Математическое моделирование движения газа через пористую среду с источниками тепла тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Б ОД

) СЕН та

1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОНИКИ И МАТЕМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

На правах рукописи

КИСЕЛЕВА ЕЛЕНА АЛЕКСЕЕВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА ЧЕРЕЗ ПОРИСТУЮ СРЕДУ С ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА

Специальность 01.01.03 - Математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1994

Работа выполнена а Московском Государстьсккои институте электроники и математики (Техническом университете)

Научный рукоьоятель:

д.ф.-м.к., профессор В.Г. Данилов

Официальные оппоненты:

д.ф.-м.н., профессор В.В. Кучеренко д.ф.-и.н., профессор Е.В. Радкевич

Ведущая организация:

институт Проблем механики РАК

Зашита состоится 'Н' 1994 года

года я

ка заседании

Диссертационного со оста К 063.68.05 Московского Государственного института электроники и математики по адресу: 109028, г.Москаа, Б. Вузовский пер., д.3/12.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского Государственного института электроники и математики.

Автореферат разослан * 7 " 994 г.

Ученый секретарь диссертационного совета К. 063.68.05,

. доцент

-ЗГ.ЧИ^Л. П.В. Шнурков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Исследование процессов теплопсреноса в различных физических установках, структура которых может моделироваться ячеистой пористой средой с неподвижными тепловыделяющими включениями (химические реакторы, элеваторы), может существенно повысить надежность и безопасность их работы. Теоретическое и численное моделирование тепловой конвекции газа в средах с рассматриваемой структурой позволяет прогнозировать возникновение возможных критических ситуаций в зависимости от выполнения определенных соотношений, учитывающих характерные значения физических величин и плотность распределения источников тепла. ЦЮ1Ь РАБОТЫ состоит в изучении математической модели движения неизотермического газа через периодическую пористую среду, содержащую разномасштабные тепловыделяющие неоднородности и заполняющую ограниченный объем, а поле силы тяжести.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. В диссертации проведено осреднение уравнений газовой динамики (Навье-Стокса) с учетом общего уравнения переноса тепла да общей модели ячеистой пористой среды с периодически расположенными тепловыделяющими включениями. При этом указаны условия на параметры задачи, при выполнении которых уравнения дяя средних есть уравнения фильтрации Дарен. Приведен вывод явной формулы для плотности распределения источников тепла в осредненных уравнениях через плотность тепловыделения исходной задачи. Проведено осреднение уравнений Д?рси в ограниченной цилиндрической области с быстро мениюшимися свойствами (проницаемостью, плотностью тепловыделения ке-однородностей).

Рассмотрена соответствующая нестационарная задача в общей постановке, изучен процесс установления решения задачи Коти в квазиодномерном случае. При исследовании условий существования решения стационарной задачи в случае, когда разность давлений на основаниях цилиндрического объема меньше, чем разность давлений на том же расстоянии в свободной атмосфере, получена новая критическая константа Мсг,

Полученные результаты имеют практическую ценность. Они могут быть использовании при решении ряда прикладных задач, связанных с фильтрационными процессами, возникающими в различных областях газовой динамики и теплотехники.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результат», илдоженные„» диссертации, были дол жены на научных семинарах в институте Проблем механики РАН, Моско! «ком Государственном институте электроники и математики. ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 4 работы. СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, дв> глад, заключения и приложения; содержит 89 страниц машинописного текст включая 3 страницы приложения, 14 рисунков и список литературы из 1 наименования.

Во в велении содержится краткий обзор литературы по методам решени краевых задач в средах с быстроменяющимися свойствами.' Обоснован актуальность рассматриваемой темы. Формулируется основная задача

Первая глава диссертации посвяшена изучению тепловой конвекции газа возникающей в поле силы тяжести в полостях пористого материала, скелс которого содержит периодически расположенные тепловыделяющие неодно родности двух масштабов (в<< 1 и с, << с). В первом парграфе приведен! постановка задачи, а также введены основные термины и обозначения, не пользуемые в дальнейшем.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

результаты, выносимые на защиту.

V

а) У1 = Г/ УК/

рис.1

$

Далее рассмотрена задача о движении неизотермичсского газа через пористую среду (рис.I,а), содержащую тепловыделяющие включения лишь наименьшего ю рассматриваемых масштабов (*, - е" ,а > 1). В предположении, что выполнены определенные соотношения иежяу характерными значениями физических величин задачи и геометрическими характеристиками среды (давлением (/"о), плотностью (f\¡), теплопроводностью газа (Л {I и неоднородностей (Л)), кинематической вязкостью газа (f), проницаемостью среды (Ад), линейным размером ячейки (/»,) и линейным размером всей пористой среды (Н)), т.е.

