Нелинейная эволюция структур в средах без дисперсии и диффузия частиц тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Нижегородский государственный университет Им. Н.И.Лобачевского

На правахрукописи

Мошков Александр Юрьевич

НЕЛИНЕЙНАЯ ЭВОЛЮЦИЯ СТРУКТУР В СРЕДАХ БЕЗ ДИСПЕРСИИ И ДИФФУЗИЯ ЧАСТИЦ

Специальность 01.04.03 - радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород - 2004

Работа выполнена в Нижегородском Государственном Университете им. Н.И. Лобачевского, г. Нижний Новгород

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор С.Н. Гурбатов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор А.И. Саичев

доктор физико-математических наук, профессор А.И. Потапов

Ведущая организация: Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова

Защита состоится "_" декабря 2004 г. в_часов на заседании

диссертационного совета Д. 212.166 07 в Нижегородском Государственном Университете им. Н.И. Лобачевского по адресу: 603600, г. Нижний Новгород, ГСП-20, пр. Гагарина, 23, корп. 4, ауд._

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского Государственного Университета им. НИ. Лобачевского

Автореферат разослан "_" ноября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидатфизико-математических наук

В.В. Черепенников

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. В зависимости от соотношения нелинейности и дисперсии в физике нелинейных волн можно условно выделить два класса задач, которые принципиально отличаются как по эффектам, так и по методам исследования. В средах с сильной дисперсией взаимодействует конечное число волн, в результате взаимодействия они сохраняют свою структуру, а для их описания можно использовать метод медленно меняющихся амплитуд. В средах с малой дисперсией характерным является когерентное взаимодействие большого числа временных или пространственных гармоник, и в результате образуются сильно нелинейные структуры. Задача теоретического и экспериментального исследования эволюции и взаимодействия сильно нелинейных волновых полей составляет важное направление в физике нелинейных волн. При случайных начальных условиях можно говорить о сильной турбулентности, когда эволюция случайного поля происходит как взаимодействие устойчивых сильно нелинейных структур. Базовыми уравнениями в нашем случае являются нелинейные уравнения в частных производных типа уравнения Римана, Бюргерса и уравнения KPZ (Kardar-Parisi-Zhang). При отсутствии внешних сил уравнение Бюргерса описывает вырождение турбулентности, то есть нелинейную трансформацию случайного начального возмущения. При случайных начальных условиях эта задача моделирует затухание гидродинамической турбулентности. Известно, что указанная классическая задача гидродинамической турбулентности до сих пор далека от разрешения (см. например, статью: Yakhot V. J. Decay of three-dimensional turbulence at high Reynolds numbers. Fluid Mech. v. 505, pp.87-91, 2004) и имеет нетривиальную историю.

Несмотря на то, что нелинейное уравнение Бюргерса имеет точное решение - решение Хопфа-Коула, его непосредственное использование мало что дает для статистических задач, где требуется проводить усреднение по ансамблю реализаций. В тоже время в наиболее интересном случае больших чисел Рейнольдса (исчезающе малой вязкости) решение уравнений Бюргерса и KPZ удается свести к принципу максимума, а именно, к отысканию максимума функционала начального поля. Данный принцип дает возможность использовать эффективные аналитические методы теории больших отклонений случайных процессов для анализа статистических характеристик, как потенциала, так и его градиента. Несмотря на то, что решение Хопфа-Коула было получено в 1950 году, первые серьезные результаты для Броуновского начального потенциала были получены в монографии Бюргерса в 1974 году, 35 лет спустя после появления самого уравнения (Бюргерс, 1939). При этом точное статистическое описание данного специального случая было сделано совсем недавно (Frachebourg L., Martin Ph. A., Exact statistical properties of the Burgers equation, J. Fluid Mechanics, 2000, v. 417, pp.323-349). Анализ этого, казалось бы, простого,

показывает, что в зависимости от начальных условии возможны качественно различные режимы вырождения турбулентности.

В последнее время интерес к нелинейным уравнениям типа уравнения Бюргерса резко возрос. Укажем несколько причин этого. Во-первых, было показано, что данное уравнение естественно возникает в широком классе физических задач, описывающих распространение нелинейных волн в средах без дисперсии, включает такие проблемы как эволюция хаоса, и распространение электромагнитных волн в ферритах, магнитозвуковых волн в плазме и интенсивных акустических волн в жидкости и газе. Его многомерное обобщение является адекватной моделью нелинейной стадии гравитационной неустойчивости крупномасштабной структуры Вселенной. В то же время уравнение для потенциала скорости (уравнение KPZ) описывает неравновесный рост поверхности распространение фронтов пламени. Во-вторых, на основе принципа максимума, был получен ряд результатов, которые позволили существенно продвинуть статистическую теорию одномерной турбулентности. Наконец, в гидродинамической турбулентности было осознано, что многие черты турбулентности Бюргерса, такие как перемежаемость, универсальность спектров, различные типы автомодельного вырождения, являются универсальными свойствами любой турбулентности. Указанные причины привели к резкому росту числа публикаций, так или иначе связанных с исследованиями уравнения Бюргерса. Так за последние годы (2001-2004) в электронном архиве arXiv.org появилось 62 новых публикаций, где обсуждаются динамические и статистические проблемы, связанные с уравнением Бюргерса.

Наряду с построением статистических моделей самих нестационарных турбулентных течений часто необходимо исследовать диффузию пассивной примеси в таких течениях. Данный вопрос представляет большой интерес для задач, связанных с экологией, океанологией и физикой атмосферы. В таких средах поле скорости, как правило, имеет разрывы производной, а для поля примеси происходит кластеризация - примесь собирается в локализованные сгустки. Для подобных задач характерным является эффект локализации примеси, при исследовании которого возникают два конкурирующих механизма - затухание поля скорости и инерциальное движение частиц. В данной диссертации развиваются аналитические и численные методы анализа волн и структур в средах с нелинейностью гидродинамического типа и исследуются эффекты кластеризации полей пассивной примеси или плотности вещества.

Уравнение Бюргерса связано с задачей о диффузии частиц и с другой стороны. Известно, что в пределе бесконечно малой вязкости решение уравнения Бюргерса подобно эволюции газа слипающихся частиц. При этом образование разрывов соответствует слипанию «легких» частиц в «тяжелые» кластеры. Несмотря на простоту постановки такой классической задачи механики, для нее относительно недавно были получены нетривиальные результаты. В работе (Е W., Rykov Yu.G. and Sinai Ya.G. Generalized variational

principles, global weak solutions and behavior with random initial data for systems of conservation laws arising in adhesion particle dynamics. Comm. Math. Phys. v. 177, 349-380 (1996) был построен глобальный принцип максимума для произвольной начальной плотности среды. Процесс кластеризации характерен для динамики самогравитационных систем. Поэтому так называемая "модель слипания", в основе которой лежит обобщенная векторная форма уравнения Бюргерса, была предложена для описания формирования крупномасштабных образований Вселенной, рождающихся из случайных начальных возмущений малой плотности, на нелинейной стадии гравитационной неустойчивости, когда силами давления можно пренебречь.

Целью диссертационной работы является исследование нелинейной эволюции структур в средах без дисперсии и диффузии частиц в таких полях , а именно:

• исследование эволюции многомерных анизотропных случайных и регулярных полей в средах без дисперсии;

• исследование эволюции многомерных локализованных сигналов со сложной внутренней структурой в средах без дисперсии;

• исследование диффузии сжимаемого течения (пассивной примеси) в нестационарных турбулентных полях (на основе уравнения Бюргерса) при малой вязкости жидкости, анализ как одиночного поведения частиц, так и распределения плотности ансамбля;

• изучение процессов формирования крупномасштабных структур на нелинейной стадии эволюции Вселенной в рамках модели адгезии (уравнение Бюргерса с бесконечно малой вязкостью) и теоретического и численного исследования одномерной самогравитационной системы.

Научная новизна работы:

• в рамках многомерного уравнения Бюргерса показаны и исследованы процессы возникновения с течением времени локальной автомодельности и изотропии полей скорости и потенциала;

• для анизотропных периодических полей исследован процесс генерации крупномасштабной компоненты, показано сохранение глобальной анизотропии структуры поля, исследована линейная стадия эволюции поля;

• найдено, что в случае ближних корреляций случайного начального потенциала поля нелинейные эффекты и диссипация приводят к статистической изотропизации и автомодельности поля, а случае наличия дальних корреляций в начальном потенциале анизотропия спектра в области малых волновых чисел сохраняется;

• для локализованных возмущений со сложной внутренней структурой показано, что происходит генерация практически детерминированной

когерентной структуры, а на поздней стадии среднее поле и дисперсия имеют автомодельный вид;

при исследовании динамики взвешенной в одномерном линейном течении Бюргерса примеси впервые найдены асимптотические решения для одиночных частиц и получено автомодельное временное поведение функции плотности;

исследована динамика одномерной системы самогравитационного газа, получены асимптотические решения для динамики отдельных частиц и автомодельное поведение функции плотности.

