Методы нелинейного многозначного анализа в задачах операторных и дифференциальных включений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

004617073

На правах рукописи

НГУЕН ВАН ЛОЙ

Методы нелинейного многозначного анализа в задачах операторных и дифференциальных включений

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

~ 9 ДЕН 2010

Воронеж - 2010

004617073

Работа выполнена в Воронежском государственном педагогическом университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Обуховский Валерий Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Сапронов Юрий Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Красносельский Александр Маркович

Ведущая организация: Российский университет дружбы народов

Защита состоится 21 декабря 2010 года в 15 час. 10 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская площадь, 1, ВГУ, математический факультет, ауд. 335.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " ■(/) " ноября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физико-математических наук, профессор

Гликлих Ю. Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Применение геометрических и топологических методов нелинейного анализа к исследованию различных вопросов теории операторных и дифференциальных уравнений имеет давнюю историю и восходит к именам А. Пуанкаре, JI. Брауэра, П.С. Александрова, Г. Хопфа, Ж. Jlepe, Ю. Шаудера. Дальнейшее развитие эти методы получили в трудах М.А. Красносельского, НА. Бобылева, Ю.Г. Борисовича, П.П. Забрейко, В.Г. Звягина, А.И. Перова, А.И. Поволоцкого, Б.Н. Садовского, Ю.И. Сапронова, В.В. Стрыгина, К. Deimling'a, L. Gorniewicz'a, J. Mawhin'a и многих других исследователей.

Начиная со второй половины XX века, эти методы распространяются на теорию дифференциальных включений. Развитие теории дифференциальных включений связано с тем, что дифференциальные включения являются удобным аппаратом для описания управляемых систем различных классов, систем с разрывными характеристиками, изучаемых в различных разделах теории оптимального уравления, математической физики, математической экономики и др. Различные задачи теории дифференциальных включений были изучены с помощью методов нелинейного и многозначного анализа в работах Ю.Г. Борисовича, Б.Д. Гельмана, А.Д. Мышкиса, В.В. Обуховекого, М.И. Каменского, А.И. Поволоцкого, Ю.Е. Гликлиха, В.Г. Звягина. A.B. Арутюнова, В.Г. Задо-рожного, А.И. Булгакова, E.JI. Тонкова, A.A. Толстоногова, В.В. Филиппова, J.P. Aubin'a, A. Cellina, К. Deimling'a, L. Gorniewicz'a, W. Kryszewski, P. Nistri, N.S. Papageorgiou, P. Zecca и других.

Важное место в исследовании дифференциальных и функционально-дифференциальных включений занимают задачи о существовании периодических решений и задачи о глобальной структуре множества периодических решений.

Одним из наиболее эффективных средств решения задач о периодических колебаниях является метод направляющих функций, разработанный М.А. Красносельским, А.И. Перовым и др. Различные модификации этого метода можно найти в работах А.И. Перова, H.A. Бобылева, Д.А. Рачинского, В.В. Обуховского, C.B. Корнева, A. Fonda, L. Gorniewicz'a, J. Mawhin'a и других. Однако до сих пор все развития этого метода касались лишь дифференциальных уравнений и включений в конечномерных пространствах.

Задача о существовании ветви нетривиальных решений операторных урав-

нений, выходящей из точки бифуркации была изучена М.А. Красносельским1. Теорема о глобальной структуре множества решений операторных уравнений была доказана в работе Р.Н. Rabinowitz'a2. Отметим, что в дальнейшем топологические методы в теории бифуркаций применяли в своих работах также H.A. Бобылев, Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, М.И. Каменский, A.M. Красносельский, Ю.И. Сапронов, Е. Dancer, J. Marsden, L. Gorniewicz, W. Kryszewski и многие другие исследователи. Результаты М.А. Красносельского и Р.Н. Rabinowitz'a были обобщены в работе J.C. Alexander'a и P.M. Fitzpatrick'a3 для включений. Отметим, что основная трудность в этой задаче возникает при вычислении бифуркационного индекса.

В диссертации исследуются приложения метода направляющих функций к вычислению бифуркационного индекса и распространение метода направляющих функций на дифференциальные включения в бесконечномерном гильбертовом пространстве.

Цель работы. Применения метода направляющих функций для изучения глобальной структуры множества периодических решений дифференциальных включений, функционально-дифференциальных включений и распространение этого метода для изучения дифференциальных включений в бесконечномерном гильбертовом пространстве.

Методы исследования. В работе используются методы функционального анализа, теории многозначных отображений и теории бифуркаций.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Изучена взаимосвязь между бифуркационным индексом и индексом соответствующей направляющей функции.

2. Получены результаты о глобальной структуре множества периодических решений дифференциальных включений.

3 Получен результат о глобальной структуре множества периодических решений функционально-дифференциальных включений.

4. Распространен метод направляющих функций на дифференциальные включения в бесконечномерном гильбертовом пространстве.

5. Описана глобальная структура множества решений включений, содержащих линейные фредгольмовы операторы нулевого индекса и выпуклозначные

красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. Гос. изд. технико-теоретической литературы. М., 1956.

2Rabinowitz P. Some global results for nonlinear eigenvalue problems //J. Funct. Anal. 7(1971), 487-513

3 Alexander J.C. and Fitzpatrick P.M. Global bifurcation for solutions of equations involving several parameter multivalued condensing mappings // Lect. Notes Math. 886 (1981), 1-19

мультиотображения.

Практическая и теоретическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут применяться в теории бифуркаций, теории дифференциальных уравнений, теории управляемых систем. Они могут также найти приложения в задачах математической экономики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на международной конференции "Дифференциальные уравнения и топология "(Москва, 2008г.), III международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирова-ния"(Воронеж 2009г.), международной научной конференции "Общие проблемы управления и их приложения "(Тамбов, 2009г.), на Воронежской зимней математической школе им. С.Г. Крейна 2010г., научной конференции студентов физико-математического факультета ВГПУ (2009г. и 2010г.), а также на научном семинаре профессора В.В. Обуховского (ВГУ, 2008г.-2010г.).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-[8]. Из совместных работ [4], [5] и [8] в диссертацию вошли только результаты, полученные лично диссертантом. Работы [4j, [5], [7] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ .

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 90 страницах и состоит из введения, четырех глав, разбитых в общей сложности на 11 параграфов, и списка цитируемой литературы, включающего 39 наименований.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Пусть X - банахово пространство; Р(Х) [Сг;(Х), Kv(X)\ обозначает совокупность непустых [соответственно: непустых выпуклых замкнутых, непустых выпуклых компактных] подмножеств X. Символами С([0,Т],Х) [¿^([OjT],^)] обозначаются пространство всех непрерывных [соответсвенно: р—суммируемых] функций на [0,Т] со значениями в Х,р> 1. Обозначим через Wk,p{[Q,T),X) пространство Соболева с нормой

Пусть WjV([Q,T],X) [Cr([0,T],X)] - подпространство всех функций х € Wk*([0,T]-,X) [соответственно, х 6 С([0,Т],Х)] таких, что х(0) = х(Т). Шар радиуса г в X обозначается символом Вх(0,г).

Нумерация определений и теорем в автореферате не совпадает с их нумерацией в диссертации.

Первая глава носит вспомогательный характер и посвящена изложению необходимых понятий и утверждений функционального анализа, теории многозначных отображений и теории бифуркаций.

