МГД-течения в тороидальном канале тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

004600160

На правах рукописи

Чупин Антон Викторович МГД-ТЕЧЕНИЯ В ТОРОИДАЛЬНОМ КАНАЛЕ

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физикоматемечтических наук

Пермь - 2010

1 АПР 20)0

004600160

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте механики сплошных сред Уральского отделения РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Защита состоится "22" апреля 2010 в 14 ч. 00 мин на заседании диссертационного совета Д 004.012.01 при Учреждении Российской академии наук Институте механики сплошных сред Уральского отделения РАН по адресу: 614013, г. Пермь, ул. Академика Королёва, 1; тел. (342) 2378388; факс: (342) 2378487; сайт: www.icmm.nl.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИМСС УрО РАН.

Автореферат разослан 1:17" марта 2010 г.

профессор Фрик П. Г.

профессор Любимова Т. П.

доктор физико-математических наук,

профессор

Соколов Д. Д.

Ведущая организация: ГОУВПО «Пермский государственный университет»

Ученый секретарь диссертационного совета

Березин И. К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования и актуальность темы. Многие астрономические объекты (планеты, звёзды, галактики) обладают собственными магнитными полями. При этом возраст существования объектов гораздо больше характерного времени свободного затухания глобального магнитного поля. Поэтому существование глобальных магнитных полей у астрономических объектов в настоящее время требует объяснения. Наиболее убедительным представляется объяснение генерации магнитного поля с помощью магнитогидродииамического динамо-эффекта. Суть его заключается в преобразовании кинетической энергии электропроводящей среды в энергию магнитного поля за счёт вморожениости силовых линий.

Одной из самых известных конфигураций, приводящих к динамо-эффекту, является винтовое движение проводящей среды внутри внешней неподвижной среды (первые аналитические решения для динамо были предложены Пономаренко и Лортцем). Большое внимание к винтовому динамо объясняется тем, что оно характеризуется минимальным порогом генерации в сравнении с другими вариантами ламинарного динамо. Специальным случаем винтового динамо является динамо на основе винтового течения в замкнутом кольцевом канале (торе). В такой модели течение создаётся в ограниченном объёме и без нагнетающих устройств, что приближает её к реальным природным ситуациям, приводящим к динамо. Такая геометрия потока стала основой лабораторного эксперимента, реализуемого в Учреждении Российской академии наук Институт механики сплошных сред Уральского Отделения РАН. В эксперименте винтовой поток возбуждается во вращающемся канале, что накладывает существенные ограничения на его массу, а следовательно, на толщину стенок канала. Было изучено влияние толщины и проводимости стенки на порог генерации поля, причём кривизна канала учитывалась только во влиянии на дискретность спектра волновых чисел. Задача исследовалась и численно, в том числе для нестационарного течения, реализуемого в реальном эксперименте, но все расчёты проводились в цилиндрической геометрии с условиями периодичности по оси канала.

Исследование кинематического динамо в тороидальном канале

осложняется существенным отличием течения в нем от течения в прямом цилиндрическом канале, что было обнаружено ещё в начале XX века. Замкнутая форма решения гидродинамических уравнений для этой задачи до сих пор неизвестна.

Известно, что нетривиальное течение жидкости в криволинейном канале под действием силы, направленной вдоль канала, не может быть одномерным и при этом всегда образуется вторичное течение. В многочисленных приложениях (каналы в промышленности, кровеносные сосуды в физиологии, трубопроводы, охлаждающие системы и прочее) существует насущная необходимость в исследовании таких течений.

Интерес к течениям в криволинейных каналах обуславливает появление множества работ, иследующих различные этих течений. Рассматривались каналы различных сечений (круглого, квадратного, треугольного, кольцевого и др.), а также с ненулевым кручением. Ситуация вращающегося канала была впервые рассмотрена в (Ito, H.; Motai, Т. Secondary flow in a rotating curved pipe. // Rep. Inst. High Speed Mech. — 1974. — V. 29. — P. 33-57), где был введён параметр F, отвечающий за безразмерную угловую скорость канала. В отдельных работах учитывалась нестационарность потока, а также неоднородность и нестациоиарность кривизны, что привело к изучению периодически пульсирующих течений. В последнее время начинает исследоваться вопрос также и для неныотоновских (например, в работе Chen, Y.; Chen, H.; Zhang, J.; Zhang, В. Viscoelastic flow in rotating curved pipes. // Physics of Fluids. - 2006. - V. 18. - 083103 и обзор в ней) и для двухфазных жидкостей. При этом исследуются падение давления, тепло- и массопереиос, поверхностное трение и бифуркационные диаграммы. Весь указанный спектр вопросов затрагивается в обширных обзорах (Berger, S. A.; Talbot, L.; Yao, L.-S. Flow in curved pipes // Annual Review of Fluid Mechanics. - 1983. - V. 15. - P. 461-512 и Ito, H. Flow in Curved Pipes // JSME international journal. - 1987. - V. 30. - P. 543-552) по течениям несжимаемой жидкости в криволинейных каналах за 30 лет с середины XX века.

Теоретическое исследование течения в тороидальном канале осложнено его существенной нелинейностью, а замкнутость канала не позволяет

провести адекватный лабораторный эксперимент: первое лабораторное исследование (Eustice, J. Flow of Water in Curved Pipes. // Proc. Roy. Soc., Series A. — 1910. — V. 84. — P. 107-118), проведённое с номощыо резиновых трубок, оставило больше вопросов, чем ответов. В теоретических работах рассматривались различные подходы к задаче о течении в тороидальном канале. Так, в работе Дина (Dean, W. R. Fluid in a curved channel // Proc. Roy. Soc., Series A. - 1928. - V. 121. - P. 402-420) с помощью метода возмущений было получено решение для уравнений, описывающих течение между коаксиальными цилиндрами. В ней был введён основной параметр, применяемый при исследовании течений в криволинейных каналах, названный позднее числом Дина (De). В работе В. Zhang et al. этим же методом было получено решение для течения в торе. Исследовалось это течение и численно, однако во всех случаях рассматривались упрощённые уравнения, справедливые только для малых значений кривизны. Настоящая работа восполняет этот пробел.

Целью работы является теоретическое исследование трёхмерного течения несжимаемой жидкости и тороидальном канале как однородного и стационарного, так и неоднородного нестационарного, численное исследование условий генерации магнитного поля такими течениями с упором на изучение влияния кривизны канала.

Научная новизна работы состоит в полном учёте влияния тороидальной геометрии при исследовании течения проводящей жидкости и эволюции магнитного поля. Впервые:

• получено решение задачи о течении несжимаемой жидкости в тороидальном канале, наиболее полно учитывающее особенности геометрии;

• исследована сходимость ряда, который представляет решение, и получены асимптотические оценки для радиуса сходимости;

• проведено трёхмерное численное моделирование течения несжимаемой жидкости в торе с учётом всех эффектов кривизны;

• выполнено трёхмерное численное моделирование эволюции магнит-

ного поля в кинематической постановке для нестационарного и неоднородного поля скорости.

