Метод граничных условий и энергозависящие взаимодействия в задаче рассеяния и аннигиляции для pN и pd систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУ НИ ]р С И Т ЕТ

г ; •'• •• • я г^^о

" (¿¿¡у1

о п На правах рукописи

ЛЕВИН Сергей Борисович

МЕТОД ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ И ЭНЕРГОЗАВИСЯЩИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В ЗАДАЧЕ РАССЕЯНИЯ И АННИГИЛЯЦИИ ДЛЯ рЛг И р<1 СИСТЕМ

специальность 01.01.03 — математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1998

Работа выполнена на кафедре вычислительной физики физического факультета Санкт-Петербургского Государственного Университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор физико-математических наук, Ю.А. КУПЕРИН.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук профессор О.Д. ДАЛЬКАРОВ, доктор физико-математических наук профессор И.Ю. ПОПОВ

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Объединенный Институт Ядерных Исследований, г. Дубна

Защита состоится .года в /¡Г.. .часов

на заседании диссертационного совета К.063.57.17 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском Государственном Университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. М.Горького Санкт-Петербургского Государственного Университета.

Автореферат разослан

года.

Ученый секретарь диссертационного совета

С.Н.Манида

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Недавнее развитие экспериментальной базы для изучения антипротонной физики делает актуальным именно в настоящее время построение различных теоретических подходов для описания систем нескольких тел с антипротонами. Например, важной является проблема изучения р<1 рассеяния. Углубленный анализ такой системы позволяет, в частности, извлечь неизвестные данные об птг процессе [1]. В качестве других важных задач, связанных с изучением систем нескольких частиц с антипротонами, можно рассматривать изучение слабосвязанных состояний для ргЛ, [)с14-систем и некоторые другие [2,3]. Аннигиля-ционные эффекты могут проявляться значительно сильнее в многону-клонных системах [3] по сравнению с двухнуклонными.

Для описания процессов, идущих в системах, содержащих античастицы, существует ряд феноменологических моделей. Основными являются различные варианты оптических потенциальных моделей [45], модели связанных каналов [6], кварковые модели [7] и другие. Оптические потенциальные модели ведут к несамосопряженности гамильтонианов систем, что является причиной многих математических и вычислительных трудностей. Более того, многие детальные характеристики процессов рассеяния, например поляризация, не описываются этими моделями удовлетворительно. Кварковые модели сильно зависят от выбора эффективного аннигиляционного оператора и диаграммной иерархии. Модели связанных каналов содержат большой произвол в выборе операторов связи каналов, однако, наилучшим образом описывают экспериментальные данные. Следует также отметить, что непосредственный перенос техники упомянутых моделей в задачу трех и более частиц наталкивается на серьезные математические трудности.

В то же время в области теории рассеяния систем нескольких частиц были за последние 20 лет достигнуты существенные результаты. К ним относятся построение математически корректной формулировки задачи рассеяния трех заряженных точечных частиц (С.П.Меркурьев,

[8-10]), построение модели граничных условий в рамках подхода уравнений Фаддеева (А.К.Мотовилов, [11]), а также математически строгий учет внутренних степеней свободы адронов (Ю.А.Куперин, [12]).

Однако, математически строгих обобщений методов теории рассеяния на системы нескольких частиц, содержащие античастицы, сделано до сих пор не было. К таким обобщениям относится одновременный учет каналов рассеяния и аннигиляции и того факта, что участвующие в таких реакциях частицы как правило разноименно заряжены. В этом смысле изучаемая задача является весьма актуальной.

Целью работы является построение математически корректной схемы изучения трехчастичных систем, содержащих антипротоны, и описание процессов рассеяния и аннигиляции на примере системы р(1.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты:

1. Построен вариант модели связанных каналов для описания процессов рассеяния в парных подсистемах рр и рп трехчастичной системы р<1. Короткодействующий (аннигиляционный и ядерный) потенциал строится методами теории расширений.

2. Построена резольвента гамильтониана, описывающего динамику в рЫ системе.

3. Построена риманова поверхность энергии резольвенты полного двухчастичного оператора Л, описывающего динамику рЫ системы с аннигиляционным каналом.

4. Предложена методика локализации комплексных особенностей резольвенты оператора Л в произвольном порядке теории возмущений по малому параметру связи каналов. Для системы рр доказано, что все комплексные особенности резольвенты невырождены и располагаются на соответствующих нефизических листах римановой поверхности энергии.

