Метод направляющих функций в задаче о периодических и ограниченных решениях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Евченко Валерия Константиновна

МЕТОД НАПРАВЛЯЮЩИХ ФУНКЦИЙ В ЗАДАЧЕ О ПЕРИОДИЧЕСКИХ И ОГРАНИЧЕННЫХ РЕШЕНИЯХ

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2004

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Перов Анатолий Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Защита состоится 28 декабря 2004 года в 15 час. 40 мин. на заседании диссертационного совета К 212.038.05 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан « 26 » ноября 2004 года

профессор Обуховский Валерий Владимирович;

кандидат физико-математических наук, доцент Кущев Анатолий Борисович

Ведущая организация: Тамбовский государственный университет

имени Г.Р. Державина

Ученый секретарь диссертационного совета

Актуальность темы. Одной из важных задач теории нелинейных колебаний является изучение периодических или ограниченных (в том числе рекуррентных) решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Но прежде чем изучать такие решения нужно быть уверенным в том, что они действительно существуют.

С физической точки зрения назначение решений указанного вида (стационарных, периодических, почти периодических, рекуррентных) весьма серьезно: они образуют основу той картины развития процесса, которую описывает изучаемая система нелинейных дифференциальных уравнений. Будучи стационарными в широком смысле этого слова (т.е. с неизменными относительно сдвига и предельного перехода такими характеристиками как среднее значение или спектр), они таковы, что к ним, вообще говоря, стремятся все остальные решения изучаемой системы при неограниченном возрастании времени. Выскажем последний тезис более четко: каждое решение диссипативной нелинейной системы дифференциальных уравнений или является определенным на всей вещественной оси стационарным в широком смысле решением соответствующим так называемым установившимся режимам, или отвечая переходным режимам, стремится к некоторому стационарному решению при неограниченном возрастании времени.

Для исследования периодических и ограниченных решений было разработано несколько методов (метод интегральных уравнений, вариационный метод, метод направляющих функций, метод функций Ляпунова, топологический метод Важевского). Метод направляющих функций служит для доказательства существования периодических или ограниченных решений нелинейных систем дифференциальных уравнений. Этот метод в своей топологической части существенно опирается на классическое понятие степени отображения, введенное и изученное в ряде работ Кронекера Л., Брауэра Л. и Хопфа X., и связанных с нею понятиями (гомотопные отображения, индекс Пуанкаре особой точки и т.п.). В дальнейшем эти понятия были развиты в трудах Ю.Г. Борисовича, В.Г. Звягина, МА Красносельского, В.В. Обуховского, Ю.И. Сапронова и других исследователей. Сами направляющие функции по свойствам напоминают функции Ляпунова, но они используются в задачах не связанных с устойчивостью, и во многих случаях важную роль играет степень соответствующего градиентного отображения. Метод направляющих функций был опубликован М.А. Красносельским и А.И. Перовым в совместном сообщении в 1958 году. По методу направляющих функций опубликованы десятки работ (НА. Бобылев, ЕА Ганго, М.С. Константинов, СВ. Корпев, И.ДгКоструб, А;Б. Ку-

ь,.г.ЛИОТЕКА

щев, МА Красносельский, A.M. Красносельский, Э.М. Мухамадиев, В.В. Обуховский, А.И. Перов, А.И. Поволоцкий, В.В. Покровский, Д.И. Рачин-ский, Б.Н. Садовский, В.В. Стрыгин, В.В. Филиппов, L. Gomiewicz, A. Fonda, J. Mawhin).

Результаты, полученные методом направляющих функций, нашли приложения в теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом (МА Красносельский, П.П. Забрейко, Э.М. Мухамадиев), при изучении некоторых задач автоматического регулирования и уравнений с нелинейностями гистерезисного типа (Д.И. Рачинский). Они нашли развитие и обобщение при изучении дифференциальных уравнений с многозначной правой частью ( ЕА Ганго, А.И. Поволоцкий, L. Goiniewicz).

Настоящая диссертационная работа посвящена развитию топологических методов в теории нелинейных колебаний в рамках развития и уточнения метода направляющих функций.

В работе последовательно изучаются системы обыкновенных дифференциальных уравнений следующего вида: стационарные, периодические, ограниченные, рекуррентные. В каждом из указанных выше случаев акцент делается на изучение решений определенного типа: стационарных, периодических, ограниченных, рекуррентных.

Цель работы. Дальнейшее развитие метода направляющих функций.

Методика исследований. В работе используются топологические методы анализа; результаты качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна.

1. Даны новые теоремы топологического характера, использующие понятие степени отображения и гарантирующие существование периодических или ограниченных решений.

2. В развитие метода направляющих функций даны новые теоремы аналитического характера существования периодических или ограниченных решений, обобщающие ранее известные.

3. Дана полная картина поведения в целом решений систем указанного выше вида, обладающих направляющей функцией.

4. Предложены новые признаки диссипативности систем, основанные на использовании направляющих функций, дифференцируемых по Иоши-заве и удовлетворяющих условию Барбашина-Красовского.

Теоретическая и практическая значимость. Основные результаты работы носят теоретический характер. Полученные результаты применяются при исследовании периодических, ограниченных и рекуррентных

решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции "Математика. Образование. Экология. Тендерные проблемы"(Воронеж, 2003); Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XIV" (Воронеж, 2003); Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2004), Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XV" (Воронеж, 2004); Международной школе-семинаре "Современные проблемы механики и прикладной математики"(Воронеж, 2004); семинаре "Нелинейные колебания"под руководством профессора А.И. Перова (НИИ математики, ВГУ, 2002,2003, 2004).

