Математическое моделирование поведения полимерных сред и верификация реологической модели на основе численного эксперимента тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ б

1 Феноменологическое построение реологических моделей полимерных жидкостей

1.1 Принципы термодинамики неравновесных процессов и реологические уравнения состояния.

1.2 Принцип материальной объективности и реологические соотношения

1.3 Реологические уравнения состояния релаксационного типа

1.4 Реологические уравнения состояния интегрального типа

2 Определяющее уравнение как следствие мезоскопиче-ского приближения

2.1 Низкочастотные линейные моды и модели макромолекулы

2.1.1 Модель Рауза.

2.1.2 Уравнение динамики субцепей — модифицированные раузовские моды.

2.1.3 Функции памяти.

2.1.4 Внутренний масштаб и эффект локализации

2.1.5 Релаксация макромолекулы.

2.2 Многомодное реологическое соотношение.

2.2.1 Тензор напряжений и релаксационные уравнения

2.2.2 Линейная вязкоупругость и самосогласованность теории.

2.2.3 Стационарные однородные течения при малых градиентах скоростей.

2.3 Одномодное реологическое соотношение.

2.3.1 Реологические уравнения с двумя релаксационными процессами.

2.3.2 Реологические соотношения с одним релаксационным процессом.

2.3.3 Реологическая модель Виноградова

2.4 Динамика изолированной гантели и разбавленные растворы полимеров.

2.4.1 Динамика релаксатора в потоке

2.4.2 Определяющие уравнения.

2.4.3 Стационарное сдвиговое течение.

3 Реологическое уравнение состояния неразбавленных полимеров и нелинейные эффекты

3.1 Реологическая модель концентрированного раствора полимера с одним временем релаксации.

3.2 Реологическая модель неразбавленных полимеров систем с учетом анизотропии подвижности макромолекулы, моделируемой субцепями.

3.2.1 Анизотропия подвижности и нелинейные эффекты в молекулярной теории вязкоупругости линейных полимеров.

3.2.2 Нелинейные эффекты при простом сдвиге.

3.2.3 Стационарное течение одноосного растяжения

4 Простые неоднородные течения полимеров

4.1 Система уравнений движения

4.2 Пульсирующее течение нелинейной вязкоупругой жидкости без учета инерционных эффектов.

4.2.1 Сравнение теоретических результатов и экспериментальных данных по стационарному и пульсирующему течению растворов полимеров.

4.2.2 Резонансный режим течения и теплообмена в трубе

4.3 Нестационарное течение линейной ВУЖ в плоском канале — задача Рэлея.

4.4 Течение нелинейной ВУЖ в круглой трубе бесконечной длины под действием заданного градиента давления

5 Численное исследование течений полимеров на основе базовой реологической модели

5.1 Система уравнений движения.

5.2 Метод частиц в ячейках для вязкоупругой несжимаемой жидкости.

5.2.1 Граничные условия на твердых непроницаемых стенках

5.2.2 Метод решения релаксационных уравнений

5.2.3 Граничные условия при решении релаксационных уравнений.

5.3 Течение ВУЖ в круглой трубе под действием заданного градиента давления

5.4 Течения ВУЖ во внезапно сужающемся цилиндрическом канале.

5.4.1 Особенности поведения полимерных жидкостей при входных течениях в канале 4:1.

5.4.2 Расчет входных течений в канале 4:1 на основе модели нулевого приближения.

5.5 Течение в цилиндрическом сосуде с вращающимся диском на поверхности.

5.6 Течение ВУЖ и ньютоновской жидкости в цилиндре с вращающимся диском на дне и со свободной поверхностью

5.6.1 Граничные условия для вязких и вязкоупругих жидкостей на свободной поверхности

5.6.2 Результаты расчетов течения в цилиндрическом сосуде с вращающимся дном и свободной поверхностью

5.7 Истечение струи ВУЖ из цилиндрического канала со свободной поверхностью.

Существует класс материалов, описание поведения которых требует в равной мере учета как вязких, так и упругих свойств - это вяз-коупругие среды. Широко используемым на практике представителем вязкоупругих материалов являются полимеры. Из них, заслуживающими изучения как с теоретической точки зрения - выяснения влияния молекулярного строения полимера на макроскопически проявляющиеся характеристики среды, так и с практической, ввиду возрастающих масштабов производства полимеров и их использования в качестве уникальных конструкционных материалов, являются линейные полимеры. Линейным полимером называется соединение, молекулы которого состоят из большого числа последовательно соединенных мономерных звеньев. Типичными представителями линейных полимеров являются полиэтилен, поликапроамид, полиакриламид, политетрафторэтилен. Особенностью поведения этих материалов является то, что различным температурам соответствуют различные состояния полимера: стеклообразное, высокоэластичное и текучее. Далее рассматриваются полимеры в текучем состоянии, которое встречает почти непременно в процессах переработки, а также широко используется в технических устройствах.

Полимерные системы, как объект исследования, проявляют целый ряд свойств, необъяснимых с позиций механики ньютоновских и неньютоновских вязких жидкостей. Математическая же модель, объясняющая поведение полимеров, должна описывать достаточно широкий класс таких необычных явлений как "эффекты входа и выхода"поли-мера в каналах переменного сечения, аномальное поведение вязкости при течении, разбухание экструдата при выходе из канала - эффект

Баруса, неустойчивость струй, пристенное скольжение и т.д.

Для обобщения указанных экспериментально наблюдаемых явлений необходимо математическое описание этих явлений в рамках некоторой реологической модели, которая в общем случае определяется молекулярным строением исследуемой среды. Такими моделями, связывающими напряжения и кинематические характеристики среды, могут быть идеальная невязкая жидкость, ньютоновская вязкая жидкость, неньютоновская неупругая жидкость, неньютоновская упругая жидкость, или, как часто говорят, вязкоупругая жидкость и т.п. Все эти модели в соответствующих условиях частично описывают наблюдаемые экспериментальные явления. При этом, по мере усложнения модели, вообще говоря, расширяется класс описываемых явлений и область применимости модели. Однако для достаточно широкого класса экспериментальных данных непротиворечивое описание течений полимеров оказывается возможным лишь реологическими моделями, учитывающих вязкоупругие (релаксационные) свойства полимеров.

Как известно [1-3], используемые модели вязкой жидкости и абсолютно упругого твердого тела отражают особенности молекулярного строения и межмолекулярного взаимодействия лишь идеализированных текучих и твердых сплошных сред. Причем, говоря о вязких свойствах среды при деформировании имеют в виду пропорциональность напряжений скоростям деформаций, а упругие свойства характеризуют пропорциональностью напряжений и деформаций, возникающих в деформируемой среде. Реальные тела при деформировании проявляют как вязкие так и упругие свойства, поэтому достаточно общие математические модели поведения реальных материалов должны описывать вязкоупругость. С этой точки зрения широкое и часто достаточно успешное использование идеализированных моделей объясняется как спецификой конкретных условий деформирования - малы деформации или скорости деформаций, велики или, наоборот, малы частоты внешнего воздействия и т.д., так и особенностями молекулярного строения конкретного материала.