5. Проведена параметризация модельных короткодействующих потенциалов в парных подсистемах рр и рп по экспериментальным данным для длин рассеяния и полного сечения рассеяния.

6. Построена модель рассеяния при промежуточных анергиях трех разноименно заряженных кулоновских частиц с дополнительными (ан-нигилляционными) каналами на примере pd системы.

7. Лля исследованного класса энергозависящих потенциалов доказана единственность решения системы уравнений Фаддеева на компоненты волновой функции в нуклонном канале.

Перечисленные выше результаты являются новыми и получены впервые.

Практическая ценность работы. Разработанные в диссертации методы изучения систем 3-х частиц, содержащих антипротоны, могут иметь важное значение при изучении более сложных систем, таких как pdt, р Не и других. В частности, эффективные потенциалы, построенные в работе, могут быть использованы при теоретическом и численном исследовании упомянутых систем.

Математический подход, развитый в диссертации, может быть использован для построения эффективных численных алгоритмов на основе модифицированной формулировки уравнений Фад деева для исследования систем р-легкие ядра.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на международных конференциях "International Symposium on Muon Catalyzed Fusion", fiCF—95, Лубна, Россия, 1995 год, "International Conference on Nucleon-Antinucleon Physics", NAN — 95, Москва, Россия, 1995 год, "XIV Few-Body Conference", Пенискола, Испания, 1995 год, "International XV Few-Body Conference", Гронинген, Нидерланды, 1997 год, "IV Summar school in Nuclear Physics", Falsterbo, Sweden, 1997. Работа докладывалась на семинарах Санкт-Петербургского университета и Физического Института Академии Наук (Москва).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-6].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух

глав, разбитых на 13 параграфов, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 142 страницы машинописного текста. Би-

блиография содержит 68 наименований.

ОБШЕЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Текст диссертации состоит из введения, двух глав и заключения. Во введении дано обоснование выбора темы диссертации, кратко изложено ее содержание и рассмотрены различные подходы к обсуждаемому кругу вопросов.

В главе I построен обобщенный вариант модели связанных каналов для описания процессов рассеяния в парных подсистемах рр и рп трехчастичной системы рё. Короткодействующий (аннигиляционный и ядерный) потенциал строится методами теории расширений. Построение теории рассеяния в парных подсистемах рр и рп является основой для описания процессов рассеяния в трехчастичной системе рв, методами уравнений Фаддеева.

В параграфе 1.1 описывается модель энергозависящих взаимодействий, представляющая собой обобщенный вариант модели связанных каналов. Согласно этой модели динамика рассматриваемой физической системы описывается самосопряженным оператором А, который получается как самосопряженное расширение ортогональной суммы симметрических операторов ке0х и Н'0п, полученных сужением из самосопряженных операторов /гех и Ат. Здесь гамильтонианы кех и Лш описывают динамику в нуклонном канале и канале продуктов распада нуклонов соответственно. Ортогональная сумма Нех ф Ь'п - гамильтониан, задающий независимые динамики во внутреннем и внешнем каналах. Для включения взаимодействия между каналами предлагается сузить операторы Л'п в Н1П и /гех в Исх до симметричных операторов /гг0п и /г". Затем необходимо построить все самосопряженные расширения оператора кеах ф Лд". Каждое такое самосопряженное расширение Л интерпретируется как полный гамильтониан, задающий динамику во внутреннем и внешнем каналах и взаимодействие между ними. Характер взаимодействия определяется как способом сужения операторов дгп и ^ех ^ так и ВЬхб0р0м конкретного самосопряженного расширения. Следует отметить, что в рамках самой схемынет критерия отбора того

или иного расширения; этот отбор должен диктоваться физикой задачи.

В параграфе 1.2 исследована резольвента матричного оператора h в сумме каналов. В соответствии с утверждением: резольвента irab(z)} = r(z), a,b = 0,1 самосопряженного оператора h однозначно восстанавливается по блоку гоо(г), дело сводится к изучению блока roo(z). Для блока гоо, отвечающего рассеянию во внешнем (нуклонном) канале модель допускает явное представление в терминах резольвенты go{z) оператора, описывающего динамику без учета внутренней структуры частиц. Именно,

гоо(г) = po(z)H_1(2),

где

E(z) = I - A'n(z) < gQ(z) *Sy,<p> <p.

