Математическое моделирование на основе обобщенных моделей Кармана и Навье-Стокса-Бюргерса течений несжимаемой жидкости в развитой турбулентности тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙМОРСКОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НА ОСНОВЕ ОБОБЩЕННЫХ МОДЕЛЕЙ КАРМАНА И НАВЬЕ-СТОКСА-БЮРГЕРСА ТЕЧЕНИЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В РАЗВИТОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Специшм.ности: 01:02.05 - Механика жидкости, гала и илачмы, 05.13.18 - Мптематическое моделирование, численные методы и комплексы про! рамм

На правах рукописи -

БАЛОНИШНИКОВ Александр Михайлович г

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ - 2006

Работ выполнена в Cautci-I (егсрбургском государственном инженерно-экономическом универсшею

Научный консулы am: док юр фшнко-маюма! ичсскнх паук, профессор 11авловскпи Валерий Алексеевич

Официальные оппонет i.i,

доктор 1ехпических паук, профессор Лукьянов Геннадий Николаевич

док-юр технических паук, профессор Нмсльянов Владислав 11иколаевич

доктор физико-ма1смагических наук, члеп-корреснондснт РАН Лыкосов Василий Николаевич

Ведущая организация - Сашп-Петербурюкий nncimyi информатики и атомажзшши РАН

Защита состой(ся "2. t 2006 года в 1 Ч часов на заседании специализированного concia Д-212.228.02 но защше диссертаций на сонскаиие ученой стснсни доктора технических наук при

Санкт-Петербургском Государственном Морском Техническом Ушюсрсшею по адресу; Санкт-Петербург 190008, ул. Лоцманская д.З

С диссертацией можно ознакомиться в библиоюке Санш-ГТстсрбургскою Государственною Морскою Техническою Университета

Автореферат разослан :" 3 " & Z. ^А-*4- ^ А, 2006 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета.

() б ma ii х а р а к т е р и с т и к а р а б о т ы

Актуальность темы диссертации. Проблема описания развитой турбулентности^ п частности, в несжимаемой жидкости, остается одной'из актуальных проблем математики и физики из-за распространенности турбулентных течений в природе и технике. Поскольку в развитой турбулентности возбуждается громадное число степенен свободы системы, даже самые мощные современные компьютеры не способны рассчитать реальные 'турбулентные течения па основе уравнений Навье-Стокса. Хотя и неизвестно, существуют и единственны ли сильные решения уравнений самих уравнений Навье-Стокса для больших чисел Рейнольдса на больших промежутках времени. Некоторые эксперименты и расчеты показывают, что не все возбуждаемые степени свободы одинаково важны для-крупномасштабного и долговременного поведения, поскольку мелкомасштабные движения имеют тенденцию- подстраиваться -под.крупномасштабные. Наличие универсальных закономерностей типа логарифмического пограничного слоя и законов Колмогорова в спектрах турбулентности так же косвенным образом свидетельствуют о наличии относительно небольшого числа коллективных*степеней свободы в турбулентности. Все существующие модели.турбулентности, дающие сокращенное описание турбулентности, можно разделить на крупномасштабные (типа "k-е" модели) и мелкомасштабные модели (типа Смагоринского). 13 последнее время из-за роста возможностей компьютеров, а также из-за большого числа эмпирических констант в крупномасштабных моделях, стремительно увеличивается количество исследований, основанных на применении мелкомасштабных моделей турбулентности. Кроме чого, извсстныскрупномасштабные модели дают слишком упрощенное пространственно-временное описание турбулентности, не отражая концепцию развитой турбулентности как детерминированного хаоса , хотя натурные и численные эксперименты по ламинарно-гурбулентному переходу выявили типичные сценарии перехода к детерминированному хаосу и "странно-аггракторному " поведению. Если обратиться к мелкомасштабным ( подсеточным или спектральным) моделям, то наиболее продвинутой здесь является, по-видимому, модель Кашото-Дубовикова (Pliys. Fluids. 1996- V.8 N2- Р.587-598), которая является нелинейной версией теории "быстрого искажения турбулентности", с использованием метода ренормализационной группы при получения связи коэффициента турбулентной спектральной вязкости и спектра энергии турбулентности. Притягательной особенностью модели является отсутствие в ней эмпирических констант, хорошим согласием с экспериментами (как утверждают авторы), и достаточ-

пои физической про ¡рлчпоетыо Чем не менее, модуль ipeGyci решения интегро-дифференпиальных уравнений и спектральном нро-сфанстпе, что затрудняет ее 1ффективтюе использование в подсе-ючном моделировании (моделировании большими вихрями) Кроме юн), наличие изотропного ко>ффициенга турбулентной спектральной вязкости является некоторым ограничением лои ишереитоп модели

I (слыо данном работы чвлялось nocipoeinie мостика между крупномасштабными моделями турбулентности и концепцией тур-riyjieiiinocin как проявление деюрмпнпроиаптло хаоеа В petyjn.i.i-ie была riocipocua на фепоменолот ическом уровне сфоюсти обобщенная модель Кармана (обобщенная модель локальною баланса), ко юра» в первом приближении дала и шестые решения Кармана (для плоскою |урбулен i hoi о течения Ку та), новые обобщешп.|е решения Кармана (дли течения '[ )йлора-Ку нта и для течения в цилиндрическом щели) Get привлечения новых >мпирпчеекпх кон-ci.ihi Следующее прпбли/кенпе модели (но величине удельной скорости диссипации турбулентной лтергии) при некоторых допущениях низводило продемонстрировать явление детермипировашю-ю хаоса но временном поведении системы Уточнение обобщенной концепции локально! о баланса пс возможно без исследования аналитической структуры мелкомасштабной турбулентности, для чет в диссертации были выведены различные упрощенные уравнения для описания -эти структуры при произвольном виде тепзира-iрадиеита крупномасштабной скороеiи 13 частности, максимальное упрощение было доспнную -заменой них все еще сложных для решения уравнении на бесконечную систему невзаимодействующих параллельных каскадов, каждый ив коюрых описывается одномерным ортп и-палытым (исходным, первоначальным или, инотда пишут, модифицированным) уравнением Бторгерса, что позтюлило получить явное выражение (в отличие ог модели Канюто-Дуботзикова) для вееч спектральных компонент тетнора подсеючных напряжений Реи-нольдса Get шпирпчеоких параметров

Методы исследования Для достижения поставленных целей в диссертации иснолыованы либо чисто аналитические методы, либо, в случае возникновения трудностей, использованы методы математическою моделирования, начиная с формулировки математической модели, выбора алюршма решения на основе методов прикладной математики и написания протраммы на я тыке Фортран 77, ее юстирования и анализа результатов расчета В случае получения неудовлетворительных результатов. менялись параметры модели либо менялась сама модель, после чето описанный процесс повторялся

11аучиаи новизна. РачраСкл;.....одход к крупномасштабному

моделированию турбулентного движения несжимаемой жидкости па основе обобщенной модели локального баланса (обобщенная модель Кармана или "эпсилон-модель" турбулентности), с привлечением феноменологического уравнения переноса скорости диссипации турбулентной энергии с отрицательным коэффициентом диффузии. В рамках этого подхода получены новые решения для турбулентных течений .Тэйлора-Куэпа между двумя вращающимися еоосными цилиндрами, а также для течения в цилиндрической щели, в случае смещения одного иг цилиндров вдоль образующей с постоянной скоростью. Нтифсшснпи'для крупномасштабной скорости, диссипации п чаконы сопротивления содержа!' только две известные константы I [рапдтля-Кармана плоского турбулентного пограничного слоя. Поскольку эти решения переходят в случае плоского течения Куэтга в известное решение Кармана [8], эти решения и саму модель турбулентности можно назвать обобщенными решениями Кармана и обобщенной моделью Кармана соответственно. Получены новые (1 + 1) - квази-одномерные уравнения для описания динамики самых неустойчивых .мод в-модифицированном физическом пространстве. Из-за трудности аналитического исследования этой системы автором была предложена и исследована обобщенная модель Навьс-Стокса-Бюргерса как система параллельных нелокальных каскадов в спектральном пространстве. На основе известного.решения Бюргер-са для. случая больших сеточных чисел Рейнольдса для оригинального уравнения Бюргерса получены явные выражения, для всех девяти спектральных компонент тензора подсеточных напряжений Рей-польдса для произвольного вида тензора-градиента крупномасштабной скорости (за исключением случая чистого вращения и равенства пулю всех девяти компонент этого тензора) без эмпирических констант. В случае больших волновых чисел к эти одномерные спектры-экспоненциально-убывают, что продемонстрировано'с использованием метода перевала в двукратных интегралах но угловым переменным. В случае малых волновых чисел к эти спектры ведут себя

как--!—— , где « - параметр, определяемый'физическими ппра-

I + ег к '

метрами задачи. Не смотря на исключительное упрощения процесса турбулентного переноси энергии между мелкомасштабными вихрями,; эти-'закономерности не противоречат известным экспериментальным данным, что позволяет рассматривать эзу параметризацию как кандидата для моделирования турбулентности в рамках метода моделирования большими вихрями, ; .

ПопроиЫ, ВЫПОСНМЫС.Н.) «НЦШ.У

1 11 рамках посфоепнон и раиииои автром обобщенной модели Кармана (ибобщспная модель локально! о баланса) можно обь-единшь реальное распределение характеристик турбулентности для ряда классических течений с концепцией детерминированною хаоса в развитой турбулентности

2 Полученное решение для осрсднсниой (крупномасштабной) eicopocm и юоизстсшующий laicoii сопротивлении для |урбуЛСН1НО-ю |ечения I чилорл-Ку >i i.i, зависящие тлько oi двух >мпиричсскич Koiiciain Иранд! ля-Кармана, не yeiynaioi другим решениям, полученных it мире для и ого 1ечснии

3 Полученный инвариант iemopa-iрадиста крупномасштабной скоросш янляося наиболее значимым для парамефи ¡ации под-ееючною движения, поскольку именно он определяй! и первую очередь динамику наиболее ноустпчивмх мслкомасшыбных мод

4 Динамика наиболее неустойчивых мелкомасштабных мол и развитой 1урбулешпос1Н ( в случае однородного сдвига) приближенно описывается спс1емой из ipex (П1) квазиодномерных дифференциальных уравнений в модифицированном физическом пространстве loecn. нее фудпоепт ipexMepiioiо описании можно спеет к ipyyumcniM одномерно! о описания

5 И рамках предложенной и развитой ашором обобтенноп модели Haiii>e-C(OKC.i-Iiioprepca, представляющей ш себя сисшму параллельных каскадов энергии между мелкомастшабными вихрями, удается получшь явное выражение для всех девяпт комнопеш одномерных спектральных компонент тензора Рейнольдса для произвольною вида ich mpa-i радиста крупномаспиабпой скорости (за исключением елучая чистою вращения) пе прибет ая к иеполь ¡ова-ишо шпирпчсских параметров 'Jia параметризация пе противоречит имеющимся жеиерпмещальпым данш>1М

Дос тиернос! I) научных штожени!!. выносимых на мщшу

Представленные результат находятся в хорошем coi ласин с жеперимешальными данными Предложенные и ра зработанные мидели не про1Ивореча1 основным ¡аконам (|)изики Резулмагм математическою моделирования псоднокрашо проверялись на тестовых примерах

1 1рактичеекая ценное! ь рабони

I Р,тлимое Iурбулс/мпое (еченне Тзилорл-Кунта между двумя вращающимися сооепымп цилппдрамн являе1ея идеалн тированным 1ечением, которое близко к реальным турбулешным 1сченпям в паровых турбинах, сепараторах, подшипниках, васфофизике, полому полученные обобщенные решения Кармана мотуг найти применение в указанных задачах Полученные решения могут служить основой

для сравнения результатов, полученными разными,экспериментаторами для развитого-турбулентного- течения Тэйлора-Куэтта, поскольку эти решения зависят лишь:от двух.хорошо изученных констант Прапдтля-Кармапа • плоского турбулентного , пограничного слоя.

2. Отрицательный коэффициент диффузии диссипации,, используемый н модели, и имеющий физическое обоснование позволяет относиться с осторожностью- к-результатам огромного числа расчетов турбулентности / по; широко ■ известной "к-эпсилон" модели турбулентности- с положительным коэффициентом диффузии диссипации. • : .. .'•' ■ ■!

3.Полученная-явная параметризация без эмпирических констант для тюдееточных напряжений Рейнольдса имеет очень прозрачный физический смысл и может--использоваться ( с дополнительными л-естированиями) в моделировании турбулентности в-рамках метода моделирования большими вихрями. .

-Апробация- работы. Основные результаты работы, были доложены шкВсссошзпой конференции, "Перспективные: методы планирования и анализа экспериментов, при -исследовании случайных нолей и-процессов" (Нальчик, 1982), "Семинаре по трансформации и переносу загрязняющих веществ и водоемах"'(Таллин, 1983),- Всесоюзной конференции по энергетике океана (Владивосток, 1983), II Всесоюзной конференции (с участиеминостранных ученых). "Лав-рептьевекие ч тения по математике, механике и физике" (Киев, ,1985), Всесоюзной школе "Динамические системы и турбулентность" (Ка-цикели,. 1988), Всесоюзной.конференции,"Математическое моделирование:. Нелинейные проблемы и вычислительная математика" ("Звенигород,. 1988), IV Международной- конференции "I 1слинснныс и турбулентные процессы в-физике'-' (Киев, 1989), "Герцсповскпс чтения -95-; Математика и-ипформатика: Педагогические инновации и научные разработки!" (С-Петербург, 1995), 7-ом Международном семинаре по физике турбулентного перемешивания сжимаемых сред (С-Петербург, 1999), Семинаре лаборатории аэродинамики .Санкт-Петербургского- государственного университета (С-Петербург, 2003), Семинаре; кафедры > гидроаэромеханике Балтийского университета; (С-Петербург, ■ 2003), VI Всероссийском гидрологическом , съезде (С-Петербург, 2004).

Публикации. В; рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК для.опубликования основных научных результатов докторских-' диссертаций, опубликовано.: 10 статей. Также опубликована статья п . журнале .американского физического, общества и две статьи в трудах международной и. всероссийской конференций. В других изда-

пнях вузов России и РАИ опубликовано но icmc диссертации 8 пе-чашмх pafioi Всею по icmc диссертации опубликовано 23 работы

Структура и обьем диссертации Диссертация состоит из вве-дспия, пяти тлав, заключения, списка использованной литературы, включающею <185 работ отечественных и зарубежных авторов Обь-см работы 2.56 сгр текста, из них список литературы занимает 40 страниц

С од е р ж анис р а б о т ы

Во_введении обосновывается важность работы и актуальность исследуемой в диссертации темы Формулируется цель работы и основные задачи, которые необходимо решать для ее достижения, характеризуется научная новизна и практическая ценность работы

В первой тлатзе дается обзор современных подходов к описанию pa ввитых турбулентных течении

Рассматривается iipoipeec в прямом численном моделировании турбулентности, начиная от работ Орсага и Пагтереона (Phys Rev Led, 1972-V 28-N2-P 76) и заканчивая работами Гото (Comp Phys Com 2002-V 147-p 5 50) для изотропной турбулентности Приводятся оценки возможностей прямою численною моделирования с постепенным увеличением мощностей компьютеров на основе обзора Джимепезп (Journal of tiiibuleiice-20Ü3-V 4 N22-p 1 IjUpjVjojjopjiig), из которых следует, чю турбулепiные течения для практически важных юомефий можно будет рассчитывать лини, тз необозримом будущем на основе уравнений 11авье-Стокса ( конечно, если решения лих уравнении не разрушаться, поскольку до сих пор не доказана теорема существования сильных решений у этих уравнений, см Феферман (Piepiml May I, 2000, liltp //www claymalh oig)), чю делает очень актуальным и в настоящее время построение моделей турбулентности

Далее рассматривается подход, который называю! "'Уравнения 11лвье-Стокса, осрсдпснпыс по Репнольдсу" Ile смотря па определенные успехи лот подхода, крупномасштабные но своей сути уравнения ною научною направления содержат большое число тм-пнрнческих констант, в частности, наиболее популярная до сих пор дтзупарамегрическая 'k-зпеилон" модель Рели в свое время двупа-раметрические модели вы теснили однопарамегрические, m теперь наблюдается обратная тенденция перехода к одпонараметрнческим моделям, например, модель Л 11 Секундова (МЖГ-1997-Ы2-е Многочисленность как одпопараметрических так и мпотопарамс!-рических моделей турбулентности, по мнению автора диссертации, связано с отсутствием систематических выводов лих уравнений из исходных уравнений I Ьвье-Стокса По-видимому, до тех пор, пока не будет построено удовлетворительное приближенное аштлитиче-

S

скос описание мелкомасштабной структуры турбулентности, окончательного прогресса-в этом подходе не будет. (Автор данной диссертации в качестве-такой структуры предлагает построенные им "суррогаты'' Навье-Стокса-Бюргерса.).

Далее рассматривается метод=''моделирования большими вихрями" (нодсеточное моделирование).- По своей сути ¡это. мелкомасштабное моделирование турбулентности; при котором размер разностной сетки меньше чем интегральный- масштаб турбулентности в данном месте турбулентного потока. Характерной особенностью этого метода является сильная-зависимость параметризации тензора Рейнольдеа от шага разностной сетки, то есть в общем от масштаба, разделяющего крупномасштабное и мелкомасштабное движение. С увеличением возможностей компьютеров и, как правило, малым числом эмпирических констант этот метод все чаще находит применение в многочисленных приложениях; Далее в обзоре.рассмотрен вопрос о связи турбулентности с концепцией детерминированного хаоса. Приводятся классические работы по сценариям перехода от упорядоченного.движения к детерминированному хаосу. Рассматриваются результаты теоретиков-и экспериментаторов по ламинарпо-турбулентному переходу как переходу к детерминированному хаосу. Отмечается, что из десятка сценариев перехода, пока экспериментально зафиксированы в различных типах течений только зри перехода: сценарий Рюэля-Тэкенса-Ныохауса, процесс удвоения периода Фейгенбаума и переход через перемежаемость в случае сферического течения Куэтта в работе С.Я. Герцен штейна идр,(Докл. АН 2003. Т.390.№4.С.478-483). Важность концепции детерминированного, хаоса в развитой турбулентности обусловлена принципиальной возможностью объяснить хаотичность турбулентности детерминированной "динамикой небольшого числа коллективных параметров (от трех, как в системе Лоренца, и более). Отмечается отсутствие общепризнанного моста между1 популярными сегодня моделями турбулентности,' используемых в приложениях, и концепцией детерминированного хаоса. Далее в обзоре рассматриваются другие, перспективные,, по мнению автора диссертации, подходы к турбулентности. Исключительно важными являются исследования в рамках вихревых; моделей турбулентности, в которых аналитически исследуется мелкомасштабная структура турбулентности: По-видимому, до сих> пор -первым опробированным-кандидатом на такую роль является вихрь Лундгрена (Р11у8.Р1шс1з>1982-у.25, р.2193), однако этот вихрь, является решением линеаризированных уравнений Навье-Стокса, что снижает его ценность как^осповную структуру мелкомасштабной .".турбулентности. Одним из соперников концепции детерминированного хаоса в развитой турбулентности явля-

стен концепция турбулентности как шумом индуцированный фаю-иый переход Видным представителем этот направления является II С Ланда (ЖТФ-1997- 1'(>7-М7) В выводах по этой главе ив юр приходи 1 к мнению, что бет шании аналитической структуры мелкомасштабной чаши турбулитпосш для ратлпчпых пню» течении нельти уловлс!мориюлыю ноирошь как крунномасшыбную милан,, гак и подсеючную модель турбулсннюсти

Во шорой тлаве авюр диссертации ыроиг на феноменолен и-ческом уровне строюсш обобщенную модель Кармана или "»нейлон-модель" турбулентное!и по аналогии с известной "к-эпсилон" моделью Модель задается системой уравнении

- инвариант icniopa скорости сдвша крупномасштабно!! скоросш,

1 'У 'Ч

Л ( i )- компонент icniopa скоросш едшнл, л - кон-

2 Гт( Рг,

ciania Кармана, и„ - 1,0 - константа модели, здесь и далее подрату-мевается суммирование по повторяющимся индексам,

■ крунномаенпабные компоненш скоросш поюка, /j -плотноеть,р - крупномасштабное давление, v - коэффициент кинематической молекулярной вяжоеги, ь - средняя ( крупномасштабны» ) удельная скорость диссипации турбулеппюй *>nepi ни, » '.»,'.4,' - мслкомасшiабпые комноншпы скорости hoiok.i, ■

осреднение но обьему, определяемому иптстральным масштабом

i, i

1урбулсп1пос1н / l'ei уляритирующпе оиерашры

^„.¿осуществляют сретакие плотнические в крупномасштабной модели мелкомасштабные составляющие компонент скорости и диссипации Рассмотрено несколько видов операторов peíуляритании, в частности, кот да ни операторы имеют следующий вид фм - -а.Д(л!/Л'1)Д, V')A, тде «„,«„- безрамерные

константы модели. В качестве граничных условий используются логарифмические профили для скорости и гиперболический профиль для диссипации, как п в стандартной 'копсилон " .модели

Л«, г)//,

(I)

(-Í)

1(1

Скорости трения, входящие в граничные условия, находятся самосогласованно вместе с нахождением-, решений дифференциальных уравнений модели: Коэффициент турбулентной вязкости находился из приближения локального баланса энергии турбулентности. Уравнение переноса для диссипации строилось.исходя из соображений галилеевой инвариантности, предполагалось также для простоты, что динамика этого уравнения определяется лишь двумя скалярными полями к и S. Положительность коэффициента при линейном члене относительно /.- в правой части уравнения (2) следует из-за-наличия, как показал анализ, растущих составляющих мелкомасштабной скоростй при: любом виде тензора- градиента:крупномасштабной скорости {'-^J- } за исключением случая чистого вращения.

