Магнитогидродинамическое течение в кольцевом канале и его устойчивость тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.08 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 533.9, 537.84

ХАЛЬЗОВ ИВАН ВИКТОРОВИЧ

МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ В КОЛЬЦЕВОМ КАНАЛЕ И ЕГО УСТОЙЧИВОСТЬ

01.04.08 - физика плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена в Российском научном центре «Курчатовский институте на кафедре физики и химии плазмы МФТИ

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук

В. И. Ильгисонис (РНЦ «Курчатовский институт»)

Официальные оппояеяты: доктор физико-математических наук, профессор А. А. Иванов (РНЦ «Курчатовский институт»), доктор физико-математических наук, профессор Н.С. Ерохин (ИКИ РАН)

Ведущая организация:

Государственный научный центр Российской Федерации Троицкий институт инновационных и термоядерных исследований (ТРИНИТИ)

Зашита состоится 21 июня 2006 г. в 10 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета К 212.156.03 при Московском физико-техническом институте (141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер. 9, МФТИ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ. Автореферат разослан «_»_2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

В.Е. Брагин

um

Общая характеристика работы

Введение. Актуальность проблемы. Исследование динамики и устойчивости магнитогидродинамических (МГД) течений проводящих сред (в том числе различных жидкостей или плазмы) является важной составной частью современной гидродинамики и имеет практическое значение как для лабораторных экспериментов (магнитное удержание, МГД-течения в каналах), так и для reo- и астрофизики (геомагнитное и звездное динамо, аккреционные диски). Особый интерес в настоящее время представляют МГД-течения в кольцевых каналах в связи с попытками экспериментального обнаружения магниторотационной неустойчивости (МРН). МРН, теоретически предсказанная Е.П.Велиховым1, является наиболее вероятным механизмом, ответственным за перенос момента импульса в таких астрофизических объектах, как аккреционные диски и спиральные радиогалактики. Однако, несмотря на значительное количество теоретических работ, посвященных данной проблеме (см., например, 3 \ до сих пор не было прямых наблюдений этой неустойчивости ни в природе, ни в лабораторных экспериментах.

В последние годы наблюдается активизация усилий по постановке экспериментов, которые бы явно продемонстрировали возникновение МРН. Суть этих экспериментов состоит в том, чтобы исследовать неоднородное вращение проводящей жидкости поперек магнитного поля. Наиболее просто организовать такое вращение, поместив жидкость между двумя цилиндрами, вращающимися с различными, вообще говоря, угловыми частотами в магнитном поле, направленном вдоль оси цилиндров. Раскрутка жидкости в таких экспериментах обеспечивается за счет вязкости жидкости - так называемое течение Куэтта. Качественно другой способ раскрутки был предложен Е.П.Велиховым в РНЦ «Курчатовский институт». Он состоит в пропускании через проводящую жидкость радиального электрического тока, приводящего к возникновению силы Ампера J*B н, как следствие, течению жидкости. В качестве рабочей жидкости предполагается использовать жидкий натрий, так как он обладает более высокой проводимостью по сравнению с другими доступными жидкостями. Этот способ имеет целый ряд преимуществ, связанных с технической простотой конструкции установки.

1 Велихов Е. П. Устойчивость течении идеально проводлией жидкости между вращающимися цилиндрами в магиипгам поле// ЖЭТФ. -1959. - Т. 3«. - С139S-1404.

1 Balbus S. A., Hawley J. F. Instability, turbulence, and enhanced transport in accretion disks// Review of Modem Physics. -199». - V. 70. - P. 1-53.

' Balbus S. A. Enhanced angular momentum transport in accretion disks// Annual Review of Astronomy and Astrophysics. - 2003. - V. 41. - P. 555-597.

~ 7

■ >< is'. I ;i>

Ut! ..."Hi M

Г-Пэт/':.: /

Недостатком же являете« невозможность регулировки профиля скорости вращения, что делает необходимым детальное теоретическое исследование структуры такого течения и его устойчивости, в частности, по отношению к МРН. Таким образом, материал данной диссертации в значительной степени служит физическим обоснованием указанного эксперимента.

Помимо этого разработанный в диссертации вариационный метод исследования устойчивости МГД течений представляет общефизический и методический интерес в связи с отсутствием универсальных подходов к решению подобных задач.

Целя ■ задачи исследования. Основной задачей данной диссертационной работы было теоретическое обоснование постановки нового эксперимента по наблюдению магниторотационной неустойчивости в конфигурации, предложенной Е.П.Вслиховым. Такое обоснование включает

• изучение стадии разгона радиальным электрическим током проводящей жидкости в кольцевом канале, помещенном в вертикальное магнитное поле;

• детальный расчет установившегося стационарного течения с учетом конечной проводимости стенок канала, индуцированных магнитных полей и электрических токов;

• анализ линейной устойчивости стационарного течения, отыскание неустойчивых мод и их инкрементов, а также исследование зависимостей инкрементов от параметров установки.

В рамках исследования устойчивости была сформулирована фундаментальная задача построения общего вариационного метода исследования линейной устойчивости идеальных МГД течений и получения достаточного условия устойчивости, близкого или совпадающего с необходимым. Метод основан на учете дополнительных законов сохранения, присущих линейной динамике рассматриваемой среды.

Методы исследования. Описание динамики течения и его равновесной структуры в рамках диссипативной МГД-модели даже в простом случае прямого канала составляет довольно сложную математическую задачу. В настоящее время не существует удовлетворительного аналитического приближения, описывающего МГД-течения при любых числах Гартмана в каналах прямоугольного сечения со стенками произвольной проводимости. Поэтому главную роль здесь играют численные методы.

Для расчета структуры течения на стадии разгона и определения стационарного состояния диссертантом был разработан код на языке С++. Основу его алгоритма составляет итерационный метод Гаусса-Зейделя для решения уравнений эллиптического типа, который

был обобщен на случай систем таких уравнений. Данный метод обладает положительными свойствами, характерными для всех итерационных схем, и в то же врем« его быстродействие сопоставимо со скоростью прямых спектральных методов. Визуализация расчетов проводилась с использованием програмного пакета МАТЬАВ.

Для отыскания собственных функций и собственных частот в анализе линейной устойчивости МГД-течения в канале был создан код на языке С++, основанный на обычном методе стрельбы для решения краевых задач. В расчетах собственных спектров использовался метод конечных разностей с последующим решением обобщенной задачи на собственные значения. Эта процедура осуществлялась с помощью пакета МАТЬАВ.

Исследование линейной устойчивости течений в идеальной МГД с учетом дополнительных интегралов движения и построение соответствующего вариационного принципа проводились аналитически с использованием аппарата вариационного исчисления и методов математической физики.

Научная новизна. Теоретическому исследованию МРН в течении Куэтта посвящено значительное количество работ (например, 4 5), так как именно течение Куэтта жидких металлов лежит в основе большинства проектируемых экспериментов по наблюдению МРН. Между тем поддерживаемое электрическим током течение жидкого металла в условиях, относящихся к эксперименту по МРН, до сих пор не изучалось. В диссертации впервые приводится достаточно полный анализ такого течения, включающий расчеты стадий разгона и стационарного (установившегося) состояния с определением всех компонент скорости, индуцированного магнитного поля и с учетом конечной проводимости стенок канала, детально исследуется вопрос о спектральной устойчивости указанного стационарного состояния. Отметим также, что расчет динамики и структуры стационарного МГД-течения в кольцевом канале в диссертации впервые осуществляется с применением итерационного алгоритма Гаусса-Зейделя, обобщенного на случай системы нелинейных уравнений параболического типа с заданными граничными условиями.

Попытки улучшить вариационный метод исследования линейной устойчивости для систем с МГД-течениями путем учета дополнительных интегралов движения

4 ROdiger G.. Zhang Y. MHD instability in differentiilly-rowing cylindrk flows// Astron. Astrophys. - 2001. - V. 37». -P. 302-30«.

5 Goodman J., Ji H. Msgnetorotationi) instability of disslpalive Couette flow// J. Fluid Mech. - 2002. - V. 462. P. 365382.

предпринимались многими авторами (например,6 7). Тем не менее, полученные ими достаточные условия устойчивости оказывались довольно «жесткими», то есть далекими от необходимых. В данной диссертации предлагается принципиально новый способ построения достаточного условия устойчивости движущихся сред, основанный на учете в вариационной процедуре бесконечного набора интегралов движения, свойственных линеаризованной динамике идеальной жидкости; предъявляется процедура построения таких интегралов.

Практическое значение работы. Основными направлениями использования полученных в диссертации результатов являются следующие:

• выявленные зависимости структуры стационарного течения и инкрементов МРН от параметров экспериментальной установки позволят заранее, на стадии проектирования, выбрать желаемые режимы работы установки путем подбора необходимых параметров (пропускаемый ток, прикладываемое магнитное поле, геометрические размеры);

• полученные приближенные аналитические выражения, описывающие динамику и стационарную структуру течения в кольцевом канале, можно использовать для качественной оценки параметров течения;

• разработанные диссертантом численные коды для расчета динамики и отыскания стационарного состояния диссипотивного МГД-течения в кольцевом канале могут применяться и в случае прямого канала, что предопределяет их использование в ряде технических приложений;

• метод учета нового (вообще говоря, бесконечного) набора интегралов движения в вариационном метод анализа линейной устойчивости стационарных МГД-течений, позволит приблизиться к получению необходимого и достаточного критерия устойчивости этих течений.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на теоретических семинарах в Институте ядерного синтеза РНЦ КИ, на семинарах лаборатории физики плазмы Университета Саскатчевана (Саскатун, Канада), были представлены на международных конференциях, таких как 32-ая Конференция Европейского физического общества по физике плазмы и управляемому синтезу (Таррагона, Испания, 2005), 11-ая Европейская конференция по теории синтеза (Экс-эн-Прованс, Франция, 2005), 47-ая

* Holm D. D., Minden i. Б., Ratiu Т., Weinstein A. Nonlinear stability of fluid and plasma equilibria// Phys. Reports. -1985. - V. 123 (142). - P. 1-116.

1 Fhm J. M., Sun Q.-Z. Nonlinear stability and the encrgy-Casimir method// Comm. Plasma Phys. Controlled Fusion. -1987.-V. 11.-P. 7-25.

Ежегодная конференция Американского физического общества по Отделению физики плазмы (Денвер, США, 2005). Полученные результаты докладывались также на Международных семинарах по проблеме магниторотационной неустойчивости (Москва, 2005,2006).

Публикации. Научные результаты, вошедшие в диссертацию, опубликованы в трех статьях в реферируемых журналах, в препринте, в докладе и в тезисах докладов на международных конференциях.

Объём и структура диссертации. Работа изложена на_страницах, иллюстрирована

24 рисунками и содержит 1 таблицу. Диссертация состоит из Введения, трех глав, Заключения и двух приложений. Главы, в свою очередь, разбиты на 13 параграфов. Список цитированной литературы содержит 90 наименований.

Содержание работы.

Первая глава включает теоретическое изучение и результаты численных расчетов осесимметричного МГД-течения проводящей жидкости в кольцевом канале в стационарном случае и на стадии разгона. Течение обусловлено силой Ампера JxB, которая возникает при пропускании электрического тока через жидкость, находящуюся в вертикальном магнитном поле.

Постановка задачи. Исходные уравнения. В данной главе рассмотрена система, изображенная на рис. 1. Жидкий металл (натрий), обладающий постоянными во всем объеме плотностью р, кинематической вязкостью V и проводимостью о, полностью заполняет

кольцевой канал, помещенный в однородное вертикальное магнитное поле Во = Вое^ Между боковыми стенками канала - двумя металлическими коаксиальными цилиндрами (радиус внутреннего цилиндра Л|, радиус внешнего - ОД - течет радиальный электрический ток, полная величина /о которого фиксирована.

Динамика жидкого металла рассмотрена в рамках несжимаемой диссипативной МГД.

д.

