Масштабно-инвариантные закономерности разрушения горных пород и развитие сейсмических событий

Пантелеев, Иван Алексеевич

Масштабно-инвариантные закономерности разрушения горных пород и развитие сейсмических событий тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Пантелеев, Иван Алексеевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Пермь МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Масштабно-инвариантные закономерности разрушения горных пород и развитие сейсмических событий»

Автореферат диссертации на тему "Масштабно-инвариантные закономерности разрушения горных пород и развитие сейсмических событий"

На правах рукописи

004663717

ПАНТЕЛЕЕВ Иван Алексеевич

МАСШТАБНО-ИНВАРИАНТНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАЗРУШЕНИЯ ГОРНЫХ ПОРОД И РАЗВИТИЕ СЕЙСМИЧЕСКИХ СОБЫТИЙ

01.02.04 - механика деформируемого твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Пермь - 2010

1 О И ЮН 2010

004603717

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте механики сплошных сред Уральского отделения РАН, г. Пермь.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

НАИМАРК Олег Борисович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

МАКАРОВ Павел Васильевич

доктор физико-математических наук, профессор

ШАРДАКОВ Игорь Николаевич

Ведущая организация:

Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, г. Москва

Защита состоится «?■?-» ил<а 2010г. В ч. ОО мин. на заседании

диссертационного совета Д 004.012.01 при Институте механики сплошных сред УрО РАН по адресу:

614013, г. Пермь, ул. Академика Королева, 1, тел/факс (342) 2378487, сайт: www.icmm.iu.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН

Автореферат разослан « 12- » уК-^Р- 2010г.

Учёный секретарь диссертационного совета доктор технических наук Березин И.К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. До настоящего времени открытым остается вопрос о фундаментальных основах физики и механики землетрясений. Несмотря на расширение сетей по регистрации сейсмической активности, огромный объем данных о феноменологических закономерностях землетрясений, это явление остается одним из наиболее катастрофических и недостаточно прогнозируемых природных катастроф. Проблемы сейсмологии связаны с решением ряда ключевых вопросов в физике и механике разрушения. Значительный интерес вызывает в последние десятилетия разработка подходов, отражающих нелинейные особенности процесса разрушения, сейсмических процессов в земной коре, обусловленных коллективными свойствами ансамблей дефектов, и связанными с ними проявления пространственно-временной инвариантности.

Данная тематика является актуальной в связи с применением новых технических разработок, позволяющих в полевых условиях регистрировать протекание процессов подготовки землетрясений на различных пространственных и временных масштабах, связанных с эволюцией поврежденности и напряженно-деформированного состояния земной коры.

Многие основные признаки землетрясений известны, начиная со средних веков, но только в последнее столетие развитие землетрясений связывается с механизмами структурной релаксации, обусловленными освобождением латентной упругой энергии вдоль существующих разрывов земной коры.

Современные исследования указывают, что землетрясения обнаруживают признаки динамических сложных многоуровневых систем, включая пространственно-временную локализацию событий, автомодельность, миграцию активности по системам нарушений земной коры1.

Диссертационная работа посвящена решению актуальной и сложной научной проблемы - моделированию механизмов подготовки землетрясений с учетом коллективных эффектов развития несплошностей, определяющих нелинейный характер критических сейсмических событий.

Основные результаты были получены в рамках исследований, проводимых с участием автора по программе Президиума РАН «Фундаментальные проблемы механики взаимодействий в технических и природных системах» (раздел «Стадийность процесса разрушения природных материалов и механизмы критичности сейсмических и техногенных явлений»), по проектам РФФИ №07-01-91100-АФГИР_а, № 10-05-96065-р_урал_а, № 07-01-96004-р_урал_а.

Часть результатов получена при выполнении международного проекта

1 Садовский М.А. Дискретные свойства геофизической среды. М.: Наука. 1989. 174 с.

Американского фонда гражданских исследований CRDF RUG1-2866-PE-07 «Structural-scaling transitions, long-term dynamic clustering of fracture and temporal occurrence of technogenic and natural seismic events».

Целью диссертационной работы является разработка физико-математической модели процессов разрушения твердых тел на различных пространственных масштабах с учетом роли коллективных эффектов в ансамблях дефектов при формировании очагов разрушения; объяснение на основе полученных автомодельных решений для параметра поврежденности масштабно-инвариантных закономерностей развития сейсмических событий, с которыми связываются механизмы неустойчивого лавинообразного развития сдвиговых дефектов при подготовке землетрясений; исследование масштабно-инвариантных закономерностей накопления поврежденности при деформировании соляных пород (карналлита, сильвинита) на лабораторном масштабе.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. построение модели деформирования квазихрупких материалов, учитывающей влияние ансамблей типичных мезоскопических дефектов (микросдвигов) на процессы разрушения с использованием термодинамического потенциала, учитывающего взаимодействие дефектов;

2. экспериментальное исследование масштабно-инвариантных закономерностей при деформировании и разрушении соляных пород Верхнекамского калийного месторождения при различных условиях нагружения, скоростях нагружения и размерах образцов;

3. качественный анализ эволюционного уравнения для введенного параметра поврежденности с целью исследования автомодельных закономерностей локализации поврежденности и кинетики разрушения в терминах теории диссипативных структур обострения;

4. обоснование масштабно-инвариантных закономерностей развития сейсмических событий на основе численного моделирования формирования и кинетики зон локализованного разрушения - структур обострения в среде с дефектами;

5. моделирование на основе развитых представлений о кинетике процесса разрушения основных механизмов неустойчивого развития несплошностей сдвигового типа в локализованной области потенциального источника землетрясения.

Диссертационная работа посвящена экспериментальному и теоретическому исследованию кинетики формирования зон локализованного разрушения и объяснению автомодельных закономерностей развития сейсмических событий. Научная новизна работы заключается в том, что впервые с использованием разработанной математической модели и оригинальных экспериментов предложено объяснение масштабно-инвариантных закономерностей развития поврежденности при формировании очага землетрясения.

По результатам исследований установлено, что:

- выполнение масштабно-инвариантных закономерностей развития сейсмических

событий является следствием автомодельного характера развития поврежденности на завершающей стадии разрушения;

- переход к стадии неустойчивого лавинообразного развития поврежденности в потенциальной области источника землетрясения инициируется локальными возмущениями поля напряжения;

- формирование очага разрушения сопровождается инициированием возмущения поля напряжения, ассоциируемым с наблюдаемыми на геологических масштабах «медленными» движениями.

Обоснованность и достоверность результатов расчетов и теоретических выводов, сформулированных в диссертационной работе, обеспечивается корректностью математических постановок задач, проведением тестовых расчетов, соответствием результатам других авторов, оригинальным и опубликованным ранее экспериментальным данным. Достоверность экспериментальных данных обеспечивается соблюдением методологии проведения эксперимента, использованием поверенного метрологического оборудования, устойчивой воспроизводимостью результатов и согласием установленных закономерностей с результатами других авторов.

Прикладная значимость проведенных исследований обусловлена необходимостью совершенствования методов прогноза сейсмических событий с учетом физических механизмов, реализующихся на различных масштабных уровнях. Ряд результатов может быть использован для прогноза разрушения элементов конструкций при непрерывном мониторинге акустической эмиссии.

На защиту выносятся:

1. математическая модель, отражающая связь структурно-скейлинговых переходов в ансамблях мезодефектов сдвигового типа с механизмами разрушения горных пород;

2. качественный анализ эволюционного уравнения для параметра поврежденности, полученного из решения статистической задачи и термодинамического описания деформирования материала с дефектами, установивший наличие автомодельного решения, аналогичного ЦЗ-режиму (диссипативные структуры обострения);

3. экспериментально установленные масштабно-инвариантные закономерности деформирования и разрушения соляных пород Верхнекамского калийного месторождения для различных типов, скоростей нагружения и размеров образцов;

4. связь структурно-скейлинговых переходов в ансамблях мезодефектов с механизмами инициирования «медленных» движений в земной коре, формированием очага землетрясения и основными наблюдаемыми масштабно-инвариантными закономерностями развития сейсмических событий.

Апробация работы: Основные положения и результаты работы докладывались на 9 российских и 4 международных конференциях, в том числе: Зимние школы по механике сплошных сред (2007, 2009, Пермь), серия конференций «Петербургские чтения по

проблемам прочности» (2007, 2008, Санкт-Петербург), III Российская научно-техническая конференция «Разрушения, контроль и диагностика материалов и конструкций» (2007, Екатеринбург), серия Всероссийских конференций молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках» (2007, 2008, 2009, Пермь), Всероссийская конференция «Механика микронеоднородных материалов и разрушение» (2008, Екатеринбург), Международная школа-семинар «Многоуровневые подходы в физической мезомеханике. Фундаментальные основы и инженерные приложения» (2008, Томск), IV международный симпозиум «Геодинамика внутриконтинентальных орогенов и геоэкологические проблемы» (2008, Бишкек, Киргизия), 17th European Conference on Fracture (2008, Brno, Czech Republic), 36<h Solid mechanics conference (2008, Gdansk, Poland).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 26 научных публикациях, в том числе в 4 статьях российских журналов из перечня ВАК, в 3 статьях в рецензируемых зарубежных журналах и в 19 статьях в периодических сборниках, трудах международных и российских конференций.

Личный вклад автора. Автором получены основные результаты, представленные в диссертации. На основе развитых определяющих соотношений разработана математическая модель развития поврежденности в области с потенциальным источником землетрясения; проведено моделирование стадии лавинообразного развития поврежденности при формировании очага землетрясения; разработан подход к описанию масштабно-инвариантных закономерностей в терминах амплитуд, магнитуд и размеров диссипативных структур обострения. Автор непосредственно участвовал в проведении экспериментов по нагружению образцов Верхнекамского калийного месторождения и проводил обработку экспериментальных данных, представленных в работе.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и выводов по результатам исследования. Работа изложена на 165 страницах и содержит 79 рисунков, 4 таблицы, список цитируемой литературы из 181 наименования.

