Статистическая гидродинамика нематических жидких кристаллов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Рг6. (,„ - 8 СЕН . ■

На правах рукописи

Долматова Наталья Геннадьевна

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ГИДРОДИНАМИКА НЕМАТИЧЕСКИХ ЖИДКИХ КРИСТАЛЛОВ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

УФА - 1997 -

Работа выполнена в Самарском государственном университете

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Кожевников E.H.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, ' профессор Ахатов И.Ш.,

9

) кандидат физико-математических

наук, доцент Мигранов Н.Г.

Ведущая организация: Пермский государственный университет

Защита состоится " " ¿^^Л^^Ь-^. 1997 г. в час.

на заседании диссертационного совета К 064.13.06 при Башкирском государственном университете по адресу: 450074, г.Уфа, ул. Фрунзе, 32, физический факультет, к.216.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Башкирского государственного университета.

Автореферат разослан " ^ ^ " 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.т.н.

Ковалева JI.A.

Актуальность работы. Анализ динамических процессов в НЖК в звуковых и сдвиговых волнах представляет интерес как с точки зрения развития методов исследования вещества, так и с точки зрения практического использования эффектов в жидкокристаллических слоях при периодическом воздействии на их структуру.

В последнее время получил развитие статистический метод исследования процессов в жидких кристаллах, суспензиях, магнитных жидкостях, низкомолекулярных полимерах. В основе подхода лежит микроскопическая модель среды, в которой вводится взаимодействие частиц с окружающими частицами или с самосогласованным полем; все процессы определяются эволюцией плотности углового распределения ориентации молекул, которая описывается уравнением Фоккера - Планка. Приводя к богатым результатам, статистический подход оказывается математически сложным и трудоемким. Это, в частности, приводит к ограничению вторыми моментами распределения при анализе вязкоупругих свойств не-матика. Уточнение микромодели жидкого кристалла представляет интерес для любой статистической теории; это уточнение, с одной стороны, может касаться учета многочастичного взаимодействия, учета флуктуации, уточнение потенциала самосогласованного поля, а также уравнения вращения отдельной частицы. С другой стороны, представляет интерес учесть в описании кристалла высокие ( большие второго) моменты распределения. В этом случае нематический кристалл не является только лишь одноосной средой, поэтому становятся возможными эффекты, отсутствующие в "классическом нематике".

Как и в любой среде со сложной структурой при интенсивных механических нагрузках в НЖК могут оказаться существенными нелинейные эффекты, поэтому актуально построение нелинейного гидродинамического описания нематических кристаллов. Известный к настоящему времени подход, заключающийся в учете в напряжениях и моментах квадратичных по градиентам скоростей и скорости вращения частиц слагаемых, справедлив лишь для малых частот механического воздействия. Представляет интерес построение нелинейных напряжений и нелинейных моментов в нематике, учитывающих релаксационный характер изменения структуры при внешнем воздействии. Расширение гидродинамического описания НЖК в нелинейную область может привести к новому пониманию процессов в жидкокристаллических слоях в ультразвуковом поле и оказаться полезным при анализе возможности создания акустооп-тических устройств.

Целью работы является развитие статистических методов исследования гидродинамических свойств НЖК, описание на основе предложенной модели релаксационных свойств нематических жидких кристаллов, а также статистическое построение нелинейной гидродинамики НЖК.

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:

1) Методами неравновесной термодинамики построена несимметричная микроскопическая модель нематического кристалла.

2) На основе статистической гидродинамики описана частотная зависимость коэффициентов вязкости Лесли. Показано, что учет

четвертых моментов распределения существенен при расчете дисперсии коэффициентов вязкости.

3) Теоретически доказан релаксационный характер уравнения вращения директора.

4) Обосновано нарушение равенства Рапини в вязких волнах.

5) Построены стационарные нелинейные напряжения и уравнение вращения директора. |

6) Описан теоретически "акустический переход Фредерикса" в гомеотропно ориентированном слое НЖК.

