Математическое моделирование биомеханических процессов формирования тромба с учетом влияния контактной системы и взаимодействия плазменного механизма с тромбоцитами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.08 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО СОЦИАЛЬНОЙ ЗАЩИТЫ НАСЕЛЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ПРОТЕЗИРОВАНИЯ И ПРОТЕЗ О СТРОЕНИЯ

РГб ОД

1 7 ОИТ 1995

ПОПОВ Александр Федорович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ БИОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ФОРМИРОВАНИЯ ТРОМБА С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ КОНТАКТНОЙ СИСТЕМЫ И ЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПЛАЗМЕННОГО МЕХАНИЗМА С ТРОМБОЦИТАМИ

Специальность 01.02.08 - Биомеханика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание у ченой степени кандидата технических наук

Москва 1996

На правах рукописи УДК 612.766

Работа выполнена в Московском Государственном авиационном технолог] ском университете им. К.Э. Циолковского на кафедре "Микропроцессорные систе электроника и электротехника".

Научный руководитель:

лауреат Ленинской премии, доктор технических наук, профессор М.А. Ханин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук:, • профессор Регирер С.А.,

доктор технических наук, профессор Глазкова Т.Г.

Ведущая организация:

Гематологический Научный Центр РАМН

Защита состоится " " 09 1996г. в_часов на заседании Специал1

рованного совета Д123.02.01 при Центральном научно-исследовательском инсти! протезирования и протезостроения по адресу: 127486, Москва, ул. И. Сусанина, д.З.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан 6 августа 1996г.

Ученый секретарь Специализированного совета, кандидат технических наук \ Н.Г. Никитин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Как известно, патология системы гемостаза, выра-иощаяся в тромбозах сосудов различных органов и тканей, является одной из наибо-е частых причин летальных исходов. Тромбозы во многих случаях составляют осно-патогеяеза инфарктов миокарда, инсультов мозга, послеоперационных осложнений, ээтому исследование биомеханики образования тромбов является актуальной проймой. Поскольку система гемостаза относится к сложным биомеханическим систе-lm, при исследовании ее динамики методы математического моделирования, приме-емые в излагаемой диссертации, оказываются высоко эффективными.

Цель работы: Целью работы является исследование биомеханических процес-в роста фибринового тромба с учетом взаимодействия тромбоцитарного и плазмен-го механизмов гемостаза.

Для достижения сформулированной цели проведены исследования следующих оцсссов:

- активация тромбоцитов, индуцированных тромбином и АДФ;

- секреция тромбоцитами факторов V и XI;

- активация контактной системы гемокоагуляции;

- активация внутреннего пути гемостаза с л'четом действия как плазменного :ханизма, так и его положительной обратной связи с тромбоцитарной системой.

Методы исследований. Исследования, результаты которых изложены в дис-ртации, проводились методом математического моделирования. Основу математиче-их моделей составляют системы нелинейных дифференциальных уравнений первого рядка. При исследовании применены методы качественной теории дифференциаль-к уравнений, а также численные методы. Для решения частных задач (например, следование фоновой активности внутреннего пути) был применен метод итераций, ¡пользовалась также редукция системы уравнений на основе временной иерархии оцессов (теорема H.A. Тихонова). В резз'льтате в ряде случаев получены аналитиче-ие решения.

Научная новизна работы. Новые научные результаты, полученные в ходе дис-этационной работы, таковы:

1. установлен механизм действия положительной обратной связи, обусловлен-й ролью тромбина как индуктора активации тромбоцитов, а также секрецией тром-цигами факторов V и XI, и влияние этих механизмов на динамику системы;

2. получены аналитические решения, позволяющие определять величины йогов активации внутреннего пути гемостаза;

3. показано, что при малых повреждениях сосудистой стенки активация внут-гнего пути возможна только при участии тромбоцитов, которые образуют агрегаты в te повреждения;

-44. установлена возможность активации внутреннего пути гемостаза при С ших повреждениях сосудистой стенки;

5. впервые предложенная математическая модель контактной системы пс лила установить наличие порога активации этой системы, а также зависимость в чины порога от кинетических констант и концентраций проферментов.

Практическая ценность работы определяется предлагаемым в работе пс дом к выбору методов терапии тромбозов и геморрагий на основе их влияния на б чину порога активации; при тромбозах необходимо увеличивать порог активации, геморрагиях - его уменьшать.

Полученная зависимость порогов активации внутреннего пути от его пара ров позволяют осуществлять выбор терапии и устанавливать дозы. Предлагаемые тематические модели позволяют также повысить уровень экспериментальных би ханических исследований системы гемостаза посредством сравнения теоретическ экспериментальных результатов.

Реализация и внедрение результатов работы осуществлено в медицински: рождениях, специализирующихся на лечении заболеваний, основу патогенеза коте составляют нарушения функций системы гемостаза. В частности, подходы, пре женные в диссертации, использовались в Гематологическом Научном Центре РАМ

Апробация работы. Основные положения диссертации доложены и обсужу на кафедре "Микропроцессорные системы, электроника и электротехника" Mockoi го Государственного Авиационного Технологического Университета и институте ханики МГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 2 печатные работы.

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на ?3 с ницах основного текста, иллюстрирована 23 рисунками и состоит из введс четырех глав, заключения и включает список литературы из 31 источников, из ь рых 28 на иностранных языках.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована цель иссл

вания.

ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

В первых работах (1969г.), посвященных математическому моделирова кинетики плазменного механизма гемостаза (Levine S.N., Moro A., Martorana были предложены линейные модели, из которых следовало, что основу этого меха ма составляет каскад ферментативных реакций, создающий эффект усиления.

В дальнейшем (конец 80-х годов) были предложены нелинейные модели гемо-за (Семенов В.В., Ханин М.А.). В этих работах было учтено действие нелинейных южительных обратных связей.

В цитированных работах были приняты упрощенные схемы трех путей гемо-аа (внешнего, внутреннего и альтернативного) - см. рис. 1-3.

Из математических моделей, основанных на схемах, представленных на рис. 1-вытекает, что нелинейный характер положительных обратных связей приводит к жретному ответу системы гемокоагуляции на активирующее воздействие. Кине-са активации внешнего пути описывалась следующей системой дифференциальных тнений:

[-^ = а-к70-Н7-[УПа] (1)

ся

^ = к107а-[УПа]-Н10-[Ха] (2)

си

^ = к5>2а-[Па]-Н5-[Уа] (3)

щ

^ = к210а • [Ха]--^--Н, [Па] (4)

а ' Ка1 +[Уа] '

— = к, „ ГПа1- Н

И

^ = к12а-[Па]-Нг[1а] (5)

Нк - константа распада и уноса активированного к-го фактора;

кпт - константа скорости активации п - го фактора, вызванной фактором

к70 - константа скорости первой реакции;

Ка1 - константа активатора; а - интенсивность внешнего воздействия.

Концентрации факторов свертывания обозначены теми же символами, что и 1И факторы свертывания.

Для определения стационарных состояний системы производные по времени концентраций активированных факторов принимаем равными нулю.

