Математическое моделирование значений электронного коэффициента теплопроводности плазмы в токамаке тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

IV*

гг

Э САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕНЫИ о УНИВЕРСИТЕТ

СЧ1 тт

На правах рукописи

АНДРЕЕВА Тамара Юрьевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗНАЧЕНИЙ )ЛЕКТРОННОГО КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПЛАЗМЫ В ТОКАМАКЕ

специальности: 01.01.09 - математическая кибернетика, 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования, математических методов в научных исследованиях ( в области физико-математических наук )

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1997

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете на факультете прикладной математики - процессов управления.

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор Антончик B.C.,

кандидат технических наук, доцент Гультяев В.В.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Егоров Н.В.,

кандидат физико-математических наук Романюк Л.П.

Ведущая организация:

Петербургский Институт Ядерной Физики им. Б.П. Константинова РАН

Защита состоится" года в часов на

заседании диссертационного совета К-063.67.16 по защите диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, 10-я линия В.О., д.33. q. С6

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке

им. A.M. Горького Санкт-Петербургского государственного

университета.

Автореферат разослан " /3 "АгиiflS 199 -Т^года.

Ученый секретарь диссертационного совета К-063.67.16, доктор физико-математичесих наук

В.Ф. Горьковой

Актуальность темы. Основной задачей в исследованиях по управляемому термоядерному синтезу является удержание плазмы в экспериментальной установке с необходимыми для термоядерного горения параметрами. Поскольку многие величины, фигурирующие в выводах теории, непосредственно в эксперименте не наблюдаются и не измеряются, то наиболее доступным источником количественной информации о поведении плазмы в токамаке является вычислительный эксперимент, основанный на хорошо проработанных математических моделях.

Сложные математические модели переноса энергии и частиц плазмы в токамаке требуют разработки соответсвующих алгоритмов и программ для ЭВМ, которые позволили бы оценить близость некоторых расчетных плазменных параметров с реальными, полученными в результате эксперимента. Так, например, расчеты энергобаланса по неоклассической модели, проведенные в конце 80-х годов, показали, что, процессы переноса поперек магнитного поля, связанные с электронами (коэффициенты теплопроводности и диффузии электронов), оказались во много раз большими, чем это следует из теории (в 30-50 раз). Это указывает на существование потерь по электронному каналу, которые моделью не учитывались. В дальнейшем эти дополнительные потери были названы аномальными, а их физическая сущность однозначно до сих пор не определена. В настоящее время не существует ни общепризнанной теории аномального переноса, ни общепринятых эмпирических формул для коэффициентов теплопроводности и диффузии. Таким образом, актуальность исследования определяется необходимостью выяснения некоторой обобщенной зависимости электронного коэффициента теплопроводности от координат и времени, которая была бы согласована с экспериментальными данными для широкого круга современных установок и могла бы быть использована при экстраполяции имеющихся данных на область термоядерных параметров для будущих реакторов.

Цель работы. Целью диссертационной работы является нахождение зависимости электронного коэффициента теплопроводности от пространственной координаты г и времени t, которая удовлетворительно описывает перенос тепла электронной компонентой плазмы, при этом функционал, характеризующий от-

клонение смоделированных и экспериментальных значений электронной температуры в центре плазменного шнура, должен достигать своего минимума.

Методы исследования. Для решения поставленной задачи использовались численные методы оптимизации; методы аппроксимации сплайнами фз'нкций, заданных таблично; разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных и профессиональные пакеты прикладных программ решения дифференциальных уравнений в частных производных при различных краевых (граничных и начальных) условиях.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Предлагается уточненная математическая модель для исследования энергобаланса плазмы при учете аномального транспорта электронов, в которой эффективный заряд плазмы рассматривается в динамике.

2. Задача отыскания коэффициента теплопроводности электронов рассматривается как задача теории оптимального управления, при этом предлагается новый метод для нахождения оптимального в определенном смысле коэффициента теплопроводности электронов.

