Метод Монте-Карло в квантовых системах нескольких частиц тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

а о 11

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ ¡1 ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 530.145

НЕМНЮГИН Сергей Андреевяч

МЕТОД !,ЮНГЕ-КАРЛО В КВАНТОВЫХ СИСТЕМАХ НЕСКОЛЬКИХ ЧАСТИЦ

специальность 01.0^.02 - теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-аатеиатических наук

Санкт-Петербург 1992

Работа выполнена на физического факультета государственного университета.

Научный руководитель

кафедре вычислительной физики Санкт - Петербургского

действительный член Российской Академии наук, профессор С. П.Меркурьев.

Официальные оппоненты : доктор физико - математических

наук, профессор С. М. Ермаков;

доктор физико - математических наук, профессор В.Б.Беляев.

Ведущая организация : Петербургский институт

ядерной физики, г.Гатчина.

Зашита состоится " («■}-" риюг. хО" п 1992 г. в 1<Г час на заседании специализированного совета К.063.57.17

по присуждению ученой степени кандидата физико -математических наук в Санкт - Петербургском государственном университете по адресу : 199034, Саякт - Петербург, Университетская наб., 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбУ.

Автореферат разослан " П " 1992 г.

Ученый секретарь спеииалма^рсаакиого совета

С. Н. Манила

"ИОУ

1 '>'

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Системы нескольких частиц изучаются В квантовой механике на протяжении многих лет. Характеристики связанных -состояний таких систем используются для решения широкого круга задач атомной и молекулярной спектроскопии, физики ядра и элементарных частиц, астрофизики, квантовой химии и т.д. Длительное время одним из направлений теоретической физики является разработка методов решения спектральных задач для квантовых гамильтонианов.

Б.связи с прогрессом вычислительной техники - появлением высокопроизводительных ЭВМ и персональных компьютеров возросла актуальность разработки методов численного анализа свойств квантовых систем нескольких частиц. В числе таких методов следует упомянуть адиабатическое представление [I], вариационные методы [2] , методы численного решения уравнений Фаддее в а {3] и другие.

Среди чрезвычайно эффективных численных методов, применяемых в теории квантовых систем, находятся методы статистического моделирования, основанные на компьютерной имитации случайных процессов. Алгоритмы методов Монте -Карло имеют ряд достоинств. Среди них:

1. Слабая зависимость необходимых затрат ресурсов ЭВМ от числа частиц.

2. Возможность решения задний, не прибегая к априорным упрощениям как в математической формулировке проблемы, так и в численном алгоритме ее резения.

3. Возможность эмпирической сценки погрешности результата при достаточно широких предположениях о свойствах моделируемых вероятностных распределений.

4. Возможность оптимизации алгоритмов с учетом априорной информации о свойствах решения.

5. Простота распараллеливания при проведении расчетов на современных многопроцессорных суперкомпьютерах.

Основоположниками применения методов Монте - Карло в современной физике следует считать Метрополией к Улама [4]. Интенсивное развитие статистического моделирования, начиная со второй половины 40 ~ х годов, связано с появлением электронно - вычислительных машин. Это развитие шло, с одной стороны, по линии строгого обоснования статистических методов решения задач математической физики [5, 6]. С другой стороны, опубликовано большое число работ, посвященных приложениям методов Монте - Кзрло в различных областях теоретической я вычислительной физики. В их числе теория квантовых систем нескольких частич.

Среди приложений методе а статистического моделирования в данной области следует упомянуть вариационные методы Манте - Карло [7] и подход, основанный на формулировке квантовой механики в терминах интегралов по траекториям [8]. Методы статистического моделирования при этом используются для вычисления интегралов большой кратности. Недостатками перечисленных подходов являются проблемы, связанные с выбором подходящей пробной функции, переходом к непрерывному пределу и ряд других. От этих недостатков свободен метод монте карловских функций Грина ( МКФГ ), которому пэевяшена настоящая работа.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Во многих работах, посвященных методу монте - карловс ких функций Грина,используется аналоги?, между уравнением Шредингера в мнимом времени и уравнением диффузии. Соответствующий яэь:и не является типичным для квантовой механики, поэтому представляется важным дать формулировку метода монте - карловских функций Грина в терминах, общепринятых ь теории квантовых систем нескольких частна и той области вычислительной физики, которая имеет дело с численными расчетами характеристик таких систем. Необходимо определить границы применимости метода для данного круга задач и возможности повышения его эффективности Наименее разработанной является методика расчета возбужденных состояний, поэтому интерес представляет

развитие алгоритмов расчета характеристик возбужденных состояний и исследование их эффективности в -численных расчетах конкретных квантовых систем. Решение перечисленных проблей и является целью данной диссертационной работы

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации получены следующие новые результата».'

