Магнитогидродинамические конвективные неустойчивости и модели прерывания тока в плазмоподобных средах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.13 ВАК РФ

., ■ i4

IIa правах рукописи

jsiAySZ^i

ЗУБАРЕВ НИКОЛАИ МИХАЙЛОВИЧ

MАГНПТОГНДPC)ДИНАМИЧЕСКИЕ КОНВЕКТИВНЫЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ II МОДЕЛИ ПРЕРЫВАНИЯ ТОКА В ИЛАЗМОИОДОБНЫХ СРЕДАХ

01.04.13 -•- электрофизика

Автореферат

дигтертлции па соискание ученой стешчш кандидата физпко-матоматических наук

Екатеринбург -

1997

Работа выполнена в Институте электрофизики УрО РАН,

Научные руководители: доктор физико-математических наук

А. М. Искольдский кандидат технических наук Н. Б. Волков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

А. В. Лучпнскпй

доктор физико-математических паук профессор В. Н. Доровский

Ведущая организация: Институт теоретической физики

им. Л. Д. Ландау, Москва

Защита состоится " I Ь '' 0>1л,дЛр& 1997 г. и_часов па заседании

диссертационного совета Д.003.41.01 в Институте сильноточной электроники СО РАН по адресу: 634055, г. Томск, пр. Академический. 4.

с диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института, сильноточной электроники СО РАН.

Автореферат разослан "2Х" сд£у 1997 г.

Отзывы на автореферат в одном эюеишшро, заверенные ученым секретарем и скрепленные гербовой печатью, прошу присылать по адресу: 634055, г. Томск, пр. Академический, 4, IIСЭ СО РАН.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук профессор

Д. И. Проскуровский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актз'алыюсть темы. В последнее время, в связи с развитием высоковольтной импульсной техники, широкое применение в .электрофизических установках получили прерыватели тока, основанные на разрушении проводников током значительной плотности. Существенную роль в процессах, сопровождающих электрический взрыв проводников играет стадия, начинающаяся но завершению их плавления и заканчивающаяся их разрушением. По имеющимся экспериментальным данным пменно на этой стадии происходит рост эффективного сопротивления металла и начинают формироваться характерные радиальные возмущения поверхности проводника, которые приводят впоследствии к его стратификации. Поэтому для понимания основных закономерностей электрического взрыва проводников (ЭВП) необходимо подробное изучение процессов, в том числе и магиитоглдродинампчеекпх, сопровождающих протекание тока значительной амплитуды но расплавленному металлу.

Также значительный интерес представляют эксперименты по многократной коммутации в жидком металле (Тл-Са эвтектике). Незначительность роли тепловых эффектов в этих экспериментах приводит к тому, что прерывание тока происходит без последующего разрушения проводника. Это отличает подобную экспериментальную ситуацию от традиционно рассматриваемых л дает основание полагать, что за прерывание тока ответственны конвективные магнитогидро-дннамическне неустойчивости, развитие которых не приводит к необратимому изменению состояния системы.

В таком случае рассмотрение задачи о поведении плазмоподобной среды в поле собственного тока и о влиянии конвективных МГД-неустойчпвостей на ее макроскопические характеристики является актуальным.

Цель работы. Целью настоящей работы является теоретическое исследование магнитогндродинамических конвективных неустойчиво-стей и построение моделей прерывания тока в токонесущих плазмо-иодобных средах.

В работе были поставлены и решены следующие конкретные задачи:

1. Построение маяомодовой модели неравновесного фазового перехода в проводнике, который переводит его в состояние с аномально большим эффективным сопротивлением. Определение областей применимости для такой модели.

2. Выявление параметров системы, влияющих на порог неустойчивости и нахождение оптимальных условий прерывания тока.

3. Теоретическое исследование леретяжечной неустойчивости границы токонесущей плазмоподобной среды в рамках магнитной гидродинамики несжимаемой жидкости с конечной электропроводностью. Рассмотрение возможных механизмов развития крупномасштабных неустойчнвостеп поверхности жидкого проводника.

4. Анализ закономерностей процесса стратификации проводника при нагружешш его током ¡значительной амплитуды д создание математической модели этого явления, способной дать точные оценки для пороговых токов н размера страт.

5. Построение модели многократного прерывания и восстановления тока в жидкометалличеекпх прерывателях.

