Медленные движения высокочастотных недиссипативных механических систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

?Г5 ОА 1 5 ДНК 1325

На правах рукописи

Воронин Александр Александрович

УДК 531:629.7

МЕДЛЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ НЕДИССИПАТИВНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 01.02.01 - Теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1996

Работа выполнена в Волгоградском государственном университете.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Л.Д. Акуленко,

доктор физико-математических наук, профессор Ю.А. Садов, доктор физико-математических наук, профессор А.И. Кобрин.

Ведущая организация - Вычислительный Центр РАН.

Защита состоится "¿У" 199^г. на заседании диссертаци-

онного совета Д 002.40.01 при Институте прикладной математики им.М.В. Кепдышыа РАН по адресу: 125047, Москва А-47, Миусская пл., д.4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМ им.М.В. Келдыша РАН.

Автореферат разослан "20 " '11995г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Полилова Т.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В течение нескольких последних десятилетий происходит интенсивное развитие областей механики (теории колебаний, теории автоматического управления и др.), связанных с изучением систем, описываемых сингулярно-возмущенными обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Одной из таких областей является динамика искусственных спутников Земли (ИСЗ), и в частности, создание и эксплуатация систем пассивной ориентации ИСЗ. Такими уравнениями здесь описывается вращение спутников под действием больших моментов, и, в частности, спутников с аэродинамическими, магнитными, гироскопическими системами пассивной ориентации. Необходимость разработки новых перспективных систем ориентации и управления ИСЗ обуславливают актуальность изучения уравнений движения гироскопических и других высокочастотных механических систем, движение которых описывается сингулярно-возмущенными дифференциальными уравнениями.

Цель работы состоит в развитии общих методов исследования медленных движений высокочастотных недиссипативных механических систем, и в частности, относительного движения ИСЗ с пассивными системами ориентации, использующими стабилизирующее действие больших моментов, и исследовании некоторых конкретных систем пассивной орпентаццп указанного вида.

Научная новизна. В диссертации доказан ряд общих теорем о свойствах решений начальной и периодической краевой задач для бы-строосциплируклцих сингулярно-возмущенных обыкновенных дпффе- • ренциальных уравнений, при помощи которых исследованы медленные движения недиссипативных высокочастотных механических систем, и в частности, вращения искусственных спутников Земли в режимах пассивной трехосной аэрогироскопической п магнитогпроскоппческон и одноосной гироскопической ориентации.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре "Динамика относительного движения" нод руководством проф. В.В. Белецкого п проф. Ю.Ф. Голубева (МГУ, 1987г.), II Всесоюзной конференции по нелинейным колебаниям (Горький, 1990г.), VI международной Четаевской конференции (Казань, 1992г.), международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 1994г.), международной конференции "Современные проблемы математики и механики" (Москва, 1996г.), IV

международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 1996г.), научном семинаре академика В.В. Румянцева и д.ф.м.н. A.B. Карапетяна, семинаре "Ориентация и управление движением" под руководством проф. В.А. Сарычева (ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1996г.)

Диссертация содержит 353 страницы, включая 57 рисунков и 1 таблицу.

ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ

Несмотря на широкое использование в космической технике активных систем управления, пассивные системы ориентации ИСЗ сохранили свое значение при длительном времени их функционирования и не слишком высоких требованиях к точности ориентации. Пассивная ориентация осуществляется действием на спутник внешних моментов естественного происхождения (гравитационный, магнитный, аэродинамический и др.), а также гироскопических моментов со стороны размещенных на нем роторов. Управление движением достигается здесь созданием необходимых динамических характеристик спутника и сообщением ему заданных начальных условий.

Исследование динамики спутников с пассивными системами ориентации требует углубленного изучения их движения относительно центра масс. Изучение такого движения целесообразно начинать с исследования идеализированных моделей, в рамках которых можно во многих случаях провести достаточно полное исследование как ориентированного, так и возмущенного движения спутника. В то же время во многих типичных задачах динамики ИСЗ идеализированные модели позволяют получить весьма важные результаты: оценить максимальную точность и длительность режима ориентации, получить представление об устойчивости движений и т.п. . Кроме того, идеализированные модели позволяют лучше раскрыть механическую природу наблюдаемых явлений.

В этих моделях обычно предполагается, что спутник является твердым телом, вращение которого не влияет на его орбитальное движение. В этом случае система уравнении вращательного движения имеет. шестой порядок и, как правило, либо автономна и обладает интегралом энергии, либо ее правые части являются периодическими функциями независимой переменной.

Трехосной ориентации спутника отвечают стационарные решения этой системы пли ее периодические решения малой амплитуды. Одноосной ориентации спутника отвечают такие движения, в которых одна

из осей инерции спутника либо неподвижна в рассматриваемой системе координат, либо совершает малые колебания, а движение спутника вокруг этой осп не контролируется. Наличие периодических движений в этом случае существенно облегчает исследование режима ориентации.

Одпн на подходов к построению систем пассивной ориентации эснован на использовании относительно большой- величины некоторых внешних моментов. Уравнения вращательного движения та-шх спутников содержат большой параметр и являются сингулярно-эоомущенными.

