Локальные оценки экспоненциальных полиномов и их приложения к неравенствам типа принципа неопределенности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

на правах рухопаса

Назаров Фёдор Львович

" Локальные оценки экспоненциальных полиномов и их приложения к неравенствам типа принципа неопределённости "

Специальность 01.01.01. - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург , 1993

Работа выполнена в Ленинградском госуниверситете Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор В.П.Хавин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник ЛОМИ С.В.Кисляков

доктор физико-математических наук, профессор Н.А.Широков

Ведущая организация: Сэнкт-Петербургский педагогический государственный университет

Защита состоится 1993 г. в 14 часов

на заседании специализированного совета К 063.57.29 в Ленинградском государственном университете ( ст. Петергоф, Библиотечная пл. , 4 , ауд. 3506 )

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной библиотеке ЛГУ им. Горького.

Автореферат разослан

199^ г.

Учёный секретарь специализированного совета

/ 0-И.Рейнов /

Общая характеристика работ». Актуальность томи.и ноль исследования.

Экспонснципльша полином« являются одним из стандартных объектов изучений в гармоническом анализе. Однако, в то время как "глобальное" поведение ( т.е. поведение в окрестности бесконечности ) цашго и хорошо изучено, многие "локальные" вопросы ( т.е. попроси о поведении в окрестности конечной точки ) до сих пор оставались открытыми. Среди них - вопрос о хо-роашх оце-шеах максимума модуля экспоненциального полинома на интерпала I с Щ ччрез его максимум на некотором измеримом подмножество £<= I положительной лебеговой меры. В диссертации он полностью реяается в случае, когда мера множества Е мала по сравнен?» с длиной отрезка Г .

Столь'*« классическими являются и два других вопроса, рассматриваемых в ней: так называемый принцип неопределённости, т.е. утверждение о невооможности' одновременной малости в том или ином смысле функции и её преобразования Фурье

редким ( в смысле Зигмунда ) спектром. До недавнего времени такого сорта теоремы носили в основном качественный характер, т.о. входящие в них постоянные были либо очень сильно запылены, либо вообще эффективна невычислим«. В диссертации доказаны довольно тегные количественные версии теорем Амрейна-Бертье и Зигмунда.

и теоремы единственности для функций с

Методика исследования.

В диссертации использованы стандартные методы теории функций и функционального анализа. Оценки экспоненциальных полиномов опираются на неравенство Колмогорова для гармонически сопряжённой функции к вытекающую из него оценку типа поточечного неравенства С.Н.Бернштейна. Кроме того, применяются техника факторизации Адамара целых функций экспоненциального типа и конструкция Картана для изучения множеств малости алгебраических полиномов. Для исследования преобразования Фурье функций с носителем конечной меры используется техника случайной периодизации, заимствованная из геометрии чисел, и начальные сведения из теории классов Харди в круге и областях со спрямляемой границей. В последней главе при доказательстве количественной версии теоремы Зигмунда использована самая простая спектральная теорема: для компактных самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве.

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми. Практическая и теоретическая ценность.

Работа носит чисто теоретический характер. Наиболее ценным неформальным её результатом является "доказательство" наличия открытых интересных и нетривиальных вопросов в считавшейся относительно исчерпанной области анализа ( хотя лишь немногие из них явно сформулированы в работе ). Представляет интерес и применение ряда старых методов в не слшком обычной ситуации. Кро-

ме того, заинтересованный читатель найдёт.несколько методологических улучшений в доказательства* и формулировках приводим)« для полнота картины классических теорем.

АпробаГ'ИЛ работы.

Результат» диссертации неоднократно докладывались на Ленинградском городском семинаре по спектральной теории функций и операторов. Основные результаты опубликованы в [ I ] .

Структура и объём работы.

Диссертация состоит из введения и 3 глав, подразделённых на 14 параграфов. Работа снабионй библиографией из 12 наименований, Занимает Оо страниц печатного текста.

Теорема г.. ("лемма Турана").

Пусть 21 С;,е - экспоненциальный ноли-

ном порядка и , Г^ 1Я - интервал, £ -измеримое подмножество I гзсло'.*'лгйлькой лебеговой меры. Тогда

( здесь я далее А - абсолютная постоянная ) Теорема 2. ("теорема Амрейна-Бертье").

Для лчб(ге множеств Е,2С/Я конечной лебеговой меры и любой функции ¡-(¿^(Ю справедливо неравенство

*

Теорема 3. ("теорема Зигмунда").