Благодарности. Автор диссертационной работы выражает благодарность д.т.н. В.А. Асанову и сотрудникам лаборатории физических процессов освоения георесурсов Горного института УрО РАН за помощь в проведении экспериментов, заведующему лабораторией морской геологии Института морской геологии и геофизики ДвО РАН к.ф.-м.н. JI.M. Богомолову, д.ф.-м.н. O.A. Плехову, всем сотрудникам лаборатории Физических основ прочности Института механики сплошных сред УрО РАН и научному руководителю д.ф.-м.н., профессору О. Б. Наймарку за обсуждение и плодотворное время совместной работы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждаются актуальность, цели и методы исследования, апробация результатов, формулируются краткие выводы по основным результатам.

Первая глава диссертации носит обзорный характер. В ней приведены основные

экспериментальные и теоретические результаты, касающиеся описания развития ансамблей дефектов при подготовке землетрясений.

В параграфе 1.2 приведен обзор основных масштабно-инвариантных закономерностей, наблюдаемых как для землетрясений (геологический масштаб), так и при разрушении горных пород (лабораторный масштаб).

Параграф 1.3 посвящен обзору моделей, основанных на подходах статистической физики и термодинамики к описанию эволюции ансамблей дефектов в материалах на широком спектре масштабов. При этом основное внимание уделяется моделям эволюции локализованных сдвигов по нарушениям в земной коре с учетом фрикционных эффектов (Rundle J., Klein W., Rice J., Turcotte D.L.) и моделям эволюции несплошностей при подготовке землетрясений (Мячкин В.И., Тюпкин Ю.С.).

Вторая глава диссертационной работы посвящена разработке теоретической модели деформационного поведения и разрушения квазихрупкого материала с целью описания эффектов, связанных с автомодельными закономерностями подготовки землетрясений и разрушения горных пород.

Параграф 2.2 посвящен обзору экспериментальных результатов по исследованиям иерархии несплошностей в процессе деформирования образцов и при подготовке землетрясений. Приведенные исследования позволили установить автомодельный характер процесса накопления повреждений на широком спектре масштабов, а также установить характерные стадии подготовки макроразрушения, совпадающие со стадиями подготовки землетрясения.

В разделе 2.3 приводится статистическая модель среды с дефектами2, разработанная в лаборатории физических основ прочности Института механики сплошных сред УрО РАН, на основе которой был предложен вид неравновесного потенциала (неравновесной свободной энергии) и определяющие уравнения среды в терминах введенных переменных.

В рамках статистического описания поведения ансамбля дефектов вводится макроскопический тензор плотности дефектов р, определяемый усреднением по

статистическому ансамблю микросдвигов s = s[nv (здесь Я и v - единичные

векторы нормали и направления сдвига, s - интенсивность сдвига), и совпадающий по смыслу с деформацией, обусловленной дефектами. Процедура усреднения приводит к уравнению самосогласования, определяющему зависимость макроскопического тензора плотности дефектов (деформации, обусловленной дефектами) от величины внешних напряжений, исходной структуры и взаимодействия дефектов, которое в безразмерном случае содержит только один параметр - параметр структурного скейлинга S. Параметр структурного скейлинга S-(R/r0f определяется отношением характерных структурных

2 Наймарк О.Б. Коллективные свойства ансамблей дефектов и некоторые нелинейные проблемы пластичности и разрушения // Физическая мезомеханика. 2003. Т.6. С. 45-72.

масштабов для твердых тел с мезодефектами: г0 - характерный размер зародыша данного дефекта, /? - среднее расстояние между дефектами.

Решение уравнения самосогласования позволило выявить три характерных реакции материала с дефектами на рост напряжения (рис.1), которые определяются величиной параметра структурного скейлинга, имеющего две точки бифуркации.

В диапазоне 8<8С равновесное накопление дефектов происходит только до некоторого критического значения 0с(рс), при переходе через которое начинается лавинообразный рост плотности микродефектов (формирование очага макроскопического разрушения). Данный тип реакции является характерным для сценария квазихрупкого разрушения, в рамках

, ,, рассмотрения которого введенный параметр

Рис. 1. Характерные реакции материала на

рост дефектов порядка - деформация, обусловленная

дефектами, имеет смысл параметра поврежденности, определяющего степень деградации

прочностных свойств материала.

Эволюционные уравнения для введенных переменных получаются на основе

известного термодинамического неравенства

тс др -др

и имеют вид

» * I А

(1)

(2)

где /,,/2 - положительные кинетические коэффициенты.

Полная система уравнений состоит из уравнений движения, эволюционных уравнений для 6, р, двух уравнений закона Гука (для шаровой и девиаторной компонент тензора напряжений) и кинематического соотношения для полной деформации. Данные соотношения использовались для моделирования кинетики поврежденности при формировании очага землетрясения.

В разделе 2.4 основное внимание уделяется исследованию автомодельных решений кинетического уравнения для введенного параметра поврежденности в окрестности точки бифуркации 5=5С в случае квазихрупкого разрушения. В окрестности критической точки стс(рс) эволюция параметра поврежденности описывается нелинейным параболическим уравнением, для которого существуют три типа автомодельных решений - режимов с обострением (НБ-, Б- и ЬБ-режим)3. Особенностью данных решений является

3 Режимы с обострением. Эволюция идеи: Законы коэволюции сложных структур. М.: Наука. 1998. 255 с.

формирование пространственно-временных структур качественно нового типа, характеризующихся взрывообразным ростом поврежденное™ на широком спектре пространственных масштабов.

Для определения возможных сценариев эволюции одиночной локализованной дефектной структуры (в случае квазихрупкого материала) при произвольном равновесном положении проведен качественный анализ эволюционного уравнения для параметра поврежденности с учетом конкретного вида аппроксимации неравновесной свободной энергии

Э/ ЭД дх) 'Эр к> ЭР _ 152.3810(7 Г,„„„ 1.238П .....

^ = 0.0457 - " + р 5.8528 - -11.8924 р2 +16.7908р3

Эр ¿V о )

-15.0209р4 +8.6888р5 -3.2777р6 +0.7996р7 -0.1215р8

+0.001р9-0.0003р10,

где а - напряжение, действующее на рассматриваемую область, К - коэффициент нелокальности, Г - кинетический коэффициент (в дальнейшем, не нарушая общности,

примем Г = 1).

Следуя подходу Еленина Г.Г., Плохотникова К.Э.4, предположим, что решение уравнения (3) представимо в виде

рМ=*?(')/(£). (4)

где 3(1) описывает эволюцию амплитуды структуры с течением времени, /г(г) описывает эволюцию координаты полуширины с течением времени, /(£) - пространственная форма структуры (рис. 2).

Записывая усредненные по области соотношения с учетом представления решения (4), приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнения для и Л(г)

\ё=ШХ<т,АА)

где Д и В - интегральные коэффициенты, зависящие от формы структуры.

Для полученной системы уравнений (5) найдены точки равновесия в зависимости от величины приложенного напряжения, определены их типы, характерные фазовые портреты и зависимости амплитуды и координаты полуширины одиночной симметричной локализованной структуры от величины приложенного напряжения (рис. 3). Проведенный качественный анализ выявил наличие траекторий, соответствующих траекториям ЬБ-

Еленин Г.Г., Плохотников К.Э. Об одном способе качественного исследования одномерного квазилинейного уравнения теплопроводности с нелинейным источником тепла // Препринт ИПМ АН СССР. №91. 1977.

режима в окрестности критической точки. Таким образом, в квазихрупком материале может происходить лавинообразный рост поврежденности, локализующийся в области, уменьшающейся с течением времени.

Развитие дефектной подсистемы при формировании очага макроскопического разрушения в режиме с обострением является качественно новым результатом в физике разрушения, полученном из решения статистической задачи о поведении ансамбля взаимодействующих микросдвигов.

Теоретический результат о связи обостряющихся локализованных структур в ансамблях дефектов с локализацией разрушения впервые был установлен в работах О.Б.Наймарка5 диссипативная дефектная и в дальнейшем обсуждался в работах различных

Рис. 3. Зависимость равновесной амплитуды структуры от приложенного напряжения (а), кривая соответствия амплитуды координате полуширины с указанием типа точек равновесия (б) (■ - неустойчивый узел, ▲ - неустойчивое седло)

Третья глава диссертации посвящена экспериментальному исследованию масштабно-инвариантных закономерностей при деформировании и разрушении соляных пород (сильвинита, карналлита) Верхнекамского калийного месторождения.

В параграфе 3.2 приведены основные механические свойства рассматриваемых соляных пород, их строение, обсуждаются характерные механизмы разрушения. Раздел 3.3 посвящен условиям проведения экспериментов и основным экспериментальным результатам.

Экспериментальное исследование включало эксперименты по квазистатическому сжатию, деформации в условии ползучести и деформации релаксации сильвинита и карналлита. Для регистрации импульсов акустической эмиссии (АЭ) использовались датчики двух частотных диапазонов: 100-400 кГц (НЧ) и 350-2000 кГц (ВЧ). Анализ волновых форм регистрируемых импульсов АЭ выявил необходимость учета временных особенностей источников АЭ и введения параметра магнитуды акустического события как

5 Беляев О.Б., Наймарк О.Б. Локализованные обостряющиеся структуры в процессах разрушения твердых тел при интенсивных воздействиях // ДАН СССР.-1990.-№2.-С.312.