Сингулярно-воомущенную систему обыкновенных дпфференциаль-шх уравнений (СВС ОДУ) (или систему обыкновенных дпфференци-шьных уравнений с большим параметром) можно записать в виде

ú = U(t,u,v), v = hVa(t,u,v) 4- V(t,u, v), (1)

<

де и G R", v € Rm\ U, V<¡,V - вектор-функции соответствующей >азмерности; h - положительный большой параметр. Второе уравне-ше системы (1) часто записывают в видё

sv = Vo(t, и, v) +- sV(t, и, v), е = h~l.

1аряду с системой (1) рассматривается вырожденная система

ü=U(t,u,v), ñ(t, м, w) = 0, (2)

олучающаяся по (1) при h —» +оо. Обычно предполагается, что вто-ое уравнение (2) имеет изолированное решение v = v°(t,u) или гмейство решений, зависящее от нескольких параметров.

Уравнения (1) встречаются, например, при изучении способов орп-ггации, использующих стабилизирующее действие на спутник аэро-инамического и магнитного механических моментов.

Аэродинамический момент используется для ориентации продоль-эй осп спутника по касательной к орбите. Форму внешней оболочки гутника выбирают так, чтобы при отклонении этой осп спутника г вектора набегающего аэродинамического потока (совпадающего в сучае круговой орбиты с касательной к последней) возникал восста-шпивающий момент. На высотах менее 500км такой момент может

достигать ¡значительной величины,'что приводит к появлению большого параметра в уравнениях вращательного движения.

Дня ориентации продольной оси спутника вдоль вектора напряженности геомагнитного поля используют магнитный момент. С этой целью на спутнике параллельно его продольной оси устанавливают постоянный магнит. Вектор напряженности геомагнитного поля меняется вдоль орбиты по величине и направлению, и продольная ось спутника совершает относительно него вынужденные колебания. При достаточно большой величине дипольного момента магнита амплитуда этих колебаний мала, и, тем самым, достигается одноосная ориентация спутника. Члены уравнений вращательного движений спутника, описывающие действующий на такой спутник механический момент со стороны геомагнитного поля, пропорциональны большому параметру.

В двух приведенных выше примерах большой параметр характеризует большие потенциальные силы. Другой класс механических систем, приводящий к сингулярно-возмущенным дифференциальны уравнениям, возникает при исследовании систем ориентации, использующих стабилизирующие свойства гироскопических устройств. Примером таких систем может служить спутник-гиростат, представляющий собой твердое тело, несущее вращающийся с постоянной относительной -угловой скоростью ротор. Большая величина кинетического момента ротора обеспечивает одноосную ориентацию спутника в аб-' . солютном пространстве. Й таких задачах большой параметр характеризует большие гироскопические силы.

Сочетание гироскопического и восстанавливающего аэродинамического или магнитного моментов позволяет достичь трехосной1 ори-. ентапии спутника. Дополнение гравитационной, аэродинамической, магнитной и других систем пассивной ориентации гироскопическими устройствами часто используется в космической технике. Однако создаваемые этими устройстами гироскопические моменты, как правило, невелики, и прецессионное движение гироскопов, часто сопровождаются вязким трением, используется для диссипации энергии колебашш. В случае же большой величины кинетических моменте» роторов ох прецессионное движение может быть использовано для реализации на его основе режима ориентации.

Характерное свойство уравнений (1) заключается в наличии "медленных" и "быстрых" переменных, а также в различной поведении решений этих уравнений в ^-окрестности многообразия

• г>)=0, (3)

где могут реализовываться медленные движения, и вне его.

В СВС ОДУ, описывающих движение механических систем, большой параметр, как правило, характеризует управляющие воздействия, имеющие целью приведение их траекторий в ¿-окрестность многообразия (3). При этом возникают задачи установления условий существования медленных движений и их точного или асимптотического построения.

С математической точки зрения исследование режимов ориентации в приведенных выше случаях сводится к исследованию вопросов существования и изучению свойств "медленных" решений СВС ОДУ, скорость изменения переменных в которых остается, конечной при стремлении большого параметра к бесконечности. Соответствующие этим решениям траектории часто могут быть использованы для реализации ориентированного движения. (В некоторых случаях они образуют интегральные поверхности медленных движений.)

Идеализированные недиссипативные модели высокочастотных механических систем, обладая рядом преимуществ, приводят однако к наименее изученному типу СВС ОДУ. Такие системы Допускают частотные резонансы, значительно усложняющие поведение их траекторий и исследование вопросов существования их интегральных поверхностей и периодических решений.

В случае механических систем, обладающих свойством сильной диссипации - диссипации энергии быстрых движении, в уравнениях (1) матрица имеет отрицательные вещественные части, и уравнения (1) обладают устойчивым' интегральным многообразием, расположенным в ¿-окрестности многообразия (3).

В случае нулевых вещественных частей собственных значений матрицы

(lt) (этот случай обычно называется критическим) стремление траекторий системы (1) в £-охрестность многообразия (3) или (в ослабленной форме) невыход траекторий системы (1), начинающихся в fj-окрестности многообразия (3), за пределы его ^-окрестности может обеспечиваться свойствами функций U, Vo и V. Уравнениями этого типа описывается движение недиссшТативных пли слабоднссппа-тивных высокочастотных механических систем, и в частности, систем гироскопического типа. При этом функция Vo имеет вид G{u)v, где G(u) - кососимметричная матрица, и уравнения (1) допускают существование устойчивой интегральной поверхности медленных движений в случае отрицательных вещественных частей собственных значений матрицы (|£) (что означает наличие в механической системе

слабой диссипации - диссипации энергии медленных движений).

