Метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа в теории нелинейных волн в самогравитирующих сжимаемых средах и его приложение к задачам астрофизики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ
|
Зиновьев, Дмитрий Александрович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2011
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
005006278
Зиновьев Дмитрий Александрович
МЕТОД ОБОБЩЕННЫХ ПОДСТАНОВОК КОУЛА-ХОПФА В ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН В САМОГРАВИТИРУЮЩИХ СЖИМАЕМЫХ СРЕДАХ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ К ЗАДАЧАМ АСТРОФИЗИКИ
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 - Теоретическая физика
1
5 ДЕК 2011
Москва-2011
005006278
Работа выполнена на кафедре Теоретической физики Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Ульяновский государственный университет»
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, профессор
Журавлев Виктор Михайлович
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор
Шикии Георгий Николаевич
кандидат физико-математических наук, Курбатов Евгений Павлович
Ведущая организация:
Учреждение Российской академии наук Институт физики атмосферы им. А.Н. Обухова
Защита состоится «17» января 2012г. в 17:00 часов на заседании диссертационного совета Д212.203.34 в ФГБОУ ВПО «Российский университет Дружбы народов» (РУДН) по адресу: 115419 г. Москва, ул. Орджоникидзе д. 3, зал № 1.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГБОУ ВПО «Российский университет Дружбы народов» (РУДН) по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.
Отзывы на автореферат иросим направлять по адресу: 432000, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, д. 42, Ульяновский государственный университет, кафедра Теоретической физики.
Автореферат разослан «'
ел
201
1г.
Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент
Лаптев Ю.П.
Общая характеристика работы
Актуальность работы. Нелинейные волны в сжимаемой среде являются одной из самых распространенных задач теоретической физики, имеющей приложение в различных ее разделах, начиная от физики атмосферы и заканчивая астрофизикой и космологией. Исследование возникновения и распространения ударных волн при различных физических условиях и свойствах среды является типичной задачей в таких исследованиях [4а]. Одной из часто возникающих задач в астрофизике является описание различных явлений, сопровождающихся высвобождением огромных энергий за небольшой промежуток времени в поле тяготения [7а], создаваемом самим веществом исследуемого объекта. К таким явлениям относятся, например, взрывы сверхновых и сбросы оболочек звезд, которые сопровождаются возникновением ударных волн, распространяющихся как внутри звезд, так и в газопылевых облаках и межзвездной среде [8а]. Для космологии одной из фундаментальных задач является описание возникновения крупномасштабной структуры в распределении галактик, которая так же связана с проблемой описания динамики сжимаемой среды в собственном поле тяготения. Поэтому общая задача описания динамики нелинейных волн в сжимаемой самогравитирующей среде является актуальной задачей.
К настоящему времени существует целый ряд математических методов, позволяющих исследовать течения сжимаемой среды в различных частных случаях. Широко распространенным подходом является численный анализ уравнений динамики жидкости. Однако, несмотря на его эффективность, он обладает рядом недостатков, которые заставляют искать новые методы и подходы к решению задач гидродинамики на основе аналитических методов построения их точных решений. Среди таких методов в динамике сжимаемой среды наиболее широко распространенным является метод годографа [4а,19а]. Этот метод для некоторых частных задач применялся к исследованию образования крупномасштабной структуры Вселенной [11а]. Для несжимаемой вязкой среды важное значение имеет метод Коула-Хопфа [12а]. Однако для целого круга задач эти методы либо не могли быть применены, либо в рамках этих методов не всегда удается проанализировать динамику изучаемых объектов с достаточной степенью детальности и наглядности. В связи с этим возникает задача отыскания новых методов и подходов для анализа задач сжимаемой среды, в особенности для решения самосогласованной задачи ее течений в собственном поле тяготения. Таким новым общим методом является метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа [1а], использование которого для задач гидродинамики сжимаемой среды является актуальной задачей физики атмосферы, астрофизики, космологии и других разделов теоретической физики.
Цель работы. Создание методов решения задач динамики сжимаемой жидкости на основе обобщенных подстановок Коула-Хопфа. Построение развитого метода обобщенных подстановок Коула-Хопфа в приложении к задачам гидродинамики самогравитирующих систем. Рассмотрение точно интегрируемых моделей течений сжимаемой жидкости. Применение полученных результатов для моделирования волновых процессов в сферически и цилиндрически симметричных самогравитирующих системах. Построение самосогласованных точных решений формирования крупномасштабных структур в астрофизических объектах типа газопылевых облаков вследствие джинсовской неустойчивости.
Задачи исследования.
1. Обобщить метод подстановок Коула-Хопфа на более широкий класс нелинейных уравнений типа Бюргерса.
2. В рамках обобщенного метода найти уравнения, описывающие течения сжимаемой жидкости и построить их решения.
3. Построить модель динамики сферически симметричной самогравитирующей системы д: различных начальных распределений плотности среды и ее скорости. Провести апаш модели на наличие волновых решений.
4. Исследовать распространение ударных волн в астрофизических объектах тиг газопылевых облаков с помощью построенной математической модели.
Методы исследования. Для исследования интегрируемых нелинейных дифференциальны уравнений в диссертации применяется метод обобщенных подстановок Коула-Хопфг развиваемый в гл. 2. Далее с его помощью в гл. 3 строятся точно интегрируемые модел течений сжимаемой жидкости, а в гл. 4 модели сферически симметричны самогравитирующих систем.
Научная новизна. В работе представлены следующие результаты.
1) Предложен и развит метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа (МОПК-Х позволяющий строить иерархии полностью интегрируемых нелинейных уравнений частных производных и их точные решения в произвольной координатной размерности Получены новые классы интегрируемых уравнений в частных производил гидродинамического типа.
2) С помощью МОПК-Х построены новые примеры точно интегрируемых моделей течени сжимаемой жидкости в размерности 1+1 и 1+2. Найдены интегралы движений для большог класса уравнений сжимаемой жидкости для разных физических условий.
3) С помощью МОПК-Х получены новые классы точных решений течений сжимаемой средь в собственном поле тяготения для начальных условий с различными типами симметри (плоской, цилиндрической, сферической).
4) Впервые найдены в форме явных обобщенных подстановок Коула-Хопфа точны решения, описывающие формирование крупномасштабных структур в облаках пыли и газ вследствие гравитационной неустойчивости Джинса для произвольных начальных распределений скорости и плотности среды, имеющих плоскую, цилиндрическую или сферическую симметрии.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть применены в теории нелинейных дифференциальных и разностных уравнений и связанных с ними областях теоретической физики. Описанные в диссертации точно интегрируемые модели течений сжимаемой жидкости и сферически симметричных самогравитирующих газопылевых смесей могут быть использованы для решения астрофизических задач динамики нелинейных ударных волн в звездах и межзвездной среде, формирования крупномасштабных структур в самогравитирующей среде вследствие неустойчивости Рэлея-Джинса, а также для точного решения задач гидродинамики о течениях сжимаемой жидкости в размерности 1+1 и 1+2.
Основные положения, выносимые на защиту:
1) Метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа. Для пары базовых дифференциальных соотношений (обобщенные подстановки Коула-Хопфа), связывающих три вспомогательные функции Т,и,У, существует совокупность дифференциальных следствий, образующих замкнутую систему алгебраических уравнений конечного порядка относительно производных функции Т. В результате, для каждого линейного дифференциального оператора Ь в частных производных в размерности 1+1 и 1+2 существует нелинейное дифференциальное уравнение, преобразующееся (линеаризуемое) с помощью обобщенной
подстановки Коула-Хопфа к уравнению Ш = 0 или 1У = О
2) Обобщенные подстановки Коула-Хопфа, преобразующие одномерные уравнения динамики сжимаемой идеальной жидкости к интегрируемым уравнениям, позволяющие
4
получать новые классы точных решений в явном виде, в том числе для некоторых типов двумерных течений идеальной жидкости.
3) Обобщенные подстановки Коула-Хопфа, преобразующие одномерные уравнения динамики вязкой сжимаемой жидкости (аналог уравнения Бюргерса) к интегрируемым уравнениям, позволяющие получать новые классы точных решений в явном виде.
4) Класс обобщенных подстановок Коула-Хопфа, преобразующих уравнения течений идеальной самогравитирующей среды к интегрируемым уравнениям, позволяющие получить точные решения в явном виде. Полученные решения описывают динамику ударных волн в сжимаемых самогравитирутощих средах вследствие наличия локальных возмущений.
5) Метод построения точных решений уравнений формирования крупномасштабных структур в самогравитирущей среде вследствие неустойчивости Рэлея-Джинса при наличии локальных возмущений в среде с уравнением состояния р = 0. Точные решения позволяют вычислять в явном виде: а) пространственную структуру волн плотности в каждый момент времени; б) время до образования сингулярностей при заданных начальных распределениях плотности и скорости среды; в) асимптотическое поведение параметров среды вблизи сингулярности.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры Теоретической физики Ульяновского государственного университета, а также на конференциях: Российская школа-семинар по гравитации и космологии вКЛС08-2007 (г. Казань); Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2008» (г. Москва); Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» (г. Пермь, 5-6 декабря 2008г.); Седьмая Международная конференция «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (г. Ульяновск, 2-5 февраля 2009г.); Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2009» (г. Москва); Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2010» (г. Москва); Всероссийская школа-семинар «Волновые явления в неоднородных средах» (24-29 мая 2010г., г. Звенигород, Московская обл.); Шестая Всероссийская конференция «Необратимые процессы в природе и технике» (г. Москва, 26-28 января 2011 г.); Конференция-конкурс молодых физиков (Физический институт академии наук, г. Москва, 31 января 2011 г.); XVII Зимняя школа по механике сплошных сред (г. Пермь, 28 февраля - 3 марта 2011 г.); Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2011» (г. Москва).
Публикации. Диссертация выполнена на основе работ [1] - [5], опубликованных в ведущих российских и зарубежных журналах, входящих в перечень ВАК. Работы написаны совместно с научным руководителем. Вклад автора в приведенные в диссертации результаты является основным.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из.четырех глав. Список литературы содержит 225 наименований. Общий объем 121 страница.