Вторая глава состоит из двух параграфов. В первом параграфе рассматривается семейство дифференциальных включний

x'{t) € F(t,x(t),n), для п.в. te R; M е К. (1)

Предположим, что мультиотображение jF: R х Rn х R —ï Kv(R") удовлетворяет следующим условиям:

(Ft) мультифункция F: R х R" х R —► A"r(R") Т-периодична по первому аргументу, т.е.,

F(t,y,n) = F(t + T,y,n) для п.в. t € R И любого {у,р) € R" х R;

(F1) для каждого (у, ц) eR"xR мультифункция F(-,y,n): [O.rj Kv(R") имеет измеримое сечение;

(F2) для t = 0 и п.в. t € (О, Т) мультиотображение F(t, -, •) : R" х R -» Kv(Rn) полунепрерывно сверху;

(F3) для любого непустого ограниченного множества Г2 С R" х R существует такая неотрицательная функция ha € l/([Q,T\]К), что

для всех (у, (i)6Î!ii п.в. t 6 [О, Т], где

= тах{||г||к-: г € F(t,y,n)}\

(JP4) 0 6 F(s, 0, ц) для всех ц 6 R и п.в. s G [О, Г];

(F5) существует Го > 0 такое, что для каждого к > О найдется г) > 0 такое, что

h{F(t,v,ii),F(t,y,ti,')) <«

для всех [у, il), (у,ц') 6 Дк»(0,г0) х [цд - г0,й) + П>], - ц'\ < V и п.в. t € [0,Т], где fig € R - заданное число, h - метрика Хаусдорфа в K4>(Rn);

(F6) для каждого /л, 0 < — /io| < П), где го - константа в (F5), существует достаточно налое £,¡ > 0 такое, что если (х, р.) является нетривиальным решением семейства (1) с начальным условием х(0) = 0, то ЦхЦ^ >

Из (Л) — (FZ) следует, что мультиоператор суперпозиции

VF: С([0,Г];Е") xR->Z,P([0,T];R"), VF{x,n) = {/e ¿"([0,Г];¡T): /(s) € F(s,x(s),p) п.в. s € [0,Г]},

корректно определен и замкнут. Под Г—периодическим решением семейства (1) будем понимать пару {х,р) € íVr'p([0, T],Rn) х R, удовлетворяющую (1). Обозначим через S множество всех нетривиальных Т—периодических решений семейства (1). Опишем глобальную структуру множества S при двух случаях значения р, где р - константа в (F3).

При р — 1:

Определение 1. При каждом р. 6 R, непрерывно дифференцируемая функция V,¡: R™ —>■ R называется направляющей функцией для включения (1), если существует достаточно малое т11> О такое, что для любого у S F(t, х, ц):

Í(S7V^(x),y) > 0 при £ = 0 и п.в. t е (0,тм), 0 < ||х||к» < (УВД, у) > 0 при п.в. t € [т„,Т],

где (,) обозначает скалярное произведение в R".

Из данного определения следует, что если Vfi - направляющая функция включения (1), то Vf¡ является невырожденным потенциалом, т.е. существует достаточно малое г(1 > 0 такое, что градиент Wfí(x) ф 0 при 0 < ||x||r» < í> Из свойств топологической степени вытекает, что степень невырожденного потенциала deg(WBr» (О, г')), не зависит от г' € (0, r¡¡). Это общее значение степени называется индексом невырожденного потенциала и обозначается ind.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (F1) — (-F6) и (Fr). Предположим, что для каждого ц, 0 < |/i — < г0, где го - коэффициент в (F5), существует направляющая функция V^ для включения (1) такая, что

lim ind Vfj, — lim_ ind V(1 ф 0.

Тогда существует связное множество 72. С S такое, что (0, Цо) € 72- и либо Л неограничено, либо (0,р,) 6 Tí для некоторого р.* ф ¡i(¡.

При р = 2:

Пусть мультиотображение ^ удовлетворяет условиям (Рг), (^1) и (РЗ) — (^5). Дополнительно предположим, что

(^2)' для п.в. * € [О, Г] мультиотображение •): К" х К ЛГу(Ип) полунепрерывно сверху.

Определение 2. Яри каждом ц € К, непрерывно дифференцируемая функция У/1: К" —» К называется интегральной направляющей функцией для включения (1), если существует достаточно малое 7Г(< > 0 такое, что для любого х е И4'2([0,Т],КП) из

О < Иг < тг„ и 1И0Нк» < |И«,*(0,/*)||*. Для да * б [О, Г)

следует

Jo

для всех / е таких, что Ц/Цг > Ц^'Цг-

Теорема 2. Пусть выполнены условия (Т1), ^2)', ^3) - (Г5) и Предположим, что для каждого /х, 0 < - /¿о < г0, где го - коэффициент в (^5), существует интегральная направляющая функция У^ для включения (1) такая, что

Нт гпй Ур — Ит тй V,, Ф 0.

Тогда существует связное множество 72. С 5 такое, что (0, /¡о) € 71 и либо И неограничено, либо (0,/х„) 6 71 для некоторого ц, Ф ^о-

Во втором параграфе рассматривается семейство функционально - дифференциальных включений

х'(г) € 6(4, адля п.в. * е К; ц е К. (2)

Здесь для каждой функции х € С([—т,Т];Е") и каждого í € [0,Т], символ x^ 6 С([—т, 0];К") обозначает функцию, определенную следующим образом: х№)=хЦ + в),0е [-т,0].

Предположим, что мультиотображение

в: К х С([-т,0];Кп) Кь(Шп)

удовлетворяет следующим условиям:

('Gt) G является Т-периодическим по первому аргументу

G(t,tp,n) =G(t + T,

для всех (ip,ii) 6 С([-т, 0];М") х R и п.в. t 6 R;

(G1) мультифункция G(-, [О, Т] Kv(Rn) имеет измеримое сечение для каждого (<p,fi) € С([-т, 0];Rn) х R;

(G2) мультиотображение G(t, •, •): G([-r, 0]; R") х R ->• A'i>(R") полунепрерывно сверху для п.в. t € [0,Т] ;

(G3) для каждого ограниченного множества О С С({—т, 0];Rn) х R существует функция кп(-) е L\[0,Т] такая, что

для всех (<£,а0 € U и п.в. t € [0,Т]; (G4) 0 € G(t, 0, ц) для всех ц € R и п.в. t 6 [0, Г].

(G5) существуют iio £ R и £q > 0 такие, что для любою к > 0 найдется 5 > 0 такое, что

h{G{t,ip,fi),G(t,tp,fj!)) <к, для п.в. t€ [0,Т], при (<p,fi), (<?,/«') € С([-т, 0];R") х R таких, что Mlc[_,i0| = ™|«Ms)||r»

fj,fi' 6 [rt) -So,Mo +e0], При выполнении условий (Gl) — (G3) мультиоператор суперпозиции

VG: Cr([0,T],R") xR-t Cv(L2([0,T], Rn)), Vg{x,h) = {/ G L2([0,r],Rn): /(в) e G{a,x„fi) для п.в. s e [0,T]},

корректно определен и замкнут, где х обозначает Т—периодическое расширение функции х е GT([0,T],Rn) на (-ос,Т].

Под Т—периодическим решением семейства (2) будем понимать пару (х,ц) е Wy2([0,T],R") х R такая, что найдется функция / £ Т>с{х,у) и rr'(i) = /(<) для п.в. г е [о,т].

Пусть V: Еп К - локально липшицева функция. Для хо € К" и и € К" обобщенная производная У°(хо-, и) функции V в точке х0 по направлению и определяется следующим образом

ПЕ +

X -¥ Х0 г

¿40

Тогда обобщенный градиент ЗУ(хо) функции V в точке хо может быть определен как:

ЗУ(хо) = {х е Я": (х,и) < У°(х0;1/) для любого и 6 Я"} .

Известно, что мультиотображение ЗУ: К" ->■ Р(МП) полунепрерывно сверху и имеет выпуклые компактные значения. Это означает, что для каждой непрерывной функции х: [0, Т] —» К" множество всех суммируемых со второй степенью сечений мультифункции дУ(х^)) непусто.