Исследование уравнений движения гамильтоновых и других недис-сипативных высокочастотных систем, описываемых СВС ОДУ, проводилось В.В. Сазоновым. В рассмотренных им задачах большой параметр характеризует потенциальных силы, действующие по части обобщенных координат. На основе предложенных В.В. Сазоновым подходов в диссертации развиты методы исследования медленных движений высокочастотных недиссипативных механических систем. В уравнениях движения этих систем большой параметр характеризует действующие на них (в различных сочетаниях) гироскопические и позиционные силы. Развитые методы используются при анализе динамики ИСЗ с некоторыми конкретными системами пассивной ориентации.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит введения, пяти глав и заключения.

В главе I рассматривается аэрогироскопическая система трехосной пассивной ориентации ИСЗ, упрощенной моделью которой является спутник-гиростат, внешняя оболочка которого представляет собой сферу большого диаметра с центром, смещенным относительно центра масс спутника, что обеспечивает создание потенциального восстанавливающего аэродинамического момента. Кинетический момент спутника направлен перпендикулярно прямой, проходящей через центр масс и центр давления.

Научается вращательное движение такого спутника под действием аэродинамического и гравитационного моментов на круговой и слабоэллиптической орбитах. Это движение описывается системой дифференциальных уравнений шестого порядка. Предполагается, что аэродинамический момент и собственный кинетический момент гиростата велики и им отвечают в уравнениях движения большие параметры х и Н .

В случае круговой орбиты эти уравнения автономны, обладают симметрией и допускают обобщенный интеграл энергии и устойчивое стационарное решение, отвечающее положению равновесия спутника в орбитальной системе координат. Это решение естественно принять в качестве номинального невопмущенного движения спутника в режиме трехосной ориентации. При этом возмущенное движение представляет собой суперпозицию быстрых колебаний: нутационных с частотой ~ Л и амплитудой ~ Л"1 и колебаний под действием большого аэродинамического момента: с частотой ~ у/х амплитудой ~ 1/^/х,

& также медленных прецессионных колебаний с частотой ~ \Jx/h и амплитудой, пропорциональной начальным возмущениям по утло--вым переменным. Таким образом, поскольку погрешность ориентации связана, главным образом, с ошибками в задании угловых скоростей, большая величина параметров h их способствует локализации возмущенного движения спутника в окрестности стационарного решения и практически сводит его к медленным одночасготным колебаниям.

В окрестности положения равновесия этим колебаниям отвечает двухпараметрическое семейство периодических решений Ляпунова. Это семейство построено численно методом "продолжения периодических решений по параметру", разработанному В.В. Сазоновым.

- Вместе с тем наличие большого параметра в уравнениях движения спутника позволяет иначе подойти к построению режима его трехосной ориентации. При h = оо , х = ah{a = const) система уравнений движения вырождается в систему второго порядка, общий интеграл которой представляет собой двухпараметрическое семейство периодических решений (колебательных или вращательных) с частотой ~ л/а, близких прецессионному движению спутника.

В виде формальных рядов по степеням ft-1 построена интегральная ' поверхность уравнений движения спутника, переходящая при h = оо в вырожденную систему. С учетом свойств симметрии уравнений движения и построенной формальной интегральной поверхности сформулированы краевые условия, определяющие принадлежащие этой поверхности периодические решения. Полученная краевая задача решалась численно методом стрельбы, причем в качестве начального приближения использовались решения вырожденной системы.

Как показали расчеты, исследуемая формальная интегральная поверхность почти полностью состоит из орбнтально устойчивых в первом приближении периодических решений. Эти решения не содержат быстрых составляющих и описывают главную часть возмущенного движения спутника. В окрестности положения равновесия они совпадают с построенными ранее решениями Ляпунова.

При некоторых значениях периода, являющегося параметром рассматриваемой краевой задачи, найденные решения испытывают ветвление, обусловленное резонансами между их медленной и быстрыми составляющими. Такое ветвление свидетельствует о расходимости построенных рядов. Последнее обстоятельство потребовало строгого доказательства существования рассматриваемого семейства периодических решений, в ходе которого одновременно доказано, что опнсы-

вающие интегральную поверхность формальные ряды почти всюду являются асимптотическими.

Найденное семейство медленных периодических решений можно использовать для описания более широкого класса номинальных невозмущенных движений спутника в режиме трехосной ориентации.

В §2 исследуется возмущенное движение рассматриваемого спутника на круговой и слабоэшшптической орбитах, причем основное внимание уделяется движениям в окрестности построенной в §1 формальной интегральной поверхности. Построена асимптотика возмущенных колебаний спутника на асимптотически большом интервале времени. Практическая оценка степени приближения возмущенных траекторий траекториями вырожденной системы и системы первого приближения проведена с помощью эвристических экспериментов путем численного построения точечных отображений Пуанкаре. Использование нескольких секущих плоскостей и проектирование полученных сечений на различные фазовые плоскости и плоскости направляющих косинусов позволило провести достаточно подробный анализ расматриваемого режима ориентации.

В главе II рассматривается магнитогироскопическая система трехосной ориентации ИСЗ. Ее упрощенной моделью может служить спутник-гиростат с закрепленным в его корпусе постоянным магнитом. Изучается вращательное движение такого спутника под действием гравитационного и магнитного механического моментов на круговой орбите в магнитном поле Земли.