а

Тогда, чтобы' логарифмический'профиль скорости и гиперболический профиль диссипации удовлетворяли уравнением модели необходимо рассматривать "отрицательную диффузию" диссипации. Отметим, что в широко используемой 'k-эпсилон" модели мы имеем дело с обычной положительной диффузией диссипации. По мнению автора данной диссертации, противоречие между моделями связано с избыточностью 'к-эпсилон" модели, то есть одно из двух уравнений лишнее.' Этой точки зрения придерживаются с неизбежностью все сторонники одпопараметрических моделей, в частности, Д.П.Секундой (МЖГ, -l997-T2.-c.59) приводит свои доводы об избыточности "k-эпсилон" -модели. Отметим, что на возможность отрицательности коэффициента .диффузии завихренности в разви той турбулентности было указано Стюартом (Transition and Turbu-lence./Iidiled by R.li.Meyer.-N.Y.¡Academic Press, I98!-p.77). 1 la возможность отрицательности коэффициента турбулентной вязкости н соответствующие требования на структуру мелкомасштабной скорости в развитой трехмерной турбулентности указывалось в нескольких работах , в частности, Яхота и Сивашинского (Phys.Rev. 1987-V.35.-p.8I5). Идея., об отрицательности коэффициента диффузии диссипации впервые была высказана автором данной диссертации в 1983 году на Всесоюзной конференции по энергетике, океана и была опубликована в препринте [23 j-.

Во втором.параграфе главы показано, что из системы уравнений (1)-(3), в случае турбулентного .течения между, двумя плоскими движущимися относительно друг друга стенками, получается стационарное решение, имеющее вид:

л».' ... '-■„ = ——----, (4)

II.

•»«с,)

(5)

л

'мо совпадает с п шестым решением I фон Кармина [(Л7 I ода (.1 ЛеттмиИса! .Чет-1 [Л 7 V 4-р П 1),

У/ - полуширина канала, п.- определяется т сшивания выражении С>) с прие1епомной ло1 арифмичеекои <|)ункцисн вблизи сюнки канала

|де V -коэффициент молекулярной вязкости, относительная ско-росп. движения двух стенок относительно дру| друга равна 21' (' ч,1» -вюрая кокситы плоско! о лоырифмичсскою тираничною слои ')Ю1 закон сопрошвлепия еовнадас! с законом сопротивлении, полученным ДМ I оловипым из модели переноса турбулепгпон ВЯЗКОС1И (В кп 1урбуленшые течения М 11аука, 1977-с 23У)

13 фстьем параграфе рассмотрено безнапорное движение в цилиндрической щели, кшда одна из стенок смещается вдоль образующем цилиндров И )1 ом случае задача свелась к решению одно! о нелинейного дифференциальною уравнения относительно диссипации, решение котро! о не удалось паши аналитически. > /'-V, (V > 'Л, I') "

тле у- величина, пропорциональная диссипации т- /м./н.,,

к постоянная Кармана, /, - радиус внутреннею цилиндра, р- безразмерная пространственная координата, меняющаяся по ширине канала I />•/,/;,, - радиус внешнего цилиндра, м.,- скорость трении па поверхности внутреннею цилиндра, на границах задаси-и т ииерболический профиль диссипации В силу ->гою задача решалась численно метдом установления. Далее по полученным в процессе редукции формулам были получены закон сопротивления типа 11ранд|ля-Кармана и решение для профиля средней (крупномасштабной) скорости Решение записиI только от двух констант плоскою пел рапичио! о слоя «■ и С Колее подробно задача рассмотрена в работе автора диссертации [6| На Рис 1 построен закон сопротивлении по модели

В четвертом иарафафе рассмотрено турбулентное течение 1 >и-лора-Купа между двумя вращающимися друт относительно друы цилиндрами ')ш исключительно важный гип течения для пзучепня турбулентности, поскольку ею относительно леч ко реализовать >кс-перимепылыю, а процесс турбулентною перемешивания осуществляется в относительно небольшом обьеме В этом случае по уравнениям модели (1)-(3) удалось получить аналитические выражения

и., М'и.Ь 1и -- - г

К ¡IV

(6)

для основных крупномасштабных характеристик-, турбулентности. ■ 11апболее просто выглядит стационарное решение для диссипации:

____• (у)

для радиальной скорости. и имеем следующее выражение: н(с/)/(К</) = -4лгл- '('/;,'-I) 11в(( ' Ксг(</ - 1)/(г/„ - I)) I-1 (8)

где

I

где Ле = Ух(Ь-а)1у - число Рейнольдса, (/=■/■/«, </„ - Ыи отношение радиуса внешнего цилиндра к радиусу внутреннего цилиндра, 2-и'т/Ух - безразмерная скорость трения па внутреннем цилиндре, ;/*, -скорость трения па внутреннем цилиндре, К,-линейная скорость вращения внутреннего цилиндра.

Закон сопротивления типа Прапдтля-Кармапа получен автором диссертации в следующем виде:

Лг/„н>л- '('/,1 - О 'Л + ч'жк 11п(0/Д(Л - ч)!у) + ч'мк ' \х^Сн^{Ь-и)1у) =

= К . ' ' (Ю)

где У-г- линейная скорость вращения внешнего цилиндра-(прсдпо-лагается, что цилиндры вращаются в противоположных направлениях или один из них покоится ), - скорость трепия па поверхности внешнего цилиндра, предполагается также, что справедливо соотношение и'„а - »'„/'(следующее из сохранения углового момента); ■||1

./„ - |(/л-|гсо8<.ч[/г(л-' -- - I)]- - |)(4/г) '(*-!) '-(</,!-"Х^) 'х

I

х'/оЧ</|.-О"')- (II)

Проведенное сопоставление с экспериментами показало очень хорошее согласие с экспериметальными данными по профилю средней скорости с данными Смита иТаупсенда (-).Р1шс1 МесЬ. -1982,у. 123.р.187), и. для закона сопротивления с данными Вёндта при вращении только внешнего цилиндра (йщ.-ЛгсЬ.-!933-У.4,-р.577) и К.П.Устимеико (Процессы турбулентног о переноса во вращающихся тсчепиях.-Ллма-Ата.Наука, 1978), с данными других жеперименгаторов согласие хуже, особенно по закону сопротивления с данными Тэйлора (Proc.Roy.Soc.-I936-V.A157-P.546). Можно ' показать, что в пределе узкого зазора полученные решения сводятся к решению Кармана для плоского-турбулентного течения Куэтта •, поэтому эти решения можно назвать обобщенными решениями Кармана. Сравнение предложенной автором диссертации теории и экспериментов других авторов представлено в таблицах.

I лблицл I 'Зависимое м> -жснернмсн ыльпых данных Лафронл и др ( J I-luid Mecli - 1992 Vol 12 p 6300 ) бе «размерною момент силы tí, записанною в бтра«мерном виде, or числа Рейпольдса Re -//,(/> -</)/v при вращении только внутреннею цилиндра , oi-пошение радиусов цилиндров а/Ь- 0,7253 :_

Re (ie\p (¡llieoiy

1 ООО 4,0 X 10' 1.0 < 10'

I00Ü0 8,4 v Н)ь 5,4 * 10'

100000 4 2*10* 1.1*10"

1000000 2.7 v 10" 2,2 * К)1"

|де(> ко >ффпциеп i coripoi пвлепня i, 2 nl,U'tll, I)

Таблица 2 Распределение средней скорое) и U по ширине капала

по жспсрпмсп iajii.in.im данным Смит и I аунсснда (1 1 'liiiil Mecli

1082 Vol 123 Р 187 ) и по leopiiH ais юра днсссртпин для числа

Рейпольдса Не <5,01 - К) ', ошошепне радиусов цилиндров а/Ь—2/3

(i-a)/(b-a)

0,187 0,448 0,43

0,118 0,425 0,41

0,449 0,405 0,40

0,579 0,391 0,39

0,708 0,373 0,38

0,84 1 0,356 0,36

0,907 0,345 0,34

Таблица 3. Экспериментальные данные-Уетименко и др. (У отмен ко Б.1Т. Процессы турбулентного переноса во вращающихся течениях.-Алма-Ата: Наука: 1978:) и по теории автора диссертации для коэффициента сопротивления с - 1ов,„(г2//>//?*), гг- напряжение сдвига па внешнем цилиндре, />- плотность жидкости,,Уг - линейная скорость точек ■ боковой; поверхности'внешнего ¡цилиндра, отношение радиусов цилиндров а/Ь=0,75, число Рейнодьдса ~иг(Ь-а)1у, V - коэффициент кинематической молекулярной вязкости,,вращается только внешний цилиндр.

log,',, Re3 i^pxp

4,04 -3,27 -3,46

4,36- -3;52 -. -3,5!

4,53 -3,50 -3,55

4,64 . -3,53^ -3,58

4,75 ■ ■ -3,54 , -3,59

По-приведенным-данным можно отметить хорошую согласованность теории автора данной диссертации и экспериментальных данных - других исследователей.в случае турбулентного точения Тэй-лора-Куэтга;- особенно'учитыиая, что теоретические формулы ангора диссертации содержат только две константы Прандтля-Кармаиа плоского турбулентного пограничного слоя,« входящие в логарифми-ческий.закон распределения' средней скорости.

В; пятом параграфе исследован закон, сопротивления (10) в пределе очень больших.числах Рейнольдса. Автором диссертации показано в этом-случае , что в-рамках предложенной модели закон сопротивления в случае вращения только внутреннего цилиндра имеет следующий простой вид;:

.-.... пг™:<'\ .' t (12).

где с, -коэффициен т сопротивления. Этот закон сопротивления хорошо согласуется с данными Левиса и Суинни (Pliys.Rev. Е. 1999-V.59-p.5457) и имеет преимущество перед недавно опубликованным близким, по характеру законом Дюбрюля и Херсанта (The Eur.Phys J.-2002-v.B26.-P.379), поскольку последний имеет одну подгоночную константу. Сопоставление данных теории автора диссертации и экспериментов Лёвиса и Суинни приведены, в следующей таблице:

Таблица 4. Зависимости безразмерного момента силы G oí числа Рсйпольдса (Re) но экспериментальным данным Левпса и Су-И1Н1Н (онюшение радиусов цилиндров раино 0,724, вращасзся юль-ко внуфешшй цилиндр)(/„п , 1еоре1Ическо1 о момеша (;„,,,„ но модели авюра ;iaiiiioii диеееркшпи и асимнioiическшо момеша <> при Re > ч> но М1>дели ли юра дисссртшш

Re_f^__(L

I О4 4.0x 111" 5.4x10' J.SxIO'

1С)' 3,0x10" 3,3x1(1* 2, ix Kl*

10" 1,4*10'" 2,2 * Kl'" 1.4x1(1"

И iiiucioM iiapaipa(|>e исследован случай развит! о iyp6v:ieiii-iioio (ечемия it крутой ipy6e. Как и следовало ожидал., eouiaeiie с icopneii и жеиериметами, и частости по полю диссипации окам-лиеь не удоилсшортельпыми Причина окно, по мнению au юра, в спошаппом нарушении цилиндрической симмсфнп Хот в целом система буде! статистически сохранять симметрию, нанизываемую iеометрией ípaimu, однако для каждой реализации турбулентною поля или на коро1ком нромежузке времени следует ожидазь нарушение чюи снмме1рии Являек'я сутесюенным и как осредпяп. удельную скорое(ь диссипации турбуленгной jnepiии Если осреднение нош1мас1ся как среднее но пекоюрому просзрапспзспному обьему, как и в данной лисершиии по объему с линейным маенпа-бом равным ипте! ралыюму масштабу турбуленшост, то в поддержку ппкнезы локальною баланса можно привести мнения Чарльза Меневе и соавторов (Ihggiiib Ch , Parlange MB ami Ме-neveaii Ch linergy dissipation in laige-eckly simulation dependence он How stiuctiue and ellects of eigcnvectoi alignments In "Tuibulence and convection Scientific mspiiation by Douglas K. Lilly" Cambiulge Canihiulge UniveiMty 1'iess 2004 ) Couiaciio Мспеве и др , если масштаб осреднения попадает в инерционный интервал, ю справедливо приближение локального баланса порождение 'шерши турбу-леншосш равно ее вязкой диссипации (11редпола1 аеюя, чю нелинейные члены в уравнении баланса дают нулевой вклад, поскольку они входят в дивергентный член) А интегральный масштаб, как из-пссшо 333 современной концепции турбуленшост, зт верхняя i paulina инерционною интервала со сюроны больших вихрей

В Hieibeü главе проведена апробация предложенной обобщенной модели как крупномасштабной модели npocipaiicnicnno-времешкно хаоса дли случая плоского течения Куша Из-за слож-

и ости поставленной задачи (жестко-неустойчивый характер, дифференциальных уравнений) и из-за. отсутствия достаточно . мощного компьютера расчеты носили ограниченный характер.

• Макроскопические переменные,вблизи стенок канала считались постоянными вплоть до длины L -y/U. .

В первом параграфе главы исследовалась динамика крупномасштабного поля диссипации на крупной разностной сетке (задача становится некорректной при измельчении сотки из-за предполагаемой отрицательности 'коэффициента-диффузии диссипации ) но направлению от стенки - канала в предположении- постоянства ноля крупномасштабной скорости:

d,D = f [D(l -О- дУ>) cosli £ - (3{ D)1 cosh f - 3DD{Ds\n £] , (13) где <J - In/¿>(f (2-j)) преобразование "гомогенизации", растягивающее область вблизи стенок канала и является авторским обобщением для -плоского, течения Куэтта известного (преобразования Био-1Сармапа:для плоского-логарифмического турбулентного слоя. , величина D - э то безразмерная диссипация:. /://:„, где /;„- решение Кармана для плоского течения Куэтта, Ii-полуширина капала. Уравнение (13) исследовалось па крупной разностной по.пространству сетке. Анализ линейной устойчивости уравнения (13) около решения-Кармана (D=l ), проведенный с помощью расчетов, детерминантов Рауса-Гурвица, показал наличие устойчивости. При измельчении сетки система становится линейно неустойчивой.-Таким образом можно говорить, об явлении саморегуляризации, хорошо известному в теории некорректных задач математической физики. При увеличении числа Рейиольдса,,число устойчивых мод медленно растет приблизительно прямо пропорционально-логарифму числа.Рейиольдса (In Re),из-за уменьшения динамической длины /. .

Во втором параграфе исследована динамика крупномасштабного поля скорости в приближении постоянства крупномасштабного поля диссипации. В этом случае уравнение, модели имеет следующий вид:

(■),/•• = — cosh(л-1 Л) 1 - ... . (14)

2 л*

где /•'(£;/) = (!-('„ , где (/- компонента крупномасштабной скорости, направленная' вдоль''направления движения стенок капала, 1)„ = £/*•- решение Кармана в преобразованных координатах. Уравнение (14) исследовалось численно методом конечных областей, числр областей было равно максимальному числу устойчивых мод диссипаций.- При построении маломо'довой динамики учитывалось наличие'у уравнения (14) закона сохранения энергии и импульса. Расчет показал линейную неустойчивость уравнения (14). Это

указывает на то, чго для построения маломодового круппомасниаб-ною описания развитии турбулентности нужно учитывать и динамику крупномаспиабпой диссипации

В rpei ьем параграфе на крупной пространственной сетке исследовалась следующая сисюма уравнений

Р./' - ooslKÎJil.t/)/^ 1 I <\/-)| (15)

2 к

'V - - "" cosli(i) | I I | D - [/->(] 4 КГ).!- ) »^(/icuslif)] (16)

Иеследоваппе на липеиную уеюйчпвоеи., как и в случае уравнении ( I Ч) пока шло усшичивосп. peiHeinni Кармана на крупной eei-ке, и число TiHx уеюнчпвых мод росло примерно пропорционально величине In(Re), [де Re-число Репнольдса В отличие oi швесшою в физике принципа подчинения динамики устойчивых мод динамики неустойчивых мод, в данном случае динамика устичивых мод диссипации сделало устойчивой динамику крупномасштабного поля скорости Отметим, линейный .шализ устойчивости показал, что максимальное число устойчивых мод равно 14 при Re = 10' На более мелкой сенсе по npocipancuiy решение системы уравнении (15), (16) уходило на беекопечнос1Ь Эю ишерпрежровалось как псдооаючнос полное описание вихрен с размером nniei ральпо! о масштаба турбуленшоеж Феноменологически этот недосгаюк yci-ранялся в следующем napai рафе

В че!вертом napaipa(|)e в сис1ему уравнении (15),(16) добавлялись следующие члены малое!и но диссипации (можно привесш соображения, что для неоднородной турбулентности эта величина обратно пропорциональна ln(Re) в некоторой степени (но результаюм работ автора в кубе, у дру! их исследователей степень иная), а не посшянна как в 1сории Колмо1оропа-41 для ию!ропной турбулеш-hociи) В правую часп. уравнения (15) был добавлен член -a, ct)bli«)«7,!,(/J!cr:./' ) (17)

a в правую часть уравнения (16) был добавлен член

, (1,4)

где «,,«,- параметры модели, коюрые варьировались при проведении численных '»ксперименюв По своей eipyiciype эти уравнения близки по пилу к спаренным уравнениям Курамою-Снвашинского (ем , например, Ланда П С 11елинейныс колебания и волны M Паука, 1997), коюрые важны для исследований npoeipaiioiueii-по-в|)емеппо| о хаоса

Chcicm.i уравнении (15), (16) с дополнением (17), (18) исследовалась на равномерной upocipaiiciBeimoii сенсе при небольшом числе узлов из-за больших jaipai машинкою времени ( В деисши-

icjii.iiociii, шсилон - модель турбулентности автра данной диссертации как п дру| не круппомаенпабные модели не обязаны давать адекватое описание турбулениюсти на пространственных маснпа-бах, меньших чем ишегральный масштаб турбулентноеги L , где более адеквашым представляется использование моделей типа Сма-юринекою с сильной зависмостыо подсеточных напряжений Реи-польдса от масинаба 1, ) 11ри числе узлов равных 6 (соответственно сис!ема и» 12 обыкновенных уравнений) при числе Рсинольдсл Re 3000 и значениях параметров «, = о,1,«г = 0,1 в cucicmc был обнаружен детерминированный хаос ( при некоторых других параметрах, ык же наблюдался, по-видимому, детерминированный хаос) г)п> было установлено расчетом старшего показателя Ляпунова (см Рис 2) Решение оставалось отраниченным па всем расчетном промежутке времени и не выхолило на стационарную точку , отвечающей решению Кармана Расчет жесткой системы (15)-(18) исследовался автором модифицированным меюдом Гира из библиотеки протрамм па Фортране NAG -8 Жесткость системы обусловлена разными характерными временами оборота Jiiepiосодсржашнч вихрей в направлении от стенок канала Программа расчета старшею показателя Ляпунова строилась автором диссертации по алюршму 1>спепипа и др (Мессашса-I980-V 15-NI -р У) и тестировалась по извесшои системе Лоренца Спектр мощноеiи крупномасштабной скорое 1 и рассчитывался с помощью быстрого преобразования Фурье и оказался сплошным в рассмотренном случае.