Научная новизна. Задача нахождения коэффициента теплопроводности впервые рассматривается как задача теории оптимального управления, хотя непосредственно коэффициентом теплопроводности управлять невозможно, предложен алгоритм его поэтапного уточнения, где критерием оптимальности служит достижение минимума функционалом, характеризующим отклонение смоделированных по уточненной математической модели значений электронной температуры от полученных экспериментально.

Практическая значимость работы. Предложенная уточненная математическая модель для исследования энергобаланса плазмы при учете аномального транспорта электронов может быть использована при анализе процессов переноса в плазме токамака, а разработанный метод вычисления коэффициента теплопроводности электронов и реализующий его алгоритм могут быть использованы для анализа транспорта электронов в нестационарных режимах на различных установках, описыва-

— О -

емых предложенной моделью.

Реализация результатов. Разработанная уточненная математическая модель для исследования энергобаланса плазмы в токамаке, а также алгоритм вычисления эффективного коэффициента теплопроводности электронов внедрены и используются при анализе процессов переноса в плазме токамака ТУМАН-3 в ФТИ им. А.Ф. Иоффе РАН в рамках исследований, проводимых при поддержке Российского Фонда Фундамен тальных Исследований, о чем имеются соответствующие акты о внедрении (два).

Апробация. Основные результаты работы докладывались на семинаре кафедры теории управления факультета ПМ-ПУ СПбГУ, некоторые из результатов докладывались на XXVI, XXVII научных конференциях факультета ПМ-МУ СПбГУ, а также на IV международной школе по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (1995).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит введение, три главы, заключение, список литературы, приложение и акты о внедрении. В диссертации 93 страницы текста, набранного в издательском пакете АтвТех, в том числе 16 рисунков, 10 таблиц. Список литературы включает в себя 37 наименований отечественной и зарубежной литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дается содержательное описание задачи исследования и обоснование се актуальности, опирающееся на обзор литературы по тематике исследования.

В первой главе дано общее описание установки токамак для получения плазмы, приведена математическая модель поведения плазмы в токамаке, обоснованы используемые краевые (граничные и начальные) условия и сформулирована математическая постановка задачи, которая выглядит следующим образом.

Процесс переноса тепла в плазме токамака описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных вида

-тг(п£-1е) Н—тгЧм 2 дГ ' г дг к

дБи д

-ПеХ

дг >} - '

С д{Вч>т)

о к Р( Зь

дг дг \4тггапео дг

(1) (2)

где пе - плотность электронов, Те - температура электронов, - эффективный коэффициент теплопроводности, описывающий перенос тепла как за счет теплопроводности, так и за счет конвекции, Р0}I ~ омическая мощность нагрева, Ре,- - энергообмен между электронами и ионами, В^ - лолоидальное магнитное поле, апео - проводимость плазмы, ¿к ~ бутстреп-ток, с - скорость света, 7г=3,1415...

Эффективный коэффициент теплопроводности — удовлетворяет следующим требованиям: функция хе^ непрерывна и ограничена вместе со своей частной производной по г и непрерывна по Ь. Этот класс функций будем обозначать (£.

Для системы уравнений (1),(2) выпишем следующие краевые (граничные и начальные) условия:

Т,(г,/) (=0=Ге°(г),

Ге(г,<) дТе(г,Ц

дг

^сопвг Ф о, =0.

г=0

(3)

(4)

(5)

= 0

ДДг,{) —сопэгф 0,

=о.

г=0

Рассмотрим следующий функционал:

■/?, = кир

ГеМ)

г—0

■ г; (о,о

(6)

(7)

(8)

(9)

где {¿„.¿к] - отрезок времени, на котором рассматривается процесс, Те(гЛ) - смоделированные значения электронной температуры, Т*(0,£) - экспериментально полученные значения электронной температуры в центре плазменного шнура. Начало отрезка и его конец tк - фиксированы.

