Параметрический метод сильной связи для рсчета физических свойств углеродных систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РФ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

. Ом

] Г) ' ;Н На правах рукописи

ХОХРЯКОВ Николай Владимирович

УДК 539.2

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД СИЛЬНОЙ СВЯЗИ ДЛЯ РАСЧЕТА ФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ УГЛЕРОДНЫХ СИСТЕМ

01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ижевск 1996

Работа выполнена в Удмуртском государственном университете.

Научные руководители — доктор физико-математических наук, профессор ЖУРАВЛЕВ В. А.; кандидат физико-математических наук, доцент САБИНСКИЙ С. С.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук, профессор ДЕМИХОВСКИЙ В. Я-; доктор химических наук, профессор КОДОЛОВ В. И.

Ведущая организация — Физико-технический институт УрО РАН.

Защита состоится I _ 1996 г. в .. ! часов

на заседании диссертационного совета К 064.47.01 в Удмуртском государственном университете по адресу: г. Ижевск, ул. Красно-геройская, 71, ауд. № 216.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Удмуртского государственного университета.

Автореферат разослан . ___ ___ 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к. ф.-м. н., доцент

Петров Н. Н.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. В 1984 году в сверхзвуковых углеродных пучках обнаружен новый класс стабильных кластеров, среди них по данным масс - спектроскопических измерений наиболее распространен фуллерен С,,„ , в котором атомы расположены в вершинах симметрично усеченного икосаэдра. В 1991 году в продуктах дугового разряда между графитовыми электродами обнаружены углеродные кластеры цилиндрической формы - графитовые нанотрубки (тубулены), для которых имеются теоретические предсказания необычных капиллярных и электромагнитных свойств, высоких коэффициентов жесткости. Развитие технологий синтеза новых углеродных структур и получения их конденсированных фаз открывает возможности экспериментального исследования и практического использования в наноэ.чектронике, очистке веществ, синтезе новых материалов и др. Имеются сообщения об использовании фуллерснов в производстве электрических батарей, синтезе стабнлыюго материала, по твердости превосходящего алмаз, открытии сверхпроводимости фуллереносодержащих структур при температурах в несколько десятков К.

В литературе представлены теоретические расчеты структуры и физико -химических свойств фуллеренов; для анализа электронных и фононных состояний наногрубок обычно используется модель "zone folding", заключающаяся в отборе соответствующих состояний графитовой плоскости и не учитывающая кривизну нанотрубки. Вместе с тем, не выявлены тенденции в свойствах оптимизированных нанотрубок широкого диапазона диаметров и спиральностей, необходимые для предсказания характеристик тубуленосодержащих материалов.

Особенности электронной структуры новых углеродных кластеров, к - электронный характер состояний в окрестности уровня Ферми делают необходимым

применение в теоретических исследованиях квантовомеханических методов, явно учитывающих электронную структуру, среди которых получили распространение первопрннципные и полуэмпирические. Первопринципные методы требуют больших затрат компьютерных ресурсов, что затрудняет анализ сложных систем л выявление тенденций в классе исследуемых объектов, поэтому для решения указанных задач в основном используются полуэмпирические модели. В то же время одной из проблем полуэмпирических методов является лоиск и исследование универсальных параметризаций, обеспечивающих удовлетворительное описание физических свойств систем, отличающихся локальным атомным окружением. Цель работы.

- Исследование применимости несамосогласованного метода сильной связи к расчетам свойств новых углеродных систем: фуллерена Сю и углеродных нанотрубок.

- Теоретический анализ винтовой симметрии графитовых нанотрубок.

- Расчет равновесной структуры, коэффициентов жесткости, электронных и фо-нонных спектров тубуленов.

Методы исследования. При решении поставленной задачи использовался несамосогласованный метод сильной связи с параметрами, подогнанными под электронные и атомные свойства алмаза и разность энергий структур алмаза и графита. Применялись теоретико - групповой анализ, теория возмущений, численные методы матричного анализа.

Научная новизна. Впервые учтена деформация валентной оболочки при расчете фононных спектров, равновесных геометрий и упругих свойств нанотрубок в широком диапазоне диаметров и спнральностей. В расчетах последовательно учитывалась винтовая симметрия нанотрубок, введены в рассмотрение обобщенные блоховские функции и периодические граничные условия для винтовых систем. Выбранная параметризация впервые применялась к расчету равновесной струк-

туры и свойств фуллерена и графитовых нанотрубок.