Научная и практическая значимость работы состоит в ряде найденных новых результатах, описывающих явления нелинейной диффузии. Полученные в диссертации факты могут быть использованы при исследовании роста поверхностей, распространении фронтов пламени, динамики частиц и ансамбля сторонней взвешенной примеси в нестационарных течениях, формирования крупномасштабных массовых структур во Вселенной.

Апробация работы. Публикации. Представленная диссертационная работа выполнена в Нижегородском государственном университете, в том числе в рамках гранта РФФИ, гранта Университеты России и гранта Минвуза для аспирантов. По теме диссертации опубликовано 3 статьи в научных журналах [1-3], 6 статей в трудах конференции, 5 тезисов докладов.

Результаты диссертации докладывались на Итоговых научных конференциях Радиофизического факультета ННГУ (Нижний Новгород, 19992004 гг.) [4-8], научной школе-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых-99" (Саратов, 1999 г.) [9], Второй международной конференции "Фундаментальные проблемы физики" (Саратов, 9-14 октября 2000 г.) [10], Международной конференции, посвященной 100-му юбилею А.А. Андронова (Нижний Новгород, 2-6 июля 2000 г.) [11], конференции Нижегородской акустической научной сессии (Нижний Новгород, 5-8 мая 2002 г.) [12], международном совещании по космологии (Ницца, 2003), Научной школе « Нелинейные волны 2004», (Нижний Новгород, 2004), II Международной конференции "Frontiers Of Nonlinear Physics" (Нижний Новгород - Санкт-Петербург, 5-12 июля 2004 г.) [13,14].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и библиографии. Общий объем диссертации - 118 страниц, рисунков - 46, библиография - 155 наименований.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Возникновение с течением времени локальной автомодельности и изотропии полей скорости и потенциала, описываемых уравнением Бюргерса;

2. Возникновение статистической изотропизации и автомодельности поля из-за совместного действия нелинейных

эффектов и диссипация для случайных анизотропных полей в случае ближних корреляций начального потенциала. Сохранение анизотропии спектра в области малых волновых чисел в случае наличия дальних корреляций в начальном потенциале.

3. Нелинейная генерация практически детерминированной когерентной структуры из случайных локализованных возмущений со сложной внутренней структурой и возникновение автомодельного режима эволюции для среднего поля и дисперсии.

4. Процесс локализации пассивных частиц в нестационарном течении, описываемом одномерным уравнением Бюргерса. Автомодельное асимптотическое поведение распределения плотности в окрестности разрыва в случае сильного трения.

5. Автомодельный характер эволюции кластера газа гравитационно-взаимодействующих частиц при формировании плоских крупномасштабных структур на нелинейной стадии гравитационной неустойчивости в расширяющейся Вселенной. Самосогласованная динамика гравитационно-взаимодействующих частиц в области коллапса с учетом многопотокового поведения системы и анализ модели слипания при конечной вязкости.

Краткое содержание работы.

Во Введении обоснована актуальность выбранной темы,

сформулированы основные задачи работы, приведено краткое содержание каждой главы, даны сведения об апробации работы.

В первой главе диссертации обсуждается эволюция периодических структур и случайных статистически однородных полей в многомерном уравнении Бюргерса. Глава состоит из 5 разделов.

В разделе 1.1. приводится краткий обзор, где рассмотрено точное и асимптотические решения (при и ) решение многомерного

уравнения Бюргерса

и приведены результаты о характерных особенностях процесса распространения одномерных регулярных и случайных возмущений. Подробно обсуждается используемый при для нахождения решения

принцип максимума и вытекающее из него существование локальной автомодельности решений уравнения Бюргерса. Последнее означает, что благодаря взаимодействию нелинейных и диссипативных эффектов на больших временах каждая реализация поля скорости имеет универсальное поведение внутри ячеек:

Показано, что возникновение универсальной структуры происходит быстрее по осям, имеющим меньший характерный масштаб ¿(.:

(

= съ *

1-Е;

у,,)1

В разделе 1.2 рассматривается взаимодействие плоских волн в двумерном уравнении Бюргерса в пределе бесконечно малой вязкости, причем как на стадии переходных процессов, так и в асимптотике. Показано появление универсальной ячеистой структуры поля и аналитически исследовано

изменение соотношения энергий компонент поля скорости. В отличие от

одномерного уравнения Бюргерса средний квадрат компоненты скорости V.

может, как убывать, так и возрастать со временем, и связано это с тем, что многомерное уравнение Бюргерса не имеет закона сохранения. При этом '"энергия" компонент, описывает среднюю изрезанность поверхности. На рис. I приведены результаты численного моделирования эволюции энергии компонент двумерного сильно анизотропного периодического поля.

Рис.1. Эволюция энергии компонент двумерного периодического поля.

Показаны эффект полной потери начальной амплитудной периодической модуляции поля и сохранение глобальной пространственной анизотропии поля. Также в данном разделе рассмотрена линейная стадия эволюции периодической структуры при конечных числах Рейнольдса. Показано качественно различное асимптотическое поведение крупномасштабной компоненты скорости в зависимости от соотношения начальных пространственных масштабов

В разделе 1.3 рассматривается эволюция анизотропного турбулентного поля. Изучена начальная стадия развития, когда происходит локальная изотропизация и установление универсальной структуры по мелкомасштабной компоненте. Показана происходящая с течением времени глобальная

изотропизация поля в случае ближних корреляций (быстрого спадания корреляционной функции) начального потенциала. На основе статистической теории больших выбросов найдено вероятностное распределение векторного поля скорости. Энергии компонент на этой стадии выравниваются

(г \ V"4

I

1о§

ау1

vW2

12

и определяются дисперсией начального потенциала и эффективным

радиусом корреляции равным геометрическому среднему радиусов

корреляции начального потенциала по главным осям. Спектральная плотность, как и пространственная структура поля, является изотропной и самоподобной

Е(к, /) =

Е{кЩ),

где

размерность пространства.

Рис.2. Начальное анизотропное поле Рис. 3. Поле потенциала с потенциала с ближними ближними корреляциями на

корреляциями. поздней стадии.

На рис. 2 и 3 показаны результаты численных экспериментов, изображающие пространственный потенциал на разных стадиях эволюции. В этой же главе рассмотрена линейная стадия эволюции поля и показано сохранение анизотропии поля в случае дальних корреляций начального потенциала в отличие от случая с ближними корреляциями поля.

В разделе 1.4 диссертации на базе многомерного уравнения Бюргерса с бесконечно малой вязкостью рассматривается процесс эволюции во времени локализованных анизотропных возмущений, причем как простых, так и со сложной внутренней структурой. В качестве последних рассматриваются возмущения с шумовым заполнением и характерным масштабом модуляции

¿м много большим, чем характерный масштаб заполнения I. При V-* О нелинейные эффекты приводят к возникновению локальной автомодельности полей скорости и потенциала, когда случайное возмущение разбивается на ячейки с универсальным поведением поля в каждой их них, а параметры асимптотической структуры мало меняются при переходе от одной случайной реализации к другой. Это означает, что из случайного сложного локализованного возмущения с нулевым средним генерируется практически детерминированная когерентная структура. Показано что на поздней стадии мы имеем автомодельную эволюцию среднего поля V)

и дисперсии Оу. На рисунках 4 и 5 изображена структура безразмерных полей скорости и потенциала для различных значений параметра Й0 = [d2\og(Lt„ 111„)]112, где Ь - характерный масштаб модуляции.

На рис. 6,7 изображены результаты численного моделирования эволюции локализованного сигнала в различные моменты времени. На рис. 8 приведена экспериментальная фотография распространения сферического фронта пламени, взятая из работы Kuznetzov E.A., Minaev S.S. Formation and propagation of cracks on the flame surface. J. Phys. Let. A, 1996 vol. 221 p. 187.

± A

Рис. 6-7. Структура локализованного сигнала в различные моменты времени.

Рис.8. Фотография фронта пламени.

За счет логарифмической поправки к положению разрыва отношение ширины разрыва к положению ударного фронта возрастает с течением времени, что приводит к уменьшению эффективного числа Рейнольдса и, следовательно, к разрушению нелинейной структуры. При конечных числах Рейнольдса сильно нелинейная стадия эволюции сменяется, в конце концов, на линейную. На линейной стадии сама поверхность имеет Гауссову форму с высотой, среднее значение которой не зависит от внутренней структуры потенциала и всегда положительно, а ее флуктуации существенно, в ехр(Яео) раз, возрастают по сравнению с нелинейной стадией. Это связано с тем, что время перехода от нелинейной стадии к линейной в разных реализациях экспоненциально зависит от максимальной высоты начального возмущения.

