Макроскопические квантовые эффекты в потоковом кубите тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

ИЗМАЛКОВ Андрей Алексеевич

МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ЭФФЕКТЫ В ПОТОКОВОМ КУБИТЕ

01.04.07 - физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2005 г.

Работа выполнена в Институте физики высоких технологий (Institut für Physikalische Hochtechnologie e.V. Jena, Germany) и Московском инженерно-физическом институте (государственном университете).

Научные руководители: Доктор физико-математических наук,

Ильичев Е.В.

Кандидат физико-математических наук, доцент Синченко A.A.

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,

Рязанов В.В.

Доктор физико-математических наук, профессор Куприянов М.Ю.

Ведущая организация: Физический Институт Российской Академии

Наук

Защита состоится «/¿У» ИЯ^ 2005 г. в/£ ч^^мин. на заседании диссертационного совета Д 212.130.06 в Московском инженерно-физическом институте по адресу: 115409 Москва, Каширское шоссе 31, тел. 321-91-67, 324-84-98.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИФИ. Автореферат разослан

Просим принять участие в работе совета или прислать отзыв в одном экземпляре, заверенный печатью организации.

Ученый секретарь диссертационного совета

«/-Д> Лгу*ел# 2005 г.

Общая характеристика работы Актуальность темы Идея создания квантового компьютера относится к одной из наиболее актуальных в век высоких технологий Согласно закону Мура, количество транзисторов в современных микропроцессорах, а соответственно и их скорость, удваиваются каждые 18 месяцев Основной способ делать их существенно более быстрыми заключается в уменьшении размера транзистора Рано или поздно транзисторы будут столь малы, что каждый из них будет состоять из нескольких десятков атомов В этом случае пренебрежение квантово-механическими эффектами в таких структурах станет недопустимым, а классическая логика, на которой построены современные компьютеры, перестанет работать На этом этапе принципиальный прорыв в микро(нано) электронике станет возможным только с использованием при вычислениях квантово-механических эффектов Соответствующий компьютер уже получил название квантового Совсем недавно для квантового компьютера было разработано несколько математических алгоритмов, которые позволят решить некоторые задачи (нерешаемые на классическом компьютере) за полиномиальное время Среди таких алгоритмов, в перв>ю очередь, следует отметить алгоритм факторизации Шора [Р Shor // Proc 35th Annual Symposium on Foundations of Computer Science -1994 -IEEE Press, Los Alami-tos], позволяющий раскладывать большие числа на простые сомножители за полиномиальное время Дойч и Йоца [D Deutsch and R Joza // R Soc Lond Ser A - 1992 - Vol 439 - p 553] предложили квантовый алгоритм решения проблемы дискриминации, который на квантовом компьютере осуществляется значительно быстрее, чем на классическом Относительно недавно Л К Гровер [L К Grover // Phys Rev Lett - 2004 - Vol 79 - p 4709] разработал алгоритм поиска в неупорядоченной базе данных, который затем был обобщен на случай адиабатического квантового вычисления

Таким образом, в Квантовой Информатике сформировался ряд задач, решение которых на квантовом компьютере обещает экспоненциальное ускорение Однако построение такого компьютера само по себе является не-

обыкновенно сложной задачей, требующей решения множества нетривиальных теоретических и экспериментальных проблем.

По аналогии с классическим компьютером элементарным элементом квантового является квантовый бит (кубит), который представляет из себя двухуровневую квантово-механическую систему, находящуюся в суперпозиционном состоянии. Кубиты должны быть адресуемы, управляемы и считываемы независимо, а их взаимодействие друг с другом должно быть контролируемым. Связь кубитов с диссипативным окружением должна быть как можно более слабой. Удовлетворить всем этим требованиям довольно сложно. Существует не так уж много физических систем, которые могут выступать в качестве кубита. Среди них твердотельные сверхпроводящие кубиты, изготавливаемые методами электронной литографии или фотолитографии, являются наиболее перспективными из-за возможности достижения приемлемых времен декогеренции и естественной интеграции в многокубит-ные массивы. Элементами для построения таких кубитов являются джозеф-соновские туннельные переходы. Квантово-механическое поведение контуров с такими переходами определяется соотношением между двумя энергиями: джозефсоновской энергией связи и кулоновской энергией

одиночных зарядов то в сверхпроводящем со-

стоянии фаза волновой функции куперовской пары является хорошо определенной величиной, а заряд, ее канонически сопряженная переменная, флуктуирует. В этом случае собственные состояния системы представляют собой квантово-механическую суперпозицию фазовых состояний, а соответсвтую-щий кубит называется фазовым (или потоковым в случае геометрии интерферометра). В противоположном режиме Ес >> Е, заряды джозефсоновских островов хорошо определены, в то время как их фазы сильно флуктуируют. Собственные состояния таких кубитов есть уже суперпозиция зарядовых состояний, а класс кубитов получил название зарядовых. На данный момент считается, что фазовые кубиты намного перспективнее зарядовых, поскольку они малочувствительны к флуктуациям зарядов в подложке. Эти флуктуации

приводят к значительному уменьшению времени декогеренции в зарядовых кубитах

В последние годы интерес к исследованию сверхпроводящих кубитов исключительно возрос, о чем свидетельствуют многочисленные публикации в ведущих физических журналах Регулярно в Западной Европе и Северной Америке проходят специализированные конференции, посвященные проблемам декогеренции в кубитах и квантовым технологиям (MQC, Quantum Technologies) Сверхпроводящие кубиты как тема появились в технических программах всех основных международных конференций по прикладной и фундаментальной сверхпроводимости (ASC, ISEC, EUCAS) Помимо чисто прикладного значения, исследование сверхпроводящих кубитов представляет фундаментальный научный интерес В основе их функционирования лежат еще до конца не изученные макроскопические квантовые эффекты, о которых и пойдет речь в представленной диссертации

Цели диссертационной работы В адиабатическом режиме теоретически исследовать отклик высокодобротного колебательного контура, индуктивно связанного с потоковым кубитом Рассмотреть возможность детектирования когерентной динамики кубита (Раби-осцилляций) посредством колебательного контура Основываясь на полученных результатах, экспериментально исследовать макроскопические квантовые эффекты (макроскопическое квантовое туннелирование (МКТ), переходы Ландау-Зенера) и когерентную динамику потокового кубита, сравнив разработанную теорию с экспериментом Исследовать экспериментально взаимодействие двух потоковых кубитов с целью демонстрации перепутанных состояний Научная новизна результатов работы

- Теоретически показано, что колебательный контур может быть использован для детектирования макроскопических квантовых эффектов (МКТ, Раби-осцилляции) в потоковых кубитах Полученные формулы и экспериментальные характеристики согласуются количественно в том диапазоне параметров, где теория применима

- Экспериментально продемонстрировано, что при использовании высокодобротного колебательного контура, слабосвязанного с исследуемым потоковым кубитом, время декогеренции может быть повышено на порядок (2.5 микросекунды) по сравнению с измерительной схемой ПТ-СКВИД- потоковый кубит (150 нс).

- Впервые наблюдены и изучены макроскопические переходы Ландау-Зенера в трехконтактном потоковом кубите.

- Изучено макроскопическое квантовое туннелирование в потоковом кубите. Сравнение экспериментального отклика с теоретическими формулами позволило предложить новый метод определения туннельного матричного элемента Д и амплитуды незатухающего тока !р в петле кубита.

- Впервые продемонстрированы перепутанные квантово-механические состояния в системе двух индуктивно связанных потоковых кубитов. Научная и практическая ценность:

- Практическую ценность имеет предложенный метод определения туннельного матричного элемента и амплитуды незатухающего тока без

использования спектроскопии на гигагерцовых частотах. Таким образом, можно полностью охарактеризовать исследуемую квантовую систему (с характерными энергиями только из радиочастотных измерений (30 МГц). Следует также подчеркнуть, что аналогичный метод был затем развит А. Ю. Смирновым для изучения квантового туннелирования в молекулах [А. Уи. 8ш1гпоу // сопё-ша1/0401399. - 2004].