Содержание работы
Гл. 1, Введение содержит аргументацию актуальности исследуемой проблемы, обзор научной литературы, посвященной затронутым в диссертации темам, описание полученных в диссертации результатов и оценку их значения для теории нелинейных интегрируемых систем и решения прикладных задач астрофизики и теории ударных волн.
Гл. 2, Метод обобщенных подстановок Коула-Хонфа содержит описание нового метода линеаризации целого класса нелинейных уравнений, развиваемого в работе.
2.1 Метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа в размерности 1+1.
2.1.1 Математические основы.
В работах [la, 1], был предложен новый подход к линеаризации большого клас< нелинейных уравнений на основе метода, использующего подстановки типа Коула-Хопф Этот подход опирается на результат, полученный ранее в работе [2а], который "объясняет" достаточно общих позиций смысл наличия подстановки Коула-Хопфа для уравнен! Бюргерса. Основной смысл этого результата состоит в том, что уравнение Бюргерса являет< условием совместности семи линейных алгебраических уравнений относительно первь семи смешанных частных производных функции T(x,t), являющейся решением уравнеш теплопроводности: Tt = аТ„ и переноса изолиний: Tt + V(x,t)Tx = 0. Здесь и далее введен обозначения: Tt = ol'/dt, Тш - сг'Шх2 и т.д. В данной главе показано, что этот результ; можно обобщить и применить к построению более широкого класса нелинейных уравнени; линеаризуемых с помощью подстановки: V ■= -Tt/Tx типа Коула-Хопфа. В частносг показано, что существуют бесконечные цепочки нелинейных уравнений, которь линеаризуются указанной подстановкой, которую далее будем называть обобщенно подстановкой Коула-Хопфа.
Следуя работе [1а], рассмотрим уравнение теплопроводности с адвекцией:
Ti+W(x,t)Tx-a(x,t)Txx (1)
совместно с уравнением переноса изолиний функции Т:
Т, + V(x,l)Tx 0 (2)
Здесь W(x,t), a(x,t), V(x,t) - некоторые произвольные пока функции.
Последовательно дифференцируя эти два уравнения по х и t, получаем следующую систем уравнений, которая является их прямым следствием:
Т„ - аТы + W,TX + WTa - = 0
Т„ + V,TX + VTa = 0 Txt - aTm + WJX ахТхх = 0 (3)
Тх, + VXTX f VTa = 0 Tax + V*xTx + 2VxTa +V7- 0 Условием совместности системы (l)-(3) как системы линейных алгебраических уравнени является уравнение:
ftZ + JW^O (4)
где U = (V - W)/a. Это уравнение в дальнейшем будем называть структурным уравнением
Смысл этого результата состоит в том, что Для любой функции T(x,t) функции U и V
вычисляемые по формулам:
.. Т, д\пТ Jr Т
V = —- = -а-- + W, U = ——,
Т, дх Тх к '
будут обращать уравнение (4) в тождество. В случае W = 0 и а = const эта подстановк-переходит в стандартную подстановку Коула-Хопфа, а уравнение (4) - в уравнение Бюргерса. Поэтому эти подстановки можно рассматривать как обобщение подстановки Коула-Хопфа.
2.1.2 Рекуррентные соотношения. Основой использования обобщенных подстановок типа Коула-Хопфа для линеаризации широкого класса нелинейных уравнений в подходе, изложенном в [la, 1], является произвольность одной из функций Т, U, V ъ исходных двух уравнениях (1) и (2). Это позволяет добавлять к указанной системе базовых уравнений какое-либо интегрируемое относительно функции T(x,t) условие, которое автоматически будет приводить к нелинейному интегрируемому уравнению относительно функции V(x,t) или U(x,t).
Все последующие высшие производные могут быть получены из набора соотношений, который в дальнейшем будем называть приведенными базовыми соотношениями
2.1.3 Принцип построения интегрируемых уравнений.
6
Принцип построения уравнений, интегрируемых с помощью указанных подстановок можно проиллюстрировать следующим образом. Пусть Сы = С\„(х,1), к,п = 0,...,М; О,...,Л' -некоторый заданный набор функций. Тогда к системе приведенных базовых соотношений можно добавить любое линейное уравнение следующего вида:
I £сыт™+сютж+стт,=о
Это уравнение с использованием расширенной приведенной системы базовых соотношений приводит к связи между функциями V и V следующего вида:
Это уравнение совместно с условием совместности (4) образует замкнутую систему нелинейных уравнений относительно пары функций и и V, решение которой имеет вид подстановки (5) для любой функции 7\ являющейся решением уравнения (6). 2.1.4 Точно интегрируемые модели течений сжимаемой жидкости.
С помощью замены соотношения (6) на произвольное нелинейное интегрируемое уравнение для Т, которое в результате использования приведенных базовых соотношений сводится к связи между и к V без производных и самой функции Г, приходим к системе уравнений Эйлера одномерного течения сжимаемого газа при нулевом давлении и внешних силах:
(8)
Р,+ т-(р«) = 0 ах
Здесь р - плотность сжимаемого газа, и - скорость течения газа:
V О
р = и, и = У—= ,л\
и и ^
Давление в таком потоке тождественно обращается в ноль в силу первого уравнения. Систему уравнений (8) можно рассматривать как уравнения динамики пыли, поскольку именно пыль имеет уравнение состояние р = 0. Такого типа задачи возникают в астрофизике при анализе динамики пылевых облаков [7а, 8а, 9а].
В рамках предложенного подхода в работе были получены решения уравнений течения сжимаемой жидкости, описывающие распространение ударных волн.
2.2 Обобщенная подстановка Коула-Хопфа в размерности 1+2. 2.2.1 Математические основы.
Для построения решений двумерных уравнений Эйлера предлагаемый формализм полезно [ 1 Оа] переписать в комплексные координаты г = х + ¡у, г = х - . Учитывая, что
д 1 "а . а" 5 _ 1 "а .а' —+/— а* эу
дг 2 А V ' а? 2
Следуя общим соображениям работы [2], рассмотрим пару уравнений, описывающих перенос изолиний некоторой функции Т = Т(г,2,1) в двумерном пространстве:
т,+1?т: = о, т,+¥т,=о, (Ю)
где
г—м^.г- иг аг
2 (и-гГ) 2(Ц + ;Т) ' дг К '
Совокупность базовых соотношений, записанных в комплексифицированном виде имеет следующий вид:
т,=~т„ тл = кг„ Т„=РТ„ т„=дт„
IV
Здесь
+01»7!2]
(13)
1
(14)
2.2.2 Уравнения гидродинамического типа. Совокупность полученных соотношений выполняющихся при произвольной функции вещественной Т сама по себе уже дае некоторые модели гидродинамического типа. Выражая функцию приходим к следующему уравнению:
Это уравнение переходит в уравнение квазипотенциального течения сжимаемой жидкости если положить, что комплексная скорость течения £ = где и и V - компоненть
скорости течения по декартовым осям х,у связана с Р и К следующим образом:
.V - -Р/Я - IV - Г,/(№7?) = и- /и, ()5)
а Я функция отождествляется с плотностью жидкости Полагая И' + /77 = Ее'*.
находим для компонент векторного поля скорости следующие выражения:
Р
V = -17 +
р
Ъх ду
5, V 8
— 1пЬ +—{ ду дх
(16)
2.2.3 Уравнения Эйлера сжимаемой жидкости. Для построения точного аналога уравнений Эйлера по аналогии с [1] рассмотрим в качестве уравнения для Т уравнение следующего вида:
{Тг,Т1} = Т,гТ„-Т.1,Т„= 0, (17)
/\Р-Дб = 0. (18)
Если подставить выражения из (13) для к,(),1' в (18), то это уравнение примет следующий вид:
— I2
О/г
Вещественная и мнимая часть этого уравнения могут быть записаны так:
1 8
1 д
2#, + + »7^ + -—(£2 + »/г) = 2 =
2 дх
2 ду
где
Эти уравнения можно интерпретировать как двумерные уравнения Эйлера жидкости с компонентами скорости £ и 77.
2.2.4 Построение точных решений уравнений двумерных течений. Точные решения уравнений Эйлера могут быть построены с помощью всей совокупности соотношений для функций IV, Г, д,Н, реализующих обобщенную подстановку Коула-Хопфа для заданной вещественной функции Т, которая должна удовлетворять уравнению (17).
2.2.5 Выбор функций С и //.
Выбирая функции О и // в более общем виде можно получить и более общие варианты уравнений Эйлера для квазипотенциального течения сжимаемой жидкости В общем случае можно рассматривать функции О и Я в таком виде:
G = T-:+4' Н = Т,-Ф, где Ф = 0(z,z,t,T,T3,TI,T„,...),^V — 4?(z,z,t,T,Tz,Ч\X.,...). В результате приходим к уравнениям следущего вида:
(19)
дх p(«2+v2)- 1а I2 р(Т,У ' д а— & + а — dz
д &у p(u2 + v2)- 1«12 Р(Т,У < а— v. 8z _ 8 + а — dz
Ш"
(20)
Эти уравнения преобразуются к уравнениям Эйлера с давлением и внешней силой, явный вид которых несложно получить с помощью соответствующей подстановки.
Гл. 3, Гидродинамические волны в самогравитирующих сжимаемых средах содержит дальнейшее развитие предложенного в гл. 2 метода, и, в частности, его приложение к задаче о сферически симметричных самогравитирующих системах, что в некотором приближении описывает физические процессы, происходящие внутри звезд и других астрофизических объектов.
3.1 Одномерное течение вязкой жидкости с переменной плотностью.
