в такой системе будут инвариантны относительно СРТпреобразования.

Также, наряду с упомянутыми выше работами, вопрос Т*Т-симметрии системы и природы этого явления исследовался в работах [11-13].

Следующим этапом изучения ТТ-симметрии стало изучение свойств частных моделей в различных областях физики [14-18]. Стоит отметить, что "РТ-симметричные модели нашли широкое применение в оптике и фотонике. Обзор работ по этой теме будет приведен ниже.

В заключение отметим, что разработанная теория не является простой абстракцией. Существует множество приложений неэрмитовыхРТ-инвариантных гамильтонианов в физике. Неэрмитовые гамильтонианы, в случае мнимого внешнего поля, были недавно представлены для делокализации переходов в конденсированных средах, таких как линии вихревого потока в сверхпроводниках второго рода, в алгебре Ли [19], для комплексных кристаллов [20] и даже для изучения биологических популяций.

1.2. Оптические системы, обладающие свойством ТТ- симметрии

Как было отмечено ранее, "РГ-симметричные системы нашли широкое применение в оптике и фотонике.

Распространение света через проводящую среду (оптический волновод)

описывается уравнением, формально совпадающим с уравнением Шрединге-ра [21-27]. Поэтому теория, разработанная для квантовой физики, может быть применена и к оптическим системам.

В работах [28, 29] было отмечено, что необходимым условием РТ-сим-метрии системы является следующее свойство потенциала этой системы

У(х) = У*{-х).

Действительная часть потенциала является четной функцией, в то время как мнимая часть является нечетной функцией координат. Условие, накладываемое на потенциал, следует из того факта, что гамильтониан системы Н должен быть инвариантен относительно преобразования РТ, т.е.

НГТ = ГТН = Н.

В оптике в качестве такого потенциала может выступать комплексный показатель преломления среды п(х). Тогда условие на п(х) имеет вид

п(х) = п*{—х).

Тот факт, что показатель преломления среды является комплекснозначным, означает наличие потерь и/или усиления в системе. Таким образом, если в оптической системе области с усилением и потерями расположены специальным симметричным образом, такая система может обладать РТ-симметрией, что будет означать сохранение энергии (мощности) светового сигнала, распространяющегося через данную оптическую среду. Однако, благодаря нетривиальной волновой интерференции и фазовым переходам, в подобных структурах здесь могут наблюдаться эффекты, не проявляющиеся в консервативных системах.

Очевидно, наиболее простой является РТ-симметричная структура, состоящая из двух взаимосвязанных волноводов, в одном из которых происходит усиление сигнала, а во втором потеря мощности. В условиях сбалансированных по-

терь и усиления, такую структуру называют "РТ-симметричным каплером. Было опубликовано множество работ, посвященных изучению РТ-симметричного каплера, как теоретических, так и экспериментальных [8, 30-37]. Рассмотрим более подробно данные работы.

Как было отмечено выше, характерным свойством "РТ- симметричных систем является наличие точки бифуркации, переходя через которую спектр перестает быть полностью вещественным. В работе [30] было экспериментально показано спонтанное нарушение условия РТ-симметрии при изменении параметра интенсивности потерь и усиления. Для описания динамики распространения света в данной работе использовалось уравнение Шредингера

'к = Яф- <и>

где оптический гамильтониан определяется выражением

где к = кощ, ко = 27г/Ао, Ао - длина волны света в вакууме, щ постоянный (фоновый) показатель преломления среды, У{х) - потенциал системы.

Отметим, что эта работа является одной из первых работ, в которых было продемонстрировано экспериментальное создание РТ-симметричной структуры. Сложность задачи заключается в том, что добиться точного баланса между усилением и потерями н