- Наблюдение когерентных Раби-осцилляций в двухуровневой системе осуществляется, как правило, с применением импульсных методик во временной схеме. В этой работы было показано, что возможно также детектирование этих осцилляции в частотной схеме. Разработанный метод Раби-спектроскопии уникален тем, что колебательный контур, используемый для детектирования, обладает слабым обратным воздействием на кубит. В результате этого время декогеренции кубита возрастает на порядок (2.5 мкс) по сравнению с измерительной схемой ПТ-СКВИД- потоковый кубит (150 нс).

- Основой функционирования квантовых алгоритмов являются перепутанные состояния связанных кубитов На данный момент главные научные задачи многих экспериментальных групп состоят в изучении различных способов связи между несколькими кубитами и демонстрации перепутанных состоя ний Существование перепутанных состояний в сверхпроводящих кубитах не было показано вплоть до 2003, когда Пашкин и соавторы [Yu A Pashkin et al // Nature - 2003 - Vol 421 - p 823-826], а также Беркли и соавторы [A J Berkley et al // Science - 2003 - Vol 300 - p 1548-1550] продемонстрировали их в зарядовом и фазовом кубитах В этой диссертации были впервые продемонстрированы перепутанные состояния двух индуктивно связанных потоковых кубитов Положения, выносимые на защиту

1 Теория взаимодействия потокового кубита с высокодобротным резонансным контуром [1] и экспериментальные результаты по исследованию макроскопической квантовой когеренции в адиабатическом режиме [4], подтверждающие разработанную теорию

2 Результаты, полученные при исследовании возможности прямого детектирования Раби осцилляции тока в кольце потокового кубита с помощью индуктивно связанного с ним колебательного контура [2]

3 Экспериментальные результаты по непрерывному мониторингу Раби осцилляции тока в кольце трехконтактного кубита [5]

4 Экспериментальные результаты по наблюдению макроскопических переходов Ландау-Зенера в потоковом кубите [3, 8]

5 Экспериментальные результаты по наблюдению перепутанных состояний в системе двух индуктивно связанных потоковых кубитов [6, 9] Авторский вклад Все работы, выносимые на защиту, выполнены в соавторстве В двух теоретических работах [1,2] личный вклад автора состоял в непосредственном выполнении теоретических расчетов и компьютерного моделирования В работе, посвященной исследованию макроскопической квантовой когерентности [4] вклад автора заключался в подготовке и вы-

полнении эксперимента и теоретической обработке данных. В работах, посвященных детектированию Раби осцилляции [5] и наблюдению перепутанных состояний [6], вклад автора состоял в выполнении эксперимента, анализе, обсуждении и интерпретации полученных данных. Теоретические расчеты в этих двух статьях были выполнены А.Ю. Смирновым и на защиту не выносятся. В работе по наблюдению макроскопических переходов Лан-дау-Зенера [3] вклад соискателя состоял в выполнении эксперимента, анализе, интерпретации и обсуждении полученных данных. Апробация работы.

Результаты работы докладывались на более чем 15 конференциях и научных семинарах, основные из которых следующие:

1. Международная конференция по прикладной сверхпроводимости (Джэксонвилл, США, 3-8 октября 2004 года),

2. Конференция «Квантовые технологии 2004» (Ванкувер, Канада, 30-31 марта 2004),

3. Международная конференция по твердотельным сверхпроводящим цепям (Сан-Франциско, США, 15-19 сентября 2004),

4. Конференция «Обработка квантовой информации в твердотельных системах» (Голландия, Амстердам, 15-18 декабря 2003),

5. Шестая Европейская конференция по прикладной сверхпроводимости (Сорренто, Италия, сентябрь 2003),

6. Международная конференция по сверхпроводящей электронике (Сидней, Австралия, 7-11 июля 2003),

Отдельные результаты работы докладывались на научных семинарах в Институте Физики Высоких Технологий (IPHT Jena, Germany).

Основные результаты, составившие представленную диссертационную работу, были получены в ходе исследований, которые проводились в период с 2002 по 2004 год. Эти исследования выполнялись в Институте Физики Высоких Технологий (IPHT Jena, Germany) и в Московском Инженерно-физическом Институте.

Публикации;

По результатам вошедших в диссертацию исследований имеется 6 печатных работ в ведущих зарубежных журналах, 1 обзор в журнале Физика Низких Температур, 2 статьи в трудах международных конференций, а также 24 тезиса постеров и докладов. Структура и объем диссертации:

Диссертация состоит из 6 глав, а именно: Введение; Обзор литературы; Изготовление образцов, Экспериментальный метод и установка; Макроскопические эффекты в потоковом кубите (Теория); Экспериментальная реализация; Заключение. Объем диссертации составляет 152 страницы, включая 66 рисунков и список литературы из 117 наименований.

Содержание работы В Главе 1 дается краткое введение в предмет исследований: намечены основные проблемы, рассмотрены преимущества и недостатки сверхпроводящих квантовых битов. Здесь же формулируются основные цели работы и приводится ее краткая характеристика.

Литературный обзор (Глава 2) посвящен основновополагающим экспериментам по демонстрации суперпозиции квантовых состояний и когерентной динамики в зарядовых и потоковом кубитах. В этой главе выводится гамильтониан трехконтактного потокового кубита, исходя из функции Ла-гранжа системы. Дается краткая характеристика кубита и подчеркиваются его основные преимущества. Экспериментальная и теоретическая части работы полностью посвящены макроскопическим квантовым явлениям в потоковом кубите.

Третья глава является технологическим и экспериментальным базисом диссертационной работы. В первой ее части рассматриваются основные методы изготовления образцов, а именно: катушек резонансного контура методом фотолитографии и кубитов методом электронной литографии и теневого напыления.

Поскольку диаметр кольца кубита равен примерно 10 микрометрам, то для обеспечения приемлемой связи между ним и катушкой (k = 001-004) последняя должна иметь диаметр внутреннего витка чуть больше размеров самого кубита, а расстояние между витками - 1 - 3 мкм Такие катушки изготавливаются на окисленной кремниевой подложке методом фотолитографии с использованием пяти фотомасок Готовая подложка нарезается на 26 двенадцатимиллиметровых квадратных образца, на каждый из которых затем (при надобности) напыляются кубиты Процесс изготовления кубитов не является уникальным Он осуществляется стандартной электронной литографией и последующим теневым напылением алюминия с двух противоположных углов Однако следует подчеркнуть, что наибопее тонким местом в этом процессе является окисление алюминия при формировании туннельного барьера джозефсоновского перехода Характеристики кубита (расщепление квантовых состояний в точке вырождения незатухающий ток) сипьно зависят от критического тока перехода Поэтому плотность критического тока jc должна быть контролируема в процессе изготовления С этой целью сначала была изучена зависимость j от дозы окисления ( Dose = t0XydP0Jiyd ) для 7 образцов, представляющих собой одноконтактныи интерферометр, интегрированный в катушку колебательного контура (см третью часть главы) Измерение критического тока джозефсоновского контакта проводилось радиочастотным методом, который успешно применяется для исследования токо-фазового соотношения джозефсоновских контактов Во второй части третьей главы подробно описан радиочастотный метод в применении к исследованию токо-фазового соотношения одноконтактного интерферометра Поскольку эта методика является основой использованного в этой работе экспериментального подхода, то не затронуть ее было невозможным Основываясь на исходных работах Рифкина и Дивера [R Rifkin and BS Deaver//Phys Rev В -1976 - Vol 13 -p 3894], а также Ильичева и соавторов [Е Il'ichev et al // Rev Sei Instr - 2001 - Vol 72 - p 1882] была кратко выведена формула для тангенса угла между током смещения и напря-

жением на контуре в зависимости от магнитного потока через интерферометр. Кроме этого, рассмотрены основные преимущества и требования радиочастотного метода. Четвертая и пятая части главы содержат информацию об экспериментальных установках и измерительных схемах. Особое внимание уделено проблеме фильтрации сигналов и правильной разработке конструкции измерительных линий рефрижератора растворения. Четвертая глава диссертации полностью посвящена теоретическому обоснованию возможности наблюдения эффектов макроскопической квантовой когеренции (МКК) в потоковом кубите посредством высокодобротного колебательного контура.

