Магнитные неоднородности нанометрового размера в 3d-металлах и их сплавах

Тимиргазин, Марат Аликович

Магнитные неоднородности нанометрового размера в 3d-металлах и их сплавах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.11 ВАК РФ

Тимиргазин, Марат Аликович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Ижевск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.11 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Магнитные неоднородности нанометрового размера в 3d-металлах и их сплавах»

Автореферат диссертации на тему "Магнитные неоднородности нанометрового размера в 3d-металлах и их сплавах"

На правах рукописи

Тимиргазин Марат Аликович

МАГНИТНЫЕ НЕОДНОРОДНОСТИ НАНОМЕТРОВОГО РАЗМЕРА В ЗЛ-МЕТАЛЛАХ И ИХ СПЛАВАХ

Специальность 01.04.11 — Физика магнитных явлений

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ижевск - 2009

003467537

Работа выполнена в Физико-техническом институте УрО РАН, г. Ижевск

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук Аржников А.К.

доктор физико-математических наук, профессор Гребенников В.И.

кандидат физико-математических наук, доцент Савинский С.С.

Московский государственный университет, физический факультет, г. Москва

Защита состоится «±5_> мая 2009 г. в*" ч. на заседании диссертационного совета Д 004.025.01 в Физико-техническом институте УрО РАН по адресу: 426000, г. Ижевск, ул. Кирова, д. 132.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физико-технического института УрО РАН и на сайте http://fti.udm.ru

Автореферат разослан апреля 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 004.025.01 ФТИ УрО РАН доктор физико-математических наук / т? ТиторовД.Б.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Магнетизм Зй-переходных металлов и сплавов на нх основе до сих пор остается одним из наиболее запутанных и сложных физических явлений. При этом интерес к изучению данной области продолжает расти с каждым годом. Главным образом это связано с бурным развитием в последние годы спинтроники — области квантовой электроники, в которой используется эффект спинового токопереноса. Наноскопические масштабы спинтронных явлений ускорили и без того идущую интенсивными темпами тенденцию миниатюризации электронных устройств. В настоящее время разработка и создание новых магнитных наноструктур, которые можно использовать в спинтронных и других магнитных устройствах, является одной из приоритетных задач физики твердого тела. Важным аспектом этой задачи является теоретическое описание свойств и условии формирования различных магнитных наноразмерных неоднородностей.

Среди магнитных неоднородностей нанометрового диапазона, формирующихся в магнетиках с коллективизированными электронами, сегодня особое внимание привлекают статические спиновые волны, включающие в себя спиральные спиновые (СС) волны и волны спиновой плотности (ВСП). Это связано с одной стороны с экспериментальным обнаружением этих объектов в различных сплавах Зй-металлов (Си-Мп, Рс1-Мп, Ре-А1) и с другой стороны с потенциально возможным их использованием в спинтронных устройствах. Очень полезным с практической точки зрения явилось бы умение стабилизировать статические спиновые волны и управлять их длиной.

ем в широкой области параметров модели [1,2]. При этом коллинеарные магнитные состояния — ферромагнитное и антиферромагнитное — являются частными случаями СС состояния. Более того, как показывают первопринципные расчеты [3], многие переходные металлы под давлением должны претерпевать переход от коллинеарного упорядочения к СС волнам и лишь затем к немагнитному состоянию. Однако на практике статические спиновые волны наблюдаются достаточно редко. Классическим примером реализации ВСП, которую можно представить в виде двух противоположно направленных СС волн, является хром. Со времени обнаружения ВСП в Сг в 1960-х гг. ведется активное изучение этого состояния, однако до сих пор среди научного сообщества нет единого мнения об основных механизмах возникновения ВСП в нем. Недавно проведенные рентгенодифракционные эксперименты на хроме под давлением [4] подтвердили общую с СС волнами природу формирования ВСП. Полученная в этих экспериментах экспоненциальная зависимость амплитуды ВСП, волны зарядовой плотности и температуры Нееля от давления (постоянной решетки) свидетельствует о наличии псевдощели в электронной плотности состояний на уровне Ферми.

Вопрос об условиях формирования статических спиновых волн в магнетиках с коллективизированными электронами далек от окончательного разрешения. Результаты, полученные с помощью модели Хаббарда, не точны и не согласуются друг с другом. В частности, рассчитанные в работах [1, 2] фазовые диаграммы для плоской прямоугольной решетки отличаются друг от друга как формой, так и набором реализующихся фаз. Кроме того остается пробел относительно изучения трехмерных решеток, так как до сих пор изучались лишь двумерные системы.

Отдельного упоминания заслуживает известная нерешенная проблема, связанная с неудовлетворительным описанием ВСП в Сг с помощью первопрйнципных методов расчета электронной структуры. Ни один из примененных методов, вне зависимости от приближения для обменно-корреляционного потенциала, не дает ВСП в Сг в качестве основного состояния [5, 6].

Другим объектом, в котором реализуется статическая спиновая вол-

на, является частично упорядоченный сплав Fe-Al. В работе [7] с помощью нейтронографических исследований было обнаружено, что в области концентраций от 34 до 43 ат.% Al в сплаве существует ВСП, несоизмеримая с постоянной решетки. Сплав Fe-Al давно привлекает к себе внимание исследователей благодаря наличию целого ряда свойств, таких как тугоплавкость, коррозийная стойкость и др., делающих его использование перспективным в различной экстремальной технике. Магнитная структура сплава очень сложна и связано это не только с наличием в нем спиновых волн. В указанном выше диапазоне концентраций наблюдается аномальное поведение магнитных характеристик сплава, в частности, происходит резкое уменьшение намагниченности, при этом насыщение отсутствует даже при сильных полях. В настоящее время нет общепринятого мнения о том, какое магнитное состояние реализуется в рассматриваемом диапазоне концентраций, однако результаты экспериментальных работ последних лет свидетельствуют в пользу предположения о кластерной структуре сплава Fe-Al при высоких температурах. Вид кривых намагниченности сплава РеббА1з4, представленных в работе [8], соответствует суперпарамагнитному состоянию, но количественного описания этого состояния на данный момент нет.

Не менее важным является изучение магнитных неоднородностей, возникающих на поверхности металлов. В частности, интерес представляет магнетизм изолированных магнитных примесей Зй-металлов в немагнитном материале. В таких условиях могут проявляться различные эффекты, такие, например, как эффект Кондо, количественное описание и условия возникновения которого до сих пор остаются под вопросом. Считается общепринятым, что величина магнитного момента растет при уменьшении координационного числа, в частности, при помещении атома на поверхность. Это утверждение было подтверждено в 1990-е гг. с помощью первопринципных расчетов магнетизма примесного атома 3d-металла, лежащего в поверхностном слое меди [9]. Однако результаты более поздней работы, в которой данная задача была решена с помощью другого метода, свидетельствуют о противоположном поведении магнитного момента [10].

Таким образом, можно констатировать, что в отношении свойств и условий формирования магнитных неоднородностей нанометрового размера остается немалое количество вопросов и противоречий. С учетом той практической и теоретической значимости, которую имеет объект изучения для современной науки, разрешение этих вопросов является чрезвычайно важной и актуальной задачей.

Целью работы являлось комплексное теоретическое исследование условий образования и характеристик нанометровых неоднородностей, формирующихся в магнитных структурах 3(¿-металлов и их сплавов, а именно: статических спиновых волн (ВСП и СС волны), магнитных кластеров в суперпарамагнетике, и магнетизма изолированной примеси З^-металла на поверхности немагнитного материала.

В соответствии с целью работы были поставлены следующие задачи;

1. Исследовать условия формирования СС волны в магнетиках с коллективизированными электронами. Найти причину несогласованности имеющихся результатов для двумерной решетки. Рассмотреть случай трехмерной кубической решетки.

2. Провести сравнительный анализ результатов расчетов ВСП в Сг, полученных с помощью разных первопринципных методов. Изучить возможность стабилизации ВСП в Сг при учете анизотропии кристаллической решетки.

3. Построить модель, позволяющую описать суперпарамагнитное поведение сплава РеббА1з4. В рамках этой модели определить параметры, описывающие магнитную кластерную структуру сплава.

4. Провести анализ существующих противоречий относительно магнетизма изолированной примеси Зс^-переходного металла, находящейся на поверхности меди.

Научная новизна результатов, полученных в диссертации:

1. Получены дополнительные данные, подтверждающие тенденцию увеличения магнитного момента одиночной примеси Зс^-металла на поверхности меди по сравнению с моментом ггримеси в объеме меди.

2. Показано, что результаты первопринципных расчетов основного состояния в Сг не зависят от характера применяемого вычислительного метода (линейный или нелинейный). Получены данные, свидетельствующие о том, что одноосное растяжение решетки не может стабилизировать ВСП в Сг.

3. Впервые высказано предположение об иерархическом распределении магнитных кластеров в сплаве РеббА134. На основе этого предположения была построена модель, позволяющая описать экспериментальную кривую намагниченности сплава. Найдены параметры, определяющие магнитную кластерную структуру сплава.

4. Впервые в рамках модели Хаббарда изучено СС состояние в плоской прямоугольной решетке с учетом возможной ненулевой проекции спинов на направление СС волны. Впервые построена фазовая диаграмма СС состояния для кубической решетки. Проведен анализ имеющихся в литературе противоречий относительно вида фазовой диаграммы СС состояния для плоской прямоугольной решетки.

