Магнитогидродинамические модели плазмы тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.08 ВАК РФ

Российский научный центр

"КУРЧАТОВСКИЙ ИНСТИТУТ"

На правах рукописи УДК 533.9

ИЛЬГИСОНИС Виктор Игоревич

МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПЛАЗМЫ:

ЛАГРАНЖЕВЫ СВОЙСТВА И ПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ

01.04.08 - физика плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА—2004

Работа выполнена в Российском научном центре "Курчатовский институт".

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук профессор

(РНЦ КИ)

Кингсеп А. С.

Доктор физико-математических наук профессор

Коврижных Л.М. (ИОФ АН РФ)

Доктор физико-математических наук профессор

Ерохин НС. (ИКИ АН РФ)

Ведущая организация:

Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау АН РФ

Защита состоится 16 ноября 2004 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д.520.009.02 при Российском научном центре "Курчатовский институт" по адресу: 123182, Москва, пл Курчатова 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РНЦ " Курчатовский институт".

Автореферат разослан " " 2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Л.И.Елизаров

Общая характеристика работы.

Актуальность темы.

В диссертации исследован ряд теоретических проблем, представляющих заметный интерес для физики плазмы и управляемого термоядерного синтеза (УТС), а также имеющих большое общенаучное значение. К числу последних, несомненно, относятся задача получения адекватного критерия устойчивости гидродинамических (и, в частности, магнитогидродинамических - МГД) течений, проблема систематического отыскания симметрии и соответствующих им законов сохранения, как в классической одиожидкостной магнитной гидродинамике, так и в более реалистичных многожидкостных моделях, к числу которых относятся рассмотренные в диссертации дву-жидкостные модели электронной и холловской магнитных гидродинамик. Развитые в диссертации подходы и полученные результаты; явились серьезным этапом на пути решения указанных проблем. Помимо этого они представляют методический интерес, как, например, процедура последовательного вывода моментных уравнений гидродинамического типа из кинетического уравнения Власова без исходных предположений о характере функции распределения.

Цель и задачи исследования.

Основной целью диссертационной работы являлось систематическое теоретическое исследование лагранжевой структуры некоторых гидродинамических моделей замагниченной плазмы и вытекающих из этой структуры важнейших следствий, относящихся, в первую очередь, к инвариантным свойствам физических величин, описываемых такими моделями. В качестве основной задачи, решаемой на основе такого исследования, рассматривалась задача построения достаточного критерия устойчивости бездиссипативной плазмы в системах

рос. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА СПепрвург

ргм

. 09 яо

со. вложенными магнитными поверхностями, таких как токамаки, стеллараторы, пинчи с обращенным полем и другие аналогичные установки, используемые в УТС на принципах магнитного удержания плазмы.

Научная новизна работы.

В работах, положенных в основу диссертации, автором получен целый ряд новых научных результатов мирового уровня, среди которых можно отметить следующие.

1. Проведен вывод трехмерных моментных уравнений динамики бес-столкновительной плазмы в сильном магнитном поле и предложены физически обоснованные способы обрыва цепочки таких уравнений без предположений о характере функции распределения или введения дополнительной иерархии (ордеринга) членов дрейфово-кинети-ческого уравнения.

2. Показано, что применение адиабат Чу-Гольдбергера-Лоу1 может быть обосновано в рамках гипотезы "локального отклика" для случая слабоанизотропной плазмы. Получено обобщение этих адиабат, допускающее произвольную анизотропию функции распределения.

3. Показано, что в магнитогидродинамических системах со вложенными магнитными поверхностями даже в отсутствие геометрической: симметрии существует скрытая симметрия, допускающая нейтральные смещения плазмы без возмущения функционала потенциальной энергии. Закон сохранения, отвечающий этой симметрии, аналогичен сохранению " перекрестной спиральности", но не сводится к последнему.

4. Проанализированы возможные нейтральные смещения в МГД системах с магнитными поверхностями. Показано, что нетривиальные

'Chew G.F., Goldberger H.L., Low F.E. The Boltzmann equation and the one-fluid hydromagnetic equations in the absence of particle collisions// Proc. Roy. Soc. A. - 1956. - V. 236. - P. 112-118.

локальные нейтральные смещения в состоянии статического равновесия отвечают вышеуказанной симметрии, которая по сути является симметрией перемаркировки (для таких преобразований, сводящихся исключительно к изменению меток жидких элементов, в англоязычной литературе используется термин "relabelmg"). Именно эта симметрия ответственна за возможные стационарные состояния плазмы с течениями.

5. В развитие известного в гидродинамике подхода В.И. Арнольда2 предложен метод построения достаточного условия МГД устойчивости, основанный на корректном учете связей, накладываемых найденными законами сохранения, как в первых, так и во вторых вариациях. Получено соответствующее достаточное условие МГД устойчивости плазмы в тороидальных системах со вложенными магнитными поверхностями, уточняющее известный критерий Фримана-Ротенберга3.

6. Предложенный метод построения интегрального условия устойчивости по схеме: динамическое уравнение — симметрии — законы сохранения — функционал Ляпунова — учет связей в вариациях — вариационное (достаточное) условие устойчивости - реализован для анизотропной магнитной гидродинамики Чу-Гольдбергера-Лоу, а также для двужидкостных моделей холловской и электронной МГД.

7. Получены уравнения аксиально симметричного равновесия за-магничешюй плазмы в рамках холловской магнитной гидродинамики, корректно сводящиеся в одножидкостном пределе к уравнению Грэда-Шафранова; построен аналитический пример холловского

2 Арнольд В.И. Условия нелинейной устойчивости стационарных плоских криволинейных течений идеальной жидкости// ДАН. - 1965. - Т. 162. - С. 975-979.

3FVieman E.A., Rotenberg M. On hydrodynamic stability of stationary equilibria// Rev. Mod. Phys. - 1960. - V. 32. - P. 898-902.

равновесия, обобщающий известное решение Машке-Перрина4 для стационарного МГД вращения тороидальной плазмы.

Теоретическая и практическая значимость.

Полученные в диссертации результаты представляют не только самостоятельный научный интерес, но и имеют важное научное и методическое значение. К числу фундаментальных проблем, затронутых в диссертации, относится, в первую очередь, проблема получения адекватного критерия устойчивости в задачах гидродинамики и магнитной гидродинамики. Фактически, в вошедших в диссертацию работах автора развито новое направление, открывающее возможно сти для дальнейшего прогресса в решении этой проблемы по сравнению с широко известным ЕС-методом (от слов "Energy", "Casimir")5, основанном на добавлении к функционалу энергии набора известных инвариантов-казимиров. В подходе автора устранение излишней свободы в вариациях независимых переменных (координат и импульсов "жидких элементов" среды) обеспечивается расщеплением возмуще ний в соответствии с инвариантностью величин вида

где Р - канонический импульс, Vo(r) - равновесное поле скоростей в объеме Г, а А - весовой фактор, связанный с топологией системы. Существенно, что такое расщепление учитывается как в первой, так и во второй вариациях функционала. Помимо данной проблемы, выведенные автором моментные уравнения динамики бесстолкновитель-ной плазмы с конечным ларморовским радиусом ионов и полученная автором форма холловского равновесия аксиально симметричной

4Maschke Б. К., Perrin H. Exact solutions of the stationary MUD equations for a rotating toroidal plasma// Plasma Phys. - 1980. - V. 22. - P. 579-594.

5 Holm D.D., Marsden J.E., Ratiu Т., Weinstein A. Nonlinear stability of fluid and plasma equilibria// Phys. Reports. - 1985. - V. 123 (1&2). - P. 1-116.

Г

плазмы, допускающая - в отличие от ранее известных форм - регулярный переход к одножидкостному МГД пределу, пригодны для эффективного численного моделирования стационарного состояния и динамики многокомпонентной плазмы.

Следующие положения автор выносит на защиту:

1. Утверждение о соответствии нейтральных возмущений статического равновесия плазмы в системах с магнитными поверхностями симметрии перемаркировки;

2. Вывод о достаточности энергетического принципа Бернштейна-Фримана-Крускала-Калсруда6 для нелинейной устойчивости статических равновесий;

3. Наборы симметрии Ли-Бэклунда первого порядка для уравнений идеальной одножидкостной и электронной магнитных гидродинамик;

4. Достаточное условие МГД устойчивости движущейся плазмы; в системах с магнитными поверхностями;

5. Реализацию схемы "динамические уравнения — лагранжиан — симметрии —вариационные симметрии — законы сохранения — функционал Ляпунова— учет связей в вариациях — достаточное условие устойчивости" для анизотропной одножидкостной и квази-одножидкостных холловской и электронной МГД моделей;

6. Моментиые уравнения МГД типа для описания бесстолкно-вительных трехмерных плазменных систем с учетом конечного лар-моровского радиуса ионов без предположений о характере функции; распределения;

7. Обобщение адиабат Чу-Гольдбергера-Лоу в рамках гипотезы "локального отклика" на случай произвольной анизотропии плазмы.

'Bernstein I.B., FVeman E.A., Kruskal M.D., Kulsrud R.M. An energy principle -for hydromagnetic stability problems// Proc. Roy. Soc. Lond. A. - 1958. - V. 244. -P. 17-40.

8. Уравнения холловского равновесия вращающейся аксиально-симметричной плазмы в форме, допускающей предельный переход к одножидкостной МГД;

Апробация работы.

Полученные автором оригинальные научные результаты докладывались и обсуждались на семинарах в РНЦ "Курчатовский институт" (Москва), Институте ядерной физики СО РАН (Новосибирск), Институте изучения синтеза (Остин, США), Математическом институте им. Куранта (Нью-Йорк, США), Институте физики плазмы (Райнхаузен, Нидерланды), Ливерморской национальной лаборатории им. Лоуренса (США), Калифорнийском университете (Сан Диего, США), а также на специализированных российских и международных конференциях, таких как Звенигородская конференция по. физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (Звенигород, 1988; 2004), Всесоюзное совещание (1988) /Международная конференция (1993, 1998) по открытым ловушкам (Новосибирск), Международный конгресс по физике плазмы (Нью-Дели, Индия, 1989), Ежегодная конференция Американского физического общества по Отделению физики плазмы (США, 1992, 1994, 1995, 1996, 1997), Международная Шервудская конференция по теории синтеза (США, 1995, 1996), Конференция Европейского физического общества по управляемому синтезу и физике плазмы (1991, 1996, 1998, 1999), Варреино-лозанское международное совещание по теории синтеза (Варренна, Италия, 1996), Европейская конференция по теории синтеза (Утрехт, Нидерланды, 1995). Результаты работы опубликованы в специализированных отечественных и зарубежных журналах, в трудах международных конференций и в отечественных и зарубежных препринтах.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 14 параграфов, и заключения. Каждая глава начинается с небольшой преамбулы, разъясняющей, чему данная глава посвящена, и закан чивается кратким резюме, в котором суммируются полученные в ней оригинальные результаты. Материал диссертации изложен на 160 стр., включает 2 рисунка и список литературы из 160 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении очерчена проблематика диссертации, сформулированы предмет и метод проведенного исследования. Здесь разъясняется принятое в работе расширенное толкование понятия "МГД модели", включающее не только классическую одножидкостную магнитную гидродинамику, но и многожидкостные модели, а также моментные уравнения. бесстолкновительной плазмы в сильном магнитном поле, имеющие "гидродинамический вид". Отмечено, что в диссертации рассматриваются только идеальные (бездиссипативные) модели, подчиняющиеся; принципу Гамильтона. Далее следует небольшой экскурс в основы теории устойчивости: устанавливается терминология и иерархия различных понятий устойчивости, встречающихся в литературе, кратко описывается история применения вариационного подхода для исследования МГД устойчивости, в том числе, устойчивости стационарных состояний с течениями. Указывается место работ автора, положенных в основу настоящей диссертации,. среди других работ, развивающих подход .Арнольда для исследования устойчивости по Ляпунову течений обычной жидкости. В частности; описываются отличия используемого подхода от ЕС-метод а. Во введении также кратко изложено содержание диссертации по главам и перечислены положения, выносимые на защиту.

Первая глава диссертации - вводная, служит для определения используемых понятий, описания их свойств и изложения осново полагающих утверждений. В первом параграфе вводится понятие лагранжевых координат, строятся ко- и контравариантный базисы, определяется динамика базисных векторов. Следуя Ныокомбу7, используется техника так называемой ."эйлеризации" лагранжевых ко-

7Newcomb W.A. Lagrangian and Hamiltonian methods in magnetohydrodynam-ics//Nucl. F\ision. - 1962. - Suppl., Pt.2. - P. 451-463.

ординат, когда лагранжевы метки выражаются через неподвижные (лабораторные) координаты, а не наоборот. Это упрощает выкладки по сравнению с работой в пространстве лагранжевых координат и позволяет избежать необходимости отслеживать временное изменение метрики в пространственных интегралах и дифференциальных выражениях. Такое представление позволяет наиболее легко ненаглядно проинтегрировать уравнения непрерывности, адиабаты и вмороженности магнитного поля.

Во втором параграфе первой главы разъясняется смысл инварианта жидкой среды; следуя Арнольду8, формализм производных Ли вводится на основе понятия внешних дифференциальных форм. Та кой способ легко приводит к нахождению 4-х возможных типов инвариантов в трехмерном пространстве: пассивного скаляра, инвариантных вектора и ко-вектора, якобиана (элемента объема). Доказывается утверждение об общем представлении произвольного "сносимого" объекта-тензора, которое эквивалентно интегрированию в: терминах лагранжевых координат динамического уравнения сноса, такого объекта произвольным полем скоростей. Здесь же указано на возможность нетривиального размножения сносимых объектов, в частности, вмороженных векторов. Вытекающее из этого важное следствие состоит в том, что весь бесконечный набор кинематиче ских инвариантов (как скалярных, так и векторных) может быть. покрыт единственно вмороженностью соответствующего лагранже-вого базиса - это обстоятельство используется в дальнейшем при построении функционала Ляпунова для исследования устойчивости МГД систем.

