Локальное поле и эффекты пространственной дисперсии в одноосных конденсированных средах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

„ л п

На ирапах рукописи

Горкуиои Максим Валерьевич

ЛОКАЛЬНОЕ ИОЛЕ И ЭФФЕКТЫ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ДИСПЕРСИИ В ОДНООСНЫХ КОНДЕНСИРОВАННЫХ

СРЕДАХ

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физнко - математических наук

Автор

Москва 1998

Работа выполнена в Московском государственном инженерно-физическом институте (техническом ушт^итсте).

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Рязанов М.И.

Официальные оппоненты: : доктор физико-матсматичсскнх

наук, профессор Рухадзс А.А,

доктор физико-математических , \ наук, доцент Манмпстов А.И.

Ведущая организация: Институт крмсхалл.огрнфац

, Российской Академии иаук .V *

Защита диссертации состоится 17 июня 1998 г. в 14 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета К053.03.01 в МИФИ по адресу:

115409 Москва, Каширское, шоссе 31. Телефоны: 324-84-98, 323-91-67.; С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИФИ. . • : Автореферат разослан "11" МАк 1998 г:

Просим принять'участие в работе совета или прислать отзыв в одном экземпляре, заверенный печатью орган'нзашш.'-_ '

Учёный секретарь -диссертационного совета к. ф.-м. п., с. н. с.

Подписано в печать 10. 04. Заказ ЧЪ? Тираж 80 экз.

Типография МИФИ, Каширское шоссе 31.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работьь • Оптические методы широко используются. при исследованиях конденсированных сред. При этом наряду с чисто научным значением они часто оказываются поделим н с практической точки: зрения, являясь базой для разработки новейших технологии. По.)тому создание теоретических основ новых Методов оптического изучения структуры и статистических свойств конденсированных веществ является достаточно .актуальной проблемой.

Для решения такого рода задач необходима микроскопическая теория, позволяющая связать наблюдаемые макроскопические оптические параметры с микроскопическими свойствами среды. Теория локального ноля в целом ряде случаев успешно с этим снрпвлятеся, позволяя исследовать закономерности как обычной линейной оптики, так и процессов, сопровождающихся изменением частоты (комбинационного рассеяния, смешения частот).

Расчёт пространственной дисперсии диэлектрической проницаемости, или, иными словами, её зависимости от волнового иектора электромагнитной волны, в этой связи представляет большой интерес. С одной стороны, пространственная дисперсия обладает сравнительно высокой чувствительностью к симметрии среды, сильно зависит от парного распределения атомов п молекул, существенно меняется под влиянием случайных флуктуациопных отклонений от равновесия. С другой - её наличие в ряде случаен качественно меняет картину оптических явлений в веществе.

Очень малая величина пространственной дисперсии в пегнротроппых средах (порядка ]0<;) делает эти случаи достаточно немногочисленными, и это придаст особую важность поиску новых ситуаций, когда она наблюдаема. .

Цель работы состоит и создании теоретической.основы новых методов 'оптических исследовании структуры и статистических свойств анизотропных конденсированных сред с пространственной дисперсией. -

Для достижения этой тми .решаются следующие задачи:. >

1. Построение теории локального ноля для анизотропных веществ с учётом пространственной дисперсии на примере одноосных сред, и микроскопическое вычисление параметров 'пространственном дисперсии. •'.''.

2. Определение роли эффектов- локального ноля : в • процессе комбинационного рассеяния в одноосной среде и исследование соответствующих вкладов в сечение рассеяния.

3. Поиск новых ситуаций, в которых пространственная дисперсия приводит к качественным -изменениям В спектрах электромагнитных волн, и связанный с этим анализ воли на частотах близких к пул мм главных значений диэлектрической проницаемости.

4. Изучение пространственной дисперсии в средах с крупномасштабными флуктуацнями и оценка соответствующих

V

поправок на примере ахнральпых жидких кристаллов.

Научная новизна результатов состоит в следующем: • создан оригинальный метод расчета диэлектрических свойств анизотропных сред с пространственной дисперсией, па основе которого в рамках теории локального поля вычислены параметры пространственной дисперсии в негнротронных одноосных средах;

• впервые найдено выражение для эффективном комбинационной поляризуемости молекул анизотропной среды с учётом локального ноля, проанализировано влияния эффектов локального поля на сечение комбинационного рассеяния в одноосной среде, найдено, что оно существенно сказывается на зависимости полного сечения рассеяния необыкновенных воли от направления падения;

• впервые сформулированы условия, при которых пространственная дисперсия качественно меняет спектр электромагнитных волн в анизотропных средах па частотах, близких к нулям главных значений диэлектрической проницаемости, теоретически предсказано существование добавочных воли нового тина при разных знаках главных значений диэлектрической проницаемости одноосных конденсированных сред;

• впервые показано, что наличие крупномасштабных флуктуации в жидких кристаллах приводит к аномально большой величине пространственной дисперсии, исследована флуктуацпопная пространственная дисперсия на примере ориептациоипых флуктуации в иематическом жидком кристалле и флуктуации деформации смектических слоев в ахпральпом смектпческом жидком кристалле.

Практическая ценность работы заключается в том, что в указана возможность экспериментального исследования эффектов локального поля при измерении угловых характеристик комбинационного рассеяния в одноосных средах;

• предложен новый способ изучения пространственной дисперсии по спектрам волн и окрестности нулей главных значений диэлектрической проницаемости одноосных конденсированных сред:

• созданы теоретические основы- нового метода оптического исследования флуктуацноиных процессов, основанного па измерении аномальной флуктуациоинон пространственной дисперсии.

Автор защищает: ■ ■■'V; ■-'

• теорию локального ноля в одноосных средах, с пространственной дпснсрсией; - "._.'. . '.-.'-..; :...••'• -/ •':-.;•- , •- ..V'' '.у/'■:■ г. '-■

• метод учёта аффектов /локального-'- иол я в • комбинационном рассеянии света в ; одноосных, средах; .выражение для-; тензора эффективной комбинационной поляризуемости "и ; ¿с'сче}»!«.,",.' рассеяния; . •'.- .'..;. '-:'.-""'-"■ у

• теорию 'неизученных.'*..ранее'',- реальных Доб.шочных -.-''ноли ; И \ окрестности Нулей ... главных значении .. диэлектрической проницаемости одноосных конденсированных среД, в том числе -при разных знаках главных значений; ■ ■-.'; '''V- '■■ ; ".;:'■ .-.-''•"

• теорию аномально большой флуктуацнонной- пространственной дисперсии в исматических и г\хиральпых смектическнх жидких кристаллах- ; ' - ' ''.-• - - г : ,'-'■/■.-■ . . :.'.; -■•-',.