Построение реологических моделей, адекватно описывающих поведение полимеров, осуществляется тремя способами. При одном из них

- феноменологическом - рассматривается наделенный некоторыми макроскопическими характеристиками материал, для которого записываются соотношения между компонентами тензора напряжений и деформаций (скоростей деформаций) с учетом некоторых ограничений как на вид соотношений, так и на входящие в них постоянные, характеризующие материал. В качестве ограничений используются принципы, связанные как с конкретным математическим представлением реологических соотношений - принцип материальной объективности, так и с непротиворечивостью реологической модели следствиям термодинамики неравновесных процессов и законов сохранения. К настоящему времени последовательная теория вязкоупругого поведения материалов, опирающаяся только на основные и общие принципы без введения некоторых дополнительных предположений физического характера не создана.

Иной подход в описании реакции материала на внешнее воздействие носит название мезоскопического приближения. Мезоскопическое приближение в динамике полимерных расплавов основывается на динамике выделенной макромолекулы, находящейся в системе перепутанных макромолекул. Обшая форма линейного динамического уравнения позволяет проверить различные гипотезы о законе затухания функций памяти среды. Для согласования теории с экспериментальными данными для полимерных расплавов и растворов системы сильно перепутанных оказывается достаточным принять экспоненциальный закон затухания с единственным корреляционным временем. Результирующая картина теплового движения макромекулы при этом совместима с представлениями о локализации макромолекулы, причем при мезоско-пическом подходе в теорию естественным образом входит характерный внутренний масштаб, имеющий смысл длины макромолекулы между соседними зацеплениями или диаметр трубки при ином описании.

Оба подхода - феноменологический и мезоскопический - должны в конечном счете давать тождественное описание исследуемого объекта. Однако, ввиду трудностей как принципиального так и технического характера, встречающихся на пути последовательной реализации этих подходов, сейчас они существуют несколько обособленно, но оба используются и развиваются для более полного и всестороннего описания полимеров.

Стоит упомянуть и третий путь получения реологических соотношений - так называемое микроскопическое приближение, которое имеет дело с исследованием системы движущихся перепутанных макромолекул. Этот подход, использующий сложный математический аппарат и большое число слабо обоснованных аппроксимаций при проведении вычислений, не просто реализуется, но полученные этим способом результаты в любом случае проясняют феноменологические результаты.

Важнейшие результаты микроскопическое^ приближение используются и при проведении исследований на базе мезоскопического приближения.

В настоящее время нет недостатка в различного рода реологических моделях, в частности сформулированных на основе феноменологического подхода. Однако существующие модели, удовлетворительно описывая частные задачи конкретного исследования, по-прежнему не могут быть основой систематического исследования полимеров, ввиду присущего им принципиального недостатка - неучета особенностей строения конкретных полимерных систем. Поэтому сейчас ясно, что на пути феноменологического построения не будет сформулировано общих реологических соотношений, применимых ко всем полимерным средам. В тоже время подробные молекулярные теории, акцентирующие внимание на молекулярных процессах в полимерах, не дают возможности создания простых реологических соотношений удобных для интерпретации экспериментальных данных и проведения теоретического анализа. Потому по-прежнему стоит вопрос о формулировке простой реологической модели, описывающей поведение полимеров как в линейной так и в нелинейной областях, полученной по возможности последовательным способом, исходя из некоторых исходных принципов.

В настоящей работе изучаются особенности деформирования текучих полимерных систем - растворов и расплавов полимеров - на основе (микроструктурного) мезоскопического подхода.

Цель работы:

1) Получение общей реологической модели для разбавленных растворов полимеров при точном учете всех механизмов межмолекулярного и внутримолекулярного взаимодействия макромолекул.

2) Обоснование применимости простейшей нелинейной реологической модели для описания поведения концентрированных растворов и расплавов линейных полимеров в нелинейной области.

3) Анализ стационарных и нестационарных течений полимеров в условиях, где проявляются наиболее явно вязкоупругие эффекты, присущие полимерным системам.

4) Численный эксперимент и верификации на его основе реологической модели.

Краткое содержание диссертации.

В диссертационной работе, состоящей из 5 глав, рассматривается один из способов последовательного построения реологической модели концентрированных растворов и расплавов полимеров, базирующийся на концепции микровязкоупругости в рамках одномолекулярного приближения, а также уточняется вид реологического соотношения разбавленных растворов полимеров. При этом формулировка общего вида реологических соотношений для разбавленных и концентрированных полимеров проводится на основе существующих в настоящее время представлениях о строении полимеров и моделировании внутримолекулярных процессов.

Для разбавленных растворов полимеров получен общий вид реологических соотношений при совместном учете внутримолекулярной вязкости и анизотропии гидродинамического взаимодействия частей макромолекулы. Построение реологической модели растворов проведено на основе сравнения двух моделей полимерной системы. При этом показано, что при моделировании концентрированных растворов полимеров суспензией невзаимодействующих релаксаторов — гантелей, внутренняя вязкость в первом приближении может не учитываться. Такое приближение приводит к модели В.Н.Покровского. В рамках используемого подхода рассмотрено влияние анизотропии подвижности макромолекулы в системе перепутанных макромолекул на вид реологических соотношений концентрированных полимерных систем.

Рассмотрение стационарных однородных течений на основе полных реологических соотношений дало качественно новый результат: появление отличной от нуля второй разности нормальных напряжений при простом сдвиге как для разбавленных так и для концентрированных растворов полимеров.

Проведено подробное исследование однородных течений концентрированных растворов с учетом членов третьего порядка по градиентам скорости в реологических соотношения.

Изучение течений концентрированных растворов в существенно нестационарных условиях пульсирующего течения в цилиндрическом канале проводилось на базе реологической модели В.Н.Покровского. Полученные результаты теоретического анализа и их сравнение с экспериментальными данными по пульсирующему течению позволили сделать вывод о применимости использованной реологической модели для описания нестационарных течений полимерных жидкостей и необходимости дальнейшего развития использованного подхода для формулировки более совершенной реологической модели полимерных жидкостей.

Проведено подробное и последовательное численное исследование течений концентрированных растворов в условиях, где течения вязко-упругих сред контрастно отличается от течения иных сред - течения в замкнутых областях и течения со свободной поверхностью.