В пятом napai рафе обсуждается сравнение с 'женернмешамп, экстраполируя результат на круговое течения Тэйлора-Ку и та, считая канал узким В результате можно сказать, что модель позволила а) продемонстрировать способность воспроизвести детерминированный хаос, наблюдаемый в экспериментах Голлуба и Супнпи |PhysRevLel 1975 V 35-р 927), б) объяснить маломодовоегь крупномасштабной динамики, наблюдаемую в экспериментах ßpamicia-тер и др (РЬуь Rev I.ctl l983-V5l-p 1442), 13) воспроизвести широкополосную компопепIV спектра скорости женеримеша Ьоуабдал-ла-Котпе (l.aiiiinai-1 uilnilent '1 lansHioii / edited by R Lpplei and 11 Fasel Beilm. Spimgei-Veilay; 1980) К сожалению, тз двух последних пунктах было доститнуго лишь качественное соитасие с экспериментами

В четвертой тлаве выводятся новые уравнения для мелкомасштабных поляризационных компонент скорости В первом napaipa-фе дается мотивация исследования Во втором riapai рафе дается вывод для мелкомасштабных поляризационных компонент скороеiи Автор диссертации, следуя Г Ь Скворцову (Вестник ЛГУ-1979-N 13-е 34), отказался от общепринятою предложения Праудмепа-

Бэтчелора считать среднюю скорость турбулентного потока линейной: при рассмотрении-динамики.пульсаций в пользу ее постоянства ; как и постоянства:градиентов крупномасштабной скорости. Это удобно по двум соображеням: постоянная скорость не дает фиктивных фурье-гармоиикгв.мелкомасштабное движение, а также возможность использоваиия>преобразования.Фурье (или рядов Фурье) . В результате такого подхода нелинейные члены для динамики поляризационных фурье-комиопент мелкомасштабной скорости сохранили стандартный вид, как* и для исследования изотропной турбулент ности, а,линейные .члены, описывающие взаимодействие с крупномасштабным полем скорости определяются собственными числами.*, , полученными автором диссертации в виде: (

Лг = ±^[г/-(р)]:+|//[(||х5)г]г^(..-П)! ', (19)'

где единичный .вектор' п=к/к, к- волновой вектор, тензор С имеет компоненты' • Г', ^тензор скорости деформации крупномасштабной скорости 8 имеет вид: +0,11,), ¡=1,2,3, ¡={,2,3.

крупномасштабная завихренность :П = га/и, И- крунномасшгабноеполе скорости, 1г- след тензора.

Сами уравнения для поляризационных компонент скорости имеют следующий вид::' • • •■ (Д, + .¿V = + (В У" |11г1Ф'«"-(ВиГ(р,/)(Ви)/'(ч,/)

Здесь к, р, с| - волновые.векторы, три декартовы координат ы которых принимают, следующий» ряд значений: к11\,ц1~=±2т11где ¡=1,2,3; 11=1,2,3,4,..; Ь- масштаб,, разделяющий мелкомасштабное и крупномасштабное движения;; верхние поляризационные - индексы а,р,ухЛ принимают значения. 1 и .2; V- коэффициент кинематической молекулярной вязкости; и — двумерный поляризационный, вектор мелкомасштабной скорости;; О*"*^-'¿„¿-¡Чк^ОО^'^), где е'.Е7-нол'яризациоиные векторы, ортогональные друг другу и вектору к .

В третьем параграфе рассматривается приложение выражения. (19) ддя моделирования большими вихрями. Хотя максимум значения величины Л, по всем .направлениям в спектральном пространстве не удается получить в общем виде аналитически, именно оио определяет рост наиболее, неустойчивых мелкомасштабных мод^ и следует -ожидать, что именно эти моды достигнут максимального квази-. равновесното уровня и-дадут максимальный вклад в гюдсетЬчные напряжения Рейнольдса. Таким образом, вместо параметризации Смагоринского мы имеем нетривиальную комбинацию тензора ско-

роет деформации круппомаенпабной скорости и круппомаеппаб-иои завихренпоеш, причем харакгер вхождения завихренноегн указывает на уменьшение ею взаимодействия крупномасштабных и мелкомаеппабных компонент скорости В этой параметризации так же учитывается ориешация вектора круппомаенпабной завихренно-с 1 и и по опюшению к ишвным осям тензора скорости деформации крупномаецпабнои скорости Б. Таким образом, предллтося следующая параметризация коэффициента подсеточной турбулеш-нои вязкоеш у, - с,/ мычи, , где с, - некоторая копешны, анало-зичная постоянной (_ма!оринского , Ь- масштаб, разделяющий мелкомаенпабное движение и крупномасштабное движение, при использовании конечно-разпосшых методов Ь - шаг разностной сежи но просфансшсппым переменным в декартовой спосмс коордип.п. шах Л, максимум величины Л, по всевозможным направлениям волновою вектора К. ')]»! максимум являе1ся некоюрои сложнои функцией инварнапюн 1епзора N и вектора завихренное!и П ')ю1 инвариаш можез оьнь назван злавпым инвариапюм 1ензор.1 градиента крупномаеннабной скороеIи, так как именно он определяв динамику наиболее неустойчивых в линейном приближении мелкомаеш 1абных компонент скорости, вклад которых в подееюч-пые напряжения Репнольдса, как следует ожидап., буде! максимальным В отсутс1вии крупномасштабной завихренности шч инвариаш сводиюя к Л, - наибольшему собснзенному числу снм-мефичною !ензора N.

В чс!вергом парагра(|)е приводшея сравнения с иарамефиза-цнями ко¡ффициета (урбуленгиои вязкости других исслсдовагелей , учшывающими крупномасштабную завихренное п. 1101 ока

В пятом пар<п рафе дается вывод упрощенных уравнении в спектральном прост рапс г ве, счшая, чю основной вклад в характе-риешки мелкомаеппабпои турбулентности иде! от области спек-фального проетрансюа вблизи наиболее неустойчивых мод Для примера рассмотрен случай просюго сдвига, когда отлична 01 пуля еднпс1 венная компопеша 1епзора 1р<1диеп1<1 крупномаеннабной скорое!и .V -чу/, В ном случае Л, = ^шСгАЭсчч'// , Я, - О Величина А, припнмае! одинаковое максимальное значение в двух 1 очка ч О, -/г/4,//, и и О, - 5л7'1,>/; о О! рапичиваяеь несколькими членами ряда Ченлора разложения функции Л, вблизи эшх ючек,

получас юя следующие разложения Л, -^11-2(0- 0,) (;/ //,>'1 , |дс

1-1.2

Соопзеюпзенпо, расклады вакнея вблизи эшх ючек шемешы м.прпц И II И1, коюрые онредеиякмея собетемными вскюрамн

матрицы А : а"' = , где верхние индексы пробегают значе-

ния Ти 2; а нижние 1,2,3. 'Элементы-матрицы; В"1 равные />,,* -1I V1. <>г1 = | + '/г,К^Кч-Н'Ш-ЯР-О,) ],

'Для максимального упрощения уравнений для мелкомасштабной скорости необходимо, упростить коэффициенты ФяЯг при. нелинейных членах. Следует напомнить, .что эти коэффициенты зависят: от трех волновых векторов к , р , <| (. р+Ч =к ) , которые имеют волновые координаты соответственно {к, 0к,) , (/.»,0,',»/,). (</,&:,.'!,,) Имеют место следующие разложения:

°.,= + ~+-4) ; //, = •

*-/' ' /1-Г'- " 1 \к-1>\" \к-Р\" Следуя принципу подчинения Хакена ( Хакеи Г. Синергетика. М.: Мир, 1980.), можно положить устойчивые и нейтральные ( и рассматриваемом случае) моды и1 =0. Вблизи самых неустойчивых па-правлений,, как следует ожидать,, наибольший вклад дадут нелинейные члены с коэффициентами:

Ф».-«№-2-АО;-0Д Ф'» *-/*(——//. "ГГ—'/,-'/,)- .

р-к \к-р\ \к-р\р

остальные коэффициенты Ф"'1'' являются полиномами болеелн.юо-кого. порядка по отклонениккугловых переменных от .наиболее-неустойчивых направлений. Осуществим переход: (2,г//.)'2к... > J...</'/< .

В: результате получается ицтегро-дифференцналыюе уравнение относительно неустойчивой переменной и' :., • ,

(д,,+ i*V = Д,„• +«(—)-' ]p2dp*¡соъ,ir<J>!pjJO^u'(p),/(q),

' П ■ 2«/t -Я/2 e^

где sfp e . -соответствуют неустойчивым направлениям,

Л = -_iL-(0t -ot)---!'- -{0e -(),) + (гг—- ->h )y-

к-p • fc~ ¡> ■ \k-i>\ \k~p\

, k t> \

Отметим, что, вводя "полусферическую" систему : координат [3];, можно ограничиться разложениями лишь около одной*из двух; точек на поверхности единичной сфере. Функция и1 в виде :

= >'„(k.0 + c(k,/Xfft -в,)1 +</(k,t),Az +/{к.1),,Ж ' '

и соответственно:

п к

"(</.",.'/,.') I'M.I) ' <(</./)[— 4)1,— 4>Г '

p -к к - р

I /< РI I к - /i | ' V к к - р

k'h РЧ, I* РI

Подставляя полученные разложения п приближенное уравпе-ние для неустойчивой поляризационной компопеты и' и выполняя необходимое интегрирование по угловым переменным и приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях угловых переменных '/, тт {Dt О,) , получается система из трех (III) нелинейных iiiiiei ро-дифференциальных уравнений относительно неиз-Bcciiii.ix функции n„(k,i),i(k,i).i/(.k,i) ( из уравнения для / слсдуе!, что / - о ) Полученная система 'здесь из-за т ромоздкосш не приводится Отмсшм, чю полученная система несколько упрощается, если сс привести к безразмерному виду, осуществив переход к новым -зависимым и независимым переменным к - к/. / 1.SJ) с//(Л'/,),Г - M„/(.VA),r = t/(.S7.)

В результате вместо коэффициента молекулярной вязкости появится сеточное число Рейнольдса 1 l-.сли еще ввести

новые переменные <! - Dlk'.Q = ('/к*.!' = V Ik2, то полученную систему можно еще более упростить, избавнвшись от одномерных вол-новых'чиссл в знаменателях уравнений

(<\ I - 'М2т) Г\Ш\^НР)НК - /')/" I

т 4,fi,Q(l')l-(K - /')/'" 4 ,Т «,/"<;(/')/■ (К ~Р) т «,/;?,/>"/• (/'ХМ" /') I . «./У'ЧД/'ХДК - Р) h tr,/!,/'"'(,(I>)(J(K - I') + ~u2P'¡- (/')(¡(K P) i

t //,«,/""(./(i')i¡(K - P) i /""(;(/')(/(A' -/') ,

(,•,-. -i-К; - + /' = IK(2я) 1 f [--a,l''-F(P)Q{K - P) + Re, 2 _J|,1 2

' aWQ{P)Q{k - /') ) |a.P\l(P)Q(K - /')]

(/), + -—A'2 --)K4¡ i - h - IK(2JC) 1 Jl^«,/'"/- (/'){/•( A'-/') I aJ)P' X Ret 2 2 n 2

vQV'YKK /')" - aJ"<¡U'y¡(K - /')] ,

где а, яг 0,93;«, « 0,96;«,-«» Ц29; Д « 0,32;/?, « 0,12.

Очевидно, что полученная система из трех (1 + 1) уравнений требует;меныних затрат времени компьютера, чем (3+1) система для мелкомасштабных компонент скорости. Отметим, что можно воспользоваться разложением и второй поляризационной компоненты мелкомасштабной скорости (около того же наиболее неустойчивого направления) 'обеспечивая изотропизацию процесса.

В шестом параграфе эти уравнения, используя свойства преобразования Фурье'сводятся» к системе трех (1+1) мерной системе дифференциальных' уравнений••; в модифицированном (физическом пространстве' с присутствием нелинейностей,- содержащих высокие производные по пространственной переменной. Решения этих уравнений приближенно определяют величину подсеточных напряжений Рейнольдса, Оправданием приближения служит сохранение свойства: анизотропии мелкомасштабных компонент скорости турбулентного потока даже при очень больших числах Рейнольдса , обнаруженное Шепем и Уорхафтом (Р11у.О'1шс1.ч.-2002-\'.8-Ы Г1-р.З I 12).

(0,. --!-£>'< -ЬО!(Х = (2Л-) + и^лцг + + а^г.г.х -

^ ¿л

и, дгеУ'Г - а^Уа'17. - Д«^"/ --а^'Л).

(0Т= (2.ту\Э,(-~а1У-о.Х -1-«,Д2Г/.Г,

где Ф(/"> = ЛГ(£/).- Ф(£>) = }4£.0. Ф(«) = 2(^,0, £е[0,1].Ф- преобразование Фурье. Постановка граничных условий требует специального рассмотрения.

В седьмом параграфе дается детальный вывод уравнений баланса энергии-турбулентности в спектральном пространстве в случае присутствия градиентов крупномасштабной скорости, что важно для построения дальнейших аппроксимации.

В; восьмом параграфе приводится линейный анализ устойчивости турбулентного . потока с произвольным видом тензора-градиента крупномасштабной скорости. Делается вывод, что любое такое крупномасштабное течение становится локально конвективно неустойчивым относительно динамики мелкомасштабных вихрей при достаточно больших локальных числах Рейнольдса (определяемого по масштабу разделения Ь), за исключением случая чистого вращения, что и объясняет живучесть областей с большой завихренностью - ядер когерен тных структур.

11 nsiion тлаве рассмотрена новая обобщенная мидель 1 l.mi.e-CioKca-lnopi epca

IJ первом нарат рафс указывается мотивация построения модели, обусловленная трудностью решения уравнении для мелкомасштабной (пульсациоппоп) компоненты скорости Во втором парат рафе точные уравнения для пульсации ¡аменято1ся модельными уравнениями Линсипая часи. иих уравнений является точным следствием уравнении 11авье-Стокса, а нелинейные члены воспроп з-водя! нелипеппости одномерною уравнения ISiopiepea, чю позволи-ет юворить о модели как об обобщенной модели Иавье-Стокеа-Ыорт ерса

((', Я (О i/)" >АУ1Г{/>)иг(Ь />) (20)

|де w Ни, W- двумерный вектор обычных поляризационных компонент мелкомасшiабноп скорости, матрица В и собственные числа Я,,Я, определяются тензором традиеита крупномасштабной скорое i и, в ;/ -утлы в сферической системе координат в спектральном пространстве, для данной модели они являются варьируемыми параметрами задачи. рассматриваются только те направлении в спектральном прое i panel не, определяемые 'ними у|лами, которые cooi-Beiciiiyioi положительным шачениям A},A, 1 lo jipyi им направлениям компоненты скорости nojiaiaioicn ранними нулю 1! фн ¡ическом пространстве уравнения модели имеют одинаковый вид

i"1,« I )/Л/1 Ли I ц->\ и , (21)

но орти пнальное уравнение Biopiepca , тде £ > [и I | 1,- масштаб, р.иделяющтш мелкомасштабное и крупномасштабное движения Для определенности считаем, как и Kiopiере , что /f(i>) «(/) " Фп-шческн модель представляет m себя систему не взаимодеис!вую-щих друт с лруюм нелокальных каскадов жертии Как показал (портере , уравнение имеет конечное число стационарных решений Xoih все эти решения можно представить в аналитическом виде, особенно простои вид они имеют в случае больших локальных числах Реи-нольдса Re,_ - M:lv-> » 1тим случаем автор диссертации и oipa-пичился Каждое из стационарных решений ;iaei paim.iii по величине вклад в спектры niepi пи турбулентно из Решение дающии наи-болт.шит'т вклад в спектр и удовлетворяющее условию

/ 1 f и,/¿ о

(22)

можно записать тз следующем виде

"н t"? 1и:ш1КЛ(/ 2í)/(8i'))|

(21)

В обозначениях ангора'диссертации, коэффицисптььряда Фурье по синусам, можно привести, следую Нюргерсу, к следующему »иду:

"в(/?).~ • и,'и}~Р'„, , ' где р=1,2,..., однако здесь, Л,Ке,,„. за-Кс4-8ш1|(8я- /»/Ко^.)

висят от тензора градиента крупномасштабной скорости и двух углов в спектральном.пространстве.

В третьем параграфе даются формулы для построения трехмерных и одномерных спектров подсеточных напряжений; Рей-нольдса.

В четвертом параграфе для случая однородного сдвига получены в явном-виде трехмерные и одномерные спектры подсеточных напряжений Рейпольдса итюдссточной энергии турбулентности,-

В «пятом -параграфе ' методом перевала для двукратных интегралах по угловым переменным получены асимптотики одномерных спектров подсеточных напряжений Рейнольдса в. области очень больших волновых чисел. Компоненты имеют в целом разные пре-дэкспоненциальные множители с экспонентой :

ехр(-1^-) ; ' где .V »»),(/("- единственная компонента тензора градиента крупномасштабной скорости, отличная от нуля. Такое поведение в целом соответствует экспериментам и некоторым известным моделям турбулентности.

В шестом параграфе рассмотрено поведение спектров в случае малых волновых чисел. В этом случае все спектральные компоненты

ведут-себя пропорционально множителю: --—г, не очень сильно

1 + (а£)

отличаясь при не очень малых к. от Колмогоровского спектра к'5".

В седьмом* параграфе, приведены численные расчеты спектров во всем , диапазоне, волновых чисел. Из-за трудностей сравнения спектров на основе метода моделирования большими вихрями, результаты модели были сопоставлены с известными опытами; Сад-дофи и Вииравалли(.Шшс1 МесН.,1994-у.268-р.ЗЗЗ) для. однородного сдвига. В целом, не смотря на исключительную простоту предложенной модели, можно говорить о качественном согласии в спектральной картине. Основные.расхождения связаны с двумя обстоятельствами. Во-первых, имеются трудности в выборе масштаба разделения Ь . Если величину этого масштаба оценивать по минимальной частоте пульсаций в эксперименте с использованием гипотезы Тэйлора для связи частоты и величины-волнового вектора!'то данные модели дают заниженные данные но энергии пульсационного движения (см. Рис.3 и Рис.4). Если этот масштаб оценивать как ве-

личину Hinei рольного масштаба по формуле. L = лу, гле к - о,4- по-сюинная Кармана, у- расстояние 01 С1енки потока, го величина под-се[очини »перши окашвае1ея сильно завышенной Во-вторых, расхождение связано с пекоюроп icmiciimicii к изофопнзации процесса при увеличении волновых чисел к г)ш и не удившольно, поскольку 1спдснцпя к п зофопизацни обусловлена в ншмодейс! впем двух поляризационных i армоник между собой, однако с ючки зрения нодееючпою моделирования, наиболее важно воспроизведение вклада в спектры наиболее крупных вихрей, не разрешенных на данной расчетной сетке, при произвольном виде lemopa 1радиенга крупномасштабной скорости, а это достигается в модели Модель 11авье-Сгокса-Бюргерса, на взгляд автора, имеет преимущеензо перед Miioi озонной моделью каскадшно процесса для неоднородной |урбулеп1пос1п В С Львова и др (Pliys Rev.li 2003-v 68 -р 46308) за счс1 своей iipocioii.i и способнооыо получить явное выражение для спекфов Реипольдса в случае ква знодпородпой апизофоппои iyp-булентности

В заключении, дасюя кразкая сводка основных результатов днесерзации и ее практического использования В частости, ре-зулыаты диссертации уже нашли применение для описания процессов перемешивания в iy|)6yjieiiiном течении Куита ипосфаннымп ав юрами

1 Denny W D. ct al Revised Estimates of the Effects of Tiubulcnce on Fertilization in the Put pie Sea Uichin. //Biological Bulletin 2002 -v 2031' 275-277

2 Koeltiscli Y et al. Diag ieduction using suifactants i■ i rotating eylindei geoinetiy //Exp Fluids 2003 v 34-P 515-530

Работы авюра по 1еме диссертации'

1 Балонишников А М Закон сопротивления для турбуленшого течении Т-зйлора-Ку )i i,i при очень больших числах Реииольдеа //Журнал lexiHHiccKon физики -2003-Т 73 -Вып 2 СМ ЗУ-140.

2 Балоншш шков А М I [овое уравнение для поляри зационпых фу-рье-компоиеш мелкомасилабной скоросш несжимаемой жидкости в неизофонпой |у]}булентпости //ЖТФ 2003 -'Г 73 Выи К) С 36-39

3 Балонишников А М Упрощенное описание мелкомасштабной турбуленшости // ЖТ Ф - 2003 - Т.73.- Вып. 11 С 47-52

4 Балонишников AM Турбулентная вязкость и крупномасштабная завихренность в моделировании большими вихрями //Вычислительные технологии - 2003 -T8-N1 -С 33-38

п

5.; Балонишников A.M. Линейная неустойчивость сдвиговых течений, создаваемая мелкими вихрями. // ЖТФ—2005 - Т.75.- Вып. 2.- С.124-125.

6. Балонишников А;М. Турбулентное течение Куэтта в цилиндриче-.. ском зазоре.//Известия ВНИИГ им. Б.Е.Веденеева.-

1990- Т.221-С.97-100;

7. Балонишников A.M., Горохов B.J1. Одномерные уравнения мелкомасштабной турбулентности. //Изв. вузов .России. Радиоэлектроника.. -2003-Выи. 1 .-С.34-40.(Соавтору принадлежат соображения, указывающие на полезность модели для динамики атмосферы.)

8.' Балонишников A.M., Копыльцов А.В. Главный инвариант для иодсегочных моделей турбулентности. //Изв. Рос.гос.пед;уп-та имени А.И. Герцена: Ест. и точи.пауки, -2002- Т.2.№4-С.96-103. (Соавтор сформировал стиль изложения материала.)