Рис. 1. Кольцевой канал

Геометрия задачи предопределяет осевую симметрию стационарного (полностью развившегося) течения, то есть в цилиндрической системе координат (Л, Я) равновесные величины не зависят от угла (д/др«0). Эволюция течения на стадии разгона также считается осесямметричной, что позволяет существенно упростить задачу и свести ее к изучению двумерной динамики жидкости. В случае осевой симметрии скорость и магнитное поле в канале представим ы в виде:

+ (2)

где Ко - характерная азимутальная скорость установившегося течения

-- (3)

Временная динамика функций и, Л, g, м>, входящих в выражения (1) и (2), задается в виде системы из четырех уравнений параболического типа.

Граничные а начальные условия. Для однозначного решения полученной системы необходимо задать граничные и начальные условия на искомые функции. Стандартное гидродинамическое граничное условие состоит в обращении в нуль скорости вязкой жидкости на неподвижных стенках:

УЬ^-0, У|^Л)=0. (4)

Граничные условия на магнитное поле зависят от свойств стенок канала. В диссертации предполагается, что все стенки канала имеют толщину </ « I и конечную проводимость При этом боковые стенки соприкасаются со слоем идеального проводника (<т~ со), а дно и крышка - с изолятором («г« 0). На границе раздела двух сред с проводимостями о) и 05 справедливы следующие условия на магнитное поле и компоненты тока:

В^-В«», (5)

№

а, <г2

(7)

Поскольку стенки канала тонкие (5 - ЛЬ « 1), то поле в них можно найти приближенно и свести условия (5)-(7) к граничным условиям на поле в жидкости. Процедура

вывода граничных условий на магнитное поле с точностью до членов порядка 0(<5) подробно описана в диссертации.

Начальные условия на функции и, Л, g, w должны определяться в момент включения тока в электрической цепи канала. Чтобы избежать трудностей, связанных с конкретизацией электрической схемы, в диссертации сделано предположение (подтвержденное оценками), что радиальный ток за очень короткое время после включения успевает проникнуть в канал, при этом жидкость можно считать неподвижной. Этот ток приводит к возникновению тороидального магнитного поля, две другие компоненты индуцированного поля в начальный момент отсутствуют.

Аналитические примеры. В качестве основного средства для интегрирования системы довольно сложных дифференциальных уравнений в частных производных в настоящей диссертации используются численные методы, достаточно подробно описанные ниже. Однако наряду с этим в диссертации получен ряд приближенных аналитических результатов, описывающих характер течения вдали от боковых стенок канала, когда можно пренебречь радиальной зависимостью параметров течения (д/дг -> 0) и считать, что g « и> » 0. В этом случае исходная система сводится к двум уравнениям, описывающим динамику момента импульса и и «момента» тороидального магнитного поля h (токовой функции):

и = к'+НаА', (8)

0 = А* + Наи', (9)

с у pv

производную по z. Граничные и начальные условия для системы (8), (9) сводятся к

"U.-0. "U-0, (10)

(с,А'±А)|,.„=1, (П)

1+сг

где Сг - так называемое пристеночное отношение: с, - Sejof

В диссертации получены аналитические решения для следующих трех случаев.

• Стационарное течение. Точное решение задачи (8)-( 11) при д/дт -> 0 является аналогом

обычного течения Гартмана и имеет вид:

chHa-chHaz ~ sh Ha + c,HachHa'

*ЬНаг

яЪНа + с.НасЬНа

• Разгон в случае На» 1. Методом многих масштабов получена динамика функций и и И:

ц(1,г) = ис(гХ»-ехр(-«гНаг)], (12)

Кг, т) = —5—ехр(-дг На г) + А,(г)[1 -ехр(-дгНаг)], 1+с,

где г.с,На + »ЬН, 1 + с,

• Разгон в случае На « 1. Разложение в ряд по степеням На дает приближенное решение в виде:

1+с,

Чвслевныб метод. Для решения системы нелинейных уравнений параболического типа, описывающих динамику течения на стадии разгона, диссертантом был разработан численный метод, в основе которого лежит итерационный алгоритм Гаусса-Зейделя. Суть алгоритма можно пояснить на примере двумерного уравнения Пуассона:

где Ф - искомая, а /- заданная функции. Дискретизация уравнения на сетке с равномерным шагом з имеет вид:

Ф/+Ц + фы,/-2ф/./ , ф/./п+Ф/.у-|-2Ф<.у

* + л2

Отсюда Фц выражается как:

Ф'-> = } +Ф'-и + фи+1 + ф/.у-| -,3Л/)-

Это приводит к итерационному алгоритму Якоби (п - номер итерации):

Сходимость данной схемы можно ускорить почти в два раза, если использовать алгоритм Гаусса-Зейделя:

В практических расчетах применяются дополнительные методы ускорения сходимости, такие как «шахматное» обновление сеточной функции и последовательная сверхрелаксация. Последний из упомянутых методов состоит в том, что новое значение сеточной функции в узле (/', у) определяется линейной комбинацией старого и улучшенного значений функций в этом узле:

^Ки+Фм^Ф"/*. +Ф& (13)

где (о - параметр сверхрслаксации.

Хотя формально схема (13) получена дня уравнений эллиптического типа (таких как уравнение Пуассона), она остается справедливой и при решении уравнений параболического типа, описывающих диффузию':

В этом случае п-я итерация дает значение сеточной функции на л-м временном шаге, а параметр сверхрелаксации т принимает вид (для неявной по времени схемы):

^ 4£>Д/)

где А/ - шаг по времени. Значение сеточной функции при / = 0 задается начальными условиями; на каждой последующей итерации должны учитываться граничные условия. Схема (13), обобщенная на случай системы нелинейных уравнений параболического типа, и была использована для расчета стадии установления течения в канале.

Результаты и их обсуждение. Численные расчеты течения проводились для конкретных параметров проектируемой установки по экспериментальному исследованию МРН. Установка представляет собой тороидальную камеру прямоугольного сечения с внутренним радиусом Л| ■ 3 см, внешним радиусом /?2 = 15 см и высотой 2£ = 6 см, заполненную жидким натрием. Стенки камеры сделаны из нержавеющей стали, их толщина с/ " 2 мм. Камера помещена во внешнее магнитное поле Во = 0,3 Тл, через нее пропускается ток 1 кА. Значения расчетных параметров следующие:

г,= 1, г2 =5; 6 = 0,067; с, =0,00824; На = 1100; Ке = 1,410'; Яе, = 12,3. Характерная величина тороидальной скорости при этом Уо~ 33 м/с.

' Ргсм V/. Н„ Нмлоу В. Р., ТеЫсоЫсу Б. А. « а!. ЫшпепЫ геарю ¡л С: Ше ш1 о? к^епиЯс сотрмод. -СатЬпЛ(е: Шуепйу Рге», 1992. - 994 р.

Рис. 2. Динамика момента импульса в точке г ■ 3, г " 0 (сплошная линяя) и аналитическое решение (12) при г = О (штриховая линия).

-1 1

Рис. 4. Момент импульса в стационаре. Идеальный случай.

-I 1

Рис. 3. Момент импульса в стационаре. Случай проводящих стенок.

^ <

-1 1

Рис. 5. Момент тороидального магнитного поля в стационаре (токовая функция). Идеальный случай.

В диссертации подробно описаны полученные результаты расчетов. В частности показано сравнение приближенного аналитического решения (12) с расчетами (рисунок 2), приведены картины установившихся моментов импульса для двух случаев - канала с конечно-проводящими стенками (рисунок 3) и «идеального» канала, у которого боковые стенки идеально проводящие, а дно и крышка - изоляторы (рисунок 4). Также приведены результаты расчетов компонент индуцированного магнитного поля (рисунок 5). Диссертантом отмечена важная роль конечной проводимости стенок канала (в особенности дна и крышки) в динамике установления течения и в его стационарной конфигурации. Она приводит к

существенному снижению тока, текущего по натрию, и максимально достижимой скорости вращения, что необходимо учитывать в эксперименте.

Из результатов расчетов вытекает, что момент импульса в стационаре постоянен практически во всем сечении канала (за исключением очень тонких пристеночных слоев). Вследствие этого угловая частота вращения в канале имеет рэлеевский профиль, П~1/Л*, который оказывается неустойчивым по отношению к МРН.

Вторая глава содержит детальный анализ спектральной устойчивости стационарного МГД течения, найденного в первой главе. Анализ основан на численном решении задачи на собственные значения и включает определение спектра собственных частот наряду с собственными возмущениями.

Постановка задачи. Исходные уравнения. Как следует из результатов первой главы, при больших числах Гартмана, характерных для проектируемой установки, момент тороидальной скорости в стационаре постоянен практически во всем сечении канала, а угловая скорость вращения при этом такова:

* ('4)

В данной главе рассмотрена устойчивость такого вращения в вертикальном магнитном поле (рисунок 1). Несмотря на важность диссипативных эффектов (вязкости V и проводимости а) в определении равновесного течения, предполагается, что они не окажут значительного влияния на устойчивость жидкой среды в рассматриваемой конфигурации, параметры стационарного вращения в основном объеме которой находятся вблизи линии Рэлея. В пренебрежении же диссипацией модель сильно упрощается без потери существенных физических эффектов.

Из линеаризованных уравнений идеальной несжимаемой МГД с использованием лагранжева представления для возмущений в диссертации получено уравнение на собственные значения

Цг,«)[£(г)]«0. (15)

где Ь — линейный дифференциальный оператор 2-го порядка, ш - собственная частота, а & -радиальная часть отвечающего ей собственного вектора смещения. Граничные условия для уравнения (15) имеют вид

^d) = i,('i) = 0, к

2 L

(16)

где к - соразмеренное аксиальное волновое число, ал,-произвольное целое число.

Решение задачи (15)-(1б) зависит, вообще говоря, от пяти параметров: трех волновых чисел (аксиального к, азимутального т и радиального пг), геометрического фактора Г] = Я^Кх и обезразмеренной альфвеновской скорости ^ = КА/(Л1Л|). Основное внимание в диссертации уделяется изучению зависимости собственного спектра от волновых чисел (к, т, пг), при этом два других параметра считаются фиксированными. Их значения в рассматриваемом случае: г; - 5, у^ " 0,25.

Осеснмметричиые возмущения, т « 0. Из анализа уравнения (15) при т « 0 можно заключить следующее:

• собственные частоты либо чисто действительные, либо чисто мнимые;

• спектр собственных частот симметричен относительно обеих осей на комплексной плоскости; '

• собственные функции всегда действительны;

• есть вырождение: каждая собственная функция отвечает четырем собственным частотам, две из которых всегда действительны, что соответствует устойчивости, а две другие могут быть мнимыми, что соответствует неустойчивости; эта неустойчивость известна как классическая магниторотационная неустойчивость (МРН осесимметричных мод).

0.25 02 0.15 0.1 30.05

I 0

-0.05 -0.1 -0.15 —0.2 -ОД5

*0

1 2

40

0.45

0.4

035

03

21 0 0.25

■»«---- ш< 02

0.15

0.1

0.05

0

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0А 0.6 0.8

Reco

Рис. б. Спектр собственных частот в случае т - 0, * •= ж/2 (единица частоты ßi). Радиальные волновые числа показаны для некоторых мод.

Рис. 7. Собственная функция в случае т » 0, к » я/2, п, = 0. Соответствующие собственные частоты т = ± 0,2099/, ± 0,5937 (в единицах П|).

Спектр собственных частот изображен на рисунке б, на рисунке 7 показана собственная функция, отвечающая неустойчивой моде. Видно, что спектр содержит две точки накопления, которые соответствуют альфвеновскому резонансу со = ± сол. Неустойчивые моды могут возникнуть только между линиями альфвеновского резонанса Ие со = ± юл (пунктир), моды, находящиеся снаружи этих линий, всегда устойчивы. Это важное свойство данной системы остается справедливым и для неосесимметричных мод.

Неосеснмметрячные возмущения, т Ф 0. В этом случае решение задачи (15)-(16) обладает следующими свойствами:

• собственные частоты могут принимать комплексные значения;

• на комплексной плоскости спектр собственных частот симметричен относительно линии 1т <в » 0;

• собственные функции, отвечающие комплексным собственным частотам, комплексны;

• нет вырождения: каждой собственной функции соответствует одна собственная частота.

