Многолистные направляющие функции в задаче о периодических решениях дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

А* # Я \

ч

На правах рукописи

РАЧИНСКИЙ Дмитрий Игоревич

*лм0г'г»ттт*сгг'"г-т1л «Аттрлпттсгтпттд!?

А* А А А Ч/А Л ' Л. Л Ж Л -М.Л |кДЛА Л Ь«^ »Ж^А&ч^ » I ^л Ж.

ФУНКЦИИ В ЗАДАЧЕ О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - Дифференциальные уряпненпя

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кйндидата физико-математических наук

Москва - 1996 г.

Рибота выполнена в Институте проблем передачи информации РАН.

Научные руководители: академик РАН, доктор технических наук, профессор Кузнецов H.A. доктор физико-математических наук, профессор Красносельский М.А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Костючекко А.Г. доктор физико-математических наук, профессор Мышкис А.Д.

Ведущая организация: Институт проблем управления РАН.

Защита состоится '/" Hod/i^J>J 1Q96 года о час. SO мин. на заседании диссертационного совета К U53.22.23 в Российском университете дружбы народов

по адресу: 117923 г.Москва, ул. Орджоникидзе, 3, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского университета дружбы народов (117198 г. Москва,<ул. Миклухо-Маклая, С).

Автореферат разослан "

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физ.-мат. наук, доцент £ f^^fjjClt ilil^~~ МВ.Драгнев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из важных направлений теории дифференциальных уравнений является исследование различных задач о вынужденных и свободных периодических колебаниях.

Детально изучены различные схемы малого параметра, включая асимптотические методы. Существенно менее разработана нелокальная теория вынужденных колебаний. Здесь можно указать книги Б.П.Демндови-ча, М.А.Красносельского, В.А.Плнсса, Е.Н.Розенвассера и др. В нелокальной теории важную роль играют методы интегральных уравнений, метод контура Важевского и метод направляющих функций, п основной части предложенный и разработанный М.А.Красносельским п его учениками: Н.А.Бобылевым, А.Б.Кущевым, Е.А.Лифшицем, Э.М.Мухам-мадиевым, А.Й.Перосым, А.Й.Поволоцким, Б.Н.Садовским, В.В.Стрыгн-ным и др. Существенный вклад в развитие метода направляющих функций внесли А.М.Красносельский, Л.Ма\уЬт и Др.

Метод направляющих функций нашел приложения ие только к анализу периодических обыкновенных дифференциальных уравнений; он оказался эффективным и при анализе уравнений с распределенными параметрами и уравнений с гистерезнсными иединейностямп.

Важный класс составляют дифференциальные уравнения, возникающие в результате возмущений (возможно, "больших") линейных систем. Основные известные результаты относятся К случаю, когда соответствующие однородные линейные уравнения не резонансны.. В связи с этим актуальна проблема развития методов исследования задач о вынугсденч • ных периодических решениях систем близких в том мяч ппом смысле (по не в смысле равномерной близости) к резонансным лакг^гиг*. ::г темам. Попытке разработать такой метод посвящена двссертэгзта-.ггл:! работ.

Цель работы. Разработка нового метода, позволяющего доказывать новые теоремы существования вынужденных периодических колебаний у различных классов нелинейных систем с основной линейной резонансной частью, а также обосновывать реализуемость и сходимость процедур типа гармонического баланса приближенного построения этих колебаний.

Методы исследования. Использованы методы качественной теории дифференциальных уравнений (оператор сдвига, дифференциальные неравен тва и др.); метод Направляющих функций; топологические методы нелинейного анализа (нелинейные операторные уравнения, вращение

г ■

векторных полей, принципы родственности); теория систем с запаздыванием и систем с гистерезисом; метод импульсно-чнстотных Характеристик в теории систем управления.

Научн1ая Новизна диссертации. Введен в рассмотрение новый класс направляющих функций - многодистнце направляющие функции, однозначные на Некоторых простых римано&ых поверхностях. В терминах существования многолистных направляющих функций указаны новые условия существования вынужденных периодических колебаний, обеспечивающие одновременно реализуемость И сходимость метода гармонического баланса. Указаны приложения общих теорем о Вынужденных периодических колебаниях к анализу колебаний в одноконтурных нелинейных системах управления.

