Лучевые методы в задачах вычисления акустических полей в нерегулярных волноводах

Соловьев, Александр Алексеевич

Лучевые методы в задачах вычисления акустических полей в нерегулярных волноводах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.06 ВАК РФ

Соловьев, Александр Алексеевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Владивосток МЕСТО ЗАЩИТЫ

1998 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Лучевые методы в задачах вычисления акустических полей в нерегулярных волноводах»

Автореферат диссертации на тему "Лучевые методы в задачах вычисления акустических полей в нерегулярных волноводах"

оа

российская академия наук ^^ дальневосточное отделение

институт проблем морских технологий

На правах рукописи удк 534.231.1:681.3

Соловьев Александр Алексеевич

Лучевые методы в задачах вычисления

акустических полей в нерегулярных волноводах Специальность 01.04.06 - акустика

автореферат

диссертации па. соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Владивосток- 1998

Работа выполнена в Институте проблем морских технологий ДВО РАН

Научный руководитель:

доктор физ.-мат. наук, профессор чл.-корр. РАН, В.А. Акуличев

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор

Б.А. Касаткин

кандидат физ.-мат. наук М.Ю. Трофимов

Ведущая организация: Институт прикладной математики ДВО РАН

Защита состоится 23 декабря 1998 года в 14 часов на заседании ученого совета Д.003.34.01 при Тихоокеанском океанологическом институте по адресу:

г. Владивосток, ул. Балтийская, 43, ТОЙ ДВО РАН. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ТОЙ ДВО РАН.

Автореферат разослан 20 ноября 1998 г.

Ученый секретарь Специализированного

Совета Д.003.34.01

доктор физ.-мат. наук, профессор

Г.В. Алексеев

Актуальность темы. ■ .

В последние десятилетия все большее внимание уделяется использованию вычислительной техники в задачах гидроакустики как основного и незаменимого средства исследования океана. Одной из причин широкого обращения исследователей к ЭВМ является возможность ставить численные эксперименты для многих задач, теория которых или еще не разработана, или границы применения ее не найдены. Располагая достаточно мощной ЭВМ, исследования на численной модели можно выполнить за гораздо меньшее время, чем в реальном эксперименте. Теория волновых полей в нерегулярных волноводах, моделирующих океан, также сводится к обстоятельному изучению численной модели.

Учет нерегулярности волновода по трассе распространения сигналов не позволяет получать расчетные формулы акустического поля в явном виде, так как переменные в основных дифференциальных уравнениях, описывающих его распределение в пространстве не разделяются. Поэтому приходится прибегать к различным прибли-, женным или численным методам. Для решения практических задач гидроакустики необходимо разрабатывать различные аппроксимирующие модели. Одним из важных направлений развития новых методов и средств расчета акустических полей в океане янляется разработка численных алгоритмов, позволяющих исследовать различные виды неоднородных океанических волноводов. '

Еще одна, не менее важная проблема гидроакустики связана с изучением того, как изменчивость океана влияет на дальнее распространение акустических сигналов. Распространяясь в жидкой среде, звуковые волны претерпевают различные изменения, и, прежде всего, испытывают рефракцию. Рефракция возникает из-за пространственной неоднородности скорости звука в океане, что, в свою очередь, связано с изменением физических параметров водной среды. При этом речь идет как о вертикальной, так и о горизонтальной рефракции.

В настоящее время для исследования звуковых полей в волноводах разработаны эффективные численные методы. Одним из них является метод Гауссовых пучков В его основе лежит лучевой метод который позволяет решать сложные волновые . задачи, недоступные для других методов. Лучевой метод отличает предельная наглядность и физическая ясность интерпретации решения. Кроме того, этот метод позволяет наиболее полно учесть вычислительные возможности современных компьютеров, в особенности многопроцессорных ЭВМ параллельного действия. С другой стороны, к недостаткам лучевого метода относится то, что в областях каустик, уравнения, определяющие величину волнового ноля становятся сингулярными, и.

необходимо применять дополнительные методы, как правило, достаточно ресурсоемкие с вычислительной точки зрения. К недостаткам лучевого метода следует так же отнести резкое убывание до нуля звукового поля при переходе в область тени. Метод Гауссовых пучков был предложен именно для того чтобы разрешить упомянутые недостатки лучевого метода.

Целыо настоящей работы является

- описание особенностей лучевых методов на внутренних слабых и на внешних отражающих границах в волноводе,

- разработка и программная реализация высокоэффективного алгоритма расчета акустических полей в океаническом волноводе, базирующегося на методе Гауссовых пучков, и

- проведение численного моделирования распространения звука в пространственно неоднородном океаническом волноводе.

Научная новизна полученных в работе результатов заключается в следующих положениях

- Впервые предложен метод преобразования динамических переменных на слабых и отражающих границах, применимый при малых углах скольжения, и, таким образом, в этой области расширяющий границы применения метода Гауссовых пучков;

- Впервые программно реализован эффективный метод расчета акустических полей в пространственно-неоднородых средах, основанный на методе Гауссовых пучков, который позволяет с высокой скоростью вычислять акустические поля в сложных океанических волноводах.

- Впервые проведено численное моделирование по акустической термометрии Японского моря в целях мониторинга глобального потепления.

Научная и практическая значимость работы состоит в расширении области применимости группы лучевых методов, когда лучи пересекают слабую границу внутри области или внешнюю отражающую границу под малым углом. Такое расширение области применимости метода позволяет программно реализовать эффективный алгоритм расчета акустического поля в океанических волноводах различной конфигурации. Результаты численного моделирования распространения звука в Японском море позволяют обосновать возможность глобального акустического мониторинга. Мирового океана в масштабе внутреннего моря, что требует существенно меньших средств для его осуществления. Опыт модельных расчетов вдоль длинных акустических трасс и его сопоставление с экспериментальными результатами позволяют подчеркнуть высокую скорость и точность работы предлагаемого алгоритма.

Диссертационная работа выполнялась в рамках ряда научных государственных программ и хоздоговорных тем. Часть работы проводилась в рамках программ фундаментальных исследований ДВО РАН "Акустические исследования структуры океанической среды" гос. per. №01.960.010859, "Методы и средства исследования океана. Разработка технических средств исследования океана акустическими методами", гос. per. №01.960.010860, а так же при поддержке РФФИ, проект 93-05-14180, "Акустический мониторинг в океане с целью определения глобальных изменений температуры".

