Метод Монте-Карло в квантовых системах нескольных частиц тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

о' — а о

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 530.145

НЕМНЮГИН Сергей Андреевич

МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО В КВАНТОВЫХ СИСТЕМАХ НЕСКОЛЬКИХ ЧАСТИЦ

специальность 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1992

Работа выполнена на кафедре вычислительной физики физического факультета Санкт - Петербургского государственного университета.

Научный руководитель действительный член

Российской Академии наук, профессор С. П.Меркурьев.

Официальные оппоненты : доктор физико - математических

наук, профессор С. М.Ермаков;

доктор физико - математических наук, профессор В.Б.Беляев.

Ведущая организация : Петербургский институт

ядерной физики, г.Гатчина.

4 ***

Зашита состоится " "оЧ " Ъ-аьС^у* 1992 г. в ^ час на заседании специализированного совета К.063.57.17

по присуждению ученой степени кандидата физико -математических наук в Санкт - Петербургском государственном университете по адресу : 199034, Саакт - Петербург, Университетская наб., 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбУ.

Автореферат разослан " " о?с1 1992 г.

Ученый секретарь спеииалнз^рсгадкого совета

С. Н. Маннда

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Системы нескольких частиц изучаются в квантовой механике на протяжении многих лет. Характеристики связанных состояний таких систем используются для решения широкого круга задач атомной и молекулярной спектроскопии, физики ядра и элементарных частиц, астрофизики, квантовой химии и т.д. Длительное время одним из направлений теоретической физики является разработка методов решения спектральных задач для квантовых гамильтонианов.

¿.связи с прогрессом вычислительной техники - появлением высокопроизводительных ЭВМ и персональных компьютеров возросла актуальность разработки методов численного анализа свойств квантовых систем нескольких частиц. В числе таких методов следует упомянуть адиабатическое представление (I], вариационные методы [2} , методы численного 'решения уравнений Фаддеева [3/ и другие.

Среди чрезвычайно эффективных численных методов, применяемые в теории квантовых систем, находятся методы статистического моделирования, основанные на компьютерной имитации случайных процессов. Алгоритмы методов Мокте -Карло имеют ряд достоинств. Среди 'них:

1. Слабая зависимость необходимых затрат ресурсов ЭВМ от числа частиц. •

2. Возможность решения задачи, не прибегая к априорным упрощениям как в математической формулировке проблемы, тан и в численном алгоритме ее решения.

3. Возможность эмпирической сценки погрешности результата при достаточно широких предположениях о свойствах моделируемых вероятностных распределений.

4. Возможность оптимизации алгоритмов с учетом априорной информации о свойствах реиддая.

5. Простота распараллеливания при проведении расчетов на современных многопроцессорных суперкомпьютерах.

Основоположниками применения методов Монте - Карло в современной физике следует считать Метрополией к Улама [4]. Интенсивное развитие статистического моделирования, нзчиная со второй половины 40 - х годов, связано с появлением электронно - вычислительных машин. Это развитие шло, с одной стороны, по линии строгого обоснования статистических методов решения задач математической физики [5, 6]. С другой стороны, опубликовано большое число работ, посвященных приложениям методов Монте - Карло в различных областях теоретической и вычислительной физики. В их числе теория квгнтовых систем нескольких частиц.

Среди приложений методов статистического моделирования в данной области следует упомянуть вариационные методы Монте - Карло [7] и подход, основанный на формулировке квантовой механики в терминах интегралов по траекториям [8]. Методы статистического моделирования при этом используются для вычисления интегралов большой краткости. Недостатками перечисленных подходов являются проблемы, связанные с выбором подходящей пробной функции, переходом к непрерывному пределу и ряд других. От этих недостатков свободен метод монте -•• карловских функций Грина ( МК.ФГ ), которому посьяшена настояшая работа.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Во многих работах, посвященных методу мокте - карловских функций Грина,используется аналогия между уравнением Шредингера в мнимом времени и уравнением диффузии. Соответствующий язык не является типичным для квантовой механики, поэтому представляется важным дать формулировку метода монте - карловских функций Грина в терминах, общепринятых к теории квантовых систем нескольких частии и той области вычислительной физики, которая имеет дело с численными расчетами характеристик таких систем. Необходимо определить границы применимости метода для данного кр>га задач н возможности повышения его эффективности Наименее разработанной является методика расчета возбужденных состояний, поэтому интерес представляет

развитие алгоритмов расчета характеристик возбужденных состояний и исследование их эффективности в • численных расчетах конкретных квантовых систем. Решение перечисленных проблем и является целью данной диссертационной работы.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации получены следующие новые резулътатн:

1. Проведены монте - карловские расчеты характеристик основного состояния мезомолекул <1йц и рйи, определяющих эффективность реакций синтеза с применением мюонкого каталига. В рамках метода монте - карловских функций Грнна рассчитаны волновые функции основного состояния мезомолекул Лд, сИд и рф, а также отрицательного нона позитрония (с+с"е~), получены опенки характеристик основного состояния трехмерного ангармонического осциллятора, системы трех кварков и связанных осцилляторов.