Автор защищает :

• аналитическое решение задачи о течении несжимаемой жидкости в тороидальном канале под действием постоянной массовой силы, имеющее вид ряда по малому параметру кривизны канала;

• результаты исследования сходимости найденного ряда, асимптотические оценки для радиуса сходимости и результаты линейного анализа устойчивости полученного решения в пределах сходимости ряда;

• эффективный параллельный численный код для прямого моделирования магнитогидродинамических уравнений в криволинейных каналах и областях;

• результаты исследования аналога задачи Попомаренко применительно к тороидальной геометрии;

• результаты моделирования нестационарной неоднородной задачи кинематического динамо для параметров, соответствующих лабораторному эксперименту;

• результаты исследования нелинейной магнитогидродинамической задачи в тороидальном канале.

Научная и практическая значимость. Аналитическое решение для течения в торе может быть использовано для всестороннего анализа течения. Полученные в работе формулы для интегральных величин течения могут быть использованы в технике для учёта кривизны каналов. Найденная область сходимости ряда показывает рамки применимости метода возмущений к данной задаче и необходимость исследовать далее другими методами. Полученные зависимости порога генерации могут быть использованы для определения оптимальных параметров в лабораторном динамо-эксперименте. Разработанный в результате эффективный параллельный численный код может быть использован для решения широкого круга задач.

Работа выполнялась в рамках госбюджетных тем «Эволюция турбулентных потоков проводящей и непроводящей жидкости под действием вихревых и спиральных сил» (№ гос. регистрации 01.200.117926) и «Взаимодействие мелкомасштабной турбулентности и крупномасштабных полей в течениях проводящей и непроводящей жидкости» (№ гос.рег. 01.2.007 00735), а также в рамках проектов РФФИ 06-01-00234-а и 07-01-96007.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях: Научная конференция молодых учёных по механике сплошных сред, посвященная 80-летию со дня рождения чл.-корр. АН СССР А. А. Поздеева «Поздеен-ские чтения» (Пермь, 23-24 марта, 2006); Конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». (Пермь, 2006, 2007, 2008, 2009); «Численные методы в математике и механике». Конференция молодых учёных. (Ижевск, 22-25 февраля, 2007); «Математическое моделирование в естественных науках». XVI Всероссийская школа-конференция молодых учёных и студентов. Пермь, (3-6 октября, 2007); XVII Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам», посвящённая памяти К.И. Бабснко (Новороссийск, 15-21 сентября, 2008); XV Зимняя школа по механике сплошных сред (Пермь, 26 февраля-3 марта, 2007); Пермский гидродинамический семинар им. Г.З. Гершуни и Б.М. Жуховнцкого, ПГУ (2009); Научный семинар Института механики сплошных сред (2009).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 работ, из них 2 в журналах из списка ВАК.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, трёх глав с основным содержанием работы, заключения, списка цитируемой литературы (115 наименований) и трёх приложений. В работе содержится 29 рисунков. Общий объём диссертации составляет 120 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении сформулирована цель и задачи диссертационной работы,

перечислены полученные в диссертации новые результаты, их практическая ценность, представлены положения, выносимые на защиту, и описана структура диссертации.

В первой главе представлен обзор публикаций, близких к теме диссертации. В отдельных разделах приводится описание литературы по темам: течения в криволинейных каналах и магдитогидродинамическое динамо, особое внимание уделено пересечению тем — существующим работам по динамо в цилиндре и торе. На основании обзора даны характеристика современного состояния вопроса и обоснование актуальности исследуемой проблемы.

Вторая глава посвящена аналитическому исследованию стационарного течения несжимаемой жидкости в тороидальном канале. Рассматривается течение несжимаемой жидкости в криволинейном канале, который представляет нз себя вращающийся вокруг своей оси замкнутый полый тор. Система координат (полярная {р, в сечении и линейная координата ^ вдоль внутренней оси тора) жёстко связана со стенками канала и вращается с угловой скоростью ш и угловым ускорением е. Геометрия канала определяется внутренним радиусом (радиусом круглого сечения) Я. и внешним радиусом (радиусом образующей) гс. Помимо сил инерции, действующих в этой неинерциальной системе отсчёта, в качестве силы, вызывающей движение жидкости вдоль канала, рассматривалась однородная вдоль сечения массовая сила, имитирующая градиент давления. Это позволило сравнить течение в торе с его ближайшим аналогом — течением в цилиндре под действием однородного постоянного градиента давления (задача Пуазейля). При поиске решения предполагалось, что течение установилось, т.е. оно стационарно и однородно вдоль канала.

Для решения задачи введены дифференциальные операторы, и пределе переходящие в операторы дифференцирования по соответствующим цилиндрическим координатам. После определения функции тока ф — (V х ^ и проектирования уравнений Навье-Стокса и Гельмгольца для вихря скорости на орт оси С, учитывая предполагаемые симметрии решения, выводится система дифференциальных уравнений для двух неизвестных функций — V и поточной скорости Дальнейшее решение прово-

дилось методом возмущений — добавка к течению Пуазейля раскладывалась в ряд по малому параметру к = j. Вторым основным параметром принималось число Рейнольдса Re, определённое по внутреннему радиусу канала. В случае вращения канала добавлялся параметр, отвечающий за угловую скорость канала. Граничные условия включали в себя условие прилипания на границе канала и условия регулярности на внутренней оси.

Анализ существующего аналогичного решения (в работе Zhang, J.; Li, N.; Zhang, В. Flow in a rotating curved circular pipe pre // Phys.Rev. E. — 2003. — V. 67. — 056303) показал, что оно отвечало случаю Re » 1. Полученное общее решение не может быть параметризовано одним числом (например, классическим числом Дина). Предлагаемое решение точно описывает случай малых чисел Рейнольдса и асимптотически приближается к известному решению при Re —> оо. Таким образом оно адекватно описывает течения высоковязких жидкостей, для которых инерционные эффекты относительно слабы и структура течения определяется балансом вязких сил и сил давления. Такие течения, называмые ползучими, имеют отдельную значимость для приложений, в частности, в теории смазок и гидравлике.

В следующих параграфах проводится оценка полученного ряда на сходимость путём оценки степени убывания максимума членов ряда по сечению. Показано, что асимптотически радиус сходимости убывает обратно пропорционально Re2. Также решение исследовано на устойчивость по отношению к бесконечно малым возмущениям, однородным вдоль канала. В пределах сходимости ряда не обнаружено потери устойчивости, что аналогично цилиндрическому случаю.

В третьей главе проводится описание численного исследования различных течений в криволинейных каналах.

Для прямого численного моделирования (DNS) создан пакет вычислительных программ, основанный на конечно-разностной схеме. Уравнения в цилиндрической системе координат аппроксимированы с высокой точностью на прямоугольной сетке. По времени используется явная схема с адаптивным выбором шага. Поскольку круглое сечение канала не проходит точно по линиям сетки, разработана специальная схема аппроксимации

границы. Граничные условия задаются путём введения слоя фиктивных ячеек вне области течения. Значения в каждом фиктивном узле зависят от значения в точке, отражённой относительно ближайшей точки границы, которое выражается через значения во внутренних узлах с помощью билинейной интерполяции.