9: Balonislinikov A.M. Extended .local balance, model of turbulence and . Couette-Taylor flow. // Pltys. Rev. E. -2000-Vol.61 .-N2. ' P.,I390-I394. .

' lO.Balonishnikov A.M., Kliartsiev; V.E. Dissipation 'model.and nonlinear problems ,in the theory, of- fully-developed turbulence. //NONLINEAR WORLD. Proc. of the IV int. workshop, on nonlinear and turbulent processes in physics. Ed. by* A O. Sitenko, V.E. Zakharov,.. V.M. Chernousenko. Vol.2, p,346-349. ( Автору диссертации принадлежит создание обобщенной: модели локального баланса и результаты численного ■ моделирования, Соавтору принадлежит истолкование результата г обнаруженного в модели детерминированного хаоса как уширение классического решения Кармана и стиль статьи.) I Г.Балопиишнков A:.Mi Квазиодномерный подход для задач экологии, связанных с турбулентной;, диффузией пассивной примеси. //Вест..ИНЖЭКОНа..Серия: Техн.науки.-2004-Вып.№3(4).С.117-122. 12. Балонишников. A.M..- Суррогатная модель. Навье-Стокса-Бюргерса;. для метода , моделирования большими в неоднородной турбулентности. //ЖТФ-2005-Т. 75 ,-Вып. I -С. 1 -4.

.13. Балонишников A.M.. Одиопараметрическая модель переноса удельной? скорости диссипации.турбулентной энергии как модель переноса турбулентной вязкости. // Вест. ИНЖЭКОНа. Серия: Техн. Науки.-2005-Выи. №3 (8).,С. 149-153.

14.Балонишников A.M. .Принцип подчинения параметрам порядка в турбулентности. //Фундаментальные, исследования в технических университетах. Материалы 1W Всерос. Научно-метод. конф.СПб.: Изд-во СПбГТУ; 2000- С. 64.

15 Ьалопишников Л М Сьписшческис сноемы и обменные корреляции// В кн CneieMi.i и методы авшмапиации научных исследований Под ред И М Пономарева -М ! У81 ,-С 35-47

16 Бллонишпиков А М Мллопараметрическая модель турбулентности // В кн Информационно-вычислительные проблемы атома ги-шции научных исследований Под ред ИМ Пономарева. - М Паука, 1983 -С 21-26.

17 Балонишннкои А М Одпоиарлметрическая модель неоднородной i идродинампческон iурбуленгносги //В кн Сиоемы автомаппа-цип в пауке и пропшодсте. Под ред ВМ Пономарева- М Паука, 1984 С 50-54

18 Палонишникон АМ Алыернл!ивныи подход к численному моделированию i идродпнлмичсской 1урбуленгносги // В кн Проблемы авюмаппацип научных и прон {водопойных процессов Под ред В М Пономарева -М Наука, 1985 С 42-45

19 палонишникон А М Обобщенное решение Кармана для крутво-ю течения Кутпл В кн Методы и системы автоматизации в ¡лда-чах науки и производива Под ред ВМ Пономарева - М Наука, 1986 С 62-65

20 балонишнпков АМ, Харциев В li Р.ичс! крупномаенп лбпо! о поля скорости развитою турбулентною течения Ку')тта //В кн Компыо1ер в помощь ученому и учителю Межву) Сб./Под ред ИВ Марусевой - Куйбышев Ичд-ио Куйбышевскою roe Пед unía , 1989-С-I 14-121 (Автору диссерищии принадлежи! идея peiy-ляри-ищии модели |урбулсигнос1и с использованием штрафных функции, а также численная и программная реализация меюда )

21 Ьалонишников АМ Крунномаснплбпое дол!овременное описание развитой |урбуденшоети //Диф ур с част прои{водными Межву i сб науч ip СПб Обраювапие, 1992 -С 97-100.

22 Ьалонишников АМ Динамический пропим и рлшити ¡урбу-ЛСНШОС1И //Млюршыы копф "Герценонскпе чюнин-95" Мсиема-пнеа и ннформатка -С 97-HJ0

23 Балонишпиков А М Инвариашное моделирование некоторых сложных систем - J1 1985 -16 С (Прспр. /ЛПИВЦ АН СССР, № 68)

2V

"Рис. 1. Зависимость коэффициента сопротивления от числа• Рейнольдса.

Cü 8Ü tau

Рис.2. Расчет старшего показателя Ляпунова (lyapl), ta« - безразмерное время.

3(1

ООООООООООООООООо^11'1"1' О

о

о

К И Li 1(1

о

Ь ''(I

■ I - - . I

(11 1

L0

100 ИНН) 11МКШ 1Ш11МИ) 1< ! 1К> t

Рис 3 Спектр /fM mmeei очною напряжения Реипол1.деа 1

1 -1—■—п-■-П-■-г-П-1-1 П-'-'~П-'-' П-'-'

ООООООООООООООООо^12'1"' °

1(12 If-IU

Ii -20

О

О

о

*J_ - ■ I

II L 1

10

100 1Ш11) 1011(10 1ШШ00 li'-IJfi í

Рис Л Спектр /í,,[ h.21 подееючио! о напряжения Реипол1.дс.1, I часты |Гц]

Подписано в печать .Формат 60x84 1/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная. ■ Усл. печ. листов 1,86. Тираж 100 экз. Заказ № 37.

ЦОП типографии Издательства СПбГУ 199061, С-Петербург, Средний пр., д.41.

Введение.

1. Обзор теоретических подходов к описанию развитых турбулентных течений.

1.1 Общая характеристика современных моделей развитой гидродинамической турбулентности.

1.2 Прямое численное моделирование турбулентности.

1.3 УравненияНавье-Стокса, осредненные поРейнольдсу.

1.4 Моделирование большими вихрями.

1.5 Детерминированный хаос и гидродинамическая турбулентность.

1.6 Другие перспективные подходы к описанию турбулентности.

1.7 Выводы по первой главе

2.0бобщение модели локального баланса и обобщенные решения Кармана.

2.1 Вывод основных уравнений модели.

2.2 Стационарное решение диссипативной модели для плоского течения Куэтга.

2.3 Безнапорное турбулентное течение в цилиндрической щели.

2.4 Крупномасштабность модели обобщенного локального баланса.

2.5 Модель турбулентности. Стационарность и несггационарность. 69 2.6.Развитое турбулентное течение Тэйлора-Куэтга между двумя соосными вращающимися цилиндрами.

2.7 Сравнение с экспериментами.

2.8 Закон сопротивления для турбулентного течения Тэйлора-Куэтга при очень больших числах Рейнольдса при вращении только внутреннего цилиндра.

2.9 Турбулентное течение в круглой трубе.

2.10 Выводы по главе

3.Несгационарное крупномасштабное моделирование плоского турбулентного течения Куэтта.

3.1 Феноменологическое уравнение переноса удельной скорости диссипации турбулентной энергии и саморегуляризация его разностной аппроксимации.

3.2 Об уравнении переноса импульса в приближении постоянства во времени удельной скорости диссипации турбулентной энергии.

3.3 Взаимодействие крупномасштабных полей скорости и диссипации в приближении локального баланса турбулентной энергии.

3.4 Регуляризация уравнений модели введением операторов высокого порядка по пространственным переменным.

3.5 Анализ проведенных численных экспериментов.

3.6 Выводы по главе.

4.Новое уравнение для мелкомасштабных поляризационных Фурье-компонент в анизотропной турбулентности.

4.1 Введение.

4.2 Вывод уравнений для мелкомасштабных фурье-компонент скорости в анизотропной турбулентности

4.8.2 Линейный анализ устойчивости мелкомасштабных поляризационных Фурье-компонент скорости в анизотропной турбулентности . 160

4.8.3 Анализ результатов и заключение .164

4.9 Выводы по главе.165

5. Обобщенная модель Навье-Стокса-Бюргерса для метода моделирования большими вихрями в неизотропной турбулентности 168

5.1 Мотивация постановки задачи . 168

5.2 Уравнения модели.169

5.3 Спектры напряжений Рейнольдса и энергии квазиоднородной турбулентности . 174

5.4 Спектры энергии и напряжений Рейнольдса для случая однородного сдвига. 176

5.5 Асимптотики одномерных спектров Рейнольдса в области очень больших волновых чисел .180

5.6 Поведение спектров в области малых волновых чисел. 187

5.7 Численный расчет спектров напряжений Рейнольдса и энергии.

Сравнение с экспериментами.191

5.8 Графики спектров энергии и напряжений Рейнолъдса 193

5.9 Выводы по главе 195

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.200

Список литературы. 208

ВВЕДЕНИЕ

Проблема описания развитой гидродинамической турбулентности остается одним из важнейших направлений исследований математиков , гидромехаников и физиков. Причина состоит, с одной стороны, в распространенности турбулентных течений в природе и технике, с другой стороны, в чрезвычайной сложности описания из-за неустойчивости явления турбулентности , возбуждения громадного числа степеней свободы среды и сильным нелинейным взаимодействием составляющих гидродинамических полей. Определенные надежды в решении проблемы турбулентности до сих пор связывают с увеличением мощностей будущих ЭВМ с соответствующим развитым математическим обеспечением , что позволило бы рассчитывать развитые турбулентные течения на основе исходных уравнений Навье-Стокса , справедливость которых для турбулентности разделяет подавляющее большинство исследователей в настоящее время. Однако, представляется маловероятным , что учет всех возможных степеней свободы, для которых необходимо задать начальные условия , одинаково важен для расчетов развитых турбулентных течений . Косвенным указанием на это обстоятельство является наличие универсальных закономерностей в развитых турбулентных потоках , одни из которых справедливы для всех развитых турбулентных течений в соответствующем диапазоне масштабов ( закон

Колмогорова для инерционного интервала), другие справедливы для некоторых классов течений ( логарифмический профиль Прандтля для скорости, локальный баланс энергии турбулентности и т.п.) [113,114]. По-видимому, чтобы вышеуказанные закономерности проявились, необходимо, чтобы развитая турбулентность отличалась коллективным поведением , при котором динамика системы существенным образом определялась бы взаимодействием относительно небольшого числа степеней свободы -"коллективных мод", а динамика оставшихся мод носила бы пассивный характер. Этот подход соответствует , в целом, подходам бурно развивающейся науки -синергетики. В диссертации автор явно использует метод Хакена [156] для выделения параметров порядка- неустойчивых мод для пульсаций скорости с предварительным переходом к поляризационным компонентам скорости , широко использованных Дж.Ли [315-317] для анализа изотропной турбулентности . В целом, нахождение таких коллективных мод в произвольных развитых турбулентных течениях представляет сложную нерешенную задачу.

Следует отметить, что огромный вклад в развитие теории гидродинамической турбулентности внесли и вносят такие российские ученые, как А.Н. Колмогоров, A.M. Обухов, М.Д.Миллионщиков, JI.B. Келлер, А.А. Фридман, Л.Д. Ландау, А.А. Предтеченский, В.Ю. Юдович, М.М.Сущик Б.Л.Рождественский , А.С.Монин , А.М.Яглом, С.С.Зилитинкевич,

О.М. Белоцерковский, A.M. Опарин, В.М.Чечеткин, Б.И.Давыдов , О.А. Ладыженская, Е.А.Новиков, М.С. Дубовиков, А.Н.Секундов, В.С.Львов, В.В. Новожилов, В.А. Павловский, В.Е. Захаров , Е.А. Кузнецов, Б.П. Устименко, М.А. Гольдштик, В.Н. Штерн, Н.И. Яворский , А.С. Гиневский, Е.В. Власов, С. Назаренко, П.С. Ланда , Ю.Л. Климонто-вич, В.В. Струминский, Ю.В. Лапин, М.Х. Стрелец, Е.Б. Гледзер, Ф.В. Должанский, Л.Г. Лойцянский, А.Н. Васильев, Л.Ц. Аджемян, Н.В. Антонов, Я.Б. Зельдович , Г.И. Баренблат, Д.В. Чаликов , Б.Н. Коротков, A.M. Головин, В.И. Воробьев, А.С. Гурвич , В.И. Татарский, Г.Н. Абрамович, А.В. Гапонов -Грехов, А.Д. Гиргидов, М.И. Рабинович , А.Л. Афендиков, В.Н. Жигулев , К.И. Бабенко , В.Б. Вагер , Б.А. Кадер, Э.В.Теодорович, Ю.С. Качанов , В.Я Левченко, В.В. Козлов и многие другие.

Автор перечислил тех ученых, чьи работы так или иначе оказали влияние на развитие своих собственных подходов к турбулентности. В данной диссертации автор предложил подход для выделения коллективных мод лишь к части развитых турбулентных течений , а именно, приближенно удовлетворяющих локальному балансу энергии турбулентности, что сответствует течениям с большими градиентами средней скорости. Не исключено, что подобный подход применим, практически, к любым развитым турбулентным потокам, поскольку в любом турбулентном потоке из-за неустойчивости крупномасшабного течения развивается трехмерная структура и представляется мало вероятным зануление всех компонент тензора- градиента средней скорости в каких-либо точках потока ( даже если этого требует геометрия границ потока) из-за спонтанного нарушения симметрии. Основное внимание в диссертации уделено гипотезе и ее следствиям об отрицательности коэффициента диффузии удельной скорости диссипации турбулентной энергии, впервые предложенной автором диссертации, построению детерминистской модели динамики крупномасштабных вихрей с масштабами, равными и превышающими интегральный масштаб турбулентности и фильтрации мелкомасштабных компонент, используя методы решения некорректных задач математической физики [96,145].

Основная цель настоящей диссертации - это создание концепции динамики коллективных крупномасшабных мод , важной для связи описания пространственных характеристик турбулентности в конкретных типах течений и сложного временного поведения и объясняющей наличие в экспериментах " когерентных структур" и "странных аттракторов". Другая цель состояла в расчете стационарных характеристик турбулентности, включая установление законов сопротивления для ряда важных классических типов течений на основе диссипативной модели турбулентности, предложенной автором настоящей диссертации. Диссертационная работа состоит из пяти глав.

В главе 1 дается подробный обзор наиболее используемых современных моделей развитой гидродинамической турбулентности В связи с важностью концепции динамического хаоса в теории развитой турбулентности [401] дается сводка теоретических результатов и экспериментальных работ по его описанию и выявлению.

В главе 2 дается изложение замкнутого самосогласованного описания на феноменологическом уровне обобщенного приближения локального баланса (диссипативная модель). На основе стационарных уравнений диссипативной модели получены решения для некоторых классических типов турбулентных течений. Характерная особенность уравнений состоит в том, что в случае развитого турбулентного течения между двумя движущимися друг относительно друга плоскостями ( плоское течение Куэтта) воспроизводится классический результат Т.Кармана 1937 года [298], а для других течений Куэтта модель дает существенно новые решения, зависящие лишь от двух классических констант Прандтля-Кармана плоского турбулентного пограничного слоя . Решения сопоставляются с имеющимися экспериментальными данными для данных типов течений. Исследуется также предельное поведение решений при очень больших числах Рейнольдса. Это направление является исключительно актуальным и широко дискутируется мировым научным сообществом.

В главе 3 предложенная концепция локального баланса , используя гипотезы об адиабатичности и методы решения некорректных задач математической физики, проверяется аналитическим и численным анализом динамики крупномасштабных мод в случае плоского течения Куэтта и сравнением результатов анализа с физическими экспериментами. Мало-модовое описание с 12 и 14 переменными дают временное поведение типа хаотического аттрактора при некотором значении параметров модели. Физически эти моды соответствуют компонентам крупномасштабной скорости и диссипации энергосодержащих вихрей, распределенных по ширине канала. Характерная особенность модели - это жесткость систем дифференциальных уравнений, обусловленная существенным различием временных и пространственных масштабов энергосодержащих вихрей по ширине канала, что не позволило автору проанализировать динамику процесса при большем числе мод. ( С другой стороны, при очень малом масштабе дискретизации по пространству модель перестает быть крупномасштабной и выходит за границу области своего применения.)

В главе 4 дается вывод нового более простого уравнения для мелкомасштабной составляющей скорости. Получен новый нетривиальный инвариант тензора-градиента крупномасштабной скорости, который в отсутствии крупномасштабной завихренности сводится к наибольшему собственному числу тензора скорости деформации крупномасштабной скорости. Далее получены системы квазиодномерных (1+1) интегродифференциальных или , альтернативно, в частных производных уравнении, что позволяет свести исходную трехмерную задачу к одномерной при моделировании турбулентности большими вихрями. В пятой главе предложена новая обобщенная модель Навье-Стокса-Бюргерса, которая является , по- существу, одной из простейших нелокальных каскадных моделей для анизотропной турбулентности. Линейная часть этой модели соответствует уравнениям Навье-Стокса а нелинейности соответсвуют модели Бюргерса. Простота модели позволяет получить явное выражение для всех спектральных компонент подсеточного тензора Рейнольдса.

6 Заключение.

По-видимому, построить полностью адекватную модель турбулентности в настоящее время не представляется возможным. В отдаленном будущем, когда с помощью новых комьпютеров исследователи рассчитают по уравнениям Навье-Стокса турбулентные течения во всех геометриях, представляющих интерес, а экспериментаторы представят исчерпывающий материал по основным характеристикам крупномасштабной и мелкомасштабной турбулентности, только тогда можно будет говорить об исчерпывающем описании турбулентности с помощью математических моделей. Пока турбулентность следует рассматривать в рамках концепции сложности. Согласно этой концепции ни одна из моделей не может дать исчерпывающее описание. Можно говорить лишь об отражении лишь той или иной стороны явления в той или иной модели. В данной докторской диссертации, которая представляет единоличный вклад автора в решение проблемы турбулентности, разработаны теоретические положения: сформулирована и исследована обобщенная модель Кармана, а также предложены упрощенные подходы для анализа мелкомасштабной структуры турбулентности несжимаемой жидкости. Автор полагает, что совокупность этих теоретических положений можно квалифицировать как новое крупное научное достижение. Более подробно совокупность теоретических достижений состоит в последующих пунктах.

К практическим применениям результатов диссертации следует отнести возможное использование обобщенной концепции локального баланса для расчета основных характеристик прибора Куэтта, который применяется для смешения смесей и разделения крупнодисперсных фракций. Полученные закономерности могут быть использованы для анализа закономерностей теплообмена в паровых турбинах. Преимущество перед моделями других авторов состоит в том, что обобщенные решения Кармана для течения Тэйлора-Куэтта в пределе очень больших чисел Рейнольдса содержат только постоянную Кармана. Этим модель отличается , в частности, от модели Дюбрюля -Херсанта [243]. Полученные спектры подсеточных напряжений Рейнольдса могут быть использованы для расчета подсеточных напряжений Рейнольдса в рамках моделирования большими вихрями многочисленных прикладных задач гидродинамической турбулентности, таких, как обтекание судов, космических аппаратов и т.п.

Преимущество суррогатной модели, представленной в данной диссертации , перед известной моделью Канюто-Дубовикова [210,211], которая тоже не содержит эмпирических констант, состоит в более прозрачной физической постановке, явностью выражений для подсеточных напряжений Рейнольдса. (Справедливости ради следует отметить, что модель Канюто-Дубовикова для турбулентности со сдвигом выведена непосредственно из уравнений Навье-Стокса с использованием ряда упрощений.) Суррогатная модель образована феноменологическим путем, как и , например, недавно опубликованная модель Коннатона-Назаренко [225]. Однако суррогатная модель Навье-Стокса-Бюргерса дает не только спектр энергии, как [225], но и все спектральные компоненты подсеточного тензора Рейнольдса в явном виде, не решая дифференциальных уравнений, что делает суррогатную модель пригодной для приложений в рамках подхода моделирования большими вихрями. В итоге следует заключить:

1.Получены обобщенные решения Кармана для развитых турбулентных течений, содержащие только две универсальные константы Кармана: к = 0,4, С = 9,5 турбулентного пограничного слоя. Рассмотрено круговое течение Тэйлора-Куэтта движения несжимаемой жидкости между двумя соосными цилиндрами, вращающимися с разными угловыми скоростями ( а так же , когда один из цинидров покоится); течение в цилиндрической щели, когда один из цилиндров смещается относительно другого с постоянной скоростью вдоль осей цилиндров (численное решение).

Эти решения переходят в известное решение Кармана для распределения средней скорости когда ширина канала (щели) становится много меньшей по сравнению с каждым из радиусов. Для течения Тэйлора

Куэтта законы сопротивления и распределение средней скорости хорошо согласуются с одними экспериментальными данными и плохо с другими . Наличие в решениях лишь двух универсальных констант Прандтля-Кармана позволяет провести систематизацию практически всех экспериментов (за исключением случая малых градиентов скорости при близких угловых скоростях вращения цилиндров), выполненных для разного соотношения радиусов цилиндров и для разных скоростей вращения.