Исследования, включенные в настоящую диссертацию, выполнены в рамках проекта \VZ-010 "Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах"Минобразования РФ и CRDF (США).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[14], список которых приведен в конце автореферата. В совместных публикациях [1], [2], [5], [6], [13] научному руководителю принадлежит постановка проблемы и указание на способ, которым она может быть решена, а соискателю - тщательная проработка деталей доказательства.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и библиографического списка, содержащего 74 наименования. Общий объем работы - 136 страниц.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, приводится методика исследований и дан краткий обзор содержания диссертации по главам.

Первая глава носит вводный характер и посвящена исследованию стационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, а также условий существования стационарных решений у таких системы. Кроме того, приведена полная картина поведения решений стационарной системы, обладающей направляющей функцией.

Нумерация приводимых ниже определений и утверждений совпадает с нумерацией в диссертации.

Во второй главе изучаются периодические системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Сначала рассматривается произвольная система дифференциальных

уравнений

¿«= Ш,Х1,...,хп), г = 1....... х=Г(£,х), (6.1)

правые части которой определены и непрерывны по совокупности переменных при а < £ < /? и -оо < XI,..., а;п < +оо. Отображение х Г(£, х) при фиксированном Ь, а < £ < /3, обозначим через : К" К™. Приводится следующее топологическое утверждение.

Пусть можно построить такую непрерывную функцию у(£, а,х), а < ( < ^ и х 6 3-К", где Я" - некоторое открытое ограниченное множество пространства Ж", удовлетворяющую условиям: у(а,а,х) = х, у((3,а,х) ~ х для х 6 дК и х(£,а,х) ф у(£,а,х) при а < £ < /3 и х 6 ЗА". Положим Ф[£,а] = х(£, а,х) — у(£,а,х) при а < £ < /3, причем ¿¿ер(Ф[£,а],<9#) ^ 0 при малых £ - а > 0. Тогда ¿ед{Щ,а],дК) ф 0. Утверждается, что система (6.1) имеет по крайней мере одно решение х(£), для которого х(а) = х(/3) е К.

Используя данное топологическое утверждение доказывается теорема Кноблоха существования по крайней мере одного решения х(£), 0 < £ < ш, системы (6.1), лежащего в некотором множестве Б, удовлетворяющего условию х(0) = х(ш).

В восьмом параграфе вводится понятие неубывающей (возрастающей) направляющей функции для системы вида

№,хи...,хп), г = 1,...,п; х=£(£,х), (5.1)

где хбГ; компоненты отображения Г(£, х) : I х Р К" непрерывны по совокупности переменных и периодичны по £ с периодом ш > 0, т.е Щ + ы,х) = Щ,х).

Пусть 1С - замкнутое множество в Ж х К", периодическое по £ и ограниченное по х. Пусть £? есть дополнение к множеству К: 5 = 1х

Пусть на замкнутом множестве Я задана непрерывная функция «(£, х), периодическая с периодом ш повремени £: и{1+и,х) = и(£,х), (£,х) € 9 ■ Пусть х(£), а < £ < /3, произвольное решение периодической системы (5.1), для которого (£,х(£)) 6 0 при а < £ < /?. Положим и(£) = г/(£,х(£)), а < £ < /3. Тогда и(£,х) есть неубывающая (возрастающая) направляющая функция для системы (5.1) на множестве , если любая функция и(£) указанного вида является неубывающей (возрастающей).

Теорема 8.2 Пусть непрерывная на замкнутом множестве 0 функция и(£, х) локально липшицева на открытом множестве Я.

Тогда: для того чтобы она была неубывающей направляющей функцией необходимо и достаточно, чтобы было выполнено условие

В)иИ,х) = Нш 1(ир + Ь,х + Ш,х)) - и(*,х)) > 0, Н,х) € 0; (8.17)

для того чтобы она была возрастающей направляющей функцией необхо-димоидостаточно, чтобыбыловыполненоусловие(8.17)ичтобыграфик ни одного решения системы (5.1) не лежал в множестве х) = 0.

Поэтому, если выполнено условие

£}и(г,х) = ТшГ|(м(г + Л,х + М^.х)) - и(г,х)) > О, (*,х) € Я\ (8.19)

то и(Ь,х) является возрастающей направляющей функцией.

Промежуточное положение между неубывающими и возрастающими направляющими функциями занимают функции, удовлетворяющие условию Барбашина-Красовского; это неубывающие направляющие функции, для которых множество х) = 0 не содержит целиком ни одной ин-

тегральной кривой, рассматриваемой на максимальном интервале существования соответствующего решения.

В девятом параграфе изучается поведение решений периодической системы, обладающей направляющей функцией, в целом.

Рассматривается множество Т = К, и {(£, х) 6 б : т < х) < М}, где множества определены как и в шестом параграфе, но не

является ограниченным по х, а

т = ^ т^«(<,х), М= вир «(<, х)

(конечные числа). Приведены теоремы, описывающие поведение решений системы (5.1).

Пусть - произвольная фиксированная точка пространства

К", х^), а < £ < (3, - любое решение периодической системы (5.1), удовлетворяющее начальному условию - содержащей

1о максимальный промежуток, на котором определено рассматриваемое (непродолжаемое) решение.

Теорема 9.1 Пусть . Тогда если и(£о,хо) > М, то

(^х^))?^ при ^ < I < 0 и ||х(<)|| -> +оо при Р > г ¡3 (последнее утверждение справедливо при дополнительном предположении о том, что направляющая функция. и(£,х) обладает свойствомБарбашина-Красовского).

Теорема 9.2 Пусть (£о,Хо) € Т. Тогда: либо (£,х(<)) € Т при ^о < * < /3, либо при некотором ^ < ^ < (3, имеем 6 Т

при ¿о < ^ < и при < < < /3; при эт<ш = М

и и{Ь,х{{)) > М при ¿1 < * < /3.