J(t) = Ршх

Ртах

Рис. 2. Локализованная

где Л1шх - максимальная амплитуда регистрируемого импульса, л - количество пересечений порога в рамках одиночного импульса АЭ, й - длительность импульса АЭ, (Г) - средний период пересечения порога. При этом на модельном примере была доказана

независимость магнитуды от порога регистрации. Для амплитуды импульса АЭ и введенной магнитуды было показано выполнение закона Гутенберга-Рихтера для обоих видов пород и различных условий нагружения (рис.4).

В предположении, что энергия одиночного импульса АЭ пропорциональная упругой энергии, выделившейся при разгрузке шаровой области радиуса Л, оценивались характерные размеры дефектов, образующихся при деформировании. Для полученных характерных размеров дефектов показано выполнение закона Гутенберга-Рихтера вне зависимости от условий нагружения.

Рис. 4. Кумулятивное распределение амплитуд (а), магнитуд (б) АЭ при сжатии карналлита, превышающих заданную (в - НЧ диапазон, ▲ - ВЧ диапазон)

Для экспериментов по деформированию в условиях ползучести и релаксации показано выполнение закона Омори для скорости поступления импульсов в НЧ и ВЧ диапазонах.

Для исследования влияния на показатель закона Гутенберга-Рихтера скорости нагружения и «масштабного» фактора была проведена серия экспериментов на квазистатическое сжатие пестрого сильвинита при различных скоростях (от 0.008 мм/мин до 8 м/мин) и различных размеров образцов (от 0.01 м до 0.35 м).

Показано, что при уменьшении скорости деформирования показатель степени в законе Гутенберга-Рихтера для амплитуд сигналов АЭ уменьшается, тогда как показатель степени для магнитуд увеличивается (рис. 5).

Данный характер зависимостей связан с тем, что при малой скорости деформирования

процесс накопления повреждений охватывает большой диапазон как временных, так и

пространственных масштабов, что выражается в появлении импульсов АЭ с широким

спектром энергий. В магнитуде, помимо амплитуды сигнала АЭ, учитываются его

временные особенности. Поэтому при увеличении скорости деформации процесс

накопления повреждений и разрушения реализуется на носителях с меньшими

характерными временами эволюции, что отражается в уменьшении наклона кумулятивного распределения магнитуд сигналов АЭ.

Ige Ige

Рис. 5. Зависимости показателя степени закона Гутенберга-Рихтера от скорости деформирования для НЧ диапазона (а - для амплитуд АЭ, б - для магнитуд АЭ)

Установлено, что зависимость показателя степени закона Гутенберга-Рихтера для амплитуд и магнитуд АЭ от характерного размера образца имеет более сложный вид, что связывается с влиянием зернистости (а точнее, отношения характерного размера зерна к размеру образца).

Четвертая глава посвящена численному моделированию стадии неустойчивого развития несплошностей при подготовке землетрясения на основе полученных определяющих соотношений квазихрупкого материала с дефектами и автомодельных свойствах кинетического уравнения для ансамбля дефектов сдвигового типа. При этом предполагается, что появлению одиночного землетрясения соответствует момент обострения локализованной дефектной структуры.

Для исследования масштабно-инвариантных закономерностей развития диссипативных структур обострения в разделах 4.2 и 4.3 формулируется краевая задача для одномерной области с некоторым начальным распределением плотности дефектов в окрестности критической точки. Для отдельной диссипативной структуры вводятся ее основные характеристики: амплитуда, размер и магнитуда. В качестве статистических распределений начального профиля поврежденности рассматриваются: равномерное, нормальное, логнормальное, экспоненциальное распределения и распределение Вейбулла. Для численного решения краевой задачи используется явная условно устойчивая двухслойная схема второго порядка аппроксимации по х и первого порядка по t на неравномерной сетке по времени. Условие устойчивости при этом имеет вид:

г 1

h2 2maхк(р)' (7)

Остановка численного решения краевой задачи, в процессе которого образуются локализованные структуры обострения, осуществляется при размере шага по времени меньшем, чем 10"12. Момент остановки появившейся на рассматриваемой области структуры с максимальной амплитудой принимается за время обострения tf.

В результате численных расчетов показано, что закон Гутенберга-Рихтера для амплитуд, размеров и магнитуд диссипативных структур выполняется только в случае экспоненциального, логнормального распределения и распределения Вейбулла (рис.6) начального профиля поврежденности.

Астр Мстр

Рис. 6. Кумулятивное распределение амплитуд (а) и магнитуд (б) диссипативных структур для распределения Вейбулла начального профиля поврежденности (■ - при 0.5/^ ▲ - при ^)

Для исследованных трех типов статистических распределений начального профиля поврежденности показано выполнение закона Омори (рис. 7). Для построения временных последовательностей афтершоков (повторных сейсмических толчков меньшей интенсивности по сравнению с главным сейсмическим ударом (майншоком)) разработана численно-аналитическая схема на основе численно полученных распределений диссипативных структур. Согласно разработанной схеме, афтершоком считается любая одиночная диссипативная структура за исключением структуры обострения с максимальной амплитудой и минимальным временем обострения, которая принимается за майншок.

Л »• 2

* *, (а)

Г» " •, \

? \ з' \ V V, '•, \

время, / время, 1

Рис. 7. Временная последовательность афтершоков (а) и соответствующий ей закон Омори (б) Раздел 4.4 посвящен численному моделированию кинетики единичного очага землетрясения и механизмам взаимодействия очагов землетрясений. В подразделе 4.4.1 представлена задача инициирования одиночной локализованной дефектной структуры обострения возмущением поля напряжения. Рассматривается всесторонне сжатый представительный объем квазихрупкой породы, находящийся в условиях сдвига в некотором выделенном направлении. Система безразмерных уравнений, описывающая напряженно-деформированное состояние квазихрупкой области, учитывающая кинетику структурно-скейлинговых переходов в ансамбле сдвигов, имеет вид:

' т/Г' г/' с/ t* h per Fm' ®

d2l_d2L d2p

эr2 a<f эг-2'

Эр

=0,

i=0.i=1

P\r=o = Po{i)' (9)

др_гд2Р г^ у. vi

Tz~r<W 'W ZL=o-2o.

=£ynP+P = const, 4-1 = So. С = ¿0 (£)• Здесь Л - размер рассматриваемой области, С, = Л/5/р - сдвиговая скорость упругой волны, G - модуль сдвига, р - плотность материала, а и £ - размерное и безразмерное напряжение, /иг- размерное и безразмерное время, F и Ч* - размерная и безразмерная свободная энергия. Параметр Z~(pCt/Fm) характеризует относительную упругую податливость среды, обусловленную дефектами. Безразмерные параметры Г , Гс определяют соответственно релаксационные свойства материала, обусловленные неравновесными структурными переходами с характерными временами тр и эффектами нелокальности (тс - аналог диффузионных времен).

В качестве начальных равновесных условий задавались распределение параметра поврежденности в виде распределения Гаусса, однородное поле напряжений, соответствующее распределению поврежденности, распределение параметра структурного скейлинга и однородная полная деформация. На одной из границ задавалось возмущение поля напряжения в виде импульса параболической формы.

Определение параметров краевой задачи (9) основано на минимизации невязки экспериментальных и численных данных для одноосного нагружения при постоянной скорости деформирования. Критерий оптимизации выбран в виде

•^(А) = Х(<т'(,/)-<т(,/'А)) —»min, где а - экспериментальные значения напряжений,

о - теоретические значения напряжений, i. - различные моменты времени, Д -параметры модели, которые в задаче оптимизации являются параметрами оптимизации, J - критерий оптимизации. Указанная постановка задачи оптимизации является некорректной, поэтому был выбран метод решения, который основан на методе поиска. Алгоритм оптимизации тестировался для большого ряда начальных приближений, чтобы исключить локальные экстремумы.

Оценка характерных времен и параметров материала проводилась на основе экспериментов на одноосное нагружение образцов доломита (абсолютно хрупкой породы) на установке Гопкинсона-Кольского. Значения кинетических коэффициентов и параметров

принимались равными: Гр = 2.8-10 4, 7^=0.01375, С, = 1827м/с, р = 3000кг/м3, Е = 18.039 ГПа, С=3.013ГПа, х = 1. = 10.02 ГПа, Л = 20 10"3м.

Численно исследовалось инициирование режимов с обострением одиночной локализованной дефектной структуры возмущением поля напряжения. На рисунке 8 представлены эволюция поврежденности и напряжения на рассматриваемой пространственной области. Возмущение поля напряжения «выводит» локализованную дефектную структуру из положения равновесия, после чего начинается процесс обострения с резким увеличением поврежденности. Особенностью исследуемой системы уравнений смешанного типа является наличие «медленных волн»6. Из рисунка 86 видно, что возмущение напряжения распространяется по области с квазиакустической скоростью и уменьшающейся амплитудой.

Рис. 8. Эволюция поврежденности р(¿¡,т) (а) и напряжения г) (б)

Скорость ее зависит как от среднего уровня поврежденности, так и от среднего уровня напряжения в рассматриваемой области, и определяется эффективным модулем среды

_J_ 2р ~ G+ X '

(Ю)

Современные полевые и лабораторные наблюдения подтверждают существование «медленных движений», скорость которых на порядки отличается от скорости звука7.

Особенностью обострения одиночной дефектной структуры является уменьшение напряжения в занимаемой ею области (рис. 8), что согласуется с наблюдениями, когда появление землетрясения или макроразрыва приводит к резкой релаксации напряжения в локальной области.