2. "Дана формулировка метода монте - карловских функций Грина в терминах, общепринятых в теории квантовых систем нескольких частиц и связанной с ней области вычислительной физики.

3. Разработан метод повышения эффективности монте -карловских расчетов характеристик состояний трехчастичных квантовых систем с кулоновским взаимодействием.

4. Сформулирозаны алгоритмы расчета характеристик возбужденных состояний, э также систем с матричными потенциалами. Эти алгоритмы применены для расчета возбужденных состояний трехмерного анрармонического осциллятора, мезомолекулы (Иц и системы тр*х кварков.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Полученные в диссертации результаты применимы для численного исследования свойств связанных состояний широкого класса ядерных, атомных и молекулярных систем.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на XII Европейской конференции по малочастичным проблемам в физике ( Ужгород, 1990 г. ), на научных семинарах в

Институте ядерной физики Гренобльского университета, Лаборатории теоретической физики в Орсэ, в Институте атомной энергии им. И.В.Курчатова, на кафедрах статистического моделирования и вычислительной физики Синят - Петербургского государственного университета.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в [9-13].

СТРУКТУРА РАБОТЫ И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация содержит 122 страницы машинописного текста и состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Список литературы включает 99 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность темы, сформулированы основные задачи и результаты работы.

Глава 1 посвяшена формулировке метода МКФГ.

В псовом параграфе даны основные уравнения и приведена об'шая схема метода. Ставится спектральная задача для квантового гамильтониана Я - частичной системы ;

При этом предполагается, что существует по крайней мере одно связанное состояние, оно невырождеио,' а также Е0< Е^... Одним из эффективных приближенных методов решения поставленной задачи является метод обратных итераций со сдвигом :

( }{ - Л I ) Ф'<п+1> Ф<"> , (2)

где А - вещественный параметр. Для п ~ й итерации справедливо представление:

*(п)<*0 Ск Фк(Е) / ( Ек - Л )" , (3)

ск - [ ¿а фь(й) ,

где символ ) обозначает суммирование по дискретному н

интегрирование по непрерывному спектру, и И € к3^"1) . При Сп * 0 и Л < ( Еп + Е, ) / 2

.(-)«п - УУ?

(4)

«(»)($ = С0 0<*> Г 1 + 0 ( п ,

(Е0-Л)"1

где ч = ( Е0-Л ) / ( Е, - А ) < 1. Таким образом, при больших значениях номера итерации п последовательность функций. ф(п\'И) с точностью до постоянного множителя сходится к точной волновой' функции основного состояния.

Для практической реализации метода удобно преобразовать уравнение (2) к виду :

Ф<П+,)(Ю = [ Ф(п) ] (й) (5)

| сщ' ( К, В') Ф^де'),

л

где = ( Я - Л I )"' - резольвентный оператор. Получить ядро (функцию Грина) Е^ ( Я й) этого оператора в явном виде удается только в ряде простейших случаев, поэтому необходимо указать способ его вычисления. Это молено сделать на основе теории возмущений.

Введем в рассмотрение такой "пробный" потенциал '/((К), что функция Грина для соответствующего гамильтониана может быть получена в явном виде. Это может быть, например, потенциал гармонического осциллятора. Для функции Грина

можно написать уравнение типа Липпмана т Швингера : .( 'Д.«')

1

«Щ », (ЦЩ У(Ц)»д-(1и*) (б)

с обобщенным потенциалом

, У(П) --- - V (П) , ■ (7)

В результате подстановки (5) в (5) задача сводится к

решению интегрального уравнения :

л

Ф<П>(К) - Ф (Щ * [ хУп)] (Н) , (8)

где

=

<щ'г, < цУ) Ф^-^да'), (9)

л

а интегральный оператор И имеет ядро :

Л ( ъ ц') = ^ < ц К) У'(Ю. (10)

Уравнение (8) является уравнением относительно Оно

может, быть решено методом статистического моделирования.