В заключении кратко сформулированы результаты, полученные в работе.

Научная новизна. В диссертации впервые получена система реологических уравнений разбавленных растворов полимеров на основе модели невзаимодействующих релаксаторов, находящихся в вязкой жидкости, с учетом внутренней вязкости и анизотропии гидродинамического взаимодействия центров трения релаксатора в приближении точечных сил Озеена. В отличии от рассмотренного ранее случая учета усредненного (равновесного) гидродинамического взаимодействия, точная формулировка задачи приводит к качественно новому эффекту уже при стационарном сдвиговом течении — вторая разность нормальных напряжений отлична от нуля.

Обосновано применение в первом приближении для концентрированных растворов и расплавов полимеров простейшей нелинейной реологической модели В.Н.Покровского, в которой не учитывается внутренняя вязкость макромолекул.

На основе сравнения гантельной модели макромолекулы, находящейся в вязкой жидкости, и макромолекулы, моделируемой субцепями в вязкоупругой жидкости, выяснен физический смысл и значение постоянных, входящих в реологическую модель концентрированных растворов полимеров.

Для концентрированных растворов полимеров проведено исследование нелинейных эффектов, проявляющихся в однородных течениях и течениях одноосного растяжения.

Теоретически исследовано и проведено сравнение с экспериментальными данными массо- и теплопереноса при пульсирующем течении в цилиндрическом канале.

На основе численного исследования течений концентрированных растворов в реальных условиях, где течения вязкоупругих сред контрастно отличается от течения иных сред - течения в замкнутых областях и течения со свободной поверхностью, продемонстрирована адекватность рассмотренных уравнений особенностям течений полимерных жидкостей.

Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты свидетельствуют как о применимости рассмотренных реологических моделей для математического описания процессов переработки полимеров в стационарных и нестационарных условиях, так и о плодотворности использованного подхода в конструировании реологических соотношений.

Полученные закономерности и зависимости влияния различных физических факторов, учитываемых при построении модели, а также свойств полимерных сред и условий их деформирования на стационарные и нестационарные режимы течения позволяют определить возможные способы интенсификации технологических процессов совместного тепломассопереноса в реологически сложных средах, а также при анализе результатов реогониметрических измерений вязкоупругих жидкостей.

Достоверность результатов. Применяемый в диссертации подход в части построения и обоснования реологических соотношений основывается на широко известных представлениях о молекулярной структуре и поведении полимеров на молекулярном уровне и использует достаточно широко применяемые физические модели, учитывающие строение полимера. Это определяет в рамках сделанных допущений и предположений адекватность полученных соотношений реальным полимерным жидкостям.

Полученные результаты при упрощении сводятся к известным результатам, которые используются как в теоретических так и в экспериментальных исследованиях полимеров. Это, совместно со сравнением экспериментальных и теоретических результатов, подтверждает достоверность полученных в работе выводов.

Автором представляются к защите результаты и методика теоретического исследования полимерных жидкостей, проявляющих вяз-коупругие свойства при деформировании, В том числе:

1) методика получения и вид реологических соотношений для разбавленных растворов полимеров;

2) качественные и количественная оценки роли и вклада различных механизмов молекулярного и межмолекулярного взаимодействия на вид реологических соотношений;

3) используемая процедура последовательного построения простейшей нелинейной реологической модели концентрированных растворов полимеров;

4) результаты экспериментального и теоретического анализа нестационарного пульсирующего течения в цилиндрическом канале и используемый при численном анализе алгоритм;

5) качественные и количественные оценки роли и влияния вязко-упругих свойств полимерных жидкостей и нелинейности реологической модели на динамику пульсирующее течение полимеров.

6) результаты численного исследования течений полимерных сред в условиях, где отчетливо проявляется специфика вязкоупругого поведения полимерных жидкостей.

Апробация работы. Основные результаты по теме диссертации изложены в работах [64,68,75,79,80,111,163-184] и докладывались на II Всесоюзном совещании "Математические методы для исследования полимеров" (Пущино, 1981), XII Всесоюзном симпозиуме по реологии (Рига, 1982), VIII Всесоюзной конференции по прочности и пластичности (Пермь, 1983), XIII Всесоюзном симпозиуме по реологии (Волгоград, 1984), III Всесоюзном симпозиуме "Теория механической переработки полимерных материалов"(Пермь, 1985), XV Всесоюзном симпозиуме по реологии (Одесса, 1990), IV Международном симпозиуме "Advances in structured and heterogenious continua" (Москва, 1993), 17 симпозиуме Реология-94 (Саратов, 1994), III научно-практической конференции Бийского технологического института (Бийск, 1995), II internat. sump. Advances in structured and heterogenious continua (Moscow, 1995), 18 Международного симпозиуме по реология (Карачарово, 1996), Международная конференция "Математические модели и методы их исследования"(Красноярск, 1999), II краевой конференции по математике. МАК-99 (Барнаул, 1999), XX симпозиуме по реология (Карачарово, 2000), Четвертом сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 2000), Международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения" (Красноярск, 2000), XIII International Congress On Rheology - Rheology 2000 (Cambridge, UK, 2000).

Материалы, приведенные в диссертации обсуждались на семинаре под руководством профессора В.Н.Покровского, НИИПММ при ТГУ (Томск), а также в ИТФ СО РАН (Новосибирск).

В работах, написанных в соавторстве, автор принимал участие в постановке задач; проделал самостоятельно все теоретические выкладки; реализовал в виде программ все разработанные алгоритмы, использованные при численном исследовании; провел обработку результатов реогониметрических экспериментов для получения параметров реологических моделей; провел все расчеты; принимал участие в обсуждении полученных результатов и формулировке окончательных выводов.

Основные результаты, полученные в диссертации: применение простейшей модели гантели в различной несущей среде, как модели поведения макромолекулы, позволило получить точные результаты, используемые в более подробных моделях при их обоснования и анализе; для разбавленных растворов полимеров последовательно получена базовая реологическая модель и обосновано применение модели невзаимодействующих релаксаторов — гантелей при моделировании поведения макромолекулы в разбавленных растворах; для концентрированных растворов на основе уравнений динамики макромолекулы исследованы эффекты второго порядка, связанные с подробным учетом анизотропии подвижности частей макромолекулы; анализ влияния анизотропии подвижности частей макромолекулы позволил установить для полимерных систем исследуемых концентраций определяющий вклад этого механизма внутримолекулярного взаимодействия в вязкоупругость полимеров и упростить процедуру получения реологической модели нулевого приближения; проведено сравнение теоретических результатов на этапе обоснования реологической модели с известными экспериментальными данными и предложен способ определения параметров реологической модели в опытах по растяжению полимера; численно исследованы основные типы течений, в которых проявляются особенности вязкоупругого поведения полимеров:

1) нестационарные течения и теплообмен в круглых каналах;

2) стационарные двух- и трехмерные течения в замкнутых областях;

3) стационарные двух- и трехмерные течения течения со свободной поверхностью; проведено сравнение теоретических результатов с экспериментальными данными для:

1) пульсирующего и осциллирующего течения в круглой трубе;

2) "входного течения" с соотношением радиусов каналов 4:1;

3) экструзионного течения полимера; на основе численного исследования установлена непротиворечивость описания вязкоупругого поведения полимеров исследованной реологической моделью.

