Матричные модели и геометрия пространства модулей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

0 Введение.

1 Пространства модулей и матричные модели.

1.1 Непрерывное пространство модулей Мд,п.

1.1.1 Обозначения

1.1.2 Пространство модулей алгебраических кривых и его параметризация через дифференциалы Штребеля-Дженкинса.

1.1.3 Геометрия расслоений на Мд>п и матричный интеграл.

1.2 Дискретное пространство модулей.

1.2.1 Матричная модель Концевича-Пеннера.

1.2.2 Пространства модулей и дискретные когомологии де Рама.

1.2.3 Матричный интеграл для дискретизованного пространства модулей.

Основной мотив, побуждающий к исследованию матричных моделей, - это развитие непертурбативных методов в теории струн. Струнная теория допускает целую серию пертурбативные вакуумов, описываемых двумерными конформными теориями поля (КТП). Для того, чтобы каким-либо способом описывать переходы между этими вакуумами и конечные флуктуации струнной теории, необходимо отказаться от описания теории на уравнениях движения и рассмотреть континуальный интеграл по всем двумерным метрикам. Разработанное на сегодняшний день описание струнной теории в рамках первичного квантования (см. [151]) не позволяет описать такие переходы, а вторично-квантованная струннал теория поля [164, 15, 171], которая могла бы описать струнную меру, остается недостаточно разработанной для эффективного описания поправок старших порядков по родам и вставкам полей.

Наиболее успешным подходом к непертурбативной струнной теории была и остается т.н. теория струн в некритических размерностях, задаваемая тремя эквивалентными описаниями в терминах двумерной гравитации, двумерных топологических теорий и матричных моделей, которые в тех случаях, когда можно сравнить результаты, полученные различными методами, оказывались в полном согласии друг с другом. При этом именно с помощью матричных моделей оказалось возможным проделать вычисления, которые слишком сложно или даже невозможно проделать технически в других подходах.

Первым толчком к описанию некритической струнной теории были пертурбативные деформации КТП [170, 122, 73, 35, 68]; хотя при этом невозможно описать глобальную структуру конфигурационного пространства теорий, уже в [170, 122, 73] была отмечена важность интегрируемых (т.е. подчиняющихся уравнениям интегрируемых иерархий) деформаций КТП. Эта идея получила развитие в струнных моделях с малым числом пространственно-временных степеней свободы (В < 2).

Теория некритических струн начинается с работ А.М.Полякова [152], в которых интеграл, зависящий от нелинейного действия Намбу-Гото, был линеаризован с помощью введения дополнительного континуального интегрирования по пространству двумерных метрик. Два описания совпадают на уравнениях движения; принципиальное отличие состоит в том, что в подходе Полякова струнные переменные (координаты пространства-времени) трактуются как (классические либо квантовые) поля на двумерной поверхности. Калибровочная инвариантность приводит к тому, что поляковское действие на классическом уровне не зависит от метрики. Квантовые поправки вводят конформную (вейлевскую) аномалию и гравитационные моды приобретают нетривиальную динамику, задаваемую двумерным действием Лиувилля. В критической размерности (D = 26 для бозонной и D = 10 для фермионной струны) конформная аномалия исчезает и поля остаются свободными. Сначала считалось, что именно по этой причине теория некритических струн непригодна для согласованного описания какой-либо струнной теории. Тем не менее, именно в теории некритических струн оказалось возможным задать механизм динамического возникновения пространства-времени Минковского, в котором поле Лиувилля можно интерпретировать как переменную времени [150].

Тем не менее, теория некритических струн именно из-за возникающего на квантовом уровне взаимодействия представляет собой исключительно сложную проблему, первым шагом к решению которой были найденные в работах [115, 52, 65] критические индексы теории. В этих работах авторы рассматривали двумерные КТП присоединенные к гравитации. Существенный параметр КТП - это центральный заряд с (равный количеству струнных полей поляковской струны). В поляков-ском подходе размерность пространства-времени равна с+ 1. Если эта размерность между 2 и 26, то действие двумерной гравитации становится комплексным, т.е. теория содержит комплексные аномальные размерности и вакуум теории становится нестабильным - струна переходит в полимерную фазу [9].

Поэтому согласованная теория некритической (бозонной) струны существует в размерности либо большей 25, либо меньшей 2. Эффективно, физическая размерность соответствующей теории равна D — 2, что означает, что при центральном заряде меньшем единицы в теории остается лишь конечное число степеней свободы. Это свойство характеризует т.н. топологические теории, в которых полевое описание содержит столь широкую группу (калибровочных) симметрий, что число физических степеней свободы (коллективных переменных, модулей) оказывается конечным. В полевой теории остается вакуумное состояние (тахион) и некоторый (дискретный) набор физических состояний (корреляционные функции при этом не зависят от "координат" этих полей). Число дискретных состояний конечно при с < 1 (минимальные теории, см. [22]) и бесконечно при с = 1. Корреляционные функции этих состояний суть предмет исследований всех непертурбативных теорий струн. Однако, несмотря на кажущуюся простоту низкоразмерных теорий, только критические индексы оказались сравнительно легко вычисляемы с помощью "непрерывных" методов континуального интегрирования; этими методами были вычислены только трехточечные [83, 69, 113, 155] и некоторые многоточечные [58] корреляторы на сфере и статистическая сумма на торе [24].

Основной проблемой квантовой теории поляковской струны остается вопрос о правильном определении меры интегрирования в интеграле по метрикам двумерной гравитации. В решении этой проблемы как раз и помогают матричные модели. Г1ервичная мотивация использования матричных моделей сводится к нахождению теорий, проявляющих свойства физической гравитации. Среди этих свойств важнейшее - это топологическая прТфода струнного действия [165]. В случае, когда струнная теория не содержит выделенной метрики, корреляционные функции теории суть числа, зависящие лишь от (дискретного) набора полей и топологических характеристик (род,' число вставок полей либо выколотых точек) двумерной поверхности, в то время как ввиду общей ковариантности зависимости от координат оставаться не должно.

Первое (и в основном используемое в данной работе) описание струнной теории с помощью двумерных топологических теорий было дано Виттеном [165. 166], предложившем теорию, коллективные переменные которой суть координаты пространства модулей римановых поверхностей, а корреляторы задаются интегрированием по пространствам модулей от геометрически локально инвариантных объектов произведений замкнутых 2-форм. Эта конструкция использовала изощренную процедуру двойного скейлингового предела (д.с.п.) эрмитовой одноматричной модели (соответствующей изначально чистой гравитации без полей материи) и потому не годилась для описания пр^соединенной материи. Тем не менее виттеиовсташ подход оказался весьма плодотворным - на его основе возникло множество' других матричных теорий (матричная модель Концевича и ее обобщения), оказавшихся весьма полезными как в физике, так и в математике.

Матричные модели не только воспроизводят все известные результаты, полученные в рамках топологической или непосредственно физической'гравитации, они позволяют решить модель точно, т.е. найти произвольную корреляционную функцию на римановой поверхности (Р.II.) произвольного рода.

В настоящей работе упор сделан на исследование геометрических структур, описываемых в рамках теории матричных моделей и на построение точных решений таких моделей. Отметим, что сами матричные модели не только помогают дать удобное описание таких структур; многие такие структуры возникли именно в ходе исследования различных матричных моделей. Не имея возможности описать все многообразие применения матричных моделей в математической физике, которое включает, помимо прочего, их соответствие с точно интегрируемыми системами с помощью механизма г-функции, описание критических явлений с помощыо процедуры двойного предела, и т.д., сделаем упор на том, как матричные модели способствовали проникновению и использованию геометрических идей в вычислениях физических величин - корреляторов в теориях двумерной гравитации.

Также далеко не все известные матричные модели будут исследоваться. Рассмотрение ограничивается теми моделями, которые допускают точные решения к технике моментов. Под точным решением будет пониматься ответ, который в разложении по родам содержит конечное число (есть рациональная функция) новых переменных (моментов) для каждого рода и зависит от конечного числа дополнительных параметров, задаваемых нелинейными алгебраическими уравнениями. За/ метим однако", что класс таких решений достаточно широк и отвечающие им модели находят широкое применение в физике и математике.

По поводу обзоров по теории матричных моделей, см. [55], [143] и классическую книгу Мехты [136]. Необходимо также отметить книгу [10], в которой обсуждаются точные решения петлевых уравнений и техника моментов1.

Заметим еще раз, что первоначальный интерес к матричным моделям был связан с тем, что эти модели рассматри вались как "хорошая" дискретизация двумерных поверхностей, различающая поверхности, имеющие различные рода и позволяющая, например, вычислять число таких различных триангулированных поверхностей при фиксированном числе плакеток (треугольников) и для фиксированного рода. Если считать, что такое разбиение в пределе большого числа плакеток порождает правильную меру в струнном поляковском интеграле по пространству модулей [152], то этот интеграл оказывается хорошо определенным: в то время как число всех графов с заданным числом плакеток растет факториапьно и не имеет хорошего предела ни при какой константе связи, это же число в каждом отдельном роде имеет экспоненциальный рост, который может быть скомпенсирован перерастяжкой константы связи (простейший пример д.с.п.). Заметим, что при этом рассматривались и решались как правило одноматричные модели эрмитовых матриц с псшгао&гнллъяьши потенциалами не слишком высокого порядка (третьего или четвертого); счуггалссъ. что рассматривать потенциалы более высоких порядков хотя и возможно, но технически сложно, а, главное, не нужно - для воспроизведения эффектов струнной меры достаточно классических решений [30].

