Математические методы исследования краевых задач теорий пластичности и нелинейной упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

p I 13 и «

\ о MP >39?

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

БРИГАДНОВ Игорь Альбертович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИЙ ПЛАСТИЧНОСТИ И НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петребург 1997

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики СевероЗападного заочного политехнического института

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук, профессор Н.В.Баничук

- доктор физико-математических наук, профессор К.Ф.Черных

- доктор физико-математических наук, профессор С.В.Шешенин

Ведущая организация: Научно-производственное объединение по исследованию и проектированию энергетического оборудования (НПО ЦКТИ) им. И .И. Ползунова.

Защита состоится 40 " о Ч 1997 г. в Ч часов на заседании диссертационного совета Д 063.57.34 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., дом 2, математико-механический факультет, аудитория 3536.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., дом 7/9.

Автореферат разослан

"'2Н " 0 2- 1997 г.

Учёный секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук

профессор С.А.Зегжда

Общая характеристика работы

В диссертации рассматриваются фундаментальные вопросы математической корректности и численного решения краевых задач теорий пластичности и нелинейной упругости. Используются современные аналитические и численные методы исследования краевых задач.

Актуальность темы

Решение краевых задач механики деформируемого твердого тела имеет огромное значение как для теории, так и для практики. В настоящее время' существует множество феноменологических моделей, описывающих различные эффекты деформирования твердых тел. Адекватность и область применения каждой модели должны устанавливаться только путем сопоставления экспериментальных данных и решений соответствующих краевых задач. Поэтому в настоящее время; на первый план выходят анализ математической корректности краевых задач механики деформируемого твердого тела к разработка эффективных численных методов их решения. Дополнительным стимулом является наличие мощных ЭВМ, выдвигающих на первый план методологию вычислительного эксперимента при анализе напряженно-деформированного состояния элементов конструкций машин и механизмов.

Особенностью современного этапа развития механики сплошных сред является акцент на существенно нелинейные эффекты и связанные с ними проблемы. В механике деформируемого твердого тела принципиально различают два типа нелинейностей: физическую и геометрическую. В диссертации приводятся современные математические методы исследования обоих типов нелинейностей, наиболее ярко представленных в теориях пластичности и нелинейной упругости.

В общем случае рассматривается следующая проблема. Пусть деформируемое твердое тело в отсчетной недеформированной конфигурации занимает область П С Я3 с границей Г. В деформированной конфигурации каждая точка х € Г2 переходит в положение и(х) = х 4- у(х) € Я3, где и и V — искомые отображение и перемещение, соответственно.

К телу прикладываются внешние воздействия: в П — массовая сила с плотностью /, на части границы Г2 — поверхностная сила с плотностью .Р, а также задается либо перемещение и7, либо отображение и1 части границы Г1, причем исключается возможность движения тела как твердого целого (агеа(Г1) >0). В исходном состоянии внешние воздействия отсутствуют, тело находится в натуральном состоянии.

Как любая механическая система сплошная среда описывается силовой

характеристикой — тем или иным тензором напряжений (Коши, Пиола-Кирхгоффа, Био и т.д.). При постановке краевой задачи механики деформируемого твердого тела фундаментальным является уравнение равновесия элемента среды, записанное для выбранного тензора напряжений. Квазистационарное описание исключает рассмотрение переходных динамических процессов и математически характеризуется отсутствием в уравнении равновесия вторых производных по времени, хотя и допускает эволюционное деформирование (т.е. наличие первых производных по времени или внешнему параметру нагружения).

Полная постановка краевой задачи наряду с краевыми условиями включает определяющее соотношение, которое связывает меру деформации с мерой напряжения и является математической моделью сплошной среды. Общие требования, предъявляемые к определяющим соотношениям механики деформируемого твердого тела подробно рассмотрены в классических работах А.А.Ильюшина, А.Ю.Ишлинского, Ю.И.Кадашевича, Л.М.Качанова, В.Д.Клюшникова, А.И.Лурье, В.В.Новожилова, В.А.Пальмова, Ю.Н.Работнова, К.Трусделла и других.

В настоящее время в рамках теории малых статических деформаций наиболее полно исследованы краевые задачи для материалов со степенным и линейным упрочнением. Здесь необходимо сослаться на классические работы А.А.Йльюшина, А.Ю.Ишлинского, И.И.Воровича,

B.Д.Клюшникова, Д.Л.Быкова, Д.Д.Ивлева и других. Математические аспекты краевых задач для материалов с нулевым упрочнением подробно рассмотрены в работах П.П.Мосолова, В.П.Мясникова, Г.А.Серёгина,

C.И.Репина, Р.Темама и других. Немонотонные определяющие соотношения исследованы с механической точки зрения, например, в работах Е.И.Шемякина и В.И.Кондаурова.

Краевые задачи теории пластичности подробно исследованы для классических моделей теории течения (Р.Хилл, В.Т.Койтер и др.) и теории упругопластических процессов в классических работах А.А.Ильюшина и В.С.Ленского. Однако, развиваются другие подходы к описанию эффектов пластического деформирования, в частности, эндохронный (Э.Бажант, Ю.И.Кадашевич, К.С.\га1а.ша и др.) и неассоциированный (В.Н.Николаевский и др.). Поэтому необходим математический анализ краевых задач и для таких моделей.

В рамках нелинейной теории упругости подробно рассмотрены вопросы адекватного описания конечного деформирования, построения реалистичных моделей эластомеров и постановки краевых задач. Здесь необходимо сослаться на классические работы А.И.Лурье, К.Ф.Черныха, Л.М.Зубова, R.W.Ogden, М.А.Моопу, Л.Б.ШуНп и других. Математические аспекты

краевых задач для некоторых моделей нелинейно упругих материалов исследованы в известных работах J.M.Ball.

Практическая значимость анализа напряженно-деформированного состояния элементов конструкций выдвигает в разряд самостоятельного раздела науки вычислительную механику деформируемого твердого тела. Использование современных методов вычислительной математики делает этот раздел механики не только прикладной, но и теоретической дисциплиной. Здесь необходимо сослаться на классические работы О.Зенкевича, Б.Е.Победри, А.А.Поздеева и других.

Цель работы

1. Анализ математической корректности краевых задач теорий пластичности и нелинейной упругости как в стационарной, так и в эволюционной постановках.

2. Дискретизация краевых задач теорий пластичности и нелинейной упругости, анализ математической корректности соответствующих конечномерных моделей.

3. Разработка и анализ численных методов решения дискретных задач теорий пластичности и нелинейной упругости.

4. Проведение вычислительных экспериментов и исследование эффективности различных методов на выделенных классах краевых задач.

Методы исследования. При постановке и анализе математической корректности краевых задач теорий пластичности и нелинейной упругости применяются современные методы функционального анализа: вариационное исчисление для многомерного интегрального функционала; теория абстрактной задачи Коши в банаховом пространстве, неразрешенной относительно производной, в сочетании с классической теорией операторов. Активно используется аппарат теории функций матричного аргумента. При построении дискретных моделей соответствующих краевых задач, анализе их корректности и проведении вычислительных экспериментов применяются вариационно-разностные методы (метод конечных элементов, явные и неявные аппроксимационные схемы Эйлера и Рунге-Кутта).