В третьем параграфе на примере идеальной одножидкостной МГШ обсуждаются различные способы построения лагранжиана жидкой

'Арнольд В.И. Математические методы классической механики. -М.: Наука, 1974. - 432 с.

среды: с использованием потенциалов Клебша и лагранжевого интегрирования. В общем виде формулируется теорема Нетер и некоторые важные комментарии к ней, устанавливающие, в том числе, ее необходимость для рассматриваемых систем гидродинамических уравнений.и позволяющие сузить класс исследуемых вариаций при отыскании вариационных симметрии. Здесь же вводятся основные определения и терминология, принятые в теории симметрии.

В четвертом параграфе первой главы излагается статус гамиль-тонова подхода к описанию МГД систем: На примере идеальной од-ножидкостной МГД демонстрируется неканоническая форма гамиль-тоновых уравнений, разъясняется • понятие казимира, описывается принцип динамически допустимых вариаций, также позволяющий, в принципе, учитывать сохранение казимиров в рамках гамильтоно-ва подхода.

Вторая глава диссертации посвящена проблеме отыскания симметрии МГД уравнений; в частности, симметрии Ли-Бэклунда первого порядка: Особое внимание уделяется так называемым "симме-триям перемаркировки" ("relabeling symmetries"), роль которых для решения задач устойчивости долгое время недооценивалась. Между тем именно эти симметрии ответственны за существования законов сохранения типа перекрестной. спиральности (cross-helicity) и стационарных течений плазмы; их анализ крайне важен.для решения проблемы нелинейной устойчивости состояний равновесия.

Применительно к идеальной одножндкостной МГД процедура нахождения симметрии Ли-Бэклунда 1-ого порядка изложена в первом параграфе второй главы. На основе построенного в 1 главе лагранжиана выводится общий вид закона сохранения для идеальной одно-жидкостной МГД и общее уравнение вариационной симметрии, что позволяет выделить подкласс вариационных симметрии среди сим-

метрий Ли-Бэклунда 1-ого порядка и установить отвечающие им законы сохранения. В частности, в рассматриваемых системах с магнитными поверхностями выполняется закон сохранениям

где D - произвольный бездивергентный вмороженный в плазму вектор, лежащий на магнитной поверхности, а остальные обозначения стандартны (В - магнитное поле, - соответ-

ственно плотность, давление, скорость и плотность энтальпии плазмы с показателем адиабаты у). Если формально положить D —В, то указанный закон дает сохранение перекрестной спиралыюсти.

Рассматриваемые в диссертации многожидкостные модели описаны во втором параграфе. Здесь представлены общий лагранжиан многокомпонентной плазмы (МКП), соответствующее уравнение вариационной симметрии' и общий вид закона сохранения, из ко-

ч 9

торых выводятся важнейшие двужидкостные модели холловской и электронной10 магнитных гидродинамик. Холловской магнитной гидродинамикой (ХМГД) принято называть двужидкостную модель, в которой безынерционные — 0) холодные — 0) электроны обеспечивают просто квазинейтральный фон для ионов. Магнитное поле оказывается вмороженным именно в электроны, так что, в отличие от одножидкостной МГД, при наличии электрического тока становится возможным просачивание ионов плазмы сквозь силовые линии магнитного поля даже при бесконечной проводимости; Электронная магнитная гидродинамика описывает другой предельный случай квазинейтрального движения на сравнительно коротких

9Морозов А.И., Соловьев Л.С. Стационарные течения плазмы в магнитном поле// Вопросы теории плазмы, вып.8/Под ред. М.А. Леонтовича. - М.: Атом-издат, 1974. - С. 3-87.

'"Кингсеп А.С., Чукбар К.В., Я мысов В.В. Электронная магнитная гидродинамика// Вопросы теории плазмы, вып. 16 / Под ред Б.Б. Кадомцева. - М.: Энергоатомиздат, 1987. - С. 209-250.

временах, когда можно пренебречь движением относительно тяжелых ионов по сравнению с движением быстрых электронов. Уравнения электронной МГД могут быть получены из общего лагранжиана МКП, в котором оставлены только электронная компонента и энергия магнитного поля, а смещение электронной жидкости ограничено, условием квазинейтральности и, следовательно, в данном случае несжимаемо.

Симметрии и законы сохранения рассматриваемых двужидкост-ных моделей исследовались по той же схеме, что и для одножидкост-ной МГД. В холловской МГД условие квазинейтралыюсти ограничивает свободу в смещениях электронной и ионной жидкостях соотношением

где X - произвольный вектор. Закон сохранения, отвечающий маркировочной симметрии электронной жидкости (при = 0), не является рестриктивным и удовлетворяется автоматически, если векторный потенциал А магнитного поля выбран в виде ко-вектора, вмороженного в электронную жидкость. Перемаркировка же ионной жидкости = £*) порождает закон сохранения в виде

а,(рГи)+<Ку ИЧе* «) - рГсу-ч_ к)} = о ,

где и = У'+ аА - обобщенная скорость ионов, а = е/т<с ;, а К = У2/2 + Л + аА • Уе - функция Бернулли. Как можно видеть, это соотношение отвечает вмороженности обобщенной завихренности в МКП.

В модели электронной МГД независимыми переменными являются смещение электроной жидкости и возмущение векторного потенциала. Построено общее преобразование симметрии Ли-Бэклунда

первого порядка в виде

6А = {Ь0 + Ь1ЩА + Ь1А + С2 xa-((ci+c2 xr)v)a + vfi(

где 6i>2 = const, с^г - постоянные векторы, г - радиус-вектор, а£* преобразование перемаркировки, содержащее, вообще говоря, параметрическую зависимость от 6i. F3 - калибровочная функция (здесь, произвольная), векторы с^г должны удовлетворять дополнительно уравнениям - векторы базиса

вмороженного в электронную жидкость (i,j = 1,2,3): Компоненты

вектора в этом базисе определяются начальным состоянием электронной жидкости, а именно, распределением температуры Т и удельной энтропии Г) (в частности, если VT X V17 = 0, то - произвольные пассивные скаляры, т.е. функции лишь меток жидких элементов).

Проанализированы законы сохранения, отвечающие вариационным симметриям из найденного класса симметрии Ли-Бэклунда. Так, симметрия перемаркировки являет-

ся вариационной симметрией, порождающей при специальной калибровке электрического потенциала

закон сохранения

^ (и • rotX*) + div (V(u • rotX*)) = 0 .

Здесь возможны два случая.

1. VI) = 0. В этом случае любая перемаркировка является вариационной симметрией, и полученный закон сохранения интегрируется

произвольным вмороженным ко-вектором и, что и дает общее решение уравнения движения электронной МГД. Более интересен случай, когда

2. V»; ф 0; Тогда допустимое преобразование перемаркировки имеет вид вмороженного вектора, ортогонального к V»;. Соответственно, найденный закон сохранения позволяет проинтегрировать две компоненты и (в направлении, ортогональном к V»;), которые также образуют вмороженный ко-вектор. В этом, в частности, состоит важное упрощение модели ЭМГД по сравнению с идеальной МГД, где такое локальное интегрирование не проходит.

Поскольку приближение ХМГД наиболее адекватно условиям в современных "пред-термоядерных" установках токамак, в третьем параграфе второй главы описываются особенности равновесия плазмы в токамаке в рамках уравнений ХМГД. Спецификой данного рассмотрения является прослеживание корректного перехода к пределу одножидкостной МГД (1/а — 0) как в используемых уравнениях, так и в получаемых решениях. Для этого проводится регуляризация используемых физических величии (в частности, функции Бернулли), т.е. переход к величинам, не имеющим сингулярности в рассматриваемом пределе. Продемонстрирован переход уравнений аксиально симметричного ХМГД равновесия к уравнению Грэда-Шафранова. Приводится пример нахождения аналитического ХМГД равновесия тороидально вращающейся аксиально-симметричной плазмы, обобщающий решение Машке-Перрина, полученное в рамках одножид-костной теории.

Как уже отмечалось выше, условия удержания высокотемпературной плазмы в современных установках термоядерного синтеза в большей степени отвечают режиму сравнительно редких столкновений заряженных частиц плазмы, нежели области применимости

классической МГД: В этой ситуации уравнения МГД типа строятся на основе моментов кинетического уравнения Власова. Выводу и анализу такой системы трехмерных уравнений для сильно замаг-ниченной плазмы посвящена третья глава диссертации. В первом параграфе третьей главы даны общая. процедура вывода и структура моментных уравнений. Отличительной особенностью рассмотрения является использование гидродинамических переменных вместо дрейфовых, в частности, полной массовой скорости ионов вместо скорости электрического дрейфа, что соответствует идее обычного МГД описания, в котором электрическое поле исключено, и позволяет избежать априорного упорядочения различных составляющих дрейфовой скорости ионов. В этом параграфе приводятся общие выражения для динамики компонент тензоров давления и потоков тепла с учетом конечного ларморовского радиуса (КЛР) в первом порядке разложения по где - циклотронная чистота рассматриваемой компоненты плазмы (обычно, ионов).

Некоторые возможные способы обрыва цепочки моментных уравнений обсуждаются во втором параграфе. Важно, что все предлагаемые способы обрыва основаны не на распространенных в литературе явных или неявных предположениях о характере функции распределения (например, о ее близости к максвелловской; что может быть проблематично в условиях слабостолкновительной плазмы, в особенности, при ее интенсивном дополнительном нагреве), а на физически прозрачных представлениях о характере неоднородности плазмы и малости величины Полученные здесь уравнения служат обоб-

щением обычных адиабат Чу-Гольдбергера-Лоу (ЧГЛ), в частности; на случай плазмы с произвольной степенью анизотропии. Целесообразность такого обобщения' заключается в том, что принятое в подходе ЧГЛ формальное пренебрежение продольными - по отноше-

шло к магнитному полю - потоками тепла оказывается зачастую физически неудовлетворительным. Особенно заметную роль такие потоки тепла играют при расчете поправок к дрейфовым уравнениям, связанных с конечным значением ларморовского радиуса ионов. Описанные же в данном параграфе способы обрыва свободны от данного недостатка и являются более физически корректными.

Некоторые конкретные примеры использования моментных уравнений для описания анизотропной плазмы приведены в третьем параграфе. Здесь разобрана задача о "шланговой" неустойчивости анизотропной плазмы с учетом КЛР ионов, получено дисперсионное соотношение и аналитическое выражение для инкремента. Поскольку стартовой точкой для исследования проблемы устойчивости является состояние равновесия, в качестве другого примера рассмотрены особенности равновесных состояний анизотропной плазмы с течениями; для аксиально симметричной конфигурации прослежен корректный переход к статическому и изотропному случаям.

Четвертая глава, посвященная вариационному подходу к проблеме МГД устойчивости, является ключевым разделом диссертации. В первом параграфе обсуждается энергетический принцип Бернштейна-Фримана-Крускала-Калсруда спектральной устойчивости статических равновесий плазмы в магнитном поле и возможное место проблемы нелинейной устойчивости. Суть проблемы состоит в том, что равновесие плазмы в системе со вложенными магнитными поверхностями всегда вырождено, т.к. заведомо существуют нейтральные смещения, не изменяющие потенциальную энергию системы по сравнению с положением рановесия. Таким образом, для решения вопроса устойчивости необходимо исследовать характер этих смещений и отвечающие им высшие вариации функционала потенциальной энергии, что и проделано в данном параграфе. Здесь же дается классификация нейтральных смещений и показывается, что в системах со

вложенными магнитными поверхностями нейтральные смещения отвечают симметрии перемаркировки. Таикм образом, указанные смещения не приводят к какой-либо неустойчивости статического равновесия в отсутствие неустойчивости линейной. Тем не менее, именно эта симметрия ответственна за возможное появления равновесий плазмы.с макроскопическими течениями, в том числе, шйровыми, которые, как известно, играют весьма важную роль в реализации режимов с улучшенным удержанием в современных токамаках.

Проблеме построения функционала Ляпунова для исследования устойчивости таких стационарных состояний в рамках одножидкост-ной МГД посвящен второй параграф четвертой главы; Дается обзор ключевых подходов к этой задаче и выводится достаточное условие устойчивости в виде

Здесь иея - квадратичный по смещениям функционал Фримана-Ро-. тенберга, описывающий изменение эффективной потенциальной энергии возмущенного состояния по сравнению с энергией стационарного состояния, а второй член (заведомо неотрицательный) представляет собой л неустранимое приращение кинетической энергии (в системе отсчета, связанной с исследуемым стационарным.течением). Как видно, данное условие устойчивости является заведомо более "мягким" по сравнению с условием Фримана-Ротенберга иек > 0. Вывод улучшенного условия основан на явном учете законов сохранения, соответствующих симметриям перемаркировки. В отличие от ЕС-метода, связи, отвечающие этим законам сохранения и ограничивающие свободу в варьируемых функциях (а именно, в импульсах), учитываются и в равновесии, и в вариациях.

В третьем параграфе данной главы аналогичная процедура выво-

да вариационного условия устойчивости применяется для различных консервативных гидродинамических моделей. Процедура основывается на следующей последовательности операций:

1. Строится гамильтониан (интеграл энергиии) как функционал, зависящий от импульсов и лагранжевых меток, что предопределяет согласованное изменение вмороженных в движущуюся среду физических величин и инвариантность соответствующих казимиров;

2. Ищутся маркировочные симметрии; на их основе устанавливается общая функциональная структура равновесных течений и законов сохранения, ее порождающих;

3. По алгоритму "энергия + законы сохранения с множителями Лагранжа" строится "сдвинутый гамильтониан", первая вариация которого отвечает общим положениям равновесия с найденной ранее структурой течений;

4. Вычисляется вторая вариация "сдвинутого гамильтониана" на множестве таких возмущений импульсов и координат, которые не меняют величину "сдвигающих интегралов", построенных в п.2;

5. Ищется минимум (максимум) этой второй вариации по оставшимся независимым возмущениям, положительная (отрицательная) определенность которого отвечает искомому условию устойчивости.