Дальнейшее развитие конформных теорий поля, теории некритических струн и интегрируемых моделей привело к идее использовать матричные модели более сложного вида (для начала - одноматричные модели с более сложными потенциалами) для описания критических явлений в теориях двумерной гравитации с материей. При этом, поскольку все ответы, получаемые в рамках матричных моделей, оказываются не зависящими от координат (характерная величина - многопетлевой коррелятор вида • • • ,рп) = ^. 1Г Рп\у )' гДе степени величин р., отвечают вставкам "петель" определенной длины (в терминах матрицы интегрирования''У').

Авторы этой книги не упоминают (намеренно) термин матричные модели, однако основные объекты исследования - петлевые уравнения - исторически возникли именно из матричных интегралов. но ни взаимное расположение петель, ни даже их возможные пересечения не фиксированы,, единственная дополнительная зависимость связана с родом поверхности д), то речь идет о типичных топологических теориях. При этом было обнаружено, что выбирая матричные модели с потенциалами старших порядков и видоизменяя предельную процедуру таким образом, чтобы "ведущие" вклады, характерные для чистой гравитации, сокращались, можно получить корреляторы со старшими критическими индексами (аномальными размерностями). Для получения таких корреляторов была разработана достаточно сложная технически процедура двойного скейлингового предела [31, 71, 86].

Одновременно с этим возникло понимание того, что интегралы матричных моделей, выраженные через соответствующие времена, подчиняются уравнениям интегрируемых иерархий (более точно, эти интегралы суть т-функции иерархий Кадом-цева-Петвиашвили для интегралов с внешним полем, иерархий полубесконечной цепочки 'Годы для одноматричных моделей и т.д., см. [138, 110] и ссылки в этих работах). Виттен [167] выдвинул гипотезу, что двойной скейлинговый предел одно-матричной модели, задающий производящую функцию для корреляторов двумерной топологической гравитации с материей, подчиняется уравнениям КдВ. В развитие этой гипотезы был открыт новый тип матричных моделей, непосредственно описывающий эту предельную теорию, заданную на пространстве модулей комплексных кривых. ■■ ■

Поскольку в подходе триангуляций комплексная структура римановых поверхностей не играет роли, этот подход представляется возможным использовать и для описания других теорий, не обязательно связанных с струнами. В самом деле, имеются матричные реализации редуцированных теорий Яттга-Миллса через матричные модели (см. [106] и приведенные ссылки) в произвольной размерности. И далее есть идеи представить гипотетическую одиннадцатимерную М-теорию,: которая, возможно, объединяет все струнные теории, через матричный интеграл' [18, 97].

Все вышесказанное говорит о том, что свойства матричных моделей универсальны для теорий некритических струн, калибровочных теорий, и т.д. Более того, хотя задача вычисления пертурбативных и непертурбативных амплитуд в различных физических задачах сама по себе достаточно важна, еще более важной задачей представляется исследований различных общих структур, свойственных матричным теориям и объединяющих разнообразные физические модели в классы универсальности, отвечающие матричным моделям.

Матричные модели проявляют два общих свойства: интегрируемость и алгебра связей, которым удовлетворяет статистическая сумма матричной модели. Более того, сами эти свойства могут рассматриваться как определяющие, в то время как сам матричный интеграл - это всего лишь некоторое (иногда вполне неоднозначное) представление решения собтветствующих уравнений. Возникновение алгебры связей (Вирасоро) явно отражает топологическую природу матричной модели; важное свойство интегрируемости же кажется более скрытым. В этой работе обсуждаются в основном топологические характеристики матричных моделей; здесь же во введении отметим вкратце, как проявляют себя интегрируемые модели в представлении матричных интегралов.

Интегрируемые деформации КТП известны достаточно давно [170]. Кроме того, в струнном подходе ожидалось, что и статистическая сумма струны может задаваться (классической) интегрируемой системой [1.42, 114].

Интегрируемые системы в струне возникают, если проинтегрировать некоторые т-функции [153]—[154] по универсальному пространству модулей [141]. Возникающие квантовые системы разделяются на два класса в зависимости от того, задаются ли классические интегрируемые системы временами (константами связи) или переменными Мивы, построенными из собственных значений внешней бесконечной (в пределе N —> оо) матрицы.

Оба варианта реализуются в матричных моделях: статистическая сумма дискретной матричной модели - это т-функция, времена которой - константы связи, в то время как статистическая сумма непрерывной матричной модели - это т-функция, зависящая от внешней матрицы, задающей переменные Мивы. Как будет показано ниже, оба этих случая взаимосвязаны и являются частными случаями непрерывных матричных моделей с необязательно полиномиальными потеияиалами.

Таким образом, статистическая сумма матричной модели - это т-функция интегрируемой иерархии. Иерархия, однако, допускает множество решений. Инвариантное условие, выделяющее нужное решение - это струнное уравнение. После наложения этого единственного дополнительного условия решение становится однозначно определенным и возникает полубесконечная алгебра связей типа Вирасоро или IV. накладываемых на это решение [79]. Эта алгебра связей на самом деле есть набор тождеств Уорда для матричной модели, отвечающих вариациям констант связи. В то время как в теории ноля тождества Уорда не задают динамику полностью, з матричных моделях они эквивалентны уравнениям движения (снова ввиду Топологич-ности теории), т.е. тождества Уорда эквивалентны уравнениям Швингера-Дайсона, а решение уравнений иерархии тем самым может быть представлено в виде матричного интеграла. . " , . ■

Поскольку фазовое пространство двумерной гравитации есть пространство модулей комплексных кривых, то топологические свойства последнего определяют физические величины - корреляционные функции соответствующей модели. Описание топологии пространств модулей Л4дп алгебраических кривых с помощью матричных моделей восходит - к работам М. Концевича [117], в которых была построена матричная модель, задающая производящую функцию индексов пересечении на пространствах модулей A4g¡n. Эти индексы, обозначаемые символом (rdí . . ,rdii)g, - геометрические инварианты, которые с физической точки зрения - не что иное как корреляционные функции топологической гравитации. Они выражаются через интегралы от первых классов Черна (замкнутых 2-форм) по модулярным (орби)про-странствам Л43)П римановых поверхностей рода д с п проколотыми точками:

В этой формуле - первый класс Черна, ассоциированный с г-ой проколотой точкой. Как и должно быть в топологической теории, формула (0.1) нечувствительна к выбору координат: величины, входящие в нее, представляют собой ''инварианты зацеплений" на данных (орби)пространствах. Если бы рассматривались, обычные многообразия, допускающие всюду гладкую координатизацию, то ити числа были бы неотрицательными целыми числами. На самом же деле, орбифолдная природа модулярных пространств означает, что орбипространство А4д<п (или, более точно, его подходящее замыкание -МЭ1„) может быть получено из накрывающего многообразия Тд<п факторизацией по группе дискретных симметрии конечного порядка Тд,п' = Тд<п/Гд<п. Стационарные точки этой группы суть особые точки метрики на Мд<п. Ввиду такой факторизации соответствующие индексы становятся неотрицательными рациональными числами.

Как уже было отмечено, работы Концевича были инициированы виттеновским подходом [165] к двумерной (топологической) гравитации (квантовой гравитации). Остановимся теперь на двух различных матрично-модельных подходах, разработанных для описания таких теорий.

Первый подход [31, 71, 86] связан с использованием обычной эрмитовой одномат-ричной модели с произвольным потенциалом. В технике ориентированных ("ленточных") графов, по любому графу можно построить дуальный граф, отвечающий Р.П. с особенностями кривизны, сосредоточенными в вершинах дуального графа. Грани (двумерные симплексы) этого графа соответствуют вершинам матрично-модельного графа, и наоборот. Если, например, исходный потенциал содержал только трехвалентные вершины, то дуальный граф будет состоять из треугольных граней с вершинами произвольного порядка, т.е. получается триангулированная Р.П. В дальнейшем будут встречаться потенциалы с вершинами произвольного порядка, но для простоты будет использоваться тот же термин "триангуляция" для обозначения

0.1) разбиения Р.П., задаваемого этим потенциалом. Матричная модель с произвольным потенциалом была точно решена в [31, 71, 86] в д.с.п., в котором преобладающий вклад дают разбиения с числом граней, стремящимся к бесконечности, а сингулярные метрики аппроксимируют "случайную метрику" на Р.П. Эта модель (в дальнейшем - 1ММ) описывалась эрмитовым одноматричным интегралом по матрицам У размера М х М: где Р(У) = £п^гуП> а Си называются временами одноматричной модели. Системы такого типа подчиняются уравнениям иерархии дискретной цепочки Тоды с наложенными дополнительными условиями Вирасоро (условие конформной точки) [139, 13, 81, 98, 123, 129]. В д.с.п. параметр М стремится к бесконечности, а Р(Х) преобразуется таким образом, чтобы поверхности, дающие главный вклад, отвечали разбиениям с неограниченно растущим числом граней; в этом пределе появляются уравнения иерархии Кортевега-де Вриза (КдВ), а статистическая сумма двумерной гравитации задается степенным разложением по счетному числу переменных и она совпадает с логарифмом .некоторой т-функции иерархии КдВ [129].