Следуя работе [14а], построим специальную параметризацию одномерных течений жидкости. Рассмотрим представление для скорости и(х,1) потока в следующем виде:
VX
(21)
где в = в(х,0 некоторая вспомогательная функция. Это соотношение рассматривается в дальнейшем как обобщенная подстановка Коула-Хопфа [4, 5, 6]. Эквивалентная запись этого соотношения имеет вид уравнения:
Bt + и(х, [)вх = 0
(22)
Из (22) следует несколько простых тождеств, выполняющихся для любой дифференцируемой функции в(х,1). Первое из них имеет следующий вид:
[it + £) F(0) = F'V№t + ивх) = 0
Еще одно тождество можно получить, дифференцируя его по х:
£0,+£(и(*.е)в*) = о (24)
Это соотношение принимает форму уравнения неразрывности, если в качестве плотное! жидкости р(х,1) рассматривать величину:
р(*Д) = еж (25)
В этом случае (24) эквивалентно уравнению неразрывности:
р( + ~(ир) = 0 (26)
Представим (26) в следующем виде:
з: дх
и продифференцируем его по х. Полученное соотношение можно записать так:
(27)
Это соотношение также является тождеством, выполняющимся для произвольной пар функций в(х,1) и и(х, (А связанных одним соотношением (22). Используя произвол в выбор функции и(хЛ), потребуем выполнения равенства:
«(х.О^ф-у^ (29)
где Р(в) - произвольная функция в. Используя (21), это дополнительное требовани приводится к уравнению для 0 следующего вида:
в, + Р(9)вх = Увхх (30)
Учитывая тождества (23) и (28), получаем, что функция и(х,1), удовлетворяющая (22) I (29), удовлетворяет уравнению:
ut + uux = v~{pux) (31)
которое имеет вид уравнения Навье-Стокса одномерного течения вязкой жидкости переменной плотностью р = 9Х.
3.2. Одномерное течение вязкой жидкости в собственном ноле тяготении
Уравнения таких течений должны удовлетворять трем уравнениям:
щ + иих = V™(рих) - (рх, рг + (ри)х = 0 (32)
<рхх = АпСр (33)
Здесь ф - потенциал гравитационного поля, в - гравитационная постоянная. Посредством подстановок (21), (27), приходим к уравнению для функции 9 вида:
вс + [^(б) - МпСв - va{t)]вx = увхх (34)
с произвольной функцией Р(в). Каждому решению этого уравнения при заданной функции Р(0) соответствует определенное точное решение системы уравнений (32)-(33) при заданных начальных распределениях скорости и плотности пыли иа(х) = и(х, 0) и ра(х) = р(х,0).
3.3 Модифицированное уравнение Бюргерса.
Еще один способ получить дополнительный класс точных решений в задаче течений в самогравитирующей среде связан с модифицированным условием для скорости потока:
ainfl, 4лсв
ц = ах -v ,----(35)
dz а
Уравнение для функции 0 при выполнении всех этих условий будет иметь следующий вид: Bt-(i£-8-ax)ex-vexx = 0 (36)
Это уравнение представляет собой модифицированное уравнение Бюргерса и может быть проинтегрировано полностью.
3.4 Одномерное адиабатическое течение идеальной жидкости.
Адиабатическое течение сжимаемой жидкости с уравнением состояния:
Р = Р(Р), и, + иих = -р'хр„ р, + (ри)х = О подстановкой для скорости течения:
u = S(p)
приводится к уравнению:
Р,+Щр)рх = О
W(p) = S'{p)p + S(p)
Это уравнение имеет общий интеграл вида [205]:
H(p,x-1T<j>)t) = 0 Давление в среде описывается соотношением:
p(p) = lp2(s'(p))2dp.
3.6 Динамика невязкой самогравитирующей пыли.
Рассмотрим в качестве нового дополнительного условия для скорости потока следующее:
и = f(x)F(0) (37)
В этом случае скорость потока удовлетворяет уравнению:
ut + uux=ffF2(6) (38)
Выражение для ускорения свободного падения g(x,t) в правой части будет иметь необходимый вид (при условии д0(£) = 0), если выполняются два условия:
ff = -1, F2 (в) = 4тг GB
Отсюда находим:
f = ~ Я0) = ^Шв
Здесь Ха - постоянная интегрирования. Уравнение (37) преобразуется к уравнению для в:
0£ ± 7х0 - х^ШСл10вх = 0 (39)
Это уравнение сводится к уравнению простой волны преобразованием координат ^ = т]х0 — х и имеет общий интеграл следующего вида:
Н(в, у/хо-х + л/в^С^О = 0 (40)
где Н(0,ф - произвольная дифференцируемая функция двух аргументов.
3.7 Сферически и цилиндрически симметричные течения самогравитирующей идеальной сжимаемой жидкости.
Уравнения сферически и цилиндрически симметричных течений идеальной сжимаемо, жидкости в собственном поле тяготения можно записать в следующем виде:
щ + ииг = —<рг; Р[ + ~(гпри) = 0 (41)
~Сгп<рг) = 4пСр (42)
Здесь п=1 для цилиндрической симметрии и п=2 - для сферической, а г - соответствующей радиальная координата. Введем вспомогательную функцию е = Г"Р■ В этом случш уравнения (41-42) можно переписать таким образом:
щ.+ ищ. - ~<Рг> в1 + (еи)г = 0 (43)
|г(г>г) = 4тгСе (44)
Используя исходную параметризацию скорости ц(г, г) = - в1/вт (с заменой х на г) I вспомогательной функции д в форме р = 0Г уравнение Пуассона (44) приведем и следующему виду:
(рг=~АпОО (45)
В этом случае уравнение неразрывности выполняется тождественно, а уравнение для радиальной скорости примет такой вид:
ис + ииг = — в (46)
Далее находим решения по аналогии с п. 3.6.
Гл. 4, Формирование структур в самогравитирующих сжимаемых средах вследствие джинсовской неустойчивости, содержит некоторые приложения предложенного в работе метода к решению задач о возникновении структур в самогравитирующих средах в одномерном и сферически симметричном случаях.
4.1 Джинсовская неустойчивость в одномерном случае
Полученные в гл. 3 решения позволяют на точных решениях рассмотреть динамику локальных возмущений плотности под действием собственного поля тяготения в одномерном случае. Эта задача о джинсовской неустойчивости самогравитирующей среды важна для описания динамики крупномасштабной структуры Вселенной, как это уже объяснялось во введении. При анализе формирования крупномасштабной структуры предполагают, что точками среды являются галактики. При этом давление в такой среде равно нулю, что соответствует уравнению состояния пыли р = 0. Кроме этого вязким трением в такой среде можно пренебречь. В результате динамика таких систем описывается в точности системой уравнений (32) - (33) с 1' = 0. Решения, полученные в предыдущей главе позволяют строить точные решения этой задачи при заданных начальных условиях распределения плотности и скорости потока. Начальные условия при ^ = 0 задаются соотношениями:
= и(х,0) = /"(*„(*)) -с(0), (47)
ох
где
во(х) = 0(х,О).
Для получения физически понятных решений необходимо предварительно выяснить то, какие распределения плотности, скорости и гравитационного потенциала допустимы с физической точки зрения. Основным требованием, ограничивающим выбор функции О0 (х), является неотрицательность плотности жидкости во всех точках пространства: р> 0. В этом случае имеем:
9(xj) = &0(t)+ j p(x,t)dx>0.
Из уравнения Пуассона следует соотношение, которое связывает функцию в с ускорением свободного падения в точке с координатой х. Отсюда следует:
(48)
По своему смыслу ~фх является ускорением свободного падения в точке пространства с координатой х. Из физических соображений естественным выбором постоянной g0(t) является такой, при котором ускорение свободного падения было бы равно нулю при х->±со. Физически это связано с требованием р-»0 в этих же пределах. Однако, если полагать:
lim фг = 0, (49)
X ->--00
то тогда из соотношения (47) следует, что при *->■+» ускорение свободного падения стремится к отрицательной постоянной.
В качестве примера демонстрации некоторых важных эффектов в одномерном случае рассмотрим начальное распределение плотности, которое задается простой функцией £„(*) следующего вида:
М
= у №*) + !),
где к > 0 - произвольная положительное вещественное число, величина которого обратно пропорциональна характерному пространственному размеру L области занятой материей: L = k~ . Рассмотрим так же в качестве начального распределения скорости среды функцию и(х,0) = 0 . При таком выборе = 0, gn = -4nGM. При этом начальное распределение плотности и скорости будут иметь следующий вид:
На рис. 1 представлены распределения плотности в последовательные моменты времени г = 0,2,4,6,8,0.95.
Рис. 1. Эволюция распределения скорости (а) и плотности (Ь) для начальных распределений
(50)
Видно, что центр масс системы ускоряется в направлении обратном оси х.
Аналогичные решения для начальных условий:
М
представлены на рис. 2.
»(хД) 5
10 ^ 0 10
Р<М) -А..—,_____________-
.....й
• }Л\
Рис. 2. Эволюция распределения скорости (а) и плотности (Ь) для начальных распределений
(51)
Анализ построенных решений показывает, что за конечное время в распределении плотности возникает сингулярность. Момент возникновения сингулярности определяется уеловием.1 согласно которому знаменатель выражения для плотности обращается в ноль в какой-либо точке пространства. Для начального распределения (50) этот момент определяется условием'. I
а для (51):
кМр0
Шр0
Ь
лОМ
4.2 Джинсовкаи неустойчивость для распределений со сферической симметрией
При анализе модели эволюции сферически симметричного начального распределения! плотности необходимо определить подходящую форму интеграла движения. Исходя из необходимости задавать начальное распределение плотности общую форму интеграла] движения полезно задавать в следующем виде:
М 4я&
■ОШЛ,
(52)
где М - полная масс вещества во всем пространстве,
о
и
В этом случае функция 0(Х) задает форму начального распределения функции <9 и в конечном итоге плотности, которая вычисляется в этом случае так:
зм тГедоЦг, 0)
р(г,0
Исходя из общих условий на выбор представления (57) и по аналогии с одномерным случаем рассмотрим интегралы движения двух типов. Первый интеграл:
в(г,о -- — \ь{к{гш+4ш}14в?\
4 71 г
Здесь к > 0 - как и раньше произвольное положительное вещественное число, величина которого обратно пропорциональна характерному пространственному размеру I области, занятой материей: Ь-к~ , а М - полная масса системы, <20 = 1. Второй интеграл
М
9(г,1) = ~(/М>3'2
7л г
соответствует начальным условиям:
2 л"
Р0%0) =
ЗАЛ 1
г>0, и(г,0) = 0.
