Механические модели пространственных структур молекул РНК тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи

004610912

Сабитов Денис Иджадович

Механические модели пространственных структур молекул РНК.

Специальность: 01.02.01 - Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2010

004610912

Работа выполнена на кафедре теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Е.И. Кугушев

доктор физико-математических наук, профессор И.И. Косенко

кандидат физико-математических наук, доцент A.B. Родников

Ведущая организация:

Вычислительный центр им. A.A. Дородницына Российской академии наук

Защита состоится 15 октября 2010 года в 16:30 часов на заседании специализированного совета Д 501.001.22 по механике при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного

совета Д 501.001.22

доцент

В.А. Прошкин

Общая характеристика работы

Актуальность работы. В работе рассматриваются вопросы, связанные с развитием, изучением и применением тонкостержневой механической модели пространственных структур молекул рибонуклеиновых кислот (РНК). Исследование таких структур является одной из важных задач молекулярной биологии. Применение прямых (физико-химических) методов изучения таких структур является сложной и дорогостоящей задачей. Исследование пространственных структур кольцевых молекул дезоксирибо-нуклеиновых кислот (ДНК) показало, что использование механических моделей при изучении таких структур может не только упростить решение поставленных задач, но и позволить изучать структуры молекул в тех случаях, когда это невозможно сделать прямыми методами. Используемая для этого механическая модель (тонкий прямой однородный стержень, замкнутый в кольцо) не может быть использована при изучении пространственных форм молекул РНК, пространственная структура которых может содержать систему кинематических циклов с определенными топологическими характеристиками. Описание такой структуры возможно в рамках тонкостержневой механической модели как система тонких упругих стержней, соединенных по заданным правилам и принимающих равновесные пространственные формы. Применение таких новых механических моделей при изучении свойств сложных молекулярных структур является важной и актуальной задачей, решаемой в рамках теоретической механики.

Цель работы. Применение классической теории тонких упругих стержней для развития адекватной механической модели пространственных структур молекул РНК; изучение свойств тонкостержневой механической модели; применение этой модели для построения пространственных структур реальных молекул РНК.

Научная новизна. Все основные результаты, полученные в работе, являются новыми, ранее неизвестными. Они базируются на классических методах теоретической и прикладной механики. Среди новых результатов следует отметить развитие тонкостержневой механической модели пространственных структур РНК. В отличие от известных подходов, модель основана на использовании тонких упругих стержней общего вида. Развит вариационный метод решения краевых задач для поиска равновесных состояний систем тонких упругих стержней с учетом топологических характеристик кинематических циклов. Аналитически показана корректность

тонкостержневой механической модели плоских форм кольцевых молекул ДНК. Решена задача идентификации геометрических параметров тонкостержневой механической модели по данным ренттеноструктурного анализа. Новым также является построение пространственных структур некоторых реальных молекул РНК.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретико-прикладной характер, полученные в ней результаты дают возможность изучать свойства систем, состоящих из длинных упругих нитей с поперечными соединениями.

Апробация работы и публикации. Результаты, представленные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:

- Конференция, посвященная 90-летию со дня рождения Алексея Андреевича Ляпунова, Новосибирск, 2001 г.;

- Научная конференция Ломоносовские чтения МГУ им. М.В. Ломоносова, апрель 2002 г.;

- Семинар по динамике относительного движения кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ под руководством чл.-корр. РАН В.В. Белецкого, проф. Ю.Ф. Голубева, доц. К.Е. Якимовой, доц. Е.В. Мелкумовой, 2002 г.;

- XII Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам. Владимир, 2003 г;

- Конференция молодых ученых Института механики МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 2004 г.;

- Пятый международный симпозиум по классической и небесной механике, Великие Луки, 23-28 августа 2004 г.;

- Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, Ростов-на-Дону, 2004 г.

- Семинар по аналитической механике и устойчивости движения кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ под руководством академика В.В. Румянцева, чл.-корр. РАН В.В. Белецкого, проф. A.B. Карапетяна, 2006 г.;

- Семинар им. В.В. Румянцева по аналитической механике и устойчивости движения кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ под руководством чл.-корр. РАН

B.В. Белецкого, проф. A.B. Карапетяна, проф. Я.В. Татаринова, 2009 г.;

- Семинар отдела механики ВЦ РАН под рук. проф.

C.Я. Степанова, 2010 г.;

Публикации. Основные результаты диссертационной работы изложены в печатных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Струюура работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух частей, в которые входят семь глав, заключения и списка литературы из 55 наименований. Общий объем диссертации -127 страниц.

Содержание работы

Во введении описана предметная область и цель диссертации -создание и применение механической модели пространственных структуру рибонуклеиновых кислот (РНК), дан краткий обзор работ, относящихся к указанной тематике. Приведено краткое описание содержания диссертации. В конце введения перечислены основные результаты работы.

Диссертационная работа разбита на две части. Первая часть (главы 1-4) посвящена описанию механической модели пространственных структур молекул нуклеиновых кислот и аналитическому исследованию некоторых её свойств. Во второй части (главы 5-7) рассматриваются вопросы, связанные с применением описанной выше механической модели РНК для построения пространственных структур молекул. Важными вопросами здесь являются методы решения краевых задач при определении равновесных форм упругих стержней и методы определения параметров модели.

Первая часть диссертации состоит из четырех глав (главы 1-4).

В первой главе описываются основные понятия, относящиеся к изучению процессов структурообразования биополимерных макромолекул. Дается краткое описание методов определения вторичных структур РНК. Пространственная струюура молекулы в тонкостержневой модели формируется на основе известной вторичной структуры. В завершении этой главы приводится общее описание тонкостержневой модели, с помощью которой можно строить и описывать пространственные структуры РНК и других биополимеров.

Молекула РНК представляет собой полинуклеотид - цепочку соединенных в линейной последовательности мономеров-нуклеотидов. В РНК нуклеотиды бывают 4х типов: аденин (А), гуанин (в), цитозин (С) и урацил (и). Нуклеотидная последовательность молекулы называется ее первичной структурой. Некоторые нуклеотиды в молекулярной цепочке связаны попарно т.н. Уотсон-

Криковскими связями. Структура этих связей называется вторичной структурой РНК. В силу конечности множества возможных Уотсон-Криковских связей число вторичных структур, которые может принимать данная молекула РНК, конечно, но весьма значительно. Определение реальной вторичной структуры РНК по ее известной первичной структуре является важной задачей, но в диссертации она не рассматривается. Под третичной структурой молекулы РНК (ДНК) понимается пространственная форма, которую принимает ее молекулярная цепочка в пространстве под воздействием Уотсон-Криковских и других более слабых потенциалов. Первичная структура у молекулы РНК одна, а возможных вторичных и третичных структур много.