К числу рассмотренных моделей относятся анизотропная гидродинамика ЧГЛ, холловская и электронная магнитные гидродинамики. Структура стационарных течений (и, соответственно, маркировочных симметрии) в рамках ЧГЛ-модели - в точности та же, что и для одножидкостной МГД, так что гамильтониан отличается от изотропного случая лишь модификацией выражения для потенциальной энергии. Специфика симметрии "одножидкостных по виду" уравнений ХМГД и ЭМГД связана с заложенной в эти модели физической двужидкостностью, что приводит к необходимости варьирования по

двум независимым векторным полям/ £ и X, определяющим смещения ионной (() и электронной' (£е) жидкостей, связанные условием квазинейтральности, = В результате искомое условие

устойчивости в случае ХМГД получено в виде

иИМИо = и + б2п1 >0,

куда аддитивно входят величина U, отвечающая "одножидкостно-му" условию, и "холловская" добавка

62Н! = J d3x {¿В [rotX х Vo] - * B S(pVo)

+ Ve • [rotx X D]^ J .

Здесь 6p = -div(pO. «V¿.= (Vo-V)( - (£ V)V0 - обычные МГД вариации, заданные на ионной сетке, a 6D'= rotéA = rot х В] и, следовательно, также зависит не только от но и от X. Случай; одножидкостной МГД соответствует естественному пределу V, —» V| rotX — 0, 62Tii 0.

Модель электронной МГД рассмотрена для случая баротропной электронной жидкости, при котором уравнение для обобщенного импульса ри = p(Ve +аеА) такой жидкости интегрируется в терминах ларанжевых меток. Получено условие устойчивости в виде

ие = б2Не = J d3x (6В + rotB х £е) 6В„ > 0 .

Здесь ¿Bu = ¿rot(u/oe) = roí (rotX x Bu/aep) , а 5B - следующим уравнением:

6B + rot(^) = ¿Bu.

Единственным параметром в этом уравнении является отношение de/d, где dt = 1/\Ja\p ~ c/|wp.| - бесстолкновительная скиновая

длина, a d - характерный масштаб возмущенного магнитного поля. Для термоядерной плазмы с концентрацией р/те fa 1014 см-3 , значение dim 2,8 • 10~3 см2, так что отнош е(Уие)й о ж е т быть значительно меньше единицы. Предел '(de/d)2 — 0 соответствует пренебрежимо малому вкладу инерции электронов в исходное уравнение движения электронной жидкости, которое в этом случае превращается просто в уравнение вмороженности магнитного поля в электронную жидкость, i5B„.—»-¿В; В этом пределе Ut выглядит как статический энергетический принцип одножидкостной МГД в пренебрежении; сжимаемостью. Для плазмы токамака он соответствует просто условию винтовой устойчивости (с учетом того, что наиболее опасными являются несжимаемые винтовые моды). Бели же отношение мало, но конечно, то отличие от одножидкост-

ного МГД случая возникает явно. Это отличие связано со вкладом возмущенного электронного движения (электронного тока), который оказывается всегда дестабилизирующим. Малый параметр входит в уравнение для 6В; множителем перед старшей производной,что приводит к появлению качественно новых мелкомасштабных возмущений (филаментация тока).

Четвертый параграф главы посвящен вопросу о возможной роли законов сохранения, связанных с симметриями Ли-Бэклунда более высокого порядка. Рассмотрение ведется на примере модельной-двумерной системы, допускающей точное решение линеаризованной задачи. Показано, что в рамках линейных уравнений существуют дополнительные законы сохранения, не связанные с вырождением положения равновесия: (т.е. с симметрией перемаркировки). Учет этих законов оказывается существенным для уточнения "энергетического" условия устойчивости (для рассмотренного примера эта процедура позволяет получить точный критерий - необходимое и доста-

точное условие устойчивости). Обсуждается возможная процедура такого уточнения для линеаризованных МГД уравнений: приведен один из возможных дополнительных законов сохранения, справедливых для линеаризованной динамики,

Ег = 5 j [i(2/>(V0 V)i - F(0)2 - ¿ F«)} d3r = const ,

где Vo - скорость стационарного течения плазмы, F - стандартный самосопряженный силовой оператор линеаризованного уравнения МГД движения. Этот закон заведомо не сводится к сохранению энергии и компонент импульса; с его учетом получено уравнение для минимизирующего смещения.

В заключении кратко суммированы основные результаты диссертации, обсуждается вопрос о статусе и перспективах изложенных в диссертации подходов.

Основные публикации по теме диссертации

[1] Ilgisonis V.I. 3D MHD-Type Equations for Collisionless Plasmas with Finite Ion Gyroradius Effects.// 1989 Int. Conf. on Plasma Phys. New Delhi, India. Contr. Papers/Ed. A. Sen, P. Kaw. -1989. - V.2. - p.381-384.

[2] Ильгисонис В.И. Нелокальная устойчивость плазмы конечного давления в бестоковых системах// Физика плазмы. - 1988. -Т.Н. -С.529-538.

[3] Ilgisonis V.I. 3D-Equations of Collisionless Plasma Dynamics with FLR-EfTects// Препринт IAE-5057/6. - 1990. - 24 pp.

[4] Ильгисонис В.И. Уравнения динамики трехмерной бесстолкно-вителыюй плазмы с конечным ларморовским радиусом ионов// Физика плазмы. - 1990. — Т. 16. - С. 1046л1060.

[5] Ilgisonis V.I. The Integrals of Drift Particles Motion with Finite • Larmor Radius// 18 Europ. Conf. On Controlled Fusion and Plasma

Phys., Berlin, 1991: - V. IV. - P. 157- 160.

[6] Ильгисонис В.И., Соколов Л.Ю. О структуре квазижелобко-вых возмущений в плазме длинных замкнутых магнитных ловушек// Физика плазмы. - 1991. - Т. 17. - С. 1053- 1062.

[7] Ильгисонис В.И. Об интегралах дрейфового движения частиц с конечным ларморовским радиусом// ЖЭТФ. - 1992. - Т. 101. -С. 58-66.

[8] Ilgisonis V.I. Guiding-Center Theory for Three Dimensional Colli-sionless Finite Larmor Radius Plasmas// Phys. Fluids B. - 1993J — V. 5. - P. 2387-2397.

[9] Ilgisonis V.I., Pastukhov V.P. On Nonlinear MHD-Stability of Toroidal Magnetized Plasmas// 1994 Int. Conf. on Plasma Phys., Foz do Iguacu, Brazil. - INPE/ Setor de Eventor/ 94ICPP. - 1994.

- V. 2; - P. 64-66.

[10] Ilgisonis V.I., Pastukhov V.P. On Nonlinear MHD-Stability of Toroidal Magnetized Plasmas// Письма в ЖЭТФ - 1995. - T.61.

- С. 186-192.

[11] Ilgisonis V.I.', Pastukhov V.P. Shear flow steady state of tokamak plasma with anisotropic pressure// 23 Europ. Conf. on Controlled Fusion and Plasma Phys., Kiev, 1996/ Eds.: D.Gresilon, A.Sitenko, A.Zagorodny. - ECA. - V. 200. - Part I. - P. 243-246.

[12] Ilgisonis V.I. Anisotropic plasma with flows in tokamak: steady state and stability// Phys. Plasmas. - 1996. - V: 3. - P. 4577-4582.

[13] Ильгисонис В.И., Пастухов В.П. Стационарные течения тороидальной замагниченной плазмы и их МГД-устойчивость// Физика плазмы. - 1996. - Т. 22. - С.228-238/

[14] Ilgisonis V.I., Schep T.J. Contact symmetries for ideal magnetohy-drodynamics// Thes. 7-th European Fusion Theory Conf. (Julich, Germany, 1997). - Julich: MP IPP, 1997. - Rep. P2-4.

[15] Ильгисонис В.И., Пастухов В.П. Скрытая симметрия и законы сохранения в магнитогидродинамических системах с вложенными магнитными поверхностями// ДАН; - 1997. - Т. 355. - С. 38-40.

[16] Ilgisonis V.I., Lakhin V.P. Symmetries for the electron magnetohy-drodynamics// Proc. 1998 ICPP and 25 EPS Int. Conf. on Contr. Fus. and Plasma Phys. - Prague, 1998, Czech. Rep. - ECA, 1998. - V.22. - P. 256-259.

[17] Ilgisonis V.I., Lakhin V.P. On Lagrangean Structure, Symmetries and Conservation Laws for the Electron MHD Equations// Electromagnetic waves and Electronic Systems. - 1998. - V.3(2-3).

[18] Ilgisonis V.I. Variational stability problem for MHD model with Hall effect// Transactions of Fusion Techn. - 1999. - V. 35. - No. IT. - P. 170-174.

[19] Ilgisonis V.I., Lakhin V.P. Variational principle for electron mag-netohydrodynamics// 26 Europ. Conf. On Controlled Fusion and Plasma Phys., Maastricht, 1999 - P. 861-864.

[20] Ильгисонис В.ИМ Лахин В.II.. Лагранжева структура гидродинамических плазменных моделей и законы сохранения// Физика плазмы. - 1999. - Т. 25. - С. 64-75.

[21] Ильгисонис В.И., Пастухов В.П. Вариационные подходы к задачам устойчивости и нелинейной динамики плазмы// Письма в ЖЭТФ. - 2000.- т. 72. - С. 758-773.

[22] Ilgisonis V.I. Equilibrium of flowing plasma in tokamak in frame of Hall magnetohydrodynamics// Plasma Phys. and Controlled Fusion. - 2001: - V. 43. - P. 1255-1271.

[23] Ильгисонис В.И: Лагранжева гидродинамика (конспект лекций): Препринт ИАЭ-6225/1. - М.: РНЦ "Курчатовский институт", 2001. - 85 с.

Подписано в печать 08.09.2004. Формат 60x90/16 Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,56 Тираж 70. Заказ 48. Отпечатано в РНЦ «Курчатовский институт» 123182, Москва, пл. Академика Курчатова

04-15818

Аббревиатуры и обозначения

Введение

Магнитная гидродинамика (МГД). Одно- и многожидкостные модели. Моментный подход для МГД описания. Проблема устойчивости, вариационный подход. Структура диссертации, положения, выносимые на защиту.

Глава 1. Инварианты и законы сохранения в гидродинамике

§ 1.1. Лагранжевы координаты.

Кинематические свойства жидкости. Лагранжев базис, якобиан, динамика. Общее представление пассивного скаляра, вмороженного вектора, интегрирование уравнения непрерывности. Сохранение топологии магнитного поля при МГД эволюции.

§ 1.2. Понятие инварианта.

Примеры простых инвариантов. Производная Ли. 4 типа инвариантов в Ш3. Координатное определение. Представление сносимого тензора. Размножение вмороженных векторов.

§ 1.3. Лагранжиан и законы сохранения

Закон сохранения в гидродинамике. Потенциалы Клебша. Построение жидкого лагранжиана. Теорема Нетер и комментарии. Симметрии Ли-Бэклунда.

§ 1.4. Гамильтонов подход.

Каноническое и неканоническое описания. Казимиры. Метод динамически допустимых вариаций.

Глава 2. МГД симметрии

§ 2.1. Симметрии идеальной одножидкостной МГД.

Симметрии Ли-Бэклунда 1 порядка для идеальной одножидкостной МГД. Скейлин-ги. Симметрии перемаркировки. Законы сохранения.

§ 2.2. Многокомпонентная плазма.

Лагранжиан многокомпонентной плазмы. Двужидкостные модели: холловская (ХМГД) и электронная (ЭМГД) магнитные гидродинамики, их симметрии и законы сохранения.

§ 2.3. Холловское равновесие плазмы в токамаке.

Особенности ХМГД равновесия плазмы в токамаке. Корректный переход к одножидкостной МГД. Аналитический пример.

Глава 3. Анизотропная бесстолкновительная магнитная гидродинамика

§ 3.1. Общая структура уравнений

Гидродинамические переменные вместо дрейфовых, отсутствие априорного ордерин-га, моментные уравнения, тензоры давления и потоков тепла. Динамика диагональных форм.

§ 3.2. Замыкание цепочки моментных уравнений.

Известные способы обрыва. Физически мотивированные предположения: квазидву-меризация, скорректированная гидродинамика ЧГЛ, обобщение на случай произвольной анизотропии.

§ 3.3. Примеры использования моментных уравнений для описания анизотропной плазмы.

Шланговая неустойчивость однородной анизотропной плазмы с учетом KJIP ионов. Равновесие анизотропной плазмы с течениями. Предельные переходы (к изотропному случаю, к статике).

Глава 4. Вариационные условия МГД устойчивости

§ 4.1. Устойчивость статических равновесий.

Статический энергетический принцип БФКК для линейной устойчивости. Необходимость и достаточность. Проблема нейтральных смещений, их классификация. Нейтральные смещения статического равновесия плазмы, высшие вариации, маркировочные симметрии.

§ 4.2. Функционал Ляпунова.

Проблема построения функционала Ляпунова для одножидкостной МГД. Обзор известных подходов. Достаточное условие МГД устойчивости плазмы с течениями.

§ 4.3. Устойчивость течений анизотропной и многокомпонентной плазмы . 128 Функционал Ляпунова для гидродинамики ЧГЛ. Вариационные условия устойчивости для ХМГД и ЭМГД.

§ 4.4. Особенности динамики линейных систем.

Двумерный пример с изолированным равновесием. Дополнительные законы сохранения. Соотношение спектрального и вариационного метода. Возможные МГД аналогии.

В данной диссертации представлено систематическое теоретическое исследование лагранжевой структуры различных гидродинамических моделей замагниченной плазмы и вытекающих из этой структуры важнейших следствий, относящихся, в первую очередь, к инвариантным свойствам физических величин, описываемых рассматриваемыми моделями. Развит вариационный метод последовательного учета указанных инвариантных свойств при исследовании устойчивости стационарно движущейся плазмы.