Практическая ценность. Рассчитанные колебательные спектры, зависимости частот оптически активных иод от типа нанотрубки необходимы для идентификации нанотрубок в продуктах дугового разряда. Разработанные методы исследования винтовых структур применимы к произвольным системам, включая биологические макромолекулы. Выявленные зависимости матричных элементов от локального окружения и аналитические функции межатомных расстояний для свойств высокосимметричных систем позволяют получать новые параметризации. На защиту выносятся. Результаты расчета равновесных параметров, электронного и колебательного спектров фуллерена С6п в модели сильной связи. Использование винтовой симметрии для теоретического анализа равновесной структуры и свойств графитовых нанотрубок. Расчеты равновесных структур, энергий, упругих модулей, электронных и фононных спектров нанотрубок, выявленные тенденции изменения свойств от типа нанотрубки, сравнение с результатами, получаемыми из упрощенных моделей.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

1. Первая Российская университетско - академическая научно - практическая конференция. Ижевск. УдГУ. 1993.

2. Школа-семинар "Уроки квантовой интуиции". ОИЯИ. Дубна.1993.

3. II International Symposium on Diamond Films. Minsk. 1994.

4. Вторая Российская университетско - академическая научно - практическая конференция. Ижевск. УдГУ. 1995.

5. Школа - симпозиум по теоретической физике "Коуровка - 96". Ижевск. 1996. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Содержит 130 страниц сквозной нумерации, список ли-

тературы из 121 наименований, ^рисунков и 5 таблиц.

Содержание диссертации

Введение. Дается общая характеристика работы, показана ее актуальность, сформулированы научные результаты, представленные к защите. Глава 1. Обсуждается метод сильной связи, его место в ряду квантовомеханиче-ских методов, обоснованность и степень приближений, эмпирические параметризации, применимость метода к расчету свойств углеродных систем.

В параграфе 1.1 приводится обзор методов, включая первопринципные теории, полуэмпирические подходы нулевого дифференциального перекрытия, модель псевдопотенциала, методы, использующие несамосогласованные модельные Гамильтонианы для расчета электронной структуры. Обсуждаются преимущества и недостатки методов. Более подробно рассматривается теория функционала плотности.

В параграфе 1.2 обсуждается несамосогласованная модель сильной связи с эмпирическими параметрами. В рамках этой модели энергия электронно - атомной системы записывается в виде

где Н- матрица электронного Гамильтониана системы, построенная в базисе локализованных атомных орбиталей, 51 - матрица перекрытия, вектор А, содержт коэффициенты разложения волновой функции / - го состояния по атомным орби-талям; в эмпирической модели сильной связи матричные элементы Н и Б вычис-

(О

В выражении (1) - решения матричной задачи вида

(2)

ляются по аналитическим функциям, зависящим от атомных координат, с параметрами, которые подгоняются под эксперимент. Второе слагаемое в выражении (I) учитывает отталкивание внутренних электронных оболочек и межэлектронное взаимодействие, определяется через функции атомных координат и содержит подгоночные параметры. В 1985 году Харрису удалось обосновать несамосогласованную модель исходя из теории функционала плотности и выявить необходимые при этом приближения.

В диссертации используется параметризация модели сильной связи для углеродных систем, в которой в базис для разложения волновой функции включаются 5 и р орбитали валентных оболочек атомов, причем принимается, что базисные функции образуют ортонормированный набор

^ = 8,. (3)

Недиагональные матричные элементы матрицы электронного Гамильтониана Н выражаются через межатомные матричные элементы Т/ ( \ Т/ ( \( I \2'7% 2,79б(~(,-/2,32);2+(г0/2,32)-,:)

где г - расстояние между атомами, на которых локализованы базисные орбитали; I

и / - тип орбиталей, у или р; пг - тип связи, ст или 71; 7о=1,54/4 . Слагаемое Егер в выражении (1) представляет сумму парных межатомных потенциалов 11п,р(г), которые рассчитываются по формуле 11 / \ / И4" 4,455(-(,/2,32)и+(.0/2,32)22)

и„р{г)=\0,Щг1о/г) е (5)

Параметры в формуле (4) и диагональные матричные элементы элек-

тронного Гамильтониана £л. и £р подгонялись под зонную структуру алмаза, их

значения приведены в таблице. Остальные параметры в формулах (4,5) подгоняются под равновесную длину связи и модуль всестороннего сжатия алмаза и разность энергий структур алмаза и графита.