0.1 0.08 0.06 0.04 3 0.02 Е о -0.02 -0.04 -0.06 -0.08 -0.1

1 о.! I

Левая р^юмянснаягкмЦ |

резонансны зощ

: 2 1 I I

-<цф-1/Х, I ! 2* 0>Д+1 ' "|ш»+1 | ! : ё 1 : 0*: ! 1 ... 1

-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0Я 1 1.2 1.4 1.6

Нею

Рис. 8. Спектр собственных частот в случае ш » 1, к - я/2 (единица частоты П|). Радиальные волновые числа показаны для некоторых мод.

Рис. 9. Собственная функция в случае т ш 1, * ■ я/2, л, ■ 0. Соответствующая собственная частота со - 0,5623 + 0,0791/ (в единицах П|).

Спектр собственных частот для случая т » 1 показан на рисунке 8, на рисунке 9 приведена собственная функция, отвечающая наиболее неустойчивой моде. В отличие от случая т = 0 альфвеновские резонансы формируют две зоны. Как показывают расчеты, если

б

°0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

О 05 1 1i 2 25 3

т

m

Рис. 10. Зависимость инкремента от азимутального т и аксиального к волновых чисел в случае лг ~ 0. Контуры соответствуют уровням функции у(т, к). Показана асимптота контура у(т, к) = 0.

Рис. 11. Линии граничной устойчивости на плоскости т-к для двух радиальных волновых чисел: пг = 0 (сплошная) и пг=\ (пунктир). Штриховая линия соответствует асимптоте.

эти зоны перекрываются (как на рисунке 8), то все моды, находящиеся внутри них, обязательно неустойчивы.

Важной характеристикой неустойчивости является ее инкремент. Исследованию зависимости инкремента МРН от волновых чисел (к, т, л,) посвящена значительная часть данного раздела в диссертации. На рисунке 10 показана эта зависимость для мод с радиальным волновым числом пг ™ 0.

Граничная устойчивость. Обсуждение. На основании численных расчетов в диссертации утверждается следующее: если зоны альфвеновских резонансов на комплексной ш-плоскости перекрываются, то все моды, находящиеся внутри них, являются неустойчивыми. Принимая данное утверждение как гипотезу, можно получить простую оценку для границы устойчивости на плоскости т-к

По сути, это выражение соответствует асимптоте на плоскости т-к, к которой стремятся линии граничной устойчивости при больших значениях т и/или больших значениях лг. Для небольших п, критическое значение к расположено выше kn определяемого уравнением (17), - это видно из рисунка 11.

(17)

Полученные результаты позволяют сделать ряд заключений:

• профиль вращения, заданный выражением (14), неустойчив по отношению к МРН; это означает, что для произвольных волновых чисел кип, всегда найдется такое азимутальное число т, что одна из мод, соответствующих набору (к, т, л,), окажется неустойчивой;

• наибольший инкремент неустойчивости соответствует наименьшим волновым числам т = 0 и и, " 0 (если при этом есть неустойчивость); аналогичного утверждения относительно к сделать нельзя;

• меняя параметры установки (например, высоту), можно стабилизировать осесимметричные моды (т = 0), оставив в то же время неустойчивыми моды стфО;

Таким образом, результаты, полученные в данной главе диссертации, подтверждают возможность экспериментального наблюдения МРН в жидком металле, приводимом во вращение электрическим током.

Третья глава посвящена проблеме построения общего вариационного метода исследования линейной (формальной) устойчивости идеальных МГД течений и получения достаточного условия устойчивости, близкого или совпадающего с необходимым. Метод основан на учете дополнительных законов сохранения, присущих линейной динамике рассматриваемой среды.

Устойчивость: определение, иерархия, методы исследования. В литературе, относящейся к исследованию устойчивости динамических систем, используется несколько различных определений устойчивости.

• Положение равновесия системы называется устойчивым (нелинейно-устойчивым, устойчивым по Ляпунову), если, будучи выведенной из этого положения, система остается в любой наперед заданной его окрестности во все последующие моменты времени. Достаточное условие устойчивости равновесия дает основная теорема Ляпунова: если существует скалярная функция (функционал Ляпунова), которая 1) гладкая, 2) положительно определена в окрестности равновесия и 3) не растет во времени, то такое равновесие устойчиво.

• Положение равновесия называется спектрально устойчивым, если собственные значения линеаризованного оператора динамики системы не имеют положительной

вещественной части. Тем самым гарантируете* отсутствие возмущений, растущих во времени экспоненциально быстро.

• Линейная устойчивость - это устойчивость равновесия линеаризованной системы.

• Если для системы, линеаризованной вблизи положения равновесия, существует функционал Ляпунова, то такое равновесие называют формально устойчивым.

Приведенные различные определения устойчивости не являются независимыми. Их иерархия дается следующей схемой, где стрелки обозначают достаточность:

Несмотря на ограниченность понятия спектральной устойчивости, подавляющее число работ по исследованию устойчивости оперирует именно им. Методическая трудность корректного исследования спектральной устойчивости заключается в необходимости отыскания наряду с собственными значениями также и собственных векторов, которые должны удовлетворять определенным граничным условиям. Вместе с тем для суждения об устойчивости исследуемого состояния равновесия знания реальной динамики системы не требуется; ответ зачастую может быть получен при помощи вариационных методов.

Вариационный метод для исследования устойчивости статического (не обладающего стационарным течением) МГД равновесия - так называемый энергетический принцип -хорошо известен и широко применяется9. Он соответствует исследованию формальной устойчивости, при котором в качестве кандидата в функционалы Ляпунова берется полная энергия линеаризованной системы. Для практических целей крайне важно, что энергетический принцип позволяет получить необходимый и достаточный критерий формальной устойчивости статических МГД-равновесий.

Применение этого метода для систем с равновесными МГД течениями даст слишком «жесткое» условие устойчивости, которое весьма далеко от необходимого. Один из способов улучшения энергетического принципа состоит в построении функционала Ляпунова по схеме

* Bamtebi I. В., Frienun Е. A., Knuk*l M. О., Kulsnid R- M. An energy principle for hydromagnetic (lability problem)// Proc. Roy. Soc. Load. A. -1958.- V. 244. - P. 17-40.

* = £+£/*. (18) к

где Е - полная энергия консервативной системы, а Л - известный набор ее интегралов движения. В этом способе вся тяжесть проблемы переносится на отыскание новых законов сохранения системы.

В данной диссертации показано, что линеаризованная динамика идеальной жидкости обладает бесконечным набором нетривиальных интегралов движения. Учет одного или нескольких таких интегралов в выражении (18) позволяет получить достаточное условие устойчивости, которое оказывается более «мягким» (то есть ближе к необходимому) по сравнению с ранее известными.

Линеаризованное уравнение движения в идеальной МГД. Энергетический принцип. В диссертации подробно обсуждается уравнение линеаризованной динамики идеальной МГД-системы вблизи положения равновесия. В терминах вектора смещения жидкого элемента г) оно имеет вид10

¿+2р(УЧ)$-Щ) = 0. (19)

Здесь точка обозначает частную производную по времени, а - линеаризованный силовой оператор, который определяется возмущенными физическими величинами.

Из уравнения (19) следует ряд формальных свойств:

• силовой оператор Р(£) является самосопряженным

/ц-Р©Л« ^ К(ц)^3г;

• оператор р\ • V является антисимметричным

• динамика (19) обладает законом сохранения энергии

(20)

Полную энергию системы .£ можно выбрать в качестве функционала Ляпунова при условии, что она положительно определена для всех независимых смещений % и !;. Это условие дает критерий формальной устойчивости в виде

(21)

10 рлетап Е. А., КлХепЬед М. Оп 11у<1го<1упшис яаЫМу о?«Мтгшу ециШЬгШ/ Яву. Мой. РЬу». - 1960. - V 32. -Р. 898-902.

Другими словами, если изменение потенциальной энергии положительно при малых отклонениях консервативной системы от положения равновесия, то такое равновесие устойчиво. В этом заключаете« энергетический принцип. Требование положительной определенности в (21) можно заменить неотрицательностью потенциальной энергии (№> 0), что, тем не менее, будет гарантировать спектральную устойчивость.

Дм статического МГД равновесия (с V » 0) условие (21) является не только достаточным, но и необходимым для устойчивости. В случае V Ф 0 условие (21) дает только достаточный критерий устойчивости, то есть его нарушение для некоторого 5 не позволяет сделать какого-либо вывода об устойчивости. Кроме того, практически удовлетворить этому условию можно лишь в очень частных случаях течений. По этим причинам применение энергетического принципа в форме (21) для исследования устойчивости равновесий с МГД-течениями сильно ограничено.

Формальная устойчивость МГД-течений. Улучшение энергетического принципа в случае равновесий с течениями можно добиться, если учесть, что % и 5 в условии (21) не являются полностью независимыми. К примеру, если исходная динамика (19) демонстрирует и другие интегралы движения, не сводящиеся к энергии, величину Е{\, надо рассматривать лишь на классе возмущений £ и не меняющих значений этих интегралов.

Среди возможных интегралов гидродинамических уравнений наиболее естественно рассмотреть сохранение импульса/момента импульса или их компонент, которое имеет место при определенной симметрии системы, геометрической или топологической. Для линеаризованного уравнения (19) соответствующий интеграл можно выразить, введя так называемые нейтральные смещения

Тогда интегралом движения является величина

1= ДЛ» -4+2^ -(У-УХ) А. (22)

Учет этого интеграла действительно позволяет улучшить энергетический принцип, однако проблема положительной определенности функционала энергии для произвольного стационарного течения остается и в этом случае.

В диссертации показано, что помимо интеграла (22) линеаризованная система (19) обладает бесконечным набором интегралов движения, не известных ранее. Каждый интеграл в этом наборе представим в виде

где обозначает п-ю производную по времени. Все высшие производные по времени в интеграле (23) выражаются через 4 и если использовать рекуррентную цепочку (следствие уравнения (19)):

Е("+2> = -2(УУ)£<"+|, + 1к(Е(")).

Р

При этом величина Е\ отождествляется с энергией Е, а, например, интеграл £] запишется как

Е2 =| (24)

Наличие дополнительных интегралов движения (22), (23) позволяет рассматривать функционал энергии £(|, |) лишь на классе возмущений 4 и обеспечивающих равенство одного или нескольких интегралов своему равновесному значению, то есть нулю. Задача об устойчивости равновесия, таким образом, сводится к установлению знакоопределенности функционала £(4, при наличии дополнительных связей на переменные 4 и Из курса математического анализа известно, что исследование условного экстремума функционала эквивалентно исследованию безусловного экстремума нового функционала, который представляет собой сумму старого функционала и условий связи, в-ятых с множителями Лагранжа. В данном случае новым функционалом является

= (25)

1

где Ду и ц - множители Лагранжа. Как будет видно из приведенного ниже примера, учет даже одного интеграла Ег в выражении (25) позволяет получить адекватное условие устойчивости.

Аналитический пример. Обсуждение. В качестве иллюстрации разработанного метода исследования устойчивости в диссертации рассмотрено осесимметричное равновесие холодной (давление р — 0) плазмы, вращающейся вокруг притягивающего центра в отсутствие магнитного поля. В цилиндрической системе координат (А, <р, 2) равновесная скорость задается как V - ДП(.К)е,, где П(Л) - угловая частота вращения. Симметрия задачи позволяет искать решение уравнения (19) в виде разложения в ряд Фурье

я

Динамика каждой моды ^ определяется уравнением

где матрицы А и В есть:

А =

'О -1 О 1 О О ,0 о о;

-ЛИ„ 0 0

. В =

О о о о

Устойчивость решений уравнения (26) легко устанавливается спектральным методом, из которого следует, что для спектральной устойчивости необходимо и достаточно, чтобы

к1* 4П2+Я(П2)'л20.

(27)

Величину к называют зпицикяической частотой.

Прежде чем применять разработанный вариационный подход, следует отметить, что в данном примере все законы сохранения для каждой отдельной моды локальны, то есть вместо интегралов в (22), (23) можно рассматривать соответствующие подынтегральные выражения. В этом случае выражения (20), (22) и (24) сводятся к

2 2

(28)

(29)

(30)

где - компонента нейтрального смещения (произвольная функция). В диссертации разобраны следующие три случая.

