Дифракция электромагнитных волн на распределенных неоднородностях в прямоугольных волноводах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

е-

и.' ' ■©

чг-

На правах рукописи

НИКИШОВ Виктор Николаевич

ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА РАСПРЕДЕЛЕННЫХ НЕОДНОРОДНОСТЯХ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ВОЛНОВОДАХ

Специальность 01.04.03 - Радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Самара - 1997

Работа выполнена на кафедре радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета.

Научные руководители:

кандидат технических наук, профессор Г.П.Яровой; кандидат физико-математических наук, доцент В.В.Зайдев.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А.Г.Глущенко; кандидат физико-математических наук, доцент В.Б.Феклистов.

Защита диссертации состоится 13 марта 1997 г. в 14.00 на заседании диссертационного совета К 118.10.02 в Поволжском институте информатики, радиотехники и связи (443010, г.Самара, ул. Льва Толстого, 23).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Поволжского института информатики, радиотехники и связи.

Автореферат разослан 1997 года.

Ведущая организация:

Самарский филиал физического института АН РФ.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.т.н., доцент В.Г.Карташевский

ОбЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы:

Современное развитие СВЧ-техники характеризуется как непрерывным продвижением в область все более коротких длин волн, так и расширением элементной базы. Широкое применение полосковых и щелевых линий, наряду с наличием функциональных элементов, включающих в себя диэлектрические и полупроводниковые материалы, с необходимостью ведет , при малых длинах волн, к рассмотрению дифракционных задач на распределенных структурах, что, в свою очередь, обуславливает распределенный характер взаимодействия электромагнитной волны с неоднородностями. Строгая математическая модель дифракции электромагнитной волны на распределенных неоднородностях в настоящее время является единственным источником информации. Полный электродинамический анализ можно провести только с учетом многомодовости волноведущего тракта, что делает практически бесперспективным нахождение замкнутых решений соответствующих краевых задач.

В связи с этим особую роль приобретают строгие численно-аналитические методы решения конкретных дифракционных задач, позволяющие установить основные закономерности и особенности взаимодействия электромагнитной волны в направляющих системах с распределенными неоднородностями.

В свою очередь, решение конкретных дифракционных задач стимулирует как развитие новых методов расчета, так и служит надежной основой при проектировании СВЧ устройств и диагностики используемых материалов.

Целью работы являлась разработка методик решения широкого

класса дифракционных задач, описывающих распространение электромагнитных волн в прямоугольном волноводе, содержащем распределенные неоднородности в виде диэлектрических и полупроводниковых тел, при наличии импедансных и металлических поверхностей, а также отрезки волноводно-щелевой и полосковой линий.

' Научная новизна

Предложен метод расчета распределения СВЧ-поля и частотных характеристик распределенных неоднородных сред в прямоугольном волноводе, основанный на численном интегрировании систем обыкновенных дифференциальных уравнений и характеризуемый вычислительной эффективностью.

Впервые строго решена задача о распространении волны в волноводе, содержащем диэлектрические и полупроводниковые тела, расположенные на участке волновода с импедансными поверхностями. Теоретически показано, что зависимость резонансной частоты от величины импеданса поверхности носит обратный характер по сравнению с зависимостью обычного волноводно-диэлектрического резонанса. Предложен численный алгоритм расчета дисперсионных характеристик методом, основанным на принципе аргумента и теореме Руше, позволяющий определять комплексные корни дисперсионного уравнения с учетом их кратности. Данный алгоритм применен для расчета комплексных волн ВЩЛ и ряда полупроводниковых структур.

Исследовано влияние поверхности полупроводникового образца с распределенной проводимостью на распределение СВЧ-поля и связанных с ним характеристик. Показано, что даже при малой толщине поверхностного слоя происходит значительное искажение характеристик поля по сравнению с однородной проводимостью.

Впервые строго решена задача дифракции электромагнитной волны на отрезках волноводно-щелевой и полосковой линий .

Предложен метод преобразования рядов Шлемильха к быстросходящимся выражениям, что позволяет существенно облегчить решение ряда дифракционных задач и нахождение собственных волн полосковых и волноводно-щелевых линий.