Программы, разработанные автором, использовались в экспедиционных рейсах НИС "Академик Александр Виноградов", 1990 г., НИС "Академик М.А. Лаврентьев", 1995 г., что нашло отражение в экспедиционных отчетах, и в работах по темам "Трасса-2-АН-ТОИ" и "Муар-1".

Таким образом, в диссертации получила решение задача эффективного вычисления акустических полей в нерегулярных волноводах, имеющее существенное значение в акустике океана.

Апробация работы. По теме диссертации автором опубликовано десять работ: в тематических сборниках с соавторами [9-11], в индивидуальных работах [12-14], в тезисах международных школ и конференций (The Fifth Western Pacific Regional Acoustic Conf., Seoul, Korea, 1994 [15], Briges of the Science Between North America and the Russian Far Bast. The 45th Arctic Sei. Conf., Vladivoctok, 1994 [16], The 15th Int. Congress on Acoustics, Trondheim, Norway, 1995 [17], The Forth Conf. of the Pacific Marine Sei. Organization, Vladivostok, 1995 [18]). Результаты работы докладывались на семинарах отдела Гидрофизики ИПМТ ДВО РАН, Тихоокеанского океанологического института, Национальной акустической лаборатории Института Акустики АН КНР (1991, 1993, 1994, рук. проф. Чжан Ренхе), представлялись на другие конференции международного и Российского уровня. Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы (111 наименований). Объем работы — 133 стр., при этом включает титульный лист и оглавление, 4 стр., 90 стр. печатного текста, 39 рисунков. Личный вклад автора состоит в следующем. Автор самостоятельно проводил все теоретические исследования, результаты которых опубликованы в трех работах без соавторов. Во всех работах, связанных с экспериментальным исследованиям вдоль длинных трасс, автором проведена большая часть модельных расчетов. В работах, посвященных глобальному акустическому мониторингу автором разработаны все алгоритмы и программы и проведены все модельные расчеты.

Положения, выносимые на защиту автором:

- Предложен закон преобразования динамических переменных лучевых уравнений на слабых границах сопряжения участков среды с различным градиентом квадрата показателя преломления, позволяющий избежать сингулярности при расчетах акустических полей.

- Разработан высокоэффективный алгоритм численного решения уравнения Гельмгольца в приближении Гауссовых пучков для двумерно неоднородного волновода, основанный на автоматическом разбиении волновода на треугольные симплексы.

- Реализовано программное обеспечение разработанного эффективного алгоритма для расчета звукового поля на регулярной сетке и для его графического представления, отличающееся высокой скоростью счета.

- Результаты численного моделирования распространения звука в Японском море позволяют обосновать возможность глобального акустического мониторинга Мирового океана в масштабе внутреннего моря.

Содержание диссертации

Во введении показана актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы, дана ее общая характеристика — научная новизна, научпая и практическая значимость, отмечен личный вклад автора, формулируются положения, выносимые' на защиту.

Глава 1. Моделирование звуковых полей в нерегулярных волноводах. Обзор литературы. Дан обзор зарубежных и отечественных работ, посвященных теории нерегулярных волноводов в задачах распространения и дифракции звука в океане с переменной глубиной и изменяющимся по трассе профилем скорости звука. Проанализированы современные методы и программы расчета звуковых полей в нерегулярных волноводах.

Глава 2. Основные уравнения лучевого метода посвящена выводу лучевых уравнений и рассмотрению граничных условий и состоит из шести разделов.

В первом разделе рассмотрены различные координатные системы, применяющиеся в лучевой теории. Вводятся лучевые координаты и формулы, связывающие их с декартовыми координатами. Вводятся барицентрические координаты, применяющиеся в дальнейшем для анализа движения луча в треугольном симплексе.

Во втором разделе дан вывод уравнений лучевого метода из общего волнового уравнения. Делается переход к безразмерным переменным в уравнении Гельмгольца,

выводятся уравнения эйконала и уравнения переноса для общего трехмерного случая, используя разложение Дебая. Выводится уравнение эйконала из принципа Ферма. Из уравнения эйконала выводятся кинематические лучевые уравнения: Далее рассматривается вывод динамических лучевых уравнений и получение общего вида его решения из уравнения Гельмгольца для цилиндрически симметричной среды. Приводится система рекуррентных дифференциальных уравнений для членов асимптотического ряда, определяющего распределение звукового давления вдоль луча. Эта система характеризуется тем, что левая часть всех уравнений имеет один и тот же вид, а правые части являются результатом применения дифференциальных операторов к функции, полученной как решение предыдущего уравнения. Первое уравнение этой системы, отвечающее главному члену асимптотического ряда оказывается однородным, и приводится к двум уравнениям, одно из которых определяет цилиндрический закон убывания интенсивности звукового давления с расстоянием , от источника, а второе является уравнением Рикатти, которое редуцируемся к динамической системе лучевых уравнений: ,'

¿<7 ¿р с„„ .

относительно переменных р и д. В уравнении (1) я обозначает натуральный параметр — длину дуги вдоль луча, и — расстояние по нормали от луча, с — скорость звука. Уравнение (1) является центральным для метода Гауссовых пучков. Первый , член асимптотического разложения решения уравнения Гельмгольца в геометро-оптическом приближении имеет вид:

Здесь Ц> - константа, г — расстояние по горизонтали от начала координат (независимая переменная для цилиндрической системы координат), ш — безразмерная круговая частота, т — время распространения вдоль луча, остальные параметры имеют тот же смысл, что и в уравнении (1).

В третьем разделе выводя тся уравнения лучевой динамики н канонических Гамиль-топовых переменных р и с/, выявляется простой геометрический смысл канонической координаты ц — это ширина лучевой трубки или геометрическая расходимость в данной 'точке на луче. Вводится понятие Гауссового пучка. Гауссовы^ пучком является функция и, определяемая уравнением (2) с комплексными величипами р и q вдоль произвольного луча П. Определяются условия существования Гауссового ■ пучка: '■ , '

- Условие концентрации гауссова пучка:

hnp(s)/q(s) должно быть положительно и конечно вдоль всего луча П. Если это условие выполняется, мы будем говорить, что решение (2) сконцентрировано вблизи луча П.