Учитывая изложенные результаты, рассмотренную методологию исследования текучих линейных полимеров и полученные на ее основе реологические соотношения следует использовать при:

1) дальнейшем теоретическом исследовании полимерных систем в рамках мезоскопического приближения;

2) проведении численных экспериментов в исследовании процессов сложно реализуемых на экспериментальных установках;

3) проведении инженерных расчетов.

Результаты проведенного исследования позволяют утверждать, что мезоскопическое приближение в теории вязкоупругости линейных полимеров является достаточно результативным подходом. Дальнейшие шаги развития этого подхода могут быть связаны с более точной формулировкой исходных уравнений динамики полимерной цепи для согласования результатов теории линейной вязкоупругости и результатов исследования нелинейных эффектов, проявляющихся при деформировании текучих полимеров. Сформулированные же в рамках рассматриваемого подхода реологические соотношения различного вида можно использовать при анализе связи микроскопических процессов в системе перепутанных макромолекул с макроскопически проявляющимися особенностями вязкоупругого поведения полимерной системы.

Рассмотренные методы позволили сформулировать внутренне непротиворечивую модель поведения широко используемого материала, а продолжающиеся работы позволяют надеяться на успешное развитие данной методологии в разработке моделей механики сплошных сред.

Заключение

1. Седов Л.И. Механика сплошной среды.-2-е изд., испр. и дополн. -М.: Наука, 1973. т.1,2.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука.: 1965.- 203с.

3. Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1964. - 456с.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. М.: Наука.: 1976. - 583с.

5. Oldroyd J. G. On the formulation of reological equation of state// Proc. Roy. Soc. 1950. - V.A200. - P.523-541.

6. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. - 593с.

7. Чаш Дей Хан. Реология в процессах переработки полимеров. -М.: Химия, 1979. 366с.

8. Oldroyd J.G. Non-Newtonian Effects in Steady Motion of Some Idealized Elastico-Viscous Liquids// Proc. Roy. Soc. 1958. - V.A245.- P.278-297.

9. Truesdell C.A. The mechanical foundation of elasticity and fluid dynamics. N.Y., 1966. - 218p.

10. Coleman B.D., Markovitz H., Noll W. Viscometric flows of non-newtonian fluids. Theory and experiment. Berlin - Heidelberg - New York, 1966. - 130p.

11. Truesdell СЛ.,Noll W. The Non-Linear Fluid Theories of Mechanics. Berlin: Springer - Verlag, 1965. - 92p.

12. Williams M.C., Bird R.B. Three-constant Oldroyd model for viscoelastic fluid// Phys. Fluids. 1962. - v5. - №9. - P.1126.

13. Spriggs T.W. A four-constant model for viscoelastic fluids// Chem. Eng. Sci. 1965. - v.20. - №11. - P.931-940.

14. Городцов В.А., Леонов А.И. О кинематике, неравновесной термодинамике и реологических соотношениях в нелинейной теории вяз-коупругости// ПММ. 1968. - т.32. - Вып.1. - С.70-76.

15. Городцов В.А., Леонов А.И. О роли скалярного структурного параметра в описании реологического поведения упруговязких жидкостей// Механика полимеров. 1969. - №6. - С.1087-1097.

16. Леонов А.И. О теоретическом описании реологического поведения упруговязких сред при больших упругих деформациях. Препринт N34. Ин-т проблем механики АН СССР. М., 1973. - 64с.

17. Астарита Дж., Марруччи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. М.: Мир, 1978. - 390с.

18. Шулъман З.П., Хусид Б.М. Феноменологические и микроструктурные теории наследственных жидкостей. Препринт N4 ИТМО АН БССР. Минск, 1983. - 50с.

19. Шульман З.П., Алейников С.М.,Хусид Б.М., Якобсон Э.Э. Реологические уравнения состояния текучих полимерных сред (анализ состояния проблемы). Препринт N3 ИТМО АН БССР. Минск, 1981. - 46с.

20. Шульман З.П., Хусид Б.М. Нестационарные процессы конвективного переноса в наследственных средах. Минск: Наука и техника, 1983. - 256с.

21. Хусид Б.М. Об эквивалентности некоторых типов реологических уравнений состояния текучих полимерных сред. I. Общий анализ// ИФЖ. 1982. - т.42. - Ш. - С.670-677.

22. Хусид Б.М. Об эквивалентности некоторых типов реологических уравнений состояния текучих полимерных сред. II. Анализ конкретных моделей// ИФЖ. 1982. - т.42. - №5. - С.779-789.

23. Gallen Н.В. Thermodynamics and an Introduction to Thermostatics, Wiley. New York, 1960.

24. Beris A.N., Edwards B.J. Poisson bracket formulation of viscoelastic flow equations of differential type: A unified approach// J. Rheol. -1990. V.34. - P.503.

25. Leonov A.I. Analysis of simple constitutive equations for viscoelastic liquids// J. Non-Newton. Fluid Mech. 1992. - V.42. - P.323.

26. Jongschaap R.J.J., de Haas K.H., Damen C.A.J. A generic matrix representation of configuration tensor rheologicaf models// J. Rheol. -1994. V.38. - P.769.

27. Edwards S.F., Freed K.F. Theory of the dynamical viscosity of polymer solutions// J. Chem. Phys. 1974. - V.61. - P.1189.

28. Schweizer K.S. Microscopic theory of the dynamics of polymeric liquids: General formulation of a mode-mode coupling approach// J. Chem. Phys. 1989. - v.91. - P.5802-5821.

29. Schweizer K.S. Mode-coupling theory of the dynamics of polymer liquids: Qualitative predictions for flexible chain and ring melts// J. Chem. Phys. 1989. - v.91. - P.5822-5839.

30. Vilgis T.A., Genz U. Theory of the dynamics of tagged chains in interacting polymer liquids: General theory// J. Phys. 1994. - v.4. -m. - P.1411.

31. Ferry J.D. Some reflections on the early development of polymer dynamics: Viscoelasticity. dielectric dispersion and self-diffusion// Macromolecules. 1990. - V.24. - P.5237.