Задача. Определить коэффициент теплопроводности Xе^ из множества Й так, чтобы на решениях системы (1), (2) с краевыми условиями (3) —(5), (6) —(8) функционал (9) принимал минимальное значение.

Глава 2 посвящена методу решения поставленной задачи, который является комбинацией метода сеток, метода прогонки, метода градиентного спуска и метода сглаживающих кубических сплайнов. Приведено описание разработанного метода для транспортной модели уравнений (1), (2), краевых условий (3)-(8) и функционала (9); дано обоснование правомерности рассматриваемого подхода к решению данной задачи.

Рассмотрим схему метода решения поставленной задачи.

1. На стационарной стадии разряда £ £ [О,^] можно найти значения эффективного коэффициента теплопроводности

по известным из эксперимента значениям электронной температуры Т^ь^с), к — 1,...,Л?з, ¿с € [0,^], где Nз - число экспериментальных точек. По значениям строим сплайн для получения функции хе^(г> при этом считаем, что Хе//0,гс) = Х^СЛ ¿1)1 гДе ¿1 определяет первый слой по времени.

Таким образом, на первом шаге построена функция Хе"^(г> ¿1)1 где tl - первый слой по времени (¿1 = *н). В работе число измерений Лгз = 4. Следовательно, вычислены четыре коэффициента сплайна М(0°\ м[°\ М^, причем в силу дополнительных

условий эти коэффициенты определены однозначно.

2. На следующем слое по времени ¿2 — ¿1 + т, где т - шаг по времени, решаем прямую задачу для уравнения теплопроводности (1) с коэффициентом теплопроводности хе^ = Хе^(г^г)-При этом аппроксимируем уравнение теплопроводности неявной разностной схемой и строим решение разностной задачи с помощью метода прогонки. (Для построения неявной разностной схемы предварительно сделан ряд аналитических преобразований.) Значения электронной температуры Те(г;^2), г =

полученные в узлах сетки - число узлов по координате г), аппроксимируем с помощью метода сглаживающих кубических сплайнов. В результате получаем значения электронной температуры Те(г, ¿г), которые будем называть расчетными.

Эта же последовательность действий сохранится, когда мы будем рассматривать п-ый слой по времени, при этом будет 1п = + т, п = 3, 4, ...,ЛГ2, где N-2 - число узлов по времени, а значения коэффициента теплопроводности будут взяты с предыдущего слоя, т.е. на п-ном слое по времени берем коэффициент теплопроводности п—1)■

3. Осуществим проверку соответствия теоретической модели с найденным значением коэффициента теплопроводности реальному процессу, исследовавшемуся в эксперименте.

Для этого сравниваем расчетное значение электронной температуры Те(0, ¿г) в центральной точке г = 0 с экспериментально известным значением Г*(О, Ь), т-е. проверяем - выполняется ли условие

|Те(0,<2)-ТЛ<М2)|<г. (10)

Если результаты расчета и эксперимента различаются больше, чем на некоторую заданную величину г, то следует уточнить значение коэффициента теплопроводности, что и делается на следующем этапе.

Если результаты расчета и эксперимента совпадают с заданной точностью, то переходим на следующий слой по времени ^п - ^П —1 + т, п = 3,4,...,N-2 с прежним значением коэффициента теплопроводности и возвращаемся ко второму этапу.

4. Поскольку в пункте 1 мы аппроксимировали значения эффективного коэффициента теплопроводности сглаживающим кубическим сплайном, то будем уточнять значение коэффициента теплопроводности, изменяя коэффициенты этого сплайна с помощью метода градиентного спуска.

Введем обозначение /3 = |Те(0,*2) - Г*(0,*2)| = 4°0)-

Изменим коэффициент М^ на некоторую величину ДМо. Подставим измененное значение коэффициента теплороводности М= Л40) + ДМ0 в уравнение (1) и снова решим прямую зада-

чу для уравнения теплопроводности. При этом получим новое значение температуры Те(0, Ь) в центральной точке г = 0 и вычислим разность 40) = |Ге(0, Ь2) - Т* (0, *2)|.