Локально липшицева функция V: К" К. называется регулярной, если для каждых х 6 К" и I/ 6 К" существует производная по направлению У(х, и) и У(х,и) = У°(Х,1У).

Определение 3. Регулярная функция У: К" —> Е называется невырожденным потенциалом, если существует г > 0 такое, что 0 $ дУ(х) при

О < 11x11»-. < г.

Нетрудно видеть, что если V - невырожденный потенциал, то топологическая степень deg{dV,B^{Q,tJ)), где 0 < г' < г, корректно определена и не зависит от г'. Мы также обозначаем эту степень символом ind V.

Определение 4. Для каждого /j е 1, регулярная функция Vfl : Rn R называется негладкой интегральной направляющей функцией для включения (2), если существует 0 такое, что для любой функции х € О < ||х||2 < Sf, и ||x'(t)||R„ < ||C?(î,Ï(,m)IIr» Аля п.в. t € [0,Т] выполнено следующее соотношение

[ (v(s),f(s))ds> О J о

для всех суммируемых сеченяй v(s) € 9V,,(x(s)) и всех / G ~Рс{х,ц) таких, что

11/!12 > М2-

Обозначим через <S множество всех нетривиальных Т-периодических решений семейства (2).

Теорема 3. Пусть выполнены (G1) — ((75) и (Gj)• Предположим, что для каждого р., О < \р - /¿о| < £о, где ро,£о - коэффициенты в (G5), существует негладкая интегральная направляющая функция для включения (2) такая, что

lim ind V^ — lim ind V^ ф 0.

Тогда, существует связное множество 71 С S такое, что (0,ро) £ 1Z и либо TZ неограничено, либо (0, р,) € 7Z для некоторого р., ф ро.

В третьей главе предлагается новый подход к распространению метода направляющих функций на бесконечномерное гильбертово пространство. Пусть Я - гильбертово пространство с ортонормированным базисом Для каж-

дого п 6 N, пусть Н„ - п—мерное подпространство Я с базисом {e/t}J=1 и Рп - проекция на Я„. Для любых ж, у е Я, через (х,у)н обозначим их скалярное произведение в Я.

Определение 5. Пусть A: W^2(I,H) L2(I,H)

- некоторый линейный оператор. Мультиотображение F\ C(I,H) P(L2(I,H)) называется А—разрешимым, если из существования последовательностей {тс*} и {ж/ь}, Xk е W^'2{I,Hnk) таких, что supk < +оо и Ах к € РПкТ(хк) следует,

что найдется такое х, € W^'2(I, Я), что Ах, € Р{х,). Рассмотрим дифференциальное включение

x'(t) € F(t,x(t)), для п.в. t € R. (3)

Предположим, что мультиотображение F: R х Я —> Kv(H) удовлетворяет следующим условиям:

(Ft) мультифункция F: R х Я —> Kv(H) Т—периодична по первому аргументу, т.е.,

F(t,y) = F(t + Т,у) для п.в. i € R, и любого у € Н;

(FI) для каждого у 6 Я мультифункция F(-,y): [0,Т] —> Kv(H) имеет измеримое сечение;

(F2) для п.в. t 6 [0,Т] мультиотображение F(t, ■): Я —► Kv(H) полунепрерывно сверху;

(F3) существует функция <р € L\[0,T\ такая, что

<¥>(*)(!+ 1МЫ,

для всех у € H и п.в. t 6 [О, Т].

Назовем Т—периодическим решением включения (3) такую функцию х € Я), которая удовлетворяет (3). Заменим включение (3) включением

Ах е VF{x),

где A: Я) ->• L2(J, Я), Ах = х', и С(1, Н) Cv(L2(I, Я)) является

мультиоператором суперпозиции.

Непрерывно дифференцируемый функционал V: H R называется невырожденным потенциалом, если существует го > 0 такое, что градиент VF(x) = ifcf^ • • ■ ) не обращается в нуль при всех ||х||я > г0, где

х - {хих2, ■■■ ,х„, •••) 6 Я.

Определение 6. Непрерывно дифференцируемый функционал V называется проекционно-однородным потенциалом, если существует такое щ € N, что

P„W(s) = W(Pnx)

для любого n > щ и любых X 6 Я.

Из Определения 6 следует, что если V - невырожденный проекционно-однородный потенциал, то поле

P„W: Я -> Я„,

X " (Xj, • * • , Xn, Xn-rl, ' ' ' ) € Я,

не обращается в нуль на границе dB^\o,r) = дВц(0, г) П Я„ для всех п>щ и г > го- Тогда топологическая степень

vn = deg(PnVV,Bp(0,r)), n > щ,

корректно определена и не зависит от г > го-

Индекс невырожденного проекционно-однородного потенциала V определяется следующим образом

indV = (и^Ущ+и---)-12

Под indV ф 0 понимаем, что существует подпоследовательность {n,t} такая, что v„k Ф 0 для всех щ.

Определение 7. Проекционно-однородный потенциал V: Н —> R называется интегральной направляющей функцией для включения (3), если существует достаточно большое N > 0 такое, что для любого х € Иу'2(/, Н) из

||z||2 > N, ||x'(s)||H < |^(5,х(5))||я для п.в. s е I

следует

Urn»-»«, sign Qf (P„VV(x(s))J(s))Hds^ = 1

для тех / € Vf{x) таких, что ||/||2 > ||х'||2.

Если V является интегральной направляющей функцией для включения (3), то V является невырожденным потенциалом и определен его индекс.

Теорема 4. Пусть выполнены условия (Fl) — (F3) и {Ft). Предположим, что существует интегральная направляющая функция V для включения (3) такая, что indV ф 0. Тогда если мультиоператор Vf обладает свойством А—разрешимости, то включение (3) имеет Т—периодическое решение.

Следующие утверждения показывают некоторые достаточные условия А—разрешимости мультиоператора Vf-

Теорема 5. Пусть гильбертово пространство Н компактно вложено в банахово пространство Y. Предположим, что мультиотображение F: IxY -> P{Y) удовлетворяет условию:

(F) для п.в. t 6 [0, Т] мультиотображение F(t, •): У P(Y) полунепрерывно сверху.

Дополнительно предположим, что сужение F\UH принимает значения в Kv{H) и мультиотображение F = F|JxH: I х Н —> Kv{H) удовлетворяет условиям (Fl), (F3). Тогда мультиоператор Vf обладает свойством А—разрешимости.

Теорема 6. Пусть мультиотображение F: I х Н Kv(H) удовлетворяет условиям (F1) и (F3). Тогда мультиоператор Vf обладает свойством А—разрешимости при выполнении каждого из следующих условий:

(1г) для п.в. t е I мультиотображение F(t, •): Н Kv(H) слабо полунепрерывно сверху в том смысле, что: если хп Xq, то для любого е > 0 найдется та кое N(e,t) > 0, что F(t,x„) С Os(F(t,x о)) для всех n > N(e,t);

(2г) мультиотображение F удовлеторяет условию (F2) и существует qo > О такое, что для каждого п > qo сужение мультиотображения F(t, •) на Нп принимает значения в Kv(fín) для п.в. te I.

Пусть fi - окрытое ограниченное множество в R" с липшицевой границей; через ,Р(Г2) мы обозначим подпространство всех функций из Wk,p(Q), которые обращаются в нуль на díl.