Достоверность полученных теоретических результатов

обеспечивается строгостью используемых математических моделей, сходимостью вычислительных алгоритмов и соответствием результатов расчетов эксперименту,

экспериментальных результатов обеспечена современной стандартной аппаратуры,

Достоверность применением обработкой

экспериментальных данных использованием ЭВМ.

с помощью современных методов с

Практическая значимость работы

1. Предложен резонансный метод для определения значения диэлектрической проницаемости образцов в большом диапазоне значений.

2. Предложен резонансный метод для определения величины поверхностного импеданса.

3. Предложены численные алгоритмы и эффективная методика для расчета распределения СВЧ-поля и частотных характеристик различного класса распределенных неоднородностей в прямоугольном волноводе.

4. Предложен резонансный метод для определения геометрических размеров диэлектрических цилиндров, в том числе радиуса кругового цилиндра или степени эллиптичности.

5. Предложен эффективный метод нахождения комплексных корней дисперсионных уравнений полосковых и волноводно-щелевых структур, основанный на принципе аргумента и теореме Руше.

В диссертации защищаются следующие основные положения:

1. Комбинация метода Гира с методом прогонки повышает вычислительную эффективность метода, основанного на интегрировании задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяет получать частотные характеристики задач дифракции основной волны прямоугольного волновода на неоднородных средах.

2. Применение системы из двух диэлектрических тел позволяет получить надежный метод определения диэлектрической проницаемости исследуемого образца в большом диапазоне значений.

3. Введение диэлектрической призмы на участок волновода с импедансной поверхностью дает надежный метод определения величины импеданса за счет изменения резонансных свойств данной структуры .

4. Задачи по нахождению собственных волн ВЩЛ и полосковой линии значительно упрощаются путем сведения их к задаче на собственные значения , если в качестве базисной системы волн выбрать собственные волны прямоугольного волновода, содержащего продольную металлическую пластину и собственные волны прямоугольного щелевого волновода.

5. Произведена оценка влияния поверхности полупроводникового материала на распределение СВЧ поля в

полупроводниковом образце. Данное' влияние должно учитываться при конструировании СВЧ датчиков.

6. Решение задачи дифракции основной волны на отрезке ВЩЛ и отрезке полосковой линии , расположенных в прямоугольном волноводе, позволило выявить резонансные свойства амплитудно-частотных характеристик этих структур .

7. Преобразование рядов Шлемильха к быстросходящимся выражениям позволяет получать простые и эффективные вычислительные алгоритмы в ряде дифракционных задач.

Личный вклад автора выразился в самостоятельной разработке

методик и алгоритмов решения рассмотренных в диссертации электродинамических задач, выборе математической модели, написании и отладке программ с последующей их реализацией на вычислительных средствах, в проведении сравнительного анализа полученных результатов с экспериментальными данными и формировании основных научных выводов. Все расчеты, проведенные в диссертации, осуществлены лично автором.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на П-ой Всесоюзной школе-семинаре "Взаимодействие электромагнитных волн с полупроводниково-диэлектрическими структурами" (Саратов, 1988), Ш-ей Всесоюзной

научно-технической конференции "Математическое моделирование и САПР радиоэлектронных систем СВЧ на объемных интегральных схемах" (Суздаль, 1989), Всесоюзном семинаре "Математическое моделирование физических процессов в антенно-фидерных трактах" (Саратов, 1990), IV Всесоюзной научно-технической конференции "Математическое моделирование и САПР радиоэлектронных и вычислительных систем СВЧ и КВЧ на объемных интегральных схемах (ОИС)" (Волгоград, 1991), на VI Межгосударственной школе-семинаре "Техника, теория, математическое моделирование и САПР систем сверхбыстрой обработки информации на ОИС СВЧ и КВЧ" (Москва, 1992) а также на научных семинарах кафедры радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем СамГУ и научных семинарах кафедры основ конструирования и технологии радиотехнических систем ПИИРС .