- Условие регулярности гауссова пучка:

Величина q(s) должна быть отлична от нуля и конечна вдоль всего луча. В этом случае М(в) = р(з)/</(л) конечно везде, даже на каустиках. Автором доказывается утверждение о том, что уравнения лучевой динамики сохраняют условия существования Гауссового пучка вдоль луча П, если этим условиям удовлетворяли начальные данные. Обсуждается выбор начальных данных для Гауссовых пучков. Отмечается, что в настоящее время не существует устоявшихся критериев для выбора начальных данных для Гауссовых пучков. Определяются значения нормирующего коэффициента У0 в (2).

В четвертом разделе выводятся представление формулы (2) для вычисления волнового поля в окрестности произвольной точки луча в декартовых координатах.

В пятом разделе рассматривается преобразование лучевых и динамических уравнений при взаимодействии луча с отражающей и/или преломляющей границей. Выводятся формулы преобразования для волнового вектора при отражении от импе-дансной границы. В случае непрерывной слабой границы волновой вектор так же непрерывен при прохождении луча через такую границу, но канонические координаты р и должны быть преобразованы. Пусть С} — точка взаимодействия луча П с границей Е, £ — точка, расположенная в окрестности точки С]. Тогда величина к вдоль любой траектории, соединяющей и Я пс зависит от того, рассматриваем ли мы ее в системе координат, связанной с падающим лучом, либо в системе координат, связанной с лучом, провзаимодействовавшим с поверхностью. Предположив, что точка 5 расположена на плоской поверхности Е, мы выводим формулы преобразования динамических величин р, (¡:

р1 = р + 2к(тд)(УпЙ)?, <?!=<?, « = (3)

для отраженного от внешней границы луча и

Р2 = р + к{Чп - Уп2,2Р + кт)q, = <7 (4)

для луча, прошедшего через слабую границу. Смысл обозначений в приведенных формулах следующий, т — касательный единичный вектор к падающему лучу в точке Р — единичный вектор главной нормали к падающему лучу в точке д — единичный вектор границы Е; Л — единичный вектор нормали к границе: Е,

направленный в сторону падающего луча. С другой стороны, предположив, что точка 5 расположена вне поверхности Е так, что прямая С]Я ортогональна Е, мы получаем следующие формулы для преобразования величин р и д:

р1 = р + 2(тЙ)(УпЙ)[2 + к']?, «1 = Г7> ' . , ' , (5) '

1>2 = р + - + К1Г)<7, Г/2 = <7. ' . ' ' . (б) ^

для луча отраженного от внешней границы и для прошедшего через слабую границу, соответственно. Каждое из этих преобразований сингулярно вдоль соответствующего направления (¡3, формулы (3) и (4) неприменимы при малых углах скоЛьжения, а формулы (5) и (6) неприменимы при малых углах падения. Утверждается, •'.' что формулы (3) - (6) не нарушают условий существования Гауссовых пучков.

п2(х,г) = Лх Пг + С. (7) '

В этом случае все выведенные дифференциальные уравнения — уравнение эйкопа- , ла, система уравнения движения луча и система динамических лучевых уравнений '•■! ■, допускают точные решение. Выводятся формулы точных решений для указанных величин. Так, траектория луча описывается в векторном виде выражением: .

г'ЛуЛЧгМО)«!^«) ' , (8) .

в переменных (х,г) (г = Здесь звездочкой обозначен оператор транспо- '

нирования, п — показатель преломления, а переменная и связана с натуральной переменной 5 (длина дуги) соотношением 1 '

а я ' '

0 0 '

Если функция, представляющая квадрат показателя преломления кусочно-линейна1' ■ и непрерывна, то в случае, ее двумерной неоднородности каждый линейный фраг- ■ мент необходимо оказывается треугольным симплексом. В таком случае проблема отыскания стороны симплекса, которую пересекает луч, а также точки пересечения, луча с этой стороной элегантно решается при переходе к барицентрическим координатам. Рассматривается методика решения этой задачи. Выводятся также точные формулы вычисления времени вдоль луча, длины вдоль луча. Введя обозначения

^ (Л2 + в2) = а, гг0 (A cos а + В sin а) = 6, п2и = с, (10)

где А и В — компоненты градиента квадрата показателя преломления, определены в выражении (7), a cos a, sin а — суть направляющие косинусы входа луча в симплекс, получаем выражение для квадрата показателя преломления вдоль луча:

п2(и) - аи2 + Ьи + с, (11)

времени вдоль луча:

т(и) = iu2 + ^и + си. (12)

длины дуги вдоль луча (явное соотношение между s и и):

2аи + Ъ /-—— 4ас - Ь2

2аи + b + 2 у/апЦи)

b + 2y/ac

'Га* (»)

Динамическая система (1) в этом случае приводится к уравнению второго порядка: гРд \Р2

du2 (au2+bu + c)2( ' где величина D определяется из равенства:

Аас -Ь2 = п20 (Л sin а - В cos о)2 = D2 > 0, (15)

Уравнение (14) имеет следующее общее решение:

Ч(и) = П2(и)~"(и) х |с, - па(«)) + Чаи + 6)} , (16)

р(и) = П2(и)~г\и) х {-С^аи + 6) + + , (17)

и где константы С\, С2 определяются из начальных условий.

Глава 3. Алгоритмы, тестовые задачи и численные эксперименты посвящена прикладным аспектам развитой теории и состоит из четырех разделов.

В первом разделе неформально описываются схемы алгоритмов реализованного автором пакета программ для вычисления лучевых и акустических полей на базе алгоритма автоматического разбиения области на симплексы.

