Метод нахождения точек переключения релейного управления в линейных механических системах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Санкт-Петербургский Государственный Университет

На правах рукописи

РГБ ОД

1 з ц« т

ПОТОЦКАЯ Ирина Юрьевна

МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ ТОЧЕК ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ РЕЛЕЙНОГО УПРАВЛЕНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

01.01.09 — математическая кибернетика 05.13.18 — теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2000

Работа выполнена в Санкт-Петербургском Государственном Университете на факультете прикладной математики - процессов управления.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Бабаджанянц Л.К.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Жабко А.П.

кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Дубинко Т.Ю.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский институт

информатики и автоматизации РАН

Защита состоится " " 2000 г. в ^ часов на

заседании диссертационного совета К-063.57Л6 по защитам диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском Государственном университете по адресу: ~~ 199004, Санкт-Петербург, 10-я линия В.О., д.ЗЗ, аудитория&&

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского Государственного университета.

Автореферат разослан " " _2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д. ф.-м. н., профессор В.Ф. Горьковой

03

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Управляемые динамические колебательные системы широко распространены с различных областях техники. Эти объекты обычно описываются математически системами линейных или нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которые содержат управляющие воздействия и имеют решения колебательного или вращательного характера. Решение задач оптимального управления для колебательных систем со многими степенями свободы представляет значительные трудности, которые обусловлены высоким порядком систем, осциллирующим характером решений и другими факторами. В большей части работ по этой тематике управление ищут в неявном задании (линии переключения в фазовом пространстве). Не менее актуальной задачей является разработка методов построения оптимального управления в виде явной функнни времени, которым посвящена настоящая работа.

Предмет диссертационной работы — построение управлений — функций времени, оптимальных по "расходу" для задач механики, описываемых линейными системами дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Постановки рассматриваемых задач управления отличаются от традиционных: требуется погасить одну или несколько частотных компонент решений линейной системы с постоянными коэффициентами при функционалах типа "расход топлива , расход энергии и т.п.

Основным источником таких постановок являются задачи управления самолетами и космическими летательными аппаратами, начиная от простейших задач управления колебаниями спутника и включая такие сложные задачи, как задача встречи космических яе-

тательных аппаратов на орбите и задача "мягкой" посадки. Во всех этих случаях управляющие силы и моменты появляются за счет расхода топлива или рабочего тела, запасы которых ограничены. Управление осуществляется механизмом, потребляющим топливо (либо электроэнергию) и производящим тяги или моменты.

Цель диссертационной работы. Цель работы — решение следующих задач:

1. Гашение одной пли нескольких частотных компонент решения линейиой системы, оптимальное по расходу топлива.

2. Гашение одной или нескольких частотных компонент решения линейиой системы, оптимальное по расходу энергии.

3. Решение ряда реальных задач гашения колебаний механических систем.

Научная новизна. Реализован общий метод решения задачи оптимального гашения колебаний для линейных систем с постоянными коэффициентами, применение которого позволяет получить управление как линую функцию времени. Использование этого метода позволило получить новые результаты для ряда практических задач механики.

Общая методика исследования. В работе используются строгие методы математического анализа, теории дифференциальных уравнений, теории оптимального управления, механики управляемого движения, численного анализа.

Практическая ценность. Результаты диссертации позволяют находить точки переключения релейного управления, оптимального

по расходу топлива и энергии, для широкого класса задач механики управляемого движения. СЬга примешгмы для решения многих реальных задач гашения колебаний в дшогочастотных линейных механических системах.

Апробация работы. Основные результаты предлагаемой диссертация докладывались на XXVIII Конференции факультета ПМ-ПУ (СГ16ГУ, С-Петербург, апрель 1997), па XXXII Чтениях памяти К.Э. Циолковского (Калуга, сентябрь 1997), на Всероссийской научной конференции по механике "Вторые Поляховские чтения" (СПбГУ, С-Петербург, февраль 2000), на XXXI Конференции факультета IIМ-НУ (СПбГУ, С-Петербург, апрель 2000), а также на семинарах кафедры механики управляемого движения СПбГУ.

Публикации. По результатам, изложенным в диссертации, опубликовано 7 печатных работ. Перечень публикаций приведен в конце реферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из пяти глав, 33 пунктов и приложения. Библиография включает 58 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава — введение. В первом пункте этой главы вводится используемая далее терминология. Во втором пункте обсуждаются цель работы, её актуальность, новизна полученных результатов. В заключительном третьем пункте формулируются основные положения диссертации, выносимые на защиту.

Во второй главе получена серия результатов, посвященных решению задали оптимизации по расходу топлива., которая сводится к нахождению точек переключения управления. Рассмотрены линейные системы с различными типами спектра и разработаны алгоритмы нахождения точек переключения для каждого из рассмотренных типов систем.

В пункте 2.1 дается общая постановка задачи управления, оптимального по расходу топлива. Рассматривается механическая система, описываемая уравнением

dx

-M = Ax + U(t) (1)

относительно вектор-функции x(t) — .... £ R" аргумента I при условии

*(0)=*о = (®10,...,Е»„)€Яп, (2)

где А — постоянная матрица размерности (пхп), a U[t) = и\,..ип — управление, удовлетворяющее неравенствам \щ\ < hk , к = 1,..., п при постоянной hk.

Относительно матрицы А предполаг ается, что среди ее собствеп-ных чисел есть одна пара либо чисто мнимых, либо комплексных значений, причем соответствующая этой паре подматрица жордано-вой формы диагональна. Далее решается задача выбора управления U — U(t), минимизирующего функционал

= (з)

и такого, чтобы в момент Т обращалась в ноль составляющая x(i) решения x(t), соответствующая упомянутой паре собственных чисел, т. е.:

£(Т) = 0. (4)

Отметим, что обычно функционал ./1 пропорционален расходу топлива,

Управление ищется в классе релейных импульсных управлении в виде:

«*(*) = Л* Х^-1)'41^ - **) + Л* - **)• (5)

¿=1 ¿=1

Здесь управление разбито на положительные, направленные вверх, ступени и ступени отрицательные, направленные вниз. 2гд- — число положительных, — число отрицательных ступеней компоненты Ук управления II, а и О? — моменты времени, соответствующие переключениям этих ступеней, причем все они лежат на промежутке [0,7"]; /л— постоянная; Н{() — функция Хэвисайда единичного скачка:

1, г-/?>()

ни - в)_ , , Л

Пункт 2.2 посвящен построению алгоритмов для гашения одно-частотной составляющей решения системы (1).