Второй подход основывается на когомологическом рассмотрении. В двумерной квантовой гравитации интегрирование идет по пространству диффеоморфно эквивалентных римановых метрик на многообразиях, в результате чего появляется конечномерное пространство модулей конформно неэквивалентных метрик. Интегралы по таким пространствам когомологически описываются через теорию пересечений на компактифицированном пространстве модулей комплексных кривых.

В данной работе показывается, что техника матричных моделей позволяет объединить преимущества обоих подходов.

Введение координат на пространствах модулей в униформизации Штребеля, описываемое в первой главе, осуществляется именно в терминах ленточных графов; при этом всем ребрам графа присваиваются положительные числа /„ а полное число проколотых точек п есть число граней ориентированного графа. Совокупность всех графов данного рода д с данным числом проколов называется комбинаторным, пространством Мсд°™Ь.

Модель Концевича задает производящую функцию для индексов пересечений интегралов от первых классов Черна на соответствующих пространствах модулей. По гипотезе Виттена [165] эти интегралы имеют смысл корреляционных функций двумерной гравитации с присоединенной материей. Таким образом, в непрерывном, случае (в пределе снятия дискретизации) должно выполняться соотношение (0.1), при этом интегралы должны браться по правильным образом компактифицирован

0-2) ным пространствам модулей, а замкнутые два-формы шг суть представители первых классов Черна линейных расслоений на М9)П.

Для ориентированного графа общего вида, отвечающего поверхности рода д с и. гранями (выколотыми точками), полное число ребер (для тройных вершин, т.ь. для точки общего положения в Мд°™Ь) равно 6д — 6 + 3п, что превышает размерность пространства модулей Л43гП на п. Это означает, что в модели имеется п дополнительных параметров, не связанных с координатами на "настоящем" пространстве модулей Л4дгП. Этими параметрами являются периметры граней графа. В непрерывном случае по теореме Штребеля [158] существует изоморфизм ~ Мсд°™ь, и можно задать проекцию -к : Мс°™ь —>■ Ы™ на пространство периметров; слои 7г —1 ) обратного отображения изоморфны исходному пространству модулей Мд.п и, следовательно, друг другу.

Индексы пересечений в непрерывном случае выражаются через интеграл матричной модели Концевича (ММК) в котором в качестве параметра входит внешняя (эрмитова) матрица А, Этот интеграл удовлетворяет уравнениям иерархии КдВ по отношению к временам 1п = (2п — 1)!! 1т Л~2п1 [167, 100] и задает асимптотическое разложение для струнной статистической суммы являющейся одновременно тау функцией иерархии КдВ, взятой в такой точке грас-сманниана, в которой она инвариантна относительно действия дополнительных связей Вирасоро: Спт(1) = 0, п > — 1 [79, 61, 166, 88, 133]. Можно сказать, что модель Концевича задает клеточное разбиение самого пространства модулей, в то время как предыдущие модели триангулировали Р.П. (см., например, [59]).

Возникает вопрос: если полученные классические интегралы отвечают корреляционным функциям квантовой теории на непрерывном пространстве-времени, то нет ли способа каким-либо образом дискретизовать (проквантовать) само пространство ^ремя? Идеи некоммутативной геометрии [49] в последнее время глубоко проникли в физику инстантонов [146] и струн [156]; в этой связи представляется интересным найти какие-либо деформации структур пространств модулей, которые бы сохраняли свойства интегрируемости и в той или иной мере - свойство топологи ч-ности. Возможный вид такой деформации подсказывается конструкцией Воеводского и Шабата [160, 23, 48]. В этой конструкции функции Белого (важные с точки

0.3)

0.4) зрения арифметических униформизаций римановых поверхностей) строятся с помощью ленточных графов в униформизации Штребеля, но с дополнительным разбиением ребер путем введения на них конечного числа дополнительных 2-вершин. При этом линейное пространство функций на таких коротких ребрах имеет максимальные симметрии, если положить все длины получившихся (коротких) ребер равными одному и тому же числу (не ограничивая общности, единице). В работах [37],- [6] был предложен подход, позволяющий дискретизоватъ пространство модулей произвольной алгебраической кривой. При этом собственно дискретизация формально совпадает с дискретизацией по Воеводскому и Шабату; в этой работе будет показано, как установить соответствие между такими дискретными пространствами и матричными моделями, и каким образом в пределе "малого" параметра дискретизации соответствующая матричная модель переходит в модель Концевича [117].

Как уже было отмечено, соотношение между индексами пересечений и матричной моделью устанавливается благодаря существованию некоторой специальной "коор-динатизации" пространства модулей, описанной Штребелем и Дженкинсом [158]. Разумеется, ввиду своей чисто топологической природы, индексы пересечении не зависят от параметризации, но дополнительные параметры (периметры) возникают именно из-за этой параметризации и зависят от нее.

Выбор параметризации Штребеля становится существенным при переходе от непрерывных пространств модулей к дискретным: только в параметризации Штребеля можно установить связь между "новыми" индексами пересечений и так называемой матричной моделью Концевича-Пеннера (ММКП), введенной в [41].

Сам термин "модель Концевича-Пеннера" обязан своим происхождением тому, что ММКП включает в себя как предельные случаи (совершенно, впрочем, разной природы) две известные матричные модели: ММК и т.н. матричную модель Пеннера - 1ММ, задаваемую интегралом

Асимптотическое разложение этой модели, исследованной в [90, 149, 66]. генерирует "виртуальные эйлеровы характеристики" кд з пространств модулей прокологде сумма идет по всем клеткам пространства модулей, а симметрийный фактор ^Атй; С, совпадающий с объемом группы автоморфизмов соответствующего графа (клетки), показывает, сколько раз данная клетка накрывает соответствующий участок пространства модулей. Числа кд 8 - положительные рациональные числа, не

0.5) тых Р.П. формула (1.4-9)

0.6)

Graphs) обязательно целые ввиду орбифолдной природы пространства модулей. Формула (0.6) замечательна тем, что, во-первых, интеграл (0.5) легко вычисляется явно и, во-вторых, допускает обобщения на пространства модулей неориентируемых поверхностей (т.е. этот интеграл явно вычисляется в случаях, когда матрица М принадлежит алгебре 0(./V) или 5р(2Л0, см. приложение 2).

Обратимся теперь к вопросу о возможных квантовых (или дискретных) структурах на пространствах модулей. Сама по себе дискретизация комбинаторного пространства Л4д°™ь, обсуждаемая в данной работе, достаточно проста - все длины ребер полагаются целыми неотрицательными числами. При фиксированных периметрах число допустимых длин ребер всегда конечно, так же как и число всех возможных "базовых" графов с фиксированными д и п. Учитывая все возможности, мы получим набор точек дискретизованного пространства модулей (д.п.м.)

Зададим также новый проекционный оператор тт : М'д—> Z"|гДе все периметры - строго положительные целые числа, сумма, которых всегда четна, и будем рассматривать слои обратного оператора тт1(р*). Эти слои - конечные множества точек исходного пространства модулей Мд>п. Эти множества более не изоморфны друг другу; более того, среди этих точек всегда имеются точки, отвечаю- ! щие сингулярным поверхностям ("бесконечные точки"). Через дМд<и — Мд.п — Мд,а будет обозначаться пространство сингулярных поверхностей. В обычной картине, отвечающей пространству Тейхмюллера, все эти точки лежат на бесконечности, однако, как показывается ниже, в подходе Концевича они играют важную роль. На г д.п.м. вводится дискретный комплекс Де Рама, в котором аналогом дкфферепЧм- $ альных структур являются конечно разностные структуры. Также, вместо '/(])-расслоений, порождающих первые классы Черна в непрерывном случае, а дискретном случае рассматриваются "2р-расслоения". Таким образом, для д.п.м-. когомологические классы задаются формулой п - ■■

Существует единственное (с точностью до изоморфизмов) непрерывное замкнутое пространство модулей М3гП = (рх)[Мсд°™ь] и бесконечное семейство неизоморфных но для всех них соотношение гЛ1.гЛп))д = (^.т,1п)д , . (0.8) выполняется для интегралов старшего порядка, т.е. при ^ = в, = 3д —"3 + п. Это доказывается в рамках матрично модельного подхода. Заметим, однако, что в случае накрывающего многообразия 75,п ненулевой кривизны, индексы {(т^ 7 . -т^)) могут отличаться от нуля также при ^ йг < с1, что невозможно в непрерывном случае.

Заметим, что в подходе Концевича Мд^п получается из накрывающего многообразия Тд,п факторизацией по группе симметрии конечного порядка: Мд<п = Тд,п1Гд. При этом все интегралы можно определять на многообразии вместо М.д;п- и то, что Тдп является многообразием отличает данный случай от случая пространства Тейхмюллера.