Научная новизна. На защиту выносятся:

1. Метод адаптивной блочной релаксации для численного решения краевых задач теорий пластичности и нелинейной упругости.

2. Эволюционный вариационный метод постановки и анализа краевых задач инкрементальной теории пластичности, а также общий алгебраический критерий математической корректности соответствующих моделей.

3. Вариационный метод доказательства существования и построения аналитических оценок предельной нагрузки в краевых задачах нелинейной теории упругости.

4. Вариационный метод доказательства существования и построения отображений с разрывами типа проскальзывания в краевых задачах нелинейной теории упругости.

5. Метод регуляризации вариационной проблемы физически нелинейной теории упругости с немонотонной диаграммой состояния.

Перечисленные результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность

Аналитические методы, представленные в диссертации, могут быть использованы при построении определяющих соотношений и анализе математической корректности краевых задач теорий геометрически нелинейной упруго- и упруго-вязко-пластичности.

Применение нового численного метода может существенно повысить эффективность решения практически важных задач анализа напряженно-деформированного состояния элементов конструкций с учетом как физически, так и геометрически нелинейных эффектов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конгрессах, конференциях, симпозиумах и семинарах: Республиканская научно-практическая конференция творческой молодежи "Актуальные проблемы информатики: математическое, программное 'к информационное обеспечение" (БССР, Минск 03-06.05.1988); Всесоюзная конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики" (ЭССР, Тарту 21-22.09.1990); Всесоюзный семинар "Моделирование, идентификация, синтез систем управления в химических и химико-металлургических производствах" (УССР, Крым, Алушта 2830.09.1990); Международная конференция "Asymptotics in Mechanics'94" (Россия, С-Петербург 14-17.08.1994); Международная конференция " "Finite Element Method in South Africa (FEMSA'95)" (ЮАР, Стелленбос, 15-20.01.i995); Международная конференция "Optimization of Finite Element Approximations" (Россия, С-Петербург 25-29.06.1995); Международный

конгресс и выставка " 1995 International Mechanical Engineering Congress and Exposition" (США, Сан-Франциско 12-17.11.1995); 1-ая Международная конференция "Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности металлических конструкций и методы их решения" (Россия, С-Петербург 28-30.11.1995); Международная конференция "Fifth SIAM Conference on Optimization" (Канада, Британская Колумбия, Виктория 20-22.05.1996); Международная конференция "First South African Conference on Applied Mechanics (SACAM'96)" (ЮАР, Мидранд, Гаутинг 01-05.07.1996); Международная конференция "Numerical Methods in Engineering (ECCOMAS'96)" (Франция, Париж 09-13.09.1996); 1-ая Международная научно-практическая конференция "Дифференциальные уравнения и их применения" (Россия, С-Петербург 03-05.12.1996); Международный симпозиум "Plasticity and Impact Mechanics (IMPLAST'96)" (Индия, Дели 11-14.12.1996); семинар на кафедре механики композитов механико-математического факультета Московского государственного университета (25.03.1996, рук. Б.Е.Победря); семинары на кафедре теории упругости математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета (25.04 и 26.12.1996, рук. Н.Ф.Морозов).

Часть диссертационной работы выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант N95-01-00992 — исполнитель, грант N96-01-00054 — руководитель) и Центра Фундаментального Естествознания при Санкт-Петербургском государственном университете (персональный грант N5-3-2.1).

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в работах [1-20], в том числе в журнале "Известия Академии Наук. Механика Твердого Тела" опубликовано 7 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, списка принятых обозначений, пяти глав, трех приложений, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 224 страницы, из них текстовая часть — 204 страницы типографского формата 14pt, рисунки — 20 страниц. Список литературы содержит 297 наименований.

Краткое содержание работы

Во Введении обоснована актуальность темы и сформулированы цели диссертации. Приведен краткий обзор состояния вопроса и перечислены основные результаты, выносимые на защиту.

В Главе 1 исследуется краевая задача теории малых статических деформаций для перемещения в вариационной постановке.

До последнего времени анализ краевых задач в теории малых статических деформаций проводился на основе классических результатов вариационного исчисления и теории операторов. Рассматривались модели, описываемые монотонными определяющими соотношениями или выпуклыми потенциалами. Однако, в физических экспериментах наблюдаются эффекты, связанные с немонотонностью определяющего соотношения. Участки немонотонности (например, "зуб пластичности") наблюдаются в экспериментах на жесткое нагружение образцов из мягкой стали и связываются либо с континуальным микроразрушением, либо с макроразрушением, либо с изменением структуры поликристаллического материала. Последнее трактуется как фазовый переход, характерный практически для всех конструкционных материалов. Известен также эффект бифуркации деформированной конфигурации у материалов горных пород.

В рамках теории малых статических деформаций задача определения поля перемещений для потенциального материала ставится в форме вариационной проблемы

«* = аг6[М{/(1»):и€ К}], (1)

/(и) = У \¥{х,е{у))(1х- /7 • У(1х- I «¿т,

12 и г2

где V = {и : П —> Д3; и(х) = и7, х £ Г1} — множество кинематически допустимых перемещений, е(и) = (Уи + (Уг>)т)/2 — тензор деформаций Коши, ]У : П х 53 —» [0, +оо) — скалярный потенциал такой, что тензор напряжений Коши имеет компоненты а^ = д\¥(х,е)/дг^ для любой £ 6 ¿>3 и почти всех х 6 Г!, 53 — множество вещественных симметричных матриц 3x3.

В главе формулируется общая теорема существования для задачи (1). Основным необходимым и достаточным условием является нелокальное (интегральное) условие квазивыпуклости потенциала по матричному аргументу. Оно допускает неединственность решения. Если его усилить (т.е. потребовать строгую выпуклость потенциала), тогда задача (1) имеет единственное решение.

Малые статические деформации изотропного материала полностью характеризуются тремя независимыми инвариантами тензора деформаций Коши. На практике используются потенциалы, зависящие только от выпуклых инвариантов такие, что для любой е € 53

Ж(£) = Ф(1г(е),|ед|), (2)

где ^(г) = Ецбц — относительная объемная деформация, \е°\ = (е^е^)1^

— интенсивность сдвиговой деформации (с точностью до множителя), е?з = £ч ~ § ^г(е)^- — компоненты девиатора тензора деформаций,

— символ Кронекера.

Для таких потенциалов строятся общие локальные условия выпуклости по Коулману-Ноллу (классической выпуклости) и выпуклости по Лежандру-Адамару (выпуклости по рангу 1), оценивающие (в смысле диаграммы импликаций) "сверху" и "снизу" нелокальное условие выпуклости по Морри (квазивыпуклости): для любых ^ = (;г(е) 6 й и

и = И ^ о

1) условия выпуклости по Коулману-Ноллу

Фц>0, Ф22 > О, ЗФЦ + Фз2-2>/5|ФИ|> Фг/<2 > 0; (3)

2) условия выпуклости по Лежандру-Адамару

ЗФЦ + 2Ф2/*а > о, Ф22>0, 3(Ф11+Фм-2|Фц|)>Фа/*2>0> (4)

где Ф2_(*ь*а) = 0Ф(*ь*а№, Ф«,/»(«1,*а) = д2Ф(11,Ь2)/д1ад1/3 (а,/3 = 1,2).