Во втором разделе рассматриваются тестовые задачи и модельный расчет вдоль протяженной трассы. В этом качестве взяты:

- профиль скорости звука с постоянным L-радиентом для квадрата' показателя преломления, не зависящим от расстояния, с источником, помещенным вблизи поверхности и на глубине; ,

- канонический профиль скорости звука с глубоким II3K и с глубоко.размещенным источником;

- реальная протяженная трасса в Тихом океане с характерным пересечением зонального фронта, отделяющего северные холодные водные массы от теплых субтропических и с соответствующим опусканием оси ПЗК от поверхности на глубину порядка километра

Эталонным решением задач первого пункта являлось точное решение, реализуемое . программой Fast Field Program (FFP) Кутшала и Уэлеса [4], которая использует разложение поля по плоским волнам с применением функций Эйри для полупространства с линейным законом для квадрата показателя преломления. Приведено сравнение с программой BELLHOP М.Б. Портера и Х.П. Бакера [3], реализующая метод Гауссовых пучков с использованием метода Рунге-Кутта для решения лучевых системы дифференциальных уравнений. Эталонным решением для канонического профиля взяты программа WKBZ Чжана Рснхе [5,6]. реализующая модифицированный метод VVKB и программа MOATL Дж. Миллера и С.Вольфа [7], '1 реализующая метод нормальных мод. Полученное решение также сравнивается с решением, полученным программой BELLHOP.

Результат моделирования по предлагаемому алгоритму Гауссовых (программа beam соответствующий реальной трассе распространения звука, сравнивается е., решением, полученным автором по другой программе, реализующей метод широкоугольного параболического приближения (программа ПУ)[8]. Здесь следует отметить временные соотношения работы этих программ. Для получения результата по программе ПЕ потребовалось 96 часов счета на компьютере IBM PC 486 100 МГц, тогда как для расчета по программе beam требуется 5 минут.

Центральным пунктом этого раздела является обсуждение введенного автором понятия коэффициент сдвига, который является коэффициентом в формулах (3) - (6) преобразования динамических переменных на слабых и отражающих границах, а именно, введя коэффициенты к: и А по формулам (в обозначениях, определенных в

(3) " (0) ): •

. _ Г к, если |к| < |«!| , - _ ( к(тд), если |к| < |«i| , ' ; .

[ /vi если |к| > |ki| , [ (тЛ)(2 + ic'f) если |к| > |/cj|, ,

коэффициент сдвига Kt, i — 1,2 определим следующим образом: , |Г

aci = 2a (vnh^j , k2 = 2к (vn — vn2,2u + kf). (19)

Используя понятие коэффициента сдвига, мы используем преобразования динамической переменной р на границах следующего вида:

р, = р + K-i<4, t = 1 для отражения и t = 2 для прохождения. (20)

Преобразование динамической переменной р непрерывно и ограничено во всем интервале углов 0 < If < 7Г.

На примерах показывается большая согласованность с эталонным решением метода, предложенного автором, чем решение, использующее другие эмпирические методы для сглаживания особенности в преобразованиях динамических переменных [3]. Так, в частности, рассматривая результат эталонного расчета с профилем скорости звука с постоянным градиентом для квадрата показателя преломления, не зависящим от расстояния, с источником, помещенным вблизи поверхности, приведенном на рисунке 1, можно видеть, что уже на малом расстоянии от источника, при использовании преобразования величины р при отражении от поверхности, приведенном в [3], отраженные от поверхности лучи вносят значительное искажение в структуру звукового поля. Именно, местоположение областей максимумов и минимумов не совпадают с соответствующими областями точного решения, не совпадает с точным решением их число, а так же нет существенного спада уровня сигнала при переходе в зону тени, в то время, как преобразования с использованием коэффициента сдвига дают структуру поля более близкую к эталонному решению. В тех случаях, когда в структуре поля не участвуют отраженные лучи, как это имеет место, например, в случае приведенного в примере профиля скорости звука и с источником, расположенным на глубине 731.5 м, и в случае канонического профиля скорости звука, решения, полученные при помощи программы BELLHOP и программой автора близки друг другу.

В третьем разделе рассматриваются задачи численного моделирования акустической термометрии Филиппинского и Японского морей в рамках проекта акустической термометрии океана (проект АТОС).

Рассмотрены численные модели акустической термометрии для целей мониторинга глобального потепления для масштабов внутреннего моря. Моделировалось распределение времени прихода центрального веера лучей на различные дистанции для гидрологии обычной и гидрологии измененной гипотетическим прогревом за 10 лет. Была взята следующая модель потепления. Повышению температура на

Рис. 1: (а) - Профиль скорости звука, не зависящий от расстояния, линейный для квадрата коэффициента рефракции, (Ь) - лучевая картина для этого профиля, где прямой линией отмечепа отображенная на рис. (c)-(f) трасса (глубина источника и приемника 60.99 м, протяженность трассы от 0.4572 до 0.9144 км), С расчете был взят 101 луч, распределенный в угловом диапазоне 0° — 25°. На рис. (с) - (f) сплошной линией приведен расчет по программе FFP. На рис. (с),(е) и (f) мелким пунктиром приведен расчет по программе Beams, на (d) - жирным пунктиром — по программе BELLHOP. На рис. (е) и (f) при расчете варьировались параметры ширины пучка. На рис. (с) жирной сплошной линией показан график уровня когда не участвуют отраженные лучи.

поверхности волновода на 0.2° соответствует увеличение на 1 м/с скорости звука, а повышению температуры на глубине 1 км на 0.04° соответствует увеличение скорости звука на 0.2 м/с.

Проведен расчет для однородной гидрологии, характерной для Филиппинского моря для источника, размещенного па глубинах 1000 ми 100 м. Приведено распределение разности времен прихода лучей в зависимости от угла их выхода из источника на расстояния до 700 км. В случае расположения источника на глубине 1000 м на расстоянии 700 км эта разность колеблется возле среднего значения 0.04 с. В случае расположения источника на глубине 100 м эта разность на расстоянии 700 км представляет симметричную относительно центрального луча зависимость с минимумом в центре пучка шириной 2° 0.04 с и максимумом 0.17 с в областях углов ±4°.

Проведен расчет для гидрологии, характерной для Японского моря в летний период источника, размещенного на глубинах 1000 м и 150 м 100 м и 50 м. Приведено распределение разности времен прихода лучей в зависимости от угла их выхода из источника на расстояния до 800 км. В случае расположения источника на глубине 50 м на расстоянии 800 км эта разность в центральном интервале углов шириной 5° составляет не менее 0.4 с. Для источника, расположенного на глубине 1000 м. средняя разность хода лучей имеет тот же характер, что и в случае Филиппинского моря.