• Энергетический принцип. Выбирая энергию Е (28) в качестве функционала Ляпунова,

можно получить достаточное условие устойчивости которое, как легко

видно, не совпадает с необходимым условием (27).

• Учет интеграла движения (29) в виде — 0 при исследовании знакоопределенности энергии £ дает критерий устойчивости (27).

• Выбор величины Ег (30) в качестве функционала Ляпунова также приводит к критерию устойчивости (27) в силу положительной определенности второго слагаемого в (30).

Таким образом, учет даже одного интеграла вида (22) или (23) при построении функционала Ляпунова позволяет получить достаточное условие устойчивости, которое совпадает с необходимым. В более сложных случаях равновесия с магнитным полем для получения адекватного критерия устойчивости может понадобиться учет большего числа интегралов вида (23).

Выводы

1. Разработаны численные коды для расчета двумерных диссипативных МГД течений в каналах прямоугольного сечения, как на стадии разгона, так и в полностью установившемся режиме. С использованием этих кодов рассчитана динамика разгона и структура стационарного течения жидкого металла в кольцевом канале для параметров проектируемой экспериментальной установки по исследованию магниторотационной неустойчивости (МРН). Показано, что при больших числах Гартмана угловая скорость тороидального вращения имеет профиль П ~ 1/Я2 практически во всем сечении канала.

2. Получены приближенные аналитические выражения, описывающие течение в кольцевом канале. Тем самым выявлена зависимость структуры течения от параметров установки (пропускаемого тока, прикладываемого магнитного поля, геометрических размеров и так далее). Отмечена важная роль конечной проводимости стенок канала (в особенности дна и крышки) в динамике установления течения и в его стационарной конфигурации. В рассмотренном случае она приводит к существенному снижению скорости вращения жидкости, что необходимо учитывать при постановке эксперимента.

3. В рамках идеальной несжимаемой МГД проведен детальный численный анализ спектральной устойчивости жидкости, вращающейся с угловой скоростью О - 1/Л2 в кольцевом канале, помещенном в вертикальное магнитное поле. Показано, что такой профиль вращения всегда неустойчив по отношению к МРН, найдены зависимости инкремента неустойчивости от волновых чисел.

4. Разработан вариационный метод исследования формальной устойчивости МГД-течений. В основе метода - учет при построении функционала Ляпунова нового (вообще говоря, бесконечного) набора интегралов движения, свойственных линеаризованной динамике. Данный метод позволяет приблизиться к получению необходимого и достаточного критерия устойчивости МГД-течений.

Список публикаций

1. V.I. Ilgisonis, I.V. Khalzov. Sufficient stability condition for axisymmetric equilibrium of flowing plasma//32nd EPS Conference on Plasma Phys., Tarragona, Spain, 27 June - 1 July, 2005, ECA Vol. 29C, P-5.070 (2005).

2. l.V. Khalzov, A.I. Smoiyakov, V.I. Ilgisonis. 2D-simulation of stationary MHD flows in the ducts of rectangular cross-section// 47lh Annual Meeting of the Division of Plasma Physics, Denver, Colorado, October 24-28, 2005, Bulletin of the APS, 2005, Vol. 50(8), p. 89.

3. V.I. Ilgisonis, l.V. Khalzov, A. I. Smoiyakov. Improved energy principle for a linear stability of moving plasma// 47* Annual Meeting of the Division of Plasma Physics, Denver, Colorado, October 24-28,2005, Bulletin of the APS, 2005, Vol. 50(8), p. 350.

4. В.И. Ильгисонис, И.В. Хальзов. Формальная устойчивость трехмерных течений идеальной проводящей жидкости// Письма в ЖЭТФ. - 2005. - Т. 82(9). - С. 647-651.

5. И.В. Хальзов, А.И. Смоляков. К расчету стационарных магнитогидродинами-ческих течений жидких металлов в кольцевых каналах прямоугольного сечения// Журнал технической физики. - 2006. - Т. 76(1). - С. 28-35.

6. И.В. Хальзов. Двумерная динамика МГД-течения в кольцевом канале// ВАНТ, сер. Термоядерный синтез. - 2006. - Вып. 4. - С. 3-17.

7. ЕЛ. Велихов, И.В. Хальзов, В.И. Ильгисонис, А.И. Смоляков. Магниторотационная неустойчивость в кольцевом канале: спектральный анализ глобальных мод// Препринт РНЦ «Курчатовский институт». - Москва, 2006. - 31 с.

Хальзов Иван Викторович

Магнитогидродинамическое течение в кольцевом канале и его устойчивость

Подписано в печать 16.05.2006. Формат 60x84/16. Печать офсетная. Усл.печ.л. 1,0. Уч.-И1Д л. 1,0. Тираж 80 экз. Заказ №ф-071

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Московский физико-технический институт (государственный университет) Отдел автоматизированных издательских систем «ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ» 141700, Московская обл., г.Долгопрудный, Институтский пер., 9

¿*££J

/fW

It1 1 4 8 б

i

Введение

1 МГД течение в кольцевом канале: стадия разгона

1.1 Постановка задачи. Исходные уравнения

1.2 Граничные и начальные условия.

1.3 Аналитические примеры.

1.3.1 Стационар (полностью развившееся течение)

1.3.2 Разгон в случае На 1.

1.3.3 Разгон в случае На -С 1. ф. 1.4 Численный метод.

1.5 Результаты и их обсуждение.

2 Устойчивость стационарного МГД течения в кольцевом канале: спектральный анализ

2.1 Постановка задачи. Исходные уравнения

2.2 Осесимметричные возмущения, т — 0.

2.3 Неосесимметричные возмущения, т ф О.

2.4 Граничная устойчивость. Обсуждение

3 Формальная устойчивость МГД течений идеальной жидкости

3.1 Устойчивость: определения, иерархия, методы ф исследования.

3.2 Линеаризованное уравнение движения в идеальной МГД. Энергетический принцип

3.3 Формальная устойчивость МГД течений.

3.4 Аналитический пример. Обсуждение.