Введено новое определение. Будем говорить, что множество М. С К X К" инвариантно относительно периодической системы (5.1) в положительном направлении,

если из (¿о.ховытекает (¿,х(£))€.М при

Множество Л4 инвариантно относительно периодической системы (5.1) в отрицательном направлении,

если из

Утверждается, что если замкнутое периодическое по t множество Т является ограниченным по х, то периодическая системы (5.1) имеет по крайней мере одно определенное на всей вещественной оси ограниченное решение, лежащее в множестве Т.

Пусть x(i) - произвольное решение с*;-периодической системы (5.1), определенное при < ^ < +оо. Точка (т, £), где т - число, а £ из Еп, называется динамической предельной точкойрешения (траектории) х(«) в положительном направлении, если существует такая последовательность моментов времени 4 +оо, для которой -» г (той ш) и х(^) —> £. Совокупность всех так получающихся точек обозначим , Р+ С К X К".

Теорема 9.3 Пусть точка .Тогда:

если решение

т/Щг^йадттттткество Т, £ Т \

бытия при а < < < ¿1 развиваются по сценарию второй части теоремы 9.2, либо решение х(1) при всех t из пра<Ь<¿о остается лежащим вне множества при

В этом случае функция и(£) 3 определена и не убывает на

промежутке а<£<<о и М < и^) < ы(£о) при указанных t. Поэтому ^^ имеет конечный предел с при а КЬ-Ъ а и с ~>М.

Возможны следующие ситуации:

а - конечное число и тогда ||х(£)|| +оа при а < 2 -> а, при этом с может быть как больше М, так и равным ему; а - бесконечное число, а = —оо, то опять-таки либо ||х(<)|| -> +оо при £ -> — оо, при этом с может быть как больше М, так и равным ему; либо х(0 имеет конечные динамически предельные точки при £ —оо, т.е. £>_ ф 0.

В последнем случае

М при í -00,

(при дополнительном предположении о том, что направляющая функция и(11,х) обладает свойством Барбашина-Красовского).

(последнее при дополнительном предположении, что р(х(Ь),£>_(*))-> 0 при t-t-oo,

D- связное множество

(последние два утверждения справедливы при дополнительном предположении об ограниченности по х предельного множества Б-).

В десятом параграфе изучается вопрос о диссипативности w- периодической системы.

Теорема 10.3 Пусть правая часть системы (5.1) непрерывна по совокупности переменных и -периодична по Г. Пусть существует такая локально липшицевая по всем переменным функция что

+оо при ||х|| -4 +оо равномерно по Ь

Д,ги(*,х) = Ит+ + при ||х|| > а,

причем выполнено усл>----- ''—........ '''----------- состоящее в том, что

не может иметь места ни для какого решения х(0 системы (5.1), рассматриваемого на максимальном интервале существования (а, , для которого ||х|| > а для указанных значений t, если с достаточно велико.

Тогда система (5.1) диссипативна и потому имеет по крайней мере одно -периодическое решение.

Третья глава посвящена изучению ограниченных и рекуррентных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рассмотр"" ———• ----.„.„„„..„„, -~1Внений

¿<=/«(*,*!,г = !,...,п; х=Щ,х), (11.1)

где х S К"; компоненты отображения f(i,x) : R х Ж" Ж", которые непрерывны по совокупности переменных.

Приводится обобщение известной топологической теоремы теории ограниченных решений, устанавливающей существование ограниченного решения у системы (11.1).

Пусть £cRx Кп замкнутое ограниченное по х множество, обозначим через K,(t) все t-сечения этого множества, —00 < t < +00 .

Предполагается, что для любых СИ, ß, а < ß, можно указать такую векторную функцию y(t,a,x), х € £(а), а <t < ß, что у (а, а,х) — х для х £ дК{а) и x(t,a,x)-y(t,a,x) ф 0 при а < t < ß, х Е д)С(а), кроме того, у(/?,а,х) € int IC(ß), если х £ int fZ(а). Пусть deg(x(t,a,x) -y(i, а,х), дК(а)) Ф 0 при а <t < а +е, ще е - достаточно малое положительное число. Тогда degfälß, а]х, дК,(а)) ф 0. Потребуем, чтобы

если для которого

x(to) = Xq таково, что, либо (t, x(t))&K при а <t <to,

Тогда существует по крайней мере одно решение x(t) системы (11.1), лежащее в

Используя указанное обобщение, доказывается следующая

Теорема 11.2 Пусть a(t) и b{t) - непрерывно дифференцируемые векторные функции с компонентами fli(i),. •., fln(i) и bi(f),... ,bn(t) соответственно, причем < bi(t) при —00 <t< +00, i — 1,...,Я.

Пусть отображение f(t,x) непрерывно на множестве

Предположим, что функции

не меняют знака и что

a,(t,x)A(i,x) < 0 для всех (t,x) £ D.

Тогда система (11.1) имеет по крайней мере одно решение x(t), лежащее е D при всех t € (-оо, +оо).

Сформулированное утверждение - это аналог теоремы Кноблоха для задачи об ограниченных решениях, если дополнительно предположить, что векторные функции и Ь^) являются ограниченными.

В тринадцатом параграфе изучается поведение решений ограниченной или рекуррентной системы, а также устанавливаются условия существования ограниченного или рекуррентного решения у таких систем.

Систему (11.1) будем называть ограниченной, если функция является ограниченной. Это означает, что для любого ограниченного множества С С К" можно указать такую постоянную С > О, ЧТО х)|| < с при X £ С и всех £ £ К. Систему (11.1) будем называть рекуррентной, если функция ОД х) является рекуррентной. Это означает, что для любого ограниченного множества С С К" абстрактная функция '■ К —^ С(С), где Р(1)х = х) ДЛЯ X £ (7, является рекуррентной. Здесь С(С) - банахово пространство всех равномерно непрерывных отображений из С в К, рассматриваемых с вир-нормой.

