Метод модифицированных сферических гармоник в теории многократного рассеяния частиц тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РОССИЙСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР «КУРЧАТОВСКИЙ ИНСТИТУТ»

ргГ од !. -

4 о »ми ЛС .5Ц На правах рукописи

1 6 ШГ ■ УДК 539.121.72/751

ГАЛШПЕВ Владимир Савельевич

МЕТОД МОДИФИЦИРОВАННЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК В ТЕОРИИ МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯНИЯ ЧАСТИЦ

01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации ка соискапис ученой степени доктора физико-математических наук

Москва—1996

Работа выполнена в Уральском государственном университете иц.А.М.Горького

Научный консультант: акадзиик С.З.Еоксовский

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Л.Б.Майоров

доктор физико-математических наук Б.В.Орлов

доктор физико-ыатеиатических наук Н.Г.Гусов

Ведущая, организация - Ааучно-иссладовательский шстигуг ядерной физики Московского ордена Ленина и ордэна Трудового Красного Знамени ии.М.Б.Ломоносова.

Защита состоится ^ " (Р^ 199$ г. в /1 'час. на'заседании специализированного Совета по теоретической физике (Д 03f.OT.03) при РНЦ-"Курчатовский институт" по адресу: 123182,.г.Москва, пл. И.В.Курчатова,РНЦ "Курчатовский институт"

•С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Р}Щ "Курчатов-

I

скиЯ институт"

Автореферат разослан V Ц/ 199^' г.

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью учреждения, про.сиы направить по. вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря Специализированного Совета.

\

Ученый секретарь Специализированного Совета

а

I. О ИНАЯ 1йРАКТЗ?ИСТШ РАБОТЫ

Актуальность работа. В лосдвдшэ года шарокое прг&еневга в науке и те гаг?, а иолучгла модные источники различных частиц (гаки-кзанзоз, электронов, иейтроноз д т.д.). Распространяясь э какой-либо поглотгнцэ5 среда, частиды теряют энергаэ и рассеивается, прячеи при больной тсшцше поглотителя основная лсия их интэнсязяости приходятся еэ яа первлчнне, а на иногскратЕО рас-сеяннзэ частица. Возедсгзиэ многократного рассеяния ослабление интенсивности излечения а веществе сдожнкя образом заэнсит от энергии источника, его геометрической формы, а гакзэ от свойств я геометрии поглотителя. С цадьээ вняснэнга этой завлсглостз дяя ксгкретЕнх вэдоз а 3.1749 ней бызо проведано иного эксперте нталь-енх исследований и теоретических расчетов.

В серэданэ 50-х годов тчяллоь систештлчэсзсие исследования по творил кногократЕого рассеяния частиц. За это зреия пройден этап эвристических подходов я залогаеы основы ойгей теория. К настоедеиу времена теория многократного рассеяния частиц стала развитой областьа прикладаоЗ ядерной физики со специфическими методами.

Становление теории многократного рассеяния частиц связано с фунденентальзгаи исследованиями Г.Бете, У.Фано, Л.Сявисвра, Ы.Бергера, З.Геротеля, Р.Иертенса, Г .Мольера, Б.Дэаисона и др. Она яояучила дальнейшее развитие в работах У.Я.?язаноза, А.М ЛСольчужсина, В-Й-Огиевацкого, Б.Я.Еркова, Н.О.Нелкпз а др.

К сояаленив, приходится признать^что большинство аналитических нетодов в теория многократного рассеяния частиц ограничено случаем ирохоаденяя частиц через 0есзоЕэч27Л однороднув

среду. Эффекты sa, связанные о наличием границ, до сих sop исследовались гдавнш образом методом Ыонтв-Карло.

£ связн с этим а настоящее время одной из актуальных проблей теорид многократного рассеяния частиц является разработка эффективных численно-аналитических кэтодов репення шрокого класса граничных зала? со проходдешо частиц чэрез вещества.

Одна вз таких плодотворных мзтодоз быя предаоиан еще в 1952 г. Дв.Ивоесц в О.Шввдсм. ДадтлвйзЕаэ развитие ов получил в работах Р.Мертенса. Некоторые авторы называют этот метод методом Йвова-Иертенса, а другие методом модвфяцированных сферичасхих гармоник (ШСГ). Мы будем цридаркзватьса второго наименования.

Шдь работы. Исследовать общее решение задачи о прохождении газна-хвантов через слой вещества; установить связь общего реив-ния с частники реванинми, найденными другими авторами; обсудить особенности энергетических спектров гаша-изяученин отрагенного в пропущенного слоем.

В рамках иодэжи непрерывных потерь энергии исследовать задачу о прохождении электронов через слой вещества. Изучить зависимость плотности потока многократно рассеянных электронов от глубины проникновения.

Разработать о&цяЗ рецепт дая ревевия задачи по прохождению частиц в средах с двухмерной гесыетриеЗ и использовать его дая трактовки одной практически важной проблемы переноса излучения.

Метод исследования. При преобразовании исходных кинетических уравнений для гамма-квантов, электронов и нейтронов используется ШСГ. Яри этой в случае гамма-квантов получается система интегральЕо-дазференцгальных уравнений, которая после замены интегрирования ао яаинэ волен соответствующей квадратурной формулой сводится к система обыкновенных дифференциальных уравнений.