Апробация работы. Результаты работы докладывалИсь ид конференции "Научная сессия МИФИ-98". V' : :

Публикации. Основные результаты. работы опубликованы в трёх научных работах. . - ■: -:;" . .. •■•'', ■'-■-.''"■

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит .из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы; Содержит 93 страницы. Список.литературы содержит 70 наименований!

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

' ;• /"•-.'" При исследовании оптических процессов в конденсированных средах и рамках, теории локального ноля вещество рассматривается как. совокупность ориентированных молекул, соответствующим образом распределенных в пространстве. и обладающих тШризуемостыо, так что дннольныи момент л-й м{>лекулы равен

(«)/:•; (11.,,«). (I)

где - тензор поляризуемости, а Е'""'- микроскопическое поле в тон точке П„ , где находится молекула:

Микроскопическое иоле складывается из внешнего ноля, падющего на вещество, п нолей других молекул. Так как число - последних, эффективно участвующих в формировании поля, достаточно велико, то микроскопическое иоле близко к своему среднему значению, называемому локальным полем. При этом в • криеталлооптическом приближении роль орнентациониого порядка достаточно велика, а вот обладает ли среда кристаллическим '''.'.трансляционным порядком, или является аморфной, оказывается неважным: То есть можно ожидать, что основные выводы теории в равной мере справедливы для всех''конденсированных сред.

Обычно длина волны в оптическом диапазоне как минимум па три .порядка больше чем характерные масштабы пространственного распределения молекул (постоянной решетки в кристаллах, длин позиционных корреляций в аморфных средах). Полное пренебрежение последними даёт диэлектрическую проницаемость, зависящую только от частоты поля. . Сохранение первых ненечезающих членов, зависящих также и от волнового вектора.

позволяет найти диэлектрическую проницаемость с учётом пространственной дисперсии:

где в одноосных гексагональных кристаллах и аморфных средах тензор . ~

содержит (! параметров пространственной дисперсии: а, Ь, <!, п,к, которые могут быть выражены в виде линейных комбинаций трёх интегралов ' . : ; - " ;.. - ;•'.

от Фурье-образа функции /(!*„-1*,,), которая характеризует парное распределения молекул, и отлична от нуля внутри области, где имеется корреляция положения центров.инерции молекул.

Таким образом, теория локального поля дает в этом случае только три независимых параметра пространственной - дисперсии, в то время как обычные в такого рода : вопросах соображения инвариантности (2) относительно точечных преобразований симметрии указывают лишь па то, что таких параметров может быть не более шести. Аналогичное рассмотрение тетрагональных кристаллов, для которых соображения симметрии дают не более семи параметров, приводит к четырём независимым параметрам пространственной дисперсии.

Влияние . ближайшего молекулярного окружения па наблюдаемые свойства молекул вещества, называемое иначе эффектами локального поля, сильно проявляется в комбинационном рассеяли» света. Показано, что наличие этого окружения можно учесть в среде с произвольной симметрией введением тензора эффективной комбниашюпной поляризуемости. Сформулированная теория позволяет выразить эту эффективную поляризуемость через собственные, комбинационную и обычную поляризуемости молекул Рч и a,¡ соотнстстисиппо и. через диэлектрическую восприимчивость среды X,/-

"и "о

где со - частота падающей волны, со'- частота рассеянной, а п0 число молекул в единице объёма.

Изучение дифференциального н полного сечений рассеяния в одноосной среде показывает, что эффекты локального поля существенно сказываются па угловых характеристиках рассения. Так, например, в простом предельном случае одноосного вещества, состоящего из.слегка анизотропных, ориентированных и изотропно распределенных в пространстве молекул, это влияние приводит к относительному возрастанию в три-четыре раза анизотропии полного сечения рассеяния необыкновенных волн.

Наблюдение пространственной дисперсии диэлектрической проницаемости как правило довольно затруднительно в силу её черезвычайпой малости (обычно соответствующие слагаемые пе превышают 106). Поэтому случаи, когда она приводит к качественным изменениям представляют большой интерес. Известно, что наличие в диэлектрической проницаемости слагаемых,

зависящих от волнового вектора, приводит к повышению порядка : дисперсионного уравнения электромагнитных волн, а следовательно и к появлению дополнительных решении. Эти решения, однако, соответствуют реальным добавочным • волнам только в некоторых областях частот, в остальных же случаях их -волновые векторы . оказываются слишком велики и не укладываются в область применимости макроскопического подхода. "

Анализ решений дисперсионного уравнения эле^фомапштных волн с учётом пространственной дисперсии [(оказывает, что"--, существует ранее неизученная" .область существования реальных добавочных волн па частотах, близких к нулям главных значений диэлектрической проницаемости. Эти волны имеют относительно большие по модулю волновые векторы, почти продольную, поляризацию и сильно зависят от симметрии среды, В .кубических кристаллах они во многом схожи с нлазмонамн в изотропной среде. В гексагональных кристаллах и аморфных одноосных средах ситуация оказывается качественно пион. : : ^

Так как главные значения диэлектрической ироннцаемости. обращаются в ноль на разных частотах, то имеется такая область частот, где

(5)

При таких частотах существует предельное значение угла между оптической осью и направлением волнового вектора:

I £,{со)

0(й>) = агс1ап.—4-4, (6)

V - е±И

вблизи которого спектр добавочных волн соединяется со спектром ' обычных необыкновенных волн. При этом в промежуточной области существуют гибридные волны, имеющие общие черты с волнами

обоих-.типов. В целом же необыкновенные и добавочные волны образуют единую поверхность волновых векторов.

"Анализ добавочных волн в одноосных средах более низкой симметрии проведен на примере тетрагональных кристаллов. Без учета Н|юстраиствепной дисперсии такие кристаллы по своим оптическим свойствам ничем не отличаются от гексагональных. Пространстве/шал дисперсия более чувствительна к точечной симметрии кристалла^ Поэтому спектр добавочных поли в тетрагональных кристаллах (>бладает только осыо симметрии -, .четвертого порядка, как н сам -'кристалл, в то время, как в :: гексагональных кристаллах * он симметричен относительно всех вращении вокруг главной оптической оси.