активирующсс воздействие

Рис. 1. Упрощенная схема внешнего пути гемокоагуляции

активирующее воздействие

XII \ ХНа

XI

Х1а

IX

> IXa -i

X

м

Ха

II

Villa

М

Va

VII

V

IIa

Рис.2. Упрощенная схема внутреннего пути гемокоагуляции

акгавирующее воздействие

Рис.3. Упрощенная схема альтернативного пути гемокоагуляции

Одновременно с этим вводим безразмерные переменные: Н2-Н7-Н10 гттп1 ^ [Уа].

а• к70 • к107а • к210а Ка1

[н:

У

• [Па]; у =-. Получаем следующие уравнения изо-

сс ■ к7 0 • к,07а • к2Д0а

(6)

1 + у

^ У (7)

Ка1 Н2 Н5 ' Н7 Н10

50вый портрет системы показан на рис.4. Если активирующее воздействие меньше оговой всличены, то фазовый портрет соответствует рис.4А. При этом

Б. х

О

У

О

Рис.6. Фазовый портрет внешнего пути гемокоагуляции.

А - фазовый портрет при допороговых воздействиях: Б - фазовый портрет при надпороговых воздействиях:

Н,'Н,- Н„

X =

00 '^12,0 '^7,0а '^10,7а '

•■[Па] ;

У = '

2,10а

[Уа] К.,

Цифрами в кружочках обозначены стационарные состояния внешнего пути.

Рис.7. Фазовая диаграмма внутреннего пути гемокоагуляции для допороговых активирующих воздействий.

х=-н9-н10-н„-н12-гХа-|.

п ■ к .и . I- -к «- -1 К И

1л л]2>0 л.1112а к9Л1а ь-10>9а

Цифрами обозначены стационарные состояния; пунктирной линией обозначена сепаратриса, отд. щая область I фазовой диаграммы от области И.

еется одно устойчивое нулевое стационарное состояние. Если активирующее воздей-1ие больше пороговой величены, то нулевое стационарное состояние теряет устойчи-ггь, и появляется еще одно, ненулевое стационарное состояние, соответствующее ккционированию внешнего пути. Пороговое значение активирующего воздействия зеделяется выражением

_ Н2 -н5 -н7 -н10 -ка1

,ор к -к -к -к

2,10а 2а К10,7а ""7,0

(8)

алогичные, но несколько иные, результаты получены для внутреннего пути гемокоа-ияции. Схема внутреннего пути гемокоагулящш представлена на рис.2. В этом 'чае система кинетических уравнений имеет вид:

4^ = а-к120 -Нр [Х11а] (9)

сп

^ = к11Д2а-[Х11а]-Нп[Х1а] (Ю)

~ к911а • [Х1а] - Н9 • [1Ха] (11)

ш

УШа] Л

= к8>2а-[Па]-Н8-[У1Па] (13)

— = к210а [Ха]--^

= к2Д0а • [Ха]• „ 1 г!,., -Н2 • [Па] (14>

^ = к52а-[Па]-Н5[Уа] (15)

си

Фазовый портрет системы представлен на рис. 5. Как видно из этого рисунка, в* реннии путь гемокоахуляции имеет три стационарных состояния, два из кок>1 (первое и третье) устойчивы, а второе стационарное состояние - неустойчиво (сед: Для активации внутреннего пути необходимо не только превышение акгивируюп воздействием некоторого порогового значения, определяемого выражением:

«пор =

Н„ нп н10 н9-н2

к к к к -к

12,0 11,12а 9,11а ь10,9а ^2,103

Ка2"Н8 | Ка1 ' Н5

"8,2а

(16)

■-5,2а /

но и достаточно высокие концентрации активированных факторов в начальном сост нии, соответствующие области II на фазовом портрете. Анализ показывает, чтс счет секреции тромбоцитами фактора V или XI, неустойчивая стационарная то (седло) сдвигается до совпадения с первой стационарной точкой, благодаря ч( происходит активация внутреннего пути.

Результаты, близкие к описанным, дает исследование кинетики альтернат ного пути. В этом случае порог активации выше, чем для внутреннего:

«пор к

Н2 - Н7 • Н9 • н

10

• к -к -к

2,10а 10,9а "-9,7а 7,0

Ка2

+

••8,2а

Ка1-Н5

^5,2а )

(17)

V

Как видим, порог активации альтернативного пути имеет промежуток значение между порогами активации внутреннего и внешнего путей. Изложен! модели объясняют физиологическое назначение трех известных путей гемокоагуляц каждый из них функционирует в определенном диапазоне активирующих возд ствий, то есть размеров повреждений сосудов. Чем меньше активирующее воздейств при котором функционирует путь свертывания крови, тем более существенны ме низмы, предотвращающие неадекватное образование тромба. Если для "запус внешнего пути достаточно превышение порога активации, то для внутреннего к п вышению порога должно быть добавлено воздействие со стороны тромбоцитар! системы - секреция фактора V или XI.

Таким образом, математические модели кинетики плазменного механиз учитывающие действие нелинейных эффектов, позволили не только установить не. нейный характер отклика этого механизма на активирующее воздействие, но и пон. физиологическое назначение трех известных путей гемокоагуляции. В физиологи ской литературе отсутствует единый общепринятый взгляд на эту проблему.

Однако изложенные модели не учитывают действия многих факторов систе-ы гемокоагуляции. Основные из них:

1) безкофакторная активация факторов свертывания крови;

2) зависимость кинетических констант от степени активации тромбоцита, • есть не учитывается взаимодействие тромбоцитарного и плазменного механизмов мокоагуляции;

3) в модели внутреннего пути гемокоагуляции приближенно принято, что актирующее воздействие непосредственно вызывает активацию фактора XII, что не (блюдается в эксперименте;

4) в модели внутреннего пути не учитывается контактная стадия системы ге-экоагуляции, которую образуют факторы XII и прекалликреин. Между тем, как по-оывают многочисленные исследования, эта система обладает самостоятельным знанием;

5) взаимодействие внутреннего пути с тромбоцитами, которое обусловлено крецией тромбоцитами факторов V и XI и индукцией тромбином активации тромбо-ггов.

Рассмотрению всех этих факторов и их роли в кинетике гемостаза и посвяще-I настоящая диссертация.

Известно несколько исследований, посвященных математическому модели-1ванию кинетики роста тромбоцитарного тромба (Richardson P.D., Ruckenstein Е., armur A., Gill W.N., Rakover S.R., Turitto V.T.). Согласно одной из этих моделей тивация тромбоцитов происходит в узком слое плазмы крови у поверхности тромба счет индукторов, выделяемых тромбоцитами. Те тромбоциты, траектории которых юходят вблизи поверхности тромба, попадают в область активации. Если время тивации меньше, чем время прохождения тромбоцитом области тромбообразова-1я, то происходит агрегация активированных тромбоцитов, в противном случае омбоцит уносится кровью. Однако из этой работы вытекает, что тромб непрерывно стет по экспоненциальному закону, что может иметь место лишь на начальных ста-гях процесса. Кроме того, в работе не рассматривается механизм активации тромбонов и влияние на кинетику роста тромба индукторов активации, выделяемых сами-i тромбоцитами, а также действие плазменного механизма.