2. Автором данной диссертации выдвинута гипотеза (и обоснована) об отрицательности коэффициента диффузии скорости диссипации турбулентной энергии (единственная величина, входящая в знаменитый закон Колмогорова -5/3 в качестве свободного макроскопического параметра). Это предположение находится в противоречии с положительностью этого коэффициента в известной "к-эпсилон" модели Лаундра -Джонса, широко используемой до сих пор в приложениях и имеющей несколько "теоретических выводов" из исходных уравнений Навье-Стокса. С другой стороны гипотеза об отрицательности коэффициента диффузии диссипации согласуется с рассуждениями известного специалиста по нелинейной теории устойчивости Стюарта (J. Stuart) об возможной отрицательности эффективного коэффициента завихренности. Следует отметить, что автор данной диссертации выдвинул свою гипотезу независимо от Стюарта, вначале не зная об этой работе 1981 года, в 1983 году на конференции по энергетике океана в г. Владивостоке.

3. Б рамках обобщенной модели Кармана, которая по существу является обобщенной концепцией локального баланса энергии турбулентности, на примере плоского течения Куэтта путем проведения численного эксперимента в рамках модели показано наличие в системе детерминированного хаоса с установлением ограниченности решения и положительности старшего показателя Ляпунова. Так же был получен широкополосный спектр мощности. В нулевом приближении модель дает точное решение Кармана 1937 года в случае стационарности модели. Однако в рамках более общей модели это стационарное решение оказывается линейно-неустойчивым. Учет следующих членов разложения формального ряда по диссипации приводит к нелинейной стабилизации и появлению "странного аттрактора".

4. В рамках обобщенного закона сопротивления типа Прандтля- Кармана в пределе очень больших чисел Рейнольдса для кругового течения Тэйлора-Куэтта получен новый закон сопротивления с коэффициентом сопротивления обратно пропорциональным квадрату логарифма числа Рейнольдса (а удельная диссипация обратно пропорциональна кубу логарифма числа Рейнольдса). Этот закон содержит единственную эмпирическую постоянную Кармана к = 0,4 , что выгодно отличает этот закон, в частности от закона французов Дюбрюля и Херсанта [243].

5.Вторая часть диссертации посвящена теоретическому исследованию мелкомасштабной турбулентности. В рамках этих исследований получен, по мнению автора этой диссертации, "основной инвариант" тензора-градиента осредненной (или крупномасштабной) скорости турбулентного течения несжимаемой жидкости. Именно этот инвариант определяет в первую очередь воздействие крупных масштабов на мелкие. В частности, из структуры этого инварианта следует уменьшение коэффициента турбулентной вязкости при увеличении вектора крупномасштабной завихренности. В случае отсутствия крупномасштабной завихренности эта величина сводится к наибольшему собственному числу тензора скорости деформации S.

6. Выведенное новое уравнение для мелкомасштабной скорости (следуя работе Г.Е. Скворцова [134], автор отказался от гипотезы Бэтчелора-Праудмена о линейности крупномасшабной скорости при рассмотрении динамики мелких вихрей) сводится при некоторых предположениях к системе новых квазиодномерных уравнений в спектральном пространстве и системе квазиодномерных уравнений в частных производных с наличием производных по пространственной переменной высокого порядка в модифицированном физическом пространстве.

7. Поскольку структура этих уравнений все еще достаточно сложна для анализа, автором диссертации разработана упрощенная суррогатная модель Навье-Стокса-Бюргерса. Эта модель получила такое название, поскольку линейные члены этой системы уравнений соответствуют линейным членам уравнений Навье-Стокса, а нелинейные члены соответчик ствуют одномерному оригинальному (модифицированному) уравнению Бюргерса. По существу , эта модель является нелокальной в спектральном пространстве моделью невзаимодействующих друг с другом параллельных каскадов, переносящих энергию по спектру вдоль некоторых прямых. Предложенная модель обеспечивает вклад в процесс переноса энергии по спектру наиболее неустойчивых в линейном приближении вихрей. В рамках этой модели на основе известных решений одномерного оригинального уравнения Бюргерса удается в явном виде получить выражения для подсеточных напряжений Рейнольдса для произвольного вида тензора-градиента крупномасштабной скорости, за исключением случая чистого вращения и вырожденного случая обращения в ноль всех компонент этого тензора.

В заключении автор хотел бы выразить благодарность заведующему кафедрой Современного естествознания и экологии Санкт-Петербургского государственного инженерно- экономического университета профессору д.т.н. Масленниковой И.С., на кафедре которой и была выполнена большая часть данной работы, доценту к.ф.-м.н. Скворцову Г.Е. из Санкт-Петербургского государственного университета за многочисленные дискуссии по проблеме турбулентности, профессорам Х.Суинни из Техасского университета и Д.Уэйнстоку из Аэрономической лаборатории в Колорадо за моральную поддержку части исследований, профессору Б.Дюбрюлю из Франции за интересные предложения по развитию исследований.

1. Абрамович Г.Н. и др. Теория турбулентных струй. М.; Наука, 1984.

2. Аджемян ЛД, Антонов Н.В., Васильев А.Н. Квантово-полевая ренормализационная группа в теории развитой турбулентности. //УФН. 1996.Т.166. N 12. С. 1257-1284.

3. Аджемян Л.Ц., Васильев А.Н., Гнатич М. /^Теоретическая иматематическая физика.- 1988.-Т.74.- N 2.- С.180

4. Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительнаягидромеханика и теплообмен. В 2-х т. Пер. с англ. М. Мир, 1990.728-392 с.

5. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах:

6. Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах.- М.: Наука, 1990.- 312.

7. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука.- 1970.-304 с.

8. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А.

9. О классификации решений системы нелинейных диффузионных уравнений в окрестности точки бифуркации.//Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. -1987.-Т.28, с.207.

10. Бабенко К.И. , Афендиков А.Л. Аттракторы системы Навье-Стокса и ихсвязь с турбулентностью. М. ИПМ им. М.В.Келдыша. 1987. -33с. ПрепринтЫ 82.

11. Бабин А.В., ВишикМ.И. Аттракторы эволюционных уравнений.

12. Балонишников А.М. Однопараметрическая модель неоднородной гидродинамической турбулентности. // В кн.:Системы автоматизации в науке и производстве. Под ред. В.М.Пономарева. М.: Наука, 1984. - С.50-54.

13. Балонишников A.M.Альтернативный подход к численному моделированию гидродинамической турбулентности. //В кн.:Проблемы автоматизации научных и производственных процессов. Под ред. В. М. Пономарева. М.: Наука. - С.42-45.2.Og

14. Балонишников А.М. Инвариантное моделирование некоторых сложных систем. Л., 1985. - 16 С. (Препр. / ЛНИВЦ АН СССР, N68)

15. Балонишников А.М.Обобщенное решение Кармана для кругового течения Куэтта. //В кн.: Методы и системы автоматизации в задачах науки и производства. М.: Наука, 1986.- С.62-65.

16. Балонишников А.М. Актуальные проблемы синергетики в природе и обществе. В кн.:Проблемы жизнедеятельности человека и общества. Под ред. Е.В.Гусевой,-СПб.: СП6ГИЭУ.2001. С.3-9

17. Балонишников AM. Квазиодномерный подход для задач экологии, связанных с турбулентной диффузией пассивной примеси. //Вест.ИНЖЭКОНа. Серия. Техн.Науки.-2004-Вып.3(4) С. 117-122.

18. Балонишников AM. Суррогатная модель Навье-Стокса-Бюргерса для метода моделирования большими вихрями в неоднородной турбулентности. //Журнал технической физики.-2005-Т.75-Вып.1, С. 1-4

19. Балонидшиков AM. Диссипативное крупномасштабное описание развитой неоднородной гидродинамической турбулентности в приближении локального баланса энергии турбулентности. Дис. канд. физ.-мат. наук. Ленинград. ЛГУ им.Жданова. 1990.-124 с.

20. Балонишников A.M. Турбулентное течение Куэтта в цилиндрическом зазоре. //Известия ВНИИГ им. Б.Е.Веденеева. 1990,-Том 221, с.97-100.

21. Балонишников А.М Крупномасштабное долговременное описание в развитой турбулентности.//Дифференциальные уравнения с частными производными. Межвузовский сборник научных турдов.С. -Петербург:Образование.-1992.-с. 3-7.

22. Балонишников А.М. Принцип подчинения параметрам порядка в турбулентности .//Фундаментальные исследования в технических университетах.- Материалы IV Всероссийской научно- методической конференции. Санкт-Петербург.: Издательство СПбГТУ, 2000.-c.64.

23. Балонишников A.M. Динамический прогноз в развитой турбулентности.-"Герценовские чтения -95. Математика и информатика: Педагогическиеговинновации и научные разработки. С.-Петербург.: Образование, 1995.-с.67-69.

24. Балонишников А.М. Закон сопротивления для турбулентного течения Тэйлора-Куэтга при очень больших числах Рейнольдса. // Журналтехнической физики. 2003. Т. 73. Вып. 2. С. 139-140.

25. Балонишников A.M. Новое уравнение для поляризационных фурье-компонет мелкомасштабной скорости несжимаемой жидкости в неизотропной турбулентности. // Журнал технической физики. 2003. Т.73. Вып. 10. С. 36-39.

26. Балонишников A.M. Упрощенное описание мелкомасштабнойтурбулентности. // Журнал технической физики. 2003. Т.73. Вып. 11. С. 47-52.

27. Балонишников А.М. Турбулентная вязкость и крупномасштабнаязавихренность в моделировании большими вихрями. // Вычислительные технологии. 2003. Т. 8. N 1. С. 33-38.

28. Балонишников A.M., Горохов B.JI. Одномерныеуравнения мелкомасштабной турбулентности. //Известия вузов России. Радиоэлекгроника.2003.Вып.1. С.34-40.

29. Балонишников А.М. Однопараметрическая модель переносаудельной скорости диссипации турбулентной энергии как модель переноса турбулентной вязкости. // Вестник ИНЖЭКОНа. Серия: Технические науки 2005 - Вып. N 3(8), С. 149-153.

30. Белиничер В.И., Львов B.C. Новосибирск, 1986. - 59 с.

31. Препр. / Институт автоматики и электрометрии СО АН СССР, N333).

32. Белов И.А. Модели турбулентности. 2 изд. - JI.: Издательство

33. Механического института, 1986.

34. Белоцерковский О.М. // Журнал вычислительной математики иматематической физики. 1985. T.25.-N 12. С. 1856.

35. Белоцерковский О.М., Опарин.А.М. Численный эксперимент втурбулентности. От порядка к хаосу. Издание 2-е, доп. М: Наука,- 2000.-223 с.

36. Белоцерковский О.М. , Опарин A.M. , Чечеткин В.М. Образование крупномасштабных структур в зазоре между вращающимися цилиндрами. //Журнал вычислительной математики. 2002. Т. 47. N 11-С. 1727-1737.21 О

37. Белоцерковский О.М. , Опарин A.M. Чечеткин В.М. Турбулентность.Новые подходы. М.: Наука. 2002. 286 с.

38. Беляев Ю.Н., Яворская И.М. Экспериментальноеисследование стохастичности в сферическом течении Куэтта //Механика неоднородных сред: Сб. начн. тр.-Новосибирск: ИТПМ СО АН ,1985.с.6-31.

39. Бетчелор Дж.К. Теория однородной турбулентности.-М.:Изд-во иностр. лит., -1955, -197 с.

40. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости.1. М.: Мир, 1971.-350 с.

41. Бруяцкий Е.В. Турбулентные стратифицированные струйные течения.

42. Киев: Наукова думка, -1986.- 295 с.

43. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализадифференциальных уравнений. М.: Наука.-1979,- 252 с.

44. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман О.М., Немыцкий В.В. Теорияпоказателей Ляпунова и ее приложение к вопросам устойчивости.-М.: Наука, 1966.

45. Вагер Б.Г., Надежина Е.Д.- Ленинград: Гидрометеоиздат,1979. -135 с.

46. Васильев А.Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критическогоповедения и стохастической динамике. СПб.: Издательство Петербургского института ядерной физики, 1998.-773 с.

47. Власов Е.В., Гиневский А.С. Когерентные структуры втурбулентных струях и следах. //ВИНИТИ АН СССР. Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. 1986. Т.20. с.З.

48. Гершенштейн СЛ., Жиленко Д.Ю., Кривоносова О.Е.

49. Ламинарно-турбулентный переход в сферическом течении Куэтта для противовращающихся границ. //Изв. АН. Механика жидкости и газа. 2001. N 2. С. 56-63.

50. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности.- Пер. с англ. М.: Мир,-1984,- 344 с7

51. Гледзер Е.Б. Система гидродинамического типа, допускающаядва квадратичных интеграла движения. //ДАН СССР.1973.Т.209. N 5. С. 1046-1048.

52. Гледзер Е.Б. О редукции уравнений Навье-Стокса к нелинейнымцепочкам каскадного типа. //Механика жидкости и газа. 1980. N1.C. 27-35.

53. Гледзер Е.Б., Должанский Ф.В., Обухов AM. Системы гидродинамического типа и их применение. -М.: Наука, 1981.

54. Гловински., Лионе Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследованиевариационных неравенсив. Пер. с франц. - М.: Мир, 1979.

55. Головин A.M. II Турбулентные течения. М.: Наука, 1977,- С.239.21 I

56. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. М.: Наука,1987.

57. Графов Б.М., Мартемьянов С.А., Некрасов JT.H.

58. Турбулентный диффузион!Шй слой в электрохимических системах.- М.: Наука. -1990. -294 с.

59. Гупта А., Лилли Д., Сайред Н. Закрученные потоки. Пер. с англ.- М,: Мир, 1987. -588 с.

60. Давыдов Б.И. К статистической динамике несжимаемой жидкости//

61. Докл. АН СССР.- 1959,- Т.127.- N4. С.339-344.

62. Деснянский В.Н. Исследование перемежаемости и тонкой структуры турбулентности на основе спектральной модели. II Физика атмосферы иокеана. 1976. Т.12. N 6. С. 657-661.

63. Деснянский В.Н , Новиков Е.А. Моделирование каскадных процессовв турбулентных течениях. //Прикладная математика и механика. 1974. Т.38. С.507-543,

64. Деснянский В.Н., Новиков Е.А. Эволюция спектров турбулентности к режиму подобия. //Физика атмосферы и океана. 1974.T.X.N2.1. С.122-136.

65. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. // Вычислительные методы ипрограммирование. -М.: Изд-воМГУ, 1968.-Вып.10. -С.49.

66. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы.

67. С.-Петербург: Изд-во АО ВНИИГ им. Б.В.Веденеева.-1995.-172 с.

68. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. Пер. с англ.-М.:Мир.-1981.

69. Должанский Ф.В., Кляцкин В.И., Обухов А.М., Чусов М.А. Нелинейныесистемы гидродинамического типа. М.: Наука, 1974.

70. Дроздов С.М. Моделирование начала нестационарности и хаосав гидродинамической системе , управляемой небольшим числом степенейсвободы .//МЖГ. 2001. N 1 С. 31-45.

71. Жигулев В.Н., ТуминА.М. Возникновение турбулентности.

72. Новосибирск: Наука, 1987.-279 с.

73. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем.1. М.: Наука.-1984.-271с.

74. Зельдович Я.Б. М., 1979. (Препр. / ИПМ им. МВ.Келдыша АН СССР,1. N139).

75. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ Справочное пособие.-Киев.: Наукова Думка, 19857-584 с.1. Ъ. 1 Ь

76. Кантуэлл Б.Дж. Организованное движение в турбулентных потоках,1. М.: Мир, 1984.

77. Карман Т. // Проблемы турбулентности. Пер. с англ.1. М.: ОНТИ, 1931. С.271.

78. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. М.: Наука, 1982. - 608с.

79. Климонтович Ю.Л. Турбулентное движение и структура хаоса.1. М.: Наука,-1990, -317 с.

80. Климонтович Ю.Л., Энгель-Херберт II Журнал техническойи физики.1984. -Т.54. Вып. 3.-С. 440.

81. Климонтович Ю.Л. Что же такое турбулентность?

82. Прикладная нелинейная динамика. 1995. -Т.З, N 2, с,7-37.

83. Климонтович Ю.Л. Турбулентное движение и структура хаоса. М.: Наука. 1990. 320 с.

84. Козлов В.Е., Лебедев А.Б., Любимов Д.А., Секундов А.Н.

85. Некоторые особенности турбулентного течения в кромочном вихре. //Изв. АН.Механика жидкости и газа. 2004. N 1. С.78-85.

86. Колесниченко А.В., Маров М.Я. Турбулентность многокомпонентных сред. М.: МАИК "Наука", 1998,- 336 с.

87. Коллинз Дж. Перенормировка. М.: Мир.-1988.

88. Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности внесжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса // ДАН СССР. -1941. Т.30. - N 4. - С.299.

89. Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движениянесжимаемой жидкости // Изв. АН СССР. Сер. физ.-1942,-Т.6.- С.56-58.

90. Компанией В.З., Овсянников А.А., Полак Л.С. Химическиереакции в турбулентных потоках газа и плазмы.- М.:Наука,-1979.-242 с.

91. Конт-Белло Ж. Турбулентное течение в канале спараллельными стенками. Пер. с франц. - М.: Мир.-196 8. -176 с.

92. Котельников В.А. // Материалы к Первому всесоюзному съездупо вопросам реконструкции дела связи. М.: Изд-во техн,-теор.литературы, 1933.

93. Курбацкий А.Ф. Моделирование нелокального турбулентного переносаимпульса и тепла. Новосибирск: Наука, 1988. -240 с.

94. Лаврентьев М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1973. -71 с.

95. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой жидкости.- М.: Изд-во физ,- мат. литературы, 1961.иъ

96. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамикивязкой жидкости. 2 изд., перераб. и дополн. - М.: Наука, 1970.-288 с.

97. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.:Наука. Физматлит,1997.-496 с.

98. Ланда П.С. Возникновение турбулентности в незамкнутыхтечениях жидкости как неравновесныйшумоиндуцированный фазовый переходвторого рода. //Журнал технической физики. 1997. Т.67. N 7.

99. Ландау Л.Д. К проблеме турбулентности. //ДАН СССР, 1944.1. Т.44, N 8, с.339.

100. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Механика сплошных сред.1. М.: Гостехиздат, 1953.

101. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М Гидродинамика.- М.: Наука.-1988.-733 с.

102. Ларькин Н.А., Новиков В.А., Яненко Н.Н. Нелинейныеуравнения переменного типа. Новосибирск: Наука, 1983. -269 с.

103. Латтес Р., Лионе Ж.Л. Метод квазиобращения и его приложения.- Пер. с франц. М: Мир, 1970. - 336 с.

104. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.1. М.: Мир, 1972.

105. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика.- М: Мир, 1984.

106. Лойцянский Л.Г. Механика и жидкости. М.: Наука, 1987.-840 с.

107. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику.- М.:1. Наука.- 1990.-272 с.

108. Лурье М.В., Подоба Н.И. //ДАН СССР. -1984. Т.279. - N 3,- С.570.

109. Лущик В.Г., Павельев А.А., Якубенко А.Е. Трехпараметрическая модель сдвиговой турбулентности// Изв. АН СССР. Механикажидкости и газа,- 1978.- N 3 .- С.40-52 с.

110. Лущик В.Г. , Якубенко А.Е. Сравнительный анализмоделей турбулентности для расчета пристенного пограничного слоя. // Изв. РАН. МЖГ. 1998. Т1. С. 44-58.

111. Львов B.C., Предтеченский А.А., Черных А.И.

112. Бифуркация и хаос в системе вихрей Тэйлора: натурный и численный эксперимент//ЖЭТФ.-1980- Т.80.- N3 С.410

113. Ляпунов А.М. Собр. сочинений. М.: Изд-во АН СССР, 19541956. Т. 1,2.г14

114. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б., Приймак В.Г. Геометрические истатистические характеристики аттрактора уравнений Навье-Стокса длятурбулентных течений вязкой жидкости в трубе. Препринт N 28. М.: ИПМ им.

115. Келдыша М.В. АН СССР, 1990,31с.

116. МарчукГ.И. Методы вычислительной математики. -М.: Наука,1974.

117. Маслов В.П., Шафаревич А.И. Локализированные асимптотическиерешения уравнений Навье-Стокса и ламинарные следы в несжимаемой жидкости. //ПММ, 1998. Т. 62. Вып.З . С. 424432.

118. Мешалкин И.Д., Синай Я.Д. Исследование устойчивости стационарного решения уравнений для плоского движения несжимаемой вязкой жидкости.

119. Прикладная математика и механика. 1961. Т.25. С. 1700.

120. Михайлов В.В. Закономерности пристеночных турбулентныхтечений несжимаемой жидкости как следствие их предельных асимптотическихсвойств. // Изв. АН. Механика жидкости и газа. 2002. N 5. С. 74-84.

121. Михайлов В.В. Применение асимптотических методов красчету турбулентного пограничного слоя. // Инженерно-физический журнал. 2002. Т.77. N 1. С. 114-123.

