Линейные отображения, сохраняющие матричные инварианты тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

0 Введение

1 Исторический обзор

1. Линейные отображения, сохраняющие матричные инварианты, и теория представлений

2. Общая постановка задачи

3. Основные методы решения

3.1 Теория классических групп

3.2 Проективная геометрия

3.3 Дифференциальная геометрия

3.4 Дуализации

3.5 Тензорное исчисление

3.6 Матричная комбинаторика

4. Линейные отображения, сохраняющие матричные инварианты над кольцами

5. Некоммутативные определители

5.1 Комбинаторный подход к определителю

5.2 Категорный подход к определителю

II Линейные отображения, сохраняющие матричные инварианты над некоммутативными кольцами

7. Введение

8. Полулинейные отображения матриц над телом, сохраняющие определитель Дьедонне

9. Введение в линейную алгебру над некоммутативными кольцами

9.1 Линейная алгебра над некоммутативными локальными кольцами

9.2 Определитель над некоммутативным локальным кольцом

9.3 Определитель Аджамагбо

10. Полулинейные отображения матриц над локальными кольцами, сохраняющие вырожденность

11. Полулинейные отображения матриц над локальным кольцом, сохраняющие определитель Дьедонне

III Теория моделей и линейные отображения, сохраняющие матричные инварианты

12. Основные понятия теории моделей

13. Изложение основных понятий линейной алгебры на языке теории моделей

14. Более короткие доказательства некоторых известных результатов

15. Примеры применения принципа переноса для получения новых результатов

16. Вещественно замкнутые поля

IV Метод матричных деформаций и его применение к классификации линейных отображений, сохраняющих матричные инварианты юо

17. Введение

18. Редукции к отображениям, сохраняющим нильпотентность

19. Характеризация матриц ранга

20. Матрицы с нулевым следом и различными собственными числами

21. Основная теорема

22. Характеризация множества матриц фиксированного ранга к

V Частичные порядки на матричных алгебрах и линейные отображения, их сохраняющие

23. Введение

24. Техника редукций в матричных неравенствах

25. Отображения, сохраняющие минус-порядок

26. Сохранение свойства принадлежности определителя данному множеству

VI Результаты фробениусовского типа для матриц над суперкоммутативным кольцом

27. Введение

28. Градуированные локальные кольца

29. Основные алгебраические структуры над 22-градуи-рованными суперкоммутативными кольцами

30. Унимодулярные элементы в Z2-rpaflyHp0BaHH0M локальном суперкоммутативном кольце

31. Ранг и его свойства

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Задачи классификации линейных отображений, сохраняющих матричные свойства или инварианты, постоянно возникают как в качестве естественных алгебраических задач, так и в связи с различными вопросами специальной теории относительности, численных методов и теории динамических систем. Не случайно, особенно бурное развитие теории линейных отображений, сохраняющих матричные инварианты, происходит в течении последних нескольких лет.

Говорят, что линейное отображение Т \ Mn(R) —> Mn(R) матриц фиксированного порядка п над кольцом R сохраняет некоторое свойство V, если из условия: матрица А обладает свойством V, следует, что ее образ — матрица Т(А) также обладает свойством V. Оказывается, что зачастую этой информации достаточно для полной характеризации отображения Т. Разработка вопроса характеризации линейных отображений, сохраняющих матричные инварианты, является основным предметом исследования данной диссертационной работы.

Изучение этой задачи началось с характеризации линейных отображений, сохраняющих определитель матриц над полем комплексных чисел, полученной в 1897 г. Георгом Фробениусом в связи с классификацией конечномерных комплексных представлений конечных неабелевых групп.