Достоверность полученных результатов основана на хорошем качественном и количественном согласии полученных результатов сданными экспериментальных исследований других авторов; на использовании классических методов неравновесной термодинамики, а также на совпадении полученных результатов с работами других авторов, если ограничиться в расчетах вторыми моментами распределения.

Практическая ценность состоит в следующем:

1) Результаты представленных исследований могут быть использованы при дальнейшем исследовании структуры жидких кристаллов.

2) Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем развитии нелинейной гидродинамики жидких кристаллов.

3) Результаты диссертационной работы могут быть использованы при анализе принципов создания и конкретных разработках устройств для визуализации звукового поля.

На защиту выносятся следующие положения:

- учет четвертых моментов в функции распределения ориентации молекул оказывается существенным при анализе вязкоупругих свойств НЖК;

- статистический подход позволяет построить нелинейную гидродинамику НЖК;

- на основе построенной нелинейной гидродинамики НЖК может быть объяснен акустический переход Фредерикса в гомеотроп-но ориентированном слое НЖК.

Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались: на II Международной конференции " Чистяковскпе чтения". г.Иваново. 1995; на II Международной ( XI Всесоюзной) Зимней школе по Механике Сплошных Сред. г. Пермь. 1997; на VI Межвузовской научной конференции, г. Самара, 1996; на конференции " Прикладные задачи в машиностроении и в экономике", г. Самара, 1996; на объедиенном научном семинаре кафедр ФГД и ПФГ Башкирского государственного университета, г. Уфа, 1997; на научном семинаре в Уфимском научном центре Российской академии наук, г. Уфа, 1997; на Международном семинаре " Нелинейное моделирование и управление", г.Самара.1997.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 7 работ, 1 работа представлена к печати.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы. Объем работы - 146 страниц, включая 125 страниц текста, 3 рисунка, список литературы из 117 наименований.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность научного направления, сформулированы цель работы, ее научная новизна, применение и практическая ценность. Изложены основные положения, выносимые автором на защиту.

В Главе 1 дается представление о современном состоянии вопроса исследования, помещен обзор литературы, посвященной исследованиям механических свойств НЖК. Отмечен ряд российских ученых, внесших вклад в развитие этого научного направления, это: Аэро 9.JL, Баландин В.А., Блинов JI.M., Золина В.В., Зубарев А.Ю., Капустин А.П., Капустина O.A., Кац Е.И., Кожевников E.H., Лебедев В.В., Немцов В.Б.,Осипов М.А., Пасечник C.B., Пи-кин С.А., Покровский В.Н., Романов В.П., Скалдин O.A., Сонин A.C., Степанов В.И., Чабан И.А., Чувыров А.Н., Шмелев О.Я. и другие.

А также зарубежных ученых: Allen R., Brand H.R., Bruchmüller H., Candau S., Dion J.I., Eriksen J.L., Prank F.C., Guyon E., Gäwiller Ch., Guazelli E., Helfrich W., Hamidzada W., Jahnig F., Kagawa Y., Koch A.I., Kiry F., Lee Y.S., Leslie F.M., Maier W., Martinoty P., Martin Р. С., Moritz E., Miyano К., Nagai S., Onsager L., Ossen C.W., Ping Sheng, Perbet J., Saupe A., Scudieri F., Strigazzi I., Stephen M.J., Shen Jen, Wadoti W. и др.

Основное внимание уделено работам, в которых проводится построение гидродинамического описания НЖК, включая статистические методы описания ЖК, а также работы по искажению структуры ЖК при механическом воздействии.