122. Монин А.С., Зилитинкевич С.С. Об учете микро-мезомасштабныхявлений в численных моделях атмосферы. Л.: Наука, 1969. 44 с.

123. Монин А.С., Озмидов Р.В. Океанская турбулентность. Л.:1. Гидрометеоиздат, 1981.

124. Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. Т. 1 .

125. Санкт-Петербург: Гидрометеоиздат, 1992.

126. Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика.

127. Издание второе, переработанное и дополненное. Т.2. -Санкт-Петербург: Гидрометеоиздат, 1996.

128. Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы физики.1. М: Атомиздат.1972

129. Найфэ А. Введение в методы возмущений. Пер. с англ.- М.Мир, 1984.535 с.

130. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания.1. М.: Наука, 1987,- 424 с.

131. Новожилов В.В., Павловский В. А. Установившиесятурбулентные течения несжимаемой жидкости. СПб.: Изд. центр СПбГМТУ, 1998.484 с.

132. Обухов A.M. О распределении энергии в спектретурбулентного потока. Докл. АН СССР, Т.32, N 1, с.22-24.

133. Овчинников А.И., Перевозчиков А.Г. //Изв. АН СССР:

134. Энергетика и транспорт. -1987,- N 5. С. 134.

135. Павлов А.Е., Симаков Н.Н. Пространственный хаос модели Свифта

136. Хоэнберга. //Регулярная и хаотическая динамика. 1996. Т.1. N 2.С.104-110.

137. Павловский В. А. О расчете течений жидкости припроизвольных числах Рейнольдса. //Аэродинамика. Санкт-Петербург. СПбГУ. 2000. Под ред.А.Ф.Мирошина.

138. Пейре Р., Тейлор Т.Д. Вычислительные методы в задачахмеханики жидкости. Пер. с англ. J1.: Гидрометеоиздат,1986.-351 с.

139. Пелюхова Е.Б., Фрадкин Э.Е. Самоорганизация физических систем.

140. СПб.: Издательство Санкг-Пеггербургского университета, 1997.-324с.

141. Прудников А.П., Брычков Ю.А. Маричев О.И. Интегралы и ряды.1. М: Наука.-1981.

142. Рабинович М.И., Фабрикант A.J1., Цимринг Л.Ш.

143. Конечномерный пространственный беспорядок. //УФН. 1992. T.162.N8. С. 1-42.

144. Рабинович М.И., Езерский А.Б. Динамическаятеория формообразования. -М.: Янус-К, 1998.-192 с.

145. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики.

146. Пер. с англ. М., Мир, 1984. - Т.2. - 381 с.

147. Рюэль Д., Такенс Ф. О природе турбулентности.- В кн.:

148. Странные аттракторы. М.: Мир, 1981.

149. Себеси Т., Брэдшоу П. Конвективный теплообмен. Физическиеосновы и вычислительные методы: Пер. с англ.- М.: Мир,1987.- 592 с.

150. Секундов А.Н. Модель турбулентности для описаниявзаимодействия пограничного слоя с крупномасштабной турбулентности. //Изв.РАН Механика жидкости и газа.-1997.- N2. с.59-68.

151. Скворцов Г.Е. //Вестаик ЛГУ. -1979. N 13. - С.34.

152. Скворцов Г.Е. // Журнал технической физики. -1989. Т.59.1. Вып. 59.-Вып.З.-С. 62.

153. Скворцов Г.Е., Тимохов Л.А. //Вестник ЛГУ. -1980. N13.1. С.106.G

154. Скорер Р. Аэрогидродинамика окружающей среды. Пер. с англ.1. М.: Мир,-1980,- 549 с.

155. Современная гидродинамика. Успехи и проблемы. Пер. с англ,1. М.: Мир, 1984,- 501 с.

156. Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейных колебаний.1. М.: Наука. -1977.- 256 с.

157. Старр В. Физика явлений с отрицательной вязкостью. М.:Мир,1971.259 с.

158. Струминский В.В. //Турбулентные течения. М: Наука, 1974.1. С. 50.

159. Таунсенд А. А. Структура турбулентного потока споперечным сдвигом. -М.: Изд-во иностр.лит.-1959.-400 с.

160. Теодорович Е. В. Применение методов теории поля иренормализационной группы для описания развитой турбулентности. //Успехи механики. 2003. т. 13. N 1. с. 81-121.

161. Тихонов АН. // ДАН СССР. -1944. Т.39.- N5,- С.15.

162. Тихонов A.R, Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.- Издание третье, исправленное. М.: Наука, 1986.- 288 с.

163. Тихонов А.Н., Дмитриев В.И. // Вычислительные методы ипрограммирование. М.: МГУ, 1968.- Вып. 10,- С.З.

164. Турбулентность. Пер. с англ. / Под ред. П.Брэдшоу.- М.:

165. Машиностроение, 1980. -343 с.

166. Трубецков Д.И. Турбулентность и детерминированный хаос.//

167. Соросовский образовательный журнал. 1998.-N 1.- С.77.

168. Турбулентность: Принципы и применение. Пер. с англ.

169. Под ред. У.Фроста и Т.Моулдена.- М.: Мир, 1980.-535 с.

170. Турбулентные сдвиговые течения-1/ Под ред. Ф Дурста,

171. Б.Е. Лаундера, Ф.В. Шмидта, Дж.Х. Уайлтоу.-М.: Машиностроение, 1982.-432.

172. Турбулентные течения реагирующих газов. Пер. с англ.- М.: Мир,1983.-328 с.

173. Устименко Б.П. Процессы турбулентного переноса во вращающихсятечениях. Алма-Ата: Наука, 1978.

174. Фаддеев Д.К., ФаддееваВ.Н Вычислительные методылинейной алгебры.- М.: Физматгиз, 1960. -656 с.

175. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. В двухтомах. Пер. с англ. М.: Мир. 1991.- 552 с.

176. ФришУ. Турбулентность.-М: Фазис.-1998.

177. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980.

178. Херринг Дж.Р. Моделирование подсеточных масштабов. Обзор.2./7

179. В кн.: Турбулентные сдвиговые течения -1. Пер с англ. М.: Машиностроение, 1982.-632с.

180. Шец Дж. Турбулентное течение. Процессы вдува и перемешивания.- Пер. с англ. М.: Мир, 1984.

181. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя.-М.: Наука,1974.-711 с.

182. Штерн В.Н. Динамика против термодинамики. (Новыерезультаты в теории хаоса). Препр. (АН СССР, Ин-т теплофизики) 1986,-N141-86,- 34 c.F2

183. Шуман Г., Гретцбах Г., Кляйзер Л. // Методы расчетатурбулентных течений. Пер. с англ. - М.: Мир, 1984. - С. 103.

184. Шустер Г. Детерминированный хаос. Пер. с англ.- М.: Мир,1984.-240 с.

185. Эль ТелбаниМ.М.М., Рейнольде А.Дж. //ТОИР.- 1982.1. N3,-С.188.

186. Юдович В.И. О проблемах современной математической гидродинамики.

187. Успехи механики. 2002. Т. 1. N 1. С.51-102.

188. Яворская И.М., Беляев Ю.Н. М., 1988,- 30 с. (Препр.1. ИКИ АН СССР, N346)

189. Abshagen J., Pfister G., Mullin Т. Gluing bifurcations in adynamically complicated extended flow. //Phys.Rev.Let. 2001. Vol. 87. N22. P. 224501.

190. Adzhemyan L.Ts., Antonov N.V., Vasiliev A.N. Field Theoretical

191. Renormalization Group in Fully-Developed Turbulence. N.-Y.: Gordon and Breach Science Publishers, 1998.

192. Akonur A., Lueptow R.M. Three-dimensional velocity field for wavy

193. Taylor-Couette flow. //Physics of Fluids. 2003. Vol. 15. N 4. P. 947960.

194. Aliabadi P., Dabiri D., Dail J.W. Chaotic Analysis of a

195. Two-Stream Plane Mixing Layer //AIAA -Paper.1987.-N87-0223

196. Andreotti B. Studying Burgers; models to investigate the physical meaning ofthe alignments statistically observed in turbulence. //Phys. Fluids. 1997, Vol. 9 . N 3. P.735-742.

197. Antonijoan J., Marques F., Sanchez J. Non-linear spirals in the

198. Taylor-Couette problem. //Physics of Fluids. 1998. Vol. 10. N 4. P.829-838.

199. Antonov N. V. , Honkonen J. Field theoretic renormalization groupfor a nonlinear diffusion equation. Preprint. http://www.ArXiv.org/nlin.CD/0207006. July. 2002.

200. Atten G., Caputo J.-C., Malraison В., Cagnet Y.// J. Mech.Theor. et

201. Appl.-1984.- Num.Spec.- P. 333.1. Ъ1 &

202. Aupoix В., Sparalt P.R. Extensions of the Spalart-Allmaras turbulencemodel to account for wall Toughness. //International journal of Heat and Fluid Flow. 2003. Vol. 24. P.454-462.

203. Avellaneda M, Majda A.J. Approximate and exact renormalizationtheories for a model for turbulent transport. //Phys. Fluids A. 1992.1. Vol. 4. P.41.

204. Axel L.B., Liungman. 0. A one- equation turbulence model forgeophysical applications: comparison with data and k-e model.

205. Environ. Fluid Mech. 2001. Vol. 1. p. 71-106.

206. Bak P., Chen K., Tang Ch. Forest-fire model and some thoughts on turbulence.

207. Physics letters. -1990.-vol.l47.-P.297-300.

208. Baker G.L., Gollub J.P. Chaotic Dynamics. Cambridge:

209. Cabridge University Press.-1996.-272 pp. 2nd edition.

210. Balonishnikov A.M. Solutions for turbulent closure problem.1.ternational conference "Differential equations and applications". Abstracts. -1996.- SPb.: Saint Petersburg Technical University, -p.50.

211. Balonishnikov A.M. A solution for closure problem in turbulence.1.t. conf. "Asymptotics in mecanics." Abstracts. St-Petersburg: St.-Petersburg Technical Marine University.-1996.-p.20.

212. Balonishnikov A.M Extended local balance model of turbulence and

213. Couette-Taylor flow. Physical Review E.-2000.-Vol.61., N2, p. 1390-1394.

214. Balonishnikov AM Revival of the original Burgers equation inturbulence. In: "Differential equations and applications. The third international conference. Saint-Petersburg, Saint-Petersburg State Technical University. Book of absracts.-2000.-p.23.

215. Balonishnikov A.M., Khartsiev V.E. // Nonlinear World:

216. Proceedings of the IV International Workshop on Nonlinear and Turbulent Processes in Physics.- Kiev: Naukova Dumka,1989.-vol.2.- p.346-349

217. Balonishnikov A.M., Khartsiev V.E. Nonlinear ill-posed problemsof mathematical physics in theory of fully-developed turbulence.- International conference "Ш-posed problems". Edited by AN.Tichonov. M., -1991-Moscow state university.-p.67.

218. Balonishnikov A.M., Kopyl'tsov V.T. Beyond Haken's Synergetics.1. S1.ternational conf. "Regional informatics".Abstracts- SPb.: SPII RAS-1996.-p.51.

219. Barkley D., Tuckerman L.S. Srtability analysis of perturbated plane

220. Couette flow.//Phys.Fluids. 1999. Vol. 11. N5. P. 1187-1195.

221. Век Ch., Schlogle F. Thermodynamics of chaotic systems.

222. Cambridge.: Cambridge University Press.- 1995.-306 pp.

223. Belotserkovskii O.M. Turbulence and Instabilies. M.:MIPT, 1999.

224. Benettin G., Giorgilli, Galgany L., Strelcyn J.M. Lyapunovcharacteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamilton systems: a method for computing al of them. P.1,2// -1980. -Vol.15. -N l.-pp.9-20,21-30.

225. Biferale L., Vergassola. Isotropy vs anisotropy in small-scaleturbulence. //Phys. Fluids. 2001. Vol. 13. N 8. P. 2139-2141.

226. Biferale L. Shell Models of energy cascade in turbulence.

227. Annual Review of Fluid Mechanics. 2003. Vol. 35. P.441-468.

228. Boberg L., Brosa U. Onset of turbulence in a pipe.

229. Z.Naturforsch. A. 1988. Vol. 43. P.697-726.

230. Boss van der F., Tao В., Meneveau Ch., Katz J. Effect of small-scaleturbulent motions on the filtered velocity gradient tensor as deduced from holografic particle image velocimetry measurements.

231. Physics of Fluids. 2002. Vol. 14. N 7.2456- 2474.

232. Bouabdallah A., Cognet G. in Laminar-Turbulent Transition.edited by R.Eppler and H Fasel. Berlin: Springer-Verlag. 1980.

233. BoyerD., Elicer-Cortes. //J. Phys. A. 2000. Vol. 33. P.6859.

234. Bohr Т., Jensen M.R, Paladin G. and Vulpiani A. Dynamical

235. Systems Approach to Turbulence. Cambridge: Cambridge1. University1. Press, 1998.

236. Boubdallah A., Cognet G. //Laminar-Turbulent transition./

237. Edited by R. Eppler, H. Fasel.- Berlin: Springer- Verlag, 1980.

238. Brandstater A., Swift J., Swinney H.L. Wolf A. Low-dimensionalchaos in hydrodynamical systems. //Phys.Rev.Lett, 1983, V.51, N16, pp. 1442-1445.

239. Brandstater A., Swinney H.L. Strange attractors in weaklyturbulent Couette- Taylor flow. // Phys. Rev. 1987. Vol. A 35. P. 2207.

240. Bricmont J., Kupiainen A. Renormalization group and the Ginzburg1.ndau equation. //Comm. Math. Phys. 1992. Vol. 150. P. 193-208.

241. Bricmont J., Kupiainen A, Lin G. Renormalization group andasymptotics of solutions of nonlinear parabolic equations. //Comm. Pure. Appl. Math. 1994. Vol.47. P.893-922.1. ЪЬО

242. Broomhead D.S., King G.P. Extracting qualitative dynamics fromexperimental data //Physica D.-1986-V.20, N2-3; p.217.

243. Bruzon M.S., ClarksonP.A. , Gandarias M.L., Medina E. Thesymmetry reductions of a turbulence model. //Journal of Physics A. 2001. Vol. 34. P.3751-3760.

244. Burgers J.M. Mathematical examples illustrating relationsoccuring in the theory of turbulence fluid motion. //Verhandelinsener Koninlijke Nederlandsche Afdeeling Natuurkunde Eerste Sectie.(Amsterdam)-1933.-Deel XVII, N2, p. 1.

245. Burgers J.M. A Mathematical Model Illustrating the Theory of

246. Turbulence//Advances in applied mechanics.1948. Vol.1, р.171.-199.

247. Burgers J.M. The Non-linear Diffusion Equation. Amsterdam:1. Dr. ReidelPub.Co.,1974.

248. Burich N., Rauh A. On the explicit form of the Grobman-Hartmanhomeomorphisms for dissipative dynamic systems. // Reports on mathematical physics. 2002. Vol. 50. N 2. P. 143-154.

249. Cambon C., Scott J. Linear and nonlinear modelsof anisotropic turbulence. //Annual Review of fluid mechanics. 1999. vol. 31. p.l

250. Canuto V.M., Dubovikov M.S. A dynamical model for turbulence.

251. General formalism. Phys. of Fluids. 1996.- Vol.8.- N2.

252. Canuto V.M., Dubovikov M.S. A dynamical model for turbulence. II.

253. Shear-driven flows. //Phys. Fluids. 1995. Vol. 8. N2. P. 587-598.

254. Canuto V.M., Dubovikov M.S., Yu G. A dynamical model forturbulence. VIII. IR and UV Reynolds stress spectra for shear-driven flows.//Physics of Fluids. 1999. Vol. 11. P.665-677.

255. Canuto V.M., Cheng Y. Determination of the Smagorinsky-Lillyconstant Cs. //Physics of Fluids. 1997. Vol. 9. N 5. P. 1368-1997.

256. Carr J. Application of Centre Manifold Theory. Berlin:1. Springer-Verlag, 1981.

257. Chechkin A.V. , Kopp M.I., Yanovsky V.V., Tur A.V. Negative viscosityfor Rossby wave and drift turbulence. //ЖЭТФ. 1998. T.86. N 2. C.357-366.

258. Chen L.-Y., Goldenfeld N. Renormalization -group theory for thepropagation of a turbulent burst. //Physical Review A. Vol. 45. N 8. P. 5572-5577.

259. Chen L.Y., Goldenfeld N., OonoY. Renormalization group theoryfor global asymptotic analysis. //Physical Review Letters. 1994. Vol.73. P. 1311-1315.

260. ChenL.Y., Goldenfeld N. Numerical renormalization-groupcalculations for similarity solutions and traveling waves. //Physical Review E. 1995. Vol. 51. N 6. p.5571-5581.

261. Chen L.Y. , Goldenfeld N., Oono Y. The renormalization group andsingular perturbations: Multiple scales, boundary layers and reductive perturbation theory. //Physical Review. 1997.Vol.E 54. P. 376-394.

262. Cohen D.S., Alexander R. //PhysicaD. -1986.-Vol.20.-P.122.

263. Collet P., Fauve S. Propagative Phase Dynamics for Systems with Galilean Invariance.//Phys.Rev.Lett-1985.- Vol.55- N26,-P.2857.

264. Coles D. Transition in circular Couette flow. // JFM1965.21385

265. Collet P., Eckmann J.-P. The time-dependent amplitude equationfor the Swift-Hohenberg problem. //Comm. MatkPhys. 1990. Vol.132. P.139-153.

266. Collet P., Fauve S. //Phys.Rev.Lett-1984-vol.55-N26-p.2857.

267. Connaughton C., Nazarenko S. Warm cascades and anomalousscaling in a Diffusion Model of Turbulence. //Phys.Rev.Let 2004.-Vol.92. N 4. P. 044501.

268. Crepan J.C., Isaacson L.K. //AIAA- Paper.-1988.-N8835.78 Ср.-P.853.

269. Crawford J.D. Introduction to bifurcation theory. //Rev. Mod. Phys.1991. Vol. 63. N4. P. 991-1037.

270. Crutchfield J.P., Farmer J.D., Packard N., Shaw R., Jones G.,

271. Donnelly R.J. Power spectral analysis of a dynamical systems //Phys. Lett-1980.- V.76 A, N l.-p.l-4.

272. Crutchfield J.P., Kaneko K. Are attractors relevant toturbulence? //Phys. Rev. Lett. 1988. Vol. 60. N 26. P. 2715-2718.

273. Cuypers Y., Maurel A., Petitjeans P. Vortex burst as a source ofturbulence. //Physical Review Letters. 2003. vol. 91. N 19. p. 194502.

274. Czarny O. , Serre E., Bontoux P. Spiral and wavyvortex flows inshortcounter-rotating Taylor-Couette cells.//Theor.Comput. Fluid Dynaics. 2002. Vol. 16. P. 5-15.

275. Dannevik W.P. , Yakhot V., Orszag S.A. Analytical theories ofturbulence and the $\epsilon$ expansion. //Phys. Fluids. 1987. Vol. 30. N7. p. 2021-2029.

276. Dauchot O., Manneville P. Local versus global concepts inhydrodynamic stability theory.//!, of Phys. II. France. 1997. Vol. 7. P.371.

277. Deardorf J.W. A numerical study of three-dimensional turbulent channel flow atlarge Reynolds numbers. //J. Fluid Mech.-1970.-Vol.41 .-P.453.

278. Deissler R.J. Noise-sustained structure, intermittency and the Ginzburg-Landau equation.//! Stat. Phys. 1985. V.40. N3-4. P.371-395.

279. Deissler RJ. The convective nature of instability in plane2Л- L

280. Poiseuille flow. //Physics of Fluids. 1987. Vol. 30. N 8. P. 2303-2306.

281. Dejoan A., Shiestel R. LES of unsteady turbulence via aone-equation subgrid-scale transport model. //International Journal of Heat and Fluid Flow. 2002. Vol. 23. P. 398412.

282. Donnelly R.J. Taylor-Couette flow: the early days. // Physicstoday. 1991. Vol. 44. N 11. P. 32 (1991)

283. DrazinP.G., Reid W.H.Introduction to hydrodynamic stability theory.1. Cambridge :CUP, 1980.

284. Dubief Y., Delcayre F. On coherent-vortex identification inturbulence. //Journal of turbulence. 2000. Vol.1. N11. P.l-23. Electronic journal, http://jot.iop.org.

285. Dubrulle В., Frisch U. Eddy viscosity of parity-invariant flow.

286. Phys.Rev.A. 1991. Vo. 43. N 10. P.5355-5364.

287. Dubrulle B, Laval J.P., Nazarenko S.s Kevlahan N. K.-R. A dynamic subfilter-scalemodel for plane parallel flows. // Physics of fluids. 2001. Vol.13. N7. P.2045- 2053.

