Математическое моделирование фазовых переходов при различных плотностях фаз тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ПЛОТНОСТЯХ ФАЗ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи УДК 517.958:536.2

БУГАЕВА СВЕТЛАНА ГЕННАДЬЕВНА

НОВОСИБИРСК - 1993

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете .

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН Плотников П,И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Блохин A.M. кандидат физико-математических наук, Калиев И.А.

Ведущая организация: Кемеровский государственный университет

Защита состоится " \ " 1994 г. в Ав:

часов на заседании специализированного совета К063.98.04 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, г. Новосибирск, 90, ул. Пирогова, 2, ауд. 317.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НГУ. Автореферат разослан 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета

д.ф.-м.н1 Б.В.Капитонов

I. 0Б111АЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Рассматриваемая в данной работе модель описывает процесс фазового перехода жидкость-тверлое тело. Задачи, соответствующие этим моделям, называются еше задачами Стефана по имени И.Стефана, опубликовавшего в 1889 г. четыре работы, посвященные исследованию тепловых и диффузионных процессов.

К недостаткам традиционной постановки задачи Стефана следует отнести то обстоятельство, что движение жидкости, естественно возникающее вследствие различных плотностей жидкой и твердой фаз (не говоря о вынужденной конвекции), игнорировалось. В 80-ых годах ряд •исследователей приступил к изучению новых постановок задач о фазовых переходах, в которых учитывалось движение жидкости.

Видимо, первым достижением в этой области следует считать получение слабого решения квазистационарной задачи в работах Кэннона (Cannon J.R). Ли Бенелетто (Di Benedetto Е.) и Найтли (Knightly G.H.). датированных 1980 годом. Ими же было получено обобщенное решение нестационарной задачи в -случае двух пространственных переменных. Локальная разрешимость в гельдеровых классах двумерной двухфазной квазистационарной задачи с конвекцией в идеальной жидкости была установлена Базалием Б.В. Дегтярев С.П. получил аналогичный результат для жидкости, подчиняющейся уравнениям Навье-Стокса. Этими же исследователями показано, что одно- и двухфазная нестационарные задачи в многомерном случае допускают классическое решение в "малом" по времени. Самой последней известной нам работой, выполненной в этом ключе, является работа Костикова A.A., где он рассматривает термодиффузную задачу с

конвекцией в вязкой жидкости и доказывает классическую разрешимость для малых времен. Разрешимость в "целом" по времени удалось получить Кулагиной H.A. и Шабдирову Д.Н.. но лишь для случая одной пространственной переменной и для однофазной задачи. В первом случае жидкость предполагается сжимаемой. во втором - несжимаемой.

Движение жидкой фазы отражается не только на уравнениях. выполненных в жидкости, которые при этом сильно усложняются. но и на граничных условиях, в том числе и на условиях, заданных на свободной грёшше. Условие баланса энергии кроме прочего будет содержать и вели-ины. характеризующие это движение: скорость и давление. В отличие от упомянутых исследователей. которые вместо баланса энергии на границе раздела фаз берут традишонное условие Стефана, учитывавшее только связь температуры с движением границы:

(V = kDn• автор ставит точное условие, имевшее вид:

[«„] = *[Dn,v.P).

Здесь к - некоторая постоянная, о„- скорость перемещения -границы в направлении нормали к границе, v - скорость среды, Р - тензор напряжений. [«„] - скачок нормальной производной температурного поля на границе раздела фаз.

Изложенными обстоятельствами определяется актуальность работы.

Цель исследования - доказательство локальной разрешимости стационарной (не зависящей от времени) задачи о фазовых переходах в классах функций конечной гладкости.

Методы исследования. В основу исследования положен метод теоремы о неявной функции для нелинейных операторов. При доказательстве разрешимости линейных задач использован метод

продолжения по параметру, требующий выполнения принципа максимума и наличия априорных опенок шаулеровского типа.

Научная новизна. Все результаты-являются новыми и состоят в следующем:

- получена модель процесса фазового перехода жидкость-твердое тело при условии движения твердой фазы с постоянной скоростью и условием баланса энергии на границе раздела фаз в случае двух пространственных переменных:

- получено решение, описывавшее "одномерный" стационарный процесс фазового перехода:

- доказана локальная (в окрестности "одномерного" решения) разрешимость двумерной стационарной задачи в классах гладких функций:

- доказана однозначная разрешимость двух линейных задач для эллиптических уравнений в прямоугольнике, представляющая теоретический интерес.