Магнитогидродинамическое (МГД) описание плазмы имеет более чем полувековую историю и восходит к основополагающим работам Альфвена, суммированных в монографиях [1], [2]. За это время магнитная гидродинамика оформилась в самостоятельную науку, изучающую поведение проводящей жидкости в магнитном поле и динамику самого магнитного поля, связанную с движением проводящей жидкости, что отражено в многочисленных монографиях весьма общего содержания, таких как [3, 4, 5]. Не касаясь здесь многочисленных технических приложений магнитной гидродинамики к задачам металлургии, теории электролитов и пр. (см., например, [б, 7, 8, 9]), отметим, что в физике высокотемпературной плазмы такая одножидкостная МГД модель описывает наиболее "грубые", принципиальные закономерности макроскопического поведения плазмы в терминах плотности плазмы р, массовой скорости V, давления р и индукции магнитного поля В:

3/0 + div(/>V) = O, (0.1) pdtV + p(V-V)V + Vp = -UotB x В , (0.2)

47г

9*В = rot[V x В] . (0.3)

Все величины в (0.1)-(0.3) рассматриваются как функции времени и точки пространства, / = /(<, г). Система (0.1)-(0.3) должна быть дополнена описанием динамики давления, которую по аналогии с обычной гидро- или газодинамикой задают в виде уравнения состояния (см., например, [10]),

Р = Р(р, V)

0.4) и уравнения теплового баланса. В частности, в адиабатических процессах плотность энтропии г]: dtT] + V-V/7 = 0 .

0.5)

Очевидно, что такой способ задания динамики давления не вытекает из первопринципов движения и взаимодействия частиц плазмы, а является эмпирическим (основанным на термодинамике).

Физический смысл системы (0.1)-(0.5) прозрачен. Уравнение (0.1) - обычное для гидродинамики уравнение непрерывности, уравнение (0.2) - уравнение Эйлера для жидкости с учетом силы Ампера для тока проводимости, значительно превышающего ток смещения, уравнение (0.3) - уравнение Максвелла для напряженности электрического поля Е, в котором учтено отсутствие электрического поля в собственной системе отсчета хорошо проводящей плазмы,

Уравнения (0.1)-(0.5) называют уравнениями идеальной одножид-костной магнитной гидродинамики, поскольку в них пренебрегается диссипативными эффектами, связанными с конечной электропроводностью плазмы, вязкостью и т.п. Учет этих эффектов в рамках магнитной гидродинамики возможен и, более того, даже обязателен при рассмотрении стандартных задач о МГД течениях [4, 5, 6], однако в данной диссертации основное внимание будет уделено именно идеальным моделям, вполне удовлетворительно описывающим многие физические процессы в высокотемпературной плазме современных термоядерных установок и многочисленных космических объектов (звезд). Это относится и к интересующей нас главным образом задаче устойчивости, когда быстрые МГД неустойчивости могут развиваться за времена существенно меньшие характерных диссипативных времен. Здесь уместно подчеркнуть, что мы не будем специально выделять случай несжимаемых течений, поскольку, как известно, сжимаемость может играть весьма заметную роль в проблеме устойчивости плазмы.

0.6) Е + КУхВ],,

0.7)

Описанная классическая МГД модель естественным образом распространяется на более реалистичную ситуацию, когда каждая компонента плазмы (электроны и ионы одного сорта) рассматривается как независимая жидкость со своими уравнениями непрерывности, движения и баланса тепла. С этой точки зрения одножидкостная МГД выглядит как вырожденный предельный случай двух- или многожидкостной МГД модели. Вырожденность означает, что одножид-костное приближение обладает меньшим набором степеней свободы, но вследствие этого же допускает большую свободу в распределении физических параметров в равновесии, нежели это возможно в рамках многожидкостной МГД (см., например, [11]; ниже это свойство будет проиллюстрировано в гл.З). Многожидкостная МГД модель особенно продуктивна для описания процессов переноса, когда существенно взаимодействие между различными компонентами плазмы [12], а также для рассмотрения движущейся плазмы с заметным различием в среднемассовых скоростях ионов и электронов [13].

Физической основой использования гидродинамических моделей для описания газа в терминах локальных функций, заданных в каждый момент времени во всех точках координатного пространства, служит механизм "упорядочения", нивелирующий возможные существенные отличия индивидуальных траекторий частиц газа. Таким упорядочивающим механизмом могут быть столкновения частиц, из-за которых функция распределения частиц газа (плазмы) оказывается близкой к максвелловской (разумеется, параметры максвелловской функции могут зависеть от точки пространства и от времени). Гидродинамическое приближение с очевидностью применимо на временах, значительно больших характерного времени такой релаксации функции распределения. Многожидкостные МГД модели базируются на известном факте, что релаксация в каждой компоненте происходит значительно быстрее, чем процессы обмена энергией между компонентами [14, 15]. Однако для плазмы в достаточно сильном магнитном поле даже в случае редких столкновений существует известный механизм упорядочения, связанный с быстрым циклотронным вращением заряженных частиц, что также позволяет использовать - в определенных пределах - МГД описание в терминах моментов функции распределения. При этом качественно плазма представляется как газ ларморовских кружков; количественно же эта интерпретация связана с сохранением магнитного момента заряженной частицы в достаточно сильном и слабонеоднородном в постранстве и во времени магнитном поле. Кинетическое описание эквивалентно бесконечному набору моментов функции распределения, причем, как известно, в динамическое уравнение для некоторого момента входят моменты и более высокого порядка. Так в уравнении для давления фигурируют потоки тепла, в уравнениях для потоков тепла - четвертый момент и т.д. Поэтому для получения замкнутой системы уравнений МГД типа необходимы дополнительные предположения, позволяющие оборвать эту моментную цепочку. Введение таких предположений может основываться на различных физических соображениях и методически эквивалентно введению в одножидкостной МГД эмпирического термодинамического закона (0.5).

В целом область надежной применимости МГД уравнений хорошо известна (см., например, обзор [16]). Отметим, что, в соответствии с вышеуказанным, термин "МГД модели" используется в данной диссертации в широком смысле слова, т.е. включая многожидкостные и моментные уравнения МГД типа. Идеальность (в смысле пренебрежения диссипативными эффектами) рассматриваемых МГД моделей, предопределяет их лагранжеву структуру, позволяя тем самым реализовать обычную для классической механики схему их вывода из принципа наименьшего действия Гамильтона со всеми вытекающими из такого представления следствиями. Впервые для уравнений идеальной одножидкостной МГД такая схема была реализована Ньюкомбом [17], который продемонстрировал преимущества использования лагранжевых координат при рассмотрении динамики идеальной МГД системы. Введением лагранжевых координат уравнения непрерывности (0.1), вмороженности магнитного поля (0.3) и адиабаты (0.5) интегрируются, что позволяет, в частности, проанализировать устойчивость некоторого класса равновесных состояний плазмы в магнитном поле. Как известно, проблема устойчивости, понимаемая как анализ "близости" динамического состояния системы, выведенной из положения равновесия, к этому положению, является одной из наиболее интересных и исследуемых проблем гидродинамики. В физике плазмы, в частности, эта проблема имеет первостепенное значение для управляемого термоядерного синтеза. В литературе используется довольно разнообразная терминология (причем не всегда корректно), поэтому, поскольку ряд основных результатов настоящей диссертации непосредственно относится к теории устой-{ф чивости, представляется целесообразным конкретизировать используемые термины и очертить статус рассматриваемых в диссертации задач.

Математически корректное определение понятия устойчивости было дано Ляпуновым.

Пусть х = Хо - стационарная точка равновесия динамического уравнения dix. = F(x) : F(x0) = 0 . (0.8)

Эта точка (положение равновесия) устойчива, если Ve > 0 36 > 0 : x(*)-x0||[=o<<5 ||x«-x0|| <6.

Другими словами, достаточно малое начальное отклонение состояния системы от положения равновесия предопределяет любую наперед заданную малость этого отклонения в произвольный момент времени (см. рис 1).

Обратим внимание на то, что это определение привязано к способу ^ введения нормы в х-пространстве. Вводя эту норму по-разному, мы получим, вообще говоря, разные классы устойчивых траекторий и, соответственно, различные условия устойчивости. Известна основная теорема Ляпунова, выступающая как достаточное условие устойчивости.

Теорема Ляпунова.

Если существует скалярная функция U(x.) такая, что

1). U(x) — гладкая в окрестности Хо ,

2). £/(х0) = 0 , Зе > 0 : ||х-х0||<е С/(х ф х0) > 0 ,

3). dtU(x) = dXkU(x)Fk(*) < 0 , то стационарная точка х = Хо устойчива.

Регулярного способа построения функционала Ляпунова не существует. Для консервативных систем естественным "кандидатом" в функционалы Ляпунова служит гамильтониан системы Н, автоматически удовлетворяющий условиям 1) и 3). В этом случае для получения вердикта об устойчивости достаточно проверить выпуклость

Н в точке Хо (условие 2)). Тем не менее провести эту проверку для конкретных систем зачастую оказывается не так просто. На практике часто ограничиваются исследованием на устойчивость линеаризованных уравнений (отвечающих квадратичному гамильтониану). Используется следующая терминология.

Положение равновесия (0.8) называется спектрально устойчивым, если линеаризованный оператор JDF(xo) не имеет положительной вещественной части. Тем самым гарантируется отсутствие возмущений, нарастающих вблизи положения равновесия экспоненциально быстро.

Линейная устойчивость (по отношению к норме j| £|| инфинитези-мальных возмущений £) реализуется, если

V6 > 0 36 > 0 : U(t = 0)|| < 6 ||£(t > 0)|| < б , где £ удовлетворяет линеаризованному уравнению динамики = DF(x0) ■ £ точка над величиной обозначает производную по времени).

Аналог теоремы Ляпунова для линеаризованной системы иногда называют условием формальной устойчивости, а именно, положение х = Хо системы (0.8) объявляется формально устойчивым, если существует сохраняющаяся величина U(x) : U = 0, первая вариация которой при х = Хо равна нулю, а вторая - знакоопределена (положительна или отрицательна V£).

Иерархия различных введенных понятий устойчивости для рассматриваемых здесь консервативных систем довольно очевидна. Спектральная устойчивость необходима и для линейной, и для нелинейной (по Ляпунову) устойчивости, поскольку присутствие экспоненциально растущей моды заведомо выводит траекторию из заданной (сколь угодно малой) е-окрестности положения равновесия. Достаточности здесь нет, т.к. даже в линеаризованной системе могут развиваться не. экспоненциально растущие возмущения (например, вдоль "полочки" потенциала). Линейная устойчивость не является ни необходимой, ни достаточной для устойчивости по Ляпунову. В самом деле, "полочка" потенциала может в действительности оказаться "ямкой", но не параболической, а, скажем, 4-ой степени, т.е. линейно неустойчивое равновесие реально может быть устойчивым. Известны и примеры того, что линейно устойчивые равновесия неустойчивы по Ляпунову [18]. Формальная устойчивость гарантирует линейную, но не наоборот. Для конечномерных систем формальная устойчивость гарантирует и нелинейную устойчивость (классический результат Лагран-жа). Континуальные же среды имеют некоторые особенности.

Начнем с того, что все данные выше определения естественно переносятся и на континуальные среды переходом: вектор x(t) I—► вектор-функция u(t, г) , функция U(х) I—► функционал U[u] , производная i—► вариационная производная , положение равновесия dxU 0 I—► 6U

Хо 0 о

Описанная выше иерархия различных определений устойчивости также справедлива. Однако для континуальных сред известны примеры, когда формальная устойчивость не обеспечивает устойчивость по Ляпунову: система может иметь некоторое - или даже бесконечное - число направлений неустойчивых возмущений [19]. Тем не менее исследование формальной устойчивости является важным шагом на пути к выяснению устойчивости по Ляпунову; известны различные подходы к получению улучшенных критериев формальной устойчивости и - в некоторых частных случаях - условий нелинейной устойчивости, которые мы обсудим ниже. Здесь же отметим, что для известных гамильтонианов жидких сред, квадратичных по импульсам, контрпримера типа [19] не построено.

Несмотря на отмеченную выше ограниченность понятий спектральной и линейной устойчивости, подавляющее число работ по исследованию устойчивости плазмы относится именно к ним (см. энциклопедические монографии [20]-[23]; подробный обзор основных подходов к описанию МГД неустойчивостей приведен в [24]). Методическая трудность корректного исследования спектральной устойчивости (особенно для случая неоднородной плазмы) заключается в необходимости отыскания наряду с собственными значениями также и собственных векторов, которые должны удовлетворять определенным граничным условиям. В результате вместо обычного для конечномерных систем дискретного спектра мы можем получить непрерывный, или даже отсутствие спектра вообще. Вместе с тем для ответа "да -нет" на вопрос об устойчивости исследуемого состояния равновесия знания реальной динамики системы не требуется; ответ может быть получен при помощи вариационных методов.

Идея применения вариационного подхода для исследования устойчивости статического МГД равновесия впервые, по-видимому, была выдвинута Лундквистом [25] и реализована в работе Бернштейна, Фримана, Крускала и Калсруда (БФКК) [26], где показано, что положительная определенность функционала потенциальной энергии W вблизи положения равновесия, 62W > 0, гарантирует спектральную устойчивость.

Энергетический принцип БФКК (именуемый в англоязычной литературе <52W-npHHnnnoM) получил весьма широкое распространение благодаря физической наглядности и простоте получения суждения об устойчивости простых МГД систем (см., например, [27]). Для практических целей крайне важно, что он обеспечивает и необходимое условие устойчивости, другими словами, если 3£ : <52W[£] < 0 , то рассматриваемое равновесие неустойчиво по отношению к линеаризованным МГД уравнениям [28]. Однако вплоть до недавнего времени [29] "за кадром" рассмотрения оставался вопрос о роли возмущений с и = 0, которые, как отмечалось выше, существенны для выявления возможной нелинейной неустойчивости. Помимо этого существование таких нейтральных возмущений может быть связано с симметрией МГД уравнений и отвечать возможным равновесным состояниям с течениями (V ф 0) .