Глава 2 диссертационной работы посвящена развитию статис-

тического подхода к описанию вязкоупругих свойств нематическо-го жидкого кристалла. В основе описания лежит микроскопическая модель НЖК. Взаимодействие отдельной частицы с окружающей средой описываем, с одной стороны - вязкими моментами, действующими на частицу и вращающими ее, с другой стороны - действием силового поля с заданным видом потенциала. '

Построению микромодели посвящен Раздел 2.1; в нем построе-, ны микроскопические напряжения и уравнение вращения молекулы НЖК, обусловленные нарушением равновесия в угловом распределении и тепловым движением, определяемые соотношением Онса-гера. При построении кинетических уравнений Онсагера в соотношениях между термодинамическими силами и потоками используется направление ориентаций молекул Ь, описание всех процессов в НЖК и уравнение для плотности углового распределения рассматривается в компонентах вектора Ь. Термодинамическими силами, определяющими диссипацию энергии при вращении частицы служат вектор N1 = Ь-ЦгоШх Ь) и тензор скорости деформации г/у. Диссипативная функция, приходящаяся на одну частицу, может быть представлена в виде: Б = //¿С + а'-у^/п, а[- - вклад одной молекулы в тензор вязких напряжений, (5 - вязкая сила, действующая на одну молекулу в направлении, ортогональном направлению Ь, п - число частиц в единице объема.

Потоки а'- и силы С строятся в виде линейной комбинации термодинамических сил.

о-у- = + а3Л^ + + айУ^ЬаЬ{ + а^рЬ.Ь^

Gi = b~\NL,i - AkijkVjt)

b - вращательная подвижность, a^ - кинетические коэффициенты,

Потоки б выражаются через возмущение плотности углового распределения ориентации молекул /' = (/ — /и)//0:

Здесь Т - температура; /о = const ■ ехр(—Е/Т)— квазиравновесное Больцмановское распределение, Е - энергия частицы, обусловленная взаимодействием с окружающими частицами. В диссертационной работе использовано приближение самосогласованного поля с потенциалом Майера - Заупе: Е = -d < Рг{Ь{) > Pi(L 1) (d - постоянная поля, Pn{Li) - полином Лежандра, L\ — Ln - проекция длинной оси молекулы на директор п, <> - усреднение по ориен-тациям молекул).

Предложенная модель НЖК приводит к напряжениям ст,_,, обусловленным вращением молекул, в виде:

Тензор наряду с симметричной частью содержит и антисимметричную часть.

Gi = -TCtf.

Раздел 2.2 посвящен построению и исследованию углового оператора Гамильтона в пространстве векторов Ь:

д

С = 8Ь

V дь)

Определен вид и свойства собственных функций оператора (С)2. Показано, что собственной функцией квадрата оператора Гамильтона, соответствующей собственному числу А„ = —п(п + 1) является тензор Л<"> ранга 71, построенный в виде линейной комбинации диадных произведений векторов Ь и единичного тензора 5, со следующими свойствами: 1) тензор А'"' симметричен по перестановке индексов; 2) тензора А'"' разных рангов ортогональны; 3) свертка тензора А'"' по любой паре индексов равна нулю. Эти свойства функций А'"' используются при решении уравнения Фоккера -Планка.

Построению уравнения угловой диффузии в пространстве векторов Ь посвящен Раздел 2.3. Уравнение угловой диффузии (уравнение Фоккера - Планка) строится на основе уравнения баланса плотности распределения и приводится к интегро - дифференциальному уравнению для возмущения /'.

МтЬ\Ь,Ы, + /„V Д/оА/' - А2/' •

(А- < Рг >)%*[ =

-{Р2- < Рг >)йгх]Зр + + 3«чЬ4Ь, - Уаа +

з

■\--drLi - щЬ- иу,

1 /дТс ТаУ\ т ¿т = (1 < Р2 > /Т, х = --С~)' с ' темпеРатУРа °Р""

ентационного плавления, а - коэффициент теплового расширения, Ср - теплоемкость, р - давление; выражения для параметров (3 ~ 1 и £ ~ 1 приведены в диссертации. Решение уравнения Фоккера - Планка позволяет получить возмущение углового распределения /', а также построить квазиравновесное распределение /ц.