В настоящее время этот раздел алгебры активно развивается математиками из разных стран. Современный уровень развития теории нашел отражение более, чем в тысяче печатных работ в центральных математических журналах, в ряде обзоров, в том числе, 33-ий том журнала "Linear and Multilinear Algebra" ("Линейная и полилинейная алгебра") целиком посвящен обзору результатов о линейных отображениях, сохраняющих матричные инварианты, в работе многочисленных международных конференций по этой тематике. Последняя из них, "Linear Preserver Problems-99" проходила в 1999г. в Лиссабоне (Португалия). Кроме того, в ежегодной международной встрече общества линейной алгебры (ILAS Meetings) есть отдельная секция, работа которой посвящена вопросу классификации линейных отображений, сохраняющих матричные инварианты.

Цель работы состоит в решении серии задач классификации полулинейных над центром отображений матриц над телами и локальными кольцами, сохраняющих некоммутативные опрелители, и ряд связанных с ними матричных инвариантов; построении и развитии метода матричных деформаций и применении этого метода к решению задач классификации линейных отображений, сохраняющих спектральные свойства матриц; исследовании линейных отображений, сохраняющих полугрупповой частичный порядок на алгебре матриц, и их классификации; характеризации линейных отображений, сохраняющих экстремальные случаи классических матричных неравенств; введении методов теории моделей для классификаций линейных отображений, сохраняющих матричные инварианты, и обосновании их использования; получении ряда характеризаций класса градуированных локальных колец; определении понятия ранга матриц над Z2-гpaдyиpoвaнным суперкоммутативным локальным кольцом и классификации линейных отображений, сохраняющих матрицы ранга 1, над этим кольцом.

Основные методы исследования. В работе используются методы и результаты структурной теории колец, линейной алгебры над полями и кольцами, теории моделей, теории классических групп, градуированных колец, полугрупп, компьютерной алгебры.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них;

• Классификация сюръективных полулинейных отображений матриц над телом, сохраняющих определитель Дьедонне.

При дополнительном предположении конечной порожденное™ кольца, как модуля над некоторым коммутативным кольцом, получены

- классификация сохраняющих определитель Дьедонне сюръек-тивных полулинейных отображений матриц над локальным кольцом;

- классификация сохраняющих вырожденность биективных полулинейных отображений матриц над локальным кольцом без делителей нуля;

- классификация сохраняющих определитель Аджамагбо сюръ-ективных полулинейных отображений матриц над локальной областью Оре;

Введение методов теории моделей для классификации линейных отображений, сохраняющих матричные инварианты, обоснование их использования и применение этих методов в целях получения классификации биективных линейных отображений матриц над произвольным алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики, сохраняющих

- специальную линейную группу;

- унитарную группу;

- симметрические многочлены от собственных значений матриц;

- контролируемость;

- эквивалентность;

- t и ^-конгруэнтность, и многие другие матричные инварианты.

Построение и развитие метода матричных деформаций, классификация с его помощью линейных отображений, сохраняющих целый ряд спектральных свойств матриц над полем, среди которых

- принадлежность спектра фиксированному множеству;

- простота спектра;

- потентность матриц;

- свойство матриц иметь конечный порядок;

- счетные объединения орбит подобия матриц.

• Классификация биективных линейных отображений матриц над полем с достаточным числом элементов, сохраняющих полугрупповой частичный порядок, заданный на матричной алгебре, и матричные отношения, возникающие в качестве экстремальных случаев в неравенстве гкЛ — ткВ\ < тк(А + В) < гкЛ + гкБ.

• Классификация линейных отображений матриц над алгебраически замкнутым полем, которые переводят матрицы с определителями в одном фиксированном множестве в матрицы с определителями в другом фиксированном множестве.

• Ряд эквивалентных условий, определяющих класс градуированных локальных колец.

