Математические вопросы магнитной гидронамики сплошных сред тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

-Г, од

i i о и российская академия наук

ПиТ С.-Петербургское отделение

атеыатического института им. в.а. Стеклова

На правах рукописи

ступялис людвикас игнаиович

удк 517.946

математические вопросы магнитной гидродинамики сплошных сред

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург - 1996

Работа выполнена в Институте математики и информатики Академии наук Литвы.

Официальные оппоненты:

1. Доктор физ.-мат. наук, профессор В.В. Пухначев

2. Доктор физ.-мат. наук, профессор В.Г. Осмоловский

3. Доктор физ.-мат. наук, профессор Г.А. Серегин

Ведущая организация - Санкт-Петербургский технический университет

Защита диссертации состоится "18'" сентября 1996г. в 14 час. на заседании Специализированного Ученого Совета Д002.38.04 при С.-Петербургском отделении Математического института им. В.А. Стеклова РАН по адресу: 191011, г. Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки. 27, комн. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке С.-Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан "Э" - 1996 г.

Ученый секретарь Специализированного совета

Актуальность темы. Течения проводящей жидкости, находящейся в магнитном поле, давно привлекали к себе внимание как математиков, так и гидр о динамиков. Интерес к исследованию этих течений возрос в связи с созданием нового материала - феррожидкости, которая нашла широкое применение при создании новых технологий, в частности, к изучению течений со свободными границами. В большинстве рассматриваемых в магнитной гидродинамике ситуациях токами смещения пренебрегают. Однако применимость этих уравнений магнитной гидродинамики требует соблюдения условия aL/V 1, где а - проводимость среды, а L и V - характеристические параметры длины и скорости, определяющие свойства данного движения жидкости. Для плохих проводников (например, полупроводников), при высоких частотах поля и особенно при частотах, близких к резонансным (в данном случае роль частоты играет отношение V/L) ток смещения существенно меняет картину взаимодействия электромагнитных и гидродинамических явлений, которую надо рассматривать на основе совместной системы уравнений поля и уравнений движения жидкости (или газа). Такая ситуация возникает в астрофизике, в частности, в физике Земли. Все эти задачи магнитной гидродинамики требуют строгого математического анализа.

Научная новизна. Впервые разрешимость краевых задач (стационарных и нестационарных) магнитной гидродинамики для вязкой несжимаемой жидкости, в предположении, что среда обладает большой проводимостью и можно пренебречь токами смещения по сравнению с токами проводимости, исследована O.A. Ладыженской и В.А. Солонниковым и В.А. Со-лонниковым. В главе 1 диссертации мы учитываем токи смещения. Следует, однако , отметить, что в этом случае при изучении начально-краевых задач магнитной гидродинамики возникают существенные трудности и нельзя непосредственно применить методы исследования, развитые в работах O.A. Ладыжеской и В.А. Солонникова. В ней доказана однозначная разрешимость нелинейных задач в "малом", т.е.

только для некоторого, вообще говоря, малого промежутка времени, величина которого определяется данными задачи. Разбираемые здесь задачи с математической точки зрения интересны не только тем, что они нелинейны. В том случае, когда мы имеем дело с совокупностью нескольких различных соприкасающихся сред, каждая из которых обладает своей магнитной проницаемостью ц, диэлектрической постоянной £ и проводимостью среды и, нестационарная система уравнений магнитной гидродинамики весьма своеобразна: она не принадлежит к изученным типам и содержит коэффициенты £ и <х, терпящие разрывы на границах разнородных сред (благодаря чему мы вынуждены удовлетворить целой серии условий "согласования" на этих границах раздела). Система уравнений магнитной гидродинамики привлекает к себе внимание и тем, что она резко меняет свой тип при переходе из одной среды в другую и обладает яркой специфичностью. Лля доказательства разрешимости начально-краевых задач этой системы уравнений в гельдеровских пространствах необходимо изучить начально-краевые задачи для системы уравнений Максвелла в разнородных средах. Для доказательства коэрцитивных оценок решений этих задач необходимо, в свою очередь, построить решение модельной пространственной начально-краевой задачи для системы уравнений Максвелла в виде суммы потенциалов и установить предельно точные оценки этого решения в гельдеровских нормах. Этим вопросам и посвящена глава 2. В главе 3 рассмотрена краевая задача для нелинейной стационарной системы уравнений магнитной гидродинамики, которая возникает при исследовании задач со свободными границами. Изучена разрешимость этой задачи и исследована зависимость гладкости решений от гладкости данных задачи. Это позволяет рассмотреть одну из модельных задач о движении расплавленного металла при наличии свободной поверхности. Начально-краевые задачи для уравнений, которые резко меняют свой тип при переходе из одной области в другую, с чисто математической точки зрения также представляют несомненный

интерес. Кроме того, они возникают не только в магнитной гидродинамике (например, в биологии). В том случае, когда первая краевая задача для эллиптического уравнения в своей области задания имеет только тривиальное решение, эти задачи изучены в работах O.A. Ладыженской и Л. Сту-пялиса и Л. Ступялиса. Если это условие не соблюдено, то задачи такого типа некорректны по отношению к возмущениям коэффициентов уравнений. Поэтому возникает вопрос: имеют ли место теоремы разрешимости указанных выше начально-краевых задач в последнем случае? В главе 4 дан положительный ответ на этот вопрос.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты, кратко охарактеризованные выше, дают возможность утверждать, что выполненные в работе исследования формируют новое перспективное направление по магнитной гидродинамике, которое будет способствовать успешному решению ряда важных практических проблем.

