Малопараметрическое уравнение состояния ударной адиабаты и применение его в задачах удара тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

сьбсЛ экземпляр I

_ ' На правах рукописи

Краус Евгений Иванович

МАЛОПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ УДАРНОЙ АДИАБАТЫ И ПРИМЕНЕНИЕ ЕГО В ЗАДАЧАХ УДАРА

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 2006

Работа выполнена в Институте теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича Сибирского отделения Российской академии наук

Научные руководители:

член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Фомин Василий Михайлович;

кандидат физико-математических наук,

с.н.с. Шабалин Иван Иванович.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор Губин Сергей Александрович;

доктор физико-математических наук,

профессор Радченко Андрей Васильевич.

Ведущая организация:

Институт теплофизики СО РАН, г. Новосибирск

Защита состоится «26» мая 2006 г. в «_» часов на заседании диссертационного

совета Д 003.035.01 по присуждению ученой степени доктора наук в Институте теоретической и прикладной механики СО РАН (630090, г. Новосибирск, ул. Институтская 4/1)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической и прикладной механики СО РАН.

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный гербовой печатью учреждения, просим направлять по адресу: 630090, Новосибирск-90, ул. Институтская 4/1, ИТПМ СО РАН, ученому секретарю диссертационного совета. Факс: (383) 330 72 68 e-mail: kraus@itam.nsc.ru

Автореферат разослан «_»_2006 г. —.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор

Самсонов В.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы

Построение математической модели каждого физического процесса требует формулирования законов сохранения и учета в этих законах всех существенных свойств среды для данного процесса. Необходимость учета конкретных условий протекания процессов в механике сплошных сред порождает математические модели, состоящие из системы дифференциальных уравнений. Однако законы сохранения не исчерпывают уравнений модели, т.к. не дают замкнутых систем уравнений, требуя еще уравнения состояния, описывающие свойства материалов.

Современные широкодиапазонные уравнения состояния, построенные для описания поведения материалов в широком диапазоне параметров сжатия, содержат десятки свободных параметров и экспериментально найденных констант1. Последние определяются по данным ударно-волновых экспериментов, измерениям изэнтроп разгрузки пористых образцов и другой экспериментальной термодинамической информации в широкой области фазовой диаграммы. Поэтому при использовании подобных уравнений на практике необходим большой набор экспериментального материала, который, как правило, отсутствует для большого числа вещесгв.

Целью настоящей работы является

- Построение простой, термодинамически обоснованной и в то же время точной модели малопараметрического уравнения состояния для расчета параметров за фронтом сильных ударных волн.

- Создание программного инструментария для проведения численного моделирования удара деформируемых твердых тел, в частности столкновения ядерного космического реактора с поверхностью Земли.

Научная новизна:

- Построено термодинамическое уравнение состояния твердой фазы в приближении Дебая с минимальным числом начальных параметров. Значения этих параметров доступны в справочной литературе.

- Холодные давления и энергия получены из обобщенной формы функции Грю-найзена.

- Проведена модификация уравнения состояния твердой фазы введением конфигурационной энтропии, что позволило описать жидкую среду такой же функциональной зависимостью, но со своими начальными параметрами.

- В аддитивной модели смеси учтена "электронная" часть энергии, играющая заметную роль при больших степенях сжатия.

Практическая ценность

- Предложена методика оценки начальной температуры Дебая, в случае её отсутствия в справочной литературе;

- Построена зависимость температуры плавления от давления, которая разделяет твердую и жидкую фазы.

1 Бушман А В., Фортов В.Е. Модели уравнений состояния веществ // УФП. 1903. Т. 140. ЛЬД.-С. 1ТУМ2.

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ I БИБЛИОТЕКА |

- Точность вычисленных параметров уравнения состояния сопоставима с точностью широкодиапазонных уравнений состояний и экспериментальными данными в исследуемой области сжатий.

- Показано, что для смесей возможно расчетным путем довольно точно определить ход адиабат Гюгонио, исходя из ударной сжимаемости отдельных компонент.

- Предложен сценарий плавления смеси за фронтом ударной волны.

- Динамический метод построения треугольных сеток Делоне распространен на случай многосвязной области.

- На основе аддитивной теории смеси построены упрощенные двумерные модели космического ядерного реактора.

- Расчеты в модельной постановке позволили найти некоторые частные решения задач об ударе реакторного блока, важные для практики.

На защиту выносятся:

- Термодинамическое уравнение состояния твердой фазы в приближении Дебая с минимальным числом параметров, в котором "холодные" давления и энергия получены из обобщенной формы функции Грюнайзена;

- Модификация уравнения состояния твердой фазы путем введения конфигурационной энтропии для описания жидкой фазы той же функциональной зависимостью, но со своими начальными параметрами;

- Модель смеси с учетом "электронной" составляющей энергии;

- Упрощенные двумерные модели ядерного реактора, полученные на основе аддитивной теории смеси;

- Результаты расчетов процесса деформирования и разрушения модели ядерного реактора.

Достоверность полученных результатов подтверждается:

- корректностью математической постановки задачи; "

- соответствием расчетных данных экспериментальным, а также данным численных расчетов других авторов.