Предполагается, что собственный кинетический момент гиростата и дипольный момент магнита спутника, велики и в уравнениях движения им отвечают большие параметры Л и х- Рассматриваемый спутник совершает относительно центра масс колебания, в которых . можно выделить несколько составляющих: медленные прецессионные колебания (с частотой ~ \Jxjh ) и быстрые - нутационные (с частотой ~ Л ) и колебания относительно оси ротора поД действием восстанавливающего механического момента со стороны геомагнитного поля (с частотой ~ у/х)- Дпя реализации режима трехосной ориентации спутника разыскивались его периодические колебания, близкие прецессионным и имеющие наименьшую амплитуду высокочастотных составляющих.

В §1 магнитное поле Земли моделируется полем диполя ось которого совпадает с осью вращения Земли. В этом случае уравнения вращательного движения спутника могут быть использованы только на ко]ютких интервалах времени - не более нескольких часов. Досто-

инством этих уравнений является то, что независимая переменная входит в нпх ^-периодически. Если период обращения спутника по орбите много меньше суток, то устойчивые 7г-перподические решения этих уравнений могут служить хорошей аппроксимацпей установившихся движений спутника, в том числе и его движений в режиме трехосной ориентации относительно системы координат, связанной с вектором напряженности геомагнитного поля, в течение орбитального периода. Построив такие решения для различных значений наклонения орбиты, можно судить о возможности реализации режима трехосной ориентации спутника на интервале времени порядка суток. Их построение проводилось с учетом наличия рассматриваемых уравнениях больших параметров Л и х ■

Аналитическими и численными методами, аналогичными методам §1 гл.1, построено однопараметрическое семейство симметричных периодических решений этих уравнений, близких периодическим решениям соответствующих вырожденных уравнений, и найдено их асимптотическое приближение. Исследована устойчивость этих решений в первом приближении. При некоторых значениях параметра (в качестве которого используется наклонение орбиты) найденные периодические решения испытывают ветвление, вызванное резонансами между их медленной и быстрыми составляющими.

Построенные периодические решения отличаются от найденных в §1 гл.1 тем, что амплитуда их быстрых составляющих с частотой ~ у/Х отлична от нуля и имеет порядок 0(1/%/х)-

Движения, отвечающие найденным периодическим решениям, можно использовать для реализации режима трехосной магнцтогпроско-ппческой ориентации спутника, главным образом, на околополярных орбитах (где их амплитуда является наименьшей) с погрешностью ориентации в несколько градусов.

В §2 для уточненной модели геомагнитного поля, учитывающей несколько членов в разложении гауссовского геомагнитного потенциала, Исследован режим трехосной ориентации этого спутника на длительном интервале времени, а также возможность описания его ориентированного и слабовозмущенного движения решениями вырожденной системы, порядок которой равен двум. Здесь так же, как п в §2 гл.1 построена асимптотика возмущенного движения спутника на асимптотически большом интервале времени и с помощью численного построения отображений Пуанкаре проведена практическая оценка точности описания возмущенных траекторий траекториями вырожденной системы. Использование различных секущих плоскостей п проектпро-

вание полученных сечений на различные фазовые плоскости и плоскости направляющих косинусов позволило провести достаточно подробный анализ рассматриваемого режима ориентации. Показано, что использованная в §1 модель геомагнитного шля позволяет провести качественно верный анализ ориентированного и слабовозмущенного движения спутника.

В гл.Ш исследовано влияние гравитационного момента на режим одноосной ориентации спутника-гиростата с большим собственным кинетическим моментом на круговой и эллиптической орбитах. На круговой орбите уравнения вращательного движения .спутника автономны и обладают интегралом энергии, на эллиптической - 2тг-периодически зависят от времени. Интегральная поверхность этих. уравнений построена в виде формальных рядов по целым отрицательным степеням большого параметра.

, В §1 для случая круговой орбиты аналитически построено двух-параметрическое семейство периодических решений, лежащее на формальной интегральной поверхности (размерность которой равна четырем), и найдено его асимптотическое разложение. В §2 для случая эллиптической орбиты аналитически построены изолированные 2?г-периодические решения, существующие при некоторых значениях инерционных параметров спутника. Как и в предыдущих главах, найденные периодические решения испытывают ветвление, вызванное резонансами между медленными и быстрой составляющими периодических решений. (Численное построение рассматриваемых здесь периодических решений и исследование ветвления проводились ранее В.В. Сазоновым.)

В §3' в виде рядов по целым отрицательным степеням большого параметра построены асимптотики траекторий слабовозмущенного движения спутника на асимптотически большом интервале времени и с помощью численного построения отображений Пуанкаре проведена практическая оценка приближения возмущенных траекторий траекториями вырожденной системы.

Полученные в главах I - III результаты позволяют понять главные особенности вращательного движения спутников с аэрогироскопиче-скрй, магнитогироскопической и гироскопической системами ориентации.

Способ аналитического построения периодических решений в гл.1 - III основан на подходе В.В. Сазонова к исследованию периодических решений СВС ОДУ. Этот подход использует предложенное Лихтенштейном сведение периодических краевых задач к интегральным

уравнениям с помощью соответствующей функции Грина. Существование решений этих уравнений доказывается методой последовательных приближений, сходимость которого устанавливается для значений большого параметра из некоторого неограниченного множества на действительной оси. Это множество представляет собой полубесконечный интервал, из которого исключены окрестности полюсов функции Грина. Именно этим полюсам отвечают резонансы между медленными и быстрыми составляющими колебаний спутника, приводящие к ветвлению исследуемых периодических решений. Для выделения <ю-люсов в явном виде уравнения подвергаются ряду преобразований.