Пусть Л= {} с. лакунарно в смысле Зигмунда, т.е. са^а/ {(й'^П-.т^-м^г)^ • Тог*а чля любой

функции со спектром и любого измеримого

подмножества £ единичной окружности 1Г положительной меры выполняется неравенство /'Я^

(&(£,$(&))- постоянная, зависящая лишь от £ и И(Л-) ). Следствие 4. ( теорема о "суммируемости логарифма")

При тех же предположениях о А для любой функции ^ отличной от тождественного нуля и со спектром р сА и для

любого £ >0 интеграл

Обзор диссертации по главам.

Введение содержит общую характеристику работы, список основных результатов и обозначений.

Глаза I. Оценки экспоненциальных полиномов.

Основной целью главы является доказательство теоремы I.

В §1.1 приводится классическое доказательство Турана ( чисто алгебраическое ) неравенства теоремы I для случая, когда Е -также интервал, и показывается, как, используя только те ке

идеи, получить оценку | которая

уже значительно сильнее всех ранее опубликованных. Приведена также несложно вытекающая из теоремы I оценка суммы модулей коэффициентов экспоненциального полинома с разделённым спектром

( т.е. при условии \-.j~ \ ):

} "

$Til^ IXlpít)l ' ест

В 51.2 сформулированы и доказаны два классических вспомогательных утверждения, часто используемых в дальнейшем: Лемма А.

Пусть P(Z) - алгебраический полином степени <п . Тогда ifá*»!

( лебегова мера на окруяности нормирована условиемyJ-CT) - i ) Лемма В. -( лемма Лангера )

Пусть 2 С^е * экспоненциальны.*

полином порядка и . Тогда количество комплексных нулей р(2г) в любой открытой вертикальной полосе у'0ширины Л не

превосходит{и-^)+ .

■} /; f? P(z)

Т.к. "¿г ~ pfc) то РезУльтат леммы А можно интер-

претировать следующим образом: мера мнояестза тех точек Z<?'1T, для которых

во много раз превосходит п

IPMI

мала, что

можно назвать поточечным аналогом неравенства С.Н.Бернлтейня

¡¿Р»Гт * п ЯР И tren

В §1.3 доказывается теорема I в случае - периодического

экспоненциального полинома ^ (м^е и отрез-

ка 1 — 1.0,1] . Точная формулировка результата такова:

Теорема.

для любого измеримого множества положительной меры.

Этот случай ( который в основном и используется в приложениях ) допускает довольно короткое доказательство. Основная идея состоит в построении по индукции последовательности экспоненциальных полиномов р„, »• - - > р1 , для которых

(2) порядок оы/р^ экспоненциального полинома р^ равен 4 ; при

(4)ц Ш1: \у~\ } * ^ Для всех у > 0 .

Из свойства (4) тогда несложно вытекает, что при любом

¿>0 Полагая-

и » , получаем, что найдётся точка Е , для

которой ¡Р^)1 * * ,

в то время, как 11р<>11ц 4^1 ИрЯц ' Но ~ полином

порядка У , т.е. одна окспонента с коэффициентом. Значит,

, откуда немедленно вытекает утверждение теоремы. Последовательность экспоненциальных полиномов рп,..,,р1

строится по следующему правилу: если полином р^И)- ^^г

I.

уже построен, то в качестве p¡(_í молю

вздть тот из экспоненциальных полиномов ) —^(в'^'^рМ)

< _/ ~ " * 1 И ,у КОТОРОГО сумма модулей ко-

эффициентов не -еньше j^r llpfci'Yj ' такой найдётся, ибо суша норм Hfylj* llflltf- fitp/J^)- Свойство (4) легко следует из второго неравенства лежи А, применённого к ачгебраическому полином степени , определяемому равенством '

р(ег"'ь) - г p^te) , если , и равенством

Р(е •=■g ( еоли 2Г ( отображение

ff?,i ] э I е еТ сохраняет меру ).

51.4 посвящен доказательству теоремы I в полном объёме, т.е. для произвольного экспоненциального полинома с чисто мнимыми показателями и интервала X ^ IR (с константой Л -316 ). Идея рассуждения по существу та же, что и в параграфе §1.3 , но технические детали существенно слоянее.

Глава 2, Техника случайной периодизации к теорема Моргана.

Эта глава посвящена вычислению константы С(Е,Z) в извест-

£?n£ gl-T.