Численный код приспоблен для использования на многопроцессорной технике. Для этого область вычисления разбивается на подобласти для каждого процессора. Разбиение оптимизировано с точки зрения затрат на коммуникации между процессорами. При расчётах применялись сетки до 128 в кубе, вычисления использовали до 64 процессоров.

0.5, 0,4 5 0.3| 0.2 II. I!

100 150 200

а)

ПИК у с

0.08 0.06 0« 0.02

б)

Фт

100 в)

150 200

Рис. 1. — Зависимость от чиста Рсйпольдса Re при к = 0,5: а) радаальпая координата максимума поточной скорости; 6) амплитуда поточной скорости; в) максимум функции тока в сечении. Точками обозначены результаты DNS, линией — подстановка в аналитическое решение.

max 17

0.4,

o.(Hf

' * * ' J

1.2; ;

0.031

1.01»

I • 0.02: :

°'8i * . 0.01 i

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5* 0,6r 0.i 0.2 0.3 6*4 oS* 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5'

а) б) в)

Рис. 2. — Зависимость от геометрическою параметра канала к при Ее — 100: а) радиаль-пая координата максимума поточной скорости; б) амплитуда поточной скорости; в) максимум функции тока в сечении. Точками обозначены результаты DNS, линией — подстановка в аналитическое решение.

В качестве теста получены интегральные характеристики течения под действием градиента давления и силы инерции — на рис. 1-2 результаты

DNS приведены совместно со значениями выведенного аналитического разложения, в котором взято 5 членов по к (для демонстрации диапазон графиков для аналитики взят немного больше области сходимости). Видно, что DNS позволяет расширить область допустимых параметров но к и в пределах сходимости ряда значения совпадают.

Для дииамо-эксперимента имеет важное значение, насколько быстро и далеко распространится азимутальная скорость за дивертором. Аналитические оценки для цилиндра приводят к экспоненциальной зависимости спиральности от расстояния. С помощью разработанного численного кода показано, что и для тора с небольшими значениями к на начальном отрезке канала имеет место экспоненциальное убывание, причём логарифмический коэффициент затухания в торе несколько меньше, чем в цилиндре. Дальнейшее пространственное распределение лучше описывается степенной зависимостью. Результаты моделирования приведены на рис. За.

"со

15 30 30 50 70 100 - 0-5

а) б)

Рис. 3. — а) Логарифмический коэффициент Л пространственного затухания спиральиоств вдоль канала. Круги — к = 0 (для них выполняется Л ~ 22/Яе), квадраты — к ~ 0,1. б) структура динамо-волны при Ее = 70, Шп = 1000.

Четвёртая глава работы посвящена численному и теоретическому исследованию эволюции магнитного поля в тороидальной геометрии при различном поведении течения проводящей жидкости. Особый упор делается на учёте всех эффектов, связанных с кривизной и замкнутостью канала.

- U-

'-•I : Магнитное поле уже исследовалось в винтовом течении проводящей жидкости в тороидальном канале теоретически (Dobler, W.; Frick, P.; Stepanov, R. Screw dynamo in a time-dependent pipe flow. PRE, 2003, 67, 056309), однако в цилиндрическом приближении, и экспериментально (Stepanov, R.; Volk, R.; Denisov, S.; Prick, P.; Noskov, V.; Pintón, J.-F. Induction, helicity, and alpha effect in a toroidal screw flow of liquid gallium. PRE, 2006, 73, 016310) в докритических режимах. В данной работе проведён прямой численный анализ эволюции магнитного поля в торах с большой кривизной.

Основная задача кинематического динамо заключается в нахождении порога генерации магнитного поля при заданном поле скорости проводящей среды. Известная задача Пономаренко о генерации при винтовом (твердотельном) движении проводящего цилиндра в среде с теми же свойствами имеет решением зависимость критического магнитного числа Рейнольдса Rm,.T от волнового числа и номера азимутальной моды. Аналогичная задача рассмотрена для тора с корректировкой поля скорости для выполнения условия несжимаемости. Для тора спектр волновых чисел дискретен, что приводит к нетривиальной зависимости Rnv от к (рис. 4а). Нейтральная кривая зависит также от «шага випта» течения, что позволяет подобрать минимальный порог, не меняя геометрии канала, что может оказаться полезным для эксперимента. Однако при любом к порог превышает аналогичный для цилиндра.

Численное моделирование показало (рис. 46), что прибавка к порогам генерации не определяется только дискретностью спектра волновых чисел и растёт при увеличении к. В тонком торе пороги приближаются к предсказанной выше зависимости. Обнаружено решение специального вида (рис. 5), когда магнитное поле не затухает на оси тора. Это возможно только при наличии одной динамо-волны вдоль канала.

Для решения связанной задачи магнитной гидродинамики и поиска режима насыщения динамо использована ситуация распространения спиральности за дивертором. При слабом распространении спиральности (малое Re) лучшую способность генерации имеют коротковолновые моды, которые обладают высоким порогом генерации. Так, для Re = 80 мини-

23456789 10

23456789 10

к

r>

к'

а)

б)

Рис. 4. — Грапицы областей существования динамо-волн с различным числом п - штрихованные липии. Сплошпая толстая лилия - порог при \ — 1> сплошная топкая - х — 1Д i) Решение для цшпшдра с периодическими грапичпыми условиями; б) Результаты DNS - зависимость порога генерации от кривизны. Кружками показаны результаты моделирования в тонком торе, квадратами — в толстом торс

мальным порогом Шло- и 860 обладает трёхлепестковая гармоника (рис. 36). Для небольших уровней надкритичности проведено моделирование до нелинейного режима и показано, что профиль скорости деформируется таким образом, что критическая волна смещается к поверхности канала.

1. Получено аналитическое решение задачи о течении несжимаемой жидкости в тороидальном канале под действием постоянной массовой силы. Найдены существенные отличия в топологии полученного решения, возникающие благодаря использованию неупрощённой исходной системы уравнений. Решение имеет вид ряда по малому параметру кривизны канала. Исследована область сходимости ряда, найдены асимптотические оценки для радиуса сходимости. Показано, что радиус сходимости быстро убывает с ростом основных параметров задачи. Найденное решение исследовано на устойчивость по отношению к бесконечно малым возмущениям. В пределах сходимости ряда подтверждена абсолютная устойчивость, аналогичная устойчивости цилиндрической задачи Пуазейля.

2. Создан и отлажен эффективный параллельный численный код для

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ

а)

Рис. 5. — а) йзоповерхпости магнитного поля, ноля в сечении.

б)

Вт = 28, к --- 1/2; б) Распределение магнитного

прямого моделирования магнитогидродинамических уравнений в криволинейных каналах и областях, с помощью которого, в частности, исследована структура винтового потока, создаваемого в тороидальном канале специальными диверторами. Показано, что в ламинарном течении логарифмический декремент затухания спирально-сти удовлетворительно описывается обратной зависимостью от числа Рейнольдса.

3. Исследован тороидальный аналог задачи Пономаренко для винтового динамо в кинематической постановке. Показано, что изменением степени закрученноети потока жидкости можно добиться уменьшения порога генерации при фиксированных геометрических параметрах канала. Для толстого тора обнаружен новый вид решения для бегущей динамо-волны, при котором магнитное поле не затухает на оси тора. Такое решение возможно только для первой моды (одна волна занимает всю длину канала).