Исследование магнитогидродинамических (МГД) течений - течений проводящих сред (в том числе различных жидкостей и плазмы) в присутствии магнитного поля - является важной составной частью магнитнойгидродинамики. Начало подобных исследований связано с пионерскимиработами Гартмана 1937 года [1,2], в которых теоретически и экспериментально была изучена структура ламинарного течения ртути в канале, помещенном в однородное магнитное поле. Дальнейшее развитие этонаправление получило в работах Альфвена, суммированных в монографиях [3,4]. В них, собственно, и были заложены основы магнитной гидродинамики (МГД) - новой научной дисциплины, объединяющей классическую гидродинамику и электромагнетизм. Принципы МГД и круграссматриваемых ею задач достаточно полно отражены в многочисленных монографиях общего содержания, таких как [5-7].МГД течения играют существенную роль в современных прикладныхи фундаментальных исследованиях. В первую очередь это обусловленотем, что МГД течения жидких металлов и плазмы лежат в основе различных промышленных технологий. Примерами здесь могут служить расходомеры электропроводящих жидкостей [8,9], электромагнитные насосы,активно применяемые в металлургии и системах охлаждения ядерныхреакторов [10, И], МГД генераторы - установки по прямому преобразованию тепловой энергии в электричество [12,13].Р1нтерес к изучению МГД течений плазмы возрос после их обнаружения в экспериментальных установках по магнитному удержанию термоядерной плазмы - токамаках [14,15]. Течения плазмы в токамаках могутразвиваться в результате несбалансированной инжекции нейтралов, осуществляемой в режимах с дополнительным нагревом, а также самосогласованной турбулентной динамики плазмы в этих установках. В настоящее время течения плазмы являются неотъемлемой частью экспериментов на всех крупных токамаках, считается также, что течения оказываютстабилизирующее влияние на термоядерную плазму, и являются причиной улучшенного режима удержания (так называемой, Н-моды) [16,17].С МГД течениями связывают ряд явлений в гео- и астрофизике. Вчастности происхождение магнитных полей у планет, звезд и даже галактик можно объяснить эффектом магнитного динамо, который состоитв преобразовании механической энергии движения проводящей среды вэнергию электромагнитного поля [18-20]. Несмотря на продвижения, втеории магнитного динамо остается масса нерешенных вопросов, касающихся природы "затравочного" магнитного поля и исходного течения,механизмов, регулирующих амплитуду установившегося поля, и так далее (см., например, обзор [21]).К числу астрофизических объектов, природа которых считается связанной с МГД течениями, относится аккреционный диск - дифференциально вращающийся газопылевой объект, формирующийся вокруг притягивающего центра в результате постепенного падения (аккреции) вещества на этот центр. Аккреционные диски - довольно распространенноеявление во вселенной, проявляющееся в разных масштабах; они могутформироваться вокруг зарождающихся звезд (протозвездные диски), всистемах двойных звезд, одна из которых обычно - массивная чернаядыра, а также в активных галактических ядрах [22].Механизм аккреции дисков остается одним из самых интригующихвопросов в астрофизике. Дело в том, что одновременно с падением вещества на центральное тело должен осуществляться перенос орбитальногоуглового момента на периферию диска так, чтобы суммарный моментсохранялся. Учет только классической (столкновительной) вязкости неможет обеспечить наблюдаемых темпов аккреции, поэтому для объяснения этого эффекта необходимо принимать во внимание турбулентнуювязкость. Наиболее популярной в настоящее время является так называемая а-модель аккреционного диска, разработанная Шакурой и Сюняевым в 1973 году [23]. В предположении сильной турбулентности тонкогодиска они предложили следующую оценку для турбулентной вязкости:где Cs - скорость звука, Н - толщина диска, а а- безразмерный параметрпорядка единицы.Хотя а-модель и дает наблюдаемые скорости аккреции, сама возможность развития турбулентности в аккреционном диске до недавнихпор казалась весьма спорной. Согласно гидродинамическому критериюРэлея [24] вращение с радиальным профилем угловой скорости U{R) линейно устойчиво, если>о.Это означает, что диск с кеплеровским профилем вращения, Q,{R) ос1/i?^ /^ , линейно устойчив по отношению к чисто гидродинамическим возмущениям, а развитие необходимой для а-модели турбулентности можетбыть обусловлено либо нелинейными гидродинамическими процессами,либо механизмом негидродинамической природы.Эффективный механизм, ведущий к развитию турбулентности в аккреционном диске, был предложен только в 1991 году Балбусом и Хоули [25]. Они показали, что наличие магнитного поля способно привестик быстрой линейной МГД неустойчивости аккреционного диска, которая,в свою очередь, возбуждает и поддерживает турбулентность. Интересноотметить, что эта неустойчивость, известная как магниторотационнаянеустойчивость (МРН)\ была впервые теоретически предсказана Велиховым в 1959 году [26], рассмотревшим вращение проводящей жидко^ Иногда употребляют название магнитовращательная неустойчивость (МВН)сти между коаксиальными цилиндрами в магнитном поле, а затем подтверждена Чандрасекаром [27]. МРН возникает в системах с магнитнымполехм, в которых угловая скорость вращения убывает с увеличением радиуса,ЧТО выполняется для кеплеровского течения в диске. Условие возбуждения МРН (2) не зависит явно от величины магнитного поля, хотя саммеханизм неустойчивости требует его присутствия.Благодаря важности МРН в объяснении природы аккреционных дисков эта неустойчивость привлекает все большее внимание физиков. Несмотря на значительную активность в теоретическом исследовании проблемы МРН (см., например, обзоры [28,29] и ссылки в них), до последпего времени не было прямых наблюдений этой неустойчивости в лабораторных экспериментах. Первый эксперимент по наблюдению МРНбыл осуществлен в 2004 году в университете Мэриленда [30]. В нем использовалось вращение жидкого натрия в системе вложенных сфер, помещенных в аксиальное магнитное поле. Однако сферическая геометрияданного эксперимента не соответствует форме аккреционного диска, амоделирует скорее условия звездного магнитного динамо.Более адекватной моделью аккреционного диска в эксперименте является неоднородное вращение хорошо проводящей жидкости (жидкого металла) между двумя коаксиальными цилиндрами, помещенными ввертикальное магнитное поле. Наиболее просто подобное течение вязкойжидкости можно обеспечить за счет вращения самих цилиндров с разными угловыми скоростями - это так называемое течение Куэтта^ [31],которое в идеале (при бесконечной высоте цилиндров) имеет следующийрадиальный профиль угловой скоростиа + ^^, (3)некоторых работах - течение Тэйлора-Куэтта.где константы а и b выражаются через угловые скорости вращения цилиндров и их радиусы. Детальный анализ устойчивости профиля (3) осуществлен в работах [32-34], на основе полученных в них данных предложены параметры для экспериментов.Подготовка таких экспериментов, которые бы явно продемонстрировали возникновение МРН в цилиндрической геометрии, ведется в настоящее время в нескольких научных центрах. Наиболее известные изних - это эксперименты с течением Куэтта жидких металлов в Принстонской лаборатории физики плазмы [35] и национальной лабораторииЛос-Аламоса [36]. Несмотря на техническую простоту, реализовать этипроекты до конца не удается. Отчасти это связано с трудностями работы с жидкими металлами (натрием или галлием), а отчасти с тем, чтограничные вязкостные слои [слои Экмана), возникающие из-за наличиянеподвижных верхней и нижней крышек в канале, контролируют течение во всем объеме жидкости; это приводит к профилю вращения существенно отличному от (3) и делает невозможным генерацию МРН [37].Еще один тип эксперимента был предложен в Лос-Аламосе; в немпредполагается использовать вращение низкотемпературной плазмы вскрещенных электрическом и магнитном полях [38]. Подобная идея, однако применительно к жидким металлам, была высказана в Курчатовском институте [39], там же ведется подготовка соответствующего эксперимента [40-43]. В этом эксперименте радиальный электрический ток,протекающий через жидкость в кольцевом канале, в присутствии аксиального магнитного поля приводит к возникновению силы Ампера и, какследствие, вращению жидкости. В качестве рабочей жидкости в эксперименте будет использоваться жидкий натрий, так как он обладает болеевысокой проводимостью по сравнению с другими доступными жидкостями. Стоит отметить, что при таком способе вращения толщина граничных слоев вблизи крышек обратно пропорциональна величине приложенного магнитного поля (точнее безразмерного числа Гартмана, На),поэтому при достаточно сильном поле (когда На]» 1) эти слои не оказывают влияния на основное течение в центральной области. Как показанов [41], невозмущенный (стационарный) профиль угловой скорости в этомслучае практически во всем сечении канала имеет вид^{R) = §2^ (4)где константа С определяется пропускаемым током и свойствами рабочейжидкости. Невозможность использования профиля вращения, отличающегося от (4), следует отнести к недостаткам данного эксперимента. Этоделает необходимым детальное теоретическое исследование структурытечения в кольцевом канале под действием электрического тока и анализего устойчивости, в частности, по отношению к МРН. Материал даннойдиссертации в значительной степени служит физическим обоснованиемуказанного эксперимента.Теоретическому анализу структуры МГД течений в каналах посвященцелый ряд работ (например, обзоры [7,44,45]). Самым изученным на данный момент является случай прямого канала прямоугольного сечения,как наиболее важный с точки зрения практического применения. Темне менее, методы, разработанные для расчета течений в прямых каналах, могут применяться и для кольцевых каналов. Так, Брагинский [46]предложил для описания течений гальваническое приближение, которое справедливо при малых магнитных числах Рейнольдса (Re^ -С 1).Хант и Стюартсон [47] разработали асимптотический метод для анализа течений в прямых каналах при больших числах Гартмана (НеС^ 1),который впоследствии был уточнен [48] и обобщен на случай кольцевыхканалов [49]. Несмотря на эти исследования, в настоящее время не найдено удовлетворительного аналитического приближения, описывающеготечения при любых числах Гартмана в кольцевых каналах прямоугольного сечения со стенками произвольной проводимости. Поэтому главнуюроль здесь играют численные методы.Для расчета структуры МГД течений в каналах были разработанымногочисленные коды, основу которых составляют прямые спектральныеметоды, заключающиеся в разложении неизвестных величин по некоторому базису и вычислении коэффициентов разложения. К таковым можно отнести метод конечных элементов (например, статья [50] и ссылки вней), метод конечных объемов [51,52], метод дифференциальных квадратур [53]. Эти методы в принципе не накладывают ограничений на значения чисел Гартмана и допускают обобщение на нестационарный случай.Однако у подобных методов есть общий недостаток, связанный ,д необходимостью решения больших систем линейных алгебраических уравнений, что всегда сопряжено с определенными трудностями.Альтернативой данным методам могут служить итерационные методы расчета МГД течений в каналах [41], в которых первоначально заданное решение уточняется в последующих итерациях. Итерационныеметоды имеют массу преимуществ по сравнению со спектральными, такие как относительная простота схемы, гладкость получаемого решения,необходимость хранения в памяти на каждом шаге только 0{N) чисел,где N - число узлов сетки. В то же время быстродействие данных методов в оптимальном случае составляет 0{N^^'^), что сравнимо с самымибыстрыми прямыми спектральными методами, для которых быстродействие определяется как 0{N\nN). Особо следует подчеркнуть простотуучета граничных условий в итерационных методах, где значения сеточной функции в граничных точках определяются на каждой итерациизначениями этой функции в соседних внутренних точках. Как показано в [42], граничные условия, связанные с проводимостью стенок, могутсущественно повлиять на структуру МГД течения в кольцевом канале.Помимо этого, итерационные методы легко обобщаются на случай нестационарных (развивающихся) течений, если рассматривать каждую итерацию как решение в соответствующий момент времени.Изучение устойчивости дифференциального вращения проводящейжидкости в магнитном поле является в настоящее время задачей, весьма далекой от завершения. Большое количество работ в этой области10возникло после переоткрытия МРН в астрофизическом контексте (см.,например, [21,25,32,43,54-63]). Основное внимание в них уделялось анализу устойчивости вращений, имеющих профиль угловой скорости либоQ{R) ос Я^ (где q = —3/2 соответствует кеплеровскому вращению), либо Q,{R) = а + b/R^ (течение Куэтта, используемое в экспериментах поМРН).Среди работ, посвященных МРН, выделим [25-27], в которых МРНбыла предсказана как сильная локальная осесимметричная (соответствующая мода имеет азимутальное волновое число m = 0) неустойчивость.Рассмотрение неосесимметричных мод (тп ^^ 0) в локальном приближении [54-57] показывает, что эти моды становятся устойчивыми с увеличением т. Важность анализа глобальных мод и граничных условий взадаче МРН впервые отмечена в работах [58-60], там же приведены расчеты мод, отвечающих свободным граничным условиям. Большая работа по исследованию устойчивости глобальных мод в рамках неидеальнойМГД была осуществлена Рюдигером и соавторами [21,32,61-63]. Онирассчитали границы устойчивости основных мод для различных пара-.метров течения, но при этом не затронули вопрос о величинах инкремента неустойчивости и его зависимости от волновых чисел. Детальныйанализ спектральной устойчивости вращения с профилем (4) представлен в [43].В целом проблема исследования устойчивости стационарных МГД течений представляет общефизический интерес в связи с отсутствием универсальных подходов к решению подобных задач. Подавляющее числоработ в этой области оперирует понятием спектральной устойчивостилинеаризованной системы, гарантирующей отсутствие экспоненциальнонарастающих со временем возмущений (см. монографии [64]- [67]; подробный обзор основных подходов к описанию МГД неустойчивостейприведен в [68]). Методическая трудность исследования спектральнойустойчивости состоит в том, что оператор, задающий динамику линеа11ризованной системы, не является эрмитовым, поэтому его собственныезначения в общем случае комплексны. Кроме того, наряду с собственными значениями в континуальных средах необходимо отыскание такжеи собственных векторов, которые должны удовлетворять определеннымграничным условиям.Вместе с тем для суждения об устойчивости исследуемого состоянияравновесия знания реальной динамики системы не требуется; ответ зачастую можно получить при помощи вариационных методов, в частности,теории Ляпунова [69]. Суть теории заключается в теореме Ляпунова:состояние равновесия объявляется устойчивым, если существует инвариант динамики системы U - функционал Ляпунова, первая вариациякоторого равна нулю в точке равновесия, а вторая знакоопределена вокрестности этой точки^.Вариационный подход для исследования устойчивости статического(не обладающего стационарным течением) равновесия консервативнойМГД системы - так называемый энергетический принцип - был впервые реализован в работе Вернштейна, Фримана, Крускала и Калсруда(ВФКК) [70], где было показано, что положительная определенность потенциальной энергии вблизи положения равновесия, гарантирует спектральную устойчивость,W>0. (5)Это условие вытекает из теоремы Ляпунова, если в качестве функционала Ляпунова выбрать полную энергию системы (гамильтониан) и произвести минимизацию по импульсам. Благодаря своей физической наглядности энергетический принцип получил весьма широкое распространение в анализе устойчивости простых МГД систем (см., например, [71]).Для практических целей крайне важно, что он позволяет получить необходимый и достаточный критерий спектральной устойчивости статических МГД равновесий [72], другими словами, если существует возмуще^Математически более строгая формулировка теоремы Ляпунова приведена в главе 3.12ние для которого W < О, то исходное равновесие спектрально неустойчиво.Попытка применить этот подход для исследования устойчивости систем со стационарными МГД течениями была предпринята Фриманоми Ротенбергом [73]. Полученное ими условие устойчивости, формальносовпадающее с энергетическим принципом (5), оказывается всего лишьдостаточным, то есть, если оно не выполняется для какого-либо возмущения, то судить об устойчивости равновесия нельзя. Нетрудно показать,что это условие заведомо не выполняется, за исключением равновесийсравнительно узкого класса. Подобная "жесткость" вариационного условия связана с допущением в вариационной процедуре излишней свободыв варьируемых функциях, нежели это предопределено динамикой системы.Улучшенное условие устойчивости можно получить, если учесть, чтоимпульсы и координаты в гамильтониане не являются полностью независимыми. К примеру, если динамика системы демонстрирует и другиеинварианты движения, не сводящиеся к энергии, знакоопределенностьгамильтониана надо рассматривать лишь на классе возмущений, не меняющих значения этих инвариантов. Идеи такого рода высказывалисьеще Ляпуновым; применительно к гидродинамике они были формализованы Арнольдом [74-76], показавшим, в частности, что учет сохраненияинтеграла завихренности при двумерном движении идеальной несжимаемой жидкости позволяет получить довольно общее условие устойчивости.Работы Арнольда положили начало целому направлению, именуемому в англоязычной литературе Energy-Casiniir (ЕС) stability method (см.,например, [77-80]), суть которого заключается в построении функционала Ляпунова по схемеJ2i, (6)где Н - гамильтониан системы, а Cj - известный набор казимиров 13кинематических инвариантов, обладающих определенными свойствами;далее исследуется поведение U вблизи положения равновесия. Однакоследует отметить, что в весьма обширной литературе, посвянденной использованию ЕС-метода, предложенный Арнольдом подход реализованлишь отчасти. А именно, при рассмотрении второй вариации функционала (6) вблизи состояния равновесия не учитываются связи, накладываемые сохранением казимиров. Без этого ЕС-метод сводится просток варьированию смеш,енного гамильтониана (6), что по прежнему даетслишком жесткое условие устойчивости Фримана-Ротенберга.Вместе с тем, как показано в [81], переход к лагранжевому представлению позволяет автоматически учесть в вариационной процедуре весьнабор казимиров, присуш,их системе. Поэтому тяжесть проблемы в этомпредставлении переносится на отыскание других, некинематических законов сохранения, которые также следует учитывать для получения адекватного критерия устойчивости. Среди других возможных инвариантовгидродинамических уравнений наиболее естественно рассмотреть, прежде всего, сохранение импульса/момента импульса или их компонент,имеюш,ее место при определенной симметрии системы, геометрическойили топологической. Именно благодаря такой симметрии и становитсявозможным суш;ествование стационарных течений.Корректный учет указанных законов сохранения действительно позволяет улучшить условие Фримана-Ротенберга - соответствуюш;ее достаточное условие устойчивости для системы вложенных магнитных поверхностей было получено Ильгисонисом и Пастуховым [82] и Хамеири [83].Однако и это (улучшенное) условие устойчивости оказывается далекимот необходимого, что предопределяет необходимость привлечения в анализ дополнительных инвариантов.Недавно было предложено использовать при анализе устойчивостиМГД течений новый набор нетривиальных интегралов движения, присуш,их линеаризованной системе [84-87]. Учет сохранения одного или14нескольких таких интегралов при варьировании гамильтониана позволяет получить достаточное условие устойчивости, которое ближе к необходимому по сравнению с ранее известными. В данной диссертации представлена схема получения указанных инвариантов и разработан метод ихучета при анализе спектральной устойчивости МГД течений.Перейдем теперь к более подробному изложению структуры и содержания диссертации. Материал диссертации разбит на 3 главы, 13 параграфов. Первая глава диссертации включает теоретическое изучениеи результаты численных расчетов осесимметричного МГД-течения жидкого металла в кольцевом канале в стационарном случае и на стадииразгона. Рассмотрение ведется в рамках диссипативной несжимаемойМГД. В первом параграфе сформулирована задача об изучении МГДтечения в кольцевом канале. Течение обусловлено силой Ампера J х В,которая возникает при пропускании электрического тока через жидкийметалл, находящийся в вертикальном магнитном поле. Приведены уравнения диссипативной МГД модели, осуществлено их обезразмеривание.В предположении осевой симметрии получены уравнения динамики компонент скорости и магнитного поля.Во втором параграфе первой главы обсуждаются граничные и начальные условия, необходимые для однозначного определения скоростии магнитного поля. Детальный вывод граничных условий на магнитноеполе в предположении тонких стенок канала приведен в Приложении А. В третьем параграфе получены приближенные аналитические решения, описывающие характер течения вдали от боковых стенок канала.Рассмотрены три случая: стационарное (полностью развившееся) течение и установление течения (разгон) при больших и малых числах Гартмана (На >> 1 и На <С 1, соответственно); найдено характерное времяустановления течения.В четвертом параграфе описан численный метод, разработанный автором для расчета структуры МГД течения в кольцевом канале. В основе метода лежит итерационный алгоритм Гаусса-Зейделя для решения15уравнений эллиптического типа, обобщенный на случай систем нелинейных уравнений. Устойчивость используемой численной схемы исследована в Приложении В. Результаты численных расчетов МГД течения для параметров проектируемой установки приведены в пятом параграфе первой главы. Тамже приведено сравнение полученных результатов с приближенным аналитическим описанием. Показано, что проводимость стенок канала играет важную роль в структуре изучаемого течения. Также отмечено, чтотечение практически во всем объеме канала имеет профиль угловой скорости (4).Вторая глава диссертации содержит детальный анализ спектральнойустойчивости стационарного МГД течения, найденного в первой главе.Анализ основан на численном решении задачи на собственные значенияи включает определение спектра собственных частот наряду с собственными возмущениями. В первом параграфе в рамках линеаризованнойидеальной несжимаемой МГД модели получено уравнение на собственные значения для радиальной компоненты вектора смещения, сформулированы граничные условия. Данное уравнение было решено с использованием стандартного метода стрельбы для различных волновых чисел.Во втором параграфе второй главы приведены результаты расчетовосесимметричных возмущений (моды с m = 0). Демонстрируется спектрсобственных частот и примеры собственных функций, показано наличиеМРН в системе. Там же вводится определение радиального волновогочисла.В третьем параграфе рассмотрены неосесимметричные возмущения,приведен спектр собственных частот для мод с m = 1. Отмечены характерные особенности спектра, возникающие как результат альфвеновскихрезонансов. Прослежена зависимость инкремента МРН от волновых чисел.В четвертом параграфе исследована граничная устойчивость рассмат16риваемого течения. На основании численных расчетов получена простаяаналитическая оценка для гранично-устойчивых значений волновых чисел. Там же обсуждаются результаты проведенного анализа устойчивости. Обоснована возможность наблюдения МРН в эксперименте с жидким натрием, приводимом во вращение электрическим током.Третья глава посвящена проблеме построения общего вариационногометода исследования формальной устойчивости идеальных МГД течений и получения достаточного условия устойчивости, близкого или совпадающего с необходимым. Метод основан на учете дополнительных законов сохранения, присущих линейной динамике рассматриваемой среды. В первом параграфе третьей главы даются определения основныхтипов устойчивости, используемых в литературе, приводится их иерархия. Сформулирована теорема Ляпунова [69], гарантирующая достаточное условие устойчивости; рассмотрен вариационный подход Арнольда [74-76].Во втором параграфе представлен вывод уравнения линеаризованнойдинамики идеальной МГД системы. Продемонстрировано использованиетеоремы Ляпунова для получения энергетического принципа.В третьем параграфе приводится схема получения новых нетривиальных интегралов движения для линеаризованной МГД системы. Разработана вариационная процедура минимизации функционала Ляпунова сучетом сохранения указанных интегралов.В четвертом параграфе третьей главы применение разработанного метода иллюстрируется на простом аналитическом примере. Показано, чтоучет даже одного нового интеграла в вариационной процедуре позволяетполучить условие устойчивости, совпадающее с необходимым.В Заключении кратко суммируются основные результаты диссертации, обсуждается вопрос о возможности их практического применения.17Следующие положения автор выносит на защиту.1. Результаты численных расчетов динамики двумерного диссипативного МГД течения в кольцевом канале прямоугольного сечения с учетомконечной проводимости стенок канала.2. Приближенные аналитические выражения, описывающие динамикуи стационарную структуру осесимметричного МГД течения в кольцевомканале при различных значениях числа Гартмана.3. Детальный численный анализ спектральной устойчивости глобальных мод (в том числе с ненулевым азимутальным волновым числом,m 7^ 0) жидкости, вращающейся с угловой частотой Q{R) ос 1/В? вкольцевом канале.4. Вариационный метод исследования формальной устойчивости стационарных МГД течений, основанный на учете новых интегралов движения, присущих линеаризованной динамике.По теме диссертации опубликовано 7 научных работ [40-43,85-87], втом числе 3 статьи в реферируемых журналах [41,42,87].