Пусть К, есть произвольное непустое замкнутое множество в К X К™, (/ = К X К™\£; 0 есть непустое открытое множество. Предполагается, что задана непрерывная функция являющаяся неубывающей

направляющей функцией для системы (11.1).

Рассматривается множество Т — К, и {(¿>х) £ б : т < и($,х) < М} ,

где

(конечные числа). Приведены теоремы, описывающие поведение решений системы (11.1).

Теорема 13.1 Пусть (¿о,Хо)Ё^. Тогда если и(£о,хо) > М, то

при ¿о < * < ¡3 и ||х(<)|| -> +оо при ¡3 > * -> ¡3 (последнее утверждение справедливо при дополнительном предположении о совместной рекуррентности функций м(£,х) и х); кроме того, условие Барбашина-Красовского справедливо как для исходной системы и исходной направляющей функции, так и для присоединенной системы и присоединенной направляющей функции).

Теорема 13.2 Пусть (£о,хо) £ Т ■ Тогда: либо (¿,х(^) £ Т при < ^ < /3, либо при некотором ¿ь < (5, имеем (Ь, х(£)) £ Т при

¿0 < ^ < и (¿,х(г))£.Р при ¿1 < * < /?; при этом -Ми

и(г,х(*)) > М при tl<t<jЗ.

Утверждается, что если множество Т является ограниченным по х. Тогда ограниченная система (ИЛ) имеет по крайней мере одно огра-

ничейное решение и это решение лежит в множестве Т. Если вдобавок система (11.1) является рекуррентной, то она имеет по крайней мере одно рекуррентное решение х(0 и это решение лежит в множестве Т.

Теорема 13.3 Пусть точка (<о. Тогда: если иЦо,хо) > М, то либо при некотором ¿1, а < Ц < ta решение попадает в множество Т, (¿х,х(^)) £ Т и тогда дальнейшие события при а < < < развиваются по сценарию второй части теоремы 13.2, либо решение х(4) при всех 4 из промежутка а <t <tQ остается лежащим вне множества 7, т.е. (£, х^))!^7 при а < £ < ¿о.

В этом случае функция и(Ь) = и(£,х(£)) определена и не убывает на промежутке а <t <1а и М < и(1) < и(Ь о) при указанных í. Поэтому и{Ь) имеет конечный предел с при а <t-¥ а и с >М.

Возможны следующие ситуации: либо ||ж(*)]| +оо при а < < —> а, при этом с может быть как больше М, так и равным ему; либо 1И*)И +00 при а < * а.

В последнем случае а = —оо; и(4) -4 М при í —> —оо ¡(предполагается, что выполненоусловие Барбашина-Красосвкого как для исходной системы и исходной направляющей функции, так и для присоединенных систем и направляющих функций).

В четырнадцатом параграфе приводятся признаки диссипативно-сти рекуррентных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, а также априорная оценка рекуррентного решения диссипативной рекуррентной системы.

Теорема 14.3 Пусть рекуррентная система (11.1) удовлетворяет условию

Б^у^х) = +к,х + М&х)) -v(t,x)) < О,

где и(^х) непрерывная п—ср <и1 <л ь н о лип-

шицевая рекуррентная совместно с Г(Г,х) функция, удовлетворяющая условию Барбашина-Красовского, состоящему в том, что не существует ограниченного решения х(г) системы (11.1), определенного при всех для \\х$отараго(£,х(£)) = с, если с достаточно велико. Кроме

этого предполагается, что у(1,х) обладает свойством коэрцитивности

и(£,х) +оо при ||х|| +оо равномерно по I

Тогда система (11.1) является диссипативной.

Теорема 14.4 Каждая рекуррентная диссипативная система (11.1) имеет по крайней мере одно рекуррентное решение x(t). Любое рекуррентное решение x(t) подчинено оценке

||х(*)|| < Я, -00 < * < +00,

где R - число, фигурирующее в определении диссипативной системы.

В некоторых случаях наличие одной направляющей функции еще не позволяет сделать суждение о существовании ограниченного решения изучаемой системы. Однако если таких функций несколько и они удачно дополняют друг друга, то можно рассчитывать на успех. Именно такой случай составляет содержание пятнадцатого параграфа.

Рассмотрим систему т векторных дифференциальных уравнений

х{=^,хи...,хт), » — 1, —,т; х=£(*,х),

(15.1)

где XI е ЕП1,...,хт 6 КПт - векторные компоненты вектора х € К"1 х ... х КПт = Ж", где п = щ + ... + пт; ...,хт) : Ж х Ж"1 X

... х Ж"™ К"', г = 1,..., т - векторные компоненты отображения Г(£,х) : К х Ж" -4 К", которые непрерывны по совокупности переменных.

Предположим, что имеется набор, состоящий из га непрерывных скалярных функций

Здесь у(£,х) : К X Е" 4 К"1 - это отображение с компонентами г;,(£,Х1,... ,Хт) , ( = 1,...,Ш. Пусть выполнено свойство коэрцитивно-сти, заключающееся в том, что

^(<,Х1,...,Хт)-4+00 при ||х;||-4+00

1,

, т.

равномерно:

Предположим, далее, что функции непре-

рывно дифференцируемы, причем

где р!,...,рт - некоторые положительные числа. При выполнении этих условий выражение v(t,x) назовем векторной направляющей функцией Ляпунова.