4. Для нестационарного винтового течения в торе, соответствующего лабораторному эксперименту, промоделирована пространственная и временная эволюция магнитного поля. Показана принципиальная возможность генерации магнитного поля за счёт кинетической энергии течения. Найдены яорог генерации и пространственная конфигу-

рация динамо-волны. Численно исследована связанная магнитогид-родинамическая задача в тороидальном канале для случая ламинарного течения за дивертором.

Основное содержание диссертациониой работы изложено в

следующих публикациях:

[lj Chupin A., Stepanov R. Full perturbation solution for the flow in a rotating torus // Physical Review E.~ 2008.- Vol. 77, no. 5.- P. 057301.

http://link.aps.org/abstract/PRE/v77/e057301.

[2] Степанов P. А., Фрик П. Г., Чупип А. В. Винтовое динамо в торе // Вычислительная механика сплошных сред. — 2008. — Т. 1. — С. 109117.

[3] Чутт А. В. Численное моделирование уравнений магнитной гидродинамики в криволинейных каналах // Научная конференция молодых учёных по механике сплошных сред, посвященная 80-летию со дня рождения чл.-корр. АН СССР A.A. Поздеева «Поздеевские чтения». Сборник трудов. - Пермь: 2006.-23-24 марта. - С. 137-138.

[4] Чупин А. В. О вторичном течении в тороидальном канале // Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Тезисы докладов. — Пермь: 2006. — С. 88-89.

[5] Чупип А. В., Степанов Р. А. Аналитическая аппроксимация течения в торе // «Численные методы в математике и механике». Конференция молодых учёных. Тезисы докладов / Под ред. В. Б. Дементьев; ИПМ УрО РАН. - Ижевск: Изд-во ИПМ УрО РАН, 2007. - 22-25 февраля. -С. 17-19.

[6] Чупип А. В., Степанов Р. А. Течение в торе. Аналитика и численное моделирование. // «Математическое моделирование в естественных пауках». Тезисы докладов 16-й Всероссийской школы-конференции молодых ученых / Под ред. И. Н. Жеганина; ПГТУ. Кафедра ММЕН. - Изд-во ПГТУ, 2007. - 3-6 октября. - С. 101-102.

[7] Степанов Р. А., Чупин А. В. Подходы к исследованию устойчивости тороидального течения // Всероссийская конференция молодых учёных (с международным участием) «Неравновесные процессы в сплошных средах». Материалы конференции.— Пермь: 2007.— 5-7 декабря. - С. 395-397.

[8] Степанов Р. А., Чупин А. В. О течепии несжимаемой жидкости в тороидальном канале // Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая). Сборник статей. / Институт механики сплошных сред УрО РАН. - Т. 3. - Екатеринбург: УрО РАН, 2007. - Март. - С. 211212.

[9] МГД-турбулентность и ее вклад в динамо средних нолей / П. Г. Фрик, И. А. Мизева, В. И. Носков и др. // «Региональный конкурс РФФИ-Урал». Часть 1. ■- Пермь-Екатеринбург, 2008. - С. 139-143.

[10] Степанов Р. А., Чупип А. В. Влияние замкнутости винтового потока на характерный масштаб динамо-волны // Всероссийская конференция молодых учёных «Неравновесные процессы в сплошных средах». Материалы конференции. — 2008. — С. 274-277.

[11] Чупип А. В. Численное моделирование трёхмерных структур в торе // Всероссийская конференция молодых учёных «Неравновесные процессы в сплошных средах». Тезисы докладов. НПСС-2009. — 2009. — С. 87.

[12] Чупип А. В. Численное моделирование трёхмерных структур в торе // Всероссийская конференция молодых учёных «Неравновесные процессы в сплошных средах». Труды конференции. — 2009. — С. 262-265.

[13] Magnetic fields in toroidal screw flow / P. Frick, S. Denisov, V. Noskov et al. // International conference "Natural Dynamos". — Stara Lesna (High Tatras), Slovakia: 2009. - August 30 - September 5,- P. 81.

[14] Screw dynamo in toroidal geometry / R. Stepanov, P. Prick, S. Denisov et al. // International conference on turbulence with a focus on MHD, liquid metal and dynamo. — Indian Institute of Technology, Kanpur, India: 2009.-21-23 December.

/

Введение

1 Обзор литературы

1.1 Гидромагнитное динамо.

1.2 Течения в криволинейных каналах.

1.2.1 Устойчивость течения.

2 Аналитическое исследование течения в тороидальном канале

2.1 Стационарное ламинарное течение.

2.1.1 Граничные условия и условия в центре сечения

2.1.2 Решение методом возмущений

2.1.3 Сравнение с решением Дина

2.1.4 Интегральные характеристики.

2.1.5 Сходимость ряда.

2.2 Линейный анализ устойчивости течения.

2.3 Вьшоды по главе.

3 Численное моделирование течения в тороидальном канале

3.1 Численный метод.

3.1.1 Аппроксимация криволинейной границы области

3.1.2 Адаптация к параллельному вычислению.

3.2 Ламинарное течение.

3.3 Течение в торе с диверторами.

3.3.1 Аналитические оценки распространения закрутки

3.3.2 Численное моделирование.

3.4 Турбулентное течение.

3.5 Выводы по главе.

4 Численное моделирование динамо-эффекта

4.1 Модель

4.2 Тороидальный аналог динамо Попомаренко.

4.3 Численная аппрокспмация эксперимента.

4.4 Динамо на основе трёхмерного течения.

4.5 Полная магнитогидродинамическая задача.

4.6 Выводы по главе.

Объект исследования и актуальность темы. Многие астрономические объекты (планеты, звёзды, галактики) обладают собственными магнитными полями. При этом возраст существования объектов гораздо больше характерного времени свободного затухания глобального магнитного поля. Поэтому существование глобальных магнитных полей у астрономических объектов в настоящее время требует объяснения. Наиболее убедительным является использование модели генерации магнитного поля в виде магнитогидродинамического динамо-эффекта. Суть его заключается в преобразовании кинетической энергии электропроводящей среды в энергию магнитного поля за счёт вмороженпости силовых линий.

Одной из самых известных конфигураций, приводящих к динамо-эффекту, является винтовое движение проводящей среды внутри внешней неподвижной среды. Большое внимание к винтовому динамо объясняется тем, что оно характеризуется минимальным порогом генерации в сравнении с другими вариантами ламинарного динамо. Специальным случаем винтового динамо является динамо на основе винтового течения в замкнутом кольцевом канале (торе). В такой модели течение создаётся в ограниченном объеме и без нагнетающих устройств, что приближает её к реальным природным объектам, приводящим к динамо. Такая геометрия потока стала основой лабораторного эксперимента, реализуемого в ИМСС УрО РАН. В эксперименте винтовой поток возбуждается во вращающемся канале, что накладывает существенные ограничения на его массу, а следовательно, на толщину стенок канала. Влияние толщины и проводимости стенки па порог генерации поля детально изучалось в работе [1]. Задача исследовалась и численно, причём для нестационарного течения, реализуемого в реальном эксперименте, но все расчёты проводились в цилиндрической геометрии с условиями периодичности по оси канала [2].