(54)
(55)
(56)
4тг 1 + *'У Для этого случая = я/2.
Имеются два решения относительно , соответствующие двум общим решениям уравнения (52) для функции 6>(г,/):
6»±(Л =__М_
° 4я-(1±/</л/МА/4лг)' Одно из этих решений при / > 0 за конечное время
/. =
4л 1 I Мк /¿0
обращается в бесконечность, что соответствует возникновению в начале координат сингулярности в распределении массы. Второе решение не имеет физического смысла.
к "0 0 (Л)
%
Ж \\WV\n\
Рч
Рис. 3. Эволюция распределения скорости (а) и плотности (Ь) для начальных распределений (51) до образования сингулярности. У-/ = 0,2-/ = 0.5, 3 - / = 1.0, 4 - / = 1.5, 5 - / = 2.0, 6 -/ = 2.5, 7- / = 3.0, 5- / = 3.5, 9-/ = 4,0 '
Рис. 4. Распределения скорости (а) и плотности (Ь) для начальных распределений (51) до и после образования сингулярности. 1 - / = 0, 2 - / = 4.0, 3 - / = 4.8, 4- / = 5.0
4.3 Обратная волна сжатия
Из рассмотренных в п. 4.2 моделей следует, что кроме волны сжатия с начальной скоростью направленной к центру возмущения (этому решению соответствует знак "-"в формуле дл; скорости потока), существует точное решение, описывающая волну первоиачальнс распространяющуюся от центра возмущения. Такая волна может рассматриваться как волнг от сферически симметричного взрыва, произошедшего в центре возмущения. Графим соответствующих точных решений представлены на рис. 5.
Рис. 5: Эволюция распределения скорости (а) и плотности (Ь) для начальных распределений (57) до образования сингулярности. 1 -/ = 0,2- / = 0.5, 3 - / = 1.0,4 - / = 1.5,5 - / = 2.0,6/ = 2.5,7- / = 3.0, 8- /=3.5, 9- / = 4.0
На рис. 5 видно как эволюционирует волна разрежения до образования разрывов и ударных волн. Кривая 9 соответствует моменту времени сразу после начала образования ударных волн. Разрывы образуются на отрезках графика, где сплошная линия прерывается. Для более детального анализа динамики ударных волн, возникающих вблизи центра поля, необходимо решать задачу в несколько иной постановке задачи, опираясь не только на форму аналитического интеграла движения, но и на физические условия на разрывах течения [18а,
17а]. Построение разрывных решений имеет свою специфику и требует отдельного рассмотрения.
4.4 Заключение
Пункт содержит сравнительный анализ эффективности применения МОПК-Х к рассмотренным в работе задачам.
Публикации по теме диссертации
Публикации в журналах, входящих в список ВАК:
[1] Журавлев В.М., Зиновьев Д.А. Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа, и точно интегрируемые модели одномерных течений сжимаемой жидкости. Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики, том 87, вып. 5, с. 314 - 318 (2008).
[2] Журавлев В.М., Зиновьев Д.А. Метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа в размерности 1+2 и интегрируемые модели двумерных течений сжимаемой жидкости. Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики, том 88, вып. 3, с. 194-197 (2008).
[3] Журавлев В.М., Зиновьев Д.А. Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа. Ударные волны в сферически симметричных самогравитирующих системах. Физическое образование в вузах, 2011, том 17, номер 1, приложение, ISSN 1609-3143.
Публикации в прочих изданиях:
[4] Zhuravlev V.M., Zinov'ev D.A. The application of generalized Cole-Hopf substitutions in compressible-fluid hydrodynamics. Physics of Wave Phenomena, Volume 18, Number 4, October-December 2010, p. 245-250.
[5] Zhuravlev V.M., Zinov'ev D.A. Nonlinear waves in self-gravitating compressible fluid and generalized Cole-Hopf substitutions. Physics of Wave Phenomena, Volume 19, Number 4, October-December 2011, p. 313-317.
[6] Журавлев B.M., Зиновьев Д.А. Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа, и точно интегрируемые модели течений сжимаемой жидкости. Сборник тезисов Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2008» (г. Москва)
[7] Журавлев В.М., Зиновьев Д.А. Волновая гидродинамическая задача в теории собственных колебаний звезд. Труды Российской школы-семинара по гравитации и космологии GRACOS-2007 (г. Казань)
[8] Журавлев В.М., Зиновьев Д.А. Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа. Точно интегрируемые модели течений сжимаемой жидкости. Материалы Всероссийской конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» (г. Пермь, 5-6 декабря 2008г.)
[9] Журавлев В.М., Зиновьев Д.А. Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа. Точно интегрируемые модели течений сжимаемой жидкости. Труды Седьмой Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (г. Ульяновск, 25 февраля 2009г.)
[10] Журавлев В.М., Зиновьев Д.А. Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа. Ударные волны в сферически симметричных самогравитирующих системах. Сборник тезисов Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2009» (г. Москва)
[11] Журавлев В.М., Зиновьев Д.А. Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа и их применение к задачам газо-гидродинимики. Сборник тезисов Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых
17
«Ломоносов-2010» (г. Москва)
[12] Журавлев В.М., Зиновьев Д.А. Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа. Точно интегрируемые модели течений сжимаемой жидкости. Сборник трудов XII Всероссийской школы-семинара «Волновые явления в неоднородных средах» (24-29 мая 2010г., г. Звенигород, Московская обл.)
[13] Журавлев В.М., Зиновьев Д.А. Интегрируемые модели двумерных и трехмерных течений сжимаемой жидкости и метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа. Труды Шестой Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (г. Москва, 26-28 января 2011 г.)
[14] Журавлев В.М., Зиновьев Д.А. Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа. Ударные волны в сферически симметричных самогравитирующих системах. Тезисы докладов XVII Зимней школы по механике сплошных сред (г. Пермь, 28 февраля - 3 марта 2011 г.)
[15] Журавлев В.М., Зиновьев Д.А. Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа и их применение к задачам газо-гидродинамики. Сборник тезисов Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2011» (г. Москва)
Цитируемая литература:
[1а] Журавлев В.М., Никитин A.B. Нелинейный мир,, N 9,603 (2007) [2а] Б.А. Урюков, Теплофизика и аэромеханика., N 3,421 (1999)
[4а] Зельдович Я.Б., Ройзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. -М.: Физматгиз, 1963
[5а] Бредли (Bradley J.N.). Shock waves in chemistry and physics. - London: Methyen, 1962 [6a] Зельдович Я.Б., Компанеец A.C. Теория детонации. Учебное пособие. - М.: Гостехиздат, 1955
[7а] Горбацкий В.Г. Газодинамические неустойчивости в астрофизических системах: Учеб. пособие. - СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 1999. - 168 с. [8а] Каплан С.А. Межзвездная газодинамика. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1958. - 196 с.
[9а] Саслау У. Гравитационная физика звездных и галактических систем. - М.: Мир, 1989. -542 с.
[10а] Современные проблемы физики космоса / Сб. статей. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 584 с.
[11а] A.B. Гуревич, К.П. Зыбин Крупномасштабная структура Вселенной. Аналитическая
теория. Успехи физических наук, т. 165, № 7 (1995)
[12а] Дж. Уизем. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1978
[13а] Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. М:Наука (1980). 319 с.
[14а] В.М. Журавлев. Сб. Инновационные технологии, Ульяновск, УлГУ, 2010. с. 77-93 [15а] Н.М. Рыскин, Д.И. Трубецков. Нелинейные волны. М.: Наука, 2000.272 с. [16а] А.Г. Куликовский, Е.И. Свешникова, А.П. Чугайнова. Математические методы изучения разрывпых решений нелинейных гиперболических систем уравнений. Лекционные курсы НОЦ/ Математический институт им. В.А. Стеклова РАН (МИАН) Вып. 16 - М.: МИАН.2010,121 с
[17а] Б. Л. Рождественский, Н. Н. Яненко. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: "Наука", 1978
[18а] А.Г. Куликовский, Е.И. Свешникова, А.П. Чугайнова. Математические методы изучения разрывных решений нелинейных гиперболических систем уравнений. М.: МИАН, 2011
[19а] Чаплыгин С. А., О газовых струях, М.-Л., 1949.
Зиновьев Дмитрий Александрович "Метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа в теории нелинейных волн в самогравитирующих сжимаемых средах и его приложение к задачам астрофизики"
Построен новый метод линеаризации целого класса нелинейных уравнений типа Бюргерса, позволяющий составить максимально полный список точно интегрируемых уравнений! Найдены точные решения систем уравнений, описывающих течения сжимаемой идеальной и вязкой жидкости в размерности 1+1 и 1+2. Найдены точные решения системы уравнений, описывающей динамику самогравитирующей сжимаемой среды в плоском, цилиндрически и сферически симметричных случаях. Найдены новые аналитические решения в задаче формирования структур в самогравитирующей сжимаемой среде вследствие гравитационной неустойчивости Джинса.
Zinov'ev Dmitry
"The generalized method of Coul-Hopf substitutions in the theory of non-linear waves in compressible fluids in self-gravitational field and its astrophysical problems application"
New method of linearization of wide class Burgers type equations is developed. The list of such equations may be compiled by this method. The systems of equations described flows of compressible ideal and viscous fluid in 1+1 and 1+2 dimensions were exactly solved. The systems f equations described dynamics of compressible fluid in self-gravitational field in flat, cylindrical and spherical symmetries were exactly solved. New analytical solutions of the problem of formation f structures in compressible fluid in own gravitational field due to gravitational Jeanse's instability ere constructed.
Подписано в печать 25.11.2011. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,0. Бумага книжно-журнальная. Тираж 100 экз. Заказ № 226 1595
Отпечатано с оригинал-макета в Издательском центре Ульяновского государственного университета 432000, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42
Общая характеристика работы.