Аппробация работы. Результаты работы докладывались автором на конференциях Литовского математического общества, на семинарах по краевым задачам математической физики Института математики и информатики, на семинарах по дифференциальным уравнениям Вильнюсского университета, на семинарах по прикладной механике Каунасского Технологического университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано одиннадцать печатных работ.

Структура и оббем работы. Работа состоит из введения, 4 глав и списка литературы, содержащего 119 наименований работ. Общий объем диссертации вместе со списком литературы - 248 страниц.

Содержание главы 1. Если проводящую жидкость поместить в электромагнитное поле, то при ее движении будет иметь место взаимодействие электромагнитных и гидродинамических сил. Предполагая жидкость несжимаемой, вязкой и

изотропной, в определенной системе единиц мы будем иметь место следующую систему уравнений, описывающую эти явления

^ 1

^_,,Ду + У%7Г^- + -НхгоШ =--Егас1р + Г, (1)

<9г ^ дхк р р

<Иуу = 0, (2)

£^-гоШ + <Г[Е + /Х(УХН)] =1 (3) ЗН

р — + го1Е = 0, (4)

с11У (^Н) = 0, (5)

■л

где V - вектор скорости жидкости, р - давление, Е и Н -векторы электрической и магнитной напряженности, Г и .) — заданные внешние гидродинамические силы и токи соответственно, £ - диэлектрическая постоянная, р - магнитная проницаемость, <т - проводимость среды, V - кинематическая вязкость жидкости, р - плотность жидкости. Мы будем предполагать, что жидкость находится в ограниченном сосуде Ох с границей и что на границе выполняется условие прилипания

^к = 0. (б)

Пусть сосуд с жидкостью Г21 окружен диэлектриком (или вакуумом) и пусть в диэлектрике находится проводник Г2з с границей ¿з, по которому текут заданные токи .). Область, занимаемую диэлектриком, предположим конечной и обозначим через Пг, а ее границу - идеально проводящей. Электромагнитное поле мы будем рассматривать в О. = (^=1 ПРИ этом вне П1 полагаем V = 0. Векторы Е и Н должны удовлетворять определенным условиям на границах различных сред, именно

Е^к^к. (7)

н^к^к. ^%к=^\3к,к = 1,г. (8)

Здесь Нп = Н-п - нормальные составляющие вектора Н на и 5з, причем предполагается, что вектор нормали п направлен внутрь 02; Нт = Н - пНп, Ет = Е - пЕп; Н^, щ -значения Н, Е, ц в А;, г = 1,2,3. На границе являющейся идеальным проводником, должно быть

= я»к = °- (9)

Будем считать известными начальные условия Ч=о = *<>(*)> *€Пь Е|4=0=Е0(х),

н|(=0 = н0(®), хеп.

Кроме того, вектор Е должен удовлетворять в Г22 уравнению

сП\-£Е = 0, (И)

которое выражает отсутствие зарядов в П2-

Проводимость среды <т, диэлектрическая постоянная е и магнитная проницаемость /( являются разрывными функциями в 17

С <Т 1 = const > 0, х £ íli,

а{х) = - 0,

i <x3(z) > о, ж е Q3,

( С\ — const > 0, х £ fil,

е{х) = - £з{х) > 0, х £ fi2,

{ 53(Х) > 0, •с G «з,

( /¿i = const > 0, z е fii,

ц(х) = < Ц2(х) > 0, ¡c G fiji

{ цг(х) > 0, x G fi3)

О < «то ^ <т(х) ^ <т°, 0 < £0 ^ г(х) е°, 0 < ц0 ^ t*(x) ^ Ради некоторых несущественных упрощений будем считать ffc, l¿k постоянными.