Развит метод применения многолистных направляющих функций к исследованию периодических колебаний в системах с запаздыванием и системах с пк терезисной нелинейностью, описывающей изменение индукции магнетика в переменном внешнем Магнитном поле (здесь использо-а«ип основанная на теории дислокаций феноменологическая модель, ко-гирух> предложили ГЭ.Мауегдоуг и С..1.Рпе<1тап).

Работа теоретическая.

Объем п структура диссертации. Работа состоит из введения и пяти параграфов, изложена на 126 страницах. Библиография 59 наименований.

Апробация работы. Отдельные части диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения и приложения" (Москва, 1994), конференции молодых ученых и аспирантов Московского физико-технического института (Москва, 1994), конференции "Современные методы нелинейного анализа" (Воронеж, 1995), на семинарах п Институте проблем передачи информации РАН.

Публикация. По теме диссертации опубликовано 7 работ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

§1 носпт вводный характер. В нем перечисляются рассматриваемые в диссертации задачи. Описываются понятия, связанные с используемым в диссертации оператором сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. Приводятся интегральные уравнения периодической задачи как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для систем с запаздыванием. Параграф включает сводку обозначений и определений, связанных с реализуемостью п сходимостью метода гармонического баланса приближенного построения вынужденных периодических колебаний.

В §2 вводится основное для диссертации понятие многолистной напра- . влягощей функции. Рассматривается векторное уравнение

(2.1) ^ = ¿ей',

где функция F(t, ;) непрерывна по совокупности переменных И Т-перн-

I 1

одична по t. Пусть в R выделены двумерная плоскость R" и дополнительное к ней подпространство К . Фиксируем в Я2 полярную систему координат {<р,р} и положим

П = {{'PtP} '■ Ч> 6 (-оо,оо),/э е (0,оо)}.

ч

Пусть заданы гладкие скалярные функции р), {<р, р] G П, и

V(C), С £ -й'""^, для которых Ö

(2.10) —W{y,p)> 0, {^,р}€П,

(2.11) Щу? + 2тг,/>) - W{<p,p) + 2*t {^р}6П,

(2.12) lim V«) = +оо.

ICH00

Из условия (2.11) вытекает, что векторное поле градиентов- S?W{<PiP) определено на

Рассмотрим в й' область

. = {z€Rl: V(Pz) < v,Pl < \Qz\ < p2},

где V > vio = min V(C),/>2 > PI > 0- Пусть Q оператор проектирования на плоскость Н? вдоль подпространства а Р — I ~ Q. Положим

(2.13) Ä si«P (vW{Qz),QF{t,z))f

zeil{v,pi .д.)

(ZU) ßv,PX,n{t) = inf (vV^(^),QF(i,2)).

i6ftt\p\.P-I)

Определение. Пару функций р)}, обладающих свой-'

ствами (2.10)-(2.12), будем называть многолистной векторной направляющей функцией для уравнения (2.1) о области Л(и,р1,р2)> V > 1»о» Р2 > Р\ > 0, если выполнены следующие условия:

(2.15) нир -¡^г-т-< ——,

(2.16) (г)) < 0, У(Рх) > V, \Яг\ < р2, ■

Г г

(2.17) 2я(М - 1) < / а^рир2{т)атг10и,р,.ра(т)А- < 2тгЛГ;

О О

зйхь АГ - целое число, в сг«^,,^), А,^,,^) ~ функции (2ЛЗ)-(2.Ц). положим .

= {г € Я': У(Яг) < м,\Яг\ < р}.

Основной результат параграфа составляет

ТЪсрома 3.1. Пусть функция г) непрерывна по совокупности переметах о Т-периодична по I. Пусть для уравнения (2.1) можно указать .чноголистнуа аскторпух> направляющую функцию в области П(и,р1,рз)| V > Уд, р2 > р{ > 0. Тогда это уравнение имеет по крайней мере одно Т-периодтесксе решение 2*(£) 6 (р\ + р2)/2).

Пря Доказательстве Теоремы 2.1 Используется понятие вращения конечномерных геяторпых по.чгй, эквивалентное степени отображения; это понятие было введено П.С. Александровым, В параграфе приводится прп-• мер приложения теоремы 2.1 к анализу системы вида

где функцня z) равномерно ограничена. Линеаризованное уравнение г' = Аг предполагается резонансным.