В основе этого метода лежит представление решения уразнения (8) рядом Неймана [5] :

и д

Ф(П)(И) = ]Г [ К"1 Ф ] (Ю, (11)

пИ)

/

который сходится, если || к ( Н, И ) ||2< 1. Это условие выполняется при подходящем выборе пробного потенциала

Задачу о вычислении произвольного функционала от решения интегрального уравнения (8) можно свести к вычислению математического ожидания случайной величины вида

V = г (е2,... , €м ), 02)

где £2, ... , - является реализацией некоторого

случайного процесса. Согласно обшей теории методов статистического моделирования [5] искомый процесс является марковским: Плотность распределения вероятности и переходная плотность такого процесса должны удовлетворять определенным, хотя и достаточно широким предположениям.

Во втором параграфе строятся оценки функционалов от решения интегрального уравнения (8) вида :

J = ( Ф(0), Ь ). (13)

К вычислению функционалов такого типа может быть сведена задача вычисления энергии основного состояния. Действительно, если Ь (Я) а 1, р^ а ( фМ, 1 ), тогда оценка энергии "по росту" имеет вид :

Е Л + рп 1 / рп = Ео + 0 ( Ча ) . (И)

"Локальная" опенка, является аналогом отношения Рэлея :

Е1ос = ( *<П)' Ш ) / < ф(П>' ^ (15>

где 1 - произвольная функция из Ц(К3(Г,М)).

Для функционалов (13) можно построить оценку [5] :

£ 01 ВД,^ _ (16)

1-1 •

где

МЫ Л (К , II)

0а - 0 , С> = <3П - "-1' ^ , (17)

° Ро<Ко) " Р V

Р0(П0), р (Рп_, Кп) - начальное распределение и переходная плотность'случайного процесса, а Р.0, П,,.., ^ -марковская траектория случайного процесса. Математическое ожидание случайной величины I совпадает с точным значением искомого функционала.

Наряду с вычислением функционалов (13) в методе МКФГ решается задача вычисления средних по основному состоянию :

' < Ь >0 = | <К Ф0(К)2 Ь(Ц). (18)

Соответствующая оценка имеет вид : '

< ь V [ ® ф ^ >' <19)

I / П1+П /

где Ф(Я ) - вес точки I* .

Другой величиной, представляющей интерес, является волновая функция основного состояния. Для ее вычисления

строится набор ортонормнрованных функций • | ф£Х) = , .

Тогда функция

и N

Лпм <*> =Е "к Е «,) <*> (2°)

]=1 1=1

является несмещенной оценкой плотности распределения случайной величины X, которая в пределе больших номеров итераций совпадает с волновой функцией основного состояния.

Кроме того, во втором параграфе обсуждаются методы получения корректной оценки статистической погрешности.

3 третьем параграфе рассматриваются трудноепг практической реализации метода МКФГ и способы их преодоления. В числе этих проблем выбор переходной плотности, допускающей эффективное моделирование. Для построения эффективного алгоритма функции Грина в уравнениях метода заменяются матрицами плотности, а для моделирования случайных блужданий используется гауссовское распределение.-

В реальных расчетах моделируются случайные блуждания множества точек, при этом каждой из них сопоставляется единичный вес. Для описания такого процесса вводятся функции кратности.

Одним из достоинств метода МКФГ является возможность его оптимизации с учетом априорной информации о свойствах решения. Эту информацию включает управляющая функция уП), уравнения метода модифицируются следующим образом :

в(в>(Я) = !(П)(Ю/ , (21)

& ( а к') - уд') э ( И, Е* ') / ул), (22)

Еше одной проблемой, возникающей при практической реализации метода является невозможность интерпретировать функции кратности как число ветвлений при переходе К. -> И., если 'обобщенный потенциал принимает отрицательные значения. Для того, чтобы решить эту проблему, разобъем в интегральном уравнении область интегрирования следующим образом :

£2 = £*+> +

й(±) ={К 1 С/(К) < <»>

Переопределяется соответствующим образом функция кратности.

Прн формировании начального распределения точек, соответствующего нулевой итерации, необходимо моделировать . рас пределе}! и е вероятностей, пропорциональное 3

методе МКФГ это делается при помоши алгоритма Метрополкса.