В параметризации Концевича вычисление интегралов по слоям тг—1 (р*) и 7г-1(рж) сводится к вычислению интегралов от форм объема по конечным накрытиям Тд,п-Дискретизация означает, что на Тд.п вводится эквидистантная решетка, а вычисление объема сводится к подсчету полного числа вершин этой решетки, деленного на произведение р1: р^"1 . .р^"1, где а^ = с1 = Зд — З + га - полная размерность М9гП. Все Тд<п к тому же являются компактными многообразиями без границы. Сумма по всем точкам решетки эквивалентна суммированию по всем единичным кубам, ассоциированным с каждой вершиной решетки по преобразованию дуальности; при этом "настоящий" объем получается только когда все точки решетки точки нулевой кривизны. Поскольку это не выполнено для любых д и п (но выполнено для тора с одной выколотой точкой), некоторые из индексов ((^ . . ¿п)) отличны от нуля и при ^ ¿1 < ¿.

Обобщенная модель Концевича (ОМК) [62, 168, 112] связана с иерархией уравнений двумерной решетки Тоды. Эта модель задается интегралом с внешним полем:

2Г[А; Щ = I ВХ ехр 1г (АХ - У0(-*))} > (0.9) в котором У0(Х) = ¿п^гХ™ - потенциал, относятся к временам иерархии и интегрирование идет по N х N эрмитовым матрицам. ММК (0.3) получается при У0(Х) ~ 1;гХ3. Для вычисления интеграла (0.9) полезно использовать технику уравнений Швингера-Дайсона (П1Д) [29, 33], записанных через собственные значения матрицы А.

В терминах времен или, равносильно, распределения собственных значений матриц А, уравнения ШД приводят к интегро-дифференциальным уравнениям порядка птах ~ 1 (для полиномиальных потенциалов). В свою очередь это означает, что алгебра связей, возникающая из уравнений ШД, связана с алгеброй (И^ для модели Концевича, Жз для потенциала четвертого порядка, и т.д.). Алгебра И/*2 есть алгебра Вирасоро, она допускает линеаризованные коммутационные соотношения и может быть разрешена в порядках разложения по родам. Решение модели Концевича было получено в работах [88], [131, 126] в роде ноль (планарные графы) и в [100] для старших родов. Связи Вирасоро модели Концевича, £пЯк({1п}, «/V), зависят лишь от нечетных времен tn = ^ tr Л"2""1. Произвольная ОМК (0.9) удовлетворяет уравнениям иерархии Кадомцева-Петвиашвили. В то же время ОМК с полиномиальными потенциалами р-го порядка удовлетворяют (р— 1)-редуцированным уравнениям, т.е. исчезает зависимость от времен с номерами к(р— 1). Так, ММК не зависит от четных времен, при этом иерархия уравнений Кадомцева-Петвиашвили редуцируется до иерархии КдВ.

Связь между пространствами модулей Мд^п и д.п.м. была найдена с помощью техники матричного интегрирования в [37], где было установлено соотношение между д.п.м. и матричной моделью Концевича-Пеннера (ММКП), предложенной в [41]. Лагранжиан этой модели имеет вид: р[А] = j DX exp (aNtv j-^AXAX + [log(l + X) - X]

А = diag(eAl,. eA'Y), (0.10) где интегралы берутся по NxN эрмитовым матрицам. При этом два набора времен, соответствующих д.п.м., задаются формулами

1 dk 1 v ' г и модель (0.10) зависит только от четных времен.

Эта модель явно сводится к модели (0.9) с неполиномиалъным потенциалом Vq{X) = —X2¡2 + aN log X и внешним полем Е = Л + Л"1. Уравнения ШД этой модели снова имеют вид квадратичных интегро-дифференциальных уравнений, решаемых в рамках разложения по родам [41, 7]. (Помимо (0.10) в работе также исследуются другие модели типа (0.9), допускающие решения в терминах моментов.)

С точки зрения геометрии, (0.10) - модель, описывающая индексы пересечений в случае д.п.м. Конструкция становится более сложной, поскольку данная модель не является непосредственной производящей функцией для индексов (0.7), так как надо явно учесть вклады от редуцированных (сингулярных) Р.П. В самом деле, любая матричная модель может описывать лишь открытые страты (клетки) пространства модулей. Это не столь существенно в случае модели Концевича, поскольку в ней интегрирование идет по клеткам старшей размерности; все прочие дают вклад меры ноль в пространство модулей Mg.rL. (Соответственно, все сингулярные Р.П. суть клетки низших размерностей в не дающие вклада в интеграл.) Однако, в случае д.п.м. из-за полной дискретизации, интегралы но клеткам всех размерностей дают ненулевой вклад и, соответственно, сингулярные Р.П. становятся существенными. Необходимо исключить вклад этих поверхностей из интеграла для того, чтобы дать матрично-модельное описание д.и.м. Это можно сделать с помощью процедуры стратификации [54, 145], которая выражает открытое пространство модулей Л4д>п через М.д!П и (замкнутые) пространства модулей низших размерностей (родов). ■■■•,.=.■• •

Возникает естественный вопрос: существует ли регулярный способ вычислить эти (и другие) характеристики пространств модулей, т.е. молено ли в том или ином виде выразить статистические суммы соответствующих матричных моделей в разложении по родам (эквивалентном 1/^/-разложению по обратному размеру матриц в интеграле; разложения такого рода широко известны в теоретической физике начиная с работы 'т Хоофта [93]) в некотором смысле "наиболее простым" способом. Такое представление представляется весьма полезным и для исследования критических свойств соответствующей теории. Известно [29, 33], что наиболее явный ответ для разложения по родам матричных моделей достигается в технике моментов. Будем считать матричную модель "точно решаемой", если ее статистическая сумма может быть в каждом роде (порядке по 1/7У2) представима как рациональная функция от некоторых новых переменных (моментов), которые содержат одновременно явную линейную зависимость от исходных переменных (времен) и неявную зависимость от тех же времен через конечное (зависящее только от исходной задачи) число вспомогательных переменных (концов интервала распределения собственных значений в 1ММ или вспомогательной переменной и0 в ММК), определяемых из нелинейных алгебраических соотношений. На деле, после введения моментов, например, в ММК, эти новые величины можно интерпретировать как новые независимые времена (их число при этом даже уменьшается для вкладов старших родов). При этом рекуррентная процедура сильно упрощается и многие важнейшие непертурбативные характеристики могут быть явно вычислены для любого рода.

По-видимому, список матричных моделей с внешним полем, допускающих рациональные решения в терминах моментов, исчерпывается моделями, чьи уравнения ШД приводятся к уравнениям второго порядка и, в конечном итоге, к условиям Ви-расоро. Для всех таких моделей были найдены соответствующие петрурбативные разложения. Исторически первой (и наиболее простой) решаемой моделью была матричная модель Брезана-Тросса-Виттена [29, 89] (МБГВ) с унитарными матрицами интегрирования 11,11^ е и(М)

I <1Г (0.12) и внешними матрицами .1. С помощью замены переменных интегрирования и = ех модель (0.12) приводится к эрмитовой матричной модели ±-[<1Хе (0.13) с неполиномиальным потенциалом, зависящим от внешнего эрмитового матричного поля М = J]J.

Прошло еще десять лет и ММК (0.3) была решена также в терминах моментов в работе [100], где вместо использования условий Вирасоро строилось разложение моментов решения иерархии уравнений КдВ пополненных т.н. струнным уравнением. При этом, как показывается ниже, сама модель и ее условия связи могут быть переформулированы в терминах моментов, принимаемых за новые времена. Наконец, была введена и решена ММКП (0.10) в родах ноль [41] и один [42], а затем была показана эквивалентность этой модели и 1ММ [42] с произвольным потенциалом, константы связи в котором связаны с внешним полем Е преобразованием Мивы

1 aN e„ = -trE^--—¿„,2, п> L 0.14) п 4 что позволило построить итеративную процедуру для нахождения решений 1ММ с произвольным потенциалом в разложении по родам [6], обсуждаемую в главе 2. При этом в двойном скейлинговом пределе половина моментов 1ММ переходит в соответствующие моменты ММК, а другая половина просто не дает вклада. Помимо этого, процедура двойного скейлингового предела, задаваемая довольно сложным преобразованием на уровне интеграла 1ММ, как оказывается, получается простой растяжкой полей в интеграле (0.10).

Заметим, что уже в этом месте возникает вопрос о "правильном" выборе времен в 1ММ. Например, наличие удвоенного набора моментов LMM, выражаемых как через времена (0.14), так и через времена д.п.м. (0.11), в отличие от одного набора времен в случае ММК, не позволяет сформулировать 1ММ (или ММКП) только лишь в терминах моментов с использованием уравнении соответствующей интегрируемой иерархии (в данном случае - иерархии цепочки Тоды). В то же время, цепочка Тоды допускает формулировку, включающую в себя некоторое "прямое произведение" т-функций КдВ (с различными временами), связанное через дискретное время п - размер матриц [161]. Как показывается в главе 4, точно такое же разбиение возможно в случае ММКП, однако показать его пока удалось только на уровне уравнений связи - с помощью исследования генераторов Вирасоро соответствующих вариациям времен (0.11). Вопрос о гипотетическом соответствии этих преобразований преобразованиям одевания иерархии КдВ остается открытым (его решение, в частности, позволило бы выразить соответствующие уравнения иерархии только в терминах моментов, как это сделано в случае ММК, что в свою очередь позволило бы вычислять базовые индексы пересечений (0.7) на д.п.м.).