288. Dubrulle В., Hersant F. Momentum transport and torque scaling in

289. Taylor-Couette flow from an analogy with turbulent convection. // The European Physical Journal. 2002. Vol. В 26. P.379-386.

290. Eckmann J.-P. Propogating fronts and the center manifold theorem.

291. Comm.Math.Phys. 1991. Vol.136. P. 285-307.

292. Eden A. On Burgers' original mathematical model of turbulence. //

293. Nonlinearity. 1990. Vol. 3. P. 557-566.

294. Eckhardt В., Grossman S., Lohse G.//Eur.Phys.Journal.2000. Vol. B18.1. P.541.

295. Eggers J., Grossmann S. Deterministic chaos imply intermittency in fully-developedturbulence.//Phys. Fluids. 1987. Vol. A3. N 8. P. 1958-1968.

296. Eyink G.L. Renormalization group and operator-product expansionin turbulence: shell-models. //Phys. Rev.E. 1993. Vol. 48. P. 1823.

297. Eyink G.L. The renormalization group method in statisticalhydrodynamics. //Physics of Fluids. 1994. P.3053.-3078.

298. Faisst H., Eckhart B. Traveling Waves in Pipe Flow. //Physical reviewletters. 2003. Vol. 91. N22. P. 224502-1-224502-4.

299. Feigenbaum M. Qualitative universality of a class of nonlinear transformations. 1978. // Journal of statistical physics. Vol. 19. P.131.

300. Feigenbaum M. The transition to aperiodic behavior in turbulentsystems. //Com.Math.Phys. 1980.vol.77,P.65.

301. Fefferman C.L. Existance & smoothness of the Navier-Stokesequation. Preprint. May 1,2000. http://www.claymath.org.

302. FenstermacherP., Swinney H.L., Gollub J.P.Dynamical instabilities and thetransition to chaotic Taylor vortex flow. //J. Fluid Mech.1. Ъ-ЪЪ1979.-Vol.94.-P.103.

303. Ferziger J.H. Large Eddy Numerical Simulations of Turbulent

304. Flows //AIAA J. 1977. V.15.N9. P.1261-1257.

305. Finn J.M., del-Castillo-Negrete D. Lagrangian chaosand Eulerean chaos in shear flowdynamics. //Chaos. 2001. Vol. 11. N 4. P.816-831.

306. Finn J.M. The effect of Lagrangian chaos on locking bifurcations inshear flows. //Chaos. 2002. Vol. 12. N 2. P. 508-521.

307. Foias C., Manley O., Sirovich L. Empirical and Stokeseigenfimctions and far-dissipative turbulent spectrum. //Phys.Fluids A. 1990. vol.2. N 3. P. 464467.

308. Fokas A.S., Gibbon J.D., Doering C.R. Dynamically-stretchedvortices as solutions of the 3d Navier-Stokes equations. //Physica D. 1999. vol.132, p. 496.

309. Forster D., Nelson D.R., Stephen M.J. Large-distance andlong-time properties of a randomly stirred fluid. //Phys.Rev.A-1977.-Vol.16. -N2.-P.732.

310. Francisco G., Santos C.R. Transition to turbulence in the

311. Reynolds experiment //Physica A. 2001. Vol. 297. P.73-78.

312. Frenkel. A.L. Stability of an oscillating flow. II Physics of

313. Fluids. 1991. Vol. A3. P. 1718.

314. Foumier J.P., Frisch U. Remarks on the renormalization group instatistical fluid mechanics. // Physical Review. 1983. Vol. A 28. P. 1000.

315. Galanti В., Gibbon J.D., Heritage M. Vorticity alignment results forthe free-dimensional Euler and Navier-Stokes equations. // Nonlinearity. 1977. Vol. 10. P. 1675-1694.

316. Galiullin R.G., Timokhina L.A., Galiullina E.R., Permyakov E.I.

317. Model of turbulent oscillating flows in smoth tubes. //Journal of Engineering physics and thermophysics. 2001. vol. 74. N 3. P.704-709.

318. Galtier S. Weak inertial-wave turbulence theory. //Phys. Rev. E.2003. Vol. 68. P. 015301 (R)

319. Gaponov -Grekhov A V., Rabinovich M.I. Nonlinearities in Action.

320. Berlin: Springer-Verlag, 1992.

321. Garg S., Warhaft Z. On the small scale structure of simple shearflow. //Physics of Fluids. 1998. Vol. 10. N 3. P. 662-673.

322. Gibbon J.D., Fokas A.S., Doering C.R. Dynamically-stretchedvortices as solutions of the 3D Navier-Stokes equations. //Physica D. 1999. Vol. 132.p.497-510.

323. Gilbert A.D. A cascade interpretation of Lundgren;s stretched spiralvortex model for turbulent fine structure. //Physics of Fluids. 1993. Vol. A 5. N 11. P. 2831-2834.

324. Gledzer E., Villermaux E., Kahalerras H., Gagne Y. Om the log-Poissonstatistics of the energy dissipation field and related problems ofгъ^developed turbulence. //Phys. Fluids. 1996. Vol. 8. N 12. p.3367-3378.

325. Glendinning P., Abshagen J., Mullin T. Imperfect homoclinicbifurcations. //Phys. Rev. E. 2001. Vol. 64. P.036208.

326. Goldberg U. Turbulent closure with a topography-parameter-freesingle equation model. //International journal of computational fluid dynamics. 2003. Vol. 17. N1. P.27-38.

327. Gollub J.P., Swinney H.L. Onset of turbulence in a rotating fluid. //

328. Phys. Rev. Lett. 1975. Vol. 35. P.927.

329. Gorman P.A., Pullin D.I. The velocity-scalar cross spectrum ofstreched spiral vortices. //Physics of Fluids. 2003. vol. 15. N 2. p.280-290.

330. Goto S., Kida S. Sparseness of nonlinear coupling: importance insparce direct-interaction perturbation. //Nonlinearity. 2002. Vol. 15. P. 1499-1520.

331. Gotoh T. Small-scale statistics of turbulence at high Reynolds numbers by massive computations. //Computer Physics Communications.2002. Vol. 147. P.530-532.

332. Guckenheimer J., Holmes P.J. Nonlinear oscillations, dynamical systems,and bifurcations on vector fields.- N.Y.:Springer-Verlag, 1983,-452 p.

333. Guckenheimer J. Strange attractors in fluids: Another view.

334. Annual Review of Fluid Mechanics. 1986. Vol. 18. P.15.

335. Guzman A.M., Amon C.H. Transition to chaos inconvergent-divergent channel flows: Ruelle-Takens-Newhousescenario. //Phys.of Fluids. 1994. Vol. 6. N 6. p. 1994-2002.

336. Hamba F. Statistical investigation of the Energy Dissipation

337. Equation in Shear Turbulence, // J.Phys.Soc.Jpn.1987. Vol.56. N11. pp.3771-3774.

338. HatakeyamaN., Kambe T. //Phys.Rev.Lett 1997. Vol.79. P. 1257.

339. He K., Chian A.C.-L. On-Off Collective Imperfect Phase

340. Synchronization and Bursts in Wave Energy in a Turbulent State. //Phys.Rev.Lett.2003. Vol. 91.N3. P.034102.

341. Henry F.S., Reynolds A.J. //Trans. ASME: J. Fluid Eng.1984.-Vol.106.-P.211.

342. Hinze J.O. Turbulence.- N.-Y.: Mc Graw- Hill, 1975.2 nd ed.

343. Henshaw W.D., Kreiss H.-0., Ystrom J. Numerical experiments onthe interaction between the large- and small-scale motions of the Navier-Stokes equations. //Multuscale Modeling and Simulation. 2003. Vol.1. N1. P. 119-149.2.2-Г

344. Hof В., Juel.A., Mullin Т. Scaling of the transition threshold in a

345. Pipe.//Physical Review Letters. 2003. Vol.91. N.24. P.244502-1-244502-4.

346. Holmes Ph., Lumley J.L., Berkooz G. Turbulence, Coherentstructures, Dynamical systems and Symmetry. Cambridge.: Cambridge University Press.-1996.-629pp.

347. Holmes Ph., Lumley J., Berkooz G., Mattingly J.C., Wittenberg

348. R.W. Low-dimensional models of coherent structures in turbulence. //Physics Reports. 1997. Vol. 287. P.337-384.

349. Huerre P., Monkevitz A. Local and global instabilities inspatially developing flows. // Ann. Rev.Fluid Mech.-1990, v.22-pp.473-537.

350. Horiuti K. Roles of non-aligned eigenvectors of strain rates and subgrid-scalestress tensors in turbulence generation. //Journal of Fluid Mechanics. 2003. Vol. 491. P. 65-100.

351. Hunt J.C.R., Carlotti P. Statistical Structure at the wall of thehigh Reynolds Number Turbulent Boundary Layer. //Flow. Turbulence and Combustion. 2001. Vol. 66. P. 453-475.

352. Iliescu Т., John V., Layton W.J., Matthies G., Tobiska L.

353. Jimenez J. Computing high-Reynolds-number turbulence: will simulationsever replace experiments? //Journal of turbulence. 2003. Vol.4. N. 22.14 p.

354. Johansen S.T., Jiongyang Wu, Shyy W. Filter -based unsteady RANScomputations. //International Journal Heat and Fluid Flow. 2004. Vol.25. P.10-21.

355. Jones W.P., Launder B.E. The prediction of laminarizationwith two equation model of turbulence1.t. J. Heat Mass Transfer.-1972.-Vol. 15.-P.301.

356. Joseph K.T., A.S.V. Murthy. Hopf-Cole transformation to somesystems of partial differential equations. // Nonlinear Differential Equations and Applications. 2001. Vol.8. P. 173-193.

357. Jacob В., Biferale L., Gaetano I, Casciola C.M. Anisotropicfluctuations in turbulent sheared flows. Preprint http://www.ArXiv.org/ nlin.CD/0402054. Feb. 2004.

358. Karman T. Fundamentals of the statistical theory of turbulence.

359. J. of Aeronautical Sci.-1937.-Vol.4-P.131.

360. Kerswell R.R., Obrist. D., Schmid P.J. On smoothed turbulentshear flows: Bounds, numerics and stress-reducing additives. // Physics of fluids. 2003. Vol. 15. N 1. P.78-83.

361. King G.P., Li Y, Swinney H.L., Marcus P.S. //J.Fluid Mech. 1984.1. Vol. 141. P. 365.

362. Knight D.D., Saffman P.G.// Lect.Notes Phys.-1978.1. Vol.75.-P.136.

363. Kolmogorov A.N. A refinement of previous hypothesesconcerning the local structure of turbulence in a viscous incompressible fluid at high Reynolds number. //J. of Fluid Mechanics, N13, N1,82-85.

364. Koschmieder E.L. Benard Cells and Taylor Vortices. Cambridge.:

365. Cabridge university press.-1993.-349pp.

366. Kozlov V. V. et al. Correlation dimension of the flow andspatial development of dynamical chaos in a boundary layer. // Phys.Lett.-1988.-Vol. 128 A.-N9.-P.479.

367. KraichnanR.H. //J. Atmos. Sci. 1976. Vol. 33 . P.1521.

368. Kraichnan R.H. An interpretation of the Yakhot-Orszag turbulence theory.

369. Physics of Fluids. 1987. Vol. 30. N 8. P. 2400-2405.

370. Krajnovich S., Davidson L. A mixed one-equation subgrid model for laTgeeddy simulation. //International journal of Heat and Fluid Flow. 2002. Vol. 23.413-425.

371. Kuramoto Y. //Prog. Theor. Phys.-1976.-Vol.54.-P.l582.

372. Kuramoto Y. Chemical oscillations. Wave and turbulence.

373. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1984.

374. Lathrop D.P., Fineberg J., Swinney.//Journal of

375. Fluid Mechanics. 1992. vol. 32. p.6390.

376. Lawn C.J. The determination of the rate of dissipation in turbulent flow.

377. J. Fluid Mech. 1971. Vol.48.Pt.3.P.477.

378. Laufer J. The structure of turbulence in fully developed pipeflow. //Nat Advis.Com. Aeronaut 1954. Rep. N 1174.

379. Laval J.-P., Dubrulle В., McWilliams J.C. Langevin models ofturbulence: Renormalization group, distant interaction algorithms or rapid distortion theory? //Phys.Fluids. 2003. Vol. 15. N5. P. 1327-1339.

380. Le Dizes S., Eloy Ch. Short-wavelenth instability of a vortex in amultipolar strain field. //Physics of Fluids. 1999. Vol.ll.N2. P. 500-502.

381. Lee J. The triad-interaction representation of homogeneousturbulence. //Journal ofMath. Phys. 1975. Vol. 16. N 7. P. 1359.

382. Lee J. Isolating constants of motion for the homogeneous turbulenceof two and three dimensions. //Journal ofMath. Phys. 1975. Vol. 16. N7. P. 1367-1373. 3}7. Lee J. Topology of trajectories of the 2D Navier-Stokes equations.

383. Chaos. 1992. Vol. 2. N4. P.537-563.

384. Leonard A. Energy cascade in large-eddy simulation of turbulentfluid flows.//Adv. Geophys.-1974.-Vol. 18 A.-P.237-248.

385. Leray J. Sur le Mouvement d'un Liquide Visquex EmplissentrEspace, Acta Math. J. 1934. Vol. 63. P.193-248.

386. Lewis G.S., Swinney H.L. Velocity structure fuctions,scaling, and transition in high-Reynolds-number Couette-Taylor flow. //Physical Review E. 1999. Vol.59, p.5457-67.

387. Lilly D.K. On the Application of the Eddy Viscosity Conceptin the inertial Sub-Range of Turbulence. NCAR-123. (National Center for Atmospheric Research, Boulder, Colorado, 1966)

388. Lopez J.M., Marques F. Small aspect ratio Taylor-Couette flow:onset of a very-low-frequency three-torus state. //Phys. Rev. E. 2003. Vol.68. P. 036302.

389. LorenzE.N. Maximum simplification of the dynamical equations.

390. Tellus, 1960, vol.12, N3, p.243-254.

391. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow. II. Atmos. Sci.1963. Vol. 20. P. 130.

392. Lumley J.L. Computational modeling of turbulent flows.//Adv.

393. Appl.Mech., 1976. Vol.18, p.124-176.

394. Lumley J.L., Yang Z., Shih Т.Н. A lenth-scale equation. //Flow.turbulence and combustion. 2000. Vol. 63. P. 1-21.

395. Lundgren T.S. Strained vortex model for turbulent fine structure.

396. Physics of Fluids. 1982. vol. 25. N12. p. 2193-2203.

397. Lundgren T.S. A small-scale turbulence model. //Physics of fluids.1993. Vol. A5. N6. P. 1472-1483.

398. Lundgren T.S. Kolmogorov turbulence by matched asymptotic expansions.

399. Physics of Fluids. 2003, Vol. 15. N 4. P. 1074-1081.

400. Luthje O., WolfS., Pfister G. Control of chaotic Taylor-Couette

401. Flow with Time-Delayed Feedback. // Phys.Rev.Lett. 2001. Vol. 85. N9. P. 1745-1748

402. L'vov V.S., Podivilov E., Pomyalov A, Procaccia , Vandembrouq D.1.prooved shell model of turbulence. //Physical Review E.1998.Vol.58.1. P.1811.

403. L'vov V.S., Pasmanter R.A, Pomyalov A, Procaccia. Stronguniversality in forced and decaying turbulence in a shell model.

404. Phys. Rev. E. 2003. Vol. 67. P.066310

405. L'vov V., Pomyalov A., Tiberkevich V. Multizone shell model forturbulent wall bounded flows. //Physical Review E. 2003. Vol. 68. P. 046308.

406. Malraison В., Atten P., Berge P., Dubois M. Dimension of strangeattractors: an experimental determination for the chaotic regime of two convective systems //J. Phys. Lett.-1983.- v.44.-p.L-897.

407. Manneville P., Pomeau. Y. Different ways to turbulence indissipative systems. //PhysicaD. 1980. Vol. 1. P.219.

408. Mathieu J, Jeandel D. Patologocal behaviour of turbulent flows andspectral method. In: Prediction methods for turbulent flows. /Ed. W. Kollman. New-York: Hemisphere publishing corporation, 1980. P.35.

409. McCauley J.L. Chaos, Dynamics and Fractals.An Algorithmic

410. Approach to Dterministic Chaos. Cambridge.: Cambridge University Press.-1994.-347 pp.

411. McComb W.D. The Physics of Fluid Turbulence. Oxford:

412. Oxford Science Publications, 1990.

413. McComb W.D., Watt A.G. Conditional averaging Procedure for theelimination of the Small-Scale Modes from Incompressible Fluid turbulence at High Reynolds Numbers. //Phys. Rev. Lett. 1990. Vol. 65. N26. P.3281-3284.

414. McComb W.D., Watt A.G. Two-field theory of incompressible-fluidturbulence. //Phys. Rev. A. 1992. Vol. 48. N 8. P.4797-4812.

415. McComb W.D. , Roberts W., Watt A.G. Conditionalaveraging procedure for problems with mode-mode coupling. //Phys.Rev. A. 1992, Vol. 5. N 6. P. 3507-3515.

416. McComb W.D. Theory of turbulence. //Rep. Progr. Phys. 1995.Vol.58. P.l 117-1205.

417. Mandelbrot B.B, Fractals and turbulence: attractors anddispersion.- //Lect.Notes.Math. 1977,vol.615 ,p. 83-93.

418. Mandelbrot B.B. Intermittent turbulent and fractal dimension; kurtosisand the spectral exponent 5/3+B.//Lect.Notes Math.- 1976, vol.565, p.83-93.

419. Manneville P. Dissipative structures and weak turbulence.

420. Boston, San Diego, Toronto: Academic press, 1990.

421. Mellor G.L., Yamada T. Development of a turbulent closurefor geophysical fluid problems.//Rev. Geophys. -1993, Vol.20, p.851-875.

422. Marques F., Lopez J.M., Iranzo V. Imperfect gluing bifurcation ina temporal glide-reflection symmetric Taylor-Couette-Flow.//Phys.Fluids. 2002. Vol. 14. N6. P. L33-L36.

423. McDonough J.M. Respounse to strain rate in a discrete dynamicalsystem model of the high-wavenumber Navier-stokes equations. //Journalof turbulence. 2003. Vol. 4. N 031. 20 p.

424. Menter F.R. Eddy viscosity transport equations and their relation1. Z.7-<3to the k-e Model.//Transaction of ASME. Journal of Fluids Engineering. 1997. Vol. 119. P. 876-884.

425. Meseguer A. Energy transient growth in the Taylor -Couetteproblem. //Physics of Fluids. 2002. Vol. 14. N 5. P. 1655-1660.

426. Misra A., Pullin D.A. A vortex-based subgrid stress model for largeeddy simulation. //Physics of Fluids. 1997. vol. 9. p.2443

427. Moehlis J. , Smith T.R., Holmes P., Faist Model for turbulent plane

428. Couette flow using the proper orthogonal decomposition. //Physics of Fluids. 2002. Vol. 14. N 7. P. 2493-2507.

429. Moin P., Mahesh K. Direct numerical simulation: A tool inturbulence research.//Annual Review of Fluid1. Mechanics.1998. Vol.30.1. P.539-578.

430. Moise I., Ziane M. Renormalization group Method. //Applications to

431. Partial Differential Equations. 2001. Vol.13. N 1. P. 275-321.

432. Moffat H.K., Kida S., Ohkitani K. Streched vortices the sinewsof turbulence; large-Reynolds-number asymptotics. //Journal of Fluid Mechanics. 1994. Vol. 259. P.241-264.

433. Monin A.S., Zilitinkewich S.S. in Proc. WMO/IUGG

434. Symposium on Numerical Weather Prediction (Tokyo, 1968. VII. 35-44).

435. Moon H.T. Soliton turbulence and strange attractor. //Phys.

436. Fluids. 1991. Vol. A3. N11. P. 2709-2715.

437. Moulden Т.Н. in Handbook of Turbulence., edited by W.Frost and

438. Т.Н. Moulden. New York. Plenum Press. 1977.

439. Mouri H., Hori A, Kawashima Y. Vortex tubes in velocity fields oflaboratory isotropic turbulence: dependence on the Reynolds number.

440. Physical Review E. 2003. Vol.57. N 1. P.016305;

441. Preprint. http://www.ArXiv.org/physics/0211044.2002.November.

442. Mullin Т., Price T.J. An experimental observation of chaosarizing from the interaction of steady and time-dependent flows.

443. Nature. 1989. vol. 349. P. 294.

444. Mullin T. Disodered fluid motion in a small closed system. // Physica1. D. 1993. Vol. 62. P. 192.

445. Mullin Т., Toya Y., Tavener S.J. Symmetry breaking andmultiplicity of states in small aspect ratio Taylor Couette flow.