§3 посвящен основному приложению теоремы 2.1. В нем изучаются вынужденные колебания в одноконтурной системе управления, которая описывается уравнением

(3.1) од® = /,1(р)/(*,х), х е я1.

Здесь р =

\

Ь(р) — р' + с^р'-1 + ... + а/,

Ь1(р) = аЪрт + а\р'»-1+... + а}п

и / > т; функция непрерывна по совокупности переменных и

Г-периадична по ¿. Предполагается, что многочлен Ь{р) имеет пару простых корней

, . , .27ГП0 4

(3.2) • л1)2 =

где По - натуральное число,, а остальные его коран лежат слева от мнимой оси: ПеА; < 0, 3 - 3, ...I.

Дня исследования вынужденных колебаний применяется мети" пространства состояний, восходящий к Р.Калману, А.Арбнбу, Л.Заде. Задача свидится к анализу Т-периодическкх решений векторного уравнения

(3.9) ^=Лг+6/(Мс,г)), г 6

где г - сос тчанне системы управления. Матрица А и вектор].! 6, с определяется по многочленам .¿(р), Ь\(р); собственные значения матрицы А сошшд^мт с корнями А^ многочлена Ь(р).

п

Пусть П. - собственное подпространство матрицы А, отвечающее паре ее мнимых собственных значений (3.2), а В}~^ - дополнительное к Я2 инвариантное подпространство матрицы А. Положим

ХО = (с,АЬ°),

где о - проекция вектора О на плоскость Я2 вдоль К . Обозначим через М множество непрерывных скалярных функций т(х),х & Я1, удовлетворяющих условиям

(¡) хт(х) >0, 1^0,

(и) функция |ж|ш(а;) не убывает при х € Я1',

(ш) функция |ж(_1т(х) не возрастает на каждом из интервалов

(—оо, 0) и (0, оо). Теорема 3.1. Пусть

/(¿,х) = /о(х) + и(0,

?де функция и(£) непрерывна и Т-периодична, а /о(х) 6 ЛЛ. Пусть Х() ф 0 и верны соотношения

«Ж ^ = 1ДИ = о. •

.Г-+-00 х Х-+СО х Тогда уравнение. (3.1) имеет хотя бы, одно Т-периодическое решение.

Теорема 3.1 является частным случаем более сложно формулируемого утверждения.

ТЪорема 3.2. Пусть

sguar g(t)x) > egax т(ж), t € Я1, \x\ > xq > 0,

где m(x) (E M., а функщм Л/(г),Г > 0, непрерывна и не убывает, причем

Пусть, наконец, ХО ф 0- Тогда уравнение (Н. 1) имеет хотя бы одно Т'Периодическое решение.

Постоянные , И в теоремах 3.1, 3.2 эффекти&но, хотя и достаточно громоздко, определяются по многочленам Ь(р), Ь\(р) И периоду Т. Доказательство основано на переходе к эквивалентному (3.1) > равнению

I 1

(3.9) п Пространство Л состояний рассматриваемой системы управления и методе многолнетных направляющих функций.

В §4 доказывается, что в условиях Теорем 2.1, 3.1, 3.2 метод гармонической» баланса приближенного Построения Т-периодйческих решений реализуем и сходится. Метод гармонического баланса является частным случаем общих проекционных процедур. Первое доказательство сходимости для линейных задач было предложено М.В.Келдышем. Применения к нелинейным задачам, по-видимому, впервые указаны А.И.Л\рье и

А.И.Чекмаревым. Общие теоремы о реализуемости и сходимости проекционных процедур для нелинейных операторных уравнений указаны М.А.Красносельским. Метод гармонического баланса специально для систем управления изучался в важных работах В.И.Бабицкого, В.Л.Крупе-нина, Н.А.Бобылева, Е.С.Пятницкого и др.

Результаты параграфа составляют следующие два утверждения.

Теорема 4.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Тогда метод гармонического Рпланса приблихссииого построения Т•периодических решений уравнения (2.1) реализуем и равномерно сходится (то есть сходится по норме пространства С).