В самое последнее время интерес к матричным моделям вновь оживился в связи с матрично-модельной формулировкой М-теории [18], которая, как ожидается, описывает непертурбативный подход в теории суперструн. Соответствующая М(атричная) модель [18] по-видимому дает полное квантовомеханическое описание М-теории. Более подробно этот подход обсуждается в разделе 3.7, здесь же отметим, что в нем естественным образом возникает матричный интеграл типа (0.13), который описывает интегрирование по гравитационным степеням свободы.

Таким образом, в разделе 3.7 изучается матричная модель, которая также относится к классу точно решаемых матричных моделей с внешним полем. При выделенной константе (а = 1/2) она приводит [77, 46] к нелинейному действию Борна-Инфельда (НБИ). В физике эта модель возникла в связи с матричными моделями суперструнной модели типа IIB [77, 121]. В этих работах было предложено действие матричной модели2 - J tr у-1 [А,, А„]:2 + (3 tr У + 2V tr log У - tr ФГ'1 [Л,, Ф], обладающее N = 2 суперсимметрией в пределе больших N [77]. Это описание еще одна (квази)линеаризация существенно нелинейного струнного действия Намбу-Гото, в которой матрица У играет роль метрики мирового листа, по которой надо проинтегрировать, чтобы получить эффективное действие. В этом подходе (нелокальный) логарифмический член играет роль кривизны метрики мирового листа струны. Как показано в [46] выбор константы rj перед этим членом в действии, который приводит к стандартному неабелевому действию Борна-Инфелъда для струнных координат, есть г) = —47^, где N - размер матриц. Тем не менее, теории с другими значениями rj рассматривались ранее [140], а ответ для эффективного действия в ведущем порядке по N был получен в [46] для случая константы q общего положения.

Решения в терминах моментов были построены для матричных моделей струны IIB (или, что то же самое, для обобщения МБГВ на случай произвольной константы перед логарифмическим членом в формуле (0.13)) [46, 5]

ZnB= I dXe~Ntelx A+A'-4(27)+i)iogx] ifc = LtrA-*+i/2 k = 1.2. . (0.15)

J ' 2к - I ■ ' и для матричной модели с двумя логарифмическими членами (2-log ММ) [43]

Z2„log = JdX (0Л6)

Одновременно оказалось, что решения моделей IIB и (0.16) могут быть получены с помощью достаточно простого преобразования времен (и моментов) вида - 2rjN 1 tk~tk~ 2аГ+Т {^¡ + i/2)2k+{' tia = tia (0Л7)

2 Аббревиатуру NBI можно понимать не только как "nonlinear Bom-Infeld", но и как "Niels Bohr Institute", сотрудниками которого и была предложена эта модель. из соответствующих решений ММК [5] и ММКП [43]. (Вообще, как показывает практика, именно условия связи типа условий Вирасоро позволяют устанавливать наиболее нетривиальные соотношения между различными моделями.) Заметим, что преобразования времен типа (0.17) хотя и близки к мивовским преобразованиям (0.14), но не сводятся к ним непосредственно ввиду специальных сдвигов первых двух времен. Соответствующее описание непосредственно в терминах т-функции оказывается достаточно сложным и до сих пор не построено.

Есть и другие матричные модели, допускающие решения в терминах моментов. Это - т.н. О(п)-модели, возникающие при описании критических явлений в спиновых системах. Пример такой модели, решенной в [40], рассматривается в Приложении 1.

Во всех исследуемых матричных моделях фундаментальная роль играется переменными "времен". Более того, как будет неоднократно показано, различный выбор времен вскрывает существенно различные свойства одного и того же матричного интеграла! Наиболее отчетливо это видно на примере матричной модели Концевича-Пеннера (ММКП). Во-первых, для описания д.п.м. понадобятся два (полиномиально независимых) набора времен \ (0.11). В предположении о линейной независимости этих времен получаются [39] два взаимно коммутирующих набора связей Вирасоро С^^крЦТп}-, = 0, п > —1. Более того, эти связи могут быть явно разрешены и можно показать, что после некоторого явно найденного канонического преобразования, интеграл превращаются в прямое произведение двух интегралов матричной модели Концевича (ММК), взятых при различных временах: гКР({Т±},аМ) = ес^еЛ(2к({Т+},аМ) ■ 2к({Т-},аМ)) -1, (0.18) где А - квадратичный дифференциальный оператор, составленный из производных по временам, а функция С(аМ) не зависит от времен.

С другой стороны (см. [42, 111]), ММКП эквивалентна одноматричной эрмитовой модели (1ММ) (0.2) с потенциалом общего вида со п=О где времена определяются с помощью преобразования Мивы (0.14). В этих временах ММКП и 1ММ имеют одинаковые связи Вирасоро ( только один набор связей) ЬпЕ((п,аЫ) = 0, где — аН ее М - размер матриц соответствующей 1ММ.

Представление (0.18) замечательно тем, что оно описывает 1ММ или ММКП непосредственно через времена д.б.м., а потому открывает путь к исследованию как возможных редукций пространств модулей, так и вероятных интегрируемых структур, связанных с явными решениями 1ММ в терминах моментов, имеющими следующую общую структуру для -вклада рода д:

Эта сумма конечна для каждого рода, а два набора моментов естественным образом ассоциируются с двумя наборами времен д.п.м. Структуры, возникающие при учете уравнения (0.18), достаточно сложны и представляют собой возможное поле будущих исследований.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка литературы. Можно естественным образом выделить два направления исследования, описываемые в данной работе. Первое - это геометрическое описание пространства модулей, его дискретизации и связи с матричными моделями. Первая глава начинается с описания непрерывных пространств модулей и их связи с ММК, затем описывается дискретизация пространства модулей и связь д.п.м. с ММКП. которая задает производящую функцию для индексов пересечений на д.п.м. Обсуждаются эффекты редукции Делиня-Мамфорда.

5 Заключение

Перечислим основные результаты диссертации.

1. Предложена дискретизация пространств модулей комплексных кривых с выколотыми точками, униформизованных по Штребелю и введена матричная модель с внешним полем (модель Концевича-Пеннера), описывающая индексы пересечений на этих кривых. Введены времена, отвечающие дискретизованным пространствам модулей.

2. Матричная модель эрмитовых матриц с произвольным (полиномиальным) потенциалом решена в разложении по родам в технике моментов. Найдена рекуррентная процедура, позволяющей! получить ответ в произвольном роде.

3. Доказана эквивалентность матричной модели Концевича-Пеннера и эрмитовой одноматричной модели; времена моделей связаны преобразованием Мивы.

4. С помощью доказанной эквивалентности показано, что двойной скейлинго-вый предел эрмитовой одноматричной модели с произвольным (несимметричным) потенциалом дает модель Концевича; при этом половина моментов одноматричной модели переходит в моменты модели Концевича.

5. С помощью анализа уравнений Швингера-Дайсона матричной модели Концевича-Пеннера, представленной через времена дискретизованных пространств модулей, доказано, что статистическая сумма этой модели вне двойного скейлингового предела представляется каноническим преобразованием (осуществляемым дифференциальным оператором второго порядка) от произведения статистических сумм двух моделей Концевича взятых при различных временах.

6. Решена матричная модель струны ПВ (модель с нелинейным действием Борна-Инфельда); вне точки, отвечающей модели Врезана-Гросса-Виттена, доказана ее эквивалентность матричной модели Концевича (т.е. найдено явное преобразование времен, связывающее эти две модели).

7. Решена матричная модель с внешним полем и двулогарифмическим потенциалом; доказана ее эквивалентность эрмитовой одноматричной модели, или модели Концевича-Пеннера (т.е. опять-таки найдено явное преобразование времен, связывающее эти две модели).

8. В старшем порядке по N решена матричная модель типа О(п) с четвертичным взаимодействием; найдены соответствующие критические кривые и критическое поведение.

9. Решена модель ортогональных матриц типа модели Пеннера, описывающая виртуальные эйлеровы характеристики пространств модулей неориентированных кривых.

Благодарности. Прежде всего следует отметить неоценимую помощь моих соавторов А. В. Забродина, К. Л. Зарембо и К. В. Паламарчука. Особо хочется поблагодарить Я. Амбьерна, Ш. Кристиансен и Ю. М. Макеенко, совместные работы с которыми легли в основу данной диссертации.

Я благодарен за ценные обсуждения моим друзьям и коллегам А. Алексееву, Г. Арутюнову, А. Герасимову, А. Горскому, В. Казакову, И. Костову, А. Лосеву, А. Маршакову, П. Медведеву, А. Миронову, А. Морозову, М. Олынанецкому, А. Орлову, А. Погребкову, А. Рослому, В. Рубцову, Г. Семенову, Н. Славнову, В. Фоку, С. Фролову, С. Харчеву, и Б. Энрикесу.