Показывается, что для потенциала физически нелинейной теории упругости

г

Ф(Мг ) = + С(г) = 2/5(0Л (5)

о

все три вида выпуклости эквивалентны' между собой и ббеспечиваются известным требованием выпуклости функции С (монотонным неубыванием материальной функции д) на [0,+оо). Здесь и далее /г0 > 0 и /г > 0

— модули объемной и сдвиговой деформации, соответственно.

Для примера показывается, что потенциал теории континуального разрушения

Ф(£ь*2) = 'а» = арЬ + а0г2 - 7 - (6)

может обладать любым видом выпуклости при соответствующем выборе параметров, где ы > 0 — скалярный параметр поврежденности, Н — функция Хевисайда; ар, а5 > 0 — коэффициенты, характеризующие взаимную связь поврежденности с объемными и сдвиговыми деформациями, 7 > 0 — пороговое значение напряжения, при котором начинается процесс континуального разрушения.

В случае, когда потенциал не является квазивыпуклым, задача (1) в общем случае не имеет решения (в главе приводятся два простых примера). Поэтому, приходится осуществлять регуляризацию вариационной проблемы и вводить понятие обобщенного решения. В работе используется

Фиг.1

Фиг .2

современный метод регуляризации, основанный на построении нижней квазивыпуклой оболочки потенциала. Метод предложен В.Басоп^па для регуляризации вариационной задачи равновесия газа Ван-дер-Ваальса. Он близок к методам, при помощи которых К.А.Лурье с учениками получены результаты по релаксации вариационных задач теорий гомогенизации и фазовых переходов в линейно упругом теле. Для регуляризирован-ной задачи гарантируется существование решения, совпадение нижних граней исходного и релаксированного функционалов, а также слабая сходимость минимизирующей последовательности для исходной задачи (1) к решению регуляризированной задачи. Последнее естественно назвать обобщенным решением.

В рамках физически нелинейной теории упругости участок немонотонности (МИ) на экспериментальной диаграмме состояния (Фиг.1) описывает неравновесный фазовый переход. В работе строится нижняя квазивыпуклая оболочка соответствующего потенциала, совпадающая с нижней выпуклой оболочкой. В этом случае участок немонотонности заменяется горизонтальным отрезком на строго определенном уровне

= 1г2(е)+/10,(1^1), Сс(г) = 2/Эс0)Л, (7)

о

де(() = ( ' * * *»] , д. = —/<?(*) Л. I д* , г € ум, t|v\ Ьц ~ ¿лг ^

На Фиг.1 представлены функции: — линией 1, <7С(0 — линией 2. Из определения числа д, следует, что заштрихованные области имеют равные площади. Отрезок ЛГЛГ функции (/с(£) естественно назвать линией Максвелла по аналогии с теорией газа Ван-дер-Ваальса.

Как: известно, физически нелинейная теория упругости совпадает с деформационной теорией пластичности при монотонном лучевом деформировании (т.е. без разгрузки). Поэтому, следствием осуществленной регуляризации является математически обоснованный метод определения начального предела текучести для мягких сталей по экспериментальным диаграммам состояния. В отличие от интуитивного подхода, когда в качестве начального предела текучести принимается ордината горизонтальной площадки за зубом пластичности, необходимо выбирать значение д, из соотношений (7).

В Главе 2 исследуется краевая задача инкрементальной теории пластичности для перемещения в эволюционной вариационной постановке.

Как известно, в рамках инкрементальной теории пластичности описываются следующие экспериментально наблюдаемые эффекты: 1) на-

копление необратимых деформаций; 2) существенная зависимость от истории и вида процесса деформирования; 3) разгрузка; 4) изотропно-трансляционное упрочнение; 5) эффект Баушингера; 6) дилатансия (разрыхление) и 7) внутреннее трение.

При постановке краевой задачи инкрементальной теории пластичности все величины рассматриваются как абстрактные функции от безразмерного параметра внешнего нагружения t £ [0,1]. Внешние воздействия полагаются абсолютно непрерывными по параметру нагружения, причем Г1 = сопзЦ4) и / = О, Г = О," V, = 0 при 4 = 0.

В этом случае краевая задача ставится в форме эволюционного вариационного уравнения. Искомое поле перемещений ищется в виде представления и*(4) = ь{1) + г>°(£), где и0 — продолжение в область заданного граничного перемещения г>7, а неизвестная функция V : [0,1] —* V0 удовлетворяет нулевому начальному условию и(0) = 0 и дифференциальному уравнению для любой тг € V0 и почти всех всех 4 € (0,1)

/¿у- (бН*) + «°(0),ф(0 + ¿°(0)) =

=/ло •я<1х+ !• тг<*у. (8)

а г1

Здесь и далее У0 = {г> : П -ч Д3; у(х) = 0, х € Г1} — множество кинематически допустимых вариаций перемещения или отображения.

В такой постановке определяющее соотношение должно быть записано в скоростях (или приращениях)

Оу = С{]кт (¿кт - Ркт(£,ё)) , С^кт = 2ц 8,к^т + ~ (9)

где Сцкт — компоненты тензора упругих постоянных, Ркт — компоненты неупругой составляющей тензора деформаций Коши.

В силу общих свойств инкрементальных моделей пластичности задача (8) представляет собой абстрактную задачу Коши в слабой постановке на подпространстве Vй гильбертова пространства Я3). Она принци-

пиально неразрешима в явном виде относительно Ь. Последнее обстоятельство чрезвычайно усложняет анализ проблемы.

В главе формулируется общая глобальная теорема существования и единственности для задачи (8). Основным необходимым и достаточным, условием является следующее: для любых симметричных матриц А, В1, В2 6 53 верна оценка

Сцы (Ркт(А,В') - Ркт(А,В2)) - ВГ) < 2{1 \В1 - Я2|2. (10)

Это условие обеспечивает однозначную абстрактную разрешимость операторного уравнения (8) относительно V. Необходимость условия (10) следует из неулучшаемости условий классической теоремы Пикара-Линделефа.

Как известно, постулат Друкхера (положительность работы необратимой деформации) в форме условия стуРу > 0 является избыточным достаточным, но не необходимым условием единственности решения краевой задачи теории пластичности в предположении его существования. Основное условие (10) не сводится ни к постулату Друккера, ни к одному из известных условий типа постулата Друккера. Более того, этот критерий не связан с термодинамическими постулатами и, поэтому, должен независимо проверяться при построении моделей и решении конкретных краевых задач.

Независимость критерия (10) доказывается на примере обобщенной модели линейного изотропно-трансляционного упрочнения с идеальным эффектом Баушингера, учитывающей эффекты дилатансии и внутреннего трения

Ркт = (1 + Ло + ЗАЛ)-^ (Ре - е, + Л Ы(е - Р)) X хН (со57 + Хё~11х{е)) р~'1{ркт + Лре4т)(рР, + Л/9е«5р,)ёрд, (11) Ркт - £кт - (1 + Ло)Рьп, С0Б7 = (реёе)_1рЪ'ё§, где ре = |р[, ёь — \еа|, е, — предел упругости, Я о — параметр пластического упрочнения, А > 0 и Л > 0 — коэффициенты дилатансии и внутреннего трения, соответственно (с точностью до множителей).

