Математические модели процессов в нелинейном кольцевом интерферометре: пространственные и временные хаотические явления тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

Лячин Александр Владимирович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНОМ КОЛЬЦЕВОМ ИНТЕРФЕРОМЕТРЕ: ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ И ВРЕМЕННЫЕ ХАОТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

01.04.05-Оптика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск-2005

Работа выполнена на кафедре квантовой электроники и фотоники Томского государственного университета (ТГУ)

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Пойзнер Борис Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Шандаров Станислав Михайлович.

кандидат физико-математических наук, доцент Владимиров Сергей Николаевич

Ведущая организация: Институт оптики атмосферы СО РАН

Защита состоится " 22 " декабря 2005 г. в 14 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д. 212.267.04 при Томском государственном университете по адресу:

634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, ауд. 119.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан " ноября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, — Пойзнер Б.Н.

Qs-93

1. Общая характеристика работы

1.1. Состояние вопроса и актуальность темы диссертации.

Развитие современной нелинейной оптики происходит под воздействием нескольких тенденций. Сказывается влияние синергетической парадигмы с её вниманием к проблеме сложного, в том числе - сложного поведения в нелинейных системах1. Расширяется выбор подходов к решению проблем обработки информации. В частности, это касается задач адаптивной оптики (включая атмосферную2), задач управления параметрами оптических полей3,4, разработки принципов и оптических устройств обработки информации5.

Самостоятельным научно-техническим направлением становится создание методов и систем конфиденциальной связи, использующих явление детерминированного хаоса6. В оптических системах этот феномен исследован недостаточно как в теоретическом, так и экспериментальном плане, хотя изучение его ведётся регулярно7"11. Детерминированный хаос обнаружен в системах различной природы12"18. Фундаментальное значение исследований хаоса подчёркивает лауреат Нобелевской премии академик В.Л. Гинзбург. В его списке «проблем, представляющихся особенно важными и интересными

1 Малинецкий Г.Г. Синергетика, нелинейность и концепция Роджера Пенроуза // Пенроуз Р. Новый ум короля. М: Едиториал УРСС, 2005. С. 4-25.

2 Лукин В.П., Фортес Б.В. Адаптивное формирование пучков и изображений в атмосфере. -Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999. - 214 с.

3 Cannon Т., Buljan #., SegevM. Optics Express, 2004. V. 12. № 15, P. 3481-3487.

4 Schwartz Т., Fleischer J. W., Cohen O., et al. J. Opt. Soc. Am. B, 2004. К 21. № 12. P. 21972205.

s Закиров P.3., Павлов A.B. Оптические и лазерные технологии: Сб. статей / Под ред. В.Н. Васильева. - СПб: СПбГИТМО (ТУ), 2001. С. 33-50.

6 Garcia-OjalvoJ., Roy R. Proc. SPIE, 2002. P. 1-8.

7 Ikeda К. Opt. Comm, 1979. V. 30. № 2. P. 257-260.

8 Новые физические принципы оптической обработки информации: Сб.ст. / Под ред. С.А. Ахманова, М.А. Воронцова. - М.: Наука, 1990. С. 13-33; 263-326.

9 Розанов H.H. Оптическая бнстатбильность и гистерезис в распределенных нелинейных системах. - М.: Наука, 1997. - 336 с.

10 Chesnokov S.S., Rybak.A.A. Laser Physics, 2000. К 10. № 5. Я. 1 -8.

" Балякин A.A., Рыскин Н.М. Изв. РАН Сер. физ., 2001. Т. 65. № 12. С. 1741-1744. 12 Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. - М: Наука, 1987. - 424 с. " Ермолаев Ю.Л., Санин AJL Электронная синергетика. - Л.: Изд-во Ленигр. ун-та, 1989. - 248 с.

14 Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику. - М.: Наука, 1997. - 255 с.

15 Трубецков Д.И. Введение в синергетику: Хаос и структуры / Предисл. Г.Г. Малинецкого. М.: Бдиториал УРСС, 2004. - 240 с.

16 Владимиров С.Н. Изв. вузов. Физика, 1998. № 4. С. 91 -97.

" Анишенко B.C., Вадивасова Т Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы. - Саратов: Изд-во Capar, ун-та, 1999.-368 с.

18 Кузнецов С П. Динамический хаос Курс лекций. Учебное пособие дм студентов вузов, обучающих-сяпофизическимспециалыюстам.-М:Физмагп1ш;2001.-29бс. - -

с учётом ситуации на конец XX века» 11-е по важности место (из 30-ти) занимают: «Нелинейная физика. Турбулентность. Солитоны. Хаос. Странные аттракторы»19.

Среди оптических систем, представляющих интерес в указанных ранее аспектах, выделяется нелинейный кольцевой интерферометр (НКИ) - рис. 1. Начиная с работ К. Икеды и его соавторов (1979-1986), проводятся теоретические и экспериментальные йсследования поведения кольцевого интерферометра с керровской нелинейностью и запаздыванием. Этой теме посвятили работы многие авторы, например С.А. Ахманов и М.А. Воронцов с коллегами; П.С. Ланда; Н. Adachihara, Н. Faid; V.J. Firth; H.H. Розанов; J. Garcia-Ojalvo, R. Roy; C.C. Чесноков, A.A. Рыбак, В.И. Станичук; Н.М. Рыскин, A.A. Балякин. Их работы различаются по содержанию, что связано с выбором физических приближений и математического аппарата, а также по методам получения результатов.

Рис. 1. Схема нелинейного кольцевого интерферометра и ход лучей в НКИ при повороте светового поля на Д=120° в плоскости хОу. Траектории лучей 1,2, 3, замыкающиеся после трех обходов. Мь Мг- светоделители, М}, jW4- зеркала, НС - нелинейная среда., G- линейный оптический элемент

До сих пор в текущей литературе незаметна тенденция сравнительного анализа результатов, полученных в рамках различных подходов и моделей, в контексте систематизации закономерностей, выявляемых на их основе. Показательно также, что количество работ, в которых обсуждаются возможности применения полученных результатов, весьма мало.

Насколько можно судить по литературе, внимание специалистов по вопросам распространения лазерного излучения в нелинейных средах постепенно начинает переключаться на изучение факторов и механизмов, ограничивающих рост процессов, лежащих в основе нелинейных явлений. В работах (В.Е. Семенов и др., 2000; А.П. Сухорукое с коллегами, 2000; N.HRosanov et al, 2001) подчёркивается необходимость учёта подобных механизмов при теоретических исследованиях и моделировании процессов распространения лазерного излучения в нелинейных средах. Однако в литературе неизвестны работы, в которых учтено влияние ограничения нелинейности применительно к каким-либо кольцевым системам.

19 Гинзбург В.Л, Какие проблемы физики и астрофизики представляются сейчас особенно важными и интересными (тридцать лет спустя, причем уже на пороге XXI века)? // Успехи физических наук, 1999. Т. 169. № 4. С. 419-442.

Возможность использования нелинейного кольцевого интерферометра для управления лазерным излучением изучается с начала 1990-х гг. (S.A. Akhmanov et. al., 1992; Т. Cannon et al.-, T.Sclnvartz et al.). В статье R. Martin et al., 1997 рассматривается вариант НКИ с дополнительным контуром обратной связи (КОС), содержащим фурье-фильтр для управления формообразованием структур и подавления турбулентного режима.

Однако не приводится каких-либо результатов по изучению сложной динамики в подобной оптической системе, в частности, режима детерминированного хаоса. Так, не изучен вопрос о том, как влияют на бифуркационное поведение параметры НКИ с дополнительным контуром обратной связи. Это ограничивает дальнейшее рассмотрение подобного устройства в плане применения его для обработки оптической информации (в том числе - её скрытой передачи), управления параметрами лазерного излучения.

Кроме того, в литературе не был проявлен интерес к изучению особенностей пространственных распределений величин какйх-либо значимых характеристик (например, показателя преломления среды, амплитуды, фазы волны) оптической системы, функционирующей в статическом режиме.

Следовательно, представляется актуальным дополнить изучение - в указанных выше аспектах - закономерностей нелинейной динамики и бифуркационного поведения в моделях НКИ.

Актуальность избранной темы диссертации подтверждается и поддержкой исследований автора Федеральным агентством по образованию Ми-нобрнауки РФ (Программа: «Развитие научного потенциала высшей школы»), проект № 60321.

1.2. Цели и задачи диссертационной работы

1) Построение моделей процессов в интерферометре в виде обыкновенных дифференциальных уравнений и на языке дискретных отображений, а также соответствующих компьютерных программ, учитывающих ряд физических факторов и выяснение их влияния на сложную динамику.

2) Выяснение действия различных групп параметров в моделях интерферометра на сложную динамику процессов в нём.

3) Разработка теории, моделей и изучение особенностей пространственных распределений характеристик оптического поля на выходе НКИ, функционирующего в статическом режиме.

4) Аналитическое и численное исследование устойчивости решений и выяснение условий наступления бифуркаций различных типов в модели процессов в НКИ с дополнительным контуром обратной связи.

5) Изучение возможности использования различных схем интерферометра для целей скрытой передачи информации.

1.3. Методы исследования.

Для решения поставленных задач использованы методы теории устойчивости Ляпунова, теории колебаний и бифуркаций; применялось численное моделирование, основанное на решении систем нелинейных алгебраических уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных; техника вычислительного эксперимента; понятия нелинейной оптики, теории множеств, теории графов и криптологии.

1.4. Научные положения, выносимые на защиту

I. В модели динамики нелинейного фазового набега в нелинейном кольцевом интерферометре (с поворотом оптического поля в поперечной плоскости лазерного пучка на угол А = 120°) в приближении отсутствия диффузии имеют место - в зависимости от параметров нелинейности К и видности у -мягкая бифуркация Андронова-Хопфа (бифуркация рождения предельного цикла) либо жёсткое разрушение предельного цикла.

П. Пространственный детерминированный хаос - это статическое состояние нелинейной динамической системы с распределенными параметрами такое, что последовательность подмножеств Р/ множества скалярных динамических переменных Р, выделяемая «наблюдателем» по некоторому (обусловленному особенностями динамической системы) регулярному алгоритму, является нерегулярной, апериодической, обладающей основными свойствами случайного процесса. Причём подмножества Р; равномощны, не совпадают (Р/^Ру при %'), покрывают множество динамических переменных Р (Р = и/Р,), и пересечения Р,г>Р,+1 равномощны.

III. Для те-мерной динамической системы, описываемой совокупностью т (т»\) эволюционных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно вектора динамических переменных {<71М> <7г(0> —> #«(')}> в случае статического режима (с^/с1/=0) возможен переход к у'-мерному дискретному отображению с пространственной эволюционной переменной, где )<т, а количество итераций ограничено и не превышает т-1. При таком переходе в модели нелинейного кольцевого интерферометра для замкнутой цепочки транспозиционных точек имеет место (не)устойчивость в дискретном отображении, если статическое состояние системы (не)устойчиво.

IV. Для модели изменения нелинейного фазового набега в кольцевом интерферометре проявляется чувствительность сложной динамики к трёхфо-тонному процессу, когда интенсивность низкочастотного компонента Ь2 в спектре велика настолько, что верно условие 2 Ь2 (/рь)1/2> 1, где рь - размерный параметр, характеризующий долю потерь энергии на единицу длины нелинейной среды протяжённостью 1. При 2 Ь2(1$ь)иг« 1 влиянием трёхфо-тонного процесса можно пренебречь.

V. Для «точечной» модели двухконтурного нелинейного кольцевого интерферометра (ДНКИ) в приближении больших потерь и пренебрежении

временами гС1 запаздывания поля в контурах обратной связи, в которых потери равны, когда оптическое поле в поперечной плоскости лазерного пучка поворачивается на угол \~2nMJm (где г=1,2; т и М< - целые числа, определяющие количество транспозиционных точек и шаг перемещения по ним), причем Д,=0, Д,*0:

- если т - чётное, то строение бифуркационных диаграмм (БД ) такое же, что и для модели одноконтурного НКИ с Д=0;

- если т - нечётное, то структуры БД для модели ДНКИ существенно отличаются от аналогичных для моделей НКИ как с Д=ДЬ так и с Д=Д,-.

VI. В качестве основы устройства конфиденциальной связи двухконтур-ный нелинейный кольцевой интерферометр с различными временами запаздывания /с, произвольной комбинацией углов А,, Д2 поворота оптического поля в поперечной плоскости лазерного пучка и удвоенных коэффициентов потерь/передачи у;, "{г в контурах обратной связи более устойчив к «взлому» (методами корреляционного анализа) значений гсЬ А/, у;, чем одноконтурный НКИ, где 1=1,2.

1.5. Достоверность защищаемых положений

Достоверность I положения обеспечивается, во-первых, результатами моделирования процессов в нелинейном кольцевом интерферометре на основе программ, испытанных на тестовых задачах, а также подвергнутых проверке с помощью независимо созданных программ; во-вторых, согласием с известными представлениями о причинах сложной динамики; в-третьих, согласием со структурой бифуркационных диаграмм, построенных С.А. Ахмановым, М.А.Воронцовым (1990) для случая А=180° и А.Л. Магазинниковым (1998) для случая А=120° в НКИ.

Достоверность II и Ш положений основывается, во-первых, на строгом математическом выводе дискретного отображения с пространственной эволюционной переменной; во-вторых, в пользу корректности этих положений говорит следующий факт. Детерминированное, но нерегулярное распределение нелинейного фазового набега £/, (т.е. пространственный детерминированный хаос) в поперечной плоскости выходного лазерного пучка в НКИ формируется тогда и только тогда, когда множество Р разбивается на подмножества Р/, которые удовлетворяют условиям, указанным в выдвинутом теоретико-множественном определении пространственного детерминированного хаоса (ПДХ). Данное утверждение базируется на комплексе расчётов и построений: с одной стороны структур £/(г), генерируемых в НКИ, а с другой - дискретного пространственного распределения 1?, (эквивалент временной реализации), фазового портрета, спектра Фурье, ляпуновских характеристических показателей Л (ЛХП), фрактальной размерности Бо-

Корректность модели, методики и данных вычислительных экспериментов доказывает сходство карт Ой(К, у), А(К, у) с картой динамических режи-

мов (С.П. Кузнецов, 2001) и с картой распределения старшего ляпуновского показателя Л на плоскости параметров отображения Икеды.

Достоверность IV положения подтверждается данными моделирования, послужившими основой для построения комплекса карт ЛХП, а его содержание согласуется с классическими представлениями нелинейной оптики о трёхфотон-ных процессах в керровских средах (С.А. Ахманов, Р.В. Хохлов, 1964).

Достоверность V положения доказывается анализом комплекса построенных бифуркационных диаграмм. Модели, алгоритмы и компьютерные программы, использовавшиеся, для построения БД, протестированы путём сведения к случаю одноконтурного НКИ.

Достоверность VI положения подтверждается серией вычислительных экспериментов. Построение авто- и кросскорреляционных функций для временных реализаций амплитуд в точках поперечного сечения лазерного пучка на выходе ДНКИ демонстрирует невозможность восстановления значений параметров модели. Кроме того, содержание шестого положения согласуется с результатами компьютерной имитации процесса шифрации и дешифрации информационного сигнала с помощью ДНКИ и НКИ.

1.6. Научная новизна

Содержание I положения есть результат исследования характера переходов между динамическими режимами в точечной модели процессов в НКИ для широкого интервала значений параметров нелинейности и потерь.

II и Ш положения отражают содержание понятия пространственного детерминированного хаоса и идеи рассматривать дискретное отображение с пространственной эволюционной переменной - в противоположность традиционному подходу (например, К. Икеды), оперирующему временной переменной. Новизну положению Ш придаёт ещё и демонстрация (на конкретном примере) того свойства, что устойчивость статического состояния НКИ обусловливает устойчивый режим в дискретном отображении и наоборот. В литературе подобные выводы не обнаружены.

Оригинальность IV положения связана с предложением учёта влияния трёхфотонного процесса; с построением соответствующей математической модели; с выдвижением адекватных приёмов изучения влияния физических факторов и представления результатов моделирования.

Новизна V и VI положений обусловлена тем, что до сих пор никем не строились бифуркационные диаграммы, а также не исследовалась устойчивость ДНКИ как шифратора к «взлому» значений его параметров.

1.7. Научная ценность работы

Ценность П положению придаёт математическая строгость определения пространственного детерминированного хаоса, которое необходимо для идентификации ПДХ в контексте анализа пространственных распределений параметров оптического излучения, НКИ и других нелинейных систем.

Ш положение ценно тем, что, во-первых, в общем случае для многомерной динамической системы в статическом режиме обоснован переход от её модели, в виде обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) к многомерному дискретному отображению. Во-вторых, анализ устойчивости системы (на примере НКИ) в статическом состоянии сводится к анализу дискретных отображений (ДО). Поэтому он не требует обращения к модели в форме ОДУ, и отпадает необходимость в привлечении методов вычислительной математики для решения ОДУ.