1. Проведены мояте - карловские расчеты характеристик основного состояния ме?ом"олекул ййд и определяющих эффективность реакций синтеза с применением мюонкого катализа. В райках метода монте - карловских функций Грнна рассчитаны еолновыс функции основного состояния мезомолекул dd^^ и рф, а также отрицательного иона позитрония (е*е"е~), получены опенки характеристик основного состояния трехмерного ангармонического осциллятора, системы трех кварков и связанных осцилляторов.

2. Дана формулировка метода монте - карловских функций Грина в терминах, общепринятых в теории квантовых систем нескольких частиц и связанной с ней области вычислительной физики.

3. Разработан метод повышения эффективности монте -карловских расчетов характеристик состояний трехчастичных квантовых систем с кулоновским взаимодействием.

4. Сформулированы алгоритмы расчета характеристик возбужденных состояний, а также систем с матричными потенциалами. Эти алгоритмы применены для расчета возбужденных состояний трехмерного ангармонического осциллятора, мезомолскулы <11 ц и системы тр*х кварков.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Полученные в диссертации результаты применимы для численного исследования свойств связанных состояний широкого ил-юса ядерных, атомных н молекулярных систем.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на XII Европейской конференции по малочастнчным проблемам в физике I Ужгород, 1990 г. ), на научных семинарах в

Институте ядерной физики Грснобльского университета, Лаборатории теоретической физики в Орсэ, в Институте атомной энергии им. И.В.Курчатова, на кафедрах статистического моделирования и вычислительной физики Санкт - Петербургского государственного университета.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в [9-131

СТРУКТУРА РАБОТЫ И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация содержит 122 страницы машинописного текста и состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Список литературы включает 99 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность темы, сформулированы основные задачи и результаты работы.

Глава 1 посвяшена формулировке метода МКФГ.

В псовом параграфе дакы основные уравнения н приведена обШая схема метода. Ста пи гея спектральная задача для квантового гамильтониана N - частичной системы :

• = (1) При этом предполагается, что существует по крайней мере одно связанное состояние, оно нсвырождено,' а также Е0< Е,<... Одним из эффективных приближенных методов решения поставленной задачи является метод обратных итераций со сдвигом ;

( 3( - Л 1 ) = Ф<п> , (2)

где Л - вещественный парзметр. Для п - й итерации справедливо представление :

ск / ( Ек - А )» , (3)

Ск = | <щ «Мвд ую , где символ ) обозначает суммирование по дискретному и

интегрирование по непрерывному спектру, и Re R3^"1' , Прн С„ * 0 и > < ( Е, + Е, ) / 2 (

( ' 1 (4)

Afoonnv ilVJ ntuyvyoi pn^mj vin-n»fc/jr, r; i

н Л < ( Eq + E, J / 2 *(n)(R) = { 1 + ° ( Ч" >

где п = ( Е0-Л ) / { Е1 - А ) < 1. Таким образом, при больших значениях номера итерации п последовательность функций Ф^Ю с точностью до постоянного множителя сходится к точной волновой' функции основного состояния.

Для практической реализации метода удобно преобразовать уравнение (2) к виду :

4<п+1>О0 = [ *<■> ] (И) = (5)

= J <JR £?Л ( R, R ) ^(R),

л

где =5 ( К - Я I у1 - резольвентный оператор. Получить ядро (функцию Грнна) ( R, R ) этого оператора в явном виде удается только в ряде простейших случаев, поэтому необходимо указать способ его вычисления. Это можно сделать на основе теории возмущений.

Введем в рассмотрение такой "пробный" потенциал V((R), что функция Грнна для соответствующего гамильтониана может быть получена в явном виде. Это может быть, наприt^p, потенциал гармонического осциллятора. Для функции Грина можно написать уравнение типа Липпманаъ- Швингера :

( R,R) = 9t ( -

dR ( 1/'(R") 9л ( R'R') (6)

с обобщенным потенциалом

I

V (R) V,(R) - V (R) , (7)

В результате подстановки (6) a (5) задача сводится к

решению интегрального уравнения

л

+

Ф<П)(Ю = ф (R) + [ (R) , (8)

где

<т'( к, я') ф1"-1^'), о)

л

а интегральный оператор X имеет ядро :

а ( ъ я ) = г, ( в, я') /(К). (Ю)

Уравнение (8) является уравнением относительно Оно

может, быть решено методом статистического моделирования.