Глава 1. Введение. Методы анализа нелинейных моделей физических процессов.
1.1. Метод обратной задачи.
1.1.1 Преобразования Бэклунда.
1.1.2 Метод обратной задачи рассеяния.
1.1.3 Метод преобразований Дарбу.
1.2 Симметрийный подход.
1.3 Точные решения уравнений движения вязкой жидкости.
Глава 2. Обобщенная подстановка Коула-Хопфа.
2.1 Метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа в размерности 1+1. Точно интегрируемые модели одномерных течений сжимаемой жидкости.
2.1.1 Обобщенная подстановка Коула-Хопфа в размерности 1+1.
2.1.2 Рекуррентные соотношения.
2.1.3 Общая схема и примеры ее использования.
2.1.4 Система уравнений Эйлера одномерного течения сжимаемого газа при нулевом давлении и внешних силах.
2.1.5 Обобщенное базовое соотношение.
2.1.6 Выбор функции Ф в различных физических задачах.
2.1.7 Вид первых интегралов гидродинамических уравнений и свойства их решений.
2.1.8 Расчет ударных волн в сжимаемом вязком газе.
2.1.9 Матричное расширение.
2.2 Обобщенная подстановка Коула-Хопфа в размерности 1+2. Точно интегрируемые модели двумерных течений сжимаемой жидкости.
2.2.1 Обобщенная подстановка Коула-Хопфа в размерности 1+2.
2.2.2 Рекурентные соотношения.
2.2.3 Общая схема.
2.2.4 Комплисифицированная форма базовых соотношений.
2.2.5 Уравнения гидродинамического типа.
2.2.6 Уравнения Эйлера сжимаемой жидкости.
2.2.7 Построение точных решений уравнений двумерных течений.
2.2.8 Выбор функций в и Н.
Глава 3. Гидродинамические волны в самогравитирующих сжимаемых средах.
3.1 Одномерное течение вязкой жидкости с переменной плотностью.
3.2 Одномерное течение вязкой жидкости в собственном поле тяготения.
3.3 Модифицированное уравнение Бюргерса.
3.4 Одномерное адиабатическое течение идеальной жидкости.
3.5 Дополнительные классы интегрируемых моделей.
3.5.1 Решение с Хаббловским потоком.
3.5.2 Течение на полупрямой.
3.5.3 Модели газовой динамики.
3.6 Динамика невязкой самогравитирующей пыли.
3.7 Сферически и цилиндрически симметричные течения самогравитирующей идеальной сжимаемой жидкости.
3.8 Классы точных решений уравнений вязких течений.
Глава 4. Формирование структур в самогравитирующих сжимаемых средах вследствие джинсовской неустойчивости.
4.1 Джинсовская неустойчивость в одномерном случае.
4.2 Джинсовкая неустойчивость для распределений со сферической симметрией.
4.3 Обратная волна сжатия.
Актуальность работы.
Нелинейные волны в сжимаемой среде являются одной из самых распространенных задач теоретической физики, имеющей приложение в различных ее разделах, начиная от физики атмосферы и заканчивая астрофизикой и космологией. Исследование возникновения и распространения ударных волн при различных физических условиях и свойствах среды является типичной задачей в таких исследованиях [33]. Одной из часто возникающих задач в астрофизике является описание различных явлений, сопровождающихся высвобождением огромных энергий за небольшой промежуток времени в поле тяготения [192], создаваемом самим веществом исследуемого объекта. К таким явлениям относятся, например, взрывы сверхновых и сбросы оболочек звезд, которые сопровождаются возникновением ударных волн, распространяющихся как внутри звезд, так и в газопылевых облаках и межзвездной среде [216]. Для космологии одной из фундаментальных задач является описание возникновения крупномасштабной структуры в распределении галактик, которая так же связана с проблемой описания динамики сжимаемой среды в собственном поле тяготения. Поэтому общая задача описания динамики нелинейных волн в сжимаемой самогравитирующей среде является актуальной задачей.
К настоящему времени существует целый ряд математических методов, позволяющих исследовать течения сжимаемой среды в различных частных случаях. Широко распространенным подходом является численный анализ уравнений динамики жидкости. Однако, несмотря на его эффективность, он обладает рядом недостатков, которые заставляют искать новые методы и подходы к решению задач гидродинамики на основе аналитических методов построения их точных решений. Среди таких методов в динамике сжимаемой среды наиболее широко распространенным является метод годографа [33,
131]. Этот метод для некоторых частных задач применялся к исследованию 4 образования крупномасштабной структуры Вселенной [222]. Для несжимаемой вязкой среды важное значение имеет метод Коула-Хопфа [205]. Однако для целого круга задач эти методы либо не могли быть применены, либо в рамках этих методов не всегда удается проанализировать динамику изучаемых объектов с достаточной степенью детальности и наглядности. В связи с этим возникает задача отыскания новых методов и подходов для анализа задач сжимаемой среды, в особенности для решения самосогласованной задачи ее течений в собственном поле тяготения. Таким новым общим методом является метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа [211], использование которого для задач гидродинамики сжимаемой среды является актуальной задачей физики атмосферы, астрофизики, космологии и других разделов теоретической физики.
Цель работы.
Создание методов решения задач динамики сжимаемой жидкости на основе обобщенных подстановок Коула-Хопфа. Построение развитого метода обобщенных подстановок Коула-Хопфа в приложении к задачам гидродинамики самогравитирующих систем. Рассмотрение точно интегрируемых моделей течений сжимаемой жидкости. Применение полученных результатов для моделирования волновых процессов в сферически и цилиндрически симметричных самогравитирующих системах. Построение самосогласованных точных решений формирования крупномасштабных структур в астрофизических объектах типа газопылевых облаков вследствие джинсовской неустойчивости.
Задачи исследования.
1. Обобщить метод подстановок Коула-Хопфа на более широкий класс нелинейных уравнений типа Бюргерса.
2. В рамках обобщенного метода найти уравнения, описывающие течения сжимаемой жидкости и построить их решения.
3. Построить модель динамики сферически симметричной самогравитирующей системы для различных начальных распределений 5 плотности среды и ее скорости. Провести анализ модели на наличие волновых решений.
4. Исследовать распространение ударных волн в астрофизических объектах типа газопылевых облаков с помощью построенной математической модели.
Методы исследования.
Для исследования интегрируемых нелинейных дифференциальных уравнений в диссертации применяется метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа, развиваемый в гл. 2. Далее с его помощью в гл. 3 строятся точно интегрируемые модели течений сжимаемой жидкости, а в гл. 4 модели сферически симметричных самогравитирующих систем.
Научная новизна.
В работе представлены следующие результаты.
1) Предложен и развит метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа (МОПК-Х), позволяющий строить иерархии полностью интегрируемых нелинейных уравнений в частных производных и их точные решения в произвольной координатной размерности. Получены новые классы интегрируемых уравнений в частных производных гидродинамического типа.
2) С помощью МОПК-Х построены новые примеры точно интегрируемых моделей течений сжимаемой жидкости в размерности 1+1 и 1+2. Найдены интегралы движений для большого класса уравнений сжимаемой жидкости для разных физических условий.
3) С помощью МОПК-Х получены новые классы точных решений течений сжимаемой среды в собственном поле тяготения для начальных условий с различными типами симметрии (плоской, цилиндрической, сферической).
4) Впервые найдены в форме явных обобщенных подстановок
Коула-Хопфа точные решения, описывающие формирование крупномасштабных структур в облаках пыли и газа вследствие б гравитационной неустойчивости Джинса для произвольных начальных распределений скорости и плотности среды, имеющих плоскую, цилиндрическую или сферическую симметрии.
Теоретическая и практическая значимость.
Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть применены в теории нелинейных дифференциальных и разностных уравнений и связанных с ними областях теоретической физики. Описанные в диссертации точно интегрируемые модели течений сжимаемой жидкости и сферически симметричных самогравитирующих газопылевых смесей могут быть использованы для решения астрофизических задач динамики нелинейных ударных волн в звездах и межзвездной среде, формирования крупномасштабных структур в самогравитирующей среде вследствие неустойчивости Рэлея-Джинса, а также для точного решения задач гидродинамики о течениях сжимаемой жидкости в размерности 1+1 и 1+2.
Основные положения, выносимые на защиту:
1) Метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа. Для пары базовых дифференциальных соотношений (обобщенные подстановки Коула-Хопфа), связывающих три вспомогательные функции Т,и,¥, существует совокупность дифференциальных следствий, образующих замкнутую систему алгебраических уравнений конечного порядка относительно производных функции Т. В результате, для каждого линейного дифференциального оператора Ь в частных производных в размерности 1+1 и 1+2 существует нелинейное дифференциальное уравнение, преобразующееся (линеаризуемое) с помощью обобщенной подстановки Коула-Хопфа к уравнению Ш = О или 1У = 0.
2) Обобщенные подстановки Коула-Хопфа, преобразующие одномерные уравнения динамики сжимаемой идеальной жидкости к интегрируемым уравнениям, позволяющие получать новые классы точных решений в явном виде, в том числе для некоторых типов двумерных течений идеальной жидкости.
3) Обобщенные подстановки Коула-Хопфа, преобразующие одномерные уравнения динамики вязкой сжимаемой жидкости (аналог уравнения Бюргерса) к интегрируемым уравнениям, позволяющие получать новые классы точных решений в явном виде.
4) Класс обобщенных подстановок Коула-Хопфа, преобразующих уравнения течений идеальной самогравитирующей среды к интегрируемым уравнениям, позволяющие получить точные решения в явном виде. Полученные решения описывают динамику ударных волн в сжимаемых самогравитирующих средах вследствие наличия локальных возмущений.
5) Метод построения точных решений уравнений формирования крупномасштабных структур в самогравитирущей среде вследствие неустойчивости Рэлея-Джинса при наличии локальных возмущений в среде с уравнением состояния р = О. Точные решения позволяют вычислять в явном виде: а) пространственную структуру волн плотности в каждый момент времени; б) время до образования сингулярностей при заданных начальных распределениях плотности и скорости среды; в) асимптотическое поведение параметров среды вблизи сингулярности.
