Метод малого параметра при исследовании динамических систем подверженных случайным воздействиям. тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ ТА МЕХАНІКИ

РГ8 ОД

На правах рукопису

КОРОЛЬОВ Марк Євгенович

МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА ПРИ ДОСЛІДЖЕННІ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ ПІД ДІЄЮ ВИПАДКОВИХ ЗБУРЕНЬ

01.01.05-теорія ймовірностей та математична статистика

Автореферат

дисертації на' здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичшіх наук

Донецьк -1997

Роботу виконано на кафедрі алгебри та теорії ймовірностей математичного факультету Донецького державного університету .

Науковий керівник : доктор фізико - математичних наук , професор БОНДАРЄВ Б. В.

Офіційні опоненти : доктор фізико - математичних наук , професор

ШАЙХЕТ Л.Є.

- кандидат фізико - математичних наук , доцеї

ШУРКО г.к.

Провідна організація : Інститут кібернетики 11 АН України , м.Київ

. __,3ахист відбудеться “2.5 ”_____________________________ 1997 року о

'О __________ год. на засіданні спеціалізованої ради К 06.01.02 в

Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресои 340144 Донецьк 114 , вул. Р .Люксембург , 74 .

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці інституту Автореферат розіслано “___________” __________________ 1997р.

Вчений секретар спеціалізованої ради кандидат фізико - математичних наук Чані О.С.

Отпечатано в КП «Горлопекая типография». Зак. № 88.

з

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність роботи . Дана робота присвячена методу малого параметра та його застосуванню до обчислення ймовірності знаходження випадкових процесів і полів , що залежать від параметра , в криволінійних межах .

В роботі на основі метода малого параметра вивчені задачі осе-реднення еліптичних систем , коефіцієнти яких знаходяться під дією випадкових збурень .

Дослідженню цих питань присвячені роботи С.М. Козлова , С.Я.Махна , Б.В.Бопдарева , А.В.Пожидаєва , Ю.В.Коломійця , В.В.Юрінського , М.І.Фрейдліна , Л.Є.Шайхета . Для нормованих інтегралів від процесів зі слабкою залежністю встановлено функціональний іакон повторного логарифму та його застосування при дослідженні динамічних систем . У зв’язку з цим виділимо праці В.Штрасена ,

А В.Булінського , Д.О.Чїкіна , І. АЛбрагімова , Г.З.Хасьмінського , Ю.А-Давидова .

Мета роботи . Побудова методів дослідження стохастичних систем * малим параметром . Розвиток асимптотичних і неасимптотичних методів дослідження розглянутих систем .

Наукова новизна . В дисертації побудована нерівність Колмогоро-$а - Гаєка -Реньї для мартингалів з неперервним часом , викладені йо-'о застосування при дослідженні динамічних систем з малим параметром . Разглянуті процедури осереднення еліптичних систем під дією іипадкових збурень.

встановлено закон повторного логарифму в формі Штрасена та його іастосування . Одержані результати є новими .

Теоретична і практична цінність . Робота носить теоретичний ха-)актер. К результати можуть бути використані при розв’язаппі різних адач в застосуваннях теорії ймвірностей і математичної статистики .

Методика дослідження. В роботі використані мартиигальні методи, іетоди теорії рівнянь з власними похідними , методи теорії слабко за-ежних випадкових процесів .

Публікації. За темою дисертації опубліковано сім робіт.

Керівнику , який є співавтором робіт, належить постановка задач , часть в обговоренні розглянутих методів , аналізі отриманих резуль-атів , а дисертанту - рішення вказаних задач.

Апробація роботи. Результати дисертації доповідались та обго-орювались на Всеукраїнській конференції “Диференціально - функціо-

нальні рівняння та їх застосування” /15-18 травня 1996 р., м. Чернівці /, П’ятої Міжнародної наукової конференції імені академіка М.Кравчука / 16-18 травня 1996 p., Київ І, Третьей Всероссийской школе - коллоквиуме по стохастическим методам 317. IX - 24.IX1996, Туапсе /, на наукових семінарах кафедри алгебри та теорії ймовірностей Донецького держуніверситету , відділу теорії ймовірностей та математичної статистики Інститута прикладної математики та механіки IIATI України ! м.Донецьк /.

