Метод конечных элементов исследования диэлектрических волноводов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Московский Государственный Университет

ОД

им. М.В. Ломоносова

Физический факультет

На правах рукописи

Делицын Андрей Леонидович

МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ

Специальность 01.01.03 - Математическая физика

Авгорс<})ерат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1996

Работа выполнена на кафедре математики физическою факультета Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук,

доцент Боголюбов А.Н.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Шестопалов Ю.В. доктор физико-математических наук, профессор Пирогов КМ.

Ведущая организация - Институт вычислительной математики.

Защита диссертации состоится 1996 г. в /Г^на заседании

диссертационного совета/^З^^/^при физическом факультете Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова. Адрес: Москва, Воробьевы горы, МГУ им. М.В.Ломоносова. ср/)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук,П.А.Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Метод конечных элементов широко используется для решения систем уравнений эллиптического типа. Этот метод может применяться для уравнений с разрывными коэффициентами и в случае областей со сложной формой границы, в том числе и в случае областей с входящими углами. В настоящее время, в связи с развитием машинного проектирования устройств СВЧ, интегральной и волоконной оптики представляет интерес разработка эффективных алгоритмов расчета мод волноводов с диэлектрическим залолнением. В качестве одного из наиболее универсальных методов можно рассматривать метод конечных элементов. В то же время применение стандартного метода конечных элементов лагранжевого типа к задаче модового анализа волноводов привадит к возникновению решений нефизического типа. Для устранения подобных решений были предложены различные методы. Однако достаточно эффективные алгоритмы не были построены. Поэтому представляет интерес исследование причин возникновения нефизических решений и методы их устранения.

Целью работы являлась разработка алгоритмов вычисления мод волноводов, исключающих появлений нефизических решений. В соответствии с поставленной целью решались следующие задачи:

1. йсследовалке возникновения нефизических решений.

2. Применение метода смешанных конечных элементов к решению задачи вычисления мод.

3. Разработка алгоритмов типа Ланцоша для решения обобщенной алгебраической проблемы собственных значений высокого порядка.

4. Исследование вопросов спектральной теории волноводов. Доказательство полноты системы собственных и присоединенных функций волновода.

5. Рассмотрение вопроса сходимости.

Научная новизна .

1. Метод смешанных конечных элементов позволяет правильно ал-

проксимировать нулевое собственное значение. При этом не возникают собственные значения (с.з.), несвязанные с неправильной аппроксимацией нулевого с.з..

2. Реализован метод типа Ланцоша для расчета нескольких младших собственных значений отличных от нуля. Предложены различные методы исчерпывания, исключающие появление нулевого с.з.

3. Предложена новая постановка, в которой в качестве собственного значения выст-упает квадрат постоянной распространения. При этом исходная задача сведена к задаче для симметричных, но незнакоопределен-ных операторов. Реализован незнакоопределейный метод Ланцоша для решения задачи на с.з.

4. Установлена дискретность спектра волновода с кусочно непрерывным заполнением.

5. Задача о модах волновода сведена к изучению линейного операторного пучка. Введено функциональное пространство, в котором выполняются условия теоремы Келдыша. Доказана полнота системы собственных и присоединенных функций волновода. Рассмотрен вопрос о сходимости метода конечных элементов.

Практическая значимость работы . Предложенный подход позволяет расчитывать дисперсионные характеристики волноводов с малыми затратами компьютерных ресурсов. При применении метода конечных элементов в алгоритмах автоматизированного проектирования усройств СВЧ и интегральной оптики может быть достигнут значительный выигрыш по сравнению с другими методами.

Апробация результатов работы . Основные результаты работы докладывались на

1. Международной конференции "Лазеры в науке, технике, медицине". Суздаль. 20-22 сентября. 1994.

2. Ломоносовских чтениях МГУ, 1996.

3. Научном семинаре физического факультета МГУ "Численные методы электродинамики" под руководством профессора Свешникова А.Г. и профессора Ильинского A.C.

4. Научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ под руководством профессора Бутузова В.Ф.

Публикации . Основные результаты опубликованы в 3 печатных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации . Диссертадия состоит из введе-шя, четырех глав и заключения. Общий объем диссертации составляет L16 страниц, включая 15 рисунков и 3 таблицы. Список литературы содержит 88 источников.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы основные задачи работы и дается )боснование ее актуальности.

