Матричные задачи и представления нильпотентных групп Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

г

; ,11 1

Министерство образования Украины Киевский университет имени Тараса Шевченко

На правах рукописи

АББАС АБИД АЛИ САДХАН

МАТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ \ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУПП ЛИ

01.01.06 — Математическая логика, алгебра и теория чисел.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Киев — 1992

Работа выполнена на кафедре алгебры и математической ло гики Киевского университета имени Тараса Шевченко.

Научный руководитель — доктор физико-математических на ук, профессор ДРОЗД Ю. А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических ка\к САМОЙЛЕНКО Ю. С., кандидат физико-математических наук, доцент ТОЛПЫГО А. К

Ведущая организация — Санкт-Петербургский государстве!: ный университет.

Защита состоится 1992 г. в /¿^ часов и

заседании специализированного совета K068.18.ll по присужд нию ученой степени кандидата физико-математических наук в К евском университете имени Тараса Шевченко по адресу: 25212 г. Киев, проспект академика Г'лушкова, 6, Механико-математич ский факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КГУ.

Автореферат разослан «/£,/»

1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета

В. И. СУЩАНСКИ

!СТЗЕЯ2!11|

iv'.j 'AW!

ртацнД

СГОЛ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОШ

Актуальность темы. Теория представлений групп и алгебп Ли является одним из главных направлений современной математики. Она играет также важную роль во многих разделах теоретической физики. При этом, если теория конечномерных представлений полупростых алгебр Ли во многих отношениях является завершенной, то описание бесконечномерных представлений связано со значительными трудностями. Так, даже обозрение неприводимых представлений более или менее доведено до конца только для простейших нильпотентных групп Ли. Разработанный А.А.Кирилловым, Б.ТСос-тантсм, Л.Ауслендером, К.Диксмье и др. метод орбит, который является наиболее эффективным в случае нильпотентных и разрешимых групп Ли, упирается е проблему классификации различных ли-нейно-алгебраичних объектов, г;ак правило, весьма сложную. С другой стороны, для такой классификации перспективным является метод "матричных задач", разработанный, в основном, киевскими алгебраистами A.B.Ройтером, Л.А.Назаровой, Ю.А.Дроздом, М.М. Клейнером, Л.Г.Завадским и др. Конечно, специфика задач, -возникающих при изучении представлений групп ЛИ, требует модификации известных алгоритмов и разработки ноеих. Именно этому направлению посвящена настоящая диссертация.

Цель работы. Разработать специальный алгоритм приледения матриц, приспособленный к описанию орбит в ко присоединенном представлении для унипотентных групп Ли и дать способ вычисления максимально? подчиненной подалгебры Для унипотентных групп

Методика исследования. В работе используются методы гео-' рии представлений групп Ли и конечномерных алгебр, а также техника матричных задач.

Научная новизна. В работе получены следующие новые теоретические результаты:

- разработан специальный алгоритм приведения матриц, являющийся модификацией алгоритма Клейнера-Ройтера, приспособленный к вычислению представлений боксов, одномерных в каждой точке;

- разработанный алгоритм применен к описанию орбит в копри-соединанном представлении для унипотентных групп Ли;

- дан способ вычисления максимальной подчиненно» подалгебры, установлено, что в качестве таковой всегда может быть выбрана ассоциативная подалгебра.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер, Ее результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории представлений, теории групп и алгебр Ли, а также в теор тической физике.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории представлений в Киевском госуьизерситете и на кафедре алгебры и математической логики Киевского государственного универсигата, а также на киевском алгебраическом семинаре .

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на страницах машинописного текста и состоит из введения, 6 параграфов и списка литературы, насчитывающего /3 наименований.

з.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТадИ

Во ввелении дается краткий обзор проблема и основных результатов, полученных в диссертации.

1-2 посвящены изложению необходимого теоретического материала - метода орбит и техники матричных задач /на языке представлений боксов/.

В § 3 ееолится специальный алгоритм, который является модификацией алгоритма КлеЯнера-Ро*тера, приспособленной для классификации таких представлений М бокса OV-fA?*/) , в которых d-ím f1fL)é= 1 для любого объекта ¿ категории А . На основании этого алгоритма строится дерево приведения 7 ) . rae d- - $икскр'ва.:нгя размерность /т.е. функция OéA^tJ /. удовлетворяющая услоЕию cL(¿)¿i'l для Есех L . Имеет место следуаций результат.