Рис 1.1. Элементы третичной структуры РНК (слева направо): стебель, шпилечная петля, боковая петля, внутренняя петля, многозвенная петля.

С точки зрения вторичной структуры все нуклеотиды в молекуле можно разбить на два класса - спаренные (т.е. образующие Уотсон-Криковскую связь с каким-либо другим нуклеотидом) и свободные (неспаренные). Формально, вторичная структура РНК -это описание всех спаренных и свободных оснований в молекулярной цепи. Отрезок молекулярной цепи, состоящий из неспаренных оснований, называется однонитевым. Отрезки /я/, п2] и [п3, п4] спаренных оснований так, что П] спарен с п4, п1 +1 с п4 -],..., п2 с п3, образуют двухнитевый или двуспиральный участок во вторичной структуре РНК. Однонитевые участки (и семейства таких участков) называются петлями, а двухнитевые - стеблями. Стебель можно представить себе, как участок винтовой лестницы, где ступеньки - это поперечные Уотсон-Криковские связи (см. Рис. 1.1). Длиной стебля называется число пар оснований в нём: п2 - /?/ + 7 = п4-п3 + 1. Таким образом, вторичная структура РНК - это совокупность стеблей и петель.

Вторая глава посвящена изучению разнообразия третичных структур РНК. Пространственная структура молекулы РНК определяется ее вторичной структурой, причем разным вторичным

структурам соответствуют существенно отличающиеся пространственные структуры. В главе дается оценка различных вторичных структур РНК, которая также является оценкой снизу числа различных пространственных структур. Две молекулы, имеющие одну вторичную структуру, могут иметь различные пространственные структуры. В рамках тонкостержневой модели это объясняется тем, что в структуре могут присутствовать кинематически замкнутые циклы, состоящие из одного или нескольких стержней, и пространственные формы таких циклов в равновесном состоянии зависят от значения их топологических параметров (т.н. коэффициента зацепления цикла).

Будем называть длиной структуры количество Уотсон-Криковских связей в ней. Обозначим за V(N,n) среднее число структур длины п при случайном выборе молекулярной цепи, состоящей из/V нуклеотидов. Рассмотрим структуру длины п. В ней какие-то 2п нуклеотидов попарно связаны Уотсон-Криковскими

связями. Всего возможно Сдт" различных выборов 2п нуклеотидов. После того, как нуклеотиды выбраны, вторичная структура определяется системой связей между ними. Перенумеруем выбранные нуклеотиды последовательно от 1 до 2п и расположим их в вершинах правильного 2п -угольника. Соединим связанные нуклеотиды диагоналями. Каждой вторичной структуре взаимно однозначно соответствует набор из п непересекающихся диагоналей. Обозначим за s(n) число различных расположений п непересекающихся диагоналей в правильном 2п -угольнике, что отвечает рассмотрению вторичной структуры в виде хорд на окружности с выполнением стерического условия. Тогда (с учетом того, что вероятность

комплементарности выбранных нуклеотидов равна ) имеем

V(N,n) = \c2N"s(n) = ~ -Д(„) (2.1)

4" 4" (2n)\(N - 2л)!

Величина —1) =--rC^-i называется числом Каталана.

2п -I

Показывается, что верна следующая оценка:

п-2 k п-2 ^ £ 2

s(n)<ns2(и-1)<n(n-1)2s4(л -2)<...< -í:)2 <n*=° =n2

k=0

Поскольку s(n) > 2"-1, то

У(ЛГ,п) = — с1"${п)>-]-г———, (2.2) 4" л 2" (М-2 л)!

причём степень полинома от ТУ, стоящего в правой части, равна 2п. Отсюда можно сделать два вывода: 1) с ростом молекулярной цепи количество возможных вторичных структур, состоящих из п Уотсон-Криковских связей, растет как И2п, 2) с ростом молекулярной цепи количество всех возможных вторичных структур растет быстрее, чем любой полином (иначе говоря, скорость роста количества вторичных структур больше полиномиальной).

В завершение главы проводится оценка разнообразия структур двух классов малых РНК. Для малых ядерных РНК, длина которых = 30 нуклеотидов, а п около 5, число возможных структур составляет не менее 1.23232-106. Для транспортных РНК средние значения длины молекулы N=15 и количество Уотсон-Криковских связей составляет п=20. Из (2.2) получим: V(15,20) > 1.75679 1019.

В третьей главе дается формальное описание тонкостержневой механической модели третичной структуры молекул рибонуклеиновых кислот. Аналитически эта модель основана на использовании уравнений равновесия тонких упругих стержней. В полном виде уравнения выглядят следующим образом:

(1

(в2(си2 - В,«,(<», - й\°) - В3й1(<а, - ¿у") - ^ = 0 (3.1)

-(в,(<а -»"))+В3«,((И, -ю°)-В2<а(£У2 -<у°) =0

¿Б

е1з

(¡Я (¡5

—(3.2)

(15

(¡Г _

— = «а?3 х 5, - <у2ёз (3.3)

¿е, _ _ ¿1

Здесь - касательный вектор к осевой линии стержня, ± ^, ¿2 = £'з х £»| - образуют главный сопутствующий репер осевой линии стержня, совпадающий с репером Френе при повороте на угол в вокруг ?1; Г - радиус-вектор осевой линии стержня; В\ - крутильная жесткость, В2 3 - изгибные жесткости стержня; /*! - компоненты силы, действующей на левое поперечное сечение стержня в точке в; ¿у,- -вектор Дарбу осевой линии стержня в изогнутом состоянии; а® -вектор Дарбу осевой линии стержня в свободном состоянии.В соответствии с аналогией Кирхгофа уравнения (3.1, 3.2) совпадают с уравнениями движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой (возможно, с добавлением гиростатов). Уравнения (3.3) описывают геометрическую форму осевой линии.

Третичные структуры РНК составляются из простых элементов (стебли и петли). Для нахождения формы этих элементов необходимо решение соответствующих краевых задач уравнений равновесия. Предполагается, что вторичная структура молекулы известна. Вторичная структура разбивается на основные элементы: стебли, петли различных типов, однонитевые незамкнутые участки. В результате такого разбиения у молекулярных нитей, входящих в состав каждого элемента, образуются незамкнутые концы. Для каждого элемента строится трехмерная модель. Стебель представляет собой двойную спираль, параметры которой совпадают с параметрами двойной спирали А-формы РНК. Форма петель определяется путем решения соответствующих краевых задач. При нахождении формы однонитевых незамкнутых участков считалось, что их форма соответствует свободному состоянию тонкого упругого стержня, моделирующего молекулу. Все незамкнутые концы молекулярных нитей указанных выше элементов структуры РНК имеют относительную ориентацию, соответствующую двойной спирали А-формы РНК. На завершающем этапе построения пространственной модели молекулы РНК найденные элементы ее пространственной структуры соединяются в соответствующих незамкнутых концах своих молекулярных нитей. В результате этого процесса все концы молекулярной цепочки, которые были разомкнуты в результате разбиения вторичной структуры на элементы, оказываются соединенными, и нити элементов образуют единую молекулярную цепь.