В пункте 2. '2.1 рассмотрен метод построения оптимального управления для систем вида (1), имеющих хотя бы пару чисто мнимых собственных значений к = Метод заключается в том, что в

исходной задаче Коши производится линейная замена

г = (б]

где В — неособая постоянная комплексная матрица,

£ = {у,*) = (2/1,2/2,*ь...,~п-2) = (£1,&>)•

Матрицу В можно подобрать так, чтобы

а^ - некоторая (и — 2) х [п — 2) матрица. Тогда уравнение (2..1) п условия (2.2) перейдут в следующие:

у=Ту + у, 2/(0) = 2/о, ¿ = 2г + и\ 2(0) = 2о,

(7)

(8)

где

2/0 = Схо = (у10,у-г0), ¿о = С'гж0 = (г1о1..., г„-2о), у = Си= (и^^г), и> = Сги= (гиь...,и;п_20) (^ то) = Я"1 {/,

/ с.

С, =

С31

Сзп

С= ГСи ' "С1">

\С2Х . . . С-2п ,

\ Сп1 ■ ■ • Спп

Далее можно ограничиться рассмотрением только задачи (7).

В итоге получены явные формулы для параметров управления:

эт/л^ = —

У1„си ~ У1«с1к

(8)

ЬШ /хДд.

(9)

ьфг+УЖь+сЦ)

где — средний момент ступени управления для компоненты и к, 2Аь — ширина этой ступени. Множитель Лагранжа А( находится из уравнения:

(.УГо + = ±=- £ Н{гк + Чк)^{у1 + уЦ)(с[1 + сЦ)Х( - у\\.

^ к=1

В пункте 2.2.2рассмотрен метод построения оптимального управления для систем вида (1), имеющих хотя бы пару комплексных собственных значений к — 1±гр. В этом более сложном случае получены формулы, позволяющие с помощью численных методов реализовать алгоритмы построения оптимального управления посредством современной вычислительной техники. Эти алгоритмы широко используются в последующих главах.

В пункте 2.2.3 рассмотрены системы вида

¿х

(11)

где В — прямоугольная постоянная матрица размерности (п х г) и приведены отличия в формулах (8)-(10) для этих систем.

В пункте 2.2.$ формулы пункта 2.2.3 обобщены на. случай когда, кроме управления, на систему (1) воздействуют возмущающие факторы и она приобретает вид: йх

— = Ах + Ви(1) + Р(1). (12)

В пункте 2.3 рассматривается возможность одновременного гашения двух частот. Для этого случая получена система трансцендентных уравнений, решение которой приводит к нахождению точек переключения. В пункте 2.3.1 подобная система выписана для случая одновременного гашения т <п частот п-частотной системы.

В пункте 2.4 полученные в пунктах 2.2 и 2.'А результаты представляются в форме теорем. Для этого сначала формулируются некоторые условия этих теорем.

А. Матрица Л размерности (пхп) с вещественными постоянными элементами такова, что среди ее собственных чисел есть хотя бы пара чисто мнимых значений ±/п, причем соответствующая этой паре подматрица жордановой формы диагональна.

B. Матрица А размерности (п х п) с вещественными постоянными элементами такова, что среди ее собственных чисел есть хотя бы пара комплексных собственных значений I ± pi, причем соответствующая этой паре подматрица жордановой формы диагональна.

C. Матрица А размерности пхп и среди её собственных значений 2т — комплексные числа ajifij, j = 1,3, 5..2m— 1, среди которых нет кратных (2га < п).

D. Управление U(t) = (щ,... ,иГ1) в системе

(IX

— = Ах + U(£), x(t) = (*!,...,*„) ед", (13)

удовлетворяющее неравенствам ¡ил| < hk, к = 1,. • •, п, является,релейным вида

2гк 2qk

uk[t) = hk ]Г(-1 )i+1ff(t -*,-)+ hk E^W - (14)

1=1 i=1

где H(t) — функция Хэвисайда единичного скачка: Hit

E. Выполнены граничные условия

х(0) = г0 = (ачв,...,*„„) €Д", (15)

х(Т) = 0, где Т = mbx(4rkt4j. (16)

Замечание. Условие (16) означает, что в момент Т обращается в ноль составляющая x(t) решения x(t), соответствующая упомянутой паре собственных чисел (а случае одновременного гашения 2т частот в ноль обращаются все 2т составляющих решения x\i.), соответствующие собственным числам упомянутым в условии С).

Теорема 1. Если выполнены условия А, В, Е. то точки переключения соответствующие необходимым условиям экстремума функционала

* = Ы^-Жп (17)

к—1

пропорпионального расходу топлива, находятся по следующим формулам:

$ = %±я/(1±2гг!/(*, = *?+2 ±2п/(л±2к1/ц, 1еЪ, (18)

гк2 = 1к + Ак, (19)

и = (-1)' 1 агсвш + -+ 7ГI, I € г, (20)

Дл = (_!)'_ агсэт * ___— --+ ж1, 1£Ъ,

(21)

(22)

Теорема 2. Если выполнены условия В, Б, Е, то точки переключения г , Ц, соответствующие необходимым условиям экстремума функционала (17), пропорционального расходу топлива, находятся по следующим формулам:

т* + (23)

ъихт? = Вке»г-.. вт?!* = -Вке^, где л- = //р, (24)

Вк = -±, где. Як = Т—7= (26)

где

& = £(-1)<+1я(г-^)е"''Т? + созт*

1=1 1=1

Из уравнений (24) и (27) мы можем численно, посредством современной вычислительной техники, найти В^ и все значения т/, г/" (см. гл. 5 и приложение) и, зная их, по формулам (23) и (26), (25) получить искомые значения ^, и множители Лагранжа.

Теорема 3. Если выполнены условия С, В, Е, то точки переключения ^, , соответствующие необходимым условиям экстремума функционала (17), пропорционального расходу топлива, находятся из слс-— дующей системы уравнений:

1 "

К> ~ ¡О» + 4- ||2 I] Ы^'зк + +

- = О,

1 п

= 4 + „2 . „2 I] -

Г] к = 1

-А* (сЧс^к + щс-к = 0, (28)

где

2т-X

.7 = 1

2т— X

- Лу+:с-;.,) 8ХП ] = 1. (30)

Для решения этой системы можно воспользоваться алгоритмом, описанном в гл. 5. В результате применения этого алгоритма решение 2 1 (гк + Як) трансцендентных уравнений (30) сводится к многократному решению системы (29) из 2го уравнений.

В третьей главе решается задача построения управления, оптимального но расходу энергии. Для отыскания такого управления удаётся применить методы, аналогичные тем, которые рассматривались в главе 2.