Апробация работы

Основные результаты диссертации представлялись на следующих конференциях: IX Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования" (Ростов-на-Дону, 2001 г.), 17 Межреспубликанской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Новосибирск, 2001 г.), I Всероссийской конференции молодых ученых "Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии" (Новосибирск, 2001 г.), XVI Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики" (Дюрсо, 2002 г.), II Всероссийской конференции молодых ученых "Проблемы механики: Теория, эксперимент, новые технологии" (Новосибирск, 2002 г.),

XXIX Summer School "Advanced Problems in Mechanics", (St. Petersburg, 2002 г.),

XXX Summer School "Advanced Problems in Mechanics" (St. Petersburg, 2003 г.), Международной конференции по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов, (Томск, 2004 г.), 12 International Conference on the Meth-

ods of Aerophysical Research (Novosibirsk, 2004 г.), III научно-координационное совещание-симпозиум "Проблемы физики ультракоротких процессов в сильнонеравновесных средах" (Новый Афон, 2005 г.), а также докладывались на семинарах ИТПМ СО РАН и Института теплофизики СО РАН.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах, приведенных в списке в конце автореферата.

Личный вклад автора

При выполнении работ по теме диссертации автор принимал непосредственное участие в постановке задач, разработке уравнений состояний, комплекса программ и методик исследований, обработке и анализе результатов численного моделирования, подготовке статей и докладов на конференциях.

Структура и объем диссертации

Работа состоит из введения, обзора литературы, четырех глав, заключения и списка литературы из 180 наименований. Полный объем диссертации - 172 страницы, включая 39 рисунков и 3 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность проведенных исследований, излагаются цели и задачи работы. Приводится краткое описание диссертации по главам, и формул' лируются основные положения, выносимые на защиту.

В обзоре литературы дается обзор работ, посвященных созданию и применению уравнений состояний. Также в главе проводится обзор работ по численному моделированию. Сформулированы основные вопросы, остающиеся нерешенными в указанных работах к настоящему времени.

Первая глава посвящена выводу уравнения состояния для тел, находящихся в твердом состоянии.

В первом разделе рассматривается трехчленное уравнение состояния, полученное в рамках теории Ми - Грюнайзена

Р(У,Т) = Px<yy + PtJ<y,T) + РЫ(У.Т),

E<y,T) = Ex(V) + EIJ(V,T) + El.e<yj). (1)

Упругие составляющие PjiV), EJV) связаны исключительно с силами взаимодействия, действующими между атомами тела, и равны полным давлению и удельной внутренней энергии при абсолютном нуле температуры, почему их иногда называют "холодным" давлением или энергией. Тепловые составляющие давления Р£У,Т) и энергии E,(V,T) связаны с нагреванием тела, т.е. с температурой. Выражения для тепловой энергии E,j и теплого давления Р1{ "классического" ансамбля осцилляторов (атомов решетки) имеют вид

E,j-cvJT, P, i - TiCvjT/V, (2)

где Су/ -ЗД/А - теплоемкость при постоянном объеме (закон Дюлонга - Пти), А -средний атомный вес, /? - газовая постоянная.

Повышение температуры до нескольких тысяч градусов приводит к возбуждению электронов, поэтому в уравнения состояния добавлены давление и энергия электронного газа:

Е,,с ~ с„,еТ2 / 2, Рие = уесу еТг /V, (3)

где уе — электронный аналог коэффициента Грюнайзена, выражающий отношение теплового давления электронов к плотности их тепловой энергии, cv,e = ¿\,(Уо 1У )Ге - электронная теплоемкость, суе0 - экспериментальное значение электронной теплоемкости при нормальных условиях. Таким образом, полное уравнение состояния в терминах свободной энергии принимает вид

Р(У,Т) = ЕХ(У) + су1Т\п(в(у)/Т) - с,_е(У/У0)2/3Г2 /2. (4)

Второй раздел посвящен определению коэффициента Грюнайзена от объема /(V). Зависимость коэффициента Грюнайзена получают из различных модельных представлений. Сравнение расчетных зависимостей у(У), полученных разными способами, с экспериментальными данными показывает, что ни одна из квазигармонических моделей не дает преимущества при описании динамического сжатия. Поэтому для получения наиболее общих выражений потенциальной энергии на нулевой изотерме все модели могут быть представлены в виде единой формулой для коэффициента Грюнайзена

(5)

Заметим, что при f=0 уравнение (5) отвечает теории Ландау и Слэйтера, при i=l соответствует Дуглейлу и Макдональду4, а при t=2 - теории свободного объема5. При таком подходе предлагается рассматривать параметр t как характеристику конкретного материала и выбирать его так, чтобы, используя обобщенный коэффициент Грюнайзена (5), наилучшим образом описать ударно-волновые экспериментальные данные.

Третий раздел посвящен определению значений на нулевой изотерме. Молодцом A.M.6 получена единая аналитическая формула для коэффициента Грюнайзена

у(у)Л--?->a = i +-?-

3 (l-eVo/К)' (Г,-2/3) К,' где ys " РК-Уп/сv,Кs - адиабатический модуль объемного сжатия, р - коэффициент объемного расширения, Р, 0 - тепловая часть давления при нормальных условиях.

2 Ландау Л.Д., Станюкович К.П. Об изучении детонации конденсированных взрывчатых веществ // ДАН СССР -1945.—Т.46 -С. 399-406.

1 Slater I.C. Introduction in the chemical physics. New York-London: McGraw Book company, Inc., 1935.-239 p.

4 Dugdale J.S., McDonald D. The thermal expansion of solids // Phys. Rev.-19S3.-Vol.89.-P. 832-851.

s Зубарев B.H., Ващенко В Я. О коэффициенте Грюнайзена // ФТТ.-1963.-Т.5.-С. 886-891.