Вектор Е можно из уравнений (3), (4), краевых и начальных условий исключить и получить для Н} начально-краевую задачу:

¿V

М

1 1

VЛу + V 1>к —^ + - н х го1 Н = —grad р + {, дХк Р р

(¿¡у V = О,

32Н тт дН , т '

+ Г01 Г01 Н + --ГО1 (V х Н) = — го! .),

(ИуН = О,

Я„|„ = о, го^Нк =0, t>0, ¡¿>2 '

Ч=о = у°(х)> * е Пь Н|(=0 = Н0(х),

дн

Ы

= -- го1Ео(л:), а; 6 О. «=о V

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

Если выполнены условия согласования:

I

[ [1 е- £ («-) (гЫ Н(к) + _ 1 го4 тН12) I

У и*: ^ 1 5к £2

5к

с1г = 0,

к = 1,3,

и Н} удовлетворяет указанным соотношениям, то вектор

(

Е =

Е0(х)е * ' + \ /е-т('-т)[го1Н - х Н) + ДсЬ-,

о

X £ ак, к~ 1,3,

Е^ + ^/гоШ^г, "*■ о

х е п2, < ^ о,

будет удовлетворять уравнениям (3), (4), условиям сопряжения (7), краевому условию Ет|5 = 0, < ^ 0, и начальному условию Е|(=о = Е0(г), 1бП.

В первом и во втором разделе этой главы рассмотрены в некотором смысле модельные задачи. В них все явления изучаются только внутри объема П, заполненного жидкостью. От окружающего пространства он изолирован идеальным проводником, так что вне П электромагнитное поле отсутствует. В третьем разделе рассмотрена начально-краевая задача (1) - (11) в случае ее линеаризации, т.е. когда вместо уравнений (1) и (3) берутся уравнения:

Р

где Ь(ж,¿) = (Ь1(х,1),Ь2(х:(),Ьз(х,1)) и А(ж,<) = (Лх(х,/), Л2(ж, Лз(ж,<)) суть какие-либо заданные векторы, удовлетворяющие соответственно уравнениям ('2) и (-5). Исследования ведутся в классах обобщенных решений. Затем изучаются дифференциальные свойства обобщенных решений, т.е. векторов скорости течения жидкости или газа V, магнитной напряженности Н и электрической напряженности Е, полученных из интегральных тождеств. Доказывается, что V и давление р имеют в области, заполненной жидкостью, а Н и Е - в областях, заполненных средами с непрерывно изменяющимися электромагнитными свойствами (ц,£,<т), обобщенные производные, входящие в нестационарную линеаризованную систему уравнений магнитной гидродинамики, и удовлетворяют ей почти всюду. Данный в этом разделе метод исследования дифференциальных свойств позволяет проследить, как улучшаются дифференциальные свойства решений по мере дальнейшего улучшения дифференциальных свойств данных линеаризованной задачи.

сЫ

т

дч

Ду + V Ьк —- + " А х гс* Н =

^ дхк

к — 1

<9Е

— - го1 Н + <т[Е + //(V х А)] = з,

Наконец, в четвертом разделе изучена нелинейная начально-краевая задача (1)-(11). Сформулируем полученный в нем результат. Для этого введем следующие функциональные пространства:

/^(П) - вещественное гильбертово пространство квадратично суммируемых вектор-функций и(г) = (и^аг), ит(х), и3(х)), заданных в ограниченной области П евклидова пространства Е3, со скалярным произведением

(и'у)п = / и

3

• V с1г, и • V = ^^ I

к = 1

и нормой ||и||п = \/(«,и)п-

Ц'*2(П) - гильбертово пространство вектор-функций, все компоненты которых квадратично суммируемы в О и имеют квадратично суммируемые обобщенные производные до порядка / включительно; скалярное произведение и норма в И'2(Г2) определяются формулами

J(Í7) - замыкание в ¿г(^) множества гладких соленоидаль-ных вектор-функций и(х) (т.е. вектор-функций, удовлетворяющих уравнению сПуи = 0), а J(0) - замыкание множества гладких соленоидальных вектор-функций, удовлетворяющих условию

"п|5 = 0, (17)

где ((„¡5 - нормальная составляющая вектор-функции и на 5.

Jl(Q) - подпространство ^(О), состоящее из всех соленоидальных вектор-функций. J- подпространство вектор-функций из <7'(Г2), удовлетворяющих на 5 условию (17).

О, о |

] п Т(П) - подпространство J'n(Q), состоящее из всех элемен-

о .

тов J'n(Q), удовлетворяющих условию

иг|5 = 0, (18)

где ur = u — nitn.

Пусть Г2 = Ц=1П{, где П; - области, определенные выше при постановке задачи. Введем гильбертовы пространства Я|(П), 1^1, к = 1,3, элементами которых являются все вектора Н, в каждой из областей П,-, i = 1,2,3, принадлежащие j'(i)i) и, кроме того, удовлетворяющие в П; для i ф к уравнению rot Н = 0, на Sk, к = 1,3, - условиям сопряжения (8) и на So ~ условию

H„\S2 = 0. (19)

Скалярное произведение в Я[(П) определим равенством

(h>w) = x><hc 1=1

Введем еще гильбертовы пространства Hl2(Q), 1^1: #2(fi) - пространство, элементами которого являются все вектора Н, в каждой из областей П», г= 1,2.3, принадлежащие и, кроме того, удовлетворяющие в Qk, к = 1,3, уравнению rotH = 0, на Sk, к = 1,3, - условиям сопряжения (8) и условию

J Н^ dS = 0, (21)

s

где D - замкнутая поверхность внутри содержащая Si внутри себя, а на S2 - условию (19). Н"(fi), m ^ 2, - пространства векторов, которые в f},, i = 1,2,3, принадлежат Jm(fi,) и удовлетворяют в ilk, к = 1,3, уравнению rotH = 0, на Sk - условиям сопряжения (8) и условию (21), а на 52 -условию (19) и

rotTH|S2 = 0. (22)

Скалярное произведение в Н{(О) определяется равенством (20).