В пункте 3.1 дается общая постановка задачи управления, оптимального по расходу энергии. Она совпадает с постановкой, рассмотренной в пункте 2.1, за исключением критерия качества (3). В этот! постановке гашение колебаний оптимизируется относительно

функционала

который пропорционален расходу энергии.

В пунктах 3.2, 3.3 рассмотрено энергетически оптимальное гашение одночастогной компоненты решения системы (1), имеющей хотя бы пару чисто мнимых собственных значений и имеющей комплексные собственные значения.

В пункте 3-4 полученные в пунктах 3.2 и 3.3 результаты представляются в форме теорем, которые формулируются аналогично теоремам пункта 2.4В четвертой главе алгоритмы, разработанные во второй главе, используются для построения оптимального управления в конкретных механических задачах. Здесь же при конкретных численных, значениях сравниваются величины ^ и ./г- Всего рассмотрено четырнадцать задач.

Отдельно рассмотрены следующие задачи:

в пункте 4-1 — о гашении колебаний механической системы с одной степенью свободы;

б пункте 4-2 — об оптимальном управлении в задаче Лаграижа; в пункте. 4-3 — об управлении в задаче "спящего волчка"; в пункте 4-4 — 0 движении около центра масс на стационарной орбите ИСЗ, снабженного закрученным маховиком;

в пункте 4-5 -— о гашении малых колебаний маятника; а пункте 4-6— об управлении системой многих маятников; 6 пункте —об оптимальной стабилизации спутника; в пунктах 4-8, 4-Я 4-М— 0 движении одноосного гиростабили-затора без учета и с учетом упругой податливости его элементов, а также при наличии периодических возмущающих воздействий:

й пункте. .\Л\ — о движении двухосного гиростабилизатора;

в пункте 4-13— о движении быстровращающегос.я твердого тела;

в пункте 4-13 — о движении гирогоризента;

е пункте 4-Ц — о движении ИСЗ относительно центра масс на круговой орбите в пространственном случае.

Во всех этих случаях получены удобные для использования формулы. Вычисления показывают практическую эффективность предлагаемого метода.

В пятой главе описаны численные алгоритмы решения задач оптимального управления, разработапные на основе формул, выведенных во второй главе.

В приложении описываются компьютерные программы, реализующие разрабогаппые в предыдущей главе численные алгоритмы управления. Программы написапы на языке ФОРТРАП-ЭО.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Метод построения оптимального управления для гашения одной частоты в линейных механических системах с постоянными коэффициентами, имеющих хотя бы пару чисто мнимых собственных значений.

2. Метод построения оптимального управления для гашения одной частоты в линейных механических системах с постоянными коэффициентами, имеющих комплексные собственные значения.

3. Метод оптимального гашения двух (и более) частот.

4. Решение реальных задач:

о гашении колебаний механической системы с одной степенью свободы;

об оптимальном управлении в задаче Лагранжа; об управлении в задаче " спящего волчка";

о движении ИСЗ, снабженного закрученным маховиком, около центра масс на стационарной орбите; о гашении малых колебаний маятника: об управлении системой многих маятников; об оптимальной стабилизации спутника;

о движении одноосного гмростабилизаторабез учета и с учетом упругой податливости его элементов, а также при наличии периодических возмущающих воздействий; о движении двухосного гиростабилизатора; о движении быстровращающегося твердого тела; о движении гирогоризоига;

о движении ИСЗ относительно центра масс на круговой орбите в пространственном случае.

ПУБЛИКАЦИИ, В КОТОРЫХ ОТРАЖЕНЫ ОСНОВНЫЕ— РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Бабаджанянн Л.К., Потоцкая И.Ю. Кусочно-постоянное оптимальное управление в линейных системах. В кн.: XXXII чтения памяти К.Э. Циолковского (16-19 сентября 1997г.). Тезисы докладов. Калуга, 1997, стр.14.

2. Бабаджанянц Л.К., Потоцкая И.Ю. Кусочно-постоянное управленце в линейных механических системах. Вопросы механики и процессов управления. Вып.22: динамика, оптимизация, управление. СПб.. Изд-во СПбГУ, 1999.

Л. Потоцкая ИЛО. Кусочно-постоянное управление в линейных механических системах. Случай чисто мнимых собственных значений. Рук. деп. в ВИНИТИ, №3611, 1999.

4. Потоцкая ИЛО. Кусочно-постоянное управление в линейных механических системах. Общий случай комплексных собственных значений. Рук. деп. в ВИНИТИ, №30611, 1999. 5. Потоцкая И.Ю. Кусочно-постоянное управление в линейных механических системах. В кн.: Вторые Поляховские чтения ('2-4 февраля 2000). Тезисы докладов. СПб., 2000, стр.4().

6. Потоцкая И.Ю. Кусочно-постоянное управлепие в задаче движения ЙСЗ относительно центра масс на круговой орбите в пространственном случае. Процессы управления и устойчивость. Труды XXXI научной конференции. СПб., СПбГУ, ф-т ПМ-ПУ, 2000., стр.232242.

7. Бабаджанялц Л.К., Потоцкая И.Ю. Кусочно-постоянное управление » линейных механических системах с комплексными собственными значениями. Вопросы механики и процессов управления. Вып.23: динамика, оптимизация, управление. СПб., Изд-во СПбГУ, 2000.

1. Введение.

1.1. Об отыскании оптимального по «расходу» управления.

1.2. Цель работы. Актуальность. Новизна.

1.3. Основные положения, выносимые на защиту.

2. Кусочно-постоянные управления, оптимальные по «расходу», в линейных системах.

2.1. Постановка задачи управления по расходу топлива.

2.2. Гашение колебаний одной частоты.

2.2.1. Случай чисто мнимых собственных значений.

2.2.2. Случай комплексных собственных значений.

2.2.3. Системы вида х - Ах + В11{{).

2.2.4. Случай управления при возмущающих воздействиях.

2.3. Гашение колебаний двух и более частот.

2.3.1. Гашение т частот я-частотной системы.

2.4. Теоремы

3. Энергетически оптимальные кусочно-постоянные управления.

3.1. Постановка задачи управления по расходу энергии.

3.2. Поиск энергетически оптимального управления в случае чисто мнимых собственных значений.

3.3. Энергетически оптимальное управление в случае комплексных собственных значений.

3.4. Теоремы

4. Применение к конкретным задачам механики.

4.1. Оптимальное гашение колебаний механической системы с одной степенью свободы.

4.2. Оптимальное по «расходу» управление в задаче Лагранжа.

4.3. Задача «спящего» волчка.

4.4. Задача о гашении собственных колебаний около центра масс

ИСЗ с закрученным маховиком.

4.5. Оптимальное гашение малых колебаний маятника.

4.6. Об управлении системой многих маятников.