В трехконтактном интерферометре (см. Рис. 1а) при определенных значениях внутреннего магнитного потока его джозефсоновская потенциальная энергия в направлении в = - (р2)/ 2 принимает форму двухъ-ямного симметричного потенциала (Рис. 16), где <р^,(р2-разности фаз волновых функций на двух одинаковых контактах. Туннелирование между потенциальными ямами приводит к суперпозиции 4х = а1х¥1 + локализованных в каждой из ям состояний

Рис. 1. (а) Схема трехконтактного интерферометра (потоковый кубит). (б) Джозеф-соновская энергия кубита в направлении Вследствие туннелиро-

вания происходит расщепление уровней на туннельный магричный элемент в направлении

В результате этого образуются два низколежащих уровня, расстояние между которыми Е+—Е -IS. определяется туннельным матричным элементом Д. Возникновение состояния f, когда квантовая волновая функция макроскопической системы является суперпозицией двух макроскопически различимых состояний (отвечающих двум различным направлениям тока в петле интерферометра) относится к явлению макроскопической квантовой когерентности (МКК). В статье [1] была рассмотрена задача изучения этого эффекта посредством индуктивно связанного с интерферометром резонансного контура. Квантовая механика потокового кубита подробно исследовалась в работе [Т.Р. Orlando et al. // Phys. Rev. В. - 2004. - Vol. 60. -p. 1539815413]. Тем не менее, приведенная там формула для энергетического расщепления уровней не учитывала зависимости от параметров кубита a,g~EjlE(. Поэтому вначале мы нашли зависимость Е+ = /(Ф/Ф0,a,g) аналитически, сведя потенциал кубита к гармоническому приближению. В этом случае энергетические уровни суперпозиционных состояний есть:

где

(1)

(2,3)

а /г = Ф / Ф0 -1 / 2.. Из формулы (1) легко найти выражения для тока в кольце кубита для случая нулевой и конечной температуры:

Параметры трехконтактного потокового кубита (л , незатухающий циркулирующий ток Iр = Я1С /2ж) могут быть найдены по измеренным фазо-

потоковым характеристикам индуктивно связанного с ним колебательного контура. Проблема связи квантового объекта (кубит) с классическим (контур) не имеет однозначного теоретического решения. Однако, если характерные частоты классического объекта много меньше квантовых частот, то можно применить адиабатическое приближение, при котором переменные классического объекта играют роль внешних стационарных параметров при решении квантовой задачи. В таком подходе были рассмотрены две схемы связи кубита с контуром: 1) схема с прямой накачкой, когда ток смещения

/4(/) = /0 Бш(й>;0 подается непосредственно в катушку контура, а детектирование осуществляется на резонансной частоте схема возбуждения отдельной катушкой и детектирование на высших гармониках. В первой схеме решается уравнение движения для напряжения на контуре аналитически, с помощью метода гармонического баланса. В этом случае фазовый сдвиг % между напряжением на контуре и током смещения , а также амплитуда на-

пряжения V определяются следующими выражениями:

и2[1 + 4е2£2(«^х б2.

(6)

(7)

Здесь Q - добротность колебательного контура, к - безразмерный коэффициент связи между катушкой и кубитом, L, L-[ - индуктивности петли кубита и катушки контура. Из формул (5-7) следует, что квантовая динамика кубита приводит к появлению узкого отрицательного пика на вольт-потоковой и фа-зово-потоковой характеристиках выходного сигнала (см. Рис 2 для фазово-потоковой характеристики). При фиксированном незатухающем токе ширина этих пиков определяется туннельным расщеплением.

Таким образом, по измеренным откликам можно легко определить Л И /р без использования спектроскопии на высоких частотах ос 2Л / h, только измеряя низкочастотную часть восприимчивости системы на частоте колебательного контура

В схеме 2) уравнение движения контура было решено численно. Преимущество возбуждения независимой катушкой состоит в том, что мы можем эффективно подавить основную гармонику сигнала возбуждения. При fx= О гармоника 2ы исчезает, а гармоника 3ы достигает максимального значения. Этот факт может быть использован для экспериментальной насторойки на точку вырождения

В работе [1] были также получены оценки шумовых потоков от шумовых токов Найквиста, предусилителя и величина шумового напряжения на контуре. Оценки показывают, что сигнальные характеристики, полученные выше, могут быть, действительно, измерены. Это было подтверждено экспериментально (см. главу 5 диссертации).

Помимо когерентного туннелирования в двухъямном потенциале с частотой 2Д/И возможен другой когерентный эффект - эффект Раби-осцилляций [I.I. Rabi // Phys. Rev. - 1937. - Vol. 51, p. 652-654] между суперпозиционными состояниями Е_,Е+. Если на двухуровневую систему, нахо-

дящуюся в начальный момент в состоянии xV_{t = 0) = (*Ft +XVR)14l, подать

1 L R>

возбуждение на частоте 2A/h, то вероятность обнаружить в момент времени t систему в этом же состоянии будет равна Р (/) = cos2(n„//2), где Qн = (V--энергия взаимодействия возбуждения с двухуровневой

системой) - частота Раби. Частота Раби колебаний пропорциональна амплитуде сигнала возбуждения. Как правило, такие колебания обнаруживаются посредством многократных измерений состояния системы при различных t с помощью ПТ сквид-детектора [I. Chiorescu et al. // Science. - 2003. Vol. 299. -1869-1871]. При этом временная зависимость гистограммы переключений ПТ-сквида в резистивное состояние есть не что иное как

Тем не менее, детектирование Раби-колебаний возможно напрямую посредством резонансного контура Задача в такой постановке рассмотрена в статье [2]. Схема измерений полностью совпадает со схемой 2 при изучении макроскопического квантового туннелирования (магнитный поток задается дополнительной катушкой) Однако помимо постоянной по времени компоненты fx магнитный поток содержит слагаемое, отвечающее микроволновому излучению COS cut: f = fx+ fai cos2Af I h. В таком случае потенциал возмущения вблизи правого (левого) минимума можно записать в форме (здесь отвечает двум минимумам потенциала):

Высокочастотное возбуждение вызывает переходы между двумя уровнями, в результате чего волновая функция системы становится суперпозицией состояний Коэффициенты легко получаются из решения нестационарного уравнения Шредингера в приближении вращающейся волны. При этом частота Раби-осцилляций оказывается равной

И:

(П)

где находится по ранее полученной формуле (3). Как видно из фор-

мулы (9), за счет выбора подходящей амплитуды микроволнового излучения /ж частота Пг может быть сделана много меньшей частоты щели 2А/И. В работе [2] были также вычислены низкочастотные компоненты среднего тока в кольце кубита для случая нулевой и конечной температур:

(12)

(13)

Детектирование осциллирующего тока осуществляется посредством индуктивно связанного с кубитом колебательного контура. В случае когда Раби частота совпадает с резонансной частотой контура, амплитуда напряжения на контуре определяется выражением: Уа = М£)/г /(2Я2(а,^)/гг)(£(/й<и„)П,. Полученные оценки напряжения мкВ для разумных параметров образца позволяют утверждать, что Раби осцилляции могут быть измерены на эксперименте. Этот факт будет подтвержден в главе 5 диссертации. Следует также подчеркнуть, что в работе [2] были получены оценки для времен декогерен-ции и релаксации.

Пятая глава диссертации включает четыре эксперимента по наблюдению макроскопических переходов Ландау-Зенера [3], макроскопического квантового туннелирования [4], Раби-осцилляций [5] в потоковом кубите и перепутанных состояний в двухкубитной системе [6].