Здесь Д'"(г) - интеграл Шварца [13,14], содержащий информацию о характере энергозависимости феноменологических потенциалов, - функция связи каналов, сосредоточенная на поверхности -у в конфигурационном пространстве внешнего (нуклонного) канала. Остальные блоки резольвенты восстанавливаются по следующему алгоритму. Именно,

у г™ /• _ щ ro\{z)=f гоо (г —ш)<р/ —-< в, фц >< ф<;,в > d(dw.

Ji„ J-м С

Здесь ¡с - контур в комплексной плоскости ы, охватывающий спектр оператора h,n: [— М, оо), — М - порог канала аннигиляции, ф^ - собственная функция оператора /г"1, отвечающая точке С спектра. Вектор в G ~Н1п и число т] G R - параметры модели. В соответствии с самосопряженностью оператора h

not» = »01(2).

Наконец, блок гц(г) дается выражением:

1

ru(z)= / --

J—м Q ~ z

+ <r01(z);V> [ (С+ [ П +Zg < в,Фч >< Фя,в> dq) х J-м \ J-м Я —2 /

г СО

+ / ÍZJ1 <.,фч><фя,в >6dq

J-м 9 - г

-м С - iv

1MC-

В параграфе 1.3 построена риманова поверхность энергии блока гоо резольвенты и показано, что ее топология совпадает с топологией римановой поверхности вспомогательной вектор-функции

где L - число учитываемых каналов аннигиляции. Каждому из каналов аннигиляции отвечает невырожденная ветвь непрерывного спектра [—Mi, оо), i = 1,..., L оператора h, определяющего динамику в сумме каналов. Логарифмический характер особенности на пороге г = —Mi навязывается специальной структурой энергозависящего взаимодействия. Таким образом, каждой ветви [—М,-,оо), i = 1 отвечает бесконечное число листов римановой поверхности энергии, склеенных крест-накрест.

В параграфе 1.4 исследуется структура спектра оператора h. В частности доказана следующая основная теорема.

Теорема:

На физическом листе Поо все блоки резольвенты имеют разрез на промежутке [—М\,оо) и не имеют других особенностей вплоть до разреза. Здесь Mi - пороги каналов аннигиляции, Mi > Mi, i = 2, ...,L.

Пусть кратности вырождения спектров операторов h'n и hex в точке Х„ соответственно Lin ^ Lex- Tozdo, после включения связи каналов Нех и 7im кратность спектра в этой точке равна Lin + Lex — 1- На каждом из нефизических листов П/ римановой поверхности энергии Л с Lin + 1 разрезом левее точки А„ возникает пара резонансных особенностей. Все эти особенности невырождены.

В этом же параграфе предложена методика локализации комплексных особенностей резольвенты оператора h в произвольном порядке теории возмущений по малому параметру связи каналов. Для простейшего случая Lin = 2, п = 1 приведены явные формулы для локализации

/(г) = (1п(г + Mi), ln(z + М2),..., ln{z + Ml), z1/2),

резонансов во втором порядке теории возмущений. В первом порядке теории возмущений по малому параметру ||^>||2 показано, что резонан-сы даются формулами:

= А,-ДГ^Ы!2, 41)± = л1-дГ±||^||2.

В следующем порядке локализация резонансов описывается следующими выражениями:

2<2)± = А1 - ДГ^М!2 + ДГ^^НР.Н4-ЧЛГ^тг-^ЫПЫ!2-

V 2 - «Г

-Т-(Н^^!2 < <70^1,^1 > +1Ь2||2 < доЧ>г,<Р2 >) -

Л2 — г

- < >< >}, г<2)± = Л1 - Д^Ы!2 +

1 /II 1.2 - _ _ . II ||2

(Н^П <90'Р1^1>+\М\ < до<Р2,<Р2 >) -

а2

- < 90^1,^1 >< 9о92, <Р2 >}• Здесь Ау1х = Д}п(£ ± Ю) - предельные значения интегралов Шварца на вещественной оси, до - гладкая часть резольвенты оператора Нех, отвечающая непрерывному спектру, Аг - ближайшая к Ах точка дискретного спектра оператора Нех.