В последней главе изучается глобальная структура множества решений следующего семейства включений

Au + д(и,р) € Ф(и,м), м 6 R, (4)

при следующих предположениях4:

(Al) A: domA := ПW01,p(n) 1/(9.) является линейным фредгольмо-

вым оператором нулевого индекса и р > 2 и 2р > п;

(.42) А самосопряжен в том смысле, что

< Ли, v >£,=< v, Аи >i

для всех n,ti £ domA, где <u,v>l— fnuvdx;

(A3) dimKerA = 1 и ы е domA, ||w||p = 1, является базисным элементом КегА;

(gl) отображение д: С (О.) х Е —> 1?( П) непрерывно и ограничено на ограниченных множествах и р(0, р.) = 0 для всех р € R;

(g2) существует е0 > 0 такое, что для любого к > 0 найдется такое № > О, что

\\g(u,p)~ д(и,р')\\р< к при \р-ц'\ < ¿I1' и (u,p),(u,p') е Вс{0,£0) х [-£0,£о];

(Ф1) мультиоператор Ф: C(fi) xR Cv(Lp(fi)) полунепрерывно сверху и ограничен на ограниченных множествах и 0 е Ф(0,р) для всех р. € R;

4Obukhovskii V., Zecca P. and Zvyagin V. On some generalizations of the Landesman-Lazer theorem // Fixed Point Theory, 8(2C07), no. 1, 69-85.

(Ф2) для любого /с > 0 существует > 0 такое, что

Л(Ф(и,аО,Ф(м,аО) < К

при \/л - ¡j!\ < 5п] и (и, ц), (и, ц') G Вс{ 0, £о) х [-со, е0], где £о - константа из (д2).

Пара (и, ц) 6 domA х R называется решением семейства (4), если существует функция / € Ф(и,/л) такая, что

Ли + р(ы,/х) = /.

Обозначим через S множество всех нетривиальных решений семейства (4).

Теорема 7. Пусть выполнены условия (Al) - (АЗ), (gl)-(g2) и(Ф1)-(Ф2). Дополнительно предположим, что

(дЗ) существуют /? > 0 в функция h: [—его, 0) U (0, £0] —» (0, +оо) такие, что

I <g(u,n),u>L \>h(fj.)\\u\\$,

при (и,ц) 6 Вс(0, £о) х t-£o>£o], ^ Ф 0, где £о > 0 - константа из (д2) и (Ф2);

(д4) если а ф 0, (i ф 0 я значение |a/i| достаточно мало, то

a\i < д(аи,ц),ш >L > 0;

(ФЗ) существуют с > 0 и а > /? такие, что

при (и,ц) € Яс(0,£о) х [—£о,£о], I1 Ф гДе

||Ф(и,М)||2=8ир{||/||2:/еФ(И,р)}.

Тогда существует связное подмножество 7Z С S такое, что (О,0) е TZ и либо TZ неограничено, либо (О, /I») € К для некоторого ц, ф 0.

Автор глубоко признателен профессору Обуховскому В.В. за научное руководство и постоянное внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Нгуен Ван Лой. Интегральные включения типа Гаммерштейна в банаховом пространстве / Нгуен Ван Лой // Дифференциальные уравнения и топология. Тезисы докладов. - Москва. - 2009. - С. 155.

[2] Нгуен Ван Лой. Глобальная бифуркация положительных решений уравнений, содержащих линейные фредгольмовы операторы и разрывные нелинейности / Нгуен Ван Лой // Современные проблемы прикладной математики и математического моделировния. Материалы III международной научной конференции. - Часть 2. - Воронеж: "Научная книга".- 2009. - С. 155-156.

[3] Нгуен Ван Лой. О применении метода интегральных направляющих функций к задаче о бифуркации периодических решений дифференциальных включений / Нгуен Ван Лой // Вестник Тамбов, ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. - 2009. - Т. 14, вып. 4. - С. 738-740.

[4] Nguyen Van Loi. On the global bifurcation for solutions of linear fredholm inclusions with convex-valued perturbations / Nguyen Van Loi and Valeri Obukhovskii // Fixed Point Theory. - 2009. - Vol. 10. - No. 2. - P. 289-303.

[5] Нгуен Ван Лой. О применении метода направляющих функций к задаче о бифуркации периодических решений дифференциальных включений / Нгуен Ван Лой, В.В. Обуховский // Вестник РУДН. Сер. Математика, Информатика, Физика. - 2009. - №. 4. - С. 14-24.

[6] Нгуен Ван Лой. Метод направляющих функций в гильбертовом пространстве / Нгуен Ван Лой // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2010. Тезисы докладов. - Воронеж: ВорГУ. - 2010. - С. 108.

[7] Нгуен Ван Лой. Метод направляющих функций для дифференциальных включений в гильбертовом пространстве / Нгуен Ван Лой // Дифференциальные уравнения. - 2010. - Т. 46. - №10. - С. 1433-1443.

[8] Nguyen Van Loi. On global bifurcation of periodic solutions for functional differential inclusions / Nguyen Van Loi and Valeri Obukhovskii // Functional Differential Equat. - 2010. - Vol. 17. - No. 1-2. - P. 161-172.

Работы [4], [5], [7] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.

Подписано в печать 09.11.2010 г. Формат 60x84'/16. Печать трафаретная.

Гарнитура "Тайме". Усл. печ. л. 1. Уч.-изд. л. 0,93. Заказ 228. Тираж 100 экз.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Воронежский государственный педагогический университет".

Отпечатано с-готового оригинала-макета в типографии университета.

394043 г. Воронеж, ул. Ленина, 86. Тел. (4732) 55-58-32, 55-61-83.

Введение

1 Предварительные сведения.

1.1 Обозначения и некоторые сведения из функционального и многозначного анализа.

1.2 Элементы теории бифуркаций для мультиотображений

2 Задача о глобальной бифуркации периодических решений дифференциальных включений

2.1 Глобальная бифуркация периодических решений дифференциальных включений.

2.1.1 Постановка задачи.

2.1.2 Глобальная структура ветви нетривиальных решений при р = 1.

2.1.3 Глобальная структура ветви нетривиальных решений при р = 2.

2.2 Глобальная бифуркация периодических решений функционально - дифференциальных включений

2.2.1 Постановка задачи.

2.2.2 Глобальная структура ветви нетривиальных решений.

2.3 Пример

3 Метод направляющих функций для дифференциальных включений в гильбертовом пространстве

3.1 Обозначения и определения.

3.2 Постановка задачи.

3.3 Основные результаты

3.4 Пример.

4 Глобальная бифуркация решений линейных фред-гольмовых включений с выпуклозначными возмущениями

4.1 Постановка задачи.

4.2 Глобальная структура множества нетривиальных решений

Применение геометрических и топологических методов нелинейного анализа к исследованию различных вопросов теории операторных и дифференциальных уравнений имеет давнюю историю и восходит к именам А. Пуанкаре, Л. Брауэра, П.С. Александрова, Г. Хопфа, Ж. Лере, Ю. Шаудера. Дальнейшее развитие эти методы получили в трудах М.А. Красносельского, H.A. Бобылева, Ю.Г. Борисовича, П.П. Забрейко, В.Г. Звягина, А.И. Перова, А.И. Поволоцкого, Б.Н. Садовского, Ю.И. Сапронова, В.В. Стрыгина, К. Deimling'a, L. Gorniewicz'a, J. Mawhin'a и многих других исследователей.

С помощью указанных методов оказалось возможным эффективно решать такие важные задачи теории дифференциальных уравнений как вопросы существования решений и существования периодических решений, анализ топологической структуры множества решений, исследование непрерывной зависимости решений от начальных данных и параметров и другие проблемы.