Эта модель описывает экспериментально наблюдаемый эффект дилатансии (разрыхления) геоматериалов при пластическом деформировании (¡д-(Р) ф 0). При А = Л = 0 модель совпадает с классической моделью теории течения, ассоциированной с поверхностью деформирования ре — е„ = 0. При А = Л ф 0 определяющее соотношение (11) ассоциировано с поверхностью деформирования ре — е» + А ^(е — Р) = 0, которая при /го — 0 соответствует поверхности нагружения Мизеса-Шлейхера: ¡(т°| + с-1 А1;г(сг) - 2це* = 0, где с = 3&о/(2^) > 1 для реальных материалов.

Из критерия'(10) следует, что модель (11) является математически корректной для любой траектории деформирования при следующем соотношении параметров

1ц > а/3(А + сЛ) + 3(с - 1)АЛ > 0,

причем условие неассоциированности А ф Л не влияет на однозначную разрешимость задачи (8).

Постулат Друккера для этой модели справедлив для параметров, удовлетворяющих условию

> 3(сЛ - Л)Л.

Например, для Л = О, А > О критерий (10) выполняется при Ло > \/ЗА > 0, а постулат Друккера — при /го > 0. Последнее доказывает, что постулат Друккера не связан с существованием решения краевой задачи инкрементальной теории пластичности.

В главе дополнительно исследуется эндохронная (неассоциированная) модель

Лт = <*<2 ¿еРкт = РЬп^р^ (12)

Ркт = (1 - - (1 + (1 - а)Ь)Ркт,

<2 = (£2 _ „2)-1 [,с«7+ (£2 _ г,2зЬ27)1/2| > ^ = (1 _ о)а>

где а 6 (0,1] — параметр. При а = 1 модель (12) совладает с известной моделью К.С.Уа1ап1в. В диссертации показано, что при малом параметре 0 < а -С 1 (порядка Ю-3 и меньше) эндохронное определяющее соотношение является жестким.

Установлено, что эндохронная модель (12) удовлетворяет основному критерию (10) при положительном упрочнении (Ло > 0) для монотонной лучевой траектории деформирования. Для траекторий общего вида (например, циклических режимов) вопрос остается открытым.

В Главе 3 исследуется краевая задача нелинейной теории упругости для отображения в вариационной постановке.

В общем случае слабое решение краевой задачи нелинейной теории упругости находится как решение следующего вариационного уравнения: для любого и € V искомое отображение и* (Е V удовлетворяет

/ 3?{х,<2{и*)№(и' - и) йх = / ¡а(и" - и)°йх + / Р*{и* - и)а ¿7, (13)

п п г2

где V — {и : П -4 Д3; и(х) = и7, х 6 Г1} — множество кинематически допустимых отображений, £ = 5(ж, О) : П х Я3х3 Д3*3 — определяющее соотношение эластомера, связывающее первый (несимметричный) тензор номинальных напряжений Пиолы-Кирхгоффа Е с тензором дис-торсии (градиентом отображения) Ц = Уи.

Для гиперупругого материала и "мертвых" сил /, Р = сопэ1(и, Уи) краевая задача нелинейной теории упругости ставится в форме вариационной проблемы

и* = агё [иОДи) : ибУ}], (14)

1{и) = / \¥{х, Уи) йх - / А(/, и)йх~ У А(.Г, и) ¿7, п п г»

и

А(а, и) = J а - (Уи)т • сЬ,

X

где А(*, и) — удельная работа внешних сил при отображении и.

При моделировании эффектов конечного деформирования твердых тел принципиально необходим учет всех инвариантов какой-либо меры деформации, например, {|ф|,1г(СоГ<3),с1е1;(<3)}, где Со{С} и с!еЦ(3) — матрица алгебраических дополнений и определитель матрицы ф, соответственно. В результате потенциалы гиперупругих материалов практически всегда являются невыпуклыми, а соотношения между мерами деформаций и напряжений — немонотонными. Эта особенность моделей нелинейной теории упругости полностью соответствует экспериментально наблюдаемому эффекту неединственности равновесного состояния деформированных эластомеров. Отображение, сообщающее глобальный минимум полной энергии системы (решение задачи (14)), является энергетически самым выгодным, хотя может быть и неединственным. Локально-стационарные отображения (решения задачи (13)) с большей энергией могут быть устойчивы по отношению к малым вариациям (в малом), однако неустойчивы к конечным возмущениям (в большом).

Для вариационной проблемы (14) обсуждается возможность обобщения известных критериев существования Л.М.ВаН. Показывается содержательность обобщенных критериев существования на примере классической задачи о шаре.

В главе подробно исследуется класс моделей однородных гиперупругих материалов с потенциалами, имеющими линейный рост по модулю тензора дисторсии, которые удовлетворяют следующим условиям

а0 + а1\С)\<\¥{<3)<9У)\С1\ + }1У), J = det{Q) (15)

для любой <2 6 Д3х3 с некоторыми постоянными сц > 0, ао € Я и непре-рывними неотрицательными функциями д,Н : (0, +оо) -»■ [0,Н-оо).

К указанному классу относится потенциал Бартенева-Хазановича ИЧ<Э) = 2/г(А1(<2)Ч-А2(д) +А3((?)-3), J = 1, где А,(£>) — кратности главных удлинений (собственные числа левой меры искажения у<2г • (£)■ Условиям (15) удовлетворяют также потенциал Черныха и обобщенный потенциал Трелоара при некоторых значениях параметров, входящих в эти потенциалы.

Вариационные задачи с интегральным функционалом линейного роста подробно исследованы на примере задач о непараметрической минималь-

ной поверхности (Э.Джусти, С.АпгеИоШ, M.Giaquinta и др.) и идеальной упруго-пластичности (Г.А.Серёгин, С.И.Репин, Р.Темам и др.).

В главе для потенциалов, удовлетворяющих условиям (15), установлены два важных свойства. Во-первых, обнаружен эффект существования предельной нагрузки — конечного значения внешних сил, при котором вариационная задача (14) не имеет никакого решения, понимаемого в классическом или обобщенном смысле. Указанный эффект, как известно, характерен для краевых задач идеальной упруго-пластичности и связан с неограниченностью функционала энергии снизу на множестве кинематически допустимых отображений. При этом все локально-стационарные отображения (если они существуют) неустойчивы по отношению к конечным вариациям. Предельная нагрузка оценивает множество допустимых силовых воздействий, которые способно воспринимать данное тело.

В главе фомулируется и доказывается общий достаточный признак существования предельной нагрузки в краевых задачах нелинейной теории упругости. Приводятся содержательные примеры вычисления как точного значения^ так и оценки сверху для предельной нагрузки.

Второй эффект, присущий потенциалам линейного роста, связан с нерефлексивностью пространства И^1'1 (Г2, В?), на котором функционал энергии коэрцитивен. Функционал энергии может быть ограничен снизу, однако может не достигать своей нижней грани ни на одном элементе этого множества. При этом ни одно локально-стационарное отображение не удовлетворяет кинематическим краевым условиям. В действительности, минимизирующая последовательность в таких задачах сходится к некоторому элементу из более широкого пространства функций, например, ограниченной вариации или ограниченной деформации ВЛ(0, В?). Эти пространства наряду с непрерывными функциями содержат функции, имеющие разрывы первого рода типа проскальзывания как внутри области, так и на границе.