На рис. 2 приведены некоторые результаты моделирования эффекта потепления в Филиппинском море (фрагменты 1а, 1Ь, 2а, 2Ь) и в Японском море (фрагменты За, ЗЬ, За, ЗЬ). На фрагментах серии а) приведено время распространения вдоль веера лучей, в зависимости от угла выхода из источника; сплошной линией приведен график, соответствующий обычной гидрологии, пунктирной линией - гидрологии, полученной в результате прогрева. На фрагментах серии Ь) приведены графики разности времен прихода лучей. В случае Филиппинского моря приемники расположены на 700 км, в случае Японского моря - на 800 км. Па фрагментах 1 и \ источник расположен на глубине 100 м, на фрагменте 2 - на 1000 м, на фрагмент« 3 - на 50 м.

Проведенное моделирование показывает возможность глобального акустического мониторинга в масштабе Японского моря. В случае Филиппинского моря результаты существенно слабее с точки зрения мониторинга потепления. Т.о. мониторинг глобального потепления можно производить более эффективно во внутреннем море, где ПЗК достаточно узок.

471.5 471.0 470.5 ' 470.0 1 469.5 469.0 468.5' 468.0

■15 -10 -5 0

Угол «ми сии гучей *i

5 10 15

исгочюп. Г] ал

0.10-

0 00 ' I 1 I 1 I 1 I 1 I 1

-15 -10 -5 0 5 10 15

Угл» «ыхлак хушй Kl иста'вппи. гуад

i1 i ч 1 г

15 -10 -5 0 5 10 15

Угоя кою» яучв» m ясгоопа rput

0.04

0.00

гпт-пт

-15 -10 -5 0 5 10 15

Vro« тшнтшуче* ■» яспрммсЬ tpw

-11 -10 -I -О -Л .J 0 I * t I 10 УУпл mxan аучсй к> imtwi трал

1в -* • 4 I о 1 4 ■ I 10 11 Vm« MKV* яучяН u к-п^маж

Рис. 2: (а) - Моделирование эффекта потопления в Филиппинском море (фрагменты. 1а, lb, 2а, 2Ь) и и Японском море (фрагм. За, ЗЬ, За, üb). На фрагм. серии а) приведено время распространения вдоль веера лучей, в зависимости от угла выхода из источника; сплошной линией приведен график, соответствующий не нагретой гидрологии, пунктирной линией - гидрологии после прогрева. IIa фрагм. серии Ь) приведены графики разности времен прйхода лучей. В случае Филиппинского моря приемники расположены на 700 км, в случае Японского моря - на 800 км. IIa фрагм. 1 и 4 источник расположен на глубине 100 м, на фрагм. 2 - на 1000 м, на фрагм. 3 - на 50 м. . . .

В четвертом разделе рассматриваются задачи численного моделирования распространения звука вдоль неоднородной трассы. В качестве исходных были использованы осредиснные данные натурных измерений в Японском море вдоль трассы мыс Шульца — банка Ямато. Расчеты проводились для источника, расположенного первоначально вблизи дна, на глубине 23 м., при общей глубине в начале координат 25 м. Затем моделировался выход с шельфовой зоны. Приведены расчеты для источника, расположенного на расстоянии 10 км по трассе от начала координат (толщина водного слоя 50 м) и на расстоянии 30 км от начала координат (толщина водного слоя 1200 м). На рис. 3 приведен пример двухмерных распределений гидрологии вдоль трассы — (а), и интенсивности звукового поля — (Ь). Видна четкая взаимосвязь структуры звукового поля с горизонтальной изменчивостью гидрологической структуры и профиля дна.

Основные результаты и выводы проделанной работы:

Проанализирован подход к решению уравнения Гельмгольца для двумерпо-иеодпо-родного океанического волновода в асимптотическом приближении Гауссовых пучков.

Выведены аналитические формулы для решения лучевых динамических уравнений для среды с показателем преломления, квадрат которого описывается двумерной линейной зависимостью. Выведены два вида преобразования динамических переменных на слабых границах внутри волновода, разделяющие области с различным постоянным градиентом квадрата показателя преломления, а так же на отражающих внешних границах волновода. Введено преобразование динамических переменных, являющееся комбинацией обоих типов преобразований. Показано, что полученное преобразование не имеет особенностей при малых углах скольжения лучей к границам. Таким образом, в работе разработан метод, снимающий ограничения на применимость лучевых приближений для малых углов скольжения/отражения.

Показано, что в гладкой среде сохраняются условия существования Гауссовых пучков, а так же то, что преобразования динамических переменных па слабых внутренних границах и на отражающих внешних границах не нарушают условий существования Гауссовых пучков.

Разработан алгоритм автоматического разбиения волновода с кусочно-линейным дном на симплексы, в каждом из которых квадрат показателя преломления представляется линейной функцией двух переменных, с непрерывными границами соединения.

355 R,ku

50 100 150 200 250 300 350 400 Расстояние, км

-160 -150 -140 -130 -120 -110 -100 -90 dB

Рис. 3: Моделирование распространения чвука вдоль неолиоралной трассы в Японском морс, (а) - Распределение скорости звука вдоль трассы. (Ь) - Распределение интенсивности звукового, поля. Источник расположен в переходной зоне от шельфа к глубокому морю на глубине 23 м., на расстоянии 30 км. от начала координат, частота 230 Гц.

Разработан и программно реализован высокоэффективный алгоритм численного решения уравнения Гельмгольца в приближении Гауссовых пучков на регулярной сетке для двумерно неоднородного волновода.

Проведено сравнение предложенного алгоритма с рядом существующих программ для вычисления поля в двумерно-неоднородном волноводе, в том числе, с американской программой BELHOOP, реализующей метод Гауссовых пучков. Результат сравнения показывает, что при наличии малых углов скольжения предложенный алгоритм лучше согласуется с точным решением, чем алгоритм, реализуемый программой BELHOOP.

Приведено сравнение предлагаемого алгоритма с другой программой автора, реализующей метод параболического уравнения для расчета акустического поля на протяженной трассе, пересекающей фронт. Это сравнение показывает возможность использования предлагаемого метода при расчете протяженных трасс. Отличительной чертой предлагаемого метода, выгодно отличающей его от метода параболического уравнения, является быстрота счета (в 1000 раз быстрее) при одинаковой точности.

Рассмотрены численные модели акустической термометрии для целей мониторинга глобального потепления для масштабов внутреннего моря. Моделировалось распределение времени прихода центрального веера лучей па различные дистанции для типичной гидрологии и гидрологии, измененной гипотетическим прогревом за 10 лет.