Как следует из теории локального ноля, согласно (2) и (3), характерная величина параметров .пространственной дисперсии определяется расстояниями, на которых убывает корреляционная функция. Ясно,: что большие. корреляционные длины должны приводить к аномально большой пространственной дисперсии, которую при этом естественно называть флуктуацнонпой.

,Жидкие кристаллы являются хорошим примером сред с .большими флуктуациями. Макроскопические размеры флуктуации и их относительная медленность делают возможным относительно простое. макроскопическое рассмотрение, не требующее . микроскопических расчётов теории локального поля. Как при ориептационных флуктуациях в пематнках, так и при флуктуациях 'деформации смектическнх слоев в ахиральиых смектнках, происходят локальные отклонения главной оптической оси от сё ' равновесного направления: -

л = п+<5п(г) (7)

Диэлектрическая проницаемость жидкого кристалла при этом нрсдставима в виде

£Аг^) = £А(0)+&Ат>ы)' (8)

где 6с,1 (г, ы) = («)(", 5 + 8п1 п;), а еа - диэлектрическая

анизотропия. Учет двухфотонных процессов рассеянии на флукгуацнях диэлектрической проницаемости и статистическое усреднение флуктуации даёт эффективную диэлектрическую проницаемость Жидкого кристалла, зависящую от волнового вектора электромагнитной волны.

Условие применимости макроскопической электродинамики требует, чтобы корреяциониые длины были малы но сраипешпо с длиной волны света. Соответствующее разложение эффективной диэлектрической проницаемости позволяет вычислить слагаемые с пространственной дисперсией:

Е1\а))

где

• • (Ш)

+ Л5ч + "е- е\ + Чу{ч, <-', + 4^5 + 4, <1, Ь

а независящие от частоты константы а,Ь,с1,п^,И выражаются через интегралы

4

13

1,2. (11)

Р'

от компонент корреляционной функции («") = (<У"„ (г')(У//, (г'- г)),

определяемых равенством

■ р*-

Для оценки пространственной дисперсии рассматриваются хорош» известные корреляционные функции во внешнем постоянном ориентирующем магнитном поле. Соответствующий расчет для нематика в однокоистантиом приближении даёт =0, а

И|=!ио. "2=Д"о. (13)

где К- модуль ориентационной упругости нематика. Оценка ^характерного порядка величины слагаемых с пространственной дисперсией показывает, что они могут достигать значений - 10~3, то есть на три порядка превышать обычные значения для иегиротроиных сред.

Коррелированные области в ахиральном смектпке как правило имеют сильно вытянутую форму вследствие большого модуля упругости в направлении нормали к смсктичсским слоям. Это приводит к тому, что интегральный вклад от этих областей мал по

сравнению с флуктуациями в нематике. Характерные значения пространственной дисперсии из-за этого не превышают-105.

В то же время, известно, что при приближении к температуре фазового перехода смектик А - нематик этот модули упругости существенно уменьшается. В этой области температур форма коррелированных областей в смсктикс приближаются к почти сферической. Слагаемые с пространственной дисперсией при этом могут достигать таких же больших значений, как и в Нсматикс.'

Анализ спектров электромагнитных волн показывает,. что пространственная дисперсия приводит к малым поправкам в угловых зависимостях показателей преломления. Так, с учетом (9) и (10) спектр обыкновенных волн окалываются слабо анизотропным:

+ 414)

Угловая зависимость сектра необыкновенных волн также отличается от обычной: •

2 *,£,(<»/с)1 - ■ / .

q --=-!-х

2 - . -'Г• (,5)

1+(о>/с)2 +Asín19+daos1 в+ feos* в sin7 в )J

Поправки от пространственной дисперсии невелики, изменения в показателях преломления имеют порядок 10"3, но тем не менее они доступны измерению. Это открывает новые возможности в оптических исследованиях флуктуационных процессов в жидких кристаллах.

По всей видимости, эффект аномальной флуктуационпой пространствен ной дисперсии должен возникать во всех случаях, когда по тем или иным причинам корреляционные длины в среде достигают больших размеров. Это может иметь место не только в жидких, кристаллах, но и, к примеру, в жидкостях в окрестности критической точки, в турбулентных потоках. Таким образом, обнаруженные закономерности могут иайтн применение во многих областях физики конденсированного вещества.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Вычислена . пространственная динерсия диэлектрической проницаемости в одноосных конденсированных средах в рамках теории локального поля.

2. Впервые показано, что в теории локального поля число . независимых параметров пространственной дисперсии меньше, чем

следует из ограничений, накладываемых требованиями симметрии.

3. Создана теория эффектов локального поля в комбинационном рассеянии света на молекулах одноосной среды. Найден тензор

. эффективной комбинационной поляризуемости, выраженный через макроскопические характеристики среды.

4. Указаны возможности экспериментального изучения влияния локального поля по угловым зависимостям сечения рассеяния.

5. Предсказан новый случай существования реальных добавочных волн на частотах, близких к - нулям главных значении диэлектрической проницаемости.

6. Рассмотрены свойства этих воли при разных знаках главных значений. Обнаружено, что на таких частотах спектры необыкновенных и добавочных волн соединены, образуя единую поверхность волновых векторов.

7. Найдено, что крупномасштабные флуктуации в жидких кристаллах приводят к аномально большой величине пространственной дисперсии. Этот эффект исследован па примере пематичсского и ахирального смектическош жидких кристаллов.

8. Предложен новый способ экспериментального изучения флуктуапионных процессов с помощью точных измерений угловых зависимостей показателей преломления. :

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. М.В.Горкуиов, М.И.Рязанов, О влиянии локального ноля на комбинационное рассеяние света в одноосном кристалле/ ЖЭТФ, том 112, вып. 1(7), стр. 180-191 (1997).

2. М.В.Горкуиов, М.И.Рязанов, The Role of Spatial Dispersión Near Zero Points of the Dielectric Function of Cubic and Uniaxial Crystals /Laser Physics, vol.8, No 2, pp. 502-507 (1998).

3. М.В.Горкуиов, М.И.Рязанов, Добавочные электромагнитные волны вблизи нулей главных значений диэлектрической проницаемости одноосного кристалла / Сборник научных трудов конференции "Нучная сессия МИФИ-98", Москва, 1998.