32. Edwards S.F., Grant J. W. V. The effect of entanglements on diffusion in a polymer melt// J. Phys.: Math., Nucl., Gen. 1973. - V.6. - P.1186-1195.

33. Покровский B.H. Динамика слабосвязанных линейных макромолекул// Успехи физ. наук. 1992. - Т.162. - №5. - С.87-121.36. de Gennes P. G. Reptation of a polymer chain in the presence of fixed obstacles// J. Chem. Phys. 1971. - V.55. - №2. - P.572-579.

34. Doi M., Edwards S.F. The Theory of Polymer Dynamics, Oxford University Press. London, 1986.

35. Vinogradov G.V. , Pokrovskii V.N., Yanovsky Yu.G. Theory of viscoelastic behaviour of concentrated polymer solutions and melts in one-molecular approximation and its experimiental verification// Rheol. Acta. 1972. - V.7. - P.258.

36. Phan Tien N. , Tanner R.I. A new constitutive equation derived from network theory// J. Non-Newton. Fluid Mech. 1977. - V.2. -P.353-365.

37. Rouse P.E. A theory of the linear viscoelastic properties of dilute solutions of coiling polymers// J. Chem. Phys. 1953. - V.2. - P.1272

38. Покровский В.Н. Низкочастотная динамика разбавленных растворов линейных полимеров// Успехи физ. наук. 1994. - Т.164. - №4.- С.397-414.

39. Покровский В.Н., Волков B.C. К теории медленных релаксационных процессов в линейных полимерах// Высокомолек. соед. 1978.- Т.А20. т. - С.255-264.

40. Cerf R. Statistical mechanics of chain macromolecules in a velocity field// J. Phys.-Radium. 1958. - V.19. - P.122.

41. Покровский B.H., Кокорин Ю.К. Теория вязкоупругости разбавленных смесей линейных полимеров// Высокомол. соед. 1984. -Т.Б26. - т. - С.573-577.

42. Покровский В.Н., Пышнограй Г. В. Зависимость вязкоупругости концентрированных растворов и расплавов линейных полимеров от концентрации полимера и длины макромолекулы// Высокомол. соед. 1988. - Т.БЗО. - т. - С.35-39.

43. Покровский В.Н., Кокорин Ю.К. Влияние зацеплений на подвижность макромолекул// Высокомол. соед. 1985. - Т.Б27. - №10. -С.794-798.

44. Яновский Ю.Г., Покровский В.П., Кокорин Ю.К. и др. Сверхмедленные релаксационные процессы в линейных полимерах и их интерпретация// Высокомол. соед. 1988. - Т.АЗО. - №5. - С.1009-1016.

45. Higgins J.S., Roots J.E. Effect of entanglement on the single-chain motion of polumer molecules in melt samples observed by neutron scattering// J. Chem. Soc. Faraday Trans. II. 1985. - V.81. - P.757.

46. Richter D., et al Direct microscopic observation of the entanglement distance in a polymer melt// Phys. Rev. Lett.-1990.-v.64.-P.1389.

47. Imanishi Y., Adachi K., Kotaka T. Further investigation of the dielectric normal mode process in undiluted cis-polyisoprene with narrow distribution of molecular weight// J.Chem. Phys.-1988.-v.89.-P.7685.

48. Rice S.A., Gray P. Statistical Mechanics of Simple Liquids.-New York: Willey, 1965.

49. Volkov V.S., Vinogradov G. V. Theory of dilute polymer solution in viscoelastic fluid with a single relaxation time// J. Non-Newton. Fluid Mech. 1984. - V.15. - №1. - P.29-44.

50. Покровский B.H., Пышнограй Г.В. Нелинейные эффекты в динамике концентрированных растворов и расплавов полимеров// Изв. АН СССР. МЖГ. 1990. - №4. - С.88-96.

51. Покровский В.Н., Пышнограй Г. В. Простые формы определяющего уравнения концентрированных растворов и расплавов полимеров как следствие молекулярной теории вязкоупругости// Изв. АН СССР. МЖГ. 1991. - Ж. - С.71—77.

52. Onogi S., Masuda Т., Kitagawa К. Rheological properties of anionic polystyrenes I. Dynamic viscoelasticity of narrow-distribution polystyrenes// Macromolecules. 1970. - V.3. - P.109.

53. Покровский B.H., Пышнограй Г. В. Зависимость стационарной сдвиговой вязкости линейных полимеров от напряжений в теориимолекулярного поля// Высокомолек. соед. 1988. - т.АЗО. - №11. -С.2427—2452.

54. Пышнограй Г. В. Влияние анизотропии макромолекулярных клубков на нелинейные свойства полимерных жидкостей при стационарном одноосном растяжении// ПМТФ. 1994. - т.35. - №4. - С.147-152.

55. Brown E.F., Burghardt W.R., Kahvand Н., Venerus D.C. Comparison of optical and mechanical measurements of second normal stress difference relaxation following step strain// Rheol. Acta. 1995.- v.34. P.101.

56. Faitelson L.A. Some aspects of polymer melts rheology// Mech.Compos. Mater. 1995. - v.32. - P.101.

57. Пышнограй Г. В. Начальное приближение в теории микровязко-упругости линейных полимеров и нелинейные эффекты на его основе// ПМТФ. 1996. - т.37. - т. - С.141-151.

58. Алтухов Ю.А., Пышнограй Г.В. Микроструктурный подход в теории течения линейных полимеров и нелинейные эффекты на его основе// Высокомолек. соед. 1996. - т.А38. - №7. - С.1185-1193.

59. Ito Y., Shishido S. Critical molecular weight for onset of non-Newtonian flow and upper Newtonian viscosity of polydimethylsiloxane// J. Polym. Sci.: Polym. Phys. Ed. 1972.- v.10. P.2239.

60. Покровский В.Н., Кручинин Н.П. О нелинейных эффектах при течении линейных полимеров// Высокомол. соед. 1980. - т.Б22. -No 5. - с.335-338.

61. Эренбург В.В., Покровский В.Н. Неоднородные сдвиговые течения линейных полимеров// ИФЖ. 1981. - т.41. - №. - С.449-456.

62. Kwon Y., Leonov A.I. Stability constraints in the formulation of viscoelastic constitutive equations// Non-Newton. Fluid Mech. 1995. - v.58. - P.25.

63. Годунов С.К., Роменский Е.И. Нестационарное уравнение состояния нелинейной теории упругости в Эйлеровых координатах// ПМТФ. 1972. - т.6. - С.124.

64. Prokunin A.N. On the description of viscoelastic flows of polymer fluids// Rheol. Acta. 1989. - v.28. - P.38-47.

65. Цветков B.H., Эскин B.E. Френкель С. Я. Структура макромолекул в растворах. — М.: Наука, 1964.