4.7. Задача об оптимальной стабилизации спутника.

4.8. Гашение колебаний одноосного гироскопического стабилизатора.

4.9. Учет упругой податливости элементов гиростабилизатора.

4.10. Задача о двухосном гиростабилизаторе с роторами, вращающимися в одну сторону.

4.11. Пример системы с периодическим возмущением: задача об одноосном гиростабилизаторе с колеблющимся основанием.

4.12. Гашение колебаний, возникающих при вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки.

4.13. Управление колебаниями гирогоризонта.

4.14. Управление движением ИСЗ относительно центра масс на круговой орбите в пространственном случае.

5. Вопросы численной реализации.

5.1. Решение уравнений.

5.2. Алгоритм вычисления управления в случае комплексных собственных значений.

5.3. Алгоритм вычисления управления в случае одновременного гашения двух и более частот.

Основные результаты предлагаемой диссертации опубликованы в статьях [1-7] общим объемом « Зп.л. Они докладывались на XXVIII Конференции факультета ПМ-ПУ (СПбГУ, С-Петербург, апрель 1997), на XXXII Чтениях памяти К.Э. Циолковского (Калуга, сентябрь 1997), на Всероссийской научной конференции по механике "Вторые Поляховские чтения" (СПбГУ, С-Петербург, февраль 2000), на XXXI Конференции факультета ПМ-ПУ (СПбГУ, С-Петербург, апрель 2000), а также на семинарах кафедры механики управляемого движения СПбГУ.

Примечание.Статьи [1,2,7], доклад на XXXII Чтениях памяти К.Э. Циолковского являются совместными с Л.К. Бабаджанянцем. Постановки рассмотренных в этих статьях и докладе задач принадлежат Л.К. Бабаджанянцу, а все полученные результаты получены, в тесном сотрудничестве и не могут быть разделены. Эти совместные результаты содержатся в п.п. 2.2.1, 2.2.2, 2.3 диссертации.

Диссертация состоит из пяти глав и приложения. О содержании каждой главы кратко говорится в её начале. Основные главы — вторая, третья, четвертая и пятая.

Настоящая, первая глава состоит из трех параграфов. О содержании параграфов читатель может судить по их названиям.

Результаты работы программы следующие: 0.99196833478806 = 1.35871893867830 = 2.38847545138890 Ц = 2.76933023147660

4 = 3.78526654494820 г\ = 4.17965757416620

Щ = 5.18231321716790 1\ = 5.58972936508360

Ах = 0.31488966764685 А2 = 0.17735007657733.

Значение граничного условия

1<1 = — 1.14957653171610е - 15.

Таким образом, полученные с помощью программы результаты для матриц А\ и А2, приведенные здесь, подтверждают сделанное выше предположение об их близости к результатам, полученных для матрицы А.

Текст программы double precision function f(x,bl,v) double precision x,bl,v f—sin(x)-bl*exp(v*x) return end double precision function tau(v,bl,am,bm) external f double precision f double precision v,bl,am,bm double precision tol,zeroin,z tol=l.0e-10 tau=zeroin(am,bm,f,tol,bl,v) return end double precision function zeroin{ax,bx,f,tol,bl,v) double precision ax,bx,f,tol,bl,v double precision a,b,c,d,e,eps,fa, fb, fc, toll, xm,p,q,r, s,h,t eps=l.0 10 eps=eps/2.0 toll=l.0+eps if(toll.gt.1.0) go to 10 a=ax b=bx fa=f(a,bl,v) fb=f(b,bl,v)

20 c=a fc=fa d=b-a e=d

30 if(abs(fc).ge.abs(fb)) go to 40 a=b b=c c=a fa=fb fb=fc fc=fa

40 to11=2.0*eps*abs(b)+0.5*tol xm=.5*(c-b) if (abs (xm)' .le. toll) go to 90 if(fb.eq.0.0)go to 90 if (abs(e) .lt.tolDgo to 70 if(abs(fa) .le.abs(fb))go to 70 if(a.ne.с)go to 50 s=fb/fa p=2.0*xm*s q=l.0-s go to 60

50 q=fa/fc r=fb/fc s=fb/fa p=s*(2.0*xm*q*(q-r)-(b-a)*(r-1.0)) q={q-1.0)*(r-1.0)*(s-1.0)

60 if(p.gt.0.0)q=-q p=abs(p) if((2.0*p).ge.(3.0*xm*q-abs(toll*q)))go to 70 if(p.ge.abs(0.5*e*q))go to 70 e=d d=p/q go to 80

70 d=xm e=d

80 a=b fa=fb if(abs(d).gt.toll)b=b+d if(abs(d) .le.toll)b=b+sign(toll, xm) fb=f(b,bl,v) if ( (fb*(fc/abs(fc))).gt.O.Ojgo to 20 go to 30

90 zeroin=b return end external tau double precision tau double precision v,l,p,bmax,bn, const, laml, lam2, delta,al,dl . double precision tmax,pi,suml, sum2,z, grmin, ar,at(2,100),atl(2,100) double precision у(2),с(2),cl(2),fi(2) , t(2,100),tl(2,100) double precision x (100), f (100) ,min (100) ,bl.(2) , w (2, 1000) double precision s(2),b(2,1000) , gr(2, 1000) , q(2),h(2),sq(2),be(2) integer r(2) , qu(2),nl,n2, nr nr=2 write(*,l) 1 format(' введите l,p ') read(*,*)l,p write(*,3)

3 formate введите Y(2),H(2)') do 4 i=l,nr read(*, *) у (i) ,h(i)

4 continue write(*,5)

5 formate введите c(n),cl(n)') do 6 i=l,nr read(*,*)с(i),cl(i)

6 continue v=l/p pi=4*atan(1.0) ar=0. const=(y(2)*p-y(1)*1) /(y(2)*l+y(1)*p) do 7 i=l,nr sq(i)=sqrt((1+const**(2.))*(c(i)**(2.)+cl (i)** (2.))) fi (i) =asin ( - (c (i) +const'itcl (i) ) / sq(i) ) s(i)=exp(-v*fi(i))/sq(i)

7 continue if (v.gt.0)then bmax=exp(-v*atan(1/v))*sin(atan(1/v)) tmax=atan(1/v) else bmax=exp(-v*(pi-atan(-1/v)))*sin(atan(-1/v)) tmax=pi-atan(-1/v) end if write (*, 2) 2 format(' "Ёведите r,q') do 90 i—1fnr read(*, *)r(i),qu(i) 90 continue do 8 k=l,nr bn=0. do 9 m=l,100 b(k,m)=bn+bmax/100 laml=s(k)/b(k,m) z=0. do 10 j=l,nr w(j,m)=s(j)/laml suml=0. sum2=0. do 11 i=l,r(j) t(j,2*i-l)=tau(v,w(j,m)*exp(2*pi*v*(i-1)),ar,tmax)+2*pi* (i-1) t(j,2*i)=tau(v,w(j,m)*exp(2*pi*v*(i-1)),tmax,pi)+2*pi* (i-1) suml=suml+exp(-t(j , 2*i-1)*v)*cos(t(j,2*i-l)) suml=suml-exp(-t(j, 2*i)*v)*cos(t(j,2*i))