В'четвергом параграфе приводится описание алгоритма

& пятом параграфе описывается модификация метода МК.ФГ для случая матричных потенциалов. В этой версии метода моделируется марковский случайный процесс в пространстве | где - дискретное множество индексов каналов ( номеров компонент волновой функции ). При этом функции тераиий и управляющие функции являются вектор - функциями, а функция Грина, обобщенный потенциал и функции кратности -матрицами. Вместо уравнения (8) теперь необходимо решать систему уравнений вида :

*<П)(Ю = $¡(10 - ]Г ^¡,Ф<?>(Ю • (25)

Каждый случайный сдвиг включает изменение не^ только координаты, ко и дискретного индекса канала : —>

Я., 5.. В численных расчетах это приводит к необходимости вводить 3 массивов, каждый из которых содержит множество точек, отвечающее определенному каналу (компоненте функции ${пХт.

Глава II содержит результаты численных расчетов. В первом параграфе приведены результаты расчета ряда характеристик основного состояния мезомолекул ¿1(1, йф и рс!(1. Эти характеристики необходимы как для проверки качества монте - карловской оценки волновой функции, так и для теоретического исследования свойств мезомолекул. Оценки энергии и средних квадратов межчастнчных расстояний приведены в таблице 1.

Таблица 1. Характеристики основного состояния мезомолекул (м. а. е. и зВ)^

Мезомоле кула - <> <> Настоящая работа

й 1(1 8.97+0.29 6.13+0.29 5.87+0.76 -319.72 + 1.24

8.23+0.23 5.64+0.32 -327.60 + 3.25

РФ 7Л5±0.76 4.78+0.50 4.67+0.76 -222.15 + 5.14

') Ш, > Ш2 > пг^

Опенки вероятности прилипания (I - мезона к а -частиие даны в таблице 2. Практический интерес представляет расчет скорости реакции синтеза :

Л = Аа р , (26)

где А4 - постоянная реакции. Результат монте - карловского расчета приведен в таблице 2.

Таблица 2. Вероятность прилипания д4Не для основного состояния мезомолекулы <Нц и /*3Не для ййу. (%) и р

(К/! ййр

0.83510.060 13.88+0.93

р ( 7.63 + 0.44 )-1026 см"3

Во втором параграфе приведены результаты расчета характеристик основного состояния отрицательного иона позитрония (см. таблицу 3). Таблица 3. Характеристики основного состояния отрицательного иона позитрония **

Е0 Г2У Ы

-0.264+0.002 2,25+0.10 0.33 36.86±1.40 70.87+2.09

' Значения приведены в атомной системе единиц.

В третьем параграфе приведены результаты расчета энергии основного состояния системы связанных осцилляторов, допускающей точное решение. Этот расчет имеет методический характер и проводился в целях тестирования применимости модификации метода МК.ФГ для матричных потенциалов.

Глава III содержит результаты исследования влияния свойств управляющих функций на эффективность метода МКФГ.

В первом параграфе в . методическом расчете энергии основного состояния атома водорода применяются управляющие

функции, имеюшие различное значение интеграла перекрытия. Анализируется связь между значением интеграла перекрытия и статистической погрешностью и даются практические рекомендации.

Во втором параграфе приведены результаты численного :следования влияния локальных свойств управляющей функции в окрестности точки тройных столкновений на эффективность метода МКФГ в расчетах трехчастичных кулоновских систем. В качестве примера такой системы выбрана мезомолекула (Ид. Показано существенное влияние асимптотического поведения управляющей функции вблизи нуля гиперрадиуса на величину погрешности метода. Так, например, использование в качестве управляющей функции вариационного типа, полученной в технике коррелированных экспонент, дает неудовлетворительные результаты,. С другой стороны, сшивка такой функции с фоковской асимптотикой позволяет заметно повысить точность расчета. В связи с этим предлагается метод построения "хороших" управляющих функций, который состоит в использовании на относительно больших расстояниях простых вариационных функций, переходящих вблизи точки тройных столкновений в фоковскую асимптотику.

Глава IV посвяшена обсуждению алгоритмов расчета возбужденных состояний.

В первом параграфе рассматривается метод ортогональных управляющих функций, который основан на таком выборе управляющей функции, что

| С.| ^ | < Ф | Ф. >|=1-5, 0 < а с 1. I * 0. (27)'

Выбранная таким образом управляющая функция почти ортогональна волновым' функциям кроме той, которая отвечает избранному состоянию, с чем и связано название метода. При этом в (3) будет доминировать слагаемое, соответствующее I -му возбужденному состоянию. Управляющая функция, удовлетворяющая (27), знакопеременна, в связи с этим при практической реализации алгоритма возникают проблемы,

аналогичные той, которая обсуждалась в разделе 5 п. 1.3. Эта проблема решается путем специального разбиения . области интегрирования.