В задачах §§1,2 гл.III имеет место критический случай. Для его исследования в §1 используется метод Ляпунова-Шмид та в варианте Хельдера, предложенный им для систем ОДУ с малым параметром и модифицированный В.В. Сазоновым для рассмотренного им типа дифференциальных уравнений с большим параметром. Разрешимость соответствующего бифуркационного уравнения обеспечивается в §1 наличием первого интеграла уравнений движения. В §2 бифуркационное уравнение разрешимо при некоторых значениях инерционных параметров.

В rn.IV эти подходы применяется для исследования медленных движений высокочастотных неднссипативных механических систем.

В §1 рассматривается консервативная механическая система, содержащая / гироскопов. Положение системы определяется 2т + I обобщенными координатами Х1,...,г2т, у>1,...,¥>/, ио которых уз],..., <р! — углы собственного вращения гироскопов, а х = (х1,...,Х2т)т — параметры, характеризующие направления осей гироскопов и положения подвесов. Предполагается, что система описывается функцией Лагранжа вида

1 2т 1 I 2т ...

Ь = £ £ ау(х)х,-х, + ± £ Ск( фк + £ а|ч(*)»4 )3 - Л(«).

Уравнения движения этой системы допускают обобщенный интеграл энергии. После исключения циклических координат методом Рауса и введения новой независимой переменной г = ЬгН уравнения движения системы приводятся к специальному виду.

Предполагается, что прецессионные уравнения допускают двухпа-раметрическое семейство периодических решений х = <р{т + гр,с) с периодом Т = Т(с), причем при с £ [ сь с2 ] система уравнений в вариациях для этого решения имеет единственное с точностью

до\ постоянного множителя нетривиальное Т-периодпческое решение <Мт + Го, с)/¿т.

При некоторых естественных предположениях доказано существование такого неограниченного множества I С [сх, сг] х [0, +оо) и таких положительных чисел Н, А1 и Лг, что при (с, Л) € I, Н>Н уравнения движения рассматриваемой механической системы имеют единственное 71-периодическое решение х,(г, с, к), удовлетворяющее оценкам

11^,00 - Иг,С) II < АгН-\ II - ^ II < Агк-\

Условие (с, Л) € I исключает из анализа реоонансы между медленными (с частотой 2к/Т ) и быстрыми (с частотами ~ Л.2 ) колебаниями.

Здесь же рассматривается случай периодической зависимости внешних сил от времени.

В качестве примера в этом же параграфе изучаются периодические колебания плоского гироскопического маятника. Доказано наличие у его уравнений движения двухпараметрического семейства периодических решений, близкого аналогичному семейству решений вырожденной системы, что означает в этом случае приемлемость прецессионных уравнений.

В §2 рассматривается обобщенно-консервативная механическая система с I степенями свободы, функция Лагранжа которой имеет вид

1 ' . . '

X) ■ • •. ¡ч)^]' + Е "¡(хь..., I1 ¿=1

2тп

4-а0(гь ..., я/) + Л[ £ к(х!,...,х2т)х; - Я(хь ..., хп) ].

1=1

Здесь X],..., XI - обобщенные координаты; к - положительный большой параметр; симметричная матрица (а1;)|;=1 положительно определена; 0 < 2т < п < I. В рассматриваемой системе большие потенциальные силы действуют по координатам XI,...,хп и описываются в Ь слагаемым ( —кП ), большие гироскопические силы действуют по координатам координатам Я1,...,х2гг1 п описываются в Ь слагаемыми Л(Ь1Х1-|-...+ Ь2ш^2т).

Уравнения Лагранжа второго рода для этой системы допускают первый интеграл (интеграл энергии). С помощью введения квазискоростей эти уравнения приводятся к специальному виду, позволяющему

асимптотически разделить медленные и быстрые движения.

Предполагается, что вырожденная система, отвечающая значению большого параметра, равному бесконечности, и имеющая размерность 21—п, допускает двухпараметрическое семейство периодических решений + с периодом Т(с). Система уравнений в вариациях для этого решения допускает единственное (с точностью до постоянного множителя) нетривиальное Т(с)-периодическое решение у>(4 + <о,с). •

При некоторых естественных предположениях доказано существование такого неограниченного множества 1\ С [с1, с2] х [0, +оо), что при (с, Л) е/ь к > Н уравнения движения рассматриваемой механической системы имеют единственное Т(с)-периодическое решение, с точностью 0(А-1) совпадающее с решением + Ц,с). Условие (с, Л) € 1\ исключает из анализа периодических решений резонансы между медленными (с частотой 2т/Т{с)) и быстрыми (с частотами ~ Л, и ~ Л'/2) колебаниями.

Здесь же рассматривается случай периодической зависимости внешних сил от времени.

Примерами рассмотренных механических систем могут служить спутники-гиростаты с большими собственными кинетическими моментами, совершающие колебания относительно центра масс под действием гравитационного и больших аэродинамического и магнитного механических моментов (рассмотренные в гл.1 и II).