11 continue do 12 i=l, qu ( j ) tl(j,2*i-l)=tau(v,w(j,m)*exp(pi*v*(2*1-1)),ar,tmax)+pi* (2*1-1) tl(j,2*i)=tau(v,w(j,m)*exp(pi*v*(2*i-1)),tmax,pi)+pi*(2*i-1) sum2=sum2-exp(-tl(j ,2*i-1) *v)*cos(tl(j,2*i-l)) sum2=sum2+exp(-tl(j, 2*i)*v)*cos(tl(j,2*i))

12 continue q(j)=suml+sum2 z=z+h(j)*exp(v*fi(j))*q(j)*sqrt(c(j)**(2.)+cl(j)**(2.)) 10 continue gr(k,m)=y(1)-(p-const*l)*z/((l*l+p*p)*sqrt(1+const**(2.))) bn=b(k,m) continue continue grmin=abs(gr(1,1)) nl—1 n2=l do 15 k=l,nr do 16 m=1,100 if (abs(gr(k,m)).It.grmin)go to 17 go to 16

17 grmin=abs(gr(k,m)) nl=k ""' n2=ni 16 continue

15 continue

16 delta=l.e-15 if(gr(nl,n2-l)*gr(nl,n2).lt.O) then x(l)=b(nl,n2-l) x(2)=b(nl,n2) f(l)=gr(nl,n2-l) f (2)=gr(nl,n2) else if(gr(nl,n2)*gr(nl,n2+l).lt.O) then x(l)=b(nl,n2) X(2)=b(nl,n2+l) f(l)=gr(nl,n2) f(2)=gr(nl,n2+l) else go to 29 end if end if i=l if(abs(x(2)-x(l)).It.delta) go to 22 if(abs(f(2)-f(1)).It.delta) go to 22 do 18 i-2,100 x(i+l)=(x(i-l)*f(i)-X(i)*f(i-1))/(f(i)-f(i-1)) laml=s(nl)/x(i+1) z=0. do 19 k=l,nr be(k)=s(k)/laml suml=0. sum2=0. do 20 j=l,r(k) t (k, 2*j-1)=tau(v,be(k)*exp(2*pi*v*(j-1)),ar,tmax)+2*pi*(j-1) t (k,2*j)=tau(v,bc(k)*exp(2*pi*v*(j-1)),tmax,pi)+2*pi*(j-1) suml=suml+exp(-t(k,2*j-l)*v)*cos(t(k,2*j-l)) s\iml=suml-exp {-t (k,2*j ) *v) *cos (t (k,2*j ) ) 20 continue do 21 j = l,qu(k) tl (к,2*j-1)=tau(v,be(к)*exp(pi*v*(2*j-l)),ar,tmax)+pi*(2*j-l) tl (k,2*j) =ta,u(v, be (k) *exp (pi*v* (2* j-1) ), tmax,pi)+pi* (2* j-1) sum2=sum2-exp(-tl(k,2*j-l)*v)*cos(tl(k,2*j-1)) sum2=sum2+exp(-tl(k,2*j) *v) *cos(tl(k,2*j))

21 continue q(k)=suml+sum2 z=z+h(k)*exp(v*fi(k) )*q(k) *sqrt(с(k)**(2.)+cl(k)**(2.)) 19 continue f(i+l)=y(l)-(p-const*l)*z/((l*l+p*p)*sqrt(1+const**(2.))) if(abs(x(i+l)-x(i)).It.delta) go to 22 if(abs(f(i+l)-f(i)).It.delta) go to 22 if(i.eq.lOO) go to 22 18 continue

22 lam2=const*laml write(*,*)laml,lam2 write(*,*)i-l,f(i+l) do 23 k=l,nr write {*,*)к if(h(k).eq.0) go to 26 if(be(k).gt.bmax) go to 26 do 24 j=l,2*r(k),2 at (k, j ) = (t (k, j ) -fi (к) ) /p at(k,j+l)=(t(k,j+l)-fi(k))/p write(*,*)at(k,j),at(k,j+1)

24 continue do 25 j=l,2*qu(k),2 atl(k,j)=(tl(k,j)-fi(к))/p ati(k,j+1)=(tl(k,j+1)-fi(к))/p write(*,*)atl(k,j),atl(k, j+1)

25 continue go to 23

26 write(*,27)

27 formate переключения отсутствуют')

23 continue go to 30

29 write(*,28)

28 format(' b нарушает границу')

30 stop end

2. Описание программы для гашения двух частот.

Программа, реализующая алгоритм отыскания оптимального кусочно-постоянного управления в случае гашения колебаний двух частот, производит отыскание точек переключения if, t\ каждой компоненты щ искомого управления методом перебора по четырем точкам переключения в предположении, что вектор управления состоит из двух ненулевых компонент и\ и U2 и по каждой из них существует одна положительная и одна отрицательная ступень. Предполагается, что положительная ступень включается первой. Поясним смысл формальных параметров программы.

Формальный параметр pi равен числу тг.

Через alf и rriu обозначены коэффициенты при вещественной и мнимой частях первого собственного значения матрицы А, через bet и дат — второго значения.

Множители Лагранжа А1: Д2, A3, А4 представлены в программе как элементы матрицы L.

Массив у[4] содержит элементы матриц начальных условий. с[4,2] — массив, содержащий коэффициенты первых строк матриц С' и С*.

Массив h(2) содержит значения коэффициентов hk

Массивы tl и t-2 содержат промежуточные значения точек переключения т/ и f *, вычисленных соответственно для первой и второй компонент управления.

Формальные параметры tlstl, tlst2, tlstS, tlstA определют границы промежутка при переборе точек переключения.

Формальный параметр step является шагом перебора.

В программе используются три процедуры: subroutine Lsys(tl,L), subroutine Koshi(L,t2), subroutine Ksys(tl,t2,K), subroutine Tch(tl,t2,tlm,t2m,Km,Tm).

Процедура Lsys содержит алгоритм нахождения множителей Лагранжа по заданному набору точек tl.