В параграфах 1.5 и 1.6 изучены процессы рассеяния в системах рр и рп в рамках модели с единым радиусом короткодействующего потенциала го, а также в рамках модели с разделенными радиусами анни-гиляционного и ядерного потенциалов при учете единственного канала аннигиляции. В рамках обеих моделей получены явные формулы для парциальных элементов матрицы рассеяния во внешнем (нуклонном) канале и длин рассеяния. Например, для модели с единым радиусом короткодействующего потенциала длина рассеяния для рп системы имеет вид:

г02Ы2Д'"(0) ао — —

го|^о|2Д'"(0) - 1'

Длина рассеяния для рр системы в первом порядке теории возмущений по параметру а = ^ (а/2 = 0.035 /ш-1, го = 1.2 /т) дается формулой:

с__го |<Ро [2 А'"(0)__

а0-----

2а2 - 1 + ro|v5o|2 Д'"(0)(1 - 2а[1п(2а) + 2Сс - 1])'

Здесь го - радиус модельного короткодействующего взаимодействия, а = тре2, е и тр - заряд и масса протона, Се - постоянная Эйлера.

Опишем вкратце набор параметров модели. Именно, интеграл Шварца

/оо 2 I р

V/ \ d»(C) ± in(v2 + Е2)ц'(Е). -м С - Ь

параметризовался спектральной мерой ц((), для которой было выбрано следующее представление:

,,ч /3 — М С

Это представление включает только один числовой параметр (3. Еще одним параметром являлось rj (Е R в представлении интеграла Шварца Агп. Наконец, параметрами модели служили квадраты модулей |y?i|2 коэффициентов парциального разложения функции <р и радиус Го сферы в конфигурационном пространстве, на которой задавалось граничное условие. Все использованные модельные параметры могут быть фиксированы с помощью экспериментальных данных, таких как комплексная длина рассеяния и полное сечение рассеяния.

Для фитирования параметров модели использовался следующий функционал

ктах ~ kmin Jkmi„ &tot(k) +

где (Ttot(k) — 21 + l)crj, erf определяется выражением:

С помощью комплексной длины рассеяния фиксировались два параметра /? и tj2. В качестве экспериментальной длины рассеяния выбиралось ао = (—0.93 + г'0.95)/ш [1] как для рр, так и для рп системы,

поскольку кулоновский вклад мал и его точное значение неизвестно. Далее минимизировался функционал х как функция других параметров в импульсном диапазоне = 200МеУ/с, ктах — lOÙMeV/c. Полное сечение собиралось затем по трем парциальным волнам s, р и d. Таким образом, параметрами являлись коэффициенты |<^о|2> |¥>i|2 и |¥>2|2-Радиус г о определялся в диапазоне 0.8 — 1.2 f т.

В главе II построена модель трехчастичного рассеяния с дополнительным (аннигиляционным) каналом рассеяния на примере системы pd.

В параграфе 2.1 построен самосопряженный оператор энергии задачи трех тел с непрерывным спектром во внутренних каналах.

Показано, что самосопряженный полуограниченный снизу оператор энергии H системы трех частиц с внутренней структурой, моделирующей дополнительный канал рассеяния, задается на описанной в диссертации области определения выражением

{Нех фех

■ х 4.

-Л^Ф™ + /СФа" - Са wi + CÎW-,

Ф = (Ф", а = 1,2,3

с граничными условиями:

<Цуа) =< Ф",¥»а > (»в) = / ЛхаЪеХ{Х)фа(ха),

Js?o

где Фег - волновал функция системы трех частиц во внешнем (нуклон-ном) канале, Ф^™ - волновая функция парной подсистемы а во внутреннем (мезонном) канале. Здесь ха, уа - якобиевы координаты, Са(Уа) ~ граничные значения функции Ф'^, wj - дефектные элементы. Оператор Нех описывает динамику в системе трех нуклонов без учета внутренней структуры частиц, S"0 - сфера радиуса го в конфигурационном пространстве, на которой заданы граничные условия, отвечающие паре а, оператор [0п*]|г„ обозначает скачок производной по нормали на поверхности цилиндра Га = S"0 х

В параграфе 2.2 выведены дифференциальные уравнения для компонент резольвенты системы трех тел во внешнем канале. Например, для блока iZoo граничная задача имеет вид:

(#„"* - zI)Roo(z) = S(X - X'), X, X' £ Г,

[d„Äoo]r„* = ~<PaQa(z) < Roü*,<pa > ■

Здесь Г = (Ja Га, Х = хафуа.