IV положение указывает условия, при которых начинается влияние генерации третьей гармоники на сложную динамику в модели НКИ, когда на его вход поступает лазерное излучение высокой интенсивности.

V положение позволяет для «точечной» модели двухконтурного НКИ раскрыть зависимость расположения стационарных решений с учётом их устойчивости от управляющего параметра, а также предсказать влияние параметров модели на структуру бифуркационных диаграмм для ДНКИ.

1.8. Практическая значимость

Практичность I положения способна проявиться при создании оптической системы обработки информации.

V положение указывает условия, при которых модели двух- и одноконтурного НКИ равносильны с точки зрения бифуркационного поведения.

VI положение раскрывает преимущество двухконтурного НКИ как основы криптосистемы оптического диапазона. Например, результат дешифрации чувствителен к несовпадению углов поворота поля в контурах обратной связи интерферометра-шифратора и в дешифраторе, причём значения этих углов не вскрываются средствами корреляционного анализа.

1.9. Внедрение результатов диссертации и рекомендации по их дальнейшему использованию.

Большинство результатов получены автором в период 1998-2005 гг. Ряд результатов внедрён в учебный процесс (на кафедре квантовой электроники и фотоники ТГУ): в курсы «Основы синергетики», «Функциональная электроника» и «Нелинейная оптика», в содержание научно-исследовательской подготовки студентов 3-б-го курсов. Результаты, касающиеся содержания модели процессов в нелинейном кольцевом интерферометре с учётом трёх-фотонных явлений, а также методики построения и интерпретации карт дробной размерности аттракторов, использованы на кафедре общей физики Российского государственного профессионально-педагогического университета (г. Екатеринбург).

1.10. Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на:

- научных семинарах кафедры квантовой электроники и фотоники ТГУ;

- научных семинарах кафедры электронных приборов Томского университета систем управления и радиоэлектроники;

-международных и всероссийских конференциях: «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 1999-2004), «Циклы. Cycles» (Ставрополь, 1999, 2002, 2005), «Современные проблемы физики и технологии» (Томск, 2001-2004), «Моделирование неравновесных систем» (Красноярск, 2001-2002), «Восьмая всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых» (Екатеринбург, 2002), «Математика. Компьютер. Образование.» (Дубна, 2002), «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (Москва, 2002), «Организация структур в открытых системах» (Алматы, 2002), «Оптика и образование» и «Фундаментальные проблемы оптики» (Санкт-Петербург, 2002, 2004), «0птика-2003» и «0птика-2005» (Санкт-Петербург), «Кристаллофизика 21-го века» (Москва, 2003), «Atomic and Molecular Pulsed Lasers» (Томск, 2003, 2005), «Современные проблемы физики и высокие технологии» (Томск, 2003-2005), «58-я Республиканская научная конференция молодых ученых, магистрантов и студентов» (Алматы,

2004), «Анализ и синтез как методы научного познания» (Таганрог, 2004), «IV International young scientists ' conference on applied physics» (Киев, 2004,

2005), «Frontiers of nonlinear physics» (Нижний Новгород, 2004), «Fundamental Problems of Opto- and Microelectronics» APCOM'2004 (Хабаровск, 2004), «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, 2004), «Physics and Control» (Санкт-Петербург, 2005), «Systems of Optical Security» (Варшава, 2005).

Ряд результатов диссертации вошел в работы за которые автор был награждён дипломом Минобразования РФ по итогам Всероссийского открытого конкурса 2002 г. на лучшую научную студенческую работу по естественным, техническим и гуманитарным наукам в ВУЗах РФ; дипломом стипендиата 2004 года (стипендия им. Д.И. Менделеева для аспирантов естественных факультетов ТГУ. Стипендия учреждена в 2004 году); дипломом лауреата конкурса Томской области в сфере образования и науки.

1.11. Публикации

По теме диссертации опубликовано 50 печатных работ: 12 статей (из них 5 - в журналах РАН и журналах серии «Известия вузов», 1 - в российском научно-методическом журнале, 3 - депонировано в ВИНИТИ, 2 - в трудах SPIE, 1 - в трудах IEEE), материалы 38-ми докладов на конференциях (в том числе - 29-ти - на международных). 1

1.12. Личный вклад диссертанта.

В диссертации использованы только те результаты, в получении которых автору принадлежит определяющая роль. Опубликованные работы написаны либо без соавторов, либо в соавторстве с членами научной группы, а также со студентами: С.М. Авдеевым, П.Е. Денисовым, C.B. Лесиной, М.Е. Назаровым, И.В. Романовым, Д.А. Шергиным. В совместных работах

диссертант принимал участие в расчётах, объяснении и интерпретации результатов моделирования. Постановка задач исследований осуществлялась научным руков.одителем, в ряде случаев - к.ф.-м.н. И.В. Измайловым или к.ф.-м.н. A.JI. Магазинниковым.

1.13. Структура и объем диссертации.

Приведённые цели и задачи определили структуру и содержание исследования. Диссертация состоит из Введения, четырёх глав, Заключения, списка литературы и Приложений. Общий объём диссертации 217 страниц текста, в том числе 86 рисунков и 4 таблицы, 5 Приложений. Библиографический список включает 262 наименования.

2. Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность исследования явлений и процессов в нелинейном кольцевом интерферометре. Формулируется цель и задачи работы, методы исследований, положения, выносимые на защиту.

2.1. В I главе «Применение представлений нелинейной динамики для разработки принципов и устройств информационной оптики» систематизирована литература, позволяющая оценить современное состояние исследований, которым посвящена диссертация. Литературный обзор свидетельствует, в частности, об отсутствии результатов, касающихся важных аспектов нелинейной динамики в НКИ. Он позволил уточнить задачи исследования. Часть материалов обзора использована при составлении методических указаний для студентов РФФ ТГУ, использующихся в учебном процессе в курсе «Функциональная электроника».

2.2. П глава «Методы исследований процессов в нелинейной динамике (на примере изучения модели нелинейного кольцевого интерферометра)» содержит инструментальную часть, излагающую основные математические методы исследования сложной динамики в моделях нелинейных систем. Рассмотрены принципы анализа устойчивости по Ляпунову, корреляционного анализа и гипотеза Каплана-Йорке. Построена классификация дробных размерностей аттракторов.

. Изложен вывод базовой математической модели, описывающей динамику двухчастотного оптического поля (а„с, Ь„с, <р1|С, ц)м) и нелинейного фазового набега {/(г, г) в НКИ (предложенной И.В. Измайловым с соавторами в 2002 г.):

тп(г) d(J(r, t)!dt = Z)e(r) AU(r, t) - U(r, t) +Дг, t), flr,t) = n2(r) Ikan <E2llc(r, 0>т=an «2(r) 1k [a2,lc(r, t)+b\c(r, /)] = =Kab(r,t,r) + p Kab(r\t-x,r) + [y(r', г)/ст] x x{ Ka(r,t,r\t-x) cos[(l+£) cot + <p(r, t) - <p(r', t-x) + y(r, t) - y(r', i-т)] + +Kb(r,t,r\t-x) cos[(l-<7) сот + <p(r, t)-<p(r\ t-x) - у(г, t) + ч/(г', t-x)]}. (1)

Здесь к=2n/k - волновое число; x=x(r', t)=tt(r\ t) + U(r\ t-tt{r\ i))/o; /e(r, /) = n<,(r) II с + /й(г, t) - эквивалентное время запаздывания или время рас-

пространения светового поля в НКИ, обусловленное значением линейной части щ(г) показателя преломления нелинейной среды (НС) и временем запаздывания г0(Г) £) в контуре обратной связи (КОС) НКИ; /-длина НС, с - скорость света; г и г' - координаты точек в поперечном сечении светового пучка откуда начинается луч и куда он попадает после обхода КОС; y(r',t)~ удвоенный амплитудный коэффициент потерь излучения за проход через НКИ; а-коэффициент растяжения пучка в элементе G; А(г) - коэффициент диффузии молекул НС, нормированный ко времени релаксации т„(г) НС; КаЪ и Ка, Kb - «смешанный» и «парциальные» параметры нелинейности; q - параметр бихроматичности.

«Точечный» аналог модели (1) имеет вид:

f^fit)~Kabit)+pKabX-U{t-%) + [7W(0/a] х X { t-x) COs[(l+g) ЮТ + ф;(0 - фи(*-Т) + Wi(t) - ^i-\(t~X)] +

+■ КЬц-iit, t-x) cos[( 1 -q) сот + ф|(0 - фМ(г-т) - + ('-?)] }. (2)

В оригинальной части II главы сформулированы соответствующие приближения, описаны частные случаи моделей (2) и (1):

тп + Uit)=/v; [ 1 +Yi cos(l/j(0 + фо ¡)], (3)

j=l,2,...,m; i=2,3,...,m, 1

xadU(x,y,t)/dt+ U(x,y,t)=De {&U/dxz+ crU/dy2}+

+K[l+4cos(U(x,y,t) + 4>Q)]. (4)

Составлены программы для изучения моделей (3) и (4), произведена их отладка и тестирование. Проведён цикл вычислительных экспериментов. Построены типичные фазовые портреты, зависимости двух старших ЛХП от К (рис. 2, а), карта динамических режимов на плоскости параметров модели К{у) (рис. 2, б), распределения фазы лазерного пучка в поперечной плоскости (рис. 3), зависимости порогового значения параметра нелинейности (при котором наступает бифуркация удвоения периода) от времени запаздывания в контуре обратной связи НКИ (рис. 4, б).

Идентифицированы динамические режимы в модели (3), выяснено влияние на них параметра нелинейности К и видности у. Построенная карта динамических режимов позволяет установить, в каких областях параметров системы реализуется устойчивая стационарная точка, предельный цикл, странный хаотический аттрактор (рис. 2, б), а также характер перехода между ними (защищаемое положение I). Зависимость порогового параметра нелинейности Кп от времени запаздывания (рис. 4, б) показывает границу устойчивости режима, соответствующего стационарной точке. Построение распределения фазы лазерного пучка в поперечной плоскости (рис. 3) позволило выявить зависимость длительности формирования структур от параметров нелинейности и диффузии.

; ) П

Л(1

ииш

: %; ;•■! 'Л ' !•'$ г

Рис. 2. Зависимость двух старших ЛХП от параметра нелинейности К для у=0.9 и вид фазовых портретов для трёх типичных режимов (а). Карта динамических режимов НКИ с Д=120° на плоскости: параметр нелинейности К - видность у (б)

Рис. 3. Структуры в поперечном сечении светового пучка, полученные в вычислительном эксперименте при соответствующем начальном профиле пучка на входе и параметрах системы в моменты времени /. Первый ряд кадров К=](), Д.=0.005 (/=0.0, 0.025,0.05,0.075,0.125 с); второй ряд А'=10, £>е=0.001 (/=0.0, 0.025,0.05, 0.1, 0.125 с); третий ряд АГ=15, £>е=0.001 (1=0.0,0.01,0.02,0.04,0.06 с); четвертый ряд Л=20, £>с=0.0005 (/=0.0,0.015,0.03,0.075,0.12 с)

Рис. 4. Области и границы устойчивости на плоскости: запаздывание - нелинейность (а). Переменная С зависит от параметра нелинейности К: С/=Ку вт(и'+<ро), и - время запаздывания, нормированное к времени релаксации нелинейной части: показателя

преломления: и=Г/т. «Крестики» обозначают переход в область неустойчивости. Цифры 1 и 3 есть значения ДО, определяющие угол поворота поля Д=2п/Ы. Кривая 1

соответствует случаю, рассмотренному К. Икедой, 3 - рассмотренному А. Л. Магазинниковым и др. Зависимость порогового параметра нелинейности К„ от времени запаздывания, нормированного к времени релаксации нелинейной части показателя преломления /0 ¡/тп (б)

2.3. Ш глава «Пространственный детерминированный хаос, условия его возникновения в нелинейном кольцевом интерферометре и роль физических факторов» содержит оригинальный материал. Раскрыт физический смысл явления пространственного детерминированного хаоса (ПДХ) и предложено его теоретико-множественное определение. При описании содержания пространственного детерминированного хаоса как физического явления предложено рассматривать пространственные распределения величин значимых характеристик (например, показателя преломления среды, амплитуды, фазы волны) аналогично процессам, протекающим во времени в колебательных системах. Такое рассмотрение возможно, если удаётся ввести понятие наблюдателя, который регистрирует эти величины в точках пространства, последовательно «перебирая» точки по некоторому алгоритму, т.е. формирует некую последовательность.

Сложность введения математического определения ПДХ проиллюстрируем примером. На рис. 5 изображено двумерное распределение нелинейного набега фазы, на фоне которого показано два варианта алгоритма перебора точек. В зависимости от алгоритма дискретная реализация щ имеет регулярный либо хаотический вид.

т

о а в № а й и

О £0 40 № ВО 100 120

Рис. 5. К понятию пространственной последовательности значений нелинейного фазового набега к(/) в точках г-0... 126 поперечной плоскости при двух различных алгоритмах сканирования. Распределение и(х, у) в поперечной плоскости лазерного пучка получено на выходе НКИ в статическом режиме при угле поворота в КОС

НКИ Д=360/126°

Рассмотрим поперечное сечение лазерного пучка на выходе, НКИ (рис. 6). В случае временной динамики значения нелинейного набега фазы и(х,у) во всех точках поперечного сечения с координатами х,у составляют континуум скалярных динамических переменных Р. В случае статического режима (йС/А=0) значения и(х,у) зависят только от координат

В зависимости от пространственного преобразования поля в элементе й всё множество Р скалярных динамических переменных разбивается на последовательность подмножеств Р,- (рис. 7). Выбор «наблюдателем» алгоритма перебора Р,- (алгоритма нумерации) также определяется пространственным преобразованием поля (защищаемое положение II).

Рис. б. Пояснение к поведению нелинейного фазового набега 1/(х,у) в поперечной плоскости лазерного пучка на выходе кольцевого интерферометра в случае временной динамики (а) и в статическом режиме (б)

у

а

б

Распределение нелинейного фазового набега в поперечном сечении лазерного пучка при у гле .......Т~.....А-"бО/5°=72°вКОСНКИ

Вариант покрытия множества динамических переменных Р = Р, ) пятью подмножества мм Р^ ..., Р< из двух элементов: Рг^Ру при г-А/, Р,/^?,^ равномощны

Алгоритм перебора Рл при повороте поля на угол 36075=72° ,

Варианты алгоритма перебора «наблюдателем» подмножеств Р(

Рь Рз, Рз, Р'Ь Р< Рь Рз» Рз, Р2, Р4 Р1, Р«, Р2»Рл,Ь

Рис. 7. Пояснение к формулировке второго защищаемого научного положения

В контексте изучения ПДХ обоснован - для статического режима - переход от обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) к дискретным отображениям (ДО). Оценена область допустимых значений начальных условий ДО. Выявлены ограничения на число итераций и размерность системы, вытекающие из алгоритма перебора точек пространства, в которых регистрируются значения характеристик поля либо среды (защищаемое положение III), Пространственное изменение характеристик оптического поля и нелинейного фазового набега в поперечном сечении светового пучка на выходе НКИ описано комплексом дискретных отображений, учитывающих влияние ряда физических факторов:

- случай бихроматического излучения на входе НКИ

' ит 1 +р.+ Ш С08[(1^ХФ^^)]+(1~!2а)сбБ[(1^ХФ+^)] }/сТ }, (5)

- случай монохроматического излучения на входе НКИ

им=К[1+усоз(Ц+ <£)], (6)

- учёт УУ-фотонных процессов

ЩК~ 1 +

+ (1-еа)Рь1/2соБ[(1-?)(Ф+[/и)] }, (7)

гдеРъ=1/[1ЦК(1-£)ьУКму-1]1^), (1-Я) пгШ РМЛ-ОГ1"*"'5,

16

- случай насыщения нелинейности

ц+1=/у(1+т5), (8)

ГДе^ = АЧ1+Р + у{даСО8[(1+д)(Ф+С/0]+(1-еа)СО8[(1-9)(Ф+С/03 }/о },

- учёт многих проходов поля через контур обратной связи НКИ

а„с / = (Ас„ ,2+АяГ1 ,2)0'5, <рнс ,+\|/нс / = ащ(Аса,, ,),

Ьис; = (Ась ¡2+Л5Ь 2)0,5, (р,10 ,-4*1.01 = а^(Лс() ь Аа,,,), (9)

где

Аса ,-=(1-/?)0,5 а соз(ф+ф) + [у/(2ст)] а

зт(ф+1|/) + [у/(2ст)] апс м зт[ф„с ы+\|/,|С ¡_|-(1+<7)(Ф+и,-_1)], Лс/, /=(1-11)0,5 Ъ соз(ф-\|/) + [у/(2а)] 6„сМ соб[ф„с ¡_,-\\)нс и -(1 -<7)(Ф+ии)], зт(ф-ф) + [у/(2ст)] 611сИ зт[ф11сМ-1|/„(:И-(1-9)(Ф+и1_,)] им = [кцх-И)] {еа[«„с,-,/«]2 + (1-Ш [¿„с,-^]2}.