Последняя репается о аомсщю стандартных методов. В случае электронов задача сводится к система лкнебЕнх дифференциальных уравнений в частнах производных о сингулярными правши частями. Общее ревенне это} система уравнений отнсхнвается путей преобразования ее сначала к гаЕонгческоиу виду, а затеи е эквнвалонтЕог систевз жнтегральнях уравнендЗ. Система интегральних уравнэнай допускает уже использование численных нэтодов. Наконец, в случае Еэйтронов результат преобразования исходного днукерного одткжо-ростного кинетического уравнения гаюз сводятся к систегса деезйннг дгфферэ щгаггыкт уравнение в «ястеш: производит, которые решаются аналогично соотгэтстзувда систекга уравненгз для электронов.

Нэтчн?^ новизна. В дасоертадаа впервые получено о4?ее ревэ-вве задача о иногократнш рассеянии гаша-квантов в слое коночной тещина по ЕИСГ; разработан аягория для численного квтэгрз-ровакия, зстречащжгся уравненаЭ во длине волна; даиа фиавческаа интерпретация особенностей энэргетвчвсагх спектров отражения а срохоздэяЕя, связанных с иногократнш рассеянием рагйяа-гвантов.

Показе но, что формальное применена» ЕМСГ для задачи о прохождения электронов через слой ведестта яогвт привести в серьзз-нш трудностям. Они связана с теа, что поперечное оечэняе для электронов резгсо анизотропно. Для у стране ей ннаэуказанной трудное"! в джссертапзи используется так яаэывееяое эффективное поперечное сечение для анажтровов. Доказнзается, что тсжысо применение эффективного поперечного сеча ни для электронов обео-печкзавт быструю схотаюсть КЗСГ. Установяэин интервента зависимости шотностн потеха многократно рассеяниях злвктровов в» расстояния до источника.

Проведено обобщений IZiZT для решенЕя задач: по многократному расоеяшЕ) -чаотЕц в срадах о двумерной геометрией.

Практическая тайность работа. Результаты, полуденные в диссертационной работе, диеэт большое срэхтЕчесгоа значенде пря выбора задЕгн от езлучзеее, оцэгзе бгологжческо! эффективностл дойств2я гзяучеЕШ S т»Е. ОДЕЕЕО ЕСПОЛЬЗОВЗЕЕе ТОЛЬКО EaEEZSEZX ЕрдблЕгзнзй IDJCT совзрсенно недостаточно дал соврекеЕныг тегнд-чзсеях пршэневв5, требуцсг быстрых Е практически Ерггодзнх ответов. Поэтому б последнее врезся е z в Западной Европе иаряду с часгвгно-анаеивадсвЕиЕ нетодани иодобшкз ИСТ разра-батнЕазтся е очень есгкно чгсленннэ сетодн решенЕя ряда драктн-ческа зэееых про&леы иногократяото рассеяна* частиц, которые используют свецнальнае ЭВЛ. 1отя эта новые кэтодн д не дают столь глубокого аонианЕГ; ирода ссов переноса Еалученпя по сраз-нвнхэ с laser, но зато оее позволяет дать ответ на более сложные практические сройле:£ы. Саедоватегьно, в настоящее вреия в трак-тонха дроблены переноса пглучвнгя через вещоство инее? место конкуренция аезду чвмаЕно-анаггтЕческЕаи в чнслеЕншз ь-зтодами. Поэтому Е2СГ, которьй дспользуетсе в диссертадЕОЕкой работе, доляэн быть обойден на более васокЕе прЕблЕЖэкдя с тем, чтобы доказать его првгэнниость для репэнгл шрокого класса практг-чеезн ваЕных задач.

Адпобатаи работк. Основные результаты диссертационной работы докгадывадвсь на семинаре Института атомной энергвя ии. Й.В^урчатова, рухозодшои дроф. Я.В.Еевелевыы (29 мая 1969г.), на ceuzxapax Московского инженерно-физического института, руководимых проф. Ы.И.Рязановым (8 и 15 октября 1969 г.), на сешшаре Тоиского политехнического института, руководимом дроф. А.¿.Воробьевка (30 ноября 1972 г.), на семинаре Института

'атомной' эиергин им.И.В.Курчатовау руководимом проф.Ы.Д'.Кугйховэз • (7 апреля 1985 г.), на семинаре Е¡22 лришшдшгг фтзических проблем' Н7,'руководииом проф.О.Ф.Коыаровнм (25 октября 1985 г.), на сеии-наре Института математики и механики Ш Каз.СОР, рузоводимои -проф.Х.М.Судтангазлнва (10 нарта 1986 г.), на 6-ой'Российской научной конференцзи по заците от ионизирувцих излучений ядерно- • технически установок (г.06еиеск, 20-23 сентября 1994 г.).

Публикации. Основнне результаты диссертации опубликована в работах, список которях призеден в конце автореферата, и в монографии, которая, зядерзала дза издания и переведена на английский язнк в СМ в Г974 г.

Структура и об%ем работ*. диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литература и пяти щипохениЗ; Работа излохена на 272 страницах ыагинописного текста, вклотая 18 рисунков, 14 таблиц и 137 литературных ссылок.

2. С0ДЕ?14Н2Е РАБОТЫ •

Во введении приведен краткий обзор работ лс тематике диссертационно! работы, обоснована актуальность работа, отыечеЕн .• характерные особенности Ш1Г, а такге его лреимузества по сравнении с классическим методой сферических гармоник и кратко изло-гено.содержание диссертации.