Практическая и теоретическая ценность. Один из вариантов предложенной модели описывает процесс непрерывного литья металлов и может быть использован в металлургии для численных расчетов этого процесса.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международной научной студенческой конференции (г. Новосибирск. 1993 г.). Юбилейной научно-технической конференции, посвяшенной 20-летию Алтайского университета (г. Барнаул. 1993 г.). на семинаре Института гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН "Математические модели механики сплошных -сред" под руководством чл.-корр. РАН В.Н.Монахова, на семинаре Института математики СО'РАН "Качественная теория дифференциальных уравнений" под руководством профессора Т.И.Зеле-няка, на семинаре лаборатории математического моделирования

- б -

фазовых переходов Института гидродинамики СО РАН под руководством чл.-корр. РАН П.И.Плотникова.

По теме диссертации подготовлено три работы.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения. четырех глав основного текста, списка цитированной литературы из 34 наименований. Объем работы 99 страниц машинописного текста.

II. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана постановка задачи, сделан обзор предшествующих работ и сформулированы основные результаты работы.

В диссертации исследуется процесс фазового перехода в рамках модели идеальной несжимаемой жидкости. Рассматривается двухфазная задача, число пространственных переменных равно двум. Исследование ограничивается классом движений с сильным разрывом.

Предполагается, что идеальная жидкость заполняет область о+ =Ш, х, у). 4>о,о<*<1 ./?(£. х)<у<1}. твердой фазе отведена область о" ={ц ,*.у). «>0,0<*<1.-1<у<Я(4.х)}, граница раздела фаз г =эо+пао~ задается уравнением у =1г(1,х). Гранина области о =о+иГисг у = 1 является границей, через которую движется жидкость (в область или из области), а через границу у = -1 движется твердая фаза с постоянной скоростью V, направленной вдоль' оси у. Нам необходимо установить закон движения, распределение температуры и поведение границы в зависимости от исходных и начальных данных. Задача рассматривалась в трех постановках, различающихся выбором искомых

функций и предположениями о характере давления в твердой фазе. В дальнейшем подиндексами "1","2" и "3" в нумерации формул будут помечаться те уравнения, которые имеют отношение только к конкретной задаче, номер без подиндекса относится к уравнению, фигурирующему во, всех задачах. Первые две постановки соответствуют процессу непрерывного литья металлов, последняя является более обшей и может описывать различные природные процессы.

Выпишем уравнения и граничные условия.

Л1)> = и.

Т ч'уих+ *хиу =0.

о+: - ч>1у + - =0. (2 )

• + "у - "V =0.

= д в; (3)

р + уэу) = дэ,

V я Ух:

в = о. V4" = аУх + (1-а)/ /?£и.6)(1е.

о

Р~ (у-//I) (¿(ч^+Уу )+£уг-ч>хш+ьр )++[-ох!гх+оу]+=о:

'£ 2а

Ll1/Z

а-1 ,

р (v

й=

,-а2 ^-^у

1+ЙГ

+ (я-1

1+Я

2 +т •

(4)

(5)

(б1 )

(б3)

у = 1; « = »+(1.х). ф= аУх + (1-а )х ("»,(£,?)«, (7)

и= < 4.* ); (7, )

Лои.*)! (72)

У = -1! в= а (4,х)!

X = 0: «х= О. »>= О;

х = 1: 9Х= О. Ч>= аИ+{1-а)|й4(4.«)с1Е:

(8)

При « =.о задаются начальные данные для искомых функций. Начальные и граничные данные считаем согласованными.

ри.0.1 )= Р„(4): (9^ )

(Ю1 <2)

В случае третьей постановки привлекается дополнительная гипотеза о свойствах тензора напряжений в твердой фазе: тело считается абсолютно твердым, поэтому

Р~= р~1 шО. (113)

Искомыми функциями в каждой из постановок (в дальнейшем будем называть их задачами) являются:

1) И,<л,ч>,э,р; 2 ),3) «.и,¥1,з,Л;

Уравнения (1) - это.уравнения Эйлера без учета сил плавучести в терминах вихря о и функции тока V, (2) - уравнения в форме Дамба для вычисления напора /> или давления р. последние связаны соотношением:

ли.х,у)= р/р++|Уч||2/2 . Уравнения (1) и (2) совместны. Перенос тепла описывается -уравнением (3). не, содержащим диссипативных слагаемых в силу отсутствия трения в идеальной жидкости и уравнением теплопроводности в движущемся теле (4). Граничные условия на границе раздела фаз отражают баланс массы (5) и баланс энергии (61 )-(б3). Баланс импульса в явной форме в граничные условия не входит, однако в задачах 1-2 он позволяет вычислить нор-

мальную компоненту тензора напряжений в твердой фазе а в случае задачи 3 - частные производные функции тока (на границе Г), что дает выражение для напора л на границе - второе из соотношений (63). Условие (Ю1>2) отражает тот факт, что жидкость "входит" в свободную границу, что разрешает избавиться от задания на ней вихря (или напора).