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 9 работ, в том числе 4 статьи и 5 тезисов докладов на научно-технических конференциях и семинарах.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из Введения, четырех глав, двух приложений, Заключения, списка литературы. Работа изложена на 235 страницах, из них основной текст - 150 страниц, рисунки и таблицы - 44 страницы, приложения - 30 страниц, список использованных источников - 11 страниц (105 наименований).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы и сформулирована

цель исследования. В нем также кратко изложено содержание работы глав диссертации.

В первой главе рассмотрен ряд задач по нахождению

распределения СВЧ поля и частотных характеристик распределенных неоднородностей в прямоугольном волноводе.

Дифракция основной волны на неоднородных средах с некоординатными границами решена методом, основанным на использовании метода Гира и дифференциальной прогонки для задачи Коши систем дифференциальных уравнений. Исследованы частотные характеристики цилиндрических неоднородностей. Выявлена зависимость резонансной частоты при изменении радиуса круговой неоднородности или степени эллиптичности цилиндра, что дает возможность для калибровки диэлектрических волноводов и оптических световодов.

Методом поперечных сечений и "сшивания" полей решена задача дифракции волны на диэлектрических и полупроводниковых образцах, расположенных на участке волновода с импедансными поверхностями. Зависимость резонансной частоты от импеданса поверхности позволила предложить резонансный метод определения величины поверхностного импеданса.

Задача дифракции волны #10-типа на полупроводниковом образце с распределенной проводимостью включает в себя учет поверхностного слоя и решалась следующим образом:

- для высокоомных "образцов была использована методика сведения краевой задачи к задаче на собственные значения для определения структуры полей и собственных волн на участке волновода с полупроводником и дальнейшего "сшивания" полей на передних и задних стенках образца. Для полупроводниковых материалов с большим значением проводимости нахождение постоянных распространения и системы собственных волн производилось на основе решения задачи Коши для уравнения Гельмгольца, после чего путем "сшивания" полей на передней и задней стенках образца определились амплитуды и фазы возбуждаемых волн. Сравнение полученных характеристик распределения электромагнитной волны при учете поверхностного слоя и распределенной проводимости значительно отличаются от аналогичных характеристик однородного полупроводника. Данное обстоятельство должно учитываться при конструировании СВЧ датчиков.

Методом поперечных сечений и "сшивания" полей на границах раздела сред решена задача дифракции основной волны на системе из двух диэлектрических тел. Исследование частотных характеристик позволило модифицировать метод измерения диэлектрической проницаемости, пригодный для большого диапазона значений.

При нахождении комплексных корней дисперсионных характеристик использовался метод на основе принципа аргумента и теоремы Руше, позволяющий находить корни соответствующих уравнений с учетом кратности.

Вторая глава посвящена задаче дифракции основной волны на

отрезке ВЩЛ, расположенной в прямоугольном волноводе. На основе решения задачи в строгой постановке была разработана методика определения установившегося распределения СВЧ-поля во всем объеме волновода, а также коэффициента отражения и прохождения основной волны. Для нахождения собственных волн волноводно-щелевой линии была предложена методика, позволяющая свести данную задачу к задаче на собственные значения. Метод основан на разложениях собственной волны ВЩЛ по системе базисных волн соответственно прямоугольного щелевого (или реберного) волновода. Исследование системы базисных волн реберного волновода представляет самостоятельный интерес в силу возможности их использования в других дифракционных задачах. Данная система базисных волн может быть разбита на подсистемы Е и Я-волн.

При нахождении постоянной распространения и собственных ' волн была разработана эффективная методика, основанная на преобразовании рядов Шлемильха к быстро сходящимся выражениям.

Для анализа дисперсии собственных волн был применен специальный метод решения комплексного дисперсионного уравнения, которое для ВЩЛ представляет собой определитель, приравненный к нулю. Метод основан на использовании принципа аргумента и теоремы Руше для мероморфных функций, позволяющий находить комплексные корни с учетом кратности.

Сравнение результатов проводимого расчета и экспериментальных данных по определению амплитудно-частотных характеристик показало их удовлетворительное согласие. На основе этих характеристик была выявлена возможность резонансного взаимодействия волны с отрезком ВЩЛ, обусловленная наличием смещенной от центра диэлектрической подложки.