Н ' Н1 ' '

/»о,

20

фильтрационное число Рейнольдса мало:

Re-ASL-,', S>0

"о

и число Прандтля порядка еденииы: * »

уравнения, моделирующие движение газа в рассматриваемой среде, и краевые условия в безразмерной форме записываются следующим образом:

*a+íb(U,V)U*-áVP + t2a&[f-pet+tlai)VdivU, в Y¡

(V,pV)~ 0, в Yj (1) : zpr^u.^-xs'-'^d^T,=(1 ~X)F,

р- Pi,r e~s, Тг (2)

t'1,^0, (3)

г,|г, -г,|г,. • (4)

»-'(«.rf.vr,))^ =(».^Г2)|г,. (5)

1лесь р - плотность газа, вектор U- скорость движения газа, S - энтропия, Р давление, Тг - температура газа, 7\ - температура зерен, ¡X и r¡ • :озффициенты вязкости,- F - заданная функция - плотность тепловыделения, f¡, d2- коэффициенты теплопроводности в У/ и Yj соответственно, констан-

ты а и Ь - арифметические комбинации соответствующих характерных значений - имеют порядок

Использование асимптотического метода осреднения для исследования задачи (1) - (S) позволило показать, что при а > 6 + ß, а > 1 средние давление, температура и скорость движения газа "в главном" удовлетворяют уравнениям типа Дарси, уравнению неразрывности и уравнению переноса энтропии. Доказана следующая теорема:

ТЕОРЕМА 1.2.1. Пусть а > 6 + ß,a> 1 и пусть существует формальное асимптотическое решение вида

Р - foU.ç) + РЛ*.е) + >+....

г = rw(*,i) + î" Tulx.ç ) + i3" 7h<*,cK..., T = Tjoix.ç) + Га, (x,ç) + Î3" raU.rt+... - 4•

r1

задачи (l)-(5).

Тогда средние функции Jjo • 'о > <*о удовлетворяют сист&не уравнений.

= -Л«« + *(Л)"Ч.

(?.Л>«о) = 0,

лГ»(Щ>ЛЗ,) »Л] Г» I »У

/vu«* r,o = 7j0 = Гм = fja = r0(i), /¡, = ?0 = 7>0U).

В формулировке теоремы введены следующие обозначения:

Irl

Â> = e'S" • fjo-io'^i

функция /{(*,{■) = (Л1,Л2,Ä3) - решение краевой задачи:

Ц?(9)г= ter; div(X = 0, ier/ Д = 0, çer7; кроме того,

' <%>!

<%г

ддц

«V) <%2 Фз ¿Уз сцх Ъг

Полученный результат позволил движение газ» в пористой среде с не-однородн остями двух масштабов рассматривать как фильтрационный поток в пористой среде с включениями большего (*»*() масштаба (рис. 1,6) н моделировать его с помощью уравнений фильтраш« Дарси и общего уравнения переносе тепла. Посяедняч задача рассмотрена в ограниченном цилиндр (песком обгеме К (рис.2).

... П.

-еУ

рис.2

Решение данной задачи потребовало введения нового определения операции осреднения - как слабого предела в смысле обобщенных функций, а именно:

/(х) = и>- Иш/(х,-). #->о г

Показано, что если по-прежнему отношение коэффициентов теплопроводности твердой фазы и газа удовлетворяет условию

Л^/Лк-Г', ¡)>Ъ й число Пекле

= ¿>0. ^20 ''О

то исходная задача может быть переписана в виде:

{ч>Рх!гг5и)* 0, в У.г , (6)

/> * Р1, Тг - Г° на П, ; Р - Р1 на П,; " (7)

{к,и) = 0 на ; (8)

{п^2УТ2) = 0 на дУ ; (9)

{я,0) = О на Г; (10)

«"*♦'(«,Г,) = {«,<^Г,) на Г ; (И)

Г, = Г2 на Г ; (12)

и при

{¡<8<1 + р<2

средние энтропия, давление и скорость фильтрации газа *в главном" вновь удовлетворяют уравнениям фильтрации Дарен, причем тензор проницаемости в последних определенным образом выражается через исходный.

Наконец, получена следующая формула, выражающая плотность распределения источников тепла через плотность тепловыделения кегедной задачи:

где /(*,#) - плотность тепловыделения, х - медленные, макроскопические переменные, { - быстрые, микроскопические переменные, - тепловыделяющая часть периода У,У1т газообразная часть периода. Доказана следующая теорема:

ТЕОРЕМА 1.3.1. Пусть ß < ! <\+ ß <1, пусть существует формальное асимптотическое решение вида

Р - PbU.S) * е" 1\(х,()+...♦ О(е),

с

задачи (6)-(12) и пусть существует решение задач:

Задача I. Найти функции r(jr), Р(х), Г(х), удовлетворяющие системе уравнений:

в V/» -ДЯУ'г.