Исследование кинематического динамо в тороидальном канале осложняется существенным отличием течения в нём от течения в прямом цилиндрическом канале, обнаруженном ещё в начале XX века. Замкнутая форма решения гидродинамических уравнений для этой задачи до сих пор неизвестна. Все имевшиеся до сих пор а,налитические[3][4][5][6] (и даже численные [7]) решения имели упрощения в постановке задач. В частности не было полностью учтено влияние кривизны канала для толстого тора.

Целью работы является аналитическое и численное исследования трёхмерного течения несжимаемой жидкости в тороидальном канале и решение задач МГД-динамо на основе винтовых течений проводящей жидкости в тороидальной геометрии.

Научная новизна состоит в полном учёте тороидальной геометрии при исследовании течения проводящей жидкости и эволюции магнитного поля. Впервые:

• получено решение полной системы уравнений, описывающей течение несжимаемой жидкости в тороидальном канале; полученный ряд по малому параметру исследован на сходимость и выведены асимптотические оценки для радиуса сходимости;

• проведено трёхмерное численное моделирование течения несжимаемой жидкости в торе на основе неупрощённых уравнений. Указано, что функция тока и координата пика поточной скорости имеют максимум при изменении числа Рейнольдса и параметра кривизны соответственно. Показано, что вдоль цилиндре азимутальная компонента затухает экспоненциально, а в криволинейном канале — субэкспоненциально;

• проведено трёхмерное численное моделирование эволюции магнитного поля в кинематической постановке для нестационарного и неоднородного поля скорости. Обнаружена нетривиальная зависимость порога генерации от кривизны канала. Найдено новое решение в виде незатухающей на оси тора динамо-волны.

Автор защищает:

• Аналитическое решение задачи о течении несжимаемой жидкости в тороидальном канале под действием постоянной массовой силы в виде ряда по малому параметру кривизны канала. Область сходимости найденного ряда. Асимптотические оценки для радиуса сходимости.

• Результаты линейного анализа устойчивости полученного решения в пределах сходимости ряда.

• Эффективный параллельный численный код для прямого моделирования магнитогидродинамических уравнений в криволинейных каналах и областях. Полученные с помощью него характеристики стационарного винтового течения, генерируемого дивертором.

• Результаты решения кинематической задачи винтового гидромагнитного динамо в торе.

• Результаты моделирования нестационарной неоднородной задачи кинематического динамо для параметров, соответствующих лабораторному эксперименту.

• Результаты исследования связанной магиитогидродинамической задачи в тороидальном канале.

Обоснованность и достоверность результатов обеспечивается тщательным тестированием всех используемых в работе алгоритмов и методов и сравнении результатов, где это возможно, с аналитическими решениями или с результатами, полученными в других работах.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались па следующих конференциях:

1. Научная конференция молодых учёных по механике сплошных сред, посвящённая 80-летию со дня рождения чл.-корр. АН СССР А. А. Поздеева «Поздеевские чтения». Пермь, 23-24 марта, 2006.

2. Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Пермь, 9 декабря 2006

3. Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» НПСС-2007. Пермь, 5-7 декабря, 2007.

4. Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» НПСС-2008. Пермь, 5-6 декабря, 2008.

5. Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» НПСС-2009. Пермь, 4-5 декабря, 2009.

6. «Численные методы в математике и механике». Конференция молодых учёных. Ижевск, 22-25 февраля, 2007.

7. «Математическое моделирование в естественных науках». XVI Всероссийская ш кола-конференция молодых ученых и студентов. Пермь, 3-6 октября, 2007.

8. XVII Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам», посвящён-ная памяти К.И. Бабенко (Новороссийск, 15-21 сентября, 2008)

9. XV Зимняя школа по механике сплошных сред (Пермь, 26 февраля-3 марта, 2007)

10. XVI Зимняя школа по механике сплошных сред («Механика сплошных сред как основа современных технологий»). Пермь, 24-27 февраля, 2009.

Работа выполнялась в рамках госбюджетных тем «Эволюция турбулентных потоков проводящей и непроводящей жидкости под действием вихревых и спиральных сил» (№ гос. регистрации 01.200.117926) и «Взаимодействие мелкомасштабной турбулентности и крупномасштабных полей в течениях проводящей и непроводящей жидкости» (N2 гос.per. 01.2.007 00735).

Список обозначений

Т — общая массовая сила л, v — динамическая и кинематическая вязкости г. z} — цил. с.к., ось z — внешняя ось тора

У, <р, С} — цил.-тор. с.к., £ — линейная вдоль канала

V - характерное значение скорости

Re = ~ — (гидродинамическое) число Рейнольдса

R — радиус сечения канала г с - расстояние от внешней оси до внутренней к = — — «кривизна» тора

M = 1 + кр cos ср — поправка на кривизну v*(v) — скорость жидкости (безразмерная)

П = Vx V - завихренность скорости

Tv(p,Ç/(p).Vv(p,CT<r>) ~~ тороидальная и полопдальная комп. скорости ш, s — угловые скорость и ускорение вращения кана. ip -- функция тока в сечении(2.2б)

G = (s — Dçp)Re — посто5шная часть массовой силы

А, В} — якобиан функций А и В по (/?, ф)(А.4)

De = кЯе — число Дина

V, Ф) — основное течение в анализе устойчивости

X — степень закрученности потока, шаг винта

В = V х А — магнитная индукция и векторный потенциал rjin — магнитная диффузия в проводящей жидкости i]bh ~ магнитная диффузия в стенке канала

Vrac ~~ магнитная диффузия во внешней среде

Rm = — — магнитное число Рейнольдса

Лгп

7 + iw — комплексный лог. инкремент роста к —- волновое число динамо-волны вдоль канала параметр течения типа Гартмана

Обозначения для дифференциальных операторов Д-, Д^, Д^, Асу^ С см. в приложении А.1.

1. Обзор литературы

4.6. Выводы по главе

• Написан и отлажен численный код для моделирования связанных уравнений магнитной гидродинамики в криволинейном канале.

• Исследован аналог задачи Пономаренко, найдены отличия от цилиндрического случая. В случае толстого тора обнаружена глобальная мода, не затухающая на главной оси

• Получена, эволюция нестационарного неоднородного динамо для поля скорости, аппроксимирующего эксперимент.

• Найдены пороги генерации магнитного поля для частично распространившейся спиральности.

• Получен режим насыщения динамо.

5. Заключение

Сформулируем основттые результаты исследования, выносимые па защиту:

1. Получено аналитическое решение задачи о течении несжимаемой жидкости в тороидальном канале под действием постоянной массовой силы в виде ряда по малому параметру кривизны капала. Впервые влияние тороидальности геометрии учтено полиостью. Найдены существенные отличия в топологии решения от получаемых с помощью упрощённых уравнений.

2. Исследована область сходимости найденного ряда. Найдены асимптотические оценки для радиуса сходимости. Показано, что радиус сходимости сильно убывает с ростом основных параметров задачи.