Апробация работы.
Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры Теоретической физики Ульяновского государственного университета, а также на конференциях: Российская школа-семинар по гравитации и космологии ОЯАС08-2007 (г. Казань); Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2008» (г. Москва); Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» (г. Пермь, 5-6 декабря 2008г.); Седьмая Международная конференция «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (г. Ульяновск, 2-5 февраля
2009г.); Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2009» (г. Москва); Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2010» (г. Москва); Всероссийская школа-семинар «Волновые явления в неоднородных средах» (24-29 мая 2010г., г. Звенигород, Московская обл.); Шестая Всероссийская конференция «Необратимые процессы в природе и технике» (г. Москва, 2628 января 2011 г.); Конференция-конкурс молодых физиков (Физический институт академии наук, г. Москва, 31 января 2011 г.); XVII Зимняя школа по механике сплошных сред (г. Пермь, 28 февраля - 3 марта 2011 г.); Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2011» (г. Москва).
Публикации.
Диссертация выполнена на основе работ [1а] - [5а] (см. список ниже), опубликованных в ведущих российских и зарубежных журналах, входящих в перечень ВАК. Работы написаны совместно с научным руководителем. Вклад автора в приведенные в диссертации результаты является основным.
Структура, объем и содержание диссертации.
Работа состоит из четырех глав. Список литературы содержит 225 наименований. Общий объем 106 страниц.
Первая глава является вводной и содержит обзор литературы по теме диссертации, обоснование актуальности темы и научной новизны полученных в диссертации результатов.
Вторая глава содержит описание математических основ предлагаемого в работе метода обобщенных подстановок Коула-Хопфа (МОПК-Х) и его применение для построения точно интегрируемых моделей течений сжимаемой жидкости в размерности 1 + 1 и 1+2. Получены решения уравнений динамики сжимаемой жидкости и изучены их свойства, что является основным результатом данной главы.
В третьей главе излагается специальный вариант метода обобщенных подстановок Коула-Хопфа, приспособленный для решения задач описания 9 гидродинамических течений. Суть такой модификации состоит в том, что подстановки генерируются непосредственно из формы сил, действующих на жидкость, которые необходимо учесть. В главе приведены примеры применения такого подхода к ряду задач гидродинамики сжимаемой среды. Основным результатом данной главы является построение решений уравнений одномерной динамики самогравитирующих сред. В частности, получены точные решения уравнения динамики вязкой среды при различных пространственных симметриях течений.
Четвертая глава содержит применение полученных в предыдущей главе решений уравнений гидродинамического типа к анализу задач о формировании структур в самогравитирующих сжимаемых средах. Эта задача о джинсовской неустойчивости самогравитирующей среды важна для описания крупномасштабной структуры Вселенной. Построены решения задачи о джинсовской неустойчивости в одномерном и сферически симметричном случаях, что и является основным результатом данной главы.
Публикации по теме диссертации.
Публикации в журналах, входящих в список ВАК:
1а] Журавлев В.М., Зиновьев Д. А. Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа, и точно интегрируемые модели одномерных течений сжимаемой жидкости. Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики, том 87, вып. 5, с. 314 -318(2008).
2а] Журавлев В.М., Зиновьев Д.А. Метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа в размерности 1+2 и интегрируемые модели двумерных течений сжимаемой жидкости. Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики, том 88, вып. 3, с. 194 - 197 (2008).
За] Журавлев В.М., Зиновьев Д. А. Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа. Ударные волны в сферически симметричных самогравитирующих системах.
Физическое образование в вузах, 2011, том 17, номер 1, приложение, ISSN 1609-3143.
Публикации в прочих изданиях:
4а] Zhuravlev V.M., Zinov'ev D.A. The application of generalized Cole-Hopf substitutions in compressible-fluid hydrodynamics. Physics of Wave Phenomena, Volume 18, Number 4, October-December 2010, p. 245-250.
5a] Zhuravlev V.M., Zinov'ev D.A. Nonlinear waves in self-gravitating compressible fluid and generalized Cole-Hopf substitutions. Physics of Wave Phenomena, Volume 19, Number 4, October-December 2011, p. 313-317.
6a] Журавлев B.M., Зиновьев Д. А. Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа, и точно интегрируемые модели течений сжимаемой жидкости. Сборник тезисов Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2008» (г. Москва)
7а] Журавлев В.М., Зиновьев Д.А. Волновая гидродинамическая задача в теории собственных колебаний звезд. Труды Российской школы-семинара по гравитации и космологии GRACOS-2007 (г. Казань)
8а] Журавлев В.М., Зиновьев Д.А. Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа. Точно интегрируемые модели течений сжимаемой жидкости. Материалы Всероссийской конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» (г. Пермь, 5-6 декабря 2008г.)
9а] Журавлев В.М., Зиновьев Д.А. Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа. Точно интегрируемые модели течений сжимаемой жидкости. Труды Седьмой Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (г. Ульяновск, 2-5 февраля 2009г.)
10а] Журавлев В.М., Зиновьев Д. А. Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа. Ударные волны в сферически симметричных самогравитирующих системах. Сборник тезисов Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2009» (г. Москва)
11а] Журавлев В.М., Зиновьев Д.А. Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа и их применение к задачам газо-гидродинимики. Сборник тезисов Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2010» (г. Москва)
12а] Журавлев В.М., Зиновьев Д.А. Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа. Точно интегрируемые модели течений сжимаемой жидкости. Сборник трудов XII Всероссийской школы-семинара «Волновые явления в неоднородных средах» (24-29 мая 2010г., г. Звенигород, Московская обл.)
13а] Журавлев В.М., Зиновьев Д.А. Интегрируемые модели двумерных и трехмерных течений сжимаемой жидкости и метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа. Труды Шестой Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (г. Москва, 26-28 января 2011 г.)
14а] Журавлев В.М., Зиновьев Д.А. Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа. Ударные волны в сферически симметричных самогравитирующих системах. Тезисы докладов XVII Зимней школы по механике сплошных сред (г. Пермь, 28 февраля - 3 марта 2011 г.)
15а] Журавлев В.М., Зиновьев Д.А. Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа и их применение к задачам газо-гидродинамики. Сборник тезисов Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2011» (г. Москва)
4.4 Заключение
Как продемонстрировано в данной работе, развитый метод построения моделей динамики сжимаемой жидкости, допускающих преобразование к интегрируемым уравнениям с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа, оказывается эффективным при решении ряда задач динамики самогравитирующей среды. В рамках этого подхода можно на основе аналитических решений рассмотреть ряд важных вопросов формирования структур в пылевых облаках, что важно для целого ряда задач астрофизики [222]. В данной работе не проводилось сравнение между формой решений, которые можно получить с помощью метода годографа [223, 222] и данным методом. Однако, как показывают результаты работы [222], с помощью метода годографа можно эффективно исследовать асимптотическое поведение решений. Данный же метод позволяет получать более тонкую информацию о точном решении для разнообразных начальных условий. Следует так же отметить, что данный метод достаточно эффективно работает как в случае идеальной жидкости, та к и в случае вязкой среды. Решения для вязкой среды в рамках метода годографа получить не удается. Поэтому данный метод имеет гораздо более широкую область применения.
1. N.J. Zabusky and M.D. Kruskal (1965), 1.teractions of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states, Phys. Rev. Lett., 15, pp. 240-243.
2. C.S. Gardner, J.M. Greene, M.D. Kruskal and R.M. Miura (1967), Method for solving the Korteweg-de Vries equation, Phys. Rev. Lett., 19, pp. 1095-1097.
3. C.S. Gardner, J.M. Greene, M.D. Kruskal and R.M. Miura (1974), The Korteweg-de Vries equation and generalizations. VI. Method for exact solution, Comm. Pure Appl. Math., 27, pp. 97-133.
4. В.Е. Захаров, А.Б. Шабат (1971). Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейной среде. -ЖЭТФ, 61, с. 118-134.
5. M.J. Ablowitz, D.J. Каир, А.С. Newell and Н. Segur (1973), Nonlinear evolution equations of physical significance, Phys. Rev. Lett., 31, pp. 125-127.
6. M.J. Ablowitz, D.J. Каир, А.С. Newell and H. Segur (1974), The inverse scatterings transform Fourier analysis for nonlinear problems, Stud. Appl. Math., 53, pp. 249-315.
7. В.Е. Захаров, А.Б. Шабат (1974). Схема интегрирования нелинейных эволюционных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. I. Функц. анализ и его прилож., 6, вып. 3, с. 43-53.
8. Napolitano М., Pascazio G., Quartapelle L. A review of vorticity conditions in the numerical solution of the q -\|/ equations // Computers & Fluids. 1999, 28, p. 139-185
9. Аристов C.H., Пухначёв B.B. Об уравнениях вращательно-симметричного движения вязкой несжимаемой жидкости // Доклады Академии наук. 2004, 394, 5, с. 611-614
10. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначёв В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Н.: Наука. 1994, 318 с.
11. Wang С.Y. Exact solutions of the steady-state Navier-Stokes equations // Annu. Rev. Fluid Mech. 1991, 23, p. 159-177
12. Седов JI.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука. 1967, 428 с.
13. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1978, 400 с.
14. Кочин H.E., Кибель И.A., Розе H.B. Теоретическая гидромеханика. Физматгиз. 1963, ч. I, 583 с.