Введение.

Глава I. Локальное поле в одноосных средах с пространственной дисперсией.

1.1. Введение.

1.2. Диэлектрическая проницаемость одноосно упорядоченной среды

1.3. Пространственная дисперсия в одноосной среде.

1.4. Применимость теории к кристаллам.

Глава II. Влияние локального поля на комбинационное рассеяние света в одноосной среде.

II. 1. Введение.

11.2. Амплитуда комбинационного рассеяния в анизотропной среде

11.3. Комбинационное рассеяние в одноосной среде.

11.4. Сечение комбинационного рассеяния.

11.5. Обсуждение результатов.

Глава III. Роль пространственной дисперсии вблизи нулей диэлектрической проницаемости кубических и одноосных кристаллов.

111.1. Введенние.

111.2. Электромагнитные волны в кубическом кристалле с пространственной дисперсией.

111.3. Добавочная волна в кубическом кристалле.

111.4. Одноосный кристалл с пространственной дисперсией.

111.5. Спектр необыкновенных волн в одноосном кристалле при разных знаках главных значений диэлектрической проницаемости

111.6. Добавочные волны в тетрагональных одноосных кристаллах

111.7. Обсуждение результатов.

Глава IV. Флуктуационная пространственная дисперсия в ахиральных жидких кристаллах.

IV. 1. Введение.

IV.2. Пространственная дисперсия в жидком кристалле с флуктуациями направления директора.

IV.3. Нематический ЖК в ориентирующем магнитном поле.

IV.4. Ахиральный смектический ЖК в магнитном поле.

IV.5. Спектр электромагнитных волн в одноосной среде с пространственной дисперсией.

IV.6. Обсуждение результатов.

Несмотря на то, что основы теории локального поля были заложены ещё Г.А.Лорентцом в начале нашего века^, она, благодаря относительной простоте и универсальности, остается актуальной и в наше время. Так, например, этот подход успешно применяется при описании диэлектрических свойств конденсированных сред^, изучении новых современных материалов, таких как жидкие кристаллы^3"11! и молекулярные кристаллы^2], расчетах различных нелинейных процессов в конденсированных средах^13!. Достаточно плодотворно применяется этот метод и при изучении свойств поверхности конденсированного вещества, в частности, при исследовании "естественного" изменения поляризации в приповерхностном слое^14"21!.

Термин "локальное поле" означает среднее поле, действующее на молекулу вещества. Микроскопическое поле действующее на молекулу есть сумма внешнего поля, накладываемого на вещество извне, и полей, индуцируемых другими молекулами. Обычно число молекул, эффективно участвующих в формировании микроскопического поля, достаточно велико, поэтому оно близко к своему среднему значению - локальному полю.

В газах, когда концентрация молекул невелика, локальное поле совпадает со средним макроскопическим, фигурирующим в уравнениях Максвелла. В конденсированных средах это не так. Действительно, если центры инерции молекул расположены случайным образом (аморфные среды, жидкости, жидкие кристаллы), то среднее поле получается в результате усреднения микроскопического поля по положению всех Л^ молекул среды. Локальное же поле есть результат усреднения по положению ЛМ молекулы, при условии, что одна молекула находится в фиксированной точке пространства. Ясно, что наличие парных позиционных кореляций делает результаты таких усреднений разными^.

В кристаллах микроскопическое поле сильно меняется на малых расстояниях внутри элементарной ячейки. Поэтому поле в узле решетки (локальное поле) не равно усредненному по ячейке микроскопическому полю (среднему полю)^22].

Нахождение связи локального поля со средним есть, таким образом, одна из задач, стоящих перед теорией локального поля. При этом считается известным распределение молекул в пространстве (ориентация и парные корреляции в некристаллических телах или кристаллическая решетка в кристаллах). Сами молекулы обычно можно рассматривать как точечные частицы, поляризуемость которых также задана.

Простейший случай изотропной среды, состоящей из изотропных молекул был исследован ещё Лорентцем^]. Такая высокая симметрия задачи позволяет провести рассмотрение не затрагивая деталей пространственного распределения молекул, и результат не зависит от типа решётки или парных корреляционных функций.

Подобные рассуждения применимы и при анализе различных нелинейных процессов в изотропных средах!23^, комбинационного рассеяния^24"29! и т.д. Однако, общая изотропия задачи всегда оказывается необходимым условием, что существенно ограничивает область применимости получаемых соотношений. Обобщение же результатов таких теорий на анизотропные среды^30-32! часто оказывается весьма неоднозначной процедурой, а иногда и невозможно в принципе.

Последовательную теорию локального поля для анизотропных сред возможно построить лишь при более детальном учете распределения молекул в постранстве^33^ В средах со случайным распределением центров инерции молекул для этого необходимо провести усреднение сответствующих микроскопических уравнений с учетом парных позиционных корреляций. Иными словами, следует принять во внимание, что при фиксации положения одной молекулы остальные в среднем распределены так, что вероятность их неограниченного сближения с этой молекулой стремится к нулю.

Такое описание кристаллически неупорядоченных сред оказывается довольно простым по сравнению со строгой теорией локального поля в кристаллах^22,34!. В то же время, следует ожидать, что основные выводы этой теории во многом справедливы и для кристаллов^35!.

Действительно, длина волны в оптическом диапазоне велика по сравнению с характерными межмолекулярными расстояниями в конденсированных средах. Это, в частности, означает, что напрямую кристаллическая упорядоченность в оптике ненаблюдаема. Число соседних молекул эффективно участвующих в создании локального поля обычно достаточно велико, и можно считать, что длина формирования локального поля также велика по сравнению с расстояниями между молекулами. Ясно, что при этом оказывается не принципиальным конкретный вид пространственного распределения этих молекул, и, вообще говоря, не важно, расположены ли они регулярно в узлах решетки, или случайным образом.

Так или иначе, в конечные соотношения входят лишь интегральные параметры этого распределения, не зависящие от частоты. Они являются характеристиками самого вещества, измеримы на опыте, а следовательно их можно рассматривать и как феноменологические константы. Важно, что целый ряд общих выводов теории справедлив вне зависимости от конкретной величины этих параметров.