Решение уравнения Фоккера - Планка для возмущения /' рассмотрено в Разделе 2.4. Решение уравнения ищется разложением по собственным функциям квадрата углового оператора Гамильтона:

оо

/' = £ Л(2т)[ь(2т)- < Р2т > п<2т>],

т=1

где Ь<*> = Ь®Ь® ---®Ь.

к

Ортогональность собственных функций позволяет выделить уравнения релаксационного типа для коэффициентов разложения А^ы; эти уравнения решаются при внешнем гармоническом воздействии в звуковой или сдвиговой волнах. Коэффициенты А^и являются дополнительными структурными переменными, определяющими деформированное состояние среды. Все параметры, входящие в выражение для А{щ могут быть вычислены в рамках предложенной модели или определены из независимых экспериментов, таким образом, в предложенном статистическом описании свойств НЖК отсутствуют свободные параметры.

Предложенное описание учитывает следующие релаксационные процессы: 1) релаксация ориентацпонного порядка; 2) релаксация

двухосности; 3) релаксация вращения оси кристалла.

Изучению особенностей распространения вязких волн в жидких кристаллах посвящена Глава 3. Исследование вязких волн позволяет выделять и изучать релаксационные процессы в НЖК, не связанные с изменением температуры и давления.

Учет четвертых моментов распределения менкет вид уравнения вращения директора в вязких волнах. Это уравнение выводится в Разделе 3.2 непосредственно из уравнения баланса для плотности распределения умножением его на L\LS и интегрированием по направлениям L. Без учета моментов Франка уравнение имеет вид:

1/ - ^ Г/8 < Pi > 1 2 \ „ 1 1

Ns = п, — -(rotv х п), = (- р + +D-,-:-«1».

2 1Л7 < гг > 7 «г' 1 — twruJ

где D > 0 - численный коэффициент.

В уравнении появляется релаксационное слагаемое, определяющее запаздывание по фазе директора от градиента сдвига в вязких волнах. Релаксационный характер вращения директора в вязких волнах выявлен в данной работе впервые; при ограничении в описании возмущения углового распределения вторыми моментами, релаксация директора в уравнении вращения исчезает. Показано, что при учете четвертых моментов распределения отношение коэффициентов вязкости Лесли а^/а2 становится частотно зависимым; температурная зависимость «з/а2 на высоких и низких частотах сравнивается с данными эксперимента.

В Разделе 3.3 анализируется анизотропия коэффициентов вязкости в вязких волнах в НЖК. Классическая гидродинамика НЖК, в которой НЖК трактуется как одноосная жидкость, предсказывает равенство коэффициентов вязкости в волне, распространяю-

щейся вдоль директора и в волне, поляризованной вдоль директора ( соответственно т]а и щ); это совпадение известно как равенство Рапини. Экспериментальные исследования опровергают его и приводят к неравенству: т/а > г]ь- Нарушение равенства Рапини к настоящему времени не имеет теоретического объяснения.

Усреднение несимметричных микронапряжений, построенных в диссертации, по ориентациям частиц приводит к несимметричным вязким напряжениям, что и определяет нарушение равенства Рапини: Д77 = т]а — гц ф 0. В работе показано, что несимметричность вязких напряжений, а, следовательно, и нарушение равенства Рапини обусловлено релаксационным характером вращения директора и проявляется в теории лишь при учете четвертых моментов распределения.

Полученная в работе анизотропия:Дл = т]а — щ = Г1пТс1т-:-,

1 - гшта

(к и 1 - множитель, слабо зависящий от температуры, та и 10-8с) предсказывает слабую зависимость от частоты Д77 и< Р2 > в области ш < 108с-1; слабую зависимость от температуры и величину эффекта (для МББА) Д77 ~ 1 — 2 • Ю-2 пуаз. Эти результаты находятся в хорошем согласии с данными эксперимента.