Научная новизна и ¡защищаемые положения. При решении поставленных задач были получены новые результаты, которые позволили вынести на защиту:

1. Маломодовукз модель развития конвективных гидродинамических и токовых структур в токонесущей плазмоподобной среде.

2. Утверждение о том, что крупномасштабные конвективные структуры играют существенную роль в развитии магпнтогидродинами-ческой перетяжечной' неустойчивости поверхности жпдкометаляпче-ского проводника с током.

3. Модель стратификации и прерывания тока на начальных стадиях электрического взрыва проводников, применимую при токах, превышающих критическое значение (6-^9) кА, н плотностях тока меньших З-КРА/см2.

4. Модель многократного прерывания и восстановления тока в жи-дкометаллнческнх прерывателях, основанную на учете магннтогидро-дшкшичеекпх конвективных неустончнвостей.

5. Выражения для порогового тока коммутации п периода процесса многократного прерывания п восстановления тока в жидком металле

со стабилизированной границей.

Перечисленные положения определяют научную новизну выполненных исследований.

Практическая значимость работы заключается в выявления основных факторов, влияюших на процессы, сопровождающие протскапяе тока значительной амплитуды по проводящей несжимаемой жидкости; в нахождении значений токов, при превышении которых процессы становятся неустойчивыми, а также в рассмотрении динамики этих процессов.

Предлагаемая в работе модель позволяет по параметрам системы определить конкретные ¡значения пороговых токов и характерных времен коммутации в жидком металле. Полученные результаты важны для понимания механизмов прерывания тока и стратификации на начальных стадиях электрического взрыва проводников. Разработанные методы описания нелинейных процессов в токонесущих плазмоподоб-пых средах могут быть применены для моделирования различных электрофизических систем.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на Международной школе по нелинейной физике (Нпжпин Новгород, 1995), на Научной конференции ПЭФ (Екатеринбург, 1995), а также на научных семинарах НЭФ УрО РАН и ИФМ УрО РАН в 1995-1997 годах.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка цитируемой литературы. Ее объем составляет 1-33 листа машинописного текста, в том числе 17 рисунков. Список цитируемой литературы состоит из 91 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается необходимость исследований, проведенных в диссертации, дается общая постановка решаемых в диссертации задач, а также перечисляются основные результаты, выносимые на защиту.

В первой главе диссертации обсуждены теоретические модели развития неустойчивостей в проводниках при нагруженни их импульсным током значительной амплитуды, выдвинутые разными авторами в разное время. Дано краткое описание некоторых экспериментов по электрическому взрыву проводников и многократному прерыванию к восстановлению тока в эвтектике. Рассмотрена применимость магни-тогидродинамического описания этих процессов в рамках маломодо-вых моделей.

В частности, показано, что для моделирования экспериментов по разрушению проводника импульсным электрическим током оначп-тельной амплитуды недостаточно рассмотрение лишь тепловых неустойчивостей среды. Близость характерных магнитных времен ы времен стратообраоования дает основание учитывать магнитогидро-динамические процессы при ЭВП на интервале времени, начинающимся полным плавлением проводника и заканчивающимся его разрушением. Приводятся оценки, но которых следует, что при построении теоретической модели развития крупномасштабных неустойчиво-стей в объеме проводника следует учитывать конечную электропроводность среды.

Для экспериментов по многократному прерыванию и восстановлению электрического тока в 1и-Са эвтектпке показана незначительность роли тепловых неусточнвостен (прирост температуры составляет всего 40-г 60 К). Это дает возможность рассматривать процессы в эвтектике в рамках магнитной гидродинамики несжимаемой жидкости с постоянными кинетическими коэффициентами.

Действительно, иа приведенных оценок следует, что прерывание электрического тока через эвтектику вполне может быть обусловлено развитием в среде конвективной магнитогидродпнамической неустойчивости, приводящей за счет вмороженностп магнитного поля в среду к появлению вихревых токов, блокирующих прохождение ламинарной составляющей тока. При этом поочередное прерывание и восстановление тока может быть связано со своеобразным колебательным процессом, при котором происходит периодическое перетекание энергии из гидродинамических степеней свободы в магнитные. В таком случае характерное время многократной коммутации определяется временем

пульсаций для крупномасштабных магнитогидродпнамических флуктуации.