В первом параграфе главы приведены экспериментальные результаты по наблюдению макроскопических переходов Ландау-Зенера. Если в двухуровневой системе, изображенной на Рис.3 в и изначально находящейся в точке А быстро менять магнитный поток Фг, то при прохождении точки с минимальным расстоянием между уровнями (точка вырождения) существует

отличная от нуля вероятность перехода на верхний уровень При этом система следует траектории АС, которая была бы энергетическим состоянием при нулевой амплитуде туннелирования Л = 0 Такие переходы называются переходами Ландау-Зенера (ЛЗ) В качестве быстроменяющегося потока в нашем эксперименте выступало радиочастотное смещение колебательного

Рис. 3. (а) Джозефсоновский потенциал в направлении при нескольких значениях внешнего потока (б) Зависимость внутреннего потока от внешнего для трехконтактного кубита (в) Основное и первое возбужденное состояния кубита как функция внешнего потока (г) Амплитуда напряжения на контуре в зависимости от потока

этим током поток

контура Irf = /0 sin^y/), (Уг/2я"ос20 МГц Вызванный магнитной индукции = MIrj через петлю кубита индуцирует ЛЗ переходы, если постоянный магнитный поток Фе находится в непосредственной близости к точке вырождения Ф0 / 2 Суть детектирования ЛЗ переходов чег-ко уяснить из зависимости внутреннего потока в петле кубита от внешнего, см Рис 3б Из-за квантового туннелирования в точке вырождения (траектория BE) система может оказаться на верхней ветви зависимости Ф(Фр) Если амплитуда радиочастотного потока Ф^ то гистерезисная петля ABED

(или BCFE) может быть замкнутой за один цикл радиочастотной накачки

Вызванная этим процессом диссипация энергии в контуре приводит к уменьшению амплитуды напряжения на нем. Таким образом, на амплитудо-потоковой характеристике контура должны появиться два провала при определенных значениях потока, см. Рис. Зг. С увеличением амплитуды накачки /0 становится возможным замыкание большой гистерезисной петли ACFD, если В таком случае возникает провал на амплитудо-потоковой

характеристике контура в точке вырождения Следует от-

метить, что при замыкании гистерезисных петель ABED (BCFE) последовательно происходят следующие процессы: ВЕ-макроскопическое туннелиро-вание потока, Е 'D-переход Ландау-Зенера, DA-прыжок из одной ямы в другую (Рис. За). С последним процессом (DA) как раз и связано падение напряжения на контуре, которое и детектируется в процессе измерений.

Возвратимся к Рис. Зв. Допустим, что мы медленно меняем внешний поток от точки и при этом амплитуда тока радиочастотной на-

качки /0 удовлетворяет условию: MIrj «Фл. Если в точке В вероятность квантового туннелирования велика (что опеределяется свойствами самого кубита, а именно, величиной энергетического барьера между потенциальными ямами), то ЛЗ переходы подавлены и система остается в основном состоянии. Из Рис. 36 в этом случае видно, что малое изменение внешнего потока приводит к резкому изменению внутреннего потока в петле кубита. Поскольку кубит и контур связаны индуктивно, то эффективная индуктивность всей системы тоже резко изменится при прохождении точки вырождения Ф0 /2 (в каком-то смысле кубит выполняет для колебательного контура роль среды с магнитной восприимчивостью а эта восприимчивость резко изменяется и достигает максимума в окрестности Ф0 / 2). Как результат, резонансная частота колебательного контура, а, соответственно, и токо-фазовый угол между напряжением на индуктивности и током в контуре уменьшатся. В параграфе 2 главы 5 представлены экспериментальные результаты [4] измерений Д радиочастотным методом и проведено сравнение с теоретиче-

скими предсказаниями [1] главы 4, в которой было показано, что измерение фазового сдвига в зависимости от внешнего потока позволяет экспериментально определить амплитуду туннелирования Д. Как оказалось, эксперимент и теория находятся в количественном согласии, за исключением больших амплитуд тока накачки /„ (Рис. 4а). Из данных Рис. 4а была определена амплитуда туннелирования А/Л = 650 МГц. Это значение Д//г

Рис 4 (а) Фазовый сдвиг в зависимости от внешнего потока вблизи точки вырождения /=Ф/Ф0-1/2«О. От нижней кривой к верхней напряжение на контуре принимает значения 0.5, 1.0, 1.5, 1.9, 2.9, 3.5, 3.9 мкВ. Вставка: теоретические кривые для Д//г = 650 Мгц /0 - 0.07, 0.13, 0.20, 0.26, 0.39, 0.47, 0.53 нА. (б) Фазовый сдвиг при напряжении 0.5 для различных температур (см Рис Зв. ). (в,г) высота и ширина пика в зависимости от температуры.

является также подгоночным параметром и для температурной зависимости амплитуды пика (Рис. 4б,в,г), что позволяет утверждать количественное согласие между экспериментом и теорией. В параграфе 3 изучается система двух взаимодействующих кубитов, связанных друг с другом индуктивно. В этом случае гамильтониан системы будет складываться из гамильтониа-

нов невзаимодействующих кубитов

(а/М

(о/к)

и слагаемо-

го, описывающего магнитное взаимодействие между ними: ^1;>(Т?)^ = М„ь[а1ь. Здесь Мо4-' взаимная индуктивность между петлями кубитов, а -незатухающие токи, текущие в каждом из них. Микрограф исследуемого образца приведен на Рис. 5а. Оба кубита помещены в центр ка-

тушки резонансного контура, а точная подстройка потока на общую точку вырождения обоих кубитов осуществляется посредством тока 1Л2 в ниобие-вом проводе, расположенным поблизости от одной из петель. Если точки вырождения обоих кубитов не совпадают

Рис 5. (а) Микрограф образца, (б) Радиочастотные отклики обоих кубитов в зависимости от внешнего потока при разных температурах (снизу вверх 10, 50, 90, 160 мК) и токах подстройки /А2. (в) Теоретическая подгонка данных рисунка (б).

I /Лг = 27.3,-32.7 мкА), то волновая функция всей системы факторизуется на произведение волновых функций каждого из кубитов . Таким об-

разом, мы имеем дело с двумя невзаимодействующими двухуровневыми системами, отклики которых нам хорошо известны из предыдущего параграфа (радиочастотные провалы), см. Рис. 5б. В случае, когда точки вырождения обоих кубитов близки друг к другу исследуемая система стано-

вится четырехуровневой, а волновая функция Ч7 не факторизуется ф . Такое состояние системы называется перепутанным. Как показывают теоретические расчеты, в случае формирования перепутанных состояний амплитуда радиочастотного провала системы меньше суммы амплитуд провалов невзаимодействующих кубитов (см. Рис. 5б,в). Такое поведение радиочастотных откликов было обнаружено экспериментально [5] и детально сравнено с теоретическими расчетами [6], см. Рис. 5б,в. Из-за ко-

нечной эффективной температуры двухкубитная система находится в когерентной смеси перепутанных состояний Следует особо подчеркнуть, что без формирования перепутанных состояний квантовые вычисления невозможны Дальнейшие эксперименты в этом направлении должны быть направлены на реализацию подстраиваемой амплитуды взаимодействия J

Предложенный (глава 4) метод детектирования Раби-осцилляций с помощью колебательного контура был реализован экспериментально и описан в параграфе 4 главы 5 Раби-осцилляции вызывались микроволновым излучением с частотой 868 МГц, близкой к расщеплению квантовых уровней при Далее амплитуда излучения менялась и при определенном ее

значении (когда частота колебаний Раби попадала в окрестность частоты резонансного контура) наблюдалось возрастание спектральной амплитуды шумов напряжения на резонансном контуре Дальнейшая теоретическая обработка сигнальных характеристик выявила линейную зависимость Раби-частоты от амплитуды микроволнового излучения, что полностью согласуется с работой [I.I Rabi // Phys Rev. - 1937. - Vol 51, p 652-654] Вследствие того, что кубит слабо связан с контуром, время декогеренции оказывается значительным (2.5 мкс) и соответствует примерно 16 периодам Раби-колебаний Этот результат являлся рекордным для алюминиевых кубитов вплоть до конца 2004 года [Р Bertet etal \\cond-mat/0412485 -2004] Основные результаты, полученные в диссертационной работе, сводятся к следующему. Теоретическая часть:

1 Теоретически обосновано, что радиочастотный метод может быть использован для низкочастотной характеризации основного (равновесного) состояния потокового кубита В частности, он позволяет определить туннельное расщепление между энергетическими уровнями любого потокового ку-бита, связанного с катушкой колебательного контура индуктивно Для детальных расчетов был выбран частный случай потокового кубита с тремя джозефсоновскими переходами Проделанные оценки возможных потоковых

шумов позволяют заключить, что эффект может быть обнаружен экспериментально, что и было позднее подтверждено.