Ниже рассматриваются наиболее симметричные анизотропные вещества - аморфные одноосные среды, жидкие ристаллы, одноосные гексагональные и тетрагональные кристаллы. В соответствии с вышесказанным мы в дальнейшем не будем, там где это не принципиально, отличать кристаллически упорядоченные среды от неупорядоченных, часто употребляя термин одноосная среда для обозначения всех перечисленных веществ.

Помимо вычисления обычной диэлектрической проницаемости, обладающей лишь частотной дисперсией, теория локального поля позволяет также изучить зависимость диэлектрической проницаемости от волнового вектора, т.е. так называемую пространственную дисперсию. Известно, что эта зависимость в большинстве случаев достаточно мала^36,37!. Это связано прежде всего с тем, что в пределах применимости макроскопического подхода, когда собственно только и справедливо введение диэлектрической проницаемости, длина волны всегда велика по сравнению со всеми характерными длинами в веществе (размерами атомов и молекул, постоянной решетки, средним межмолекулярным растоянием, амплитудой колебаний электронов под действием поля, корреляционными длинами и т.п.). Безразмерная диэлектрическая проницаемость может зависеть только от произведения волнового вектора и какого либо параметра размерности длины. А в соответствии с вышесказанным подобные произведения всегда малы, и по ним допустимо разложение как по малому параметру. Учёт пространственной дисперсии, таким образом, может быть произведен сохранением первых неисчезающих членов в таком разложении.

Если среда не обладает центром инверсии, то основные слагаемые с пространственной дисерсией линейны по волновому вектору. Это приводит к ряду замечательных оптических свойств таких веществ, например к круговому дихроизму и вращению плоскости поляризации линейно поляризованного света^38'39!.

Ниже мы рассматриваем среды обладающие центром инверсии, когда симметрия вещества запрещает наличие линейных слагаемых, и основными являются следующие члены, квадратичные по волновому вектору. Для таких сред в большинстве случаев эффекты пространственной дисперсии пренебрежимо малы, однако существует и ряд особых ситуаций, когда учет таких, казалось бы, незначительных поправок приводит к качественно новым явлениям!37^. Некоторые из них будут рассматриваться ниже.

Класс симметрии среды в каждом конкретном случае накладывает определенные ограничения на вид зависящей от волнового вектора части тензора диэлектрической проницаемости!40'41^. Так, для изотропной среды существуют только две независимые константы, которые задают вид этой зависимости. С понижением симметрии число независимых параметров пространственной дисперсии растет. В кубических кристаллах их три, в одноосных неупорядоченных средах и одноосных гексагональных кристаллах - шесть, в тетрагональных кристаллах -семь и т.д.

Теория локального поля в анизотропных средах позволяет найти конкретный вид слагаемых с пространственной дисперсией. Соответствующие вычисления для одноосных кристаллов гексагональной и тетрагональной симметрий изложены в Главе I. В качестве предельного случая полученные результаты содержат и пространственную дисперсию в более симметричных средах (кубические кристаллы, жидкие кристаллы и т.п.). Из приведенного рассмотрения вытекает, что в действительности число независимых параметров пространственной дисперсии меньше, чем следует из симметрийных ограничений. Так, в кубическом кристалле теория дает только два независимых параметра, в гексагональном - три, а в тетрагональном - четыре. Эти параметры определяются через соответствующие интегралы от функции, описывающей парное распределение молекул.

При пренебрежении пространственной дисперсией в обычной теории не возникает необходимости совпадения точечной симметрии этой функции с симметрией кристалла, достаточно лишь наличия одного выделенного направления в парном распределении. Пространственная дисперсия в значительной мере чувствительней к симметрии вещества, и поэтому её учет делает совпадение симметрий принципиально необходимым. Подобные вопросы, затрагивающие проблему применимости излагаемой теории локального поля к кристаллам, обсуждаются в п. 1.4. первой главы.

Вторая глава посвящена проблеме комбинационного рассеяния света в одноосных средах. При решении этой задачи в рамках различных подходов как правило удается учесть влияние окружающих молекул путем перенормировки амплитуды рассеяния на молекуле, и введения так называемой эффективной комбинационной поляризуемости. Нахождение связи этой эффективной поляризуемости с собственной поляризуемостью молекулы и выражение получаемых соотношений через макроскопические характеристики среды и является, таким образом, основной задачей теории. В изотропном случае это достаточно просто сделать, используя даже простейший подход Лорентца^26"29]. Однако обобщение этого результата на анизотропные среды и, прежде всего, кристаллы оказывается достаточно затруднительным^34].

Изложенный в разделе И.2 анализ этой проблемы с точки зрения формулируемой теории локального поля показывает, что в рамках нашего подхода удается последовательно вывести эффективную комбинационную поляризуемость при произвольной симметрии среды. Получаемые результаты, разумеется, содержат ранее известные в качестве предельных случаев. Рассчитываемые в последующих разделах главы угловое распределение рассеянного излучения и сечение рассеяния показывают, что влияние окружения, которое в рамках нашей теории можно называть эффектом локального поля, в ряде случаев достаточно велико и может приводить к качественным изменениям экспериментально наблюдаемых величин.

Построенная в Главе I теория локального поля, учитывающая пространственную дисперсию диэлектрической проницаемости, во многом подтверждает выводы феноменологического подхода, предсказывающего, что в большинстве случаев в негиротропных средах её можно не учитывать. Принято считать, что качественные изменения, обусловленные пространственной дисперсией, имеют место лишь в небольшой области частот, близких к частоте узкой линии поглощения. В этой области пространственная дисперсия вызывает существование дополнительных ветвей спектра электромагнитных волн, которые называются также добавочными волнами^42"45!. Последние известны достаточно давно и широко изучены экспериментально^46-56!.

Третья глава посвящена другому, ранее не изученному случаю, в котором также пространственная дисперсия качественно важна. Это окретность частот, при которых обращаются в ноль главные значения тензора диэлектрической проницаемости анизотропного вещества. Считается общеизвестным, что в изотропной среде на таких частотах существуют продольные электромагнитные волны -плазмоны. Вместе с тем, последовательный анализ подобных волн в анизотропных конденсированных средах до сих пор не проводился. Как следует из приводимых вычислений, проделанных на примере наиболее простых сред - кубических и одноосных кристаллов, аналог плазмонов в этом случае существует. Это почти продольные волны, которые в рамках общепринятой терминологии можно называть добавочными, так как их анализ неозможен без последовательного учёта пространственной дисперсии.