Во второй главе диссертации рассматриваются магнитогпдродина-мнчеекпе неустойчивости жидкометаллического проводника прямоугольного сечения в поле протекающего по нему электрического тока / (будем считать, что ток течет вдоль осп симметрии проводнпка z). Будем считать, что 2а и 2b — стороны поперечного сечения проводника, соответствующие осям х и у прямоугольной системы координат, причем а < Ь. Поводящую среду будем считать несжимаемой, а ее кинетические коэффициенты — постоянными.

Учитывая, что обычно в первую очередь развиваются возмущения, не искривляющие силовые линии магнитного поля, считаем, что вблизи плоскости симметрии проводника у = 0 возмущения магнитного поля h и поля скорости v представимы в виде:

где ф = ф(х,г^) — функция тока.

Используя это представление для возмущенных полей, можно получить из уравнений магнитной гидродинамики следующую систему уравнений, описывающих временную эволюцию функции гЬ и Л вблизи плоскости у = 0:

где р --- плотность, ¡/ — кинематическая вязкость, ит = с2(4жа)~1 — магнитная вязкость (а — проводимость), «/(/, с?) = ¡х9* - Л</г — Якобиан, а Д — двумерный оператор Лапласа.

Отметим, что уравнения (1), (2) по своей структуре идентичны уравнениям для возмущенных полей температуры и скорости в задаче об одномерной термоконвекцпи й подогреваемом снизу плоском слое жидкости. Подобная аналогия оказывается плодотворной при рассмотрении конвективных МГД-неустончнвостеи в жидком металле с неподвижной внешней границей (используются сво бодные граничные

v = {-дф/дг, 0,дф/дх}, h = {0,A(x;-,i),0}

(2)

(1)

условия для ф и пулевые условия для Л). Действительно, под действием сил Лоренца в токонесущей резнстивной вязкой среде могут формироваться крупномасштабные вихревые структуры, подобные валам Бе-нара при термохонвекции. Проведенное исследование показало, что эта неустойчивость носит пороговый по току характер, что отличает се от обычных МГД-неуетойчпвостен, где все определяется плотностью тока. В первую очередь развивается периодические конвективные структуры с волновым числом кц — 2~1?2тт/а по осп г (см. Рис. 1, где изображены зависимости инкремента неустойчивости А от волнового числа к при трех различных значениях тока). Размер структур для этого волнового числа равен 23/2а и сра- „

Рис. 1

впим с толщшгои проводящего слоя.

Критический ток определяется средним геометрическим магнитной и динамической вязкостен жидкого металла н отношением сторон поперечного сечения проводника:

Из этого выражения видно, что минимальные пороговые токи соответствуют проводнику со сравнимыми размерами в поперечном сече-нни, что обуславливает интерес к проводнику круглого сечения (подобная геометрия рассматривается в третьей и четвертой главах).

Простейшую модель нелипейных стадий процесса формирования вихревых етруктз'р можно построить, используя подстановку:

1р — Зу,пА'(<)ал(5Гх/2а).чт(А:о~),

включающую в себя три моды с наибольшими временами релаксации. Применение процедуры Галеркина приводит к.известной модели Лоренца для описания временной динамики амплитуд мод:

<1Х/с1т = вУ -

(1У/(1 т =р.х -хг-у, йг/йт = ху - вг/з,

где 5 = и/итп, Р = ®г = 3

Тривиальное решение X = У = Z — 0 этих уравнений (оно соответствует отсутствию конектнвных МГД-структур в среде) устойчиво

^ 1 Ппп

17Г"-ГПТ»тТТТТ>Т,Т* ТТТ <Т73 "Т<1ГАТГ 1 ПЛМ1РТТТ? СГ

X = V = г = :

(е = р-1 — малый параметр надкритичпостн), соответствующие стационарным конвективным структурам с двумя возможными различными направлениями вращения (см. Рис. 2). Таким образом, модель Лоренца в нашей задаче играет роль простейшей модели начальных стадий ламннарно-турбулеятного перехода в токонесущей нлазмоподобной среде.