Теорема I. Классы изоморфизма представлений бокса Oí. размерности (£ находятся во взаимно однозначном соответствии с конечными вершинами дерева T(rt-J).

В § 4 указанный алгоритм применяется для полной классификации орбит в коприсоединенном представлении для групп унитре-уголы.ых матриц малих размерностей.

Б § 5 рассматривается вопрос о построении максимальной подчиненной подалгебры для фиксированного линейного функционала yf на алгебре Ли о^ унипотентной группы (j- , то есть группы

G - (V a ¡CL£- а] , где Ц-zacLA }

а А - некоторая конечномерная ассоциативная алгебра над

полем действительных чисел. Напомним, что подчиненная подалгебра jß CZ. - это такая, для которой при всех . Известно, что для максимальной под-

чиненной подалгебры верно равенство-.dim^cii/ni^-f/Lcü/nA. , где JX - орбита в ¡«присоединенном представлен:- i

/т.е. в & -пространстве Of* /. Заметим, что в рассматриваемом случае О^ естественно отождествляется с .

Доказывается следующая теорема.

Теорема 2. В рассматриваемом случае в качестве максимальной подчиненной подалгебры всегда может быть Еыбрана некоторая ассоциативная подалгебра Q С. Я. .

Доказательство этой теоремы конструктивно, то есть дает алгоритм для построения подалгебры Q . Тем самым, теоремы I и 2 дают возможность явного вычисления всех унитарных неприводимых представлений унипотентшх групп.

В § 6 даются примеры такого явного вычисления. В частности, вычисляются все унитарные неприводимые представления групп унитреугольных матриц малых размерностей.

Результаты диссертащи опубликованы в работе:

Аббас A.C. Матричные алгоритмы вычисления представлений унипотентшх групп. Рукопись деп. в УкрНШНТИ.

Зак. ПЭТ,тир. Юи.Уч.тнп.КГУ, 1002г Кисв-17,Бульплр Шевчинко, 11.

!3 о 1 91

Российская академия наук

УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ¿МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

1а правах рукописи

ЧУКАНОВ Николай Александрович

ПОДСТАНОВОЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ПРОСТЫХ ГРУПП

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

,1

1

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург — 1992

Работа выполнена и Новосибирском государственном университете имени Лешшского комсомола.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор В. Д. Мазуров.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор А. А. Махнев;

кандидат физико-математических наук, доцент В. А. Устименко.

Ведущее ■ учреждение — Красноярский государственный университет.

Защита диссертации состоится У- С'-'/'-^ Лх._

1992 года в 15 часов на заседании специализированного совета К 002.07.02 в Институте математики и механики УрО РАН гю адресу: 020066, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан_'•'С'_марта 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических наук

Л. С. Кондратьев

: г

. «:

' -^ ^ОЙТ' гвленная в 1981 году классификация конечных простых ¿ртацкй

~>упп7Ч!Ш з в ал а противоречивые чувства и опенки. С одной стороны, многолетние усилия нескольких сотен математиков всего •ира, завершившиеся доказательством объемом более пяти тысяч ^урнальныу страниц и разбросанным по нескольким сотням работ, ■?в может не вызвать чувства восхищения. С другой стороны, хотя псинто доказательства ещэ никто не написал, с этш замечательным достижением научной мысли связано ощущение некоторой потери. Однако, несмотря на некоторые мрачные предсказания теория конечных простых групп продолжает двое развитие, хотя и произошло некоторое смещение интересов в дальнейших исследованиях.

Во-первых, на первый план выдвинулась задача более детального пзучетм известных конечных простых групп: описание гас макаг.'ачышх подгрупп, матричных л подстановочных представлений и так далее.

Во-вторых, в виду (»'спрэцэдвнтности объема классифика-пионнсго доказательства, еце одним актуальн:м направлением в теории конёчнпх простых групп становится полек путей пересмотра классификации.

Очевидно, что пт™ основные награвления тесно вза^чооья-згну гтеету собой, поскольку являют^» в некотором смысле ревизией клаосификашп.

гл

Что касается первого пункта, то основной работой в этом направлении, безусловно, следует признать следующую: "Атлас конечных простых групп" [9] . Атлас содержит наиболее важшп характеристики известных конечных простых групп. Эта работа далеко не полная, и еще не одно поколение математиков внесет в нее свою лепту.

Относительно второго пункта можно сказать, что один из путей пересмотра классификации предложен В.Д.Мазуровым и А.Н.Фоминым в работе [5] . Это изучение минимальных подстановочных представлений конечных простых групп, то есть под- 1 становочных представлений по подгруппам минимального индекса и связанных с ниш графов.