В третьей главе диссертации рассмотрена задача дифракции

на отрезке полосковой линии, расположенной в прямоугольном волноводе. На основе решения задачи в строгой постановке была разработана методика определения установившегося распределения СВЧ-поля во всем объеме волновода, а также коэффициента отражения и прохождения основной волны. Для нахождения собственных волн была предложена методика, позволяющая свести данную задачу к задаче нахождения собственных значений и собственных векторов. Метод основан на представлении поля собственной волны в виде разложения по собственным волнам прямоугольного волновода, содержащего металлическую полоску, расположенную в ¿'-плоскости. Нахождение данной системы базисных волн проведено модификацией метода СИУ и является более простой задачей, в связи с возможностью разбиения их на подсистемы Е и Я-волн. Для нахождения постоянной распространения и структуры собственных волн была использована методика преобразования рядов Шлемильха к быстро сходящимся выражениям.

Четвертая глава диссертации посвящена задачам дифракции,

приводящих к рядам Шлемильха. Рассмотрена задача о дифракции основной волны на цилиндрической неоднородности методом зеркальных отображений. Матричные элементы системы уравнений, полученных "сшиванием" полей на границах раздела сред, представляют собой ряды Шлемильха. Преобразование данных рядов на основе специальной методики позволяет провести расчет для кругового диэлектрического цилиндра. Результаты расчета

сравниваются с результатами соответствующих расчетов, проведенных в 1 главе. Отмечается хорошее согласие между ними.

Для задачи о дифракции волны на металлической диафрагме в прямоугольном волноводе предложена эффективная вычислительная схема с использованием рядов Шлемильха. Использование рядов Шлемильха может рассматриваться как вспомогательный метод для решения задач на основе СИУ, если вместо преобразования Швингера использовать обычные линейные преобразования координат.

Обобщенный ряд Шлемильха может быть записан в виде: Q(x,y) = Е j(m)Jp(mx)J4(mx)Sjy), (l)

m= 1

где Jp(mx) - функция Бесселя 1-го рода; j(m) - коэффициент,

зависящий от т; Sjy) = sin(my) или Sjy) = cos(my).

Наряду с (l) рассмотрены и ряды вида:

Р(х,у) = Е j(m)Jp(mx)Sjy). (2)

m-1

Данные ряды на основе специальной методики преобразуются к степенным рядам:

Rix,у) - Е Е Стгх™у\ (3)

m , 11 = 1

Для вычисления рядов (3) достаточно ограничиться несколькими членами ряда. Приведены формулы конкретных рядов Шлемильха и пакет программ с реализацией их на языке ФОРТРАН.

Основные результаты и выводы

1. Предложен метод расчета СВЧ поля и частотных характеристик при дифракции основной волны на распределенных неоднородностях, основанный на численном интегрировании методом Гира системы дифференциальных уравнений для задачи Коши. Задача Коши получается из соответствующей граничной задачи методом прогонки. На примерах неоднородностей с некоординатными границами показана его высокая вычислительная эффективность. На основе данного метода исследованы частотные характеристики цилиндрических неоднородностей. Смещение резонансной частоты при изменении формы цилиндра от круговой к эллиптической дает

надежную методику калибровки геометрических размеров диэлектрических волноводов и оптических световодов.

2. Теоретически исследована задача дифракции волны #10-типа на системе из двух диэлектрических тел. Показано, что зависимость резонансной частоты от изменения диэлектрической проницаемости образца может быть подобрана за счет изменения конфигурации структуры и подбора значения диэлектрической проницаемости второго образца таким образом, что возможно надежное определение диэлектрической проницаемости исследуемых образцов в широком диапазоне значений.

3. Строго решена задача дифракции основной волны на диэлектрической или полупроводниковой призме, расположенной на участке волновода с импедансными поверхностями. Были исследованы резонансные свойства такой структуры. Показано, что наличие диэлектрического тела дает возможность определения величины поверхностного импеданса на основе графика зависимости резонансной частоты от величины импеданса.

4. Предложена методика нахождения комплексных дисперсионных уравнений методом, основанным на использовании принципа аргумента и теоремы Руше с автоматическим определением кратности корня. На основе данной методики исследованы дисперсия электромагнитной волны в волноводе с полупроводниковыми неоднородностями и дисперсия комплексных волн волноводно-щелевых линий.