Структура та об'єм роботи . Дисертація складається із вступу , трьох глав , списку літератури ( 52 назви ) і викладена на 118 стор. машинописного тексту .

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі наведено короткий огляд одержаних в дисертації результатів та огляд робіт авторів, які лягли в основу даних досліджень.

Перший розділ дисертації присвячено вивченню питань , пов’язаних з ймовіриостю проходження випадкових процесів в криволінійній області з межами , що розширюються (із спаданням Е > 0 ). В якості об’єкта дослідження взято або мартингал надто загального виду , або процеси, які описуються рішеннями стохастичних рівнянь, що підпадають під мартишальні впливи , або процеси , з котрих можзіо виділити мартин-гальну частину. У §1.1 відома нерівність Колмогорова - Гаєка - Реньї , яка одержана для сум випадкових величин , пов’язаних мартингальною залежністю , перенесено на випадок мартингалів з неперервним часом надто загального виду.

Саме установлена нерівність

Р{№ІГ> іє[ОД]}>1-Ое(т),

де

ф) = j <p(sK (ds) + j fv(s, u)n(ds, du)

o©

- туг МО -деякий безперервний мартингал ,

-деяка ортогональна міра мартингального виду (тобто

ц(і, а) - мартингал при фіксованому А) ,ф^8^5\|/^8,и^-невипадкові;

э

Бє (т)- виписується через од , характеристики процесу Ф) у явному виді , причому ——> 0 . Зокрема , з цих результатів

випливає нерівність

р{№^, іє[о,т]}а

о

- тут квадратична характеристика мартингала В цьому яс

підрозділі доведені багаточисленні приклади застосувати одержаних результатів. Зокрема досліджується оцінка знизу ймовірності зна-хождеїшя у криволінійних межах рішення стохастичпого диферепціаль-ного рівняння , схильного до малих обурювань мартингальпсго виду .

&М = а{*> + +

+ є\ у{(9 &(/), и)іи(сі /, ), (1)

4(о) = 4-

Встановлена оцінка виду

р{Ш - г‘-“/(0 £ ш * Ш+*'~а/(0> ^[0. п} а

Ы-£2“с2Ь--------------7-------\2

0 І^ло-

-тут > 0, ґ'(і:)> Ьґ(і:), 0 < а < 1,

<*Мг) = а(^4о(г))А» ^о(°) = їх»

С2~ виписується у явному виді.

Встановлені також оцінки знизу для ймовірності знаходження рішення задачі (1) криволінійному “рожку” з випадковим центром , характеристики якого виписуються.

- У підрозділі 1.2 вивчається клас рівнянь виду (1) , коли

Не0) = іф,А)= у(г,А) - відповідно стандартному віне-

ровському процесу і центрованої пуассоновській мірі ,

ст(/,х)= сг(ґ), у(ґ,х,и) = у(і,и),

тобто немає залежності від фазової змінної.

В цьому більш окремому випадку одержано і більш сильний результат: Саме має місце нерівність виду

(2)

o<tsi}>

> 1— сг ехр|—

де 0 < а < 2 , Cj > 0, С2>0 виписуються у явному вида •

Випадковий процес є рішенням задачі

d 4\ (<) = o'x{t, 4(0)й (t)dt + d ф),

■ Й(0) = 0

- тут

t t _

£(t) = J сг(У)£/ЦУ)+ J J y{s,u)v{ds,du)

0 00

v(t, A) = v(t, A)-7r(A)t Mv(t,A)= я(А)ї.

Підрозділ 1.3 присвячено вивченню такої ж задачі , коли відсутня стрибкоподібна частина. В цьому випадку (коефіцієнт дифузії залежить також від фазової змінної ) одержана оцінка виду (2).

Розділ 2 дисертації присвячено вивченню сгохастнчних систем , що підпадають впливам швидкоосцншруючими стационарними процесами , які задовольняють умові рівномірно сильного перемішування або , як ще кажуть , вивчаються за Ібрагїмовим (р.с.п).