и краевым условиям:

Р~Р\ Т = Г\ Jtsil,; Р=Р7, *бП2; («,») = О, xeßV.

Задача 1 Найти У - периодические функции R(x,f), удовлетворяющие

системе уравнений

diVfR = 0, (*rg и краевому условию: (я, К)-0 на Г. Тогда справед/швы равенства:

U0 = R{R)~lr + w, Р0 = Р(х), Г,в = Г» = Т(х), причем функция w - решение краевой задачи в V: aV,ir= -uk'^w,

/v <13> *= 0 Hai^Uflj, (л, и») = 0 «в Г,

(я,*) * ~(H,W0) надКПГ,, (»,*>) = О HagVÜYs. (Н)

Поясним обозначения, принятые в формулировке теоремы: Я матрица порядка 3x3 , Е - еденичная матрица того же порядка, р - вектор-функция,

div(R

l <?ii c?(2 ¿ij ' ¿>ix ¿4i ¿4i J

' f'%, '%,} '%> '

r%, '%J

■ (*»Л) = (/?цЛ| + ЛЦЯЗ + MJIHJ,... ,Jtij/ii + Ay»] + Л]]»})Г,

Заметим, что функция w(x,() (решение задачи (13)-(14)) обладает очень интересными свойствами. Прежде всего, » - это функция с нулевым средним значением:

lim » 0, /-1,2,3,

«-»о ' г«г

для любой основной функции о(х) с С*, supp а(х) с У, кроме того, она отлична от нуля в любой внутренней точке объема У.

В© второй главе в обшей постановке рассмотрена задача нестационарной фильтрации газа через ограниченный пористый объем V в поле сипы тяжести в предположении, что перепад давления в столбе воздух* высотой Н (Н - высота объема V) мал по сравнению с характерным значением давления, т.е.

re

что вполне естественно для реальных физических процессов: 1

~aVP = -ре1 ~/лк~1и, s

f+(v./>«> = o,

(15)

Здесь введены обозначения:

IО ¿у У„с,Г0кв${, I

Очевидно, что функция ч(х) удовлетворяет условию:

{ <(«)<*» = I. ¥

По-прежнему газ считается совершенным с постоянными теплосмкостями:

Т-Р'€*, с, = г<\.. (16)

Краевые и начальные условия для уравнений (15), (16) имеют вил:

1,-в - •р0<*>-

я - внешняя нормаль к соответствующей поверхности.

В предположении, что перепад давления внутри объема V мал: У = 1 + «П(дг,/) далее рассматриватся начально-краевая задача: aVn~^\ + sr\)xlre-set-^lk-l*,

+ + = (17)

П^-П1. П^^П2, (18)

<».«>и" <|9>

(*Ьп(я,ш) + 1)5|П1 = (4рт(я.>) - , (20)

П|,.о - П°(*). - (21)

Ч.о = (22)

Показано, что существует пограничный слой по времени - шириной порядка s, за Пределами которого давление, энтропия и скорость фильтрации газа удовлетворяют стационарным уравнениям Дарси и неразрывности и нестационарному уравнению переноса энтропии с соответствующими краевыми и начальным условиями. Доказана теорема:

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть существует формальное асимптотическое решение вида П = П0(х,Л г) + sП,(дг,/, г) + 0(Р), г = I / £, S = S0(x,I, t) + sS\ (*,/, г) + 0{ег), г = I / е, и = *0 (*,/, г) + <гк,(х,Г,г) + 0(с2), T-t/s,

задачи (17)-(22) и существует решение следующей начально - краевой задачи: найти функции П*(я,1),н (я,/),£*(x,t)> удрвлетворяющие внутри К «Л1 системе уравнении:

Vn' = -e's ес -/¿А:"1«', краевым

п'| = п1, п'( = п3, (лУ)| =0,

la, loj \ ngv

(j«n(n,«'Wl)j'| =(î/gn(n)«"\-l)5'| =0 > ' In. ' ' IOj

и начальному 1/.0

условиям.

Тогда выполнены следующие равенства: п0 = п'(х,г)+л(*,г,г), «о =н'(х<0 + "(х,(, г), ¿"о = где функции х(х,(, г),*>(*,', т) - решение краевой задачи:

* * -ак / рЧя,

^гМ-о,

т-> О, и -+0 при г-+<*>,

Задача, существование решения у которой предполагается в формулировке теоремы, изучена , в следующем параграфе в квазилинейном случае, когда проницаемость среды и плотность распределения источников тепла равномерно распределены по горизонтальному сечению цилиндра.