446. Physics of fluids. 2002. Vol. 14. N 8. P. 2778-2787.

447. Nagano Y., Itazu Y. Renormalization group theory for turbulence:eddy- viscosity type model based on an iterative averaging method. //Physics of Fluids. 1997. Vol. 9. N 1. p.143-153.1. ЪТ>0

448. Nazarenko S., Kevlahan N.K.-R., Dubrulle B. Nonlinear RDTtheory of near-wall turbulence./ZPhysica D, -2000,Vol.l39, p.158-176.

449. Newhouse S., Ruelle.D., Takens.F. Occurence of strange axiom Aattractors near quasiperiodic flow on $TAm, m \ge 3$ //Comm.Math.Phys.-1978. -Vol.64.-P.35.

450. Nihoul J.,C., Rondy F.C. Coherent structure and negative viscosity inmarine turbulence.//! deMecanique.-1976.- Vol.15.-p.119.

451. Noack B.R. , Eckelmann H. On chaos in wakes. //Physica D.1992.vol. 56. p.151-164.

452. Noack B.R., Afanasiev K., Morzynski M., Tadmor G., Thiele F. Ahierarchy of low-dimensional models for the transient and post-transient cylindric wake.//Journal of Fluid Mechanics. 2003. Vol. 497. P. 335-363.

453. Nomura K.K., Post G. K. The structure and dynamics of vorticity andrate of strain in ioncompressible homogeneous turbulence. //Journal of Fluid Mechanics. 1998. vol. 377. p. 65-97.

454. Nozaki K., Oono Y., Shiwa Y. Reductive use of renormalizationgroup. //Physical Review E. 2000. Vol. 62. N 4. P. R4501-R4504.

455. Nunez M. The effect of the change of direction of the flow velocityin the viscous dissipation of active regions. //J.Phys. A. 2002. vol. 35. P.8277-8281.

456. Ohkitani K., Yamada M. Temporal intermittency in the energycascade process and local Lyapunov analysis in fully-developed turbulence. //Progress of theoretical physics. 1989. Vol. 81. N2. P. 320-341.

457. Okhitani K., Gibbon J.D. Numerical study of singular formation in aclass of Euler and Navier-Stokes flows. //Physics of Fluids. 2000. Vol. 12. N12. P. 3181-3194.

458. Orszag S.A. Lectures on the statistical theory of turbulence:

459. Fluid Dynamics. / Edited by R.Balian.-N.-Y.: Gordan and Breach, 1980.-P.235.

460. Orszag S.A., Patterson G.S., Jr. Numerical simulation of threedimensional homogeneous isotropic turbulence. //Phys. Rev Lett. 1972. Vol. 28. N2. P.76-79.

461. Ott E. Chaos in Dynamical Systems.Cambridge.: Cambridge

462. University Press.-1993.-397 pp.

463. Palis J., Takens F. Hyperbolicity and sensitive chaotic dynamics athomoclinic bifurcations. Cambridge.: Cambridge University Press.-1993.-244p.

464. Panton R.L. // C.R. Acad.Sci„ 1992.Ser. II. Vol. 315. P. 1467.

465. Pfister G. Space-dependent order parameter in circular Couette

466. Flowtransition.//Phys.Lett.-1981.-Vol.83A.-P.19.

467. Pfister G. // Lect. Notes in Physics.-!985.-Vol.235.-P. 199.

468. Piomelli U, Balaras E. Wall-layer models for large-eddysimulations. //Ann. Rev. Fl. Mech. 2002. vol. 34. P.349-374.

469. Polkowski J.W. // Trans. ASME J. of Eng. Gas Turbine and Power.1984.-Vol.106.-N 1.-P.128.

470. Pomeau Y., Manneville. H. Intermittent transition to turbulencein dissipative systems. // Comm. Math. Physics. 1980. Vol. 74. P. 189. Press W.H. et al. Numerical Recipes in FORTRAN. Cambridge.: Cambridge University Press.-l 993.-256pp.

471. Prigent A., Gregoire G., Chate H., Dauchot 0. Long-wavelengthmodulation of turbulent shear flows. //Physica D., 2003. Vol. 174. P. 100-113.

472. Pullin D.I. Pressure spectra for vortex models of fine-scalehomogeneous turbulence.//Physics of Fluids. 1995. vol. 7 N 4. p. 849-851.

473. Pullin D.I., Bountin J.D., Saffinan P.G. On the spectrum of a strechedspiral vortex. Physics of fluids. 1994. vol. 6. p. 3010.

474. Pullin D.I., Saffman P.G. On the Lundgren-Townsend model ofturbulent fine scales. // Physics of fluids. 1993. Vol. A 5. p. 126.

475. Pullin D.I., Saffman P.G. Vortex dynamics in turbulence. II

476. Annual Review of Fluid Mechanics. 1998. Vol. 30. P.31-51.

477. Pullin D.I., Lundgren T.S. Axial motion and scalar transport instretched spiral vortices. /Physics of Fluids. 2001. Vol. 13. p. 2553-2563.

478. Rebollo T.C., Coronil D.F. Derivation of the $ k- \epsilon $ model forlocally homogeneous turbulence by homogenization techniques. // C.R. Acad.Sci. Paris. 2003. Ser.I337 .p.431-436.

479. Recktenwald A., Lukke M., Muller H.W. Taylor vortex formation inaxial through-flow: Linear and weakly nonlinear analysis. // Phys. Rev. E. 1993. Vol. 48. P. 4444.

480. Rempfer D. Low-dimensional modeling and numerical simulation oftransition in simple shear flows. //Annual Rev. Fluid Mechanics. 2003.1. Vol. 35. 229-65.

481. Reshetnyak M., Steffen B. The shell model approach to therotating turbulence. Electronic preprint, http://www.arXiv.org/physics/0311001. November, 2003.

482. Reshotko E. Transient growth: A factor in bypass transition.

483. Physics of fluids. 2001. Vol. 13. N5. p.1067-1075.

484. Reynolds W.C., Langer C.A., Kassinos S.C. structures and scalesin turbulent modeling. //Phys. Fluids. 2002. Vol. 14. N 7. P 2485.-2492.

485. Riley D.S., Davis S.H. Eckhaus instabilities in generalized1.ndau-Ginzburg equation. //Phys. Fluids. A. 1989. Vol. 1.73 21. N10. P. 1745-1747.

486. Robinson J.C. All possible chaotic dynamics can be approximated inthree dimensions. //Nonlinearity. 1998. Vol. 11 P.529-545.

487. Robinson J.C. Global attractors: Topology and Finite-Dimensional

488. Dynamics. //Journal of Dynamics and Differential Equations. 1999. Vol. 11. N3. P.557-581.

489. Rockwell D, Nuzzi F., Magness C. Period doubling in the wake of a three-dimensionalcylinder. //Physics of Fluids. 1991. Vol. A 3. N 6. P. 1477-1478.

490. Rossi M, Bottausci F., Maurel A, Petitjeans P. A nonuniformlystretched vortex. //Phys. Rev. Lett. 2004. Vol. 92. N 5. P. 054504

491. Rubinstein R. Time-dependent isotropic turbulence. // Journal ofturbulence. 2004. Vol. 5. N 011.19 p.

492. Rubinstein R., Zhou Y. Analytical theory of the destruction terms indissipation rate transport equations. //Phys.Fluids.1996. Vol. 8. N ll.p.3172-3177.

493. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence.

494. Comm.Math.Phys.-1971.-Vol.20.-p.167.

495. Saddoughi S., Veeravalli S. Local isotropy in turbulentboundary layers at high Reynolds number. //Journal of Fluid Mechanics. -1994.- Vol. 268.-P.333-372.

496. SaffmanP.G., Wilcox D.C. //AIAA J.-1974.Vol.l2.-p.541-546.

497. Shao L., Sarkar S., Pantano C. On the relationship between themean flow and subgrid stresses in large eddy simulation of turbulent shear flows. //Physics ofFluids. 1999. Vol. 11. N 5. P. 1229-1248.

498. Shimada I., Nagasima T. //Progr. Theor. Phys. Japan.1979.-Vol.61.-N6.-P. 1605.

499. Saffinan P.G. Vortex Dynamics. Cambridge.:Cabridge University1. PTess.-1995.-325pp.

500. Sakaguchi RTransitions to defect turbulence in an anisotropic system. //Progress of theoretical physics. 1994. Vol. 92. N3.P.509-519.

501. Sakaguchi R Defect turbulence in the Coupled Swift-Hohenberg-Ginzburg-Landau equations. //Prog. Theor. Phys. 1996.

502. Vol. 96. N5. P. 1037-1042.

503. Salwen H, Cotton F.W., Grosch C.E. Linear stability of Poiseuilleflow in a circular pipe. //J.Fluid Mechanics. 1980. Vol. 98. P. 273-284.

504. Sasa S. Renormalization group derivation of phase equations. //PhysicaD. 1997. Vol.108. P. 45-50.

505. Segel D. The higher moments in the Lundgren model conform with

506. KolmogOTOv scaling. //Physics ofFluids. 1995. Vol. 7. N12. P. 3072-3077.1. Z33

507. Shafarevich A.I. Localized asymptotic solutions of the Navier

508. Stokes equations and topological invariants of vectorfields. Prandtl-Maslov equations on reeb graphs andFomenko invariants.

509. Russian journal of mathematical physics. 2000. Vol.7.N 4.p. 401-447.

510. She Z.-S., Frisch U., Thual 0. //Lecture Notes in Physics. 1985.1. Vol. 230. p. 127-154.

511. She Z.-S., Ren K., Lewis G.S., Swinney H.L. Scaling andstructures in turbulent Couette-Taylor flow. 2001. Vol. 64. P.016308.

512. She Z.-S., Leveque E., Koudella C.R. Finite-Mode Spectral Model of

513. Homogeneous and Isotropic Turbulence: A rapidly Depleted Energy Cascade.//Phys.Rev.Let 2001. Vol. 86. N18. P.4033-4036.

514. Shen X., Warhaft Z. The anisotropy of the small-scale structure inhigh Reynolds number (R\lambda \propto 1000) turbulent shear flow. //Phys.Fluids. 2000. Vol. 12. N 11. P. 2976-2989.

515. Shen X., Warhaft Z. On the higher order mixed structure inlaboratory shear flow. //Phys. Fluids. 2002. Vol. 8. N 11. P. 3112-3127.

516. Shimada I, Nagasima I.//Prog.Theor.Phys.Japan. 1979.-Vol.611. N6.-P.1605.

517. Sieber M. Experiments on the attractor-dimension for turbulentpipe flow//Phys. Lett.-1987. -Vol. 122 A.-N9.-P.467.

518. Sivashinsky G.I. //Acta Astronautica.-1977.-Vol.42.-P.301.

519. Sivashinsky G.I., Yakhot V. Negative viscosity effect in largescale flows. // Physics of fluids. 1985. Vol. 28. P. 1040.

520. Sivashinsky G.I., Frenkel A.L. On negative eddy viscosity underconditions of isotropy. //Phys.Fl. A. 1992. Vol.4. N8. P.1608-1610.

521. Smagorinsky J.J. //Monthly Weather Rev.-1963.-Vol.91.-p.99.

522. Spiegel E.A. Chaos: a mixed metaphor for turbulence.

523. Proc.R.Soc .London.-1987.-Vol.41 ЗА.-P. 87.

524. Smagorinsky J., Manabe S., Holloway J. Numerical Results froma Ninelevel General Circulation Model of the Atmosphere// Month. Weather Rev. 1965.-V.93.P.429-438.

525. Schmitt F.G., Merci В., DickE., Hirsch Ch. Directinvestigationof the K-transport equation for a complex turbulent flow. //Journal of turbulence. 2003. Vol. 4. N 021.18 p. Electronic journal, http://jot.iop.org

526. Smith G.P., Townsend A.A. //Journal of Fluid Mechanics. 1982.1. Vol.123. P.187.

527. Streett C.L., Hussaini M.Y. A numerical simulation of theappearence of chaos in finite-lenth Taylor-Couette-flow. // Appl. Numerical Math. 1991. Vol. 7. P. 41

528. Stuart J.T. //Transitions and Tuibulence./Edited by R.E.Meyer.

529. N.-Y.: Academic Press, 1981,- P.77.

530. StuberK. GhalilM. // AIAA/ASME/APS. l-st National Fluid

531. Dynamics Congress.-1988.-Pt.2.-N 3840 CP.-P.723.

532. Succi S., Fillipova O., Chen H., Orszag S. Towards arenormalized lattice boltzmann equation for fluid turbulence. //Journal of statistical physics. 2002. Vol. 107. N l/2,p.261-278.

533. Sukoriansky S., GalperinB., Staroselsky I. Cross-term and$\epsilon$-expansion in RNG theory of turbulence. //Fluid dynamics research. 2003. Vol. 33. P.319-331.

534. Swift J.W., Wiesenfeld K. Supression period- doubling insymmetric systems. // Phys. Rev. Lett 1984. Vol.52. P. 705.

535. TaggR. The Couette-Taylor problem. //Nonlinear Science Today.1994. Vol. 4.N3.P.1.

536. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence1.ct Notes in Mathematics.-1981.-Vol.898.-P.366.

537. Tanaka M., Kawahara G., Kida S., Yanase S. Wrap, tilt and stretch ofvorticity lines around a strong straight vortex tube in a simple shear flow. // Journal of Fluid Mechanics. 1997. vol. 353. p. 115.

538. Taylor J. //Proc. R. Soc. London. 1936. Ser. A Vol. 157. p. 546.

539. Tennekes H., Lumley J. A First Course in Turbulence. Cambridge:1. MIT Press. 1972.

540. Terry P.W. Suppression of turbulence by sheared flow. // Rev. Mod.

541. Phys. 2000. N1. P. 109-165.

542. Thess A. Instabilities in two-dimensional spatially periodic flows. Part1: Kolmogorov flow. //Physics of Fluids. 1992. Vol. A 4. N7. P. 1385-1395.

543. Thess A. Instabilities in two-dimensional spatially periodic flows. Part1.: Square eddy lattice. //Physics of Fluids. Vol. A 4. N 7. P. 1396-1407.

544. Townsend A.A. Structure of Turbulent Shear Flow. Cambridge.:

545. Cambridge University Press.-1980.-440pp.2ЛГ

546. Taylor G.I. //Proc.Roy.Soc.-1932.-Ser.A.-VoU35.-P.535.

547. Taylor G.I. //Proc.Roy.Soc.-1936.-Ser.A.-Vol.l57.- N 892.-P.546.

548. Tomboulides A.G., Triantafyllow G.S., Karniadakis G.E. A newmechanism of period doubling in free shear flows. //Physics of Fluids. 1992. Vol. A4. P. 1329-1331.

549. Trefethen L.N., Trefethen A.E., Reddy S.C., Driscoll T.A.

550. Hydrodynamic stability theory without eigenvalues. // Science.1993. Vol.261. P. 578.

551. Tsinober A. An informal introduction to turbulence. Amsterdam.

552. Kluwer Academic Publishers. 2001.

553. Tuckerman L.S., Barkley D. Symmetry Breaking and turbulence inperturbed plane Couette flow. //Theoret.Comput. Fluid Dynamics. 2002.1. Vol. 16. N91-97.

554. Tur A. V., Yanovsky V.V. The role of dissipation fluctuations onthe generation of structures and the Kuramoto-Sivashinsky equation. //Phys. Fluids. 1991. Vol. A3. N 8. P.1969- 1971.

555. Voelkl Т., Pullin D.I., Chan D.C. A physical space version of the strechedvortex subgrid-stress model for large-eddy simulation. //Physics of Fluids. 2000. Vol.12 N7. P. 1810-1825.

556. Walden R.W., Donnelly R.J. Reemergent order of chaotic

557. Couette flow //Phys.Rev.Lett.-1979.-Vol.42.-P.301.

558. Waleffe F. The nature of triad interactions in homogeneous turbulence.

559. Physics of Fluids. 1992. Vol. A 4. N 2. P. 350-363.

560. Waleffe F. Transition in shear flows. Nonlinear normality versusnonnormal linearity. //Physics of fluids. 1995. Vol.7. P.3060.

561. Wang A.K., Gelhar L.W. //ASME. Journal of fluid engineering. 1982.1. Vol. 104. p.367.

562. Warhaft Z., Shen X. On the higher order mixed structure functionsin laboratory shear flow. //Physics of Fluids. 2002. Vol. 14. N 7. P.2432-2438.

563. Weinstock J. Theory for the off-diagonal element of dissipationin homogeneous turbulence. //Physics of Fluids. 1997. Vol. 9. N7. P.2171-2173.

564. Wendt F. // Ingenieur-Archiv.-1933.-Vol.4. P.577.

565. Wilcox D.C. Reassessment of the scale-determining equation foradvanced turbulence models.//AALA Journal -1988.- Vol. 26, Nll,p.l299.

566. Wilson K.G. Renormalization group and critical phenomena. П.phase-space cell analysis. //Phys. Rev. Vol.1971. В 4. P. 3184.

567. Wilson K.G. The renormalization group : critical phenomena and the

568. Kondo problem. //Rev. Mod. Phys. 1975. Vol. 47. P. 773.

569. Wolf A., Swift J.B., Swinney H.L., Vastano J.A. Determiningъгв>1.apunov exponents from a time series //Physica D.-1985.-V.16, N3.-p.285.

570. Wulf P., Egbers C., Rath. Routes to chaos in wide-gap spherical

571. Couette flow. //Physics of Fluids. 1999. Vol. 11. P. 1359.

572. Woodruff S.L A similar solution for the Direct Interaction

573. Approximation and its relationship to renormalization group analyses. //Phys.Fluids. 1994. Vol. 6. N 9. P. 3051.

574. Yamazaki Y., Ishihara Т., Kaneda Y. Effect of Wavenumber

575. Truncation on High -Resolution Direct Numerical Simulationof Turbulence. //Journal of the Physical Society of Japan. 2002. N3. P.777-781.

576. Yakhot V. A simple model for self-sustained oscillations onhomogeneous shear flow. //Physics of fluids. 2003. vol. 15 N 2. P. L17-L20.

577. Yakhot V., Orszag S.A. Renormalization group analysis ofturbulence. I. Basic theory. // Journal of Scientific Computations. 1986. Vol. 1. P. 3.

578. Yakhot V., Orszag S.A. Renormalization group analysis ofturbulence. //Phys. Rev. Lett 1986. Vol. 57. N 14. P. 17221724.

579. Yakhot V., Orszag S.A. , Thangam S., Gatski T.B., Speziale C.G.

580. Development of turbulence models for shear flows by a double expansiontechnique. //Physics of Fluids. 1992. Vol. A 4. N 7. P. 1510-1520.

581. Yakhot V., Pelz R. Large-scale structure generation byanisotropic small-scale flows. //Physics of fluids. 1987. vol. 30. p. 1272.

582. Yakhot V., She Z.-S., Orszag S.A. Deviations from the classical

583. Kolmogorov theory of the inertial range of homogeneous turbulence.

584. Physics of Fluids. 1989. Vol. 1. N 2. P.289-293.

585. Yakhot V., Sivashinsky G. Negative viscosity phenomena in 3dflows. //Phys.Rev.A. 1987. Vol. 35. p.815.

586. Yakhot Y., Smith L.M. The renormalization group, the e-expansion,and derivation of turbulence models. // Journal of Scientific Computations. 1992. Vol. 7. P. 35.

587. Yoshizawa A. Statistical Investigation of Transport equation for

588. Energy Dissipation in Shear turbulence. //J.Phys.Soc.Jpn. 1982. Vol. 51. N 6. PP. 1983-1991.

589. Yoshizawa A. Statistical modeling of a transport equation for the kineticenergy dissipation rate. // Physics of Fluids. 1987. Vol. 30. N 3. P. 628631.

590. Yoshizawa A. Nonequlibrium effect of the turbulent-energyproduction process on the inertial-range energy spectrum. //Phys.Rev. E. 1994. Vol. 49. N 3. P. 4065-4071.

591. Young Y.-N., Riecke H. Penta-Hepta defect chaos in a model of rotatingturbulence. //Phys.Rev.Lett. 2003. Vol.n 90. N13. P. 134502.

592. Zhao H., Ling G. Low-dimensional dynamic systems for a wake-typeshear flow with vortex dislocations. //Fluid Dynamics Research. 2003.1. Vol. 33. P. 299-312.

593. Zhou Y., Vahala G. , Hossain M. Renormalization group theory fothe eddy viscosity in subgrid modeling. // Phys. Rev. 1988. Vol. A37. P.2590.

594. Zikanov O. Yu. On the instability of pipe Poiseuille flow. //

595. Physics of Fluids. 1996. Vol. 8. P. 2923- 2932.

596. Zimin V., Hussain F. Wavelet based model for small-scaleturbulence. //Physics of Fluids. 1995. Vol. 7 N 12. P. 29252927.

597. Zou Z., Zhu Y., Zhou M, She Z.-S. Hierarchical structures in aturbulent pipe flow. //Fluid Dynamics Research. 2003. Vol. 33. p.493-508.1. Z3&