• Введение понятия ранга матриц над Z2-rpaflynpoBaHHbiM суперкоммутативным локальным кольцом и классификация биективных супер-линейных однородных отображений матриц над Z2-градуированным локальным суперкоммутативным кольцом, сохраняющих ранг 1.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в различных задачах линейной и полилинейной алгебры, теории колец, в вычислительных методах, теории динамических систем и математической статистике.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на Конференции Молодых Ученых механико-математического факультета МГУ "Ломоносов-97" в 1997 г.; международной алгебраической конференции, посвященной 90-летней годовщине дня рождения А.Г. Ку-роша в Москве в 1998 г.; 4-ой конференции по приложенниям компьютерной алгебры, проводимой международной организацией ИМАКС, в Праге (Чехия) в 1998 г.; международной конференции по общей алгебре и дискретной математике в Потсдаме (Германия) в 1998 г.; международной конференции, посвященной проблеме линейных отображений, сохраняющих матричные инварианты, в Лиссабоне (Португалия) в

1999 г.; 55-ой международной конференции по общей алгебре и дискретной математике в Потсдаме (Германия) в 1999 г.; международном алгебраическом семинаре, посвященном 70-летию кафедры Высшей Алгебры МГУ им. М.В. Ломоносова в Москве в 1999 г.; 8-ой встрече международной организации линейной алгебры в Барселоне (Испания) в 1999 г.; 12-ой международной конференции по формальным степенным рядам и алгебраической комбинаторике в Москве в 2000 г.; 9-ой международной конференции по матрицам и статистике в Хайдерабаде (Индия) в

2000 г., на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ, семинаре "Кольца и модули", семинаре "Избранные вопросы алгебры", научном семинаре кафедры алгебры математического факультета Казанского университета.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 10 работах, список которых приведен в конце дисертации. Результаты совместных работ, включенные в диссертацию, принадлежат автору лично.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, б глав, разбитых на параграфы, нумерация параграфов сквозная, нумерация теорем подчинена нумерации параграфов, и списка литературы. Полный объем диссертации 178 страниц, библиография включает 131 наименование.

1. Артин Э. Геометрическая алгебра.—М.: Наука, 1969.

2. Березин Ф. Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными.—Изд. МГУ, 1983.

3. Гельфанд И.М., Ретах B.C. Детерминанты матриц над некоммутативными кольцами // Функциональный анализ и его приложения.—1991.—Т. 25.—С. 91-102.

4. Гельфанд И.М., Ретах B.C. Теория некоммутативных детерминантов и характеристические функции графов // Функциональный анализ и его приложения.—1992.—Т. 26, вып. 4.—С. 1-20.

5. Григорьев Д.Ю. Алгебраическая сложность вычисления семейства билинейных форм // ЖВМ и МФ.—1979.—Т.19, No. 3.—С. 563-580.

6. Дынкин Е.Б. Максимальные подгруппы классических групп // Труды московского математического общества.—1952.—'Т. 1.— 39-166.

7. Манин Ю.И. Калибровочные поля и комплексная геометрия.—М.: Наука, 1984.

8. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств.—М.: Наука, 1972.

9. Пирс Р. Ассоциативные алгебры.—М.: Мир, 1986.

10. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. 1, 2.—М.: Мир, 1979.

11. Adjamagbo К. Panorama de la theorie des determinants sur un anneau non commutatif // Bull. Sc. Math., 2e serie.—1993.—V. 117.—P. 401-420.

12. Baksalary J. K., Hauke J. A further algebraic version of Cochran's theorem and matrix partial orderings // Linear Algebra Appl.— 1990.—V. 127.—P. 157-169.

13. Beasley L. R. B. Linear operators which preserve pairs on which the rank is additive // Journal Korean Soc. for Ind. and Appl. Math.— 1998.—V. 2, No. 2.—P. 27-36.

14. Beasley L. R. B. Spaces of matrices of equal rank // Linear Algebra Appl.—1981. V. 40.— P. 183-187.

15. Beasley L. Linear operators on matrices: The invariance of rank-k matrices j I Linear Algebra Appl.—1988—V. 107.—P. 161-167.

16. Bernstein J. Lectures on supersymmetry. Preprint, 1996.

17. Botta E.P. Linear maps that preserve singular and non-singular matrices // Linear Algebra Appl.—1978.—V. 20—P. 45-49.