6 Молодец А.М Обобщенная функция Грюнайзена для конденсированных сред // ФГВ.-1995.-Т.31 -№5 -С. 132-133.

Из соотношений (6) при температуре Т - О К и (5) получим уравнение для "холодного" давления Р :

2

_ У[</2(рх¥2'/3)/с&2/

I 3 2[ /<1(рхУ2"3)/с1У

3 (1 -ахУ0/У) 1 * 1 0 /-,|1>"в"|'-п/ ' ^

где ах - значение параметра я|г,ок- В качестве первого приближения можно взять

аж=а(0)-1+2/(г,-2/3).

Решение уравнения (7) имеет вид

Рх(У) = Су~1,п+С2Н2(У),

ЕХ(У) - -(С,Уи2'п /(1 - 2//3) + С2Я,(У)) + С3, (8)

где Н^У) и Н2(У) - достаточно громоздкие полиномы, С',, С2 и С3- константы материала, которые вычисляются следующим образом

с _ дИ1+2,/з) [И2(У)/ ЭУ)(р0 - Р,.о)+ Я2(У )(к, /У0 + (ЭР, / ЭУ)|Г )]

1 * 2*#2(у)+зу (ая2 (у )/ дУ)

с _ [2; (ри - Р10)+ЗУ (к, /У„ + (дР1 /дУ)и 21 Я г(У ) + ЗУ (ЭЯ2(у)/ дУ)

с3 = С1У.1-2'/3/(1-2</3) + С2Я1(К),

здесь К, - термодинамический модуль объемного сжатия, У - удельный объем, полученный в результате решения уравненияРХ(У>) - 0.

В четвертом разделе обсуждается область применимости созданного уравнения состояния. Показано, что соотношение (6) имеет особую точку при величине текущего объема У = аУ0. Она соответствует нулевому значению характеристической температуры, поэтому в этой точке испытывают разрыв все термодинамические функции материала. И поскольку данная точка лежит в области растяжений, для корректного применения модели необходимо в области растяжений использовать иные уравнения состояния с условиями сшивки при нормальных условиях.

Пятый раздел посвящен сравнению полученного уравнения состояния с результатами экспериментов и расчетами по широкодиапазонным уравнениям состояниям. Набор полуэмпирических соотношений (1)-(8) описывает поведение термодинамических свойств твердого тела. Причем для построения требуется знание только шесть констант У0, Р, К,, ср, 0 и с„ е0, значение которых берутся при нормальных условиях. Величины с„ и Кг определяются через вышеуказанные параметры с помощью известных термодинамических соотношений: К5 =К, + ТУ(К,/})2 / с„ -ср - ТУК,/}2, ах - подгоночный параметр.

На основании этих уравнений были рассчитаны ударные адиабаты различных материалов, и показано хорошее совпадение с экспериментальными данными. На рис. 1 а

представлены рассчитанные по авторской методике ударные адиабаты алюминия, меди, свинца и нулевые изотермы этих же материалов. Для сравнения показаны результаты экспериментов различных исследовательских групп, данные которых объединены в книге7, а также результаты расчета "холодного" давления8. Отличия в "холодных" кривых незначительны вплоть до степеней сжатия УУУ= 1,5. При степенях сжатия У(/У>1,5 отличия более существенны (но не превышают 7%), что связано с методикой построения модели, где опорным состоянием для построения уравнений является нормальное состояние конденсированной среды.

Рис. 1а. Ударные адиабаты и кривые "холод- Рис. 16. Зависимость температуры от степени ного" сжатия. сжатия в РЬ.

+ - Расчеты Рх8; о - Экспериментальные данные7 На рис. 16 показана зависимость температуры свинца от степени сжатия с учетом и без учета членов, ответственных за возбуждение электронов (3). Учет этих членов в уравнении состояния позволяет более точно описать температурную кривую сжатия. Для сравнения показаны результаты расчета температуры9.

Отметим, что рассчитать ударную адиабату 1Ю2, соответствующую10, удалось только с использованием обобщенного коэффициента Грюнайзена (5). Расчеты показали, что ни при каких значениях подгоночного параметра ах и начальных данных, которые и определяют начальный ход ударной адиабаты, невозможно аппроксимировать экспериментальные данные при значении <=0 в выражении (5). При значениях ¿>1 аппроксимация возможна, но все же величина производной дР/ др в начальной точке для этих экс-

7 Жерноклетов М.В, Зубарев В Н, Трунин Р Ф., Фортов В.Е Экспериментальные данные по ударной сжимаемости и адиабатическому расширению конденсированных веществ при высоких плотностях энергии—Черноголовка' ВНИИЭФ,—1996,—388 с.

* Альтшулер Л.В., Кормер С.Б., Баканова А.А, Трунив Р.Ф. Уравнения состояния алюминия, меди и свинца для области высоких давлений // ЖЭТФ.-1960.-Т.38.-№3.-С. 790-798.

9 Альтшулер Л.В. Применение ударных волн в физике высоких давлений // УФН.-1965.-Т.85.-С 197-258.