Также в этой главе показано, что для описания пространственно-временной •эволюции вихревых структур применимо модельное уравнение Свифта-Хоэнберга для параметра порядка и(г,<) = ф/$'т(т1х/а):

Рис. 2

ди

1/ = ей ■ от

з +

которое описывае,т зарождение пространственных структур, подобных наблюдаемым на начальных стадиях ЭВП.

В случае проводника со незакрепленной границей было обнаружено, что крупномасштабные токовые и гидродинамические вихревые структуры в его объеме могут играть значительную роль в развитии иеретяжечпои неустойчивости поверхности. Влияние этих структур может привести к немонотонной зависимости инкремента неустойчивости от волнового числа (возможно появление локальпого максимума, который соответствует конечному значению волнового числа). Показано, что при малых цадхритичностях размер структур близок к

толщине проводящего слоя, а инкремент нарастания неустойчивости определяется, как для тепловых неуетопчивостой, квадратом плотности тока.

Третья глава посвящена построению моделей прерывания тока л стратификации жпдкомсталлпческого проводника'цилиндрической геометрии радиусом го и длиной I. Предложена маломодовая модель развития крупномасштабной конвективной машитогидродинамической неустойчивости в проводнике; показано, что ота неустойчивость мо-л<ет быть одним из факторов, определяющих прерывание тока на начальных стадпях ЭВП.

Считал возмущении азимутаиьио симметричными, запишем компоненты вектора скоростп п компоненты вектора напряженности магнитного поля в цилиндрических координатах в виде:

V = {-дф/дг,0,дгф/гдг}. Н = {О, Я0 + Л, 0}

где Н$(г, I) — невоомущеиное магнитное поле, /¡(г, zí — его возмущение, а Ф(г,г, — функция тока. В таком случае уравнения магнитной гидродинамики несжимаемой жидкости принимают вид:

^ = ЛОф/г, фг) + + (з)

+ + (4)

где Е> -- (д/дг)(дг/гдг) + (д2/дг2), а функция Я0 определяется релаксационным уравнением дЩ/дЬ — ищОН^.

Простейшую модель развития конвективной МГД-неустойчшгости молено построить, рассматривая ограниченное число наиболее быстрых мод возмущений:

ф = Х{1))1ит{ц1кг0 + А-г0/|(),/, (рг/г0) siIl(A:z), (5)

Но = 2/{г/г0 - Н"Л(/£г/г0)}/(сг0), (6)

к = 2М(^г/г0) {У(г)««(Ь) +г(0}/(сго), (7)

где обозначено: ц — первый корень функции Бесееля первого порядка (то есть -/¡(/г) — 0), к — волновое число структур по осп .г, X, У

и Z —амплитуды возмущений, а параметр W определяет отклонение невозмущеиного профиля магнитного ноля от линейного. Данная подстановка соответствует цилиндрическому проводнику радиуса г о и удовлетворяет граничным условиям:

#olr=r„ = 2 l(t)/(cr0), Н0 |г=0 = /г|г=0.г, = Ф\г-=о, го = Щ |r=0>ro = 0.

П--- -У____________________________ __ _ _ . . / 0\ I i\

.;111неиное исиле^шгшт* _y cauuiuiiuCi. il \ - j). TIO о 1пОш»-

нию к возмущениям (5)- (7) показало, чго при превышении некоторого порогового тока в лшдкометаллическом цилиндрическом проводнике молсет формироваться периодическая система гидродинамических вихрен. Мпнимальпып иороговгли то к соответствует IV ~ 1 / 2 и за д ае тся вы р а ж е ни ем:

/£. — 83с ^Jññ^,

что дла расплавленной меди составляет приблизительно 6.5кА н значительно ниже характерных токов в экспериментах по ЭВП.

Максимальный инкремент неустойчивости соответствует гидродинамическим и токовым флуктуацням с волновым числом A'q = 2~^-¡i/rQ. Продольный размер конвективных структур, соответствующий этому значению волнового числа, равен 2.32гц, что хорошо согласуется с экспериментальными данными по электрическому взрыву проводников (см. Рис. 3, где схематически показаны линии тока в продольном ссченни проводника). Это позволяет высказать предпо-ложеине, что именно рассматриваемая нами неустойчивость определяет наиболее выгодный масштаб возмущений поверхности проводника и, как следствие, размер страт на начальных стадиях взрыва проводников. В таком случае естественное* объяснение находит тот факт, что отношение продольного ц поперечного размера страт оказывается своеобразным инвариантом, практически не зависящим от теплофизическнх свойств среды.