Я глубоко признателен А. А. Славнову и всему коллективу отдела квантовой теории поля МИАН за постоянную поддержку, оказываемую моим исследованиям в области матричных моделей и в других областях теоретической и математической физики.

1. N. L. Ailing and L. Greenleaf, Led. Notes in Math., Vol. 219, Springer, Berlin, 1971.

2. J. Alfaro and I. Kostov, Generalized Hirota equations in models of 2D quantum gravity, hep-th/9604011.

3. L. Alvarez-Gaume, C. Gomez, and J. Lacki, Integrability in random matrix models, Phys. Lett. 253B (1991) 56-62.

4. L. Alvarez-Gaume and J. L. Manes, Supermatrix models, Mod. Phys. Lett. A6 (1991) 2039-2050;

5. Alvarez-Gaume, H. Itoyama, J. L. Manes, and A. Zadra, Superloop equations and two-dimensional supergravity, Int. J. Mod. Phys. A7 (1992) 5337-5368; hep-th/9112018.

6. J. Ambj0rn and L. Chekhov, The NBI matrix model of IIB superstring, JHEP 9812:007 (1998); hep-th/9805212.

7. J. Ambj0rn, L. Chekhov, C. F. Kristjansen, and Yu. Makeenko, Matrix model calculations beyond the spherical limit Nucl. Phys., B404 (1993) 127-172.

8. J. Amb0rn, L. Chekhov, and Yu. Makeenko, Higher genus correlators from the Hermitian one-matrix model, Phys. Lett., 282B, (1992) 341-348.

9. J. Ambj0rn, B. Durhuus, and J. Frohlich, Diseases of triangulated random surface models, and possible cures, Nucl. Phys. B257FS14] (1985) 433.

10. J.Ambj0rn, B. Durhuus, J. Frohlich, and P. Orland, The appearance of critical dimensions in regulated string theories, Nucl. Phys., B270 (1986) 457.

11. J. Ambj0rn, B. Durhuus, and T. Jonsson, Quantum Geometry. A Statistical Field Theory Approach, Cambridge Monographs Math. Phys., Cambridge, 1997.

12. J. Ambj0rn, C. F. Kristjansen, and Yu. Makeenko, Higher genus correlators for the complex matrix model, Mod. Phys. Lett. A7 (1992) 3187-3202; hep-th/9207020.

13. J. Ambj0rn, C. Kristjansen, and Yu. Makeenko, Generalized Penner models to all genera, Phys. Rev. D50 (1994) 5193-5203; hep-th/9403024.

14. J. Ambj0rn, J. Jurkiewicz, and Yu. Makeenko, Multiloop correlators for two-dimensional quantum gravity, Phys.Lett., 251B (1990) 517-524.

15. J. Ambj0rn and Yu. Makeenko, Properties of loop equations for the Hermitian matrix models and for two-dimensional quantum gravity, Mod. Phys. Lett., A5 (1990) 1753-1764.

16. I. Ya. Arefeva and I. V. Volovich, Gauge-invariant string interaction and nonasso-ciative algebra, Phys. Lett. 182B (1986) 159-163.

17. C. Bachas and P. M. S. Petropoulos, Doubling of equaitons and universality in matrix models of random surfaces, Phys. Lett. 247B (1990) 363-369.

18. T. Banks, M. Douglas, N. Seiberg, and S. Shenker, Microscopic and macroscopic loops in nonperturbative two dimensional gravity, Phys. Lett. 238B (1990) 279.

19. T. Banks, W. Fischler, S. H. Shenker, and L. Susskind, M-theory as a Matrix Model: a Conjecture, Phys. Rev. D55 (1997) 5112-5128; hep-th/9610043.

20. T. Banks and N. Seiberg, Strings from matrices, Nucl. Phys. B497 (1997) 41-55: hep-th/9702187.

21. R. J. Baxter, J. Math. Phys. 11 (1970) 784; J. Phys. Math. Gen., A19 (1986) 2821.

22. P. Бэкстер, Точно решаемые модели в статистической механике, М: Мир, 1985, пер. с англ. R. J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics, Acad. Press, New York, 1982.]

23. A. A. Belavin, A. M. Polyakov, and A. B. Zamolodchikov, Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory, Nucl. Phys. B241 (1984) 333.

24. Г. Белый, О расширениях Ралуа максимальных циклотомических полей, Известия АН СССР, Сер. Мат., 14, No. 2 (1980) 247-256.

25. М. Bershadsky and I. Klebanov, Genus one path integral in two-dimensional quantum gravity, Phys. Rev. Lett., 65 (1990) 3088-3091.

26. D. Bessis, A new method in the combinatorics of the topological expansion, Commun. Math. Phys. 69 (1979) 147.

27. D. Bessis, C. Itzykson, and J.-B. Zuber, Quantum field theory technique in graphical enumeration, Adv. Appl. Math. 1 (1980) 109-157.

28. M. Bowick, P. Di Francesco, 0. Golinelli, and E. Guitter, Three-dimensional folding of the triangulated lattice, Nucl. Phys. B450 (1995) 463-494.

29. E. Brezin and D. Gross, The external field problem in the large-N limit of QCD, Phys.Lett. 97B (1980) 120.

30. E. Brezin, C. Itzykson, G. Parisi, and J.-B. Zuber, Planar diagrams, Commun. Math. Phys. 59 (1978) 35.

31. E. Brezin and V. Kazakov, Exactly solvable field theories of closed strings, Phys. Lett. 236B (1990) 144.

32. E. Brezin and H. Neuberger, Multicritical points of unoriented random surfaces, Nucl. Phys. B350 (1991) 513-553.

33. R. C. Brower and M. Nauenberg, Group integration for lattice gauge theory at large N and at small coupling, Nucl.Phys., B180FS2] (1981) 221.

34. R. C. Brower, P. Rossi, and C.-I. Tan, Chiral chains for lattice QCD at N(c) = oo, Phys. Rev. D23 (1981) 942.

35. A. Ludwig and J. Cardy, Perturbative evaluation of the conformal anomaly at new critical points with applications to random systems, Nucl. Phys., B285 (1987) 687718.

36. S. Chaudhuri, H. Dykstra, and J. Lykken, The Penner matrix model and c = 1 strings, Mod. Phys. Lett. A6 (1991) 1665-1678.

37. L. Chekhov, Matrix model for discretized moduli space, Geometry and Physics, 12 (1993) 153-164.

38. L. Chekhov, Quantum group structure for moduli space in: Proc. XXVIII Intl. Symp. Ahrenshoop on the Theory of Elementary Particles, 1994, DESY 95027, 195-201.

39. L. Chekhov, Matrix model tools and geometry of moduli spaces, Acta Appl. Math. 48 (1997) 33-90.

40. L. Chekhov and C. Kristjansen, Hermitian matrix model with plaquette interaction, Nucl. Phys. B479FS] (1996) 683-696.

41. L. Chekhov and Yu. Makeenko, The multicritical Kontsevich-Penner model, Mod.Phys.Lett. A7 (1992) 1223.

42. L. Chekhov and Yu. Makeenko, Hint on the external field problem for matrix models, Phys.Lett. 2T8B (1992) 271-278.

43. L. Chekhov and K. Palamarchuk, Two-logarithm matrix model with an external field, Mod. Phys. Lett. A14 No. 32 (1999) 2229-2243.

44. L. Chekhov and A. Zabrodin, A critical matrix model for non-oriented string, Mod. Phys. Lett., A6 (1991) 3143-3152.

45. K. JI. Зарембо, Л. О. Чехов, Многоразрезные решения матричной модели Пеннера-Концевича, Теор. Мат. Физ. 93 No. 2 (1992) 354-368.

46. L. Chekhov and К. Zarembo, Pffective action and measure in matrix model of IIB superstnngs, Mod. Phys. Lett., A12 (1997) 2331-2340.

47. G. Cicuta, L. Molinary, and E. Montaldi, Matrix models and graph coloring, Phys. Lett. 306B (1993) 245-251.

48. P. B. Cohen, C. Itzykson, and J. Wolfart, Puchsian triangle groups and Grothendieck dessins. Variations on a theme of Belyi, Commun. Math. Phys. 163 (1994) 605-627.

49. A. Connes, Noncommutative Geometry, Academic Press, 1994.

50. S. Dalley, C. Johnson, and T. Morris, Multicritical complex matrix models and non-perturbative 2B quantum gravity, Nucl. Phys. B368 (1992) 625; Nonperturbative two-dimensional quantum gravity, Nucl. Phys. B368 (1992) 655.

51. F. David, Planar diagrams, two-dimensional lattice gravity and surface models, Nucl. Phys. B257FS14] (1985) 45; A model of random surfaces with non-trivial critical behaviour, Nucl. Phys. B257[FS14] (1985) 543.

52. F. David, Conformal field theories coupled to 2B gravity in the conformal gauge, Mod. Phys. Lett., A3 (1988) 1651.

53. F. David, Loop equations and non-perturbative effects in two dimensional quantum gravity, Mod. Phys. Lett. A5 (1990) 1019-1030.