аг§(/5(с, Ая) з

arctg{Ая/Ас)+ к, Ас <0 ятс^Ая/Ас), Ас> 0 е(-п/2; Зл/2]. Ътс 12, Ас = 0, Ах < О п 12, Ас = 0, Аз > О

Здесь К - коэффициент нелинейности среды; у - удвоенный коэффициент потерь излучения за один проход КОС НКИ; д=0/а> - параметр бихроматич-ности (мера расстройки между частотами); ()и - интенсивность высокочастотного компонента в спектре; Ф - линейная часть фазового набега в КОС НКИ; Кьо* - параметр, характеризующий уровень интенсивности низкочастотного компонента спектра излучения, начиная с которого проявляется влияние Л'-фотонного поглощения на сложную динамику в модели процессов в НКИ; К, - коэффициент нелинейности среды, соответствующий интенсивности насыщения; атЫ, Ьти, фне(, у, 1Самплитуды и фазы двухчастотного оптического поля,

Предпринят численный анализ моделей (5)-(9) с целью изучения влияния этих физических факторов на характеристики ПДХ.

Предложен исследовательский приём: построение линий бифуркаций на основе бифуркационных диаграмм. Выполнено сравнение структуры карт ляпуновских характеристических показателей (ЛХП), соответствующих модели на языке дискретных отображений (5), с линиями бифуркаций для модели (1) в виде обыкновенных дифференциальных уравнений (рис.8). Продемонстрировано, что объединение карт ЛХП с бифуркационными диаграммами облегчает морфологическую интерпретацию карт и позволяет объяснить наличие регулярной либо хаотической динамики в модели

(рис. 9). Показана обусловленность строения карты ЛХП для ДО структурой семейств линий бифуркаций для ОДУ: структура карт повторяет конфигурацию участков между линиями бифуркаций (рис. 8). Этот факт свидетельствует о правомерности описания динамики нелинейного фазового набега II в

О 1 и Но 12 14 Й 18 К а

Ч- 1

1 !

1 Г - \ ч ' \ «

> ,гч 1 • \ ^ ■

.Л V ___\

О 2 1 6 8 10 12 11 1С 18 К в

| 2 1 6 в 10 12 14 16 18 К б

Рис. 8. Линии бифуркаций (а), контрастные карты ЛХП (¿^я Л) с аппликацией линий бифуркаций (б), карты ЛХП (Л) (в) на плоскости КОФ при 9=0.1,2а=0.1, у=0.5

* ! ::

А !

V1

1 1

10 12 К

б в Рис. 9. Совместное построение контрастных карт Л) и БД в тех же координатах при 9=0.1; ба=0.1 (а), <7=0.5; £>3=0.5 (б). Во всех случаях у=0.5; Ф=0

Сходство карт О0(К, у), А(К, у) с картой динамических режимов в книге С.П. Кузнецова и с картой распределения старшего ляпуновского показателя Л на плоскости параметров отображения Икеды доказывает корректность модели, методики и данных вычислительных экспериментов. Для количественной характеристики карты как некой целостности предложено вычислять долю Р площади карты, соответствующей хаотическому режиму. Продемонстрировано, что структура карт, а, следовательно, и тип динамики (для определённого набора параметров модели НКИ) существенно зависит от строения спектра входного излучения.

На основе справочных данных для Ю)С1: №-лазера, Не-Ке-лазера, широкополосного СО-лазера, АЮаАзЛЗаАз-лазера оценено значение расстройки спектральных компонентов (д), входящей в ключевые модели.

Выполнен численный анализ модели (7) для случая N= 3. Построены карты ляпуновских характеристических показателей и дробной размерности аттракторов (рис. 10). Для выяснения границы влияния трёхфотонного поглощения в нелинейной среде на сложную динамику в НКИ предложено строить карты с координатой KbQS={l~R)nzlkb^ (рис. 11). Здесь 6S = (4рь0~'/4 - размерный параметр, характеризующий нелинейную пластинку длиной /: он численно равен амплитуде Ьт светового поля на входе НС, при которой

4! 1/4

Ьош/Ьт=0,5 «0,84). Здесь Ьш определяется как 6011, = Ь^{ЩЬф5у}

Показано, что появление трёхфотонного процесса обогащает нелинейные эффекты в модели НКИ благодаря генерации третьей световой гармоники (защищаемое положение IV). Анализ структуры карт на рис. 10, 11 показал, что: 1)рост Кь0 8 влечёт увеличение количества деталей на картах; 2) существует граничное значение параметра /СЬ05.

. т г i i 1 г . „ 0 а 4 (I 8 10 12 14 19 к

0 г 4 0 8 10 12 14 10 К

1 I I Г" . „ 8 10 12 14 16 А

где Рис. 10. Распределение ляпуновских характеристических показателей А(К, у). Чёрные области соответствуют положительным значениям Л, при которых имеет место ПДХ- Параметр принимает значения: 1 (а), 5 (б), 10 (в), 50 (г), 500 (д), ю (е)

1 в I! 5) а я

а б в г

Рис. 11. Распределение ляпуновских характеристических показателей Л(Кы>5, у) (а, б) и А(К, 2а) (в, г) для параметра нелинейности К равного 5 {а, в), 50 (б, г)

Выдвинуты соображения о возможности расширения границы применения гипотезы Каплаиа-Йорке. Предложена процедура экструзии (от лат. Шгизит <ех - из + 1гис1о ~ толкать, т.е. выталкивать, выдавливать) фазового пространства в дополнительное измерение и соответствующая ей экстрапо-

ляция спектра ЛХП. Найдено ограничение на численное значение дополнительного ляпуновского показателя Л-.--1. Благодаря этому сделан вывод о неединственности «экструзированной» системы и о том, что всего одна система из этого набора (с Л>,'+1 =-со) является идентичной исходной.

Правомерность процедуры экструзии проверена на примере модели процессов в нелинейном кольцевом интерферометре (5), и на примере отображения окружности:

фл+! = Фл + - К/(2п) 8Н1(2Лф„).

(10)

На основе независимых расчётов ляпуновской размерности Д. и фрактальной размерности (ёмкости) £)0 построены соответствующие карты на плоскости параметров модели (рис. 12, а, б и 13, а, б). Дополнительными исследовательскими методами служило построение графиков плотностей распределения значений £>0 Для этих карт, а также карт разности 5£> значений А) и £>?. (рис. 12, в и 13, в). Эти результаты говорят в пользу выдвинутой ранее процедуры экструзии фазового пространства с А2—> - <», позволяющей рассчитать ляпуновскую размерность по формуле (11) согласно гипотезе Каплана-Йорке. И тем самым оценить верхнюю границу размерности динамической системы. Построением карты периодов (рис. 14) для отображения окружности и сравнением её с аналогичными картами в литературе тестирована моделирующая программа.

|Ал+1

(И)

Рис. 12. Карты фрактальной Д¿К, у) (а) и ляпуновской Ок(К, у) (б) размерностей, карта разности 8В(К, у)н|Д(АГ, у) - у)| (в). При Ф=0 и параметрах дихроматического излучения: <7=0.1, ба=0.1

Рис. 13. Карты фрактальной Ой(К, О) (а) и ляпуновской Ох(К, О.) (б) размерностей, карта периодов (в) и карта разности ЪВ(К, О.) - (в), построенные

для отображения окружности (10)

• . „ " % .-Л

au 'is а« о I] ни m.

а б в

Рис. 14. Карты динамических режимов на плоскости параметров отображения окружности 0„+| = 8„ + Д + k sinG (mod 2п). Области, изображённые различными тонами серого цвета, отвечают периодическим режимам (языки Арнольда), для нескольких из них указаны числа вращения. Области квазипериодичности и хаоса показаны белым: k= 1 - критическая линия, а - карта, построенная нами; б - С.П. Кузнецовым и

в - B.C. Анищенко

2.4. IV глава «Модификация моделей нелинейного кольцевого интерферометра для решения задач информационной оптики» содержит оригинальный материал, посвящённый изучению сложной динамики амплитуды а(г, t), фазы ф(г, t) и нелинейного фазового набега £/(г, t) в нелинейном кольцевом интерферометре с дополнительным контуром обратной связи (рйс. 15). Описана оптическая схема двухконтурноги нелинейного кольцевого интерферометра (ДНКИ) и построена соответствующая математическая модель. Рассмотрена также модель в «точечном» приближении, т.е. при отсутствии диффузии молекул нелинейной среды (Dc=0).

а б

Рис. 15. Оптические схемы традиционного (четырёхзеркапьного) НКИ (а) и модифицированного (двухконтурного) НКИ (б)

Тп(г)5U(r, t)ldt=DJj) AU(r, t)- U(r, t)+Кn2(r)a2(r, t)/(l~R]), (12)

4>(r,/)=

a(r, t)=(Ac2+As2)05, (71/2)- arctg (Ac/As ), As > 0 (3 Tt/2 ) - arctg (Ac/As ), As < 0

0, As = 0, Ac a 0

Зтс/2, As = 0,Ac<0

Ac = (1 -Л,)"2^!-, t) cos[(pBX(r, /)] +

e[0; 2ti),

+ 0.5Yi(ri\ t) a(г г-т,) соз[ф(г,', i-t,) - ои,]/о, + + 0.5у2(гг', t) a(r2', t-xz) cosftpfo', г-т2) - coTj/ai,

As=(\-Rx)b2 aDX(r, t) sin[<pBX(r, r)] + + 0.5y,(r,', t) e(r,', /-Т,) sm[<p(r,', t-xx) - <вт,]/ст, + + 0.5y2(r2\ t) a(r2\ i-x2) sin[<p(r2', t-x2) - шт2]/a2, где T,sT1(r,',i)=iij(r,',0 + U(r!,t-tei(Ti,t))l&. Физический смысл параметров модели (12) тот же, что и для модели (1). Индексы 1,2- номера контуров.

Для «точечной» модели ДНКИ в приближении больших потерь или одного прохода и пренебрежении временами /е, запаздывания поля в контурах обратной связи найдены стационарные решения, и выполнен анализ их устойчивости, построены серии бифуркационных диаграмм (БД). Проведено сравнение структур БД для одно- и двухконтурной (рис. 16, 17) схем НКИ (защищаемое положение V). Структура БД существенно зависит от значений параметров КОС и их комбинаций. _ _

О 2 4 в 6 10 02408 10 02460 10

д е ж

Рис. 16. Бифуркационные диаграммы (на плоскости стационарное решение - параметр нелинейности ЛГдля у=0.8) для одноконтурного НКИ при углах поворота поля в контуре: а - Д=0°; б - Д=180°; в - Д=120°; г - Д=90°; и для двухконтурного интерферометра при: д - Д,=180°, Д2=0°; е - Д,=120°, Д2=0°; ж - Д,=90\ Д2=0°. Более жирными линиями показаны устойчивые участки ветвей. Существенно, что положение ветвей БД, соответствующих одинаковым значениям фазовых набегов и„ остаётся неизменным для любых комбинаций Д| и Д2

Рис. 17. Бифуркационные диаграммы (на плоскости стационарное решение - параметр нелинейности К) для двухконтурного интерферометра при углах поворота поля в контурах Ai=90°, Д2= 180° для 7=0.5 (а); для т=0.8 (б). Отличия структуры БД от её аналогов для соответствующих моделей одноконтурных НКИ (рис. 16, б, г) проявляются в том что: отсутствует бистабильность; существенно изменяется конфигурация устойчивых и неустойчивых ветвей БД

В рамках точечной модели ДНКИ с учётом многих проходов поля через КОС проведён корреляционный анализ динамики амплитуд поля в точках поперечного сечения пучка (рис. 18). Он демонстрирует, что совместное построение авто- и кросскорреляционных функций позволяет: 1) при произвольных, но a priori известных (криптоаналитику) комбинациях углов поворота поля в первом и втором контурах ДНКИ легко выявить разность времён запаздывания Дге = | tc 2 ¿ei I > но не сами величины /е 2, /с i> 2) ценой больших вычислительных затрат определить принадлежность точек к одной цепочке транспозиционных точек (ЦТТ) (произвести разбиение точек поперечного сечения пучка по множеству ЦТТ). Но определить саму структуру ЦТТ (углы поворота поля Д|, Д2 в КОС ДНКИ) невозможно. Значит, ДНКИ более устойчив по сравнению с НКИ к «взлому» её параметров с помощью корреляционного анализа (защищаемое положение VI).

а б в г

Рис. 18. Авто- (а) и кросскоррелограммы (б-г) для модели ДНКИ при углах поворота

поля Д | = 180°, Д2 = 90°, временах запаздывания в первом и во втором контурах <е1/т„= 1 и *й/т„=5, Дг</тп=4, где т„= 10'9с; потерях 7) = у2 = ,/0,125 > коэффициенте нелинейности А=10

В Заключении приводятся и обобщаются основные результаты диссертации по следующим аспектам: методологический, модельный, теоретиче-

ский, прикладной, постановочно-проблемный. В методологическом плане наиболее важными представляются следующие результаты.

1. Через категории теории множеств раскрыт смысл понятия пространственного детерминированного хаоса, разработано соответствующее определение. 2. Для »г-мерной динамической системы обоснован переход к описанию её дискретным отображением с пространственной эволюционной переменной.'3. Предложена процедура экструзии. 4. В контексте изучения роли ограничения керровской нелинейности введён ряд параметров. 5. Предложены исследовательские приёмы, ориентированные на анализ, интерпретацию, количественную оценку структуры карт динамических режимов.

В прикладном плане наиболее важной является рекомендация использования ДНКИ как основы оптических криптосистем.

В пяти приложениях размещены: 1) документы о внедрении результатов; 2) описание методики нахождения стационарных решений и анализа их устойчивости; 3) описание процедуры верификации результатов моделирования и тестирования программ; 4) результаты имитации процедуры (де)шифрации изображения в статическом режиме НКИ; 5) данные корреляционного анализа амплитуд для модели одноконтурного НКИ.

3. Список основных публикаций по теме диссертации

1. Лячин A.B., Магазинников А.Л., Пойзнер Б.Н. Идентификация режимов в модели кольцевого интерферометра с поворотом оптического поля на 120° Н Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2002. Т. 10. № 6. С. 71-80

2. Измайлов И.В., Лячин A.B., Пойзнер Б.Н. Описание процессов в кольцевом интерферометре дискретным отображением: бифуркации и размерности аттрактора // Вестник Томского гос. университета. Сер. «Физика». 2003. №278. Сентябрь. С. 111-115.

3. Лячин A.B., Пойзнер Б.Н. Хаотичность и странность как аспекты сложной динамики (на примере кольцевого интерферометра) // Преподавание физики в высшей школе. Научно-методический журнал, № 26. - г. Москва: МПГУ, 2003. С. 101-105.

4. Лячин A.B., Пойзнер Б.Н. Моделирование преобразования лазерного пучка в кольцевом интерферометре: фрактальная геометрия хаотического аттрактора в плане обработки информации // Оптика атмосферы и океана. 2004, Т. 17, № 02-03, С. 146150. •

5. Измайлов И.В., Лячин A.B., Пойзнер Б.Н., Шергин Д.А. Пространственный детерминированный хаос: Модель и демонстрация явления в вычислительном эксперименте // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2005. Т. 13. № 1-2. С. 123136.

6. Измайлов И.В., Лячин A.B., Пойзнер Б.Н., Шергин Д.А. Моделирование поведения нелинейного фазового набега поля в кольцевом интерферометре: случай двух-частотного воздействия // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2005. Т. 13. №1-2. С. 137-151.

7. Лячин A.B. Моделирование процессов структурообразования, описываемых уравнением параболического типа / Изв. вузов. Физика, 2000. Депонирована в

ВИНИТИ 22.11.00, per. №2975-В00. 8 с. (Аннотация опубликована в журнале Изв. вузов. Физика, 2001, № 1)

8. Лячин А.В. Переход от стационарного к динамическому режиму в модели процессов в нелинейном кольцевом интерферометре / Изв. вузов. Физика, 2002. Депонирована в ВИНИТИ 25.12.02, per. №2244-В02. 8 с. (Аннотация опубликована в журнале Изв. вузов. Физика, 2003, № 2)

9. Лесина С.В., Лячин А.В. Анализ фрактальной размерности аттракторов в.модели кольцевого интерферометра с двухчастотным воздействием / Изв. вузов. Физика, 2004. Депонирована в ВИНИТИ 26.02.04, per. №333-В04. 8 с. (Аннотация опубликована в журнале Изв. вузов. Физика, 2004, № 3)

10. Three-photons absorption as a regulator of Kerr's effect strength in ring interferometer: a model and regimes analysis /1. V. Izmailov, A. V. Lyachin, B.N. Poizner // Proc. ofSPIE. - 2005. - V. 5851. - P. 74-81.