э= р-/р+. ь= 1/р+-1/р~, >о - постоянные. Предметом нашего исследования будут стационарные (не зависящие от переменной t ) задачи.

Условие (Ю1 2) приобретет вид: у<0. видим, что при у<о жидкость втекает в область через границу у = 1. а вытекает через у = в, а при у>о - наоборот.

Стационарные задачи при постоянных граничных данных <■>„"0, 5±>Л0.Р0= сопз1;. допускают класс частных решений:

V =

ах, УЕ(Й,1), V*. уе(-1,Я)

Се

(Се

~ау

1 ),

уе(й.1 ).

К = ^ 1п С;

(12)

(131 )

(132) (13-,)

Р = РпХ

/» = л0;

/, = Щ=¿1 И2;

где а о, а = зу*о - константы, знак которых может -

быть отрицательным, с находится из краевых условий (б1)-(63) на границе г.

Основным результатом диссертации является следующее утверждение о локальной разрешимости стационарных задач в -классах функций конечной гладкости..

(Се~™"-1 )

Се -1

в =

Теорема I. Пусть исходные данные 6 изложенных задачах удовлетворят требованиям

«+>0. «~<о при х е [0.1 ], р(0.1)=ро. а* е с^+а([0.1 ] ). и0 € С1+а([0.1 ] ). л0 е с'™([0,1 1 ). тогда задачи обладают единственных гладкия решением в некоторой окрестности своего частного решения <12)-(13). при -

зноя

£ е С^ЦО.П). « е С^+а(0+)пС^+а(0~)пС(0). 1|) е С2+а(0+).

Л е С^+а(0+), и Е С1+а(Й+)п{ы|1<-10 1=0>.

р £ С,+а(0+)п{рх|(о о) м о)=0>. Под пространствам ск+а и ск+а, к=1.2. понимаются

Ск+а(0) = Ск+а(0 )п{их| „ ,о=0). С1+а(5) = Ск+а(О)п{и|э£)=:0}. гее о = о.о+ иди (0.1 )•

Доказательство этой теоремы составляет содержание настоящей работы. Оно разбивается на ряд этапов, некоторые из которых можно рассматривать как математические задачи, представляющие самостоятельный интерес.

В первой главе ггриволится постановка задач в нестационарной форме.

Во второй главе выписываются стационарные задачи и показывается. что они допускают класс частных решений (12)-(13). описывающих "одномерный" процесс фазового перехода. Установлены простые условия, при которых решение одномерной задачи существует и непрерывно зависит от исходных данных. Оказывается, достаточно, чтобы постоянные и е- удовлетворяли неравенствам «+>0 и «~<о. выполнялось условие у<о -(оно ае (10^ 2)) в случае задач 1 и 2. и в случае задачи 3. тогда я е(-1,1), т.е. я действительно является границей раздела фаз и находится по формуле (12).

Для доказательства основной теоремы применяется метод

теоремы о неявной функции. Поэтому встает вопрос о представлении задач 1-3 в виде нелинейных операторов от известных и искомых функций в некоторых подходящих банаховых пространствах. В параграфах 3-5 второй главы производится ряд операций над исходными задачами с целью получить акое представление.

Сначала выпрямляется свободная граница г={у=/?(*)) с помощью обратной замены переменных относительно функций V и я. Для функций ч> и а. близких к монотонным из (12). такая замена является взаимно-однозначной с невырожденным в о+ и о" якобианом

й >0"

Неизвестная ранее граница г теперь задается уравнением а=0. функция ¡г исчезает из разряда искомых в силу соотношения я|а<10= у|а,0. а получившееся из уравнений (1)-(2) соотношение ы(ф) позволяет явно вычислить как функции от V: -вихрь <■>= о0(ч>) в случае задачи 1, напор л(<р)= ьа1ч>) и вихрь <■>= >ф в случае задачи 2. в'задаче 3 это же соотношение дает зависимость л= /> (5.0). которая исключает л и и из числа искомых функций.