Глава I посвяцена-. рассмотрению элементарных процессов-взаимодействия гашга-кзантоз, электронов и нейтронов с веществом. -3 § 1.1 обсухдаются процесса взаимодействия гаиыэ-*за::тов с веществом. Эти процесса принято классифицировать по виду полей (Частиц), с которыми гамма-кванты взаимодействует, и по тал . -изменениям, которые претерцезают кванты при взаимодействия. • Зозмохно взаимодействие гамма-квантов о : I) ыехтронзки, 2) нуклонам, 3) алектромзгнитяви полем электронов ж нуклонов,"

4) мезоншш полей нуклонов? Б результате каждого аз этих процессов может произойти: Л) полное догяоцениа кванта. Б) не упругое рассеяние» В) упругое рассеяние.

1акам образом, возможно всего двенадцать различных процессов. Вероятность их зависит от анергии квантов и для некоторых процессов очень мала. В области энергия 0,03-10 Мзв, которая рассматривается в диссертационной работе, наиболее часто происхо-, дет только сдедуодие три процесса: СИ) фотоэлектрическое поглощение (фотоэффект), (1Б) неупругое рассеяние на электроне (конптон-аффект), (554} образование парм здектрсн-позптрон. Процесса - (IX) и (ЗА.) приводят к полному поглощению кванта. Правда, при тормозном излучения образуются в этих процессах электронов, и позитронов возможно появление вторичкзх гаыма-квантса, но взаду малой вероятности таких каскадах процессов мн будем считать единственна« источником квантов комптон-эффбкт. Дифференциальное поперечное сечение хомптоновского рассеяния определяется формулой Зиейна-Нянинн-Тамма.

В § 1.2 рассматриваются формула для дифференцйальннх поперечных сечений рассеяния и потерь энергии заряженных частиц. При этой'предполагается, что частица обладают энергией, при которой применимо первое борнозское приближение, а потери энергии целиком обусловлена ионизацией и возбуждением атомов среда.

В не релятивистском приближении: простейаей формулой для дифференциального поперечного сечения упругого рассеяния заряженных частиц ва ядре является формула Резерфорда. Спенсер (1955) преобразовал формулу Резерфорда так, чтоба принять во внимание, во-первах, экранирование ядра атомными электронами и, во-вторых, влияние неупругих столкновений валегащей частицы с атомизма электронами.

Релятивистское обобщенна форяулн Рвзерфорда для дифференциального поперечного оечеЕИя было дано Моттом (1929) в виде медленно сходедихся разложений по полиномам 1ехандра, что оказывается очень неудобна* дая расчетов в теории многократного рассеяния частил. Поатаяу использовали модфидированнут форму записи дифференциального поперечного сечения Ногта, предложеЕнув Бергерся (1963).

Нонвзационнне потери внэргяи заряженных частиц исследоввлись многдки авторами. Однако m ограничились рассмотрением ионизационных потерь только для релятивистских алактрокоз (формулой Бете).

В § 1.3 кратко обсухдастся основные процессы взаимодействия нейтронов сравнительно низких энергий (О.СИ-Ю17 »В) о вевдствса. Подчеркивается, что имеется существенное отличие в внергетическоа зависимости поперечных сечевиЗ для нейтронов и гамма-квантов.

Глава 2 посвздева применению КМСГ дая решения задачи о прохояЕвнги гекиа-нвантов через слой вещества.

В § 2.1 основное уравнение задачи преобразуется в -

цри&шгения к системе Z¡£*2. линейных ннтегральво-дифференцваял-ннх уравнений. Самая замечательная особенность втой системы уравнений состоит в тш, что она поавожяет довольно точно описать ' анизотропию поперечиого сечения' гаяаа-хвантов. Последнее достигается путем использования в теории так ks аывавккх функщй анизотропии 5 íz (х) .

В $ 2.2 показывается, ках всхво вачислиь явное шрехгнхз дая функшй анизотропия. Эта интересная sa дача впервые била реве на Герстелем (1967). Для фиксированных значений индексов L и Z она сводится фактически х суммирование бесконечных рядов. ,

Результат тавого вычисления ддя < j определяется в дис-

сертационной работе с ломощьо формул (2.49). Таи гз доказываются сдедуюдие два зацечательше свойства функций анизотропии.

Kt^zhr ^ . <1>

s.j-/)*o. (2)

физически s то означает, что случая рассеяния ротонов "дряно-влеред" Ы02Е0 сопоставить отличные от нудя фу нецел анизотропии с ¿«2, тогда как в противополознои случае рассеяния фотонов "прямо-назад"' все фунгции анизотропии равны нули.

В § 2.3 ссследуется общее репенде система уравнений 2 прибдихения, установлещой в § 2.1. Дгя этого снстегла уравнений 5 2.1 сначала переписывается з катргчной форгга, а интегрирование, во дшвэ волны в ней заменяется с поносу® какой-либо квадратурной формулы. Тогда задала сводится фадтичесзси к иссдедозанда систем , обыкновенных дифференциальных уравнений. Еац удалось не только вайта сбцее ревенна сисгелш уравнений 2 прибаихения, но такта установить его связь с часгнтаи решениями, приведенными в работах Герстеля&ЭбЭ) и Baisa (1968).

В§ 2.4 обцее решение системы уравнений - приближе-

ния, найденное в § 2.3, используется для рассмотрения частного случая система уравнений ^^ г- приближения.