Научная и практическая ценность работы состоит в получении и анализе новых результатов, которые являются важными как для понимания фундаментальных свойств магнитных наноструктур, так и для развития технологий получения наноматериалов с заданными свойствами.

На защиту выносятся:

1. Утверждение об увеличении магнитного момента одиночного примесного атома Зс?-металла, находящегося на поверхности меди, по сравнению с моментом атома, помещенного в объем меди. Вывод об отсутствии заметного зарядового и спинового переноса между примесным атомом и его ближайшими соседями.

2. Вывод об отсутствии положительного влияния анизотропной деформации решетки хрома на стабилизацию состояния ВСП в нем. Анализ влияния нелинейного характера первопринципных вычислений на энергетику состояния ВСП.

3. Модель иерархического распределения магнитных кластеров, позволяющая описать суперпарамагнитное состояние сплава РеббА1з4. Расчет параметров, определяющих магнитное состояние сплава.

4. Магнитная фазовая диаграмма СС состояния для двумерной прямоугольной решетки с учетом возможной ненулевой проекции спинов на направление СС волны, рассчитанная в рамках модели Хаббар-да. Анализ причин расхождения результатов, полученных в предыдущих работах другими авторами. Расчет магнитной фазовой диаграммы для кубической решетки.

Апробация результатов работы. Материалы, вошедшие в диссертацию, опубликованы в 10 работах, из которых 4 статьи и 6 тезисов в сборниках докладов и трудов конференций (список публикаций представлен в конце автореферата). Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и симпозиумах: Moscow International Symposium on Magnetism (MISM), Москва (2005, 2008); Конференция молодых ученых (КоМУ), Ижевск (2005); XXXI, XXXII Международная зимняя школа физиков-теоретиков "Коуровка", "Дальняя дача", Кыштым, Челябинская обл. (2006), "Зеленый мыс", Новоуральск, Свердловская обл. (2008); Euro-Asian Symposium "Magnetism on Nano-scale" (EASTMAG), Казань (2007).

Личный вклад соискателя.

Все результаты, представленные в работе, получены лично автором. Самостоятельно проведены численные и аналитические расчеты. Постановка задачи, выбор методов решения и обсуждение результатов проводились совместно с научным руководителем.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения, списка публикаций и списка цитируемой литературы из 147 наименований. Общий объем работы составляет 116 страниц машинописного текста, включая 41 рисунок и 5 таблиц.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность исследования рассматриваемых в диссертации проблем и сформулированы цель и задачи работы.

Первая глава представляет собой обзор литературы. В параграфе 1.1 дается общая характеристика неколлинеарных магнитных структур, формирующихся в магнетиках с коллективизированными электронами. Рассматриваются физические механизмы, обуславливающие возможность стабилизации СС волн в магнетиках. Приводятся примеры материалов, в которых СС структура реализуется в природе. Отдельно обсуждаются имеющиеся на данный момент результаты по описанию СС состояния в рамках модели Хаббарда. Параграф 1.2 посвящен обзору теоретических и экспериментальных данных, касающихся состояния ВСП в хроме. Подробно рассматривается проблема расчета ВСП в хроме в рамках первопринципных методов расчета зонной структуры твердых тел. Параграф 1.3 охватывает все основные данные, имеющиеся в литературе, относительно магнитного состояния сплава Fe-Al. Описан ряд сохраняющихся до сих пор разногласий и противоречий, связанных с определением магнитного состояния сплава в диапазоне 25-43 ат. % Al. Наконец, в параграфе 1.4 рассматривается проблема магнетизма примесного атома Зй-металла, помещенного в поверхностный слой меди. Отмечены противоречия в результатах работ, в которых данная задача решалась с помощью различных первопринципных методов.

Вторая глава посвящена изучению магнетизма примеси 3 ¿-металла на поверхности меди. Рассмотрен вопрос, можно ли распространить на такую систему общее утверждение об увеличении магнитных моментов на поверхности по сравнению с объемом из-за уменьшения координационного числа.

Задача о нахождении магнитного момента примесного атома 3d-Me-талла на поверхности меди уже изучалась ранее. В работе [9] использовался метод Корринги-Кона-Ростокера (KKR) и было получено, что момент изолированных примесных атомов Зс!-металлов на поверхности заметно возрастает по сравнению с объемом. Позднее эта задача была

вновь решена с помощью метода TB-LMTO ("tight-binding linear-muffin-tin-orbital") [10]. Авторы этой работы получили противоположные результаты. Они обнаружили, что момент изолированных примесных атомов 3d-металлов на поверхности меди уменьшается по сравнению с объемом, причем на поверхности происходит сильный перенос магнитного момента и заряда между примесным атомом и соседними атомами меди. Несоответствие результатов авторы работы [10] объясняли недостатками (с их точки зрения) расчетной модели, использованной в [9]. В этой модели решение уравнения Дайсона проводилось на очень ограниченном атомном кластере, включающем в себя лишь первых ближайших соседей примесного атома.

С целью прояснения ситуации нами были проведены расчеты электронной структуры как чистой объемной меди и ее поверхностей (001) и (111), так и при наличии примесных атомов Зй-металлов: хрома, марганца и железа. Электронная структура рассматриваемой системы была вычислена с помощью первопринципного экранированного KKR метода (SKKR), который хорошо адаптирован для расчета систем, содержащих изолированные примеси и имеющих большую элементарную ячейку. При решении уравнения Дайсона, в отличие от работы [9], мы учитывали кластер, включающий в себя первые четыре координационные сферы вокруг примесного атома.

Были рассчитаны магнитные моменты примесных атомов Сг, Мп и Fe, лежащих в поверхностном слое Си(001). Результаты этих расчетов приведены в табл. 1. Также в этой таблице приведены данные о магнитном моменте на соседних с магнитной примесью атомах Си.

Таблица 1: Магнитные моменты (дв) примесных атомов Сг, Мп, Ре и ближайших к ним атомов меди, лежащих в поверхностном слое Си(001) пленки.

Сг, Си Мп, Си Fe, Си

[9] (10] SKKR 3.74, -2.83, 0.26 3.70, 0.06 3.95, -3.36, 0.26 3.99, 0.04 2.89, -1.94, 0.21 2.98, 0.02

В работе [9] отсутствуют количественные данные по магнитным моментам для атомов Си, соседних с примесью, но говорится об отсутствии у этих атомов заметных магнитных свойств. Таким образом, имеется хорошее согласие наших результатов с результатами работы [9]. Можно сделать вывод, что допущение модели, использованной в [9], представляется не таким грубым, как утверждают авторы [10]. Наши результаты согласуются с работой [9] также и по соотношению величин магнитных моментов примеси в поверхностном слое Си(001) пленки и в объеме Си.

Таблица 2: Магнитные моменты (р.¡з) примесных атомов Сг, Мп и Ре в объеме Си и в поверхностном слое Си(001).

Сг Мп Ре

объем (001) объем (001) объем (001)

[9] 3.05 3.74 3.47 3.95 2.58 2.89

[10] 3.11 2.83 3.84 3.36 2.31 1.94

экки. 3.02 3.70 3.55 3.99 2.72 2.98

В табл. 2 приведены магнитные моменты примесных атомов Сг, Мп и Ре, погруженных в объем Си. Для сравнения в этой же таблице продублированы данные из табл. 1, относящиеся к примеси на поверхности Си(001). Видно, что наши результаты согласуются с работой [9] в том, что момент примеси на поверхности больше чем в объеме. Соответственно, противоположные результаты, полученные в работе [10], не находят подтверждения. Причиной этому может служить некорректность расчетной модели, использованной в [10]. Авторы этой работы использовали модельный гамильтониан с ограничением радиуса взаимодействия до вторых ближайших соседей, что для данной расчетной схемы, по-видимому, является недостаточным.

В третьей главе приведены результаты исследований волны спиновой плотности (ВСП) в хроме в рамках первопринципных методов расчета электронной структуры.

Известно, что магнитная структура Сг в основном состоянии представляет собой несоизмеримую ВСП с периодом «21 постоянная ре-

шетки. Поверхность Ферми Сг обладает особым свойством, называемом нестингом, которое приводит к тому, что парамагнитное состояние становится нестабильным по отношению к формированию В СП в системе.

Исследование ВСП в Сг с помощью первопринципных методов расчета электронной структуры твердых тел стало возможным относительно недавно. В 2002 г. были опубликованы работы, в которых расчет ВСП в Сг проводился с помощью различных линейных первопринципных методов (ЬМТО-АБА, РЬАРШ, VASP-PAW) [5, 6]. Результаты этих работ хорошо согласуются друг с другом, и ВСП не является основным состоянием ни в одной из примененных расчетных схем. Полная энергия антиферромагнитного (АФ) состояния оказывается ниже чем энергия состояния ВСП. При этом АФ состояние является основным при использовании приближения обобщенного градиента (ССА) для обменно-корреляционного потенциала, а при использовании приближения локальной спиновой плотности (ЬБОА) основным состоянием является немагнитным (НМ), так как при равновесной постоянной решетки в этом случае других состояний не существует. В опубликованной ранее работе [11], в которой для расчетов применялся нелинейный метод ККБ. в приближении ЬБОА, были получены иные результаты: при равновесной постоянной решетки основным состоянием является НМ состояние, но при больших постоянных решетки минимальным по энергии становится состояние ВСП.

Таким образом, на сегодняшний день ни один из примененных первопринципных методов расчета не дает ВСП в Сг в качестве основного состояния. При этом существуют различия в результатах, даваемых линейными первопринципными методами (ЬМТО-АБА, РЬАРШ, УАБР-РАЛ¥) и нелинейным методом ККЯ. Можно предположить, что именно линейность или нелинейность метода определяет соотношение энергий между АФ и ВСП состояниями. Выяснить справедливость такого предположения — было одной из задач данной главы.