Таблица Матричные элементы Гамильтониана сильной связи для углеродных систем (в эВ) при длине связи г„= 1,54 Я

Vspa VppcJ Vpp,t Es £p

-4,433 3,786 5,660 -1,829 -5,163 2,289

Использование приближения ортогональности базисных орбиталей (3) приводит к потере универсальности параметров. В параграфе 1.2 обсуждается эта

проблема и возможные методы ее устранения. Кроме тосо, обсуждаются методы подгонки параметров в квантовых эмпирических моделях. Глава 2. В главе представлены результаты расчета равновесной геометрии, электронного и колебательного спектров фул-лерена в модели сильной связи. Фуллерен Ст - высокосимметричная молекула почти Рис. 1 Фуллерен С60 сферической формы, атомы

углерода расположены в вер-

шинах симметрично усеченного икосаэдра, точечная группа симметрии молекулы Yh (см. рис. 1). Сы является наиболее распространенным представителем семейства фуллсренов - пустых углеродных кластеров.

В параграфе 2.1 приводится обзор экспериментальных и теоретических исследований по фуллерену.

В параграфе 2.2 представлены результаты расчета равновесной геометрии молекулы Ст в рамках модели сильной связи. Оптимизация энергии проводилась методом градиентного спуска при условии сохранения группы Yh. Производные энергии по параметрам минимизации рассчитывались по аналитическим формулам

которые при выборе атомных координат в качестве параметров соответствуют силам Хелмана - Фейнмана. В формуле (6) - параметры оптимизации, Нц - диагональный матричный элемент матрицы электронного Гамиль1ониана, записанной в представлении собственных функций при текущих значениях параметров, суммирование проводится по всем занятым электронным состояниям. Полученные в работе равновесные длины неэквивалентных связей в фуллерене составляют

о о

1.46А и 1,42А, что согласуется с экспериментальными данными,приводимыми в

о о

литературе: 1,45А и 1, 40А.

В параграфе 2.3 представлен расчет электронной структуры оптимизированной молекулы С60 в модели сильной связи, приводится симметрийный анализ одноэлектронных волновых функций. Вычисленное расстояние по энергии между последним заполненным и первым незаполненным электронным состоянием составило 1,7 эВ, что согласуется с приводимыми в литературе значениями 1,7 - 1,9

(б)

эВ. Сравнение экспериментальной кривой по спектру электронов фотоэмиссии с рассчитанным спектром электронов фуллерена показывает корреляцию плотностей состояний вблизи уровня Ферми. Рассчитанные спектральные линии в окрестности уровня Ферми согласуются и с результатами первопринципных расчетов.

В параграфе 2.4 представлены результаты расчета колебательного спектра фуллерена в рамках модели сильной связи. Частоты колебаний и нормальные моды молекулы С60 рассчитывались из диагонализации матрицы силовых постоянных /), матричные элементы которой определялись через вторые производные полной энергии молекулы по декартовым координатам атомов и вычислялись по точным аналитическим формулам, полученным из теории возмущений

где а, Р принимают значения Х,~у, г\ /, у = 1....60, Нкг матричный элемент матрицы электронного Гамильтониана, записанной в представлении собственных функций, рассчитанных при равновесной геометрии молекулы. Вследствие высокой симметрии фуллерена вычислялась лишь часть матричных элементов матрицы й - остальные были получены преобразованиями системы координат.

В параграфе приводятся рассчитанные значения частот колебаний, анализируется симмеггрия нормальных мод, приводится сравнение результатов расчета с экспериментальными данными. Частоты наиболее простых по симметрии колебаний "дышащей" и высокосимметричной моды в расчетах составили 510 и 1553 см1, что хорошо согласуется с известными экспериментальными значениями 496 и 1470 см-'. На рис. 2 показаны рассчитанные и экспериментальные спектральные линии.

дни тк; дны" знк1

Из рисунка следует, что взаимное расположение уровней в области высоких частот и в области низких частот подобны экспериментальным. При этом в области низких частот рассчитанные уровни ниже экспериментальных, тогда как в области высоких частот рассчитанные уровни несколько превышают экспериментальные значения.