В основе этого метода лежит представление решения уразнения (8) рядом Неймана [5] :

(О

= ]Г [ * ] (Ю. (Н)

т=С

/

который сходится, если || к ( й, К ) \\г< 1. Это условие

выполняемся при подходящем выборе пробного потенциала

Задачу о вычислении произвольного функционала от решения интегрального уравнения (8) можно свести к вычислению математического ожидания случайной величины вида

Ч = Г ¡-2.....> ■ <12>

где ... , - является реализацией некоторого

случайного процесса. Согласно обшей теории методов статистического моделирования [5] искомый процесс является марковским. Плотность распределения вероятности и переходная плотность такого процесса должны удовлетворять определенным, хотя и достаточно широким предположениям.

Во агорой параграфе строятся оценки функционалов от решения интегрального уравнения (8) вида :

Д = ( Ф(п), Ь ). (13)

К вычислению функционалов такою типа может быть сведена задача вычисления энергии основного состояния. Действительно, если Ь (Я) в 1, р и ( 1 ), тогда

оценка энергии "по росту" имеет вид :

ЕЙ» а * + Р„-, / Рп = Е0 + О ( дп )• (И)

"Локальная" ойенка, является аналогом отношения Рэлея :

Е'ос = ( Ш ) / ( Ф<П)' 5)' (15) где I - произвольная функция из

Для функционалов (13) можно построить оценку [5] :

1 о, _ (16)

1=1

где

тп) л (в . к)

р0(К0), р (Р < ) - начальное распределение и переходная плотность'случайного процесса, а К0, 1*,,.., ^ -марковская траектория случайного процесса. Математическое ожидание случайной величины 3 совпадает с точным значением искомого функционала.

Наряду с вычислением функционалов (13) в методе МК.ФГ решается задача вычисления средних по основному состоянию :

< 11 >0 = | сЩ Ф0(К)2 Ь(Р). (18)

Соответствующая оценка имеет вид ; '

< Ь >0* I" <Щ Ф (К ) ОД') , (19)

/ » ии-п г

где ) - вес точки К .

Другой величиной, представляющей интерес, является волновая функция основного состояния. Для ее вычисления

строится набор ортоиормированных функций • | ф.(Х) = ] .

Тогда функция

п N

<х> =][ "Б Е ^ № (20)

является несмещенной оценкой плотности распределения случайной величины X, которая в пределе больших номеров итераций совпадает с волновой функцией основного состояния.

Кроме того, во втором параграфе обсуждаются методы получения корректной оценки статистической погрешности.

В третьем параграфе рассматриваются трудности практической реализации метода МК.ФГ и способы их преодоления. В числе этих проблем выбор переходной плотности, допускающей эффективное моделирование. Для построения эффективного алгоритма функции Грина в уравнениях метода заменяются матрицами плотности, а для моделирования случайных блужданий используется гауссовское распределение.

В реальных расчетах моделируются случайные блуждания множества точек, при этом каждой из них сопоставляется единичный вес. Для описания такого процесса вводятся функции кратности.

Одним из достоинств метода МКФГ является возможность его оптимизации с учетом априорной информации о свойствах решения. Эту информацию включает управляющая функцня ^(И), уравнения метода модифицируются следующим образом :

ф<и)(Ю = 1(П)(Ю / 9ШЦ, , (21)

9 ( К, К) - Ф^') ( к, я ') / (22)

Еше одной проблемой, возникающей при практической реализации метода является невозможность интерпретировать функции кратности как число ветвлений при переходе К. -> К., если 'обобщенный потенциал принимает отрицательные значения. Для того, чтобы решить эту проблему, разобъем в интегральном уравнении область интегрирования следующим образом :

П = £*♦> +

= { К ! V(К) < 0 }• (»>

V (К) = ) . (24)

Переопределяется соответств>юшим образом функция кратности.