В підрозділі 2.1 дано розклад нормованого інтеграла виду

_1

,2г

ег / х^)^ = сг£г\у(^) + єгтіо(-Іт) ’ г > 0 (3)

О Є Б

- тут стандартний вінеровський процес , х(б)- стаціонарний

в вузькому розуміїпгі випадковий процес з нульовим середнім , яке задовольняє умові р.с.п. з функцією перемішування такої , що

оО

0

При виконанні умови Крамера одераана оцінка виду

Ь2

р{зир, КШІ> 5Ій Ьі(і•е еГ

Іо^г<і/єІ 5 І є ) є

В § 2.2 оцінка (4) застосована при дослідженні рішення наступної задачі Дїріхлє.

Нехай

(4)

А_

йх

иє{®) = и1{0) = 0,

(5)

Де

X

є

І л/є| т^ск

сіх

>< с: ехр|—с2Яа| + р{

с1>0, > 0, а > 0- певні , рє —д'І^о—^0 •

Нехай £,є (і) - рішення рівняння

. 4(о) = 4

к(х), а( х)- 1-періодіічпі невшіадкові функції и0(х)“ рішення задачі

к^Г21 = Ґ(Х)’ ио(°) = ио(0=0

-тут

к =

сіх

Цк(х)^ '

р(х) =

у(^у(у)«^+Ь(у)аун . о X

у(х)|

І

у(х) = ехр

2. 1

Ч1)! у(у)(1у+1 у(у)с!у+

. О т. .

у(г)

<3г

-Л / <у)«5у

>%

Нехай

Чс(х) = и0(х) + еы(|)

1

І

о

ДЄ

X

N(>0 = 1

О

Тоді мають місце оцінки виду

сіу.

Бир

0<г<1

< С! ехр|-с2Я“ І + ре + 2 ехр|“(к - Щ2 ■ С5|

+Ьі(1+ зЬ?)

ь2

Підрозділ 2.3 присвячено встановленню закона повторного логарифма у формі Штрасена для нормованих інтегралів виду

і

Ш є

Сп(г)= + І х(з>І5 (либо <;є(г) = л/е| Х^)^ , (8)

п 0 0

де стаціонарний у вузькому розумінні випадковий процес з

нульовим середнім , що задовольняє умові рівномірно сильного перемішування і вживанню одержаних результатів при дослідженні поведінки рішення стохастичних систем , залежних від параметра.

Ідея застосування функціонального закону повторного логарифма при дослідженні стохастичних систем , залежних від параметра належить В.В.Булдигіну.

У роздай 3 питання , порушені у розділі 2 поширені иа випадок обмежених стаціонарних обурювань , але які задовольняють умові абсолютної регулярності ( а.р.) , що в рівнянні з перемішуванням за Ібра-гімовим є суттєвим послабленням умові слабкої залежності.

§3.1 присвячено встановленню закона повторного логарифма у

формі Штрасена для нормованих інтегралів виду (8) , якщо

стаціопаршш у вузькому розумінні обмежений з ймовірністю 1 процес , що задовольняє умові а.р. .

В §3.2 досліджується рішення задачі

= а(‘> 2л(‘))+2„(і))х(пі) (9)

2п(°)=20> їє[0,Т]

при деяких обмеженнях на коефіцієнти х), Ст(і, х)

(ріст не вище лінійного , обмеженість похідних по фазовій змінній до другого порядку включно , обмеженість і її похідної.

- тут рішення “скороченого” рівняння

^ = а(м0(г))'

г„(0) =

Показано , що з ймовірністю , близькою до 1 при великих “п” рішення задачі (9) буде знаходитися в межах

* г„(і) ї г0(і)+^ЩШ-г(і),

xj exp

-2| a^s,z0(s))dsU2(T,z0(x))ck

В § 3.3 розглянуто осереднення в задачі (5) , коли - обурюван-

ня в (6) є стаціонарним процесом з нульовим середнім |x(t)| < С < +оо , що задовольняє умові а.р..