В § 2.5 обсувдается гаким образои uosst быть реализовано численное интегрирование до длине волны г насей теории. Числен-нов интегрирование было введено в диссертационной работе формально; о лсмсад® соотнопюнвя (2.57): " .. ;

за =*гг\ах.(Л£ - число интервалов днтзгри-

эвания, /(А) - некоторая произвольная функция от дайны волны, - является как раз тем индексом, который прлнадяеиа? Л^ , коэффициенты £ ^ определяется выбором соответствующей фор-■лы численного интегрирования. Ясно, что при £ = О вообще падает необходимость численного интегрирования ( ц = 0), а я <- = I достаточно использования правила трапеции £ = £ = ¿г А* , где Ь4— Л- Л0 ). ди определения весовах мнокителей ^^ при ¿- =2,4,6,... следует применять рмулу Сшшсона для неравноотстоядих узловых точек, а для = 3,5,7,... использовать комбинации вышеуказанной формулы ,'лсона с правилом трапеции, а шенно на отрезке иеяду точками 0 и А, использовать правило трапеция, а от Л, до -А . >мулу Симпсона с Ееравкоотстоящими узловыми точками.

Еекоторуэ трудность в численное интегрирование вносят гечяые разрывы искомых функций в точках Ао-+ 1 и

= Лог2. . Но, как показано в диссертационной работе, эту дност'ь можно успешно преодолеть, если разбить весь интервал егрированпя на три области и пренебречь вкладами от маленьких лбиков, ограничивающих точки разрыва н Л1 .

В § 2.6 проводится обсувдение результатов вычисления плог-ги потека энергии гамма-квантов на различных глубинах внутри г и на его границах, полученных по !5,!СГ. Эти результаты со-:авшотся такка с результатами вычислений, найденных о полз других методов. В заключение этого параграфа исследовано ¡ние последовательных прибликенвй ШСГ на энергетические :тры гамма-квантов, отраженных и пропущенных слоем.

;' Плотность .потока -энергия многократно рассеянных гамма-квантов с данной волны А (в коштоновскихединидах) на расстоянии i от источника мокет быть представлена в вида -

, ВДВ MqÍZ-A)- функция распределения фотонов по длина волны я глубине-. 33 частности, плотности потоков энергии -. многократно рассеянных таыа-квантсв,. пропущенных и отраженных . слоем, равны

я 27iXNo (о, Л ) , где

: а. - толщина слоя.

На рис.1 представлена результаты вычисления, энергетических . спектров отражения 1<2) и прохождения

( & )

~ приближениях доя гамма-излучения с начальной анергией Е0=» I МэВ, нормально падапдего на слой воды толщиной М0Q-¿". Видно, что спектр отражения всегда начинается при энергии аГ А +1 '* гда о ~ Я3223 в°лны цсточника излучения. Причину этого нетрудно понять, исходя из коиптоновского закона рассеяния •

í-eosS, (4)

О '

гда X - длина веяны однократно рассеянного кванта, а

в - угол рассеяния. Из соотношения (4) следует, что кванты источника должны увеличить cbod длину волны при однократной рассеяния на менее, чей на единицу, чтобы быть рассеянными назад Поэтому спектр отражения и должен начинаться при энергии Ззлве наблюдается повышение в спектре отрахения с понижением' энергии, так как при этом все большее число фотонов имеют воз: мохкость отразиться назад. Так продолжается до энергии

отвечалцей минимальной энергии однократно рассеянных квантов. В, этой точке ииеег место скачкообразное понижение в спектре

*

и ;

Ь

3

'Л

1 1>- и

г/ /

ЯП®*/ а

ар щж <Ш 4(5 ДО 4 £,МаЬ

433

>4Ш

'4-

а* 4г ч* (я

V £,»&•

Рис.1. Спектры отражения (а) я прохождения (б) для гамма-квантов, вычисленные в ъ —

приближениях ММСГ. Начальная энергия квантов Ео» I МэВ, поглотитель - слой вода толщиной Д,<7«2.

и

отражения, смеЕягщееся крутым спадсы энергии вследствие резкого возрастания коэффициента поглощения фотонов за счет фотоэффекта.

Б отднчде о? спектра отражения спектр прохождения всегда начинается при Е=£0, ибо в соответствии с формулой (4) Л » Л0 прп 6 * 0. Далее наблюдается понижение в спектре прогоадения с убыванием вяергаг, так сак при этой все кеньге число фотонов . EOS8T выйти вз сдоя. Цри внэргии Е»3,- s спектре прохождения

К

наблюдается потащвЗ скачок, который объясняется аналогично ТСЕ5У, как сто делалось для спектра отражения. Дополнительные доследования показывает, что величина этого скачка зависит от соотношения V3ZZJ одно- и многократно рассеянных фстонс

в обдую плотность потока фотонов, выходящих вз слоя. Скачок иивет болкгуо валичшу для более тонкого слоя ( < I ),

поскольку для него однократно рассеянная плотность потока являет ся главной состагляэдей в плотности выходящего потока. О увеличе еезц толциеы слоя величина скачка убывает, поскольку возрастает роль иногократяо рассеянных фотонов. Для достаточно толстого .слое ( ju0a » I) скачок в точке Е^ для спектра прохождения ( лсиностыз отсутствует.

Относительно влияния последовательных приближений на энергетические спектры отражения и прохождения можно сказать следующее. Спектра отражения, вычисленные в У - i 2-?2 - приближениях, совпадают друг с другш, почти для всей исследованной области анергий, но отклоняются от спектра отражения для 2? -приближают. Спектры же прохождения,соответствующие 2. З3-

2 Р.- в 2 Р- приближения* наиболее сильно отклоняются друг ■* i

от друга при анергии, равной энергии источника. Однако о пониге-ниеа эЕэрпшрассеяннкх. квантов результаты, отвечащие 21*- ,

ZT -приближениям, становятся блазкя друг к другу, хотя о-прэапему отклоняется от 2. Т^ -ярпблшэнля. Следовательно, э крайней мерз для рассматриваемого случая, для спэктра отракэ-ея i-roею ограничиться - прийлигэниеи, а хил спектра про-

52ДЭНЯЯ лучгэ УЧИТЫВАТЬ -ПЗИбЛЕГЗНЗЭ.