2. Предложен неспектроскопический способ наблюдения Раби-осцилляций в потоковом кубите. Внешний источник микроволнового излучения (в гигагерцовом диапазоне) вызывает когерентные переходы между уровнями куби-та (Раби-осцилляции). Вызванные этими переходами осцилляции сверхтока в петле кубита, в свою очередь, приводят к колебаниям напряжения на катушке индуктивно связанного с ней резонансного контура. Детальные вычисления этих колебаний были проделаны для нулевых и ненулевых температур для случая трехконтактного потокового кубита. Оценки для времен де-когеренции и релаксации показывают, что отклик контура на Раби-осцилляции сверхтока в кубите может быть продетектирован, при этом Раби-частота лежит в удобном для измерений мегагерцовом диапазоне. Экспериментальная часть. С помощью радиочастотного метода

1. впервые обнаружены переходы Ландау-Зенера в потоковом кубите. Ам-плитудо-потоковая характеристика контура в случае переходов имела два характерных провала. Измеренная зависимость положения этих провалов от тока смещения контура находится в качественном согласии с теоретическими представлениями.

2. обнаружено резонансное туннелирование между локализованными состояниями потокового кубита. Совместно с формулами главы 4 метод позволил выполнить характеризацию квантовых свойств кубита (нахождение энергетической щели 2Д/И между уровнями, амплитуды незатухающего сверхтока I) без использования спектроскопии в гигагерцовом диапазоне.

Теоретические формулы главы 4 и экспериментальные данные находятся в количественном согласии для случая малых амплитуд тока смещения. Измеренная зависимость амплитуды токо-фазового угла от температуры была также объяснена исходя из формул главы 4.

3. впервые продемонстрированы перепутанные состояния системы двух индуктивно связанных потоковых кубитов. После экспериментального опреде-

3. впервые продемонстрированы перепутанные состояния системы двух индуктивно связанных потоковых кубитов. После экспериментального определения параметров кубитов было показано, что исследуемая система находится в когерентной смеси перепутанных состояний. Это связано с температурными переходами уже в четырехуровневой системе.

4. продетектированы когерентные Раби-осцилляции. Частота этих осцилляции линейно зависит от амплитуды приложенного электромагнитного поля. Разработанный метод Раби спектроскопии не требует использования импульсных методик. Вследствие того, что кубит слабо связан с контуром, время декогеренции оказывается значительным (2.5 мкс) и соответствует примерно 16 периодам Раби-колебаний. Время декогеренции в 2.5 мкс являлось рекордным для алюминиевых кубитов вплоть до конца 2004 года [Р. Bettet et al. \\ cond-mat/0412485. - 2004].

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Ya.S. Greenberg, A. Izmalkov, M. Grajcar, E. Il'ichev, W. Krech, H.-G- Meyer, M.H.S. Amin, Alec Maassen van den Brink. Low-frequency characterization of quantum tunneling in flux qubits // Phys. Rev. B. - 2002.-Vol. 66.-p. 214525.-6 p.

2. Ya.S. Greenberg, A. Izmalkov, M. Grajcar, E Il'ichev, W. Krech, H.-G. Meyer. Method for direct observation of coherent quantum oscillations in a superconducting phase qubit // Phys. Rev. B. - 2002. - Vol. 66. - p. 224511. - 5 p.

3. A. Izmalkov, M. Grajcar, E. Il'ichev, N. Oukhanski, Th. Wagner, H.-G. Meyer, W. Krech, M.H.S. Amin, A. Maassen van den Brink, A.M. Zagoskin. Observation of macroscopic Landau-Zener transitions in a superconducting device // Europhys. Lett. -2004. - Vol. 65, No. 6. - p. 844-849.

4. M. Grajcar, A. Izmalkov, E. Il'ichev, Th. Wagner, N. Oukhanski, U. Hubner, T. May, I. Zhilyaev, H.E. Hoenig, Ya.S. Greenberg, V.l. Shnyrkov, D. Born, W. Krech, H.-G. Meyer, Alec Maassen van den Brink, M.H.S. Amin. Low-frequency measurement of the tunneling amplitude in a flux qubit // Phys. Rev. B. - 2004. -Vol. 69. - p. 060501 (R). - 4 p.

5tinuous monitoring ofRabi oscillations in a Josephson Hux qubit // Phys. Rev. Lett. - 2003. -Vol. 91, No 9. - p. 097906. - 4 p.

6. A. Izmalkov, M. Grajcar, E. Il'ichev, Th. Wagner, H.-G. Meyer, A.Yu. Smirnov, M.H.S. Amin, Alec Maassen van den Brink and A.M. Zagoskin. Evidence for entangled states oftwo coupled flux qubits // Phys. Rev. Lett. - 2004. - Vol. 93, No 3. -p. 037003.-4p.

7. E. Il'ichev, A.Yu. Smirnov, M.Grajcar, A. Izmalkov, D.Born, Th. Wagner, W. Krech, A. Zagoskin. Radio-frequency method for investigation of quantum properties of superconducting structures // Физика Низких Температур. - 2004. - Vol. 30, Nos. 7/8. - p. 823-833.

8. E. Il'ichev, Th. Wagner, N. Oukhanski, A. Izmalkov, U. Hubner, T. May, I. Zhilyaev, Ya.S. Greenberg, V.l. Shnyrkov, H.E. Hoenig, H.-G. Meyer, M.Grajcar, D.Born, W. Krech, M.H.S. Amin, A .Maassen van den Brink and A.M. Zagoskin. Quantum interference of Landau-Zener tunneling events in persistent current qubit // International Superconducting Electronics Conference 2003, 7-11 July 2003, Sydney, Australia // Расширенная аннотация для постера РТиЗ 1.

9. М. Amin, M. Grajcar, Е. Il'ichev, A. Izmalkov, Alec Maassen van den Brink, G. Rose, A. Smirnov, A. Zagoskin. Superconducting Quantum Storage and Processing // Proceedings of IEEE 2004 International Solid-State Circuits Conference -2004.- p. 296,297,529.

российская государственная киг;лиотЕКА

1 Введение

2 Обзор литературы

2.1 Джозефсоновский трехконтактный потоковый кубнт.

2.2 Основные эксперименты на зарядовых кубитах.

2.2.1 Когерентный контроль макроскопических квантовых сот-стояний СРВ.

2.2.2 Квантовые осцилляции в 2-х зарядовых кубитах.

2.2.3 Демонстрация операции C-NOT в СРВ-кубитах

2.2.4 Манипуляция квантовым состоянием электрического контура

2.3 Основные эксперименты на потоковых кубитах.

2.3.1 Квантовая суперпозиция макроскопических состояний

2.3.2 Когерентная динамика 3JJ кубита

2.3.3 Спектроскопия двух связанных потоковых кубитов.

4.1.2 Квантовая динамика .79

4.1.3 Взаимодействие ПРК с кубитом.82

4.1.4 Случай прямой подачи тока па кубит.83

4.1.5 Схема с дополнительной катушкой.88

4.1.6 Требования к шумам.88

4.2 Детектирование Раби осциллядий.90

4.2.1 Введение.90

4.2.2 Квантовая динамика кубита в резонансном поле.90

4.2.3 Взаимодействие фазового кубита с контуром.92

4.2.4 Эффекты релаксации кубита и декогеренция.95

4.3 Заключение и Выводы .97

5 Экспериментальная реализация 99

5.1 Наблюдение макроскопических переходов Ландау-Зенера.99

5.2 Измерение амплитуды туннелирования в потоковом кубите . 106

5.3 Перепутанные состояния двух связанных потоковых кубитов . 111

5.4 Континуальный мониторинг Раби осцилляций.119

5.5 Заключение и Выводы .124

6 Заключение 139

Список литературы

Основные результаты, полученные в диссертационной работе, сводятся к следующему.