Для потенциала Бартенева-Хазановича на примере двух простых краевых задач построены и математически обоснованы решения с разрывами типа проскальзывания. В этих же задачах найдены точные значения предельной нагрузки.

Между обнаруженными эффектами существует простая связь. В материале появляется поверхность скольжения под действием приложенных сил, превышающих некоторый допустимый уровень, выше которого материал Бартенева-Хазановича принципиально не работает на сдвиг.

В Главе 4 исследуется краевая задача нелинейной теории упругости для отображения в эволюционной вариационной постановке. Учет исто-

рии процесса нагружения в рамках предлагаемого подхода позволяет свести исследование важного эффекта неединственности равновесного состояния эластомера к изучению эффекта бифуркации и ветвления порождающего эволюционного решения.

При постановке краевой задачи нелинейной теории упругости все величины рассматриваются как абстрактные функции от безразмерного параметра внешнего нагружения t 6 [0,1]. Внешние воздействия полагаются абсолютно непрерывными по параметру нагружения, причем Г1 = const(i) и / = О, F = 0, иу = х при t = 0.

Согласно классическому методу дифференцирования по параметру для гладкого определяющего соотношения Q ь» S(x,Q) нахождение слабого решения вариационного уравнения (13) эквивалентно поиску решения следующей эволюционной вариационной проблемы: отображение ищется как элемент и* = и(1) + п°(1), где и0 — продолжение в область заданного граничного отображения ы7, а неизвестная функция и : [0,1] —> У0 удовлетворяет нулевому начальному условию и(0) = 0 и дифференциальному уравнению для любой к € V0 и почти всех t 6 (0,1)

/ C?f (х, Q(u + u0)) Qf (u + й°) Qf [it) dx = i2

= / ftt{t)iradx-b jFa{t)nady. (16)

n Г*

Здесь C"f(x,Q) = dSi(x,Q)/dQj — компоненты акустического тензора (переменных касательных модулей упругости).

Для потенциалов с показателем степенного роста р > 1 задача (16) представляет собой абстрактную задачу Коши в слабой постановке на подпространстве У0 банахова пространства 1¥1,P(Q, Я3). Для нее формулируется теорема существования и единственности, опирающаяся на сильную эллиптичность по Коулману-Ноллу акустического тензора. Однако, это условие исключает неединственность равновесного состояния деформированного эластомера. С целью обобщения полученных результатов формулируются соответствующие математические проблемы и намечаются пути их решения в рамках теории дифференциальных включений. Дело в том, что в силу принципиальной немонотонности определяющего соотношения Q м- S(x, Q) операторное уравнение в задаче (16) разрешимо неоднозначно относительно й.

При рассмотрении несжимаемых материалов вводится дополнительная искомая скалярная функция Р : П —> R, совпадающая с точностью до постоянного множителя с гидростатическим давлением. Для гладкого определяющего соотношения Q ы S(x, Q) статическая задача эквивалентна

следующей эволюционной вариационной проблеме: искомые отображение и давление являются элементами и* — и( 1) + и°(1) и Р* = Р( 1), где неизвестные функции (и, Р) : [0,1] V0 х Со°(Я) удовлетворяют нулевым начальным условиям и(0) = 0, Р(0) = 0 и системе дифференциальных уравнений для любых 7г б V0 и <р € Со°(Г2)

/ [(С5"(х, Я(и+и0)) + Р пг/(д(и + и0))) <#(« + й°) +

+ Р (СоЩ(и + и0))"] <5?(тг) йх = Щ ж), (17)

/ (СоГф(и + и0))^ ^(й + й*)<р6х = 0. п

Здесь П°/(<5) = дСоЩЦдЦ].

В Главе 5 исследуются вопросы численного решения конечномерных (дискретных моделей) краевых задач теорий пластичности и нелинейной упругости.

Для краевых задач теорий пластичности и нелинейной упругости в работе подробно описывается методика пространственной аппроксимации по методу конечных элементов. Показывается, что глобальные матрицы жесткости в разрешающих системах алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) при статическом и эволюционном описании, соответственно, могут быть плохо обусловленными при некоторых значениях параметров, входящих в определяющее соотношение материала. Согласно общей методике для решения жестких систем ОДУ используются неявные схемы Эйлера и Рунге-Кутта при аппроксимации по параметру внешнего нагружения соответствующих конечномерных задач Коши. В результате приходим к разрешающим системам нелинейных алгебраических уравнений вида

АР,(Х)Х? = (р,9 = 1,2,..., Я), (18)

где N — число свободных параметров аппроксимации, А € — гло-

бальная матрица переменных секущих или касательных модулей жесткости (при статическом и эволюционном описании, соответственно), X € — глобальный вектор искомых узловых параметров аппроксимации, В £ — глобальный вектор внешних силовых и кинематических воздействий.

Существенная нелинейность системы (18) определяет итеративность всех методов ее численного решения. В качестве начального приближения берется "упругое" решение

= А^(0)Вр. (19)

В настоящее время широкое распространение получили классические алгоритмы: метод упругих решений (квазиньютоновская процедура) и метод переменных параметров упругости (процедура простых итераций). Однако, хсак известно, с ростом числа обусловленности матрицы А скорость сходимости стандартных методов резко падает в окрестности решения X*. В работе устанавливается основная причина плохой обусловленности — появление в матрице А строк с множителями, имеющими существенно разный порядок при сильно нелинейном поведении материала. Для числа обусловленности доказывается справедливость следующего асимптотического соотношения;

сопсЦА) ~ С № А (ЛГ » 1), (20)

где Д — отношение наибольшего и наименьшего диагональных элементов матрицы А, С — постоянная, зависящая от параметров модели и геометрии области.

Для численного решения нелинейных систем алгебраических уравнений (18) предлагается новый метод Адаптивной Блочной Релаксации (АБР), нечувствительный к величине числа обусловленности матрицы жесткости. Идея метода состоит в итерационном уточнении решения путем разбиения переменных на блоки на каждом итерационном шаге и релаксации при помощи блочного варианта метода Зейделя.

1) В качестве нулевого приближения берется упругое решение (19).

2) По свойству метода конечных элементов матрица А является симметричной с ведущей главной диагональю. Поэтому, согласно соотношению (20), по текущему приближению А''"1' переменные разделяются на "быстрые" и "медленные" по критерию близости соответствующих диагональных элементов матрицы А<т> = А (Х(т>)

/<™> = {р=1,2, : Д*5"1)^ < ^/сМ < А*'1} (в = 1,2, ...,Ь - 1),

5=1

где Д — отношение наибольшего и наименьшего диагональных элементов матрицы Ь = шЦш 1дД) +1 — число блоков (I < Ь < Ы), и> > 0 — параметр декомпозиции. В результате исходное пространство разбивается на прямую сумму Ь попарно ортогональных подпространств, натянутых на переменные с номерами из непересекающихся множеств Важно отметить, что такое разбиение является индивидуальным для каждой итерации, т.е. X = Цтп).

3) Выполняется несколько шагов по блочному методу Зейделя. На практике достаточно одного-двух шагов.