10 LASL Shock Hugoniot Data / Ed. S.P. Marsh.-Berkeley etc.: Univ. California Press, 1979.-672 p.

периментов достаточно мала. На рис. 2 показано сравнение ударных адиабат, вычисленных при (=0 (методика Ландау - Слэйте-ра) й <=0,6 в выражении (5). Использование обобщенного коэффициента Грюнайзена позволило с хорошей точностью описать экспериментальные данные.

Шестой раздел посвящен вычислению температуры Дебая. Поскольку для большинства веществ в справочной литературе отсутствуют данные по величине температуры Дебая, возникает необходимость теоретического определения ее значения. Согласно теории Дебая теплоемкость различных кристаллических веществ характеризуется специфической величиной - температурой Дебая, которая выражается следующим образом11:

где к - постоянная Больцмана, А - постоянная Планка, Уа- величина атомного объема вещества, I - (1/1^0 + 1/и2 +~ усреднение по всем направлениям волновой нормали, равное сумме обратных кубов фазовых скоростей упругих волн.

В изотропных твердых телах, вследствие независимости фазовых скоростей от направления распространения волны, имеем

7-1/^+2/^,

здесь 01 - скорость продольных и поперечных (сдвиговых) волн, которые вычисляются согласно теории упругости о,2 = + , ^ - К5/р0 ; в - модуль сдвига.

Точность метода расчета зависит от степени анизотропии материала и температуры, при которой происходит расчет. Чем ниже температура, тем точнее ведется расчет, поскольку с повышением температуры возрастает доля возбужденных квантовых состояний, характеризуемых большой энергией или частотой. Расчеты по этим формулам показали, что ошибка вычисленных значений температуры Дебая не превышает 10% для исследуемых материалов.

Вторая глава. Первый раздел посвящен выводу уравнения состояния для сред, находящихся в жидком состоянии. При пересечении ударной адиабатой границы раздела фаз расчет по модели из первой главы дает состояние перегретого твердого тела, а не жидкости. Поэтому была модифицирована модель твердой тела для учета свойств жидкой фазы и явлений фазового перехода.

11 Федоров Ф И Теория упругих волн в кристаллах - М.' Наука, 1965.-388 с.

Рис. 2. Ударная адиабата и02

Выражение для свободной энергии Р1 (у,Т) жидкости в приближении "грубой" модели классического гармонического осциллятора имеет вид

^СК,Г) = £1!/,(^) + с„,гГ1п[е£(К)/Г]-0£су>е(у/У0)2/3Т2 (9)

здесь Ех1(У) - холодная составляющая энергии жидкости, вд - характеристическая температура Дебая, - энтропийный вклад, индексом "1" обозначены параметры, относящиеся к жидкой фазе.

Для "управления" величиной конфигурационной энтропией вводится некий параметр а5, имеющий смысл остаточной энтропии при температуре Г = О К. Тогда энтропийный вклад свободной энергии будет иметь вид Рс = -аДТ/А. Таким образом, для описания жидкой фазы появляется новый параметр, в качестве первого приближения которого можно взять приближение "грубой" модели, где величина а5= 1.

Внешне выражение для свободной энергии жидкости отличается от выра-

жения (4) только наличием дополнительного энтропийного слагаемого. На самом деле различия между твердым и жидким состояниями состоит в следующем: они имеют различные холодные энергии и характеристические температуры. Эти принципиальные различия при описании твердой и жидкой фаз были заложены в работе12 и на их основе сделаны следующие заключения:

Во-первых, температура Дебая при переходе от твердой фазы к жидкой должна претерпевать разрыв, связанный со скачком энтропии. Большая часть скачка энтропии связана с изменением структуры твердого тела при переходе к жидкости, вызванного потерей дальнего порядка и приводящего к формированию в термодинамических моделях жидкости конфигурационной энтропии. Эта конфигурационная часть энтропии характеризует меру разупорядоченности жидкости и остается конечной величиной, подобно энтропии аморфных тел, при формальном стремлен™ температуры к нулю.

Во-вторых, нулевая изотерма жидкости смещена относительно нулевой изотермы твердого тела в сторону меньших значений плотности. Это связано прежде всего с тем, что плотность жидких металлов, экстраполированная в область низких температур, несколько меньше плотности металла в твердом состоянии.

Формально термодинамические функции, как твердого тела (2), так и жидкости (9), рассматриваются во всем температурном диапазоне, включая область близкую к Т = О К. Это удобно для единообразного описания обеих фаз и позволяет ввести в термодинамику жидкого состояния функции, характерные для твердого состояния, такие как плотность при температуре Т = О К, и нулевую изотерму. При таком подходе необходимо иметь в виду, что реальный физический смысл имеют ветви только при температуре Т > Тт для жидкого состояния и температуре Т <Тт для твердого состояния (Тт - температура плавления).

12 Воробьев В.С О возможности интерполяции приближения Дебая для описания жидкой и газовой фазы // ЖЭТФ.-199б.-Т.109.-№1.-С. 162-173.

Поскольку выражение для коэффициента Грюнайзена (6) получено без каких-либо ограничений на фазовое состояние вещества, можно получить соотношения, имеющие тождественный смысл и функциональный вид, как для твердого состояния, но со своими начальными параметрами.

Во втором разделе рассматривается процесс плавления материалов при высоких давлениях и температурах, полученных при динамическом иагружеиии. Дан сравнительный анализ различных моделей плавления, и построена кривая плавления. Проведено сравнение с экспериментальными данными.