справедливом для любых множеств £.2 с IR конечной лебеговой меры и любой функции

felTW) . Показано, что в качестве C(£,"Z) ■ Сби(ВЫЕ)

можно взять loue ' . Результат является точ>мм по порядку величины: как показывает пример , E=ZL

постоянная не может быть меньше ez/iÎLy"

Заметим, что в оригинальном доказательстве Амрейна-Еертье к в его последующих модификациях константа С(Е,27) лияь с большой натяжкой вообще моясет бнть названа эффективной.

Параграф §2.1 посвящён описанию заимствованной из геометрии чисел техники случайной периодизации. Она основана на следующей простой лемме:

ном неравенстве Амрейна-Бертье /If ''¿f^f С (EX) (f l-fl

Лемма об усреднении по решёткам.

Пусть <j> - неотрицательная суммируемая функция, £ > О

Тогда /Е а- ± \if(t)Ji

J Е <f(h)Jtr ё ¡fti)Ji

Лемма доказывается пряный вычислением.

Пусть теперь E<=R ,f<(E)<+» , $ - функция класса £?№) с носителем uipp j £ . Зафиксируем число £ > О . Случайная периодизация у функции j- определяется формулой

<7 я VIF ик '

где ir - случайная величина, равномерно распределённая на отрезке [i,-2l . Несложно проверить, что ряд, определяющий д. сходится в L1^ и представляет собой t - периодическую фун-

Л /-' ^

кцию, коэффициенты Фурье которой суть = $(mcir) (те Ж).

Из определения и леыш об усреднении по решёткам легко вытекают следующие свойства случайной периодизации:

(а)^{ы<оЛ)-д(Ь)ФО\ ^Ле^и(Е) t

(в) матожидание Пусть

Z «= IR

измеримо, 0&7L . Рассмотрим случайную решетку ir: S<z%Ya обозначим через ^множество номеров точек этой решётки, попавших в 21 , т.е. множество {¡еЖ S£ir*T}. Тогда

(с) Е (еаы/т-1) ^ f

(■J) Е Z2 iLl^jf IЬ1

Параграф §2.2 посвящен доказательству теоремы 2. Пусть Е и Z - измеримые подмножества IR . Следуя Ёрик-ке-Хавину, будем говорить, что Ей 2 сильно аннигилируют, если существует постоянная С > О , такая что для любой функции i е L*m) №#л) * С a lfi*+ f iff) М

гье

( в частности, если ft^jpf-^E , a то fz=¿7 .

Этим и объясняется терминология ).

Условие (к-) можно записать в менее симметричной, но зато более удобной для проверки форме: Б и 21 сильно аннигилируют если для любой функции носителем s^jc-f сЕ имеет

место неравенство: flfl ~ С í lf I .

2 IR* 2

Между наилучшими константами С и С существует точная

связь: С'= >(- — Н-с&и * Гл,е ~ Угол ме)И*У П0Д~

пространствами ^(Ю^ЦчШ: и^ $ с£}и №гШ) уес^Т}

пространства ет . Исключая о1 , получаем:

Таким образом, для того, чтобы получить для наилучшей постоянной С = с (Е£) оценку С -130е ( достаточно показать, что для любой функции

ЧЕ) выполняется неравенство: ¡И? « Ыеее/'(В)нт} \ \ЬХ г: ,

Положим £ = " рассмотрим случайную периодизацию ^ функции £ . В силу (а) уМ-ОХуи^Ь 1-2у/(Е.)=

Разобьём (] в сумму ъ+-а , где рИ)^' 2 а

( последнее равенство определяет , а 0(1)= Л

l.h

Имеем: E Ц 1¿(0L) = E Z1 ¡Sj'ájJ i f l\

E(odp-Í) * E(cabJm-i) T .

Значит, с положительной вероятностью имеют место сразу 4 события: (I)yti(F) Ь ^ ;

(2) (z1?1* i

(3) Objp s? ±*S./tie)/i(E)\

M£l?*»t* -jh) I?*»*«

( (I) и (4) выполнены всегда, а (2) и (3) не выполняются каждое с вероятностью, меньшей } Т.к. , то v. ¡Ipl¿ => í/^í^

Но тогда и lpM¡ *4(S ¡fl*fJ } * i- и, лоска-

льку uey&^afíeF: 1рЮЫ A (J jf ¡¿)Ú } * {■ ■

Значит, в силу теоремы I, j^f) ~ Jfc,'" ^ (2- lp¿l) *

¡ l '/í, / ' 1 ' ■> R,Z

■ >n

то есть *

Рассматривая вместо функц-да ^ ^'^/и вместо

2 множество » получки такую же оценку для ///у)!и, п

силу произвольности » для . Интегрируя по 2Г ,

находим: {(?* б^йХиЮ*¡Г,

что и требовалось. Из доказанной теоремы легко вытекает Следствие.