54. P. Deligne and M. Mumford The irreducibility of the space of curves of given genus Publ. I.H.E.S. 45 (1969) 75.

55. P. Di Francesco, P. Ginsparg, and J. Zinn-Justin, 2В gravity and random matrices, Phys. Rep. 254 (1995) 1-133; hep-th/9306153.

56. P. Di Francesco, 0. Golinelli, and E. Guitter, Meanders: A direct enumeration approach, Nucl. Phys. B482 (1996) 497-535; hep-th/9607039.

57. P. Di Francesco and C. Itzykson, A generating function for fatgraphs, Ann. Inst. Henri Poincare 59, no. 2 (1993), 117-140.

58. P. Di Francesco, D. Kutasov, Correlation functions in 2D string theory, Phys. Lett., B261 (1991) 385-390.

59. R. Dijkgraaf, Intersection theory, integrable hierarchies and topological field theory, Cargese Summer School Lectures, July 16-27 1991 NATO publ., 1991, 95-158; hep-th/9201003.

60. R. Dijkgraaf, G. Moore, and R. Plesser, The partition function of 2D string theory, Nucl. Phys. B394 (1993) 356.

61. R. Dijkgraaf, E. Verlinde and H. Verlinde, Loop equations and Virasoro constraints in non-perturbative 2d quantum gravity, Nucl. Phys. B348 (1991) 435.

62. R. Dijkgraaf, E. Verlinde and H. Verlinde, Topological strings in D < 1, Nucl. Phys. B352 (1991) 59-86.

63. R. Dijkgraaf, E. Verlinde, and H. Verlinde, Matrix string theory, Nucl. Phys. B500 (1997) 43-61; hep-th/9703030.

64. R. Dijkgraaf and E. Witten, Mean field theory, topological field theory, and multimatrix models, Nucl. Phys. B342 (1990) 486-452.

65. J. Distler and H. Kawai, Conformal field theory and 2D quantum gravity or who's afraid of Joseph Liouville, Nucl. Phys., B312 (1989) 509.

66. J. Distler and C. Vafa, A critical matrix model at c=l, Mod.Phys.Lett., A6 (1991) 259.

67. M. Douglas, Strings in less than one dimension and the generalized KdV hierarchies, Phys. Lett. 238B (1990) 176.

68. V. S. Dotsenko, Off critical point by perturbation: the Ising model spin-spin correlator, Nucl. Phys., B314 (1989) 687.

69. VI. Dotsenko, Three-point correlation functions of the minimal conformal theories coupled tp 2D gravity, Mod. Phys. Lett., A6 (1991) 3601-3612.

70. M. Douglas and S. Shenker, Strings in less than one dimension, Nucl. Phys. B335 (1990) 635.

71. T. Eguchi and H. Kawai, Planar random surfaces on the lattice, Phys. Lett. 114B (1982) 247; Number of random surfaces on the lattice and the large N gauge theory, Phys. Lett. HOB (1982) 143.

72. T. Eguchi, S. K. Yang, Deformation of conformal field theories and soliton equations, Phys. Lett., B244 (1989) 373-378.

73. B. Eynard and C. F. Kristjansen, Exact solution of the 0(n) model on a random lattice, Nucl. Phys. B455 (1995) 577; hep-th/9506193.

74. B. Eynard and C. Kristjansen, More on the exact solution of the 0(n) model on a random lattice and an investigation of the case |n| > 2, Nucl. Phys. B466 (1996) 463; hep-th/9512052.

75. B. Eynard and J. Zinn-Justin, The 0(n) model on a random surface: Critical points and large order behavior, Nucl. Phys. B386 (1992) 558-591.

76. A. Fayyazuddin, Y. Makeenko, P. Olesen, D. J. Smith, and K. Zarembo, Towards a nonperturbative formulation of IIB superstrings by matrix models, Nucl. Phys. B499 (1997) 159-182; hep-th/9703038.

77. V. V. Fock, Dual Teichmuller spaces, dg-ga/9702018; V. V. Fock and L. Chekhov, Quantum Teichmuller spaces, math/9908165.

78. M. Fukuma, H. Kawai and R. Nakayama, Continuum Schwinger-Dyson equations and universal structures in two-dimensional quantum gravity, Int. J. Mod. Phys. A6 (1991) 1385.

79. M. Gaudin and I. Kostov, 0(n) model of fluctuating planar lattice: Some exact results, Phys. Lett. 220B (1989) 200.

80. A. Gerasimov, A. Marshakov, A. Mironov, A. Morozov, and A. Orlov, Matrix models of 2d gravity and Toda theory, Nucl.Phys., B357 (1991) 565-618.

81. I. P. Golden, J. L. Harer, and D. M. Jackson, ,4 geometric parameterization for the virtual Euler vharacteristic for the moduli spaces of real and complex algebraic curves, math/9902044.

82. M. Goulian and M. Li, Correlation functions in Liouville theory, Phys. Rev. Lett., 66 (1991) 2051-2055.

83. М. Грин, Дж. Шварц, Е. Виттен, Ведение в теорию суперструн, М: Мир 1990 пер. с англ. М. Green, J. Schwarz, and E. Witten, Introduction to Superstring Theory, Vols. 1,2, Cambridge Univ. Press, 1988.]

84. D. J. Gross and I. R. Klebanov, One-dimensional string theory on a circle, Nucl. Phys. B344 (1990) 475-498.

85. D. J. Gross and A. Migdal, Nonperturbative two dimensional gravity, Phys. Rev. Lett. 64 (1990) 127.

86. D. Gross and A. A. Migdal, A nonperturbative treatment of two-dimensional quantum gravity, Nucl. Phys. B340 (1990) 333.

87. D. Gross and E. Witten, Possible third-order phase transition in the large-N lattice gauge theory, Phys. Rev. D21 (1980) 446-453.

88. J. Harer and D. Zagier, The Eider characteristic of the moduli space of curves, Invent. Math., 85 (1986) 457-485.

89. J. Harer, The cohomology of the moduli space of curves, in: Lect. Notes in Math., Vol. 1337, Springer, Berlin 1985, pp. 138-221.

90. G. R. Harris and E. J. Martinec, Unoriented strings and matrix ensembles, Phys. Lett. 245B (1990) 384-392.

91. C. Imbimbo and S. Mukhi, The topological m,atrix model of с = 1 string, Nucl. Phys. В449 (1995) 553-568.

92. N. Ishibashi, H. Kawai, Y. Kitazawa, and A. Tsuchiya, A Large-N reduced model as superstring, Nucl. Phys. B498 (1997) 467-491; hep-th/9612115.

93. H. Itoyama and Y. Matsuo, Noncritical Virasoro algebra of d < 1 matrix model and quantized string field, Phys.Lett., B255 (1991) 202.

94. C. Itzykson and J.-B. Zuber, Matrix integration and combinatorics of modular group, Commun. Math. Phys. 134 (1990) 197-208.

95. C. Itzykson and J.-B. Zuber, Combinatorics of the modular group II. The Kontsevich integrals, Int. J. Mod. Phys. A7 (1992) 5661-5705.

96. V. A. Kazakov, Bilocal regularization of models of random surfaces, Phys. Lett. 150B (1985) 282-284.

97. V. A. Kazakov, Ising model on a dynamical planar random lattice: Exact solution, Phys. Lett. 119A (1986) 140-144.

98. V. Kazakov, The appearence of matter fields from quantum fluctuations of 2-D gravity, Mod. Phys. Lett. A4 (1989) 2125.

99. V. A. Kazakov and I. K. Kostov, неопубликовано; процитировано в I. К. Kostov, The ADE face models on a fluctuating planar lattice, Nucl. Phys. B326 (1989) 583.

100. V. A. Kazakov, I. K. Kostov, and A. A. Migdal, Critical properties of randomly triangulated planar random surfaces, Phys. Lett. 157B (1985) 295-300.

101. V. Kazakov, I. Kostov, and N. Nekrasov, D-particles, matrix integrals and KP hierarchy, Nucl. Phys. B557 (1999) 413-442; hep-th/9810035.

102. V. A. Kazakov and A. A. Migdal, Induced QCD at large N, Nucl. Phys. B397 (1993) 214-238.

103. V. Kazakov, M. Staudacher, and T. Wynter, Character expansion for matrix models of dually weighted graphs, Commun. Math. Phys. 177 (1996) 451.

104. V. Kazakov and P. Zinn-Justin, Two-matrix model with ABAB interaction, Nucl. Phys. B546FS] (1999) 647-668.

105. S. Kharchev, Kadomtsev-Petviashvili hierarchy and generalized Kontsevich model, Amer. Math. Soc. Transl. (2) 191 1999 119-162.

106. S. Kharchev, A. Marshakov, A. Mironov, and A. Morozov, Generalized Kontsevich Model versus Toda hierarchy and discrete matrix models, Nucl. Phys. B397 (1993) 339-378.

107. S. Kharchev, A. Marshakov, A. Mironov, A. Morozov, and A. Zabrodin, Unification of all string models with с < 1 Phys.Lett. 275B (1992) 311-314; Towards unified theory of 2d gravity, Nucl. Phys. B380 (1992) 181-240.