3. Найденное решение исследовано на устойчивость по отношению к бесконечно малым возмущениям. В пределах сходимости ряда подтверждена абсолютная устойчивость, аналогичная цилиндрической задаче Пуазейля.

4. Написан и отлажен эффективный параллельный! численный код для прямого моделирования магнитогидродинамичеекпх уравнений в криволинейных каналах и областях.

5. Исследованы стационарные распределения спиральности в области за дивертором. Показано, что в ламинарном точении декремент затухания спиральности удовлетворительно описывается экспоненциальной зависимостью от числа Рейнольдса.

6. Исследован кинематический аналог задачи Попомаренко применительно к тороидальной геометрии. Показано, что изменением степени закручеппостп потока жидкости можно добиться уменьшения порога генерации при фиксированных геометрических параметрах установки.

7. Для толстого тора обнаружен новый вид решения для бегущей динамо-волны, при котором магнитное поле не затухает на внешней оси тора. Такое решение возможно только в случае размещения одной волны па всей длине канала.

8. Промоделирована пространственная и временная эволюция магнитного поля, соответствующих лабораторному эксперименту. Показана принципиальная возможность генерации магнитного поля за счёт кинетической энергии течения. Найдены порог генерации и пространственная конфигурация динамо-волны.

9. Численно исследована связанная магнитогидродинамическая задача в тороидальном канале для случая ламинарного течения за дивертором.

1. Гайлитис А., Фрейберг Я. Неоднородная модель винтового динамо // Магнит,пая гидродинамика. — 1980. — № 1. — С. 15-19.

2. Dobler W. Frick P., Stepanov R. Screw dynamo in a time-dependent pipe flow // PhysRev E. 2003. - May, 21. - Vol. 67, no. 5. - Pp. 056309—К

3. Dean W. R,. Fluid in a curved channel // Proceedings of the Royal Society of London. Series A. 1928. - Vol. 121. - Pp. 402-420.

4. Zhang J., Li N., Zhang B. Flow in a rotating curved circular pipe // Physical Review E (Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics).—c,2003. may. - Vol. 67, no. 5. - Pp. 056303-+.

5. Smith F. T. Steady Motion Within a Curved Pipe // Proceedings of the Royal Society of London. Series A.— 1976. — Jan. 13.— Vol. 347. no. 1650. Pp. 345-370.

6. Dennis S. C. R., Riley N. On the Fully Developed Flow in a Curved Pipe at Large Dean Number // Royal Society of London Proceedings Series A. 1991. - aug. - Vol. 434. - Pp. 473-478.

7. McConalogue D. J., Srivastava R. S. Motion of a Fluid in a Curved Tube // Royal Society of London Proceedings Series A.— 1968. — oct.— Vol. 307. Pp. 37-53.

8. Моффат Г. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде. -Москва: Мир, 1980. С. 339.

9. Зельдович Я. Б., РузмаИкин А. А., Соколов Д. Д. Магнитные поля в астрофизике. — 2009.

10. Паркер Е. Космические магнитные поля. Их образование и проявления. / Под ред. Я. Б. Зельдович. — Москва: Мир, 1982.

11. Ra'dler К.-Н., Kraitse F. Mean-Field Electrodynamics and Dynamo Theory. — Oxford, Pergamon, 1980.

12. Gilbert A. D. Dynamo Theory.— Elsevier Science, 2003. — 11 September. — P. 98.

13. Брагинский С. И. О самовозбуждении магнитного поля при движении хорошо проводящей жидкости // ЖЭТФ.— 1964,— Т. 47.— С. 10841098.

14. Lortz D. Exact solutions of the hydromagnetic dynamo problem. / / Plasma Phys. 1968. - Vol. 10. - Pp. 967-972.

15. Пономаренко Ю. Б. К теории гидромагнитного динамо // ПМТФ.— 1973. — № 6.-С. 47-51.

16. Гайлитис А. Самовозбуждения магнитного поля парой кольцевых вихрей // Магнитная гидродинамика. — 1970. — Т. 6. — С. 14-17.

17. The Madison Dynamo Experiment / С. Forest, R. Kendrick, A. Bayliss et, al. // APS Meeting Abstracts. 2003. - P. 1002.

18. Magnetic field reversals in an experimental turbulent dynamo / M. Berhanu, R. Monchaux. S. Fauve et al. // EPL (Europhysics Letters). 2007. - Vol. 77. - R 59001.

19. Ambivalent effects of added layers on steady kinematic dynamos in cylindrical geometry: application to the VKS experiment , F. Stefani, M. Xu, G. Gerbeth et al. // Elsevier Science. — 2005.

20. Kitchatinov L. LM azur M. V. On the global stability of rotating magnetized disks // Astronomy & Astrophysics. — 1997. Accepted 14 January. Vol. 324. - Pp. 821-828.

21. Brooke J. M., Moss D. Non-linear dynamos in torus geometry : transition to chaos // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. - 1994. — Vol. 266, no. 3. - Pp. 733-739.

22. Tilgner .4. Kinematic dynamos with precession driven flow in a sphere // Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics. — 2007. — February. — Vol. 101, no. 1. Pp. 1-9.

23. Zhang P., Gilbert A. D. Nonlinear dynamo action in hydrodynamic instabilities driven by shear // Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics. 2006. — feb. - Vol. 100. - Pp. 25-47.

24. Detection of a flow induced magnetic field eigenmode in the Riga dynamo facility / A. Gailitis, O. Lielausis, S. Dement'ev et al. // Phys. Reu. Lett. — 2000. Vol. 84. - Pp. 4365-4368.

25. Miiller U. Stieglitz R. The Karlsruhe Dynamo Experiment // Nonlinear Processes in Geophysics. — 2002. — Vol. 9. — Pp. 165-170.

26. Гайлитис А., Фрейберг Я. Ж. К теории винтового МГД-динамо // Магнитная гидродинамика. — 1976. — № 2. — С. 3-6.

27. Гайлитис А. К., Фрейберг Я. Ж. Расчёт динамо-неустойчивости винтового потока. — Академия наук Латвийской ССР. Институт физики., 1977.

28. Соловьев А. А. Существование магнитного динамо для динамически возможного движения проводящей жидкости // Доклады академии наук СССР: Геофизика. 1985. - Т. 282. - С. 44-48.

29. Kaiser В. Tilgner .4. Kinematic dynamos surrounded by a stationary conductor Fhys. Rev. E. 1999. sep. - Vol. 60. - Pp. 2949-2952.

30. Степанов P. .4. Фрик П. Г. Винтовое МГД-динамо в реальных потоках в трубах. — 1999.

31. Рузмайкин А. А., Соколов Д. Д., Шукуров А. М. Гидромагнитное винтовое динамо. — Институт космических исследований АН СССР, 1987.

32. Gilbert А. // Geophys.Astrophys.Fluid Dynamics.— 1988.— Vol. 44.— Pp. 241-258.

33. Stefani F., Gerbeth G., Gailitis A. Velocity profile optimization for the Riga dynamo experiment / / Transfer Phenomena in Magnetohydrodynamic and Electroconducting Flows / Ed. by A. Alemany, P. Marty, J. P. Thibault. 1999,- Pp. 31-+.

