Математическое моделирование физических процессов поверхностного упрочнения стальных образцов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА. , ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЩИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. И.В.ЛОЙОНОССВА

Физический факультет

На правах рукописи

Осипенко Михаил Анатольевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПОВЕРХНОСТНОГО УПРОЧНЕНИЯ СТАЛЬНЫХ ОБРАЗЦОВ

Специальность * 01.01.03 - математическая физика

АВ 10 РЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Косхва - 1992 г.

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного Университета им ,М .В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор В.Б.Гласко.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Е.А.Артыхин,

кандидат физико-математических наук Е.в.Булычев.

Ведущая организация: Московский Автомобилестроительный Институт

Защита состоится ">/¿7" /ЧО-рГА 1992 г. в <->

на заседании Специализированного Совета № 2 ОЭТФ физического факультета МГУ (К 053.05.18) яо адресу: 119899, Москва, Ленинские горн, физический факультет МГУ, ауд.,

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан ф-оЛркил Я 1992г.

Ученый секретарь Специализированного Совета К 053.05.18, кандидат физ.-мат. наук - П.А.Поляков

'Г

В. |

Отдел I

ОНЦАЯ ХАРЖГЕШСТ1КА. РАБОТЫ

Диссертация посвящена математическому моделированию процессов газовой цементации и лазерной закалки стальных образцов, решению возникающих на этой основе задач, в том числе обратит, и построению соответствующих алгоритмов численного расчета.

Актуальность. Математическое модеяировонке физических, в том числе технологических, процессов являзтся в настоящее время широко распространенным методом разработки новых технологий и корректировки действующих. Его преимущество перед прямым физическим экспериментированием состоит, во-первых, в том, что физический процесс в числовом отображении может быть воспроизведен и проанализирован в условиях, н-э допускающих вмешательство с помощью измерительных приборов; во-вторых, оказывается возможным многократное; воспроизведение процесса, что позволяет решать обратные задачи.

Тема настоящей диссертации, относящаяся к з^ог-т направлению научного исследования, является, тем самим, актуальной. Ее актуальность определяется такке широким использованием технологии газовой цементации и перспективностью исследований по управлению лазерной закалкой.

Целью работы является математически корректная формулировка различных моделей газовой цементации (в том числе, процессов, происходящих в технологической атмосфере), моделей лазерной закалки, их аналитическое и численное исследование, создание, исходя из этого, программ, под управлением которых ЭЕМ иогит стать элементом системы автоматического контроля за технолога-

ческим процессом.

Научная новизна диссертации определяется следующими результатами: I) Учет легирования в нелинейной модели цементации, ускорение работы соответствующей программы с использованием языка ассемблера; 2) Разработка асимптотических представлений для номограмм нелинейной цементации; 3) Предложенный способ корректировки номограмм при учете размеров и кривизны поверхности деталей; 4) Построение экономизированной нелинейной модели лазерной закалки; решение на ее основе обратной задачи об определении зависимости коэффициента поглощения энергии луча от температуры.

Практическая ценность работы определяется тем, что она выполнена в сотрудничестве с ПО Авто-ЗИЛ. В результате выбора подходящих моделей, допускающих численную реализацию на ЭВМ, были составлены программы, пригодные для работы в условиях производства.

Апробация работы. Научные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры математики физического факультета МГУ в 1990 и 1991 гг. Программы расчета номограмм нелинейной цементации в общем случае и в случае больших времен цементации (на основе асимптотических представлений) запущены в лаборатории металловедения ПО Авто-ЗИЛ.

I

Публикации. По материалам диссэртации выполнены две публикации.

Структура диссертации. Основной материал диссертации рас-

пределен меиду четырьмя главами, отвечающими трем основным моделируемым процессам - цементация стали, химическим реакциям в технологической атмосфере, лазерной закалке - и отдельно изложенному математическому обоснованию ряда моделей первой главы. Некоторые общие вопросы математического моделирования рассмотрены во введении. В работе имеется заключение, содержащее основные выводы, а также приложение, где приведены документированные ЭВМ-программы.

Диссертация изложена на 106 страницах, из которых 6 страниц составляют рисунки. Список литературы содержит 45 наименований.

СЦДЕРКАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении кратко излагаются основные проблем поверхностного упрочнения стальных деталей в едином, технологическом цикле цементация-закалка: управление толщиной науглерояенного слоя, управление толщиной прогретого слоя, достижение высоких скоростей охл&дденйя, управление размерами и формой закаленного ело;. Дается краткий обзор работ, посвященных применению метода математического моделирования для решения этих проблем. Описывается принятый в диссертации подход к теоретическим задачам цементации и лазерной закалки. Это, в.основном, "углубленное" рассмотрение нескольких моделей. Во-первых, на предмет появления в них новых параметров, которые ранее не рассматривались. Во-вторых, математически обычно существует целый набор разной сложности моделей одного и того же явления, а для инженерной практики выбираются лишь некоторые, поэтому представля-

ет интерес обоснование более простых моделей, а таете выбор модели в зависимости от имеющейся вычислительной техника. В-трегь-их, иногда мокно получить еще неизвестные результаты, исходя из уже известной модели. В-четвертых, при передаче программ на производствр необходимо бывает дополнительно решить технические вопросы вычислительного алгоритма, оценить его точность и повысить быстродействие за счет использования особенностей конкретной ЭШ. Бо введении дается также краткое изложение полученных в диссертации результатов.

В первой главе рассматриваются видоизменения стандартной модели цементации, возникающие из-за легирования обрабатываемой стали, некоторые вопросы численной реализации этой модели; даже ряд более простых моделей.

Общее математическое описание процесса цементации (§1) есть следующая краевая задача в некоторой области Л , занятой деталью

^ = ¿¡V ("Йдег ^гос* -и.4) г*Л.-,-Ь»0

• ге'гЛ

4^0= Но

к

где

ц - концентрация углерода (О = Копр • и»кр (V)

^окр - углеродный потенциал атмосферы относительно нелегированной стали

7^лег,г - концентрация легирующего элемента, Т - абсолютная температура,

Вг - известные коэффициенты.

Поскольку диффузия протекает, в основном, в приповерхностном слое ~ I мм, а размеры детали существенно превышают эту величину, то Л можно ¿читать полупространством, а для удобства численного расчета - неограниченным слоем. В диссертации предлагается ряд улучшегий (§ 2) известного численного алгоритма решения этой задачи - нелинейной консервативной разностной схеш. Во-первых, с точностью схемы записываются и граничные условия. Во-вторых, расчет ведется сразу на нескольких сетках с дальнейшим уточнением до ) по методу Рунге. В-третьих, для численного нахождения нуля функции, заданной на сетке (что необходимо для определения толщины цементованного слоя) применяется интерполяционная формула с точностью 0(£) , учитывающая возможность обращения производной в нуль в окрестности нуля функции. В-четвертых, при реализации алгоритма на ЭВМ, ряд фрагментов программы написан на языке ассемблера, что повышает быстродействие в три раза.

В § 3 рассмотрены некоторые упрощенные модели расчета диффузии углерода в легированной стали." Прежде всего, это приближение малых коэффициентов легирования ( ) . Показано, что в случае постоянной во времени температуры, влияние легиро-

ванйя можно свести к пересчету масштабов задачи. Для линейной модели на полупрямой предложено асимптотическое (при больших временах) разложение выражения для поля концентрации при произвольном, достаточно быстро -»со1>&"Ь на бесконечности начальном распределении. Далее первые члены такого разложения (при постоянном начальном распределении) обобщены на нелинейный случай:

= + (УгЛ4) + 0(?) (2)

где

КО - решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения, которая ъ практически вакном случае линейной зависимости от и имеет вид:

У(<*>Ь = (Д+МО /(!-» кио^)

Здесь

, ^ уа , —и-7,- >

По^ + -1/д

Для задачи (3)' установлены теоремы существования и единственности решения и исследовано его поведение в зависимости от параметров '^ок^ и Но , что необходимо для построения численного алгоритма решения (3).