По новому приближеню А'(т+1> переменные снова разделяются на "быстрые" и "медленные" и т.д.

4) В качестве критерия остановки используется условие малости невязки системы (18).

Отметим, что для параметра декомпозиции и = 0 метод АБР совпадает с методом переменных параметров упругости (простых итераций).

В вычислительной математике широко известен декомпозиционный (блочный) метод Шварца, используемый для решения линейных краевых задач .математической физики в сочетании с методом конечных элементов. Идея адаптивности в методе Шварца не используется, поскольку разбиение производится на фиксированные блоки.

В главе формулируется теорема глобальной сходимости метода АБР. Приводятся результаты вычислительных экспериментов по сопоставлению эффективности стандартного алгоритма переменных параметров упругости и метода АБР с и = 0.5 в зависимости от параметров моделей для пластических и нелинейно упругих материалов. Чётко фиксируется преимущество предлагаемого метода над стандартным алгоритмом как по точности определения деформированной конфигурации, так по времени счета.

Часть вычислительных экспериментов иллюстрирует теоретическую и практическую значимость результатов, полученных в предыдущих главах. Некоторые вычислительные эксперименты представляют самостоятельный интерес.

Задача 1. Численно исследовано плоское осесимметричное кинематическое кручение длинной круглой трубы, закрепленной по внутренней поверхности, в рамках модели физически нелинейной теории упругости с материальной функцией, имеющей участок немонотонности (Фиг.1).

Установлено, что при наличии участка немонотонности на диаграмме состояния оба численных метода не сходятся (зацикливают). В этот момент у глобальной матрицы жесткости появляются отрицательные собственные числа, что соответствует нарушению эллиптичности краевой задачи. На границе зон линейного и нелинейного деформирования появляется область незатухающих осцилляции перемещения. Амплитуда осцилляции уменьшается с увеличением числа дроблений радиуса. Однако, при этом возрастает размерность дискретной задачи и число обусловленности матрицы жесткости. Поэтому начиная с 50 дроблений амплитуда осцилляций практически не убывает. Обнаруженный эффект полностью согласуется с известным фактом о высокой степени неравномерности пластической деформации на площадке текучести.

При использовании осредненной материальной функции с линией Максвелла оба метода сходятся за 2-3 итерации. При этом решение регуля-ризированной задачи совпадает с решением исходной задачи в области

эегулярности и осредняет его в области осцилляций.

Задача 2. Численно исследовано плоское растяжение длинного бруса : продольными треугольными выточками в рамках физически нелинейной теории упругости с малым упрочнением.

Исследована эффективность численных методов при мягком (статиче-:ком) и жестком (кинематическом) нагружении (на боковых гранях зада-»ались, соответственно, поверхностная сила и перемещение). Например, щя статического нагружения на Фиг.2 (четверть поперечного сечения в лм.) метками 1 и 2 обозначены решения, полученные по предлагаемому и -.тандартному методам, соответственно. Жирной линией обозначена зона ^линейного поведения, приводимая в известной монографии К.Бреббия, »К.Теллес, Л.Вроубел "Методы граничных элементов". Решение, полу-¡енное по методу АБР, является более точным, поскольку на нем полная щергия системы принимает меньшее значение.

Задача 3. Численно исследован плоский обжим длинного бруса ква-фатного сечения абсолютно жесткими шероховатыми штампами в рам-:ах физически нелинейной теории упругости с малым упрочнением.

В первой серии экспериментов исследована эффективность численных 1етодов. На Фиг.З (четверть поперечного сечения в мм.) метками 1 и ! обозначены решения, полученные по предлагаемому и стандартному 1етодам, соответственно. Решение, полученное по методу АБР, явля-тся более точным, поскольку на нем полная энергия системы принимает 1еныпее значение.

Во второй серии экспериментов исследовано влияние немонотонности дааграммы состояния (Фиг.1) на решение задачи и на сходимость чи-ленных методов. Установлено, что при наличии участка немонотонно-ти на диаграмме состояния оба численных метода не сходятся (заци-:ливают). У глобальной матрицы жесткости появляются отрицательные обственные числа, что соответствует нарушению эллиптичности кра-вой задачи. На границе зон линейного и нелинейного дефомирования юявляется область незатухающих осцилляций перемещения.

При использовании осредненной материальной функции с линией Макс-«лла оба метода сходятся за 30-32 итерации. При этом решение регуля-шзированной задачи совпадает с решением исходной задачи в области регулярности и осредняет его в области осцилляций.

Задача 4. Численно исследована практически важная задача осесим-ютричного деформирования броневой футеровки конусной инерционной ;робилки КИД-2200 в рамках физически нелинейной теории упругости с [алым упрочнением. Все исходные данные предоставлены отделом фун-аментальных исследований института "Механобр".

Установлено, что решение, полученное по методу АБР, является более точным, поскольку на нем полная энергия системы принимает меньшее значение. Указаны области концентации нелинейных деформаций и оценен их уровень.

Задача 5. Численно исследовано осесимметричное жесткое кручение и обжим длинной круглой трубы, закрепленной по внутренней поверхности, в рамках классической и эндохронной моделей инкрементальной теории пластичности (модели (11) с А = Л = 0 и (12), соответственно). Процессы сложного деформирования задавались различными режимами изменения перемещений на внешнем радиусе.

В первой серии экспериментов установлено, что при монотонном лучевом деформировании между эндохронным и классическим решениями имеется асимптотическая связь по эндохронному параметру а —>■ +О, что полностью совпадает с известным теоретическим результатом.

Во второй серии экспериментов на примере циклического режима сравнивались остаточные перемещения в конце каждого полного цикла. При расчете по эндохронной модели с параметром а = 0.01 обнаружен эффект зацикливания обоих методов. В этот момент у матрицы жесткости зарегестрированы отрицательные собственные числа. Обнаруженный эффект связан с нарушением эллиптичности краевой задачи. Отметим, что структура эндохронного определяющего соотношения требует дополнительного итерационного уточнения угла излома 7 на каждом шаге основного итерационного процесса, что существенно увеличивает вычислительные затраты.

Задача 6. Численно исследовано осесимметричное деформирование круглого стержня на испытательной машине в эволюционной постановке (16) для монотонного лучевого нагружения и обобщенного потенциала Трелоара

\у{0) = 3МР"1 (|<5/л/з|Р - 1) + Л(с1е1(<Э)),

где непрерывная функция сжимаемости удовлетворяет всем необходимым условиям, параметр р > 1. При р = 1 потенциал удовлетворяет условиям (15).

В первой серии экспериментов проведено сравнение аппроксимацион-ных схем Эйлера и Рунге-Кутта: явных и неявных в сочетании с методом АБР. Установлено, что явные схемы имеют большую погрешность для параметра модели р « 1. Неявная схема Эйлера существенно эффективнее неявных схем Рунге-Кутта по времени счета при одинаковой точности.

Во второй серии экспериментов исследовано статическое растяжение стержня. Зафиксирован эффект образования шейки в центре стержня с

последующим ее расширением вдоль оси, что полностью совпадет с известными результатами.