Процедура Koshi заданным множителям Лагранжа находит точки переключения для второй компоненты управления. Она предложена в работе [58]. Здесь она не приводится из-за больших размеров. В электронном варианте с ней можно ознакомиться по адресам Sarkiss@math.msstate.idu или Levon.babadzanjanz.@р obox.spbu.ru.

Процедура Ksys подсчитывает значения граничных условий. Процедура Teh производит перебор точек переключения в заданных границах и выбирает тот набор точек, который доставляет минимум граничным условиям.

В итоге ратоты программы мы имеем набор точек, доставляющий минимум граничным условиям.

Текст программы subroutine LSys(tl,L) double precision L(4),tl(4) double precision all, al2, al3, al4, atll, atl2,atl3,atl4 double precision a21,a22,a23,a24,at21,at22,at23,at24 double precision btll,btl2,btl3,bt21,bt22,bt23 double precision b21,b22,b23,bl,b2,b3 double precision c21, c22, ct21, ct22,cl, c2,dt21,dl external z, alf,bet,gam,mu all=(z(1,1)*cos(mu*tl(1))+z(1,2)*sin(mu*tl(1)))*exp(-alf*tl (1)) al2=(z(1,2)* cos(mu*tl(1))-z(1,1)*sin(mu*tl(1)))*exp(-alf*tl(1)) al3=(z(2,1)*cos(gam*tl(1))+z(2,2)*sin(gam*tl(1)))*exp(-bet*tl (1)) al4=(z(2,2)*cos(gam*tl(1))-z(2,1)*sin(gam*tl(1)))*exp(-bet*tl(1)) atll=(z(1,1)*cos(mu*tl(3))+z(1,2)*sin(mu*tl(3)))*exp(-alf*tl (3)) atl2=(z(1,2)*cos(mu*tl(3))-z(1,1)*sin(mu*tl(3)))*exp(-alf*tl(3)) atl3=(z(2,l)*cos(gam*tl(3))+z(2,2)*sin(gam*tl(3)))*exp(~bet*tl(3)) atl4=(z(2,2)*cos(gam*tl(3))-z(2,1)*sin(gam*tl(3)))*exp(-bet*tl(3)) a21=(z(1,1)*cos(mu*tl(2))+z(1,2)*sin(mu*tl(2)))*exp(-alf*tl (2)) a22=(z(1,2)*cos(mu*tl(2))-z(1,1)*sin(mu*tl(2))) *exp(-alf*tl(2)) a23={z(2,1)* cos(gam*tl(2))+z(2,2)*sin(gam*tl(2)))*exp(-bet*tl (2)) a24=(z(2,2)*cos(gam*tl(2))-z(2,1)*sin(gam*tl(2)))*exp(-bet*tl(2)) at21=(z(1,1)*cos(mu*tl(4))+z(1,2)*sin(mu*tl(4)))*exp(-alf*tl (4)) at22=(z(1,2)*cos(mu*tl(4))-z(1,1)*sin(mu*tl(4)))*exp(-alf*tl(4)) at23=(z(2,1)*cos(gam*tl(4))+z(2,2)*sin(gam*tl(4)))*exp(-bet*tl (4)) at24=(z(2,2)*cos(gam*tl(4))-z(2,1)*sin(gam*tl(4)))*exp(-bet*tl(4)) btll=al2-(atl2*all)/atll btl2=al3-(atl3*all)/atll btl3=al4-(atl4*all)/atll

Ь21=а12-(a22*all)/a21

Ь22=а13-(а23*а11)/a21

Ь23=а14-(a24*all)/a21 bt21=al2-(at22*all)/at21 bt22=al3-(at23*all)/at21 bt23=al4~(at24*all)/at21 bl=-l.-all/atll b2=-l.+all/a21 b3=-l.-all/at21 c21=btl2-(b22*btll)/Ь21 c22=btl3-(b23*btll)/Ь21 ct21=btl2-(bt22*btll)/bt21 ct22=btl3-(bt23*btll)/bt21 cl=bl-(b2*btll)/b21 c2=bl-(b3*btll)/bt21 dt21=c22-(ct22*c21)/ct21 dl=cl-(c2*c21)/ct21

L(4)=dl/dt21

L(3)=(cl-c22*L(4))/c21

L(2)=(bl-btl3*L(4)-btl2*L(3))/btll

L(1)=(-l.-al4*L(4)-al3*L(3)-al2*L(2))/all return end subroutine Koshi(L,t2) double precision t2(4),L(4) t2 (1) = t2 (2) = t2 (3) = t2 (4) = return end subroutine KSys(tl,t2,K) double precision K(4),tl(4),t2(4) external h,y,c,alf,bet,gam,mu double precision fl, f2, f3,f4,f5,f6,f7,f8 integer i fi=exp(-alf*tl(1))*cos(mu*tl(1))-exp(-aif*tl(2))*cos(mu*tl(2)) f l=f 1-exp (-alf*tl (3) )'*cos (mu*tl (3) ) +exp(-alf*tl (4) ) *cos (mu*tl (4) ) f2=exp(-alf*tl(1))*sin(mu*ti(1))-exp(-alf*tl(2))*sin(mu*tl(2)) f2=f2-exp(-alf*tl(3))*sin(mu*tl(3))+exp(-alf*tl(4))*sin(mu*tl(4)) f3=exp(-bet*tl(1))* cos(gam*tl(1))-exp(-bet*tl(2))*cos(gam*tl(2)) f3=f3-exp(-bet*tl(3))*cos(gam*tl(3)) f3=f3+exp(-bet*tl(4))*cos(gam*tl(4)) f4=exp (-bet*tl (1) ) *sin (gam*tl (1) ) -exp (~bet*tl (2) ) *sin (gam*tl (2) ) f4=f4-exp(-bet*tl(3))*sin(gam*tl(3)) f4=f4+exp(~bet*tl(4))*sin(gam*tl(4)) f5=exp(-alf*t2(1))*cos(mu*t2(1))-exp(-alf*t2(2)}*cos(mu*t2(2)) f5=f5-exp(-alf*t2(3))*cos(mu*t2(3))+exp(-alf*t2(4))*cos(mu*t2(4)) f6=exp(-alf*t2(1)}* sin(mu*t2(1))-exp(-alf*t2(2))*sin(mu*t2(2)) f6=f6-exp(-alf*t2(3))*sin(mu*t2(3))+exp(-alf*t2(4))*sin(mu*t2(4)) f7=exp(-bet*t2(1))*cos(gaia*t2(1))-exp (-bet*t2(2))*cos(gam*t2(2)) f7=f7-exp(-bet*t2(3))*cos(gam*t2(3)) f7=f7+exp(-bet*t2(4))*cos(gam*t2(4)) f8=exp(-bet*t2(1))*sin(gam*t2(1))-exp(-bet*t2(2))*sin(gam*t2 (2)) f8=f8-exp(-bet*t2(3))*sin(gam*t2(3)) f8=f8+exp(-bet*t2(4))*sin(gam*t2(4))