Другая задача состояла в исследовании возможности стабилизации ВСП в Сг с помощью одноосного растяжения решетки. В таких условиях возможно увеличение конгруэнтности различных участков поверхности

Ферми, что может привести к усилению нестинга и, как следствие, к понижению полной энергии состояния ВСП.

Для расчетов использовался экранированный КК11 метод, апробированный нами в предыдущей главе. Выбор метода был обусловлен его нелинейностью и адаптированностью к расчету систем с большой элементарной ячейкой. Период ВСП принимался равным 20 постоянным решетки. Значение постоянной решетки, а также масштаб необходимых растяжений были найдены из первоначально проведенного исследования АФ состояния.

Таблица 3: Разность полных энергий ВСП и АФ состояния (т11у/атом) при одноосном растяжении решетки (%).

Растяжение решетки Esdw - Eaf

0 0.444

1 0.196

1.79 0.389

Полученные данные приведены в табл. 3. В отсутствии растяжений было получено, что полная энергия АФ состояния ниже чем энергия состояния ВСП. При одноосном растяжении решетки на 1% разница в энергии сокращается, однако при дальнейшем растяжении она вновь увеличивается. Таким образом, можно сделать вывод о том, что одноосное растяжение не может стабилизировать ВСП в Сг в качестве основного состояния. Нелинейный характер метода SKKR не меняет соотношения энергий ВСП, АФ и НМ состояний по сравнению с результатами, полученными с помощью линейных методов.

В четвертой главе рассматривается суперпарамагнитное поведение сплава Fe-Al.

В работе [8] представлены экспериментальные кривые намагниченности в зависимости от внешнего магнитного поля, отнесенного к температуре, полученные для сплава Fe-Al с 34 ат.% А1 при разных температурах (рис. 1). На рисунке видно, что выше температуры 7j = 150 К кривые намагниченности начинают сливаться друг с другом, а насыщение не

Рис. 1: Намагниченность а в зависимости от магнитного поля, отнесенного к температуре (HjT), при температурах от 50 до 300 К. Данные из эксперимента [8J.

достигается даже при высоких полях /i/Т ~ 3 х 104 А/(м-К). Такое поведение является характерным для суперпарамагнитного состояния. Это значит, что в сплаве существуют магнитные кластеры, которые различаются по размеру и практически не взаимодействуют между собой.

В главе показано, что наиболее естественным с физической точки зрения и наиболее адекватным с точки зрения описания экспериментальных данных является предположение об иерархической (фрактальной) структуре магнитных кластеров в сплаве. Такие системы рассматриваются в теории перколяции, и для них получено, что распределение кластеров по размеру имеет следующий вид:

где s — размер кластера (количество атомов Fe), s^ — размер максимального кластера в системе, т — критический индекс (т > 1). Для такого распределения в рамках классического статистического подхода нами было найдено выражение для намагниченности сплава:

"-■M-'wat^K^-ss). и

3min

где 5т£п — размер минимального кластера в системе, то — средний момент на атоме Ре.

Рис. 2: Экспериментальные точки намагниченности и теоретическая кривая, полученная в предположении об иерархической структуре кластеров в сплаве РвббА1з4.

Индекс т соотношением т = <5-1 + 2 связан с другим критическим индексом определяющим поведение намагниченности М ~ (h/T)l/s при h/T —> 0. Аппроксимируя экспериментальные точки вблизи нуля, можно найти S — 1.49 и, следовательно, г = 2.67 (вставка к рис. 2). С учетом найденного г наилучшее совпадение с экспериментом происходит при smin и 62 и то0 » 0.44/лв (рис. 2).

В пятой главе проводится исследование условий формирования спиральной спиновой структуры (СС) в магнетиках с коллективизированными электронами.

Для изучения спирального спинового упорядочения была использована модель Хаббарда, гамильтониан которой выглядит следующим образом: 1 U

tctc>+s* + 2N 2 ' (3)

где первое слагаемое описывает кинетическую энергию перескока электронов с узла на узел (предполагается, что возможны перескоки только на соседние узлы), а второе — кулоновскую энергию отталкивания элек-

тронов, находящихся на одном узле. Соответственно, t в (3) представляет собой матричный элемент перескока электронов на соседний узел, U — параметр кулоновского отталкивания, и cjiCr — операторы рождения и уничтожения электрона на узле j со спином сг,5 — единичные вектора, соединяющие узел j с его ближайшими соседями, N — количество узлов в решетке.

С помощью тождественных преобразований можно представить гамильтониан в виде:

Я = Яо + Hint, (4)

где

Яо = U U - + I£ tcfc+b, + (Tnj ~ 2M(6jSj)) '

j,i,cr

Я;

int

Здесь ej — ось квантования на узле j, Sj — спин на узле j, nei и М — средние величины числа электронов и магнитного момента на узле. Решение задачи с полным гамильтонианом Я является чрезвычайно сложной задачей — для подобных гамильтонианов получено немного математически точных результатов. В этой связи целесообразно перейти к приближению среднего поля, которое в данном случае заключается в пренебрежении Hint.

Мы предполагаем, что распределение по узлам намагниченности представляет собой СС структуру, при этом магнитный момент вращается в плоскости ху и наклонен на угол ф по отношению к оси г (рис. 3), то есть оси квантования на узлах:

ej — ех sin ф cos QRj + еу sin ф sin QRj + ег cos ф. (5)

Рис. 3: СС структура

Гамильтониан Н0 можно привести к диагональному виду:

Яо = и (м2 - + i £ |eíMiMk + e*+pBk++QBk+Q} . (6) ^ ' k

Для определения основного магнитного состояния необходимо при фиксированных параметрах U/t, Q и ■ф решить систему из двух самосогласованных уравнений, одно из которых определяет магнитный момент М, а другое — связывает число электронов пег и уровень Ферми ер'-

1 eF

! «г " (7)

М = 2JV И ("к - nkW (sin 20k sin -ф + cos 2(9k cos Ф).

Основное состояние определяется минимизацией полной энергии системы

Ess(Q, Ф) = (0|Я0|0) = t/(M2 - ^) + i f>X + &q<q) (8)

по всем возможным векторам Q и углам ф.

Магнитная фазовая диаграмма для плоской прямоугольной решетки, получаемая в приближении среднего поля, имеет вид, представленный на рис. 4. Область СС состояния включает в себя ферромагнитную и антиферромагнитную области, а также области, соответствующие направлениям волнового вектора [Q,Q], [Q,тг], [0,7г] и [О, Q], Параметров, при которых основным состоянием становилось бы состояние с ненулевой ¿-компонентой обнаружено не было.

Линия, отделяющая область парамагнитного состояния от области СС состояний, определяется уравнением:

U o N^el-e^ ^

которое можно назвать обобщенным критерием Стонера для СС состояния.

Рис. 4: Фазовая диаграмма СС состояния для плоской прямоугольной решетки. Диаграмма симметрична относительно линии п^ — 1, поэтому показана лишь одна ее половина.

Рис. 5: Фазовая диаграмма СС состояния для кубической решетки.

Фазовые диаграммы, вычисленные ранее, в частности, в работе (1}, недостаточно точны и не учитывают состояния [О, С)]. Результаты работы [2], в которой была получена стабилизация состояния [ФьФг], ошибочны по причине неправильного вычисления полной энергии (авторы

не учитывали член с М2 в (8)).

Впервые была построена фазовая диаграмма модели Хаббарда с учетом СС состояний для кубической решетки (рис. 5).

Основные результаты и выводы

1. Результаты проведенных в работе первопринципных расчетов подтверждают тенденцию увеличения магнитного момента атома примеси Зй-металла на поверхности меди по сравнению с моментом примеси в объеме меди.

В отличие от работы [10], не было найдено существенного переноса заряда и магнитного момента между атомом примеси и соседними атомами меди. Наши результаты хорошо согласуются с результатами работы [9]. Данные работы [10] представляются некорректными по причине использованного модельного гамильтониана для решения задачи.

2. В отличие от предыдущих вычислений ВСП в Сг нелинейным методом KKR [11], в наших расчетах, которые были проведены с помощью экранированного метода KKR, не было обнаружено того, что состояние ВСП обладает меньшей полной энергией чем АФ состояние. Можно сделать вывод, что результаты работы [И] объясняются не нелинейным характером вычислений, а особенностями использованного вычислительного метода.

Изучение влияния одноосного растяжения решетки на энергетику состояния ВСП показало, что хотя растяжение и уменьшает разницу в энергии между ВСП и АФ состояниями, но все же не может стабилизировать ВСП как основное состояние в системе.

Fe-Al. Показано, что данное выражение хорошо описывает экспериментальное поведение намагниченности сплава РеббА1з4 во внешнем поле, отнесенном к температуре. В рамках модели найдены основные параметры сплава РеосА1з4, определяющие его магнитное состояние: минимальный размер кластера smm ~ 62, величина магнитного момента на атоме Fe тпо ~ 0.44/¿в, критический коэффициент теории перколяции г — 2,67.

4. В рамках модели Хаббарда проведено исследование СС состояния, в котором магнитный момент вращается в плоскости ху и имеет ненулевую 2-компоненту. Показано, что любое отклонение 2-компоненты от нуля приводит к увеличению полной энергии системы для всех исследованных параметров модели.