ТЬорема 4.2. Ilycviь выполнены условия теоремы 3.2. Тогда метод гармонического баланса приближенного построения Т-периодических решений уравнения (8.1) реализуем м равномерно сходится.

Теорема 4.2 Не является прямым следствием теоремы 4.1. Это связано с тем, что при построении приближений в виде гармонических многочленов с гармониками До порядка к в случае векторного уравнения (2.1) составляется И решается система l(2k +1) скалярных уравнений с 1) неизвестными, п в случае уравнения (3.1) задача сводится к системе лишь 2к + 1 скалярных уравнений с 2к + 1 неизвестными.

Метод многолистных направляющих функций применим не только к обыкновенным дифференциальным уравнениям. В §5 эта идея иллюстрируется приложениями К анализу простейших систем с постоянным запаздыванием h > Он систем с гистерезисной нелинейностью Маергойза- • Фридмана (I.D.Mayergoyz - G.J.Friedman), описывающей связь между индукцией магнетика и внешним переменным магнитным полем. Уравнения с запаздывающим аргументом были выбраны по той причине, «то в насто-

ящее время их теория привлекает внимание многих специалистов. Уравнения с гистерезисом - это сравнительно новое направление в нелинейном анализе. Разработке математической теории гистерезисной нелинейности, использованной в диссертации, посвящены статьи [1-3].

Результаты §5 основаны на применении модифицированных много-листных направляющих функций. Модификация заключается в переходе от оценок (2.15)-(2.17) для функции г) к таким же оценкам для функции равномерным по переменной у. Вначале рассматривается уравнение

(5.1) *,*(«-Л)), ^й',

где функция г, у) непрерывна по £,2, у и !Г-периодична по Ь с периодов Т, > И.

ТЬорема 5.1. Пусть для уравнения (5.1) можно указать модифицированную многолистную векторную направляющую функцию. Тогда это уравнение имеет по крайней мере одно Т-периодическое решение.

Доказательство теоремы 5.1 основано На известных теоремах родственности, связывающих топологические характеристики различных операторных уравнений, порожденных одной и той же краевой задачей.

В остальной части параграфа изучается система с гистерезисной нелинейностью Маергойза-Фридмана. Обозначим Через 7£[а,/3] неидеальное реле с пороговыми числами а,/3, где а < (3. Входами реле служат непрерывные скалярные функции > ¿о- При каждом < реле мо-

жет находиться в одном из двух состояний: 1 = 1 или X — — 1. При ы(<) € (от,/?) допустимы ба состояния; при и(<) < а состояние равно — 1: при и(/) > (3 состояние равно 1. Каждый вход > ¿о- и допу-

стимое в начальный момент времени £() состояние Х() определят"! закон

- и -

x(t) изменения состояния (или, что то же, выхода) реле 72.[а,/?).. Переменное состояние x[t) допустимо для текущего значения входа u(t) при всех t > ¿о-

Основу нелинейности Маергойзй-Фридманн составляет континуальная система W реле TZ(а, /3, е], где {«,/3} - точка полосы

S = {{а,/?} : а < ¡3 < а + dy/2], ¿>0, '■'

а е - элемент единичной сферы Е = {е 6 Л"1 .' |е| = 1}. Систо-.-нием и> системы W называют заданную на S X Е измеримую функцию и = е) со значениями —1,1. Входами служат произвольные

непрерывные вектор-функции > ¿о, со значениями в Я,п. По

v(t) определяется скалярный вход = (v(t),e) на индивидуаль-

ное реле 7?.[а,/3,е] G W. Состояние а> системы 1У допустимо при некотором значении Vq входа f(t), t > £q, если состояние Xape ~ u>(a,0, е) хаждого реле 1Z\a,(3, е] £ W допустимо при входе UHpc = (vq, е).

Пусть состояние Wq допустимо при начальном значении, входа и(0>' — 'о- Закон изменения состояний отдельных реле определяет закон ii){t) изменения состояния всей системы W. Сохраним обозначение W за оператором вход-состояние

(5.1G) u;(f)'= W[io,u>oM«), .

сопоставляющим входу v(t,) переменное состояние U>(t) = u(t\а, 0, е). Состояние (5.16) остается допустимым для текущего значения входа v(t) при всех t У £q. причем справедливо полугрупповое тождество

Wfto.woMi) = W{th «о <h<t.