11. Nonlinearity with saturation in the ring interferometer model: stability, bifurcation behaviour, attractor dimension / P.E. Denisov, I. V. Izmailov, A. V. Lyachin, D.A. Shergin, B.N. Poizner//Proc. ofSPIE. - 2005. - V. 5851. - P. 82-89.

12. Second circuit of two-dimensional feedback loop in ring interferometer as a way to create coupled oscillators system or couplings in a oscillator /1. V. Izmailov, A. V. Lyachin, M.E. Nazarov, B.N. Poizner, D.A. Shergin // Proc. of IEEE / Ed. by A.L. Fradkov and A.N. Churilov Cat. Ns 05EX1099C: Proc. of 2-nd Int. Conference «Physics and Control» (August 20-22, 2005, S.-Petersburg). - 2005. - P. 841-846.

13. Измайлов И.В., Ляч«Н A.B., Магазинников А.Л., Пойзнер Б.Н. Изменение структуры предельного цикла вследствие запаздывания в нелинейном кольцевом интерферометре // Циклы. Cycles. Материалы 1-й Международной конференции (2530 октября 1999 г., г. Ставрополь). 4.2. - Ставрополь, 1999. с. 68-69.

14. Лячин А.В., Магазинников А.Л., Пойзнер Б.Н. Регулярная и хаотическая динамика процессов в модели кольцевого интерферометра // «Математика. Компьютер. Образование»: Сборник тезисов девятой международной конференции (г. Дубна, 28 января - 2 февраля 2002 г.), - Москва, 2002. с. 99.

15. Лячин А.В., Магазинников А.Л., Пойзнер Б.Н. Сложная динамика в модели открытой оптической системы // Организация структур в открытых системах: тезисы докладов шестой международной конференции (21-24 октября), - Алматы, 2002. с. 56.

16. Лячин А.В., Магазинников А.Л., Пойзнер Б.Н. Режим, напоминающий странный нехаотический аттрактор, в модели нелинейного кольцевого интерферометра // Фундаментальные проблемы оптики - 02: Труды конференции. Санкт-Петербург. 1617 октября 2002. - СПб.: СПбГИТМО (ТУ). 2002. с. 56-58.

17. Лесина С.В., Лячин А.В. О связи между мерой странности аттрактора и структурой его фазового портрета в модели кольцевого интерферометра // Современные проблемы физики и высокие технологии: Материалы международной конференции, посвященной 125-легию ТГУ, 75-летию СФТИ и 50-летию РФФ ТГУ (29 сентября - 4 октября 2003 г.). - Томск: Изд-во НТЛ, 2003. с. 238-241.

18. Измайлов И.В., Лячин А.В. Фрактальная размерность аттрактора в модели процессов в нелинейном кольцевом интерферометре // Оптика 2003. Труды третьей международной конференции молодых ученых и специалистов «0птика-2003». Санкт-Петербург, 20-23 октября 2003. / Под ред. проф. С.А. Козлова. СПб: СПбГУ ИТМО, 2003. с. 90-9!.

19. Измайлов II B,, Лячин A.B., Пойзнер Б.Н. Пространственный детерминированный хаос как объест полидисциплинарного исследования в нелинейной кристаллооптике // Тезисы докладов второй международной конференции по физике кристаллов «Кристаллофизика 21-го века». Москва. 2S-30 октября 2003. - Москва: МИСиС, 2003. - С. 51-53

20. Шергин Д.А., Измайлов И.В., ЛячинА.В., ПойзнерБ.Н. Методика анализа регулярной и хаотической динамики на примере модели оптической системы // Материалы международной научной конференции «Анализ и синтез как методы научного познания» - часть 2 - Таганрог: ТРТУ, 2004, с. 73-75.

21. Izmailov I.V., Lyachin A.V. Multiphoton phenomena in presence of kerr's effect: simulation of processes in ring interferometer // Procc. of IV Int. young scientists conf. on applied physics. (Kiev, June 21-23,2004). Kiev, 2004. P. 28-29.

22.ЛесинаC.B., ЛячинА.В. Фрактальная размерность аттракторов в модели кольцевого интерферометра для случая двухчастотного излучения // Материалы VII международной школы «Хаотические автоколебания и образование структур», 1-6 октября 2004 г. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2004. с. 62-63.

23. Измайлов И.В., Лячин A.B., Пойзнер Б.Н. Моделирование сложной динамики в кольцевом интерферометре с учетом многофотонных процессов // Материалы VII международной школы «Хаотические автоколебания и образование структур», 1-6 октября 2004 г. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2004. с. 116-117.

24. Измайлов И.В., Лячин A.B., Пойзнер Б.Н., Шергин Д.А. Пространственный детерминированный хаос как гонятие и объект исследования // Материалы VII международной школы «Хаотические автоколебания и образование структур», 1-6 октября 2004 г. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2004. с. 146-147.

25. Лячин A.B. Влияние многофотонных процессов на нелинейную динамику в модели кольцевого интерферометра с керровской средой // Труды третьей международной конференции «Фундаментальные проблемы оптики». Санкт-Петербург. 18-21 октября 2004. / Под ред. проф. В.Г. Беспалова, проф. С.А. Козлова. СПб: СПбГУ ИТМО, 2004, с. 74-75.

26. Izmailov I. V., Lyachin А. V. Simulation of complex dynamics in the ring resonator with account of multi-photons processes H Procc■ of II Int. Conference «Frontiers of nonlinear physics», (Nizhny Novgorod - St. Peterburg, July 5- 12, 2004), 2004. P. 64-65.

27. Измайлов И.В., Лячин A.B. О возможности управления сложной динамикой в модели двухконтурного интерферометра // 0птика-2005. Труды четвертой международной конференции молодых учёных и специалистов «0птика-2005». Санкт-Петербург, 17-21 октября 2005. / Под ред. проф. В.Г. Беспалова, проф. С.А-Козлова. СПб: СПбГУ ИТМО, 2005, с. 66-67.

28. Измайлов И.В., Лячин A.B., Магазинников А.Л. Особенности бифуркационного поведения нелинейного фазового набега в модели двухконтурного интерферометра И 0птика-2005. Труды четвёртой международной конференции молодых учёных и специалистов «0птика-2005». Санкт-Петербург, 17-21 октября 2005. / Под ред. проф. В.Г. Беспалова, проф. С.А. Козлова. СПб: СПбГУ ИТМО, 2005, с. 68-69.

Размножено 100 экз. Копировальный центр С-в-во ПД-Г № 526, выдано 23 апреля 1996г г Томск, ул. 19-й Гвардейской дивизии, 75 тел 41-34-47

Л i) л/ß

РНБ Русский фонд

-4

9599

Список сокращений, использующихся в диссертации

Введение.

1. Применение представлений нелинейной динамики для разработки принципов и устройств информационной оптики.

1.1. Ключевые понятия нелинейной динамики. Самоорганизация и детерминированный хаос в динамических системах

1.2. Описание нелинейного кольцевого интерферометра.

1.3. Основные результаты исследований процессов в нелинейном кольцевом интерферометре и его применение

1.4. Некоторые тенденции развития информационной оптики.

1.5. Применение детерминированного хаоса в оптических системах для решения задач криптологии.

Выводы

2. Методы исследований процессов в нелинейной динамике (на примере изучения модели нелинейного кольцевого интерферометра)

2.1. Ляпуновские характеристические показатели как средство исследования поведения динамических систем.

2.2. Критерий «странности» аттрактора. Виды дробных размерностей аттракторов

2.3. Гипотеза Каплана-Йорке.

2.4. Принципы корреляционного анализа световых полей.

2.5. Описание динамики нелинейного фазового набега в кольцевом интерферометре посредством обыкновенных дифференциальных уравнений.

2.5.1. Модель процессов в приближении медленно меняющихся амплитуд, фаз, модуляций положения плоскости поляризации, времени запаздывания и потерь энергии поля

2.5.2. Точечные модели процессов в интерферометре.

2.6. Анализ влияния физических факторов на поведение в моделях динамики нелинейного фазового набега в кольцевом интерферометре

2.6.1. Влияние нелинейности и потерь: анализ устойчивости

2.6.2. Роль диффузии

2.6.3. Роль запаздывания

Выводы

3. Пространственный детерминированный хаос, условия его возникновения в нелинейном кольцевом интерферометре и роль физических факторов

3.1. Понятие и определение пространственного детерминированного хаоса

3.2. Обоснование перехода от обыкновенных дифференциальных уравнений к дискретным отображениям

3.3. Построение моделей динамики нелинейного фазового набега на языке дискретных отображений.

3.3.1. Модели процессов в нелинейном кольцевом интерферометре: случаи монохроматического и бихроматического излучения на входе.

3.3.2. Модель процессов в нелинейном кольцевом интерферометре с учётом iV-фотонных процессов.

3.3.3. Модель процессов в нелинейном кольцевом интерферометре в случае насыщения нелинейности.

3.3.4. Модель процессов в нелинейном кольцевом интерферометре с учетом многих проходов в контуре обратной связи

3.4. Анализ влияния физических факторов на характеристики пространственного детерминированного хаоса в моделях нелинейного кольцевого интерферометра.:.

3.4.1. Бифуркационные диаграммы и линии бифуркаций для модели в виде обыкновенных дифференциальных уравнений

3.4.2. Демонстрация явления пространственного детерминированного хаоса в нелинейном кольцевом интерферометре

3.4.3. Особенности строения карт ляпуновских характеристических показателей и дробной размерности аттракторов дискретного отображения: случаи монохроматического и бихроматического излучения на входе.

3.4.4. Анализ результатов моделирования процессов в нелинейном кольцевом интерферометре с учётом трёхфотонного поглощения.

3.4.5. Анализ результатов моделирования процессов в кольцевом интерферометре в случае насыщения нелинейности.

3.4.6. Анализ результатов моделирования процессов в нелинейном кольцевом интерферометре с учётом многих проходов поля в контуре обратной связи

3.5. О возможности расширения области применения гипотезы Каплана-Йорке.

3.5.1. О процедуре «экструзии» фазового пространства.

3.5.2. Правомерность процедуры экструзии: случай нелинейного кольцевого интерферометра

3.5.3. Проверка правомерности процедуры экструзии фазового пространства в случае отображения окружности.

Выводы

4. Модификация моделей нелинейного кольцевого интерферометра для решения задач информационной оптики

4.1. Двухконтурный нелинейный кольцевой интерферометр

4.1.1. Модель динамики оптического поля в двухконтурном нелинейном кольцевом интерферометре

4.1.2. Обзор результатов моделирования процессов в двухконтурном нелинейном кольцевом интерферометре

4.2. Исследование динамики процессов в «точечной» модели двухконтурного нелинейного кольцевого интерферометра с поворотом поля

4.2.1 Стационарные решения и анализ их устойчивости.

4.2.2 Особенности строения бифуркационных диаграмм.

4.3. Определение параметров двухконтурного нелинейного кольцевого интерферометра с помощью корреляционного анализа

4.3.1. Случай с поворотом поля в одном контуре обратной связи.

4.3.2. Случай с одинаковым поворотом поля в обоих контурах обратной связи

4.3.3. Случай с разными поворотами поля в контурах обратной связи

4.4. Влияние расстройки параметров шифратора и дешифратора на результат дешифрации.

Выводы .!.

Развитие современной нелинейной оптики в определённой мере происходит под воздействием нескольких важных тенденций. Во-первых, сказывается влияние синер-гетической парадигмы с её вниманием к проблеме сложного, в том числе — сложного поведения в нелинейных системах [1,2]. Во-вторых, расширяется выбор подходов к решению проблем обработки информации вообще. В частности и в особенности, это касается задач адаптивной оптики (включая атмосферную [3]), задач управления параметрами оптических полей [4, 5], разработки принципов и оптических устройств обработки информации [6-8].

Самостоятельным научно-техническим направлением становится в последнее время создание методов и систем конфиденциальной связи, использующих изучаемое синергетикой явление детерминированного хаоса [9, 10]. Причём именно в оптических системах этот феномен исследован недостаточно как в теоретическом, так и экспериментальном плане, хотя изучение его ведётся почти четверть века [11-16]. Детерминированный хаос имеет универсальный характер, он обнаруживается в системах самой различной природы [17-24]. На фундаментальное значение исследований хаоса указывает лауреат Нобелевской премии академик В.Л. Гинзбург. В своём обзоре «проблем, представляющихся особенно важными и интересными с учетом ситуации на конец XX века» [25] он отвёл 11-е по важности место (из 30-ти) следующему комплексу научных направлений: «Нелинейная физика. Турбулентность. Солитоны. Хаос. Странные аттракторы».

Состояние вопроса и актуальность темы диссертации. Среди оптических систем, представляющих интерес одновременно во всех указанных аспектах, выделяется нелинейный кольцевой интерферометр (НКИ).

Начиная с классических работ К. Икеды и его соавторов (1979-1986) [11], проводятся теоретические и экспериментальные исследования поведения кольцевого интерферометра с керровской нелинейностью и запаздыванием. Этой теме посвящено много работ, например С.А. Ахманов и М.А.Воронцов с коллегами, 1990-1997 [12, 26-29]; П.С. Ланда, 1987 [17]; Н. Adachihara, H.Faid, 1993 [30]; V.J. Firth, 1994 [31]; Н.Н.Розанов, 1997 [13]; J. Garcia-Ojalvo, R.Roy, 2001, 2002 [9,10]; C.C. Чесноков, A.A. Рыбак, В.И. Станичук 2000, 2001 [14, 32]; H.M. Рыскин, A.A. Балякин, 2001-2003 [15, 16]. Они различаются по содержанию и форме моделей, что связано с выбором физических приближений и математического аппарата, а также по методам получения результатов.

Изучение моделей процессов в кольцевом интерферометре, предпринималось в предположении отсутствия дифракции, диффузии, крупномасштабного преобразования поля для случая однородности среды в поперечном сечении. Тогда становится возможным использование аппарата одномерных дискретных отображений [11]. Другие авторы, наоборот, придерживаясь традиции нелинейной оптики, изучают модели тех же процессов, построенные на базе дифференциальных уравнений в частных производных, но в приближении бесконечно малого запаздывания и монохроматического излучения.

Теоретический анализ явлений в НКИ проводится в приближении одного прохода или больших потерь [12, 14, 26, 30, 32]. При исследовании моделей процессов в кольцевом интерферометре, в данных работах, авторы также часто пользуются приближением мгновенного отклика среды (по сравнению со временем запаздывания в интерферометре). В реальных НКИ имеет место запаздывание (задержка) поля в контуре обратной связи. Изучение её роли весьма актуально. Как известно, в аналогичных радиотехнических устройствах при изменении времени задержки возникает цепь бифуркаций. На основе систем с запаздыванием возможно построение генераторов колебаний сложной формы - колебаний со множеством близких частот, между которыми существует обмен энергией и т.д. [17, 22, 33, 34].

В последнее время появились модели, предполагающие двухчастотность оптического поля, поступающего на вход нелинейного кольцевого интерферометра [15, 16,35].

До сих пор в текущей литературе незаметна тенденция сравнительного анализа результатов, полученных в рамках различных подходов и моделей, в контексте систематизации закономерностей, выявляемых на их основе. Показательно также, что количество работ, в которых обсуждаются возможности применения полученных результатов, весьма мало.

Насколько можно судить по материалам конференций и научно-технической периодике, внимание специалистов по вопросам распространения лазерного излучения в нелинейных средах постепенно начинает переключаться на изучение факторов и механизмов, ограничивающих рост процессов, лежащих в основе нелинейных явлений. В работах (В.Е. Семенов и др., 2000 [36]; А.П. Сухоруков с коллегами, 2000 [37]; N.NRosanov et eil., 2001 [38]) подчёркивается необходимость учёта подобных механизмов при теоретических исследованиях и моделировании процессов распространения лазерного излучения в нелинейных средах. Однако в литературе неизвестны работы, в которых учтено влияние ограничения нелинейности применительно к каким-либо кольцевым системам.

Возможность использования нелинейного кольцевого интерферометра для управления лазерным излучением активно изучается с начала 1990-х гг. [4, 5, 26]. В статье [39] рассматривается вариант НКИ с дополнительным контуром обратной связи, содержащим фурье-фильтр, использование которого позволяет управлять формообразованием структур и подавлять турбулентный режим.

Однако в ранее опубликованных статьях не приводится каких-либо результатов по изучению сложной динамики в подобной оптической системе, в частности, режима детерминированного хаоса. Так, не изучен вопрос о том, как влияют на бифуркационное поведение параметры НКИ с дополнительным контуром обратной связи. Это обстоятельство ограничивает дальнейшее рассмотрение подобного устройства в плане применения его режимов функционирования в системах обработки оптической информации (в том числе - скрытой передачи сообщений), управления параметрами лазерного излучения.