Показывается, что однородный, нейтральный биополимер в пространстве принимает форму винтовой линии (Рис. 3.1). Это является обоснованием того, что в тонкостержневой модели стержень

в свободном состоянии имеет форму винтовой линии. Приводятся уравнения равновесия тонкого упругого стержня общего вида, описываются краевые условия для системы уравнений равновесия, необходимые для получения элементов структур РНК.

Рис. 3.1. Тонкий упругий стержень в свободном состоянии.

При заданных краевых условиях задача определения равновесной формы стержня может иметь более одного решения (даже счетное число решений). Геометрия этих форм может быть существенно различной, и, следовательно, биохимические свойства молекул будут также различны. Этот эффект возникает тогда, когда в структуре присутствуют кинематически замкнутые циклы, состоящие из одного или нескольких стержней, и пространственные формы таких циклов в равновесном состоянии зависят от значения их топологических параметров. Основными характеристиками, которые позволяют различать и классифицировать различные равновесные формы упругого стержня, моделирующего молекулу, являются числа вращения соответствующих элементов третичной структуры.

Рис. 3.2. Шпилечная петля: нейтральная форма, изменение формы петли при полном повороте краевой ориентации главного трехгранника по часовой стрелке и против часовой стрелки.

Дается краткое описание этих характеристик - различные решения краевой задачи отличаются числом вращения, т.е. числом оборотов правого краевого условия, переводящим найденное решение в некоторое выделенное нами нейтральное решение. Заметим, что в строгой формулировке надо говорить об относительных

коэффициентах зацепления найденных решений. Пример изменения пространственной формы шпилечной петли в зависимости от числа вращения представлен на Рис. 3.2.

В четвертой главе рассматривается вопрос о возможности моделирования пространственных форм ДНК с помощью прямолинейного тонкого упругого стержня. Как известно, молекула ДНК на сравнительно коротких своих участках имеет форму двух винтовых линий, закрученных относительно общей оси. При этом толщина молекулы и шаг витков малы по сравнению с общей её длиной.

При моделировании пространственных форм длинных участков ДНК возникает вопрос: можем ли мы заменить сложную модель молекулы из двух винтовых линий гораздо более простой моделью, в которой длинная молекула представлена в виде прямолинейного стержня? В диссертации вопрос о применимости модели прямолинейного стержня рассматривается только в плоской постановке, когда молекула ДНК принимает плоские формы. ДНК представляет собой длинное нитевидное образование, или, точнее, двухнитевую структуру, в форме двойной спирали (см. Рис. 4.1). Иногда концы этой спирали замыкаются, и нить ДНК склеивается в кольцо. При математическом анализе возможных пространственных форм ДНК наиболее распространенной является модель, в которой нить ДНК представляются однородным тонким упругим стержнем, изгибающимся под действием внешних сил. В таких работах принято считать, что упругий стержень в свободном состоянии является прямолинейным. Стержень считается однородным (его упругие характеристики не изменяются вдоль длины), и изгибные жесткости одинаковы во всех направлениях. В то же время реальная молекула ДНК больше напоминает нить, которая в свободном состоянии принимает форму винтовой линии, ее упругие характеристики (в первом приближении) меняются периодически, с частотой, соответствующей длине витка спирали. Однако, исследование подобной модели намного сложнее, поэтому использование упрощенной модели более предпочтительно.

По сравнению с длиной молекулы (до нескольких сантиметров)

Рис. 4.1. Двухспиральный участок молекулы ДНК.

шаг витка (3 - 4 А) и толщина ДНК (20 А) незначительны. Поэтому использование упрощенной прямолинейной модели считается допустимым. В диссертации рассматривается вопрос о ее применимости. Проблема ставится следующим образом. Допустим, у нас есть тонкий упругий стержень общего вида, характеристики которого очень быстро периодически меняются вдоль его оси. Рассмотрим тонкий прямолинейный стержень с осредненными характеристиками. Будут ли его равновесные формы близки к равновесным формам исходного упругого стержня? В терминах пространственных структур ДНК постановка такова. Мы берем в качестве модели ДНК спиралевидный стержень с малой толщиной спирали. При этом стержень находится под действием каких-то сил и моментов. Устремляем толщину спирали к нулю, но сохраняем при этом геометрическую форму спирали и действующие нагрузки, и пытаемся показать, что форма такого спиралевидного стержня будет стремиться к форме прямолинейного стержня при тех же нагрузках. То, что в пределе форма одной модели стремится к форме другой, будет означать, что использование прямолинейного стержня при изучении пространственных форм ДНК является корректным.

Указанная проблема рассматривается в простейшей, плоской постановке, когда ДНК принимает только плоские формы. В этом случае структура молекулы описывается как равновесная форма плоского тонкого упругого стержня, к концам которого приложена нагрузка. Геометрия стержня в свободном (ненапряженном) состоянии периодически повторяется. Показано, что с ростом частоты повторения геометрии свободного стержня до бесконечности равновесные формы, которые он принимает, стремятся к равновесным формам тонкого прямолинейного стержня при некоторой нагрузке. Для полноты изложения приводятся общие сведения из теории плоских упругих стержней, а также необходимые утверждения из теории слабой сходимости функций. Доказывается, что использование модели тонкого прямолинейного стержня для плоского случая корректно, поскольку форма криволинейного стержня под нагрузкой стремится к форме прямолинейного стержня при устремлении частоты повторения геометрии свободного стержня к бесконечности. При этом жесткость предельного стержня А связана с исходной

АхЛТ)

жесткостью А соотношением А = —--, где Т - длина исходного

Т

стержня на периоде формы, Х\{Т) - длина проекции периода формы на ось Ох, вдоль которой располагается стержень в свободном состоянии. В качестве примера возьмем стержень, имеющий форму

синусоиды: x(t) = t, y{t) = sin(i). В этом случае

A* = --« 0.82236 • A.

¿л ._

Ul +cos2 (s)ds о

В завершающем разделе на основе аналогии Кирхгофа полученные результаты интерпретируются в терминах движения математического маятника, к которому приложено быстро меняющийся периодический момент. Результат этого раздела можно трактовать следующим образом. На конечном интервале времени влияние высокочастотного возмущающего момента на движение математического маятника эквивалентно изменению начальной скорости.

Вторая часть диссертации состоит из трёх глав (главы 5 - 7). В ней рассматриваются вопросы применения тонкостержневой модели к построению пространственных структур реальных молекул РНК.