Теорема 15.1 При выполнении перечисленных вышеусловий система (15.1) имеет по крайней мере одно ограниченное решение. Если система

(15.1) является рекуррентной и функции .....хт), г = 1,...,т,

совместно рекуррентны с функцией f (^ x), кроме того в (154) стоит знак строгого неравенства, то система (15.1) диссипативна.

Если система (15.1) является w-периодической, то она имеет по крайнеймере одно м>-периодическоерешение.

В шестнадцатом параграфе показывается, что максимум неубывающих направляющих функций является также неубывающей направляющей функцией для системы (15.1). Тем самым теорема 15.1 для векторной направляющей функции выводится из теоремы 14.3 для одной направляющей функции. Четвертая глава содержит два параграфа.

В семнадцатом параграфе, озаглавленном "Топологический метод Важевского", на примере нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка показывается, что в тех условиях в которых можно доказать существование решения указанной системы, лежащего в заданной области на всем правом максимальном промежутке методом Важевского, это можно сделать, опираясь и на основную топологическую теорему теории ограниченных решений.

Восемнадцатый параграф, содержит краткий обзор работ по методу направляющих функций.

Автор глубоко признателен профессору А. И. Перову за постоянное внимание и советы.

Список публикаций по теме диссертации

1. Евченко В.К. Об основной топологической теореме метода направляющих функций / В.К. Евченко, А.И. Перов // Воронеж, весен, мат. школа "Понтрягинские чтения - XIV", Воронеж, 3-9 мая 2003 г.: тез. докл. - Воронеж, 2003. - С. 111-112.

2. Евченко В.К. Об основной топологической теореме метода направляющих функций / В.К. Евченко, А.И. Перов // Международная конференция "Математика. Образование. Экология. Тендерные проблемы", Воронеж, 26-30 мая 2003 г.: тез. докл. - Воронеж, 2003. - Т. 1. - С. 56-57.

3. Евченко В.К. Оценка w -периодического решения систем дифференциальных уравнений второго порядка / В.К. Евченко // Вестник факультета ПММ. - Воронеж, 2003. - Вып. 4. - С. 45-48.

4. Евченко В.К. Об одной теореме метода направляющих функций / В.К. Евченко // Сборник работ студентов и аспирантов факультета ПММ. - Воронеж, 2003. - №3. - С. 21-29.

5. Евченко В.К. Об одной топологической теореме метода направляющих функций / В.К. Евченко, А.И. Перов // Сборник работ студентов и аспирантов факультета ПММ. - Воронеж, 2003. - №3. - С. 46-53.

6. Евченко В.К. Метод направляющих функций / В.К. Евченко, А.И. Перов; Воронеж, гос. ун-т. - Воронеж, 2003. - 36 с. - Деп. В ВИНИТИ 21.11.03, № 2021-В2003.

7. Евченко В.К. Достаточное условие диссипативности для периодических систем / В.К. Евченко // Воронеж, зимн. мат. школа - 2004, Воронеж, 24-28 янв. 2004 г.: тез. докл. - Воронеж, 2004. - С. 43-45.

8. Евченко В.К. Достаточное условие диссипативности для почти- периодических систем/ В.К. Евченко // Воронеж, зимн. мат. школа - 2004, Воронеж, 24-28 янв. 2004 г.: тез. докл. - Воронеж, 2004. - С. 45-47.

9. Евченко В.К. Метод направляющих функций и топологический метод Важевского / В.К. Евченко // Воронеж, весен, мат. школа "Понтря-гинские чтения - XV", Воронеж, 3-9 мая 2004 г.: тез. докл. - Воронеж, 2004. - С. 79.

10. Евченко В.К. О применении направляющих функций для изучения поведения решений стационарной системы нелинейных дифференциальных уравнений / В.К. Евченко // Тр. Международной школы-семинара, Воронеж, 24-28 мая 2004 г.: тез. докл. - Воронеж, 2004. - Ч. 1, т. 1. - С. 215-216.

11. Евченко В.К. О поведении решений стационарной системы нелинейных дифференциальных уравнений, обладающих направляющей функцией / В.К. Евченко // Вест. Воронеж, ун-та. Сер. Физика, математика. - 2004. - №1. - С. 110-114.

12. Евченко В.К. Об одном критерии диссипативности / В.К. Евченко // Труды молодых ученых. - 2004. - Вып. 1. - С. 10-15.

№ 250 04

13. Евченко В.К. О некоторых признаках существования периодических, рекуррентных и ограниченных решений / В.К. Евченко, И.Д, Коструб, А.И. Перов // Вестник факультета ПММ. - Воронеж, 2004. - Вып. 5. - С. 191-202.

14. Евченко В.К. О возможности замены п направляющих функций одной направляющей функцией / В.К. Евченко // Вестник факультета ПММ. - Воронеж, 2004. - Вып. 5. - С. 90-96.

Заказ №749от 23 11.2004 г Тираж 100 экз Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

Введение

Глава 1. Стационарные системы

1. Степень отображения

2. Направляющие функции

3. Поведение решений стационарной системы, обладающей направляющей функцией

4. Условие Барбашина - Красовского

Глава 2. Периодические системы

5. Метод Пуанкаре

6. Основная топологическая лемма

7. Основная топологическая теорема теории периодических решений

8. Направляющие функции

9. Поведение решений периодической системы, обладающей направляющей функцией

10. Признаки диссипативности периодических систем

Глава 3. Ограниченные системы

11. Основная топологическая теорема теории ограниченных решений

12. Рекуррентные системы

13. Поведение решений ограниченной или рекуррентной системы, обладающей направляющей функцией

14. Рекуррентные диссипативные системы

15. Векторные функции Ляпунова

16. Сведение к одной направляющей функции

Глава 4. Разное

17. Топологический метод Важевского

18. Обзор работ по методу направляющих функций Список литературы

Одной из важных задач теории нелинейных колебаний является изучение периодических или ограниченных (в том числе рекуррентных) решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Но прежде чем изучать такие решения нужно быть уверенным в том, что они действительно существуют.