В литературе широко освещены вопросы, касающиеся изучению временных [13, 16, 24, 40, 41] и пространственно-временных [11, 13, 42-46] процессов в кольцевых оптических системах. Однако не был проявлен интерес к изучению особенностей пространственных распределений величин каких-либо значимых характеристик (например, показателя преломления среды, амплитуды, фазы волны) оптической системы, функционирующей в статическом режиме.

Следовательно, представляется актуальным дополнить изучение - в указанных выше аспектах - закономерностей нелинейной динамики и бифуркационного поведения в моделях НКИ.

Актуальность избранной темы диссертации подтверждается и поддержкой исследований автора Федеральным агентством образования Минобрнауки РФ (Программа: «Развитие научного потенциала высшей школы»), проект № 60321. Целями и вытекающими из них задачами диссертации являются: 1) построение моделей процессов в интерферометре в виде обыкновенных дифференциальных уравнений и на языке дискретных отображений, а также соответствующих компьютерных программ, учитывающих: во-первых, его параметры: время запаздывания, тип крупномасштабного преобразования поля в контуре обратной связи (КОС), наличие многих проходов поля через НКИ; наличие ТУ-фотонных процессов в нелинейной среде; наличие насыщения нелинейности; наличие дополнительного контура обратной связи и его параметров; во-вторых, параметры оптического излучения: немонохроматичность светового поля, вид поляризации света, наличие модуляции фазы световой волны, наличие модуляции амплитуды световой волны, наличие модуляции положения плоскости поляризации.

2) Выяснение роли различных групп параметров в моделях интерферометра на сложную динамику процессов в нём.

3) Разработка теории, моделей и изучение особенностей пространственных распределений характеристик оптического поля на выходе НКИ, функционирующего в статическом режиме.

4) Аналитическое и численное исследование устойчивости решений и выяснение условий наступления бифуркаций различных типов в модели процессов в НКИ с дополнительным контуром обратной связи.

5) Изучение возможности использования различных схем интерферометра для целей обработки (главным образом, скрытой передачи) информации.

Для решения поставленных задач исследования были выбраны: методы теории устойчивости Ляпунова, методы теории колебаний и бифуркаций, методы численного решения систем нелинейных алгебраических уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных, техника вычислительного эксперимента, понятия нелинейной оптики, теории множеств, теории графов и криптологии.

Результатом проведенных исследований стали следующие научные положения, выносимые на защиту:

I. В модели динамики нелинейного фазового набега в НКИ (с поворотом оптического поля в поперечной плоскости лазерного пучка на угол Д=120°) в приближении отсутствия диффузии имеют место - в зависимости от параметров нелинейности К и видности у - мягкая бифуркация Андронова-Хопфа (бифуркация рождения предельного цикла) либо жёсткое разрушение предельного цикла.

П. Пространственный детерминированный хаос - это статическое состояние нелинейной динамической системы с распределенными параметрами такое, что последовательность подмножеств Р, множества скалярных динамических переменных Р, выделяемая «наблюдателем» по некоторому (обусловленному особенностями динамической системы) регулярному алгоритму, является нерегулярной, апериодической, обладающей основными свойствами случайного процесса. Причём подмножества Р, равномощны, не совпадают (Р,^Р; при покрывают множество динамических переменных Р (Р = U/Р,), и пересечения Р,пРг+| равномощны.

Ш. Для ш-мерной динамической системы, описываемой совокупностью т (/77»1) эволюционных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно вектора динамических переменных q(t)={q\(t), q2(t), ., qm(t)}, в случае статического режима возможен переход к у'-мерному дискретному отображению с пространственной эволюционной переменной, где ]<т, а количество итераций ограничено и не превышает т— 1. При таком переходе в модели нелинейного кольцевого интерферометра для замкнутой цепочки транспозиционных точек имеет место (не)устойчивость в дискретном отображении, если статическое состояние системы (не)устойчиво.

IV. Для модели изменения нелинейного фазового набега в кольцевом интерферометре проявляется чувствительность сложной динамики к трёхфотонному процессу, когда интенсивность низкочастотного компонента Ъ в спектре велика настолько, что верно условие 2 ¿»2 (/|Зь)1/2>1, где [Зь - размерный параметр, характеризующий долю потерь энергии на единицу длины нелинейной среды протяжённостью /. При 2 Ъ2 (/рь)1/2«1 влиянием трёхфотонного процесса можно пренебречь.

V. Для «точечной» модели двух контурного нелинейного кольцевого интерферометра (ДНКИ) в приближении больших потерь и пренебрежении временами /езапаздывания поля в контурах обратной связи, в которых потери равны, когда оптическое поле в поперечной плоскости лазерного пучка поворачивается на угол Д,=2кМ^/т (где /=1,2; т и М1 — целые числа, определяющие количество транспозиционных точек и шаг перемещения по ним), причем Д,=0, Л/^О:

- если т - чётное, то строение бифуркационных диаграмм (БД) такое же, что и для модели одноконтурного НКИ с Л=0;

- если т - нечётное, то структуры БД для модели ДНКИ существенно отличаются от аналогичных для моделей НКИ как с Д=Л„ так и с А=Ду.

VI. В качестве основы устройства конфиденциальной связи двухконтурный нелинейный кольцевой интерферометр с различными временами запаздывания произвольной комбинацией углов Дь Д2 поворота оптического поля в поперечной плоскости лазерного пучка и удвоенных коэффициентов потерь/передачи уь у2 в контурах обратной связи более устойчив к «взлому» (методами корреляционного анализа) значений tf¡ь Л;, у,-, чем одноконтурный НКИ, где /=1,2.

Достоверность защищаемых положений. Достоверность I положения обеспечивается, во-первых, результатами моделирования процессов в нелинейном кольцевом интерферометре на основе программ, испытанных на тестовых задачах, а также подвергнутых проверке с помощью независимо созданных программ; во-вторых, согласием с известными представлениями о причинах сложной динамики; в-третьих, согласием со структурой бифуркационной диаграммы, построенной в книге [12, с. 278, рис. 6.9] для случая Д=180° и Д=120° [47, с. 77, рис. 3.8; 48] в НКИ.

Достоверность II и III положений основывается, во-первых, на строгом математическом выводе дискретного отображения с пространственной эволюционной переменной; во-вторых, в пользу корректности этих положений говорит следующий факт. Детерминированное, но нерегулярное распределение нелинейного фазового набега 27, (т.е. пространственный детерминированный хаос) в поперечной плоскости выходного лазерного пучка в НКИ формируется тогда и только тогда, когда множество Р разбивается на подмножества Р„ которые удовлетворяют условиям,' указанным в выдвинутом теоретико-множественном определении пространственного детерминированного хаоса (ПДХ). Данное утверждение базируется на комплексе расчётов и построений: с одной стороны структур 27(г, t), генерируемых в НКИ, а с другой - дискретного пространственного распределения 27/ (эквивалент временной реализации), фазового портрета, спектра Фурье, ляпуновских характеристических показателей А (ЛХП), фрактальной размерности Д>.

Корректность модели, методики и данных вычислительных экспериментов доказывает сходство карт D0(K, у), А (К, у) с картой динамических режимов [24, с. 72] и с картой распределения старшего ляпуновского показателя А на плоскости параметров отображения Икеды в [24, с. 163].

Достоверность IV положения подтверждается данными вычислительных экспериментов, послуживших основой для построения комплекса карт ЛХП: А (К, у), А (К, Кьо s), МК, Ф), А (К, Qa), А(КЬ0 s, rj), а его содержание согласуется с классическими представлениями нелинейной оптики о трёхфотонных процессах в керровских средах [49, с. 195-196].

Достоверность V положения доказывается анализом комплекса построенных бифуркационных диаграмм. Модели, алгоритмы и компьютерные программы, использовавшиеся, для построения БД, протестированы путём сведения к случаю одноконтурного НКИ.

Достоверность VI положения подтверждается серией вычислительных экспериментов на базе моделей ДНКИ и НКИ. Построение авто- и кросскорреляционных функций для временных реализаций амплитуд в точках поперечного сечения лазерного пучка на выходе ДНКИ демонстрирует невозможность восстановления значений параметров модели ДНКИ. Кроме того, содержание шестого положения согласуется с результатами компьютерной имитации процесса шифрации и дешифрации информационного сигнала с помощью ДНКИ и НКИ.

Новизна защищаемых положений

Новизна I положения заключается в том, что для широкого интервала значений параметров нелинейности и потерь исследован характер переходов между динамическими режимами в модели (2.17).

Новизна II и III положений заключается в разработке содержания понятия пространственного детерминированного хаоса и вытекающей из неё идеи рассматривать дискретное отображение с пространственной эволюционной переменной — в противоположность традиционному подходу (например, К. Икеды), оперирующему временной переменной. Кроме того, новизну положению III придаёт демонстрация (на конкретном примере) того свойства, что устойчивость статического состояния НКИ обусловливает устойчивый режим в дискретном отображении и наоборот. В литературе подобные выводы не обнаружены.

Новизна IV положения характеризуется, во-первых, предложением учесть роль трёхфотонного процесса, во-вторых, построением соответствующей математической модели, в-третьих, выдвижением адекватных приёмов изучения влияния физических факторов и представления результатов моделирования. .

Новизна У положения обусловлена тем, что до сих пор в литературе не предпринимались попытки построения и анализа БД для моделей ДНКИ.

Новизна VI положения характеризуется отсутствием в литературе анализа устойчивости ДНКИ как шифратора к «взлому» значений его параметров.

Научная ценность защищаемых положений

Научная ценность II положения состоит в математической строгости определения пространственного детерминированного хаоса, которое необходимо для идентификации ПДХ в контексте анализа пространственных распределений параметров оптического излучения, НКИ и других нелинейных систем.

Научная ценность Ш положения заключается в том, что, во-первых, в общем случае для многомерной динамической системы в статическом режиме обоснован переход от её модели в виде обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) к многомерному дискретному отображению; во-вторых, анализ устойчивости системы (на примере НКИ) в статическом состоянии сводится к анализу дискретных отображений (ДО) и не требует обращения к модели в форме ОДУ, поэтому отпадает необходимость в привлечении методов вычислительной математики для решения ОДУ.

Научная ценность IV положения заключается в указании условий, при которых начинается влияние генерации третьей гармоники на сложную динамику в модели НКИ, когда на его вход поступает лазерное излучение высокой интенсивности.

Научная ценность V положения состоит в том, что выполнен анализ устойчивости найденных стационарных решений для «точечной» модели двухконтурного НКИ и выяснена зависимость их расположения от управляющего параметра, а также их поведения при изменении параметров модели.

Практическая значимость защищаемых положений

Практическая значимость I положения способна проявиться при создании оптической системы обработки информации.

Практическая значимость V положения заключается в том, что указаны условия, при которых модели двух- и одноконтурного НКИ равносильны с точки зрения бифуркационного поведения.

Практическая значимость VI положения состоит в том, что выяснено и обосновано преимущество двухконтурного НКИ как основы криптосистемы оптического диапазона. Например, результат дешифрации чувствителен к несовпадению углов поворота поля в контурах обратной связи интерферометра-шифратора и в дешифраторе, причём значения этих углов не вскрываются средствами корреляционного анализа.

Внедрение результатов диссертации и рекомендации по их дальнейшему использованию

Большинство результатов диссертации получены автором в период 1998— 2005 гг. Ряд результатов внедрён в учебный процесс (на кафедре квантовой электроники и фотоники ТГУ): в курсы «Основы синергетики», «Функциональная электроника» и «Нелинейная оптика», в содержание НИПС 3-6-го курсов. Результаты диссертации, касающиеся: содержания модели процессов в нелинейном кольцевом интерферометре с учётом трёхфотонных явлений, а также методики построения и интерпретации карт дробной размерности аттракторов, использованы в НИР на кафедре общей физики РГППУ (г. Екатеринбург). Копии документов о внедрении представлены в Приложении А.

Апробация работы и публикации

По теме диссертаций опубликовано 50 печатных работ: 12 статей (из них 5 - в журналах РАН и журналах серии «Известия вузов», 1 - в российских научно-методических журналах, 3 - депонировано в ВИНИТИ, 2 - в SPIE, 1 - в IEEE), материалы 38-ми докладов на конференциях (в том числе - 29-ти - на международных). Основные результаты работы докладывались и обсуждались на: - научных семинарах кафедры квантовой электроники и фотоники ТГУ; -научных семинарах кафедры электронных приборов Томского университета систем управления и радиоэлектроники;

-на международных и всероссийских конференциях: «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 1999-2004), «Циклы. Cycles» (Ставрополь, 1999, 2002, 2005), «Современные проблемы физики и технологии» (Томск, 20012004), «Моделирование неравновесных систем» (Красноярск, 2001-2002), «Восьмая всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых» (Екатеринбург, 2002), «Математика. Компьютер. Образование.» (Дубна, 2002), «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (Москва, 2002), «Организация структур в открытых системах» (Алматы, 2002), «Оптика и образование» и «Фундаментальные проблемы оптики» (Санкт-Петербург, 2002, 2004), «0птика-2003» и «0птика-2005» (Санкт-Петербург), «Кристаллофизика 21-го века» (Москва, 2003), «Atomic and Molecular Pulsed Lasers» (Томск, 2003, 2005), «Современные проблемы физики и высокие технологии» (Томск, 2003-2005), «58-я Республиканская научная конференция молодых ученых, магистрантов и студентов» (Алматы, 2004), «Анализ и синтез как методы научного познания» (Таганрог, 2004), «IV International young scientists' conference on applied physics» (Киев, 2004, 2005), «Frontiers of nonlinear physics» (Нижний Новгород, 2004), «Fundamental Problems of Opto- and Microelectronics» APCOM'2004 (Хабаровск, 2004), «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, 2004), «Physics and Control» (Санкт-Петербург, 2005), «Systems of Optical Security» (Варшава, 2005).

Личный вклад диссертанта

В диссертации использованы только те результаты, в которых автору принадлежит определяющая роль. Опубликованные работы написаны либо без соавторов, либо в соавторстве с сотрудниками научной группы. В совместных работах диссертант принимал участие в расчётах, объяснении и интерпретации результатов моделирования. Постановка задач исследований осуществлялась научным руководителем, а в ряде случаев - и к.ф.-м.н. Измайловым И.В.

Автор признателен за помощь им, а также к. ф.-м. н. доценту ТУСУР A.JI. Магазинникову - за консультации по методам математического моделирования и анализа устойчивости. Автор благодарен коллективу кафедры квантовой электроники и фотоники ТГУ за многолетнюю моральную поддержку. В работе автору - в той или иной форме - помогали соавторы: как старшие, так и младшие «по званию», среди них - С.М. Авдеев, П.Е. Денисов, C.B. Лесина, М.Е. Назаров, И.В. Романов, Д.А. Шергин.

Структура и объём диссертации

Приведённые цели и задачи определили структуру и содержание исследования. Диссертация состоит из Введения, четырёх глав, Заключения, списка литературы и Приложений. Общий объём диссертации 217 страниц текста, в том числе 86 рисунков и 4 таблицы (на 53 стр.), 5 Приложений (на 18 стр.). Библиографический список (на 20 стр.) включает 262 наименования.

Выводы

Проанализирован материал нескольких статей, посвященных кольцевым оптическим системам, в состав которых добавлен ещё один контур обратной связи. Такая модификация расширяет возможности этих систем в отношении управления как регулярными, так и хаотическими процессами в них.

Описана оптическая схема ДНКИ и построена математическая модель динамики амплитуды а(г, £), фазы ф(г, £) и нелинейного фазового набега Щг, () с учётом многих проходов оптического поля в интерферометре (4.1). Наряду с общей рассмотрена модель в «точечном» приближении (4.2), т.е. при отсутствии диффузии молекул нелинейной среды (0С=0).

Исходя из состояния вопроса в литературе, сформулирован ряд задач исследований: анализ устойчивости решений уравнений для некоторых из конфигураций ЦТТ; оценка криптографической стойкости модели ДНКИ на предмет вскрытия параметров кодирующего устройства; выяснение чувствительности результата дешифрации к расстройке параметров дешифратора относительно параметров шифратора.

Для «точечной» модели ДНКИ в приближении больших потерь или одного прохода и пренебрежении временами запаздывания поля в контурах обратной связи (4.4) найдены стационарные решения, и выполнен анализ их устойчивости.

Составлены соответствующие программы поиска стационарных решений моделей (4.4), и проверки решений на устойчивость. С их помощью построены бифуркационные диаграммы для ряда комбинаций углов Д] и Д2 поворота оптического поля поперечной плоскости пучка в основном и дополнительном контурах обратной связи модифицированного НКИ. Проведено сравнение структур БД для одноконтурной и двухконтурной схем НКИ. Выявлено влияние параметров дополнительного контура обратной связи в НКИ на строение БД.