5. Построены базисные системы собственных волн прямоугольного щелевого (реберного) волновода и прямоугольного волновода с металлической полоской, ориентированной в Е-плоскости. Произведено разбиение данной системы волн на подсистемы Е и Я-волн. Исследованы свойства таких подсистем.

6. При исследовании собственных волн полосковых и волноводно-щелевых линий была применена методика разложения собственных волн по базисным системам волн прямоугольного волновода с металлической полоской в ¿'-плоскости и по базисным волнам прямоугольного щелевого (реберного) волновода соответственно. Данный метод позволил свести задачу нахождения собственных волн полосковых и волноводно-щелевых линий к задаче на собственные значения.

7. Произведена оценка влияния поверхности полупроводникового образца на распределение СВЧ-поля и частотные характеристики. Влияние поверхности может быть весьма

значительно и должно быть учтено при конструировании' СВЧ датчиков.

8. Строго решена задача дифракции основной волны на отрезках полосковой и волноводно-щелевой линий, расположенных в прямоугольном волноводе. Исследованы частотные характеристики и распределения СВЧ полей.

9. При решении интегральных уравнений, возникающих в ряде дифракционных задач, использование вместо преобразования Швингера простых линейных преобразований позволяет получать более простые системы уравнений. При этом появляются ряды Шлемильха. Разработан метод преобразования рядов Шлемильха к быстро сходящимся выражениям. Применение методики, основанной на использовании рядов Шлемильха, позволяет получать во многих задачах дифракции более простые вычислительные схемы.

10. Предложен метод оценки геометрических размеров цилиндрических тел. Метод основан на зависимости резонансной частоты от степени эллиптичности или радиуса цилиндрического тела. Данный метод может быть использован при калибровке диэлектрических волноводов и оптических световодов.

Основное содержание диссертации изложено в следующих публикциях:

1. Яровой Г.П., Никишов В.Н., Тяпухин П.В. Расчет постоянной распространения и определение структуры поля в прямоугольном волноводе с диэлектрической неоднородностью / В сб.: Вопросы передачи и измерения СВЧ колебаний и волн. -Куйбышев: Изд. КуГУ, 1980. С. 48-51.

2. Никишов В.Н., Яровой Г.П. Расчет распределения СВЧ-поля в прямоугольном волноводе, содержащем полупроводниковый стержень. - РЭ. Т.27. N 11. 1982. С. 2133-2139.

3. Никишов В.Н., Трещев В.М., Яровой Г.П. Влияние поверхности полупроводникового стержня на распределение СВЧ-поля в прямоугольном волноводе / В сб.: Вопросы распространения сигналов в волноводных системах. - Куйбышев: Изд. КуГУ, 1983. С. 3-13.

4. Занин В.И., Никишов В.Н., Яровой Г.П. Дифракция основной волны на ВЩЛ конечных размеров в прямоугольном волноводе / В кн.: Тезисы докладов 2 Всесоюзной школы-семинара "Взаимодействие электромагнитных волн с полупроводниками и

полупроводниково-диэлектрическими структурами. 4.2. - Саратов: Изд. СГУ, 1988. С. 139-140.

5. Зайцев В.В., Занин В.И., Никишов В.Н. Резонансные характеристики волноводно-щелевого фильтра / В кн.: Тезисы докладов III Всесоюзной научно-технической конференции "Математическое моделирование и САПР радиоэлектронных систем СВЧ на объемных интегральных схемах". - М.: Радио и связь, 1989. С. 129.

6. Занин В.И., Никишов В.Н., Усанов Д.А. Дифракция основной волны на нерегулярной ВЩЛ конечных размеров в прямоугольном волноводе / В кн.: Тезисы докладов Всесоюзного семинара Математическое моделирование физических процессов в антенно-фидерных трактах". - Саратов: Изд. СГУ, 1990. С. 34.