В других работах кроме факторов, рассмотренных в первой работе, учитывать также вероятность прилипания тромбоцита к тромбу и влияние трод1ба на харак-р течения крови в сосуде. При этом использовалась теория клеточной адгезии, гласно этой теории, скорость адгезии клеток к поверхности определяется потенци-ьным барьером, возникающим между поверхностью и клеткой вблизи поверхности. т этом действие индукторов учитывается только через снижение потенциального рьера. Было получено уравнение для скорости роста размера тромба .

Недостатками такой модели являются:

- 121) теория клеточной адгезии не учитывает наличия специальных приспос лений у тромбоцитов - псевдоподий и образование фибриногеновых мостиков. ' обстоятельства повышают вероятность захвата активированного тромбоцита тромб которая, по имеющимся данным, близка к единице;

2) в модели только формально учитывается кинетика активации тромбоци индукторами. Это приводит к тому, что, независимо от начальных условий, трс неограниченно растет;

3) в модели не учитываются ферментативные реакции, происходящие на верхности тромбоцитов, как находящихся в штоке крови, так и в месте поврежда сосудистой стенки;

4) в модели не учитывается секреция тромбоцитами многих факторов св тывания.

Кинетике роста фибринового тромба на стадии полимеризации фибрина : священа работа Weisel J.W. и Nagaswavi G. Авторы выделили в процессе образо ния фибринового сгустка отдельные стадии и для описания этих стадий записывал, система дифференциальных уравнений. В результате численного решения получ ной системы авторы получили кривые зависимости среднего числа протофибрил волокне от времени. Модель позволяет анализировать влияние различных кинети ских констант на характер этих кривых, оценивать среднюю длину, средний диамет] число получаемых фибриновых волокон.

К недостаткам математической модели следует отнести:

1) математическая модель не учитывает степень повреждения сосудист стенки. Согласно модели независимо от величины повреждения (концентрации трс бина) образуется фибриновый сгусток;

2) модель не учитывает влияние тромбоцитов на процесс образования трс ба, что в условиях in vivo является достаточно важным.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОНТАКТНОЙ СТАДИИ АКТИВАЦИИ ВНУТРЕННЕГО ПУТИ ГЕМОКОАГУЛЯЦИИ.

На рис.6 приведена схема внутреннего пути с учетом контактной стад Ферментативные реакции внутреннего пути можно разделить на две группы:

1. реакции, которые происходят как в плазме, так и на клеточной мембране;

2. реакции, которые существенны только в плазме.

К последней группе можно отнести все процессы, связанные с действием ингиби ра С1 INH. Следует также сказать, что физиологическая роль контактной системь гемокоагуляции еще не выяснена окончательно. Это связано с тем, что, как извесп дефицит факторов XII, PK и HMWK не приводит к нарушению свертывания Kpo¡ Поэтому в качестве первого этапа исследования внутреннего пути гемокоагуляи было выбрано математическое моделирование контактной системы.

Рис.6. Схема внутреннего пути с учетом контактной стадии. М\¥К - высокомолекулярный кининоген; 'К - прекалликреин; •С - каллнкреин;

Тунктирные линии соответствуют ингибированию ферментативных реакций.

Одним из факторов, ограничивающих рост концентрации активирован! факторов, является расход проферментов в примембранном слое. Мы не располаг; данными об участии ингибиторов в ферментативных реакциях, которые происхода примембранном слое. В дальнейшем используется гипотеза, согласно которой инги торы действуют преимущественно в плазме. Кроме того, на поверхности тромбо тарной мембраны скорости ферментативных реакций значительно увеличиваю'; Поэтому концентрации зимогенов на мембране уменьшаются, приводя таким обра: к их диффузии из плазмы к мембране. Концентрации активированных форм, наобо{ увеличиваются, что приводит к их диффузии из мембраны в плазму. Это особо существенно для фактора XII Г, который не связывается с мембраной. Заметим, что эндотелиальных мембранах скорости ферментативных реакций КС также существ но возрастают. Этот эффект связан с действием активированного высокомолекул ного кининогена (HMWK) как кофактора.

Другим обстоятельством, вызывающим затруднения в понимании механи: запуска контактной стадии свертывания крови, является то, что в настоящее время известно ни одно физиологическое вещество, которое бы вырабатывалось при пов яедениях сосудистой стенки и вызывало бы активацию или фактора XII или прек ликреина. Мы будем предполагать в дальнейшем, что активация контактной сис мы не может происходить без участия тромбоцитов. Повреждение сосудистой creí приводит к активации и агрегации тромбоцитов, находящихся вблизи места повреж ния. В результате происходит значительное увеличение скоростей ферментатиш реакций, происходящих на поверхности тромбоцитарной мембраны. Механизм тивации КС с участием тромбоцитов будет обсужден ниже.

Процессы, происходящие в плазме, описываются системой диффузиош уравнений:

фШа] д2[ХИа] фШа]

= 7'~дГ (18)

Э[ХИ] ^ Э2 [XII] 5[ХПа] 3[XIVa] ^ d2[XIVa] o[XIVa]

а !a^-V ** (20)

[XIV] _ а2[Х1У] 5[Х1У]

а 14' дх2 у' ду ( }

е О; -коэффициент диффузии фактора 1;

х - координата по оси, направленной перпендикулярно к поверхности стенки

суда;

у - координата по оси, направленной параллельно поверхности стенки сосуда; \'у - составляющая скорости гидравлического потока, параллельная оси у. В этих уравнениях не рассматривается активация факторов в плазме, т. к. едметом рассмотрения является контактная система. Краевые условия задачи [еют вид:

1. Концентрации активных форм факторов свертывания на достаточно лыпих расстояниях от места повреждения (например, на расстоянии, равном диа-ггру сосуда) равны нулю:

[Х31а]=0; [Х1Уа]=0;

ищентрации неактивных форм равны плазменной концентрации:

[ХИМХПо]; [Х1У]=[Х1У0];

2. На границе раздела плазмы и мембраны скорости изменения концентраций жторов свертывания определяются кинетическими уравнениями:

:ХИа] _ [XII] • [ХИа]

•л. ~ К12,12а тг , гллттп 12,14а

91 М12,12а ]

[XII] • [Х1Уа] Р12а о[ХПа] КМ12,14а+[Х11] 5 ' Эх Ш1] [XII] [Х11а]

л. - 12,12а ^ гллттт 12,14а

& КШ212а+[ХП]

[XII]- [ХГУа] Р12 о[ХП] 'км12Л4а+[Х31] 5 ' ¿к Х1Уа]^а к [XIV] [ХНа] Р]4а д[Х1Уа] (24)

а 14Л2а КМ14Л2а+[Х1У] 5 &

XIV] = а [XIV] • [Х11а] Р14 ¿[XIV] (2

а 14Л2а кМ14>12,+[Х1У] 5 ах

(22)

(23)

-16-

где 5 - толщина примембранного слоя;

а - коэффициент, учитывающий увеличение кинетических констант на верхности тромбоцитарной мембраны. Как показывают оценки в пределах диффу онного слоя вторые слагаемые в правых частях выражений (18)-(21) во много меньше первых, что позволяет ими пренебречь. Кроме того в стационарном состоя! диффузионные члены в выражениях (22)-(25) легко определяются через концентра1 ферментов и проферментов:

Впа 5[ХПа] Э

5

Ь6

а

12

Б

12

5 Б

14а

5х 5[ХП] ах ьб 5[Х1Уа] Б

• [ХПа] ; ([Х11о]-[Х11]);

5

14

дк

фОУ]

дк

Ьб

143 • [Х1Уа] ;

([Х1Уо]-[Х1У]);

Ь5

0,4

В безразмерных переменных X =

[ХГУа]

У = ■

[ХПа]

[Х1Уо] ' [ХПо] систем (22) - (25) определяется точками пересечения изоклин: х - (1 - В, х)

у = —----------

х =

А, - а-(1-х)

1-В3у А3 а (1-х)

стационарное состоя!