Ударные адиабаты вещества при высоких давлениях проходят через область жидкой фазы. Поэтому представляет определенный интерес оценка влияния плавления на ход адиабаты. По мере увеличения давления ударной волны, тепловая энергия, сообщаемая веществу, непрерывно растет, и, начиная с некоторых давлений, должен начаться переход первоначально твердого вещества в жидкое состояние. Дальнейший ход зависимости Т(Р) вдоль динамической Рис- 3. Кривая плавления и ударная адиабата в облас-

адиабаты можно пояснил,, проведя тях ^^ и ^^

аналогию с плавлением при атмосферном давлении, когда увеличение энергии, сообщаемой веществу, начавшему плавиться, не приводит к повышению температуры, пока оно полностью не расплавится. Дальнейшее нагревание снова сопровождается увеличением температуры. Подобная же картина должна иметь место и при ударном сжатии, с тем различием, что в области существования двух фаз (участок кривой плавления между ударными адиабатами твердого и жидкого вещества, участок 2-3 рис. 3) следует ожидать некоторого роста температуры. Затраты энергии на плавление приводят к резким изломам ударной адиабаты в (Т + Р) плоскости, и неучет плавления, при ударном сжатии вещества, приводит к погрешностям при определении конечных температур (точки 3-4 рис. 3).

Кривую плавления находили как границу между фазами с соответствующими уравнениями состояния, используя условия фазового равновесия

Ъ-Тз, Ь-Рв-Р, (10)

здесь Д5т и АУт экспериментальные значения скачков энтропии и удельного объема, которые определяют начальный ход кривой плавления при нормальных условиях Р = 1 атм. Последние уравнение является условием равенства химических потенциалов обеих фаз, приходящееся на 1 моль вещества.

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50

В третьем разделе представлены результаты расчетов с найденными уравнениями состояния твердой (4) и жидкой (9) фаз, с учетом соотношения Ренкина - Гюгонио и условиями фазового равновесия (10). Представлены динамические адиабаты и кривые плавления металлов А1, Си и РЬ13.

Вычисление начальных параметров жидкого состояния по соотношениям показало, что уравнения (4) позволяют с хорошей точностью описать не только связь давления с плотностью вдоль динамической адиабаты, но и температуру ударно сжатого твердого тела вплоть до кривой плавления.

В третьей главе рассматриваются вопросы динамического нагружения смесей. В основу положена аддитивная модель смесей. В первом разделе, используя экспериментальную линейную зависимость между скоростью распространения ударной волны и массовой скоростью £), = а, + или /)ти = ат1Х + Я^и^ получены основные соотношения на ударной адиабате (О - скорость ударной волны, и - массовая скорость, в, , Я, - константы 1-го материала).

Считалось, что размер зерен, составляющих среду веществ, достаточно мал, чтобы структура самой среды смогла оказать влияние на амплитуду ударной волны, распространяющейся по веществу с некоторой скоростью. Поскольку у такой среды (смеси) отсутствует дефект объема, ее удельный объем на фронте волны может быть подсчитан как

1де V,- удельный объем i-й компоненты при ударном сжатии каждой компоненты по отдельности, п - количество компонент в смеси, т, - масса i-й компоненты, а, — массовая концентрация

Полагалось, что:

1. При распространении ударной волны по образцу давление во всех компонентах выравнивается, а теплообмена и химических реакций не происходит;

2. Скорость распространения ударной волны при нулевых давлениях стремится к

скорости звука в материале lim (D() - а,;

/>—о

3. При неограниченном увеличении давления Р-* со смесь сожмется в ударной волне до некоторого предельного состояния />цт т1Х.

С использованием этих допущений найдено давление в смеси материалов, через значения отдельных компонент смеси:

11 Краус Е.И., Фомин В.М., Шебалин И.И. Модельные уравнения термодинамических функций состояния веществ 2 Жидкость и описание плавления // Физ мезомех.-2004.-Т.7.-С 289-292.

2

Выполнено сравнение результатов расчета и экспериментальных исследований14. На рис.4 показана зависимость скорости распространения ударной волны от массовой скорости для сплавов №-Си (/?=8,89 г/см3, 50 % №), ВНЖ-90 (/3=17,1 г/см3, массовый состав: 90 % 7 % №, 3 % Бе), ВНМ-3-2 (р= 17,1 г/см3, 95 % W, 3% №, 2 % Си). На этом рисунке значения для сплава ВНМ-3-2 и его экспериментальные точки условно смещены

0 12 3

Рис. 4. Ударные эксперименты сплавов.

на единицу вниз по оси О, а у сплава №-Си на единицу вверх ио оси Б.

Второй раздел посвящен термодинамической модели смеси. С использованием термодинамики отдельных компонент получены основные термодинамические соотношения для смеси. Уравнения состояния для смеси материалов записывали в форме (1)

Р р . р . р

1 Ахти: ^ * Цпих * 1,епйх

тх ~ Ехт1х

В предположении термодинамического равновесия за фронтом ударной волны из адиабат смесей рассчитывались Р-Т диаграммы. Используя аддитивность энергии, можно вычислить значение внутренней энергии смеси на нулевой изотерме:

л я

ЕхтЫ « ^ арXI ■ По аналогии, можно вычислить тепловую Е,1т1х = ^ и "элек-¡-1 ' 1-1 л

тронную" Е1ет!х = составляющие энергий. Коэффициент Грюнайзена смеси

I-1

материалов вычислялся по выражению УтиР/шх ~ 2 (а</АУ;)^ >3 удельная теплоемкость

смеси при постоянном объеме - с^т1х - ^|а1с1,,. На основании аддитивного подхода по-

1-1

казано, что все монотонные термодинамические функции отдельных компонент переходят в монотонные термодинамические функции смеси15.