Теперь изменим коэффициент сплайна на некоторую величину АЛ/ь оставив без изменения коэффициенты Мд°\М2°\ Л40); проведем решение прямой задачи для уравнения (1) с этими коэффициентами г - 0,1,2,3, определяющими эффективный коэффициент теплопроводности <2), при этом опять найдем новое значение температуры Тс(0,^) в центральной точ-

ке г = 0; далее вычислим разность /д1^ = \Те(0, и) — Т*(0, Аналогично последовательно поступим и с коэффициентами М^

(о)

в результате получим значения соответственно.

5. Пользуясь методом градиентного спуска, найдем значения коэффициентов сплайна МР (г =0,1,2,3) по формуле

(2) 7(3)

(м{01]\ м<

(1)

мР

мр

мр vм«o^

41] - /з

т(2) т

-73 - J3

(И)

где к - шаг спуска.

С вычисленными значениями коэффициентов сплайна М(

(1)

М^ решаем прямую задачу для уравнения тепло-

проводности (1) и найдем значение .73. Обозначим полученное значение ^^ = /з-

Проверил! выполнение условия

401) < 4

(00)

(12)

Если условие (12) не выполняется, то уменьшаем шаг спуска к (¡г = к/2) и переходим к началу пункта 5 для вычисления новых значений М^1'' с дополнительной проверкой точности вычислений шах и^-1^ — < е. Если последнее условие выпол-0<4<3

няется, то переходим к пункту 4.

Если условие (12) выполняется, то шаг к спуска по гради-

енту выбран правильно и положим Мц0' = Мд1^, М[

г(0)

М\

(1)

М2(0) = М2{ 1), м|0) = 400) = 4т\ Спуск из вновь получен-

ной точки по вычисленному градиенту с шагом h осуществляем еще раз, т.е. производим расчеты по пункту 5. Выход из него происходит либо при выполнении условия (10), либо по специально накладываемому ограничению - производить вычисления спуска по данному градиенту не более четырех раз.

Если выполняется условие (10), то переходим к расчету на следующий слой по времени, т.е. к шагу 2.

Если выход из пункта 5 осуществлен по числу спуска по градиенту, то далее вычисляем градиент в новой полученной точке, т.е. реализуем шаг 4 до тех пор пока не осуществится выход по условию (10).

В результате вышеизложенного алгоритма получаем коэффициенты М{ (г = 0,1,2,3) на каждом шаге по времени tn = tn~i + г, п = 2,3,..., Лг2 , с помощью которых находим значения y.-t = xe^(ri,tn), определяющие сплайн для эффективного коэффициента теплопроводности в области переменных т 6 [0,a], t £ [¿hi^k]- Очевидно, что полученный коэффициент теплопроводности является решением поставленной задачи.

В третьей главе дано обоснование выбора исходных данных, приведена схема численного эксперимента и результаты расчетов эффективного коэффициента теплопроводности по описанному во второй главе методу. Проведен сравнительный анализ результатов применения математической модели транспорта электронов для различных параметров и для различных режимов плазменной установки.

Для проведения численного эксперимента был выбран режим перехода в Омическую Н-моду, как один из наиболее перспективных режимов улучшенного удержания энергии и частиц плазмы с точки зрения положительного энерговыделения. В частности, было обработано по 10 разрядов для каждого из следующих вариантов исходных экспериментальных данных:

1. а) Начальное приближение для получено из решения обратной задачи для уравнения теплопроводности. Борониза-ция камеры не проведена. Полный ток по плазме I — 115 кА.

б) Начальное приближение для получено по формуле Хиршмана. Боронизация камеры не проведена. Полный ток по плазме I = 115 кА.

2. а) Начальное приближение для получено из решения

обратной задачи для уравнения теплопроводности. Борониза-ция камеры проведена. Полный ток по плазме I = 115 кА.