Начиная со второй половины XX века эти методы распространяются на теорию дифференциальных включений. Развитие теории дифференциальных включений связано с тем, что дифференциальные включения являются удобным аппаратом для описания управляемых систем различных классов, систем с разрывными характеристиками, изучаемых в различных разделах теории оптимального уравления, математической физики, математической экономики и др. Различные задачи теории дифференциальных включений были изучены с помощью методов нелинейного и многознаного анализа в работах Ю.Г. Борисовича, Б.Д. Гельмана, А.Д. Мышкиса, В.В. Обуховского, М.И. Каменского, А.И. Поволоцкого, A.B. Арутюнова, В.Г. Задорожного, А.И. Булгакова, E.J1. Тонкова, A.A. Толсто-ногова, В.В. Филиппова, J.P. Aubin'а, А. Cellina, К. Deimling's, L. Gorniewicz'a, Р. Nistri, N.S. Papageorgiou, P. Zecca и других.

Важное место в исследовании дифференциальных и функционально - дифференциальных включений занимают задачи о существовании периодических решений и задачи о глобальной структуре множества периодических решений. Для изучения этих вопросов потребовалось развитие ряда важных разделов анализа многозначных отображений.

Существенную роль здесь играет теория топологической степени многозначных отображений. Разработке этой теории для вполне непрерывных многозначных отображений с выпуклыми значениями были посвящены труды Ю.Г. Борисовича, Б.Д. Гельмана, А.Д. Мышкиса, В.В. Обуховского, A. Cellina, A. Granas'a, A. Lasota и другие.

Одним из наиболее эффективных средств решения задач о периодических колебаниях является метод направляющих функции, разработанный М.А. Красносельским, А.И. Перовым, H.A. Бобылевым и др. Сущь этого метода заключается в том, что топологическая степень многозначного отображения может быть оценена индексом.соответствующей направляющей функции. Различные модификации этого метода можно найти в работах А.И. Перова, В.В. Обуховского, C.B. Корнева и L. Gorniewicz'a. Применение метода направляющих функций для изучения глобальной структуры множества периодических решений дифференциальных включений впервые изложено в работе W. Kryszewski.

Настоящая диссертационная работа посвящена дальнейшей разработке геометрических и топологических методов нелинейного многозначного анализа и их приложениям к задачам о существовании периодических решений и о глобальной структуре множества периодических решений дифференциальных и функционально-дифференциальных включений.

Существование ветви нетривиальных решений операторных уравнений, выходящей из точки бифуркации было изучено М.А. Красносельским (см. [30]). Теорема о глобальной структуре множества решений операторных уравнений была доказана в работе Р.Н. Rabinowitz'a (см. [38]). Отметим, что в дальнейшем топологические методы в теории бифуркаций применяли в своих работах также H.A. Бобылев, Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, М.И. Каменский, A.M. Красносельский, Ю.И. Сапронов, Е. Dancer, J. Marsden, L. Gorniewicz, W. Kryszewski и многие другие исследователи. Результаты М.А. Красносельского и Р.Н. Rabinowitz'a были обобщены в работе J.C. Alexander'a и P.M. Fitzpatrick'a (см. [9]) для включений. Отметим, что основная трудность в этой задаче возникает при вычислении бифуркационного индекса.

В данной диссертационной работе рассматривается приложение метода направляющих функций для изучения глобальной структуры множества периодических решений дифференциальных и функционально-дифференциальных включений. В диссертации вводятся новые определения направляющей функции и получаются новые результаты. Эти результаты показывают, что метод направляющих функций является эффективным средством не только для решения задач о периодических колебаниях, но и для изучения глобальной структуры множества периодических решений.

Однако до сих пор все развития этого метода касались лишь дифференциальных уравнений и включений в конечномерных пространствах. В данной диссертационной работе предлагается новый подход к распространению этого метода на бесконечномерное гильбертово пространство и его применения к доказательству существования периодических решений дифференциальных включений.

В последней главе диссертации рассматривается задача о глобальной структуре множества решений линейных фредгольмовых включений с выпуклозначными возмущениями. Такие включения естественно возникают при изучении уравнений с разрывными нели-нейностиями. Примером может служить проблема Лаврентьева об отрывных течениях и др.

Пусть X - банахово пространство; Р{Х) [Су(Х), Ку(Х)] обозначает совокупность непустых [соответственно: непустых выпуклых замкнутых, непустых выпуклых компактных] подмножеств X. Символами С([0,Т],Х) [Ьр([0,Т],Х)] обозначаются пространство всех непрерывных [соответсвенно: р—суммируемых] функций на [О, Т] со значениями в X, р > 1. Для любого х € С([0,Т],Х) и любого / € Т],Х), их соответствующие нормы определяются обычным образом:

1.

Ис=ши|К*)1Ьг и ||/||р=Ц||/М|&а)'.

Обозначим через Wk,F([0,T],X) пространство Соболева с нормой

Пусть Wf,'p([0,T\,X) [Ст([0:Т],Х)] - подпространство всех функций х € Wk'p([0,T],X) [соответственно, х G С([0,Т],Х)] таких, что ж(0) = х(Т). Шар радиуса г в X обозначается символом Вх{0,г). Приведем обзор содержания диссертации по главам. Первая глава носит вспомогательный характер и посвящена изложению необходимых понятий и утверждений функционального анализа, теории многозначных отображений и теории бифуркаций.

Вторая глава состоит из двух параграфов. В первом параграфе рассматривается семейство дифференциальных включний x'(t) € F(t,x(t),ti), для п.в. t Е R, \i € JR. (1)

Предположим, что мультиотображение F: R х Mn х К —> /<г>(Мп) удовлетворяет следующим условиям:

Ft) мультифункция F: К х ln х R -у I<v(Rn) Т-периодична по первому аргументу, т.е.,

F(t, у, fi) = F(t + Г, у, /л) для п.в. t е Ж и любого (у, /л) eRn х Ж;

F1) мультифункция F(-,y}fi): [О, Г] —> Ку(Шп) имеет измеримое сечение для каждого (у, ¡л) € Rn х R;

F2) для t = 0 и п.в. t е (0,Т] мультиотображение F(t, •): Rn х R —> Kv (Rn) полунепрерывно сверху;

F3) для любого непустого ограниченного множества П С i" х 1 существует такая неотрицательная функция Iiq G Lp([0, T]; К), что для всех (у, /i) еПи п.в. t G [О, Т], где ll-Ffo У> = max{||z||Rn : 2; G F(t, у, /¿)};

F4) О G F (s, 0, ц) для всех дбКи п.в. s G [О, Г];

F5) существует Го > О такое, что для каждого к, > 0 найдется 77 > 0 такое, что для всех (у,^), (т/,^) G BR»(0, r0) х [ц0-г0, (¿o+r0], \fJt-fj/\ < 77 и п.в. t G [О, Т], где fio G К. - заданное число и /г - метрика Хаусдорфа в Kv(Еп);

F6) для каждого 0 < I// — /iq\ < г0, где г0 - константа в (F5), существует достаточно малое е^ > 0 такое, что если {х, является нетривиальным решением семейства (1) с начальным условием ж(0) = 0, то ЦжЦс > £ц.

Под Т—периодическим решением семейства (1) будем понимать пару (x,fjt) G W^'p([0,T],Rn) х R, удовлетворяющая (1).

Определение 1. При каждом ¡1 G M, непрерывно дифференцируемая функция Уц : Rn —>• Ш называется направляющей функцией для включения (1), если существует достаточно малое т}1 > 0 такое, что для любого у Е гс, /л):

0 при Ь = О и п.в. £ € (О,тД О < ||ж||Кп <

О при п.в. I е [г^Т].

Из данного определения сразу следует, что если Уи. - направляющая функция включения (1), то Уц является невырожденным потенциалом, т.е. существует достаточно малое г^ > 0 такое, что градиент \7У^{х) Ф 0 при 0 < ЦжЦ^п < гИз свойств топологической степени вытекает, что степень невырожденного потенциала <1ед(ЧУц,В№п(0,г')), не зависит от г' е (0,г^). Это общее значение степени называется индексом невырожденного потенциала и обозначается гпд, VОбозначим через <5 множество всех нетривиальных Т—периодических решений семейства (1). Будем изучить глобальную структуру множества ¿> при двух случаях значения р, где р - константа в (^3).