66. Bird R.B., Hassager О., Armstrong R.C., Curtiss С.С. Dynamics of polymeric liquids. V.II. Kinetic theory. Wiley, 1977.

67. Алтухов Ю.А. Определяющее уравнение растворов полимеров на основе динамики невзаимодействующих релаксаторов// ПМТФ. -1986. №3. - С.101-105.

68. Хаппелъ Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рей-нольдса. — М.: Мир, 1976.

69. Покровский В.Н. Статистическая механика разбавленных суспензий.-М.: Наука, 1978.—136 с. — М.: Наука, 1978.

70. Шульман З.П., Алейников С.М., Хусид Б.М., Якообсон Э.Э. Реологические уравнения состоянии текучих полимерных сред (анализсостояния проблемы). Минск, 1981. - 46 с. (Преприпт / ИТМО ЛН БССР, №).

71. Алтухов Ю.А., Покровский В.Н. К теории уравнений движения концентрированных растворов полимеров// Инж.-физ. журнал. -1985. т.49. - т. - С.384-390.

72. Алтухов Ю.А., Пышнограй Г.В. Анизотропия подвижности и нелинейные эффекты в молекулярной теории вязкоупругости линейных полимеров// Изв. РАН. Мех. жидкости и газа. 1995. - №4. - С.3-12.

73. Волков B.C.)j Препринт Междунар. конф. по каучуку и резине. М.: 1984. А67.

74. Volkov VS., Vinogradov G. V. Relaxational interactions and viscoelastisity of polymer melts. Pt. I. Model development// J. Non-Newton. Fluid Mech. 1985. - V.18. - P.163-172.

75. Volkov V.S., Vinogradov G. V. Molecular theories of nonlinear viscoelasticity of polymers// Rheol. Acta. 1984. - v.23. - №3. - P.231-237.

76. Giesekus H. A simple constitutive equation for polumer fluids based on the concept of deformation-dependent tensorial mobility// J. Non-Newton. Fluid Mech. 1982. - V.ll. - №1/2. - P.69-109.

77. Трапезников А.А., Пылаева А. Т. Исследование структурных превращений в концентрированных растворах полиизобутилена// Вы-сокомолек. соед.-1970. Т.А12.- №6. - С.1294-1307.

78. Kulike W.-M., Wallbaum U. Determination of first and second normal stress differences in polymer solution in steady shear flow and limitations caused by flow irregularities// Chem. Eng. Sci. 1985. -V.40. - №6. - P.961-972.

79. Ito Y., Shishido S. Critical molecular weight for onset of non-newtonian flow and upper newtonian viscosity ofpolydimethylsiloxane// J. Polym. Sci.: Polym. Phys. Ed. 1972. - V.10. - P.2239-2248.

80. Curtiss C.F., Bird R.B. A kinetic theory for polumer melts. I. The equation for the single-link orientational distribution function; II. The stress tensor and the rheological equation of state// J. Phys. Chem. -1981. V.74. - № 3.-P.2016-2033.

81. Гребнев В.JI., Покровский В.Н. Вязкоупругость линейных полимеров: эффекты второго порядка// Высокомолек. соед. 1987. -Т.Б26. - №9. - С.704-710.

82. Saab Н.Н., Bird R.B., Curtiss C.F. A kinetic theory for polymer melts. Pt 4,5// J. Chem. Phys. 1982. V.77.

83. Biller P., Petruccione F. Rheological properties of anisotropic friction// J. Chem. Phys. 1988.- V.89.- №4. P.2412-2418.

84. Покровский B.H., Тонких Г. Г. Динамика разбавленных растворов полимеров// Изв. АН СССР. МЖГ. 1988. - №1. - С.138-146.

85. Volkov V.S., Vinogradov G. V. Relaxational interactions and viscoelasticity of polymer melts.

86. Pt.2. Rheological properties in shear and elongational flows// J. Non-Newton. Fluid Mech. 1987. - V.25. - №3. - P.261-275.

87. Graessley W.W. The entaglement concept in polymer rheology// Adv. Polym. Sci. 1974. - V.16. - P.l-179.

88. Stickforth J. The rational mechanics and thermodynamics of polymeric fluids based upon the concept of a variablle relaxed state// Rheol. Acta. 1986. - V.25. - №5. - P.447-458.

89. Volkov V.S., Vinogradov G. V. Relaxational interactions and viscoelasticity of polymer melts. Pt.l. Model development// J. Non-Newton. Fluid Mech. 1985. - V.18.- P.163-172.

90. Barnes H.A., Townsend P., Walters K. On pulsatile flov of non-Newtonian liquids// Rheol. acta. 1971. - V.10. - №4. - P.517-527.

91. Phan-Thien N., Dudek J. Pulsating flow revisited// J. Non-Newtonian Fiuld Mech.-1982. V.ll.- №1/2, P.147-161.

92. Davies J.M., Bnumiratana S., Bird R.B. Elastic and. inertial effects in pulsatile flow of polymeric liquids in circular tubes. J. Non-Newtonian Fluid Mech. - 1978. - V.3. - №. - P.237-259.

93. Bohme G. , Norm G. Instationare Rohstromung viscoelastischer Flussigkeiten-Mabnahmen zur Durchsatzteigerung.- Ing.-Arch. 1979.- Bd 48, №. S.35-49.

94. Поздеев А.А., Шакиров H.B. О пульсирующем течении упруго-вязких жидкостей. — В кн.:Новое в реологии полимеров.— М., 1982, С.232-233.

95. Phan—Thien N. On a pulsating flow of polymeric fluids. Reology.- N.Y.: Plenum Press, 1980, v.2: Fluids. P.71-77. 1982. - P.232-233.

96. Шабунина З.А. Пульсирующее течение нелинейно-вязкоупругой жидкости в соосно-цилиндрических каналах. В кн.: Прикладная механика и реофизика. Минск, 1983, с.121-125.

97. Bird R.B., Hassager О., Armstrong R.C., Curtiss С.С. Dynamics of polymeric liquids. N.Y.: Wiley, 1977, vol. 2: Kinetic Theory. - 153p.

98. Шулъман З.П., Хусид B.M. Нестационарные процессы конвективного переноса в наследственных средах. Минск: Наука и техника, 1983. - 256с.

99. Покровский В.Н., Кручинин Н.П. О нелинейных эффектах при течении линейных полимеров. Высокомолек. соед., 1980, т.Б22, №5. - С.335-338.

100. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. — М.: Наука, 1973. 390с.

101. Поллак Э. Численные методы оптимизации. — М.: Мир, 1974. — 390с.