K(l)=y(1)+1./(alf**2+mu**2)*h(l)*(alf*c(1,1)+mu*c(1,2))*fl K(1)=K(1)+1./(alf**2+mu**2)*h(l)*(alf*c(l,2)-mu*c(1,1))*f2 K(1)=K(1)+1./(alf**2+mu**2)*h(2)*(alf*c(2,1)+mu*c(2,2))*f5 K(1)=K(1)+1./(alf**2+mu**2)*h(2)*(alf*c(2, 2)-mu*c(2,1))*f6 K(2)=y(2)+1./(alf**2+mu**2)*h(1)*(alf*c(1, 2)-mu*c(1,1))*fl K(2)=K(2)-1./(alf**2+mu**2)*h(1) *(alf*c(1, l)+mu*c(1,2))*f2 K(2)=K(2)+1./(alf**2+mu**2)*h(2)*(alf*c(2,2)-mu*c(2,1))*f5 K(2)=K(2)-1./(alf**2+mu**2)*h(2)*(alf*c(2,1)+mu*c(2,2))*f6 K(3)=y(3)+1./(bet**2+gam**2)*h(l)*(bet*c(3,1)+gam*c(3,2))*f3 K(3)=K(3)+1./(bet**2+gam**2)*h(l)*(bet*c(3,2)-gam*c(3,1))*f4 K(3)=K(3)+1./(bet**2+gam**2)*h(2)*(bet*c(4,1)+gam*c(4,2))*f7 K(3)=K(3)+1./(bet**2+gam**2)*h(2)*(bet*c(4, 2)-gam*c(4,1))*f8 K(4)=y(4)+l./(bet**2+gam**2)*h(l)*(bet*c(3,2)-gam*c (3,1))*f3 K(4)=K(4)-1./(bet**2+gam**2)*h(l)*(bet*c(3,1)+gam*c(3,2))*f4 K(4)=K(4)+1./(bet**2+gam**2)*h(2)*(bet*c(4, 2)-gam*c(4,1))*f7 K(4)=K(4)-1./(bet**2+gam**2)*h(2)* (bet*c(4,1)+gam*c(4,2))*f8 return end subroutine Ten(tl,t2,tlm,t2m,Km,Tm) double precision tl(4),t2(4) double precision L(4),K(4),Tcur integer i,j,m,n,p double precision tlm(4),t2m(4),Km(4),Tm external tlst,step do 1 i=l,10 tl(l)=tlst(l)+i*step do 2 j=l,10 tl(2)=tlst(2)+j*step do 3 m=l,10 tl(3)=tlst(3)+m*step do 4 n=l,10 tl(4)=tlst(4)+n*step call LSys(tl,L) call Koshi(L,t2) call KSys(tl,t2,K)

Tcur=K(l)**2+K(2)**2+K(3)**2+K(4)**2 if(Tcur.LT.Tm) then Tm=Tcur do 5 p=l,4 tlm(p)=tl(p) t2m(p)=t2(p) Km (p) =K (p) continue

4 3 2 1 end if continue continue continue :ontinue returnend subroutine Check(TmS,KmS,tlmS,t2mS,numS,num) double precision TmS,KmS(4),tlmS(4) , t2mS(4) integer num,numS external Tmin,Kmin,tlmin, t2min integer i if(Tmin.LT.TmS) then do 6 i=l,4 tlmS(i)=tlmin(i) t2mS(i)=t2min(i) KmS(i)=Kmin(i) 6 continue end if return end program main double precision z (2,2),h(2),у(4),с(4, 2) , alf,bet,gam,mu double precision Tmin,pi, TminS, L(4) , К(4) , Kmin(4),KminS(4) double precision tl(4),tlmin(4),tlminS(4),t2(4),t2min(4),t2minS (4) double precision tlst(4),step integer i,j,w pi=4*atan(1.) w=l write(*,7)

7 format(' введите alfa, betta, gamma, mu ') read(*,*)alf,bet,gam,mu write(*,8)

8 formate введите Y (4) ,H (2) ') do 9 i=l,4 read(*,*)y(i)

9 continue do 10 i=l,2 read(*,*)h(i)

10 continue write(*,11)

11 format(' введите с (4,2)') do 12 i=l,4 do 13 j=l,2 read(*,*)с (i,j) 13 continue

TmS=Tmin num=numS

12 continue write(*,14)

14 format(' введите H(2)') do 15 i=l,2 read(*,*)h(i)

15 continue Tmin=10.el0 TminS=10.el0 tlst(1)=0. tlst(2)=0. tlst(3)=pi tlst{4)=pi do 16 i=l,4 tl(i)=tlst(i)

16 continue step=pi/10. H А Ч А Л О ВЫЧИСЛЕНИЙ z(l,l)=c(l,l> z(l,2)=c(l,2) z(2,1)=c(3,1) z(2,2)=c(3,2) call Ten(tl, t2,tlmin,t2min,Kmin,Tmin) call Check(TminS,KminS,tIminS,t2minS, w, 1) do 17 i=l,4 t2(i)=tlst(i)

17 continue z (1,1) =c (2,1) z (1,2)=c(2,2) z(2,l)=c(4,l) z(2,2)=c(4,2) call Tch(t2,tl,t2min,tlmin,Kmin,Tmin) call Check(TminS,KminS,tIminS,t2minS,w,2) if(w.EQ.l) then do 18 i=l,4 tlmin(i)=tlminS(i) t2min(i)=t2minS(i)

18 continue z(l,l)=c(l,l) z (1, 2) =c (1, 2) z(2,1)=c(3,1) z (2, 2) =c (3, 2) else do 19 i=l,4 tlmin(i)=t2minS(i) t2min(i)=tlminS(i)

19 continue end if do 100 i=l,2 do 20 j=l,4 tlst(j)=tlmin(j)-step tl(j)=tlst(j)

20 continue step=step/5. call Tch(tl,t2, tlmin,t2min,Kmin,Tmin) call Check(TminS,KminS,tlminS,t2minS,w,0) if ! (TminS-Tmin).LT.1.e-5)then goto 101 end if

100 continue

101 write(*,*)TminS do 21 i=l,4 write(*,*)tlminS (i)

21 continue do 22 i=l,4 write(*, *)t2minS(i)

22 continue do 23 i=l,4 write(*,*)KminS(i)

23 continue stop end

1. Бабаджанянц Л.К., Потоцкая И.Ю. Кусочно-постоянное оптимальное управление в линейных системах. В кн.: ХХХП чтения памяти К.Э. Циолковского (16-19 сентября 1997г.). Тезисы докладов. Калуга, 1997, стр.14.