В пятой главе рассматриваются краевые задачи, которые появляются при построении пространственных структур РНК, и описывается метод их решения. При решении краевой задачи нужно учитывать два фактора. Во-первых, решение должно удовлетворять краевым условиям, и, во-вторых, полученная форма должна иметь заданные топологические характеристики. В простой постановке учет этих условий может происходить поэтапно: первый этап -нахождение приближенного решения, удовлетворяющего поставленным краевым условиям, второй этап - коррекция полученного решения для достижения нужных значений топологических характеристик равновесной формы, третий этап -уточнение приближенного решения для достижения необходимой точности. В комплексной и более эффективной вариационной постановке учет всех этих условий можно производить сразу при построении пространственной формы молекулы. Данный раздел посвящен описанию задач, связанных с указанными вопросами.

В качестве примера постановки краевой задачи рассматривается шпилечная петля (см. Рис. 5.1). Тонкий упругий стержень, моделирующий шпилечную петлю, является гладким продолжением одной из нитей двуспирального участка и гладко переходит другим концом в другую его нить. Поэтому начальное положение и ориентация стержня совпадают с конечным положением и ориентацией первой нити двуспирального участка, а конечное положение и ориентация с начальным положением и ориентацией второй нити. Параметры двуспирального участка нам известны - это параметры А-формы двойной спирали.

Поясним обозначения: г - радиус-вектор осевой линии стержня, 7(0) = 7Ь, 7{Ь) = г€; ё1 - векторы главных сопутствующих осей, ё,(0) = ёи, ё^Ь) = ёл, ё3(0) = еьъ, ёъ(1) = ёеЪ. УГОЛ в - ЭТО угол поворота главных сопутствующих осей относительно осей естественного трехгранника Френе. Индексы Ь и е соответствуют начальной и конечной точкам шпилечной петли.

В шестой главе рассматриваются вопросы, связанные с идентификацией параметров модели третичных структур РНК. При этом решается обратная задача: по имеющимся данным о пространственных структурах некоторых молекул РНК, полученных физическими методами, подбираются значения параметров модели для более точного построения пространственных форм молекул.

Качество предсказания пространственной структуры молекулы РНК напрямую зависит от правильного определения параметров механической модели. В этой главе рассматриваются вопросы, связанные с идентификацией параметров механической модели третичных структур РНК. Для этого решается обратная задача: по имеющимся данным о пространственных структурах некоторых молекул РНК, полученных физическими методами, определяются значения параметров модели для более точного построения пространственных форм молекул.

Перечислим параметры тонкостержневой механической модели.

Упругие параметры стержня: жесткости В,- и угол в поворота главного сопутствующего репера по отношению к трехграннику Френе;

Геометрические параметры стержня для однонитевых участков, определяющие его форму в свободном состоянии: вектор Дарбу

(о%,(4,а>з°);

Три координаты вектора Я Уотсон-Криковской связи в трехграннике Френе и параметры ф и , которые описывают положение второй винтовой нити двухспирального участка по отношению к первой. Вторая нить получается из первой поворотом вокруг оси винтовой линии на угол ф и сдвигом по этой же оси на расстояние №;

Геометрические параметры стержня для двуспиральных участков: вектор Дарбу (сО\

Отметим, что параметры ф и А2 можно вычислить, используя вектор Уотсон-Криковской связи й, вектор направления оси двуспирального участка ё и радиус г винтовой линии двуспирального участка. Величина есть проекция вектора П на вектор г. Для определения угла ф найдем проекцию вектора а на плоскость с нормалью ё:

1 = -1\п\2- дг2 (6.1)

и воспользуемся теоремой косинусов:

2г2-I2

соб ф =--—. (6.2)

2г

Параметры модели разбиваются на несколько групп. Это геометрические параметры стержня, моделирующего молекулярную цепь, его упругие характеристики, геометрические параметры жестких перемычек, моделирующих Уотсон-Криковскую связь, и геометрические параметры двуспиральных участков. Задача идентификации параметров модели естественным образом разделяется на два этапа. Первый этап - это идентификация геометрических параметров двуспиральных участков и жестких перемычек, моделирующих Уотсон-Криковскую связь. Второй этап -это идентификация геометрических и упругих параметров стержня, моделирующего молекулярную цепь, с использованием результатов, полученных на первом этапе. В диссертации представляются результаты, в основном относящиеся к первому этапу задачи идентификации. Основная идея идентификации параметров состоит в использовании опубликованной информации о третичных структурах некоторых реальных молекул транспортных РНК, полученной методом рентгеноструктурного анализа. Эти данные включают, в частности, координаты атомов рибозофосфатных остовов обеих

нитей, составляющих двуспиральные участки стеблей тРНК. Идентифицируемые параметры подбираются таким образом, чтобы нити модельного двуспирального участка как можно лучше приближались к нитям рибозофосфатных остовов двуспирального участка реальной молекулы.

г А

Изложим теперь кратко содержание этой главы. Материал, относящийся к задаче идентификации параметров, разбит на три раздела. В первом разделе дается краткое описание используемой математической модели и ее параметров, подлежащих идентификации. Рассказывается о постановке задачи идентификации, дается описание данных рентгеноструктурного анализа молекул тРНК, называются основные шаги процесса идентификации. Далее описывается генетический алгоритм поиска экстремумов и способ построения хромосомы для задачи идентификации. Также рассматривается задача сравнения двух ломаных с различным числом звеньев и три способа ее решения. В третьем разделе описываются результаты идентификации геометрических параметров стержня. В задаче сопоставления геометрических форм пространственных кривых используется квазимеханический алгоритм сравнения. Для приведения двух ломаных в наилучшее относительное расположение (см. Рис. 6.1) решается система неявных разностных уравнений:

\хм=х1 +т-Я{хм,фм) \фм=ф1 +Т-Й (Xм,Фм) п т(х 3) "

- координаты центра масс кривой, ф = {ф,<р,в) - углы поворота кривой вокруг осей Кенига, к, I - безразмерные коэффициенты, влияющие на скорость и характер сходимости процесса. Процесс минимизирует

п

функцонал , где - расстояние от 1-й ближайшей точки до

соответствующей ей точки набора.

Функционал может иметь не одну точку экстремума. Следует ожидать, что их может быть достаточно много. Поэтому в строгом математическом смысле задача не является корректной (т. е. ее решение не единственно). Однако, наличие минимума у оценочного функционала можно гарантировать, т. к. он ограничен снизу на компактном пространстве параметров. Поэтому осмысленной является задача изменения геометрических параметров модели таким образом, чтобы оценочный функционал стал меньше при разумной форме и взаимном расположении сопоставляемых кривых в точке экстремума. В силу сказанного результаты процесса идентификации необходимо контролировать для того, чтобы отбрасывать заведомо неподходящие варианты. В разделе приводятся результаты процессов идентификации параметров по рентгеноструктурным моделям РНК (пример приведен на Рис. 6.2).