В первой главе дается обзор основных методов, применяемых применяемых при анализе мсщ волноводов методом конечных элементов. Воз-ложны различные подходы к решению этой задачи. Ее можно рассматри-»ать как задачу на с.з., либо относительно отношения квадрата частоты »лектромагнитного поля к квадрату скорости света, что упрощает зада-iy с вычислительной точки зрения, либо относительно постоянной рас-1ространения. Все применявшиеся постановки задачи приводят к опреде-тенным сложностям, как с вычислительной точки зрения, гак и с точки фения исследования спектральных свойств задачи.

Во второй главе задача рассматривается относительно квадрата частоты электромагнитного поля. Изучаются причины возникнове-шя решений нефизического тина. Напрааим ось z вдоль оси волновода. Будем считать, что электромагнитное поле имеет гармоническую зависимость от времени: е~'ш1. Будем искать модовые решения системы уравнений Максвелла вида Н(х,у)е^г. Введем оператор rotpH — [ЦЬ- - ¡3Hy)i + (0Ht - + - Сведем систему уравнений

Максвелла к векторному уравнению относительно магнитного поля:

roifjt~xrotf¡ü = к2цН, (х,у) S D, (1)

7ie у), ц(х, у) - кусочно-непрерывные функции диэлектрической и

магнитной проницаемостей, D - сечение волновода. На границе области поставим условие:

e~lrotßH х п \до= 0, (2)

на линиях разрыва С диэлектрической проницаемости е условия сопряжения:

\Н х п] |с= 0 (3)

\e~lTotßH х nj |с= 0. (4)

Математически задача формулируется следующим образом. Вводится функциональное пространство:

Ъ = (Я <5 Li,rotßH е Ь2)

и билинейные формы для V# € 2, V// 6 2 :

а(Я,Я) = f rotßHe^TotßHdS D

И

b(H,H) = j KfxHdS.

D

Ищется обобщенное решение задачи (1)-(4), принадлежащее пространству Z, т.е. функции Я G Z и значение fc2, удовлетворяющие уравнению:

а(Я, Я) = k2b(H, Н). (5]

При применении метода конечных элементов ищется приближенное решение задачи (5).в некотором конечномерном пространстве Z\. При выборе в качестве базиса пространства Zh непрерывных функций, нуле вое собственное значение бесконечной кратности, которому соответству ет множество собственных векторов вида Н = € И^1, пе

реходит в совокупность ненулевых собственных значений и требуете; различать собственные значения, отвечающие физическим модам и соб ственные значения нефизического происхождения, Как показано в работ

на примере полого волновода, неправильная аппроксимация нулевого собственного значения является не единственной причиной возникновения нефизических решений. Для устранения нефизических решений второго типа и правильной аппроксимации нулевого собственного значения применяются смешанные конечные элементы.

Примененя.ч метод смешанных конечных элементов приходим к обобщенной алгебраической проблеме собственных значений вида:

АН = РВИ,

где А и В - разреженные матрицы. Требуется найти несколько отличных от нуля младших собственных значений, причем примерно. | с.з. составляет нулевое с.з. При применении для решения этой задачи метода Ланцогпа без переортогонализации метод характеризуется потерей устойчивости. При числе итераций меньше 5 порядка матриц существуют приближения только к нулевому с.з. Приближения достаточной точности к ненулевым с.з. появляются при числе итераций приблизительно равном порядку матриц. Решается вопрос о применении процедуры исчерпывания и исключении из числа вычисляемых нулевого с.з. Рассмотрены различные подходы к исчерпыванию. При этом показано, что достаточным для сохранения устойчивости вычислениия нескольких с.з. оказывается выбор в качестве начального вектора метода Ланцоша следующего вектора:

_ В'1 Ах

~ </(В'1Ах,Ах)

Результаты расчетов показали быструю сходимость метода. Одним из недостатков метода конечных элементов является необходимость решать обобщенную проблему собственных значений с недиагональной матрицей В. Для диагонализации матрицы В в работе применяется численное интегрирование, в качестве узлов квадратурной формулы используются степени свободы конечных элементов. При решении алгебраической задачи с диагонализированной матрицей скорость сходимости возросла примерно вдвое.