Попытка распространить подход БФКК на исследование МГД устойчивости стационарных состояний плазмы с течениями была предпринята Фриманом и Ротенбергом [30]. Однако полученный ими достаточный критерий устойчивости (модифицированный 62W-принцип) оказался слишком "жестким" и критерием, по-существу, не является: он весьма далек от необходимого и, более того, заведомо не выполняется, за исключением равновесий сравнительно узкого класса. Чрезмерная "жесткость" условия Фримана-Ротенберга связана с допущением в вариационной процедуре излишней свободы в варьируемых функциях, нежели это предопределено динамикой системы. А именно, импульсы и координаты в гамильтониане оказываются не вполне независимы; соответствующие связи могут быть следствием существования иных законов сохранения помимо энергии, присущих динамике системы.

Устойчива Неустойчиво

Рис.1. Иллюстрация понятия устойчивости. Синим и красным цветами показаны соответственно устойчивая и неустойчивая фазовые траектории, стартующие из ^-окрестности положения равновесия Хо V равновесные состояния Я

Рис.2. Иллюстрация случая вырожденного равновесия (синяя кривая). Колебания (красные точки) происходят вдоль линии постоянства инварианта (зеленые кривые)

Важность учета таких связей при анализе устойчивости была понята еще Ляпуновым, предложившим исследовать выпуклость функции С/(х) только в подпространстве возмущений, отвечающих постоянству имеющихся инвариантов движения. Качественно эта идея проиллюстрирована на рис.2, где на схематически изображенной фазовой плоскости зеленые кривые являются линиями уровня некоторого инварианта движения. Система, выведенная из устойчивого положения равновесия О произвольным возмущением будет колебаться (красные точки на рис.2) уже вблизи некоторого нового положения равновесия Оi, сохраняя постоянным значение этого инварианта. Очевидно, что для устойчивости важна не абсолютная выпуклость функции Ляпунова в точке Oi, а лишь вдоль линии уровня инварианта, что позволяет при гладкой зависимости инварианта от фазовых координат рассматривать вместо произвольных возмущений £ более узкий класс возмущений не меняющих значения инварианта в положении равновесия О .

Применительно к гидродинамике эта идея была формализована Арнольдом [31]-[32], показавшим, что сохранение интеграла завихренности в идеальной жидкости приводит к расслоению фазового пространства на симплектические листы, причем аналогичным свойством обладают и другие инварианты-казимиры.1 Арнольдом же был указан рецепт перехода от исследования формальной устойчивости к устойчивости по Ляпунову [33]. Эти работы положили начало целому направлению, именуемому в англоязычной литературе "Energy-Casimir (ЕС) method", суть которого заключается в постро-ениии функционала Ляпунова по схеме и = Я + £{<?,} , (0.9) i где Н - гамильтониан системы, а {С,} - известный набор казимиров; далее исследуется поведение U вблизи положения равновесия. Литература по использованию ЕС-метода весьма обширна, укажем здесь лишь некоторых ключевых авторов, таких как Владимиров, Морри-сон, Моффат, Финн, Холм, см., например, [34] - [37]. Обзор [37] содержит большое количество конкретных примеров и является одной из самых цитируемых работ по данному вопросу. Однако следует отметить, что и в самой работе [37], и в более поздних работах тех

1 Разъяснение свойств казимиров - см. в §1.4 же авторов и их последователей подход, предложенный Арнольдом, реализован не полностью. Поскольку при надлежащем выборе набора казимиров {С,} первая вариация функционала £/, заданного (0.9), действительно позволяет получить общее условие равновесия, авторы полагают, что накладываемые сохранением казимиров связи учитываются в вариационной процедуре автоматически - как в известном в вариационном исчислении методе множителей Лагранжа. Однако правило множителей Лагранжа справедливо лишь для первой вариации, поэтому при рассмотрении второй вариации или при выполнении нелинейных оценок о сохранении казимиров следует позаботиться специально, ограничивая соответствующим образом свободу варьируемых функций. Без этого ЕС-метод сводится просто к варьированию смещенного гамильтониана (0.9), что хотя и позволяет получить правильные (и достаточно общие) условия равновесия, но приводит по-прежнему к слишком жесткому условию устойчивости Фримана-Ротенберга [30].

Корректный учет ограничений в вариациях для исследования МГД устойчивости движущейся плазмы был проведен разными методами в работах [38, 39]; получен одинаковый результат. Впоследствие было показано [40], что этот результат может быть получен и в рамках гамильтоновой теории с использованием так называемого "метода динамически допустимых возмущений" [41, 42], хотя сами авторы метода ошибочно получили [43] более слабый результат Фримана-Ротенберга. Сказанное иллюстрирует важность аккуратного учета ограничений, связанных с сохраняющимися величинами в вариационной процедуре.

Методическая трудность использования ЕС-метода заключается в том, что, как известно, гидродинамическая система уравнений (и МГД в том числе) может обладать бесконечным набором казимиров. Вместе с тем описанная в [17] и развитая в [29, 38] лагранжева процедура позволяет автоматически учесть при варьировании весь набор казимиров. Центр тяжести проблемы переносится на отыскание иных, некинематических законов сохранения, которые также следует учитывать для получения адекватного условия устойчивости. Для лагранжевых систем известна теорема Нетер [44], которая справедлива и для случая континуальных сред. Применение теоремы Нетер требует отыскания вариационных симметрий рассматриваемой системы уравнений. Симметрии МГД уравнений исследовались и ранее, однако цель таких исследований была обычно иной: знание сим-метрий позволяет строить некоторые точные решения (так называемые "инвариантные" решения) [45, 46]. Как правило, при этом ограничиваются поиском наиболее простой группы точечных симметрий (симметрий Ли); полная группа таких симметрий уравнений идеальной одножидкостной МГД была найдена Фуксом [47]. Нетривиальные же законы сохранения в гидродинамике (в том числе магнитной) обычно связаны с более сложной группой симметрий - симметрия-ми Ли-Бэклунда2. Некоторые такие симметрии уравнений идеальной МГД были рассмотрены в работе [48] и описаны в [49].

Вышесказанное обосновывает следующую схему получения вариационного условия устойчивости стационарного состояния идеальной жидкой среды: динамические уравнения - лагранжиан - симметрии -вариационные симметрии - законы сохранения - функционал Ляпунова, учитывающий инварианты + законы сохранения - вариационный (достаточный) критерий устойчивости. Причем последний переход осуществляется посредством варьирования с учетом ограничений на варьируемые функции, вытекающих из имеющихся законов сохранения. Данная схема реализована в настоящей диссертации для различных МГД моделей плазмы.

Перейдем теперь к более подробному изложению структуры и содержания диссертации. Материал диссертации разбит на 4 главы, 14 параграфов. Первая глава диссертации - вводная, служит для определения используемых понятий, описания их свойств и изложения основополагающих утверждений. В первом параграфе вводится понятие лагранжевых координат, строятся ко- и контравариантный базисы, определяется динамика базисных векторов. Следуя [30, 17], мы используем так называемую технику "эйлеризации" лагранжевых координат, когда лагранжевы метки выражаются через неподвижные (лабораторные) координаты, а не наоборот, что упрощает выкладки по сравнению с работой в пространстве лагранжевых координат, позволяя избежать необходимости отслеживать временное изменение метрики в пространственных интегралах и дифференциальных выражениях. Такое представление позволяет наиболее легко и наглядно проинтегрировать уравнения непрерывности (0.1), вмороженности

2Мы вводим это понятие в §1.3; соответствующая теория - см. [75, 95]

0.3) и адиабаты (0.5).

Во втором параграфе первой главы разъясняется смысл инварианта жидкой среды; следуя Арнольду [50], формализм производных Ли вводится на основе понятия внешних дифференциальных форм. Такой способ легко приводит к нахождению 4-х' возможных типов инвариантов в трехмерном пространстве. Доказывается полезное утверждение об общем представлении произвольного "сносимого" объекта-тензора. Здесь же указано на возможность нетривиального размножения сносимых объектов, в частности, вмороженных векторов.

В третьем параграфе обсуждаются различные способы построения лагранжиана жидкой среды: с использованием потенциалов Клебша и лагранжевого интегрирования. В общем виде формулируется теорема Нетер и некоторые важные комментарии к ней, устанавливающие в том числе ее необходимость для рассматриваемых систем гидродинамических уравнений и позволяющие сузить класс исследуемых вариаций при отыскании вариационных симметрий.

В четвертом параграфе первой главы излагается статус гамильто-нова подхода к описанию МГД систем. Вводятся канонические и неканонические скобки Пуассона, разъясняется понятие казимира, описывается принцип динамически допустимых вариаций.

Вторая глава диссертации посвящена проблеме симметрий МГД уравнений, в частности, симметрий Ли-Бэклунда первого порядка. Особое внимание уделяется так называемым "симметриям перемаркировки" ("relabeling symmetries"), роль которых для решения задач устойчивости долгое время недооценивалась [17, 30]. Между тем именно эти симметрии ответственны за существования законов сохранения типа перекрестной спиральности (cross-helicity) и стационарных течений плазмы; их анализ крайне важен для решения проблемы нелинейной устойчивости состояний равновесия.

Применительно к идеальной одножидкостной МГД процедура отыскания симметрий Ли-Бэклунда 1-ого порядка изложена в первом параграфе второй главы. Среди них выделяется подкласс вариационных симметрий и устанавливаются отвечающие им законы сохранения.

Рассматриваемые в диссертации многожидкостные модели описаны во втором параграфе. Важнейшие двужидкостные модели холловской (ХМГД) и электронной (ЭМГД)3 магнитных гидродинамик выводятся из общего лагранжиана многокомпонентной плазмы (МКП). По той же схеме исследуются симметрии и законы сохранения, присущие этим моделям.

Поскольку приближение ХМГД наиболее адекватно условиям в современных "пред-термоядерных" установках токамак, в третьем параграфе второй главы описываются особенности равновесия плазмы в токамаке в рамках уравнений ХМГД. Спецификой данного рассмотрения является прослеживание корректного перехода к пределу одножидкостной МГД как в используемых уравнениях, так и в получаемых решениях. Приводится пример нахождения аналитического ХМГД равновесия тороидально вращающейся аксиально-симметричной плазмы.

Как уже отмечалось выше, условия удержания высокотемпературной плазмы в современных установках термоядерного синтеза в большей степени отвечают режиму сравнительно редких столкновений заряженных частиц плазмы, нежели области применимости классической МГД. В этой ситуации уравнения МГД типа строятся на основе моментов кинетического уравнения Власова. Выводу и анализу такой системы уравнений для сильно замагниченной плазмы посвящена третья глава диссертации. В первом параграфе третьей главы даны общая процедура вывода и структура моментных уравнений. Отличительной особенностью рассмотрения является использование гидродинамических переменных вместо дрейфовых, в частности, полной массовой скорости ионов вместо скорости электрического дрейфа, что соответствует идее обычного МГД описания, в котором электрическое поле исключено, и позволяет избежать априорного упорядочения различных составляющих дрейфовой скорости ионов. В этом параграфе приводятся общие выражения для динамики компонент тензоров давления и потоков тепла с учетом конечного ларморовско-го радиуса (KJ1P) в первом порядке разложения по 1/Q, где Q - циклотронная чистота рассматриваемой компоненты плазмы (обычно, ионов).

Некоторые возможные способы обрыва цепочки моментных уравнений обсуждаются во втором параграфе. Важно, что все предлагаемы употребили здесь аббревиатуру ЭМГД, следуя типовым сокращениям, принятым в англоязычной литературе: MHD, HMHD, EMHD. В русской литературе наряду с ЭМГД употребляется аббревиатура ЭМГ [51], имеющая тот же смысл - электронная магнитная гидродинамика. мые способы обрыва основаны не на распространенных в литературе явных или неявных предположениях о характере функции распределения (например, о ее близости к максвелловской, что может быть проблематично в условиях слабостолкновительной плазмы, в особенности при ее интенсивном дополнительном нагреве), а на физически прозрачных представлениях о характере неоднородности плазмы и малости величины 1/Q. Полученные здесь уравнения служат обобщением обычных адиабат Чу-Гольдбергера-Лоу (ЧГЛ) [54], в частности, на случай сильно анизотропной плазмы.

Некоторые конкретные примеры использования моментных уравнений для описания анизотропной плазмы приведены в третьем параграфе. Здесь разобрана задача о "шланговой" неустойчивости анизотропной плазмы с учетом КЛР ионов. Поскольку стартовой точкой для исследования проблемы устойчивости является состояние равновесия, следующий, третий параграф главы посвящен особенностям равновесных состояний анизотропной плазмы с течениями. Для аксиально симметричной конфигурации рассмотрен аналог уравнения Грэда-Шафранова, прослежен корректный способ переходов к статическому и изотропному случаям.

Четвертая глава, посвященная вариационному подходу к проблеме МГД устойчивости, является ключевым разделом диссертации. В первом параграфе обсуждается энергетический принцип БФКК спектральной устойчивости статических равновесий плазмы в магнитном поле и возможное место проблемы нелинейной устойчивости. Суть проблемы состоит в том, что равновесие плазмы в системе со вложенными магнитными поверхностями всегда вырождено, т.к. заведомо существуют нейтральные смещения : &2W[£N] = 0. Таким образом, для решения вопроса устойчивости необходимо исследовать характер этих смещений и отвечающие им высшие вариации функционала потенциальной энергии. В этом параграфе дается классификация нейтральных смещений и показывается, что в системах со вложенными магнитными поверхностями нейтральные смещения отвечают симметрии перемаркировки (для таких преобразований, сводящихся исключительно к изменению меток жидких элементов, в англоязычной литературе используется термин "relabeling"). Эта симметрия ответственна за возможное появления равновесий плазмы с макроскопическими течениями, в том числе, шйровыми, которые, как известно, играют весьма важную роль в реализации режимов с улучшенным удержанием в современных токамаках.