Рис. 6.2. Упругий стержень, полученный в результате идентификации параметров, аппроксимирует участки из 5 и 9 нуклеотидов. Атомы фосфора рентгеноструктурной модели обозначены сферами.

В качестве параметров двухнитевого участка молекулы РНК, помимо вектора Дарбу (й^необходимо иметь также угол ф и смещение Д2.

При построении моделей однонитевых участков молекулы РНК, каковыми являются петли различных типов, возникает необходимость в решении краевых задач для системы уравнений (3.1-3.3). Знание параметров Уотсон-Криковской связи необходимо для вычисления граничных условий этих краевых задач. Однако, на практике в этих двух случаях удобнее использовать непосредственно параметры и ф. С помощью несложных геометрических построений можно

/ 0

получить из них и координаты вектора Уотсон-Криковской связи в главном сопутствующем репере стержня.

Из рентгеноструктурных данных о третичной структуре молекулы РНК нам известны, в частности, координаты атомов фосфора, находящихся в двуспиральном участке молекулы. Модель двуспирального участка представляет собой две винтовые линии с общей осью. Для поиска этой оси на заданном участке строится цилиндр, такой, чтобы сумма квадратов расстояний от атомов фосфора до поверхности цилиндра была минимальна. Осевая линия этого цилиндра принимается за осевую линию двуспирального участка.

При поиске параметров ¿г и ф подсчитывается среднее арифметическое проекций векторов Уотсон-Криковских связей в двуспиральном участке на осевую линию участка и определяется смещение ЬХ. Для вычисления угла ф требуется среднее арифметическое длин Уотсон-Криковских связей в стебле 5. Подставив в формулу (6.1) в качестве |й| среднюю длину у, получим среднюю длину проекции связи на плоскость, перпендикулярную оси цилиндра. Зная радиус цилиндра, вычислим значение ф, используя формулу (6.2).

Параметры механической модели, полученные в результате описанного в этой главе метода, были использованы для построения пространственных структур реальных молекул тРНК.

В седьмой главе описывается алгоритм построения пространственных структур молекул РНК по известной вторичной структуре.

Б*«-."

им

а)

b)

с)

Рис. 7.1. Пространственная структура молекулы тРНК Phenilalanine Yeast, а) Вторичная структура, Ь) Рентгенострукутрный анализ, с) Компьютерные вычисления на основе тонкостержневой модели.

Приводится краткое описание процесса построения пространственной структуры РНК на основе механической модели, описанной в предыдущих главах. Предполагается, что вторичная структура молекулы известна. Вторичная структура разбивается на основные элементы: стебли, петли различных типов, однонитевые незамкнутые участки. В результате такого разбиения у молекулярных нитей, входящих в состав каждого элемента, образуются незамкнутые концы. Для каждого элемента при помощи алгоритма, описанного в предыдущих главах, строится трехмерная модель. Стебель представляет собой двойную спираль, параметры которой совпадают с параметрами двойной спирали А-формы РНК. Форма петель определяется путем решения соответствующих краевых задач. Из физических соображений при решении этих краевых задач задавались нулевые числа вращения. При нахождении формы однонитевых незамкнутых участков считалось, что их форма соответствует свободному состоянию тонкого упругого стержня, моделирующего молекулу. Все незамкнутые концы молекулярных нитей указанных выше элементов структуры РНК имеют относительную ориентацию, соответствующую двойной спирали А-формы РНК. На завершающем этапе построения пространственной модели молекулы РНК найденные элементы ее пространственной структуры соединяются в соответствующих незамкнутых концах своих молекулярных нитей. В результате этого процесса все концы молекулярной цепочки, которые были разомкнуты в результате разбиения вторичной структуры на элементы, оказываются соединенными, и нити элементов образуют единую молекулярную цепь.

В конце раздела приводятся примеры структур реальных молекул РНК, полученные на основе тонкостержневой механической модели. Несколько примеров построенных структур даны на Рис. 7.1

Рис. 7.2. Вторичные и третичные структуры тРНК: Аспарагиновая кислота Asterina Pectini и Лейцин Euglena Gracilis.

и 7.2.

В заключении приведены основные результаты и выводы:

- Тонкостержневая механическая модель модифицирована для учета то-пологических характеристик элементов пространственных структур РНК, содержащих кинематически замкнутые циклы. Развиты вариаци-онный (прямой) и трехэтапный методы решения краевых задач для по-иска равновесных состояний тонких упругих стержней при построении пространственных структур молекул РНК с учетом топологических ха-рактеристик их элементов.

- Аналитически решен вопрос о корректности применения модели прямо-линейного тонкого упругого стержня для изучения плоских форм коль-цевых молекул ДНК. Получена оценка разнообразия потенциально воз-можных пространственных структур РНК.

- Решена задача идентификации геометрических параметров тонкостерж-невой механической модели по данным о пространственных структурах реальных молекул РНК, полученных физическими методами.

- На основе тонкостержневой механической модели найдены пространст-венные структуры реальных молекул тРНК. Для тех молекул, реальные структуры которых были получены ранее физическими методами, тон-костержневые модели оказались близкими по форме и повторяют все их основные топологические свойства.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Козлов Н.Н, Кугушев Е.И., Сабитов Д.И., Энеев Т.М. Компьютерный анализ процессов структурообразования нуклеиновых кислот. Препринт ИПМ им М. В. Келдыша РАН, 2002, N 42.

2. Сабитов Д. И. Об идентификации параметров математической модели пространственной структуры РНК. Препринт ИПМ им М.В. Келдыша РАН, 2004, N 19.

3. Сабитов Д.И. Коэффициент зацепления как характеристика элементов пространственных структур молекул РНК. Труды Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Абрау-Дюрсо, Ростов-на-Дону, 2004, с.222-223.

4. Кугушев Е.И., Сабитов Д.И. О тонких упругих стержнях с быстро меняющимися периодическими характеристиками. Препринт Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, N 33, 2005, с. 28.

5. Кугушев Е.И., Сабитов Д.И. О плоских тонких упругих стержнях с быстроменяющимися периодическими характеристиками. Вестник МГУ, сер. мат.-мех., 2009, N 4, с. 42-48

Подписано в печать 1.09.2010 Формат 60x88 1/16. Объем 1 п.л. Тираж 50 экз. Заказ № 4127 Отпечатано в ООО Копировальный центр «В печать!» 127051, г. Москва, ул. Трубная, д.21

Введение.

Часть I. Тонкостержневая механическая модель пространственныхктур нуклеиновых кислот и её свойства.