Получены выражения для зависящих от энергии 2 обобщенных операторов взаимодействия Va(z), порождаемых в парных подсистемах внутренней структурой:

Va(z)uo = ¿ГаУа(г)ио,

где Va(z) : —+ Т§х - интегральный оператор вида

Va{z)* = - < Qa(z)*,Va > tpa{xa).

Здесь !Fqx — Z2(ü6), а 6га - обобщенная функция простого слоя на цилиндре Га. Показано, что для произвольных комплексных значений энергии справедливо представление:

1

Qa(ya -y'a,z)= , / e1^'»--»-l(g2 + ^KCg)^.

В параграфе 2.3 получены модифицированные уравнения Фаддеева во внешнем канале на компоненты волновой функции. Как и в случае бесструктурных ЧасТИЦ [9] С ПОМОЩЬЮ фуНКЦИИ СреЗКИ Xa(|®cr|, |j/aI) определен асимптотический гамильтониан

а

где = — Ха), Va = 4- V^, и в его терминах построены

модифицированные интегральные уравнения Фаддеева

Gaß(z) = iaß(Ga(z) - Ga'(z)) - Ga(z)Va(z) £ Gyß{z).

7?ior

на компоненты Gaß блока G резольвенты полного оператора энергии Я во внешнем канале. Здесь Ga - резольвента оператора На = — Дх + Va + V<-°\ а <7as = (На* - г)"1.

Методами работы [9] на основе уравнений на компоненты Gaß резольвенты построены модифицированные интегральные уравнения Фад-деева на компоненты Ф^ волновых функций, отвечающие процессам аннигиляции и процессам рассеяния 2 —+ (2,3):

= Seal Ас - Ga(E ± iQ)Va £

где А — {а, г), а — 1,2,3, г = 1 ,...,Na, где Na — число связанных состояний в паре а. Неоднородный член Lac удовлетворяет уравнению Шредингера

(Яа -Z)LAC= 0.

В параграфе 2.4 исследовано аналитическое строение и асимптотическое поведение ядер Ga и Ga! для системы ррп. Исследованы асимптотические свойства первой итерации ядер интегральных уравнений Фаддеева с энергозависящими потенциалами. Показано, что, как и в случае системы с локальными быстроубывающими парными потенциалами, уравнения становятся фредгольмовыми после восьмой итерации их ядер. Показано также, что специфика энергозависящих потенциалов, связанная с их зависимостью не только от переменной ха, но и от переменной уа, проявляется в наличии дополнительного множителя в амплитуде рассеяния. Получены борцовские приближения для амплитуд рассеяния, отвечающих различным процессам в системе pd.

В параграфе 2.5 исследованы предельные случаи борцовского приближения для амплитуд рассеяния, полученные последовательными предельными переходами к незаряженной системе и к незаряженной системе с чисто дискретным спектром операторов h'". Именно, мы полагали, что кулоновский параметр 77^ = Чцае2 —*■ 0, где fia - приведенная масса в паре а, и содержали в интеграле Шварца лишь вклад дискретного спектра:

■Па ,(а) , 2 к=1 *к ~ z

где А^ - точки дискретного спектра оператора h'", па - их число. В описанных предельных случаях установлено согласие с результата-

ми, полученными ранее [12] для системы незаряженных частиц с чисто дискретным спектром операторов к™.

В параграфе 2.6 построены граничные задачи для модифицированных дифференциальных уравнений Фаддеева. Получена система неоднородных дифференциальных уравнений на компоненты волновой функции Фр'г во внешнем канале, возникающие после выделения начального состояния системы:

Начальное состояние \ отвечающее входному каналу р + ¿, пред-ставимо в виде:

Ха5 = Ф<1{ха)4'1П{Уа), где фа - волновая функция дейтрона, а волновая функция ф^* удовлетворяет уравнению Шредингера

при Е = + В последнем уравнении пеН - эффективный заряд, - энергия связи дейтрона. В результате была получена система неоднородных дифференциальных уравнений на функции Ф^'':

т

В параграфе 2.7 доказана спектральная эквивалентность системы модифицированных уравнений Фаддеева на компоненты волновой функции во внешнем (нуклонном) канале исходному оператору Шредингера в сумме каналов. Восстановлены также волновые функции во внутренних (мезонных) каналах:

ФУ, = ФоЯ + С««'а

где

Ф« = Л«"(Т1 - Та),

Ra =[-A»„+hZ-E}-1 =

dq,

2тг J ' iir\yn - y'aI Ti =

т2 = (-дВв - £)((.■»; + CÎW+),

В этом же параграфе получены асимптотические граничные условия на волновые функции внутренних (мезонных) каналов Ф"^

ф,п± __П±(Е1

а , . л I I- а V /'

где

JRЗ

Здесь - плоская волна в Яу,

= |РЛ-Мв)1»±

5 (~АУа - Е)(±.