Обозначим через Н\Г2), / ^ 1, множество векторов и вида и = щ + и2 + и3, где и,- 6 Я/(П), г = 1,2,3. В Я'(П) введем новое скалярное произведение

{^^¿(гЫи.кЛу)^.

1=1

Соответствующая ему норма | • в силу доказанных в диссертации теорем, эквивалентна норме || • Нетрудно видеть, что Я'(Г2) - пространство Гильберта, а Я'(Г2), г = 1, 2,3, - попарно ортогональные подпространства относительно нового скалярного произведения.

Пространство квадратично суммируемых по — П,- х (О, Т), г = 1,2,3, векторов будем, как принято, обозначать через скалярное произведение и норма в нем опре-

деляются равенствами:

(и,у)д(.) =J (и,у)п с1/; ||и||д<.-> = ( J ЦиЦ^сИ . о ^ 0 '

АЯР) (ЛЯ{тк)))> к — 1)3, - гильбертово пространство, состоящее из векторов пространства Для почти всех I е (О, Г) принадлежащих 3($1к) (]{&*)). к = 1,3, - банахово пространство, полученное замыканием в норме

т

Н2,1,^> = /|М1п,Л

о

И^'^Фт^)« 2 = 112,3, - гильбертово пространство со скалярным произведением

/ ч г 1,1> [ ( ди £>\Л , ,

Н1'1{С}т) ~ гильбертово пространство, элементами которого являются все вектора, в каждом из множеств <3^, ' = 1,2,3, принадлежащие И^'^С?^) и, кроме того, для почти всех I £ (О, Т) - пространству

^(Ят), ' ^ 1, ~ банахово пространство, состоящее из всех векторов пространства Н1'1((2т), при всех < € [0,Т] принадлежащих и имеющих обобщенные производные £>(ки, ¿• = 0,1,...,/, непрерывные по < соответственно в нормах Н1~к(И), с конечной нормой

ницдт) = 0^т е ¿1№гч.о||п,-44 ^ + > = 1

Пространство векторов V из имеющих обобщен-

ные производные у*,*., из обозначим через

IV,:'1 (Я^). Скалярное произведение и норма в нем определяются равенствами:

(и, у)<а(',7 = [ и ■ V« + X) ■ А ^ м;

<т

| (2,1) /, ч(2,1)

Введем банахово пространство А(С}т) = \\г хВ2{С}т) с нормой

М

(2,1)

+ Ывчягу

~ Чт

Переформулируем задачу (12)—(16). Пусть Г 6 J(Qy1'')■

Спроектируем обе части первого из уравнений (12) на под-0

пространство J Это даст

^ - Ау + К\ - = Г, (23)

где Лу = 1/РоАу, Л*у = Я.Е*=1

ЙУ

операторы, опреде-

и_

д*к>

ленные на Jl:T(Ql), С}Н = ^ Р°1>2к = 1 ИЬ а р° ~ проектор

о

на подпространство ./(ПО.

Теорема 1 (1.4.20 и замечание 1.4.21). Пусть 5 6 С3, Г,

д*/д1 € ¿((ЭР), ^0) е «/№). у0 е Л.ЛПО,

€ Л,!^), а- = 1,3, Но е я2(П), 1ГО1Е0 е я*(П) и пусть выполнены следующие условия согласования:

[(ЛРОДуо + ^.О)]^ = 0,

Р<

и>

к=1

д\ I

о к т,—~ + - Но X ГСП Но охи р

0.

Если выполнено условие ^(Т)и;(Т) < 1/4, то задана (23), (13)-(16) однозначно разрешима в пространстве Л(фт-) и для этого решения справедливо неравенство

2 Г(Т)

£

и(<?т> " 1 + у/1-4Г(Т)и(Т)' Здесь и;(Г) = с1\/Г+с2тт{1,Т1/4}, а

+

М д(

+

+ и'мс + е (м2>11<3,ч +

к = 1,3

д от

Во втором разделе этой главы в случае двух пространственных переменных доказана теорема о разрешимости модельной задачи в более широком классе вектор-функций при более слабых ограничениях на данные. Для задачи (23), (13)—(1 б) сохраняют силу как сама теорема (теорема 1.2.8), так и ее доказательство (с очевидными изменениями).

я

Содержание главы 2. Пусть Q - ограниченная область трехмерного евклидова пространства М3 с границей S, Q = Î2Uб1. Рассмотрим следующую начально-краевую задачу для системы уравнений Максвелла:

+ —rot rot H*1* = —rotj, divH(^ = 0. (24) at aim

tea t > o,

rot H(2) = 0, div H(2^ = О, X e t > 0, (25)

= = H<»||x|=oo =0.(26)

H(nUo = (2?)