7. Занин В.И., Никишов В.Н., Усанов Д.А. Дифракция волны #10-типа на отрезке ВЩЛ в прямоугольном волноводе с учетом комплексно-связанных волн / В кн.: Тезисы докладов IV Всесоюзной научно-технической конференции "Математическое моделирование и САПР радиоэлектронных и вычислительных систем СВЧ и КВЧ на объемных интегральных схемах (ОИС). - Волгоград: Изд. МГП ВНТОРЭС им. А.С.Попова, 1991. С. 35.

8. Зайцев В.В., Никишов В.Н., Яровой Г.П. Метод расчета электромагнитных полей в прямоугольном волноводе с диэлектрическим цилиндром / В кн.: Тезисы докладов VI Межгосударственной школы-семинара "Техника, теория, математическое моделирование и САПР систем сверхбыстрой обработки информации на объемных интегральных схемах СВЧ и КВЧ". - М.: Изд. МГП РНТОРЭС им. А.С.Попова, 1992. С. 227.

9. Занин В.И., Никишов В.Н., Усанов Д.А. Частотные характеристики отрезка ВЩЛ в прямоугольном волноводе / В сб.: Математическое моделирование волновых процессов в электродинамических системах СВЧ. - Самара: Изд. СамГУ, 1992. С. 66-78.

ОГЛАВЛЕНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Взаимодействие основной волны прямоугольного волновода с распределенными неоднородностями

1.1. Базисная система функций

1.2. Разложения полей по базисным волнам и вывод уравнений для задачи дифракции волны Я10 типа на распределенных неоднородностях

1.3. Сведение краевой задачи дифракции волны Я10-типа на распределенных неоднородностях к задаче Коши методом прогонки

1.4. Решение частных дифракционных задач

Глава II. Дифракция волны Я10-типа на отрезке ВЩЛ в прямоугольном волноводе

2.1. Применение ВЩЛ в устройствах СВЧ техники

2.2. Собственные волны прямоугольного волновода с двумя продольно-расположенными металлическими пластинами

2.3. Интегральные уравнения для определения характеристик £-волн

2.4. Интегральные уравнения для исследования Я-волн прямоугольного волновода, содержащего две продольно расположенные металлические пластины

2.5. Дисперсионное уравнение и структура Е-волн прямоугольного волновода, содержащего две продольно-расположенные металлические пластины

2.6. Дисперсионное уравнение и структура Я-волн прямоугольного волновода, содержащего две продольные металлические пластины

2.7. Разложения поля собственной волны ВЩЛ в ряды по собственным волнам прямоугольного волновода

с металлической пластиной

2.8. Постоянные распространения и структура собственных волн ВЩЛ

2.9. Дифракция основной волны прямоугольного волновода на отрезке ВЩЛ

Глава III. Распространение волны в прямоугольном волноводе, содержащем отрезок полосковой линии

3.1. Полосковая линия - основной элемент СВЧ устройств

3.2. Собственные волны прямоугольного волновода с металлической пластиной

3.3. Интегральные уравнения для ¿?-волн

3.4. Интегральные уравнение для Я-волн

3.5. Дисперсионное уравнение и структура собственных £-волн

3.6. Дисперсионное уравнение и структура Я-волны прямоугольного волновода, содержащего металлическую пластину

3.7. Разложения поля собственной волны полосковой линии в ряд по собственным волнам прямоугольного волновода

с металлической пластиной

3.8. Постоянные распространения и структура собственной волны экранированной полосковой линии

3.9. Дифракция собственной волны прямоугольного волновода на отрезке полосковой линии

ГЛАВА IV. Метод рядов Шлемильха для решения волноводных задач дифракции

4.1. Краевые задачи волноводной дифракции, приводящие к рядам Шлемильха

4.2. Использование рядов Шлемильха в методе зеркальных отображений

4.3.Метод рядов Шлемильха в задачах дифракции на металлических неоднородностях, имеющих особенность на ребре.

4.4. Применение рядов Шлемильха для решения СИУ

4.5. Типичные ряды Шлемильха, возникающие в дифракционных задачах и связь между ними

4.6. Методика преобразования рядов Шлемильха

4.7. Представление рядов Шлемильха в виде степенных рядов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ I

ПРИЛОЖЕНИЕ II

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