18. Botta E.P. Linear transformations preserving the unitary group // Linear and Multilinear Algebra—1979.—V. 8.— P. 89-96.

19. Botta E.P. Linear transformations that preserve the permanent // Proc. AMS.—1967.—"V. 18.—P. 566-569.

20. Bresar M., Chebotar M.A. On a certain functional identity in prime rings // Comm. Algebra.—1998—V. 26.—P. 3765-3781.

21. Bresar M., Semrl P. Mappings which preserve idempotents, local automorphisms, and local derivations // Canad. J. Math.—1993.— V. 45.—P. 483-496.

22. Bresar M., Semrl P. Linear transformations preserving potent matrices // Proc. Amer. Math. Soc.—1993.—V. 119— P. 81-86.

23. Bresar M., Semrl P. Invertibility preserving maps preserve idempotents // Michigan Math. J.—1998.—V. 45.—P. 483-488.

24. Bresar M., Semrl P. Spectral characterization of idempotents and invertibility preserving linear maps // Exposition. Math.—1999.— V. 17,—P. 185-192.

25. Caley A. On certain results related to quaternions // Phil. Mag.— 1845.—V. 26.—P. 141-145.

26. Cartier P., Foata D. Problems combinatorics de communication et rearrangements // Springer Lecture Notes.—V. 85.—1969.

27. Cherlin G. Model Theoretic Algebra, Selected Topics // Lecture Notes in Mathematics.—New York: Springer-Verlag—1976.—V. 521.

28. Clifford А.П., Preston G.B. The algebraic theory of semigroups. I, II. AMS Math. Survey.—Providence: R.I.—1961.—'V. 7.

29. Cline R.E., Funderlic R.E. The rank of a difference of matrices and associated generalized inverses // Linear Algebra Appl.—1979.—V. 24.—P. 185-215.

30. Dedekind R. Gesammelte Mathematische Werke.—New York: Chelsea, 1969.—V. II.

31. Dieudonne J. La Geometrie des Groupes classiques, 2-nd ed.—New-York, Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag, 1963.

32. Dieudonne J. Les determinants sur un corps non commutatif // Bull. Soc. Math. Fr.—1943.—V. 71.—P. 27-45.

33. Dieudonne J. Sur une generalisation du groupe orthogonal a quatre variables // Arch. Math.—1949.—V. 1.—P. 282-287.

34. Dieudonne J. The automorphisms of the classical groups // Mem. Amer. Math. Soc.—1951.—Y. 2.

35. Dixon J.D. Rigid embedding of simple groups in the general linear group // Canad. J. Math.—1977.—V. 29.—P. 384-391.

36. Dokovic D.Z., Li C.K. Overgroups of some classical linear groups with applications to linear preserver problems // Linear Algebra Appl.— 1994.—V. 197-198.—P. 31-62.

37. Draxl P.K. Skew Fields // London Mathematical Society Lecture Note Series.—1982.—V. 81.

38. Dyson F. Quaternion determinants // Helv. Phys. Acta.—1972.—V. 45— P. 289-302.

39. Foata D. A noncommutative version of the matrix inversion formula // Adv. in Math.—1979.—V. 31, No. 3,—P. 330-349.

40. Foata D. A combinatorial proof of Jacoby's identity // Ann. Discrete Math.—1980.—V. 6—P. 125-135.

41. Friedland S. A generalization of the Motzkin-Taussky theorem. Linear Algebra Appl.—1981.—V. 36.—P. 103-109.

42. Fung Н.-К. Linear preservers of controllability and/or observability. // Linear Algebra Appl.—1996.—V. 246.—P. 335-360.

43. Guralnick R.M. Invertible preservers and algebraic groups // Linear Algebra and Appl.—1994.—V. 212-213.—P. 249-257.

44. Guralnick R.M. Invertible preservers and algebraic groups. II. Preservers of similarity invariants and overgroups of PSLn(F) // Linear and Multilinear Algebra.—1997.—V. 43.—P. 221-255.