С физической точки зрения назначение решений указанного вида (стационарных, периодических, почти-периодических, рекуррентных) весьма серьезно: они образуют основу той картины развития процесса, которую описывает изучаемая система нелинейных дифференциальных уравнений. Будучи стационарными в широком смысле этого слова (т.е. с неизменными относительно сдвига и предельного перехода такими характеристиками как среднее значение или спектр), они таковы, что к ним, вообще говоря, стремятся все остальные решения изучаемой системы при неограниченном возрастании времени. Выскажем последний тезис более четко: каждое решение диссипативной нелинейной системы дифференциальных уравнений или является определенным на всей вещественной оси стационарным в широком смысле решением соответствующим так называемым установившимся режимам, или отвечая переходным режимам, стремится к некоторому стационарному решению при неограниченном возрастании времени.

Для исследования периодических и ограниченных решений было разработано несколько методов. Первую группу методов, будем ее называть методы пространства состояний, составляют: метод направляющих функций, метод функций Ляпунова, топологический метода Важевского. Вторую группу, будем ее называть функционально-аналитические методы, образуют метод интегральных уравнений, вариационный метод и другие подобные им методы. Если первая группа методов имеет дело с множествами и отображениями в конечномерных пространствах, то вторая группа методов уже имеет дело с множествами и отображениями в бесконечномерных функциональных пространствах (пространствах Чебышева, Лебега или Соболева) или в абстрактных пространствах - гильбертовых или банаховых.

Метод направляющих функций служит для доказательства существования периодических или ограниченных решений нелинейных систем дифференциальных уравнений. Этот метод в своей топологической части существенно опирается на классическое понятие степени отображения, введенное и изученное в ряде работ Кронекера JL, Брауэра JI. и Хопфа X., и связанных с нею понятиями (гомотопные отображения, индекс Пуанкаре особой точки т.п.). Этим он отличается от применяемого в указанном круге вопросов топологического метода Важевского, предложенного в 1947 г. и опирающегося на теорию ретрактов К. Борсука. Сами направляющие функции по свойствам напоминают функции Ляпунова, но они используются в задачах, не связанных с устойчивостью, и во многих случаях важную роль играет степень соответствующего градиентного отображения. Идея метода была высказана А.И. Перовым в 1956 году, а сам метод был опубликован М.А. Красносельским и А.И. Перовым в совместном сообщении в 1958 году.

Результаты, полученные методом направляющих функций, нашли приложения в теории дифференциальных уравнения с запаздывающим аргументом, при изучении некоторых задач автоматического регулирования и уравнений с нелинейностями гистерезисного типа. Они нашли развитие и обобщение при изучении дифференциальных уравнений с многозначной правой частью.

Настоящая диссертационная работа посвящена развитию топологических методов в теории нелинейных колебаний в рамках развития и уточнения метода направляющих функций.

В работе последовательно изучаются системы обыкновенных дифференциальных уравнений следующего вида: стационарные, периодические, ограниченные, рекуррентные. В каждом из указанных выше случаев акцент делается на изучение решений определенного типа: стационарных, периодических, ограниченных, рекуррентных.

Первая глава посвящена изучению стационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, а также условий существования стационарных решений у таких системы. Кроме того, приведена полная картина поведения решений стационарной системы, обладающей направляющей функцией.

Во второй главе исследуются периодические системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Вводится понятие неубывающей и возрастающей направляющей функции, а также неубывающей направляющей функции, удовлетворяющей условию Барбашина-Красовского. Дается полная картина поведения в целом решений системы указанного выше вида, обладающей направляющей функцией. Приводятся признаки диссипативности периодической системы.

В третьей главе исследуются ограниченные и рекуррентные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Описывается поведение решений таких систем, обладающих направляющей функцией. Указываются условия существования ограниченных и рекуррентных решений, признаки диссипативности рекуррентной системы.

Исследования, включенные в настоящую диссертацию, выполнены в рамках проекта VZ-010 "Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах"Минобразования РФ и CRDF (США).

1. Александров П.С. Комбинаторная топология / П.С. Александров. -Москва-Ленинград: ОГИЗ ГИТТЛ, 1947. - 660 с.

2. Барабанова А.А. Векторные функции Ляпунова в задачах о нелинейных колебаниях / А.А. Барабанова, М.А. Красносельский, Ж. Мовен, И.В. Фоменко, X. Фридман // Автоматика и телемеханика. 1996. -№3. - С. 26-34.

3. Барбашин Е.А. Об устойчивости движения в целом / Е.А. Барбашин, Н.Н. Красовский // Докл. АН СССР. 1952. - Т.86, №3. - С. 453-456.

4. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова / Е.А. Барбашин. М.: Наука, 1970. - 240 с.

5. Берштейн И. К вопросу о периодических решениях нелинейных систем с малым параметром / И. Берштейн // Докл. АН СССР. 1957. - Т.113, т. - с. 9-и.

6. Бобылёв Н.А. Правильные направляющие функции для уравнений на плоскости / Н.А. Бобылёв // Проблемы математического анализа сложных систем. Воронеж, 1968. - №2. - С. 7-17.

7. Бобылёв Н.А. Направляющие функции и колебания в системах с сильными нелинейностями / Н.А. Бобылёв, Э.М. Мухамадиев // Тр. пятой Международной конференции по нелинейным колебаниям, Киев. Киев, 1970. - Т.1. - С. 72-77.