Переменный выход ll(t ) гистерезисной нелинейности IV определяется pa-

ш'нством

(5.17) n(t)= И/ti(a,f3,e)W[tQ,uQ]v{t)dadf3de, t > t0, SxE

где функция Ц '. S X E Rm непрерывна и имеет ограниченный носитель. Выход n(t) так же, как и вход v(t), непрерывен.

В анализе задач <i периодичес ких колебаниях важны классы состояний со специальными свойствами, Зададимся числом L > 0 и вектором V() € D(L) = {v6 Rm : M < Lf\J2}. Обозначим через Ф(г0, L) класс с калярных функций V : «М'] X Е Я*, для которых выполнены соотношения

V>(0,e) = v/2(t>0,e),

Mfbil) - V'(^2ie2)l < Kl " 61 + L\ei ~ e2|,

где -d < 1bfr < N. el > e2 € E. Hi к как e) = G

то ty(v{),L) ф 0. Положим

i'UeD(i) ¿>o

Пусть , (5.20) """

где G L) при некоторых Л > 0, ug 6 D(L). Формула

(5.20) <>П|>еделяет непустое множес тво е)) допустимых при входе

t>0 состояний w = w(a,/3, е), причем функции и)(а,0,е) € К(ф({,е)) принимают равные значения при почти всех {а, /3, е} € <S X Е. Состояния U) из множества K(tJ){£, е)) будем считать неразличимыми; состояние (5.20) назовем нормальным и обозначим через е).

Нормальные состояния являются элементами гильбертова пространства L2{[~dfi]xE) суммируемых с квадратом функций ф : [—d, ()] X Е -* Я1. Пусть множество М С L2([—d,Q] X Е) выпукло и замкнуто. Тогда определен оператор V[M} проектирования на М, сопоставляющий каждой точке ф G х Е) ближайшую к ней точку множес тва М. Обозначим через х(^1> хаусдорфово расстояние между ограничен ными множествами Му, М2 С L2([—*

v(M],M2) = !nax{ .sup hif sup inf il^-V'll/.,}-

феМ\ г/>ем2 1 Фем2 ФеМх ■ 1

При доказательстве теоремы о периодических решениях важны следующие свойства классов нормальных состояний.

(i) При каждом L > 0 множества ^(uq, L), где Vo € D(L) — {и € Rm : |f| < Ljу/2}, а также их объединение выпуклы и компактны

eL2(l-d,0]xE).

(ii) Множество ty{v,L) как функция v G D(L) удовлетворяет условию Липшица в метрике Хаус.дорфа:

х(Ф(и1,1),Ф(и2,1)) < y/2dff\vx - v2l vhv2eD{L),

яде (7 • мера сферы 8.

(Ш) При Vi, V2 в D(L) верна оценка

■где а =■■ {8dcr)\, 6(1) = {L + d)y/dcr.

В диссертации приведено доказательство свойств (i)-(iii). Существенную роль играет также инвариантность класса Ф нормальных состояний при произвольных допустимых входах: есди нормальное состояние U>() — il\) допустимо для входа ?'(/), t > i(), В начальный момент В|)емени

t = i(). то переменное состояние (5.1С) остается нормальным при всех t > i(). Отмстим также, что каждому допустимому начальному состоянию и) = ш(ci,(3,e) отвечает такой вход v^{t),t > £q, что состояние (5.1С) при t > ¿q 1 уже лежит в некотором классе Переменные нормальные состояния удовлетворяют оценке

m^>t(t) = W[tlh4>f}vi(t), t>t0.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

(5.27) £ = гея!,

с г истерезисной нелинейностью (5.17). Вход v(t) на нелинейность «предел чет« я |>авенстпом

(5.28) v(t) = g(z(t)),

где «функция д : я} —> Д"1 непрерывна. В полной форме уравнение (5.27) записывает«'Я U виде

(5.29)

v(t) = g(z(t)),

u(t;a,p,e) = W[t0,u(t{))}v(t),

n(t) = fj(ji(a,0,e)uj(t\a,l3,e)dad/3de.

s >■:

Функция F(t, Z, il) предполагается Непрерывной по переменным t, 2, П И 1 -Периодической по t.