(26)

А4-у-А2

уО-у)"

1-В2-у

(27)

где

А-1 - к14_ А, =к

12а

Ь-5

о14а К Ь-5

12,14а

[ХПо]

М14..2- + [Х1Уо] [Х1Уа]

014а КМ1214а +[ХПо]

•А - к

, п-2 — ^12>12а

Д,

А, =■ ,2а

Б,

Ь - толщина гидродинамического пограничного слоя; [Х1Уо]

В, =

К

М14,12а

+ [Х1Уо]

Ь-5

[ХПо]

о,4а КМ12,12а+[ХПо

[ХПо]

! ~ КМ12Д2а +[Х11о]'

[Х11о] ' " КМ12,14а +[ХПо]'

:кладьшая правую часть выражений (26) - (27) в ряд Маклорена, оставляя члены не ше второго порядка, и решая полученную систему мы получим приближенные вы-кения для стационарных состояний контактной системы

=0:

У1=0;

(28)

=А] -а-у2,

А, • А3 -а +А2 - А4

А3(Вз-В2)+А4.(1-ВЗ)+

(1-В1)-(А4-А2)

А, - А?-а3

(29)

; (хьу].) соответствует фоновому состоянию, а (х2,Уг) - рабочему состоянию кон-тной системы. Так как физиологическое значение имеют только положительные щентрации, то пороговая величина а^,, определяется из условия у2 >0

юр

[А4-А2 А[ • А3

(30)

в,

14а

шр " Ь-8

1 + -

К

М12,14а

к12.14а-к14.Ш V [ХИО];

1+-

К

М14,12а

[Х1Уо]^

•А,

1/2

(31)

А Ь'5 [ХП°]

В

'•12,12а

14а

0,4а КЮ2,12а+[Х110]

Таким образом, если а>ОпоР , то существует второе стационарное состоял соответствующее действительным и иоложительньм концентрациям ферментов.

Анализ устойчивости показывает, что если а<(Хп0р фоновое состояние уст чиво. Если а^оСпор то фоновое состояние теряет устойчивость и возникает второе с ционарное состояние, соответствующее выражению (29), которое, как показывает а лиз, является устойчивым.

Фазовые диаграммы контактной системы показаны на рис.7. Случай до по1, говых активирующих воздействий иллюстрируется рис.7А. Как можно видеть из эт< рисунка, изоклины пересекаются только в одной точке (xi=0, yt=0). Это состоят соответствует фоновой активности контактной системы. Нас не должно смущать ну. вое значение активированных факторов. При учете дополнительных факторов, не р сматриваемых в этой модели, появляется ненулевое фоновое стационарное состояние

Оценим величину порога активации контактной системы. Значения парам ров, используемых в вычислениях:

кп,ш = 5.8- Ю-5с-1 ; к12Д4а = 0.01с"1 ; к14>12а = ЮЗс"1 ;

К12,12а = 7.5цМ ; К12Л4а = 11цМ ; К14Д2а - 1.8цМ ;

[XII0 ] - 0.4 цМ ; [XIV0 ] = О.бцМ ;

о

-3

м;

°12а =°14а = 7'10"Пм2/с ; 6 = 100 A; L = 10

Для этих значений получено

Опор и 720;

При увеличении а стационарные концентрации факторов ХПа и калликр< на увеличиваются, стремясь к концентрации зимогенов [ХП0], [Х1У0] в плазме.

Итак, для а>а,юр динамическое поведение контактной системы качествен изменяется (бифуркация). При надпороговых активирующих воздействиях может i рабатываться фибрин. Однако, необходимы дальнейшие исследования, чтобы оп] делить возможность включения в процесс внутреннего пути гемокоагуляции.

ГЛАВА 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТРОМБОЦИТАРНОГО И ПЛАЗМЕННОГО МЕХАНИЗМОВ, СВЯЗАННОЕ С ДЕЙСТВИЕМ ТРОМБИНА КАК ИНДУКТОРА.

На рис.8 показана упрощенная схема ферментативных реакций внутренне пути гемокоагуляции в плазме, свободной от тромбоцитов. Как видно из этой схем факторы Villa и Va являются кофакторами. Эта схема реакций описывается следу щей системой нелинейных дифференциальных уравнений:

А х

А х

А х

Рис. 12. Фазовые диаграммы контактной системы при разных коэффициентах а.

Аа<а-поР' Б- а ~ апор В' а > аяор

активирующее воздействие

Рис.8. Схема ферментативных реакций внутреннего пути гемокоагуляции без участия тромбоцитов.

d[Xla]

dt d[IXa]

dt

= k,u:u-Y-H11-[XIa] (32)

= k,y Ila • fXIa] - Hc, • [IXa] (33)

^=ki0,.[ixa] —txm^—+k. .[IXa]_H ,fXa]

dt Kiil0+[Villa] ,0'Vd

d[ Villa] ,

dt

[IIa][Villa] (35)

^ = к,к, -[Xa]--i^L + к! I0- [Xa]- Н: -[На] (36,

dt Ка. +[Va]

= -[Ila]-H<-[Va] (37)

dt

где: у - количественная характеристика внешнего воздействия, активирукнш фактор XI;

^ ю 9а • к. 10а- константы скорости активации факторов X и II cootbctctbî но без участия кофакторов;

Ка„ . К.,|0 - константы активаторов.

По данным биохимических исследований наиболее медленными реакциям! системе являются реакции активации факторов X и II без участия комплексов гиназь протромбиназы. Эта особенность создает возможность редмщии системы на оснс теоремы Тихонова. Считая, что все процессы, кроме процессов активации факторов и II. являются быстрыми и переходя к безразмерным переменным, представим сис м_\ в виде.

dx у

- = 8 4- —--X (38)

dx У 4- 1

dy Г у )

—- = ах • ! 6 н--1 - су (.i9)

dx v у + Ъ]

11 ' Н.,, ' И r v , k , ,, ,

[Ха] : у =----[На] :

' " К, II.

К,.. 11.11 H; H К • к _ • 11.