Численные расчеты показали, что возмущение поля напряжения небольшой амплитуды может инициировать обострение одиночной локализованной дефектной

Нелинейная механика геоматериалов и геосред / Отв. Ред. J1.B. Зуев; РАН, Сиб. Отделение, Ин-т физики

прочности и материаловедения; ООО «Горный-ЦОТ».- Новосибирск: Акад. изд-во «Гео». 2007. 235 с.

7 Гольдин C.B., Юшин В.И., Ружич В.В., Смекалкин О.П. Медленные движения - миф или реальность // Физические основы прогнозирования разрушения горных пород: материалы 9-й междунар. школы-семинара. Красноярск. 2002. С.213-220.

структуры, находящейся в равновесии. Однако открытым остается вопрос о природе этого возмущения. Полевые наблюдения показывают, что последовательность афтершоков после сильного землетрясения наблюдается как в большом временном интервале (от суток до нескольких десятков лет), так и на большом пространственном масштабе (от километров до сотен километров). В настоящее время инициирование афтершоков на достаточно большом расстоянии от эпицентра землетрясения связывается с обширной сетью разломов, которые последовательно инициируются возмущениями поля напряжения. Поэтому было высказано предположение о том, что обострение одиночной диссипативной дефектной структуры должно генерировать возмущение поля напряжения.

Подраздел 4.4.2 посвящен задаче инициирования квазиакустического возмущения обостряющейся локализованной дефектной структурой. Рассматривается пространственная область с однородным распределением поврежденности, напряжения и упругой деформации, на границе которой задается степенной рост поврежденности (обострение). Краевая задача в этом случае имеет вид, аналогичный (9). При этом рост поврежденности ограничивается условием неотрицательности упругой деформации, связанным с постоянством полной деформации рассматриваемой области. Это условие соответствует предельному случаю, когда запасенная упругая энергия системы полностью идет на развитие поврежденности.

При численной реализации данной задачи получено, что остановка обострения на границе порождает квази-акустическую волну возмущения напряжения, распространяющуюся со скоростью, меньшей скорости звука и меняющимися амплитудой и размером (рис. 9). Показано, что момент появления квазиакустической волны возмущения напряжения совпадает с моментом остановки обострения, что подтверждает высказанное предположение.

Рис. 9. Эволюция напряжения при

обострении на границе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ

1. На основе анализа экспериментальных данных о многомасштабной эволюции дефектов в процессе разрушения, результатов статистико-термодинамического и кинетического описания поведения ансамблей дефектов предложены определяющие уравнения квазихрупкого поведения и разрушения материалов.

2. Показано, что завершающая стадия разрушения обнаруживает черты, характерные для поведения нелинейных систем в окрестности критических точек. Установлено, что для

квазихрупкого материала в окрестности критического значения параметра структурного скейлинга кинетика поврежденности описывается автомодельным решением эволюционного уравнения и сопровождается формированием диссипативных структур обострения.

3. Проведенный качественный анализ кинетического уравнения для параметра поврежденности позволил установить типы точек равновесия, характерные фазовые портреты и зависимости амплитуды и координаты полуширины одиночной симметричной локализованной структуры от величины приложенного напряжения.

4. На основе проведенных экспериментов по деформированию соляных пород Верхнекамского калийного месторождения показано, что условия нагружения и размеры образцов отражаются на величине показателя степени закона Гутенберга-Рихтера, но не влияют на характер масштабно-инвариантных закономерностей.

5. Анализ волновых форм регистрируемых в экспериментах импульсов акустической эмиссии позволил обосновать введение параметра магнитуды акустического события как логарифма отношения максимальной амплитуды импульса к среднему периоду пересечения порога регистрации. Введенная таким образом магнитуда является чувствительной как к длительности импульса АЭ, так и к количеству пересечений порога регистрации; при этом показано, что для нее выполняется закон Гутенберга-Рихтера при произвольных условиях нагружения и для различных размеров образцов.

6. Показана связь формирования очага землетрясения, масштабно-инвариантных закономерностей развития сейсмических событий с инициированием диссипативных структур обострения в ансамбле дефектов.

7. Разработан численно-аналитический метод построения временной последовательности афтершоков на основе численного моделирования кинетики диссипативных структур обострения в ансамбле дефектов. Показано выполнение обобщенного закона Омори для исследованных типов статистических распределений начальной плотности дефектов.

8. Установлено, что волна возмущения поля напряжения может инициировать обострение одиночной локализованной дефектной структуры, находящейся в предкритическом состоянии. Волна возмущения является квазиакустической, что отражает особенность решения системы дифференциальных уравнений в частных производных смешанного типа.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Плехов O.A., Пантелеев И.А. Оптимизация предсказания времени разрушения твёрдых тел на основе представления об иерархической природе деформации и анализа истории нагружения // Физическая мезомеханика. 2008. Т. 11. №6. С. 53-59.

2. Плехов О.А., Пантелеев И.А., Наймарк О.Б. Накопление h диссипация энергии в металлах как результат структурно-скейлинговых переходов в ансамблях дефектов // Физическая мезомеханика. 2007. Т.10. № 4. С. 5-13.

3. Плехов О.А., Пантелеев И.А., Леонтьев В.А. Особенности выделения тепла и генерации сигналов акустической эмиссии при циклическом деформировании армко-железа // Физическая мезомеханика. 2009. Т. 12. № 5. С. 37-43.

4. Наймарк О.Б., Баяндин Ю.В., Леонтьев В.А., Пантелеев И.А., Плехов О.А. Структурно-скейлинговые переходы и некоторые термодинамические и кинетические эффекты в материалах в объемном субмикро- (нано-) кристаллическом состоянии // Физическая мезомеханика. 2009. Т. 12. № 4. С. 47-59.

5. Plekhov О.А., Panteleev I.A. Optimization of fracture time prediction for solids using the concept of deformation hierarchy and loading history analysis // Physical Mesomechanics. 2009. V. 12. Issue 1-2. PP. 60-65

6. Naimark O.B., Bayandin Yu.V., Leontiev V.A., Panteleev I.A., Plekhov O.A. Structural-scaling transitions and thermodynamic and kinetic effects in submicro-(nano-) crystalline bulk materials // Physical Mesomechanics. 2009. V.12. Issue 5-6. PP. 239-248

7. Plekhov O.A., Panteleev I.A., Naimark O.B. Energy accumulation and dissipation // Physical Mesomechanics. 2007. V.10. Issue 5-6. PP. 294-301.

8. Panteleev I., Plekhov O., Pankov I., Evseev A., Naimark O., Asanov V. Scaling laws of damage-failure transition in rocks: from laboratory tests to earthquakes // Proceeding of 36-th Solid mechanics conference, Gdansk. Poland. 2008. 202-203 p.

9. Пантелеев И.А., Плехов O.A., Наймарк О.Б, Паньков И.Л., Евсеев А.В., Асанов В.А., Барях А.А. Исследование методом акустической эмиссии автомодельных закономерностей разрушения соляных пород // Тезисы докладов Международной школы-семинара «Многоуровневые подходы в физической мезомеханике. Фундаментальные основы и инженерные приложения». Томск. 2008. С. 181.

Ю.Пантелеев И, Плехов О., Евсеев А., Паньков И., Наймарк О., Sherbakov R. Теоретическое и экспериментальное исследование масштабно-инвариантных закономерностей при деформировании горных пород // Тезисы Четвёртого международного симпозиума Геодинамика внутриконтинентальных орогенов и геоэкологические проблемы. Бишкек, Киргизия. 2008. С. 446.

П.Пантелеев И.А., Плехов О.А., Наймарк О.Б. Исследование масштабно-инвариантных закономерностей разрушения горных пород методом АЭ // Тезисы V Всероссийской конференции Механика микронеоднородных материалов и разрушение. Екатеринбург. 2008. С. 141.

Подписано в печать 30.04.2010. Тираж 100 экз. Усл. печ. л. 1. Формат 60x90/16. Набор компьютерный. Заказ № 529/2010.

Отпечатано в типографии ИД "Пресстайм" Адрес: 614025, г. Пермь, ул. Героев Хасана, 105

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Пантелеев, Иван Алексеевич

Введение.

Глава 1. Масштабно-инвариантные закономерности разрушения горных пород. Статистические модели развития сейсмических событий

1.1. Введение.

1.2. Масштабно-инвариантные закономерности деформирования и разрушения горных пород.

1.3. Статистические модели развития землетрясений.

1.3.1. Модели эволюции локализованных сдвигов по нарушениям в земной коре с учетом фрикционных эффектов.

1.3.2. Модели эволюции несплошностей при подготовке землетрясений.

Введение диссертация по механике, на тему "Масштабно-инвариантные закономерности разрушения горных пород и развитие сейсмических событий"

2.2. Иерархия развития поврежденности в горных породах и развитие сейсмичности.44

2.3. Статистическая модель среды с дефектами: неравновесная свободная энергия, определяющие соотношения.46

2.4. Автомодельные решения и качественный анализ эволюционного уравнения для плотности дефектов.65

2.5. Заключение.79

Глава 3. Экспериментальное исследование масштабно-инвариантных закономерностей деформирования и разрушения соляных пород

3.1. Введение.80

3.2. Механические свойства и механизмы разрушения соляных пород.81

3.3. Экспериментальное исследование масштабно-инвариантных закономерностей при деформировании и разрушении соляных пород.87

3.3.1. Масштабно-инвариантные закономерности развития поврежденности при различных условиях нагружения.87

3.3.2. Влияние скорости нагружения и масштабного фактора на показатель степени закона Гутенберга-Рихтера.106

3.4. Заключение.112

Глава 4. Численное моделирование кинетики поврежденности в режиме с обострением при подготовке землетрясения

4.1. Введение.113

4.2. Масштабно-инвариантные закономерности развития поврежденности как диссипативных структур обострения.114

4.3. Статистика локализованных структур обострения. Интерпретация законов Гутенберга-Рихтера, Омори.119

4.4. Кинетика очага землетрясения, механизм взаимодействия очагов землетрясений.129

4.4.1. Кинетика инициирования очага землетрясения как локализованной дефектной структуры обострения.129

4.4.2. Генерация «медленных» волн возмущения как механизм взаимодействия очагов землетрясения.142

4.5. Заключение.146

Заключение.147

Список цитируемой литературы.149

Введение

Современные исследования указывают, что землетрясения обнаруживают признаки динамических сложных многоуровневых систем, включая пространственно-временную локализацию событий, автомодельность, пространственно-временную миграцию активности по системам нарушений земной коры [16,70,72,118,119].