Проведен так же расчет для горизонтально однородной гидрологии, характерной для Филиппинского моря для источника, размещенного на глубинах 1000 м и 100 м. Приведено распределение разности времен прихода лучей в зависимости от угла их выхода из источника на расстояния до 700 км.

Проведен расчет для гидрологических условий, характерных для Японского моря в летний период (источник размещался на глубинах 1000 м и 150 м 100 м и 50 м.). Приведено распределение разности времен прихода лучей в зависимости от угла их выхода из источника на расстояния до 800 км.

Проведен ряд численных расчетов методом Гауссовых пучков для моделирования распространения звука вдоль неоднородной трассы в Японском море. Расчет проводился для реального акустического эксперимента, состоявшегося в период экспедиции 25 рейса НИС "Академик Лаврентьев" в осепне-зимний период 1995 г. Показана четкая взаимосвязь структуры звукового поля с горизонтальной изменчивостью гидрологической структуры и профиля дна.

Литература

[1] Muni; W.H., Forbes A.M.G. Global ocean warming: an acoustic measure? // .1. Phis. Oceanogr. 198.9. V. 19. P. 1765-1777.

[2] Munk W.H. The Heard Island Experiment // Naval Research Review. 1991. V. 43, P. 2-22.

[3] Porter M.B., Buckcr H.P. Gaussian beam tracing for computing ocean acoustic fields // J. Acoust. Soc. Am., 1987. V. 82. №4, P. 1349-1359.

[4] II. W.Kutschale Rapid computation by wave theory of propagation loss in the arctic ocean. Lamont-Doherty Geophys. Observ. 1973. Columbia U. Tech. Rep. CU-8-73.

[5] R.H. Zhang, Y. He and H. Liu The WKBZ mode approach to sound propagation in range-independent ocean channel // Chinese Journ. of Acoust. 1994. V. 13 №1. P. 1-12

[6] R.H. Zhang, Y. He, H. Liu and V.A. Akulidiev Application of the WKBZ adiabatic mode approach to sound propagation in the Philippine Sea // Journal of Sound and Vibration, 1995. V. 184 №3. P. 439-451.

[7] J.F.Miller, S.N. Wolf Modal Acoustic Transmission Loss (MOATL): A Transmission- Loss Computer Program Using a Normal-Mode Model of the Acoustic Field in the Ocean. NRL Report 8429, 1980. P. 86.

[8] G.II.Knightly, D.Lee, D.F.Mary. Higher-order parabolic wave equation // J. Acoust. Soc. Am. 1987. V. 82 №2. P. 580-587.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[9] Акуличев В.А., Моргунов Ю.Н., Половинка Ю.А., Соловьев А.А., Шеховцов Д.Н. Акустическое зондирование крупномасштабных неоднородностей водной среды в океане //В сб.: Океаническая акустика / Под ред. акад. Л.М. Брехов-ских и Ю.П. Лысанова. Москва: Наука, 1993. С. 142-154.

[10] Акуличев В.А., Дю.гьдина Н.И., Моргунов Ю.Н., Соловьев А.А. Влияние теплого аптициклонического вихря фронтального раздела Куросио на структуру звукового поля //В сб.: Морские технологии / Под ред. акад. М.Д. Агеева. Вып. 1. Владивосток: Дальнаука, 1996. С. 128-145.

[11] Акуличев В.А., Дюльдина II.И., Моргунов Ю.Н., Соловьев А.А., Шеховцов Д.Н. Экспериментальные исследования изменчивости звукового поля в области субарктического фронта в северо-западной части Тихого океана //В сб.:

Морские технологии / Под ред. акад. М.Д. Агеева. Выи. 2. Владивосток: Даль-наука, 1996. С. 102-110.

[12] Соловьев A.A. Об одной задаче в томографии океана //В сб.: Морские технологии / Под ред. акад. М.Д. Агеева. Вып.1. Владивосток: Дальнаука, 1996. С.

[13] Соловьев А.А. О решении динамической системы лучевых уравнений //-В сб.: Информатика в океанологии. Владивосток: Тихоокеанский океанологический институт ДВО РАН, 1996. С. 187-200.

[14] Соловьев А.А. Об особенности метода Гауссовых пучков на слабых границах // В сб.: Морские технологии / Под ред. акад. М.Д. Агеева. Вып.2. Владивосток: Дальнаука, 1998. С. 111-123.

[15] V.A.Akulichev and A.A.Solovyev. Acoustic Thermometry in the North Pacific Ocean and in the Sea of Japan // In: Proc. of The Fifth Western Pacific Regional Acoustic Conference. Seoul: The Acoustical Soc. of Korea, 1994. P. 409-414.

[16] V.A.Akulichev, L,K Bugaeva and A.A.Solovyev. Acoustic Monitoring of the Global Warming in the Ocean // In: Proc. Briges of the Science Between North America and the Russian Far East. The 45th Arctic Sciece Conferebce, Vladivoctok: Dalnauka, 1994. P 155-155.

[17] V.A.Akulichev, L.K. Bugaeva, A.A. Solovyev. Modelling of global acoustic thermometry in the ocean // In: Proc. of The 15th Intern. Congress on Acoustics, Trondheim, Norway, 1995, V. 4. P. 325-328.

[18] Bulanov V.A., Duldina N.I., Raszhivin V.V., Solovyev A.A. Relationship between space-temporal sea medium variability and acoustical signals along the stationary track in the Okhotsk sea // In: Proc. of The Forth Pacific Marine Sci. Org. Vladivostok. 1995.

294-304.

Соловьев Александр Алексеевич

ЛУЧЕВЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ ВЫЧИСЛЕНИЯ АКУСТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В НЕРЕГУЛЯРНЫХ ВОЛНОВОДАХ

АВТОРЕФЕРАТ

Формат 60 х «4/16 Тираж 100 экз. Подписано к печати 12.11.98 г. Бесплатно.

Отпечатано в ИПМТ ДВО РАН. 690600, г.Владивосток, ул.Суханова, 5а.