В разделе 1.5 описаны основные результаты первой главы диссертации.

Вторая глава диссертации посвящена анализу динамики пассивной примеси, взвешенной в нестационарном одномерном течении.

В разделе 2.1 рассмотрены основные подходы к описанию движения частицы в поле жидкости и получено базовое уравнение динамики

В качестве модели течения использовано одномерное уравнение Бюргерса, описывающее конкуренцию нелинейности и диссипации при эволюции заданного начального поля. При исследовании эффекта локализации частиц в таком течении возникают два противодействующих механизма - затухание поля скорости и инерциальное движение частиц. Изучена динамика одиночной частицы в нестационарном течении с линейным профилем скорости. Получены точные решения и исследованы их асимптотики при различных соотношениях данных эффектов.

В разделе 2.2 на основе полученных точных решений для линейного профиля рассматривается движение частицы в периодическом изначально треугольном поле, поведение которого отражает основные свойства гармонических полей на стадии развитой турбулентности. Изучено поведение частиц в момент коллапса и условия их локализации. Показано, что, несмотря на затухание скорости течения, происходит локализация частиц у разрыва поля за счет уменьшения амплитуды осцилляции (см. рис. и получены параметры данных колебаний.

Рис. 9. Траектории одиночных Рис. 10. Автомодельное

частиц в окрестности разрыва. поведение плотности примеси у

разрыва.

Строгие теоретические результаты для динамики одиночной частицы в окрестности разрыва позволяют найти функцию плотности частиц в окрестности разрыва в случае сильного трения при различных

моделях функции распределения. Получено, что закон изменения плотности является автомодельным (см. рис. 10) и зависит лишь от соотношения трения и нелинейности |

Также показаны основные отличия в эволюции в случае слабого трения. В разделе 2.3 представлены основные результаты 2 главы.

В третьей главе исследована динамика самогравитирующего газа в случае плоских возмущений.

Как известно, на линейной стадии гравитационной неустойчивости все возмущения, масштаб которых больше длины Джинса, растут одинаково. Поэтому в гидродинамическом Приближении газ гравитационно -взаимодействующих частиц на масштабах, когда давлением можно пренебречь, является примером среды без дисперсии. Для приближенного описания эволюции структур на нелинейной стадии часто используются две модели: приближение Зельдовича и модель слипания ("adhesion model"). После нелинейной замены переменных движение частиц в этих моделях сводится к уравнениям Римана и Бюргерса, соответственно. В третьей главе исследована динамика одномерных возмущений газа гравитационно -взаимодействующих частиц в расширяющейся Вселенной на многопотоковой стадии. Заменяя непрерывное распределение плотности набором распределенных частиц одинаковой массы, из уравнений Власова-Пуассона в случае одномерной модели и расширения Эйнштейна - Де Ситтера удалось получить методику теоретического расчета динамики частиц в сопровождающей системе координат, названную Для режима с

многопотоковым поведением удалось свести задачу динамики частиц к

итерационном схеме, что позволило получить аналитические результаты как для поведения частиц, так и для плотности материи.

В разделе 3.2 было получено аналитическое решение, точно описывающее динамику одиночной частицы в окрестности кластера. Показана локализация и получены строгие результаты для параметров осцилляций, происходящих в окрестности кластера. Пользуясь этим, удалось аналитически рассчитать основные этапы эволюции внутренней структуры кластера, распределения плотности и массы в его окрестности. Найден аналитический закон автомодельного распределения плотности и массовой функции частиц в окрестности кластера который хорошо согласуется с

результатами численного моделирования, представленными на рис 11.

Рис. 11. Распределение плотности частиц в окрестности сгустка и фазовая плоскость. Проведено сравнение с приближением слипающихся частиц. Показано, что процесс образования кластера в модели слипания происходит быстрее, следовательно, можно утверждать, что данная модель качественно правильно описывает процесс слипания, но не корректно описывает внутреннюю структуру кластера. Так, в модели слипания ширина кластера в зависимости от космологического времени уменьшается быстрее (~-ехр(у-1!Ь)), чем в 0-МОДСЛИ (-б"'*). Также отлично результаты моделей в описании распределений в области коллапса и на периферии. В завершение, показано, что при взаимодействии двух кластеров не происходит перемешивания частиц, и структура нового кластера остается автомодельной с двумя разными масштабами, которые изменяются по одному и тому же закону.

В разделе 3.3 представлены основные результаты 3 главы.

В Приложении к диссертации исследуются статистические свойства максимумов статистически неоднородных случайных Гауссовых полей, необходимые при изучении эволюции случайных турбулентных полей в рамках многомерного уравнения Бюргерса. Также рассмотрены численные

алгоритмы, используемые в диссертации. Описана схема численного решения многомерного уравнения Бюргерса в случае бесконечно малой вязкости, в основе которой лежит преобразование Лежандра и обсуждаются способы формирования многомерных случайных полей с заданными статистическими величинами.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Основные результаты работы.

1. В рамках многомерного уравнения Бюргерса показано возникновение с течением времени локальной автомодельности и изотропии полей скорости и потенциала в окрестности максимумов начального потенциала.

2. Для анизотропных периодических структур исследован процесс генерации крупномасштабной компоненты и показано сохранение глобальной анизотропии поля.

3. Для анизотропной турбулентности Бюргерса найдено, что в случае ближних корреляций начального потенциала нелинейные эффекты и диссипация приводят к глобальной статистической изотропизации и автомодельности поля и получены статистические характеристики полей потенциала и скорости. Качественно исследованы процессы установления изотропного режима на нелинейной стадии. Показано что анизотропия спектра в области малых волновых чисел сохраняется в случае наличия дальних корреляций в начальном потенциале.

3. Для локализованных возмущений со сложной внутренней структурой показано, что при непрерывное возмущение разбивается на ячейки с универсальным поведением поля в каждой их них. Показано, что, если масштаб сложной внутренней структуры существенно меньше масштаба локализации, то из случайного сложного локализованного возмущения с нулевым средним генерируется практически детерминированная когерентная структура. В результате взаимного поглощения одних ячеек другими на поздней стадии имеет место автомодельная эволюция среднего поля и поля дисперсии. Показано, что на линейной стадии флуктуации высоты существенно возрастают по сравнению с нелинейной стадией.

4. Исследованы динамика и процесс локализации пассивных частиц в сжимаемом течении, описываемом одномерным уравнением Бюргерса. Для линейного профиля течения получены точные решения, позволяющие исследовать поведение частиц при различных соотношениях эффектов

нелинейности и диссипации. Было рассмотрено движение частицы в периодическом пилообразном поле, детально изучены процесс локализации и характерные параметры колебаний частиц. Получено распределение плотности в окрестности разрыва и исследована эволюция данной функции на различных этапах в случае слабого и сильного трения. Показано автомодельное асимптотическое поведение распределения в случае сильного трения.

5. Исследован нелинейный режим формирования крупномасштабных структур на стадии гравитационной неустойчивости в расширяющейся Вселенной Эйнштейна-Де Ситтера в предположении, что начальные возмущения плоские. Изучена согласованная динамика гравитационно-взаимодействующих частиц в области коллапса с учетом многопотокового поведения системы, для которой итерационным отображением получены асимптотические решения. Основным достижением является найденная теоретически внутренняя структура кластера, при этом показано, что для определенных начальных условий коллапс носит автомодельный характер. Эти данные сравниваются с аналогичными результатами для приближения Зельдовича и модели слипания (уравнение Бюргерса с малой вязкостью, совместно с уравнением непрерывности) и численным моделированием.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Гурбатов С.Н., Майнарди Ф., Мошков А.Ю., Тампиери Ф. О динамике частиц в нестационарном течении. Известия ВУЗов: Прикладная Нелинейная Динамика, (4-5) 162-174 (2002).

2 , Aurell E., Fanelli D., Gurbatov S.N., Moshkov A.Yu. The inner structure of

Zeldovich' pancakes. Physica D, 186 171-184 (2003).

3 Гурбатов С.Н., Мошков А.Ю. О генерации когерентных

крупномасштабных структур в уравнении KPZ и многомерной турбулентности Бюргерса. ЖЭТФ, 124 1329-1344 (2003).

4 Гурбатов С.Н., Мошков А.Ю. Использование принципа минимума при

решении уравнений Бюргерса и' KPZ. Труды третьей научной конференции по радиофизике, Н. Новгород, 240-241, (1999).