Диссертационная работа посвящена решению актуальной и сложной научной проблемы моделирования подготовки землетрясения с учетом коллективных эффектов развития несплошностей, определяющих нелинейный (лавинообразный) характер развития критических сейсмических событий.

Основные результаты были получены в рамках исследований, проводимых с участием автора по программе Президиума РАН №

09-П-1-1010 «Фундаментальные проблемы механики взаимодействий в технических и природных системах», раздел «Стадийность процесса разрушения природных материалов и механизмы критичности сейсмических и техногенных явлений», по проектам РФФИ №07-01-91100-АФГИРа, №

10-05-96065-рурала, № 07-01-96004-рурала.

Часть результатов получена при выполнении международного проекта Американского фонда гражданских исследований CRDF RUG1-2866-PE-07 «Structural-scaling transitions, long-term dynamic clustering of fracture and temporal occurrence of technogenic and natural seismic events».

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка математической модели процессов разрушения твердых тел на различных пространственных масштабах с учетом роли коллективных эффектов в ансамблях дефектов при формировании очагов разрушения; объяснение масштабно-инвариантных закономерностей развития сейсмических событий на основе полученных автомодельных решений для параметра поврежденности, с которыми связываются механизмы неустойчивого лавинообразного развития сдвиговых дефектов при подготовке землетрясений; исследование масштабно-инвариантных закономерностей накопления поврежденности при деформировании соляных пород (карналлита, сильвинита) на лабораторном масштабе.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. построение модели деформирования квазихрупких материалов, учитывающей влияние ансамблей типичных мезоскопических дефектов (микросдвигов) на процессы разрушения, с использованием термодинамического потенциала, учитывающего взаимодействие дефектов;

По результатам исследований установлено:

- выполнение масштабно-инвариантных закономерностей развития сейсмических событий является следствием автомодельного характера развития поврежденности на завершающей стадии разрушения;

Положения, выносимые на защиту:

2. качественный анализ эволюционного уравнения для параметра поврежденности, полученного из решения статистической задачи и термодинамического описания деформирования материала с дефектами, установивший наличие автомодельного решения, аналогичного LS-режиму (диссипативные структуры обострения);

4. связь - структурно-скейлинговых переходов в ансамблях мезодефектов с механизмами инициирования «медленных» движений в земной коре, формированием очага землетрясения и основными наблюдаемыми масштабно-инвариантными закономерностями развития сейсмических событий.

Обоснованность и достоверность результатов расчетов и теоретических выводов, сформулированных в диссертационной работе, обеспечивается обоснованностью физических представлений, корректностью математических постановок задач, проведением тестовых расчетов, сопоставлением с результатами других авторов, с оригинальными и опубликованными ранее экспериментальными данными. Достоверность экспериментальных данных^ обеспечивается соблюдением методологии проведения эксперимента, использованием поверенного метрологического оборудования, устойчивой воспроизводимостью результатов и согласием установленных закономерностей с результатами других авторов.

Личный вклад автора. Автором получены основные результаты, представленные в диссертации. На основе развитых определяющих соотношений разработана математическая модель развития поврежденности в области с потенциальным источником землетрясения; проведено моделирование стадии лавинообразного развития поврежденности при формировании очага землетрясения; разработан подход к описанию масштабно-инвариантных закономерностей в терминах амплитуд, магнитуд и размеров диссипативных структур обострения. Автор непосредственно участвовал в проведении экспериментов по нагружению соляных образцов Верхнекамского калийного месторождения и проводил обработку экспериментальных данных, представленных в работе.

Апробация работы:

Основные результаты работы опубликованы в 26 научных публикациях, в том числе в 4 статьях российских журналов из перечня ВАК, в 3 статьях в рецензируемых зарубежных журналах ив 19 статьях в периодических сборниках, трудах международных и российских конференций.

Основные положения и результаты работы докладывались на 9 российских и 4 международных конференциях в том числе: Зимние школы по механике сплошных сред (2007, 2009, Пермь), серия конференций «Петербургские чтения по проблемам прочности» (2007, 2008, Санкт-Петербург), III Российская научно-техническая конференция «Разрушения, контроль и диагностика материалов и конструкций» (2007, Екатеринбург), серия Всероссийских конференций молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках» (2007, 2008, 2009, Пермь), Всероссийская конференция «Механика микронеоднородных материалов и разрушение» (2008, Екатеринбург), Международная школа-семинар «Многоуровневые подходы в физической мезомеханике. Фундаментальные основы и инженерные приложения» (2008, Томск), Четвертый международный симпозиум «Геодинамика внутриконтинентальных орогенов и геоэкологические проблемы» (2008, Бишкек, Киргизия), 17th European Conference on Fracture (2008, Brno, Czech Republic), 36th Solid mechanics conference (2008, Gdansk, Poland).

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

Заключение

К основным результатам работы можно отнести следующие:

1. На основе анализа экспериментальных данных о многомасштабной эволюции дефектов в процессе разрушения, результатов статистико-термодинамического и кинетического описания поведения ансамблей дефектов, предложены определяющие уравнения квазихрупкого поведения и разрушения материалов.

2. Показано, что завершающая стадия разрушения обнаруживает черты, характерные для поведения нелинейных систем в окрестности критических точек. Установлено, что для квазихрупкого материала в окрестности критического значения параметра структурного скейлинга кинетика поврежденности описывается автомодельным решением эволюционного уравнения и сопровождается формированием диссипативных структур обострения.

3. Проведенный качественный анализ кинетического уравнения для параметра поврежденности позволил установить типы точек равновесия, характерные фазовые портреты в их окрестности и зависимости амплитуды и координаты полуширины одиночной симметричной локализованной структуры от величины приложенного напряжения.

5. Анализ волновых форм регистрируемых в экспериментах импульсов акустической эмиссии позволил обосновать введение параметра магнитуды акустического события как логарифма отношения максимальной амплитуды импульса к среднему периоду пересечения порога регистрации. Введенная таким образом магнитуда является чувствительной как к длительности импульса АЭ, так и к количеству пересечений порога регистрации, при этом показано, что для нее выполняется закон Гутенберга-Рихтера при произвольных условиях нагружения и для различных размеров образцов.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Пантелеев, Иван Алексеевич, Пермь

1. Адушкин В.В., Кочарян Г.Г., Павлов Д.В., Виноградов Е.А., Гончаров А.И., Куликов В.И., Кулюкин А.А. О влиянии сейсмических колебаний на развитие тектонических деформаций // ДАН. 2009. Том 426. №1. С. 98-100.

2. Анцыферов М.С., Анцыферова Н.Г., Каган Я.Я. Сейсмоакустические исследования и проблема прогноза динамических явлений. М.: Наука. 1971. 136 с.

3. Анцыферов М.С., Константинова А.Г., Переверзев Л.Б. Сейсмоакустические исследования в угольных шахтах. М.: Изд-во АН СССР. 1960. 104 с.

4. Барях А.А. Физико-механические свойства соляных пород Верхнекамского калийного месторождения: учеб. пособие / А.А. Барях,

5. B.А. Асанов, И.Л. Паньков. Пермь: Изд-во Перс. гос. техн. ун-та. 2008. 199 с.

6. Белавин В. А., Курдюмов С.П. Режимы с обострением в демографической системе. Сценарий усиления нелинейности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.2000. Том. 40. №2. С. 238-251.

7. Беляев В.В., Наймарк О.Б. Кинетика многоочагового разрушения при ударно-волновом разрушении // Докл. АН СССР. 1990. Т.312. № 2.1. C.289-293.

8. Борняков С.А., Шерман С.И. Многоуровневая самоорганизация деструктивного процесса в сдвиговой зоне (по результатам физического моделирования) // Физ. мезомех. 2000. Том 3. №4. С. 107115.

9. Ботвина JI.P. Кинетика разрушения конструкционных материалов. М.: Наука, 1989. 230 с.

10. Ботвина Jl.Р. Разрушение. Кинетика, механизмы, общие закономерности. М.: Наука. 2008. 334 с.

11. Ботвина J1.P., Баренблатт Г.И. Автомодельность накопления повреждаемости//Пробл. Прочности. 1985. №12. С. 17-24.

12. Ботвина J1.P., Опарина И.Б. Закономерности процесса повреждаемости при различных условиях нагружения // ФХММ. 1993. №4. С. 13-23

13. Ботвина JI.P., Петерсен Т.Б., Жаркова Н.А. и др. Акустические свойства малоуглеродистой стали на различных стадиях разрушения // Деформация и разрушение материалов. 2005. №4. С. 35-41.

14. Веттегрень В.И., Куксенко B.C., Крючков М.А. Динамика и иерархия землетрясений // Физика земли. 2006. №9. С. 40-45.

15. Виноградов С.Д. Акустические наблюдения процессов разрушения горных пород. М.: Наука. 1964. 84 с.

16. Виноградов С.Д. Акустический метод в исследованиях по физике землетрясений. М.: Наука. 1989. 177 с.