н„

н

10

10,9а

■-10,9а

т = Н10-1

Система уравнений (38)-(39) имеет три стационарные точки. Приближенные 1чения стационарных точек:

= 0

(40)

_1_ 2с

а-с-(1 + Ь)-^[а-с-(1 + Ь)| -4Ьс2

(41)

_1_ 2с

а-с (1 + Ь)+^[а-с-(1 + Ь)| -4Ьс2

(42)

Если бы мы учли конечность скоростей ферментативных реакций при отсутст-к кофакторов, то нулевая стационарная точка превратилась бы в ненулевую, но такую к началу координат. Возможно, что физиологический смысл малого стацио-эного (фонового) состояния связан с формированием слоя фибрина на сосудистой :нке. Заметим, что стационарные точки действительны и положительны если выполняя условие:

>с-(Ь + 1)+2л/Ь-с

(43)

и

>У

(44)

Н„ н10 Н9 Н2

• к -к -к

41,12а 9,11а л10,9а ^"2,103 V

КаЮ-Н8 | Ка2'Н5

к5,2а У

(45)

е

Если выполняется неравенство (44), то система переходит из фонового со-¡яние в другое состояние, в котором имеются уже три стационарные точки; две Завившиеся точки удовлетворяют условию уг>0, уз>0 .

Анализ устойчивости стационарных состояний показывает, что фоновое стояние и третье состояние устойчивы, а второе стационарное состояние неустойчив!

На рис.9 представлен фазовый портрет системы (38)-(39). Наличие неуст чивой стационарной точки (седла) уг ( рис.9В,Г) приводит к разделению фазо; плоскости на две части (I и П); границей между ними является сепаратриса. Облас: является областью притяжения состояния у] (фоновая активность). Область II -ласть притяжения стационарной точки у3. Таким образом, для перехода системы фонового состояния у] в другое состояние у3, соответствующее формированию тром должны быть выполнены два условия:

1. активирующее воздействие достаточно велико:

2. начальное состояние соответствует области II. Отсюда следует, что у* яв ется пороговой величиной активирующего воздействия. В дальнейшем мы будем

обозначать . Однако, надпороговое воздействие необходимо, но недостато1

для активации системы. Только сочетание условий 1 и 2 является необходимы» достаточным условием активации внутреннего пути в плазме.

Таким образом, установлена бистабильность внутреннего пути, который им два устойчивых стационарных состояния.

Рассмотрим теперь трансформацию фазовой диаграммы внутреннего п при изменении активирующего воздействия:

1. Допороговая активация у < у (см. рис.9А). Имеется только одно- фо

вое стационарное состояние.

2. Активирующее воздействие равно пороговому (рис.9Б). В этом случае в никает новое неустойчивое стационарное состояние; внутренний путь по-прежне обнаруживает только фоновую активность.

3. Активирующее воздействие является надпороговым. Внутренний путь им два устойчивых и одно неустойчивое стационарные состояния (рис.9В,Г).

4. Увеличение активирующего воздействия в надпороговой области. Г этом состояние у3 удаляется от начала координат, а седло у2 - приближается к нему.

Как видно из фазового портрета системы (рис.9В,Г) наличие сепаратрисы ключает возможность запуска системы при надпороговых воздействиях если отсут вуют достаточно высокие начальные концентрации активированных факторов св тывания. Рассматриваемая математическая модель позволяет указать два возможи пути запуска внутреннего пути гемокоагуляции.

Поскольку по мере роста параметра у седло сдвигается в сторону начала ко динат, то сепаратриса сдвигается в ту же сторону. Когда седло совпадает с устойчш стационарной точкой, соответствующей фоновой активности, сепаратриса исчез вообще и внутренний путь гемокоагуляции запускается независимо от начальи концентраций активированных факторов (рис.9Д).

У 1.2 Уз У

Рис. 14. Фазовый портрет внутреннего пути гемокоагулядии без учета влияния тромбоцитов

4-10~7ЦМ; В- У пор < У < У пор

Уз у

У <Упор; У = Ю~8цМ;

х, = 10"3; у, = 10~б; [Ха]= 10~4 -х(цМ); [Па] = 10"3 -у(цМ) ;

у = 10 5йМ; хг = 10"3 ; у1 = Ю-4; х2 = 0.009 ; у2 = 0.008 х3 = 0.99; Уз = 100; [Ха] = Ю-1 • х(цМ); [Па] = 10~3 -у(цМ) -

Б. у

х,

: у(1)

' пор

10"

4-10"

-3. .. _ 1П-5.

Х13 = 0.45:у

2,3

0.8;

[Ха] = 4-10~3 -х(цМ); [Па] = 10-3-у(цМ);

,(2)

2.5-10"

Д- Т - Упор

х12 = 0.0015 ;у12 = 0.0005; х3Й 0.999 ; у3 = 250; [Ха] = 0.25- х(цМ); [Па] = 10~3 -у(цМ).

х, = 10 ; у, = 10" х2 =0.11; у2 = 0.13;

х3 =0.89; Уз =8; [Ха] = 10~2 • х(цМ); [Па] = 10~3 -у(цМ);

Е- у > Уп™; у = 1°~4 ;

х3 я 0.999 ; Уз =1000: [Ха] = х(цМ); [На] = 10~3 -у(цМ);

При дальнейшем росте параметра у внутренний путь, как и в случае 1, у одно стационарное состояние, которое, однако, будет соответствовать не фон активности, а рабочему состоянию внутреннего пути гемокоагуляции (Рис.9Е). Т образом, система обладает еще одним порогом активирующего воздействия, соо

ствующим запуску внутреннего пути. Обозначим его значение у . Оценка соответствует следующему выражению:

Y

(2) _

пор

Ка2 Н2 Н5 Н9 Н10 Ни

к5,2а' к2доа"kю,9а' k9iila • ku 12а • (s + d + 2Vsd)

где d = b • 5

Оценки стационарных состояний

(46

Уг = Т\'

V

чЛ

v "л )

X, =у, +е

(47

У2 =TV

1 + J1-

sd

л2;

х2 =у2 +S

2с

. - c(l + b)+ ^[а - c(b +1)| - 4Ьс2

1 + Уз

1 ГЬс

где "Л=--e-d

2 la

Таким образом, активирующее воздействие, существенно превышающее I говое, является необходимым и достаточным условием активации внутреннего : Все это относится к "запуску" внутреннего пути в плазме.

Скорость ферментативных реакций свертывания крови, идущих на пове{ ста тромбоцита значительно выше, чем в плазме. В частности, высокая ско] реакций активации протромбина на поверхности тромбоцита связана с фермент; ной активностью комплекса: фактор Ха - фактор Уа, связанного со специфиче рецептором на поверхности тромбоцита. Область пространства, окружающего пое денный эндотелий, условно может быть разделена на следующие зоны (рис.10):

X

диффузном н ый слой ...............................^ / 1 5 \ V 1 1

\ / * У

Рис. 15. Пространственная схема процесса с участием тромбоцитов.

- пенка пипрсждсшшю еослда. ...... - цмнши мембранного слоя:

- лкшвиршцшние фомбоци[Ы.

у&щ " "'' '•'СП. поврежденного >нл® гелия.

секреция

рис.! 1 Схема ферментативных реакций внутреннего ими гемокоагуляции с > часгпем тромбоцитов

1. Поверхностная зона, в которой на скорость реакций существенно вли рецепторы или фосфолипиды.