В §3 гл.IV рассматриваются недиссипативные механические системы, испытывающие действие больших гироскопических и позиционных сил, характеризуемых большим параметром в соответствующих уравнениях движения. Доказано существование траекторий этих систем, близких траекториям соответствующих вырожденных уравнений, на интервале времени, длина которого является некоторой непрерывной, неотрицательной, монотонно возрастающей, неограниченной функцией большого параметра.

В гл.У изучаются асимптотические свойства решений быстроос-циллирующих СВС ОДУ.

В §1 гл.У для систем (1) и (2) предполагаются выполненными следующие условия:

1°. Для всех « € С и I € /, где 2?- открытая область в Д", / = [0, +оо), второе уравнение (2) имеет изолированное решение и = «ф(г,и), причем функция равномерно непрерывна в ограничена вместе со всеми своими частными производными.

2°. В области {и € Я, 11«-«"(*>«) II < 6, * € /} функции

U, Vq и V равномерно непрерывны и ограничены вместе со всеми своими частными производными.

3е. Собственные значения матрицы (ÊMibiJiiïH) ПрИ всех и € D, t G I либо имеют отрицательную вещественную часть; либо чисто мнимы и имеют простые элементарные делители.

Зафиксируем некоторое целое неотрицательное р и рассмотрим систему

ù = V?>(t,u, h-1) = £ h-'C/Wfru), (4)

Jt=0

V = vW(t,tt,A-1) s £ A-*H*)(i,u),

i=0

функции С/О и V'4' в которой определяются при подстановке этих рядов в уравнения (1).

Пусть <p^(t, Л-1) - некоторое решение первого уравнения системы (4), определенное при t £ I. Обозначим ао(р) = тпт[1, р/2], р > 0; ао(0) = 1/2. Доказано, что для любых чисел В\ > 0, Вг > О, а € (0, ао(р) ) существуют такие положительные постоянные Ci, Сг, H и такая непрерывная, неотрицательная, монотонно возрастающая, неограниченная при h —» +оо функция что при h > H всякое

решение системы (1) ti(t, h), v(t, h) с начальными условиями, удовлетворяющими неравенствам

р> 0 :

|| «(0,Л) — h-1) || < Bih~p~1, ||«(0,Л) - V.W(0,VW(0Л"1), Л-1) II < B2h-*-\ р = 0 :

1К0,Л)-р<в>(0)||<В,Л-а, , . и ^(0, Л) - ^»(0, vtd>(0), Л-1) II <

определено на отрезке 0 < t < x(ha) и удовлетворяет на нем оценкам ||»С*,А) - А-») II < СГЖЛ—

Il v(t,h) - VV(tt¥fi>(t,h-1), Л"1) II < Cth-»-1.

В случае существования нулевых собственных значений матрицы (ts?) предполагаются выполненными следующие условия:

rang( ^ >)=1<т, rang(—^-;—) = m. (А)

Для определенности считается, что невырожденными при всех t, и и v являются матрицы (i,j = m — l+l,...,m) и

(t = l,... ,m-l\j = n-m+l + l,... ,п) (0 < i < т.).

С учетом соотношений (А) будем предполагать, что при всех t, и a v существует такая непрерывная невырожденная матрица S(t,u,v), что

S-^S^idíriO, V],

где V = V'(t,u,v) - невырожденная I х í-матрица.

В системе (1) сделаем замену v —» Sv и введем векторы х = = (xf,... ,xJ)T, a¡i.= («i, -. ,u„_m+i)r, хг = (u^+j+i,... ,un)T, = (vi, • - • , t>m-i)T> x* = (fm-1+1, • • • ,fm)T И соответствующие им

вектор-функции Х0 = (0,0, Х°Т,Х%Т)Т и X = (X?.....Xj)T и

перепишем системы (1) и (2) в виде

x = hX0(t,x) + X(t,x), (1')

¿j = г) (¿ = 1,2), ВД*) = 0. (2')

Отметим, что функции Л,-0' (j = 3,4) в новых переменных имеют вид X! = X!(t,xu*2), х(=.ХЦ1,х1,хъх\).

' Предположим, что для системы (1') выполнены следующие условия:

Io. Для всех t 6 /, x¡ £ D, где D - открытая область в Дп_т+,) второе уравнение системы (2') имеет изолированное решение хг = = xS(t,xi), x4 = x»(t,x,).

2°. Уравнение относительно Хз

дх° Эх0

-q^ + Q^Xi(t,z¡,zJtxj,zt) = X2(t,x i,x2>x3,x4), полученное после подстановки функций х® и xj в первое уравнение

(2') при г = 2, при всех < € /, х\ € # имеет изолированное решение ®» = х!|(<,х1).

3°. В области { * е 6 2>, || а* - || < 6 (г = 2,3,4)} функции Ха и X равномерно непрерывны и ограничены вместе со всеми своими частными производными.

4°. Собственные значения А,(^х1,х!|,гз,х$) , г^х^х^.х^) 0 = 1к — 1,...,2(т —/)) матриц

для всех значений * 6 '/, х\ €Е Б отличны от нуля, имеют неположительные вещественные части, причем чисто мнимым собственным значениям отвечают простые элементарные делители.