В рамках данного метода проведены расчеты гчергни ряда уровней трехмерного ангармонического осциллятора в режиме сильной связи. Результаты расчета согласуются с вариационными.

Таблица' 4. Энергии связи возбужденных состояний трехмерного ангармонического осциллятора

и Вариац. Настоящая ■ Варнац. Настоящая

расчет работа расчет работа

0 5.476 5.43 + 0.03 2 14.984 14.3 ±1.5

1 9.984 9.70 ± 0.15 3 20.394 20 ± 5

Здесь же приведен результат пробного расчета энергии одного из уровней мезомолекулы <!1ц

Во втором параграфе рассматривается метод вычитаний,1 основанный на последовательном исключении вкладов возбужденных состояний. В силу того, что этот метод использует оценки энергии типа оценок "по росту", точность его значительно ниже, чем у метода ортогональных управляющих функций. Это показано на примере расчета энергии 1-го уровня ангармонического осциллятора.

В рамках данного подхода проведен и расчет энергии первого уровня нерелятивистской трехкварковой системы с взаимодействием, описываемым корнельским потенциалом : Е0 = -0.066 ± 0.005 ГэВ, Е, = 0.62 ± 0.35 ГэВ.

В приложении приведена блок - схема программы расчета основного состояния методом МК.ФГ.

Цитированная литература

1. Виниикий С.И., Пономарев. Л.И. Адиабатическое представление в задаче трех тел с кулоновским взаимодействием. - Э Ч А Я, 1982, т.13, с. 1336 - 1418.

2. Ландау Л. Д., Лифший Е.М. Квантовая механика, Нерелятнвистская теория. - М.: Наука, 1974, 752 с,

3. Квниииский А.А., Куперин Ю.А., Меркурьев С.П., Мотовилов А. К., Яковлев С. Л. Квантовая задача N тел в конфигурационном пространстве. - Э Ч А Я, 1986, т.17, с.267 - 317.

4. Metropolis N , Dlara S. The Monte - Carlo method. -J.Am.Stat.Assoc., 1949, v.44, p.335 - 341.

5. Ермаков C.M. Метод Монте - Карло и смежные вопросы. -М.: Наука, 1975, 471с.

6. Ермаков С.М., Некруткин В.В., Снпин А.С. Случайные процессы для решения классических уравнений математической физики. - М.: Наука, 1984. 205с.

7. Сиперли Д., Кейлос М. Квантовые многочастичкые задачи. -

"Методы Монте - Карло з статистической физике"/ Под ред. К.Биндсра, М.: Мир, 1982, с.162 - 215.

8. Ceperley D.M., Pollock E.L Simulation of quantum many -body systems by path - integral methods. - Phys.Rev. B, 1984, v,30, p. 2555 - 2568.

По материалам диссертации опубликованы следующие работы :

9. Nemnyugin S.A., Merku.riev S.P, Modified Green's Function Monte-Carlo Calculation of dt/i Ground State Properties.- Muon Catalysed Fusion, 1989, v.4, p. 195 -205.

10. Меркурьев С.П., Немнюгни C.A Расчет свойств связанных состояний методом Мэкте - карловсхкх функций Грина. -Яд.физ., 1991, т. 50, с.SO - 63. '

1!. Nemnyugin Я A., Merkuriev S.P., Improving the Efficiency

of the Green's Function Monte-Carlo Method in the Calculation of Fusion Characteristics.- Muon Catalysed Fusion, 1992, v.7, p.37-46.

12. Меркурьев С.П., Немнюгин С.А: О влиянии локальных свойств управляющей функции на эффективность метода монте - карловских функций Грина в расчетах трехчастнчных систем с кулонозским взаимодействием. -Яд. физ.; 1992, т. 55, с. 929 - 937.

13. Merkuriev S.P., Nemnyugin S.A., Monte-Carlo Method for Matrix Potentials. - Proc.of Int.Seminar on Mathematical Aspects of Quantum Scatt.Theory and Applications, Sankt-Petersburg, 1992, p.98-102.

РТП ПИЯФ,8ак.??1,уч.-изд.л.0,3; лир.ЮО. 28Д-1992 г. Бесплатно