в данной диссертационной работе приведено достаточно полное теоре тическое исследование МГД течения жидкого металла (натрия) в коль цевом канале в условиях, относяш,ихся к проектируемому эксперименту

по наблюдению магниторотационной неустойчивости. Это исследование

включает изучение стадии разгона натрия под действием радиального

электрического тока в вертикальном магнитном поле, детальный расчет

установившегося равновесного МГД течения и анализ его спектральной

устойчивости. Для изучения стадии разгона и расчета стационарного (полностью

установившегося) течения жидкого металла в кольцевом канале был раз работан оригинальный численный код, учитываюш;ий специфику дву мерного диссипативного МГД течения в канале прямоугольного сечения. Код основан на итерационной схеме Гаусса-Зейделя, впервые применя емой для задач такого типа. С использованием этого кода рассчитана

структура течения для предполагаемых пара-метров экспериментальной

установки с определением всех компонент скорости, индуцированного

магнитного поля и с учетом конечной проводимости стенок канала. От метим, что данный код при небольшой модификации может применяться

и для расчета МГД течений в прямых каналах, что допускает его исполь зование в ряде технических приложений. В диссертации также получены приближенные аналитические выра жения, описывающие динамику МГД течения в кольцевом канале. Тем

самым, выявлена зависимость структуры течения от параметров уста новки (пропускаемого тока, прикладываемого магнитного поля, геомет 91 рических размеров и пр.), что позволяет оптимизировать параметры экс перимента. Хорошее соответствие полученных аналитических выраже ний и результатов численных расчетов предопределяет использование

для оценок параметров течения в основном объеме приближенные ана литические формулы. Из расчетов следует, что при больших числах Гартмана, характер ных для рассматриваемой установки, угловая скорость тороидального

враш;ения натрия имеет профиль Q[R) ос 1/R^ практически во всем се чении канала. В диссертации показано, что такой профиль оказывается

спектрально неустойчивым по отношению к МРН, причем наибольший

инкремент неустойчивости соответствует осесимметричной моде возму ш,ения. Именно развитие этой моды следует ожидать в эксперименте. Отметим, что спектральная устойчивость в диссертации рассмотрена в

рамках идеальной несжимаемой МГД, что оправдано большими значени ями магнитного и гидродинамического чисел Рейнольдса в основном те чении. Строго говоря, задача об устойчивости течения в канале с учетом

диссипативных эффектов также должна быть решена при подготовке

рассматриваемого эксперимента. Кроме того, в диссертации построен вариационный метод исследова ния линейной (формальной) устойчивости идеальных равновесных МГД

течений, имеющий весьма широкую область применимости. В основе ме тода - учет при построении функционала Ляпунова нового (вообш;е го воря, бесконечного) набора интегралов движения, свойственных линеа ризованной динамике идеальных сред. Данный метод позволяет прибли зиться к получению необходимого и достаточного критерия устойчивости

МГД течений, что проиллюстрировано на простом аналитическом приме ре. Разработанный метод представляет обш,ефизический интерес прежде

всего потому, что в значительной степени упрош,ает процедуру анализа

устойчивости МГД течений (на вопрос "да-нет" об устойчивости тре буется анализ знакоопределенности квадратичного функционала). Это обстоятельство делает целесообразным его использование не только в

аналитических исследованиях, но и в численных схемах (по аналогии с

энергетическим принципом). В заключение автор выражает самую искреннюю признательность

своему научному руководителю В. И. Ильгисонису, под чьим руковод ством были получены результаты, положенные в основу данной дис сертации; благодарит его за постоянное внимание и помощь, оказанные

в ходе работы над темой диссертации. Автор выражает благодарность

А. И. Смолякову - профессору Саскатчеванского университета (Канада),

соавтору большинства работ, опубликованных по материалам диссерта ции, Е. П. Велихову за постановку и стимулирование интереса к задачам,

вошедшим в настояшую диссертацию, В. П. Лахину за плодотворные об суждения, а также всем сотрудникам теоретического отдела Института

ядерного синтеза за полезные замечания по теме диссертации.Прилож:ение А

Граничные условия на магнитное

ноле в кольцевом канале

Представлен вывод граничных условий на компоненты магнитного поля

в кольцевом канале в приближении тонких стенок, S = d/L «С 1. АЛ Верхняя и ниж:няя стенки

Для верхней стенки канала при z = 1 условия (1.25) и (1.26) переписы ваются в виде:

^г, bbi^LJl^^ (АЛ)

На границе стенки с изолятором при z = 1 + S нормальный ток должен

обращаться в ноль, что дает

Так как аксиальное поле за стенкой постоянно, то справедливо:

Интегрируя последние два уравнения по г, получим

= Сь (А.З) где Ci и Сг - некоторые константы. Потоковая функция д определена с

точностью до аддитивной постоянной, поэтому можно положить Сг = 0. Константа Ci связана с пропускаемым через канал полным током IQ. Действительно, полный радиальный ток при фиксированном радиусе г

—/о = 2жгЬ I Jrdz= —rz / hy'' dz (•^ •4)

где учтена нечетность h^'^\ Отсюда видно, что удобным выбором являет ся Ci = 1, тогда функции h(r, z) и h^'^\r, z) будут характеризовать долю

полного радиального тока, протекающего через сечение r^const между

уровнями Z и —Z. Вспоминая определения чисел Re^ и На (1.14), из (А.4)

можно найти характерную величину азимутальной скорости установив шегося течения

что согласуется с оценкой Брагинского [46]. Заметим, что уравнения (А.2) с учетом динамики функций д (1.19) и

^ 30) дают простые следствия:

Таким образом, система (А.1)-(А.2), дополненная условиями (А.З), при нимает вид:

(Tj (Гад

Л () = o. (А.7) Подстановка (А.8), (А.9) в (А.6), (А.7) дает:

hl=i = ho, h2l^ = h. ho + hi5+\h25'' +

g\z=\ = ^0, 9'z\z=i=9i 9o + 9iS + -zg2S'^ + o{5^) = 0,

откуда, пренебрегая членами порядка o{S), получим

(Л+ (5^/1 У U = 1,

S9'z)\z=i = 0. Отметим, что учет членов более высокого порядка по 5 требует решения