2. Диффузионный слой, в котором ферментативные реакции идут на оа плазменного механизма при влиянии диффузии активированных факторов из пов! ностной зоны. Толщина этого слоя оценивается с помощью известного выражения:

X - среднее время жизни активированного фактора.

При решении поставленной задачи можно ограничиться исследованием ю тики процесса в поверхностном слое. Такое рассмотрение позволяет выяснить ос] ные особенности кинетики процесса.

Обратимся вначале к кинетике плазменного механизма в приповерхност слое тромбоцита. В модели учтено действие следующих факторов и процессов:

1. зависимость числа специфических рецепторов, связывающих факторы : гуля ции на поверхности тромбоцита, от степени активации тромбоцита;

2. секреция тромбоцитами факторов V и XI и ее зависимость от степени а вированности тромбоцитов;

3. убыль активированных факторов в приповерхностном слое за счет ди() зии и инактивации;

4. роль тромбина как индуктора тромбоцитов;

5. кинетика ферментативных реакций плазменного механизма коагулящ учетом влияния кофакторов.

В модели принята схема ферментативных реакций внутреннего пути гемо гуляции, представленная на рис. 11.

Система уравнений кинетики активации гуморальной системы для внутра го пути в приповерхностном слое тромбоцита может быть представлена в виде:

(50)

где: Ь - толщина диффузионного слоя;

Б - коэффициент диффузии (О = 7 • 10 " м2/с) ;

ё[ХПа] (11

= ук1Ц2в-а^-Нп.[Х1а]

(51)

®^ = к9Д1аа-[Х1а]-Н9[1Ха]

(52)

-27- = к.о,9а'«' [Ка] • + к;а9а • [Ка] - Н]0 • [Ха] (53) Каю+Г^Ша]

^ = к8Даа-[Па]-Н8.[УШа] (54)

^ = к5>2в-а-[Па]-С-Н5-[Уа] (55)

^ = к 2Д0а • а • [Ха] • [Уа] + к: 10а • [Ха] - Н2 • [Па] (56)

Ка2 +[Уа]

аг

(1-Р)2

4 [Па] + Кт2

а0 = 10

-1

(57)

(58)

(59)

[Х1] + [Х1о]

1 -1 1 -1 (60)

(61)

[Х1] + [Х1о] + Кт11

[У]+[Уо]

[У] + [Уо]+Кт5

= [Х1] = ^А (62)

4кК2 -Л 4тг112 • Д

[V] - концентрация неактивированного фактора V тромбоцитарного происхо-

ия;

[У0] - концентрация неактивированного фактора V в плазме; [XI] - концентрация неакгивированного фактора XI тромбоцитарного проис-ения;

[Х10] - концентрация неактивированного фактора V в плазме;

Р - степень активированности тромбоцита. В качестве количественной х; теристики степени активированности тромбоцита принимается степень опорола а - гранул;

knma - а - константа скорости ферментативных реакций на поверх! тромбоцита;

Ц - константа, учитывающая скорость распада и диффузионный унос активированных факторов;

kn,im * константа скорости активации n-го фактора, вызванной фактором г

Q5 - количество фактора V, содержащегося в а - гранулах неактивирова] тромбоцитов;

Qn - количество фактора XI, содержащегося в тромбоците;

R - радиус тромбоцита;

А - толщина поверхностного слоя;

Д) - начальная степень опорожнения а - гранул тромбоцита под дейст каких - либо индукторов кроме тромбина.

По имеющимся данным скорость ферментативных реакций на поверх! тромбоцита, приводящих к активации протромбина, зависит непосредствен! степени активации тромбоцита. Этот фактор учтен путем введения (в первом при жении ввиду отсутствия детальных данных) линейной зависимости скорости pea от степени активации тромбоцита. Линейное приближение, по-видимому, окая справедливым в области /?« 1. Система уравнений (51) - (62) может быть peí с помощью численных методов. Однако, задача может быть существенно упроп если учесть различие характерных времен ферментативных реакций, описывас этой системой.

Считая, что все процессы, кроме процессов активации факторов X и II, > ются в начальной стадии процесса быстрыми и соответствующие концентрации г вированных факторов достигают своих стационарных значений, исключая перс ные, связанные алгебраическими уравнениями, и вводя безразмерные перемен систему уравнений можно представить в более компактном виде:

dx 2? ( ^

dx dy

— = ах' dx

а у s + - J

V

l + ayj

- х (бз;

Г 2 \

5+ ау

V .. ау + b/S

- су (64;

Х_М У-М. И' М '

1 у + В-Г

^--

[Па]*

¡1с. 12 приведен фазовый портрет системы. Арабскими цифрами обозначены онарные точки. Как видно из рис. 12 система имеет от одного до трех стационар-:остояний в зависимости от величин внешнего активирующего воздействия, т.е. гепени повреждения сосудистой стенки. Первая и третья стационарные точки чивы - узлы, тогда как вторая - неустойчива (седло). Эта точка играет особую Кривая, проходящая через второе стационарное состояние - сепаратриса - делит 1ый портрет на две области. Если начальное состояние, определяемое начальны-«центрациями Па и Ха, относится к области I, являющейся областью притяже-тационарного состояния 1, то внутренний путь переходит в первое (фоновое) онарное состояние и, следовательно, не функционирует как система сверты-Для того, чтобы внутренний путь начал функционировать, необходимы доста-высокие начальные концентрации факторов Ха и Па. Поскольку другого иста факторов Ха и Па, кроме самой гуморальной системы не существует, при си-ях, соответствующих рис. 12В внутренний путь гемокоагуляции не функциониру-4ожет возникнуть вопрос о возможности активации факторов X и II за счет рнативного и внешнего цутей. Однако эти пути имеют значительно больший по-сгивации чем внутренний путь. Поэтому они не функционируют в рассматри-|й области малых активирующих воздействий, при которых функционирует енний путь. Как видно из рис. 12Г роль тромбоцитов, связанная с секрецией ров V и XI, заключается в сдвиге сепаратрисы в сторону начала координат, сдвиг приводит в конце концов к снятию необходимости в начальных концен-ях факторов Ха и Па. Таким образом, фактически тромбоциты способны запус-внутренний путь свертывания. Поскольку уровень секреции фактора

Рис.17. Фазовый портрет внутреннего пути гемокоагуляции с учетом влияния тромбоцитов при у < у

(у = 10 8цМ ; [Ха] = 10~5 -x(|j,M) ; [IIa] = Ю-3 -у(цМ))

А- ß0 < С ^ ßo = 0.05 ; Б. ßQ = ßt»p = 0.415 ; В. ß™ <ß0 <ß™ ;ß0 = i x1 = 2i-10"4; y, = 2.5-10~8; Xl=3.7-10~3 ; y,=4-10-7; х^б.З-10'3; у, = 6-

x23 = 4.14 ; y23 = 0.41; x2 =L55; у2 = 0.033;

x3 = 19.5; y3 =5.5;

Г. ß0=ߣ> = 0.815; Д- ß0 > ß^op • ßo - 0.85 ;

x, 2 = 0.086 ; y1>2 = 15 ■ 1<Г3 ; x3 = 850 ; y3 = 850 ;

x3 = 840 ; y3 =830

и ХЗ тромбоцитами определяется их степенью начальной акгавированности, то но эта величина непосредственно отражается на возможности активации гумо-юй системы (рис. 12А- 12Д относятся к различным значениям начальных актива-ромбоцитов р0).