Рис. 2 Колебательный спектр кластера С«>. Вверху расчетные частоты колебаний, внизу частоты, полученные методом неупругого рассеяния нейтронов. Цена деления 100 см''. Количество отрезков равно кратности вырождения уровня Заметим, что для низких частот в процессе колебаний изменяются главным образом углы мевду химическими связями в молекуле, тогда как изменения расстояний между ближайшими соседями достаточно малы. В области высоких частот при колебаниях изменения испытывают как углы, так и межатомные расстояния. Отсюда следует, что используемая параметризация дает несколько завышенные силовые постоянные по отношению к изменению длины связи и заниженные для изменения углов между связями в - гибридизованных системах, т. е., графите, фуллеренах, графитовых нанотрубках.

Глава 3. В главе обсуждается структура и свойства углеродных нанотрубок, которые геометрически можно представить как результат наклеивание: полось} графитовой плоскости на поверхность цилиндра.

Рис. 3 Фрагмент графитовой плоскости. а1, иг- векторы элементарных трансляций; аз - вектор базиса. Атомы, смещенные на вектор с, отождествляются при конструировании нанотрубки. Отрезки 04 и 13 склеиваются. Пунктиром показана область графитовой плоскости, вектора с которой определяют все неэквивалентные нанотрубки В параграфе 3.1 приводится литературный обзор современного состояния

экспериментальных и теоретических исследований и технологий синтеза

нанотрубок.

В параграфе 3.2 обсуждается геометрическая структура и классификация идеальных нанотрубок, способ их построения из графитовой плоскости. Для построения графитовой нанотрубки необходимо "наклеить" полосу графитовой плоскости на поверхность цилиндра (см. рис. 3). При этом отождествляются атомы, лежащие на противоположных границах полосы, определяемой вектором с.

с = /'[в, + ;2а2. (8)

В формуле (8) Я| и яг - вектора элементарных трансляций на плоскости, Л и /г -целые числа, определяющие вектор с, в дальнейшем нанотрубка идентифицируется двумя индексами (¡г,42).

При наклеивании полосы графитовой плоскости на поверхность цилиндра

векторы трансляций переходят в операторы винтовых поворотов ,

представляющие собой поворот на угол ф вокруг оси цилиндра с последующей трансляцией т. вдоль этой оси. Вектора» аи Яг и аз на поверхности трубки будут

соответствовать операторы ^(ф^2!^ ^(фг'^г) и >2з). далее они

обозначаются как Л, Для конструирования нанотрубки необходимо задать числа (р1,г1,ф2,22,ф3,23 и радиус трубки Я. На операторы примитивных винтовых поворотов трубки {1\¿г) накладываются дополнительные условия, следующие из отождествления атомов графитовой плоскости, смещенных на вектор С (8), при склейке нанотрубки

¿'■(ф,^)^^,^)^, (9)

где Е - тождественное преобразование. Из формулы (9) непосредственно следует условие на параметры <рь <рг, ги.гг

^ф, + /2ф2 = 2л/ , / - целое; += 0. (10)

Таким образом, атомная структура идеальной нанотрубки полностью определяется 5 независимыми параметрами, значения которых определялись при минимизации полной энергии нанютрубяж.

В параграфе 3.3 обсуждается группа винтовых поворотов 5, любой элемент группы 5 может быть представлен в виде произведения некоторых степеней операторов элементарных винтовых поворотов

5(ф,2) = 5',(ф1,21)^(ф2,22), (П)

I,, ¡2 - целые числа, причем

ф = /1ср1+/2ф2, г = /121+/2г2. (12)

Группа винтовых поворотов графитовой нанотрубки 51 изоморфна группе Т трансляций полосы графитовой плоскости с периодическими граничными условиями, из которой свернута наиотрубка(см. рис. 3). Характер неприводимого представления, соответствующий некоторому элементу трансляции /, можно записать как е , где к - волновой вектор,

* = *,а+*2в2- 03)

/ = /101+/202. (14)

В формулах (13,14) к\ и кг- произвольные числа, 1\ и 1г - произвольные целые числа. Векторы и являются векторами обратной решетки для графитовой плоскости. Из формул (13,14) следует, что характеры неприводимых представлений графитовой полосы могут быть записаны в виде

Ограничение группы трансляций бесконечной плоскости до группы Т,

удовлетворяющей периодическим граничным условиям (9), приводит к соотношению

%(к1,к2,г1,12) = 1. (16)

Из выражений (15, 16) следует условие на числа к\ и кг

+ ¡2кг ~ т, (17)

где т - произвольное целое число. Уравнение (17) определяет семейство прямых в

Рис. 4 Обратная плоскость для решетки графитовой плоскости, gl, g2- вектора

обратной решетки. Прямые соответствуют неприводимым представлениям нанотрубки (6,2). Правильный шестиугольник обозначает первую зону Брилчюэна