15. Забабахин Е.И. Заполнение пузырьков вязкой жидкостью //Прикладная математика и механика. 1960, 6, с. 1129
16. Пухначёв В.В. Симметрии в уравнениях Навье-Стокса // Успехи механики. 2006, 1, с. 6-76
17. Wang С. Y. Exact solution of the Navier-Stokes equations-the generalized Beltrami flows, review and extension // Acta Mech. 1990, 81, p. 69-74
18. Berker R. Sur Quelques Cas d'Intégration des Equations du Mouvement d'un Fuide Visquex Incompressible. Paris-Lille: Taffin-Lefort. 1936
19. Berker R. Integration des equations du mouvement d'un fluide visqueux incompressible. Berlin: Springer-Verlag. Handbuch der Physik (ed. S. Flugge). 1963, VIII/2,p. 1-384
20. Dryden H. L., Murnaghan F. D., Bateman H. Report of the Committee on Hydrodynamics // Bull. Natl. Res. Counc. (US). 1932, 84, p. 155-332
21. Whitham G. B. The Navier-Stokes equations of motion. Oxford: Clarendon. Laminar Boundary Layers. 1963. (Ed. L. Rosenhead) p. 114-162
22. Пухначёв B.B. Симметрии в уравнениях Навье-Стокса // Успехи механики. 2006, 1, с. 6-76
23. Wang С. Y. Exact solution of the Navier-Stokes equations-the generalized Beltrami flows, review and extension // Acta Mech. 1990, 81, p. 69-74
24. Wang, C. Y. Exact solutions of the unsteady Navier-Stokes equations // Appl. Mech. Rev. 1989, 42, p. 269-282
25. Гольдштик M.A., Штерн B.H., Яворский Н.И. Вязкие течения с парадоксальными свойствами. Н.: Наука. 1989, 336 с.
26. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Физматгиз. 1963, ч. II, 727 с.
27. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир. 1973, 758 с.
28. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974, 711 с.
29. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука. 1986, 733 с.
30. Князев Д.В. Вращательно-симметричные течения вязкой жидкости с пространственным ускорением. Пермь: ИМСС УрО РАН. Диссертация к.ф.-м.н. 2007, 140 с.
31. Зельдович Я. Б., Ройзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Физматгиз, 1963
32. Hamel G. Spiralförmige Bewegungen zäher Flüssigkeiten // Jahresber. Dtsch. Mat. Ver. 1916, 25, p. 34-60
33. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Физматгиз. 1963, ч. I, 583 с.
34. Goldshtik M., Hussain F., Shtern V. Symmetry breaking in vortexsource and Jeffrey-Hamel flows // J. Fluid Mech. 1911, 232, p. 521-566
35. Гольдштик M.A., Штерн B.H. Потеря симметрии в течении от линейного источника вязкой жидкости // Известия АН. Механика жидкости и газа. 1989, 2, с. 35-45
36. Акуленко Л.Д., Гордиевский Д.В., Куманшев С. А. Регулярно продолжаемые по числу Рейнольдса решения задачи Джеффри-Гамеля // Известия АН. Механика жидкости и газа. 2004, 1, с. 15-32
37. Акуленко Л.Д., Куманшев С.А. Многомодовая бифуркация течения вязкой жидкости в плоском диффузоре // Доклады Академии наук. 2004, 399, 5, с. 620-624
38. Слёзкин H.A. об одном случае интегрируемости полных дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости // Учёные записки МГУ. 1934, 2, с. 89-90
39. Яцеев В.И. Об одном классе точных решений уравнений движения вязкой жидкости // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1953, 20, 11, с. 1031-1034
40. Squire H. В. Some viscous fluid flow problems I: jet emerging from a hole in a plane wall // Philos. Mag. Ser. 1952, 743, p. 942-945
41. Squire, H. B. The round laminar jet // Q. J. Mech. Appl. Math. 1951, 4, p. 321329
42. Ландау Л.Д. Новое точное решение уравнений Навье-Стокса // Доклады Академии наук СССР. 1944, 43, с. 286-288
43. Paull R., Pillow A. F. Conically similar viscous flows. Part 2. One parameter swirl free flows // .J. Fluid Mech. 1985, 155: 343-358
44. Yih C.-S., Wu F. Conical vortices: a class or exact solutions of the Navier-Stokes equations // Phys. Fluids. 1982, 25, p. 2147-2158
45. Гольдштик M.A. Вихревые потоки. H.: Наука. 1981, 366 с. 127
46. Гольдштик М.А. О закрученных струях // Известия АН. Механика жидкости и газа. 1979, 1, с. 26-36
47. Squire Н. В. Radial jets. Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn. 50 Jahre Grenzschichtforschung. (Ed. H. Gortler, W. Tollmien). 1955, p. 47-54.
48. Stuart, J. T. A simple corner flow with suction // Q. J. Mech. Appl. Math. 1966, 19, p. 217-220
49. Schneider W. Flow induced by jets and plums // J. Fluid Mech. 1981, 108, p. 55-66
50. Судаков В.Г., Сычёв В.В. Об истечении струи из малого отверстия на плоскости // Известия АН. Механика жидкости и газа. 2003, 1, с. 31-36
51. Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле. Рига. Зинатне. 1973. 303 с.
52. Голубинский А.А., Сычёв В.В. Об одном автомодельном решении уравнений Навье-Стокса // Учёные записки ЦАГИ. 1976, 7, 8, с. 11-17
53. Muller K.N. Zur theorie des Wirbelstrahles // Z. Angew. Math. Mech. 1959, 38 (5/6), p. 170-187
54. Long R. R. Vortex motion in a viscous fluid // J. Meteorol. 1958, 15, p. 108112
55. Long R.R. A vortex in an infinite viscous fluid // J. Fluid Mech. 1961,11, p. 170-187
56. Гольдштик M.A. Одно парадоксальное решение уравнений Навье-Стокса // Прикладная математика и механика. 1960, 24, с. 610-621
57. Guilloud J. С., Arnault J. Sur une nouvelle famille de solutions exactes des equations de Navier-Stokes // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A. 1971, 273, p. 586-588
58. Guilloud J. C., Arnault J., Dicrescenzo C. Etude d'une nouvelle famille de solutions des equations de Navier-Stokes // J. Mec. 1973, 12, p. 47-74
59. Serrin J. The swirling vortex // Phil. Trans. R. Soc. London. 1972, 271 (1214), p. 327-360
60. Судаков В.Г., Сычёв В.В. Асимптотическая теория вязкого взаимодействия вихря с плоскостью // Известия АН. Механика жидкости и газа. 2002, 6, с. 22-30
61. Никулин В.В. Взаимодействие линейного вихря со свободной поверхностью // Новосибирск: ИГ СО АН СССР. Динамика сплошной среды. 1979, 42, с. 31-32
62. Аристов С.Н. Точное решение задачи о точечном источнике // Доклады Академии наук. 1995, 343, 1, с. 50-52
63. Аристов С.Н. Трёхмерные конические течения вязкой несжимаемой жидкости // Известия АН. Механика жидкости и газа. 1998, 6, с. 144-148
64. Liouville J. Sur Г equation aux differences partielles d logA ± — = 0 // J. Mathdudv аг
65. Pure Appl. 1853, 19, p. 71-72
66. Ватажин А.Б. О течении в диффузоре в присутствии магнитного поля // Прикладная математика и механика. 1960, 24, с. 524-629
67. Шилова Е.И, Щербинин Э.В. Некоторые точные решения уравнений Навье-Стокса в магнитной гидродинамике // Магнитная гидродинамика. 1969, 4, с. 59-64
68. Щербинин Э.В. Об одном классе точных решений в магнитной гидродинамике // Магнитная гидродинамика. 19696 4, с. 46-58
69. Шилова Е.И, Щербинин Э.В. Некоторые точные решения уравнений Навье-Стокса в магнитной гидродинамике // Магнитная гидродинамика. 1969, 4, с. 59-64
70. Шилова Е.И, Щербинин Э.В. Вихревые МГД течения в конусе // Магнитная гидродинамика. 1971, 2, с. 33-38
71. Шилова Е.И, Щербинин Э.В. Некоторые аспекты теоретического анализа пространственного МГД течения в диффузоре // Магнитная гидродинамика. 1971, 1, с. 11-17
72. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Генерация полоидального магнитного поля в струйных течениях // Письма в ЖЭТФ. 1989, 49 с. 266-268
73. Williams J.C. Conical nozzle flow with velocity slip and temperature jump // AIAAJ. 1967, 5, p. 2128-2134
74. Аристов C.H., Грабовский В.И. Автомодельное решение уравнений Навье-Стокса для течений газа во вращающихся логарифмически-спиральных плоских каналах // Известия АН. Механика жидкости и газа. 1995,6, с. 44-50
75. Аристов С.Н. Класс точных решений уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа // Доклады Академии наук. 1990, 313, 6, с. 1403-1406
76. Williams J.C. Conical nozzle flow with velocity slip and temperature jump // AIAAJ. 1967, 5, p. 2128-2134
77. Сидоров А.Ф. Избранные труды. Механика, математика. М.: Физматлит. 2001, 576 с.
78. Сидоров А.Ф. Об одном классе решений уравнений газовой динамики и естественной конвекции // Числ. и аналит. Методы решения задач мех. сплош. сред. УНЦ АН СССР. Свердловск, 1981, с. 101-117
79. Синицын В.Ю. Два класс течений вязкой несжимаемой проводящей жидкости // ВИНИТИ. № 5957-В89. 1989, 45 с.
80. Аристов С.Н. Вихревые течения в тонких слоях жидкости. Пермь: ИМСС УрО РАН. Диссертация д.ф.-м.н. 1990, 303 с.