При формировании начального распределения точек, соответствующего нулевой итерации, необходимо моделировать распределение вероятностей, пропорциональное 3^(10. Б методе МКФГ это делаегся при помощи алгоритма Метрополией,

В четвергом . параграфе приводится описание алгоритма

и

В пятом параграфе описывается модификация метода МКФГ для случая матричных потенциалов. В этой версии метода моделируется марковский случайный процесс в пространстве 5?3(м-1)(5 где ¡^ _ дискретное множество индексов каналов ( номеров компонент волновой функции ). При этом функции гераинй и управляющие функини являются вектор - функциями, * функция Грина, обобщенный потенциал и функции кратности -матрицами. Вместо уравнения (8) теперь необходимо решать систему уравнений вида :

Каждый случайный сдвиг включает изменение не/ только координаты, но и дискретного индекса канала : К,, 5, -> П., з.. В численных расчетах это приводит к необходимости вводить Б массивов, каждый из которых содержит множество точек, отвечающее определенному каналу (компоненте функции врЦЯ)).

Глава II содержит результаты численных расчетов.

В первом параграфе приведены результаты расчета ряда характеристик основного состояния мезомолекул <Мр н рс!р. Эти характеристики необходимы как для проверки качества монте - карлонекой оценки волновой функции, так и для теоретического исследования свойств мезомолекул. Оценки энергии и средних квадратов межчастичных расстояний приведены в таблице 1.

Таблица 1. Характеристики основного состояния мезомолекул (м.а.е. и эВ)Г*

Мезомоле-кула - <> <4>> Настояшая работа

(Ид 8.97+0.2 9 6.13+0.29 5.87+0.76 -319.72 ± 1.24

(Мц 8.23+0.23 5.64+0.32 -327.60 ± 3.25

РФ 7.15+0.76 4.78+0.50 4.67+0.76 -222.15 + 5.14

т, > п^ > пг^

Оценки вероятности прилипания ^ - мезона к а -частице даны в таблице 2.Практический интерес представляет расчет скорости реакции синтеза :

Л = А$ р , (26)

где А5 - постоянная реакции. Результат монте - карловского расчета приведен в таблице 2.

Таблица 2. Вероятность прилипания м^Не для основного состояния мезомолекулы <31^ и м3Не для ййц (%) и р

сЗс1 ¡1

0.83310.060 13.8810.93

р ( 7.63 ± 0.44 )«1026 см~®

Во втором параграфе приведены результаты расчета характеристик основного состояния отрицательного нона позитрония (см. таблицу 3). Таблица 3. Характеристики основного состояния

отрицательного нона позитрония

Ео V Ы <*«У>

-0.264+0.002 2.25+0.10 0,33 36.86+1.40 70.87t2.09

•) ' ...... ''

Значения приведены в атомной системе единиц.

В третьем параграфе приведены результаты расчета энергии основного состояния системы связанных осцилляторов, допускающей точное решение. Этот расчет имеет методический характер н проводился в целях тестирования применимости модификации метода МКФГ для матрнчиык потенциалов.

Глава III содержит результаты исследования влияния свойств управляющих функций на эффективность метода МКФГ.

В первом параграфе в .методическом расчете энергни основного состояния атома водорода применяются управляющие

функции, имеющие различное значение интеграла перекрытия. Анализируется связь между значением интеграла перекрытия и статистической погрешностью и даются практические рекомендации.

Во втором параграфе приведены результаты численного следования влияния локальных свойств управляющей функции в окрестности точки тройных столкновений на эффективность метода МКФГ в расчетах трехчастнчных кулоновских систем. В качестве примера такой системы выбрана мезомолекула (И?! Показано существенное влияние асимптотического поведения управляющей функции вблизи нуля гиперрадиуса на величину погрешности метода. Так, например, использование в качестве управляющей функции вариационного типа, полученной в технике коррелированных экспонент, дает неудовлетворительные результаты. С другой стороны, сшивка такой функции с фоковской асимптотикой позволяет заметно повысить точность расчета. В связи с этим предлагается метод построения "хороших" управляющих функций, который состоит в использование на относительно больших расстояниях простых вариационных функций, переходящих вблизи точки тройных столкновений в фоковскую асимптотику.

Глава IV посвящена обсуждению алгоритмов расчета возбужденных состояний.

В первом параграфе рассматривается метод ортогональных управляющих функций, который основан на таком выборе управляющей функции, что

| С. | - I < Ф | > | = 1 - 3, 0 < 5 с 1. 1 * 0. (27)' Ь '

Выбранная таким образом управляющая функция почти ортогональна волновым функциям кроме той, которая отвечает избранному состоянию, с чем и связано название метода. При этом в (5) будет доминировать слагаемое, соответствующее 1 -му возбужденному состоянию. Управляющая функция, удовлетворяющая (27), знакопеременна, в связи с этим при практической реализации алгоритма возникают проблемы,

аналогичные той, которая обсуждалась в разделе 5 п. 1.3. Эта проблема решается путем специального разбиения . области интегрирования.