Проблеме построения функционала Ляпунова для исследования устойчивости таких стационарных состояний в рамках одножидкост-ной МГД посвящен второй параграф четвертой главы. Дается обзор ключевых подходов к этой задаче и выводится условие устойчивости, являющееся более "мягким" по сравнению с условием Фримана-Ротенберга. Вывод основан на явном учете законов сохранения, соответствующих симметриям перемаркировки. В отличие от ЕС-метода, связи, отвечающие этим законам сохранения и ограничивающие свободу в варьируемых функциях (а именно, в импульсах), учитываются и в равновесии, и в вариациях.

В третьем параграфе данной главы аналогичная процедура вывода вариационного условия устойчивости применяется для различных гидродинамических моделей, к числу которых относятся анизотропная гидродинамика ЧГЛ, ХМГД и ЭМГД. Обсуждается специфика симметрий "одножидкостных по виду" уравнений ХМГД и ЭМГД, связанная с заложенной в эти модели физической двужидкостностью. Четвертый параграф главы посвящен вопросу о возможной роли законов сохранения, связанных с симметриями Ли-Бэклунда более высокого порядка. Рассмотрение ведется на примере модельной двумерной системы, допускающей точное решение линеаризованной задачи. Показано, что в рамках линейных уравнений существуют дополнительные законы сохранения, не связанные с вырождением положения равновесия (т.е. с симметрией перемаркировки). Учет этих законов оказывается существенным для уточнения "энергетического принципа" устойчивости. Обсуждается возможная процедура такого уточнения для линеаризованных МГД уравнений.

В Заключении кратко суммированы основные результаты диссертации, обсуждается вопрос о перспективах изложенных в диссертации подходов.

Следующие положения автор выносит на защиту.

1. Утверждение о соответствии нейтральных возмущений статического равновесия плазмы в системах с магнитными поверхностями симметрии перемаркировки;

2. Вывод о достаточности энергетического принципа Бернштейна-Фримана-Крускала-Калсруда для нелинейной устойчивости статических равновесий;

3. Набор симметрий Ли-Бэклунда первого порядка для уравнений идеальной одножидкостной МГД;

4. Достаточное условие МГД устойчивости движущейся плазмы в системах с магнитными поверхностями;

5. Реализацию схемы "динамические уравнения —► лагранжиан —симметрии —► вариационные симметрии —> законы сохранения —»• функционал Ляпунова —учет связей в вариациях —* достаточное условие устойчивости" для анизотропной одножидкостной и квази-одножидкостных холловской и электронной МГД моделей;

6. Моментные уравнения МГД типа для описания бесстолкнови-тельных трехмерных плазменных систем с учетом конечного лармо-ровского радиуса ионов без предположений о характере функции распределения;

7. Обобщение адиабат Чу-Гольдбергера-Лоу в рамках гипотезы "локального отклика" на случай произвольной анизотропии плазмы;

8. Уравнения холловского равновесия вращающейся аксиально-симметричной плазмы в форме, допускающей предельный переход к одножидкостной МГД.

По теме диссертации опубликовано 23 научные работы (не считая аннотационных тезисов докладов).

Заключение

В диссертации получены следующие основные научные результаты:

1. Показано, что нейтральные смещения плазмы, не возмущающие квадратичный функционал потенциальной энергии БФКК в системе со вложенными магнитными поверхностями, даже в отсутствие явной (геометрической) симметрии системы отвечают скрытой симметрии данной системы, связанной с присутствием магнитных поверхностей. Эта симметрия по сути является симметрией перемаркировки и ответственна за возможные стационарные состояния плазмы с течениями в таких системах. В силу этого энергетический принцип БФКК оказывается необходимым и достаточным условием МГД устойчивости статических равновесий, как линейной, так и нелинейной.

2. Построен набор возможных вариационных симметрий уравнений идеальной одножидкостной магнитной гидродинамики в классе симметрий Ли-Бэклунда 1-ого порядка и отвечающих им нетривиальных законов сохранения, среди которых - независимый аналог сохранения перекрестной спиральности в системах с магнитыми поверхностями.

3. В развитие ЕС-метода предложен метод построения функционала Ляпунова, основанный на корректном учете связей, накладываемых найденными законами сохранения, как в первых так и во вторых вариациях. Получено соответствующее достаточное условие МГД устойчивости плазмы в системах со вложенными магнитными поверхностями, покрывающее известный критерий Фримана-Ротенберга.

4. Данный метод построения вариационного условия по схеме: динамическое уравнение симметрии —> законы сохранения —> функционал Ляпунова —> учет связей в вариациях —* вариационный (достаточный) признак устойчивости - реализован для случая анизотропной магнитной гидродинамики, двужидкостных моделей холловской и электронной МГД. На примере аксиальносимметричного ХМГД-равновесия показано, что переход к двужидкостной модели может устранить имеющуюся в рамках одножидкостной МГД неопределенность (дополнительную свободу) в параметрах равновесия.

5. Представлена процедура вывода уравнений МГД типа, пригодных для описания бесстолкновительных трехмерных плазменных систем с учетом KJlP-эффектов, главным образом, применительно к задачам равновесия и устойчивости; получен общий вид момент-ного уравнения. Предложены физически корректные варианты обрыва цепочки моментных уравнений, обобщающие приближение Чу-Гольдбергера-Лоу на случай КЛР и сильно анизотропной плазмы.

Характеризуя вышеперечисленные результаты, целесообразно отметить следующее. В данной диссертации продемонстрировано, что вариационные методы могут быть весьма эффективными для анализа широкого крута проблем нелинейной динамики плазмы, описываемой различными МГД моделями, и, прежде всего, для выявления вариационных симметрий и соответствующих им законов сохранения, а также для построения на их основе вариационных условий устойчивости. При этом знание лагранжевой структуры плазменных гидродинамических моделей позволяет получать общие выражения для законов сохранения, присущих этим моделям.

Для рассмотренных гидродинамических моделей в явном виде получены уравнения вариационных симметрий и общий вид законов сохранения. Анализ, проведенный для изотропной и анизотропной од-ножидкостных МГД моделей, а также для холловской и электронной магнитных гидродинамик, позволил выявить все вариационные симметрии в классе симметрий Ли-Бэклунда первого порядка. Важной чертой всех рассмотренных МГД моделей является то, что, наряду с хорошо известными симметриями, порождающими сохранение энергии, импульса и момента системы как целого, в трехмерной геометрии допустимы симметрии перемаркировки жидких элементов. Эти симметрии порождают законы сохранения, дающие более детальную информацию об инвариантности компонент обобщенного импульса рассматриваемой системы, и потому, вопреки довольно распространенному мнению, оказываются весьма содержательными. Более того, поскольку само появление этих симметрий и законов сохранения зависит от топологии системы и(или) от исходного распределения параметров системы, именно они, а не бесконечный набор казимиров, покрываемый введением лагранжевой координатной сетки, дают наиболее существенные ограничения на допустимые вариации динамических переменных.

Поскольку вывод вариационного условия МГД устойчивости идеальной замагяиченной плазмы составляет одну из центральных проблем, рассмотренных в настоящей диссертации, остановимся в заключение на статусе этого условия. Полученное в 1996 г. [38] достаточное условие МГД устойчивости плазменных конфигураций со вложенными магнитными поверхностями в форме Uip > 0 до сих пор остается "лучшим" в смысле неравенств (4.38). Последующие попытки улучшить его, используя потенциалы Клебша [158, 157] или упомянутый в §1.4 метод динамически допустимых вариаций [43], не увенчались успехом: как показано в [39, 40] аккуратное рассмотрение в соответствии с этими методами в лучшем случае лишь воспроизводит наше условие. Это свидетельствует о том, что при его выводе взаимосвязь вариаций импульсов и смещений, вытекающих из законов сохранения типа (4.21), (4.22), учтена с наибольшей полнотой. Тем не менее полученное достаточное условие, как и другие ему подобные [159], в конкретных ситуациях может весьма значительно отличаться от необходимого условия устойчивости. Возможные объяснения этому приводились в работе [49]:

1. Необходимые связи, устраняющие излишний произвол в вариациях импульсов и смещений, являются нелокальными и, например, явно зависящими от времени. Тем самым, получение необходимого и достаточного вариационного критерия может быть в принципе невозможно - такой точки зрения придерживается, например, Э. Хамеири [39].

2. При получении условий устойчивости в главе 4 мы использовали фактически интегральные следствия (такие как (4.41)) законов сохранения, тогда как сами законы (такие как (2.16), (2.25)) носят локальный характер и требуют более аккуратного учета.

3. Необходимая взаимосвязь дается иными, возможно нелокальными законами сохранения, что требует рассмотрения нелокальных вариационных симметрий и, в частности, симметрий Ли-Бэклунда высших порядков.

4. В отсутствие иных (кроме уже найденных) законов сохранения необходимая взаимосвязь вариаций может быть найдена посредством аккуратного учета изменения (в результате возмущения) положения равновесия, относительно которого будет колебаться система. При этом важную роль в таком учете играет уравнение баланса сил в равновесии - с учетом вырождения последнего.

Коротко прокомментируем эти варианты начиная с п.2, поскольку даже при невозможности получения необходимого и достаточного критерия, тем не менее, пути для улучшения достаточного условия могут быть вполне плодотворны. Одним из таких путей может быть указанный в л.2 более аккуратный учет деталей, найденных законов сохранения, например, для равновесных конфигураций частного вида, когда законы сохранения могут быть проинтегрированы в терминах лагранжевых инвариантов. При этом связи автоматически становятся локальными, а условие устойчивости - более мягким. Примером реализации такого подхода служит наш анализ баротропной ЭМГД - см. §4.3.

Довольно существенно ограничить излишнюю свободу в вариациях может отыскание и учет новых законов сохранения (п.З) (если таковые существуют). Как следует из материала главы 2, систематический поиск симметрии высших порядков - процедура весьма сложная и кропотливая, поэтому в этом направлении трудно ожидать быстрого успеха применительно к уравнениям в довольно общей форме. Однако рассмотренная в $ 4.4 процедура получения новых нетривиальных законов сохранения для линеаризованной динамики, несомненно, способна, как следует из рассмотренных примеров, привести, к более адекватному условию формальной устойчивости. Вопрос о соотношении таких результатов с поведением исходной нелинейной системы, разумеется, должен решаться отдельно.

Существо пути, предлагаемого в п.4, состоит в том, что даже фиксация инвариантов, определяющих равновесное течение МГД среды, может быть недостаточна для однозначного определения равновесия. Действительно, уравнение баланса сил может иметь различные решения при одном и том же значении указанного инварианта. Соответственно различными могут быть и допустимые вариации равновесных величин. Эта особенность не учитывалась ни в нашем подходе, ни, тем более, в работах, основанных на ЕС-методе, и может служить основой дальнейшего прогресса в данной области.

В качестве перспективного применения развитых в диссертации подходов следует упомянуть еще одну, также довольно важную с практической точки зрения, проблему получения так называемых редуцированных МГД уравнений, в решении которой свойства симметрий используемых уравнений играют весьма существенную роль.

Дело в том, что МГД уравнения описывают набор весьма разных физических процессов, значительно (вплоть до нескольких порядков) отличающихся по значениям характерных длин и времен. Это обстоятельство, в частности, является серьезным препятствием для осуществления физически осмысленного численного моделирования плазменных процессов на базе общих трехмерных МГД уравнений в течение сколь-нибудь длительного времени, поскольку численные погрешности многократно усиливаются в "быстрых" процессах, искажая динамику процессов "медленных". Корректное отделение быстрых процессов от медленных и вывод соответствующих редуцированных уравнений является довольно нетривиальной задачей: в отличие от известных простых подходов, основанных на формальном разложении уравнений по какому-либо имеющемуся в задаче малому параметру, необходимо позаботиться о сохранении симметрий, присущих исходной системе уравнений. В противном случае слишком грубо редуцированная система может привести к результатам, недопустимым в рамках исходной модели. Общие принципы построения редуцированных уравнений, базирующиеся на учете симметрий исходных уравнений, и пример корректного вывода редуцированных уравнений типа Кадомцева-Погуце-Страусса ([52, 53]), кратко описаны в [49]; возможности их использования для описания существенно нелинейной турбулентной динамики представлены в [160].

В заключение автор выражает признательность всем участникам руководимого В.Д. Шафрановым теоретического семинара Института ядерного синтеза РНЦ "Курчатовский институт"; именно на этом семинаре проходило первичное обсуждение работ автора. Искреннюю благодарность автор приносит своим коллегам-соавторам, В.П. Пастухову и В.П. Лахину, в совместных работах с которыми были получены многие результаты, вошедшие в настоящую диссертацию. Диссертационная работа была частично поддержана грантом НШ-2024.2003.2 Президента РФ по Программе поддержки ведущих научных школ.

1. Альвен X. Космическая электродинамика: Пер. с англ. - М.: ИЛ, 1952, 291 с.

2. Альвен Г., Фельтхаммар К.Г. Космическая электродинамика: Пер. с англ. М.: Мир, 1967. - 260 с.

3. Каулинг Т. Магнитная гидродинамика/ Под ред. М.А. Леонто-вича. М.: Иностранная литература, 1959. - 132 с.

4. Бай Ши-и. Магнитная газодинамика и динамика плазмы/ под ред. А.Г. Куликовского М.: Мир, 1964. - 301 с.

5. Шерклиф Дж. Курс магнитной гидродинамики: Пер. с англ. -М.: Мир, 1967. 320 с.

6. Саттон Дж., Шерман А. Основы технической магнитной газодинамики. М.: Мир, 1968. - 492 с.

7. Повх И.Л., Капуста А.Б., Чекин Б.В. Магнитная гидродинамика в металлургии. М.: Металлургия, 1974. - 240 с.