Подставляя функции х!| , х\ и х® в первое уравнение (2') при г = 1 получим

X, = Х\ (*, X,), X? = X! (*, хъ х°, х°, х°). (5)

Рассмотрим систему:

¿1 = хЯ&хик-1) = £ к-кх{к)(г)Х1), (6)

1=0

х< = ^(«.хьЛ-1) г £ Ь-'Х^.Х!) (г = 2,3,4), к=0

в которой правые части определяются при подстановке их в уравнения (1). Пусть XI = А-1) - некоторое решение первого уравнения системы (6), определенное при I £ I. Обозначим А-1) = = (¿ = 2,3,4).

Доказало, что для любых чисел В\ > 0,... > 0 и

а € (0, 1/4) существуют такие положительные постоянные С\,..., Сч, Н и такая непрерывная, неотрицательная, монотонно возрастающая, неограниченная при А —♦ +оо функция хСО, что при Л > Н всякое решение системы (I1) Х{(<, А) (г = 1,..., 4) с начальными условиями, удовлетворяющими неравенствам

р> 0:

|| »¿(0, А) - ^>(0, А"1) || < (< = 1, ...4);

р= 0:

||х,(01Л)-^,)(0)||<В,А-а| || х,{0,Н) - ^(о.Лк/г1) || < Вгк'\ ||®|(0,Л) - ^(О, ¥,<>),/Г1)II < (» = 3,4);

определено на отрезке 0 < * < и удовлетворяет на нем оценкам

р > 0:

II Л) - гРО,/Г1) II < (« = 1,2; 2 = 3,4);

" - , ' - р = 0: ' ' ' ■ Н Л) - Л,Л"1) II < С.Л*"-1 - (« = 1, 4).

В' §2 гл.У рассматривается система (1) в предположении, что и, Уо и V периодически зависят от * с наименьшим периодом Т. В случае невырожденной матрицы будем считать выполненными условия 1° - 3°.

. Пусть система (2) имеет Т-периодическое решение и =

= с мультипликаторами, отличнымй от еди-

ницы. Согласно теореме Пуанкаре, при достаточно больших Л первое уравнение системы (4) имеет единственное Т-периодическое-решение Л-1), удовлетворяющее оценке

Доказано существование таких положительных постоянных С^ Сз . и Н , что при всех к> Н за исключением, может быть, счетного множества значений Л=7ц(А = 1,2,...), система (1) имеет единственное Г—периодическое решение и(*,Л), и(4, Л), удовлетворяющее условиям

II,;(*,Л) - рМ,Л-1) II < СгН-*-х.

В случае вырожденной матрицы предположим, что для си-

стемы (1) выполнено условие (А) п так же, как в §1 преобразуем ее к веду (1), а вырожденную систему - к виду (2). Предположим, что для систем (1') и (2') выполнены условия 1° — 4° и система (5) имеет Т-периодическое решение х\ — у^СО с мультипликаторами, отличными от единицы. Обозначим = <¿4°') (г = 2,3,4).-Согласно теореме Пуанкаре прп достаточно больших к первое уравнение системы (6) имеет единственное Т-перподическое решение ^(¿.Л-1), переходящее при к —> +оо в . Обозначил Л-1) = Х!ЦЧ*, (< = 2,3,4).

Доказано существование таких положительных постоянных Си..., С\ и Н, что при всех И. > Н кроме, может быть, счетного множества значений к = к^ (к = 1,2,...) система (1') имеет единственное Г—периодическое решение хД*, к) (г = 1,..., 4), удовлетворяющее условиям

1М*,Л) - Л,*-1) II < СУ»-^1 (* = 1.-.4).

В случае автономной системы (1) предполагается существование первого интеграла

Ф (и, V, к) = кФо{и) + Ф,(и, у) = согав*.

В случае невырожденной матрицы предполагаются выпол-

ненными условия 1° — 3°. Пусть автономная система (2) имеет двух-параметрнческое семейство периодических решений

и = + <о,с), » = + ¿о, с) = « °(р(0)(* + ¿о, с)) с периодом Т(с) = ¡¿^у и при с 6 [ С1, с2 ] выполнены соотношения

М4 . о дч№{г + и,С)

«¿с ' дс '

VI ои

Система уравнений в вариациях для этого решения при с € [cj, Cj] имеет единственное (с точностью до постоянного множителя) нетривиальное Т(с)-периодическое решение <p^(t + t0, с). Без ограничения общности положим to = 0. Рассмотрим систему (4) в случае р = оо.

Формальное Т(с)-периодическое решение этой системы и = <p(t,с, Л-1), переходящее при Л —» +оо в решение <p^(t, с) может быть построено в виде ряда

<p(t,c,h-1)=Zh-i<pi(t,c), t=0

в котором функции ft находятся при подстановке этого ряда в первое уравнение (4).

Обозначим

^"»(t)C,A-1)=EA-Vi(i,c)1 (Т)

к=0

i=О

Докапано, что для всякого с 6 [cj, С2] существуют такие положительные постоянные С\,Сг и Н, что при всех h > Н кроме, может быть, счетного множества значений Л = /it(с) (к = 1, 2,...) система (1) имеет единственное Г—периодическое решение u(t,c,h), v(t, с,Л), удовлетворяющее условиям

|| Л) - Л"1) || <

В случае вырожденной матрицы первый интеграл автоном-

ных уравнений (1') записывается в виде

${xu...,xt,h) = /i$o(xi) + $i(xi,...,i:4) = const.