Установлено, что существует значение параметра подобия задачи М1 такое, что при М < М1 существует конечный момент времени, начиная с которого решение начально-краевой задачи совпадает с решением соответствующей стационарной задачи. Значение М1 параметра М определяете!! в зависимости от величины (г) (начальное условие энтропии) и от разности давлений на основаниях цилиндра. В том случае, если разность давлений на основаниях цилиндра совпадает с разностью давлений на такой же высоте в изотермической атмосфере, значение М1 совпадает с критическим значением параметра Л/.:

л-иг

М. = - П)

¡Аи-Ж-

Ы> о

при любых значениях начальной энтропии 5° (г). Если же разность давлений на основаниях цилиндра меньше, чем в изотермической атмосфере, то при определенных значениях И1 совпадает с М«, при веек остальных

значениях (г) - с еще одним критическим значением Мсг, введенном » параграфе 2.3 при анализе существования решения у соответствующей стационарной задачи. Доказана следующая теорема:

ТЕОРЕМА 2.2. Существует 0 < Т < чр такое:, что при / > Г, М < М1 решете ыдачи Коши (2.1)-(2.3) совпадает с решением соответствующей стационарной задачи.

Полученный результат теоретически обосновывает численный метод решения на ЭВМ задачи стационарной фильтрации газа в норовом пространстве объема V - метод установления, при котором производная по

и

времени добавлялась лишь в уравнение переноса энтропии. Некоторые

результаты вычислений для различных распределений источников тепла как для естественной, так н для принудительной (когда газ с заданным напором подается через отверстия в нижнем основании цилиндра) фильтрации приведены в Приложении. Практическое использование данных программ значительно облегчает анализ влияния различных пространственных особенностей в распределении источников тепла в таких конфигурациях, физическое моделирование которых затруднительно.

В заключительном параграфе изучено существование решения стационарной задачи фильтрации газа через пористую среду с модельным распределенным источником тепла, заполняющую цилиндрический объем, » случае, когда разность давлений на основаниях цилиндра меньше, чек разность давлений на том же расстоянии в свободной атмосфере. Доказана теорема:

ТЕОРЕМА 2.3. Решение краевой задачи

</П , с\ М

¿1 к

П|1вв-По, П|г., = П„ П0>П„ 5|г., = По. «о»«(1)<0.

существует при П0 - П| < 1,

и имеет вид:

константа у0 определяется из уравнения

и

у0

о* о* г

1Г 1 V2

о1 I

1 1 I у1 » 1

О* о1 I / 0*1 а константа и0 из уравнения:

1 II' 1

о* о* о о*

1( ж/2 I У1

Г "о { )

которое имеет единственное решение при М = Ма и два решения при М < М„.

Проведено численное исследование поведение решения нестационарной задачи при различных начальных значениях ^о(г).

В заключении коротко сформулированы основные результаты, полученные в работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. В работе рассмотрено движение неизотермического газа в даровом пространстве неограниченной пористой среды. При определенных ограничениях на параметры задачи получены линейные уравнения фильтрации Дарси для средних характеристик фильтрационного потока "в глазном".

2. Приведен вывод явной формулы для плотности распределения источников тепла в осреднении* уравнениях через плотность тепловыделения исходной задачи.

3. Проведено осреднение уравнений фильтрации Дарси в ограниченном объеме, заполненном пористой средой, в скелете которой имеются периодически расположенные тепловыделяющие включения. Показано, что существует иерархия масштабов, при осреднении по самому мелкому из которых уравнения, описывающие движение газа, меняют вид (уравнения Навье-Стокса переходят в уравнения Дарси), а при последующих осреднениях тип уравнений не изменяется.

4. Исследована задача нестационарной фильтрации газа через саморазогревающуюся пористую среду в поле силы тяжести. В квазиодномерном случае получено условие, при выполнении которого решение задачи Коши выходит на стационарный режим.

5, В результате изучения условий существования решения стационарной задачи фильтрации газа чарез саморазогревающуюся пористую среду, заполняющую цилиндрический объем, в случае, когда разность давлений на открытых в атмосферу основаниях цилиндра меньше, чем разность давлений на том же расстоянии в свободной атмосфере, получено новое критическое значение параметра подобия задачи М„.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ:

1. Данилов В.Г., Киселева Е.А. Анализ условий выхода на стационарный режим в одномерной модели фильтрации газа через саморазогревающуюся пористую среду.- Дсп. в ВИНИТИ 07.02.89, N 819-В89, 18с.

3. Маслов В.П., Киселева Е.А. Асимптотика конвективного течения газа через тепловыделяющую разномасштабную пористую среду,- ДАН, 1992, т.322, N 2, с.284-288

2. Данилов В.Г., Киселева Е.А. Замечания о тепловой конвекции в пористой среде,- ДАН, 1993, т.332, N 1, с.29-32.

4. MosIoy V.P., Danilov V.G., Kiseleva Е.А. Asymptotic and computational investigation of a noristationary regime of cooling the Chernobyl APP accident block.- Russian journal of computational mechanic, 1993, v.l, N 3, p. 12-29