Глава 3 посзядэаа детальному асследозаниэ а рамках !ЛСГ здзча о прохождения электронов через слоЗ вецэства.

3 § 3.1 исходное кинетическое уравнение для электронов в эЕбликении непрерывных потерь энергии сначала преобразуется к зазненяз с безразмерными паракэтрамл t (энергетический пзра-;тр) з £ (пространственный параметр). В этса уравнении рззко {востропная Функция рассеяния для электронов вырагзвтся через $ек??зкуз функциз рассеяния. Далее кинетическое уравнение для гектронов преобразуется подобно тему, как это делалось з § 2.1 соответствующим уравнением для гамга-кзаЕтов. 3 результате зследнэго преобразования в 2. Т^ -приближении получается састе-1 2<*+2 линейных дифференциальных уравнений в частных пропзвод-сс с сиягуляржма правыми частями. Следует подчеркнуть, что изотропия поперечных сечэнпй рассеяния входят з эту систему ¡авнекяй через посредстзо эффективных функпиЗ анизотропии ■ 5. (t) и функций рассеяния

SJt).

В § 3.2 на2хекы следующие приближенные выраззвля для зфрек-lbhux функций анизотропии и эффективных ф|уккцнй рассеяния.

^W-litT*)' (5)

_ dd

где . dLt - эффективные коэффициенты анизотропии,

d£ - эффективные коэффициента рассеяния, а й - некоторый параметр. Явные выражения для всех этих величин приведены з диссертации.

В § 3.3 содержатся результата аналитических и численных вычислений эффективных коэффициентов рассеяния . Численные значения эффективных коэффициентов рассеяния. dQ a di . были получены дня электронов с энергией от ОД до 2 ЫэВ в алталшии и золоте. Результат вычислений представлены в диссертационной работе в табл. ЗЛ-З.2. Из этих таблиц видно,, что с возрастанием энергии коэффициента do и </, увеличиваются.

В $ 3.4 содержатся результаты аналитических и численных

—

расчетов эффективных коэффициентов анизотропии d . Численные значения для коэффициентов анизотропии dco , aci ,

d s dн были вычислены дня электронов с энергией от 0,1 до 2 ЫэВ в аятинии z золоте и сведены в диссертационной работе в табл.3.4 и 3.5. Видно, что эффективные коэффициенты анизотропии иогуг принимать как положительные, так и отрицатель-.' Еые значения.

В § 3.5 иы свели нашу, систему уравнений -прибликения к каноническому виду в записали ее . формальное решение в виде системы интегральных уравнений. Последняя обладает в рассматриваемой области интегрирования ( О <rS в., 0<t ^¡.f, x+t=f) решением непрерывным и непрерывно дифференцируемым по * и в каждой точке, вэ принадлежащей характеристикам разрывов. На характеристиках разрывов исследуемые функция и их частные производные по * я t могут иметь дись разрывы первого рода.

" В § 3.8 обчиЗ метод исследования системы уравнений '

- прибдихения, изложенный в § 3.3, реализуется для савтно-го случая системы уравнений - приближения.

В § 3.7 исследуется приближенное аналитическое реяенае система уравнений

- приближения. Как бкхо показано в дио-сертацци, эта ивлсимосгь мохет быть за нисана в явном гиде.

На рис.2 представлены результата численннх расчетов зависимости плотности потока рассеянных электронов от расстояния до' источника для излучения о начальной анергией Ео=0,1 НэВ нормаль- , но садасцего на полубесконечный слой алшиния. ЗДегтизные - ' гоэффициентн рассеяния ^ а • d¿ взятн из вышеупомянутой таблица S.I. Кривая I отвечает зависимости величина ¿ -

- плотности потока рассеянных электронов от глубина проникновения X, а кривые 2 и 3 описывают аналогичные зависимости для величин

составляющих плотности потока ' рассеянных иектронов, движущихся соответственно назад а вперед. Видно, что дерзая составляйся.монотонно спадает с ростом глубины проникновения о? величины ¿Trf0 (о) • до нуля; Напрожав, вторая составлялся с увеличением монотонно возрастает, а ■ затеи асимптояпескя сгреыится в постоянной величине Это привода? в тому, что плотное» потока рассеянных электронов \ монотонно убывает о ростом глубйнз прониановения на 'отрезке Ö £ X. <í ' 0,в, в цри Z £ О,в фактически остается постоянной. ' • • '

Еа рав.З приведены -аналогичные результаты вычисления зависимости плотное то потока рассеянных электронов с анергией :. Eq= 0,1 МэВ, падавдах на полубесконечный слой золота. -.:

с

Рве. 2. Злвйсеность плогвоста пот о га рассеянных электронов от расстояния до источника, да* вэдучения с энергией Е0«Р,1 МэЕ, ворыьйкно падасаего ад полуоесконвчкый слоЯ ьлшйнвя:

гргв&л 1 - плотность потока рассеянных электронов;

кривые 2 в 3 - ее составлюсаие для Флегтронсв, дввкущвхся соответственно назад г вперед.