В § 4 алгоритм, изложенный в § 2, применяется для расчета номограмм цементации легированных сталей. На основе формул § 3 предлагаются приближенные аналитические формулы для номограмм нелинейной цементации. В линейном случае исследовано

влияние "конкуренции" двух эффектов, возникающих при легировании стаи, на номограмму первого уровня (зависимость толщины цементованного слоя от времени: ): снижение (увеличение)

Ио*^ и одновременное увеличение (снижение) "Ъ . Показано, что в приведенных параметрах

кривая 2

делит квадрат о 4 на две области - "положительного"

и "отрицательного"(дк-£ < о) эффектов легирования.

Во второй главе более строго с математической точки зрения рассматриваются введенные упрощенные модели. Влияние конечных размеров образца (§1) оценивается на примере сопоставления линейных задач цементации, сначала с краевым условием первого рода, в полупространстве и в слое конечной толщины 21. На оснозе принципа максимума да уравнений параболического типа получена оценка для погрешности в поле концентрации, вносимой при пренебрежении размерами слоя:

Для оценок в задаче цементации с граничным условием третьего рода применяется метод преобразования Лапласа. Выражение для погрешности 5ч найдено в следующем виде:

о 0

где % = , ^ - коэффициент массообмена,

= Ау _ полином степени к ,,

Ьц, - полином Лагерра. Показано, что все три ряда являются знакопеременными (для двух последних это вытекает из установленной положительности при ). Отсвда получен главный, член погрешности: Х^^^+е/^иЧ) при ^ оо

где с- ь/Л-*^ 0 / „

= *г<с( —Ц ^Г ) + |р Я ^ — -

На основе этой формулы найдены главные члены поправок к номограммам (зависимостям поверхностной концентрации и толщины цементованного слоя от времени):

43? (з+>у-

где с< = (иу^г-^сз - уровень, по которому опре-

деляется Ь •

Таким образом, влияние размеров детали тлеет экспоненциальный характер.

В § 2 методом преобразования' Далласа получены оценки влияния кривизны поверхности образца на номограммы цементации. Они имеют вид:

¿г* «а 0> V) - 0"2+ Сгт-0

где безразмерные (в единицах—) переменные (V•) ) дают на поР и

верхности образца сетку линий кривизны, И - средняя кривизна поверхности. Эта оценки справедливы при выполнении следующих условий:

\ «■{ (главные кривизны поверхности)

16» I'

где - оператор Лапласа на поверхности, ^ , ^^ - дифференцирование вдоль соответствущей линии кривизны. Таким образом, влияние малой кривизны поверхности линейно по кривизне, т.е. значительно сильнее; чем влияние размеров детали.

В § 3 даны доказательства использованных в Главе 2 асимптотических представлений для линейного процесса цементации нь

полупрямой:

ио^-и. и 1 ' при ц-

где % = */24т511) > - полином'Эрмита,

и для толщины цементированного слоя по уровню Игр:

. В третьей главе рассмотрены некоторые задачи контроля за состоянием технологической атмосферы при цементации. В моделях Главы I и 'Главы 2 углеродный потенциал атмосферы С в считался заданшш. Более естественно считать заданным состав технологической атмосферы и ее температуру и по этим параметрам Сс^ вычислять. В § I предложена соответствующая модель, основу которой составляют уравнения равновесия химических реакций, протекающих в газовой фазе и на поверхности стального образца. Модель построена на условиях логической замкнутости и минимальности количества произвольных: (|изических допущений и состоит в следующем. Пусть смесь идеальных газов, содержащая СНч, Ог.СО.И»,«^, СХ)^ с произвольными парциальными давлениями помещается в непроницаемую оболочку и поддерживается при абсолютной температура Т . В результате происходящих в смеси химических: реакций установятся равновесные пардаальные давления компонентов. Углеродный потенциал смеси равен концентрации углерода в аустените, находящемся в равновесии со смесью при протекающих на поверхности металла химических реакциях. Для нахождения равновесных парциальных давлений в смеси составляются уравнения равновесия химических реакций, из которых только три независимых (по числу сортов атомов в смеси). Добавляя сю-

да три уравнения, выражающих закон сохранения числа атомов каждого сорта, получаем систему шести нелинейных алгебраических уравнений с шестью неизвестными, которая решалась численно (методом Ньютона). После нахождения парциальных давлений углеводный потенциал вычисляется по уравнению равновесия какой-либо реакции с участием углерода в качестве компонента твердого раствора, происходящей на поверхности детали.