108. Y. Kitazawa, Gravitational descendents in Liouville theory, Phys. Lett., B2651991) 262-268.

109. В. Книжник, Многопетлевые амплитуды в теории квантовых струн и комплексная геометрия, УФЕ, 159 No. 3 (1989) 401-453.

110. V. Knizhnik, A. Polyakov, and A. Zamolodchikov, Fractal structure of 2D quantum gravity, Mod. Phys. Lett., A3 (1988) 819.

111. V. G. Knizhnik and A. B. Zamolodchikov, Current algebra and Wess-Zumino model in two dimensions, Nucl. Phys. B247 (1984) 83.

112. M. JI. Коицевич, Теория пересечений на пространстве модулей кривых, Функц. Анал. Приложен., 25 (1991) 50-57; М. L. Kontsevich, Intersection theory on the moduli space of curves and the matrix Airy function, Commun. Math. Phys., 1471992) 1-23.

113. I. Kostov, 0(n) vector model on a planar random lattice: Spectrum of anomalous dimensions, Mod. Phys. Lett. A4 (1989) 217.

114. I. Kostov, Bilinear functional equations in 2D Quantum Gravity, Talk at the Intl. Conf. on New Trends in Quantum Field Theory, Sofia, Bulgaria, 28 Aug.-3 Sept. 1995, in: New trends in Quantum Field Theory, Razlog 1995, pp. 77-90; hep-th/9602117.

115. I. Kostov and M. Staudacher, Multicritical phases of the O(n) model on a random lattice, Nucl. Phys. B384 (1992) 459-483.

116. C. F. Kristiansen and P. Olesen, A Possible IIB superstring matrix model with Euler characteristic and a double scaling limit, Phys. Lett. 405B (1997) 45; hep-th/9704017.

117. B. A. Kupershmidt, P. Mathieu, Quantum KdV like equations and perturbed con-formal field theories, Phys. Lett., B227 (1989) 245.

118. H. S. La, Geometry of Virasoro constraints in nonperturbative 2d quantum gravity, Commun. Math. Phys. 140 (1991) 569-588.

119. G. Mahoux and M. L. Mehta, A method of integration, over matrix variables: III,125126127128129130131132133134135136 137 [138

120. Yu. Makeenko, Loop equations and Virasoro constraints in matrix models, Proc. XXVth Intl. Symp. on the Theory of Elementary Particles, Gosen, 1991, ed. H. J. Kaiser, pp. 275-296.

121. Yu. Makeenko, Loop equations in matrix models and in 2D quantum gravity, Mod. Phys. Lett. (Brief Reviews) A6 (1991) 1901-1913 и ссылки в этой работе.

122. Yu. Makeenko, Some remarks about the two-matrix Penner model and the Kazakov-Migdal model, Phys. Lett., B314 (1993) 197.

123. Yu. Makeenko, Critical scaling and continuum limits in the D > 1 Kazakov-Migdal model, Int. J. Mod. Phys., A10 (1995) 2615.

124. Yu. Makeenko, A. Marshakov, A. Mironov, and A. Morozov, Continuum versus discrete Virasoro in one-matrix models, Nucl. Phys. B356 (1991) 574-628.

125. Yu. Makeenko and Yu. Chepelev, Supersymmetric matrix models and, the Meander problem, hep-th/9601139.

126. Yu. Makeenko and G. Semenoff, Properties of Hermitian matrix model in external field, Mod. Phys. Lett., A6 (1991) 3455-3466.

127. K. JI. Зарембо, Ю. M. Макеенко, Введение в матричные модели суперструн, УФЕ 168 No. 1 (1998) 3-28.

128. A. Marshakov, A. Mironov, and A. Morozov, On equivalence of topological and quantum 2d gravity, Phys.Lett. 274B (1992) 280-288.

129. E. J. Martinec, On origin of integrability in matrix models, Commun. Math. Phys. 138 (1991) 437.

130. M. L. Mehta, A method of integration over matrix variables, Commun. Math. Phys., 79 (1981) 327-340.

131. M. L. Mehta, Random Matrices, 2nd edn., Academic Press, New York, 1991.

132. A. A. Migdal, Loop equations and 1 ¡N expansion, Phys. Rep. 102 (1983) 199-290.

133. А. Д. Миронов, т-Функции и матричные модели, Дисс. на соиск. д. ф.-м. н., ФИАН, Москва, 1997.

134. A. Mironov and A. Morozov, On the origin of Virasoro constraints in matrix models: Lagrangian approach, Phys. Lett. B252 (1990) 47-52.

135. A. Mironov, A. Morozov, and G. W. Semenoff, Unitary matrix integrals in the framework of the generalized Kontsevich model, Int. J. Mod. Phys. All (1996) 5031-5080.

136. A. Morozov, String theory and the structure of universal module space, Phys. Lett., B196 (1987) 325.

137. А. Ю. Морозов, Теория струн что это такое, УФЕ, 162, No. 8 (1992) 84.

138. А. Ю. Морозов, Интегрируемость и матричные модели, УФН, 164 (1994) 362; English transl.: Phys. Usp. 37 (1994) 1-55.

139. L. Motl, Proposals on nonperturbative superstring interactions, hep-th/9701025.

140. D. Mumford, Towards an enumerative geometry of the moduli space of curves, in Arithmetic and Geometry, Vol. II, Birkhauser, 1983.

141. N. Nekrasov and A. Schwarz, Instantons on noncommutatwe R4 and (2,0) su-perconformal six-dimensional theory, Commun. Math. Phys. 198 (1998) 689-703; hep-th/9802068.

142. L. Paniak and N. Weiss, Kazakov-Migdal model with logarithmic potential and the double Penner matrix model, J. Math. Phys. 36 (1995) 2512-2530; hep-th/9501037.

143. J. C. Plefka, The supereigenvalue model in the double scaling limit, Nucl. Phys. B448 (1995) 355-372; hep-th/9504089.

144. R. C. Penner, The decorated Teichmiiller space of punctured surfaces, Commun. Math. Phys. 113 (1987), 299-339; Perturbative series and the moduli space of Riemann surfaces, J. Diff. Geom. 27 (1988), 35-53.

145. J. Polchinsky, A two-dimensional model for quantum gravity, Nucl. Phys., B324 (1989) 123.

146. J. Polchinsky, Superstrings, Vols 1,2, Cambridge Univ. Press, Cambridge 1998.

147. A. M. Polyakov, Quantum geometry of bosonic strings, Phys. Lett. 103B (1981) 207-210; Quantum geometry of fermionic strings, Phys. Lett. 103B (1981) 211— 213.

148. S. Saito, String theories and Hirota's bilinear difference equation, Phys. Rev. Lett., 59 (1987) 1798.

149. S. Saito, String amplitudes as solutions to soliton equations, Phys. Rev., D36 (1987) 1819.

150. N. Sakai and Y. Tanii, Correlation functions of c=l matter coupled to two-dimensional gravity, Progr. Theor. Phys., 86 (1991) 547-554.

151. N. Seiberg and E. Witten, String theory and noncommutative geometry, JHEP 9909:032 (1999); hep-th/9908142.

152. S. Sethi and L. Susskind, Rotational invariance in the M(atrix) formulation of type IIB theory, Phys. Lett. 400B (1997) 265-268; hep-th/9702101.

153. K. Strebel, Quadratic Differentials, Springer, Berlin 1984.

154. С .-I. Tan, Logarithmic scaling violation and Bose condensation in one-matrix model, Mod. Phys. Lett. A6 (1991) 1373-1386.

155. B.A. Воеводский и Г.Б. Шабат, Равносторонние треугольники римановых поверхностей и кривые над числовыми полями, ДАН СССР 304, вып. 2, 265-268.

156. К. Ueno and К. Takasaki, Toda lattice hierarchy, in: Group Representation and Systems of Differential Equations (Tokyo, 1982; K. Okamoto, ed.), Adv. Stud. Pure Math., Vol. 4, North-Holland, Amsterdam, 1984, 1-95.

157. S. R. Wadia, On the Dyson-Schwinger equations approach to the large N limit: Model systems and string representation of Yang-Mills theory, Phys. Rev. D24 (1981) 970-978.

158. D. Weingarten, A lattice field theory for interacting strings, Phys. Lett. 90B (1980) 280.

159. E. Witten, Interacting field theory of open superstrings, Nucl. Phys. B276 (1986) 291-330.

160. E. "VVitten, On the structure of the topological phase of two-dimensional gravity, Nucl. Phys. B340 (1990) 281-332.

161. E. Witten, On the Kontsevich model and other models of two-dimensional gravity, Proc. Diff. Geom. Methods in Theor. Phys. 1, (New York, 1991) 176-216.

162. E. Witten, Two-dimensional gravity and intersection theory on moduli space, Surv. Diff. Geom. 1 (1991) 243-310.

163. E. Witten, The N matrix model and gauge WZW models, Nucl. Phys. B371 (1992) 191-245.

164. T. Yoneya, Schild action and space-time uncertainty principle in string theory, Progr. Theor. Phys. 97 (1997) 949-962; hep-th/9703078.