Теоретическая часть:

1. Теоретически обосновано, что радиочастотный метод может быть использован для низкочастотной характеризации основного (равновесного) состояния потокового кубита. В частности, он позволяет определить туннельное расщепление между энергетическими уровнями любого потокового кубита, связанного с катушкой колебательного контура индуктивно. Для детальных расчетов был выбран частный случай потокового кубита с тремя переходами. Проделанные оценки возможных потоковых шумов позволяют заключить, что в рамках существующей нанотехнологии отклик кубита (т.е. провал токо-фазового угла резонансного контура) может быть наблюден экспериментально. Разработанная теория была подтверждена на эксперименте.

2. Предложен неспектроскопический способ наблюдения Раби-осцилляций в потоковом кубите. Внешний источник микроволнового излучения (в гигагерцовом диапазоне) вызывает когерентные переходы между уровнями кубита (Раби-осцилляции). Вызванные этими переходами осцилляции сверхтока в петле кубита, в свою очередь, приводят к колебаниям напряжения на катушке индуктивно связанного с ней резонансного контура. Детальные вычисления этих колебаний были проделаны для нулевых и ненулевых температур для случая трехконтактпого потокового кубита. Оценки для времен декогеренции и релаксации показывают, что отклик контура на Раби-осцилляции сверхтока в кубите может быть продетектировап, при этом Раби-частота лежит в удобном для измерений мегагерцовом диапазоне.

Экспериментальная часть: Воспользовавшись радиочастотным методом в применении к трехконтактпому интерферометру в квантовом режиме (потоковый кубит)

1. впервые обнаружены переходы Ландау-Зенера. Амплитудо-потоковая характеристика контура в случае переходов имела два характерных провала. Измеренная зависимость положения этих провалов от тока смещения контура находится в качественном согласии с теоретическими представлениями.

2. обнаружено резонансное туннелирование между локализованными состояниями потокового кубита. Совместно с формулами главы 4 метод позволил выполнить характеризацию квантовых свойств кубита (нахождение энергетической щели 2Д между уровнями) без использования спектроскопии на гигагерцовых частотах [26]. Теоретические формулы главы 4 и экспериментальные данные находятся в количественном согласии для случая малых амплитуд тока смещения. Экспериментальные данные для токо-фазового угла (РЧ провал) также были отмерены при разных температурах. При этом найдена температура Та, = 225 мК, вплоть до которой уменьшение радиочастотного провала связано с больцмановским заселением верхнего уровня кубита. При Т > Та, туннелирование подавляется температурными перебросами частицы через барьер, отделяющий локализованные состояния.

3. впервые продемонстрированы перепутанные состояния системы двух индуктивно связанных потоковых кубитов. Отличное согласие между экспериментальными данными (температурная зависимость радиочастотного провала для кубитов в общей точке вырождения и для кубитов в собственных точках вырождения) и теорией позволило подтвердить факт формирования таких состояний. Дополнительное подтверждение было также получено при исследовании кубитов, сильно связанных через общую линию.

Следует подчеркнуть, что это первые эксперименты, подтверждающие формирование перепутанных состояний в потоковых кубитах.

4. продетиктированы Раби-осцилляции. Частота этих осцилляций линейно зависит от амплитуды приложенного высокочастотного резонансного поля, облучающего кубит. Метод Раби спектроскопии не требует использования импульсных методик. Вследствие того, что кубит слабо связан с резонансным контуром, время декогерепции оказывается значительным 2.5 цс и соответствует 16 периодам Раби осцилляций. Вплоть до конца 2004 года время декогеренции в 2.5 микросекунды являлось рекордным для алюминиевых кубитов. В недавних экспериментах P. Bertet и соавторов [117] было достигнуто Тф = 4.5 fie в трехконтактном потоковом кубите.

Публикации соискателя по теме диссертации Статьи и Письма

1. Ya.S. Greenberg, A. Izmalkov, М. Grajcar, Е. Il'ichev, W. Krech, H.-G. Meyer. Method for direct observation of coherent quantum oscillations in a superconducting phase qubit, Physical Review В 66, 224511 (2002).

2. Ya.S. Greenberg, A. Izmalkov, M. Grajcar, E. Il'ichev, W. Krech, H.-G- Meyer, M.H.S. Amin, Alec Maassen van den Brink. Low-frequency characterization of quantum tunneling in flux qubits, Physical Review В 66, 214525 (2002).

3. E. Il'ichev, N. Oukhanski, A. Izmalkov, Th. Wagner, M. Grajcar, H.-G. Meyer, A.Yu. Smirnov, Alec Maassen van den Brink, M.H.S. Amin, A.M. Zagoskin. Continuous monitoring of Rabi oscillations in a Josephson flux qubit, Physical Review Letters 91, 097906 (2003).

4. M. Grajcar, A. Izmalkov, E. Il'ichev, Th. Wagner, N. Oukhanski, U. Hubner, T. May, I. Zhilyaev, H.E. Hoenig, Ya.S. Greenberg, V.I. Shnyrkov, D. Born, W. Krech, H.-G. Meyer, Alec Maassen van den Brink, M.H.S. Amin. Low-frequency measurement of the tunneling amplitude m a flux qubit, Physical Review В 69, 060501 (R) (2004).

5. A. Izmalkov, M. Grajcar, E. Il'ichev, N. Oukhanski, Th. Wagner, H.-G. Meyer, W. Krech, M.H.S. Amin, A. Maassen van den Brink, A.M. Zagoskin. Observation of macroscopic Landau-Zener transitions in a superconducting device, Europhysics Letters 65(6), 844 (2004).

6. A. Izmalkov, M. Grajcar, E. Il'ichev, Th. Wagner, H.-G. Meyer, A.Yu. Smirnov, M.H.S. Amin, Alec Maassen van den Brink and A.M. Zagoskin. Evidence for entangled states of two coupled flux qubits, Physical Review Letters 93, 037003 (2004).

Обзоры

Е. Il'ichev, A.Yu. Smirnov, M.Grajcar, A. Izmalkov, D.Born, Th. Wagner, W. Krech, A. Zagoskin. Radio-frequency method for investigation of quantum properties of superconducting structures, Fizika Nizkikh Temperatur 30, 823 (2004) [or Low Temperature Physics 30, 620 (2004)].

Труды Конференций

1. E.Il'ichev, Th.Wagner, N.Oukhanski, A.Izmalkov, U.Hubner, T.May, I.Zhilyaev, Ya.S.Greenberg, V.I.Shnyrkov, H.E.Hoenig, H.-G.Meyer, M.Grajcar, D.Born, W.Krech, M.H.S.Amin, A.Maassen van den Brink and A.M.Zagoskin. Quantum interference of Landau-Zener tunneling events in persistent current qubit, International Superconducting Electronics Conference 2003, 7-11 July 2003, Sydney, Australia. Extended abstract for poster PTu31.

2. M. Amin, M. Grajcar, E. Il'ichev, A. Izmalkov, Alec Maassen van den Brink, G. Rose, A. Smirnov, A. Zagoskin. Superconducting Quantum Storage and Processing, Proceedings of IEEE 2004 International Solid-State Circuits Conference, pp. 296, 297, 529 (2004).

Заключение

1. М.А. Nielsen and 1.L. Chuang in Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, Cambridge (2000).