Здесь H^*) = (fl[k\ H^fH^), к = 1,2, - вектор напряженности магнитного поля, /1к - магнитная проницаемость среды, (Tj - проводимость, Н^ = Н^ —пНпк^ - тангенциальная составляющая вектора Н^'^, п - единичный вектор внутренней нормали к поверхности S, j - заданные токи.

Напомним определения пространств функций, непрерывных по Гельдеру вместе со своими производными.

^ 0 - целое число, а € (0,1)) - банахово пространство функций из С'(Î2), производные которых до порядка / включительно удовлетворяют условию Гельдера с показателем а. В этом пространстве можно ввести норму

|u|('+a) = |u|(i) ' ^ г nfc,.l(q) - l.|(0 , г,.1('+а)

+ ewî=hm»]

где

i iC) V^ i т^к / \i г iO) — и(ш')!

i"ín = e si,p \dmb = si;p i- l •

a —

С 2 (Qt) ~ банахово пространство заданных в Qr = П х (0, Т) функций с конечной нормой

|u|Qr" -rlQr^L^Q

где

(а,|) (а) (*)

|дт = вир |«(аг, 01» [«]дт2 = Мх!(?т + Nt.gr-

Г 1(«)

к,<зт = 8ир

' ^ * т т' -

(а)

= зир

и{х,()-и{х,П I

1+а

1+а

С ' - (<3т)> /=1,2, — банахово пространство функций, имеющих конечные нормы

,Ят

1+°^ I I

\Ят

1=1

3

= нрт + е 1=1

ди 81

ди

дх{ ди

Ят

дх;

+ Е

Ят г,]=1

д2и

+

+ Е

Ят ¡ = 1

ди

дх.

+

Ят

при / = 2.

г,Ят

Нам понадобится еще полунорма

(Нол) Ят

1+Л-7

и\\\ ' • = эир \х - г'|~7|<

и(аг',0 - и(аг,<') + и(х',<')1.

Цх,0-

в которой а,7 € (0,1). Известно, что при достаточно гладкой Я

¡|(1 + ад)

где

м

<3 т

= шах

ди

дх,

и)

Ят

3

Аналогично определяются и теми же символами обозначаются гельдеровские пространства вектор-функций.

Сформулируем основной результат главы - априорную оценку решения задачи (24)-(27) в гельдеровских нормах.

Теорема 2 (2.3.1). Пусть 5 6 С3+а. Любое решение Н^1) е

о

7 = 1 — «1 + а, а < а; < 1; с*, £ = 4, 5, 6, зависят лишь от а, <*1 и от области Г2. При этом предполагается, что го1,)|(=о = 0.

Замечание 3 (2.3.2). Аналогично рассматривается задача (24)-(27) при го1Л<=о ф 0, а также при неоднородном начальном условии.

Содержание главы 3. В этой главе рассматривается следующая краевая задача для стационарной системы уравнений магнитной гидродинамики в ограниченной области О. С К3 с границей 5 = 51 и Б?:

при всех I £ [0,Т], где

+

- grad р +

29)

СНУ У = 0, СПУН = 0, го1 Е = О, гоШ = сг(Е + //[у х Н])+.Ь,

(30)

(31)

(32)

П-п\3=р(х), Ет |5 = 0.

Здесь V - кинематическая вязкость, р - плотность, р - магнитная проницаемость жидкости, а - проводимость, р - давление, V - вектор скорости жидкости, Н - вектор магнитной напряженности, Е - вектор электрической напряженности, Г -внешние силы, действующие на жидкость, ^ - заданные токи, п - единичный вектор внешней нормали к поверхности 5, <; -вектор с компонентами

Ет = Е — п(Е • п), Н2 = Н Н.

Будем предполагать, что выполнено следующее условие

= 0. (34)

5

Напомним, что нормы в пространствах функций Ьр{$1) и Пр(П) с целым / > 0, р^. 1 определяются равенствами:

/г \ 1/р '__

нц = (/м*)|р«ч , н■'„ = ££ii°чи-

п Ш

В случае нецелого I норма в 11^(0) определяется равенством где

П1 / \ 1/р

и; п '

Через Н(П) обозначим подпространство гильбертова пространства И^П), состоящее из всех вектор-функций И-^П), удовлетворяющих краевым условиям

и»и=°> и152 = °-

с7:(Г2) - подпространство гильбертова пространства Н(С1), состоящее из всех соленоидальных в'ектор-функций. 7-1(П) -пространство линейных функционалов над ^(П).

теорема 4 (3.2.2). Пусть j0 £ I2(ft), f € # G

IF21/'2(5). fc.j« выполняется условие (34), то задача (29)—(33) имеет по крайней мере одно обобщенное решение в смысле O.A. Ладыженской.