5 Гурбатов С.Н., МОШКОВ А.Ю. Движение частиц в развитом турбулентном поле. Труды четвертой научной конференции по радиофизике, Н. Новгород, 275-276, (2000).

6. Gurbatov S.N., Mainardi F., Moshkov A.Y., Tampieri F. Density distribution in a turbulent flow with strong friction. Труды пятой научной конференции по радиофизике, посвященной 100-летию А.А. Андронова, Н. Новгород, 230-231,(2001).

7. Guibatov S.N., Moshkov A.Yu. The energy decay of the localized anisotropic perturbation in multidimensional Burgers equation, Труды Научной конференции по радиофизике, ННГУ, стр. 239-241, (2002).

8. Гурбатов С.Н., Мошков А.Ю. Асимптотика гауссовых полей в турбулентности Бюргерса. Труды (8) Научной конференции по радиофизике, ННГУ, в печати, (2004).

9. Мошков А.Ю. Использование принципа минимума при решении уравнений Бюргерса и KPZ. Материалы научной школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых-99", Саратов, 116-119,(1999).

10. Гурбатов С.Н., Мошков А.Ю., Пасманик Г.В., Черепенников В.В. Эволюция сложных сигналов в средах без дисперсии. Материалы второй международной конференции "Фундаментальные проблемы физики", Россия, Саратов, 9-14 октября 2000 года, Издательство ГосУНЦ "Колледж", 68-69, (2000).

11. S. N. Gurbatov, F. Mainardi, A. Y. Moshkov and F. Tampieri. Exact solutions in dynamics of an impurity in Burgers flow. Proceedings ofthe International Conference dedicated to the 100th Anniversary of A. A. Andronov, Nizhny Novgorod, Russia, July 2-6, 2001, Volume HI. Nonlinear Oscillations, Control and Information, Nizhny Novgorod, Institute of Applied Physics, RAS, 164-170, (2002).

12. Гурбатов С.Н., Мошков А.Ю. Эволюция крупномасштабных структур в многомерной турбулентности Бюргерса. Труды Нижегородской акустической научной сессии, ННГУ, 150-152, (2002).

13. Gurbatov S.N., Moshkov AYu. Isotropisation Of Multi-Dimensional Burgers Turbulence. Proceedings of International Conference "Frontiers ' Of Nonlinear Physics", Nizhni Novgorod, 6 pp., in print, (2004).

14. E. Aurell, D. Fanelli, Gurbatov S.N. and Moshkov A.Yu. The NonLinear Regime Of The Gravitational Instability. The Inner Structure Of ' The Pancake. Proceedings Of International Conference "Frontiers Of Nonlinear Physics", Nizhni Novgorod, 12 pp., in print, (2004).

ОГЛАВЛЕНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение

1. Эволюция периодических структур и статистически однородная векторная турбулентность Бюргерса

1.1 Векторное уравнение Бюргерса и его асимптотические решения

1.1.1 Решение Хопфа-Коула, принцип максимума и линейная стадия эволюции

1.1.2 Эволюция основных типов одномерных возмущений

1.1.3 Локальная автомодельность потенциала и векторного поля скорости

1.2 Эволюция модулированных гармонических сигналов и взаимодействие

плоских волн в двумерном уравнении Бюргерса

1.2.1 Эволюция периодических структур при бесконечных числах Рейнольдса

1.2.2 Линейная стадия эволюции периодической структуры

1.3 Эволюция анизотропной турбулентности Бюргерса

1.3.1 Начальная стадия развития поля

1.3.2 Изотропизация турбулентности в случае ближних корреляций

1.3.3 Линейная стадия эволюции поля и сохранение анизотропии при дальних корреляциях

1.4 Эволюция многомерных локализованных анизотропных возмущений

1.4.1 Развитие простых возмущений

1.4.2 Эволюция локализованных анизотропных возмущений со сложной внутренней структурой

1.4.3 Линейная стадия эволюции поля 1.5 Основные результаты главы

2. Диффузия пассивной примеси в одномерной турбулентности Бюргерса

2.1 Постановка задачи и базовые уравнения

2.1.1 Основные подходы к описанию движения частицы в поле жидкости

2.1.2 Точные решения для динамики частиц в линейном поле скорости

2.2 Движение примеси в пилообразном поле

2.2.1 Динамика отдельных частиц в течении с пилообразным начальным профилем

2.2.2 Распределение плотности и массы частиц в случае сильного трения в пилообразном поле жидкости

2.3 Основные результаты главы

3. Динамика системы самогравитирующего газа для плоских возмущений: точные решения и приближение слипания

3.1 Постановка задачи и основные подходы

3.1.1 Общие сведения по формообразованию Вселенной

3.1.2 Базовые уравнения движения частиц, приближение Зельдовича и модель слипания

3.1.3 Система из двух гравитационно-взаимодействующих частиц

3.2 Взаимодействие ансамбля частиц и эволюция кластера

3.2.1 Распределение плотности в самогравитирующем кластере

3.22 Структура кластера в точном решении и модели слипания 3.2.3 Взаимодействие двух массивных кластеров 3.3 Основные результаты главы Заключение

Приложение. Статистические свойства случайных Гауссовых полей и использованные численные алгоритмы. Список литературы

Мошков Александр Юрьевич

НЕЛИНЕЙНАЯ ЭВОЛЮЦИЯ СТРУКТУР В СРЕДАХ БЕЗ ДИСПЕРСИИ И ДИФФУЗИЯ ЧАСТИЦ

Автореферат

Ответственный за выпуск Мошков А Ю.

Подписано в печать 21.11.04 г. Формат 60x841/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура «Таймс». Усл. п. л. 1. Заказ № 1488. Тираж 100 экз.

Типография Нижегородского госуниверситета им. Н И Лобачевского. Лиц. ПД№ 18-0099 от 4 05.01. 603000, г. Н. Новгород, ул. Б. Покровская, 37

№2 633 0

Введение

1 Эволюция периодических структур и статистически однородная векторная турбулентность Бюргерса

1.1 Векторное уравнение Бюргерса и его асимптотические решения

1.1.1 Решение Хопфа-Коула, принцип максимума и линейная стадия эволюции.

1.1.2 Эволюция основных типов одномерных возмущений.

1.1.3 Локальная автомодельность потенциала и векторного поля скорости

1.2 Эволюция периодических структур и взаимодействие плоских волн в двумерном уравнении Бюргерса.

1.2.1 Эволюция периодических структур при бесконечных числах Рейнольдса-асимптотическое поведение.

1.2.2 Эволюция периодических структур и взаимодействие плоских волн-переходные процессы.

1.2.3 Линейная стадия эволюции периодической структуры.

1.3 Эволюция анизотропной турбулентности Бюргерса.

1.3.1 Начальная стадия развития поля.

1.3.2 Изотропизация турбулентности в случае ближних корреляций

1.3.3 Линейная стадия эволюции поля и сохранение анизотропии при дальних корреляциях.

1.4 Эволюция многомерных локализованных анизотропных возмущений

1.4.1 Развитие простых возмущений.

1.4.2 Эволюция локализованных анизотропных возмущений со сложной внутренней структурой.

1.4.3 Линейная стадия эволюции поля

1.5 Основные результаты главы

2 Диффузия пассивной примеси в одномерной турбулентности Бюргерса

2.1 Постановка задачи и базовые уравнения

2.1.1 Основные подходы к описанию движения частицы в поле жидкости

2.1.2 Точные решения для динамики частиц в линейном поле скорости

2.2 Движение примеси в пилообразном поле.

2.2.1 Динамика отдельных частиц в течении с пилообразным начальным профилем.

2.2.2 Распределение плотности и массы частиц в случае сильного трения в пилообразном поле жидкости.

2.3 Основные результаты главы.

3 Динамика системы самогравитирующего газа для плоских возмущений: точные решения и приближение слипания

3.1 Постановка задачи и основные подходы

3.1.1 Общие сведения по формообразованию крупномасштабной структуры Вселенной.

3.1.2 Базовые уравнения движения частиц, приближение Зельдовича и

• модель слипания.

3.1.3 Система из двух гравитационно-взаимодействующих частиц

3.2 Взаимодействие ансамбля частиц и эволюция кластера

3.2.1 Распределение плотности частиц в самогравитирующем кластере

3.2.2 Структура кластера в точном решении и модели слипания

3.2.3 Взаимодействие двух массивных кластеров.

3.3 Основные результаты главы.