8. Васильев Л.Г., Хожаинов А.И. Магнитная гидродинамика в судовой технике. Л.: Судостроение, 1967. - 247 с.

9. Арефьев К.М., Палеев И.И. Основы термоэлектронного и магни-тогидродинамического преобразования энергии. М.: Атомиз-дат, 1970. - 215 с.

10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика. 3 изд., перераб. - М.: Наука, 1986. - 736 с.

11. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. М.: Наука, 1976.- 238 с.

12. Брагинский С.И. Явления переноса в плазме// Вопросы теории плазмы, вып.1/Под ред.М.А. Леонтовича. М.: Госатомиздат, 1963. - С. 183-272.

13. Морозов А.И., Соловьев Л.С. Стационарные течения плазмы в магнитном поле// Вопросы теории плазмы, вып.8/Под ред. М.А. Леонтовича. М.: Атомиздат, 1974. - С. 3-87.

14. Ландау Л.Д. Кинетическое уравнение в случае кулоновского взаимодействия// ЖЭТФ. 1937. - Т.7 - С. 203-209.

15. Трубников Б.А. Столкновения частиц в полностью ионизованной плазме// Вопросы теории плазмы, вып.1/Под ред. М.А. Леонто-вича. М.: Госатомиздат, 1963. - С. 98-182.

16. Калсруд Р. Магнитогидродинамическое описание плазмы// Основы физики плазмы, т.1/Под ред. А.А. Галеева и Р. Судана. М.: Энергоатомиздат, 1983. - С. 122-152.

17. Newcomb W.A. Lagrangian and Hamiltonian methods in magneto-hydrodynamics// Nucl. Fusion. 1962. - Suppl., Pt.2. - P. 451-463.

18. Pollard H. Mathematical Introduction to Celestial Mechanics.-Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1966. see p.7.

19. Ball J.M., Marsden J.E. Quasiconvexity at the Boundary, Positivity of the Second Variation and Elastic Stability// Arch. Rat. Mech. An. 1984. - V. 86. - P. 251-277

20. Михайловский А.Б. Теория плазменных неустойчивостей. -Изд.2-е, перераб. и доп. М .: Атомиздат, 1975. - Т. 1. - 272 с.

21. Михайловский А.Б. Теория плазменных неустойчивостей. -Изд.2-е, перераб. и доп. М.: Атомиздат, 1977. - Т. 2. - 360 с.

22. Михайловский А.Б. Неустойчивости плазмы в магнитных ловушках. М.: Атомиздат, 1978. - 296 с.

23. Михайловский А.Б. Электромагнитные неустойчивости неоднородной плазмы. М.: Энергоатомиздат, 1991. - 352 с.

24. Бейтман Г. МГД-неустойчивости: Пер. с англ./ Под ред. В.Д. Шафранова. М.: Энергоатомиздат, 1982. - 200 с.

25. Lundquist S. On the stability of magnetohydrostatic fields// Phys. Rev. 1951. - V. 83. - P. 307-311.

26. Bernstein I.B., Frieman E.A., Kruskal M.D., Kulsrud R.M. An energy principle for hydromagnetic stability problems// Proc. Roy. Soc. bond. A. 1958. - V. 244. - P. 17-40.

27. Кадомцев Б.Б. Гидромагнитная устойчивость плазмы// Вопросы теории плазмы, вып. 2./ Под ред. М.А. Леонтовича. М.: Госатомиздат, 1963. - С. 132-176.

28. Бернштейн А. Вариационный принцип для задач устойчивости в идеальной магнитогидродинамике// Основы физики плазмы, Т. 1/ Под ред. А.А. Галеева и Р. Судана. М.: Энергоатомиздат, 1983. - С. 365-393.

29. Ilgisonis V.I., Pastukhov V.P. On Nonlinear MHD- Stability of Toroidal Magnetized Plasmas// Письма в ЖЭТФ. 1995. - T.61.- C.186-192.

30. Frieman E.A., Rotenberg M. On hydrodynamic stability of stationary equilibria// Rev. Mod. Phys. 1960. - V. 32. - P. 898-902.

31. Арнольд В.И. Условия нелинейной устойчивости стационарных плоских криволинейных течений идеальной жидкости// ДАН. -1965. Т. 162. - С. 975-979.

32. Арнольд В.И. Вариационный принцип для трехмерных стационарных течений идеальной жидкости// Прикл. мат. и мех. 1965,- Т. 29. С. 846-851.

33. Arnold V.I. On a priori estimate in the theory of hydrodynamic stability// Am. Math. Soc. TVansl. 1969. - V. 19. - P. 267-269.

34. Vladimirov V.A., Moffat H.K., Ilin K.I. On general transformations and variational principles for magnetohydrodynamics of ideal fluids. P.II. Stability criteria, for two dimensional flow// J. Fluid Mech. -1996. V. 329. - P. 187-205.

35. Morrison P.J., Eliezer S. Spontaneous symmetry breaking and neutral stability in the noncanonical Hamiltonian formalism// Phys. Rev. A. 1986. - V. 33. - P. 4205-4214.

36. Finn J.M., Sun Guo-Zheng. Nonlinear stability and the energy-Casimir method// Comm. Plasma Phys. Controlled Fusion. 1987.- V. 11. P. 7-25.

37. Holm D.D., Marsden J.E., Ratiu Т., Weinstein A. Nonlinear stability of fluid and plasma equilibria// Phys. Reports. 1985. - V. 123 (1&2). - P. 1-116.

38. Ильгисонис В.И., Пастухов В.П. Стационарные течения тороидальной замагниченной плазмы и их МГД-устойчивость// Физика плазмы. 1996. - Т. 22. - С.228-238.

39. Hameiri Е. Variational principles for equilibrium states with plasma flow// Phys. Plasmas. 1998. - V. 5. - P. 3270-3281.

40. Hameiri E. Dynamically accessible perturbations and magnet ohydro-dynamic stability// Phys. Plasmas. 2003. - V. 10. - P. 2643-2648.

41. Morrison P.J., Pfirsh D.// Free-energy expressions for Vlasov equilibria// Phys. Rev. A. 1989. - V. 49. - P. 3898-3910.

42. Morrison P.J., Pfirsh D.// The free energy of Maxwell-Vlasov equilibria// Phys. Fluids B. 1990. - V. 2. - P. 1105-1113.

43. Thiffeault J.-L., Morrison P.J. Nonlinear MHD stability and Dynamical Accessibility// Bull. Am. Phys. Soc. 2002. - V. 47. - P. 294.

44. Nother E. Invariante Variationsprobleme// Nachr. Ges. Wiss. Gottingen. 1918. - S. 235-257; англ. перевод см.

45. Noether E., Tavel M.A. Invariant variation problem// Transport Theory and Stat. Phys. 1971. - V. 1. - P.186-196.

46. Fuchs J.C., Richter E.W. Similarity solutions for two-dimensional non-stationary ideal MHD equations// J. Phys. A: Math. Gen. -1987. V. 20. - P. 3135-3157.

47. Galas F., Richter E.W. Exact similarity solutions of ideal MHD equations for plane motions// Physica D. 1991. - V. 50. - P. 297-307.

48. Fuchs J.C. Symmetry groups and similarity solutions of MHD equations// J. Math. Phys. 1991. - V. 32. - P. 1703-1708.

49. Ilgisonis V.I., Schep T.J. Contact symmetries for ideal magnetohy-drodynamics// Thes. 7-th European Fusion Theory Conf. (Julich, Germany, 1997). Julich: MP IPP, 1997. - Rep. P2-4.

50. Ильгисонис В.И., Пастухов В.П. Вариационные подходы к задачам устойчивости и нелинейной динамики плазмы// Письма в ЖЭТФ. 2000. - т. 72. - С. 758-773.

51. Арнольд В.И. Математические методы классической механики.- М.: Наука, 1974. 432 с.

52. Кингсеп А.С., Чукбар К.В., Яньков В.В. Электронная магнитная гидродинамика// Вопросы теории плазмы, вып. 16 / Под ред Б.Б. Кадомцева. М.: Энергоатомиздат, 1987. - С. 209-250.

53. Кадомцев Б.Б., Погуце О.П. Нелинейные винтовые возмущения плазмы в токамаке//ЖЭТФ. 1973. - Т.65. - С. 575-589.

54. Strauss Н. R. Nonlinear, three-dimensional magnetohydrodynamics of noncircular tokamaks//Phys. Fluids. 1976. - V. 19. - P. 134-140.

55. Chew G.F., Goldberger H.L., Low F.E. The Boltzmann equation and the one-fluid hydromagnetic equations in the absence of particle collisions// Proc. Roy. Soc. A. 1956. - V. 236. - P. 112-118.

56. Ламб Г. Гидродинамика, т. I// Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2003. 452 с.

57. Kuznetsov Е.А., Ruban V.P. Hamiltonian dynamics of vortex and magnetic lines in hydrodynamic type systems// Phys. Rev. E. 2000.- V. 61. P. 831-841.

58. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко A.T. Современная геометрия. М.: Наука, 1979. - 760 с.

59. Kuvshinov B.N., Schep Т. J. Geometrical approach to fluid models// Phys. Plasmas. 1997. - V. 4. - P. 537-550.

60. Tur A.V., Yanovsky V.V. Invariants in dissipationless hydrodynamic media// J. Fluid Mech. 1993. - V. 248. - P. 67-106.

61. Пэдхай H., Моррисон Ф. Дж. Маркировочные симметрии в гидродинамике и магнитной гидродинамике// Физика плазмы. -1996. Т. 22. - С. 960-970.

62. Bateman H. Notes on the differential equation which occurs in the two-dimensional motion of a compressible fluid and the associated variational problems// Proc. Roy. Soc. London. 1929. - V. A125.- P. 598-618.

63. Thellung A. The hydrodynamics of nonviscous fluids and the theory of helium II// Physica. 1953. - V. 19. - P. 217-226.

64. Penfield P., Jr. Hamilton's principle for fluids// Phys. Fluids. 1966.- V. 9. P. 1184-1194.

65. Clebsch A. Uber eine algemeine Transformation der hydrodynamis-chen Gleichungen// J. Reine und angewandt. Math. 1857. - Bd. 54. - S. 293-312.

66. Clebsch A. Uber die Integration der hydrodynamischen Gleichungen// J. Reine und angewandt. Math. 1859. - Bd. 56. - S. 1-10.

67. Ильгисонис В.И. Лагранжева гидродинамика (конспект лекций): Препринт ИАЭ-6225/1. М.: РНЦ "Курчатовский институт", 2001. - 85 с.

68. Lin С.С. Hydrodynamics of Helium И.//Proc. of the International School of Physics/ Ed. G. Gareri. N.Y.: Academic Press, 1963. -V. XXI. - P. 93-146.

69. Serrin, J. Mathematical Principles of Classical Fluid Mechanics// Handbuch der Physik./ Ed. S. Fliigge. Springer-Verlag: Berlin, 1959. - V. VIII/1. - P. 125-263.

70. Lundgren T.S. Hamilton's Variational Principle for a Perfectly Conducting Plasma Continuum//Phys. Fluids. 1963. - V. 6. - P. 898904.

71. Seliger R.L., Whitham G.B. Variational Principles in Continuum Mechanics// Proc. Roy. Soc. London. 1968. - V. A305. - P. 1-25.

72. Henyey F.S. Canonical construction of a Hamiltonian for dissipation-free magnetohydrodynamics// Phys. Rev. A. 1982. - V. 26. - P. 480-483.

73. Holm D.D., Kupershmidt В.A- Poisson brackets and Clebsch representations for magnetohydrodyn amies, multifluid plasmas, and elasticity// Physica D. 1983. - V. 6. - P. 347-363.

74. Elsasser K. Lagrangian stability of fluids and multifluid plasmas// Phys. Plasmas. 1994. - V. 1. - P.3161-3173.

75. Курант P., Гильберт Д. Методы математической физики. М; JI: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951. - Т. 1.

76. Bluman G.W., Kumei S. Symmetries and differential equations// N.Y.: Springer-Verlag Inc., 1989. 413 p.

77. Boyer Т.Н. Continuous symmetries and conserved currents// Ann. Phys. 1967. - V.42. - P. 445-466.

78. Rosenhaus V., Katzin G.H. On symmetries, conservation laws, and variational problems for partial differential equations// J. Math. Phys. 1994. - V. 35. - P. 1998-2012.

79. Бочаров A.B., Вербовецкий A.M., Виноградов A.M. и др.// Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики/ Под ред. A.M. Виноградова и И.С. Красильщика. М.: Изд. "Факториал", 1997 - 464 с.

80. Lie S. Theorie der transformationsgruppen// Gesammelte Abhand-lungen, V.III/ B.G.Teubner. Leipzig, 1922. - P. 492-523.

81. Захаров B.E. Гамильтоновский формализм для гидродинамических моделей плазмы// ЖЭТФ. 1971. - Т. 60. - С. 1714-1726.

82. Захаров В.Е., Кузнецов Е.А. Гамильтоновский формализм для систем гидродинамического типа// Препринт 186. Новосибирск: Институт автоматики и электрометрии СО АН СССР. - 1982. - 52 с.

83. Morrison P.J., Greene J.M. Noncanonical Hamiltonian density Formulation of Hydrodynamics and Ideal Magnetohydrodynamics// Phys. Rev. Lett. 1980. - V. 45. - P. 790-794.

84. Morrison P.J. Hamiltonian description of the ideal fluid// Rev. Mod. Phys. 1998. - V. 70. - Sec. VI C. - P. 467-521.

85. Hameiri E. Spectral estimates, stability conditions, and the rotating screw-pinch// J. Math. Phys. 1981. - V. 22. - P. 2080-2088.

86. Ильгисонис В.И., Пастухов В.П. Скрытая симметрия и законы сохранения в магнитогидродинамических системах с вложенными магнитными поверхностями// ДАН. 1997. - Т. 355. - С. 38-40.