Рассчитана фазовая диаграмма СС состояния в приближении среднего поля для плоской прямоугольной решетки. Наши вычисления являются более точными по сравнению с аналогичными расчетами, выполненными авторами работ [1, 2). Установлено, что в определенной области параметров модели реализуется не упоминавшееся в предыдущих работах СС состояние с направлением волны [0, Q\. Впервые построена фазовая диаграмма СС состояния для кубической решетки.

Основные результаты диссертации изложены в следующих публикациях:

1. Arzhnikov А.К., Fedorov D.V., Dobysheva L.V., Timirgazin М.А. Magnetism of a single transition-metal impurity on the [001J surface of Cu and in the bulk // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 2006. - Vol. 300. - Pp. e556-e558.

2. Тимиргазин M.A., Аржников A.K. Первопринципные расчеты волны спиновой плотности в Сг с учетом анизотропии кристаллической решетки // Химическая физика и мезоскопия. — 2008. — Т. 10, №2. - С. 232-238.

3. Arzhnikov А.К., Dobysheva L.V., Timirgazin M.A. Formation and ordering of local magnetic moments in Fe-Al alloys // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. - 2008. - Vol. 320. — Pp. 1904-1908.

4. Timirgazin M.A., Arzhnikov A.K. Conditions for the spin-spiral state in itinerant magnets //Solid State Phenomena. — 2009. — Vol. 152-153.

- Pp. 559-562.

5. Arzhnikov A.K., Fedorov D. V., Dobysheva L. V., Timirgazin M.A. Magnetism of a single transition-metal impurity on the [001] surface of Cu and in the bulk // Book of Abstracts of Moscow International Symposium on Magnetism (MISM). — Moscow. — 2005. — P. 546.

6. Тимиргазин M.A. Первопринципные расчеты основного состояния хрома при наличии пространственной анизотропии кристаллической решетки // Сборник тезисов докладов конференции молодых ученых (КоМУ). - Ижевск. - 2005. - С. 62.

7. Тимиргазин М.А., Аржников А.К., Федоров Д.В. Магнетизм примесных атомов Зй-металлов на поверхности и в объеме меди // Тезисы докладов XXXI Международной зимней школы физиков-теоретиков "Коуровка". — Екатеринбург. — 2006. — С. 50.

8. Arzhnikov А.К., Timirgazin M.A. First-principles calculations of spin-density wave in Cr taking into account anisotropy of crystallographic lattice // Abstract Book of Euro-Asian Symposium "Magnetism on Nano-scale"(EASTMAG). - Kazan. - 2007. - P. 275.

9. Тимиргазин M.A., Аржников A.K. Условия формирования спиральных спиновых структур в магнетиках с коллективизированными электронами // Тезисы докладов XXXII Международной зимней школы физиков-теоретиков "Коуровка". — Екатеринбург. — 2008.

- С. 180.

10. Timirgazin М.А., Arzhnikov A.K. Conditions for the spin-spiral state in itinerant magnets // Book of Abstracts of Moscow International Symposium on Magnetism (MISM). — Moscow. — 2008. — P. 522.

Список литературы

[1] Dzierzawa М. Hartree-fock theory of spiral magnetic order in the 2-d hubbard model // Z. Phys. B. - 1992. - Vol. 86. - Pp. 49-52.

[2] Liu B.-G. Incommensurate antiferromagnetic orders and peculiar electronic structures in the doped hubbard model // Journal of Physics: Condensed Matter.- 1994. - Vol. 6, no. 30. - Pp. L415-L421.

[3] Lizdrraga R., Nordstrom L., Bergqvist L., Bergman A., Sjdstedt E., Mohn P., Eriksson 0. Conditions for noncollinear instabilities of ferromagnetic materials // Phys. Rev. Lett. — Sep 2004. — Vol. 93, no. 10. — P. 107205.

[4] Feng Y., Jaramillo R., Srajer G., Lang J. C., Islam Z., Samayazu-lu M. S., Shpyrko O. G. et al. Pressure-tuned spin and charge ordering in an itinerant antiferromagnet // Physical Review Letters. — 2007. — Vol. 99, no. 13. - P. 137201.

[5] Cottenier S., Vries B. D., Meersschaut J., Rots M. What density. functional theory can tell us about the spin-density wave in cr // J.

Phys.: Condens. Matter. - 2002. - Vol. 14. - Pp. 3275-3283.

[6] Hafner R., Spisak D., Lorenz R., Hajner J. Does density-functional theory predict a spin-density-wave ground state for cr? //J. Phys.: Condens. Matter. -2002. -Vol. 14.-Pp. 2119-2120.

[7] Noakes D. R., Arrott A. S., Belk M. G., Deevi S. C., Huang Q. Z., Lynn J. W., Shull R. D., Wu D. Incommensurate spin density waves in iron aluminides // Phys. Rev. Lett. — Nov 2003. — Vol. 91, no. 21. — P. 217201.

[8] Елсуков E. П., Воронина E. В., Королев А. В., Gaczynski P., Drulis H. Температурное поведение магнитных свойств упорядоченного по Ь2-типу сплава fe(66)al(34) // ФММ. - 2004. - Т. 98, № 5. -С. 30-36.

[9] Lang P., Stepanyuk V. S., Wildberger K., Zeller R., Dederichs P. H. Local moments of 3d, 4d, and 5d atoms at cu and ag (001) surfaces // Solid State Comm. - 1994. - Vol. 92. - Pp. 755-759.

[10] Yang C.-K. Magnetism on cu(001) due to a single transition-metal impurity // Journal of the Physical Society of Japan. — 2000.— Vol. 69, no. 9. - Pp. 2973-2976.

[11] Hirai K. Magnetism in spin-density-wave chromium from first-principles calculation // Journal of the Physical Society of Japan. — 1997. — Vol. 66, no. 3. - Pp. 560-563.

Отпечатано с оригинал-макета заказчика

Подписано в печать 07.04.2009. Формат 60x84 1/16. Тираж 100 экз. Заказ № 523.

Типография ГОУВПО «Удмуртский государственный университет» 426034, Ижевск, ул. Университетская, 1, корп. 4.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Тимиргазин, Марат Аликович

Введение

1 Литературный обзор

1.1 Неколлинеарный магнетизм.

1.1.1 Типы магнитных упорядочений.

1.1.2 Исследование СС структуры в рамках модели Хаб-барда.

1.2 Волна спиновой плотности в Сг.

1.2.1 Экспериментальные данные.

1.2.2 Теоретические данные.

1.3 Магнитные состояния в сплаве Ре-А1.

1.4 Магнетизм примеси 3¿-металла на поверхности меди

2 Магнетизм примеси 3(1—металла на поверхности меди

2.1 Постановка задачи и практические аспекты расчетов

2.2 Результаты.

2.3 Выводы.

3 Первопринципные расчеты волны спиновой плотности в Сг с учетом анизотропии кристаллической решетки

3.1 Постановка задачи.

3.2 Вычислительный метод.

3.3 Результаты.

3.3.1 Антиферромагнетизм.

3.3.2 Волна спиновой плотности

3.4 Выводы.

4 Суперпарамагнитное поведение сплава Ее-А

4.1 Постановка задачи.

4.2 Модель и результаты.

4.3 Выводы.

5 Условия формирования спиральной спиновой структуры в магнетиках с коллективизированными электронами

5.1 Постановка задачи.

5.2 Модель и результаты.

5.3 Выводы.

Введение диссертация по физике, на тему "Магнитные неоднородности нанометрового размера в 3d-металлах и их сплавах"

Актуальность темы. Магнетизм Зй-переходных металлов и сплавов на их основе до сих пор остается одним из наиболее запутанных и сложных физических явлений. При этом интерес к изучению данной области продолжает расти с каждым годом. Главным образом это связано с бурным развитием в последние годы спинтроники — области квантовой электроники, в которой используется эффект спинового токопереноса. Наноскопическис масштабы спинтронных явлений ускорили и без того идущую интенсивными темпами тенденцию миниатюризации электронных устройств. В настоящее время разработка и создание новых магнитных наноструктур, которые можно использовать в спинтронных и других магнитных устройствах, является одной из приоритетных задач физики твердого тела. Важным аспектом этой задачи является теоретическое описание свойств и условий формирования различных магнитных наноразмерных неоднородностей.

Среди магнитных неоднородностей нанометрового диапазона, формирующихся в магнетиках с коллективизированными электронами, сегодня особое внимание привлекают статические спиновые волны, включающие в себя спиральные спиновые (СС) волны и волны спиновой плотности (ВСП). Это связано с одной стороны с экспериментальным обнаружением этих объектов в различных сплавах Зс£-металлов [1-3] и с другой стороны с потенциально возможным их использованием в спинтронных устройствах [4]. Очень полезным с практической точки зрения явилось бы умение стабилизировать статические спиновые волны и управлять их длиной.