Глава 1. Основные элементы пространственных структур.

1.1 Иерархия структур нуклеиновых кислот.

1.2 Элементы пространственных структур РНК.

1.3 Типы петель во вторичной структуре.

1.4 Способы описания вторичной структуры.

1.5 Стерическое условие и псевдоузлы.

Глава 2. Разнообразие пространственных структур.

2.1 Оценка количества вторичных структур.

2.2 Оценка числа вторичных структур для малых РНК.

2.3 Разнообразие структур коротких молекул РНК.

Глава 3. Механическая модель третичной структуры РНК.

3.1 Простейшая кинематическая модель биополимера.

3.2 Механический подход к описанию пространственной структуры РНК.

3.3 Уравнения равновесия тонкого упругого стержня.

3.4. Постановка краевой задачи.

3.5 Топологические характеристики элементов пространственных структур РНК.

Глава 4. О применимости тонкостержневой механической модели.

4.1. Уравнения равновесия тонкого упругого стержня в плоском случае.

4.2. Интегральная форма уравнений равновесия.

4.3. Слабая сходимость в ограниченном смысле.

4.4. Равновесные формы плоского стержня с быстро меняющимися периодическими характеристиками.

4.5. Корректность применения механической модели про моделировании плоских форм ДНК.

4.6. Следствие из аналогии Кирхгофа.

Часть II. Применение тонкостержневой механической модели при построении пространственных структур РНК.

Глава 5. Краевые задачи построения пространственных форм РНК.

5.1. Постановка краевой задачи для однозвенной петли.

5.2 Условие скачка при решении краевой задачи.

5.3. Постановка краевой задачи для многозвенной петли.

5.4. Трехэтапный алгоритм построения пространственных форм.

5.6. Вариационная постановка краевой задачи.

5.6. Метод решения вариационной задачи.

Глава 6. Идентификация параметров механической модели.

6.1 Параметры модели.

6.3 Постановка задачи идентификации.

6.4 Генетический алгоритм поиска экстремумов.

6.5 Задача сравнения двух ломаных.

6.6 Определение параметров Уотсон-Криковской связи.

6.7 Численные эксперименты.

Глава 7. Пространственные структуры реальных молекул РНК.

7.1 Общее описание алгоритма построения.

7.2. Пример построения структуры тРНК.

7.3. Характерные типы структур тРНК.

Работа посвящена рассмотрению механической модели, позволяющей описывать и исследовать пространственную структуру длинных молекулярных цепочек — биологических макромолекул рибонуклеиновых кислот (РНК). Макромолекулы представляют собой биополимерную нить, отдельные участки которой взаимодействуют и «склеиваются» между собой в определенном порядке. В данной работе такая молекулярная конструкция описывается в статической постановке как система тонких упругих стержней, соединенных по заданным правилам и принимающих равновесные пространственные формы. В равновесном состоянии форма каждого отдельного упругого стержня описывается известными уравнениями, совпадающими с уравнениями движения тяжелого гиростата. Для соединения стержней в единую систему формулируются необходимые краевые условия. Более подробное описание этой модели мы рассмотрим ниже, а здесь отметим то, что использование такой модели позволяет достаточно простыми средствами вычислять (в некотором приближении) пространственные формы, которые могут принимать исследуемые макромолекулы. Постановка этой проблемы пришла из задач молекулярной генетики.

Определение пространственной структуры биологических макромолекул, таких, как РНК и белки, является в настоящее время одной из наиболее бурно развивающихся ветвей молекулярной биологии [15]. Фундаментальность этой проблемы определяется принципом, состоящим в том, что основные процессы жизнедеятельности клетки зависят в первую очередь от пространственной структуры упомянутых макромолекул [22]. В последнее время этот фундаментальный принцип молекулярной биологии приобрёл практическую значимость. В фармакологической промышленности интенсивно развивается метод создания лекарственных препаратов на основе РНК-содержащие соединения [11-12]. Он основан на том, что даже сравнительно короткие молекулы РНК (порядка 100 нуклеотидов) обладают гигантским количеством потенциально возможных пространственных форм (о чем более подробно будет рассказано в Главе 2). Такое разнообразие в принципе позволяет подобрать подходящую по форме молекулу РНК, закрывающую активные центры патогенного соединения (белка или фермента) и препятствующую его разрушительной работе (так называемый «docking-метод» [8], SELEX (Systematic Evolution of Ligands by Exponential enrichment) [11, 12]). Основная проблема здесь — это достаточно дешевый метод определения пространственной структуры короткой молекулы РНК по ее нуклеотидному составу (первичной структуре). Наиболее перспективными для решения этой задачи считаются методы математического моделирования - т.е. численные методы определения пространственных структур молекул.

Исторически, прежде всего развивались физические методы определения пространственной структуры молекулы. Из них наиболее плодотворными оказались рентгеноструктурный анализ [23] или метод ядерного магнитного резонанса (ЯМР) [22, 23]. Как вспомогательный, используется также метод гель-электрофореза [38, 39], и методы построения пространственных структур, основанные на гомологичности первичных и вторичных структур молекул [31].

Однако, применение физических методов является дорогостоящим и длительным процессом. Помимо чисто практических нужд фармакологии, необходимость в дешевых методах определения третичной структуры молекул РНК вызывается тем, что поток информации о вновь открытых молекулах и расшифровке их нуклеотидного (для нуклеиновых кислот) и аминокислотного (для белков) состава год от года быстро возрастает. В последнее время также обосновывается предположение о том, что свойства генетического кода таковы, что он позволяет кодировать белковые цепочки таким образом, чтобы матричная РНК, переносящая текст белка, могла образовывать такую пространственную структуру, которая обеспечивает необходимую скорость синтеза белка [28, 29]. Поэтому возможность быстрого определения пространственных структур РНК по их первичной химической) структуре является важным- фактором для- изучения свойств-генетического кода и процессов-синтеза белка.

В «связи со сказанным целесообразность и эффективность, применения, методов прикладной и вычислительной математики и механики в исследовательской работе по биологии вообще и по молекулярной биологии в частности в настоящее время доказана* практически. За последние два десятилетиям,этом направлении были,достигнуты определенные успехи. Эти успехи, однако, имеют пока относительно« скромный характер, ввиду трудностей, связанных с исключительной сложностью большинства биологических структур, несравнимой* со сложностью традиционных объектов в математике и механике. Решение этой проблемы связано с построением* моделей этих структур; которые; с одной- стороны, были бы достаточно простыми, а с другой, стороны были бы адекватны- специфике изучаемых объектов.