обратном пространстве графитовой плоскости. Представления, соответствующие точкам на этих прямых, являются неприводимыми представлениями группы Т. На рис. 4 показаны обратная решетка графитовой плоскости, первая зона Бриллюэна и прямые, удовлетворяющие уравнению (17) для полосы, соответвующей трубке типа (6,2). Из изоморфности групп трансляции полосы графитовой плоскости Т и винтовых поворотов Б соответствующей нанотрубки следует, что для неприводимых^ представлений группы Б выполняется приведенная выше классификация.

В параграфе 3.4 представлен расчет равновесной структуры нанотрубок различных типов в рамках модели сильной связи. При этом оптимизация энергии проводилась при сохранении симметрии нанотрубки, т. е. в качестве параметров минимизации выбраны параметры операторов Л, Л, связанные условиями (10). Для расчета энергии зонной структуры электронный Гамильтониан строился в базисе обобщенных Елоховских орбиталей

где 1|/у(0) - атомная орбиталь, локализованная на атоме 0, принятом за начало координат; у обозначает тип орбитали (а, р^ /Ь, рорбиталь р1 направлена по касательной к поверхности цилиндра перпендекулярно его оси. /ь направлена вдоль оси, р3 направлена по внешней нормали к поверхности цилиндра; и I. ■ целые числа, нумерующие элементарные ячейки, а нумерует атомы в элементарной ячейке, а = 0, 1; Ыг - число элементарных ячеек, суммирование проводится по всем ячейкам. Действие операторов винтовых поворотов на функцию определяется через преобразование координат и преобразование

линейных комбинаций р - орбиталей. Числа к], к2 в (18) нумеруют неприводимые представления группы винтовых поворотов

Выбор базисных функций в виде (18) позволяет использовать винтовую симметрию тубулена, приводя матрицу электронного Гамильтониана модели сильной связи к блочно - диагональному виду с размером блока 8-8 для каждого вектора к.

Расчеты в диссертации проводились на конечных фрагментах наногрубок с периодическими граничными условиями вдоль винтовых линий, образованных

(18)

действием одного из операторов элементарных винтовых поворотов. В рамках модели сильной связи были оптимизированы структуры нанотрубок различных типов. Энергия связи нанотрубки в расчете на атом меньше, чем эта величина для графитовой плоскости. В зависимости от радиуса нанотрубки рассчитанные отклонения по энергии на атом хорошо согласуются с кривой 1,41/Л", полученной в рамках простой модели.

В параграфе 3.5 обсуждаются особенности электронной структуры графитовых нанотрубок. В рамках распространенной модели "zone folding" пренебрегается кривизной нанотрубки и исследуется электронная структура полосы графитовой плоскости с периодическими граничными условиями, что соответствует выборке точек на прямых в первой зоне Бриллюэна графитовой плоскости (см рис. 4).

Энергетические зоны графитовой плоскости пересекаются лишь в угловых точках зоны Бриллюэна, отсюда следует, что при прохождении прямых через эти точки (см. рис.4) отсутствует запрещенная зона в электронном спектре нанотрубки, в общем случае трубка является диэлектриком с запрещенной зоной до 2 эВ. Запрещенные зоны диэлектрических нанотрубок уменьшаются с радиусом как 1IR. Проведенные расчеты в модели сильной связи для нанотрубок оптимизированных структур выявили согласие, с предсказаниями модели "zone folding" для нанотрубок больших радиусов.

В параграфе 3.7 представлены расчеты упругих постоянных нанотрубок, модуля радиального сжатия В, осевой жесткости К и крутильной жесткости С определенных по формулам В = - Р/5F, К = F/s , С = Mz fb(p , где 8V -относительное увеличение объема, в - относительное удлинение, Ъ(р - угол кручения в расчете на единицу длины нанотрубки, Р, F, Mz - соответственно

давление, сила и крутящий момент, создающие деформации. Выражение для модуля радиального сжатия В формально совпадай с определением модуля всестороннего сжатия макроскопического вещества, однако в диссертации для расчета модуля В рассматривается деформация под действием лишь радиальных сил.