В настоящее время известно, что причиной возникновения статических спиновых волн является кулоновское взаимодействие электронов с противоположными спинами и с импульсами, отличающимися на вектор (3- Это взаимодействие приводит к появлению псевдощели на уровне Ферми и понижению полной энергии [5]. В рамках простых приближений двумерной модели Хаббарда было показано, что в магнетиках с коллективизированными электронами СС волна является основным состоянием в широкой области параметров модели [6, 7]. При этом коллине-арные магнитные состояния — ферромагнитное и антиферромагнитпое — являются частными случаями СС состояния. Более того, как показывают первопринципные расчеты [5], многие переходные металлы под давлением должны претерпевать переход от коллинеарного упорядочения к СС волнам и лишь затем к немагнитному состоянию. Однако на практике статические спиновые волны наблюдаются достаточно редко. Классическим примером реализации ВСП, которую можно представить в виде двух противоположно направленных СС волн, является хром. Со времени обнаружения ВСП в Сг в 1960-х гг. ведется активное изучение этого состояния, однако до сих пор среди научного сообщества нет единого мнения об основных механизмах возникновения ВСП в нем. Недавно проведенные рентгенодифракционные эксперименты на хроме под давлением и на хроме, допированном ванадием [8, 9], подтвердили общую с СС волнами природу формирования ВСП. Полученная в этих экспериментах экспоненциальная зависимость амплитуды ВСП, волны зарядовой плотности и температуры Нееля от давления (постоянной решетки) свидетельствует о наличии псевдощели в электронной плотности состояний на уровне Ферми.

Вопрос об условиях формирования статических спиновых волн в магнетиках с коллективизированными электронами далек от окончательного разрешения. Результаты, полученные с помощью модели Хаббарда, не точны и не согласуются друг с другом. В частности, рассчитанные в работах [6, 7] фазовые диаграммы для плоской прямоугольной решетки отличаются друг от друга как формой, так и набором реализующихся фаз. Кроме того остается пробел относительно изучения трехмерных решеток, так как до сих пор изучались лишь двумерные системы.

Отдельного упоминания заслуживает известная нерешенная проблема, связанная с неудовлетворительным описанием ВСП в Сг с помощью первопринципных методов расчета электронной структуры. Ни один из примененных методов, вне зависимости от приближения для обменно-корреляцпонного потенциала, не дает ВСП в Сг в качестве основного состояния [10, 11].

Другим объектом, в котором реализуется статическая спиновая волна, является частично упорядоченный сплав Fe-Al. В работе [3] с помощью нейтронографических исследований было обнаружено, что в области концентраций от 34 до 43 ат.% Al в сплаве существует ВСП, несоизмеримая с постоянной решетки. Сплав Fe-Al давно привлекает к себе внимание исследователей благодаря наличию целого ряда свойств, таких как тугоплавкость, коррозийная стойкость и др., делающих его использование перспективным в различной экстремальной технике. Магнитная структура сплава очень сложна и связано это не только с наличием в нем спиновых волн. В указанном выше диапазоне концентраций наблюдается аномальное поведение магнитных характеристик сплава, в частности, происходит резкое уменьшение намагниченности, при этом насыщение отсутствует даже при сильных полях [12, 13]. В настоящее время нет общепринятого мнения о том, какое магнитное состояние реализуется в рассматриваемом диапазоне концентраций, однако результаты экспериментальных работ последних лет свидетельствуют в пользу предположения о кластерной структуре сплава Ее-А1 при высоких температурах. Вид кривых намагниченности сплава РеббА1з4, представленных в работе [14], соответствует суперпарамагнитному состоянию, но количественного описания этого состояния на данный момент нет.

Не менее важным является изучение магнитных неоднородностей, возникающих на поверхности металлов. В частности, интерес представляет магнетизм изолированных магнитных примесей Зс^-металлов в немагнитном материале. В таких условиях могут проявляться различные эффекты, такие, например, как эффект Кондо, количественное описание и условия возникновения которого до сих пор остаются под вопросом. Считается общепринятым, что величина магнитного момента растет при уменьшении координационного числа, в частности, при помещении атома на поверхность. Это утверждение было подтверждено в 1990-е гг. с помощью первопринцииных расчетов магнетизма примесного атома 3биметалла, лежащего в поверхностном слое меди [15]. Однако результаты более поздней работы, в которой данная задача была решена с помощью другого метода, свидетельствуют о противоположном поведении магнитного момента [16].

Целью работы являлось комплексное теоретическое исследование условий образования и характеристик нанометровых неоднородностей, формирующихся в магнитных структурах Зб^-металлов и их сплавов, а именно: статических спиновых волн (ВСП и СС волны), магнитных кластеров в супериарамагнетике, и магнетизма изолированной примеси З^-металла на поверхности немагнитного материала.

В соответствии с целью работы были поставлены следующие задачи:

3. Построить модель, позволяющую описать суперпарамагнитное поведение сплава РебсА1з4. В рамках этой модели определить параметры, описывающие магнитную кластерную структуру сплава.

4. Провести анализ существующих противоречий относительно магнетизма изолированной примеси Зс£-переходного металла, находящейся на поверхности меди.

Научная новизна результатов, полученных в диссертации:

1. Получены дополнительные данные, подтверждающие тенденцию увеличения магнитного момента одиночной примеси Зс^-металла на поверхности меди по сравнению с моментом примеси в объеме меди.

3. Впервые высказано предположение об иерархическом распределении магнитных кластеров в сплаве РеббА1з4. На основе этого предположения была построена модель, позволяющая описать экспериментальную кривую намагниченности сплава. Найдены параметры, определяющие магнитную кластерную структуру сплава.

На защиту выносятся:

1. Утверждение об увеличении магнитного момента одиночного примесного атома Зй-металла, находящегося на поверхности меди, по сравнению с моментом атома, помещенного в объем меди. Вывод об отсутствии заметного зарядового и спинового переноса между примесным атомом и его ближайшими соседями.

• Moscow International Symposium on Magnetism (MISM), Москва (2005).

• Конференция молодых ученых (КоМУ), Ижевск (2005).

• XXXI Международная зимняя школа физиков-теоретиков "Коуров-ка", "Дальняя дача", Кыштым, Челябинская обл. (2006).

• Euro-Asian Symposium "Magnetism on Nanoscale" (EASTMAG), Казань (2007).

• XXXII Международная зимняя школа физиков-теоретиков "Коуров-ка", "Зеленый мыс", Новоуральск, Свердловская обл. (2008).

• Moscow International Symposium on Magnetism (MISM), Москва (2008).

Личный вклад соискателя.

Структура и объем диссертации.

Заключение диссертации по теме "Физика магнитных явлений"

5.3 Выводы

1. В рамках модели Хаббарда проведено исследование СС состояния, в котором магнитный момент вращается в плоскости ху и имеет ненулевую ^-компоненту. Показано, что любое отклонение ¿-компоненты от нуля приводит к увеличению полной энергии системы для всех исследованных параметров модели.

2. Рассчитана фазовая диаграмма СС состояния в приближении среднего поля для плоской прямоугольной решетки. Наши вычисления являются более точными по сравнению с аналогичными расчетами, выполненными авторами работ [6, 7]. Установлено, что в определенной области параметров модели реализуется не упоминавшееся в предыдущих работах СС состояние с направлением волны [0,(3].

3. Впервые построена фазовая диаграмма СС состояния для кубической решетки. цу в энергии между В СП и АФ состояниями, но все же не может стабилизировать ВСП как основное состояние в системе.

3. Построена модель суперпарамагнетизма сплава Fe-Al в предположении об иерархическом распределении кластеров. Показано, что среди других возможных предположений о кластерной структуре иерархическая гипотеза является наиболее обоснованной. В рамках этой модели было получено выражение для намагниченности сплава Fe-Al. Показано, что данное выражение хорошо описывает экспериментальное поведение намагниченности сплава РевбА1з4 во внешнем поле, отнесенном к температуре. В рамках модели найдены основные параметры сплава FeggA^, определяющие его магнитное состояние: минимальный размер кластера sm¿n ~ 62, величина магнитного момента на атоме Fe то ~ 0.44дв, критический коэффициент-теории перколяции г — 2.67.

4. В рамках модели Хаббарда проведено исследование СС состояния, в котором магнитный момент вращается в плоскости ху и имеет ненулевую ^-компоненту. Показано, что любое отклонение z-компоненты от нуля приводит к увеличению полной энергии системы для' всех исследованных параметров модели.

Рассчитана фазовая диаграмма СС состояния в приближении среднего поля для плоской прямоугольной решетки. Наши вычисления являются более точными по сравнению с аналогичными расчетами, выполненными авторами работ [6, 7]. Установлено, что в определенной области параметров модели реализуется не упоминавшееся в предыдущих работах СС состояние с направлением волны [0, Q].

Впервые построена фазовая диаграмма СС состояния для кубической решетки.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Тимиргазин, Марат Аликович, Ижевск

1. Lamelas F. J., Werner S. A., Shapiro S. M., Mydosh J. A. 1.trinsic spin-density-wave magnetism in cu-mn alloys // Phys. Rev. B. — Jan 1995. — Vol. 51, no. 1. — Pp. 621-624.

2. Tsunoda Y., Hiruma N., Robertson J. L., Cable J. W. Spin-density-wave clusters in pdmn spin-glass alloys // Phys. Rev. B. — Nov 1997. — Vol. 56, no. 17. — Pp. 11051-11055.

3. Noakes D. R., AiTott A. S., Belk M. G., Deevi S. C., Huang Q. Z., Lynn J. W., Shull R. D., Wu D. Incommensurate spin density waves in iron aluminides // Phys. Rev. Lett. — Nov 2003.-Vol. 91, no. 21. — P. 217201.

4. Manchon A., Ryzhanova N., Vedyayev A., Dieny B. Spin-dependent diffraction at ferromagnetic/spin spiral interface. — 2007.

5. Lizarraga R., Nordstrom L., Bergqvist L., Bergman A., Sjdstedt E., Mohn P., Eriksson O. Conditions for noncollinear instabilities of ferromagnetic materials // Phys. Rev. Lett. — Sep 2004. — Vol. 93, no. 10. P. 107205.