8. Борисович Ю.Г. О приложении слабой топологии к задаче о периодических и ограниченных решениях дифференциальных уравнений / Ю.Г. Борисович // Докл. АН Азерб. ССР. 1964. - Т.20, №10. - С.7-11.

9. Борисович Ю.Г. Введение в топологию / Ю.Г. Борисович, Н.М. Близ-няков, Я.А. Израилевич, Т.Н. Фоменко. М.: Высшая школа, 1980. -296 с.

10. Борисович Ю.Г. Введение в теорию многозначных отображений / Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1986. - 101 с.

11. Боровских А.В. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / А.В. Боровских, А.И. Перов. М.-Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2004. - 540 с.

12. Воротников Д.А. Теория степени конечного отображения: Учеб. пособие для студентов III курса математического факультета / Д.А. Воротников, В.Г. Звягин. Воронеж: Воронеж, гос. ун-т, 2002. - 58 с.

13. Ганго Е.А. Правильные направляющие функции для дифференциальных уравнений с многозначной правой частью / Е.А. Ганго, А.И. По-волоцкий // Теория функций и функциональный анализ. JL, 1975. -С. 35 - 41.

14. Демидович Б.П. Об ограниченных решениях некоторой нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Б.П. Демидович // Мат. сборник. 1956. - Т. 40(82), вып. 1. - С. 73-94.

15. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. М.: Наука, 1967. - 472 с.

16. Евченко В.К. Об одной теореме метода направляющих функций / В.К. Евченко // Сборник работ студентов и аспирантов факультета ПММ. Воронеж, 2003. - №3. - С. 21-29.

17. Евченко В.К. Достаточное условие диссипативности для периодических систем / В.К. Евченко // Воронежская зимняя математическаяшкола 2004, Воронеж, 24-28 янв. 2004 г. : тез. докл. - Воронеж, 2004. - С. 43-45.

18. Евченко В.К. Достаточное условие диссипативности для почти- периодических систем/ В.К. Евченко // Воронежская зимняя математическая школа 2004, Воронеж, 24-28 янв. 2004 г. : тез. докл. - Воронеж, 2004. - С. 45-47.

19. Евченко В.К. Об одной топологической теореме метода направляющих функций / В.К. Евченко, А.И. Перов // Сборник работ студентов и аспирантов факультета ПММ. Воронеж, 2003. - №3. - С. 46-53.

20. Евченко В.К. Оценка ^-периодического решения систем дифференциальных уравнений второго порядка / В.К. Евченко // Вестник факультета ПММ. Воронеж, 2003. - Вып. 4. - С. 45-48.

21. Евченко В.К. Метод направляющих функций / В.К. Евченко, А.И. Перов; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2003. - 36 с. - Деп. В ВИНИТИ 21.11.03, № 2021-В2003.

22. Евченко В.К. Метод направляющих функций и топологический метод Важевского / В.К. Евченко // Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения XV", Воронеж, 3-9 мая 2004 г. : тез. докл. - Воронеж, 2004. - С. 79.

23. Евченко В.К. О поведении решений стационарной системы нелинейных дифференциальных уравнений, обладающих направляющейфункцией / В.К. Евченко // Вест. Воронеж, ун-та. Сер. Физика, математика. 2004. - т. - С. 110-114.

24. Евченко В.К. Об одном критерии диссипативности / В.К. Евченко // Труды молодых ученых. Воронеж, 2004. - Вып. 1. - С. 10-15.

25. Евченко В.К. О некоторых признаках существования периодических, рекуррентных и ограниченных решений / В.К. Евченко, И.Д. Коструб, А.И. Перов // Вестник факультета ПММ. Воронеж, 2004. - Вып. 5.- С. 191-202.

26. Евченко В.К. О возможности замены п направляющих функций одной направляющей функцией / В.К. Евченко // Вестник факультета ПММ. Воронеж, 2004. - Вып. 5. - С. 90-96.

27. Евченко В.К. Об основной топологической теореме метода направляющих функций / В.К. Евченко, А.И. Перов // Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения XIV", Воронеж, 3-9 мая 2003 г. : тез. докл. - Воронеж, 2003. - С. 111-112.

28. Зубов В.И. Теория колебаний / В.И. Зубов. М.: Высшая школа, 1979.- 400 с.

29. Коддингтон Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. М.: Иностр. лит., 1958. - 476 с.

30. Константинов М.С. Применение направляющих функций к качественному исследованию некоторых систем дифференциальных уравнений:автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук / М.С. Константинов. М., 1979. - 16 с.

31. Корнев С.В. Об интегральных направляющих функциях для функционально-дифференциальных включений / С.В. Корнев, В.В. Обуховский // Топологические методы нелинейного анализа (к 70 -летию со дня рождения проф. Ю.Г. Борисовича). Воронеж, 2000. -С. 87-96.

32. Корнев С.В. Геометрические методы анализа в теории периодических решений дифференциальных включений : дисс. . канд. физ.-мат. наук / С.В. Корнев. Воронеж, 2004. - 136 с.

33. Красносельский М.А. О применении методов нелинейного функционального анализа в некоторых задачах о периодических решениях уравнений нелинейной механики / М.А. Красносельский. // Докл. АН СССР. 1956. - Т. 111, т. - С. 283-286.

34. Красносельский М.А. Об одном принципе существования ограниченных, периодических и почти-периодических решений у систем обыкновенных дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский, А.И. Перов // Докл. АН СССР. 1958. - Т. 123, №2. - С. 235-238.

35. Красносельский М.А. Векторные поля на плоскости / М.А. Красносельский, А.И. Перов, А.И. Поволоцкий, П.П. Забрейко. М.: Физ-матгиз, 1963. - 248 с.