17. Гейликман М.Б., Писаренко В.Ф. О самоподобии в геофизических явлениях. Дискретные свойства геофизической среды // Под ред. Садовского М.А. М.: Наука. 1989. С. 109-131.

18. Гзовский М.В. Основы тектонофизики. М.: Наука, 1975. 536 с.

19. Гольдин С.В. Деструкция литосферы и физическая мезомеханика // Физ. мезомех. 2002. Т.5. С.5-22.

20. Гольдин С.В., Юшин В.И., Ружич В.В., Смекалкин О.П. Медленные движения миф или реальность // Физические основы прогнозирования разрушения горных пород: материалы 9-й междунар. школы-семинара. Красноярск. 2002. С.213-220.

21. Горяинов П.М., Иванюк Г.Ю. Самоорганизация минеральных систем. Синергетические принципы геологических исследований. М.: ГЕОС. 2001. 312 с.

22. ГОСТ 21153.2-84. Породы горные. Методы определения предела прочности при одноосном сжатии. -М.: Изд-во стандартов, 1985. 10 с.

23. ГОСТ 21153.3-85. Породы горные. Методы определения предела прочности при одноосном растяжении. М.: Изд-во стандартов, 1985. 14 с.

24. ГОСТ 28985-91. Породы горные. Методы определения деформационных характеристик при одноосном сжатии. М.: Изд-во стандартов, 1991. 19 с.

25. Демьянович В.М., Ключевский А.В., Черных Е.Н. Напряженно-деформированное состояние литосферы и сейсмичность в зоне Белино-Бусийнгольского разлома (Южное Прибайкалье) // Вулканалогия и сейсмология. 2008. №1. С. 46-61.

26. Еленин Г.Г., Плохотников К.Э. Об одном способе качественного исследования одномерного квазилинейного уравнения теплопроводности с нелинейным источником тепла // Препринт ИПМ АН СССР. №91. 1977.

27. Еманов А.Ф., Еманов А.А., Филина А.Г. и др. Общее и индивидуальное в развитии афтершоковых процессов крупнейших землетрясений Алтае-Саянской области // Физ. мезомех. 2006. Том 9. №1. С. 33-44.

28. Журков С.Н. Кинетическая концепция прочности твердых тел // Вестн. АН. СССР. 1968. Вып. 3. С. 46-52.

29. Журков С.Н., Куксенко B.C., Петров В.А., Савельев В.Н., Султанов У.С. Концентрационный критерий объемного разрушения твердых тел. Физические процессы в очагах землетрясений. М.: Наука. 1980. С. 7886.

30. Завьялов А.Д., Орлов B.C. Карта ожидаемых землетрясений Туркмении и сопредельных территорий // Изв. АН Туркмен. Сер. Физ.-матем. техн. хим. и геол. наук. 1993. №1. С. 56-61.

31. Завьялов А.Д., Смирнов В.Б. Учет фрактальности в расчетах концентрационного критерия разрушения // Геофиз. и. матем. Материалы II Всерос. Конф. Пермь. 10-14 декабря 2001 г. / Под ред. Акад. В.Н. Страхова. Пермь: ГИ УрО РАН. 2001. С 103-110.

32. Зильбершмидт В.Г. Каталог физико-механических свойств пород Верхнекамского калийного месторождения / В.Г. Зильбершмидт, О.А. Тимантеев, А.П. Митус; Перм. Политех, ин-т. Пермь. 1978. 73 с.

33. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды, М.: Изд-во МГУ. 1990. 310 с.

34. Карпинтери А., Лачидонья Дж., Пуцци С. Прогноз развития трещин в полномасштабных конструкциях на основе анализа показателя b и статистики Юла // Физ. мезомех. 2008. Том 11. Выпуск 3. С. 75-87.

35. КасахараК. Механика землетрясений. М.: Мир. 1985. 264 с.

36. Кольский Г. Исследование механических свойств материалов при больших скоростях нагружения // Механика. 1950. №4. С. 108-119.

37. Кочарян Г.Г., Костюченко В.Н., Павлов Д.В. Инициирование деформационных процессов в земной коре слабыми возмущениями // Физ. мезомех. 2004. Том 7. №1. С. 5-22.

38. Кочарян Г.Г., Кулюкин А.А., Марков В.К., Марков Д.В., Павлов Д.В. Малые возмущения и напряженно-деформированное состояние земной коры // Физ. мезомех. 2005. Том 8. №1. С. 23-36.

39. Куксенко B.C. Модель перехода от микро- к макроразрушению твердых тел // Сб. докл. I Всесоюз. Шк.-семинара «Физика прочности и пластичности». Л.: Наукаю 1986. С. 36-41.

40. Куксенко B.C., Пикулин В.А., Негматулаев С.Х., Мирзоев К.М. Долгосрочный прогноз землетрясений по кинетике накопления разрывов (район Нурекского водохранилища) // Прогноз землетрясений. 1984. №5. Душанбе: Дониш. С. 139-148.

41. Курдюмов С.П. // Препринт ИПМ АН СССР. 1975. №18.

42. Курдюмов С.П. Собственные функции горения нелинейной среды и конструктивные законы построения ее организации. Препр. №29. Институт Прикл. Матем. им. Келдыша. М. 1979. 30 с.

43. Лавров А.В., Шкуратник В.Л., Филимонов Ю.Л. Акустоэмиссионный эффект памяти в горных породах. М.: Изд. МГГУ. 2004. 456 с.

44. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. М.: Наукаю 1978. 556 с.

45. Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика. М.: Наука. 1983.416 с.

46. Лодус Е.В. Структурно-механические исследования соляных пород / Е.В. Лодус. М.: ЦНИЭИуголь. 1978. 37 с.

47. Лукк А.А., Дещеревский А.В., Сидорин А.Я., Сидорин И.А. Вариации геофизических полей как проявление детерминированного хаоса во фрактальной среде. М.: ОИФЗ РАН. 1996. 210 с.

48. М.В. Гзовский и развитие тектонофизики. Сб. ст. под ред. Ю.Г. Леонова и В.Н. Страхова. М.: Наука. 2000. 350 с.

49. Макаров П.В. Об иерархической природе деформации и разрешения твердых тел и сред // Физ. мезомех. 2004. Т. 7. №4. С. 25-34.

50. Мячкин В.И. Процессы подготовки землетрясения. М.: Наука. 1978. 232 с.

51. Мячкин В.И., Костров Б.В., Шамина О.Г., Соболев Г.А. Основы физики очага и предвестники землетрясений. в кн.: "Физика очага землетрясения". М.: Наука. 1975. с.9-41.

52. Наймарк О.Б. Исследование влияния трещинообразования на деформирование и разрушение твердых тел // Физические основы прочности и пластичности. Горький: ГПИ. 1985. С. 55-60.

53. Наймарк О.Б. Коллективные свойства ансамблей дефектов и некоторые нелинейные проблемы пластичности и разрушения // Физ. мезомех. 2003. Т. 6. С. 45-72.

54. Наймарк О.Б. Нанокристаллическое состояние как топологический переход в ансамбле зернограничных дефектов // ФММ. 1997. Т.84. С.5-21.

55. Наймарк О.Б. О деформационных свойствах и кинетике разрушения твердых тел с микротрещинами // Преп. О термодинамике деформирования и разрушения твердых тел с микротрещинами. Свердловск. 1982. С. 3-34.

56. Наймарк О.Б. О порообразовании, уравнениях состояния и устойчивости сверхпластического деформирования материалов // ЖПМТФ. 1985. №4. С. 144-150.

57. Наймарк О.Б., Беляев В.В. Изучение влияния микротрещин на кинетику поврежденности и структура ударных волн в металлах // Проблемы прочности. 1989. №7. С. 46-53.

58. Наймарк О.Б., Беляев В.В. Кинетика накопления микротрещин и стадийная природа процесса разрушения при ударно-волновом нагружении // Физика горения и взрыва. 1989. Т.25. №4. С. 115-123.

59. Наймарк О.Б., Давыдова М.М. О статистической термодинамике твердых тел с микротрещинами и автомодельности усталостного разрушения//Пробл. прочности. 1986. №1. С. 91-95.

60. Наймарк О.Б., Давыдова М.М., Постных A.M. О деформировании и разрушении гетерогенных материалов с микротрещинами // Механика композит, материалов. 1984. №2. С. 271-278.

61. Наймарк О.Б., Ладыгин О.В. Неравновесные кинетические переходы в твердых телах как механизмы локализации пластической деформации // ЖПМТФ. 1993. №3. С. 57-61.

62. Наука, технология, вычислительный эксперимент. М.: Наука. 1993. 149 с.

63. Нелинейная механика геоматериалов и геосред / Отв. Ред. Л.Б. Зуев; Рос. Акад. Наук, Сиб. Отделение, Ин-т физики прочности иматериаловедения; ООО «Горный-ЦОТ».- Новосибирск: Академическое изд-во «Гео». 2007. 235 с.

64. Никольский И.М. О режимах с обострением в одном нелинейном параболическом уравнении // Вестн. моек, ун-та. сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2007. №4. С. 25-32.

65. Новиков И.И. Дефекты кристаллического строения металлов. М.: Металлургия. 1983.231 с.

66. Проскуряков Н.М. Физико-механические свойства соляных пород / Н.М. Проскуряков, Р.С. Пермяков, А.К. Черников. JL: Недра. 1973. 271 с.

67. Режимы с обострением. Эволюция идеи: Законы коэволюции сложных структур. М.: Наука. 1998. 255 с.

68. Ржевский В.В. Основы физики горных пород / В.В. Ржевский, Г.Я. Новик. М.: Недра. 1978. 390 с.

69. Ризниченко Ю.В. К энергетической трактовке закона повторяемости землетрясений // Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1965. №10. С. 716.