6. Dzierzawa M. Hartree-fock theory of spiral magnetic order in the 2-d hubbard model 11 Z. Phys. B. 1992. - Vol. 86. - Pp. 49-52.

7. Liu B.-G. Incommensurate antiferromagnetic orders and peculiar electronic structures in the doped hubbard model // Journal of Physics: Condensed Matter.— 1994.— Vol. 6, no. 30. Pp. L415-L421.

8. Feng Y., Jaramillo R., Srajer G., Lang J. C., Islam Z., Somayazulu M. S., Shpyrko O. G. et al. Pressure-tuned spin and charge ordering in an itinerant antiferromagnet 11 Physical Review Letters. 2007. - Vol. 99, no. 13. — P. 137201.

9. Hafner R., Spisak D., Lorcnz R., Hafner J. Does density-functional theory predict a spin-density-wave ground state for cr? // J. Phys.: Condens. Matter.— 2002.— Vol. 14.— Pp. 2119-2120.

10. Cottenier S., Vries B. D., Meersschaut J., Rots M. What density-functional theory can tell us about the spin-density wave in cr // J. Phys.: Condens. Matter.— 2002.— Vol. 14. — Pp. 3275-3283.

11. Taylor A., Jones P. M. Constitution and magnetic properties of iron-rich iron-aluminum // J. Phys. Chem. Solids. — 1958. — Vol. 6. — Pp. 16-37.

12. Arrott A., Sato H. Transitions from ferromagnetism to antiferromagnetism in iron-aluminum alloys, experimental results // Phys. Rev.— Jun 1959.— Vol. 114, no. 6.— Pp. 1420-1426.

13. Елсуков E. П., Воронина E. В., Королев А. В., Gaczynski P., Drulis H. Температурное поведение магнитных свойств упорядоченного по Ь2-типу сплава fe(66)al(34) // ФММ. 2004. - Т. 98, № 5. - С. 30-36.

14. Lang P., Stepanyuk V. S., Wildberger К., Zeller R., Dederichs P. H. Local moments of 3d, 4d, and 5d atoms at cu and ag (001) surfaces // Solid State Comm. — 1994. — Vol. 92. — Pp. 755-759.

15. Yang C.-K. Magnetism on cu(001) due to a single transition-metal impurity // Journal of the Physical Society of Japan. — 2000. — Vol. 69, no. 9. — Pp. 2973-2976.

16. Herring C. Magnetism, exchange interactions among itinerant electrons. — Academic Press, New York and London, 1966.

17. Sandratskii L. M. Energy band structure calculations for crystals with spiral magnetic structure // Phys. Stat. Sol. (b). — 1986. — Vol. 136. — P. 167.

18. Sandratskii L. M., Guletskii P. G. Symmetrised method for the calculation of the band structure of noncollinear magnets // Journal of Physics F: Metal Physics.— 1986.— Vol. 16, no. 2. Pp. L43-L48.

19. Slater J. C. The ferromagnetism of nickel // Phys. Rev. — Apr 1936. — Vol. 49, no. 7. — Pp. 537-545.

20. Stoner E. C. Collective electron ferromagnetism 11 Proc. Roy. Soc. London A. — 1938.— Vol. 165. Pp. 372-414.

21. Stoner E. C. Collective electron ferromagnetism. ii. energy and specific heat // Proc. Roy. Soc. London A. 1939. - Vol. 169. — Pp. 339-371.

22. Overhauser A. W. Spin density waves in an electron gas // Phys. Rev. — Nov 1962.— Vol. 128, no. 3.-Pp. 1437-1452.

23. Lizarraga R. Non-collinear Magnetism in d- and f-electron Systems (Digital Comprehensive Summaries of Uppsala Dissertations from the Faculty of Science and Technology) / Ed. by T. D. of the Faculty of Science, Technology. — 169, 2006.

24. Kondorsky E. I., Sedov V. L. Antiferromagnetism of iron in face-centered crystalline lattice and the causes of anomalies in invar physical properties // Journal of Applied Physics.— 1960. Vol. 31, no. 5. - Pp. S331-S335.

25. Tsunoda Y. Spin-density wave in cubic γ-fe and γ-fel00-xcox precipitates in cu // Journal of Physics: Condensed Matter.— 1989.— Vol. 1, no. 51.— Pp. 1042710438.

26. Hubbard J. Electron Correlations in Narrow Energy Bands // Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences.— 1963,— Vol. 276, no. 1365. — Pp. 238-257.

27. Anderson P. W. The Resonating Valence Bond State in La2Cu04 and Superconductivity // Science. 1987. — Vol. 235, no. 4793. - Pp. 1196-1198.

28. Mattis D. C. The Theory of Magnetism I (Springer Series in Solid State Sciences 17) / Ed. by P. Fulde. — Berlin: Springer, 1981.

29. Hirsch J. E. Two-dimensional hubbard model: Numerical simulation study // Phys. Rev. B. — Apr 1985. Vol. 31, no. 7. - Pp. 4403-4419.

30. Shraiman B. I., Siggia E. D. Spiral phase of a doped quantum antiferromagnet // Phys. Rev. Lett. — Mar 1989. — Vol. 62, no. 13. — Pp. 1564-1567.

31. Kane C. L., Lee P. A., Ng T. K., Chakraborty B., Read N. Mean-field theory of the spiral phases of a doped antiferromagnet // Phys. Rev. B. — Feb 1990. — Vol. 41, no. 4. — Pp. 2653-2656.

32. Chakraborty B., Read N., Kane C., Lee P. A. Spiral phases and time-reversal-violating resonating-valence-bond states of doped antiferromagnets // Phys. Rev. B. — Sep 1990. — Vol. 42, no. 7. Pp. 4819-4822.

33. Auerbach A., Larson B. E. Doped antiferromagnet: The instability of homogeneous magnetic phases // Phys. Rev. B. — Apr 1991. — Vol. 43, no. 10. — Pp. 7800-7809.

34. Sarker S., Jayaprakash C., Krishnamurthy H. R., Wenzel W. Spiral states in the squarelattice hubbard model // Phys. Rev. B. — Apr 1991. — Vol. 43, no. 10. — Pp. 8775-8778.

35. Eder R. Spiral phase in a doped antiferromagnet // Phys. Rev. B. — May 1991. — Vol. 43, no. 13. Pp. 10706-10714.

36. Frésard R., Wôlfle P. Spiral magnetic states in the large-u hubbard model: a slave boson approach // J. Phys.: Condens. Matter. — 1992. —Vol. 4, —Pp. 3625-3638.

37. Brenig W. Spiral magnetism and collective excitations in doped hubbard models //J. Low Temperature Physics. — 1995. — Vol. 99. — Pp. 319-324.

38. Chubukov A. V., Musaelian K. A. Magnetic phases of the two-dimensional hubbard model at low doping // Phys. Rev. B. May 1995. - Vol. 51, no. 18. - Pp. 12605-12617.

39. Zhou C., Schulz H. J. Quantum fluctuations in the spiral phase of the hubbard model // Phys. Rev. B. Oct 1995. - Vol. 52, no. 16. - Pp. R11557-R11560.

40. Néel L. // C. R. Acad. Sci. 1936. - Vol. 203. - P. 304.

41. Néel L. Magnetic properties of the metallic state and energy of interaction between magnetic atoms 11 Ann. Phys. (Paris). — 1936. — Vol. 5. — Pp. 232-279.

42. Néel L. Propriétés magnétiques du manganèse et du chrome en solution solide étendue // Journal de Physique et le Radium. — 1932. — Vol. 3, no. 4. — Pp. 160-171.

43. Néel L. // C. R. Acad. Sci. 1934. - Vol. 198. - P. 1311.

44. Bridgman P. W. // Proc. Am. Acad. Arts Sci. — 1932. — Vol. 68. — P. 27.

45. Sully A. H. Chromium. — London : Butterworths Scientific Publications, 1954.

46. Fine E. S., Greiner M. E., Ellis W. C. // J. Met. — 1951. — Vol. 191. — P. 56.

47. Shull C. G., Wilkinson M. K. Neutron diffraction studies of various transition elements // Rev. Mod. Phys. — Jan 1953. —Vol. 25, no. 1, — Pp. 100-107.

48. Быков В. H., Головкин В. С., Агеев Н. В., Левдик В. А., Виноградов С. И. // Докл. Акад. Наук СССР. — 1959. — Т. 128. — С. 1153.

49. Corliss L. М., Hastings J. М., Weiss R. J. Antiphase antiferromagnetic structure of chromium // Phys. Rev. Lett. Sep 1959. - Vol. 3, no. 5. — Pp. 211-212.

50. Hastings J. M. // Bull. Am. Phys. Soc. — 1960. — Vol. 5 (2). — P. 455.

51. Brown P. J., Wilkinson C., Forsyth J. В., Nathans R. Some observations on the higher temperature antiferromagnetic phase of chromium // Proceedings of the Physical Society. — 1965.-Vol. 85, no. 6.-Pp. 1185-1189.

52. Arrott A., Werner S. A., Kendrick H. Neutron-diffraction study of dilute chromium alloys with iron 11 Phys. Rev. Jan 1967. - Vol. 153, no. 2. — Pp. 624-631.

53. Shirane G., Takei W. J. // J. Phys. Soc. Jpn. — 1962. — Vol. 17, no. Suppl. Ill В. —P. 35.

54. Tsunoda Y., Mori, M., Kunitomi N., Teraoka Y., Kanamori J. Strain wave in pure chromium 11 Solid State Commun. 1974. - Vol. 14. - Pp. 287-289.