В третьем разделе представлен качественный сценарий термодинамического плавления смеси материалов. Плавление смеси происходит следующим образом: первоначально твердое вещество нагружается вплоть до кривой плавления материала, имеющего более низкую температуру плавления. Дальнейшее увеличение энергии (вдоль кривой

14 Жерноклетов М.В., Зубарев В.Н., Трунии Р.Ф., Фортов В.Е Экспериментальные данные по ударной сжимаемости и адиабатическому расширению конденсированных веществ при высоких плотностях энергии.-Черноголовка' ВНИИЭФ—1996.—388 с

19 Краус Б.И., Фомин В.М., Шабалин И И. Учет электронных составляющих в уравнении состояния при расчете ударных волн в смеси металлов // Математ. моделир. систем и процессов.-2001.-№9.-С. 78-84.

плавления 1-го материала) приводит только к небольшим изменениям в температуре, до тех пор, пока первый материал полностью не расплавится. На этом участке смесь уже состоит из трех компонент: это 1-й материал в твердом и жидком состояниях и 2-й в твердом состоянии. При этом учитывается, что массовая концентрация 1-го будет плавно меняться от единицы до нуля для твердого состояния и наоборот для жидкого состояния. Дальнейшее нагружение происходит по уравнению состояния смеси с учетом жидкой составляющей до кривой плавления 2-го материала. Вдоль кривой плавления процесс аналогичен процессу описанному выше. Этот цикл продолжается до тех пор, пока все компоненты смеси не перейдут в жидкое состояние.

В четвертой главе рассматриваются задачи удара на примере соударения реактора космической ядерной энергетической установки (ЯЭУ) с поверхностью Земли в двумерной постановке. Рассматривается торцевой (продольный) и боковой удары. Особенность такой постановки - наличие многосвязной расчетной области с большим количеством контактных поверхностей.

В первом разделе приводится математическая формулировка начально-краевой задачи, состоящей из системы законов сохранения, уравнений процесса, принятых в форме Прандтля - Рейсса, где для определения давления используется уравнение состояния, представленное в первой главе, начальных и граничных условий. Численный расчет задачи осуществлялся по методике М. Уилкинса16, реализация контактных условий17. В разделе также были представлены простые критерии разрушения, используемые в работе. Известно, что все материалы обладают конечной прочностью, но имеют различные механизмы разрушения, которые реализуются в разных условиях:

1) На волновой стадии процесса использовались силовые прочностные параметры, такие как предельные значения напряжений на растяжение, сжатие и сдвиг. Для расчета кинетики разрушения использовался критерий Тулера - Бутчера18

i-oil Дh

<"Л< *

а. - —1-> ст.,

* Л2

где i - номер временного шага, At - шаг по времени, a¡, а2 и ат - главные напряжения, причем суммирование выполняется только при условии - а\ > 0.

2) На стадии квазистатического деформирования использовались кинематические

прочностные характеристики, к которым относятся предельные значения удлинения и

сдвига. Если деформации на растяжение в процессе деформирования превысили пре-

. » • « дельное значение удлинения - е{ (т.е. £1 > е1), или ет>ет, ет - предельное значение

величины сдвига, то произойдет разрушение материала.

" Уилкинс МЛ Расчет упругопластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике / Под ред Б Олдера, С. Фернбаха, М. Ротенберга. -М: Мир, 1967.-С. 212-263

17 Фомин В.М., Гулвдов А.И., Сапожников Г.А., и др. Высокоскоростное взаимодействие тел Новосибирск. Издательство СО РАН, 1999.-600 с

18 Tuler F.R., Butcher В.М. A criterion for the time dependence of dynamic fracture // Int.J.Fract.Mech.-1968.-Vol.4.-P. 431-437.

3) Многие металлы подвержены разрушению сдвигом, поэтому в качестве критерия разрушения выбрана работа напряжений на пластических деформациях. Если работа напряжений на пластических деформациях в какой-то момент времени станет больше критической W'p, то произойдет разрушение материала и блока конструкции \Ур

Второй раздел посвящен расчетной разностной схеме "крест". В разделе выписаны все соотношения на треугольной сетке п.

Третий раздел посвящен построению сеток в многосвязных областях. За основу был взят динамический подход19. На рис. 5. показан пример построения сетки в многосвязной области. Начальное равномерное распределение частиц было "испорчено" введением дополнительной внутренней границы (триангуляция на рис. 5а).

После нескольких десятков шагов численного интегрирования уравнений движения узлов разностная сетка перестраивается в регулярное состояние как вблизи границ, так и внутри области (рис. 56). Таким образом, построена треугольная сетка в многосвязной области без её декомпозиции.

Четвертый раздел посвящен тестированию разностной схемы. В качестве тестовой задачи рассматривался процесс соударения деформируемого цилиндра с жесткой стенкой20. Результаты численного расчета показали хорошее соответствие с экспериментальными данными. В качестве второго теста рассматривался процесс соударения двух деформируемых пластин. Задача была численно и экспериментально исследована в работе21. Полученные результаты позволяют сделать вывод о корректности расчета кон-

19 Shimada К. and Gossard D., Bubble Mesh. Automated Triangular Meshing of Non-Manifold Geometry by Sphere Packing / ACM Third Symposium on Solid Modeling and Applications.-1995.-P. 409-419.