В третьей главе предлагается новая постановка задачи о модах волновода. Задача рассматривается относительно квадрата постоянной распространения. Постоянная распространения входит нелинейно в систему уравнений (1). Как известно, путем введения новых функций Нх = (ЗНХ, Ну = ¡ЗНу задача сводится к уравнению:

АН = /37ВН,

где

Л =

6 „-1 8

Вх

( -е-1 О

4 «Iе

£ 'е

Вх

'8т

0\

О

О

—с

-1

-1А

8х -1 д

6хе вх + 8/ 5* + Л ^

(6)

(7)

(8)

В данной постановке спектральный параметр входит линейно. При этом задача представляет собой обобщенную задачу на собственные значения для симметричных, но незнакоопределенных операторов. Наличие в правой части уравнения (6) дифференциального оператора привадит к тому, что для факторизации матрицы В, получающейся при дискретизации уравнения (6) методом конечных элементов, требуются значительно большие запросы к памяти и времени, чем в случае постановки гл. 2. В работе предложен подход, сводящий систему (6) к задаче с диагональной матрицей. Суть предлагаемого метода заключается в следующем. Фак-торизуем матрицу В:

В = ьвь\

(9)

где

( 1

Ь-.

В =

1

в_

8у

—е-

1,

V - оператор, сопряженный оператору Ь. Вводятся новые неизвестные функции:

ЬН

и уравнение (6) преобразуется к виду: В результате получается уравнение:

где

Л =

«у" йг

~~ше Ъх I

-м-

_ __

в¡1 вх п п ^ду

Заметим, что оператор А имеет с.з. бесконечной кратности, которому отвечают собственные векторы —.

Соответствующая система уравнений ыожег быть получена также в случае тензоров диэлектрической и магнитной проницаемости следующего вида:

N (11\\ Ни \

(ей

е =

£п £22

\

И =

£зз/

Рзз/

Уравнение (9) решается методом смешанных конечных элементов. Для решения алгебраической проблемы собственных значений применяется знахонеопределенный аналог метода Ланцоша. Портреты матриц имеют тот же вид, что и в случае постановки, рассматриваемой в предыдущей главе. Поведение метода Ланцоша характеризуется меньшей устойчивостью.

В четвертой главе рассматриваютя вопросы спектральной теории волноводов. В данной главе представлен иной вывод системы уравнений,

подобной исследуемой в гл. 3. Рассматривается задача поиска однородных решений уравнений Максвелла:

н= Е

£,п{п-к)}

Нке

Е= Е

-к

Для постановки задачи выбираются те шесть уравнений Максвелла, в которые входит производная по г. После сокращения на множители, зависящие от координаты г, уравнения для собственных функций записываются в виде:

тot¡ =

го= рщ. Уравнения для присоединенных функций имеют вид: го1\ = /?д£?,Ч1 + qGi = (ЗЩ+, + Щ,

где

(10) (И)

(12) (13)

- ■+ + <|г - + + *

г-1

Я =

,,-1

1 =

(V

\

-1

0

-1

\

С/

Система уравнений разрешается относительно вектора Р. В результате рассматривается система уравнений:

гоЬЧ-1гоЦР{ (14)

гоЬч^гои - + 2доя (15)

го^го^ = №•+» + 4 (16)

Система уравнений (14-16) дополняется граничными условиями:

Их*п\во= 0 (17)

В, |0 (18)

и условиями сопряжения:

[Я * и] \с= 0 (19)

т |с= о (20)

К^-Шу)*пх}\с=0 (22)

К^ + ЬЯ,)*п,1|с=0, (23)

оу

Система уравнений ( 14-16 ) совпадает с системой уравнений для собственных и присоединенных функций квадратичного пучка:

£(/?) = тоЦц-\оЦ - 021.

В работе показало, что кратности собственных значений пучка /Д/?), рассматриваемого как линейный относительно спектрального параметра /?2, совпадают с хратностями квадратичного, рассматриваемого относительно /?, причем собственные и присоединенные векторы линейного и квадратичного пучка связаны линейными соотношениями.

В дальнейшем полагается, хотя это и несущественно, что магнитная проницаемость равна 1. Обобщение на случай произвольной функции ^ не вызывает принципиальных затруднений. Оставшиеся уравнения Максвелла рассматриваются в качестве дополнительных дифференциальных

условий, которым должно удовлетворять решение. Используется следующее дифференциальное условие:

ОН, дНх

- кгЕ, = 0.

дх ду

Вводится функциональное пространство: V = (Я* € И^Я, € ^,(Ятг) 0, Ег 6 (24)

ая„ ая.