Конечные простые группы, особенно группы больших порядков, изучают, как правило, исходя из какой-нибудь их конкретной реализации: матричного или подстано.ю того представлений в виде группы автоморфизмов некоторого комбинаторного объекта /графа, схемы, геометрии и-так далее/.

Хорошо известно, что для абстрактной гпуппы £ и ее подгруппы Н естествен;«»! образом определяется дёЯ-'тшр на множеств«- смежных классов (м по И . Полумнц>ю таким образом грушу подстановок называют гт едотавлелие;.' (я по Н . Эта группа пржлттивт в точности тогда, когда Н - гг-кси-мальная подгруппа & . Описание, -примитивных групп является одной из центральных проблем з теории гругщ подстаноаок. По -этому наряду с азучекием минимальных подстановочных представ лений вачннм является и изучение остальных,примитивных грен-ставяедий группы.

. Первая глава диссертации посзящона вспомогательным результатам и нзучзнию всех примитивных представлений конечной

-з-

irocTo" нгтпти (Z) . Хонкретнпй внбор группн объясняется тем, "то л работе [Э] изг'ваг пр'-мттгивнго представления не-а^олевчх и'-осткх групп порядка i.ioubi:'t3 пгллиона, а указанная ь1 зло грушга одна и:» исрвга в списке прсэтк l'pynn, пордадот ко-Тор'"/. ГГ. СИОСХОЧЛТ ГЛЛЛКОИ.

Г с :o,)uo". подход состоят в сяедуздец. Ранг подстановочного п. „гстаглошгл грулш б» на г.зю-.естпо сге-хпнх классов но лодгруппе и соепрдпот с гислогл различтос двоГшрх стежннх iv/acoon по Н :) P'13."0"'chti:i группе fi [7J Если & = ■л (J.* UxiM ~ l'satosceii'Tö групп»' Q на двойпге с^ешп'э гллссг по подгруппе /У , то «•■■дотялоионое продставленио J> ■ -\п ;пг С га mrnmc классах 6/Н ость прямая суша ••->лстлкозо"т,х 11ро 1 i.ста:v:онг:i-i J»; , , * , подгруппы И

■¡а 'tre-xaivr-jcoax' б • по И . летцих в одном двокном с еглсп классе , соответственно. Смеанге классы из W*;H

образуют орбиту Ai для иодгруппн Н /лодорбиту для £ /, 1=0,...} к . Число с; о'оп.-х классов б» по И . леяаг.ук d уретре Д. , называется подстоппныэ группн & •'. Представление Ji'i зим-тяленгно подстановочно: ту представлению подгруппа Н на сект-ос классах по подгруппе а H/if^//jCt- • Слеяомтелмго, ¡Нi- стабч.'Шзатор точки из я под-го v 1 по И язогорчен Ri .

Tarn 0rtp.?30i:, йзу-'вчпе подст&лово ¡них прсдстамзи:;;'. с'о.гптсл i: опр-экс.тсяи» тгяроевпойк?. /?{= Ийх^Иц Аы< гши-го сг''1^,.тл::за?ори дзрх то te:t в ¡'рупт; £ _ / инд^'.оо;;

Я/я группы Sc (¿) вычислены подстепени и определены стабм и заторы ¿бух тачек нояставовоччш пред ста меняй по ъсе^ ее максимальным подгруппам /всего их ъосе*п/. представления

-Н-

по подгруппам Ц|?):2 . S^ , . •

оказались дистанционно транзитивнгш, что полностью согласуется с результатами работа .

С каждым подстановочном представлением группы на смежных массах по подгруппе . // г.кпно связать тр;шзитивннй граф /отметим, что здесь и в дальнейшем, под градом мг будем понимать граф без петель и краттх ребер/. Определяется такой граф следующим образом.

Пусть б - транзитивная группа подстановок па множества ^ , 1-С1/а П. , , - стабилизатор точки Л в группе (я . Тогда множестве Л разбивается з точности на Т орбит / Ч. - ранг представления/, относительно действия стабилизатора точки <к : „

О и)-* £¡(<1)* ... + й^Ы) , причем

4 ¿1(1*) и пусть I« / Г £ I ^бЛ,

Если 4 - некоторая нетривиальная орбита, тогда мояно определить граф ГГ) с Гшонеством вершин -О. и шо-жеством ребер 4 следующим образом: вершина «I соединена ребром с вершиной £ , если ^Ьб АЦ) . Если орбита Ц симметрична, то есть, из того, что А(Л), , следует, что «(¿Л^З) , то граТ) Г(-В-) А) превращается в неориентированный граф.