Теорема 5 (3.2.3). Пусть v, ц, р, ст, f, jo, П удовлетворяют условию

где постоянная с7 зависит от П, а = тт{ир/'2,1 /<т}, я

/f -vdz

(II • ||н(гг) ~ норма в H(Q)). Тогда задача (29)—(33) имеет не более одного обобщенного решения O.A. Ладыженской.

Замечание 6 (3.2.4). Аналогично рассматривается задача (29)-(33) и при неоднородном граничном условии

Введем следующие обозначения. Через 5' обозначим пересечение S П Ü , П' С П. Пусть il D Ü" D О', причем расстояние от Q' до положительно, S" = S П П . Будем предполагать, что поверхность S" целиком принадлежит либо 51, либо So- Если множество S' пусто, то область Q" мы выберем так, чтобы S" также было бы пусто.

Теорема 7 (3.3.1). Пусть {v,H} является обобщенным решением O.A. Ладыженской задачи (29)-(33). Если S" £ С'+3, f € IV'(Q"), j0 € И^+ЧП")- ß € П П2/2(5"), где

l > 0 - целое число, р > 1, то v £ Wj+2(Q'), р £ Н £

ir;+2(fi'). Е£ wj+'iii1).

Теорема 8 (3.3.2). Пусть {v,H} является обобщенным решением O.A. Ладыженской задачи (29)-(33). Если S" G Ci+3+ö, f G C'+a(Q"), j0 G C'+1+Q(fi"), ß G C'+2+ü(S"), где l ^ 0 - целое число, a G (0,1), то v G Cl+2+a(Q'). p E C'+1+a(Q'), H G Сг+2+а(П'), E G С1+1+а(П').

В четвертом разделе этой главы рассматриваются плоско-параллельные установившиеся течения в криволинейной полосе, верхняя граница которой свободна, а нижняя (дно) представляет собой твердую прямолинейную стенку. Будем считать, что магнитное поле располагается в плоскости течения. Тогда напряженность электрического поля постоянна во всей области течения. Без ограничения общности будем считать, что средняя глубина жидкости равна единице.

Пусть внешние силы и токи отсутствуют. Тогда уравнения (29)-(31) примут следующий вид:

dv /i ТТ <9Н 1 . / цИ2\ ,ч„.

dxk р dxk р \ 2 J

div v = 0, дН2 dHj dxi дх2

= cr[Eo+n(viH2-v2Hi)], div Н = 0, (37)

где Е0 — const. Будем искать решения v, р, Н системы уравнений (36), (37) и форму свободной границы f(xi), периодические относительно х\ периода /.

Введем обозначения: Г2 = {(11,12): 0 < xi < I, — 1 < х2 < f(Xl)}, S = {(*ьх2): 0 < х-1 < I, х2 = -1}, Г = {(хих2): 0 < xi < I, х2 = f(x 1)}.

Потребуй выполнения следующих условий: на свободной границе

Vn

1Г = 0, *г|г = 0, яп|г = 0, (38)

на дне

v|2 = 0, Н2 |s = 0(n) (40)

и, наконец,

;

j f(x{]dxi = 0. (41)

о

Здесь величина ci(/'/\/l + //2J', в соответствии с формулой Лапласа, есть капиллярное давление, а постоянная <Т\ > 0 -коэффициент поверхностного натяжения; @{х\) - заданная /периодическая функция. Условие (41) означает, что средняя глубина жидкости равна единице. Это условие (или какой-нибудь его аналог) необходимо для однозначной определенности изучаемого движения со свободной границей. Чтобы исключить возможность контакта свободной границы с дном, потребуем выполнения неравенства f(x\) ^ — 5 > — 1 для всех

(6 = const > 0). Лалее, предположим, что

I

J Р{ХХ)АХ1 =0. (42)

о

Теорема 9 (3.4.4). Пусть [^ol + ||/?|||о^а) ^ £, где £ > 0 достаточно мало. Тогда существует такое число £\ > 0, что при е* £ (0,£i) задача (36)—(41) имеет единственное решение (v,p,H,/) в s* окрестности элемента (0,ро,0,0) пространства С2+а(П) х С1+а(П) х С2+а(П) х С3+а, где р0 - гидростатическое давление, а С3+а - подпространство пространства С3+а(—оо, оо), состоящее из всех l-периодических функции, удовлетворяющих условию (41).

Содержание главы 4. Пусть Г2 - ограниченная область п-мерного евклидова пространства и ftj - строго внутренняя подобласть области П. a S и Г - соответственно границы областей П и fii; Q2 = U Г). Пусть в областях П*, к = 1,2,

задано одно из уравнений

- эллиптическое,

£%)u = u,+c[k)u = fik\x,t)

(44)

- параболическое или

С[3к)и = utt + C[h)u = f{3k\x,t)

(45)

- гиперболическое.

В настоящей главе рассматриваются следующие две задачи.