102. Файтелъсон JI.А., Бриедис И. П. Критические режимы деформирования расплавов в ротационных реометрах с рабочим узлом конус — плоскость// Механика полимеров. 1976. - ЛЧ. - С.718-723.

103. Головичева И.Э., Пышнограй Г.В., Попов В.И. Обобщение закона Пуазейля на основе реологического определяющего соотношения полимерных жидкостей// ПМТФ. 1999. - Т.40. - №5. - С.158-163.

104. Алтухов Ю.А., Головичева Н.Э., Пышнограй Г.В. Молекулярный подход в динамике линейных полимеров: теория и численный эксперимент// Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2000. -т. - С.3-13.

105. Bird R.B., Armstrong R.C., Hassager О. Dynamics of Polimeric Liquids. V.l. Fluids Mechanics. New York: Wiley, 1987. 649p.

106. Lodge A.S. Elastic Liquids. N.Y.: Acad. Press, 1964. 389p.

107. Lodge A.S. Body Tensor Fields in Continuum Mechanics. N.Y.: Acad. Press, 1974. 319p.

108. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости. Т.2. Методы расчета различных течений.- М.: Мир, 1991. 552с.

109. Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидродинамика и теплообмен: В 2-х т. Т.2: Пер. англ. М.: Мир, 1990. - 728-392с.

110. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя.- М.: Наука, 1959. 742с.

111. Cable P.J., Boger D. V. A comprehensive experimental investigation of tubular entry flow of viscoelastic fluids. Part 1. Vortex characteristics in stable flow// AIChE J. 1978. - V.24. - P.869-879.

112. Kim-E M.E., Brown R.A., Armstrong R.C. The roles of inertia and shear-thinning flow of an inelastic liquid through an axisymmetric sudden contraction// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1983. - V.13. -P.341-363.

113. Янков В.И., Первадчук В.П., Боярченко В.И. Процессы переработки волокнообразующих полимеров (методы расчета).-М.: Химия, 1989. 320с.

114. Первадчук В.П., Глот И.О., Янков В.И. и др.// Хим. волокна. -1986. №1. - С.44-46.

115. Evans R.E., Walters K.jj J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1986. -V.20. - P.ll.

116. McKinley G.H., Raiford W.P., Brown R.A., Armstrong R.C. Non linear dynamicsof viscoelastic flow in axisymmetric abrupt contractions// J. Fluid Mech. 1991. - V.223. - P.411-456.

117. Mitsoulis E. Numerical simulation of entry flow of fluid SI// J. of Non-Newtonian Fluid Mech. 1998. - V.78. - P.187-201.

118. Byars J.A., Binnington R.J., Boger D.V. Entry flow and constitutive modelling of fluid SI// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1997. - V.72. - P.219-235.

119. Papanastasiou A.C., Scriven L.E., Macosko C.W. An integral constitutive equation for mixed flows: viscoelastic characterization// J. Rheol. 1983. - V.27. - P.387-410.

120. Luo X.-J., Tanner R.I.// Int. J. Num. Meth. Eng. 1988. - V.25. -P.9.

121. Barakos G., Mitsoulis E., Tzoganakis C., Kajiwara Т.// J. Appl. Polym. Sci. 1996. - V.59. - P.543.

122. Mitsoulis E.// Polym. Eng. Sci. 1986. - V.26. - P.1552.

123. Boger D.V., Crochet M.J., Keiller R.A.jj J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1992. - V.44. - P.257.

124. Dealy J.M., Wissbrun K.F. Melt Rheology and its Role in Plastics Processing, Van Nostrand Reinhold, New York, 1990.

125. Debbaut В., Avalosse Т., Dooley J., Hughes K. On the development of secondary motions in straight channels induced by the second normal stress difference: experiments and simulations// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1997. - V.69. - P.255-271.

126. Goublomme A., Crochet M. ./.Numerical prediction of extrudate swell of a high-density polyethylene: further results// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1993. - V.47. - P.281-287.

127. Barakos G., Mitsoulis E. Numerical simulation of viscoelastic flow around a cylinder using an integral constitutive equation// J. Rheol. -1995. V.39. - P.1279-1292.

128. Mitsoulis E. Numerical simulation of confined flow of polyethylene melts around a cylinder in planar channel// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1998. - V.76. - P.327-350.

129. Bird R.B., Armstrong R.C., Hassager O. Dynamics of polymeric liquids, vol. 1, Fluid Mechanics, 2nd ed., Wiley, New York, 1987.

130. Bird R.B., Wiest J.M.// J. Rheol. 1985. - V.29. - P.519-532.

131. Hulsen M.A., van der Zanden J. Numerical simulation of contraction flows using a multi-mode Giesekus model// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1991. - V.38. - P.183-221.

132. Rajagopalan D., Byars J.A., Armstrong R.C., Brown R.A., Lee J.S., Fuller G.G. Comparison of numerical simulations and birefringence measurements in viscoelastic flow between eccentric rotating cylinders// J. Rheol. 1992. - V.36. - P.1349-1375.

133. Beraudo C., FortinA., Coupez Т., Demay Y., Vergnes В., Agassant J.F. A finite element method for computing the flow of multi-mode viscoelastic fluids: comparision with experiments// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1988. - V.75. - P.l-23.

134. Saramito P., Piau J.M. Flow characteristics of viscoelastic fluids in an abrupt contraction by using numerical modeling// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1994. - V.52. - P.263-288.

135. Olivera P.J., Pinho F.T., Pinto G.A. Numerical simulation of nonlinear flows with a general collocated finite-volume method// J. of Non-Newtonian Fluid Mech. 1988. - V.75. - P.1-43.

136. Jay P., Piau J.M., Kissi N.El, Cizeron J. The reduction of viscous extrusion stresses and extrudate swell computation using slippery exit surfaces// J. of Non-Newtonian Fluid Mech. 1998. - V.79. - P.599-617.

137. Jao M., McKinley G.H., Debbaut B. Extensional deformation, stress relaxation and necking failure of viscoelastic filaments// J. of Non-Newtonian Fluid Mech. 1998. - V.79. - P.469-501.

138. Mutlu I., Townsend P., Webster M.F. Simulation of cable-coating viscoelastic flows with coupled and decoupled schemes// J. of Non-Newtonian Fluid Mech.- 1998. V.74. - P.l-23.

139. Xue S.-C., Phan-Thien N., Tanner R.I. Three dimensional numerical simulations of viscoelastic flows through planar contractions// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1998. - V.74. - P.195-245.

140. Evans R.E., Walters K. j j J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1989. -V.32. - P.95.

141. Purnode В., Crochet M.J. Flows of polymer solutions through contractions. Part 1: Flow of polyacrylamide solutions through planar contraction// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1996. - V.65. - P.269-289.