Основные результаты диссертации

ф В зависимости от соотношения нелинейности и дисперсии в физике нелинейных волн можно условно выделить два класса задач, которые принципиально отличаются как по эффектам, так п по методам исследования. В средах с сильной дисперсией взаимодействует конечное число волн, в результате взаимодействия они сохраняют свою структуру, а для их описания можно использовать метод медленно меняющихся амплитуд. В средах с малой дисперсией характерным является когерентное взаимодействие большого числа временных или пространственных гармоник, и в результате образуются сильно нелинейные структуры. Задача теоретического и экспериментального исследования эволюции и взаимодействия сильно нелинейных волновых полей и структур составляет важное направление в физике нелинейных волн. При случайных начальных условиях можно говорить о сильной турбулентности, когда эволюция случайного поля происходит как взаимодействие устойчивых сильно нелинейных структур. При этом наряду с построением статистических моделей нестационарных турбулентных течений часто необходимо исследовать диффузию пассивной примеси в таких течениях. В таких средах поле скорости, как правило, имеет разрывы производной, а для поля ф примеси происходит кластеризация - примесь собирается в локализованные сгустки. В данной диссертации развиваются аналитические и численные методы анализа волн и структур в средах с нелинейностью гидродинамического типа и исследуются эффекты кластеризации полей пассивной примеси или плотности вещества.

Базовыми уравнениями для таких сред являются нелинейные уравнения в частных производных типа уравнения Римана, Бюргерса и уравнения КРЪ (Кагс1аг-Рап8ь 2Ьапй). Уравнение Бюргерса имеет два слагаемых одно из которых отвечает за инерционную нелинейность, а второе связано с диффузией. Уравнение Бюргерса связано с задачей о диффузии частиц и с другой стороны. Известно, что в пределе бесконечно малой вязкости, решение уравнения Бюргерса подобно эволюции газа слипающихся частиц. Несмотря на простоту постановки такой классической задачи механики, для • нее относительно недавно были получены весьма нетривиальные результаты [1].

Уравнение нелинейной диффузии было впервые представлено Дж. Бюргерсом как модель гидродинамической турбулентности [2,3]. Действительно, оно имеет много общего с известным уравнением Навье-Стокса: тот же тип нелинейности, общие инварианты, одинаковая частотная зависимость для энергетических потерь, и т.д , описывая два основных эффекта, присущих любой турбулентности: нелинейное перераспределение энергии по спектру и действие вязкости в области мелких масштабов [4]. Различия между уравнением Бюргерса и уравнением Навье - Стокса являются столь же интересными как и их подобие [5]. Это тем более справедливо и для многомерного уравнения Бюргерса.

При отсутствии внешних сил уравнение Бюргерса описывает вырождение турбулентности, то есть нелинейную трансформацию случайного начального возмущения. Несмотря на то, что уравнение Бюргерса имеет точное решение - решение Хопфа-Коула [6,7], исследование статистических свойств этого уравнения представляет весьма сложную математическую задачу. Так первые серьезные результаты для Броуновского начального потенциала были получены тридцать пять лет спустя [3] после появления самого уравнения [2], а точное статистическое описание этого специального случая было проведено совсем недавно [8]. Анализ этого, казалось бы простого, нелинейного уравнения диффузии показывает, что в зависимости от начальных условий возможны качественно разные режимы вырождения турбулентности (см., например, монографии [3,0-11], библиографию в них, а также [12] - [30]). Отметим, что для гидродинамической турбулентности вопрос о законах вырождения до сих пор остается открытым (см.например, статью [31]).

С точки зрения численного моделирования уравнение Бюргерса также представляет несомненный интерес, так как возможно построение достаточно простых алгоритмов численного решения данного уравнения. Уравнение Бюргерса нашло приложение во многих физических задачах, где нелинейность достаточно слабая (квадратичная), а дисперсия значительно меньше линейного затухания [32]. В нелинейной акустике оно выводится из системы гидродинамических уравнений с учетом вязкости и теплопроводности среды [33]. В частности, при случайных начальных условиях данное уравнение описывает эволюцию интенсивного акустического шума и, поэтому такие решения уравнения Бюргерса называют одномерной акустической турбулентностью.

В течение последних лет интерес научного сообщества к турбулентности Бюргерса постоянно растет. Область задач, связанных с уравнением Бюргерса, включает такие проблемы как эволюция хаоса [16,34,35], эволюция поля при воздействии случайной силы в правой части уравнения Бюргерса [36-38]. Оно также описывает распространение электромагнитных волн в ферритах, магнитозвуковых волн в плазме и интенсивных акустических волн в жидкости и газе [9,33]. Уравнение Бюргерса также используется при изучении эволюции широкого класса физических систем, таких как клеточные автоматы [39,40], неупорядоченные магниты [41], [12], сверхпроводники [43].

Многомерное уравнение Бюргерса с внешними случайными силами широко используется как модель гидродинамической турбулентности Навье - Стокса без давления [44-47]. Внимание к изучению других возможных приложений многомерного уравнения Бюргерса было вновь обращено в 1986 год}', когда М. Kardar, G. Parisi и Y.C. Zhang впервые предложили нелинейное уравнение со случайным источником, которое описывает неравновесную эволюцию поверхности [48], которое теперь носит название "KPZ equation". Это уравнение совпадает с нелинейным уравнением для потенциала поля скорости многомерного уравнения Бюргерса и описывает рост поверхностей [49] - [5i], осаждение примеси и распространение фронта пламени [11,53,56]. В этих случаях, потенциал скорости соответствует профилю поверхности, а уравнение, описывающее его эволюцию, эквивалентно уравнению KPZ (Kardar,Paris,Zhang) [11,48,52,56]. В задачах о росте поверхности раздела двух сред коэффициент вязкости имеет смысл коэффициента поверхностного натяжения, и слагаемое в правой части описывает линейные эффекты сглаживания поверхности. Изрезанность же поверхности измеряется ее среднеквадратичным градиентом. Заметим, что наибольший интерес здесь представляет изучение взаимодействия и конкуренции различных ячеек в образующейся ячеистой структуре поля. Отметим, что многомерный вариант уравнения содержит в себе дополнительные особенности, связанные с эволюцией анизотропных полей, а именно, происходящий процесс изотропизацпи поля и перекачки энергии между пространственными компонентами. В задачах о распространении фронтов пламени было показано, что процесс формирования, распространения и взаимодействия различных участков границы раздела между сгоревшим и питающим веществом может быть описан с помощью многомерного уравнения Бюргерса. Это является следствием того, что в данном уравнении присутствует конкуренция нелинейных эффектов и затухания (нестабильности фронтов пламени). Используя данную модель, можно теоретически показать экспериментально установленный факт укрупнения участков фронтов за счет конкуренции различных ячеек.

Другой класс задач, для которых уравнение Бюргерса может быть использовано в качестве математической модели, это диффузия пассивной примеси в сложных течениях. Данный вопрос представляет большой интерес для задач, связанных с экологией, океанологией и физикой атмосферы [57]- [64]. Первые работы по этой теме [63-67] относятся еще к концу Х1Х-го века, но интерес к проблеме сохранился по сей день, и она неоднократно рассматривалась в классических изданиях [68]. При этом важную роль играет выбранная модель течения, в качестве которой, как правило, используется модель несжимаемого течения с дельта - коррелированной во времени скоростью [69] - [71]. В тоже время интерес представляет и случай сжимаемого течения, которое, например, реализуется при эволюции плавучей примеси [72] - [77]. Хотя в ряде работ рассматривав лось движение в устойчивом течении [78], как правило, используются нестационарные модели [79]- [85], отражающие затухание поля. Часто в качестве подобной модели выбирают уравнение Бюргерса, учитывающее конкуренцию нелинейности и диссипации при эволюции заданного поля [86] - [88]. Для подобных задач характерным является эффект локализации примеси, при исследовании которого возникают два конкурирующих механизма - затухание поля скорости и инерциальное движение частиц, которым порой пренебрегают [89]. При переходе от анализа траекторий одиночных частиц к исследованию динамики ансамбля частиц, процесса кластеризации и массовой функции часто используется взаимосвязи Лагранжевого и Эйлерового формализма [5,10,90].

Обобщенная векторная форма уравнения Бюргерса была предложена и для описания формирования крупномасштабной структуры Вселенной [9,10,28], [91] - [103]. Структурное формирование Вселенной является очень многогранной и широко изучаемой проблемой, которая касается многих сторон физики.

Так называемая "модель слипания" [92], в основе которой лежит данное уравнение, описывает появление крупномасштабных образований, рождающихся из случайных начальных возмущений малой плотности, на нелинейной стадии гравитационной неустойчивости, когда силами давления можно пренебречь [104-107[. Это справедливо сразу после бариои-фотониого расщепления на ранней стадии развития Вселенной, когда разреженная материя (практически без давления) сформирована подобными пыли частицами, взаимодействующими только с участием гравитации [104]. Тогда гравитационный потенциал определяется уравнением Пуассона из флуктуаций плотности. Ограничиваясь только одним типом материи, схематично можно представить ускорение частицы как сумму, возникающую от давления, расширения Вселенной, трения и гравитации.