На рис. 12А представлен случай малой начальной активации тромбоцитов В случае имеется только одно фоновое стационарное состояние. На рис. 12Б показан

й Р0 = Р^р . В этом случае возникает новое неустойчивое стационарное состоя-

то внутренний путь по прежнему обнаруживает только фоновую активность. При

Рпор внутренний путь имеет два устойчивых и одно неустойчивое стационарных

яния (рис. 12В). С ростом /?0 первое (малое) стационарное состояние удаляется от и координат, а второе - неустойчивое - приближается к началу координат, т.е.

остояния сближаются. При некоторой начальной активации Р„2)р (рис. 12Г)

я и вторая стационарные точки исчезают. Таким образом, при Р0 > Р^ систе-

1еет только одну (третью) стационарную точку. При этом гуморальная система дионирует как усилительный каскад ферментативных реакций, т.е. вовлекается юцитами в гемокоагуляцию. При этом начинает функционировать и положитель-(братная связь, обусловленная действием тромбина как индуктора активации 5оцитов.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что гуморальная система кается в гемокоагуляцию активированными тромбоцитами только при достаточно

пой начальной активации тромбоцитов (Р0 > Р^р).

Если принять следующие величины коэффициентов

• V • 1с К

?а 9,11а 10,9а _ 1 . 1х2,10а _ ТО10

9 Н10 •Н11

- = 1СГ3 ;

а

^1 = 10- ;

,2а

0.17 /М-

н

ю

к

2>10а _ ^ 0-3

^ 2,10а

ЬзЛк = ю~2

^ 5,2а

Кт5=0.17 //М ;

Н.

Н

= 1:

ю

КтП = 0.012 /М

= 0.17 ¿М ;

[Х10]= 0.025 ^М ;

Qs = 2 • 1(Г13 (1шо1; Qn = Ю-14 jjmol; R = 10~5м; А = 10~7м

то ßпор =0.815 (для величины внешнего воздействия у = 10~8 |Ц,М ) К сожале

имеющиеся данные биохимических и физиологических исследований позволяют ко приблизительно оценить величины многих коэффициентов, входящих в систем] Таким образом, при малой степени активации тромбоцитов гуморал система вообще не вовлекается в процесс коагуляции. Только при превышении: торой пороговой активации тромбоцитов, начинает функционировать плазме механизм, приводящий к образованию фибрина в зоне тромба.

ГЛАВА 4. АДФ - ИНДУЦИРОВАННАЯ АКТИВАЦИЯ ТРОМБОЦИТОВ.

Как известно, существует ряд индукторов активации тромбоцитов (трол тромбоксан, АДФ, серотонин). Некоторые из них секретируют тромбоциты (/ тромбоксан). Секреция АДФ происходит путем выброса АДФ, запасенного в соо ствующих гранулах тромбоцитов; короткоживущий тромбоксан в гранулах не с< жится.

В качестве первого объекта исследования был выбран АДФ. Ochobi процессами, учитываемыми при математическом моделировании кинетики ак ции тромбоцитов при действием АДФ как индуктора, являются:

1) АДФ - индуцированная активация тромбоцитов;

2) секреция самими тромбоцитами АДФ.

Очевидно, что действие этих двух факторов приводит к появлению положител обратной связи. Основу математической модели составляют уравнения баланса ; вированных тромбоцитов и АДФ. Для активированных тромбоцитов уравнение б; са in vitro имеет вид:

^=к1-(п0-п)- ° + а(п0-п) (65

& с + Кт1

где п - концентрация активированных тромбоцитов;

По - первоначальная концентрация неактивированных тромбоцитов; къ Кт1 - кинетические константы;

а - интенсивность стимулирующего воздействия, вызванного действием факторов, отличных от АДФ (серотонин, тромбин, коллаген и др.);

с - концентрация АДФ.

В правой части выражения (65) первое слагаемое есть скорость АДФ - ивду-анной активации тромбоцитов, а второе слагаемое описывает кинетику актива-эомбоцитов другими индукторами.

Концентрация АДФ определяется выражением:

Q п (66)

(р - степень опорожнения гранул тромбоцита; Q - содержание АДФ в гранулах тромбоцита. Скорость изменения концентрации АДФ определяется уравнением:

„ dn dtp dc

cpQ — + nQ-!1-r (67)

dt dc dt

вой части этого выражения первое слагаемое - это скорость секреции АДФ вновь ярованными тромбоцитами. Второе слагаемое - это скорость секреции АДФ ра-стивированными тромбоцитами, вызванное увеличением концентрации АДФ в

Следует отметить, что в данной модели АДФ - индуцированной активации оцитов in vitro отсутствуют члены, характеризующие убыль активированных оцитов и АДФ (их унос и распад). Решая уравнение (67) относительно dc/dt, получим:

n dn

Qcp —-

-Й- ' (68)

1 - nQ —

dc

Согласно физиологическим данным функция <р (с) может быть аппроксими-1 выражением

к,с

--(69)

к2 и Кт2 - кинетические константы, ьзуя выражения (65), (68), (69) и вводя безразмерные переменные, получим эщую систему уравнений:

dx dx

.(1-х)-

-У + 1

- + a

dy dx

= A.(l-x)-M- + a'

v y Vy + 1 J y + B

1 —

ABx (y+B)2.

где

X = n/n0 ;

y = c/K

mi

т = t • kj

A =

k2-n0Q

К

mi

B=Km2

к

mi

a

a

k7

Концентрации активированных тромбоцитов и АДФ как функции времени могу; получены путем численного интегрирования системы уравнений (70)-(71). Ре полученное численным методом представлено на рис.13. При этом использо следующие значения параметров: А = 4, В = 0.4, а* = 0.05.

Как видно из этих рисунков, через некоторое время происходит акт: всех тромбоцитов (хсг =1). Концентрация АДФ также стремится к определ( стационарному значению, которое соответствует стационарному значению кош ции активированных тромбоцитов. Стационарная концентрация АДФ опредс следующим выражением:

Уст

где

1

А-В-АС, ±y¡(A-B-ACl)2 -4АВС,

С, = -

у(0)

Изменения величины активирующего воздействия a 0 не сказывается на вел] стационарных концентраций активированных тромбоцитов и АДФ. Эта Bej оказывает влияние лишь на время достижения активированными тромбоцит АДФ своих стационарных значений. Совсем иные результаты получаются щ смотрении модели in vivo.

Существенной особенностью активации тромбоцитов in vivo является ■ концентрации АДФ и активированных тромбоцитов изменяются также вследст уноса потоком крови.