45. Guralnik R.M., Li C.-K. Invertible preservers and algebraic groups. II: Preservers of unitary similarity (congruence) invariants and overgroups of some unitary subgroups // Linear and Multilinear Algebra.—1997.—V. 43.—P. 257-282.

46. Hartwig R.E. How to partially order regular elements // Math. Japonica—1980.—V. 25, No. 1.—P. 1-13.

47. Hartwig R.E. A note on rank-additivity // Linear and Multilinear Algebra.—1981.—V. 10,—P. 59-61.

48. Hartwig R.E., Styan G.P.H. On some characterizations of the "star" partial ordering and rank-subtractivity // Linear Algebra Appl.— 1986.—V. 82.—P. 145-161.

49. Heyting A. Die Theorie der linearen Gliechungen in einer Zahlenspezies mit nichtkommutativer Multiplikation // Math. Ann.— 1927.—V. 98,—P. 465-490.

50. Hiai F. Similarity preserving linear maps on matrices // Linear Algebra Appl.—1987.—V. 97.—P. 127-139.

51. Hochwald S.H. Multiplicative maps on matrices that preserve the spectrum // Linear Algebra Appl.—1994—V. 212-213.—P. 339-351.

52. Hoehnke H.-J. Uber beziehungen zwischen Problemen von H. Brandt aus der Theorie der Algebren und den Automorphismen der Normenform // Math. Nahr.—1967.—V. 34.—P. 229-255.

53. Hoehnke H.-J. Ueber komponierbare Formen und konkordante hyperkomplexe Groessen // Math. Zeitschr.—1958.—V. 70.—P. 112.

54. Horn R., Li C.-K., Tsing N.K. Linear operators preserving certain equivalence relations on matrices / / SI AM J. Matrix Analysis Appl.— 1991.—V. 12.—P. 195-204.

55. Howard R. Linear maps that preserve matrices annihilated by a polynomial // Linear Algebra Appl.—1980—V. 30.—P. 167-176.

56. Hua L.K. A theorem on matrices over a sfield and its applications // J. Chinese Math. Soc. N.S.—1951.—V. 1.—P. 110-163.

57. Hua L.K. Selected Papers.—New York, Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag. Ed.: Halberstam H., 1983.

58. Jacobson N. Finite-Dimensional Division Algebras over the Fields.— New-York, Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag, 1996.

59. Jacobson N. Generic norm of an algebra // Osaca J. Math.—1953.— V. 15.—P. 25-53.

60. Jacobson N. Structure groups and Lie algebras of Jordan algebras of symmetric elements of associative algebras with involution // Adv. in Math.—1976.—V. 20—P. 106-150.

61. Jacobson N., Rickart C. Jordan homomorphisms of rings // Trans. Amer. Math. Soc.—1950.—V. 69.—P. 479-502.

62. James D.G. On the automorphisms of det(xjj) // Math. Chronicle.— 1980.—V. 9,—P. 35-40.

63. Jensen C.U., Lenzing H. Model Theoretic Algebra with particular emphasis on fields, rings, modules.—Gordon and Breach Science Publishers, 1994.

64. Johnson C.R., Shapiro H. Mathematical aspects of the relative gain array A ■ A~T]* // SIAM J. Alg. Discr. Math—1986.—V. 7.—P. 627644.

65. Joly J. Supplement to Oevres of Hamilton, 1900.

66. Kailath T. Linear systems.—New York: Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1980.

67. Li C.-K. Norms, isometries and isometry groups // Amer. Math. Monthly.—2000.—V. 107,—P. 334-340.

68. Li C.-K., Mehta P.P., Rodman L. Linear operators preserving the inner and outer c-spectral radii // Linear and Multilinear Algebra.— 1994.—'V. 36.—P. 195-204.

69. Li C.-K., Pierce S. Linear operators preserving a similarity class and related results // Canad. Math. Bull.—1994.—V. 37.—P. 374-383.