Так, если в одном из КОС нет поворота поля, а в другом осуществляется поворот, соответствующий чётному значению числа т точек в ЦТТ, то строение БД для модели ДНКИ такое же, что для модели одноконтурного НКИ без поворота поля в КОС. Однако, если число т нечётное, то структуры БД для моделей НКИ и ДНКИ существенно отличаются. С ростом числа точек ЦТТ т, который происходит при изменении угла поворота поля в одном из КОС, увеличение числа ветвей наблюдается при меньших значениях параметра нелинейности К. Структура БД существенно зависит не только от соотношения потерь/пропуекания уп/уп, но и от самих величин у(2, у13. Положение ветвей БД, соответствующих одинаковым значениям фазовых набегов Uh остаётся неизменным для любых комбинаций Ai и А2.

Если же углы поворота поля в контурах ДНКИ А ,=90°, А2=180°, то отличия структуры БД от её аналогов для соответствующих моделей одноконтурных НКИ проявляются в том что: отсутствует бистабильность при ifе[2.0; 5.1]; существенно изменяется конфигурация устойчивых и неустойчивых ветвей БД. В частности, в отличие от случая модели одноконтурного НКИ с А=90°, возникают устойчивые ветви при К > 8.

В рамках точечной модели ДНКИ с учётом многих проходов поля через КОС (4.2) проведён корреляционный анализ динамики амплитуд поля в точках поперечного сечения пучка. Результаты проведённого корреляционного анализа динамики амплитуды поля в точечной модели (4.2) демонстрируют, что совместное построение авто- и кросскорреляционных функций позволяет: 1) при произвольных, но a priori известных (криптоаналитику) комбинациях углов поворота поля в первом и втором контурах ДНКИ легко выявить разность времён запаздывания Ate = | te 2 — te i |, но не сами величины te2, ts ь 2) ценой больших вычислительных затрат определить принадлежность точек к одной ЦТТ (произвести разбиение точек поперечного сечения пучка по множеству ЦТТ). Но определить саму структуру ЦТТ (углы поворота поля Аь А2 в КОС ДНКИ) невозможно. Таким образом, двухконтурная схема НКИ является более устойчивой по сравнению с одноконтурной в плане «взлома» её параметров с помощью корреляционного анализа.

Имитация шифрации сигнала с помощью НКИ и ДНКИ показала, что на выходе шифратора во всех случаях формируется хаотический сигнал, ничем не напоминающий информационный. Визуальное сравнение формы сигналов на выходе дешифратора, когда параметры шифратора и дешифратора не совпадают, позволило выяснить, что в случае ДНКИ результат дешифрации менее чувствителен к расстройке параметров, чем в случае одноконтурного интерферометра. Преимущество ДНКИ состоит в том, что результат дешифрации чувствителен к несовпадению углов поворота поля в ДНКИ и дешифраторе к нему. Таким образом, ДНКИ может быть использован как основа для разработки оптических криптосистем.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итог проделанной работе, можно утверждать, что поставленные во Введении цели достигнуты. Резюме основных разделов диссертации составлены и помещены в виде заключения каждой из глав. Наиболее существенные итоги исследований сформулированы в виде защищаемых положений во Введении. Кроме того, обобщая результаты диссертации и стремясь показать работу в целом, полезно сгруппировать их по характеру научно-исследовательской деятельности. По нашему мнению, целесообразно выделить следующие аспекты.

Модельный аспект. Для анализа влияния физических факторов на сложное поведение поля и нелинейного фазового набега в одно- и двухконтурном НКИ составлен ряд базовых математических моделей в виде обыкновенных дифференциальных уравнений. Сформулированы соответствующие приближения. Построена математическая модель динамики амплитуды а{г, 0> фазы ср(г, и нелинейного фазового набега и{г, /) с учётом многих проходов оптического поля в интерферометре, а также модель в «точечном» приближении.

Составлены модели процессов в НКИ на языке дискретных отображений для случаев: монохроматического и бихроматического излучения на входе, с учётом /V-фотонных явлений либо насыщения нелинейности; а также с учётом многих проходов поля в контуре обратной связи.

Методологический аспект. Смысл понятия пространственного детерминированного хаоса раскрыт через категории теории множеств, разработано соответствующее определение и комплекс поясняющих иллюстраций. При описании его физического содержания введена фигура «наблюдателя», который задаёт алгоритм перебора точек пространства, где регистрирует значения характеристик поля либо нелинейной среды.

Для случая т-мерной динамической системы, временные процессы в которой описываются совокупностью т эволюционных уравнений относительно вектора динамических переменных Ят^)}, обоснован переход к ^-мерному дискретному отображению с пространственной эволюционной переменной. Переход осуществлён для случая статического режима, т.е. при отсутствии изменений во времени (ск}/с!/=0). Оценена область допустимых значений начальных условий дискретного отображения. Выявлены ограничения на число итераций и размерность системы, вытекающие из алгоритма перебора точек пространства, в которых регистрируются значения характеристик оптического поля либо среды.

Предложена процедура экструзии (от лат. ех1гияит < ех - из + 1хис1о — толкать, т.е. выталкивать, выдавливать) фазового пространства в дополнительное измерение и соответствующая ей экстраполяция спектра ляпуновских характеристических показателей. Найдено ограничение на численное значение дополнительного ляпуновского показателя Лл<+1.

Введён ряд параметров: Хьов - параметр, характеризующий уровень интенсивности низкочастотного компонента в спектре, начиная с которого проявляется действие трёхфотонного процесса на сложную динамику в модели; К5 - параметр нелинейности, соответствующий интенсивности насыщения.

Предложены исследовательские приёмы: а) построение линий бифуркаций на основе бифуркационных диаграмм; б) сравнение структур карт ЛХП, соответствующих модели на языке дискретных отображений, с линиями бифуркаций для модели в виде обыкновенных дифференциальных уравнений; в) объединение карт ЛХП с бифуркационными диаграммами для морфологической интерпретации карт и объяснения типа динамики в модели; г) вычисление доли Р площади карты, соответствующей хаотическому режиму, для количественной характеристики карты как некой целостности; д) построение графиков плотности распределения значений фрактальной размерности Д>; е) построение карт с координатой Кь0 3 для выяснения границы влияния трёхфотонного поглощения в нелинейной среде на сложную динамику в НКИ; ж) построение карт разности 51) значений 1)0 и

Теоретический аспект. Проведён цикл вычислительных экспериментов. В частности, построены: временные реализации и фазовые портреты процессов; амплитудные спектры Фурье; автокорреляционные функции; зависимости двух старших ЛХП от параметра нелинейности К и от времени; карта динамических режимов на плоскости параметров модели К-у; распределения нелинейного набега фазы в поперечной плоскости лазерного пучка; зависимости порогового значения нелинейности (при котором наступает бифуркация удвоения периода) от времени запаздывания в контуре обратной связи НКИ.

Идентифицированы динамические режимы в модели (2Л 8), выяснено влияние на них параметра нелинейности К и видности у. Построенная карта динамических режимов позволяет установить, в каких областях параметров системы реализуется устойчивая стационарная точка, предельный цикл, странный хаотический аттрактор.

Для изучения условий возникновения пространственного детерминированного хаоса построены карты ляпуновских характеристических показателей и дробной размерности £)0 аттракторов, графики плотностей распределения значений £>0 для этих карт, и рассчитаны доли Р площади карт, соответствующей хаотическому режиму. Показана обусловленность строения карты ЛХП для модели в виде дискретного отображения структурой семейств линий бифуркаций для модели на языке обыкновенных дифференциальных уравнений. А именно структура карт повторяет конфигурацию участков между линиями бифуркаций.

Выявлено, что тип динамики существенно зависит от строения спектра входного излучения. На основе справочных данных для Ш)С1: Ка-лазера, Не-Ые-лазера, широкополосного СО-лазера, АЮаАз/ОаАз-лазера оценено значение расстройки спектральных компонентов, входящей в ключевые модели.

Установлено, что появление трёхфотонного процесса обогащает нелинейные эффекты в модели НКИ благодаря генерации третьей оптической гармоники. Изучено влияние параметра КЫ) 5 на структуру карт ляпуновских характеристических показателей А и дробной размерности £>0.

Исследовано влияние параметра К,- насыщения нелинейности, на структуру карт ляпуновских характеристических показателей А (К, у). Обнаружено, что области (на картах), в которых имеет место хаотическое поведение, локализуются даже при К>Ка. Так, в структуре карт присутствуют области, где сохраняются морфологические особенности типичные для карт при Кц=со.

Из сравнения результатов, полученных для моделей с учётом многих проходов поля через КОС, с аналогичными для модели в приближении больших потерь установлено: 1) количественные характеристики аттракторов (значения £)0) отличаются в зависимости от типа модели НКИ; 2) строение карт для разных моделей не совпадает; 3) существуют некоторые инварианты в структуре карт. Из расчётов долей Р площади карт, соответствующей хаотическому режиму, выведено: 1) доли Р зависят от набора значений параметров модели; 2) отличие значений Р для разных моделей зависит от набора значений параметров; 3) это отличие не превышает 8%. Обнаружено, что доля Р площади карт, соответствующая хаотическому режиму, практически одинакова для двух моделей: построенной в приближении одного прохода и модели с учётом многих проходов поля через контур обратной связи - при равноценных параметрах этих моделей. В первом случае значения соответствующие режиму пространственного детерминированного хаоса, лежат в интервале [0.9; 1]. Во втором же - они лежат в интервале [0.9; 1>0тах], причём равномерно распределены по всему интервалу.

Проверена правомерность процедуры экструзии фазового пространства для случая, когда на входе НКИ присутствует бихроматическое излучение, и на примере отображения окружности. Сделан вывод о неединственности «экструзированной» системы и о том, что всего одна система из этого набора (с =-оо) является идентичной исходной.

Выяснено влияние параметров дополнительного контура обратной связи в НКИ на строение БД. Например, с ростом числа т точек в цепочке транспозиционных точек (ЦТТ) увеличение числа ветвей БД наблюдается при меньших значениях параметра нелинейности К. Структура БД существенно зависит не только от соотношения потерь/пропускания 712/7135 но и от самих величин у12, уп- Положение ветвей БД, соответствующих одинаковым значениям фазовых набегов Uh остаётся неизменным для любых комбинаций Ai и Д2. Для углов поворота поля в контурах двухконтурного НКИ Ai=90°, А2=180° отличия структуры БД от её аналогов для соответствующих моделей одноконтурных НКИ проявляются в том, что: отсутствует бистабильность при Ке[2.0; 5.1]; существенно изменяется конфигурация устойчивых и неустойчивых ветвей БД, в частности, возникают устойчивые ветви при К > 8.

Совместное построение авто- и кросскорреляционных функций амплитуд поля в точечной модели позволяет: 1) при произвольных, но a priori известных (криптоана-литику) комбинациях углов поворота поля в первом и втором контурах ДНКИ выявить разность времён запаздывания Ats= \ te2-te 11 (с точностью ±1,25%), но не сами величины te2, h ь 2) ценой больших вычислительных затрат определить принадлежность точек одной ЦТТ (произвести разбиение точек поперечного сечения пучка по множеству ЦТТ). Но определить саму структуру ЦТТ (углы поворота поля Дь Д2 в КОС ДНКИ) невозможно.

Прикладной аспект. Составлен комплекс тестированных программ для изучения моделей. В частности, для: решения нелинейных уравнений в виде обыкновенных дифференциальных уравнений и дискретных отображений; поиска стационарных решений; проверки решений на устойчивость.

Результаты, касающиеся: содержания модели процессов в нелинейном кольцевом интерферометре с учётом трёхфотонных явлений, а также методики построения и интерпретации карт дробной размерности аттракторов, использованы в НИР кафедры общей физики Российского гос. педагогического профессионального университета (г. Екатеринбург) - см. Приложение А.

Проведена имитация шифрования сигнала с помощью НКИ и ДНКИ, показавшая, что на выходе шифратора формируется хаотический сигнал. Причём в случае ДНКИ результат дешифрации менее чувствителен к несовпадению параметров шифратора и дешифратора, чем для одноконтурного интерферометра. Обоснована рекомендация относительно целесообразности использования ДНКИ как основы оптических криптосистем.

Часть материалов литературного обзора использована при составлении методических указаний для студентов РФФ ТГУ, использующихся в учебном процессе в курсе «Функциональная электроника» (см. Приложение А).

Построена классификация дробных размерностей аттракторов.

Постановочно-проблемный аспект. Разработка понятия пространственного детерминированного хаоса стимулирует постановку проблемы выяснения степени распространённости данного явления в системах различной природы и возможностей его практического применения.

Попытка расширения сферы применения гипотезы Каплана-Йорке при помощи процедуры экструзии фазового пространства имеет своим естественным продолжением постановку задачи о нахождении дополнительных примеров систем и моделей, для которых правомерна гипотеза с расширенными указанным образом границами применимости.

Из анализа сложной динамики в модели ДИКИ вытекает задача оптимизации его характеристик и режимов для управления параметрами лазерного излучения и оптической обработки информации, включая генерацию оптических вихрей и защиту информации.

1. Вызов познанию: стратегии развития науки в современном мире / Отв. ред. Н.К. Удумян. М.: Наука, 2004. - 475 с.

2. Малинецкий Г.Г. Синергетика, нелинейность и концепция Роджера Пенроуза // Пенроуз Р. Новый ум короля. М.: Едиториал УРСС, 2005. С. 4-25.

3. Лукин В.П., Фортес Б.В. Адаптивное формирование пучков и изображений в атмосфере. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999. - 214 с.

4. CarmonT., BuljanH., SegevM. Spontaneous pattern formation in a cavity with incoherent light // Optics Express, 2004. V. 12. № 15, P. 3481-3487.

5. Schwartz Т., Fleischer J.W., Cohen O., et al. Pattern formation in a ring cavity with temporally incoherent feedback // J. Opt. Soc. Am. B, 2004. V. 21. № 12. p. 2197-2205.

6. Закиров P.3., Павлов A.B. Алгебраические основания оптических технологий вычислительного интеллекта // Оптические и лазерные технологии: Сб. статей / Под ред. В.Н. Васильева. СПб: СПбГИТМО (ТУ), 2001. С. 33-50.

7. Закиров Р.З. Алгебра, порождаемая негативным процессом фоторегистрации. Приближение геометрической оптики // Современные технологии: Труды молодых ученых И1МО / Под ред. профессора С. А. Козлова. СПб: СПб ШТМО (ТУ), 2001. С. 96-105.

8. Павлов А.В. Фурье-голография в современной парадигме искусственного интеллекта // Проблемы когерентной и нелинейной оптики: Сб. статей. Под ред. И.П. Гурова и С.А. Козлова. СПб: СПбГИТМО, 2002. с. 6-25.

9. Garcia-Ojalvo J., Roy R. Parallel communication with optical spatiotemporal chaos // ШЕ Transactions on circuits and systems -1: Fundamental theory and applications, 2001. V. 48. № 12. P. 1491-1497.

10. Garcia-Ojalvo J., Roy R. Communicating with optical spatiotemporal chaos // Proc. SPIE, 2002. P. 1-8.

11. Ikeda K. Multiple-valued stationary state and its instability of the transmitted light by ring cavity system // Opt. Comm, 979. V. 30. № 2. P. 257-260.

12. Новые физические принципы оптической обработки информации: Сб.ст. / Под ред. С.А. Ахматова, М.А. Воронцова. М.: Наука, 1990. С. 13-33; 263-326.

13. Розанов Н.Н. Оптическая бистатбильность и гистерезис в распределённых нелинейных системах. М.: Наука, 1997. - 336 с.

14. Chesnokov S.S., RybakA.A. Spatiotemporal chaotic behavior of time-delayed nonlinear optical systems // Laser Physics, 2000. V. 10. № 5. P. 1-8.

15. Балякин A.A., РыскинН.М. Переход к хаосу в нелинейном кольцевом резонаторе при возбуждении многочастотным сигналом // Изв. РАН Сер. физ., 2001. Т. 65. № 12. С. 1741-1744.

16. Балякин А.А. Исследование хаотической динамики кольцевого нелинейного резонатора при двухчастотном внешнем воздействии // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2003. Т. 11, № 4. С. 3-15.

17. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. — М.: Наука, 1987.-424 с.

18. Ермолаев Ю.Л., Санин А.Л. Электронная синергетика. Л.: Изд-во Ленигр. ун-та, 1989.-248 с.

19. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику. М.: Наука, 1997. - 255 с.

20. Малинецкий Г. Хаос тупики, парадоксы, надежды // Компьютерра. — 1998. -№47 (275).-С. 21-28.

21. Трубецков Д.И. Турбулентность и детерминированный хаос // Соросовский Образовательный Журнал, 1998. № 1. С. 77-83.

22. Владимиров С.Н. Регулярная и хаотическая динамика автогенератора Ван-Дер-Поля с запаздывающей обратной связью //Изв. вузов. Физика, 1998. №4. С. 91-97.

23. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. 368 с.

24. Кузнецов С.П. Динамический хаос. Курс лекций. Учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по физическим специальностям. М.: Физматлит, 2001. - 296 с.

25. Гинзбург В.Л. Какие проблеммы физики и астрофизики представляются сейчас особенно важными и интересными (тридцать лет спустя, причем уже на пороге XXI века)? // Успехи физических наук, 1999. Т. 169, № 4. С. 419-442.