<9я Эу и билинейные формы над V :

- кеЕг = 0)

+

дга(1±Е2дгас1±Е*г + (Л„ - к2с)Н±Н]_ + \йеЕгЕ*)йЗ ке аЛНх _ ке^ЩУБ

ду дх

с(Р, Р) = / ЯЛЯ1 + еЕдаЗ. 1>

Ищутся обобщенные решения задачи для линейного операторного пучка, т.е. в случае собственных функций решения, удовлетворяющие VР 6 V уравнению:

Р5) + Ь(Е, Р) = Р). (25)

В работе показано, что в пространстве V билинейная форма а(Е, Е) эквивалентна скалярному произведению (Е, Е)щ. Уравнение (25) в пространстве V сведено к задаче

Е + ВЕ^ХАЕ, (26)

где оператор Б - компактный, А - компактный и самосопряженный, Оператор А является оператором конечного порядка, т.е. выполняется

Е /х2"" < оо, где цп - собственные значения оператора А, кроме того А -

п=0 _

является полным оператором. Таким образом, задача (26) удовлетворяет условиям теоремы Келдыша. Справедливы утверждения:

Ут > 0 все собственные значения задачи (26), кроме, может быть, конечного числа, лежат внутри угла | агд\ (< т.

Система собственных и присоединенных векторов задачи (26) полна в

V.

В четвертой главе рассмотрен тал же вопрос о сходимости собственных значений дискретной задачи к собственным значениям дифференциальной задачи.

ВЫВОДЫ

1. В работе показана возможность применения метода смешанных конечных элементов к вычислению распространяющихся мод волновода, имеющих физический смысл. Проанализированы вопросы возникновения нефизических решений при применении лагралжевых конечных элементов и выборе в качестве спектрального параметра отношения частоты электромагнитного поля к скорости света. Установлена возможность появления решеиий нефизического типа не связанных с неправильной аппроксимацией нулевого собственного значения. Рассматривается применение метода смешанных конечных элементов, позволяющего точно вычислить нулевое собственное значение и исключающего появление решений нефизеского смысла второго типа.

2. Рассмотрено применение метода Ланцоша к решению алгебраической проблемы собственных значений, возникающей при применении смешанных конечных элементов. Разработаны эффективные алгоритмы, предъявляющие малые запросы к машинной памяти и времени счета.

3. Разработаны алгоритмы исчерпывания, позволяющие эффективно вычислять физические моды и исключающие многократное вычисление нулевого собственного значения. Предложены методы диагонализации матрицы масс, что позволяет рассматривать обобщенную проблему соб-

ственных значений с почти теми же запросами к машинным ресурсам, что и в случае стандартной проблемы собственных значений.

4. Предложена новая постановка задачи расчета мод волновода, причем в качестве собственного значения выступает непосредственно квадрат постоянной распространения. Для решения возникающей обощен-ной алгебраической проблемы собственных значений для симметричных, но незнакоопределенных матриц разработан алгоритм, реализующий обобщенный вариант метода Ланцоша. Основным достоинством данной постановки является возможность расчета квадрата постоянной распространения с теми же запросами к компьютерной памяти, что и при рассмотрении спектральной задачи относительно к2.

5. Рассмотрены основные спектральные свойства волновода с произвольным кусочно- гладким заполнением. Задача рассматривается i функциональном пространстве, выделяемым дополнительным дифференциальным условием. Особенностью рассматриваемою подхода являете* линейность вхождения спектрального параметра в рассматриваемый one раторный пучок. Установлена дискретность спектра операторного пучка Доказана полнота системы собственных и присоединенных функций.

Основные результаты диссертации опубликованы в следую щих работах:

1. Конечно-разностные методы расчета волновеяугцих систем ин тегралыюй оптики. А.Н.Боголюбов, А.Л.Делицын, А.В.Красильникова Д.В.Минаев. // Тезисы докладов 5 международной конференции "Лазе ры в науке, технике, медицине", г. Суздаль, сентябрь 1994.

2. Новая постановка задачи расчета мод диэлектрических волноводо] методом конечных элементов. А.Н.Боголюбов, А.Л.Делицын. // Вестн МГУ сер. физика, астрономия, т.36, N 2, 1995, с. 95-98.

3. Расчет диэлектрических волноводов методом конечных элемен тов, исключающий появление иефизических решений. А.Н.Боголюбов А.ЛДелицын. //Вестн. МГУ сер. физика, астрономия, т.37, N 1, 1996 с. 9-13.