В рамках данного метода проведены расчеты зчергни ряда уровней трехмерного ангармонического осциллятора в режиме сильной связи. Результаты расчета согласуются с вариационными.

Таблица' 4. Энергии связи возбужденных состояний трехмерного ангармонического осциллятора

fr Варнац. Настоящая Варнац. к Настоящая

расчет работа расчет работа

0 5.476 5.43 ± 0.03 2 14.984 14.3 ± 1.5

1 9.984 9.70 ±0.15 3 20.394 20 ± 5

Здесь же приведен результат пробного расчета энергии одного из уровней мезомолекулы dt/i. ,

Во второй параграфе рассматривается метод вычитаний, основанный на последовательном исключении вкладов возбужденных состояний. В силу того, что этот метод использует оиенки ввергни типа оценок "по росту", точность его значительно ниже, чем у метода ортогональных управляющих функций. Это показано на примере расчета энергии 1-го уровня ангармонического осциллятора.

В рамках данного подхода проведен н расчет энергии первого уровня нерелятивистской трехкварковой системы с взаимодействием, описываемым корнельским потенциалом : Е0 = -0.055 i 0.005 ГэВ, Е, = 0.62 ± 0.35 ГэВ.

В приложении приведена блок - схема программы расчета основного состояния методом МКФГ.

Цитированная литература

1. Виниикий С. И., Пономарев Л. И. Адиабатическое представление в задаче трех тел с кулоковским взаимодействием. - Э Ч А Я, 1982, т.13, с. 1336 - 1418.

2. Ландау Л. Д., Лифший Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория, - М.: Наука, 1974, 752 с.

3. КвиииискиЙ А.А., Куперин Ю.А., Меркурьев С.П., Мотовнлов А. К., Яковлев СЛ. Квантовая задача N тел в конфигурационной пространстве. - Э Ч А Я, 1985, т. 17, с. 267 - 317.

4. Metropolis N., Dlam S. The Monte - Carlo method. -J.Am.SUt. Assoc., 1949, v.44, p.335 - 341.

5. Ермаков C.M. Метод Монте - Карло и смежные вопросы. -М.: Наука, 1975, 471с.

6. Ермаков С.М., Некруткин В.В., Сипии А.С. Случайные процессы для решения классических уравнений математической физики. - М.: Наука, 1984, 205с.

7. Сипсрли Д., Ксйлос М. Квантовые миогочастичные задачи. -

"Методы Монте - Карло а статистической физике"/ Под ред. К.Биндера, М.: Мир,: 1982, с.162 - 215.

8. Ceperley D.M., Pollock E.L Simulation of quantum many -body systems by path - integral methods. - Phys.Rev. B, 1984, v. 30, p.2555 - 2568.

По материалам диссертации опубликованы следуюшие работы :

9. Nemnyugin S.A., Merkurlev S.P, Modified Green's Function Monte-Carlo Calculation of dt>i Ground State Properties- Mucn Catalysed Fusion, 1989, v,4, p. 195 -

20S.

10. .Меркурьев С.П., Немнюгнн С.А Расчет свойств связанных состояний методом Мокте - чарловских функций Грина. -Яд фиэ., 199!. т.53, с.50 - 63.

11. Nemnyugin Я A., Merkuriev S.P., Improving the Efficiency

of the Green's Function Monte-Carlo Method In the Cakulation of Fusion Characteristics.- Muon Catalysed Fusion, 1992, v.7, p.37-46.

12. Меркурьев С.П., Немнюгин С.А: О влиянии локальных свойств управляющей функции на эффективность метода монте - карловских функций Грина в расчетах трехчастнчных систем с кулоноаским взаимодействием. -Яд фнз., 1992, т.55, с.929 - 937.

13. Merkuriev S.P., Nemnyugin S.A., Monte-Carlo Method for Matrix Potentials. - Proc.of Int.Seminar on Mathematical Aspects of Quantum Scatt.Theory and Applications, Sankt-Petersburg, 1992, p.98-102.

РТП ПШФ,8ак.771»уч.-изд.л.0,8; тир.100. 28Д-1992 г. Бесплатно