142. White S.A., Baird D.G.// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1988. -V.29. - P.245.

143. Marchal J.M., Crochet M.J.// J. Non-Newtonian Fluid Mech.1986. V.20. - P.187.

144. Yoo J. Y., Na Y. A numerical study of the planar contraction flow of viscoelastic fluids using the SIMPLIER algorithm// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1991. - V.39. - P.89-106.

145. Baaijens F.P. T. An iterative solver for the DEVSS: DG method with application to smooth and non-smooth flows of the upper convected Maxwell fluid// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1998. - V.75. - P.119-138.

146. Marchal J.M., Crochet M.J. A new mixed finite element for calculating viscoelastic flow// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1987. -V. - P.77-114.

147. Debbaut В., Marchal J.M., Crochet M.J. Numerical simulation of highly viscoelastic flows through an abrupt contraction// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1988. - V.29. - P.119-146.

148. Coates P.J., Armstrong R.C., Brown R.A. Calculations of steady-state viscoelastic flow through axisymmetric contractions with the eeme formulation// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1992. - V.42. - P.141-188.

149. Sasmal G.P. A finite volume approach for calculation of viscoelastic flow through an abrupt axisymmetric contraction// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1995. - V.56. - P.15-47.

150. Johnson C. Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method, Cambridge University Press, Cambridge,1987.

151. Baaijens F.P.T. Numerical experiments with a discontinuous Galerkin method including monotonicity enforce-ment on the stick-slip problem// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1994. - V.51. - P.141-159.

152. Liang Yu., Oztekin A., Neti S. Dynamics of viscoelastic jets of polymeric liquid extrudate// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1999.- v.81. P.105-132.

153. Shiang A.H., Lin J.C., Oztekin A., Rockwell D. // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1997. - v.73. - P.29-49.

154. Алтухов Ю.А., Покровский B.H. К выводу определяющего уравнения концентрированных растворов и расплавов полимеров// Тез. докл. VIII Всесоюзной конференции по прочности и пластичности.- Пермь, 1983. С.6.

155. Алтухов Ю.А., Покровский В.Н. Пульсирующее одномерное течение полимера в бесконечно длинной трубе// Тез. докл. III Всесоюзного симпозиума "Теория механической переработки полимерных материалов". Пермь, 1985. - С.4.

156. Алтухов Ю.А., Попов В.И. Теплообмен при пульсирующем режиме течения полимерных жидкостей в круглой трубе// Тез. докл. XV Всесоюзного симпозиума по реологии. Одесса, 1990. - С.19.

157. Пузырев Е.М., Кисляк С.М., Алтухов Ю.А. Исследование эффективности улавливания лабиринтного золоулавливателя (ЛЗУ)// Сибирский физико-технический журнал.- 1991.- Вып.5.-С.142-144.

158. Попов В.П., Алтухов Ю.А. О резонансном режиме течения и теплообмена нелинейной вязкоупругой жидкости// Сибирский физико-технический журнал.- 1992.- Вып.4. С.22-26.

159. Altukhov Yu.A., Pyshnograi G.V. Anisotropy of mobility in equations of dynamics of a polymer chain// Тез. докл. 17 симпозиума Реология — 94. Саратов. - 1994. - С.4.

160. Алтухов Ю.А., Покровский B.H., Пышнограй Г.В. Анизотропия подвижности в уравнениях динамики полимерных цепей// Тез. докл. III научно-практической конференции Бийского технологического института. Бийск, 1995. - Часть1. - С.127-128.

161. Алтухов Ю.А., Пышнограй Г.В. Нелинейные эффекты в сдвиговых потоках полимерных жидкостей// Тезисы докл. 18 Международного симпозиума по реологии. Карачарово, 1996. - С.14.

162. Пузырев Е.М., Кисляк С.М., Алтухов Ю.А. Повышение эффективности улавливания лабиринтного золоулавливателя// Теплофизика и аэромеханика. 1997.- Т.4. - №4. - С.441-445.

163. Pokrovskii V.N., Altukhov Yu.A., Pyshnograi G.V. The mesosco-pic approach to the dynamics of polymer melts: consequences for theconstitutive equation// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1998. - V.76.- P.153-181.

164. Алтухов Ю.А. Эффективный алгоритм решения многомерных задач динамики ньютоновской вязкой жидкости// Тез. докл. -Материалы второй краевой конференции по математике. МАК -99. Барнаул. - 1999. - С.24-25.

165. Алтухов Ю.А., Пышнограй Г.В. Базовая реологическая модель текучих линейных полимеров и численное моделирование течений на ее основе// Тез. докл. Материалы второй краевой конференции по математике. МАК - 99.- Барнаул. - 1999. - С.25-26.

166. Алтухов Ю.А., Пышнограй Г.В., Головичева Н.Э., Зинович С.А., Токарев В.Н. Некоторые неоднородные течения линейных полимеров// Труды Международной конференции. Симметрия и дифференциальные уравнения. - Красноярск. - 2000 . - С.11-14.

167. Pyshnograi G.V., Pokrovskii V.N., Altukhov Yu.A. Computational Study Of Polymer Fluids Flows// Proceedings of the XIHth INTERNATIONAL CONGRESS ON RHEOLOGY. Rheology 2000.- CAMBRIDGE, UK. 2000. - V.3. - P.161-163.

168. Алтухов Ю.А., Пышнограй Г.В. Входные течения в канале 4:1 текучих линейных полимеров// Механика композиционных материалов и конструкций. 2001. - Вып. 1-3. - Т.7. - №1. - С. 16-23.

169. Harlow F.H., Welch J.E. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface// Phys. Fluid. -1965. V.8. - №12. - P.2182-2189.

170. Harlow F.H., Welch J.E. Numerical study of large-amplitude free surface motion// Phys. Fluid. 1966. - V.9. - №5. - P.842-851.

171. Николе Б. Дальнейшее развитие метода маркеров и ячеек для течений несжимаемой жидкости// Численные методы в механике жидкостей. М.: Мир, 1973. С.165-173.

172. Nicols B.D. and Hirt С. W. Improved free surface boundary condition for numerical incompressible flow calculations// J. Сотр. Phys. -1971.- V.8. P.682-698.

173. Васенин И.М., Сидонский О.В., Шрагер P.P. Численное решение задачи о движении вязкой жидкости со свободной поверхностью// Докл. АН СССР. 1974. - Т.217. - №. - С.295-298.

174. Шрагер Г.Р., Козлобродое А.Н., Якутенок В.А. Моделирование гидродинамических процессов в технологии переработки полимерных материалов. Издательство Томского университета, 1999. -230с.qW1 -S -02