Текст научной работы диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Соловьев, Александр Алексеевич, Владивосток

российская академия наук дальневосточное отделение институт проблем морских технологий

На правах рукописи

Соловьев Александр Алексеевич

Лучевые методы в задачах вычисления акустических полей в нерегулярных

волноводах

Специальность 01.04.06 - акустика

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель - д.ф.-м.н., проф. чл.-корр. РАН В.А. Акуличев

/[! . у

Владивосток 1998

Содержание

Введение 4

1 Моделирование звуковых полей в нерегулярных волноводах. Обзор литературы 15

2 Основные уравнения лучевого метода 22

2.1 Системы координат..............................................................23

2.2 Уравнения лучевого метода .....................................................29

2.2.1 Уравнение эйконала. Разложение Дебая..............................29

2.2.2 Уравнение эйконала. Принцип Ферма..................................33

2.2.3 Уравнение переноса......................................................35

2.3 Уравнения лучевой динамики ..................................................40

2.3.1 Уравнения Гамильтона-Якоби и геометрическая расходимость . . 40

2.3.2 Гауссовы пучки ................................45

2.4 Поле в окрестности точки на луче..............................................49

2.5 Взаимодействие лучей с границей..............................................55

2.5.1 Преобразование амплитуды и эйконала................................55

2.5.2 Преобразование динамических переменных р ид....................60

2.6 Решение лучевых уравнений в среде с линейным законом для квадрата показателя преломления ...............................................67

2.6.1 Лучевые уравнения......................................................68

2.6.2 Динамические уравнения................................................75

2.6.3 Преобразование величин р ид..........................................78

3 Алгоритмы, тестовые задачи и численные эксперименты 81

3.1 Описание алгоритма..............................................................82

3.2 Тестовые задачи..................................................................88

3.3 Термометрические задачи ......................................................101

3.4 Моделирование нерегулярного волновода......................................110

Заключение 123

Литература 125

Введение

Учет нерегулярности волновода по трассе распространения сигналов не позволяет получать расчетные формулы акустического поля в явном виде, так как переменные в основных дифференциальных уравнениях, описывающих его распределение в пространстве не разделяются. Поэтому приходится прибегать к различным приближенным или численным методам. Для решения практических задач гидроакустики необходимо разрабатывать различные аппроксимирующие модели. Одним из важных направлений развития новых методов и средств расчета акустических полей в океане является разработка численных алгоритмов, позволяющих исследовать различные виды неоднородных океанических волноводов.

В настоящее время для исследования звуковых полей в волноводах разработаны эффек-

тивные численные методы. Одним из них является метод Гауссовых пучков [1-11]. В его основе лежит лучевой метод [12-29], который позволяет решать сложные волновые задачи, недоступные для других методов. Лучевой метод отличает предельная наглядность и физическая ясность интерпретации решения. Кроме того, этот метод позволяет наиболее полно учесть вычислительные возможности современных компьютеров, в особенности многопроцессорных ЭВМ параллельного действия. С другой стороны, к недостаткам лучевого метода относится то, что в областях каустик уравнения, определяющие величину волнового поля становятся сингулярными, и необходимо применять дополнительные методы, как правило, достаточно ресурсоемкие с вычислительной точки зрения [10, 15,21-23]. К недостаткам лучевого метода следует так же отнести резкое убывание до нуля звукового поля при переходе в область тени. Метод Гауссовых пучков был предложен именно для того чтобы разрешить упомянутые недостатки лучевого метода.

Целью настоящей работы является

- описание особенностей лучевых методов на внутренних слабых и на внешних отражающих границах в волноводе,

Научная новизна полученных в работе результатов заключается в следующих положениях

- Впервые предложен метод преобразования динамических переменных лучевых уравнений на слабых и отражающих границах, применимый при малых угла,х скольжения, и, таким образом, в этой области расширяющий границы применения метода Гауссовых пучков;

Научная и практическая значимость работы состоит в расширении области применимости группы лучевых методов, когда лучи пересекают слабую границу внутри области или внешнюю отражающую границу под малым углом. Такое расширение области применимости метода позволяет программно реализовать эффективный алгоритм расчета акустического поля в океанических волноводах различной конфигурации. Результаты численного моделирования распространения звука в Японском море позволяют обосновать возможность глобального акустического мониторинга Мирового океана [30, 31] в масштабе внутреннего моря, что требует существенно меньших средств для его осуществления. Опыт модельных расчетов вдоль длинных акустических трасс и его сопоставление с экспериментальными результатами позволяют подчеркнуть высокую скорость и точность работы предлагаемого алгоритма.

Программы, разработанные автором, использовались в экспедиционных рейсах НИ С "Академик Александр Виноградов", 1990 г., НИС "Академик М.А. Лаврентьев", 1995 г., что нашло отражение в экспедиционных отчетах [32,33], и в работах по темам "Трасса-2-АН-ТОИ" и "Муар-1" [34, 35].

Таким образом, в диссертации получила решение задача эффективеного вычисления акустических полей в нерегулярных волноводах, имеющая существенное значение в акустике океана.

Апробация работы

Результаты, полученные автором, были опубликованы в тематических сборниках с соавторами [36-38], и в индивидуальных работах [39-41], были доложены на международных школах и конференциях: Fifth Western Pacific Regional Acoustic Conference,

Seoul, Korea, 1994 [42], Briges of the Science Between North America and the Russian Far East. 45th Arctic Sciece Conferebce, Vladivoctok, 1994 [43], 15th International Congress on Acoustics, Trondheim, Norway, 1995 [44], Forth Pacific Marine Science Organization, Vladivostok, 1995 [45], а так же на семинарах отдела Гидрофизики ИПМТ ДВО РАН. Кроме того, результаты работы докладывались на семинарах Института проблем морских технологий, Тихоокеанского океанологического института, на семинарах Национальной акустической лаборатории Института Акустики АН КНР (1991, 1993, 1994, рук. проф. Чжан Ренхе), представлялись на другие конференции международного и Российского уровня.

Личный вклад автора состоит в следующем. Автор самостоятельно проводил все теоретические исследования, результаты которых опубликованы в трех работах без соавторов. Во всех работах, связанных с экспериментальным исследованиям вдоль длинных трасс, автором проведена большая часть модельных расчетов. В работах, посвященных глобальному акустическому мониторингу автором разработаны все алгоритмы и программы и проведены все модельные расчеты.