Такие модели были разработаны прежде всего для'анализа-структур белковых макромолекул, и в настоящее время ведётся* интенсивная работа по их развитию и использованию [22, 23]. Что же касается построения моделей пространственных структур нуклеиновых кислот, то их разработка началась с построения- моделей молекул с простейшей вторичной структурой- (двойная* спираль) [14, 24, 41]. Такие структуры характерны, например,.для кольцевых ДНК митохондрий, прокариотов и некоторых вирусов.

Рассматриваемая* в данной работе механическая' модель позволяет строить пространственные структуры« молекул нуклеиновых кислот с более сложной вторичной структурой.

Начиная с конца 70-х годов XX века, как за рубежом [26,34-35], так и в России, в Институте прикладной математики [36,37], проводились исследования по изучению процессов структурообразования молекул РНК и ДНК. Основной упор при этом делался на изучение вторичных структур молекул, описываемых как плоские графы. Одновременно с этим велись работы Бенхама [14], Старостина [24], в которых пространственные формы кольцевых молекул ДНК моделировались склеенным в кольцо однородным упругим стержнем: В силу аналогии Кирхгофа эта задача эквивалентна исследованию периодических движений волчка Лагранжа, на который наложены некоторые дополнительные условия. При этом оставался неясным вопрос о корректности моделирования двойной спирали ДНК прямолинейным стержнем. В связи с этим нами в работе [40] была рассмотрена и частично обоснована применимость этой модели.

Молекула РНК отличается от двойной спирали ДНК наличием односпиральных участков, которые принципиально не могут быть промоделированы прямолинейным упругим стержнем. В связи с этим в работе [18] была предложена модель, описывающая* пространственную форму РНК как систему тонких упругих стержней, которые в ненапряженном состоянии имеют форму винтовой линии (в Главе 3 будет показано, что такая форма характерна для биополимерной нити в простейшей, кинематической модели).

Для практического применения «тонкостержневой» модели необходимо' было разработать методы решения краевых задач, идентифицировать, параметры и исследовать применимость этой модели к реальным молекулам РНК и ДНК. Решение этих вопросов легло в основу данной' диссертационной работы. В" ходе исследований модель, представленная в [18] была развита и доведена до практического применения. Также были аналитически исследованы некоторые её свойства.

В; диссертации описывается развитая к настоящему времени механическая модель пространственной структуры РНК [1]. Она достаточно проста и ориентирована на получение пространственных структур не слишком длинных молекул РНК. Тем не менее, ее можно использовать для построения начального приближения структуры длинных молекул с целью дальнейшего ее уточнения другими методами. В качестве иллюстрации практического использования данной модели в Главе 7 приведены пространственные структуры 20-ти достаточно коротких молекул тРНК, изучение которых физическими методами не проводилось. В качестве теста приведем структуру молекулы гЯКА-РЬе (Рис. 1). Как видно из рисунка, структура, полученная на основе тонкостержневой модели, близка по форме к структуре, полученной методом рентгеноструктурного анализа, и повторяет все ее основные топологические свойства.

• • * а) Ь) с)

Рис. 1 Пространственная структура молекулы тРНК Phenilalanine Yeast, а) Вторичная структура, Ь) Рентгенострукутрный анализ, с) Компьютерные вычисления на основе тонкостержневой модели.

В тонкостержневой модели молекулярная цепь рассматривается как тонкий упругий стержень, имеющий в свободном состоянии форму винтовой линии. С шагом, равным длине одного нуклеотида, в стержень вставлены жесткие перемычки, равные по длине половине Уотсон-Криковской связи. В простейшей модели параметры винтовой линии и ориентация перемычек выбираются так, что два свободных, стержня одинаковой длины, будучи правильно расположены, образуют двойную спираль в А-форме. Пространственная структура молекулы собирается из стеблей и петель в соответствии с заданной вторичной структурой. Каждая петля состоит из семейства тонких упругих стержней с взаимно согласованными краевыми условиями равновесия. В соответствии с краевыми условиями концы стержней ориентируются так же, как концы нитей в стебле А-формы РНК.

Точность построения пространственной структуры молекулы РНК напрямую зависит от правильного определения параметров математической модели. Во второй части диссертации рассматриваются вопросы, связанные с решением этой задачи.

Опишем теперь общее содержание диссертационной работы. Диссертация состоит из введения и двух частей, содержащих семь глав. Завершается диссертация заключением и списком литературы, содержащим 55 названий.

Заключение

Диссертация посвящена развитию и применению тонкостержневой механической модели пространственных структур молекул РНК, предложенной в работе [1]. Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

Тонкостержневая механическая модель модифицирована для учета топологических характеристик элементов пространственных структур РНК, содержащих кинематически замкнутые циклы. Развиты вариационный (прямой) и трехэтапный методы решения краевых задач для поиска равновесных состояний тонких упругих стержней при построении пространственных структур молекул РНК с учетом топологических характеристик их элементов.

Аналитически решен вопрос о корректности применения модели прямолинейного тонкого упругого стержня для изучения плоских форм кольцевых молекул ДНК. Получена оценка разнообразия потенциально возможных пространственных структур РНК.

Решена задача идентификации геометрических параметров тонкостержневой механической модели по данным о пространственных структурах реальных молекул РНК, полученных физическими-методами.

На основе тонкостержневой механической модели найдены пространственные структуры реальных молекул тРНК. Для тех молекул, реальные структуры которых были получены ранее физическими методами, тонкостержневые модели оказались близкими по форме и повторяют все их основные топологические свойства.

1. Козлов Н. Н, Кугушев Е. И., Сабитов Д. И., Энеев Т. М. Компьютерный анализ; процессов структурообразования нуклеиновых кислот. Препринт ИПМ им М. В. Келдыша РАН, 2002, N 42.

2. Аминов Ю. А. Дифференциальная геометрия и топология кривых. Наука, 1987.

3. Ширшов А. Об одной комбинаторной задаче: «Квант» № 9, 1979, с. 19

4. Бронштейн И. II., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. 13-е:изд;,„'исправленное. HayKaj 1986.

5. Батшцев Д. И. Генетические алгоритмы решения экстремальных задач / Под ред. академика АЕН Львовича Я. Е.: Учеб. пособие. Воронеж., гос. техн. ун-т; Нижегородский гос. ун-т. Воронеж, . 1995.

6. Энеев Т.М., Козлов Н.Н., Кугушев Е.И. Процессы структуризации биомолекул. Результаты математического; моделирования. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, N 69, 1995, с. 22.

7. Козлов Н.Н., Кугушев Е.И., Энеев Т.М. Структурообразующие характеристики транскрипционного процесса. Математическое моделирование т. 10, N 6. с.3-19, 1998.8. http://www.moldyn.ru/library/md/docking.htm

8. Tomb et al- The complete genome sequence of the gastric pathogen Helicobacter pyori. Nature 1997, Aug 7; 388 (6642).

9. Попов Е.П. (1948) Нелинейные задачи статики тонких стержней. Л;М-ОГИЗ, с. 170.