При р = 1:

Теорема 1. Пусть выполнены условия (.Р1) — (^6) и (^г)- Предположим, что для каждого ¡л, 0 < — ¿¿о| < то, гДе го - коэффициент в (-Р5), существует направляющая функция Уц для включения (1) такая, что

Ит Уц — Ит гпй Уцф 0.

Тогда существует связное множество ^ С 5 такое, что (0, //о) Е и либо 71 неограничено, либо (0, //*) Е 71 для некоторого /л* Ф /¿о

При р = 2: Пусть мультиотображение ^ удовлетворяет условиям (.Р1) и (^3) — (.Р5). Дополнительно предположим, что

F2)' для п.в. t е [0,Т] мультиотображение F(t,-,-)'• Г xl полунепрерывно сверху.

Определим мультиоператор суперпозиции

VF: C([0,T],Mn) xR->Ct;(L2([0,T],Rn)) следующим образом:

VF(xtfj) = {/ 6 L/2([0, Т], Rn): f(s) е F(s,x(s)^) п.в. s е [О ,Т]}.

Определение 2. При каждом /iE R, непрерывно дифференцируемая функция Vß: Rn —R называется интегральной направляющей функцией для включения (1), если существует достаточно малое 7г/х > 0 такое, что для любого х 6 Иф2([0, Т],Rn) из о < |М|2 < 7ГМ я II^WIIe« < ||F(í,x(í),m)||r» до» я.в. t € [0,т] следует (VVß(x(s))J(s))ds> О для f 6 Tf(x,/i) таких, что ||a/||2 < ll/lb, где (,) обозначает скалярное произведение в Rn.

Теорема 2. Пусть выполнены условия (Fl), (F2)', (FS) - (F5) и (Ft). Предположим, что для каждого ¡jl, 0 < — < /'о, где го - коэффициент в (F5), существует интегральная направляющая функция Vt, для включения (1) такая, что lim ind Vfj, — lim ind V^^Q.

Тогда существует связное множество TZ С S такое, что (0, /¿о) G 7Z и либо TZ неограничено, либо (0, //*) £ TZ для некоторого /х* ф /¿о

Во втором параграфе рассматривается семейство функционально - дифференциальных включений x'(t) G G(t, xt, для п.в. i G I; // G R, (2) здесь для каждой функции х £ С{\—г, Т], Rn) и каждого t е [0,Т], символ xt € С([—т, 0],Rn) обозначает функцию, определенную следующим образом: xt(e) = x(t -{-в), в € [—т, 0]. Предположим, что мультиотображение

G:Rx C([-r,0],Rn) х R Kv( Rn) удовлетворяет следующим условиям:

Gr) (3 является Г-периодическим по первому аргументу и) = + Т, /х) для всех О,/х) <Е С([-т,0],Г)хКи п.в. t е R;

С1) мультифункция G(-,(p,n): [0,Т] /^(R71) имеет измеримое сечение для каждого (<p,[i) €: С{[—т, 0],Rn) х R;

G2) мультиотображение G(t, •,•): С([-т, 0],Rn) х I -> Kv(Rn) пн.св. для п.в. t € [0,Т] ;

G3) для каждого ограниченного множества Q С С{[—г, 0],Rn) х R существует функция 6 Т] такая, что для всех ((р, ц) £ П и п.в. £ € [0, Г];

G4) 0 € G(i, 0, /л) для всех // 6 R и п.в. t е [0, Т].

12

G5) существуют /i0 6 R и £о > О такие, что для любого к > О найдется 6 > 0 такое, что h(G(t, (р: /х), G(t, <p,fj/)) < к, для п.в. t е [0,Т], при (<р, //), (сp,fi') G С([—т, 0], Rn) х R таких, что

IMIc^o, =max||v?(s)||R„ <£0, ц'е [/ло - £0,/ло + so], \ц-ц'\<5.

При выполнении условий (G1) — (G3) мультиоператор суперпозиции

VG: CT([0,T],R") xR->Cv(L2([0,T],Rn)),

VG{x,v) = {/ € L2([Q, T], Rn): f{s) € G(s,x8,/x) для п.в. s <E [0,T]}, корректно определен и замкнут, где ж обозначает Т—периодическое расширение функции х € Cr([0,T],Rn) на (—оо,Т].

Под Т—периодическим решением семейства (2) будем понимать пару (x,/i) е Ж^^О, Т], Rn) х R такая, что найдется функция / <Е VG(x, ц) и x'{t) = f(t) для п.в. t е [0, Г].

Пусть V: Rn —> R - локально липшицева функция. Для xq G Шп иг/ GMn обобщенная производная V°(xq) ь>) функции V в точке хо по направлению v определяется следующим образом ей + t x xq

14,0

Тогда обобщенный градиент dV(xo) функции V в точке xq определяется так: dV(x0) = {х 6 Rn: (х, v) < у) для любого v 6 Я"} .

13

Известно (см., например [11, 14]), что мультиотображение дУ: Мп —> Р(Шп) полунепрерывно сверху с выпуклыми компактными значениями. В частности, это вытекает, что для каждой непрерывной функции х: [О, Т] —> Мп множество всех суммируемых со второй степенью сечений мультифункции дУ(х(1)) непусто.

Локально липшицева функция У: Мп —М называется регулярной, если для каждых х Е Кп и V Е Мп существует производная по направлению У(х, ь>) и У(х, и) = У°(х, и).

Определение 3. Регулярная функция V: Еп —> Е называется невырожденным потенциалом, если существует г > 0 такое, что 0 ё дУ(х) при

Нетрудно видеть, что если У - невырожденный потенциал, то топологическая степень (1ед(дУ, 0,7У)), где 0 < г' < г, корректно определена и не зависит от г'. Мы также обозначаем эту степень символом т<1 У.

Определение 4. Для каждого ¡1 Е М, регулярная функция У^: Мп —> Ж называется негладкой интегральной направляющей функцией включения (2), если существует ¿>/г > 0 такое, что для любой функции х 6 < II^II2 — и

И*)||Еп < щ, аОНе» для п.в. £ Е [О, Т] выполнено следующее соотношение для всех суммируемых сечений у(з) Е <91^ (ж (й)) я всех f Е /л) таких, что ||/||2 > \\х'\\2.

Обозначим через <5 множество всех нетривиальных Т— периоди

0 < |И|*. < г. ческих решений семейства (2).

Теорема 3. Пусть выполнены (G1) — (G5) и (Gt)• Предположим, что для каждого ц. О < — ¡iq\ < е0, где fio,£o - коэффициенты в (G5), существует негладкая интегральная направляющая функция VM для включения (2) такая, что lim ind Vß — lim ind V^ Ф 0.

Тогда существует связное множество 7Z С S такое, что (0, До) € 7Z и либо 7Z неограничено, либо (0, £ 7Z для некоторого ¡л* Ф ßo.

В третьей главе предлагается новый подход к распространению метода направляющих функций на бесконечномерное гильбертово пространство. Пусть Н - гильбертово пространство с орто-нормированным базисом {вп}^. Для каждого n £ N, пусть Нп - п—мерное подпространство Н с базисом {е^}^ и Рп - проекция на Нп. Для любых х,у £ Н, через (х,у)н обозначим их скалярное произведение в Н.