Задача I. Требуется определить функцию и(х,1), удовлетворяющую в одной из областей = х (0,Т), Аг = 1,2 (пусть для определенности в <Э^), эллиптическому уравие-нию вида (43), в области - параболическому уравнению вида (44), в области при I = О - начальному условию

uLo = v42)(*)>

(46)

на границе S - краевому условию

u|s = ip(s,t),

(47)

а на границе раздела Г - условиям сопряжения

(48)

где Q v(fc) = а - cos(n, жг), n-нормаль к Г, внешняя по отношению к Qi, а через и^ обозначены значения функции и в областях ilk, к = 1,2, соответственно.

a

Задача II. Определить функцию и(х,1), удовлетворяющую в области (¿т^ эллиптическому уравнению вида (43), в области ~ гиперболическому уравнению вида (45), в области По при < = 0 - двум начальным условиям

Ч=о = ?о2)(*)> ut\t=0 = ^[2\x), (49)

на границе S - краевому условию (47), а на границе раздела Г - условиям сопряжения (48).

Краевое условие (47) и условия (48) можно свести к однородным, вводя вместо u(x,t) функцию v(x,t) — и(х, t) — w(x, t), где w(x,t) такова, что на S она совпадает с u(x,t), а на Г терпит скачки, предписываемые условиями (48). Пусть это сведение уже сделано, так что пусть u(x,i) на поверхностях 5 и Г удовлетворяет однородным условиям. Кроме того, без ограничения общности будем считать, что = 0.

Эти задачи были рассмотрены в работах O.A. Ладыженской и Л. Ступялиса и Л. Ступялиса в предположении, что задача

С^и = 0, «|г = 0 (50)

имеет только тривиальное решение. Здесь это ограничение снимается.

При доказательстве разрешимости этих задач используется метод Фурье. Для применимости этого метода надо доказать дискретность и полуограниченность снизу спектра следующей задачи:

С[1)и = 0, arGfii, (51)

с>и(2)

С[2)и - Au = 0, JEÜ2, (52)

„(DI =ц(2)| Mi 1г 1г- dNW

öiV(2»

и L = 0. (53)

Казалось, что в случае, когда задача (50) имеет нетривиальные решения, этот факт не имеет места, ибо примеры

показывают, что при малых возмущениях коэффициентов оператора С^ спектр задачи (51)—(53) существенно меняется. В частности, если в уравнении (51) заменить оператор на Л\ + £, где £ есть неотрицательное число, то при достаточно малом £ среди собственных значений этой задачи появится по крайней мере одно собственное значение, которое при £ — О стремится к —оо. Несмотря на это, в настоящей главе показано, что и в этом случае спектр задачи (51)—(53) полуограничен снизу и применим метод Фурье для доказательства разрешимости вышепоставленных начально-краевых задач.

о ,

Через обозначим подпространство пространства

И72 (П), плотным множеством в котором являются все гладкие, финитные в А функции, а через И*220(Г21) - подпространство пространства П^К^), плотным множеством в котором являются все дважды непрерывно дифференцируемые в О} функции, обращающиеся в нуль на границе Г.

Будем предполагать, что задача (-50) имеет нетривиальные решения гь'1, I = 1, 2,..., г, из И-^о^О и что они ортонор-мированы в ¿9(^1).

В этой главе центральное место занимает доказательство дискретности и полуограниченности снизу спектра задачи (51)—(53). Оно построено по следующему плану. Сначала доказывается, что пространство IV* 2(^) является прямой сум-

0 От

мой подпространств ¿7х(П), Я 1(0) и Ц/2(Г2)

тН(П) = 1МП) е Я 1(П) Ф И'аФ),

где £/1 (О) есть подпространство ^(П), состоящее из функций и, гармонических в областях к = 1,2, и удовлетворяющих условиям

I о I дщ

1=1 1

(с^ - произвольные постоянные), Н х(Г2) состоит из таких функций пространства Ц'оС^): которые в П1 удовлетворяют интегральному тождеству

/

(1) ди 5Ф т

о ,

при любой функции Ф £ Н'2(^1) и ортогональны в £2(^1) к

1гк; к = 1,2,..., г, и 1Го(П) есть подпространство Ц'^П). со-

0 .

стоящее из функций, которые в Г2х принадлежат И'-н^О- а в Пг равны нулю. Затем показываем, что на подпространстве

о

Н 1(П) квадратичный функционал

'<»> = /("та+

полуограничен снизу. Тогда, пользуясь теоремой Ф. Рисса о линейных функционалах, показываем, что существует некоторый самосопряженный вполне непрерывный оператор С, переводящий пространство ¿2(Оз) в Н г(П), спектр которого чисто точечный и находится в промежутке [0,1]. Спектр же

задачи (51)—(53) состоит из точек А;. = \/цк, к = 1,2,____где

(¿к - собственные значения оператора С, а собственные функции этой задачи имеют вид

1'к(х) = ьк(х) + 14-, о (-с),

где Vк(х) есть собственная функция оператора С, соответствующая собственному значению /1 = ¡лк, 'л ь'к,о равна нулю в и функции в области Пь где - постоянные,

которые определяются из требования, чтобы функции 1'к(х) удовлетворяли интегральному тождеству

/

+ аькФ - (тХк1'кФ ) (1.Г = 0

О £ у О /

при любой функции Ф из [/1(0) (функции удовлетворя-

ют этому интегральному тождеству при любой функции Ф из

Ях(Г2) ф ГГ^П) в силу самого определения подпространств

Ях(П) и 1-74 (£2)).