В результате расчетов по программе, реализующей вышеизложенный алгоритм, получены следующие результаты. Во-первых, исходя из упомянутой зависимости между уравнениями равновесия, можно уточнить значения некоторых констант равновесия. Во-вторых, для начального состава смеси (по технологическим данным) в окрестности риц =0-°-1Ч , рс^-О-О, рсс = о.2 , ри^о.Ч; Ри^о-0.о , рсл1 = о.о (в атмосферах; остальное - не реагирующий азот) и температуры Т = 950°С получена приближенная формула для углеродного потенциала

сок,, ^ + 95-0)+ 5"с (рсмч-6.0-1ч')+

((V*-од1)-4(к-олО-:И(рц>0-МО-4)- (7)

-30 ( рс®,, - НО"'') часе /0

В § 2 используются процессы, протекгш'йе при сбое в процессе цементации. Для моделирования сбоя используется задача (I) (Л - полупространство), где

ТОО-

т6 оН<-и

Улк^сХ»; СО з

"^о - момент сбоя.

Однако зависимости Т^ СО > Уяг^&о* ("О неизвестны, но из-

вестко UfjejO) 5 и.£*Л-0 (есть экспериментальные данные), поэтому решается обратная к (I) задача: по заданным ^VàC*) (с погрешностью) о 4 (-Ц) найти TcSoi Ci}

и "Мок^с&м (i) • Вообще'говоря, эта задача является неустойчивой, т.к. влияние Tcîdc, (i) и ис^^(^является "интегральным", поэтому необходимо использовать регуияризирующий алгоритм. В данном случае есть дополнительная информация о монотонности и ограниченности Тц0; Uo^iSni CV) , поэтому используется тот факт, что если в операторном уравнении Ai» 1с точное решение 2 есть монотонная ограниченная функция, то за приближенное решение задачи Aî-ol , где llw-v 11 î <$" , можно принять произвольный элемент из множества монотонных ограниченных функций, удовлетворяющий условию |1 Хг-v\i s <Г . При численном решении значения ft), Ио^еь* ("О задавались на неравномерной сетке

и манимизировалоя функционал . о

на множестве с ограничениями (соответствующими монотонности искомых функций). Установлено, что при сбое•температура и углеродный потенциал падают экспоненциально с характерными временами 2.0 и 0.5 час. соответственно. Найдено также, что "испорченный" профиль UjMjCx) поддается восстановлению. Если в момент 4ч скачком восстановить рабочие параметры Т и Uo*f , то через некоторое время профиль концентрации углерода будет близок к тому, который был до сбоя.

В конце главы на линейной модели оценивается интервал вре-

меня, через который надо измерять углеродный потенциал, который может скачком уменьшаться на ¿ЛСо^ , чтобы обнаружить это уменьшение раньше, чем поверхностная концентрация углерода уменьшится на дИц,1 , т.е. для своевременного обнаругения сбоя.

Он оказывается равным

I _ Т Т) ( ч2-

АХ - ^ Ч м^ >

В четвертой главе проводится математическое моделирование лазерной закалки.-Сначала рассматривается температурное поле иС*!1}, г Л4) .. являющееся решением краевой задачи ( £ 1) ;

уСи)^. = ^(лсюуД*) о<* Н*, ^< |}

к-° (8) на всех гранях параллелепипеда, кроме г»о

Затем, если ни в одной точке детали температура не достигает точки плавления, то закатанная область определяется условиями:

а) она прогревается выше температуры аустенитного перехода М*, ;

б) в каждой токе И области кривая охлаждения К о*, (-V)=и(М, -I <,), где - момент достижения максимальной температуры, не пересекает С-образную кривую.

В § 2 рассматриваются возможные упрощения модели (8). Они вдут по следующим направлениям: линейность; неограниченность детали по * и ^ ; полуограниченность по 3 (в этом случае форма закаленной области определяется, фактически, только условием а)); квазистационарное приблйяэние ИгИ-О*^»^1); случай больших скоростей движения луча V» ог/Я, , где О,- температуро-

проводность материала, Я - характерный радиус луча. Если принять все ети допущения, "то граница К»(«(^закаленной области определяется соотношением ( Р - мощность луча)

Принятая в диссертации модель учитывает неограниченность

по*и^ , квазистационарность и большую величину V ' (9)

• ■гч I

^

Эта модель выбрана потому, что.является максимально сложной из моделей, допускающих расчет за приемлемое время, т.е. двумерных (следующая ступень усложнения, связанная со снятием допущения о большой величине скорости, у&е делает задачу трехмерной) .