70. Румер Ю.Б., Рыбкин М.Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. Новосибирск: Изд. Новосиб. Ун-та. 2001. 608 с.

71. Садовский М.А. Дискретные свойства геофизической среды. М.: Наука. 1989. 174 с.

72. Садовский М.А. О естественной кусковатости структуры горных пород // Докл. АН СССР. 1979. №247. С. 829-840.

73. Садовский М.А., Болховитинов Л.Г., Писаренко В.Ф. Деформирование геофизической среды и сейсмический процесс. М.: Наука. 1987. 100 с.

74. Садовский М.А., Писаренко В.Ф. Случайность и неустойчивость в геофизических процессах // Известия АН СССР. 1989. Физика Земли. №2. Р.3-12.

75. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука. 1971. 552 с.

76. Смирнов В.Б., Завьялов А.Д. Концентрационный критерий разрушения с учетом фрактального распределения разрывов // Вулканол. и сейсмол. 1996. №4. С. 75-80.

77. Соболев Г.А., Асратян Х.О. Развитие иерархии разрывов при деформировании высокопластичного материала// ДАН СССР. 1990. Т.315. №2. С.345-348.

78. Соболев Г.А., Завьялов А.Д. О концентрационном критерии сейсмогенных разрывов // Докл. АН СССР. 1980. Т. 252. №1. С. 69-71.

79. Соболев Г.А., Пономарев А.В. Физика землетрясений и предвестники. М.: Наука. 2003. 270 с.

80. Соболев Г.А., Семерчан А.А., Салов Б.Г. и др. Предвестники разрушения большого образца горной породы // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1982. №8. С. 29-43.

81. Соболев Г.А., Тюпкин Ю.С. Анализ процесса выделения энергии при формировании магистрального разрыва в лабораторных исследованиях по разрушению горных пород и перед сильными землетрясениями // Физика Земли 2000. № 2. С 44-55.

82. Спунгин В.Г. Иерархия и строение разрывных нарушений гранитоидного массива//Геоэкология. 2001. №6. С. 542-551.

83. Ставрогин А.Н. Пластичность горных пород / А.Н. Ставрогин, А.Г. Протосеня. М. Недра. 1979. 300 с.

84. Стаховский И.Р. Феноменология образования сейсмического макроразрыва // Физика земли. 2008. №7. С. 58-65.

85. Трусов П.В., Келлер И.Э. Теория определяющих соотношений. Курс лекций. 4.2. Общая теория. Пермь: Перм. Гос. Техн. ун-т. 1997. 98 с.

86. Тюпкин Ю.С. Динамика формирования потенциального очага землетрясения // Физика Земли. 2004. № 3. С. 26-33.

87. Тюпкин Ю.С. Потенциальный очаг землетрясения: обобщение на случай теории с пространственными производными. // Физика Земли. 2004. № 10. С. 63-72.

88. Тюпкин Ю.С. Формирование потенциального очага землетрясения: аналогия с фазовым переходом // Вычислительная сейсмология. 2004. №35. С.296-311.

89. Фридель Ж. Дислокации. М.: Мир. 1967. 643 с.

90. Шерман С.И. Физические закономерности развития разломов земной коры. Новосибирск: Наука, 1977. 102 с.

91. Шерман С.И., Горбунова Е.А. Волновая природа активизации разломов Центральной Азии на базе сейсмического мониторинга // Физ. мезомех. 2008. Том 11. №1. С. 115-122.

92. Aki К., A probabilistic synthesis of precursory phenomena in Earthquake Prediction// An International Review. 1981. edited by Simpson D.W. and Richards P. G. AGU. Washington. DC. P. 566-574.

93. Bak P. How Nature Works: The Science of Self-Organized Criticality. Springer-Verlag, New York. 1996. 212 p.

94. Bak P., Christensen K., Danjn L., and Scanlon T. Unified scaling law for earthquakes // Phys. Rev. Lett. 2002. Vol.88, issue 17. P. 17850.

95. Barriere B. Turscotte D.L. Seismicity and self-organized criticality // Physical Review. 1994. Vol.49. N.2. P.l 151-1162.

96. Barriere В., Turscotte D.L. Seismicity and self-organized criticality // Phys. Rev. E 49. 1994. Vol.49. P.l 151-1160.

97. Bath M. Lateral inhomogeneities in the upper mantle // Tectonophysics. 1965. Vol.2, issue 6. P.483-514.

98. Ben-Zion Y., Rice J.R. Earthquake failure sequences along a cellular fault zone in a three-dimensional elastic solid containing asperity and non asperity regions//J. Geophys. Res. 1998. B8. P.14109-14131.

99. Bowman D.D., Ouillon G., Sammis C.G., Sornette A., Sornette D. An observation test of the critical earthquake concept // JGR NB. 1998. Vol.10. P. 24359-24372.

100. Brown S.R., Scholz C.J., Rundle J.B., 1991. A simplified spring-block model of earthquakes // Geophys. Res. Lett. 1991. Vol.18, issue 2. P.215-218.

101. Canavera A., Smirnov V. Using the fractal dimension of earthquake distributions and the slope of the recurrence curve to forecast earthquake in Colombia // Earth Sciences Research Journal. 2004. Vol. 8. №1. P. 3-9.

102. Carlson J.M., Langer J.S. Properties of earthquakes generated by fault dynamics // Phys.Rev.Lett. 1989. Vol.62. P.2632-2635.

103. Carpinteri A., Lacidogna G., Niccolini G. Critical defect size in concrete structures detected by the acoustic emission technique // Meccanica. 2008. Vol.43. P.349-363.

104. Christensen K., Danon L., Scanlon Т., and Bak P. Unified scaling law for earthquakes // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 2002. Vol.99. P.2509-2513.

105. Colombo S., Main I.G., Forde M.C. Assessing damage of reinforced concrete beam using "6-value" analysis of acoustic emission signals // Journal of materials in civil engineering. 2003. Vol. 15. No. 3. P. 280-286.

106. Coral A. Local distributions and rate fluctuations in a unified scaling law for earthquakes // Phys. Rev. E. 2003. Vol.68. P.035102 (R).

107. Coral A. Long-term clustering, scaling, and universality in the temporal occurrence of earthquakes // Phys. Rev. Lett. 2004. Vol.92. P. 108501.

108. Coral A. Renormalization-group transformations and correlations of seismicity//Phys. Rev. Lett. 2005. Vol.95. P.028501.

109. Coral A. Universal local versus unified global scaling laws in the statistics of seismicity // Physica A. 2004. Vol.340. P.590-597.

110. Dieterich J.H. Time dependent friction in rocks // J.Geophys.Res. 1972. Vol.77. P.790-806.

111. Eberhardt E., Stead D., Stimpson В., Read R.S. Identifying crack initiation and propagation thresholds in brittle rock // Can. Geotech. Journ. 1998. Vol. 35. N. 2. P. 222-233.

112. Eberhardt E., Stimpson В., Stead D. Effects of grain size on the initiation and propagation thresholds of stress-induced brittle fracture // Rock mech. RockEngng. 1999. Vol. 32. N. 2. P. 81-89.

113. Fisher D. Sliding charge density waves as a dynamic critical phenomenon//Phys .Rev. 1985. B31. P. 1396-1427.

114. Frohlich C., Davis S. D. Teleseismic b values; or, muchado about 1.0 // Geophys. Res. 1993. Vol.98. P. 631-644.

115. Gutenberg В., Richter C.F. Seismicity of the Earth and Associated Phenomena. Princeton Univ. Press. Princeton. N. J. 1954.

116. Hadley K. Vp/VS anomalies in dilatant rock samples // PAGEOPH. 1975. Vol. 113. P. 1-23.

117. Helmstetter A. Is earthquake triggering driven by small earthquakes? // Phys. Rev. Lett. 2003. Vol.91, issue 5. P. 058501.

118. Helmstetter A., Kagan Y., Jackson D. Importance of small earthquakes for stress transfers and earthquake triggering // Journal of Geophysical Research. 2005. Vol. 110. B5. P. B05S08.

119. Hirata T. A correlation between the b value and fractal dimension of earthquakes // J. of Gepphys. Res. 1989. B6. P. 7507-7514.

120. Hirata Т., Satoh Т., Ito K. Fractal structure of spatial distribution of microfracturing in rock // Geophys. J.R. Astr. Soc. 1987. Vol.90. P.369-374.

121. Klein W., Rundle J.B., Ferguson C.D. Scaling and nucleation in models of earthquake faults // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol.78. N.19. P.3793-3796.

122. Klein W., Unger C. Pseudospinodals, spinodals and nucleation // Phys. Rev. B. 1983. Vol. 28. P.445-448.

123. Knopoff L. Self-organization and the development of pattern: implications for earthquake prediction // Proc. Am. Philos. Soc. 1993. Vol.137. P. 339-349.

124. Kossobokov V.G., Keilis-Borok V.I., Turcotte D.L., Malamud B.D. Implications of a statistical physics approach to earthquake hazard assessment and forecasting // Pure Appl. Geophys. 2002. Vol.157. P.2323-2349.

125. Kostrov B.V. Self-similar problems of propagation of shear cracks // J.Appl.Mech. 1964. Vol.28. P. 1077-1087.

126. Kranz R.L. Crack growth and development during creep of Barre granite // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. & Geomech. Abstr. 1979. Vol. 16. N. l.P. 23-35.

127. Kranz R.L. Crack-crack and crack-pore interactions in stressed granite // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. & Geomech. Abstr. 1979. Vol. 16. N. 1. P. 3747.