26. Akhmanov S.A., Vorontsov М.А., Ivanov V.Yu., et al. Controlling transverse-wave interactions in nonlinear optics: generation and interaction of spatiotemporal structures // Opt. Soc. Am. В., 1992. V. 9. № 1. P. 78-90.

27. Vorontsov M.A., Ricklin J.C., Carhart G.W. Optical simulation of phase-distorted imaging systems: nonlinear and adaptive optics approach // Opt. Engineering, 1995. V. 34. № 11. P. 3229-3238.

28. Yoronsov M.A., Karpov A.Y. Kerr slice-based nonlinear interferometer with two-dimensional feedback: control of roll and hexagon formation // Optics Letters, 1995. V. 20. № 24. P. 246-2468.

29. Vorontsov M.A., Karpov A.Yu. Pattern formation due to interballon spatial mode coupling // Opt. Soc. Am. В., 1997. № 1.

30. Adachihara H., FaidH., Two-dimensional nonlinear-interferometer pattern analysis and decay of spirals // Opt. Soc. Am., 1993. V. 10. № 7. P. 1242-1253.

31. Vorontsov M.A., Firth W J. Pattern formation and competition in nonlinear optical systems with two-dimensional feedback // Phys. Rev. A., 1994. V. 49. № 4. P. 2891-2905.

32. Дмитриев А.С., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989. - 280 с.

33. Владимиров С.Н. Вычисление спектра ляпуновских показателей движения в динамических системах с запаздыванием на основе спектрально-временного разложения уравнения эволюции возмущения // Изв. вузов. Физика, 1997. № 10. С. 114-118.

34. Измайлов И.В., Магазинников A.JL, Пойзнер Б.Н. Моделирование процессов в кольцевом интерферометре с нелинейностью, запаздыванием и диффузией при немонохроматическом излучении // Изв. вузов. Физика, 2000. № 2. С. 29-35.

35. Сухоруков А.П. Фундаментальные проблемы физики параметрических пространственных солитонов // Сборник трудов. Международная конференция «Фундаментальные проблемы оптики» (С.-Петербург, 2000,17-19 октября), СПб., 2000. С. 129.

36. Rosanov N.N., Semenov V.E. and Vyssotina N.V. «Optical needle» in media with saturating self-focusing nonlinerities//J. Optics B: Quantum Semiclass. Opt., 2001. V. 3. P. S96-S99.

37. Martin R., Oppo G.-L., Harkness G.K., et al. Controlling pattern formation and spatio-temporal disorder in nonlinear optics // Optic Express, 1997. V. 1. № l.P. 39-43.

38. Ахманов C.A., Воронцов M.A. Нестабильности и структуры в когерентных нелинейно-оптических системах, охваченных двумерной обратной связью // Нелинейные волны: динамика и эволюция: сб. ст. М.: Наука, 1989. - С. 228-237.

39. Измайлов И.В., КалайдаВ.Т., Магазинников A.JL, Пойзнер Б.Н. Бифуркации в точечной модели кольцевого интерферометра с запаздыванием и поворотом поля // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 1999. Т. 7, № 5. С. 47-59.

40. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности М.: Мир, 1991. — 368 с.

41. Мельников JI.A., Конюхов А.И., Рябинина М.В. Динамика поперечной поляризационной структуры поля в лазерах // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 1996. Т. 4, №6. С. 33-53.

42. Weiss C.O. et al. Generation of optical vortices in laser field // Appl. Phys., 1999. В 68. P. 151-168.

43. Измайлов И.В., Пойзнер Б.Н. Варианты реализации нелинейно-оптического устройства скрытой передачи информации // Оптика атмосферы и океана, 2001. Т. 14. № п. С. 1074-1086.

44. Магазинников A.JI. Влияние физических факторов на нелинейную динамику процессов в модели кольцевого интерферометра: Дисс. на соиск. уч. ст. к.ф.-м.н., Томск, 2000, гл. 4.

45. Магазинников А.Л., Пойзнер Б.Н., Сабденов К.О., Тимохин A.M. Тройка кер-ровских сред в нелинейном интерферометре: факторы, влияющие на бифуркационное поведение // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 1998. Т. 6. № 5. С. 56-65.

46. Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Проблемы нелинейной оптики. М.: ВИНИТИ, 1964,-296 с.

47. Анищенко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нейман А.Б., Стрелкова Г.И., Шиманский-Гайер Л. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 544 с.

48. Мигулин В.В., Медведьев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. М.: Наука, 1988. - 392 с.

49. Синергетике 30 лет. Интервью с профессором Г. Хакеном // Вопросы философии, 2000. №3. С. 53-61.

50. Хакен Г. Тайны природы. Синергетика: учение о взаимодействии. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003, - 320 с.

51. Пригожин И. Перспективы исследования сложности // Системные исследования. Методологические проблемы. М. Наука, 1987. С. 45-57.

52. Князева E.H., Курдюмов С.П. Законы эволюции и самоорганизации сложных систем. М.: Наука, 1994. - 239 с.

53. Буданов В.Г. Трансдисциплинарное образование, технологии и принципы синергетики // Синергетическая парадигма. Многообразие поисков и подходов. М.: Прогресс-Традиция, 2000. С. 285-304.

54. Данилов Ю.А. Причудливый мир науки: Сборник / Сост. А.Г. Шадтина. Под общ. ред. Д.И. Трубецкова. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2004. с. 76-83.

55. Аршинов В.И., Буданов В.Г. Синергетика постижения сложного // Синергетика и психология: Тексты: Вып. 3: Когнитивные процессы / Под ред. В.И. Аршинова, И.Н. Трофимовой, В.М. Шендяпина. М.: Когито-Центр, 2004. С. 82-126.

56. Воронцов М.А. Нелинейная волновая пространственная динамика световых полей // Изв. РАН. Сер. физ., 1992. Т. 56. № 4. С. 7-15.

57. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988. - 240 с.

58. Пойзнер Б.Н., Соснин Э.А. Опыт классификации субъектов самоорганизации материи и информации // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 1998. Т. 6. № 3. С. 74-86.

59. Пойзнер Б.Н. Синергетика и сопредельные науки: роль концепта «репликатор» // Нелинейная динамика и постнеклассическая наука: Сб. ст. М.: Изд-во РАГС, 2003. С. 347-358.

60. Хакен Г. Лазерная светодинамика. М.: Мир, 1988. - 350 с.

61. Стромберг А.Г., Семченко Д.П. Физическая химия: Учебник для вузов. — М.: Высшая школа, 1999. 527 с.

62. Рыжков А.Б., Носков О.В., Караваев А.Д., Казаков В.П. Стационары и бифуркации реакции Белоусова-Жаботинского // Математическое моделирование, 1998. Т. 10. №2. С. 73-78.

63. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания: Учеб. Пособие для вузов. М.: Изд-во физ.-мат. Литературы, 2002. - 292 с.

64. Ризниченко Г.Ю, Рубин. А.Б. Математические модели биологических продукционных процессов. М.: Изд-во МГУ, 1993. - 302 с.

65. Белотелов Н.В., Лобанов А.И. Популяционные модели с нелинейной диффузией // Математическое моделирование, 1998. Т. 9. № 12. С. 43-56.

66. Рыскин Н.М., Трубецков Д.И. Нелинейные волны: Учеб. пособие для вузов. -М.: Физматлит, 2000. 272 с.

67. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990. - 312 с.

68. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980. - 404 с.

69. Weidlich W. Physics and Social Science the Approach of Synergetics // Phys. Reports, 1991. V. 204. P. 1-163.

70. Трубецков Д.И. Колебания и волны для гуманитариев: Учебное пособие для вузов. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 1997. - 392 с.

71. Мелик-Гайказян И.В. Информационные процессы и реальность. М.: Наука, 1998.- 192 с.

72. Василькова В.В. Порядок и хаос в развитии социальных систем: Синергетика и теория социальной самоорганизации. СПб.: Лань, 1999. - 480 с.

73. Короновский A.A., Трубецков Д.И. Нелинейная динамика в действии: Как идеи нелинейной динамики проникают в экологию, экономику и социальные науки. -Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2003. 292 с.

74. Занг В.-Б. Синергетическая экономика: Время и перемены в нелинейной экономической теории. М.: Мир, 1999. - 335 с.

75. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. М.: Наука, 1997. - 285 с.

76. Капица С.П. Общая теория роста человечества. М.: Наука, 1999. - 190 с.

77. Трубецков Д.И. Введение в синергетику. Хаос и структуры / Предисл. Г.Г. Малинецкого. Изд. 2-е, испр. и доп. М.: Едиториал УРСС, 2004. - 240 с.

78. Трубецков Д.И. Введение в синергетику. Колебания и волны / Предисл. Ю.А. Данилова, Г.Г. Малинецкого. Послесл. Г.Г. Малинецкого. Изд. 2-е, испр. и доп. М.: Едиториал УРСС, 2003. - 224 с.

79. Евин И.А. Синергетика мозга и синергетика искусства. М.: ГЕОС, 2001. - 164 с.

80. Астафьева О.Н. Синергетический подход к исследованию социокультурных процессов: возможности и пределы. М. Изд-во МГИДА, 2002. - 295 с.

81. Пойзнер Б.Н., Ситникова Д.Л. Самообновление культуры и синтез научных знаний. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2002. - 184 с.

82. Пойзнер Б.Н. О «субъекте» самоорганизации // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 1996. Т. 4. № 4-5. С. 149-108.

83. Пойзнер Б.Н. Бытие становления как объект познания // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 1994. Т. 2. № 3-4. С. 101-110.

84. Синергетика и методы науки / Под ред. М.А. Басина. СПб.: Науки, 1998. - 439 с.

85. Новое в синергетике: Взгляд в третье тысячелетие. М.: Наука, 2002. - 478 с. (Информатика: неограниченные возможности и возможные ограничения).

86. Синергетическая парадигма. Когнитивно-коммуникативные стратегии современного научного познания. М.: Прогресс-Традиция, 2004. - 560 с.

87. Зейгер С.Г., Климонтович Ю.Л., Ланда П.С., Ларионцев Е.Г., Фрадкин Э.Е. Волновые и флуктуационные процессы в лазерах. М.: Наука, 1974. - 256 с.

88. Беляков В.А., Сонин A.C. Оптика холестирических жидких кристаллов. М.: Наука, 1982. - 360 с.

89. Шен В.Н. Принципы нелинейной оптики: Пер. с англ./ под ред. С.А. Ахмано-ва. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 560 с.

90. Аршинов А.И., Мударисов P.P., Пойзнер Б.Н. Механизмы формирования простейших оптических структур в нелинейном интерферометре Физо // Изв. вузов. Физика, 1995. №6. С. 77-81.

91. Аршинов А.И., Мударисов P.P., Пойзнер Б.Н. Механизм образования оптических структур в нелинейном интерферометре Физо при сдвиге зеркала и изменении размеров пучка // Изв. вузов. Физика, 1997. № 7. С. 67-72.

92. Воронцов М.А., Корябин А.В., Шмальгаузен В.И. Управляемые оптические системы. М.: Наука, 1989. С. 216-261.

93. Papoff F., DAlessandro G., Oppo G.-L., et al. Local and global effects of boundaries on optical-pattern formation in Kerr media // Phys. Rev. A, 1994. V. 48. № 1. P. 634-641.

94. Vorontsov M.A., Carhart G.W., and Dou R. Spontaneous optical pattern formation in a large array of optoelectronic feedback circuits // J. Opt. Soc. Am. B, 2000. V. 17. № 2. P. 266-274.

95. Vorontsov M.A., Carhart G.W., Pruidze D.V., et al. Adaptive imaging system for phase-distorted extended source and multiple-distance objects // Applied Optics, 1997. V. 36. №15. P. 3319-3328.

96. Короленко В.П. Оптические вихри // Соросовский образовательный журнал, 1998. №6. С. 94-99.

97. Наумов А.Ф., Локтев М.Ю., Гуральник И.Р., Вдовий Г.В. Новые жидкокристаллические корректоры волнового фронта с модальным управлением // Изв. РАН. Сер. физ., 1999. Т. 63. № ю. С. 1998-2003.

98. Воронцов М.А., Киракосян М.Э., Ларичев А.В. Коррекция фазовых искажений в нелинейном интерферометре с оптической обратной связью // Квантовая электроника, 1991. № 1. С. 117-120.

99. Vorontsov М.A. and Shishakov K.V. Phase-distortion in nonlinear cavities with gain // J. Opt. Soc. Am. A, 1992. V. 9. № 1. P. 71-77.

100. Ларичев A.B., Николаев И.П., Шмальгаузен В.И. Оптические диссипатив-ные структуры с управляемым пространственным периодом в нелинейной системе с фурье фильтром в контуре обратной связи // Квантовая электроника, 1996. № 10. С. 894-898.

101. Воронцов М.А., Дегтятев Е.В. Конкурентная динамика мод в нелинейном интерферометре // Квантовая электроника, 1996. № 10. С. 911-915.

102. Dou R., Vorontsov М.A., SivokonV.P., et al. Iterative technique for highresolution phase distortion compensation in adaptive interferometers // Optical Engineering, 1997. V. 36. № 12. P. 3327-3335.

103. Горбань А.Н. Функции многих переменных и нейронные сети // Соросов-ский образовательный журнал, 1998. № 12. С. 105-112.

104. Кащенко С.А. Пространственно-неоднородные структуры в простейших моделях с запаздыванием и диффузией // Математическое моделирование, 1990. Т. 2. № 9. С. 49-69.

105. Кащенко С.А., Майоров В.В., Мышкин И.Ю. Волновые образования в кольцевых нейронных системах //Математическое моделирование, 1997. Т. 9. № 3. С. 29-39.

106. Воронцов М.А., Разгулин A.B. Свойства глобального аттрактора нелинейной оптической системы с нелокальными связями // Радиотехника, 1995. № 3. С. 67-76.

107. Синицин Г.В., Ходасевич М.А., Ясюкевич A.C. Электронный коммуникационный канал в модели свободного вырожденного ферми-газа // Доклады Национальной академии наук Беларуси, 1999. Т. 43. № 5. С. 44-47.

108. Гончаренко A.M., Синицин Г.В., Ходасевич М.А., Ясюкевич A.C. Энергетическая эффективность передачи информации в коммуникационных каналах с им-пульсно-позиционной модуляцией // Доклады Национальной академии наук Беларуси, 2001. Т. 45, №2. С. 55-58.

109. Arkhipkin V.G., and Timofeev I.V. Spatial evolution of short laser pulses under coherent population trapping // Physical Review, 2001. V. 64, № 5. P. 1050-1057.

110. Arkhipkin V.G., and Timofeev I.V. Electromagnetically induced transparency; writing, storing, and reading short optical pulses // JETP Letters, 2002. V. 76, № 1. P. 66.

111. Рубанов A.C., Серебрякова Л.M. Об ассоциативной обработке информации тонкими голограммами с наложенной записью // Сборник трудов. Международная конференция «Фундаментальные проблемы оптики». (С.-Петербург, 2000, 1719 октября), СПб, 2000. С. 24-25.

112. Смирнов А.П, Салль С.А. Фазовопереходное излучение и информация // Сборник трудов. Международная конференция «Фундаментальные проблемы оптики». (С.-Петербург, 2000, 17 19 октября), - СПб, 2000. С. 38-39.

113. FainmanY., Marom D.M., PanasenkoD., et al. Superfast information processing with femtosecond laser pulses // Сборник трудов. Международная конференция «Фундаментальные проблемы оптики». (С.-Петербург, 2000,17 -19 октября), СПб., 2000. С. 27-29.

114. Беспалов В.Г., Ефимов Ю.Н., Стаселько Д.И. Пространственно-временной анализ импульсных оптических сигналов интерферометром Фабри-Перо // Оптические и лазерные технологии: Сб. статей / Под ред. В.Н. Васильева. СПб: СПбГИТ-МО (ТУ), 2001. С. 103-118.

115. RosanovN.N. Nonparaxial spatial optical solitons in transparent nonlinear media // Technical Exhibit of The 17th International Conference on Coherent and Nonlinear Optics «ICONO'2001». (Belarus, Minsk, 2001, 26 June 1 July), - Minsk, 2001. P. 126.

116. Кандидов В.П., Косарева Щ.Г., Chin S.L. Проблемы нелинейной атмосферной оптики фемтосекундного лазерного излучения // Сборник трудов. Международная конференция «Фундаментальные проблемы оптики». (С.-Петербург, 2000, 17-19 октября), СПб., 2000. С. 4.

117. HasegawaA. and TappertF. Transmission of stationary nonlinear optical pulses in dispersive dielectric fibers. I. Anomalous dispersion // Appl. Phys. Lett, 1973. V. 23. P. 142-144.