34. О возможности лабораторной реализации нестационарного МГДдинамо / С. А. Денисов, В. И. Носков, Д. Д. Соколов и др. // Докл. РАН. 1999. - Т. 365, № 4. - С. 478-480.

35. Non-staniouary screw flow in a toroidal channel: way to a laboratory dynamo experiment / P. Frick, V. Noskov, S. Denisov et al. // Magnetohydrodynami.es. 2002. - Vol. 38. no. 1-2. — Pp. 143-162.

36. An interior penalty Galerkin method for the MHD equations in heterogeneous domains / J.-L. Guermond. R. Laguerre, J. Leorat. C. Nore // Journal of Computational Physics. — 2007.— jan. — Vol. 221,- Pp. 349-369.

37. Xu M., Stefani F., Gerbeth G. Integral equation approach to time-dependent kinematic dynamos in finite domains // Phys Rev E. — 2004. — published 16 November. Vol. 70. - P. 056305.

38. Xu M., Stefani F. Gerbeth G. The integral equation method for a steady kinematic dynamo problem // Journal of computational physics. — 2004. — 1 May 2004,-Vol. 196, no. 1.- Pp. 102-125.

39. Wu C.-C. A high order WENO finite difference scheme for incompressible fluids and magnetohydrodynamics // Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics. 2007. - February. - Vol. 101, no. 1. — Pp. 37-61.

40. Чернышев Л. А. Исследование сжимаемой магнитогидродипамиче-ской турбулентности в космической плазме методом крупных вихрей: Ph.D. thesis / Институт космических исследований РАН. 2007.

41. Moss D. Numerical simulation of the Gailitis dynamo / Geophysical and Astrophysical Fluid, Dynamics. — 2006. — feb. — Vol. 100. — Pp. 49-58.

42. Dean W. R. Note on the motion of fluid in a curved pipe // Philos. May. 1927. Vol. 7. - P. 208.

43. Mees P. A. J., Nandakumar K., Masliyah J. H. Secondary instability of flow in a curved duct of square cross-section // Journal of Fluid Mechanics. 1996. Vol. 323. - Pp. 387-409.

44. Selmi M. Nandakumar K. Bifurcation study of flow through rotating curved ducts <j Physics of Fluids. 1999. - aug. - Vol. 11. - Pp. 20302043.

45. Zhang J., Zhang B. Dean Equations Extended to a Rotating Helical Pipe Flow // Journal of engineering mechanics. — 2003. — July. — Vol. 129. no. Issue 7. Pp. 823-829. — Нет статьи.

46. Green A. E., Naghdi P. M. A Direct Theory of Viscous Fluid Flow in Pipes

47. Basic General Developments // Royal Society of London Philosophical Transactions Series A. 1993. - mar. - Vol. 342. - Pp. 525-542.

48. Green A. E. Naghdi P. M., Stallard M. J. A Direct Theory of Viscous Fluid Flow in Pipes II. Flow of Incompressible Viscous Fluid in Curved Pipes ! j Royal Society of London Philosophical Transactions Series A.-1993. — Vol. 342, no. 1666,- Pp. 543-572.

49. Nandakumar K., M ashy ah J. H. Bifurcation in steady laminar flow through curved tubes // Journal of Fluid Mechanics. — 1982,— Vol. 119.- Pp. 475-490.

50. Jto H., Motai T. Secondary flow in a rotating curved pipe /j Rep. Inst. High Speed Mech. 1974. - Vol. 29. - Pp. 33-57.

51. Ishigaki H. Analogy between laminar flows in curved pipes and orthogonally rotating pipes // Journal of Fluid Mechanics. — 1994. — Vol. 268,- Pp. 133-145.

52. Ishigaki H. Laminar flow in rotating curved pipes // Journal of Fluid Mechanics. 1996. - Vol. 329. - Pp. 373-388.

53. Lyne W. H. Unsteady viscous flow in a curved pipe / f J. Fluid Mech. — 1971.-Vol. 45. — Pp. 13-31.

54. Lynch D., Waters S., Pedley T. Flow in a tube with non-uniform, time-dependent cuivature: governing equations and simple example // J. Fluid Mech. 1996. - Vol. 323. - Pp. 237-265.

55. Ilua-juii C., Bcn-zhao Z., Xiao-yan S. U. Low frequency oscillatory flow in a rotating curved pipe 1' Journal of Zhejiang University SCIENCE. — 2003. Vol. 4, no. 4. - Pp. 407-414.

56. Hamakiotes C. C., Derger S. A. Fully developed pulsatile flow in a curved pipe // Journal of Fluid Mechanics. 1988. - Vol. 195,- Pp. 23-55.

57. Viscoelastic flow in rotating curved pipes / Y. Chen, H. Chen, J. Zhang. B. Zhang / 7 Physics of Fluids. 2006. - aug. - Vol. 18. - Pp. 083103-+.

58. Supa-Amornkul S., Steward F., Lister D. Modeling two-phase flow in pipe bends // Journal of Pressure Vessel Technology. — 2005.— Vol. 127.— P. 204.

59. Berger S. A., Talbot L., Yao L.-S. Flow in curved pipes , / Annual Revic w of Fluid Mechanics. 1983. - Vol. 15. - Pp. 461-512.

60. Ito H. Flow in Curved Pipes // JSME international jorn nal : bulletin of the JSME. — 1987. Vol. 30, no. 262 (19870400). - Pp. 543-552.

61. Нестационарные турбулентные винтовые течения в кольцевом канале / С. А. Денисов, В. И. Носков, А. Н. Сухановский. Ф. П. Г. // Известия академии наук. Механика жидкости, и газа. — 2001. — № 5. — С. 73-82.

62. Patankar S. V., Pratap V. S., Spalding D. В. Prediction of Laminar Flow and Heat Transfer in Helically Coiled Pipes // J. Fluid Mech. — 1974. — Vol. 62. P. 539.

63. Zhang J., Zhang В., Chen H. Flow in Helical Annular Pipe // J. Engrg. Mech. 2000. - October. - Vol. 126, no. Issue 10. - Pp. 1040-1047.

64. Lia S., Masliyah J. H. Axially invariant laminar (low in helical pipes with a finite pitch // Journal of Fluid Mechanics. 1993. — jun. — Vol. 251. — Pp. 315-353.

65. Greenspan D. Secondary flow in a curved tube // Journal of Fluid Mechanics. 1973. - Vol. 57. - Pp. 167-176.

66. Pratap V. S., Spalding D. B. Numerical Computation of the Flow in Curved Ducts // Aeronaut. Q. 1975. - Vol. 26. - P. 219.

67. A finite difference scheme for unsteady pipe-flows / P. A. Lakshminarayan, P. A. Janakiraman, M. K. G. Babu, B. S. Murthy // International Journal of Mechanical Sciences. — 1979. — Vol. 21, no. 9. — Pp. 557-566.

68. Dermis S. C. R. Calculation of the steady flow through a curved tube using a new finite-difference method // Journal of Fluid Mechanics. — 1980. aug. - Vol. 99. - Pp. 449-467.

69. Soh W. Y., Berger S. A. Fully developed flow in a curved pipe of arbitrary curvature ratio // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 1987. - Vol. 7, no. 7. - Pp. 733-755.