.19. Концентрация активированных тромбоцитов (х=ц/По) и АДФ (y=c/Kmi) как функция времени (x=t * кг) in vitro

А=4; В=0.4; а*=0.05; х(0)=0

а)у(0) = 10"5; б) у(0) = 10~3; в) у(0) = 1(Г2

Действие этого фактора учитывается добавлением в правую часть уравнений атической модели дополнительных слагаемых, учитывающих унос тромбоцитов I». Система уравнений, описывающих кинетику активации тромбоцитов in vivo, мает вид:

(1-х)-

У + 1

■ + а

Ех

(73)

А • (Í - х)- —+ а

v Чу + 1

У

1--

АВх

у + В ^ (у + В)2

Fy

(74)

E = H,/k,; F = H2/k,;

Hi, H2 - константы уноса активированных тромбоцитов и АДФ соответствен-

/

В общем случае стационарные состояния системы (73) - (74) можно найти с ц,ю численных методов. Однако, можно найти приближенные аналитические ия. Легко заметить, что одно из стационарных состояний определяется выраже-

х™ = ; Уст = о (-

а +Е

Рассмотрим другие стационарные состояния системы. Для малых конц ций АДФ (у«В) система (72) - (73) примет вид:

| = (1-х>(у+а>Ех

(7

^ = А<1-х>(у + а)у{1-|-х] -Ру

(7

Стационарные состояния определяются действительными и положигел] корнями уравнений. Первая стационарная точка системы (76) - (77) соответ выражению (75). Вторая стационарная точка определяется выражениями:

Д2)

Вь

А(Е + Р) '

,(2)

Ех

(2)

1-х

(2)

-а

а

При высоких концентрациях АДФ (у» 1, В<1) система (73) - (74) принимает ви |р(1 + а*)(1-х)-Ех (7

ду йх

= А.(1-х>(1+а}|1-^1 -Бу

Л"1

у2 )

(8

При этом стационарная точка определяется выражениями:

х__ —

а +1 Е + а* +1

(3) АЕ

Уст =--Х

ст

(3)

1+.

1 +

4ВР

АЕ2-х^

(8

м образом, исходная система уравнений имеет три стационарных состояния, выбранных значений параметров А= 4, В= 0.4 и при а* = 10 3 , получим:

х(1) * ст » 5-10~3 ; у(1) У ст = 0 ;

х(2) * Лст а 0.05 ; у(2) У ст «0.01

у(3) „ Хст ' «0.8 ; у(3) у ст «3.1 ;

шз показывает, что первая и третья стационарные точки этой системы уравнений ются устойчивыми (узлы), а вторая точка - неустойчивой (седлом). Фазовая диа-ма системы уравнений (73) - (74) изображена на рис.14. На рис.15 изображена вая диаграмма рассматриваемой системы при малых концентрациях АДФ и при

ичных значениях активирующего воздействия. Как видно из рис.16 при увеличе-

*

л-имулирующего воздействия а первая и вторая стационарная точки сближают-Ьги точки совпадут (бифуркация) при некотором пороговом значении активирую-воздействия (рис. 16В): х^ = = у^ . Пользуясь приближенными

нотами (75), (78) найдем приближенную величину порога активации:

* ВЕБ

апор~А(Е + Р)-ВР (82)

выбранных значений параметров получим а = 10~2.

видно из рис.17, фазовая диаграмма может быть разделена на две области сепа-1сой, проходящей через седло. Области I и II являются "зонами притяжения" эй и третьей стационарных точек, соответственно. Если начальное состояние ¡мы относится к области I, то АДФ - индуцированная активация тромбоцитов не ционирует, то есть не играет роли в образовании тромба. АДФ - индуцированная 5ация тромбоцитов играет роль в образовании тромба, если начальное состоя-истемы относится к области II.

Эндотелиальные клетки, как известно, секретируют АДФ и, таким образом, г инициировать АДФ - индуцированную активацию тромбоцитов для небольших ¡ирующих воздействий.

Если интенсивность активирующего воздействия, отличного от АДФ, увели-;тся, то сепаратриса сдвигается к началу координат. При достижении активирую-воздействием порогового значения, сепаратриса исчезает.

Рис.21. Фазовая диаграмма АДФ - индуцированной активации тромбоцитов т (А=4; В=0.4; Е=Р=0.2; а* =0.001)

х® « 0.05; у® и 0.01; х^0.8;У«>*3.1;

Цифрами в кружочках обозначены стационарные точки. Пунктирная линия - сепаратриса систем нений (71)-(72).

Рис.22. Фазовая диаграмма АДФ - индуцированной активации тромбоцитов при малых концентрациях АДФ и при различных значениях

активирующего воздействия. А а* = 1(Г3; Б. а* = 5-1СГ3;

Для допороговых воздействий система может находиться в перво) третьем стационарном состоянии в зависимости от начальных условий. Первое < ние соответствует фоновой активности, а третье - функционированию системы, дящему к образованию тромба.

Для надпороговых воздействий система будет находиться в третьем с нарном состоянии независимо от начальных условий.

Полученные результаты указывают на то, что нелинейные эффекты, с венные АДФ - индуцированной активации тромбоцитов, предохраняют систс неадекватного функционирования при небольших повреждениях сосудистых < Достаточно высокая начальная концентрация АДФ является необходимой для с вания тромбоцитарного тромба с участием механизма АДФ - индуцированной г ции тромбоцитов.

При увеличении активирующего воздействия седло сдвигается к перв< ционарной точке, то есть к началу координат. Если активирующее воздействие сит пороговое, начальная концентрация АДФ не будет играть роли и независ концентрации АДФ система перейдет в третье стационарное состояние, иными ми, система будет формировать тромб. "Облегчение" условий активации зависимого механизма при росте активирующего воздействия (то есть разме{ вреждения сосудистой стенки), имеет несомненное физиологическое значение.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Установлен пороговый эффект в активации контактной системы.

2. Определена зависимость порога активации от параметров контакт

темы.

3. Активация контактной системы осуществляется путем адгезии акт ванных тромбоцитов в зоне повреждения стенки сосуда и связанного с этим рос роста ферментативных реакций.

4. Установлен порог активации тромбоцитов, при превышении которою вируется внутренний путь гемокоагуляции.

5. Взаимодействие тромбоцитов и плазменного механизма гемокоаг приводит к уменьшению порога активации за счет секреции тромбоцитами факт и XI.

6. Существенную роль играет начальная активированность тромбе имеющаяся до вовлечения в процесс плазменного механизма; в дальнейшем акт ванность тромбоцитов растет за счет действия положительной обратной (действие тромбина как индуктора активации тромбоцитов).

7. Показано, что при достаточно высоких активирующих воздействиях ] дается бифуркация - совпадение двух стационарных точек - и при воздействия вышающих второй порог активации для запуска внутреннего пути отпадает

годимость в дополнительных условиях (в достаточно высоких начальных концен-1ях активированных факторов).

8. Установлено, что наблюдающийся в физиологических исследованиях порог - индуцированной активации тромбоцитов обусловлен нелинейностью системы.

9. Пороговый эффект возникает при действии гемодинамического переноса , секретируемого тромбоцитами.

СПИСОК ОСНОВНЫХ РАБОТ, ОТРАЖАЮЩИХ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Khanin M.A.,Leytin V.L., Popov A.F. A matematical model of the kinetics of ets and plasma system interaction. / Thromb. Res, 1991,- v.64,-p.659-666.

2. Образцов И.Ф., Попов А.Ф., Ханин M.A. Кинетика активации (синего пути гемокоагуляцот; пороговый эффект. / ДАН,т.349, № 4, 1996.