Важно, что в анизотропной среде может иметь место то, что принципиально невозможно в оптически изотропных средах -существует область частот, при которых главные значения тензора диэлектрической проницаемости имеют разные знаки^33!. То, что эта область должна существовать, следует уже из такого очевидного предположения, что диэлектрическая анизотропия не обязана обращаться в ноль на частоте, при которой обращаются в ноль сами главные значения. Следовательно, последние зануляются при разных частотах, и между этими частотами и расположены искомые области, где у главных значений разные знаки. Построенная теория локального поля подтверждает справедливость этих расуждений, делая, вместе с тем, их более конкретными. Так, с этой точки зрения оказывается, что достаточно просто считать, что оптическая поляризуемость молекул и их парное распределение в пространстве являются независимыми параметрами в конденсированных средах. Тогда совпадение частот обращения в ноль главных значений может происходить лишь случайным образом, а в общем случае они должны различаться.

Спектры электромагнитных волн на этих частотах оказываются интересны прежде всего тем, что, как показывает решение соответствующих дисперсионных уравнений, ветви обычных необыкновенных и добавочных волн при этом пересекаются в окрестности некоторых предельных углов между волновым вектором и оптической осью. Образуемую, таким образом, единую поверхность волновых векторов можно условно поделить на участки, соответствующие обычным и добавочным волнам. Однако существует и переходная область, в которой имеют место гибридные волны, сочетающие в себе признаки волн обоих типов. Ясно, что последние могут существовать только в оптически анизотропных средах и только в указанной области частот. Характерные свойства этих волн анализируются в разделах III.5 и III.6.

При вычислении слагаемых с пространственной дисперсией в теории локального поля в средах со случайным расположением центров инерции молекул определяющую роль играют парные позиционные корреляции. Малость поправок от пространственной дисперсии при этом напрямую связана с быстрым убыванием парной корреляционной функции на расстояниях порядка межмолекулярных. Кажется естественным называть такую пространственную дисперсию флуктуационной.

В этой связи вещества с крупномасштабными флуктуациями представляют особый интерес, так как в них справедливо ожидать аномально большой величины пространственной дисперсии. Это явление рассматривается в Главе IV на примере ахиральных нематических и смектических жидких кристаллов.

В жидких кристаллах наряду с позиционными существуют также и ориентационные флуктуации, при которых происходит локальное отклонение вектора директора от равновесного направления^57"61]. Некоторые типы таких флуктуаций имеют достаточно большие корреляционные длины, подчас сравнимые по порядку величины с длинами волн оптического диапазона. В этом случае большие масштабы флуктуаций делают необязательными последовательные микроскопические вычисления, так как для выяснения основных закономерностей оказывается достаточным рассмотреть оптические свойства локально одноосной среды с флуктуирующим направлением главной оптической оси.

В разделах IV. 3 и IV. 4 вычисляется явный вид флуктуационной пространственной дисперсии, соответствующей флуктуациям ориентации директора в нематике и флуктуациям деформации смектическх слоев в ахиральном смектике. Получаемые результаты подтверждают предположение об аномальной величине пространственной дисперсии, которая оказывается на несколько порядков превосходящей свои обычные значения в негиротропных средах без больших флуктуаций. Рассчитанные поправки к спектрам оптических волн показывают, что аномальная флуктуационная пространственная дисперсия может быть измерена экспериментально.

Очевидно, что область существования аномальной флуктуационной пространственной дисперсии не ограничена только рассмотренными типами флуктуаций в жидких кристаллах. По всей видимости, она должна иметь место всегда, когда корреляционные длины достаточно велики. Так, например, подобные явления должны наблюдаться в окрестности критической точки в жидкостях. Предпереходные флуктуации, возрастающие критическим образом вблизи фазовых переходов второго рода, также могут приводить к аномальной пространственной дисперсии. Одним словом, дальнейшее развитие этой идеи видится весьма перспективным, и она может найти применение в разных областях физики конденсированных сред.

Подводя краткий итог всему сказанному следует отметить, что научная новизна результатов состоит в следующем:

• создан оригинальный метод расчёта диэлектрических свойств анизотропных сред с пространственной дисперсией, на основе которого в рамках теории локального поля вычислены параметры пространственной дисперсии в негиротропных одноосных средах;

• впервые найдено выражение для эффективной комбинационной поляризуемости молекул анизотропной среды с учётом локального поля, проанализировано влияния эффектов локального поля на сечение комбинационного рассеяния в одноосной среде, найдено, что оно существенно сказывается на зависимости полного сечения рассеяния необыкновенных волн от направления падения;

• впервые сформулированы условия, при которых пространственная дисперсия качественно меняет спектр электромагнитных волн в анизотропных средах на частотах, близких к нулям главных значений диэлектрической проницаемости, теоретически предсказано существование добавочных волн нового типа при разных знаках главных значений диэлектрической проницаемости одноосных конденсированных сред;

• впервые показано, что наличие крупномасштабных флуктуаций в жидких кристаллах приводит к аномально большой величине пространственной дисперсии, исследована флуктуационная пространственная дисперсия на примере ориентационных флуктуаций в нематическом жидком кристалле и флуктуаций деформации смектических слоёв в ахиральном смектическом жидком кристалле.

Практическая ценность работы заключается в том, что

• обнаружена возможность экспериментального исследования эффектов локального поля при измерении угловых характеристик комбинационного рассеяния в одноосных средах;

• указан новый способ изучения пространственной дисперсии по спектрам волн в окрестности нулей главных значений диэлектрической проницаемости одноосных конденсированных сред;

• созданы теоретические основы нового метода оптического исследования флуктуационных процессов, основанного на измерении аномальной флуктуационной пространственной дисперсии.

Таким образом, автор защищает:

• теорию локального поля в одноосных средах с пространственной дисперсией;

• метод учёта эффектов локального поля в комбинационном рассеянии света в одноосных средах, выражение для тензора эффективной комбинационной поляризуемости и сечения рассеяния;

• теорию неизученных ранее реальных добавочных волн в окрестности нулей главных значений диэлектрической проницаемости одноосных конденсированных сред, в том числе -при разных знаках главных значений;

• теорию аномально большой флуктуационной пространственной дисперсии в нематических и ахиральных смектических жидких кристаллах.

Основные результаты работы опубликованы в трёх научных трудах^68'70!.