Затем выпрямляются известные границы с помошью

замены переменных, переводящей т* в некоторые постоянные у*. ?п>0. Тц<0: ч>-ч>. для функций.определенных в

о*. соответственно. После этих преобразований частные решения примут вид:

о _

/?0- ^ 1п(1-*+3). ве[0.т+],

£ 1пМ-/г~«). ве[то.0).

(14)

р£ = р0. <1в1 >

/>0 = Л„= сопз!;,

Л0 ='»1|=г1 у\ (153)

*„= ^ Ш С. к+= - ), *-= - —(Сега-1 ).

»о

Обозначим (У^а = <уо >« =

После сведения искомых функций и у к нулевым граничным условиям, исследуемые задачи записываются в виде операторных уравнений:

?к{г.я) = 0. к=1,2.3. (16)

для соответствуших задач, а частные решения приобретут тривиальный вид:

*о=Уо=0. (17)

ио"0. Р =Р0. <181

Л =Л0 (182)

Описание операторов и проверка условий теоремы о неявной функции (ТНФ) приводится в главе 4.

В главе 3 исследуются некоторые линейные задачи, разрешимость которых в классах гладких функций необходима для -применения ТНФ. Там же вводятся пространства, в которых отыскиваются решения как линейных задач, так и операторных уравнений (16).

Пусть 0+=с л ,т)х(0.<л, 0~=(/,т)х(с.О), г=( 1 ,т)х{*2=0} . о=о+ипхГ. Введем банаховы пространства функций: с£+а(д)=с|'+0<{5)п{г;(, 1у .у т=0). Ск+я(О)=Ск+а(5)п{£}а0=0).

где к=1,2. о = о! или г: наряду с ними будем рассматривать пространства функций, удовлетворявших условиям согласования в угловых и граничных точках:

= ^(0+) л {г=о в углах области о+),

С2(0) = С(0) п {Г)| =0),

Хг-С,с1

= с'+а(«+» " ^1(1.0,0}, С2+а(0) = С*+а(0+) п С2+а(0") п Сг(0).

В главе 3 параметры области о'полагаются равными ;=о.

a+Hv „ + П„ „ - 2c+nv = *1*1 2*2 2 X £ О4,

а\2е~П„ = 11 2 2 2 X е О",

V.-«- л.0 * к v= 9 • 2 2 х € Г =02=0)

т=с(=1. с=-1, в главе 4 ¡=о. т=о, или 1=0. т=а - в зависимости от знака о. с=*о. ^о-

Результат исследования отражен в двух леммах: ЛЕММА 1. Пусть

д+€ Са(б+), д~£ Сос(О"). д°е С^+а([0.1]). Тогда задача

(19)

однозначно разрешила в классе п е сг4а(0).

ЛЕММА 2. Решение задачи i е с24а(о+)

»4 „ + L у - с4? = а. х е 0+. £| =0. (20)

22 г 1эо+

существует и единственно в предположении.' что

g 6

О коэффиш!ентах а*= с*= предполагается,

что они гладкие, отделешше от пуля -функции на промежутках [0.1] и [-1.0]. соответственно, к*>о - постоянные.

Задачи, подобные (19), исследовались Ладыженской О.А. (задачи дифракции). Базалием Б.В.. Дегтяревым С.П. Классическую разрешимость первой краевой задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в многоугольниках получил Волков Е.А Однако, сформулированные задачи содержат ряд особенностей, которые не позволяют воспользоваться уже известными результатами -(например, более сложное уравнение (20). и прочее).

Доказательство лемм требует вывода априорных оценок типа Шаудеровскич, принципа максимума, разрешимости серии -вспомогательных задач: доказательство производится продолжением по параметру.

Как уже упоминалось, четвертая глгва посвяшена описанию

структуры операторов и проверке условий ТНФ.

Введем обозначения. Под в и л будем понимать

следушие агрегаты:

5|= х| + (уй+м)г. ф у^. (*„4'*а + У^Уа^-

Л(.

= я

■г а2 с а2 ^ с2 эг, , („, *<1>\%2 а2,

(2V* -5

3

Теперь можно описать вид зк(г,8) = (/'1).„/'6). В случае к=1: (г.я) = {ы0,у+,р,х,у),

к=2: (г.5) = (/10л+,т".х.у). к=3: (г.5 ) = (*+.тГ.х.у): при этом и0б С,+а([Лл>] ). С2+ат.т]), /¡ое ).