1Г

ш

Рис. 3. Хависныость плотности потока рассеянных электронов от расстояния до источника, для излучения с энергией НэВ,

нормально падвпщего на пслубесконечннй слой золота (обозначения те яе, что в на рис.2)

П

Ведачинн do ж d¿ дая этого случая взяге из ввгаеупокянутой: табл.3.2. Видно, что otíi^zt характер кривюс рис.3 остается тем хе сашш sax рис.2 Однако, все кривые сыецаются в область меньшее значений Ct . Следовательно, плотность потока рассеянна «екгроаов в залоге (сильно цог-ащээдег среде]убивает с увеличение!: , ^дубене сроннгновенгя значительно быстрее, чем в алпшши Ясельно грассеивавдэ! среда) и становится постоянной ухэ при

' В § 3.8 для откскивания прдблнхенного решения система лн-теградыгг уравнений - дрибликзная мн поступаем сдедущиы

, образок.' Похркзаем наиу область интегрирования ( 0 ^ ¿ ^ I, О , X f í =1) хвадратной сеткой, образуемой точками

лересечензя двух семейств хараллельнвх пряшп:

■ * 1 * • • - р ■

• где к " ~ - ваг квадратной сетка. Узле квадратной сетки ее- "

Л- '

• биравтея в качества узлов интегрирования.

Далее нетрудно, доказать, что ренение напей система интег-•. радьннх уравнений ддя произвольного тала квадратной сетки мохе? быть найдено so методу характеристих. Пра атом задата сводится фактически х реиенг» алгебраической система четнрех уравнений. Тахин образом, перебирая последовательно гее узлх квадратной ■ еетхг, на дслучгм реаение интересующей нас задачи.

! В § 3.9 исследуется зависимость плотности.дотка лногаврат- -

во-'рассеяниях алехтронов от расстояния до ясточниха7 Фактические , внчисления зтой зависимости существенно опирается на метод, изложений в вредвдущем параграфе.

Еа рис.4. представденн результаты численных расчетов зависимости олотностилотоха многократно рассеянных.электронов от

X

Рис.4. Зависшость плотности потока многократно

рассеянных электронов от глубины проникновения для излучения о начальной энергией Ео*£),1 МэВ нормально палящего на полубесконечный "слой аяшиния:

. кривая I - плотность потока ЫЕОГократно рассеянных электронов; кривые 2,3 и 4 - ее составлявшие для нерас сеянных я рассеянных на зад и вперед . .электронов.

расстояния до источника для излучения с начальной энергий Ео=0,1 ЫэЗ нормально садящего на пслуйесконечный слой алшания. Эффективные коэффициенты рассеяния я аннзотропаа, взяты из табд.ЗД н 3.4 в диссертационной работе. Шаг квадратной сетки полагался равном 0,05. Кравая I отвечает зависимости еоллчины ¿2А/о(х)- плотности потока электронов от глубины проникновения х , а кравые 2,3 и 4 описывают соответственно аналогичные завгсгаости для величин (х)~. 27ГМ*{х) _ Сос-

таЕЛязик плотности потока не рассеянных и рассеянных электронов, дзгхущихся назад и вперед. Ваяю, что плотность потока нерассеян-н-^х электронов монотонно спадает с росгш глубины проникновения от единицы до нуля. Напротив, плотностг потока рассеянных назад и вперед электронов с увеличением л сначала монотонно возрастая? и только потом асЕмлтотэтески стремятся к нули. Это приводит к тому, что а результирущая плотность потока многократно рассеянных электронов сначала монотонно возрастает с ростом х , достигает иаксгагука при и далее убывает до куля.

На рис.5 приведены аналогичные результаты для золота. Обднй характер кривых на этом рисунхе остается тем ев'самый, как на предыдущем рисунке, но все она смэьаятся з область меньшхх значений * . Максиму«« кризкх I в 4 на ргс.5 становятся более резкими по сравнению с соотзетствугагми иаксихумами на ркс.4.

Уге после завераекия оформления диссертационной работы нами был* проведены расчеты величины - средне л энергии теряе-

мой электронам в слое конечной тсетины на глубина . Каяется, представляет интерес сопоставить результаты этих вычислений с результатам*, полученный* Л.СпеЕсерсм (1955) для неограниченной среды. На рас.6 пргэедена зависимость срелней энергии, теряемой электронами от глубакы проникновения для излучения с

го

~ ЦЬ Цв

Я

Рве.5. Зависимость плотности потока многократно . раооеянных электронов от глубины проникновения доя излучения с начальной энергией Ео»0,1 ЫэЗ нормально вадаияего на полу-бе се онечный слой золота (обозначения те хэ самые как на рио.4).

Рис.б. Зависимость средней энергии, - теряемой . едехтронами от глубины проникновения для излучения с начальноЯ энергией Ео=0,1 ЫэВ нормально падаицего на полубесконечный - слой алюминия.

начальной энергией Ео=0»1 ЫэВ нормально падающего на полубеско- ■•■ нечннй слой алюминия. В зыпеуказаЕной работе Л.Спенсера соответ-ствузадая кривая для неограниченной среда изображена на рис.4. : Из сопоставления этих двух кривых видно, что в случае Ж .Спенсера в области х<0 средня® энергия, теряемая электронами, отлична '; о? нуля, поскольку обратно рассеянные электроны лгшеш возможности выйти из бесконечной среды. Напротив, в нашем случае ограниченной среды обратно рассеянные электрош имеют возможность покинуть среду через плоскость х-0 , поэтому средняя эиергия, теряемая электронами прн <£> , равна нули. При х-0 в случае I.Спенсера функция Jfc) скачкси убывает от величины J[-*0) до величины , тогда как у езс

где 7~(0) - средняя энергия, теряемая обратно^ рассеянными электронами при *=0 . Наконец, для О о&дай характер изменения функции ^М остается примерно тем же самым в то« и другом случаях.