Будем говорить, что убывающая функция Ф : ^ма-

жорирует ¡.. ! по распределении, если для всех у > £ имеет место

неравенство\faHy) ¿^{Ые.*")-.ФМу] < М!>- ЦРУ™"

ми словами, Ф мажорирует убывающую перестановку 1Я .

Пусть <Р и У - мажоранты по распределению для функций ¡Л и IЯ соответственно. Тогда для любых а,а >0

Тфч ТУ»

° * с £ ■> ч '

В частности, если еС Л (то {& 0 .

Отсюда следует, что мажоранты Ф и "У не могут одновременно

_6жР -В'*'' I V ,

убывать, как е ив соответственно, если — + -1

ее

и о ' О > -— . Этот результат интересно сравнить с

р'ер У

теоремой Моргана, которой посвящен §2.3. Теорема. ( Морган ),

Пусть ре , е (4,21 , е 0 .Тогда

л >-±

(A) Если $(х)~0(ейМ?) , М?) при х-* ' то .

(B) Если ^(хы ) при «--¿и1

В4'г5'&>£<р>~0р%, у> то О ..

Константы (р) и ^¿(р) неулишаем; в пункте (А) заключение остаётся справедливы!/, если от | потребовать убывания лишь на левой полуоси, а в пункте (В) пример нетривиальной функции £ , на которой "достигается" значение ¿„(р) можно выбрать с дополнительным условием £(-х) = , т.е. совершенно неважно, в одну или в обе стороны убкзает £ , но всё определяется тем, как убывеет f ( они неравнопрлвт; в силу неравноправия р и р' ).

Как формулировка, так и доказательство этой теорема, приводимое в диссертации, содержат методологически новые элементы ( в оригинальной форцулировке Моргана отсутствует часть (В) и построение примеров, показывающих неулучшаемость•константы проводилось иначе ).

§2.4 посвящён доказательству аналога приведённого выше следствия теоремы 2 для случал, когда мы имеем информацию об убывании преобразования Фурье -f по распределению лиаъ на левой полуоси ( т.е. Т мажорирует по распределению Ifl'Xß » в то время ка Ф по-прежнему мажорирует по распределения I f | на всей оси IR ). Результат здесь такой: Теорема.

Если , то f. О •

■ -<£ер

В частности,Ф и V не могут одновременно убывать как е f ■ ^

и б" , если d>0 , — Доказательство основано

Р у

на тех sie идеях, что и в §2.3 , только вместо лемш Турана

используется следующая

Лемма.

Пусть F(i) «= Н*(р) (0*та<м,«...)

Пусть (\F\fi)

- среднее

функции Р .Тогда JcJ * ¿f

( j щ \P\ityi) - среднее геометрическое модуля ТГ

qm

Последний во второй главе §2.5 посвящён доказательству

СЛЗДУЮ^ЦЗГО уТ и-СрЯДС11Ял«

Теорема.

Пусть . Если оба множества и

имеют конечную лебегову меру, то f = О •

ГУ. .за 3. функции с приближённо линейно зависимыми малыми сдвигами и теорема Зигмунда.

Эта глава целиком посвящена доказательству теоремы 3 и следующего её аналога для прямой: Теорема З'.

Пусть множество 2с ¡R обладает тем свойством, что

^ ^ ^ + ^ • , где - двоичное раз-

Г Гico-

биение прямой ÍR , т.е. — }[ Л i) -к=0-

( это условие во многих отношениях служит аналогом лакунарности по Адамару ).

Тогда для любой функции J- е 1Г(&) со спектром spe&fc.7L 'и любого измеримого множества Е <= ¡R конечной лебеговой меры

выполнено неравенство /ífV/^^ fi^E)} j

Р\Е

где постоянная 3 зависит только от Работы автора по теме диссертации:

гп

Назаров О.Л. К теоремам Турана, Амрейна-Бертье и Зигмунда // Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1992, вып. 201 .

Подписано к печати 28.04.93 Заказ 148 Тираж 100 Объем I п.л„ ПМЛ СПГУ

199034, Санкт-Петербург, наб. Макароьа.б.