Каждому такому графу соответствует матрица сг.е.жности, строки и столбцы которой индексированы элементами из -12- , причем на пересечении строки и столбца стоит I или О в зависимости от того, принадлежит ли орбите А(р>) или нет.

Если 1.}ушу (м рассматривать как группу линейных преобразований комплексного' пространства V . базисом которого е 4

яичягатся элементы из , то множество всех комплексных мат-

риц размера п.* л , поэлементно коммутирующих с (ч , образует алгебру (Д , которая называется иентраиизаторной алгеброй группы & . Ролее того, :*атриш смежности, определенные относительно каждое из орбит , А0°Е, , }

образупт базис это'П алгебры. Алгебра *А полупроста и поэто-гу г'.охет бгть разложена б прямую суг.азу простых подалгебр. В работе [ 2] указано, что кратности простых подалгебр в разложо-нги алгебры с/1 разпы степеням неприводимых компонент подстановочного характера группы £ .

Наконец, с алгеброй связаны матрицы пересечений, которое гпет^го ввел Д.Хитаан [и] . Они определяемся базисом 4-1-1 сяедудиак образом:

где - подходящие целпе неотрицательные числа.

иелоппсхеиине гатршш размера . Их важность состоит в

том, то они полностью определит кратности простых подалгебр в рлзлопеияя а?:гебрп Л и, .следовательно, степени неприводи-гагх ;согпонент подстановочного характера .группы й " .

Ухонио эту спязь исподьзотзач С.Нортон при доказательстве единственности групп» '.ст'ерэ-Гписеа F^ .

Авторат укачснн гуго. счтаринс свойства уатрип перосочеш-'*, а т;гт'.е уотпло?лоно, ,г?о тгнамчие иатртг пересечений сеодит-с/г к опт.сцслс1пг.) индекс«;) стабилизаторов трох точек б соотвот-ст?'.т1"пх стае':г.'|'/заторпх тлзух */о »ох подстшюззо того п/едстапле-чт:я гру-'т С|

Относительно матриц пересечений можно определить сдодую-чук> диаграмму Для гра<ра Г :

I. Вердакы града Г разбивается на т орбит Л1 , ¿•О, . число вериин а которых раьно

- ß-

2. Из катдо!'; вер.ппш орбиты ¿¿ ьи>: о mit робер к

вера'ша-л орбиты ¿j , где О * C^j Í 1-1.

Опевидио, что та;:ио объекты очень удобн" прл язупоикя конечных простых групп, поскольку группа С» :х"стпуот тран-зитивно на вершчнпх и ребрах гра-а и я-ляется подгруппой в группе автоморфизмов: С - ¿ Г.

Млнжалыгим траизагпзнсм гра'ом коночной просей группы & назовем rpaj Г" , удовлетворений с.-.огуа;и«л трсц условиям:

1. fi тралзг.тигшо действует на ьориг.нах гра>а Г .

2. G содор"ится в Aul Г ь каче-етьо идпнет^ишюго неразрешимого компогшшюпного i актора.

3. При условиях I :: 2 rpa¿> Г . п..:оот нл::. .-опьшее число ьорцглн.

Вторая глава дассоруацни поешхша постриыка ; ;ш::«а".ьш-•сршпктлши'х градов kohomiU-x простнх групп ранга 3. Зичкилеии матриин перессений и построен! такие граЛы для групп .ижевского типа (J} CS") . Uh (2) , Sc(2) . a т.-исо спорадических гтупп J4 , HS , Nc , Rü ' Suz < fi»t » fitli . Эти rpajr tíi-aa v-asecTim piuioo, подкол/,'-.y .•ш-заши'« bito спорадические групии tíivw иосгроеии ::сходя из подстановочного представления ранга 3 п ссотпетствунадзго гра^а, кш показало а работах [ 10-13, 15, 16, 18 J .

Из ¿6 спорадических групп алышв тракаитивнге неизвестны для следующих г .у vi F^ , , , F$ , «/» , Л . , Со, .