Обозначим через И*2,0((3у^) гильбертово пространство со скалярным произведением

.(1.0) _ [ Л... , ди ]«,*<,,

("> «ОдМ = / + £

т и \ .. _,

<э<?> *-1

дхк дхк

и нормой ||М||д<2) = \М"'%<?>-

1 о

\\ ' (Ят ) ~ банахово пространство, состоящее из всех элементов 1^2непрерывных по < в норме с нормой

1"1 Я? = о^хг ii'^'к + ии* и Я?'

Нуль сверху над ^'"(^т^) означает, что берутся

лишь те элементы этих пространств, которые обращаются в нуль на боковой поверхности цилиндра С?^.

№2о(Пг) ~ подпространство пространства М^^г), состоящее из функций, обращающихся в нуль на 5.

Теорема 10 (4.3.1 и 4.4.1). Пусть /(22) £ ^(Фг*)» а е (Пг) П И^оС^г)) причем она такая, что задача

£(11)и = 0, хеПг, и|г = ^о2)|г

разрешима и что для одного из ее решении ивыполнено равенство

д^ _ ди(1)

г дМ(1)

Тогда задача I имеет единственное сильное решение. Для этого решения справедливо неравенство

тах 0<(<т

£ С

Теорема 11 (4.3.3 и 4.4.2). Пусть /¡2) е ^ £

Ич(П2) П Щ 0(П2), причем она такая, что задача

С\1]и = 0. «|г = 9о2)|г

разрешима и что для одного из ее решений г<(!)(х) выполнено равенство

_ Зи(1)

г зл'(!)

и 6 Ц/з с^ГЬ) " удовлетворяет условиям

л(2) д IVI

г

а5 = 0, /=1.2,..., г.

Тогда задача II имеет единственное сильное решение. Для этого решения справедливо неравенство

Наряду с теоремами 10 и 11 имеют место и такие теоремы.

Теорема 12 (4.3.4 и 4.4.1). Пусть е ЦО-2,0(<2т2)), а ^ е И"22(П9)П И^оС^з) « удовлетворяет условиям, указанным в теореме 10. Тогда задача I имеет единственное сильное решение и для него справедливо неравенство

Теорема 13 (4.3.5 и 4.4.2). Пусть /¿2) е [Г 2°{Ята функции ^^ и обладают свойствами гладкости и удовлетворяют условиям, указанным в теореме 11. Тогда задача II имеет единственное сильное решение и для него справедливо неравенство

^«о^ + у^ + мх')-

При доказательстве теорем единственности используется метод Адамара.

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Ступялис Л. Краевые задачи для уравнений смешанного типа в случае, когда Л = 0 есть точка спектра для эллиптической части уравнений. - Вестн. ЛГУ, 7(1970), 46-73.

2. Ступялис Л. Краевые задачи для эллиптико-гипербо-лических уравнений. - Тр. МИАН СССР, 125(1973), 211229.

3. Ступялис Л. Начально-краевые задачи для уравнений смешанного типа. - Тр. МИАН СССР. 127(1975), 115-145.

4. Ступялис Л. Нестационарная задача магнитной гидродинамики. - Зап. научн. семин. ЛОМИ, 52(1975), 175-217.

5. Ступялис Л. О разрешимости начально-краевой задачи магнитной гидродинамики. - Зап. научн. семин. ЛОМИ, 69(1977), 219-239.

6. Ступялис Л. Нестационарная задача магнитной гидродинамики для случая двух пространственных переменных. -Тр. МИАН СССР, 147(1980), 156-168.

7. Ступялис Л. Об одной краевой задаче для стационарной системы уравнений магнитной гидродинамики. - Тр. МИАН СССР, 147(1980), 169-193.

8. Ступялис JI. Модельная начально-краевая задача для системы уравнений Максвелла. - Лифф. уравнения и их примен., 36(1984), 100-118.

9. Ступялис Л. Оценки в гельдеровских нормах решений модельной начально-краевой задачи для системы уравнений Максвелла. - Дифф. уравнения и их примен., 37(1985), 4260.

10. Ступялис Л. Априорные оценки для системы уравнений Максвелла. - Дифф. уравнения и их примен., 38(1986), 80-99.

11. Ступялис Л. Краевые задачи для уравнений Навье-Стокса. - Мокслас, В.: 1992. 405 с. (English translation: Navier-Stokes Equations in Irregular Domains. - Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London: 1995. 566 p.).