Глава 4 посвящена применению ШСГ-джя решения одной дву-меркой задачи- пёреноса для Еейтроноз. Эта задача состоит в следу вдем. Представим себе область пространства, ограниченную плоскостями *=й, о. 2 а. , но бесконечную в направлении оси Z . Выделенная, область пространства разбивается на две часта. Одна из них - активная область, ограниченная плоскостями i=Q, -j- и 0 , -j- , заполняется изотропным источник«! нейтронов, а оставшаяся часть - поглотитель - защитным экраном.; Задача заключается в исследовании двумерной плотности нейтронов

вдоль границ раздела источника и защитного экрана с у.у вакуумсм.

3 § 4.1. производится преобразование двумерного односкорост-ного кинетического уравнения для нейтронов с использованием ::r-S

разложений плотностей потоков нейтронов по системам биортоко-нальннх функций У (р, Ф) в У (м.Ф) . В результате такого преобразований исходное кинетическое уравнение для нейтронов сводит приближенно к двум формально независимым системам уравнений в частных производных, каждая из которых содержит 2 ¡С уравнения и удовлетворяет граничным условиям.

В § 4.2 записывается в явном виде система уравнений 2 У приближения. В этом случае каждая из вышеупомянутых систем уравнений включает в себя шесть уравнений и легко может бить представлена в матричной форма. •

В § 4.3 системы уравнений 2У~ -приближения решаются аналогично тому как в § 3.5 решалась соответствующая система уравнений 2-приближения для электронов. Таким образом, исследование систем уравнений 2 У~ приближения сводится к решению эквивалентных систем интегральных уравнений. Преимущество последних над уравнениями в частных производных состоит в том, что они допуска»? применение довольно простого метода численного анализа.

В § 4.4 для исследования систем интегральных уравнений, полученных в § 4.3, применяется метод характеристик. Во всех численных расчетах этой главы определялась величина скалярноЗ плотности потока нейтронов вдоль границ раздела, рассматриваемой двумерной области с вакуумом. Необходимые для проведения численных расчетов значения параметров, встречающихся в теория, Еыбирались следующим образом. Полнее поперечное сечение для нейтронов Ит , а такие коэффициенты разложения поперечного сечения рассеяния по сферическим гармоникам и полагались одинаковыми как для материала источника, так и для заоЕТы. йс численные значения выбирались разными И сТГ ' И5а= 0,25 ~ • Параметр а считался равнял 20 см.

24

Результаты вычислений скалярной плотности нейтронов вдоль границ раздела рассматриваемой области и вакуука представлены на-рис.7. Четыре кривых этого рисунка естественным образом разбиваются на две пары кривых. Пара кривых, отвечающих границам ХвО а у=0 , расположена выше пары кривых, соответствулзгг гранидам л=<2 а у=а , поскольку скалярная плотность потока нейтронов вдоль границ, соприкасающихся частично с источником бсяызо, чем плотность потока нейтронов вдоль гранзд, соприкасавшихся только с защитным экранш. 1аракгер изиэнения скалярной плотности потока нейтронов от расстояния вдоль границы всегда остается одним и тем же и вполне соответствует фнзическску смыслу задачи.

Б заключении приведен анализ основных результатов, полученных в настоящей работе. '

-3 прилоявяди т исследуются основные сзойс^ва полиномов

Здесь яз обсукдавтся интегралы , встречающиеся во второй и третьей гаазах.

Б приложении 2 содержится вывод приближенных выражений для функций , входящих в основные уравнения теория много-

кратного рассеяния электронов. Эти функции, в свсэ' очередь, зпределяются рядом параметров, которые обсуддздтся в приложении 3.В приложении 4 рассматриваются формулы интегрирования и штерполяции для разрывной функции. ■

Наконец, в приложения 5 пр?^одятся явные выражения для ;обстээнных значений и матриц, встречащихся в канонических системах уравнений гл.4.

■ ' ■ ■ _I_1__3

В 2 4 $ г 75> 12 1В 11 го

у а/! их, си

Рис.7. Зависимость плотности потоке нейтронов от расстояния вдоль границ раздела .рассматриваемой области с ванууиоы

3. ОСНОВНЫЕ РЕЗШ.ТАТИ ДИССЕРТАЦИИ

1. В рамках ШСГ впервые получено общее решение задачи о проходдании гамма-квантов через слой вещества.

2. Иссзедоваиа связь между общим реиенаем системы уравнений 2 -приближения дая гамма-квантов с соответствующими частными

ресениями, найденными в работах Герстеля и Бема.-

3. Изучены особенности энергетических спектроз дая гамма-излучения,отраженного и пропущенного слоем.

4. Показано влияние последовательных приближений в ШСГ на энергетические спектры гамма-квантов.

5. Впервые использован ШСГ для решения задачи о прохождении' электронов через слой вещества з приблинзнии непрерывных потерь энергии.

6. Доказано, что аппроксимация функции рассеяния дая электронов через сумму эффективной функции рассеяния и дельта-функции,

к*

умноженной произвольную постоянную, обеспечивает быструю сходимость ШСГ.