3 третьей гласе автором uoot¡oe-Kt' :;:-':ы!го трыктпв-Н'-е гра'ч: , ,"я спор«спчссь"'Х гругп Хоньея С«4 С»|

3p--.6o.ve [ 17] изг'нчо «микиалыюс i¡ víT'«oi.o«moe пред-

г.«ушп' Ce, по подгруппе Uc(2)-2. Оно ниоет ранг

vi'jur"- ■ >, !* coocne,rcTj3y.ji,:::î' этому представлении грач нг.юот уо;.у :?п :аг;-а гу:

378 567

© S9I_________3Z4_(g)

,"каггп:.:.:а I.

-, ;v,,0,< ..0 покпзшот, что группа гашклор'ахаов этого

г;-;': 1 -.¡¡с opjua группе Со, . 7ас.:м сбралон, это U'iart-aiwiinî Tr.'4[:""i'". '!■ ryV лулППГ Сог .

"•ж от Д.ГорлюгеЧк [2J , (».^уюгг.чнгЯ по,г,ход воз-

: о"?;!, тверчо, " i! случае rpyimr COj . Лптором осуществлен

г' 1!': Т'З ОгН'.ЯЛПГл результатов ТГПТЬОу .Vif1!:!! начнется ъ>1клу,>:т

"¡•'Ол I. Тусть Ji - !!о.чст?даовочноо щодстшшеике групп'/ Coj па с::о""!гу, классах по подгруппе H У , np:rsr.i /СЦ: HSl * Т1178, то:-? а

1. JQ - '-ог рг-.пг i'r " it : * I wrraj

2. ,;,т.::!1' 1кл?у:"мал op'UïT /полете s'сип для грунт' Cflj /

3. -У'-'.il r>v\< мпух то"ок игенставлеиня J* соогпетот-гзл.чо -о о:, ;,»• 0i(S)) ^ЦЬ) , NH >

4. :!одсr.''!!OïîO'nn'îl ::r>prtr.wp £ a-j .ч стеатит J* г.гзрт ела а . ;<т о if-- •)'?.); лзо.цл.'.тэ ::o:,:;:ohoiiti::

X > i П.'5ч + !Л5а + 20Ма +■ П8С.5а. Вл.-iio лмпптсл >о?т била впзелеиа t.mp.'.iM че-

Dccc-'i-:r:;s о го го nouera ¡овочного и;г;дстаа>,'' пя, которая катио-птт 5 он юпе.-я.-г отню нелгнвод"-:"Х характеров и яает для

транзитивного графа Q следующую диаграмму:

соответствующего представлению J.

©

352

175 УУ

II/

II

'165

165

О

Г>0->—-240

G4

-22А& 64

Днаграп.а 2.

Следующим основным результатом третье" главы является ТЕОРЕЫА 2. Граф ij является тшшгжи транзлтившш граХом группы Со3 . Еодеетого, >4u£ ^ - Coj

Далее, для подстановочного представления группы Со\ . с1.:е;кнпс классах по подгруппе автором построен транзи

тивный. грар /J , имеющий следующую даагра'&у:

©

4600

892

24 64 >"2048

275" -v/—N/ 2025 ' Ü7I04)

2об0

ij:arpa'.:.:a 3.

дэкагша сг.г.ху:;.:',ая теорема:

• ТЕОРЕМА 3. Гра1) является минимальным транзитивным ра$ом группы Co¡ . Более того, AuL =■ COj..

Все результаты получены автором самостоятельно. Для до-азательства основных результатов использовались методы тео-ли конечных групп, теории представлений, алгебраической ом-пнаторпки. Все результаты являются новыми, нося г теоре-ический характер и могут быть ¡гспользоваш при дальнейшем зучении конечных простых групп.

Диссерташя изложена на 70 страницах, состоит из введе-ия и трех глав. Библиография содержит 24 наименования. Все бозначения соответствуют Атласу конечных групп [9J .

Результаты диссертации докладывались на XI Всесоюзном ;ш.тозиуме по теории групп /Свердловск, 1989/, на семинарах Алгебра и логика", "Теория групп" в Новосибирском государс-■венном университете /1988-1990/, на семинаре по теории групп гри Институте математики и механик" УрО АН СССР /1991/, на 'евдународной конференции по алгебре /Барнаул, 1991/, на i.i-'ебраическом семинаре при Челябинском государственном универ-;итете /1991/. Они опубликованы в работах {20-24J .

Автор Bi'pavíaeT глубокую признательность своему научному руководителю профессору 3.Д.Мазурову за постоянное внимание i всесторонпю.о поддержку.