128. Lajtai E.Z. Microscopic fracture processes in a granite // Rock mech. RockEngng. 1998. Vol. 31. N. 4. P. 237-250.

129. Lockner D.A., Byerlee J.D., Kuksenko V.S., et al. Observations of quasistatic fault growth from acoustic emissions. In: Evans В., Wong T.-F., et al. (Eds.). Fault Mechanics and Transport Properties of Rocks. Academic Press. London. 1992. P. 3-31.

130. Lomnitz-Adler J. Automation models of seismic fracture: constrains imposed by the magnitude-frequency relation // J. Geophys. Res. 1993. Vol.98. P.17745-17756.

131. Lu C., Mai Y.-W., Bai Y. Fractals and scaling in fracture induced by microcrack coalescence // Philosophical magazine letters. 2005. Vol. 85, issue 2. P. 67-75.

132. Lyakhovsky V.A., Ben-Zion Y., Agnon A. Distributed damage, faulting, and friction // J. Geophys. Res. 1997. Vol.102. P.27635-27649.

133. Lyakhovsky, V.A., Myasnikov, V.P., 1985. On behavior of viscoelastic cracked solid. Phys. Solid Earth 4, 28-35.

134. Moore D., Lockner D. The role of microfracturing in shere-fracture propagation in granite // J. Struct. Geol. 1995. Vol. 17. P. 95-114.

135. Nakanishi H. Cellular automation model of earthquakes with deterministic dynamics // Phys. Rev. 1990. A 43. P.6613-6621.

136. Omori F. On the aftershocks // Rep. Imp. Earthquake Invest. Comm. 1894. №2. P. 103-139.

137. Oncel A.O., Wilson Т.Н., Nishizawa O. Size scaling relationships in the active fault networks of Japan and their correlation with Gutenberg-Richter b values // Journal of Geophysical Research. 2001. Vol. 106. B10. P. 21827-21841.

138. Ponomarev A.V., Zavyalov A.D., Smirnov V.B., Lockner D.A. Physical modeling of the formation and evolution of seismically active failt zones // Tectonophysics. 1997. Vol. 277. P. 57-81.

139. Qui Ze-hua, Shi Yao-lin. Application of observed strain steps to the study of remote earthquake stress triggering // Acta Seismologica sinica. 2004. Vol.17. N.5. P. 534-541.

140. Rao M.S., Prasanna Lakshmi K.J. Analysis of 6-value and improved b-value of acoustic emissions accompanying rock fracture // Current science. 2005. Vol. 89. №9. P. 1577-1582.

141. Reches Z., Lockner D.A. Nucleation and growth of faults in brittle rocks //J. Geophys. Res. 1994. Vol. 99. P. 18159-18173.

142. Rice J.R. Spatio-temporal complexity of slip on a fault // J.Geophys.Res. 1993. Vol.98. P.9885-9907.

143. Richeton Т., Weiss J., Louchet F. Breakdown of avalanche critical behaviour//Nature Materials. 2005. Vol. 4. P. 465-469.

144. Rosakis A.J., Samudrala O., Coker D. Cracks faster than the shear wave speed // Science. 1999. Vol.284. N. 5418. P. 1337-1340.

145. Ruina A.L., Slip instability and state variable friction laws // J.Geophys.Res. 1983. Vol.88. P.10359-10370.

146. Rundle B.J., Klein W., Gross S. Physical basis for statistical patterns in complex earthquake populations: models, predictionsand tests // Pure Appl. Geophys. 1999. Vol.155. P.575-607.

147. Rundle J.B. A physical model for earthquakes, 1. Fluctuation and interactions //J.Geophys.Res. 1988. Vol.93. P. 6237-6254.

148. Rundle J.B. A physical model for earthquakes, 3. Thermodynamic approach and its relation to nonclassical theories of nucleation // J.Geophys.Res. 1989. Vol.94. P.2839-2855.

149. Rundle J.B. Magnitude-frequency relations for earthquakes using a statistical mechanical approach // J.Geophys.Res. 1993. Vol. 98. P.21943-21949.

150. Rundle J.B., Brown S.R. Origin of rate dependence in frictional sliding // J. Stat. Phys. 1991. Vol.65. P.403-412.

151. Rundle J.B., Gross S., Klein W., Ferguson C., Turscotte D.L. The statistical mechanics of earthquakes // Tectonophysics. 1997. Vol.277. P. 147-164.

152. Rundle J.B., Jackson D.D. Numerical simulation of earthquakes sequences//BSSA. 1977. Vol.67. P.1363-1378.

153. Rundle J.B., Klein W. Scaling and critical phenomena in a cellular automation slider-block model for earthquakes // J. Stat. Phys. 1993. Vol.72. P.405-412.

154. Rundle J.B., Klein W., Gross S. Dynamics of a traveling density wave model for earthquakes // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol.76. P.4285-4288.

155. Rundle J.B., Turcotte D.L., Shcherbakov R., Klein W., Sammis C. Statistical physics approach to understanding the multiscale dynamics of earthquakes fault systems // Rev.Geophys. 2003. Vol. 41. issue 4. P. 1019.

156. Saichev A. and Sornette D. Distribution of the Largest Aftershocks in Branching Models of Triggered Seismicity: Theory of the Universal Bath's law//Phys. Rev.E. 2005. Vol. 71. P. 056127.

157. Saichev A., Sornette D. Power law distribution of seismic rates: theory and data //Eur. J. Phys. B. 2006. Vol.49. P. 377-401.

158. Saichev A., Sornette D. Power law distribution of seismic rates: theory and data // Eur. J. Phys. B. 2006. Vol.49. P.377-401.

159. Scholz C.H. The mechanics of earthquakes and faulting. Cambridge University Press. Cambridge. U.K. 1990. 496 p.

160. Shcherbakov R., Turcotte D.L. A modified form of bath's law // BSSA. 2004. Vol. 94. P. 1968-1975.

161. Shcherbakov R., Turcotte D.L., Rundle J.B. A generalized Omori's law for earthquake aftershock decay // Geophys. Res. Lett. 2004. Vol. 31. LI 1613.

162. Shcherbakov R., Turcotte R.D., Rundle J.B. Aftershock statistics // Pure Appl.Geophysics. 2005. Vol.162. P.1051-1076.

163. Shcherbakov R., Turscotte D.L., Rundle J.R. Scaling properties of the Parkfield aftershock sequence // BSSA. 2006. Vol. 96. 4B. P. 376-384.

164. Shcherbakov R., Yakovlev G., Turcotte D.L., Rundle J.B. Model for the distribution of aftershock interoccurence times // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol.95, issue 21. P. 8501-8505.

165. Silberschmidt V.G., Silberschmidt V.V. Analysis of cracking in rock salt // Rock mech. Rock Engng. 2000. Vol. 33. N. 1. P. 53-70.

166. Sornette D. Critical phenomena in natural sciences. Chaos, Fractals, Self-Organization and Disorder: Concepts and Tools // Springer Ser. Synerg. Springer-Verlag. Heidelberg. 2000. 423 p.

167. Sprunt E.S., Brace W.F. Direct observations of microcracks in crystalline rocks // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. & Geomech. Abstr. 1974. Vol. 11. N. 4. P. 139-150.

168. Tapponier P., Brace W.F. Development of stress-induced microcracks in Westerly granite // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. & Geomech. Abstr. 1976. Vol. 13. N. 4. P. 103-112.

169. Tchalenko J.G. Similarities between shear zones of different magnitudes //Bull. Geologic. Soc. of Amer. 1970. Vol. 81. P. 1625-1640.

170. Turcotte D. L., Newman W. I., Shcherbakov R. Micro and macroscopic models of rock fracture // Geophys. J. Int. 2003. Vol.152, issue 3. P. 718728.

171. Turcotte D.L. Fractals and Chaos in Geology and Geophysics. Second Edition. Cambridge University Press. Cambridge. 1997. 398 p.

172. Tyupkin Yu. S. Earthquake source nucleation as self organization process // Tectonophysics. 2007. Vol. 431. P.73-81.

173. Tyupkin Yu.S., Di Giovambattista R. Correlation length as an indicator of critical point behavior prior to a large earthquake // EPSL. 2005. Vol.230. P.85-96.

174. Tyupkin Yu.S., Di Giovambattista R. Correlation length as an indicator of critical point behavior prior to a large earthquake // EPSL. 2005. Vol. 230. P.85-96.

175. Tyutin M.R., Botvina L.R., Zharkova N.A. et al. Evolution of damage accumulation in low-carbon steel in tension condition // Strength, Fracture and Complexity. 2005. Vol. 3. N. 2-4. P. 73-80.

176. Utsu T. A statistical study on the occurrence of aftershocks // Geophys. Mag. 1961. Vol.30 P. 521-605.

177. Van Sambeek L.L., Ratigan J.L., Hansen F.D. Dilatancy of rock sat in laboratory tests // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. & Geomech. Abstr. 1993. Vol. 30. N. 7. P. 735-738.

178. Varnes D.J. Predicting earthquakes by analyzing accelerating precursory seismic activity// PAGEOPH. 1989. Vol.130. N4. P.661-686

179. Weiss J., Marsan D. Three-Dimensional Mapping of Dislocation Avalanches: Clustering and Space // Time Coupling. Science. 2003. Vol. 299. N. 5604. P. 89-92.

180. Zaliapin V., Keilis-Borok V.I., Ghil M. A Boolean delay model of colliding cascades, prediction of critical transitions // J. Stat. Phys. 2003. Vol.111. P.839-861.

181. Zavyalov A.D., Hebermann R.E. Application of the concentration parameter of seismoactive faults to Southern California // Applied Geophys. 1997. Vol. 149. P. 129-146.

182. Zoller G., Hainzl S., Kurths J. Observation of growing correlation length as an indicator for critical point behavior prior to large earthquakes // J. Geophys. Res. 2001. Vol.106. P.2167-2176.