В этих выражениях Р^п(Е) - г'а"(Е + ¿0) - г'а"(Е - г0)).

В заключении описаны направления в которых данная работа может быть продолжена.

Публикации по теме диссертации:

1.Yu.A.Kuperin, S.B.Levin, Yu.B.Melnikov, E.A.Yarevsky, pN Scattering with Annihilation Channel in Extended Hilbert Space Model. Few-Body Systems

Suppl. 8, 462-467, 1995

2.Yu.A.Kuperm, S.B.Levin, Yu.B.Melnikov, E.A.Yarevsky, Numerical analysis

of N N systems with annihilation channel and charge-exchange process. IPRT-

Preprint # 105-95, 1S95

3.Yu.A.Kuperin, S.B.Levin, Yu.B.Melnikov, E.A.Yarevsky, Application of

Extension Theory to Antiproton-Nucleon Systems with Continuous Set of Resonances in Annihilation Channel. Computers Math.Applic., 34, N 5/6, pp.559-570, 1997

4.Куперин Ю.А., Левин С.Б., Мельников Ю.Б., Яревский Е.А., Численный анализ pN систем с непрерывным спектром резонансов в аннигиля-

ционном канале. ЯФ, 59, (9), 1703-1705, 1996 5.S.В.Levin, E.A.Yaievsky, рр and рп Scattering with Annihilation Channel,

Hypeifine Interactions, 101 511-515, 1996 б.Ю.А.Куперин, С.Б.Левин, Задача рассеяния в системе трех тел с анни-

гиляционными каналами, IPRT-Preprint # 130-97, 1997 Цитированная литература:

1. Б.О. Кербиков, Л.А. Кондратюки М.Г. Сапожников, УФЕ, 159 (1989) 1.

2. A.M. Frolov and A.J. Thakkar, Phys. Rev. A, A46 (1992) 4418.

3. V.I.Korobov, Yu.A.Kuperin, S.I.Vinitsky, Phys. Lett. В, B315 (1993) 215.

4. C.B. Dover, J.M. Richard, Phys. Rev. С, C21 (1980) 1466.

5. T.-A. Shibata, Phys. Lett. Б, B180 (1987) 232.

6. I.S. Shapiro, Nud. Phys. A., A478 (1988) 665;

O.K. Далькаров, Л. Карбонель, K.B. Протасов, ЯФ, 52, 6(12) (1990) 1670.

7. H.R. Rubinstein, H. Stern, Phys. Lett., 21 (1986) 447;

A.M. Green, J.A. Niskanen, Nucl. Phys. A, A412 (1984) 448.

8. Меркурьев С.П., ТМФ, 32, (1977) 187-207.

9. Меркурьев С.П., Фаддеев Л.Д. Квантовая теория рассеяния для систем

нескольких частиц. - Москпа, "Наука", 1985.

10. Меркурьев С.П., Записки научн. сем. ЛОМИ, 77, (1978) 148.

11. M отоои л он А.К., Квантовая задача трех тел в модели граничных условий. - УДК 530.145.6 Диссертация на соискание ученой степени кандидата ф.-м. наук, Ленинград, 1984

12.Куперин Ю.А., Метод граничных условий и энергозависящие потенциалы в задаче нескольких частиц. - УДК 530.145.6 Диссертация на соискание ученой степени доктора ф.-м. наук, Ленинград, 1988

13. Павлов B.C., УМН, 42, 6(258) (1987) 99.

14. Павлов Б.С., ТМФ, 59 (3), (1984) 345.

ЛР № 040815 от 22.05.97r Подписано к печати 23.02.98г. Заказ 220. Тираж 100 экз. Объем 1,0 п.л. Отпечатано в отделе оперативной полаграфии НИИ химии СПбГУ 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский ир.2.