ЛИТЕРАТУРА '

X. Раннсш Э., Ито Т. Алгебраическая комбинаторика.- М.: "ир, 1987. - 371с.

2. Горенстейн Д. Конечные простые группн. - М.: Мир, 1985. - 352с. • '

3. '¡валов A.A., Клин M.X., ^радяос H.A. пртглтлвшш представления неабелевнх простых групп порядка тоньше [О1*, часть :.

Москва, 1982. -40с.-(Препринт/ m СССР 1я"7.\Х\) .

4. Иванов A.A., «гараштев П.А. Синтез дпстонгеюнно транзитивных представлений конечной просто"; группы по се тасл;:не характере . - Москва, I9E8. -35с.- ('.¡репринт/ Л' u;J? í£:í::ü::)

■5. Мазуров З.Д., 'I'Or.iT'H A.íí. О конечных простых ¡¡^¿еловых группах// Мат. заметки. - 1933. - 34, Г6. - C.62Ï-324.

6. Мазуров В.Д., Мазурова И.П. ¡.¡ишильльное подстшовочиое представление группы Тошсопа// Вопросы алгеорц. - ."/шик, I3bv. - УА. - C.IIG-T23.

7. Холл IL Теория групп. - 1.1.: ПЛ, I9G2. - 4Goo.

8. Bon J. j Сой«« 4. H-, Сиу реи И. ^átopU zdoUd lo HetJ's cjroup//J. 9,- л/ь.-с. е-ге.

9. J.H.,Cmlli В.Т.,Жг1оп S.P.,P*i(let H.A., Wilson H.A. Alias о/ $itlle <jtotif)s.- Otfoid: C&i«W«* Pxes\f /915". - 2«c.

10. Conway J-H., Woü« j D.B. Coaiitudion of Ht Uw-êcs дюцр of oiJei №№ M ООО//J.Aê^io.- Л?, V 3. - с. 53í-5«8.

11. faciei В./. Fi nil* tjtoys ^enetoiecl ¿y J-<*<j*s-

poilLUHS //Invent.„all,.-ISU^ -

12. HqMM., Waên D.R. J&e ^чоирл of oidex C04300//J. КЦеЧга.- Я,«кгС.ЬП- «50.

13. Û.6. Fl»île p^muUiion о/*

гояА г// Nail.I.-mt-ikS- m.

14. Hi<¡mа» О.С. InUrKcllon. Moíticea /¿"iíe peiHbtoUor. qtoufit

_ i l-

15. Hi^«*»®«- D.&., CtM« CU. A slupft ¿jfoup of oxdtl kk 3SZ ООО // Moil 2. - fítt. - ios, л/г. - С. UO-UÎ.

16. HclaujMin J: À <l»pée pouft of n ШШООО// A postum Btauet.-Vew тэ.-C.tOB-UÙ

17. ÇmIIR П. A cÁaiocieti zqILoh of Ш . г'Сойшпу sin pis <}toup//J.Aty(ia.-«Hf. - U, W. - С. HC.

18. Suzuti N. A U*plt tjXùup of aide* ЩМГбСО//

A Zympb-iium b\au*t.-Mtw %\kt CUÍ-U9.

19. WletonJl H. Finite, pexmtltxllox tj\oupz.-- AcoJcmU P*<t,t ШЬ.

Работы автора по теме диссертации:

20. Чукалов H.A. Примитивные представления группы (i) // XI Бсес. сш.шозиум по теории групп: Тоз. сообщ. - Свердловск, I9SÍ. - С.129.

21. Чуканов H.A. Матрицы переев' ений и минимальные тран-•ативные rpavu конечных просты: груш: ранга 3/ Сиб. мат. журн. Новосибирск, 1990. - Ile. - Рукопись деп. в ВИНИТИ 5.II.90, .V& 4I-B90.

22. Чуканов H.A. Примитивные npi-дставлен^я конечной просто» группы ¡¡¿О) / Сиб. мат. -чурн. Новосибирск, 1991. - Юс. -P^orttfcb деп. в ВИНИТИ I5.0I.9i, JÎ24;-B9I. '

23. Чуканов H.A. Минимальный тр. .зэитивный граф спорадической группы Со3 / Сиб. мат. журн. Новосибирск, 1991. - 12с. -Рукопись деп. в ВИНИТИ 15.01.91. 524'' -B9I.

24. Чуканов ¡I.A. Шнимачыше транзитивное графы спорадически* групп Со, и Со3 // Мз:кдунар. :1лгебр. конф. : Тез. сообщ.

Барнаул, TS9I. - 0.124.

Тип.АЧО.Баг 8 127.Тираж Юа.' 19.03.92г.