б) Начальное приближение для получено по формуле Хиршмана. Боронизация камеры проведена. Полный ток по плазме 1= 115 кА.

3. а) Начальное приближение для получено из решения обратной задачи для уравнения теплопроводности. Боронизация камеры проведена. Полный ток по плазме I = 155 кА.

б) Начальное приближение для \'е^ получено по формуле Хиршмана. Боронизация камеры проведена. Полный ток по плазме I = 155 кА.

Следующие параметры установки оставались постоянными: малый радиус токамака о—0,23 м; большой радиус токамака ñ=0,52 м; тороидальное магнитное поле 5^=0,51Т. В экспериментах переход в Н-моду был осуществлен за счет короткого увеличения скорости газонапуска.

Начальное приближение для эффективного коэффициента теплопроводности Н выбиралось двумя способами. Первый способ - из решения обратной задачи для уравнения теплопроводности на стационарной стадии разряда по имеющимся на этой стадии разряда экспериментальным значениям электронной температуры.

Второй способ выбора начального приближения для эффективного коэффициента теплопроводности электронов 0СУ~ ществляется по формуле Хиршмана, которая выражает скей-линговую зависимость эффективного коэффициента теплопроводности от ряда параметров плазмы, т.е.

,,eff. . 45 дЗ/2 5/2^ + ^1-9/2^1

Х - 2 Лрв 1 2 J Ls

П / КвТ, п Csm¡ т Rq с __ г dq ^ _ Т, д 3/2 _

где С5 = = = -gr,S = -g», г = -

(jLn = |Víran|-1. На стационарной стадии разряда известны значения всех параметров в правой части этой формулы, в том числе и значения электронной температуры Te(rk, tc), ¿c € [0,íi], к — l,...,jV3, где N3 - число экспериментальных точек. По значениям ¿с) строим сплайн для получения функ-

ции xeff(r,tc), при этом считаем, что xeí*{r,tc) = xef4r^i)> гДе 11 определяет первый слой по времени.

Проведенные расчеты показали, что

1). Предложеная математическая модель дает удовлетворительное описание динамики разряда при учете аномального транспорта электронов.

2). Характер изменения коэффициента теплопроводости при рассмотрении перехода в Омическую Н-моду согласуется с предсказаниями теории об уменьшении теплопереноса при переходе в режим улучшенного удержания.

3). Не обнаружено противоречия при сравнении полученных данных с результатами аналогичных расчетов по оттестированным на практике моделям, в которых используются различного рода поправочные множители для конкретной установки при учете аномального транспорта электронов.

В заключении даны выводы по результатам диссертации. Приложение содержит иллюстративные примеры и таблицы.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих печатных трудах:

1. Андреева Т.Ю. Моделирование коэффициента теплопроводности для процесса переноса тепла в плазме //Сб. трудов XXVII научной конференции ПМ-ПУ СПбГУ, Абакан, 1996.

2. Андреева Т.Ю. К вопросу о вычислении коэффициента теплопроводности для процесса переноса тепла в плазме то-камака// Сб. трудов международной научно-методической конференции "Математика в ВУЗе - стандарты образования - базовая подготовка", СПб., 1996.

3. Андреева Т.Ю. Математическое исследование энергобаланса плазмы в токамаке. Деп. в ВИНИТИ 28.08.96, N 27304-В96.

4. Андреева Т.Ю. Задача о нахождении аномального коэффициента теплопроводности электронов в плазме токамака как задача теории оптимального управления//Сб. трудов международной научно- методической конференции "Математика в ВУЗе", СПб., 1997.

5. Андреева Т.Ю., Андрейко М.В., Аскинази Л.Г., Лебедев C.B., Тукачинский A.C. Численное моделирование переноса тепла в плазме токамака ТУМАН-3//С6. "Вопросы механики и процессов управления". Вып.18,СПб.: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1997.