Использование процедуры Галеркина с базисом из мод (5)-(7) с к = ко п учет того факта, что отношение характерных магнитных

г

О О, оо оо оо

-2.32 Г0 0 2.32 Гс Рис. 3

н гидродинамических времен « т 1.42 • 10~в является малым параметром, приводит нас при малых £ к нелинейному дифференциальному уравнению для амплитуды гидродинамических вихрей

з-ЧХ'/йт = еА' +• Р{\¥) А'3 + 0( А'5),

где Р > 0 при 1/2 < И'" < 1 (аакритическая бифуркация) и Р < 0 при О < ТГ <1/2 (докритнческая бифуркация).

Понятно, что раовптие неустойчивости должно привести к изменению ряда макроскопических характеристик проводника. Так, например, его поведение в электрической цеяп определяется такой интегральной характеристикой, как эффективное сопротивление. Эту величину можно задать выражением:

Я// = ЫПс)~' /(V * Н)!г=,-о(Ь,

откуда ~ 2 (Ло — нсвозмущенное сопротивление). Поскольку

при малых надкритичностях можно считать 2 ~ А*2, то получаем, что эффективное сопротивление проводника, резко увеличиваться по достижении током порогового значения. Тогда при IV > 1/2 в зависимости сопротивления от параметра над-крптичности имеется разрыв, а при

< 1/2 — излом (см. Рис. 4). В таком случае развитие конвективной МГД-неустойчивости молено рассматривать как один из факторов, обуславливающих прерывание тока на начальных стадиях ЭВП.

В четвертой главе предложена модель многократного прерывания и восстановления тока в жидком металле (1н-Са эвтектике), основанная на рассмотрении крупномасштабных конвективных магнито-гидродинамических неустой'швостей. В соответствш! с этой моделью прерывание тока через эвтектику обуславливается уменьшением электропроводности среды вследствие зарождения в ней гидродинамических п токовых конвективных структур.

яеА

^N>0.5

л /^N<<3.5

1 1 1 ^

О

1

Рис. 4

Действительно, построим простейшую маломодовую .модель канальных стадий ламннарно-гурбуяентного перехода в токонесущей плазмоподобнои среде. Использование подстановки (5)-(7), где полагаем к = к0 и IV — 0, приводит к следующей системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений:

ЛХ],1т = япУП + г)~ зХ, (8)

¿У!<1т = -4Л"Я/3 - У, (9)

(1г/(!т=-ХУ/3-22/3, (10)

где д = 8/2/'(27//'7г с2/?;/;/,„) играет роль внешнего управляющего параметра. Из анализа этой модели следует, что кроме устойчивого тривиального решения Л" = К = £ = 0 при д > 3 в пей появляются нетривиальные стационарные решения. Применение процедуры редукции к центральному многообразию с учетом малости параметра « показывает, что система (8)- (10) может описывать близкое к периодическому движение вблизи этих решений. Пороговый ток подобной неустойчивости для 1п-Са эвтектики оказывается равным 4.7кЛ, что с высокой точностью совпадает с экспериментально полученным значением тока коммутации 5кА.

Рассмотрение влияния неустойчивости на электрические свойства проводника показывает, что эффективное сопротивление проводника связано с амплитудой 2 соотношением

= Д„[1 - 0.62(0].

Из него следует, что нелинейное взаимодействие возмущений магнитного поля н иоля гидродинамических скоростей может приводить к периодическому увеличению эффективного солротпвленнялроводника (при значительных надкритичностях амплитуда колебаний эффективного сопротивления может достичь 0.6/?о, а его среднее значепие -- величины 1.7Ло). В соответствии с предлагаемой теоретической моделью, этот процесс соответствует режиму многократной коммутации в жпдкометаллических прерывателях. Полученные из модели

оценки для характерных частот многократного прерывания и восстановления тока (при I > /с они определяются отношением альфвено-вской скорости к радиусу проводника) с достаточной точностью совпадают с экспериментальными данными.