В третьей серии экспериментов исследованы два важных эффекта второго порядка: эффект Пойнтинга (изменение длины стержня) при статическом кручении и появление осевой силы при кинематическом кручении. Установлено, что для параметра модели р = 2 при малых и средних углах крутки а справедливы соотношения Д/ ~ —а2 и ~ —а2, которые полностью согласуются с известными результатами. Однако, для параметров модели 1 < р < 2 при больших углах крутки уменьшение длины и осевая стягивающая сила пропорциональны ар.

В четвертой серии экспериментов исследовано кинематическое кручение стержня. На Фиг.4 приведена деформированная конфигурация (четверть осевого сечения в безразмерных приведенных координатах) для параметра модели р = 1.5 и угла крутки а — 2 тт. Отчетливо видны осевая и радиальная деформации, области сжатия и растяжения. Материал перераспределяется по длине стержня, концентрируясь у торцов, в середине стержня образуется шейка.

Отметим, что обнаруженные эффекты не описываются ни одной из известных теорий кручения призматических тел.

В Приложении А приводятся полные математические доказательства четырех теорем и одной леммы, сформулированных в главах 1-5.

В Приложении В приводятся необходимые сведения из функционального анализа и теории функций матричного аргумента.

В Приложении С приводятся известные результаты по применению классического метода дифференцирования по параметру для анализа и численного решения нелинейных систем алгебраических уравнений.

В Заключении перечисляются основные научные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Сформулирована и доказана общая теорема существования для вариационной проблемы теории малых статических деформаций. Классическое условие выпуклости потенциала заменено на более общее условие квазивыпуклости, допускающее неединственность равновесной деформированной конфигурации.

2. Для практически важных потенциалов, зависящих от выпуклых инвариантов тензора деформаций Коши, получены общие локальные условия выпуклости и выпуклости по рангу 1, оценивающие в смысле диаграммы импликаций <СсверхуЗ> и <Сснизу^> достаточное нелокальное

условие квазивыпуклости. Показано, что для потенциала физически не-пинейной теории упругости все виды выпуклости эквивалентны между собой, тогда как потенциал теории континуального разрушения может обладать любым видом выпуклости при соответствующем соотношении параметров среды.

3. Описан и применен метод регуляризации для вариационной проблемы физически нелинейной теории упругости с немонотонной материальной функцией. Для такой материальной функции введено понятие линии Максвелла по аналогии с теорией газа Ван-дер-Ваальса. Предложен математически обоснованный метод определения начального предела текучести для мягких сталей по экспериментальным диаграммам состояния.

4. Описана методика дискретизации вариационной проблемы статики [I проведен анализ корректности соответствующей конечномерной про-элемы. Для построения дискретной модели использована пространственная аппроксимация по методу конечных элементов. Установлено, что для конечномерной проблемы теории малых статических деформаций возможен эффект плохой обусловленности глобальной матрицы жесткости в разрешающей системе алгебраических уравнений. Эффект характерен ал я моделей, допускающих резкое уменьшение секущих переменных модулей упругости в процессе накопления малых статических деформаций.

5. С единых позиций в скоростях описаны классическая, эндохронная ¡1 дилатансионная модели инкрементальной теории пластичности. Установлена жесткость определяющего соотношения эндохронной модели при монотонном лучевом деформировании.

6. Сформулирована и доказана общая глобальная теорема существо-зания и единственности для эволюционного вариационного уравнения инкрементальной теории пластичности. Достаточные условия записаны в £орме легко проверяемых алгебраических условий на определяющее соотношение в скоростях. Показано, что основное достаточное условие является необходимым (т.е. неулучшаемым), не связано с термодинамическими постулатами и не сводится ни к классическому постулату Друк-кера, ни к одному из известных условий типа постулата Друккера.

7. Проведен анализ математической корректности моделей инкрементальной теории пластичности в рамках основного необходимого и достаточного условия теоремы существования и единственности. Установлено, что:

а) классическая модель пластичности является математически корректной для любой траектории деформирования при положительном упрочнении;

б) эндохронная модель является математически корректной для монотонной лучевой траектории деформирования при положительном упрочнении. Для траекторий общего вида (например, циклических режимов) вопрос остается открытым;

в) дилатансионная модель является математически корректной для любой траектории деформирования при определенном соотношении положительных параметров упрочнения, внутреннего трения и дилатансии. Полученное соотношение не зависит от условия ассоциированности модели.

8. Описана методика дискретизации эволюционного вариационного уравнения инкрементальной теории пластичности и проведен анализ корректности соответствующей конечномерной проблемы. Для построения дискретной модели использована пространственная аппроксимация по методу конечных элементов. Установлено, что для конечномерной проблемы инкрементальной теории пластичности возможен эффект жесткости аппроксимирующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Эффект характерен для моделей, допускающих резкое уменьшение касательных переменных модулей упругости в процессе накопления пластических деформаций. Существенная нелинейность и жесткость конечномерной проблемы определили применение неявных схем Эйлера и Рунге-Кутта для аппроксимации по параметру нагружения.

9. Сформулированы общие критерии существования для вариационной проблемы нелинейной теории упругости. Известное условие поливыпуклости потенциала заменено на более общее условие квазивыпуклости по тензору дисторсии, существенно ослаблено соответствующее условие коэрцитнвности — потребован лишь сверхлинейный рост потенциала по модулю тензора дисторсии. Для сжимаемых материалов потенциал доопределен непрерывным образом до бесконечности вне множества сохранения ориентации. На простом примере показана содержательность предлагаемых критериев существования.

10. Для потенциалов линейного роста по модулю тензора дисторсии установлена возможность отсутствия устойчивого к конечным вариациям решения соответствующей вариационной проблемы нелинейной теории упругости. Показано, что этот эффект связан с существованием предельной нагрузки, т.е. с ограниченностью множества допустимых силовых воздействий, которое способно воспринимать данное тело. Дано определение предельного параметра нагружения и предельной нагрузки. Доказан общий достаточный признак конечности предельного параметра нагружения для широкого класса силовых воздействий и указан способ построения для него нижней и верхней аналитических оценок. Приведены содержательные примеры как нахождения точного значения, так и

гостроения оценок сверху для предельной нагрузки в краевых задачах не-ганейной теории упругости, а также отсутствия решения, понимаемого в слассическом или обобщенном смысле.

11. Для потенциалов линейного роста по модулю тензора дисторсии установлен эффект существования отображений с разрывами типа про-жальзывания в соответствующей вариационной проблеме нелинейной те-зрии упругости. Показано, что этот эффект связан с узостью классиче-жого множества допустимых отображений. Математическое обоснование I физическая интерпретация существования решений с разрывами типа соскальзывания в вариационных проблемах нелинейной теории упругости проведены на примере двух содержательных краевых задач.

12. Описана методика дискретизации вариационной проблемы нелинейной теории упругости для конечного отображения и проведен анализ корректности соответствующей конечномерной проблемы. Для постро-зния дискретной модели использована пространственная аппроксимация ю методу конечных элементов. Подробно освещен вопрос аппроксимации условия несжимаемости. Установлено, что для потенциалов, имеющих рост по модулю тензора дисторсии выше линейного, но ниже квадратич-яого, дискретная модель краевой задачи нелинейной теории упругости может оказаться плохо обусловленной в случаях, когда искомое отображение имеет большой перепад модуля градиента в расчетной области.