118. Bloom D.M., Mollenauer L.F., Lin Ch, Taylor N. And Del Gaudio A.M. Direct demonstration of distortionless picosecond-pulse propagation in kilometer-length optical fibers // Opt. Lett, 1979. V. 4. P. 297-299.

119. Mollenauer L.F., Stolen R.H. and Islam M.N. Experimental demonstration of soliton propagation in long fibers: loss compensated by Raman gain // Opt. Lett, 1985. V. 10. P. 229-231.

120. Bendow В., Gianino P.D., Tzoar N. and Jain M. Theory of nonlinear pulse propagation in optical waveguides // J. Opt. Soc. Amer, 1980. V. 70. P. 539-546.

121. Захаров В.Е., Шабат А.Б. О взаимодействии солитонов в устойчивой стреде //ЖЭТФ, 1973. Т. 64. С. 1627-1639.

122. ГлущикР.В. Процедуры локализации и распознавания объектов на изображении // Современные технологии: Труды молодых ученых ИТМО / Под ред. профессора С.А. Козлова. СПб: СПб ГИТМО (ТУ), 2001. С. 106-109.

123. Литвинов Р.В., Полковников С.И., Шандаров С.М. Самовозбуждение взаимно обращенных световых волн в кубическом гиротропном фоторефрактивном кристалле с приложенным меандровым электрическим полем // Квантовая электроника, 2001. Т. 31, №2. С. 167-172.

124. Пуговкин А.В., Серебренников Л.Я. Акустооптоэлектронные процессоры в системах связи и обработки информации // Изв. вузов. Физика, 2001. № 10. С. 105-109.

125. Тихомиров А.А. Додетекторная обработка сигналов обратного рассеяния при лазерном зондировании атмосферы // Изв. вузов. Физика, 2001. № 10. С. 93-104.

126. Наумов К.П., Рогов А.Н., Ушаков В.Н. Акустооптичаеская корреляционная обработка частотно-разнесенных сигналов фазированных антенных решеток // Изв. вузов. Физика, 2001. № 10. С. 88-92.

127. Шандаров В.М., Кип Д., КретцигЕ. Пространственные оптические солито-ны в планарных волноводах на основе электрооптических кристаллов // Изв. вузов. Физика, 2001. № 10. С. 43-52.

128. Бородин М.В., Нажесткина Н.И., Литвинов Р.В., Шандаров С.М. Самоискривление траектории светового пучка в фоторефрактивных кристаллах во внешнем знагопеременном электрическом поле // Изв. вузов. Физика, 2001. № 10. С. 38-42.

129. Litvinov R.V. Steady-state vectorial self-diffraction on a non-local photorefractive grating in a crystal of symmetry 43m at symmetrical transmitting geometry // Appl. Phys. В Lasers and Optics, Y. 75. 2002. P. 853-860.

130. Litvinov R.V. Self-diffraction of light waves by a nonlocal photorefractive grating in a crystal with the 4 3m symmetry // J. of Experimental and Theoretical Physics, V. 95. №5. 2002. P. 820-832.

131. Бауместер Д., Экерт А., Цайлингер А. Физика квантовой информации. M.: Постмаркет, 2002. - 376 с.

132. Дойч Д. Структура реальности. Ижевск: НИЦ «РиХД», 2001. - 400 с.

133. Sysoliatin А.А., Bogatyrjov V.A., Muraviev S.V. Soliton compression in dispersion decreasing fibers // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2004. Т. 12, № 1-2. С. 133-137.

134. McAulay A.D. Optical Computer Architectures: the Application of Optical Concepts to Next Generation Computers, John Wiley & Sons, New York, NY (1991).

135. Arrathoon R. ed. Optical Computing: Digital and Symbolic, Marcel Dekker, New York, NY (1989).

136. Feitelson D.G., Optical Computing: A Survey for Computer Scientists, MIT Press, Cambridge, MA (1988).

137. Carts Y.A. Optical computing nears reality // Laser Focus World, 1990. V. 26. P. 53-54.

138. Craft N.C., Prise M.E. Processor does light logic //Laser Focus World, 1990, V. 26. P. 191-200.

139. McCormick F.B., Cloonan T.J., Tooley F.A.P., et al. Six-stage digital free-space optical switching network using symmetric self-electro-optic effect devices // Appl. Opt., 1993. V. 32. P. 5153-5171.

140. DammannH., GortlerK. Holographic lens // Opt. Commun., 1971. V. 3. P. 312-316.

141. Lentine A.L., Miller D.A.B., Henry J.E., et al. Optical logic using electrically connected quantum well PIN diode modulators and detectors // Appl. Opt., 1990. V. 29. P. 2153-2163.

142. Guilfoyle P. S., Zeise F.F., Stone R.V. DOC II: 32-bit digital optical computer, opto-electronic hardware and software // Proc. SPIE, 1991. V. 1563. P. 267-278.

143. Guilfoyle P.S., Mitkas P.A., Berra P.B. Digital optoelectronic computer for textual pattern matching//Proc. SPIE, 1990. V. 1297. P. 124-132.

144. Guilfoyle P.S., Rudokas R.S., Stone R.V., et al. Digital optical computer II: performance specifications // Optical Computing Technical Digest, 1991. P. 203-206.

145. Guilfoyle P.S., McCallum D.S. High-speed low-energy digital optical processors //Optical Engineering, 1996. V. 35. P. A3-A9.

146. Доступно в сети Интернет по адресу: http://www.lenslet.com

147. Напартович А.П., Сухарев А.Г. Декодирование информации в схеме хаотического лазера, управляемого хаотическим сигналом // Квантовая электроника, 1998. Т. 25. № 1. С. 85-88.

148. Napartovich A.P., and Sukharev A.G. Synchronizing a chaotic laser by injecting a chaotic signal with a frequency offset // Journal of experimental and theoretical physics, 1999. V. 88. №5. P. 875-881.

149. Sivaprakasam S., and Shore K.A. Critical signal strength for effective decoding in diode laser chaotic optical communications // Physical Review E., 2000. V. 61. №5. P. 5997-5999.

150. Goedgebuer Jean-Pierre, Larger L., Porte H. Optical cryptosystem based on synchronization of hypperchaos generated by a delayed feedback tunable laser diode // Physical Review Letters, 1998. V. 80. № 10. P. 2249-2252.

151. LasingP.M., Gavrielides A., KovanisV., RoyR, Thornburn K.S. Encoding and decoding messages with chaotic lasers // Physical Review E., 1997. V. 56. № 6. P. 6302-6310.

152. Mirasso C.R., Mulet J., Masoller C. Chaos shift-keying encryption in chaotic external-cavity semiconductor lasers using a single-receiver scheme // IEEE Photonics Technology Lett., V. 14. № 4. 2002. P. 456-458.

153. VanWriggeren G.D., Roy R. Communication with chaotic lasers // Science, 1998. V. 279. P. 1198-1200.

154. VanWriggeren G.D., RoyR. Optical communication with chaotic waveforms // Physical Review Letters, 1998. V. 81. № 16. P. 3547-3550.

155. VanWriggeren G.D., Roy R. Chaotic communication using time-delayed optical system // International Journal of Bifurcation and Chaos, 1999. V. 9. № 11. P. 2129-2156.

156. Garcia-Ojalvo J., Roy R. Spatiotemporal communication with synchronized optical chaos // http://www.lanl.gov/abs/nlin.CD/0011012. 2000. 6 Nov. 4 p.

157. Распространение солитонов в оптических и радиофизических системах: Методические указания / Сост. А.В. Лячин, A.JI. Магазинников, Б.Н. Пойзнер. Томск: РИОТГУ, 2003.-31 с.

158. Пространственные солитоны в керровской среде с насыщением нелинейности: Методические указания / Сост. П.Е. Денисов, А.В. Лячин, А.Л. Магазинников, Б.Н. Пойзнер. Томск: РИО ТГУ, 2004. - 18 с.

159. Арнольд В .И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990. С. 21-30.

160. РабиновичМ.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. -М.: Наука, 1984.-432 с.

161. Андронов А.А., Гордон И.И., Леонтович Е.М., Майер А.К. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1967.

162. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981.-568 с.

163. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.Н., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976. - 384 с.

164. Анищенко B.C. Аттракторы динамических систем (лекция) // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 1997. Т. 5. № 1. С. 109-127.

165. Mensour В., Longtin A. Power spectra and dynamical invariants for delay-differential and difference equations // Physica D., 1998. V. 113. № 1. P. 1-25.

166. Лячин A.B., Магазинников А.Л. Влияние нелинейности на хаотическую динамику в модели кольцевого интерферометра // Современные проблемы физики и технологии. Сборник статей молодых ученых. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2001. С. 189-192.

167. Лячин А.В., Магазинников А.Л., Пойзнер Б.Н. Цикличность и хаос в модели кольцевого интерферометра // Циклы. Cycles. Материалы междисциплинарного научного семинара вузов Сев.-Кав. Региона. Ч. 2. Ставрополь: СКГТУ, 2002. С. 33-36.

168. Тарасенко В. Фрактальная логика. М.: Прогресс - Традиция, 2002. - 160 с.

169. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Прохоров Ю.В. М.: Советская энциклопедия, 1988. - 847 с.

170. Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. М.: Логос, 2002. -664 с.

171. Хакен Г. Принципы работы головного мозга. Синергетический подход к активности мозга, поведению и когнитивной деятельности. М.: Пер СЕ, 2001. - 350 с.

172. Грибанов Ю.И., Мальков В.Л. Погрешности и параметры цифрового спектрально корреляционного анализа. - М. Радио и связь. 1984. - 160 с.

173. Бендат Дж., Пирсол А. Применение корреляционного и спектрального анализа М. Мир. 1983. - 312 с.

174. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. -М. Мир. 1971.-408 с.

175. Измайлов И.В. Оптимизация интерференционного взаимодействия в нелинейном интерферометре выбором параметров поляризации квазимонохроматических световых пучков // Изв. вузов. Физика, 2000. № 7. С. 101-103.

176. Генерация структур в нелинейном интерферометре Физо с двумерной обратной связью. Вычислительный эксперимент: Методические указания. / Сост. А.И. Аршинов, P.P. Мударисов, Б.Н. Пойзнер. Томск: ТГУ, 1992. - 28 с.

177. Аршинов А.И., Мударисов P.P., Пойзнер Б.Н. Формообразование в интерферометре с керровской нелинейностью: вычислительный эксперимент // Изв. вузов. Физика, 1994. № 6. С. 102-104.

178. Измайлов И.В., Макогон М.М., Пойзнер Б.Н., Раводин В.О. Моделирование процессов согласованного излучения лазеров в бихроматическом излучателе // Оптика атмосферы и океана, 2000. Т. 13. № 4. С. 415-419.

179. Квантовая электроника: Маленькая энциклопедия / Под ред. С.А. Ахманова, М.Е. Жаботинского и др. М.: Изд-во Советская энциклопедия, 1969. - 492 с.

180. Измайлов И.В., Лячин A.B., ПойзнерБ.Н., Шергин Д.А. Пространственный детерминированный хаос: Модель и демонстрация явления в вычислительном эксперименте // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2005. Т. 13. № 1-2. С. 123-136.

181. Лячин A.B. Влияние степени нелинейности на хаотическую динамику в модели кольцевого интерферометра // Материалы XXXIX Международной научной студ. конф. «Студент и научно-технический прогресс»: Физика / ИГУ, Новосибирск, 2001.С. 169-170.

182. Лячин A.B., Магазинников А.Л., Пойзнер Б.Н. Сложная динамика в модели открытой оптической системы // Организация структур в открытых системах: тезисы докладов шестой международной конференции. (Алматы, 2002, 21-24 октября), -Алматы, 2002. С. 5-6.

183. Лячин A.B., Магазинников А.Л., Пойзнер Б.Н. Идентификация режимов в модели кольцевого интерферометра с поворотом оптического поля на 120° // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2002. Т. 10. № 6. С. 71-80

184. Лоскутов А.Ю., Михайлов A.C. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990. - 272 с.

185. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000.

186. Лячин A.B., Магазинников АЛ. Карта динамических режимов в модели трех-компонентного кольцевого интерферометра // Современные проблемы физики и технологии. Сборник статей молодых ученых. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2002. С. 131-135.

187. Лячин A.B. Построение карты динамических режимов для модели трехком-понентного кольцевого интерферометра // Материалы XL Междунар. науч. студ. конф. «Студент и научно-технический прогресс»: Физика / НГУ, Новосибирск, 2002. С. 114-115.

188. Лячин A.B. Особенности переходных процессов в модели нелинейного кольцевого интерферометра // Современные проблемы физики и технологии. Сборник статей молодых ученых. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003. С. 107-109.

189. Лячин A.B. Исследование переходных процессов между режимами в модели нелинейной оптической системы // Материалы XLI Междунар. науч. студ. конф. «Студент и научно-технический прогресс»: Физика / НГУ, Новосибирск, 2003. С. 76.

190. Лячин A.B., Пойзнер Б.Н. Хаотичность и странность как аспекты сложной динамики (на примере кольцевого интерферометра) // Преподавание физики в высшей школе. Научно-методический журнал, № 26. М.: МПГУ, 2003. С. 101-105.

191. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989.

192. Лячин A.B. Влияние запаздывания на хаотическую динамику в кольцевом интерферометре (компьютерный эксперимент) // Материалы XXXVII Междунар. науч. студ. конф. «Студент и научно-технический прогресс»: Физика 4.1. / НГУ, -Новосибирск, 1999. С. 75-76.

193. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука. Физматлит, 1997. - 496 с.

194. Рыскин М.И., Иванов А.В. Нелинейная динамика в науках о Земле // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2003. Т. 11, № 6. С. 138-148.

195. Заславский Г.М., Кириченко Н.А. Хаос динамический // Физическая энциклопедия / Гл. ред. A.M. Прохоров. М.: Сов. энциклопедия. Т. 5, 1998. С. 397-402.

196. Измайлов И.В., Пойзнер Б.Н., Денисов П.Е. Равносильность: от обоснования понятия до анализа бифуркационного поведения. Томск: ТГУ, 2003. - 46 с. / Вестник Том. гос. ун-та. Бюллетень оперативной научной информации. - 2003. -№15. Октябрь 2003.

197. Измайлов И.В., Лячин А.В., Пойзнер Б.Н. Описание процессов в кольцевом интерферометре дискретным отображением: бифуркации и размерности аттрактора // Вестник Томского гос. университета. Сер. «Физика», 2003. № 278. Сентябрь. С. 111-115.

198. Галкин П.А., Жилейкин Я.М. Визуализация распространения мощных оптических пучков в нелинейной среде. // Вычислительные методы и программирование, 2003. Т. 4. С. 14-18.

199. Izmailov I.V., Lyachin A.V. Multiphoton phenomena in presence of kerr's effect: simulation of processes in ring interferometer // Procc. of IV Int. young scientists conf. on applied physics. (Kiev, 2004, 21-23 June), Kiev, 2004. P. 28-29.

200. Izmailov I., Poizner В., and Shergin D. Processes in a ring interferometer: the problem of describing by discrete maps // Atmos. and Oceanic Optics, 2004. V. 17. № 2-3, P. 109-114.196

201. DenisovP.E., Izmailov I.V., LyachinA.V., PoiznerB.N., SherginD.A. Nonlinearity with saturation in the ring interferometer model: stability, bifurcation behaviour, attractor dimension//Proc. SPIE, 2005. V. 5851. P. 82-89.

202. Лячин A.B., Пойзнер Б.Н. Моделирование преобразования лазерного пучка в кольцевом интерферометре: фрактальная геометрия хаотического аттрактора в плане обработки информации // Оптика атмосферы и океана, 2004. Т. 17. № 02-03. С. 146-150.

203. Лячин A.B. Лесина C.B. Анализ фрактальной размерности аттракторов в модели кольцевого интерферометра // Материалы XLII Междунар. науч. студ. конф. «Студент и научно-технический прогресс»: Физика / НГУ, Новосибирск, 2004. С. 78.

204. Измайлов И.В., Лячин A.B., Пойзнер Б.Н., Шергин Д.А. Моделирование поведения нелинейного фазового набега поля в кольцевом интерферометре: случай двухчастотного воздействия // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2005. Т. 13. №1-2. С. 137-151.

205. Справочник по лазерной технике: Пер. с нем. М.: Энергоатомиздат, 1991. - 544 с.

206. Бломберген Н. Нелинейная оптика. М.: Мир, 1966. - 424 с.

207. Владимиров С.Н., Перфильев В.И. Нелинейно-параметрические эффекты и динамический хаос в неавтономной колебательной системе с нелинейной емкостью // ЖТФ. 2004. Т. 74. Вып. 7. С. 6-12.

208. Short K.M. Unmasking a chaotic communication scheme // International Journal of Bifurcation and Chaos, 1994. V. 6. P. 367-375.

209. Авдеев С.М. Оценка стойкости модели оптической криптосистемы методом функции автокорреляции // Современные проблемы физики, технологии и инновационного развития: Сб. статей молодых учёных. — Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003. С. 85-87.