Кроме того, посредством метода усреднения была обнаружена возможность спонтанного зарождения стационарных вихревых структур в жидкометаллическом проводнике с переменным током. Неустойчивость носит пороговый по току характер и развивается быстрее всего, если характерные времена релаксации возмущений магнитного поля сравнимы с характерными временами источника тока. Учет нелинейного взаимодействия возмущений показал, что, в ¡зависимости от величины вынуждающей частоты, потеря устойчивости исходного состояния системы может быть как жесткой, так и мягкой.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Сформулирована континуальная модель поведения несжимаемой плазмоподобноп среды в магнитном поле протекающего по ней электрического тока; определены границы применимости модели. Установлено, что эволюция токонесущей несжимаемой среды с постоянными конечными вязкостью и проводимостью описывается уравнениями, подобными возникающим в теории тсрмоконвекцпи в подогреваемом снизу плоском слое жидкости (эффект Бенара).

2. Обнаружено, что при превышении некоторого порогового тока в резистивнои вязкой среде с закрепленной границей могут формироваться крупномасштабные гидродинамические и токовые вихревые структуры с характерным размером поряджа поперечного размера системы. Нелинейное взаимодействие возмущений в околокрит-пческон области неравновесного фазового перехода описывается известной моделью Лоренца, которая в нашем случае играет роль простейшей модели турбулизации токонесущей плазмоподобной среды.

3. Показано, что существенную роль в развитии иеретяжечной неустойчивости поверхности токонесущего жидкометаллического проводника играют крупномасштабные магпитогйдродпнампческие кон-

вективные структуры в его объеме. Предложена модель, в соответствии с которой именно эти структуры определяют размер страт на начальных стадиях электрического взрыва проводников. Определены значения критического тока и характерного размера пространственных структур, которые хорошо согласуются с экспериментальными данными.

4. Установлено, что в результате нелинейного взаимодействия флуктуации магнитного поля и поля гидродинамических скоростей эффективное сопротивление проводника существенно увеличивается. Высказано предположение, что этот процесс может быть одним из факторов, обуславливающих прерывание тока при электрическом взрыве проводников.

5. Предложена основаниая па представлениях о вихревых токовых и гидродинамических структурах модель многократного прерывания и восстановления тока в жидкометаллических прерывателях. Проведено сравнение расчетных значений пороговых токов и характерных времен коммутаций с реальными осциллограммами, подтверждающее хорошее качество моделей и методик пх построения.

Основное содержание диссертационной работы положено в следующих печатных работах:

1. Волков Н. Б., Зубарев Н. М. Модель начальной стадии ламинарно-турбуяентного перехода в токонесущей плазмоподобной среде // ЖЭТФ, 1995, Т. 107, С. 1868-1876.

2. Волков Н. Б., Зубарев Н. М., Зубарева О.-В., Искольдский А. М. Теоретическое исследование начальных стадий ламинарно-турбу-лентного перехода в токонесуших плазмоподобных средах // Сб.: Нелинейные волны. Синхронизация п структуры. Под ред. М. И. Рабиновича, М. М. Сущика и В. Д. Шалфеева. Изд. Нижегородского Университета, Ч. I, С. 85-90, 1995.

3. Зубарев Н. М. О некоторых принципах построения маломодовых моделей распределенных нелинейных систем // Письма в ЖТФ, 1995, Т. 21, В. 15, С. 83-86.

4. Волков H. В., Зубарев H. M., Зубарева О. В., Шкатов В. Т. Динамическое прерывание тока и вихревые структуры в токонесущей плаомоподобной среде // Письма в ЖТФ| 199G, Т. 22, В. 13, С. 4347.

■5. Волков Н. В., Зубарев H. М., Искольдский А. М. Стратификация жидкометаллического проводника с током: эксперимент, модель // ЖЭТФ, 1996, Т. 109, В. 2, С. 429-440.

6. Iskoldsky A. M., Volkov N. В., Znbarev N. M. and Zubareva О. V. The large-scale vortex structures in plasma-like media and the electric explosion of conductors // Chaos, 1996, V. C, N. 4, P. 568-578.

7. Iskoldsky A. M., Volkov N. B. and Zubarev N. M. A model of the stratification of a liquid current-carrying conductor // Phys. Lett. A, 1996, V. 217, P. 330-334.

8. Зубарев H. M. Варпацнонные принципы построения маломодовых-моделей ламинарно-турбулентного перехода // ЖТФ, 1997, Т. 67, В. 5, С. 1-5.