10. Benham C.J. (1983) Geometry and mechanics of DNA superhelicity. Biopolymers, 22, 11,.2477 2495.

11. Льюин Б. Гены. М., Мир, 1987, с. 544.

12. Антонов И. JI. Случайные колебания. Свойства траекторий. М., МГУ, 1993, с. 176.

13. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М., Наука, 1974, 480 с.

14. Кугушев Е. И., Пирогова Е. Е., Старостин Е. JI. Математическая модель образования трехмерной структуры РНК. Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, N 81, 1997, с. 24.

15. Волькенштейн М. В. Биофизика. М., Наука, 1981.

16. Степанов В. М. Молекулярная биология. Структуры и функции белков. М., Высшая Школа, 1996.

17. Чернавский Д. С., Чернавская Н. М. Белок-машина. Биологические макромолекулярные конструкции. М., Изд-во МГУ, 1999.

18. Финкелыптейн А. В., Птицын О. Б. Физика белка. М, Книжный дом «Университет», 2002.

19. Компьютеры и суперкомпьютеры в биологии / Под редакцией В. Д. Лахно и М. Н. Устинина. Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2002.

20. Starostin Е. L. Three-dimensional shapes of looped DNA. Meccam'ca, 1996, v. 31, No. 3, pp. 235-271.

21. Вильке В. Г. Теоретическая механика. М., Изд-во МГУ, 2003.

22. М. Zuker, P. Stiegler. Optimal computer folding of large RNA sequences using thermodynamics and auxiliary information. Nucleic Acids Res. 9, 133148 (1981)

23. M. Zuker: Prediction of RNA Secondary Structure by Energy Minimization, in Computer Analysis of Sequence Data (1994), A.M. Griffin and H.G. Griffin eds., Methods in Molecular Biology, Humana Press Inc., 267-294.

24. Козлов H. H. Перекрывающиеся гены и генетический код. ДАН. 1997. Т. 355. № 6. С. 830-833.

25. Козлов Н. Н. Перекрывающиеся гены и струкутры генетического кода. Препринт Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, N 113,2005, с. 38.

26. Arnott S., Chandrasekaran R., Leslie A.G. Structure of the single-stranded polyribonucleotide polycytidylic acid, J. Mol. Biol., 106(3):735-748, 1976.

27. Eric Westhof, Pascal Auffmger. RNA Tertiary Structure in Encyclopedia of Analytical Chemistry. R.A. Meyers (Ed.) pp. 5222-5232. John Wiley & Sons Ltd, Chichester, 2000.

28. Бахвалов H. С., Жидков H: П., Кобельков Г. M. Численные методы. -3-е изд., перераб. и доп. М., БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003, 632 с.

29. Рашевский П1 К. Курс дифференциальной геометрии. — 4-е изд. М., Государственное издательство технико-теоретической, литературы, 1956.

30. Tinoco,I., Uhlenbeck,0., and.Levine,M.D., (1971), Nature, 230, 362-367.

31. Le,S.-Y., Chen,J.-H:, Nussinov,R., and Maizel,J:V., (1988)> GABIOS, 4, 337-344.

32. Kozlov N.N., Kugushev E.I. Computer simulation of tRNA secondary structure folding. Computer Applications in Biosciences, (CABIOS), 1993. v. 9, p. 253 258.

33. Козлов H.H., Кугушев Е.И., Энеев T.M. Параллельные вычисления при решении некоторых задач астрофизики и молекулярной биологии. Математическое моделирование. 2000, 7(12), с. 65-70.

34. А.Ф.Веденов, А.М.Дыхне, М.Д. Франк-Каменецкий / УФН, 105 Вып 3 с. 479-519; 1971.

35. М. Д. Франк-Каменецкий. Топология и структурные переходы в ДНК. / УФН, 149 Вып 4 с. 729-732, 1986.

36. Кугушев Е.И., Сабитов Д.И. О тонких упругих стержнях с быстро меняющимися периодическими характеристиками. Препринт Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, N 33, 2005 с. 28:

37. A.A. Илюхин, Д.В. Тимошенко. Решение задачи о деформации естественно закрученного и растяжимого стержня и применение его к исследованию условий замкнутости молекул ДНК. Механика твердого тела, вып. 38, 2008.i

38. Сабитов Д. И. Об идентификации параметров математической модели * пространственной структуры РНК. Препринт ИПМ им М. В. Келдыша1. РАН, 2004, N 19.

39. Sprinzl М., Dank N., Nock S., Schon A. Compilation of tRNA sequnces and sequences of tRNA genes. // Nucleic Acids Res., 1991, v. 19, suppl., p. 2127-2171.

40. Robertus et al. Structure of yeast phenylalanine tRNA at 3 A resolution. Nature. 1974, vol. 250, 467, pp. 546-51.

41. Fuller F.B. Decomposition of the linking number of a closed ribbon: A problem from molecular biology. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 1978, v. 75,1. N>8, pp. 3557-3561.

42. Bouchiat C., Mezard M. Elastic rod model of a supercoiled DNA molecule. Eur. Phys. J. E, 2000, 2, 377-402.

43. Fohl W.F. The Self-Linking Number of a Closed Space Curve. Journal of Mathematics and Mechanics, 1968, v. 17, N 10, 975-985.

44. Fain В., Rudnik J. Conformations of linear DNA. Physical Review E, 1997, v. 55, no. 6, 7364-7368.

45. A. H. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. «Наука», М., 1976 г.

46. Д.И. Сабитов. Моделирование пространственной формы молекул РНК с помощью метода конечных элементов. Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов-2007", Москва, 2007.

47. Д.И. Сабитов. Компьютерное моделирование пространственных структур молекул РНК системой тонких упругих стержней. Пятыймеждународный симпозиум по классической и небесной механике, Великие Луки, 2004.

48. Козлов H.H., ,Козырева Е.Е., Кугушев Е.И., Сабитов Д.И., Энеев Т.М. Численное исследование процессов структуризации макромолекул РНК. Конференция, посвященная 90-летию со дня рождения Алексея Андреевича Ляпунова. Новосибирск, 2001.

49. Д.И. Сабитов. Математическая модель пространственной структуры молекул РНК. Конференция молодых ученых Института механики МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 2004.

50. Луцкий А.Е., Кугушев Е.И., Сабитов Д.И. Идентификация параметров математической модели пространственных структур РНК. Ломоносовские чтения, Москва, 2002.

51. Д.И. Сабитов. Коэффициент зацепления как характеристика элементов пространственных структур молекул РНК. Труды Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Абрау-Дюрсо, Ростов-на-Дону, 2004, с.222-223.