36. Красносельский М.А. О вычислении вращения вполне непрерывных векторных полей, связанных с задачей о периодических решениях дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский, В.В. Стрыгин // Докл. АН СССР. 1963. - Т. 152, №3. - С.540-543.

37. Красносельский М.А. Альтернативный принцип существования периодических решений для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом / М.А. Красносельский // Докл. АН СССР. 1963. - Т. 152, Ш. - С. 801 - 804.

38. Красносельский М.А. О некоторых признаках существования периодических решений у систем обыкновенных дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский, В.В. Стрыгин // Докл. АН СССР. -1964. Т. 156, №5. - С.1022 - 1024.

39. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский. М.: Наука, 1966. - 332 с.

40. Кущев А.Б. Метод направляющих функций в задаче о периодических решений дифференциальных уравнений : дисс. . канд. физ.-мат. наук / А.Б. Кущев. Воронеж, 1983. - 109 с.

41. Левитан Б.М. Почти-периодические функции / Б.М. Левитан. М.: ГИТТЛ, 1953. - 396 с.

42. Лефшиц С. Устойчивость нелинейных систем автоматического управления / С. Лефшиц. М.: Мир, 1967. - 184 с.

43. Миллионщиков В.М. О рекуррентных и почти-периодических предельных решениях неавтономных систем /В.М. Миллионщиков // Диф. уравнения. 1968. - Т. 4, №9. - С. 1155-1159.

44. Немыцкий В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений / В.В. Немыцкий, В.В. Степанов. M.-JL: Гостехиздат, 1949. - 550 с.

45. Ортега Дж. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными / Дж. Ортега, В. Рейнболдт. М.: Мир, 1975. - 560 с.

46. Перов А.И. Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений : дисс. . канд. физ.-мат. наук / А.И. Перов. Воронеж, 1959. - 129 с.

47. Перов А.И. Периодические, почти-периодические и ограниченные решения дифференциального уравнения х= f(t,x) / А.И. Перов // Докл. АН СССР. 1960. - Т. 132, т. - С.531-534.

48. Перов А.И. Ограниченные решения дифференциальных уравнений второго порядка / А.И. Перов // Диф. уравнения. 1967. - Т. 3, №3. - С. 524-528.

49. Перов А.И. Метод направляющих функций в задаче о нелинейных почти-периодических колебаниях/ А. И. Перов, И. Д. Костру б / / Вест. Воронеж, ун-та. Сер. Физика, математика. 2002. - №1. - С. 163-171.

50. Перов А.И. Об ограниченных решениях нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / А.И. Перов // Вест. Воронеж, ун-та. Сер. Физика, математика. 2003. - №1. - С. 165-168.

51. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И.Г. Петровский. М.: Наука, 1964. - 272 с.

52. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний / В.А. Плисс. -M.-JL: Наука, 1964. 368 с.

53. Рачинский Д.И. Вынужденные колебания в системах управления в условиях, близких к резонансу / Д.И. Рачинский // Автоматика и телемеханика. 1995. - № И. - С. 87-98.

54. Рачинский Д.И. Многолистные направляющие функции в задаче о периодических решениях дифференциальных уравнений : автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук / Д.И. Рачинский. М., 1996. - 18 с.

55. Рейссиг Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений / Р. Рессиг, Дж. Сансоне, Р. Конти. М.: Наука, 1974. - 320 с.

56. Розенвассер Е.Н. Колебания нелинейных систем / Е.Н. Розенвассер. -М.: Наука, 1969. 576 с.

57. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения / Ф. Трикоми. М.: Иност. лит., 1962. - 352 с.

58. Филиппов В.В. Замечание о направляющих функциях и периодических решениях / В.В. Филиппов // Диф. уравнения. 2001. - Т. 37, т. - С. 458-469.

59. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Харт-ман. М.: Мир, 1970. - 720 с.

60. Чезари J1. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений / J1. Чезари. М.: Мир, 1964. - 480 с.

61. Avramescu С. Asymptotic behavoir of solutions of nonlinear diferential equations and generalized guiding functions / C. Avramescu // Electronic journal of analitative theory of differential equations. 2003. - № 13. - P. 1-9.

62. De Blasi F.S. Topological degree and periodic solutions of differential inclusions / F.S. de Blasi, L. Gorniewicz, G. Pianigiani // Nonlinear Analysis. 1999. - V. 37. - P. 217-245.

63. Fonda А. Направляющие функции и периодические решения функционально-дифференциальных уравнений / A. Fonda // Proc. Amer. Math. Soc. 1987. - 99, №1. - P. 79-85.

64. Gorniewicz L. Periodic solutions of differential inclusions in Rn / L. Gorniewicz, S. Plaskacz // Bollettino U.M.I. 1993, (7), 7-A. - P. 409-420.

65. Kamenskii M. Condensing multivalued maps and semilinear differential inclusions in nonlinear analysis and applications / M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca. Berlin - New-York, 2001. - 232 p.

66. Krasnosel'skii A.M. Differential inequalities in problems on forced nonlinear oscillations / A.M. Krasnosel'skii, M.A. Krasnosel'skii, J. Mawhin // Nonlinear Analysis. Theory, methods and applications. 1995. - 25, 9-10. - P. 1029-1031.

67. Mawhin J. Periodic solutions of ordinary differential equations with onesided growth restrictions / J. Mawhin // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. -1978, A82, № 1-2. P. 95-106.

68. Urabe M. Galerkin's procedure for non-linear periodic systems / M. Urabe // Arch. Rational. Mech. Anal. 1965. - Vol.20. - P. 120-152.

69. Wazewski T. Sur un principle topologique de l'examine de Failure asymptotique des equations differentielles ordinaires / T.Wazewski // Ann. Soc. Polon. Math. 1947. - 20. - P. 279-313.