Определение 5. Пусть Л: W^2(I,H) —> L2(I,H) - некоторый линейный оператор. Мультиотображение Т: C(I,H) P(L2(I, Н)) называется Л—разрешимым, если из существования последовательностей {щ} и {хь}, Xk £ W^2(I,Hnft) таких, что swpk < +оо и ÄXk £ PnkF{xk) следует, что найдется такое х* £ W^2(I, Н), что «/4.3/* £

Рассмотрим дифференциальное включение x'(t)eF(t,x(t)), (3) где мультиотображение F: R х Н —>• Kv(H) удовлетворяет следующим условиям:

Ft) мультифункция F: M x Я —> Kv(H) T—периодична по первому аргументу, т.е.,

F(t, у) = F(t + Т, у) для п.в. t Е R, и любого у Е Я;

F1) для каждого у £ H мультифункция F(-,y): [0,Т] —>• Kv(H) имеет измеримое сечение;

F2) для п.в. t Е [О, Т] мультиотображение •) : Я —>• Kv(H) полунепрерывно сверху;

F3) существует функция <р Е Ь\[О, Т] такая, что

F(t,y)\\H < </?(i)(l + ||з/||я) для всех у Е H и п.в. t Е [О, Т].

Назовем Т—периодическим решением включения (3) такую функцию х Е Wy'2(/, Я), которая удовлетворяет (3). Заменим включение (3) включением

Ах Е PF(x), где А\ Wt'2(I,H) L2(/,Я), Ас = ж', и VF: С(1,Н) Cv(L2(I, Я)) является мультиоператором суперпозиции.

Напомним, что непрерывно дифференцируемый функционал V: Я —> M называется невырожденным потенциалом, если существует го > 0 такое, что градиент VV(x) = , ' ' ' ' ) не обращается в нулевой вектор при \\х\\н > Го, где х = (ж1,ж2, • • • ,ж„, • • • ) € Я.

Определение 6. Непрерывно дифференцируемый функционал V называется проекционно-однородным потенциалом, если существует такое щ 6 Н, что

РпЪУ(х) = V У(Рпх) для любого п > щ и любых ЖбЯ.

Из Определения б непосредственно следует, что если V - невырожденный проекционно-однородный потенциал, то поле корректно определена и не зависит от г > г о.

Индекс невырожденного проекционно-однородного потенциала V определяется следующим образом

Под т<1У ф 0 понимаем, что существует подпоследовательность {п*;} такая, что уПк ф 0 для всех П&.

Определение 7. Проекционно-однородный потенциал V: Н М называется интегральной направляющей функцией для включения (3), если существует достаточно большое N > 0 такое, что для любого х е Иф2(/, Я) из не обращается в нуль на границе дВ^\о,г) = дВн(0,г) П Нп для всех п > по и г > го. Тогда топологическая степень уп = <1ед(Рп\7У, 0, г)), п > п0> ш У = (УПо,УПо+1, • • • )•

И2 > N, ||а/(5)||я < \\Fis, а;(в))||я для п.в. з € I следует limn^oo sign ^jf (PnW(x(s))J(s))HdsSj = 1 для тех f € Vf(,x) таких, что !|я/||2 < Ц/Иг

Если V является интегральной направляющей функцией для включения (3), то V является невырожденным потенциалом pi определен его индекс.

Теорема 4. Пусть выполнены условия (F1) — (F3) и (Ft). Предположим, что существует интегральная направляющая функция V для включения (3) такая, 4ToindV Ф 0. Тогда если мультиоператор Vf обладает свойством А—разрешимости, то включение (3) имеет Т—периодическое решение.

Следующие утверждения показывают некоторые достаточные условия Л—разрешимости мультиоператора Vf

Теорема 5. Пусть гильбертово пространство Н компактно вложено в банахово пространство Y. Предположим, что мультиотобра-жение F: I xY —»■ P(Y) удовлетворяет условию:

F) для п.в. t € [0, Г] мультиотображение F(t, •): У —¥ P(Y) полунепрерывно сверху.

Дополнительно предположим, что сужение F\]yH принимает значения в Kv(H) и мультиотображение F = F\lvlH: I х Н —> Kv(H) удовлетворяет условиям (Fl), (F3). Тогда мультиоператор Vf обладает свойством А—разрешимости.

Теорема 6. Пусть мультиотображение F: I х Н —>• Kv(H) удовлетворяет условиям (F1) и (F3). Тогда мультиоператор Vf обла дает свойством А—разрешимости при выполнении каждого из следующих условий: li) для п.в. t € I мультиотображение F(t, •): Н —> Kv(H) слабо н полунепрерывно сверху в том смысле, что: если хп —^ х0, то для любого £ > О найдется такое N(et) > 0; что F(t, хп) С Oe(F(í, ojo)) для любого n > N(e, t);

2i) мультиотображение F удовлеторяет условию (F2) и существует qo > 0 такое, что для каждого n > qo сужение мультиотоб-ражения F(t, •) на Нп принимает значения в Kv(Hn) для п.в. tel.

Пусть П - окрытое ограниченное множество в1пс липшицевой границей; через W^мы обозначим подпространство всех функций из Wk,p(Q,), которые обращаются в нуль на dfí.

В последней главе изучается глобальная структура множества решений следующего семейства включений

Au + g(u,fj.) <= Ф(и,аО (4) при следующих предположениях (ср. [36]):

Al) A: domA := W2'P(Ü) П LP{Q) является линейным фредгольмовым оператором нулевого индекса и р > 2 и 2р > п;

А2) А самосопряжен в смысле, что Au, V >ь=< V, Аи >¿ для всех u,v € domA, где <u,v >l= fnuvdx;

19

АЗ) ¿гтКегА = 1 и ш € йотА, |М|Р = 1, является базисным элементом КегА;

1) отображение </: С(П) х!^ непрерывно и ограничено на ограниченных множествах и д(0, у) = 0 для всех ¡л € К;

2) существует ео > 0 такое, что для любого к > О найдется такое 6(к1} > 0, что з(у,11,)-д(и,ц')\\р < к при - у'| < <Й1} и (и, (л), (и, ¡л!) 6 Вс{0, £0) х [-^о, £о];

Ф1) мультиоператор Ф: С(Г2) хМ-^ пн.св. и ограничен на ограниченных множествах и 0 £ Ф(0, ¿¿) для всех ¡л 6 М;

Ф2) для любого к > 0 существует № > 0 такое, что г(Ф(и,/л), Ф{и, у!)) < к при - < и (г/,//), (и, у') е Вс( 0,ео) х где £0

- константа из (#2);

Пара (и, у) е <1отА х К называется решением семейства (4) если существует функция / € Ф(и, ¡л) такая, что

Аи + д(и, /л) = /.

Обозначим через «5 множество всех нетривиальных решений семейства (4).

Теорема 7. Пусть выполнены (А1) — (АЗ), (д\) — (д2) и (Ф1) -(Ф2). Дополнительно предположим, что дЗ) существуют (3 > 0 и функция И: [—£о,0) и (О,£о] —> (О, +оо) такие, что

I < >ь | > Ку)\\и\\%, при (и,(л) е Вс{О, во) х [—£о,£о]> А4 О, где £о > О - константа из (02) и (Ф2); ' д4) если а Ф 0, ц Ф О и значение |а/х| достаточно мало, то а/л < д(аи>, (¿),и >ь > О;

ФЗ) существуют с > 0 и а > (3 такие, что

Ф(и^)\\2 < с \\и\\1 при (щц) е Вс(0,£о) х [-£0)£0], ¡1 ф о, где

М>||2 = 8ир{||/||2: / е Ф(и,/л)}.

Тоща существует связное подмножество 71 С <5> такое, что (О, 0) 6 71 и либо 71 неограничено, либо (О, /л*) € 71 для некоторого ф О.

Суммируя вышеизложенное, отметим, что в диссертации получены следующие новые результаты:

1. Изучена взаимосвязь между бифуркационным индексом и индексом соответствующей направляющей функции.

2. Получены результаты о глобальной структуре множества периодических решений дифференциальных включений.