13. Показано, что краевая задача нелинейной теории упругости может эыть поставлена в эквивалентной форме эволюционного вариационного уравнения — в слабой форме абстрактной задачи Коши по параметру внешнего нагружения.

14. Сформулирована и доказана теорема существования и единственности для эволюционного вариационного уравнения нелинейной теории упругости. Подробно освещен вопрос учета условия несжимаемости. Обсуждены условия общей теоремы существования, сформулированы соответствующие математические проблемы и указаны пути их решения в рамках теории дифференциальных включений.

15., Описана методика дискретизации эволюционного вариационного уравнения нелинейной теории упругости и проведен анализ корректности соответствующей конечномерной проблемы. Для построения дискретной модели использована пространственная аппроксимация по методу конечных элементов. Подробно освещен вопрос аппроксимации условия несжимаемости. Установлено, что для конечномерной эволюционной проблемы нелинейной теории упругости возможен эффект жесткости аппроксимирующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Эффект характерен для моделей, допускающих резкое уменьшение касательных

переменных модулей- упругости в процессе конечного деформирования. Последнее определило применение неявных схем Эйлера и Рунге-Кутта для аппроксимации по параметру внешнего нагружения.

16. Предложен новый численный метод решения конечномерных задач теорий пластичности и нелинейной упругости, названный методом Адаптивной Блочной Релаксации (АБР). Идея метода состоит в итеративном уточнении решения путем специального разбиения переменных на блоки на каждом итерационном шаге и релаксации при помощи блочного метода Зейделя. Сформулирована и доказана теорема глобальной сходимости метода АБР, указана квалифицированная оценка скорости сходимости.

17. Приведены результаты прочностного анализа броневой футеровки конусной инерционной дробилки КИД-2200, изготовленной из стали Гат-фильда 110Г13ЛА. Использована осесимметричная вариационная постановка в рамках физически нелинейной теории упругости с малым упрочнением. Показана высокая эффективность метода АБР.

18. Проведено численное исследование осесимметричной краевой задачи кручения круглого стержня на испытательной машине в эволюционной постановке. Показана высокая эффективность неявной аппроксима-ционной схемы Эйлера по параметру внешнего нагружения в сочетании с методом АБР. Численно обнаружены эффекты, не описываемые ни одной из известных теорий кручения призматических тел.

19. Приведены результаты вычислительных экспериментов, показывающие нечувствительность метода АБР к числу обусловленности разрешающей системы алгебраических уравнений на примере двух плоских задач физически нелинейной теории упругости с упрочнением.

20. Приведены результаты вычислительных экспериментов, показывающие эффективность метода АБР при решении модельной краевой задачи нелинейной теории упругости в стационарной постановке.

21. При помощи стандартного метода и метода АБР проведено численное исследование модельной краевой задачи пластичности для классической и эндохронной моделей инкрементальной теории пластичности.

22. Приведены результаты вычислительных экспериментов, показывающие принципиальную необходимость регуляризации краевой задачи физически нелинейной теории упругости с немонотонной материальной функцией (т.е. необходимость построения линии Максвелла).

Основные публикации по теме диссертации:

1. бригаднов И.а. о новом численном методе решения задач пластичности для малоупрочняющихся и идеальнопластических материалов. Деп. в ВИНИТИ 04.04.1989. N 2215-В89. 18 с.

2. Бригаднов И.А., Репин С.И. О численном решении задач пластичности для малоупрочняющихся материалов// Изв. АН СССР. МТТ. 1990. N 4. С.73-79.

3. Бригаднов И.А. О численном решении краевых задач пластичности при сложном деформировании. В сб. докл. Всесоюз. науч. конф. "Проблемы теоретической и прикладной математики". ЭССР, Тарту 21-22 сентября 1990. С.290-293.

4. Бригаднов И.А. О вариационной постановке краевых задач для некоторых гиперупругих материалов. Деп. в ВИНИТИ 07.06.1991. N 2409-В91. 12 с.

5. Бригаднов И.А. О численном решении краевых задач упругопла-стического течения// Изв. РАН. МТТ. 1992. N 3. С.157-162.

6. Бригаднов И.А. О существовании предельной нагрузки в некоторых задачах гиперупругости// Изв. АН. МТТ. 1993. N 5. С.46-51.

7. Бригаднов И.А. Существование решения краевой задачи гиперупругости для сжимаемых материалов. Деп. в ВИНИТИ 08.09.1994. N 2168-В94. 20 с.

8. бригаднов И.а. Численное решение краевой задачи гиперупругости в приращениях// Изв. АН. МТТ. 1994. N 6. С.42-50.

9. brigadnov I.A. Finite element method for solution of boundary value problems of nonlinear elasticity. In: Proceedings of "Finite Element Method in South Africa (FEMSA'95)". South Africa, Stellenbosch 15-20 January 1995. P.12-20.

10. brigadnov I.A. Adapting finite element method for boundary value problems of nonlinear elastisity. In: Book of absrtacts of Inter, conf. "Optimization of Finite Element Approximations". Россия, С.Петербург 25-29 июня 1995. C.42-43.

11. brigadnov I.A. Numerical methods for boundary value problems of finite deformation viscoplasticity. In: Proceedings of "1995 International Mechanical Engineering Congress and Exposition". USA, San Francisco 12-17 November 1995. V.2. P.58-66.

12. Бригаднов И.А. Исследование начально-краевых задач пластичности для классических и эндохронных моделей. Материалы 1-ой Междунар. конф. "Научно-технические проблемы прогнозирования

надежности и долговечности металлических конструкций и методы их решения". Россия, С.-Петербург 28-30 ноября 1995. С.24-26.

13. Бригаднов И.А. Исследование краевых задач деформационной теории пластичности с немонотонной материальной функцией. Материалы 1-ой Междунар. конф. "Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности металлических конструкций и методы их решения". Россия, С.-Петербург 28-30 ноября 1995. С.27-29.

14. БРИГАДНОВ И. А. Теоремы существования для краевых задач гиперупругости// Матем. сборник. 1996. Т.187. N 1. С.3-16.

15. brigadnov i.A. Regularization method for nonconvex boundary value problems of plasticity. In: Proceedings of "First South African Conference on Applied Mechanics (SACAM'96)". South Africa, Midrand, Gauteng 1-5 July 1996. P.14-20.

16. Brigadnov I.A. Numerical methods in non-linear elasticity. In: Proceedings of the Second ECCOMAS Conference on Numerical Methods in Engineering. France, Paris 9-13 September 1996. P.158-163.

17. БРИГАДНОВ И.А. Математическая корректность и численные методы решения начально-краевых задач пластичности// Изв. АН. .МТТ. 1996. N 4. С.62-74.

18. БРИГАДНОВ И.А. Регуляризация и обобщенное решение невыпуклых краевых задач теории малых деформаций// Изв. АН. МТТ. 1996. N 5. С.46-52.

19. Brigadnov I.A. Regularization of plastic nonconvex problems. In: Proceedings of the Symposium "Plasticity and Impact Mechanics (IMPLAST'96)". India, New Delhi 11-15 December 1996. P.17-22.

20. Бригаднов И.А. О математической корректности краевых задач эластостатики для гиперупругих материалов// Изв. АН. МТТ.

1996. N 6. С.37-46.