70. Li С.-К., Rodman L., Tsing N.K. Linear operators preserving certain equivalence relations originating from system theory // Linear Algebra Appl.—1992.—"V. 161-165,—P. 165-225.

71. Li C.-K., Tsing N.K. Duality between some linear preserver problems: The inveriance of the C-numerical range, the C-numerical radius and certain matrix sets // Linear and Multilinear Algebra.—1988.—V. 23.—P. 353-362.

72. Li C.-K., Tsing N.K. Duality between some linear preserver problems. II. Isometries with respect to c-spectral norms and matrices with fixed singular values // Linear Algebra Appl—1988.—V. 110.—P. 181-212.

73. Li C.-K., Tsing N.K. Linear preserver problems: A brief introduction and some special techniques // Linear Algebra Appl.—1992.—V. 162-164.—P. 217-235.

74. Loewy R., Radwan N. Spaces of symmetric matrices of bounded rank // Linear Algebra Appl—1994.—'V. 162-164,—P. 189-215.

75. Man W.Y. The invariance of C-numerical range, C-numerical radius and their dual problems // Linear and Multilinear Algebra.—1991.— V. 30.—P. 117-128.

76. Marcus M. All linear operators leaving the unitary group invariant // Duke Math. J.—1959.—V. 26,—P. 155-163.

77. Marcus M. Linear transformations on matrices // J. Res. Nat. Bur. Stds.—1971,—V. 75B.—P. 107-113.

78. Marcus M., May F. On a theorem of I. Schur conserning matrix transformations // Archiv der Mathematik.—1960.—V. 11.—P. 2730.

79. Marcus M., Mine H. On the relation between permanent and determinant // 111. J. Math—1961.—V. 5—P. 376-381.

80. Marcus M., Moyls В. Linear transformations on algebras of matrices // Can.J.Math.—1959a.—V. 11— 61-66.

81. Marcus M., Moyls B. Transformations on tensor product spaces // Pacific J. Math.—1959.—V. 9.—1215-1221.

82. Marcus M., Purves R. Linear transformations on algebras of matrices II: The invariance of the elementary symmetric functions // Canad. J. Math.—1959.—V. 11 —383-396.

83. McDonald B. Л-linear endomorphisms of (R)n preserving invariants // AMS Memoirs.—1983.—V. 287, No. 46.

84. Mehta, M.L. Matrix Theory. Selected Topics and Useful Results.—Les Ulis: Les Editions de Physique, 1989.

85. Mikhalev A.V. Isomorphisms and anti-isomorphisms of endomorphism rings of modules // First International Tainan-Moscow Algebra Workshop.—Berlin, New York: Walter de Gruyter & Co, 1995.—P. 69-122.

86. Mitra S.K. Matrix partial orders through generalized inverses: unified theory // Linear Algebra Appl.—1991.—V. 148.—P. 237-263.

87. Motzkin T.S., Taussky 0. Pairs of matrices with Property L // Trans. Amer. Math. Soc.—1952.—'V. 73.—P. 108-114.

88. Motzkin T.S., Taussky 0. Pairs of matrices with Property L. II. // Trans. Amer. Math. Soc.—1955.—V. 80.—P. 387-401.

89. Moussy Ch. Sur la caracterisation axiomatique minimale des determinants sur un domaine de Ore // Communications in Algebra.—1995.—V. 23(13).—P. 5003-5013.

90. Nambooripad K.S.S. The natural partial order on a regular semigroup // Proceedings of the Edinburgh Math. Soc.—1980.—V. 23.—P. 249260.

91. Nastasescu С., van Oystaeyen F. Graded Rings and Modules // Lecture Notes in Math.—1979.—V. 286.

92. Nastasescu C., van Oystaeyen F. Graded Ring Theory.—Amsterdam, New York, Oxford: North-Holland Publishing Company, 1982.