Предположим, что для систем (1') и (2') выполнены условия 1° — 4° и условие (А). Пусть автономная система (5) имеет двухпараметриче-ское семейство периодических решений ¡гх = ¥>1°^(<-Ио| с), с периодом Т(с) = -¿щ и при се[сьс2] выполнены соотношения

¿с дс 81 56

дФо(<Р{?]) _

дхх

= »?о£0.

Система уравнений в вариациях для этого решения при с 6 [с1, сг ] имеет единственное (с точностью до постоянного множителя) нетривиальное Т(с)-периодическое решение Без ограничения общности положим ¿о = 0.

Рассмотрим систему (6) в случае р = оо. Формальное Т(с)-периодическое решение ее первого уравнения хх = ^(^с, А-1), переходящее при к —» +оо в решение можно построить в виде ряда

к=0

функции уц в котором находятся при подстановке этого ряда в первое уравнение (6).

Обозначим

= ХЖЧ>и(*,с), (8)

4=0

^п)(*,с, Ат1) = £ А-*х|1У1П)) = 2,3,4).

*=о

Доказано, что для всякого с 6 [ Сх, сг ] существуют такие положительные постоянные С1,...,С4 и Я, что при всех А > Я кроме, может быть, счетного множества значений А = А^(с) (/с = 1,2,...) система (1') имеет единственное Т(с)—периодическое решение (» = 1,..., 4), удовлетворяющее условиям

||х^,с,А)-#)(1,с,А-1)||<С1Л-"-1 (1 = 1,..., 4).

Приведенные утверждения доказывают существование периодиче-ких решений рассматриваемых систем дифференциальных уравнений 1) и (1') п одновременно устанавливают асимптотичность для почти «ех значений с и Л разложений (4), и (6) - (8).

Уравнения движения рассмотренных в главах I - IV механических истеи относятся к типу уравнений, изучаемых в гл.V. Некоторые •прощения в формулировках соответствующих утверждений в этих лавах связаны с индивидуальными особенностями рассматриваемых пстем.

В заключении кратко формулируются основные результаты рабо-

'Ы.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

Основные результаты диссертации состоят в следующем: 1°. Исследованы асимптотические свойства решений спнгулярно-юзмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений, оппсыва-ощих движение недиссипативных механических систем под действием ¡олыппх гироскопических и позиционных сил. Доказано существова-гие и построена асимптотика решений начальной и периодической :раевой задач для этих уравнений, близких решениям аналогичных >адач для соответствующих вырожденных уравнении. Исследовано 1лияние резонансов высокого порядка между быстрыми и медленны-т движениями рассматриваемых механических систем на характер >ависимости их периодических колебаний от большого параметра.

2°. На основе традиционных и предложенных методов проведе-ю исследование режимов пассивной трехосной аэрогироскоппческой п ¿агнитогироскопической и одноосной гироскопической ориентации пс-сусственных спутников Земли. При помощи чпсленных п аналптпче-:ких методов изучено ориентированное и слабовозмущенное движение шутников в рассматриваемых режимах ориентации.

3°. Доказан ряд общих теорем о существовании решений и асимптотики начальной и периодической краевой задач для бысгроосцпл-гарующих сингулярно-возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений, близких решениям аналогичных задач для соответ-гтвующих вырожденных уравнений.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. A.A. Воронин. Исследование движений спутника-гиростата относительно центра масс стробоскопическим методом.// В кн. Математические методы управления и обработки информации. М., in д. МФГХ Л 1986, с.143.

2. В.В. Сазонов, A.A. Воронин. Периодические колебания спутника-гиростата с большим собственным кинетическим моментом.// Препринт нн-та прикл. матем. им. М.В.Кепдыша АН СССР, 1986, N88, 28с.

3. В.В. Сазонов, A.A. Воронин. Периодические движения гироскопических систем.// Препринт пн-та прикл. матем. им. М.В.Келдыша АН СССР, 1987, N222, 28с.

4. В.В. Сазонов, A.A. Ворошш. Периодические колебания спутника-гиростата относительно центра масс под действии! аэродинамического и гравитационного моментов.// Космические исследования, 1988, Т.26, N4, С.492.

5. Воронин A.A., Салонов В.В., Периодические движения гироскопических систем.// ПММ, 1988, Т.52, N5, С.719.

6. Ворошш A.A., Сазонов В.В. Периодические колебания спутника-гиростата с большим собственным кинетическим моментом.// Изв. АН СССР МТТ, N1, 1989, С.З.

7. A.A. Воронин, В.В. Сазонов. Периодические колебания спутника-гиростата относительно центра масс под действием магнитного и гравитационного моментов.// Космические исследования, 1990, Т.28, N1, С.22.

8. A.A. Воронин, В.В. Сазонов. Периодические колебания обобщенно-консервативных механических систем под действием больших гироскопических н потенциальных сил.// Изв. АН МТТ, N6, 1992, С.17.

9. A.A. Воронин. Асимптотические свойства решений уравнении движения гироскопических спстсм.//ПММ, Т.58, N7, 1994, С.963.

10. A.A. Воронин. О зависимости решении сингулярно-возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений от большого параметра. // Математическое моделировании , 1995, Т.7 N6 С.70.

2-1

Подписано в печать 15.10.96г. 3aKaaV137. Тираж 100 эка. Отпечатано на ротштргезтах в Институте прикладной метематшеи АН