55. Mori M., Tsunoda Y., Kunitomi N. // Bulletin of Annual Meeting of Phys. Soc. Jap. — 1975.

56. Gibbs D., Mohanty К. M., Bohr J. High-resolution x-ray-scattering study of charge-density-wave modulation in chromium // Phys. Rev. В. — Jan 1988. — Vol. 37, no. 1.— Pp. 562564.

57. Hill J. P., Helgesen G., Gibbs D. X-ray-scattering study of charge- and spin-density waves in chromium // Phys. Rev. B. — Apr 1995. — Vol. 51, no. 16. — Pp. 10336-10344.

58. Lomer W. M. Electronic structure of chromium group metals // Proceedings of the Physical Society. — 1962. Vol. 80, no. 2. — Pp. 489-496.

59. Hay den S. M., Lonzarich G. G., Skriver H. L. Electronic structure of the strongly-exchange-enhanced paramagnet ra3ga // Phys. Rev. B. — Apr 1986. — Vol. 33, no. 7. — Pp. 4977-4986.

60. Kiibler J. Spin-density functional calculations for chromium // J. Magn. Magn. Mater. — 1980. Vol. 20. - Pp. 277-284.

61. Hirai K. Magnetism in spin-density-wave chromium from first-principles calculation // Journal of the Physical Society of Japan. — 1997. — Vol. 66, no. 3. — Pp. 560-563.

62. Kiibler J. Theory of Itinerant Electron Magnetism.— Oxford), p. 212: Oxford University Press, 2000.

63. Marcus P. M., Qiu S.-L., Moruzzi V. L. The mechanism of antiferromagnetism in chromium 11 Journal of Physics: Condensed Matter. — 1998. — Vol. 10, no. 29. — Pp. 6541-6552.

64. Chen J., Singh D., Krakauer H. Local-density description of antiferromagnetic cr // Phys. Rev. B. Dec 1988. — Vol. 38, no. 18. — Pp. 12834-12836.

65. Singh D. J., Ashkenazi J. Magnetism with generalized-gradient-approximation density functionals // Phys. Rev. B. Nov 1992. - Vol. 46, no. 18. - Pp. 11570-11577.

66. Perdew J. P., Wang Y. Accurate and simple analytic representation of the electron-gas correlation energy // Phys. Rev. B. — Jun 1992. — Vol. 45, no. 23. — Pp. 13244-13249.

67. Moruzzi V. L., Williams A. R., Prank J. F. Calculating Electronic Properties of Metals.— New York: Pergamon, 1978. — Vol. 5.

68. Skriver H. L. The electronic structure of antiferromagnetic chromium // Journal of Physics F: Metal Physics. 1981. - Vol. 11, no. 1. - Pp. 97-111.

69. Kulikov N. I., Kulatov E. T. Self-consistent band structure calculation of chromium: pressure influence // Journal of Physics F: Metal Physics. — 1982. — Vol. 12, no. 10. — Pp. 2291-2308.

70. Kulikov N. I., Alouani M., Khan M. A., Magnitskaya M. V. Self-energy corrections to the ab initio band structure: Chromium // Phys. Rev. B. — Jul 1987. — Vol. 36, no. 2. — Pp. 929-938.

71. Moruzzi V. L., Marcus P. M. Antiferromagnetic ground state of bcc chromium // Phys. Rev. B. Aug 1992. - Vol. 46, no. 5. - Pp. 3171-3174.

72. Hirai K. Total energy calculation for spin-density-wave chromium // Journal of the Physical Society of Japan. — 1998. Vol. 67, no. 5. — Pp. 1776-1783.

73. Klautau A. B., Legoas S. B., Muniz R. B., Frota-Pessoa S. Magnetic behavior of thin cr layers sandwiched by fe // Phys. Rev. B. — Aug 1999. — Vol. 60, no. 5. — Pp. 3421-3427.

74. Guo G. Y., Wang H. H. Calculated elastic constants and electronic and magnetic properties of bcc, fee, and hep cr crystals and thin films // Phys. Rev. B. — Aug 2000. — Vol. 62, no. 8. Pp. 5136-5143.

75. Bihlmayer G., Asada T., Blügel S. Electronic and magnetic structure of the (001) surfaces of v, cr, and v/cr // Phys. Rev. B. — Nov 2000. — Vol. 62, no. 18. — Pp. R11937-R11940.

76. Schafer J., Rotenberga E., Kevanb S. D., Blaha P. Energy gap of the spin density wave at the cr(110) surface // Surf. Sei. 2000. - Vol. 454-456. — Pp. 885-890.

77. Moroni E. G., Kresse G., Hafner J., Furthmüller J. Ultrasoft pseudopotentials applied to magnetic fe, co, and ni: From atoms to solids // Phys. Rev. B. — Dec 1997. — Vol. 56, no. 24. Pp. 15629-15646.

78. Eder M., Hafner J., Moroni E. G. Structural, electronic, and magnetic properties of thin mn/cu(100) films // Phys. Rev. B. May 2000. - Vol. 61, no. 17. - Pp. 11492-11505.

79. Kouvel J. S. Intermetallic Compounds: Principles/Practice / Ed. by J. H. Westbrook, R. L. Fleischer. — WileyBlackwell, 1994. Vol. 1. — Pp. 935-940.

80. Bradley A. J., Jay A. H. // J. Iron Steel Inst. (London). 1932. — Vol. 128.- P.* 339.

81. Sato H., Arrott A. Transitions from ferromagnetism to antiferromagnetism in iron-aluminum alloys, theoretical interpretation // Phys. Rev. — Jun 1959. — Vol. 114', no. 6. — Pp. 1427-1440.

82. Nathans R., Pickart S. J. Magnetism / Ed. by G. Rado, H. Suhl. — New-York: Acad. Press, 1963. Vol. 3. - P. 235.

83. Caskey G. R., Franz J. M., Sellmyer D. J. Electron transport and magnetic susceptibility in nial and feal // J. Phys. Chem. Sol. — 1973. — Vol. 34. — Pp. 1179-1198.

84. Danan H., Gengnagel H. Ferro-, antiferro- and super-paramagnetic behaviour of fe-al alloys // J. Appl. Phys. 1968. - Vol. 39, no. 2. - Pp. 678-679.

85. Gengnagel II. Besnus M. J., Danan H. Temperature and filed dependence of the magnetization of fe-al powders in cold-worked and annealed state // Phys. Stat. Sol .(a).— 1972. Vol. 13. - Pp. 499-503.

86. HergtR., Wieser E., Gengnagel H., Gladun A. The magnetic behaviour of fe-al alloys of b2-structure investigated by mossbauer spectroscopy // Phys. Stat. Sol. — 1970. — Vol. 41. — Pp. 255-263.

87. Vincze I. Average magnetization of fe-al alloys // Phys. Stat. Sol. — 1971. — Vol. 7. — Pp. K43-K47.

88. Huffman G. P., Fisher R. M. Mossbauer studies of ordered and cold-worked fe-al alloys containing 30 to 50 at.% aluminum //J. Appl. Phys. — 1967. — Vol. 38. — Pp. 735-742.93. см. ссылку 8] в [88].

89. Cable J. W., David L., Parra R. Neutron study of local environment effects and magnetic clustering in /е0.7аЮ.З // Phys. Rev. B. Aug 1977. — Vol. 16, no. 3.- Pp. 1132-1137.

90. Shull R. D., Beck H., Okamoto P. A. Transition from ferromagnetism to mictomagnetism in fe-al alloys // Sol. St. Comm. 1976. — Vol. 20. — Pp. 863-868.

91. Kouvel J. S. Exchange anisotropy in an iron-aluminum alloy //J. Appl. Phys. — 1959. — Vol. 30 Suppl. 4. Pp. 313S-314S.

92. Okamoto H., Beck P. A. Phase relationships in the iron-rich fe-al alloys // Metall. Trans. — 1971.- Vol. 2.- Pp. 569-574.

93. Raymond S., Bao W., Shapiro S. M., Motoya K. Spin dynamics of the reentrant spin glass fe0.7al0.3 11 Physica B. 1998. - Vol. 241-243. - Pp. 597-599.

94. Motoya K., Shapiro S. M., Muraoka Y. Neutron scattering studies of the anomalous magnetic alloy /е0.7аЮ.З // Phys. Rev. B. Dec 1983. — Vol. 28, no. 11. - Pp. 6183-6191.

95. Bao W., Raymond S., Shapno S. M., Motoya K., Fak В., Erwin R. W. Unconventional ferromagnetic and spin-glass states of the reentrant spin glass /е0.7аЮ.З // Phys. Rev. Lett. Jun 1999. - Vol. 82, no. 23. - Pp. 4711-4714.

96. Noakes D. R., Arrott A. S., Belk M. G., Deevi S. C., Lynn J. W., Shull R. D., Wu D. Properties of incommensurate spin density waves in iron aluminides (invited) // J. Appl. Phys. 2004. - Vol. 95, no. 11. - Pp. 6574-6579.

97. Takahashi S., Li X. G., Chiba A. Spin distiibution in plastically deformed fe-al intermetallic compounds // J. Phys. : Cond. Matt. — 1996. — Vol. 8. — Pp. 11243-11257.

98. Takahashi S., Umakoshi Y. Superlattice dislocations and magnetic transition in fe-al alloys with the b2-type ordered structure // J. Phys. : Cond. Matt. — 1991. — Vol. 3. — Pp. 58055816.