динамических уравнений (1.29) и (1.30). Принимая во внимание нечет ность h и четность д по z, для верхней и нижней стенок окончательно

имеем:

(д±(5^^)|г=±1 = 0. (А.11)

А.2 Боковые стенки

Для боковой стенки канала при г = г\ условия (1.25) и (1.26) дают:

Кроме того, мы имеем условие

П J. \г=г1-5 — '-')

означающее отсутствие тангенциальной компоненты тока на поверхности

идеального проводника, и

9 г \r=ri-S — ^ • условие постоянства аксиального поля снаружи канала. Используя урав нения динамики функций д (1.19) и р "^'^ (1.30), систему граничных усло вий при г = ri (А.12), (А.13) запишем как:

п r\r=ri i,(w)/\ п г л 1/^^

= , /г^ Vk=ri-J = о, (A.14J(7/

r=ri — у |r=ri> 9 r\r=ri — У r\r=rii д j.\r=ri-6 —

Разложение функций /г^ "'^ и д^'^^ в ряд Тейлора вблизи г = ri представим

в виде:

что при подстановке в (А. 14), (А. 15) дает:

д\г=г1 = 90, 9 \ ' 2 25 +

Отсюда видно, что для определения граничных условий с точностью

до 0(6) необходимо знать функции /i2 и д2. Эти функции можно полу чить из уравнений динамики (1.29), (1.30). Подставляя в них разложения

(А.16), (А.17), имеем при г = гх:

откуда:

1 /Ргст» . „ Таким образом, с точностью до O{S) граничные условия при г =

принимают вид:

Аналогично при г — r^'- Прилож:ение В

Устойчивость разностной схемы

Исследуем усточивость разностной схемы для упрощенной системы (1.41),

(1.42), описывающей динамику течения вдали от боковых стенок канала. По аналогии с (1.71) имеем

"Г'-""

О - j ^ + На (В.2)

где А^ - шаг по времени, a s - шаг сетки в направлении z. Представим

решение этой системы в виде

h] = 9"/1ое'*"Л • (В.4)

где г - мнимая единица, а «о и /lo - амплитудные множители. После

подстановки в (В.1), (В.2) получаем

iHasinC Л Л"о А _ / О

iHasinC 2(cosC -q)/s J \ ho J \0

Здесь для краткости введена величина (" = ^5. Чтобы данная система

имела нетривиальное решение, ее определитель должен обращаться в

ноль, а именно:

c = 0. (В.6) Это уравнение надо рассматривать как уравнение относительно парамет ра q. Согласно критерию фон Неймана (см., например, [90]), разностная

схема является устойчивой, если

max |g(C, At, s)\<l + 0{At). (B.7)

Проверим выполнение этого условия в нашем случае. Запишем уравнение

(В.6) в виде квадратного трехчлена по д:

Его дискриминант

2C + C + 4 = 0. (В.8)

D = {1- cos С) 11 - cos С - 2Ha?At (l + ^ j (1 + cos С)] (B.9)

может быть как положительным, так и отрицательным. Рассмотрим эти

случаи отдельно. 1. D >0. Это выполнено, когда

В этом случае имеется два действительных корня. Чтобы определить их

положение, найдем сначала абсциссу вершины параболы P{q):

Так как эта точка всегда находится в интервале (—1, 1], а ветви парабо лы P{q) направлены вверх, то для того, чтобы оба корня P{q) с D > О

лежали на отрезке [—1, 1], необходимо и достаточно выполнение следу юш,их условий: Нетрудно видеть, что оба условия выполнены автоматически, следова тельно, для всех С, удовлетворяющих (В.10), абсолютные значения кор ней qi и 52 всегда меньше единицы. Это значит, что в случае D > О нет

ограничений на выбор параметров схемы. 2. D < 0. В этом случае корни уравнения комплексно сопряженные и

имеют одинаковое абсолютное значение. Используя теорему Виета, кри терий фон Неймана (В,7) можно записать как

2 (2 А V5^) cos^ С + cos С + (ДШa^/2) sin^ С ^ ., . После несложных преобразований получаем неравенство:

Значение cos С здесь должно удовлетворять условию D < О, что дает

интервал

Из структуры неравенства (В.13) видно, что если оно выполнено для

максимального значения cos^ = 1, то оно выполнено всегда. Таким об разом, критерий устойчивости разностной схемы (В.1), (В.2) имеет вид

Afs^'- -- • ^^''^ Прилож:ение С

Теорема Фредгольма для эрмитовых

операторов

Пусть задан линейный оператор Z/, действующий из банахова простран ства Во в банахово же пространство Bi. Напомним некоторые понятия,

известные из функционального анализа. Определение 1 Решения уравнения Lu = О называются нулями

оператора L; мносисество этих нулей образует подпространство, на зываемое ядром оператора L и обозначаемое символом кег L. Определение 2 Линейный оператор L : Во —^ Bi называется эр митовым (самосопряэюенным), если для любых и uv из Во справедливо

равенство

(г;, Lu) = (и, Lv),

где скобки обозначают скалярное произведение. Для эрмитовых операторов легко доказываются следующие утвержде ния (см., например, [96]). Теорема З Если оператор L эрмитов, то все его собственные зна чения вещественны, а собственные функции, соответствующие раз личным собственным значениям, ортогональны.Теорема 4 Если система собственных функций {uk} эрмитова опе ратора L не более чем счетпа, то ее мооюно выбрать ортонормалъной:

, щ) = Хк{щ, щ) =

где Ski - символ Кронекера. Докажем теперь теорему Фредгольма в частной формулировке. Теорема 5 (Фредгольм) Для того, чтобы уравнение

Lu = f, fe Bi, (C.I)

где L - эрмитов оператор, имело хотя бы одно решение, необходимо и

достаточно, чтобы свободный член f был ортогонален ядру оператора

кег L (иначе говоря, чтобы для всех v G кег L выполнялось (/, v) = 0). Доказательство

1) Необходимость. Если уравнение (С.1) имеет решение и, а v Е кег L

{Lv = 0), то

(/, V) = {Lu, v) = (u, Lv) = 0. 2) Достаточность. Пусть (/, г;) = О для всех v : Lv = 0. Согласно тео реме 4 введем в пространствах Во и Bi ортонормальный базис {uk, vi},

где {uk} - собственные функции, отвечающие ненулевым собственным

значениям Ajt ^^ О, а {vi} - собственные функции с нулевым собственным

значением: Lvi = 0. Очевидно, что ядро оператора L является линейной

оболочкой функций {vi}, то есть любой элемент v G кег L представим

в виде линейной комбинации функций {vi}. Следовательно, чтобы для

всех V : Lv = О, выполнялось условие (/, г;) = О, свободный член /

должен иметь разложение На решение и подобных ограничений нет, поэтому представим его в об ш,ем виде

^ ^ (С.З)

Подставляя разложения (С.2) и (С.З) в уравнение (С.1), получим

Отсюда, в силу ортогональности функций {uk}, имеем

ак = ^ . (С.4)

Таким образом, выбирая в (С.З) коэффициенты ак, заданные выраже нием (С.4), можно построить решение исходной задачи (С.1). Тем самым

доказана достаточность. В рассматриваемом в Главе 3 случае оператор

где F[^] задано в (3.13), является эрмитовым (самосопряженным) в тер минах скалярного произведения, введенного по правилу

Нейтральные смеш;ения д^г (3.18) есть не что иное, как нули оператора

(С.5). Применяя к нему теорему Фредгольма, получаем справедливость

утверждения (3.26).

1. Hartmann J. Hg dynamics 1. Theory of the laminar flow of an electricallyconductive Hquid in a homogeneous magnetic field// Det Kgl. DanskeVidenskabernes Selskab. Mathematisk-Fysiske Meddelelser. - 1937. - V.15, No. 6. - P. 1-28.

2. Hartmann J., Lazarus F. Hg dynamics H. Experimental investigations on the flow of mercury in a homogeneous magnetic field// Det Kgl. DanskeVidenskabernes Selskab. Mathematisk-Fysiske Meddelelser. - 1937. - V.15, No. 7. - P. 1-45.

3. Alfven H. Cosmical electrodynamics. - Oxford: Clarendon Press. - 1950. - 237 p.

4. Alfven H., Falthammar C. G. Cosmical electrodynamics: fundamental principles. - 2nd ed. - Cxford: Clarendon Press. - 1963. - 228 p.

5. Cowling T. G. Magnetohydrodynamics. - New York: Interscience Pub- lishers. - 1957. - 115 p.

6. Shercliff J. A. A textbook of magnetohydrodynamics. - Oxford; New York: Pergamon Press. - 1965. - 265 p.

7. Hughes W. F., Young F. J. The electromagnetodynamics of fluids. - New York: John Wiley & Sons, Inc. - 1966. - 648 p.

8. Shercliff J. A. The theory of electromagnetic flow-measurement. - Cam- bridge: University Press. - 1962. - 146 p.105

9. Hofmann F. Fundamental principles of electromagnetic flow measure- ment. - 3rd ed. - Duisburg: KROHNE Messtechnik GmbH & Co. KG.- 2003. - 71 p.

10. Rosa R. J. Magnetohydrodynamic energy conversion. - New York: McGraw-Hill. - 1968. - 234 p.

11. Арефьев К. М., Палеев И. И. Ссновы термоэлектронного и магнито- гидродинамического преобразования энергии. - Москва: Атомиздат- 1970. - 215 с.

12. Isler R. С , Murray L. Е., Crume Е. et al. Impurity transport and plasma rotation in the ISX-B tokamak// Nuclear Fusion. - 1983. - V.23. - P. 1017-1037.

13. Brau K., Bitter M., Goldston R. J. et al. Plasma rotation in the PDX tokamak// Nuclear Fusion. - 1983. - V. 23. - P. 1643-1655.

14. Taylor R. J., Brown M. L., Fried B. D. et al. H-mode behavior induced by cross-field currents in a tokamak// Physical Review Letters. - 1989.- V. 63. - P. 2365-2368. '

15. Burrell K. H., Carlstrom T. N., Doyle E. J. et al. Physics of the L to H transition in the DIII-D tokamak// Physics of Fluids B. - 1990. - V. 2.- P. 1405-1410.106

16. Moffat Н. К. Magnetic field generation in electrically conducting fluids. - Cambridge: Cambridge University Press. - 1978. - 343 p.

17. Radler K. H. Cosmic dynamos// Reviews in Modern Astronomy. - 1995. - V. 8 - P. 295-322.

18. Busse F. H. Homogeneous dynamos in planetary cores and in labora- tory// Annual review of Fluid Mechanics. - 2000. - V. 32. - P. 383-408.

19. Rudiger G., Hollerbach R. The magnetic universe. Geophysical and as- trophysical dynamo theory. - Weinheim: Wiley-VCH. - 2004. - 332 p.

20. Frank J., King A., Raine D. Accretion power in astrophysics. - Cam- bridge: Cambridge University Press. - 1992. - 294 p.

21. Shakura N. I., Sunyaev R. A. Black holes in binary systems. Observa- tional appearance// Astronomy and Astrophysics. - 1973. - V. 24. - P.337-355.

22. Rayleigh L. On the dynamics of revolving fluids// Scientific papers. - 1920. - V. 6. - P. 447-453.

23. Balbus S. A., Hawley J. F. A powerful local shear instability in weakly magnetized disks. I. Linear analysis// Astrophys. Journal. - 1991. - V.376. - P. 214-222.

24. Велихов E. П. Устойчивость течения идеально проводящей жидко- сти между вращающимися цилиндрами в магнитном поле// ЖЭТФ.- 1959. - Т. 36. - 1398-1404.

25. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic' stability. - Oxford: Clarendon Press. - 1961. - 652 p.

26. Balbus S. A., Hawley J. F. Instability, turbulence, and enhanced trans- port in accretion disks// Review of Modern Physics. - 1998. - V. 70. -P. 1-53.107

27. Balbus S. A. Enhanced angular momentum transport in accretion disks// Annual Review of Astronomy and Astrophysics. - 2003. - V.41. - P. 555-597.