20 Уилкинс МЛ., Гуинан М.У. Удар цилиндра по жесткой преграде II Механика. -М.. Мир, 1973 -№3 -С 112-128.

21 Гулидов А.И, Киселев В.В, Шабалин И.И. Численные экспериментальные исследования процесса отскока при соударении пластин // Числен, методы решения задач теории упруг, и пласт.. Матер. X Всесоюз. конф.- Новосибирск, 1988.-С. 65-69.

— V

----.--1

б

Рис. 5. Пример применения динамического подхода.

тактных границ и применимости созданного кода к расчету задач динамического взаимодействия тел.

В пятом разделе решалась задача об ударе реактора о поверхность Земли в упрощенной модельной постановке. Упрощение заключается в том, что внутри реакторной зоны проведено осреднение материалов мелкомасштабных деталей по аддитивной теории смеси (материалы: бериллиевая оболочка; твэлы из двуокиси урана; "заливка" из гидрида циркония). Далее, считалось, что при входе в плотные слои атмосферы внешние элементы конструкции сгорают, и от реактора остается объект со сложным внутренним строением, показанный на рис. 6а (плоская задача - расчетная модель включает 82 тела и 81 контактную границу.) и рис. 1а (аксиальная симметрия).

■ ЗИЛОП^мс

■ гт

а б

Рис. 6. Плоская задача удара реактора о поверхность гранита.

На рис. 66 представлен результат расчета бокового удара модели реактора по поверхности гранитной плиты. Начальная скорость удара 400 м/с. Видно, как в процессе соударения происходит сложное деформирование первоначально круглого реактора (см. рис. 6). Данный методический расчет был выполнен с целью демонстрации работы алгоритма расчета контактных границ и деформаций модели в процессе удара, без раз- > рушения.

Далее рассмотрен продольный (торцевой) удар реактора о поверхность Земли. Модель представляет собой продольное сечение частично разрушенного реактора космической ЯЭУ (см. рис. 1а). В расчетах использовались все вышеперечисленные критерии разрушения. Выполнено моделирование процесса удара реактора о гранит с начальной скоростью 400 м/с. На рис. 16. показан результат соударения и разрушения. В начальный момент времени от поверхности контакта реактора с гранитом в обе стороны начинают распространяться волны сжатия. Наличие боковых свободных поверхностей у реактора приводит к формированию уходящих внутрь волн раз-

грузки, которые достигают оси реактора к моменту времени примерно 45 мкс. В результате на оси начинает формироваться область растягивающих напряжений. При достижении ими предельных величин начинается процесс разрушения "заливки" из гидрида циркония и частично материала твэлов. Разрушение бериллие-вой оболочки происходит в квазистатическом режиме, в основном, по сдвиговому механизму. К моменту полной остановки реактора происходит практически полное разрушение внутреннего наполнения реактора и нарушается герметичность бериллиевой оболочки.

■ Ве

■ -2Ж

ио, 'фапПв

»

ЩфттШк

Ш

Х,ст

Рис. 7. Соударение модели реактора с гранитной плитой

Проведены также расчеты по соударению реактора с поверхностью воды и песчаника. Начальная скорость удара 400 м/с. При столкновении с водой модель реактора погружается в воду с частичным разрушением "заливки" из гидрида циркония. Процесс столкновения модели реактора с песчаником приводит к полному разрушению внутренней структуры реактора, нарушению герметичности оболочки реакторного блока и, как следствие, возможному радиоактивному заражению места падения.

В Заключении сформулированы основные результаты и выводы.

1. В рамках теории Ми - Грюнайзена:

- построено термодинамическое уравнение состояния твердой фазы с минимальным числом параметров, в котором тепловые колебания кристаллической решетки описываются приближением Дебая, а значения параметров на нулевой изотерме вычисляются из обобщенной формы функции Грюнайзена;

- выполнена модификация уравнения состояния твердой фазы введением конфигурационной энтропии, что позволило описывать жидкую среду такой же функциональной зависимостью, но со своими начальными параметрами;

- найдена зависимость температуры плавления от давления (кривая плавления), которая разделяет твердую и жидкую фазы.

2. Точность всех вычисленных параметров сопоставима с точностью широкодиапазонных уравнений состояний и экспериментальных данных в исследуемой области сжатий.

3. На основе аддитивной теории смеси построены упрощенные двумерные модели ядерного реактора.

4. На основе расчетов в модельной постановке показано, что торцевой удар реакторного блока при скоростях 400 м/с по твердым скальным породам приводит к нарушению герметичности оболочки реакторного блока.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Краус Е.И. Расчет распространения ударной волны в смеси с учетом электронных составляющих // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Тр XVI Межресп. конф. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999.-С 92-96.

2. Краус Е.И., Фомин В.М., Шабалин И.И. Учет электронных составляющих в уравнении состояния при расчете ударных волн в смеси металлов // Математ. моде-лир. систем и процессов.-2001.-№9.-С. 78-84.

3. Краус Е.И., Фомин В.М., Шабалин И.И. Уравнение состояния вещества при сильном ударном нагружении с учетом эффекта плавления // Сборник трудов IX Всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математического модели-рования".-Ростов-на-Дону: РГУ, 2001 .-С. 148-155.