Давлением обычно пренебрегают, поскольку материя является очень холодной. Член, содержащий расширение, пропорционален скорости и появляется, потому что уравнение записано в сопровождающей системе координат. Можно показать, что при малых флуктуациях (линейное приближение) описание само-гравитационного газа в расширяющейся системе сводится лишь к учету нарастающей моды потенциального решения. В 1970 Зельдович [108] предложил расширить такое описание и на сильно нелинейный режим, когда флуктуации плотности достаточно большие и происходит формирование крупномасштабных структур. Заметим, что в одномерном случае, приближение Зельдовича является строгим независмо от величины флуктуацпй. В данном приближении при соответсвующей замене пространственных и временных переменных каждая частица просто движется по прямой с постоянной скоростью. Естественно, при этом происходит формирование каустик, т.е. областей с бесконечно большой плотностью. Арнольд, Шандарин и Зельдович, изучив различные виды образующихся сингулярно-стей, появляющихся при таком описании, пришли к выводу, что реально существующие крупномасштабные структуры (кластеры) построены намного проще, чем данные математические объекты (разрывы). Как было показано Гурбатовым, Саичевым и Шан-дариным [91], [92] лучшее сходство можно получить, если потребовать не прохождения, а слипания частиц при пересечении их траекторий. Данная модель слипания представляет собой ни что иное как трехмерное уравнение Бюргерса в пределе бесконечно малой вязкости. Правда, поскольку в темной материи отсутствуют столкновения, не совсем ясен вопрос о механизме вязкости, обеспечивающем слипание.

Другая трудность состоит в том, что принципиальную роль играет случайность начальных условий, и из-за отсутствия точных решений в астрофизике, как правило, используются численные методы. В тоже время приближенные модели, такие как модель Зельдовича [10S] и приближение слипания [91] играют большую роль для качественного описания формирования крупномасштабной структуры Вселенной. Одним из важных вопросов является при этом внутренняя структура кластера [109]- [115], которую можно исследовать на основе решение системы Власова-Пуассона [113,116-122]. Важной задачей является сравнение результатов полученных на основе решение системы Власова-Пуассона с моделью слипания. В одномерном случае возможно точное сравнение прямого численного моделирования и модели слипания, что позволяет исследовать динамику отдельных частиц и при усреднении по ансамблю получать оценки для внутренней структуры кластера.

Данная диссертация посвящена исследованию нелинейных диффузионных процессов, описываемых уравнением Бюргерса. Данное уравнение применяется при исследовании эволюции многомерных случайных и регулярных полей в средах без дисперсии. Также оно часто применяется в качестве модельного при исследовании диффузии сжимаемого течения (пассивной примеси) в нестационарных турбулентных полях при малой вязкости жидкости. Формирование массовых структур на нелинейной стадии эволюции Вселенной также может быть описано уравнением Бюргерса с бесконечно малой вязкостью.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и библиографии.

Основные результаты диссертации

Данная диссертация посвящена исследованию статистических и динамических характеристик нелинейных волн, описываемых нелинейными уравнениями типа уравнения Бюргерса и KPZ, и диффузии частиц в таких полях. В заключение сформулируем основные результаты, полученные в диссертации:

1. Для многомерного уравнения Бюргерса показано возникновение с течением времени локальной автомодельности и изотропии полей скорости и потенциала в окрестности максимумов начального потенциала.

2. Для анизотропных периодических структур исследован процесс генерации крупномасштабной компоненты и показано сохранение глобальной анизотропии поля. Дтя анизотропной турбулентности Бюргерса найдено, тгго в случае ближних корреляций начального потенциала нелинейные эффекты и диссипация приводят к глобальной статистической изотропизация и автомодельности поля и получены статистические характеристики полей потенциала и скорости. Показано что анизотропия спектра в области малых волновых чисел сохраняется в случае наличия дальних корреляций в начальном потенциале. Качественно исследованы процессы установления изотропного режима на нелинейной стадии. Показано, что на линейной стадии спектр турбулентности может иметь существенно различное поведение в разных областях пространственного спектра, анизотропное в области малых волновых чисел и изотропное в области больших.

3. Дтя локализованных возмущений со сложной внутренней структурой показано, что в пределе исчезающе малой вязкости непрерывное возмущение разбивается на ячейки с универсальным поведением поля в каждой их них. В результате взаимного поглощения одних ячеек другими, на больших временах выживает лишь одна ячейка с наибольшим значением начального потенциала. Показано, что если масштаб сложной внутренней структуры существенно меньше масштаба локализации, то из случайного сложного локализованного возмущения с нулевым средним генерируется практически детерминированная когерентная структура. Получено, что на поздней стадии мы имеем автомодельную эволюцию среднего поля и поля дисперсии. Показано, что при конечных числах Рейнольдса сильно нелинейная стадия эволюции сменяется в конце концов на линейную, а сама поверхность потенциала имеет Гауссову причем ее среднее высоты значение не зависит от внутренней структуры начального потенциала.

4. Исследована динамика пассивных частиц в турбулентном сжимаемом течении, описываемом одномерным уравнением Бюргерса. Впервые, для линейного профиля, течения получены точные решения, позволяющее исследовать поведение частиц при различных соотношениях эффектов нелинейности и диссипации. На основе полученных строгих решений рассматривалось движение частицы в периодическом пилообразном поле, поведение которого отражает основные свойства периодических гармонических полей на стадии развитой турбулентности. Детально изучены характерные пространственные и временные параметры колебаний частиц. Несмотря на нелинейное затухание поля, частицы группируются у разрыва, поскольку амплитуда их колебаний экспоненциально спадает. Таким образом, на основе полученных решений можно утверждать о происходящей локализации частиц в окрестности разрыва. Найденные параметры колебаний частиц позволили получить распределение плотности в окрестности разрыва. Показаны различия в эволюции данной функции на начальном этапе в случае слабого и сильного трения. Получено, что распределение является самоподобным в случае сильного трения. Аналитическое рассмотрение было подтверждено численным моделированием.

5. Исследован нелинейный режим формирования крупномасштабных структур на стадии гравитационной неустойчивости в расширяющейся Вселенной Эйнштейна-Де Ситтера в предположении, что начальные возмущения плоские. На основе данной модели изучена согласованная динамика гравитационно-взаимодействующих частиц в области коллапса с учетом многопотокового поведения системы. Получено, что данное поведение может быть описано итерационным отображением скоростей в момент пересечения особенностей и в непрерывном пределе для траекторий частиц удается получить асимптотические решения. Результаты численного моделирования показали хорошее согласие с аналитической моделью. Основным достижением является найденная теоретически внутренняя структура кластера, при этом показано, что для определенных начальных условий коллапс носит автомодельный характер. Эти данные подтверждены прямым численным моделированием и сравниваются с аналогичными результатами для приближения Зельдовича и модели слипания (уравнение Бюргерса с малой вязкостью, совместно с уравнением непрерывности). Также была исследована совместная динамика двух кластеров, состоящих из большого числа одиночных частиц, и показано, что в течении длительного времени происходит двух-масштабный автомодельный коллапс и не происходит перехода частиц между кластерами.

1. Е W., Rykov Yu.G. and Sinai Ya.G. Generalized variational principles, global weak solutions and behavior with random initial data for systems of conservation laws arising in adhesion particle dynamics. Comm. Math. Phys., 177 349-380 (1996).

2. Burgers J.M. Mathematical examples illustrating relations occurring in the theory of turbulent fluid motion. Kon. Ned. Akad. Wet. Verh., 17 1 (1939).

3. Burgers J.M. The Nonlinear Diffusion Equation, Dordrecht, (1974).

4. Frisch U. Turbulence: the Legacy of A.N. Kolmogorov, Cambridge University Press,(1995).

5. Kraichnan R. Lagrangian-History Statistical theory for Burgers' Equation. Phys.Fluids Mech., 11 266-277 (1968).

6. Hopf E. The partial differential equation u't -f uu'x = u'xx.Cbmm. Pure Appl. Mech., 3 201 (1950).

7. Cole J.D. On a quasi-linear paribolic equation occurring in aerodynamics. Quart. Appl. Math., 9 225 (1951).

8. Frachebourg L., Martin Ph.A. Exact statistical properties of the Burgers equation. J. Fluid. Mech., 417 323 (2000).

9. Гурбатов C.H.,Малахов А.Н.,Саичев А.И. Нелинейные случайные волны в средах без дисперсии, Наука, Москва, (1990).