В Главе 4 предложен подход к построению нелинейной гидродинамики НЖК, в основе которого лежит микромодель, предложенная в Главе 2: переход от микроописания к нелинейному макроскопическому описанию осуществляется усреднением механических переменных по неравновесной плотности распределения ориен-таций молекул НЖК.

Усреднение микронапряжений по неравновесному распределению

описано в Разделе 4.1. Ввиду сложности расчетов, при построении нелинейных напряжений в возмущении плотности распределения, градиенты которого формируют микронапряжения и полной плотности распределения учитываются лишь вторые моменты распределения. Для практических целей наибольший интерес представляют стационарные напряжения, дающие наибольшие искажения структуры кристалла, поэтому в диссертации усреднением нелинейных напряжений по времени выделена их стационарная часть; в звуковом поле частоты и с колебательной скоростью и|]т, (]т| = 1) получено:

ог{|' ~ |Е1 т^тцтП) — п;т,) — -Е2[т1(т;пу + т^щ) - ^т.т,^ ^ ДТ2£2'

„ пТ 72 _ _ ВпТ(1-фг/7). 0 „

где Е1 = —— -¡¿х < р2 > Е, Е2 = --'-^¿тКпЕ, е -

4 71 2

сжатие в звуковом поле, т2 - время релаксации < Р2 >, Е - объемный

модуль упругости НЖК, Т?22 - дисперсия момента Рг{Ь\).

Раздел 4.2 посвящен построению медленного по сравнению с частотой внешнего воздействия уравнения вращения директора в звуковых или вязких волнах. Использованный при выводе уравнения метод аналогичен использованному в Разделе 3.3 для построения уравнения вращения директора в вязких волнах, но угловое усреднение слагаемых в уравнении баланса плотности распределения / проводится по неравновесной плотности распределения. Так же как и при расчете напряжений, и в уравнении баланса, и в плотности распределения учитываются лишь вторые моменты распре-

деления; одновременное усреднение по периоду звуковых колебаний выделяет уравнение для медленных изменений ориентации директора:

г. Ю71 1 шгт\ ,

I 1 '72 1 1 + Ш1Т2

- Ур,,)пр - у,р11р - Уппрпчщ) - ^Дп5 = О,

где и0 ~< Рг > /3/г2, £ь£2 ~ Ю-1 - постоянные, К3 - упругий коэффициент Франка. Это уравнение описывает медленные по сравнению с частотой звука эволюции директора.

В Разделе 4.3 рассматривается акустический эффект Фредерик-са при нормальном падении ультразвуковой волны на гомеотропно ориентированный НЖК-слой.'Картина эффекта строится в рамках нелинейной гидродинамики НЖК, развитой в диссертационной работе. Именно, показано, что в звуковом поле в НЖК возникают стационарные нелинейные моменты, которые стремятся развернуть молекулы кристалла ортогонально направлению распространения волны. Этот, дестабилизирующий структуру НЖК-слоя эффект, усиливается действием потоков, обусловленных стационарными нелинейными напряжениями. Совместное действие указанных факторов при интенсивностях звука, превышающих пороговое значение, приводит к искажению структуры НЖК-слоя. Порог акустического эффекта Фредерикса определяется в диссертации без использования свободных параметров; для порогового значения амплитуды

сжатия получено следующее значение:

2 _ Ц (дТ1_ аТК\ Г1

£1Н~ и>йЪЬ.Ч\Т\др СР У / 1+а-Ч

Зависимость пороговой колебательной скорости г^д от толщины слоя г^д ~ /Г1 подтверждается данными экспериментов, в которых наблюдалось пороговое искажение структуры гометропного слоя нематика в однородном звуковом поле.Численные значения у^ и слабая зависимость от температуры также хорошо коррелирует с данными эксперимента.

Успешное описание акустического перехода Фредерикса позволяет судить о достоверности в построении нелинейной гидродинамики НЖК.