4. Краус Е.И., Фомин В.М., Шабалин И.И. Термодинамическая модель плавления металлов за фронтом сильных ударных волн // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Тр. XVII Межресп. конф. — Новосибирск: "Изд. комп. Лада", 2001.-С. 118-124.

5. Краус Е.И. Уравнение состояния вещества при высоких ударных нагрузках // Проблемы механики: Теория, эксперимент, новые технологии: Тр. I Всероссийской конф. молодых ученых. - Новосибирск: ИТПМ, 2002.-С. 66-73.

6. Fomin V.M., Kraus E.I., Shabalin I.I. An equation of state for solids and liquid metals in high pressure region // Advanced Problems in Mechanics: Proc. XXX Summer School-St. Petersburg, 2003.-P. 211-215.

7. Краус Е.И., Фомин B.M., Шабалин И.И. Модельные уравнения термодинамических функций состояния веществ. 1.Твердое тело // Физ. мезомех.-2004.-Т.7.~ С. 285-288.

8. Краус Е.И., Фомин В.М., Шабалин И.И. Модельные уравнения термодинамических функций состояния веществ. 2.Жидкость и описание плавления // Физ. мезо-мех.-2004.-Т.7.-С. 289-292.

9. Fomin V.M., Kraus E.I., Shabalin I.I. An Equation of State for Condensed Matter behind Intense Shockwaves // Mater. Phys. Mech. 2004.-Vol.7.-Nol.-P. 23 28.

10. Fomin F.M., Kraus E.I., Shabalin I.I. Shock loading of gas hydrates // Internaional Conference on the Methods of Aerophysical Research: Proc. - Pt.4.-Novosibirsk: Publ. House "Nonparel", 2004.-P. 137-142.

Ответственный за выпуск Е.И. Краус

Подписано в печать 17.04.2006 Формат бумаги 60 x 84/16, Усл. печ. л. 1.0, Уч.-изд. л. 1.0, Тираж 100 экз., Заказ № 2

Отпечатано на ризографе ЗАО "ИНТЕРТЕК" 630090, Новосибирск, Институтская, 4/1

¿O Ob ft

Ni-B8 6B

Введение.

Обзор литературы.

1. Уравнение состояния твердого тела.

1.1 Трехчленное уравнение состояния.

1.2 Построение функции Грюнайзена.

1.3 Определение нулевой изотермы.

1.4 Область применения термодинамической модели.

1.5 Результаты расчетов.

1.6 Определение температуры Дебая.

Выводы по первой главе.

2. Уравнение состояния жидкости.

2.1 Модификация уравнения состояния.

2.2 Плавление при высоких давлениях, полученных в ударной волне. ь 2.3 Результаты расчетов.

Выводы по второй главе.

3. Расчет смесей при ударном нагружении.

3.1 Адиабата смеси.

3.2 Аддитивное термодинамическое приближение.

3.3 Плавление смеси.

Выводы по третьей главе.

• 4. Модельные расчеты соударения сложных двумерных тел о деформированную преграду.

4.1 Постановка задачи.

4.2 Расчетная схема.

4.3 Построение сетки в многосвязной области.

4.4 Тестирование разностной схемы.

4.5 Примеры расчетов соударения сложных тел о преграду.

• Выводы по четвертой главе.

Проблемы распространения волн в средах имеют большое значение в таких областях математической физики и техники, как теория упругости, акустика, геофизика, гидродинамика, нелинейная оптика и др. Следует подчеркнуть их исключительную сложность в деформирующихся телах, особенно, если последние имеют ограниченные размеры. Эта сложность обусловлена тем, что при распространении волн напряжений в объектах ограниченных размеров они испытывают многократные отражения от граничных поверхностей тела и, взаимодействуя, образуют весьма сложную волновую картину внутри объекта. Трудности, лежащие на пути аналитического описания этой картины, вполне очевидны. Часть из них в последнее время удалось преодолеть благодаря достижениям вычислительной математики. Таким образом, в настоящее время численный эксперимент становится одним из эффективных методов научного исследования. Ограниченность материальных и энергетических ресурсов выступает еще одним фактором, требующим найти замену экспериментальным исследованиям и натурным испытаниям.

Цель работы

S Построение простой, термодинамически обоснованной и в то же время точной модели малопараметрического уравнения состояния для расчета параметров за фронтом сильных ударных волн;

S Создание программного инструментария для проведения численного моделирования удара деформируемых твердых тел, в частности столкновения ядерного космического реактора с поверхностью Земли.

Диссертация состоит из введения, обзора литературы, четырех глав, заключения и списка литературы. Во введении обоснована актуальность исследования, сформирована цель и задачи работы. Каждая глава предваряется кратким обзором рассматриваемого в ней вопроса. В заключениях всех глав представлены краткие выводы.

Выводы по четвертой главе

1. Динамический метод построения треугольных сеток Делоне распространен на случай многосвязной области.

2. Модифицирован метод расчета контактных границ учетом количества элементарных актов взаимодействия для каждого узла.

3. Построен код для решения двумерных упругопластических задач в плоской и аксиальной постановках с учетом простейших критериев разрушения.

4. Проведена успешная верификация методов и программного кода.

5. Выполнены расчеты соударения модельных блоков реактора о деформируемую поверхность.

6. Показано, что торцевой удар реакторного блока при скоростях 400 м/с по твердым скальным породам приводит к нарушению герметичности реакторного блока и топлива.