В рамках теории упругой среды могут быть получены зависимости модулей В, К, С от радиуса нанотрубки В — Ва К = Ко С = Со Я'. Предсказания модели сильной связи удовлетворяют этим зависимостям с

постоянными Во = 12,9 эВ//}:, Ко = 98 эВ//К Со - 34 эВ/Л:. Из результатов, полученных для осевой жесткости нанотрубок, был оценен модуль Юнга макроскопического образца на их основе У= 6,67 МЬаг, что согласуется с экспериментальными значениями для графитовых фибров - материалов, родственных нанотрубкам.

В параграфе 3.7 представлены расчеты фононных мод нанотрубок различных симметрии и радиусов в рамках модели сильной связи. Расчеты проводились с конечными фрагментами трубок с периодическими граничными условиями вдоль атомных винтовых линий. Для расчета матричных элементов динамической матрицы фрагмента использовалась формула (7).

Численно рассчитывались колебательные спектры графитовых нанотрубок различных радиусов и сгшральностей. При этом длины исследованных кластеров

достигали 50 А, в них содержалось до 400 атомов углерода. Полученные для конечного фрагмента вторые производные энергии по смещениям атомов использовались при построении дисперсионных кривых для бесконечных трубок. При этом принималось, что вторые производные по смещениям атомов, не

входящих во фрагменты, достаточно малы, что соответствует введению радиуса обрезания, равного половине длины кластера.

Экспериментальные данные по измерению рамановских спектров тубуленосодержащих материалов с трубками большого радиуса (порядка сотен ангстрем) указывают на наличие пика около 1581 см'1 и слабого пика в районе 1350 см'. Рассчитанные частоты для трубок меньшего радиуса (порядка нескольких ангстрем) качественно согласуются с этими данными, однако полного совпадения численных результатов с экспериментальными данными в рамках используемого приближения нет. Исследование оптически активных мод колебаний нанотрубок различных структур выявило следующие тенденции. С увеличением радиуса трубки значения частот в верхней части спектра увеличиваются, а в нижней уменьшаются. При этом линии, соответствующие высоким частотам, при увеличении радиуса трубки группируются в районе 1650 -1700 см1, что соответствует рамановской частоте уединенной графитовой плоскости, вычисленной в рамках используемой модели сильной связи. Частоты нескольких фононных мод (в том числе "дышащей") не зависят от спиральносги нанотрубок, частоты остальных фононных мод с увеличением спиральности испытывают тенденции, подобные тем, которые прослеживаются при увеличении радиуса трубки.

Заключение. В заключении приведены основные результаты и выводы диссертации.

Основные результаты работы. В диссертации изучена равновесная структура, электронный и колебательный спектры фуллерена. Исследована винтовая симметрия графитовых нанотрубок, введены в рассмотрение функции Блоха и периодические граничные условия для винтовых систем. Впервые получены

результаты по равновесной структуре, электронным и фононным спектрам графитовых нанотрубок в широком диапазоне диаметров и спиральностей.

Из сравнения результатов расчетов с экспериментальными данными и первопринципными расчетами следует, что метод сильной связи в используемой параметризации хорошо описывает равновесную геометрию и механические свойства углеродных систем и электронные состояния в окрестности уровня Ферми. Сравнение расчетов упругих модулей оптимизированных нанотрубок с предсказаниями, полученными в модели непрерывной среды, показало хорошее согласие. Приведенная в диссертации оценка модуля Юига конденсированной фазы тубелена превышает в несколько раз модуль Юнга стали. Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

1. Н. В. Хохряков, Компьютерное моделирование реконструкции и дегибридизации свободных орбиталей на GaAs(HO) и Si(lll) II Вестник Удмуртского университета. - 1993. - 5(2). -с. 34 - 40.

2. Н. В. Хохряков, Использование метода связывающих орби галей для расчета свойств фуллерена II Тезисы докладов. I Российская университетско -академическая научно - практическая конференция. Ижевск. - 1993. - с. 121 -122.

3. N. V. Hohryakov, S. S. Savinsky, А parametric tight - binding method for calculating atomic and electronic properties of carbon systems // The abstracts. II International Symposium on Diamond Films. Minsk. - 1994. - P. 162.

4. H. В. Хохряков, С. С. Савинский, Численный расчет электронного и колебательного спектров фуллерена Ст в параметрической модели сильной связи // ФТТ. - 1994. - т. 36. - с. 3524.

5. Н. В. Хохряков, С. С. Савинский, Простая модель сильной связи для углеродных молекулярных форм // Тезисы докладов. II Российская университетско -академическая научно - практическая конференция. Ижевск. - 1995. - с. 91 -92.