2. P. Shor, Proc. of 35th Annual Symposium on the Foundations of Computer Science, p. 124 (1994).

3. D. Deutsch and R. Joza, Proc. R. Soc. London A 439, 553 (1992)

4. L. Grover, Phys. Rev. Lett. 78, 325 (1997).

5. E. Farhi, J. Goldstone, S. Gutmann, M. Sipser, quant-ph/0001106.

6. S.L. Braunstein, A. Mann, M. Revzen, Phys. Rev. Lett. 68, 3259 (1992).

7. C. Monroe, D.M. Meekhof, B.E. King, W.M. Itano, and D.J. Wineland, Phys. Rev. Lett. 75, 4714 (1995).

8. N.A. Gershenfeld and I.L. Chang, Science 275, 350 (1997).

9. Q.A. Turchette, C.J. Hood, W. Lange, H. Mabuchi, and H.J. Kimble, Phys. Rev. Lett. 75, 4710 (1995).

10. I.L. Chuang et al., ISSCC Dig.Tech.Papers, p.96, Feb. 1998.

11. L. M. K. Vandersypen, M. Steffen, G. Breyta, C. S. Yannoni, M. H. Sherwood, Isaac L. Chuang, Nature 414, 883 (2001).

12. D.P. DiVincenzo, Science 269, 225 (1995).

13. B.E. Kane, Nature (London) 393, 133 (1998).

14. A.J. Leggett, Science 296, 861, (2002).

15. S. Han, Y. Yu, X.Chu, S-I. Chu, Zh. Wang, Science 293, 1457 (2001).

16. Y. Yu, S. Han, X. Chu, S-I. Chu, Zh. Wang, Science 296, 889 (2002).

17. M.H.S. Amin, Phys. Rev. В 71, 024504 (2005).

18. D. Vion, A. Aassime, A. Cottet, P. Joyez, H. Pothier, C. Urbina, D. Esteve, M. Devoret , Science 296, 886-889 (2002).

19. D. Vion, A. Aassime, A. Cottet, P. Joyez, H. Pothier, C. Urbina, D. Esteve and M.H. Devoret, Fortschritte der Physik, 51, 462 (2003)

20. M.H.S. Amin, M. Grajcar, E. Il'ichev, A. Izmalkov, A. Maassen van den Brink, G. Rose, A. Yu. Smirnov, A.M. Zagoskin, ISSCC Dig. Tech. Papers, 296, Feb. 2004.

21. Y. Nakamura, Yu.A. Pashkin, and J.S. Tsai, Nature 398, 786-788 (1999).

22. J.E. Mooij, T.P. Orlando, L. Levitov, L. Tian, C.H. van der Wal, and S. Lloyd, Science 285, 1036 (1999).

23. L.B. Ioffe, V.B. Geshkenbein, M.V. Feigelman, A.L. Fauchere and G. Blatter, Nature 398, 679 (1999).

24. Yu. Makhlin, G. Schon, A. Shnirman, Nature 398, 305 (1999).

25. J.R. Friedman, V. Patel, W. Chen, S. K. Tolpygo, J. E. Lukens, Nature, 406, 43-46 (2000).

26. C.H. van der Wal, A.C.J, ter Haar, F.K. Wilhelm, R.N. Schouten, C.J.P.M. Harmans, T.P. Orlando, S. Lloyd, and J.E. Mooij, Science 290, 773 (2000).

27. Yu.A. Pashkin, T. Yamamoto, O. Astafiev, Y. Nakamura, D.V. Averin, J.S. Tsai, Nature 421, 823-826 (2003).

28. I. Chiorescu, Y. Nakamura, C.J.P.M. Harmans, and J.E. Mooij, Science 299, 1869 (2003).

29. T. Yamamoto, Yu. A. Pashkin, 0. Astafiev, Y. Nakamura, J. S. Tsai, Nature 425, 941 (2003).

30. A.J. Berkley, H. Xu, R. C. Ramos, M. A. Gubrud, F. W. Strauch, P. R. Johnson, J. R. Anderson, A. J. Dragt, C. J. Lobb, F. C. Wellstood, Science 300,1548 (2003).

31. A. Wallraff, A. Lukashenko, J. Lisenfeld, A. Kemp, M. V. Fistul, Y. Koval, A. V. Ustinov, Nature 425, 155 (2003).

32. I. Chiorescu, P. Bertet, K. Semba, Y. Nakamura, C.J.P.M. Harmans, J.E. Mooij, Nature 431, 159 (2004).

33. A. Wallraff, D. I. Schuster, A. Blais, L. Frunzio, R.-S. Huang, J. Majer, S. Kumar, S. M. Girvin, R. J. Schoelkopf, Nature 431, 162 (2004).

34. L.D. Landau, Z. Phys. Sowjetunion 2, 46 (1932); C. Zener, Proc. R. Soc. London A 137, 696 (1932).

35. A. Izmalkov, M. Grajcar, E. Il'ichev, N. Oukhanski, Th. Wagner, H.-G. Meyer, W. Krech, M.H.S. Amin, A. Maassen van den Brink, A.M. Zagoskin, Europhys. Letters 65(6), 844 (2004).

36. R. J. Schoelkopf, P. Wahlgren, A. A. Kozhevnikov, P. Delsing, D. E. Prober, Science 280, 1238 (1998)

37. A. Aassime, G. Johansson, G. Wendin, R. J. Schoelkopf, and P. Delsing, Phys. Rev. Lett. 86, 3376 (2001).

38. E. Il'ichev, Th. Wagner, L. Fritzsch, J. Kunert, V. Schultze, T. May, H.E. Hoenig, H.-G. Meyer, M. Grajcar, D. Born, W. Krech, M.V. Fistul, and A.M. Zagoskin, Appl. Phys. Lett. 80, 4184 (2002).

39. Ya.S. Greenberg, A. Izmalkov, M. Grajcar, E. Il'ichev, W. Krech, H.-G. Meyer, M.H.S. Amin, and A. Maassen van den Brink, Phys. Rev. В 66, 214525 (2002).

40. Ya.S. Greenberg, A. Izmalkov, M. Grajcar, E. Il'ichev, W. Krech, H.-G. Meyer, Phys. Rev. В 66, 224511 (2002).

41. M. Grajcar, A. Izmalkov, E. Il'ichev, Th. Wagner, N. Oukhanski, U. Hubner, T. May, I. Zhilyaev, H.E. Hoenig, Ya.S. Greenberg, V.I. Shnyrkov, D. Born, W. Krech, H.-G. Meyer, A. Maassen van den Brink, M.H.S. Amin, Phys. Rev. В 69, 060501 (R) (2004).

42. E. Il'ichev, N. Oukhanski, A. Izmalkov, ThAVagner, M. Grajcar, H.-G. Meyer, A.Yu. Smirnov, Alec Maassen van den Brink, M. H. S. Amin, and A.M. Zagoskin, Phys. Rev. Lett. 91, 097906 (2003).

43. A. Izmalkov, M. Grajcar, E. Il'ichev, Th. Wagner, H.-G. Meyer, A.Yu. Smirnov, M.H.S. Amin, Alec Maassen van den Brink, A.M. Zagoskin, Phys. Rev. Lett 93, 037003 (2004).

44. E. Il'ichev, A.Yu. Smirnov, M.Grajcar, A. Izmalkov, D.Born, Th. Wagner, W. Krech, A. Zagoskin, Fizika Nizkikh Temperatur 30, 823 (2004).

45. A. J. Leggett, Prospects in ultra low temperature physics, J. Physique (France).-1978.- Colloq. no. 6.-pp. 1264-1269

46. A.J. Leggett, A.T. Chakravarty, M.P.A. Dorsey, A.G. Fisher, W. Zwerger, Rev. Mod. Phys. 59, 1 (1987).

47. R.F. Voss, R.A. Webb, Phys. Rev. Lett. 47, 265 1981.

48. S. Washburn, R.A. Webb, R.F. Voss, S.M. Faris Phys. Rev. Lett. 54, 2712 (1985).

49. M.H. Devoret, J.M. Martinis, J. Clarke, Phys. Rev. Lett. 55, 1908 (1985).

50. W. den Boer, R. de Bruyn Ouboter, Physica. В 98, 185 (1980).

51. S. Han, J. Lapointe, J.E. Lukens, Phys. Rev. Lett. 63, 1712 (1989).

52. S.-X. Li, Y. Yu, Y. Zhang, W. Qiu, S. Han, Z. Wang Phys. Rev. Lett. 89, 098301 (2002).

53. Yu. Makhlin, G. Schon, A. Shnirman, Rev. Mod. Phys. 73, 357 (2001).545859 60 [61 [G263

54. A. Shnirman, G. Shon, Z. Hermon, Phys. Rev. Lett. 79, 2371 (1997).

55. D.V. Averin in Adiabatic Quantum Computation with Cooper pairs, Solid State Commun. 105, 659 (1998).

56. A. Blais, A. Maassen van den Brink, A. Zagoskin, Phys. Rev. Lett. 90, 127901 (2003).

57. S.-X. Li, Y. Yu, Y. Zhang, W. Qiu, S. Han, and Z. Wang, Phys. Rev. Lett. 89, 098301 (2002) and refenerces therein.

58. T.P. Orlando, J.E. Mooij, L. Tian, C.H. van der Wal, L. Levitov, S. Lloyd, and J.J. Mazo, Phys. Rev. В 60, 15398 (1999).