Пусть функция z(t) непрерывно дифференцируема, начальное состояние uj(t{)) нелинейно«ти W допустимо при начальном значении vq = g(z(t())) входа (5.28), и равенства (5.29) выполнены при всех ' G ['()>'() + Т]- Тогда пару (2(f),u>(f)} называют решением системы

, (5.29) на отрезке [¿q, tQ + Г]. Вынужденным колебаниям отвечают решения {z(i),w(f)} системы (5.29), для которых

z{tQ + Т) = z(t0), u/(i0 + Т) = w(t0).

ТЪкие решения могут быть периодически продолжены на Л1. Периодическому состоянию u>(t) отвечает периодический выход rt(£) нелинейности

W. .

Основным результатом о периодических решениях является

ТЬорема б.З. Пусть функция F[t^Z,n) непрерывна по совокупности переменных и Т-периодична no t. Пусть для системы (5.29) можно указать модифицированную многолистную векъюрную направляющую функцию. Тогда система (5.29) имеет по крайней мере одно Т-периодическое решение {z(t)yid(t)}, где w(t) нормально при всех t.

Доказательством теоремы 5.3 завершается диссертация.

- 1С -

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Красносельский М.А., Маергойз И.Д., Покровский А.В., Рачинский Д.И. Дифференциальные уравнения с гистсрезйсными нплннгГшо-стями типа векторных систем реле. //Доклады АН СССР. - 1953. -Т. 331. -N4. С. 398 400.

2. Красносельский М.А.; Рачинский Д.И. Инвариантные выпуклые клас сы состояний континуальных гнетем ргле. //Автоматика и телемеханика. - 1994. -N 10. С. 17 2G.

3. Рачинский Д.И. Переход к нормальным состояниям в общих Континуальных системах реле. //Доклады АН СССР. - 1994. - Т. 338. - N4. -С. 457 4GÎ).

4. Rnchinskii D.I. RotntinR guiding functions for periodic systems with delay. // Functional Differential Equations k. Applications: Proceedings of the International Conference, August 11 2l, 1904. - Moscow, 19Э4. - P.03.

5. Рачинский Д.И. Вынужденные колебания в системах уйравлеийя в условиях близхих к резонансу. //Автоматика и телемеханика. - 19Э5. -N11. - С. 87-93.

6. Рачинский Д.И. Направляющие функции нового тиип в задаче о периодических колебаниях в системах управление. // Современные методы нелинейного анализа: 1>з. докл. Всероссийской научной конференция, 26 29 апреля 1995 г. - В..роне», 1995. - С. 76-77.

7. îlachinskii D.I. Multivalent guiding functions in forced oscillation problems. //Nonlinear Analysis. Theory, Methods к Applications. - 1995. -Vol.26. - N3. - P.631-639.

РАЧИНСКИЙ ДМИТРИЙ ИГОРЕВИЧ

МНОГОЛИСТНЫЕ НАПРАВЛЯЮЩИЕ ФУНКЦИИ В ЗАДАЧЕ О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Изучается задача о вынужденных периодических колебаниях для пе-. рподических систем-дифференциальных уравнений. Предлагаются нелокальные теоремы о существовании периодических решений. В условиях теорем существования обоснована сходимость приближенных процедур типа метода Пшеркнна к множеству периодических решений. Разработанный метод основан на использовании нового класса направляющих функций. Результаты применены к исследованию вынужденных колебаний для периодических систем обыкновенных дифференциальных уравнений, систем управления, уравнений с запаздыванием, систем с гистерезисом.

RACHINSKII DMITRIIIGOREVICH

MULTIVALENT GUIDING FUNCTIONS IN PROBLEM ON PERIODIC SOLUTIONS FOR . DIFFERENTIAL EQUATIONS

The problem on forced periodic oscillations is studied for periodic systemn of differential equations. Nonlocal theorems are suggested on the existence of periodic solutions. Under the hypotheses of the existence theorems the convergence is proved for approximation procedures of Galerkin's type to the set of periodic solutions. The approach developed is by using a new class of guiding functions. The results are applied to .study forced oscillations for periodic system« of ordinary differential equations, control systems, equations with delay, systems with hysteresis.