70. Collins W. M., Dennis S. C. R. The steady motion of a viscous fluid in a curved tube // The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics1975. — Vol. 2, no. 28,- Pp. 133-156.

71. Zhang J., Zhang B. Theoretical and Numerical Investigation of Flow Transition in Rotating Curved Annular Pipes // Theoretical and Computational Fluid Dynamics. — 2002. — Vol. 16.- Pp. 99-114.

72. Ramshankar R., Srecnivasari K. R. A paradox concerning the extended Stokes series solution for the pressure drop in coiled pipes // Physics of Fluids. 1988. —jun. - Vol. 31.- Pp. 1339-1347.

73. Smith F. T. Fluid flow into a curved pipe // Royal Society of London Proceedings Series A. — 1976. — oct. — Vol. 351. — Pp. 71-87.

74. Zhang J., Shen X., Zhang B. Fluid flow in a curved rotating pipe // Journal of Hydrodynamics. 2000. - Vol. 12. no. SerB 1. — P. 108-116. — Нет статьи.

75. Boules A. N. On the Existence and Uniqueness of the Flow in a Torus // STAM Journal on Applied Mathematics. — 1991. — feb. — Vol. 51, no. 1. — Pp. 32-39.

76. Yang Z. H., Keller H. B. Multiple laminar flows through curved pipes // NASA. Langley Research Center Advances in Numerical and Applied Mathematics p 196-228 (SEE N86-26552 17-34). 1986. - mar. -Pp. 196-228.

77. Daskopoulos P., Lenhoff A. M. Flow in curved ducts Bifurcation structure for stationary ducts // Journal of Fluid Mechanics. — 1989. — jun. - Vol. 203. - Pp. 125-148.

78. Daskopoulos P., Lenhoff A. M. Flow in curved ducts. Part 2. Rotatingducts // Journal of Fluid Mechanics. 1990. — 26 April. - Vol. 217.— Pp. 575-593.

79. Taylor G. I. The Criterion for Turbulence in Curved Pipes // Royal Society of London Proceedings Series A.— 1929.—jun.— Vol. 124,— Pp. 243-249.

80. Patankar S V., Pratap V. S., Spalding D. B. Prediction of Turbulent Flow in Curved Pipes // J. Fluid Mech. 1975. - Vol. 67. - P. 583.

81. Saric W. S. Gurtler vortices // Annual Review of Fluid Mechanics.— 1994. Vol. 26. - Pp. 379-409.

82. Hall P. Taylor-Goertler vortices in fully developed or boundary-layer hows Linear theory // Journal of Fluid Mechanics. — 1982. — nov. — Vol. 124. — Pp. 475-494.

83. Finlay W. H: Instability and transition in curved channel flow: Ph.d / Stanford Univ., CA. 1987.

84. Finlay W. H., Keller J. B., Ferziger J. H. Instability and transition in curved channel flow // Journal of Fluid Mechanics. — 1988. — sep. — Vol. 194. Pp. 417-456.

85. Matsson 0. J. E. Alfredsson P. H. Curvature- and rotation-induced instabilities in channel flow // Journal of Fluid Mechanics. — 1990. — jan. Vol. 210. — Pp. 537-563.

86. Ben-Dov G. Cohen J. Critical Reynolds Number for a Natural Transition to Turbulence in.Pipe Flows // PhysRevLet.— 2007.—6 February.— Vol. 98. P. 064503.

87. Zikanov О. Y. On the instability of pipe Poiseuille flow // Physics of Fluids. 1996. - nov. - Vol. 8. - Pp. 2923-2932.

88. Chandrasekhar S. The Stability of Non-Dissipativc Couette Flow in Ilydromagnetics // PNAS.- I960, Vol. 46, no. 2,- Pp. 253-25.

89. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. — International Series of Monographs on Physics, Oxford: Clarendon, 1961. 1961.

90. Friede J., Grants I., Gcrbeth G. Inductionless magnetorotational instability in a Taylor-Couette flow with a helical magnetic field // Physical Review E. 2007. — published 16 April.— Vol. 75. no. 4.— P. 047303.

91. Induction, helicity, and alpha effect in a toroidal screw flow of liquid gallium / R. Stepanov, R. Volk, S. Denisov et al. // Phys. Rev. E.— 2006. Apr. - Vol. 73, no. 4. - P. 046310.

92. Кочш H. E., Кибелъ И. А., Розе H. В. Теоретическая гидромеханика. — 4 изд. — Государственное издательство физ.-мат. литературы, 1963,- Т. 2,- С. 727.

93. McBAIN G. D. Vapour transport across gas-filled enclosures: Ph.D. thesis / School of Engineering James Cook University.— 1999. — November, 19.

94. Schmitt В. J., von Wahl W. The Navier-Stokes Equations II — Theory and Numerical Methods. — Springer Berlin / Heidelberg, 1992. — Vol. 1530 of Lecture Notes in Mathematics. — Pp. 291-305.

95. Backus G. Poloidal and toroidal fields in geomagnetic field modeling // Reviews of Geophysics. 1986. - fob. - Vol. 24. - Pp. 75-109.

96. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. — Москва: Гл. ред. физ.-мат. лит. 1986. — Т. 6. С. 736.

97. Гранин о КТереза К. Справочник но математике для научных работников и инженеров. "Наука гл.ред.физ-мат.лит., 1968.

98. Тарунип Е. Л. Сравнение двухполевого метода с методом в естественных переменных // Гидродинамика. Сборник статей.-- 2002.-- Т. №13.

99. Cash J. R., Karp A. H. A variable order Runge-Kutta method for initial value problems with rapidly varying right-hand sides. // ACM Transactions on Mathematical Software.-- 1990.— Vol. 16, no. 3.— Pp. 201-222.

100. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. — 1980. С. 612.

101. Carlson R., Fritsch F. Monotone piecewise bicubic interpolation / / SI AM journal on numerical analysis. — 1985. — Vol. 22. no. 2.— Pp. 386-400.

102. Антонов А. С. Параллельное программирование с использованием технологии MPI. — МГУ, 2004. http://parallel.ru/tech/techdev/MPI/.

103. Смета,пин С. В. Шрагер Г. Р., Яку7пенок В. А. Колебания вяз-коп капли // Труды Международной конференции RDAMM-2001.— Т. 6. 2001. - С. 353-357.

104. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя / Под ред. JI. Г. Лойцян-ский. — Москва: Наука, 1976. — С. 710.

105. Рейнольде А. Д. Турбулентные течения в инженерных приложениях. Москва: Энергия, 1979. - С. 408.

106. Лупян Е.; Шукуров А. Винтовое динамо в реальных потоках // Магнитная гидродинамика. — 1992. — № 3. -- С. 29-36.

107. Кирко И. М., Кирко Г. Е. Магнитная гидродинамика несжимаемых сред.-Пермь, 1980.- С. 120.

108. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. — Москва: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — Т. 8. — С. 736.

109. Фрик Л. Р. Турбулентность: модели и подходы.— Москва-Ижевск: Институ т компьютерных исследований, 2003. — С. 292.