Содержание диссертации

Диссертационная работа относится к теоретическим исследованиям. Структурно диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы (116 наименований). Объем работы — 135 стр., при этом включает титульный лист и оглавление, 4 стр., 106 стр. печатного текста, 40 рисунков.

Во введении показана актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы, дана ее общая характеристика — научная новизна, научная и практическая значимость, отмечен личный вклад автора, формулируются положения, выносимые на защиту.

Глава 2. Основные уравнения лучевого метода

Глава посвящена выводу лучевых уравнений и рассмотрению граничных условий. Гла-

ва состоит из шести разделов.

Во втором разделе дан вывод уравнений лучевого метода из общего волнового уравнения. Выводятся уравнения эйконала, система уравнений лучевых траекторий и система рекуррентных соотношений для уравнений переноса в цилиндрической системе координат. Выводится система уравнений в лучевых координатах для вычисления первой асимптотики для уравнения переноса — так называемая система уравнений лучевой динамики, позволяющая приближенно вычислять волновое поле не только вдоль луча, но также и в его окрестности. Приводится формула, выражающая в общем виде в локальных координатах, связанных с лучом величин}^ звукового поля в окрестности луча:

Здесь Уо - константа, г — расстояние по горизонтали от начала координат (независимая переменная для цилиндрической системы координат), ш — безразмерная круговая частота, г — эйконал, р q — решение динамической системы лучевых уравнений, 5 — натуральный параметр — длина дуги вдоль луча, V — расстояние по нормали от луча, с — скорость звука.

В третьем разделе выводятся уравнения лучевой динамики в канонических Гамильто-новых переменных р ж q. При этом выявляется простой геометрический смысл канонической координаты д — это ширина лучевой трубки или геометрическая расходимость в данной точке на луче. Далее вводится понятие Гауссового пучка. Определяются условия существования Гауссового пучка и доказывается теорема о том, что уравнения лучевой динамики сохраняют условия существования Гауссового пучка вдоль луча, если этим условиям удовлетворяли начальные данные. Обсуждается выбор начальных данных для Гауссовых пучков и определяются значение константы У0 в (0.1).

В четвертом разделе выводятся представление формулы (0.1) для вычисления волнового поля в окрестности произвольной точки луча в декартовых координатах.

(0.1)

В пятом разделе рассматривается преобразование лучевых и динамических уравнений при взаимодействии луча с отражающей и/или преломляющей границей. Выводятся формулы преобразования для волнового вектора при отражении от импедансной границы. В случае слабой границы волновой вектор непрерывен при прохождении луча через такую границу, но канонические переменные уравнений лучевой динамики р и Ч должны быть преобразованы. Пусть 0} — точка взаимодействия луча П с границей £, 5 — точка, расположенная в окрестности точки С}. Тогда величина и в формуле (0.1) вдоль любой траектории, соединяющей ф и й" не зависит от того, рассматриваем ли мы ее в системе координат, связанной с падающим лучом, либо в системе координат, связанной с лучем, провзаимодействовавшим с поверхностью. Предположив, что точка 3 расположена на плоской поверхности £, мы выводим формулы преобразования динамических величин р, 4:

-> тд

Рх = р + 2к(тд)(Чпк)ч, 41 = Ч, к = —, (0.2)

ид

для отраженного от внешней границы луча и

р2 = р + /с(Уп - Уп2,2г/ + кт)ч, = Ч ' (0.3)

для луча, прошедшего через слабую границу. Смысл обозначений в приведенных формулах следующий, т — касательный единичный вектор к падающему лучу в точке О; й — единичный вектор главной нормали к падающему лучу в точке С^. д — единичный вектор границы £; Н — единичный вектор нормали к границе Е, направленный в сторону падающего луча, п — показатель преломления среды;

С другой стороны, предположив, что точка 5* расположена вне поверхности £ так, что прямая (¿Б ортогональна Е, мы получаем следующие формулы для преобразования величин р ид:

тЬь

р1=р + 2(тк)(УпН)[2 + к21]Ч, = «1 = —, (0.4)

ип

р2 - р + «1(Уп - Уп2,2г/ + /С1г)д, <?2 = Ч- (0.5)

для луча отраженного от внешней границы и для прошедшего через слабую границу, соответственно. Каждое из этих преобразований сингулярно вдоль соответствующего направления формулы (0.2) и (0.3) неприменимы при малых углах скольжения, а формулы (0.4) и (0.5) неприменимы при малых углах падения.

Шестой раздел является центральным теоретическим разделом для построения эффективного алгоритма для вычисления акустического поля. Рассматривается случай, когда квадрат показателя преломления среды описывается линейной зависимостью, т.е. его можно представить в виде аффинной формы п2(ж, z) = Ах + Bz + С. В этом случае все выведенные дифференциальные уравнения — уравнение эйконала, система уравнения движения луча и система динамических лучевых уравнений допускают точные решение. Выводятся формулы точных решений для указанных величин. Если функция, представляющая квадрат показателя преломления кусочно-линейна и непрерывна, то в случае ее двумерной неоднородности каждый линейный фрагмент необходимо оказывается треугольным симплексом. В таком случае проблема отыскания стороны симплекса, которую пересекает луч, а также точки пересечения луча с этой стороной элегантно решается при переходе к барицентрическим координатам. Рассматривается методика решения этой задачи. Выводятся также точные формулы вычисления времени вдоль луча, длины вдоль луча.

Глава 3. Алгоритмы, тестовые задачи и численные эксперименты

Глава посвящена прикладным аспектам развитой теории и состоит из трех разделов. В первом из них неформально описываются схемы алгоритмов реализованного автором пакета программ для вычисления лучевых и акустических полей на базе алгоритма автоматического разбиения области на симплексы.

Во втором разделе рассматриваются тестовые задачи и- модельный расчет вдоль протяженной трассы. В этом качестве взяты:

- волновод с постоянным градиентом для квадрата показателя преломления среды и нулевой горизонтальной его компонентой, с источником, помещенным вблизи поверхности и на глубине[46];

- волновод с каноническим профилем скорости звука [47], с глубоким ПЗК и с глубоко размещенным источником;

Эталонным решением задач первого пункта являлось точное решение, реализуемое программой Fast Field Program (FFP) Кутшала и Уэлеса [49], которая использует разло-

жение поля по плоским волнам с применением функций Эйри для полупространства с линей