87. Соловьев JI.C., Шафранов В.Д. Замкнутые магнитные конфигурации для удержания плазмы// Вопросы теории плазмы, вып.5/Под ред. М.А. Леонтовича. М.: Атомиздат, 1967. - С. 3-208.

88. Hameiri Е., Holties Н.А. Improved stability condition for rotating plasmas// Phys. Plasmas. 1994. - V. 1. - P. 3807-3813.

89. Ильгисонис В.И., Лахин В.П. Лагранжева структура гидродинамических плазменных моделей и законы сохранения// Физика плазмы. 1999. - Т. 25. - С. 64-75.

90. Брушлинский К.Б., Морозов А.И. Расчет двумерных течений плазмы в каналах// Вопросы теории плазмы, вып.8/Под ред. М.А. Леонтовича. М.: Атомиздат, 1974. - С. 88-163.

91. Turner L. Hall effects on magnetic relaxation// IEEE Trans. Plasma Sci. -USA, PS-14, Dec. 1986. -P. 849-857.

92. Holm D.D. Hall magnetohydrodynamics: Conservation laws and Lyapunov stability// Phy. Fluids. 1987. - V. 30. - P. 1310-1322.

93. Ilgisonis V.I., Lakhin V.P. Symmetries for the electron magnetohydrodynamics// Proc. 1998 ICPP and 25 EPS Int. Conf. on Contr. Fus. and Plasma Phys. Prague, 1998, Czech. Rep. - ECA, 1998. -V.22. - P. 256-259.

94. Ilgisonis V.I., Lakhin V.P. On Lagrangean Structure, Symmetries and Conservation Laws for the Electron MHD Equations// Electromagnetic waves and Electronic Systems. 1998. - V.3(2-3).

95. Grad H. Reducible problems in magneto-fluid dynamic steady flows// Rev. Mod. Phys. 1960. - V. 32. - P. 830-847.

96. Olver P.J. Applications of Lie Groups to differential equations// Springer-Verlag, Sec. Edition. N.Y.: 2000. - 513 p.

97. Steinhauer L.C. Formalism for multi-fluid equilibria with flow// Phys. Plasmas. 1999. - V. 6. - P. 2734-2741.

98. Ilgisonis V.I. Equilibrium of flowing plasma in tokamak in frame of Hall magnetohydrodynamics// Plasma Phys. and Controlled Fusion.- 2001. V. 43. - P. 1255-1271.

99. Михайловский А.Б. Вращение плазмы в гофрированном токама-ке// Физика плазмы. 1995. - Т. 21. - С. 563-576.

100. Rozhansky V., Tendler М. Plasma rotation in tokamaks// Rev. Plasma Phys., iss.19/ Ed. B.B. Kadomtsev. New York-London.: Consultants Bureau, 1996. - P. 147-256.

101. Шафранов В.Д. О равновесных магнитных конфигурациях// ЖЭТФ. 1957. - Т. 33. - С. 710-722.

102. Hameiri Е. Adiabatic compression of rotating plasmas// Phys. Rev. A. 1983. - V. 27. - P. 1259- 1261.

103. Tasso H., Throumoulopoulos G.N. Axisymmetric ideal magnetohy-drodynamic equilibria with incompressible flows// Phys. Plasmas. -1998. V. 5. - P. 2378-2383.

104. Maschke E. K., Perrin H. Exact solutions of the stationary MHD equations for a rotating toroidal plasma// Plasma Phys. 1980. -V. 22. - P. 579-594.

105. Ilgisonis V.I. 3D MHD-Type Equations for Collisionless Plasmas with Finite Ion Gyroradius Effects.// 1989 Int. Conf. on Plasma Phys. New Delhi, India. Contr. Papers/Ed. A. Sen, P. Kaw. -1989.- V.2. p.381-384.

106. Ilgisonis V.I. 3D-Equations of Collisionless Plasma Dynamics with FLR-Effects// Препринт IAE-5057/6. Moscow: I.V. Kurchatov Institute of atomic energy. - 1990. - 24 pp.

107. Ильгисонис В.И. Уравнения динамики трехмерной бесстолкно-вительной плазмы с конечным ларморовским радиусом ионов// Физика плазмы. 1990. - Т. 16. - С. 1046-1060.

108. Ilgisonis V.I. The Integrals of Drift Particles Motion with Finite Larmor Radius// 18 Europ. Conf. On Controlled Fusion and Plasma Phys., Berlin, 1991. V. IV. - P. 157-160.

109. Ильгисонис В.И. Об интегралах дрейфового движения частиц с конечным ларморовским радиусом// ЖЭТФ. 1992. - Т. 101. -С. 58-66.

110. Ilgisonis V.I. Guiding-Center Theory for Three Dimensional Colli-sionless Finite Larmor Radius Plasmas// Phys. Fluids B. 1993. -V. 5. - P. 2387-2397.

111. Власов А.А. Теория многих частиц. M., JI.: Государственное издательство технико-теоретической литературы. - 1950. - 348 с.

112. Rosenbluth M.N., Simon A. Finite Larmor radius equations with nonuniform electric fields and velocities//Phys. Fluids. 1965. - V. 8. - P. 1300-1322.

113. Милантьев В.П. Гидромагнитные уравнения разреженной плаз-мы//Журнал прикл. механики и техн. физ. 1971. - Т.1. - С. 3-11.

114. Newcomb W.A. The anisorrhopic guiding-center fluid//Ann. Phys.- 1983. V.150. - P. 172-266.

115. Frieman E.A., Davidson R.C., Langdon B. Higher order corrections to the Chew-Goldberger-Low theory//Phys. Fluids. 1966. - V. 9.- P. 1475-1482.

116. Hassam A.B., Huba J.D. Magnetohydrodynamic equations for systems with large Larmor radius//Phys. Fluids. 1988. - V. 31. - P. 318-325.

117. Rosenbluth M.N., Krall N. A., Rostoker N. Finite Larmor radius stabilization of "weakly" unstable confined plasmas// Nucl. Fus. Suppl.- 1962. Part 1. - P. 143-150.

118. Cohen B.I., Freis R.P., Newcomb W.A. Interchange, rotational, and ballooning stability of long-thin axisymmetric systems with finite-orbit effects// Phys. Fluids. 1986. - V. 29. - P. 1558-1577.

119. Ступаков Г.В. Равновесие плазмы конечного ларморовского радиуса в открытых ловушках// Физика плазмы. 1986. - Т. 12. -С. 1155-1163.

120. MacMahon A. Finite gyroradius corrections to the hydromagnetic equations for a Vlasov plasma// Phys. Fluids. 1965. - V. 8. - P. 1840-1845.

121. Oraevskii V., Chodura R., Feneberg W. Hydrodynamic equations for plasmas in strong magnetic fields// Plasma Physics. 1968. - V. 10. - P. 819-828.

122. Hsu C.T., Hazeltine R.P., Morrison P.J. A generalized reduced fluid model with ion-gyroradius effects// Phys. Fluids. 1986. - V. 29. -P. 1480-1487.

123. Freidberg J.P. Vlasov-fluid model for studying gross stability of high-/? plasmas// Phys. Fluids. 1972. - V. 15. - P. 1102-1108.

124. Трубников Б.А., Жданов С.К. Бесстолкновительная гидродинамика плазмы с ненулевым ларморовским радиусом ионов и же-лобковая неустойчивость Z-пинча// Физика плазмы. 1977. - Т.З.- С. 78-86.

125. Grad Н. On the kinetic theory of rarefied gases// Comm. Pure Appl. Math. 1949. - V. 2. - P. 331-407.

126. Шафранов В.Д. Электромагнитные волны в плазме //Вопросы теории плазмы, вып.З/Под ред. М.А. Леонтовича. М.: Госатом-издат, 1963. - С. 3-140.

127. Davidson R.C., Volk H.J. Macroscopic quasilinear theory of the garden-hose instability// Phys. Fluids. 1968. - V. 11. - P. 22592264.

128. Grad H. Toroidal containment of a plasma// Phys. Fluids. 1967.- V. 10. P. 137-154.

129. Northrop T.G., Whiteman K.J. Minimum-B plasma equilibria with finite pressure// Phys. Rev. Lett. 1964. - V. 12. - P. 639-640.

130. Захаров JI.E., Шафранов В.Д. Равновесие плазмы с током в тороидальных системах// Вопросы теории плазмы, вып.11/Под ред. М.А. Леонтовича и Б.Б. Кадомцева. М.: Энергомиздат, 1982. - С. 118-235.

131. Kerner W., Tokuda S. Z. Computation of tokamak equilibria with syeady flow// Z. Naturforsch. 1987. - V. 42a. - P. 1154-1166.

132. Spies G.O., Nelson D.B. Sufficient stability criteria for plasma equilibria with tensor pressure// Phys. Fluids. 1974. - V. 17. - P. 1865-1878.

133. Van Dam J.W., Rosenbluth M.N., Lee Y.C. A generalized kinetic energy principle// Phys. Fluids. 1982. - V. 25. - P. 1349-1354.

134. Taylor J.В., Hastie R.J. Maximum plasma pressure for stability in magnetic fields with finite minima// Phys. Fluids. 1965. - V. 8. -P. 323-332.

135. Ilgisonis V.I., Pastukhov V.P. Shear flow steady state of tokamak plasma with anisotropic pressure// 23 Europ. Conf. On Controlled Fusion and Plasma Phys., Kiev, 1996/ Eds.: D.Gresilon, A.Sitenko, A.Zagorodny. ECA. - V. 200. - Part I. - P. 243-246.

136. Zernfeld H.P., Green B.J. Stationary toroidal equilibria at finite beta// Nuclear Fusion. 1972. - V. 12. - P. 569-575.

137. Ильгисонис В.И. Нелокальная устойчивость плазмы конечного давления в бестоковых системах// Физика плазмы. 1988. - Т. 14. - С. 529-538.

138. Cowley S., Artun М. Explosive Instabilities and Detonation in Mag-netohydrodynamics// Institute of Plasma and Fusion Research.-Preprint PPG-1549. Los Angeles: UCLA, 1995. - 47 c.

139. Гордин В.А., Петвиашвили В.И. Калибровка вектор-потенциала и МГД-равновесия, устойчивые по Ляпунову// Физика плазмы. 1987. - Т. 13. - С. 124-131.

140. Гордин В.А., Петвиашвили В.И. Достаточные условия устойчивости удержания плазменного цилиндра //Физика плазмы. -1989. Т. 15. - С. 240-246.

141. Гордин В.А., Петвиашвили В.И. Устойчивые по Ляпунову МГД-равновесия плазмы с ненулевым давлением// ЖЭТФ. 1989. -Т. 68. - С. 1711-1722.

142. Гордин В.А., Петвиашвили В.И. Уравнение неразрывности спи-ральности в средах с бесконечной проводимостью// Письма в ЖЭТФ. 1987. - Т. 45. - С. 215-216.

143. Moffat Н.К.// Topological Fluid Mecanics/ Ed. H.K. Moffat, A. Tsinober. Cambridge University Press. - 1990. - P.l.

144. Woltjer L. A theorem on force-free magnetic fields// Proc.Nat. Acad. Sci. USA. 1958. - V. 44. - P. 489-491.

145. Woltjer L. Hydromagnetic equilibrium. IV. Axisymmetric compressible media// Astrophys. Journ. 1959. - V. 130. - P. 405-413

146. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. - 448 с.

147. Benjamin Т.В. The stability of solitary waves// Proc. Roy. Soc. London. 1972. - V. 328A. - P. 153-183.

148. Bona J. On the stability theory of solitary waves// Proc. Roy. Soc. London. 1975. - V. 344A. - P. 363-374.

149. McKean H. Stability for the Korteveg-de Vries Equation// Comm. Pure Appl. Math. 1977. - V. 30. - P. 347-353.

150. Bennett D.P., Brown R.W., Stansfield S.E., et al. The stability of internal solitary waves// Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1983. - V. 94. - P. 351-379.

151. Khater A.H., Moawad S.M. Variational principles and Lyapunov stability analysis for compressible cylindrical plasma flows with arbitrary cross section// Plasma Phys. Controlled Fusion. 2003. -V.45. - P. 265-274.

152. Ильгисонис В.И., Соколов А.Ю. О структуре квазижелобковых возмущений в плазме длинных замкнутых магнитных ловушек// Физика плазмы. 1991. - Т. 17. - С. 1053-1062.

153. Ilgisonis V.I. Anisotropic plasma with flows in tokamak: steady state and stability// Phys. Plasmas. 1996. - V. 3. - P. 4577-4582.

154. Ilgisonis V.I. Variational stability problem for MHD model with Hall effect// Transactions of Fusion Techn. 1999. - V. 35. - No. IT. - P. 170-174.

155. Ilgisonis V.I., Lakhin V.P. Variational principle for electron magnet ohydro dynamics// 26 Europ. Conf. On Controlled Fusion and Plasma Phys., Maastricht, 1999 P. 861-864.

156. Strait E.J., Casper T.A., Chu M.S., Ferron J.R., Garofalo A., et al. Stability of negative central magnetic shear discharges in the DIII-D tokamak// Phys. Plasmas. 1997. - V. 4. - P. 1783-1791.

157. Okabayashi M., Fredrickson E.D., Manickam J., Taylor G., et al. Mode structure of disruption precursors in TFTR enhanced reversed shear discharges// Nucl. Fusion. 1998. - V. 38. - P. 1149-1160.

158. Elsasser K., Spies P. The stability gap of compressible fluids and plasmas// Phys. Plasmas. 1999. - V. 6. - P. 3147-3156.

159. Isichenko M.B. Nonlinear hydrodynamic stability// Phys. Rev. Lett. 1998. - V. 80. - P. 972-975.

160. Spies P., Elsasser K. Two variational principles for incompressible plasmas// Phys. Plasmas. 1999. - V. 6. - P. 4208-4214.

161. Пастухов В.П., Чудин Н.В. Конвекция плазмы в непараксиальных магнитных системах вблизи порога МГД-неустойчивости// Физика плазмы. 2001. - Т. 27. - С. 963-977.