Одержано наступний аналог оцінки (7)

pi SUp > c3R •+ Vs - С4(б)1 <

І0<х<1 J

< cLexp|-c2Ra| + 2exp|—R2c5|

+ее+(1+І)^Г2^1ст*

' +

X

со j

>m

Jpm(x)d

m

X| +1

коли коефіцієнт абсолютно! регулярності Р(х) —> 0 такий , що

СО _1_

|Рт(х)с1х < +оо 0

ДЛЯ деякого ЦІЛОГО Ш > 2.

Основні положення дисертації опубліковані в роботах :

1. Бондарев Б.В., Королев М. Е. Неравенство С. Н. Берн штейна при усреднении эллиптических систем в периодических случайных средах// Укр.мат.зкури. -1996. - Т.48, №12. - С. 1638-1650.

0

2. Бондарев Б.В., Королев М.Е. Функциональный закон повторного логарифма для нормированных интегралов от процессов со слабой зависимостью //Укр.мат.ясурн. - 1997. - Т.49, № 4. - С.490-499.

3. Bondarev B.V., Korolev М.Е. On the Kolmogorov - Hajek - Renyi inequality and its applications // Random Oper. and sth. Equ . - 1996. - VoL 4, № 1, pp. 51-59.

4. Bondarev B.V., Korolev M.E. On averaging elliptic systems in periodic random media // Random Oper. and Stoch. Equ. - 1997. - VoL 4, JV* 1 , pp. 69-80.

5. Бондарев Б.В., Королев М.Е. Усреднение стохастической задачи Дирихле // Тези доповідей п’ятої міжнародної наукової конференції імені академіка М.Кравчука (16-18 травня 1996 p., Київ ) - Київ -1996. - С.

44.

6. Бондарев Б.В., Королев М.Е. Функциональный закон повторного логарифма для нормированных интегралов от процессов со слабой зависимостью . Его применение // Тезисы докладов третьей Всероссийской школы - коллоквиума по стохастическим методам (17 - - 24 сентября 1996 г. ) . - М.: Изд-во «ТВП». -1996. -С. 33-34.

7. Бондарев Б.В., Королев М.Е. Усреднение в стохастических эллиптических уравнениях // Тези доповідей Всеукраїнської конференції «Диференціально - функціональні рівняння та їх застосування» (15-18 травня 1996 p.,Чернівці ) - Київ. - С.27

АННОТАЦИЯ

Метод малого параметра при исследовании динамических систем подверженных случайным воздействиям.

Диссертация па соискание ученой степени кандидата физико - математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика. Донецкий государственный университет. Донецк , 1997.

Диссертация посвящена исследованию поведения стохастических объектов зависящих от малого параметра. Установлено неравенство Колмогорова-Гаека-Реньи для мартингалов весьма общего вида , даны применения этих результатов при оценки вероятности нахождения решений стохастических дифференциальных уравнений в расширяющихся криволинейных границах. Использовано усреднение по фазовой перемепной в задаче Дирихле, коэффициенты уравнения , в которой зависят от случайных периодических процессов. Обоснован закон повторного логарифма в форме Штрассена для нормированных интегралов

от процессов со слабой зависимостью. Полученные результаты применены к расчету криволинейных границ в которых решения стохастических уравнений , подверженных воздействию быстрых случайных осцилляций , находятся с вероятностью близкой к 1.

ABSTRACT

Small parameter method for investigation dynamical systems with random influence.

Thesis for a digree of Candidate of Science (Ph. D.) in Physics and Mathematics, specialty 01.01.05 - Probability Theory and Mathematical Statistics. Donetsk State University, Donetsk, 1997.

The dissertation is devoted to investigation of behavior of stochastic objects dependent on a small parameter. Kolmogorov-Gajek-Renyi inequality is proved for martingales of the general type and applied for estimation of probability of stay in enlarging curvilinear bounderies of solutions of stochastic differential equations. For the Dirichlet problem .with coefficients dependent on stochastic periodic processes we investigate the ones averaging on phase variable. The iterated logarithm law in Strassen's form has been proved for normed integrals of processes with weak dependence. Results obtained are used for the design of curvilinear bounderies in which solutions of stochastic equations with rapid oscillations stay with probability close to 1.

Ключові слова :нерівність Колмогорова-Гаека -Реньї ,закон повторного логарифму в формі Штрасена , стохастичне дифереціальне рівняння , малий параметр.