Заключение

Таким образом, как было показано на примере одноосных сред в разделах 1.2. и 1.3., теория локального поля в анизотропном случае позволяет вычислить в явном виде пространственную дисперсию диэлектрической проницаемости. Анализ полученных результатов показывает, что они применимы в равной мере и кристаллически неупорядоченным веществам и к кристаллам (раздел 1.4.). Сформулированный подход позволяет исследовать ряд приложений общей теории, которые рассмотрены в последующих главах.

Так, микроскопический анализ процесса комбинационного рассеяния света на молекулах среды (см. раздел И.2.) обеспечивает последовательный учет анизотропии вещества и дает однозначный вид тензора эффективной комбинационной поляризуемости, который может быть выражен через поляризуемости молекул и диэлектрическую воприимчивость среды. Вычисленные дифференциальные и полные сечения рассеяния для разных типов падающих волн, приведенные в разделах II.3. и II.4., позволяют оценить роль молекулярного окружения. Последнее в ряде случаев оказывается достаточно существенным и, в частности, сильно влияет на зависимость полного сечения от направления распространения падающей необыкновенной волны (см. П.5.).

Так как обычно пространственная дисперсия в негиротропных средах довольно мала, то случаи, когда она приводит к качественным изменениям измеряемых величин и доступна прямому наблюдению представляют большой интерес. При рассмотрении спектров электромагнитных волн в окрестности нулей диэлектрической проницаемости анизотропных сред (разделы III.2. и III.4.) обнаружено, что при таких частотах пространственная дисперсия обуславливает появление дополнительной ранее не изученной ветви спектра электромагнитных волн (см. Ш.З., III.5. и

III.6.). Свойства этих волн оказываются особенно интересны при разных знаках главных значений тензора диэлектрической проницаемости одноосных сред, когда они образуют единую поверхность волновых векторов с необыкновенными волнами.

Проведенный в рамках теории локального поля анализ демонстрирует определяющую роль парных корреляций для пространственной дисперсии. Это позволяет предполагать, что в средах с крупномасштабными флуктуациями эффекты пространственной дисперсии должны быть аномально велики. Расчет флуктуацинной пространственной дисперсии в ахиральных жидких кристаллах с флуктуациями локального направления главной оптической оси полностью подтверждает это предположение (раздел

IV.2.). Вычисление параметров пространственной дисперсии в нематике (см. IV.3.) и смектике А (см. IV.4.), находящихся в ориентирующем магнитном поле дает пространственную дисперсию на три порядка превосходящую обычные значения в средах без флуктуаций. Такая большая протранственная дисперсия, как показано в разделе IV.5., приводит к достаточно заметной анизотропии спектра обыкновенных волн и также меняет угловую зависимость спектра необыкновенных. В этой связи можно ожидать, что данный эффект окажется плезным при оптических исследованиях флуктуационных процессов в жидких кристаллах.

В заключение кратко перечислим основные результаты, полученные в диссертации:

1. Рассчитана пространственная дисперсия диэлектрической проницаемости в одноосных конденсированных средах в рамках теории локального поля (см. 1.2. и I.3.).

2. Впервые показано, что число независимых параметров пространственной дисперсии меньше, чем следует из ограничений, накладываемых требованиями симметрии (см. 1.3.).

3. Создана теория эффектов локального поля в комбинационном рассеянии света на молекулах одноосной среды. Найден тензор эффективной комбинационной поляризуемости, выраженный через макроскопические характеристики среды (см. II.2.).

4. Указаны возможности экспериментального изучения влияния локального поля на анизотропию сечения рассеяния (см. II.4.).

5. Предсказан новый случай существования реальных добавочных волн на частотах, близких к нулям главных значений диэлектрической проницаемости (см. III.4.-III.6.).

6. Рассмотрены свойства этих волн при разных знаках главных значений. Обнаружено, что на таких частотах спектры необыкновенных и добавочных волн соединены, образуя единую поверхность волновых векторов (см. III.5.).

7. Найдено, что крупномасштабные флуктуации в жидких кристаллах приводят к аномально большой пространственной дисперсии. Этот эффект исследован на примере нематического и ахирального смектического жидких кристаллов (см. IV.3 и IV.4.).

8. Предложен новый способ экспериментального изучения флуктуационных процессов с помощью точных измерений угловых зависимостей показателей преломления (см. IV.5.).

1. Г.А.Лорентц, Теория электронов и её применение к явлениям света и теплового излучения, Гос. изд-во технико-теоретической лит., Москва (1956).

2. М.И.Рязанов, Электродинамика конденсированного вещества, Наука, Москва (1984).

3. Е.М.Аверьянов, М.А.Осипов, УФН 160, 90 (1990).

4. De Jeu W.H., Bordewijk P., J. Chem. Phys. 68, 109, (1978).

5. Е.М.Аверьянов, В.Ф.Шабанов, Кристаллография 23, 1232 (1978).

6. Palffy-Muhoray P., Chem. Phys. Lett. 48, 315 (1977).

7. Palffy-Muhoray P, Balzariny D.A., Can. J. Phys. 59, 375,1981).

8. Palffy-Muhoray P., Balzariny D.A., Dunmur D.A., Mol. Cryst. Liq. Cryst. 110, 315 (1984).

9. M.A.Osipov, Chem. Phys. Lett. 133, 471 (1985).

10. М.А.Осипов, ФТТ 27, 1651 (1985).

11. М.А.Осипов, Кристаллография 31, 1051 (1986).

12. Dunmur D.A., Munn R.V. Chem. Phys. 79, 249 (1983).

13. Нелинейные оптические свойства органических молекул и кристаллов, под ред. Д.Шелмы и Ж.Зисса, Мир, Москва (1989).

14. A.Bagchi, R.G.Barrera and B.B.Dasputa, Phys. Rev. Lett. 44, 1475 (1980).

15. A.Bagchi, R.G.Barrera and R.Fuchs, Phys. Rev. В 25, 70861982).

16. R.Del Sole and E.Fiorino, Phys. Rev. В 29, 4631 (1984).

17. D.E. Aspnes and A.A.Studna, Phys. Rev. Lett. 54, 1956 (1985).

18. W.L.Mochan and R.G.Barrera, Phys. Rev. Lett. 55, 1182 (1985).

19. М.И.Рязанов, ЖЭТФ 110, 959 (1996).