10. Gurbatov S.N., Malakhov A.N., Saichev A.I. Nonlinear Random Waves and Turbulence in Nondispersive Media: Waves, Rays, Particles, Manchester University Press, (1991).

11. Woyczynski W.A. Burgers-KPZ Turbulence. Gottmgen Lectures, Berlin, (1998).

12. Kida S. Asymptotic properties of Burgers turbulence. J. Fluid Mech., 93 (2) 337-377(1979).

13. Гурбатов С. H., Саичев А. И. Вырождение одномерной акустической турбулентности при больших числах Рейнольдса. ЖЭТФ, 80 (2) 689-703 (1981).

14. Fournieir J. D. and Frisch U. L'equation de Burgers detrerministe et statistique. J. Mech. Theor. Appl. (Paris), 2 699-750 (1983).

15. Sinai Ya. Statistics of shocks in solutions of inviscid Burgers equation. Commun. Math. Phys., 148 601-622 (1992).

16. Gurbatov S.N., Saichev A.I. Inertial nonlinearitv and chaotic motion of particle fluxes. Chaos, 3 (3) 333-358 (1993).

17. Albeverio S., Molchanov A. A., Surgailis D. Stratified structure of the universe and Burgers' equation a probabilistic approach. Prob. Theory Relat. Fields, 100 457-484 (1994).

18. Molchanov S. A., Surgailis D., Woyczynski W. A. Hyperbolic asymptotics in Burgers turbulence and extremal processes. Commun. Math. Phys., 168 209-226 (1995).

19. Avellaneda A., Ryan R., Weinan E. PDFs for velocity and velocity gradients in Burgers' turbulence. Phys. Fluids, 7 (12) 3067-3071 (1995).

20. Gurbatov S. N., Simdyankin S. I., Aurell E., Frisch U., Toth G. On the decay of Burgersl turbulence. J. Fluid. Mech., 344 339-374 (1997).

21. Molchan G. M. Burgers equation with self-similar Gaussian initial data: tail probabilities. J. of Stat. Phys., 88 1139-1150 (1997).

22. Newman T. J. Dynamical scaling in dissipative Burgers turbulence. Phys. Rev. E, 55 (6) 6989-6999 (1997).

23. Ryan R. Large-deviation analysis of Burgers turbulence with white-noise initial data. Comm. Pure Appl. Math., 11 47-75 (1998).v

24. Hu Y., Woyczynski W.A. An extremal rearrangement property of statistical solutions of Burgers' equation. Ann. Appl. Probab., 4 838-858 (1994).

25. Hu Y., Woyczynski W.A. A maximum principle for unimodal moving average data of the Burgers equation. Probab. Math. Statist., 15 153-171 (1994).

26. Gurbatov S., Frisch U. Advances in Turbulence VII, Acad. Publ. Nederlands, 4371998).

27. Gurbatov S.N., Enflo B.O., Pasmanik G.V. The decay of pulses with complex structure according to Burgers' equation. ACTA AC USTIC A, 85 181 (1999).

28. She Z.S., Aurell E. and Frisch U. The inviscid Burgers equation with initial data of Brownian type. Commun. Math. Phys., 148 623-641 (1992).

29. Гурбатов C.H., Пасманик Г.В. О самосохранении крупномасштабных структур в нелинейной вязкой среде,описываемой уравнением Бюргерса. ЖЭТФ, 115 21999).

30. Gurbatov S.N. Universality classes for self-similarity of noiseless multidimensional Burgers turbulence and interface growth. Phys. Rev. E, 61 2595 (2000).

31. Yakhot V. J. Decay of three-dimensional turbulence at high Reynolds numbers. Fluid Mech., 505 87Ц91 (2004).

32. Whitham G.B. Linear and Nonlinear Waves, Wiley, New York, (1974).

33. Рудеико O.B., Солуян С.И. Нелинейная акустика, Наука, Москва, (1975).

34. Gutkin Е., Кас М. Propagation of chaos and the Burgers equation. SI AM J. Appl. Math., 43 971-980 (1983).

35. Sznitman A. A propagation of chaos results for Burgers' equation. Probab. Theory Related Fields, 71 581-613 (1986).

36. Avellaneda M., E W. Statistical properties of shocks in Burgers turbulence. Comm. Math. Phys., 172 13-38 (1995).

37. Holden H., Oksenda В., Uboe J., Zhang T.S. Stochastic Partial Differential Equations. A modelling, White Noise, Functional Approach, Birkhouser-Boston, (1996).

38. Bertini L., Cancrini N., Jona-Lasinio G. The stochastic Burgers equation. Comm.Math. Phys., 165 211-232 (1994).

39. Boghosian B.M., Levermore C. D. A cellular automaton for Burgers equation. Complex System, 1 17-30 (1987).

40. Brieger L., Bonomi E. A stochastic lattice gas for Burgers' equation: a practical study. J. Statist. Phys., 69 837-855 (1992).

41. Abraham D. Solvable model with a roughening transition for a planar Ising ferro-magnet. Phys. Rev. Lett, 44 (18) 1165-1168 (1980).

42. Huse D. A., Henley C. L. Pinning and roughening of domain walks in Ising systems due to random impurities. Rev. Lett, 54 (25) 2708-2711 (1985).

43. Blatter G., Feigelman M. V, Geshkenbein V. B, Larkin A. I. & Vinokur V. M. Vortices in high-temperature superconductors. Rev. Modern Phys., 66 1125-1388 (1994).

44. Cheklov A., Yakhot V. Kolmogorov turbulence in a randomforce-driven Burgers equation: anomalous scaling and probability functions. Phys. Rev. E, 52 5681 (1995).

45. E W., Khanin K., Mazel A. & Sinai Ya. G. Probability distribution functions for the random forced Burgers equation. Phys. Rev. Lett., 78 1904 (1997).

46. Boldyrev S.A. Phys. Rev. E, 59, 2971 (1999).

47. Davoudi J., Masoudi A.A., Tabar M.R., Rastegar A.R. & Shahbazi F. Statistical Theory for the Kardar-Parisi-Zhang Equation in 1+1 Dimension. Phys. Rev. E, 63 6308 (2001).

48. Kardar M., Parisi G., Zhang Y. Dynamic scaling of growing interfaces. Phys. Rev. Lett., 57 (9) 889-892 (1986).

49. Esipov S., Newman T. Interface growth and Burgers turbulence: the problem of random initial conditions. Phys. Rev. E, 48 (2) 1046 (1993).

50. Esipov S., Newman T. Interface growth and Burgers turbulence: the problem of random initial conditions. II Phys. Rev. E, 48 (3) 2070 (1993).

51. Borisov A., Sharypov O. Perturbation front structure in chemically reacting systems. Proceedings of the International Forum on mathematical modelling and computer simulation of processes in energy systems. Yugoslavia, March 1989.

52. Barabasi A.L. k Stanley H.E. Fractal Concepts in Surface Growth, Cambridge University Press, (1995).

53. Medina E., Hwa T., Kardar M. & Zhang Y. Phys. Rev. A, 39 3053 (1989).

54. Halpin-Healy T., Zhang Y. Surface growth, directed polymers and all that. Phys.Rep., 254 215-362 (1995).

55. Kuznetzov E.A., Minaev S.S. Formation and propagation of cracks on the flame surface. Phys. Let. A, 221 187 (1996).

56. Bouchaud J.P., Mezard M. & Parisi G. Scaling and intermittency in burgers' turbulence. Phys. Rev. E, 52 3656 (1995).

57. Csanady G.T. Turbulent Diffusion in the Environment, Geophys. and Astrophys., Vol. 3, Dordrecht, D. Reidel Publ. Co., (1973).

58. Ungarish M. Hydrodynamics of Suspensions: Fundamentals of Centrifugal and Gravity Separation, Berlin,Springer-Verlag, (1993).

59. Pelletier Jon D. A Stochastic Diffusion Model of Climate Change, ao-sci/9510001.

60. Hamburger D.A., Yinnon A.T., Farbman I., Ben-Shaul A., Benny G.R. The Scattering from Compact Clusters and from Diffusion-Limited Aggregates on Surfaces. Surface Science, 327 165-191 (1995).

61. Okubo A. Diffusion and Ecological Problems: Mathematical Models, Biomathematics, Vol. 10, Berlin, Springer-Verlag, (1980).

62. Saichev A.I., Woyczynski W.A. Stochastic Models in Geosystems, Vol. 85, New York, Springer-Verlag, 359, (1997).

63. Antoni M., Torcini A. Anomalous diffusion as a signature of collapsing phase in two dimensional self-gravitating systems Phys. Rev. E, 57 6233 (1998).