59. V. Bouchaiat, Ph. D. thesis (Universite Paris VI) 1997.

60. Y. Nakamura, C.D. Chen, J.S. Tsai, Phys. Rev. Lett. 79, 2328 (1997).

61. I. Rabi, Phys. Rev. 51, 652 (1937).

62. J.B. Majer, F. G. Paauw, A. C. J. ter Haar, C. J. P. M. Harmans, J.E. Mooij, Phys. Rev. Lett 94, 090501 (2005).

63. A. Lupascu, C. J. M. Verwijs, R. N. Schouten, C. J. P. M. Harmans, J. E. Mooij, Phys. Rev. Lett. 93, 177006 (2004).

64. J.M. Martinis, S. Nam, A. Aumentado, C. Urbina, Phys. Rev. Lett. 89, 117901 (2002).

65. W.M. Kaminsky, S. Lloyd, and T.P. Orlando, quant-ph/ 0403090. J. Roland and N.J. Cerf, Phys. Rev. A 65, 042308 (2002).

66. Т. May, Е. Il'ichev, H.-G. Meyer, and M. Grajcar, Rev.Sci.Instr., 74 (3), 1282 (2003).

67. A.H. Silver, and J.E. Zimmerman, Phys. Rev. В 157, 317 (1967).

68. R. Rifkin and B.S. Deaver, Phys. Rev. В 13, 3894 (1976).

69. R. Rifkin, D.A. Vincent, B.S. Deaver, P.K. Hansma, J. Appl. Phys. 47, 2645 (1976).

70. E. Il'ichev, V. Zakosarenko, R. IJsselsteijn, V. Schultze, H.-G. Meyer, H.E. Hoenig, Adv. Solid State Phys. 38, 507 (1998)

71. E. Il'ichev, V. Zakosarenko, L. Fritzsch, R. Stolz, H.E. Hoenig, H.-G. Meyer, M. Gotz, A.B. Zorin, V.V. Khanin, A.B. Pavolotsky, and J. Niemeyer, Rev. Sci. Instr. 72, 1882 (2001).

72. E. Il'ichev, Phys. С 350, 244 (2001).

73. E. Il'ichev, H.E. Hoenig, H.-G. Meyer, A.B. Zorin, V.V. Khanin, M. Gotz, A.B. Pavolotsky, J. Niemeyer Phys. С 352, 141 (2001).

74. E. Il'ichev et al., Phys. Rev. В 60, 3096 (1999).

75. E. Il'ichev, M. Grajcar, R. Hlubina, R.P.J. IJsselsteijn, H.E. Hoenig, H.-G. Meyer, A. Golubov, M.H.S. Amin, A.M. Zagoskin, A.N. Omelyanchouk, and M. Yu. Kupriyanov, Phys. Rev. Lett. 86, 5369 (2001).

76. A.A. Golubov, M. Yu. Kupriyanov, E. Il'ichev, Rev. Mod. Phys. 76, 411 (2004).

77. А. Бароне, Дж. Патерно, Эффект Джозефсона. Физика и применения (Мир, Москва, 1984).

78. С.И. Баскаков, Лекции по теории цепей (Эдиториал УРСС, Москва, 2001).

79. V.A. Khlus, I.O. Kulik, Sov. Tech. Phys. 20, 283 (1975).

80. J. Kurkijarvi, J. Appl. Phys. 44, 3729 (1973).

81. В.В. Шмидт, Введение в физику сверхпроводников (МЦНМО, Москва, 2000).

82. К. Bladh, D. Gunnarsson, Е. Hiirfeld, S. Devi, С. Kristoffersson, В. Smalander, S. Pehrson, T. Claeson, and P. Delsing, Rev. Sci. Instrum. 74, 1323 (2003).

83. D. Vion, P. F. Orfila, P. Joyez, D. Esteve, and M. H. Devoret, J. Appl. Phys. 77, 2579 (1995)

84. A. B. Zorin, Rev. Sci. Instrum. 66, 4296 (1995).

85. J. M. Martinis, M. H. Devoret, and J. Clarke, Phys. Rev. В 35, 4682 (1987).

86. T.D. Clark, J. Diggins, J.F. Ralph, M. Everitt, R.J. Prance, H. Prance, R. Whiteman, A. Widom, and Y.N. Srivastava, Ann. Phys. 268, 1 (1998).

87. K.K. Likharev, Dynamics of Josephson Junctions and Circuits (Gordon and Breach, New York, 1986).

88. L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Quantum mechanics (Pergamon Press, London/Paris, 1958).

89. U. Weiss, Quantum Dissipative Systems (World Scientific, London, 1999).

90. V.B. Braginsky, F.Y. Khalili, Quantum Measurement (Cambridge University Press, Cambridge, 1995).

91. A.N. Korotkov, Phys. Rev. В 63, 115403 (2001).

92. L. Tian et al., Quantum Mesoscopic Phenomena and Mesoscopic Devices in Microelectronics (Kluwer, Dordrecht, p.429 (2000)).

93. C.H. van der Wal, Quantum Superpositions of Persistent Josephson Currents, PhD Thesis, Delft University of Technology, The Netherlands.

94. D.S. Crankshaw and T.P. Orlando, Cohereht Driving of the Persistent Current Qubit,presented at the Int. Conf. on Quantum Information, New-York, 10-16 June, 2001.96 97 [98 [99100 101102103104105106107108109110 111

95. М. Grifoni, Е. Paladino, U. Weiss, Eur. Phys. J. BIO, 719 (1999). L. Tian, S. Lloyd, T.P. Orlando, Phys. Rev. В 65, 144516 (2002). T.P. Orlando et al., Physica С 368, 294 (2002).

96. D.A. Garanin and R. Schilling, cond-mat/0207418, Phys. Rev. В 66, 174438 (2002).

97. A.V. Shytov, D.A. Ivanov, and M.V. Feigel'man, cond-mat/0110490 (2001).

98. V. V. Danilov, К. К Likharev, Zh. Tekh. Fiz. 45, 1110 (1975) Sov. Phys. Tech. Phys. 20, 697 (1975).

99. N. Oukhanski, M. Grajcar, E. Il'ichev, H.-G. Meyer, Rev. Sci. Instr. 74, 1145 (2003).

100. G. Blatter, Nature 406, 25 (2000); G. Blatter, Nature 421, 796 (2003).

101. A. Maassen van den Brink, Phys. Rev. В 71, 064503 (2005).

102. U. Weiss, Quantum, Dissipatwe Systems, World Scientific Pub Co; 2nd edition (1999).

103. A.Yu. Smirnov, Phys. Rev. В 68, 134514 (2003).

104. К. Blum, Density matrix theory and applications, New York : Plenum Press (1981).

105. A.Yu. Smirnov, cond-mat/0312635 .

106. W.K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 80, 2245 (1998).

107. T. Yu, and J.H. Eberly, Phys. Rev. В 66, 193306 (2002).

108. Y. Nakamura, Yu.A. Pashkin, and J.S. Tsai., Phys. Rev. Lett. 87, 246601 (2001).

109. J.M. Raimond, M. Brune, and S. Haroche, Rev. Mod. Phys. 73, 565 (2001).

110. A.N. Korotkov and D.V. Averin, Phys. Rev. В 64, 165310 (2001).

111. Т. Sleator, E.L. Hahn, C. Hilbert, J. Clarke, Phys. Rev. Lett. 55, 1742 (1985).

112. P. Bertet, I. Chiorescu, G. Burkard, K. Semba, C.J.P.M. Harmans, D.P. DiVincenzo, and J.E. Mooij, cond-mat/0412485.