20. О. H. Гад омский, К.В.Крутицкий, ЖЭТФ 106, 936 (1994).

21. К.В.Крутицкий, С.В.Суворов, Опт. и спектр. 83, 305 (1997).

22. Ю.А.Ильинский, Л.В.Келдыш, Взаимодействие электромагнитного излучения с веществом, Изд. МГУ, Москва (1989).

23. Н.Бломберген, Нелинейная оптика, Мир, Москва (1966).

24. Л.Н.Овандер, Ю.Г.Пашкевич, Н.С.-С.Тю в сб.статей "Теоретическая спектроскопия", Изд. АН СССР, стр.251 (1977).

25. В.Ф.Шабанов, Е.М.Аверьянов, П.В.Адоменас, В.П.Спиридонов, ЖЭТФ 75, 1926 (1978).

26. В.С.Либов, Н.Г.Бахшиев, Опт. и спектр. 31, 48 (1971).

27. В.М.Сидоренко, В.С.Либов, Н.Г.Бахшиев, Опт. и спектр. 35, 270 (1973).

28. В.М.Сидоренко, В.С.Либов, Н.Г.Бахшиев, Опт. и спектр. 37, 680 (1974).

29. В.М.Сидоренко, В.С.Либов, Н.Г.Бахшиев, Опт. и спектр. 41, 699 (1976).

30. C.Bunn and R.Donberg, Trans. Faraday Soc. 50, 1173 (1954).

31. H.E.Neugebauer, Can. J. Phys. 39, 1-8 (1954).

32. М.Ф.Вукс, Опт. и спектр. 20, 644 (1966).

33. М.И.Рязанов, ЖЭТФ 103, 1840 (1993).

34. А.Н.Ботвич, В.Г.Подопригора, В.Ф.Шабанов,Комбинационное рассеяние света в молекулярных кристаллах, Наука, Новосибирск (1989).

35. М.И.Рязанов, ЖЭТФ 108, 1778 (1995).

36. Л.Д.Ландау, Е.М.Лившиц, Электродинамика сплошных сред, Наука, Москва (1992).

37. В.М.Агранович, В.Л.Гинзбург, Кристаллооптика с учётом пространственной дисперсии и теория экситонов, Наука, Москва (1965).

38. В.А.Кизель, В.И.Бурков, Гиротропия кристаллов, Наука, Москва (1980).

39. Ф.И.Фёдоров, Теория гиротропии, Наука и техника, Минск (1976).

40. Ю.И.Сиротин, М.П.Шаскольская, Основы кристаллофизики, Наука, Москва (1975).

41. Дж. Най, Физические свойства кристаллов, Мир, Москва (1967).

42. С.И.Пекар, ЖЭТФ 33, 1022 (1957).

43. В.Л.Гинзбург, ЖЭТФ 34, 1593 (1958).

44. С.И.Пекар, УФН, 77, 309 (1962).

45. С.И.Пекар, Кристаллооптика и добавочные световые волны, Наукова думка, Киев (1982).

46. В.А.Киселев, Б.С.Разбирин, И.Н.Уральцев, Письма в ЖЭТФ 18, 504 (1973).

47. V.A.Kiselev, B.S.Razbirin, I.N.Uraltsev, Proc. 12-th Intern. Conf. Phys. Semiconductors, p. 996, Stuttgart (1974).

48. V.A.Kiselev, B.S.Razbirin, I.N.Uraltsev, Phys. Stat. Sol. (b) 72, 161 (1975).

49. I.V.Mokarenko, I.N.Uratsev, V.A.Kiselev, Phys. Stat. Sol. (b), 98, 773, (1980).

50. M.И.Страшникова, А.Г.Рудчик, ФТТ 14, 984 (1972).

51. М.С.Бродин, Н.А.Давыдова, М.И.Страшникова, Письма в ЖЭТФ 19, 567 (1974).

52. М.И.Страшникова, ФТТ 17, 729 (1975).

53. С.И.Пекар, М.И.Страшникова, ЖЭТФ 68, 2047 (1975).

54. Y.Segava, Y.Aoyagi, К.Azuma and S.Namba, Solid State Communs. 28, 853 (1978).

55. Y.Segava, Y.Aoyagi and S.Namba, Solid State Communs. 32, 229 (1979).

56. Y.Masumoto, Y.Unuma, Y.Tanaka and S.Shionoga, J. Phys. Soc. Jap. 47, 1844 (1979).

57. Л.Д.Ландау, Е.М.Лившиц, Статистическая физика, Наука, Москва (1995).

58. С.Чандрасекар, Жидкие кристаллы, Мир, Москва (1980).

59. А.С.Сонин, Введение в физику жидких кристаллов, Наука, Москва, (1983).

60. P.G.de Gennes and J.Prost, The Physics of Liquid Crystals, Clarendon Press, Oxford (1993)

61. И.П.Базаров, Э.В.Геворкян, Статистическая физика жидких кристаллов, Изд. МГУ, Москва (1992).

62. В.Б.Берестецкий, Е.М.Лившиц, Л.П.Питаевский, Квантовая электродинамика, Наука, Москва (1989).

63. М.В.Федорюк, Метод перевала, Наука, Москва (1977).

64. В.П.Романов, А.Н.Шалагинов, ЖЭТФ 102, 884 (1992).

65. А.Ю.Вальков, В.П.Романов, А.Н.Шалагинов, УФН 164, 149 (1994).

66. В.П.Романов, Г.К.Скляренко, ЖЭТФ 112, 1675 (1997).б 7. Н.Б.Баранова, Б.Я.Зельдович, В.С.Либерман, ЖЭТФ 99, 1504 (1991).

67. М.В.Горкунов, М.И.Рязанов, О влиянии локального поля на комбинационное рассеяние света в одноосном кристалле/ ЖЭТФ, том 112, вып. 1(7), стр. 180-191 (1997).

68. М.В.Горкунов, М.И.Рязанов, The Role of Spatial Dispersion Near Zero Points of the Dielectric Function of Cubic and Uniaxial Crystals /Laser Physics, vol.8, No 2, pp. 502-507 (1998).

69. М.В.Горкунов, М.И.Рязанов, Добавочные электромагнитные волны вблизи нулей главных значений диэлектрической проницаемости одноосного кристалла / Сборник научных трудов конференции "Научная сессия МИФИ-98", Москва, 1998.