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1) Диссертационная работа посвящена дальнейшему развитию статистического подхода к описанию вязкоупругих свойств нема-тического жидкого кристалла. Впервые при описании процессов в НЖК в вязких волнах учитываются наряду со вторыми четвертые моменты распределения, что может существенно изменять описание процессов в НЖК.

2) В пространстве векторов Ь выведено уравнение угловой диффузии для плотности ориентаций молекул НЖК; уравнение учитывает воздействие на структуру НЖК звуковых и вязких волн.

3) Исследован метод решения уравнения угловой диффузии. Показано, что решение уравнения можно искать в виде разложения по собственным функциям углового оператора Гамильтона; определе-

ны вид и свойства этих функций.

4) На основе развитого статистического подхода проведен анализ дисперсии коэффициентов вязкости Лесли. Показано, что учет высших моментов распределения ( больших второго) в плотности распределения существенен при анализе вязкоупругости в НЖК.

5) Показано, что учет четвертых моментов в плотности распределения молекул меняет характер вращения директора. Уравнение вращения, выведенное непосредственно из уравнения баланса плотности распределения, содержит релаксационное слагаемое, которое приводит к запаздыванию поворота директора от сдвига при переодических деформациях.

6) Показано, что в рамках предложенной модели с учетом четвертых моментов распределения тензор вязкоупругости несимметричен, что приводит к нарушению равенства Рапини в вязких волнах, распространяющихся в НЖК.

7) Предложен метод построения нелинейной гидродинамики НЖК, в котором переход от микроописания к макроописанию предлагается осуществлять усреднением микромоментов и микронапряжений по неравновесной плотности распределения ориентации молекул НЖК.

8) Предложенный метод реализован в построении стационарных напряжений и уравнения для медленного вращения директора в звуковом и сдвиговом полях.

9) Построенная в диссертационной работе нелинейная гидродинамика НЖК, применена для анализа акустического перехода Фре-дерикса в гомеотропно ориентированном НЖК- слое при нормаль-

ном падении на него звуковой волны, однородной по сечению. Теоретическая картина эффекта адекватна данным эксперимента.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ ( Грант 9402-04686).

Список опубликованных работ по теме диссертации.

I 1) Кожевников E.H., Долматова Н.Г., "Структурная релаксация нематических жидких кристаллов "// Изв. РАН. серия физическая. 1996. Т. 60, стр.60-66.

2) Долматова Н.Г. Кожевников E.H. "Вязкоупругие свойства НЖ1 в сдвиговых волнах "// Акустический журнал. 1997. Т.43. N 3 . С. 553-557.

3) Кожевников E.H., Долматова Н.Г." Статистическая гидродинамика нематических жидких кристаллов", II-ая Международная зимняя школа по механике спошной среды, г. Пермь. 1997. Тезисы докладов, книга 2. С. 163.

4) Кожевников E.H., Долматова Н.Г. "Собственные функции квадрата углового оператора Гамильтона в координатном представлении"// Вестник Самарского университета. 1995. спец. выпуск. С. 73-81.

5) Кожевников E.H., Долматова Н.Г. " Несимметричность напряжений в вязких волнах в НЖК " //Вестник Самарского университета. 1996. N 2. С.75-82.

6)Кожевников E.H., Долматова Н.Г. " Переход Фредерикса в го-меотропно ориентированном слое НЖК при нормальном падении звуковой волны" // Весник Самарского университета. 1997. N 4.

7) Кожевников E.H., Долматова Н.Г. "Микро- и макрогидроди-

намика НЖК", сб. тр. 6-ой межвузовской научной конференции " Математическое моделирование и краевые задачи " 1996. Самара. С. 31-32.

8) Кожевников E.H., Долматова Н.Г., "Нарушение равенства Ра-пини в вязких волнах, распространяющихся в вязких волнах" (Представлена к опубликованию в журнал " Кристаллография" )