93. Ore 0. Linear equations in non-commutative rings // Ann. Math.— 1931.—V. 32,—P. 463-477.

94. Pierce S. Discriminant preserving linear maps // Linear and Multilinear Algebra—1979,—V. 8.—P. 101-114.

95. Pierce S. Linear Maps on Algebraic Groups // Linear Algebra Appl.— 1992.—"V. 162-164,—P. 237-242.

96. Pierce S. and others. A Survey of Linear Preserver Problems // Linear and Multilinear Algebra.—1992.—V. 33.—P. 1-119.

97. Platonov V.P., Dokovic D.Z. Linear preserver problems and algebraic groups // Math. Ann.—1995.—V. 303.—P. 165-184.

98. Richardson A. R. Hypercomplex determinants // Messenger of Math.—1926.—'V. 55 — P. 145-152.

99. Richardson A. R. Simultaneous linear equations over a division algebra // London Math. Soc.—1928.—"V. 28.—P. 395-420.

100. Robinson A. Complete Theories.—Amsterdam: North-Holland, 1956.

101. Robinson A. Introduction to Model Theory and to the Metamathema-tics of Algebra.—Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1963.

102. Rosenberg J. Algebraic K-Theory and its Applications.—New York, Berlin, Heidelberg, London, Paris, Tokyo, Hong-Kong, Barcelona, Budapest: Springer-Verlag, 1994.

103. Schur I. Einige Bemerkungen zur Determinantentheorie.—Akad. Wiss. Berlin: S.-Ber. Preu/3., 1925.—P. 454-463.

104. Wong W.J. Maps on spaces of linear transformations // Math. Chronicle.—1987.—V. 16.—P. 15-24.

105. Wong W.J. Maps on spaces of linear transformations over semisimple algebras // J. Algebra—1988.—V. 115.—P. 386-400.

106. Wong W.J. Rank 1 preservers on the unitary Lie ring // J.Austral.Math.Soc (Ser. A).—1990.—V. 49.—P. 399-417.

107. Wong W.J. Rank 1 preserving maps on linear transformations over noncommutative local rings //J. Algebra.—1988.—V. 113.—P. 263293.Результаты диссертации опубликованы в следующих статьях

108. Гутерман А.Э. Градуированные локальные кольца // Фундаментальная и прикладная математика.—Т. 6, No. 3.—2000.—С. 753756.

109. Гутерман А.Э. Применение теории моделей для классификации линейных отображений, сохраняющих матричные инварианты // Труды седьмых математических чтений МГСУ.—2000.—С. 53-57.

110. Гутерман А.Э., Крейнес Е.М., Михалев А.В. Результаты фробени-усовского типа для матриц над телами // Труды пятых математических чтений МГСУ.—1997.—С. 119-133.

111. Гутерман А.Э., Линейные отображения, сохраняющие супер-ранг // Труды восьмых математических чтений МГСУ.—2001.—С. 100104.

112. Guterman A. Frobenius type theorems in the noncommutative case // Linear and Multilinear Algebra.—V. 48, No. 4—2001 —P. 293-312.

113. Guterman A., Li C.-K., Semrl P. Some general techniques on Linear Preserver Problems // Linear Algebra and its Applications—2000.— V. 315.—P. 61-81.

114. Guterman A. A note on linear preservers of a certain matrix partial order // Proc. of the 12-th International Conference FPSAC-00.— Berlin: Springer-Verlag, 2000.—P. 441-446.

115. Guterman A.E., Mikhalev A.V. On determinant preservers over noncommutative Principal Ideal Domains // Lie Algebras, Rings, and Related Topics.—Hong Kong: Springer-Verlag, 2000.—P. 49-60.

116. Guterman A.E., Mikhalev A.V. Frobenius Type Theorems // Proceedings of Workshop on General Algebra and Discrete Mathematics, 1998.—Germany, Potsdam: Shaker-Verlag Aachen, 1999,—P. 102-112.

117. Guterman A.E. Singularity Preservers over Local Domains // Journal of Mathematical Sciences.—2000.—V. 102, No. 6—P. 4591-4597.