На основе модели (Э) проводился расчет формы закаленной области в стали У8 лучом с распределением мощности ^ : равно-.мерным в круге; создаваемы..! быстроосцилирующим в поперечном направлении тонким лучом. Результаты расчетов иллюстрированы графически.

В § 3 вычислены оценки погрешностей, допускаемых при упрощениях, принятых в модели (9). Пренебрежение конечностью разме-

ров детали{вносит погрешность

Обычно 10, поэтому эта погрешность пренебрежимо мала. Квазистационарное приближение вносит погрешность

гЛ ^ , где

\{ - Рзе_ В- VхВ*

Показано, что квазистационарное состояние устанавливается после прохождения лучом ето диаметра.

Допущение о большой величине скорости вносит погрешность

Она может достигать 15%. Это самый существенный источник погрешности .

В § 4.решена обратная задача об определении коэффициента поглощения зе энергии луча. Зависимость аеОн) определяется сложным составом покрытия на детали и обычно неизвестна. Ёе можно определить по косвенным данным, в качестве которых была выбрана зависимость толщины закаленного слоя в центре дорожки, проходимой лучом с равномерным распределением мощности, от скорости движения луча: Такие данные доступны для экспе-

риментального измерения. Поставленная задача является некорректной. В качестве регулярязирующего алгоритма применялся метод квазирешений - эе(>) разыскивалось на множестве полиномов заданной степени, как функция, минимизирующая функционал

Восстановленная зависимость ае(^) имеет максимум, что можно объяснить разрушением покрытия, начиная с некоторой температуры. Исследовано влияние ошибок измерения ^(У) на погрешность восстановления <£.Ы).

В Заключении кратко сформулированы основные научные результаты диссертации, выносимые на защиту.

ОСБСВЕЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Исследовано влияние легирования на нелинейный процесс цементации стальных образцов.

2. Для численного расчета этого процесса построен экономичный алгоритм-повышенной точности; быстродействие увеличено за счет использования языка ассемблера,

3. Предложены приближенные аналитические формулы для основных характеристик нелинейной цементации; исследована возникающая при этом краевая задача для (нелинейного) обыкновенного дифференциального уравнения.

4. Исследовано влияние размеров образца и кривизны его поверхности на диффузионное поле при цементации.

5. Обоснованы асимптотические представления для нелинейного процесса диффузии на полупрямой.

6. Построена модель для расчета зависимости углеродного потенциала атмосферы от ее химического состава и температуры.

7. Решена обратная задача о восстановлении хода изменения температуры и углеродного потенциала при сбое по профилю концентрации углерода, измеренному после сбоя; оценена

частота контрольных измерений, обеспечивающая своевременное обнаружение сбоя.

8. Предложена упрощенная модель расчета лазерной закалки для любой форш луча, оценены погрешности, допускаемые при упрощениях; рассчитана закалка колеблющимся лучом.

9. Решена обратная задача об определении зависимости коэффи- ■ циента поглощения энергии луча от температуры.

Основные результаты диссертации изложены в следующих работах:

1. Гласко В.Б., Кальнер В.Д., Кулик H.H., Осипенко М.А., Юра-сов С.А. "Упрощенный расчет номограмм цементации и- их коррекция с учетом легирования", в сб. "Практика автоматизированного проектирования в малшностроении" (Вып.З) под ред. В.Д.Кальнера. М., "Машиностроение", 1992.

2. Гласко В.Б., Осипенко М.А. "Оценка влияния размеров детали и кривизны ее поверхности на диффузионное поле при цементации". Деп. ВИНИТИ (ÍÍ3796-B9I) 26.09.91. /'

Подписано в печать 27.12.91. Фориат 60x84.1/16. Печать о$еетмая. Уел.печ.л. 0,93. Тираж 100 экз. 3aias 8.

614600, Пермь, ул.Букярева,15. Типографа* ПГУ.