28. Sisan D. R., Mujica N., Tillotson W. A. et al. Experimental observation and characterization of the magnetorotational instability// Phys. Rev.1.ett. - 2004. - V. 93. - P. 114502(1-4).

29. Couette M. M. Etudes sur le frottement des Hquides// Ann. Chim. Phys. -1890 . -V . 2 1 . - P . 433-510.

30. Rudiger G., Zhang Y. MHD instability in differentially-rotating cylindric flows// Astron. Astrophys. - 2001. - V. 378. - P. 302-308.

31. Ji H., Goodman J., Kageyama A. Magnetorotational instability in a rotating liquid metal annulus// Mon. Not. R. Astron. Soc. - 2001. - V.325. - P. L1-L5.

32. Goodman J., Ji H. Magnetorotational instability of dissipative Couette flow// J. Fluid Mech. - 2002. - V. 462. - P. 365-382.

33. Kageyama A., Ji H., Goodman J. et al// J. Phys. Soc. Jpn. - 2004. - V. 73. - P. 2424-2437.

34. Noguchi K., Pariev V. I., Golgate S. A. et al. Magnetorotational insta- bility in liquid metal Gouette flow// Astrophys. J. - 2002. - V. 575. -P. 1151-1162.

35. Hollerbach R., Fournier A. End-effects in rapidly rotating cylindrical Taylor-Gouette flow// MHD Gouette Flows: Experiments and Models./Ed. R. Rosner, G. Rudiger and A. Bonanno. - American Inst. of PhysicsGonf. Proc. - 2004. - V. 733. - P. 114-121.

36. Noguchi K., Pariev V. I. Magnetorotational instability in a Gouette flow of plasma// arXiv:astro-ph/0309340. - 2003. - 6 p.108

37. Велихов Е. П. Частное сообщение. - 2004.

38. Хальзов И. В., Смоляков А. И. К расчету стационарных магнито- гидродинамических течений жидких металлов в кольцевых каналахпрямоугольного сечения// Журнал технической физики. - 2006. -Т. 76. - 28-35.

39. Хальзов И. В. Двумерная динамика МГД-течения в кольцевом кана- ле// ВАНТ. Сер. Термоядерный синтез. - 2006. - Вып. 4. - 3-17.

40. Велихов Е. П., Ильгисонис В. И., Смоляков А. И., Хальзов И. В. Магниторотационная неустойчивость течения в кольцевом канале:спектральный анализ глобальных мод// Препринт ИАЭ - 6407/6. -2006. - 31 с.

41. Калихман Л. Е. Элементы магнитной газодинамики. - Москва: Ато- миздат - 1964. - 424 с.

42. Muller и., Buhler L. Magnetofluiddynamics in channels arid containers. - Berlin: Springer - 2001. - 210 p.

43. Врагинский И. К магнитной гидродинамике слабо проводящих жидкостей// ЖЭТФ. - 1959. - Т. 37. - 1417-1430.

44. Hunt J. R., Stewartson К. Magnetohydrodynamic flow in а rectan- gular duct. II// J. Fluid Mech. - 1965. - V. 23. - P. 563-581.

45. Fahidy T. Z. On magnetohydrodynamic flow in rectangular ducts: an extension of the Hunt-Stewartson approach// J. Fluid Mech. - 1970. -V. 42. - P. 245-248.109

46. Baylis J. A., Hunt J. С R. MHD flow in an annular channel: theory and experiment. // J. Fluid Mech. - 1971. - V. 48. - P. 423-428.

47. Verardi S. L. L., Cardoso J. R., Motta C. C. A solution of two-dimensional magnetohydrodynamic flow using the finite elementmethod// Transactions on Magnetics. - 1998. - V. 34. - P. 3134-3137.

48. Hughes M., Pericleous K. A., Cross M. The numerical modelling of DC electromagnetic pump and brake flow// Appl. Math. Modeling. - 1995.- V. 19. - P. 713-723.

49. Leboucher L. Monotone scheme and boundary conditions for finite vol- ume simulation of magnetohydrodynamic internal flows at high Hart-mann number// J. Сотр. Phys. - 1999. - V. 150. - P. 181-198.

50. Tezer-Sezgin M. Solution of magnetohydrodynamic flow in a rectangular duct by differential quadrature method// Computers and Fluids. - 2004.- V. 33. - P. 533-547.

51. Balbus S. A., Hawley J. F. A powerful local shear instability in weakly magnetized disks. IV. Nonaxisymmetric perturbations// Astrophys. J.- 1992. - V. 400. - P. 610-621.

52. Kim W.-T., Ostriker E. C. Magnetohydrodynamic instabilities in shear- ing, rotating, stratified winds and disks// Astrophys. J. - 2000. - V.540. - P. 372-403.

53. Matsumoto R., Tajima T. Magnetic viscosity by localized shear flow instability in magnetized accretion disks// Astrophys. J. - 1995. - V.445. - P. 767-779.

54. Noguchi K., Tajima Т., Matsumoto R. Robustly unstable eigenmodes of the magnetoshearing instability in accretion disks// Astrophys. J. -2000. - V. 541. - P. 802-810.110

55. Curry С, Pudritz R. E., Sutherland P. G. On the global stability of magnetized accretion disks - I. Axisymmetric modes// Astrophys. J. -1994. - V. 434. - P. 206-220.

56. Curry C , Pudritz R. E. On the global stability of magnetized accretion disks -11. Vertical and azimuthal magnetic fields// Astrophys. J. - 1995.- V. 453. - P. 697-714.

57. Curry C , Pudritz R. E. On the global stability of magnetized accretion discs - III. Non-axisymmetric modes// Mon. Not. R. Astron. Soc. - 1996.- V. 281. - P. 119-136.

58. Rudiger C , Primavera L., Arlt R., Elstner D. Magnetic shear-flow in- stability in thin accretion discs// Mon. Not. R. Astron. Soc. - 1999. -V. 306. - P. 913-918.

59. Rudiger G., Schultz M., Shalybkov D. Linear magnetohydrodynamic Taylor-Couette instability for liquid sodium// Phys. Rev. E. - 2003. -V. 67. - P. 046312(1-8).

60. Hollerbach R., Rudiger G. New type of magnetorotational instability in cylindrical Taylor-Couette flow// Phys. Rev. Letters. - 2005. - V. 95. -P. 124501(1-4).

61. Михайловский A. Б. Теория плазменных неустойчивостей, - Изд. 2-е, перераб. и доп. - Москва: Атомиздат. - 1975. - Т. 1. - 272 с.

62. Михайловский А. Б. Теория плазменных неустойчивостей. - Изд. 2-е, перераб. и доп. - Москва: Атомиздат. - 1977. - Т. 2. - 360 с.

63. Михайловский А. Б. Неустойчивости плазмы в магнитных ловуш- ках. - Москва: Атомиздат. - 1978. - 296 с.

64. Михайловский А. Б. Электромагнитные неустойчивости неоднород- ной плазмы. - Москва: Энергоатомиздат. - 1991. - 352 с.111

65. Bateman G. MHD instabilities. - Cambridge, Mass.: MIT Press. - 1978. - 263 p.

66. Ляпунов A. M. Общая задача об устойчивости движения. - Изд. 2-е. - ОНТИ, Л.-М. - 1935. - 386 с.

67. Bernstein I. В., Frieman Е. А,, Kruskal М. D., Kulsrud R. М. An energy principle for hydromagnetic stability problems// Proc. Roy. Soc. Lond.A. - 1958. - V. 244. - P. 17-40.

68. Кадомцев Б. Б. Гидромагнитная устойчивость плазмы// Вопросы теории плазмы, вып. 2./ Под ред. М. А. Леонтовича. - Москва: Гос-атомиздат. - 1963. - 132-176.

69. Laval G., Mercier С, Pellat R. Necessity of the energy principles for magnetostatic stability// Nucl. Fus. - 1965. - V. 5. - P. 156-158.

70. Frieman E. A., Rotenberg M. On hydrodynamic stability of stationary equilibria// Rev. Mod. Phys. - 1960. - V. 32. - P. 898-902.

71. Арнольд В. И. Условия нелинейной устойчивости стационарных плоских криволинейных течений идеальной жидкости// ДАН. -1965. - Т. 162. - 975-979.

72. Арнольд В. И. Вариационный принцип для трехмерных стационар- ных течений идеальной жидкости// Прикл. мат. и мех. - 1965, - Т.29. - 846-851.

73. Arnold V. I. On а priori estimate in the theory of hydrodynamic stabil- ity// Am. Math. Soc. Transl. -.1969. - V.; 19. - P. 267-269.

74. Holm D. D., Marsden J. E., Ratiu Т., Weinstein A. Nonlinear stability of fluid and plasma equilibria// Phys. Reports. - 1985. - V. 123 (1&2).- P. 1-116.112

75. Morrison P. J., Eliezer S. Spontaneous symmetry breaking and neutral stability in the noncanonical Hamiltonian formalism// Phys. Rev. A. -pr 1986. - V. 33. - P. 4205-4214.

76. Finn J. M., Sun G.-Z. Nonlinear stability and the energy-Casimir method// Comm. Plasma Phys. Controlled Fusion. - 1987. - V. 11.- P. 7-25.

77. Vladimirov V. A., Moffat H. K., Ilin K. I. On general transformations and variational principles for magnetohydrodynamics of ideal fluids. P.II. Stability criteria for two dimensional flow// J. Fluid Mech. - 1996.- V. 329. - P. 187-205.

78. Ильгисонис В. И. Магнитогидродинамические модели плазмы: ла- гранжевы свойства и проблема устойчивости// Диссертация на со-искание уч. ст. д-ра физ.-мат. наук. - Москва. - 2004. - 160 с.

79. Ильгисонис В. И., Пастухов В. П. Стационарные течения тороидаль- ру ной замагниченной плазмы и их МГД-устойчивость// Физика плаз-мы. - 1996. - Т. 22. - с. 228-238.

80. Hameiri Е. Variational principles for equiHbrium states with plasma flow// Phys. Plasmas. - 1998. - V. 5. - 3270-3281.

81. Ilgisonis V. I. Variational principle for linear stability of moving magne- tized plasma// arXive:physics/0506073. - 2005. - 6 p.

82. Ilgisonis V. I., Khalzov I. V. Sufficient stability condition for axisym- metric equilibrium of flowing plasma// 32nd EPS Conference on PlasmaPhys., Tarragona, Spain, 27 June-1 July, 2005, ECA - 2005. - V. 29C.-P-5.070.

83. Ильгисонис В. И., Хальзов И. В. Формальная устойчивость трехмер- ных течений идеальной проводящей жидкости// Письма в ЖЭТФ.-2005.-Т. 82 .-С. 647-651.

84. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. VI. Гидро- динамика. - 3 изд., перераб. - М.: Наука, 1986. - 736 с.

85. Press W. Н., Flannery В. Р., Teukolsky S. А. et al. Numerical recipes in С: the art of scientific computing. - Cambridge: University Press, 1992- 994 p.

86. Годунов К., Рябенький В. Разностные схемы. Введение в тео- рию. Москва: Наука, 1977. - 440 с.

87. Ogilvie G. I., Pringle J. Е. The non-axisymmetric instability of a cylin- drical shear flow containing an azimuthal magnetic field// Mon. Not. R.Astron. Soc. - 1996. - V. 279. - P. 152-164.

88. Keppens R., Casse F., Goedbloed J. P. Waves and instabilities in accre- tion disks: magnetohydrodynamic spectroscopic analysis// Astrophys.J., Letters. - 2002. - V. 569. - P. L121-L126.

89. Ball J. M., Marsden J. E. Quasiconvexity at the boundary, positivity of the second variation and elastic stability// Arch. Rat.Mech. An. -1984. - V. 86. - P. 251-277

90. Ilin K. I., Vladimirov V. A. Energy principle for magnetohydrodynamic flows and Bogoyavlenskij's transformation// Phys. Plasmas. - 2004. -V. 11. - P. 3586-3594.

91. Vincent T. L., Cliff E. M. Maximum-minimum sufficiency and Lagrange multipliers// AIAA Journal - 1970. - V. 8. - P. 171-173.

92. Владимиров В. Уравнения математической физики. - 4 изд., испр. и доп. - Москва: Наука, 1981. - 508 с.114