99. Takahashi S., Onodera H., Li X. G., Miura S. Spin distribution in plastically deformed fe-al intermetallic compounds // J. Phys. : Cond. Matt. — 1997. — Vol. 9. — Pp. 9235-9249.

100. Shukla P., Wortis M. Spin-glass behavior in iron-aluminum alloys: A microscopic model // Phys. Rev. B. Jan 1980. - Vol. 21, no. 1. — Pp. 159-164.

101. Beck P. Some recent results on magnetism in alloys // Metal. Trans. — 1971.— Vol. 2.— Pp. 2015-2024.

102. Friedman E., Nicholson W. Internal magnetic fields and the saturation magnetization of iron-aluminum alloys //J. Appl. Phys. — 1963. — Vol. 34. — Pp. 1048-1049.

103. Besnus M. J., Herr A., Meyer A. J. P. Magnetization of disordered cold-worked fe-al alloys up to 51 at.% al // J. Phys. F: Met. Phys. — 1975. Vol. 5. — Pp. 2138-2147.

104. Grest G. S. Monte carlo study of the tiansition from a ferromagnet to a spin glass in fe-al alloys // Phys. Rev. B. Jan 1980. - Vol. 21, no. 1. — Pp. 165-168.

105. Aguirre Contreias W. R., Zamora L. E., Pérez Alcázar G. A., Plascak J. A. Magnetic properties of fe-al alloys through ising and heisenberg models with a nonlinear exchange interaction // Phys. Rev. B. — Aug 2005. — Vol. 72, no. 5. — P. 052402.

106. Moruzzi V. L., Marcus P. M. Magnetic structure of ordered feal and fev // Phys. Rev.

107. B. — Apr 1993. Vol. 47, no. 13. - Pp. 7878-7884.

108. Zou J., Fu C. L. Structural, electronic, and magnetic properties of 3d transition-metal aluminides with equiatomic composition // Phys. Rev. B. — Jan 1995. — Vol. 51,,no. 4. — Pp. 2115-2121.

109. Kulikov N. I., Postnikov A. V., Borstel G., Braun J. Onset of magnetism in 62 transition-metal aluminides // Phys. Rev. B. — Mar 1999. — Vol. 59, no. 10. — Pp. 6824-6833.

110. Mohn P., Persson C., Blaha P, Schwarz K., Novak P., Eschrig H. Correlation induced paramagnetic ground state in feal // Phys. Rev. Lett — Oct 2001.— Vol. 87, no. 19.— P. 196401.

111. Das G. P., Rao В. K., Jena P., Deevi S. C. Electronic structure of substoichiometric fe-al intermetallics // Phys. Rev. B. Nov 2002. — Vol. 66, no. 18. — P. 184203.

112. Аржников А. К., Добышева Л. В. Магнитный момент атомов железа в ОЦК-сплавах fe-al в зависимости от ближайшего окружения // ФТТ.— 2008.— Т. 50, № 11.—1. C. 2009-2014.

113. Rodriguez D. М., Plazaola F., Garitaonandia J. S. Mossbauer studies of the re-entrant spin-glass behaviour of fe-al alloys // Hyperfine Interactions. — 2006.— Vol. 169.— Pp. 12311234.

114. Rodriguez D. M., Plazaola F., del Val J. J., Garitaonandia J. S., Cuello G. J., Dewhurst C. Small-angle neutron-scattering studies of reentrant spin-glass behavior in fe-al alloys //J. Appl. Phys. 2006. - Vol. 99, no. 8. - P. 08H502.

115. Rodriguez D. M., Plazaola F., Garitaonandia J. S., Cuello G. J. Structural study of the re-entrant spin-glass behaviour of fe-al alloys // JMMM. — 2007. — Vol. 316. — Pp. e488-e491.

116. Fu C. L., Freeman A. J., Oguchi T. Prediction of strongly enhanced two-dimensional ferromagnetic moments on metallic overlayers, interfaces, and superlattices // Phys. Rev. Lett. Jun 1985. - Vol. 54, no. 25. - Pp. 2700-2703.

117. Falicov L. M., Victoria R. #., Tersoff J. The Structure of Surfaces / Ed. by M. A. V. Hove, S. Y. Tong. — Berlin: Springer-Verlag, New York, 1985. ,

118. Weinert M., Bliigel: S. Magnetic Mutilayers / Ed. by L. H. Bennett, R. E. Watson. — Singapore: World Scientific, 1993.

119. Stroscio J. A., Pierce D. Т., Davies A., Celotta R. J., Weinert M. Tunneling spectroscopy of bcc (001) surface states // Phys. Rev. Lett. — Oct 1995. — Vol. 75, no. 16. Pp. 29602963.

120. Turtur C., Bayreuther G. Magnetic moments in ultrathin cr films on fe(100) // Phys. Rev. Lett. Mar 1994. - Vol. 72, no. 10. - Pp. 1557-1560.

121. Fuchs P., Petrov V. N., Totland K., Landolt M. Magnetic moments in thin epitaxial cr films on fe(100) // Phys. Rev. B. Oct 1996. - Vol. 54, no. 13. - Pp. 9304-9307.

122. Davies A., Stroscio J. A., Pierce D. Т., Celotta R. J. Atomic-scale observations of alloying at the cr-fe(OOl) interface // Phys. Rev. Lett. — May 1996. — Vol. 76, no. 22. — Pp. 4175 4178.

123. Wildberger K., Stepanyuk V. S., Lang P., Zeller R., Dederichs P. H. Magnetic nanos-tructures: 4 d clusters on ag(OOl) // Phys. Rev. Lett.— Jul 1995.— Vol. 75, no. 3. — Pp. 509-512.

124. Stepanyuk V. S., Hergert W., Wildberger K., Zeller R., Dederichs P. H. Magnetism of 3d, 4d, and 5d transition-metal impurities on pd(001) and pt(001) surfaces // Phys. Rev. B. — Jan 1996. — Vol. 53, no. 4. Pp. 2121-2125.

125. Nonas B., Cabria I., Zeller R., Dederichs P. H., Huhne T., Ebert H. Strongly enhanced orbital moments and anisotropics of adatoms on the ag(001) surface // Phys. Rev. Lett. — Mar 2001. — Vol. 86, no. 10. — Pp. 2146-2149.

126. Yang C.-K., Cheng Y.-C. Surface magnetism of cu(001) with a transition-metal impurity atom 11 Chinese J. Phys. 2000. — Vol. 38, no. 4. — Pp. 855-862.

127. Andersen O., Postnikov A., Savrasov S. // Mater. Res. Soc. Symp. Proc.— 1992.— Vol. 253. P. 37.

128. Szunyogh L., Ujfalussy B., Weinberger P., Kollar J. Self-consistent localized kkr scheme for surfaces and interfaces // Phys. Rev. B. — Jan 1994. — Vol. 49, no. 4. — Pp. 2721-2729.

129. Zeller R., Dederichs P. H., Ujfalussy B., Szunyogh L., Weinberger P. Theory and convergence properties of the screened korringa-kohn-rostoker method // Phys. Rev. B. — Sep 1995. Vol. 52, no. 12. - Pp. 8807-8812.

130. Zahn P., Binder J., Mertig I., Zeller R., Dederichs P. H. Origin of giant magnetoresistance: Bulk or interface scattering // Phys. Rev. Lett. — May 1998. — Vol. 80, no. 19. — Pp. 43094312.

131. Papanikolaou N., Zeller R., Dederichs P. H. Conceptual improvements of the kkr method // Journal of Physics: Condensed Matter. — 2002. — Vol. 14, no. 11. — Pp. 27992823.

132. Korringa J. On the calculation of the energy of a bloch wave in a metal // Physica. — 1947. Vol. 13. - Pp. 392-400.

133. Kohn W., Rostoker N. Solution of the schrodinger equation in periodic lattices with an application to metallic lithium // Phys. Rev. — Jun 1954.— Vol. 94, no. 5.— Pp. 1111— 1120.

134. Hohenberg P., Kohn W. Inhomogeneous electron gas // Phys. Rev. — Nov 1964. — Vol. 136, no. 3B. Pp. B864-B871.

135. Vosko S. H., Wilk L., Nusair M. Accurate spin-dependent electron liquid correlation energies for local spin density calculations: a critical analysis // Can. J. Phys. — 1980. — Vol. 58.- Pp. 1200-1211.

136. Isichenko M. B. Percolation, statistical topography, and transport in random media // Rev. Mod. Phys. — Oct 1992. — Vol. 64, no. 4. — P. 961.

137. Nakayama T., Yakubo K., Orbach R. L. Dynamical properties of fractal networks: Scaling, numerical simulations, and physical realizations // Rev. Mod. Phys. — Apr 1994. — Vol. 66, no. 2. — Pp. 381-443.

138. Kurganskii S. I., Dubrovskii O. I., Domashevskaya E. P. Integration over the two-dimensional brillouin zone // Phys. Stat. Sol. (b). — 1985. — Vol. 129. — Pp. 293 299.

139. Mahan G. D. Many-Particle Physics. — New York, Boston, Dordrecht, London, Moscow: Kluwer Academic / Plenum Publishers, 2000.

140. Lehmann G., Taut M. On the numerical calculation of the density of states and related properties // Phys. Stat. Sol. (b). 1972. - Vol. 54. - Pp. 469 - 477.

141. Lehmann G., Taut M. // Phys Stat. Sol. (b). 1973. - Vol. 57. - P. 815.