64. Kar S., Banik S., Ray D. Class of self-limiting growth models in the presence of nonlinear diffusion, physics/0203092.

65. Basset A.B. A treatise on hydrodynamics, Vol. 2, Deighton Bell, Cambridge, (1888).

66. Basset A.B. On the descent of a sphere in a viscous liquid. Quart. J. Math, 41 369-381 (1910).

67. Batchelor G.K. An introduction to fluid dynamics, Cambridge University Press, (1967).

68. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, том VI, М.: Наука, (1988).

69. Кляцкин В.И. Статистическое описание динамических систем с флуктуирующими параметрами, М.:Наука, (1975).

70. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в мучайно неоднородных средах., М.:Наука, (1980).

71. Klyatskin V.I. Statistical description of the diffusion of a passive tracer in a random velocity field. Phyics Uspekhi, 37 (5) 501-513 (1994).

72. Жукова И.С., СаичевА.И. Локализация сгустков плавучих частиц на поверхности турбулентного потока. Прикладная математика и механика, 64 (4) 624-630, (2000).

73. Balkovsky Е., Falkovich G. &с Fouxon A. Intermittent distribution of inertial particles in turbulent flows. Phys Rev. Lett., 86 2790 (2001).

74. Zhou Y., Wexler A.S. & Wang L.P. Modelling turbulent collision of bidlsperse inertial particles. J. Fluid Mech., 433 77 (2001).

75. Gawedzki K., Vergassola M. Phase Transition in the Passive Scalar Advection. Physica D, 138 63 (2000).

76. Falkovich G., Gawedzki K. & Vergassola M. Particles and fields in fluid turbulence. Rev. Mod. Phys., 73 913 (2001).

77. Klessen R., Lin D. Diffusion in supersonic, turbulent, compressible flows. Phys.Rev., 67 046311 (2003).

78. Crlsanti A., Falcioni M., Paladin G. & Vulpiaini A. Anisotropic diffusion in fluids with steady periodic velocity fields. J. Phys. A: Math. Gen., 23 3307-3315 (1990).

79. Falkovich G., Pumir A. Intermittent distribution of heavy particles in a turbulent flow. Phys. Fluids, 16 47 (2004).

80. Maxey M.R., Riley J. Equation of motion of a small rigid sphere in a nonuniform flow. Phys. Fluids, 26 88 (1983).

81. Tory E.M. Sedimentation of Small Particles in a Viscous Fluid. Advances in Fluid Mechanics, Vol. 7, Computational Mechanics Publ., UK, (1996).

82. Bee J., Celani A., Cencini M. & Musacchio S. Clustering and collisions of heavy particles in random smooth flows .CD/0407013, (2004).

83. Bee J. Fractal clustering of inertial particles in random flows. Phys. Fluids, 15 81 (2003).

84. Bee J., Gaw K. & Horvai P. Intermittent distribution of tracers advected by a compressible random flow. CD/0310015, (2003).

85. Frisch U., Bee J. & Villone B. Singularities and the distribution of density in the Burgers/adhesion model, condmat/ 9912110, Physica D (2000).

86. Angelucci M., Grella E., Mainardi F. & Tampieri F. On passive transport in a Burgers flow. Procedmgs of the conference "Non-lmear diffusion phenomenon, Narosa Publ. House, India, 220-235, (1993).

87. Mainardi F., Pironi P. & Tampieri F. A numerical approach to the generalized Basset problem for a sphere accelerating in a viscous fluid. Proceedings of CFD 95, Vol. II, 105-112, (1995).

88. Angelucci M., Tampieri F. & Mainardi F. Dynamics of an impurity in a ID Burgers flow. J. Phys. A: Math. Gen., 27 527-532 (1994).

89. Fung J.H., Perkins R.J. Particle trajectories in turbulent flow generated by true-varying random Fourier modes. Advances in Turbulence 2., Springer Verlag, Berlin, 322-332, (1989).

90. Roberts P. J. fluid Mech., 11 257 (1961).

91. Gurbatov S.N., Saichev A.I. Probability distribution and spectra of potential hydrodynamic turbulence. Radiophys. Quant. Electr., 27 303-313 (1984).

92. Gurbatov S.N., Saichev A.I. k, Shandarin S.F. Large Scale Structure of the Universe in the frame of the model equation of nonlinear diffusion. MNRAS, 236 385 (1989).

93. Shandarin S.F. & Zeldovich Ya.B. The large-scale structure of the universe: Turbulence, intermittency, structures in a self-gravitating medium. Rev. Mod. Phys., 61 185 (1989).

94. Vergassola M., Dubrulle B., Frisch U. & Noullez A. Burgers'equation, devil's staircase and the mass distribution for large scale structures. Astron. Astrophys., 289 325 (1994).

95. Coles P., Peter & Kate Month. Not. R. astr. Soc., 342 (1), 176-184 (2003).

96. Frisch U., Matarrese S., Mohayaee R., Sobolevski A. A reconstruction of the initial conditions of the Universe by optimal mass transportation. Nature, 417 260 2002.

97. Bardeen J.M., Bond J.R.,Kaiser N. & Szalay A.S. Cosmic fluctuation spectra with large-scale power. Astrophysical J., 304 15-61 (1986).

98. Gurbatov S.N. Proceedings of the International school of physics "E. Fermi", Course CXXXII: Dark Matter in the Universe, Society Italiana di Fisica, 645-660,(1996).

99. Weinberg D., Gunn J. Large-Scale Structure and the adhesion approximation. MNRAS, 247 260 (1990).

100. Frisch U. and Bee J. Burgulence. New Trends in Turbulence, Les Houches Session LXXTV2000, Springer EDP-Sciences, p.341, (2001).

101. Suidan T.M. A one-dimensional gravitationally interacting gas and the convex minorant of Brownian motion. Russian Math. Surveys, 56 687-708 (2001).

102. Coles P., Lucchin F. Cosmology: the Origin and Evolution of Cosmic Structures, J. Wiley and sons, Chichester, (1995).

103. Bogaevsky I.A. Matter evolution in Burgulence, math-ph/0407073.

104. Peebles P.J. The Large-scale Structure of the Universe, Princeton University Press, NJ, (1980).1051 Harrison E.R. Phys. Rev. D, 1 2726-2730, (1970).

105. Weinberg S. Gravitation and Cosmology, Wiley, (1972).

106. Doroshkevich A.G., Kotok E.V., Novikov I.D., Poludov A.N., Shandarin S.F. & Sigov Yu.S. MNRAS, 192 321 (1980).

107. Zeldovich Ya.B. Gravitational instability:an approximate theory for large density perturbations. Astronom. Astrophys5 84-89 (1970).

108. Fanelli D., Aurell E. & Noullez A. Heap-based algorithm and one-dimensional expanding Universe. Proceeding of IAU Symposium 208, Japan, (2001).

109. Мотков А.Ю. Использование принципа минимума при решении уравнений Бюр-герса и KPZ. Материалы научной школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых-99", Саратов, 116-119, (1999).

110. Гурбатов C.H., Мошков А.Ю. Эволюция крупномасштабных структур в многомерной турбулентности Бюргерса. Труды Нижегородской акустической научной сессии, ИНГУ, 150-152, (2002).

111. Gurbatov S.N., Moshkov A.Yu. Isotropisation Of Multi-Dimensional Burgers Turbulence. Proceedings of International Conference "Frontiers Of Nonlinear Physics", Nizhni Novgorod, 6 pp., in print, (2004).

112. Гурбатов C.H., Мошков А.Ю. Эволюция анизотропных полей в многомерной турбулентности Бюргерса. Сборник трудов XV сессии Российского акустического общества, изд-во ИПФРАН, Нижний Новгород, 6 стр., в печати, (2004).

113. Crighton D.G., Scott J.F. Asimptotic solution of model equations in nonlinear acoustics. Phil.Trans.R.Soc.Lond., A292 101-134 (1979).

114. Федорюк M.B. Метод перевала, М.:Наука, (1977).

115. Курант Р. Уравнения с частными производными, М.:Мир, (1964).

116. WMAP Mission■ Results, http:www.map.gsfc.nasa.gov, U.S. Govt., (2003).

117. Bennett C.L. First Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe Observations: Preliminary Maps and Basic Results, (2003).

118. Kirshner R.P. Throwing Light on Dark Energy. Science, 300 1914-1918 (2003).

119. Rouet J.L., Feix M.R. and Navet M. Vistas in Astronomy, 33 357 (1990).

120. Ермаков С.М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование, М: Наука, (1982).

121. Шалыгин А.С, Палаган Ю.И. Прикладные методы статистического моделирования, JL: Машиностроение, (1986).

122. Михайлов Г. А. Докл. АН СССР., 238 793-795 (1978).