2. Бабаджанянц Л.К., Потоцкая И.Ю. Кусочно-постоянное управление в линейных механических системах. Вопросы механики и процессов управления. Вып.22: динамика, оптимизация, управление. СПб., Изд-во СПбГУ, 1999.

3. Потоцкая И.Ю. Кусочно-постоянное управление в линейных механических системах. Случай чисто мнимых собственных значений. Рук. деп. в ВИНИТИ, №3611, 1999.

4. Потоцкая И.Ю. Кусочно-постоянное управление в линейных механических системах. Общий случай комплексных собственных значений. Рук. деп. в ВИНИТИ, №30611, 1999.

5. Потоцкая И.Ю. Кусочно-постоянное управление в линейных механических системах. В кн.: Вторые Поляховские чтения (2-4 февраля 2000). Тезисы докладов. СПб., 2000, стр.46.

6. Потоцкая И.Ю. Кусочно-постоянное управление в задаче движения ИСЗ относительно центра масс на круговой орбите в пространственном случае. Процессы управления и устойчивость. Труды XXXI научной конференции. СПб., СПбГУ, ф-т ПМ-ПУ, 2000., стр.232-242.

7. Бабаджанянц Л.К., Потоцкая И.Ю. Кусочно-постоянное управление в линейных механических системах с комплексными собственными значениями. Вопросы механики и процессов управления. Вып. 23: динамика, оптимизация, управление. СПб., Изд-во СПбГУ, 2000.

8. Бабаджанянц Л.К., ГолубеваН.И., Новосёлов B.C. Оптимальное демпфирование быстрых линейных колебаний стационарного ИСЗ смаховиком. Проблемы механики управляемого движения. Вып. 3. Пермь, 1973. С. 18-25.

9. Бабаджанянц JI.K, Голубева Н.И., Новосёлов B.C. Энергетически оптимальное демпфирование свободных боковых колебаний стационарного ИСЗ с маховиком. Проблемы механики управляемого движения. Вып. 3. Пермь, 1973. С. 26-32.

10. Ю.Голубева Н.И. Оптимальное демпфирование возмущенных линейных колебаний стационарного ИСЗ около центра масс. Проблемы механики управляемого движения. Пермь, 1978. С. 61-65.

11. П.Новосёлов B.C. Аналитическая динамика управляемого движения. СПб., СПбГУ, факультет ПМ-ПУ, 1998.

12. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. М., «Машиностроение», 1968.

13. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М., «Высшая школа», 1989.

14. Иослович И.В., Борщевский М.З. Некоторые задачи оптимальной стабилизации осесимметричного спутника. — Космич. иссл., вып. 3, 1966.

15. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., «Наука», 1969.

16. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М., «Наука», 1969.17.3убов В.И. Лекции по теории управления. М., 1975.

17. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М., «Наука», 1972.

18. Алексеев, Тихомиров, Фомин Оптимальное управление. М., «Наука», 1979.

19. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.,1968.

20. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц М., «Наука», 1967.

21. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск, «Вышэйшая школа», 1974.

22. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М., 1971.

23. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. М., «Наука», 1968.

24. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. М., «Наука», 1972. тт. 1Д

25. Аппель П. Теоретическая механика. М., Физматгиз, 1960, тт.1,П.

26. Зубов В.И. Теория колебаний. М., 1979.28.3убовВ.И. Теория уравнений управляемого движения. Л., 1980.29.3убов В.И. Аналитическая динамика системы тел. JL, Изд. ЛГУ, 1983.

27. Зубов В.И. Динамика управляемых систем. М., «Высшая школа», 1982.

28. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс. М., «Наука». 1965.

29. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М., МГУ, 1975.

30. Голдстейн Г. Классическая механика. М., «Наука», 1975.

31. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. M.-JL, ОНТИ, 1937.

32. Архангельский Ю.А. Динамика быстровращающегося твёрдого тела. М., «Наука», 1985.

33. Arkhangelskii Yu.A. Construction of periodic solutions for the Euler-Poisson équations by means of sériés expansion containing a small parameter. Colloquia mathem. Societatis Ja'nos Bolyai, 15 Differential équations, Keszthely (Hungary). 1975.

34. Крылов И.А., Крутков Ю.А. Общая теория гироскопов и некоторых технических их применений. Л., 1932.

35. Антончик B.C. Методы стабилизации программных движений. СПб., Изд-во СПбГУ, 1998.39.3убов В.И. Аналитическая динамика гироскопических систем. JL, «Судостроение», 1970.

36. Харитонова О.И. Анализ устойчивости параметрически возмущенной гироскопической системы. Вопросы механики и процессов управления. Вып. 17: математические методы моделирования и анализа управляемых процессов. СПб., Изд-во СПбГУ, 1996, стр. 218-223.

37. Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. М., «Наука», 1980.

38. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. М., «Наука», 1973.

39. Крылов И.А. Численное решение задачи об оптимальной стабилизации спутника. —Ж. вычислит, матем. иматем. физ., т. 8, № 1, 1968.

40. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления. — Ж. вычислит, матем. и матем. физ., т. 2, № 6, 1962.

41. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. Решение задач оптимального управления методом локальных вариаций. — Ж. вычислит, матем. и матем. физ., т. 6, № 2, 1966.

42. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. Алгоритм метода последовательных приближений для задач оптимального управления. — Ж. вычислит, матем. и матем. физ., т. И, № 1, 1972.

43. Ипшинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М., «Наука», 1976.

44. Ишлинский А.Ю. Механика гироскопических систем. М., Изд-во АН СССР, 1963.

45. Курош М.Г. Курс высшей алгебры. М., «Наука», 1968.

46. Чеботарев Н.Г., Мейман H.H. Проблема Рауса-Гурвица для полиномов и целых функций. — Тр. Матем. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР, 1949, т. 26.

47. Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников. Исследование космического пространства. Итоги науки и техники. 1978, т.П.

48. Мгоян П.Б. Оценки в теории возмущенного движения. Диссертация, ЛГУ, 1987.

49. Павлов В.А. Теория гироскопа и гироскопических приборов. Л., «Судостроение», 1964.

50. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М., «Наука», 1984.

51. Островский A.M. Решение уравнений и систем уравнений. М., Изд-во иностранной литературы. 1963.56.0ртега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М., «Мир», 1975.

52. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М Численные методы. М., «Наука», 1987.

53. Пупышев М.Ю. Численное решение уравнений сведением к полиномиальной задаче Коши. Диссертация, СПбГУ, 2000.