р е С^а(0+), х е Сг+а(0+). у е Г2+а<

г.2

(О).

Р . ¥

/■,= -+ + £ ^ - I и0(я)й5 -сопз-ь, - фигурирует только в 51.

в остальных операторах отсутствует:

гг= ^-Л(У+У0) - (Ув+М)-Л(х+хо) - г^О3

<1

для операторов и

к=1,2.3. соответственно:

Гз=

х.)Л(у+уп) + (у,„- Я-* (уя+ц) М<х+*п)

'V

Р^О*

г= (Уа+И Уцгц}

2(У9^)Уч, Ууэ + +

+ У^Уц+Р) - «

V +

«( )+ + (°2у£+1)

1

1

г = а

г =

1 ¿ 02 0 2 ¿02 р ао

у - _ 1ат1) —_ лля операторов 5„. ^ ноу

Р - оператор сужения о на отрезок г={«=0). Р:0 *—>■ М.и>).

о

Легко убедиться в том. что если ы0е с1+а([;.го]). Г* е С^+в([7,га]). Лое С^40,( [ * .т] ). р е С*+а(б+), * 6 С2+е,(0+). у е С2+а( О). то /•,..,. ^ попадут в классы Сз+а(0+) ),с"(0+) ,с™<0-) ,с1+а( [7 ,т]). соответственно.

- Результатом применения теоремы о неявной функции к операторным уравнениям (16) является следующая теорема:

Теорема 2. Уравнения ие ) разрешили в окрестности частных решений пп-ав). То есть, если ло.ио.у+>0 и у~<о. цб[/,и]. близки (в смысле Функциональных норм введенных пространств) к постоянным, а вихрь - к кулю, по Фуккиии р.*.у найдутся единственным образом и будут близки к Функциям

Доказательство сформулированной теоремы состоит в проверке условий ТНФ. Они оказываются выполненными, в частности. уравнениям (16) удовлетворяют частные решения (17)-(18), а также существуют ограниченные обратные к операторам производной Фреше от операторов по аргументу 5 в точке (г0.). соответствующей частному решению. Обратимость этого оператора равносильна однозначной разрешимости линеаризованной задачи, формулировку которой мы приводим ниже.

Линеаризованная задача для оператора ¡1,:

р о

+ - 2«дпд + аац\ = о3.

о ! + - 2аиГ1Э = д4-

Г: - + «Ьр = д.

11 V 5•

Предполагается, что правые части в уравнениях принадлежат пространствам д,е с'4а(б+), д2е С^(0+), дзе Са(0+), д4< с"со-), д5еСд+а(и,т]). Искомые функции должны быть из клас-

сов

р 6 сз+а(0+), 5 € с2+а(0+), т) 6 с2+а(0).

Приведенная задача распадается на три независимые зада чи для р. е, и п. Давление р сразу же находится из первого уравнения. Разрешимость задач для 5 и для п следует из результатов главы 3 (задачи (19) и (20)).

Линеаризованные задачи для з., и з3 не содержат давления р и. естественно, первого уравнения для р. не будет слагаемого с р и в граничном условии на г, в остальном они полно-' стью совпадают с выписанной задачей.

Разворачивая цепочку преобразований, приведенных в главе 2, в обратном направлении, убеждаемся, что из теоремы 2 следует теорема 1.

В заключение автор Выражает искреннюю благодарность научному руководителю члену-корреспонденту РАН П.И.Плотникову за постоянное внимание и помошь в работе.

Список работ по теме диссертации.

Бугаева с.Г. Стационарная задача о фазовом переходе при заданном движении твердой фазы // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1993. вып. ЮТ. с. '94-197. 2. Бугаева С.Г. Моделирование процесса кристаллизации жидкости // Управление, математическое моделирование и оптимизация ,с применением ПЭВМ: Межвузовский сборник научных работ. Изд-во Алтайского университета. Барнаул.

1993.

Бугаева С.Г. Кристаллизация жидкости при оттоке твердой фазы // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1994 (принято в печать).

Подписано в печать 20.12.93 Формат 60 х 84 1/16

Печать офсетная Усл.п.л. 1,3 Уч.- изд.л. 1,2

Заказ !« 730 Тираж 100 экз. Бесплатно

Участок оперативной полиграфии НГУ:630090,Новосибирск,90 ул. Пирогова ,2.