3 Получен результат о глобальной структуре множества периодических решений функционально-дифференциальных включений.

4. Распространен метод направляющих функций на дифференциальные включения в бесконечномерном гильбертовом пространстве.

5. Описана глобальная структура множества решений включений, содержащих линейные фредгольмовы операторы нулевого индекса и выпуклозначные мультиотображения.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на международной конференции "Дифференциальные уравнения и топология" (Москва, 2008г.), III международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования" (Воронеж 2009г.), международной научной конференции "Общие проблемы управления и их приложения" (Тамбов, 2009г.), на Воронежской зимней математической школе им. С.Г. Крейна 2010г., научной конференции студентов физико-математического факультета ВГПУ (2009г. и 2010г.), а также на научном семинаре профессора В.В. Обуховского (ВГУ, 2008г.-2010г.). Основные результаты опубликованы в работах [1]-[8]. Из совместных работ [4], [5] и [8] в диссертацию вошли только результаты, полученные лично диссертантом.

Автор глубоко признателен профессору Обуховскому В.В. за постоянное внимание и советы.

1. Нгуен Ван Лой. Интегральные включения типа Гаммерштей-на в банаховом пространстве / Нгуен Ван Лой // Дифференциальные уравнения и топология. Тезисы докладов. - Москва: 2009. с. 155.

2. Нгуен Ван Лой. О применении метода интегральных направляющих функций к задаче о бифуркации периодических решений дифференциальных включений / Нгуен Ван Лой // Вестник Тамбов, ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Т. 14, вып. 4, 2009. с. 738-740.

3. Nguyen Van Loi. On the global bifurcation for solutions of linear fredholm inclusions with convex-valued perturbations / Nguyen Van Loi and V. Obukhovskii 11 Fixed Point Theory. Vol. 10, no. 2 (2009), p. 289-303.

4. Нгуен Ван Лой. О применении метода направляющих функций к задаче о бифуркации периодических решений дифференциальных включений / Нгуен Ван Лой, В.В. Обуховский // ВестникРУДН. Сер. Математика, Информатика, Физика. Т. 4 (2009), с. 14-24.

5. Нгуен Ван Лой. Метод направляющих функций в гильбертовом пространстве / Нгуен Ван Лой // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2010. Тезисы докладов. Воронеж: ВорГУ, 2010. с. 108.

6. Нгуен Ван Лой. Метод направляющих функций для дифференциальных включений в гильбертовом пространстве / Нгуен Ван Лой // Дифференциальные уравнения, 2010, том 46, №10, с. 1433-1443.

7. Nguyen Van Loi. On global bifurcation of periodic solutions for functional differential inclusions j Nguyen Van Loi and V. Obukhovskii // Functional Differential Equat. Vol. 17 (2010), No. 1-2, p. 161-172.

8. Alexander J.C. Global bifurcation for solutions of equations involving several parameter multivalued condensing mappings / J.C. Alexander and P.M. Fitzpatrick // Lect. Notes Math. 886 (1981), 1-19.

9. Arutyunov A. V. Bifurcation Theorems via Second-Order Optimality Conditions / A. V. Arutyunov, A. F.Izmailov // Journal of Mathematical Analysis and Applications. V.262, p. 564 576 (2001).

10. Бобылев H.A. Геометрические методы в вариационных задачах / Н.А. Бобылев , В. Емельянов, К.Коровин. М.: Магистр, 1998.-658 с

11. Борисович Ю.Г. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский. -М.: КомКнига, 2005. -216с.

12. Chang К.С. The obstacle problem and partial differential equations with discontinuous nonlinearities / K.C. Chang // Comm. Pure Appl. Math. 33(1980), no.2, 117-146.

13. Clarke F.H. Optimization and Nonsmooth Analysis / F.H. Clarke. Second edition Classics in Applied Mathematics 5. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1990.

14. Deimling K. Multivalued Differential Equations / K. Deimling // Nonlinear Analysis and Applications. 1992.

15. Deimling K. Nonlinear Functional Analysis J K. Deimling. -Springer-Verlag, New York (1985).

16. Denkowski Z. An Introduction to Nonlinear Analysis: Theory / Z. Denkowski, S. Migorski, N.S. Papageorgiou. Kluwer Academic Publishers, Boston, MA, 2003.

17. Демьянов В.Ф. Недифференцируемая оптимизация j В.Ф. Демьянов, Л.В. Васильев. М.: Наука, 1981. 384 с

18. Экланд И. Выпуклый анализ и вариационные проблемы / И. Экланд, Р. Темам. Мир, М., 1979.

19. Fonda A. Guiding functions and periodic solutions to functional differential equations / A. Fonda // Proc. Amer. Math. Soc. 99 (1987), no. 1, 79-85.

20. Gaines R.E. Coincidence degree and nonlinear differential equations / R.E. Gaines, J.L. Mawhin // Lecture Notes in Mathematics, no. 568, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1977.

21. Gornierwicz L. Topological fixed point thepry of multivalued mappings j L. Gornierwicz. // Mathematics and its applications. 1999.

22. Kamenskii M. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces / M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca. de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications 7, Walter de Gruyter, Berlin-New York 2001.

23. Kornev S.V. On some developments of the method of integral guiding functions /S.V. Kornev, V.V. Obukhovskii // Functional Differential Equat. 12 (2005), no. 3-4, 303-310.

24. Корнев С.В. О некоторых вариантах теории топологической степени для невыпуклозначных мулътиотобраоюений / С.В. Корнев, В.В. Обуховский // Труды Матем. фак. (нов. сер.), N8(2004), стр. 56-74.

25. Корнев С.В. О негладких многолистных направляющих функциях / C.B. Корнев, В.В. Обуховский // Дифф. уравнения, 39(2003), N 11, стр. 1497-1502.

26. Корнев C.B. О локализации метода направляющих функций в задаче о периодических решениях дифференциальных включений / C.B. Корнев, В.В. Обуховский // Извест. Вузов. Математика, N5(2009), стр. 23-32.

27. Корнев C.B. Негладкие направляющие потенциалы в задачах о вынужденных колебаниях / C.B. Корнев, В.В. Обуховский // АиТ, N1(2007), стр. 3-10.

28. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М. А. Красносельский. Наука, М., 1966.

29. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений / М. А. Красносельский. Гос. изд. технико-теоретической литературы. М., 1956.

30. Красносельский М. А. Об одном принципе существования ограниченных, периодических и почти-периодических решений у систем обыкновенных дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский, А.И. Перов // ДАН СССР. 1958.- Т. 623, No 2. - С. 235-268

31. Красносельский М. А. Геометрические методы нелинейного анализа / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко. Наука, М., 1966.

32. Красносельский М. А. Системы с гистерезисом / М.А. Красносельский, А.В. Покровский. Наука, М., 1983.

33. Красносельский М. А. Об эллиптических уравнениях с разрывными нелинейностиями /М.А. Красносельский, А.В. Покровский // Доклады РАН, 1995. т. 342. № 6. - с. 731-734.

34. Kryszewski W. Homotopy properties of set-valued mappings / W. Kryszewski. Univ. N. Copernicus Publishing, Torun, 1997.

35. Obukhovskii V. On some generalizations of the Landesman-Lazer theorem / V. Obukhovskii, P. Zecca and V. Zvyagin // Fixed Point Theory, 8(2007), no. 1, 69-85.

36. Триногин В.А. Функциональный анализ / B.A. Триногин. M. Наука. 1980.

37. Rabinowitz P. Some global results for nonlinear eigenvalue-•problems / P. Rabinowitz // J. Funct. Anal. 7(1971), 487-513.

38. Шварц JI. Анализ / Л. Шварц. Мир, М. Т. 1, 1972.