7. Установлена зависимость плотности потока многократно рассеянных электронов от глубина проникновения.

8. Рассмотрено обобщение М55СГ на случай двумерного кинетического уравнения для нейтронов.

4. плштащии ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

1. Галнзаз B.C., Огшвецкий В,И., Орлов А.Н. Теория многократного рассеяния гамма-лучей.-' "Успехи физ.наук", 1957, г.61, рнп.2, c.I6I-2I6.

2. Арзаров В.Н., Галшев B.C., Клоиган С.М., Тимофеев А.Н.

О возможности' авторадиографического обнаружения Ееравномер-Еос'тей концентрация адсорбционного происхождения. В сб.: Труды Всесоюзной научно-технической конференции по применения радиоактивных а стабильных изотопов и излечений в Еароднсм

- хозяйства и науке. 4-12 апреля IS57r. Металлургия и металло-ваданиа. М., АН СССР, 1958, с.421-427.

3. Галинез B.C., Шзартэ И.А. О выязляемости адсорбционных шравнсмэрностей концентрации при авторадиографическом' исследовании сплавов.- "Тр.ин-та физ.шталлов АН СССР", 1959, вш.22, с.37-49.

4. Талииэз B.C., ОрловА.Н., Шварте Й.А. К оценке условий авто-рздаографжчэского выявления адсорбционных неравномзрностей '

■ концзнтрации.- "Оизиха металлов и"металловедение", 1959, т.8, BHn.5'i с.641-647.

5. Орлов А.Н., Галшвв.B.C., Талуц Г.Г. Расчет "многократного ряссааная гамма-лучей семейств урана и тория.- Докл. АН СССР, IS59, тЛ26,> 5, с.975-978.

6. Галвпав B.C. К теории прохождения гаша-квантов через вещество.- "Атомная анергия", 1963, т.14, вып.5, с.453-457

7. Галшзэв B.C. Численные расчеты по прохождению гаша-квантов через вещество,- "Атсмная энергия", 1965, т.18, вып.4, с.415.

8. Гадяшев B.C. К теории прохождения гамма-квантоз через слой конечной тодзцины.- "Атомная анергия", 1966, т.20, вип.3,с.266

9. Галшлев B.C. К теории переходного эффекта дня гаша-излуче-няя.- "Изв. вузов СССР. Физгна", 1957, внп.5, с.147-149.

10. Галишев B.C. К теории многократного рассеяния электронов.-"Атомная энергия", 1968, т.24, вш.2, с.181.

11. Галишез B.C. "Многократное рассеяние протоноз s полистироле." "Изз.вузоз СССР. Физгка", 1959, вып.4, с.141-142.

[2. Галшев B.C. Вопросы теории глногократного рассеяния частиц.-М., Атомиздат, 1972.

[3. Галипев З.С. Решение одной двумерной задачи переноса для нейтронов.- "Изз. вузов СССР. Сизика", 1975, вып.6, с.155.

14. ГалЕпез B.C., Труханов Г.Я. К теории нестационарного переноса гамма-квантов в приближения малых углов рассеяния.- "Атсмная энергия", 1977, т.42, еып.1, с.41-42.

:5. Галипеэ B.C. К расчету энергетических спектров гамма-квантов по методу Ивона-Мертевса.- "Атомная энергия", 1977, т.42, выл.2, с.128.

6. Черемисин В.П., Галишэв З.С. I расчету деполяризации пучка нейтронов".-"Изз.вузов СССР. Физика", 1977, зкл.4, сД57.

7. Галишэв З.С. Метод нодо$ицированнвх сферических гармоник а теории многократного рассеяния частиц,- 2-е изд., - й.,

. Атомиздат, 1980.

8. Галшев B.C. К расчету завиьшоста плотности потека однократно рассеянных электронов от расстояния до источнгка.-Двп. в ВИНИТИ, 21.01.85, П 438-Б86, 16 с.

9. Галишев B.C. К расчету зависимости плотности потока электронов от глубины проникновения.- "Дефектоскопия", 1986, Я 9, с.81-85.

Э. Галипев B.C. К теории многократного рассеяния частиц. I.- Яеп. в ВИНИТИ, 26.02.87, JS I400-B87, 19 е.-

21. Галинев B.C. "Метол модифицированных сферические гармонях

в теории многоканального рассеяния частиц". Изв.АН Каз.СОР. Оер.физ.-мат., 1987, А 3, c.8S-90._

22. C-ijtUshos V Q. Pzcélut'a ¿л ¿л? ! hecy с/"«¿¿.péc ^tattiMno, -Lz . и l Jouii Pu b&cûâîcns iïeseemth Sg^vtcC^ /S</pp

23. Галииев B.C. "К расчету потерь энергии корональнтштт электронами". Деп.в Б2Н2ТЕ, 24.I0.8S, & 6445-В39, 9с.

24. Галдгев B.C. "К теории аффекта Еомптона". Деп.в Б2Н2ТИ, 09.10.91, S 892I-BSI, 4с.

25. Гадипев B.C., Ыехенцазе £.1. лоитоновезше рассеяние гаи©-квантов в оптически толстых средах". Деп.в Б2Н2Т2,25.05.92, » 1794-392, 1бс. .

.26. Галиаев B.C."Применение метода ыодафицировашшх сферических гармонюс в теории переноса излучений", б Российская научная конференция по завиге ст ионизующих излучений ядерно-технических установок (г.Обнинск, 20-23 сентября I9S4 г.). Тезисы докладов в 5-х томах. Том.1, с.55-57.