81. Hiemenz К. Die Grenzschicht an einem in den gleichförmigen Flussigkeitsstrom eingetauchten geraden Kreiszylinder // Dinglers Polytech. J. 1911, 326, p. 321-324
82. Homann F. Der Einfluss grosser Zähigkeit bei der Strömung um den Zylinder und um die Kugel // ZAMM, 1936, 16, p. 153-164
83. Davey A. Boundary layer flow at a saddle point of attachment // J. Fluid Mech. 1961, 10, p. 593-610
84. Howarth L. The boundary layer in three-dimensional flow Part II. The flow near a stagnation point // Philos. Mag. Ser. 1951, 742 p. 1433-1440
85. Stuart J. T. The viscous flow near a stagnation point when the external flow has uniform vorticity // J. Aerosp. Sei. 1959, 26, p. 124-125
86. Tamada K. Two-dimensional stagnation point flow impinging obliquely on a plane wall // J. Phys. Soc. Jap. 1979, 46, p. 310-311
87. Dorrepaal J. M. An exact solution of the Navier-Stokes equation which describes non-orthogonal stagnation point flow in two dimensions // J. Fluid Mech. 1986, 163, p. 141-147
88. Wang C. Y. Stagnation flow on the surface of a quiescent fluid-an exact solution of the Navier-Stokes equations // Q. Appl. Math. 1985, 43, p. 215-223
89. Wang C. Y. Impinging stagnation flows // Phys. Fluids. 1987, 30, p. 915-917
90. Wang C.Y. Flow due to a stretching boundary with partial slip an exact solution of the Navier-Stokes equations // Chem. Eng. Sci. 2002, 57,p. 3745-3747
91. Wang C.Y. Stagnation flow with slip: Exact solution of the Navier-Stokes equations // ZAMP. 2003,54, p. 184-189
92. Rott N. Unsteady viscous flow in the vicinity of a stagnation point // Q. Appl. Math. 1956, 13, p. 444-451
93. Wang C. Y. Axisymmetric stagnation flow towards a moving plate // AIChE J. 1973, 119, p. 1080-1081
94. Libby P. A. Wall shear at a three dimensional stagnation point with a moving wall // AIAA J. 1974, 12, p. 408-409
95. Glauert M.B. The laminar boundary layer on oscillating plates and cylinders // J. Fluid Mech. 1956, 1, p. 97-110
96. Stuart J.T. A solution of the Navier-Stokes and energy equations illustrating the response of skin friction and temperature of an infinite plate thermometer to fluctuations in the stream velocity // Proc. Royal Soc. London A. 1955, 231, p. 116-130
97. Weidman P.D., Mahaligam S. Axisymmetric stagnation point flow impinging on a transversely oscillating plate with suction // J. Eng. Math. 1997, 31, p. 305318
98. Wang, C. Y. On a class of exact solutions of the Navier-Stokes equations // J. Apll. Mech. 1966, 33, p. 696-698
99. Wang C. Y. Axisymmetric stagnation flow on a cylinder. Q. Appl. Math. 1974,32, p. 207-213
100. Gorla R. S. R. Nonsimilar axisymmetric stagnation flow on a moving cylinder //Int. J. Eng. Sei. 1978, 16, p. 397-400
101. Gorla R.S.R. Unsteady viscous flow in the vicinity of an axisymmetric stagnation point on a circular cylinder // Int. J. Eng. Sei. 1979, 17, p. 87-93
102. Cunning G.M., Davis A.M.J. Weidman P.D. Radial stagnation flow on a rotating circular cylinder with uniform transpiration // J. Eng. Math. 1998, 33, p. 113-128
103. Berman A. S. Laminar flow in channels with porous walls // J. Appl. Phys. 1953, 24, p. 1232-1235
104. Terrill R. M. Laminar flow in a uniformly porous channel // Aeronaut. Q. 1964, 15, p. 299-310
105. Terrill R. M., Shrestha G. M. Laminar flow through parallel and uniformly porous walls of different permeability // ZAMP. 1965, 16, p. 470-482
106. Shrestha G. M., Terrill R. M. Laminar flow with large injection through parallel and uniformly porous walls of different permeability // Q. J. Mech. Apll. Math. 1968, 21, p. 413-432
107. Terrill R.M. Heat transfer in laminar flow between parallel porous plates // Int. J. Heat Mass Trans. 1965, 8, p. 1491-1497
108. Yuan S.W. Further investigation of laminar flow in channel with porous walls // J. Appl. Phys. 1956, 27, p. 267
109. Cox S.M., King A.C. On the asymptotic solution of a high-order nonlinear ordinary differential equation // Proc. R. Soc. London A. 1997, 453, p. 711-728
110. King J.R., Cox S.M. Asymptotic analysis of the steady-state and time-depend Berman problem // J. Eng. Math. 2001, 39, p. 87-130
111. Новиков П.А., Любин Л .Я. Гидродинамика щелевых систем. Минск: Наука и техника. 1988, 344 с.
112. Zaturska М.В., Drazin P.G., Banks W.H.H. On the flow of a viscous fluid driven along a channel by suction at porous walls // Fluid Dyn. Res. 1988, 4, p. 151-160
113. Cox S.M. Two-dimensional flow of a viscous fluid in a channel with porous walls // J. Fluid Mech. 1991, 227, p. 1-33
114. Secomb T.W. Flow in a channel with pulsating walls // J. Fluid Mech. 1978, 88, p. 273
115. J. F., Acrivos A. Steady flow in a channel or tube with an accelerating surface velocity. An exact solution to the Navier-Stokes equations with reverse flow // J. Fluid Mech. 1981, 112, p. 127-150
116. Watson E.B.B., Banks W.H.H., Zaturska M.B., Drazin P.G. On transition to chaos in a two-dimensional channel flow symmetrically driven by asselerating walls // J. Fluid Mech. 1990, 212, p.451-485
117. Zaturska M.B., Banks W.H.H. New solution for flow in a channel with porous walls and/or non-rigid walls // Fluid Dyn. Res. 2003, 33, p. 57-71
118. Журавлев B.M. Нелинейные волновые процессы в многокомпонентных системах с дисперсией и диффузией. Точно решаемые модели. Ульяновск: УлГУ. Диссертация д.ф.-м.н. 2002.
119. Wang С. Y. The three-dimensional flow due to a stretching flat surface // Phys. Fluids. 1984, 27, p. 1915-1917
120. Wang С. Y. Stretching a surface in a rotating fluid // J. Appl. Math Phys. (ZAMP). 1988, 39, p. 177-185
121. Gupta P. S., Gupta A. S. Heat and mass transfer on a stretching sheet with suction or blowing // Can. J. Chem. Eng. 1977, 55, p. 744-746
122. Crane L. J. Flow past a stretching plate // ZAMP. 1970, 21, p. 645-647
123. Danberg J. E. A nonsimilar moving wall boundary - layer problem // Q. Appl. Math. 1976, 34, p. 305-309
124. Dauenhauer E.C., Majdalani J. Exact self-similarity solution of the Navir-Stokes equations for a porous channel with orthogonally moving walls // Phys. Fluids. 2003, 15, 1485-1495
125. Taylor C.L., Banks W.H.H., Zaturska M.B., Drazin P.G. Three-dimensional flow in a porous channel // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1991, 44, p. 105-115
126. Hinch E.J., Lemaitre J. The effect of viscosity on the height of disks floating above an air table // J. Fluid Mech. 1994, 273, p. 313
127. Goldshtik M.A., Javorsky N.J. On the flow between porous rotating disk and plane // J. Fluid Mech. 1989, 207, p. 1
128. Cox S.M. Non axisymmetric flow between an air table and a floating disk // Phys. Fluids. 2002, 14, p. 1540-1543
129. Чаплыгин С. А., О газовых струях, M.-Jl., 1949.
130. Zandbergen P. J., Dijkstra D. Von Karman swirling flows // Annu. Rev. Fluid Mech. 1987, 19, p. 465-491133. von Karman T. Uber laminare und turbulente Reibung // ZAMM. 1921, 1, p. 233-252
131. Cochran W. G. 1934. The flow due to a rotating disc // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1934, 30, p. 365-375
132. Bodewadt U. T. Die Drehstromung uber festem Grunde // ZAMM. 1940, 20 p. 241-253
133. Batchelor G.K. Note on class of solutions of the Navir-Stokes equations representing steady rotationally symmetric flow // Q. J. Mech. Appl. Math. 1951, 4, p. 29-41
134. Stewartson K. On the flow between two rotating coaxial disks // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1953, 5, p. 333-341
135. Rogers M. H., Lance G. N. The rotationally symmetric flow of a viscous fluid in the presence of an infinite rotating disk // J. Fluid Mech. 1960, 7, p. 617-631
136. McLeod J.B., Parter S.V. On the flow between two counter-rotating infinite plane disks // Arch. Rat. Mech. Anal. 1974, 54, p. 301-327
137. Mellor G.L., Chappie P.J., Stokes V.K. On the flow between a rotating and stationary disk // J. Fluid Mech. 1968, 31, p. 95-112
138. Nguyen N.D., Ribault J.P., Florent P. Multiple solutions for flow between coaxial disks // J. Fluid Mech. 1975, 68, p. 369-388
139. Lai C.-Y., Rajagopal K.R., Szeri A.Z. Asymmetric flow between parallel rotating disks // J. Fluid Mech. 1984, 146, p. 203-225
140. Berker R. A new solution of the Navier-Stokes equation for the motion of a fluid contained between two parallel plates rotating about the same axis // Arch. Mech. 1979, 31, p. 265-280
141. Pearson C.E. Numerical solutions for the time-dependent viscous flow between two rotating coaxial disks // J. Fluid Mech. 1965, 21, p. 623-633
142. Holodniok M., Kubicek M., Hlavacek V. Computation of the flow between two rotating coaxial disk: multiplicity of steady-state solutions // J. Fluid Mech. 1981,108, p. 227-240
143. Brady J.F., Durlofsky L. On rotating disk flow // J. Fluid Mech. 1987, 175, p. 363-394
144. Szeto R.K.-H. The flow between rotating coaxial discs. California. Institute of Technology. Ph.D. Thesis.
145. Szeri A.Z., Giron A., Schneider S.J., Kaufman H. N. Flow between rotating disks. Part I (Basic flow) // J. Fluid Mech. 134, p. 103-131
146. Dijkstra D., Heijst G.J. F. The flow between two finite rotating disks enclosed by a cylinder // J. Fluid Mech. 1983, 123, p. 123-154
147. Szeri A.Z., Giron A., Schneider S.J., Kaufman H. N. Flow between rotating disks. Part II (Stability) // J. Fluid Mech. 134, p. 133-154
148. Goldshtik M.A. Javorsky N.J. On the flow between a porous rotating disk and plane // J. Fluid Mech. 1989, 207, p. 1-19
149. Ackroyd .J. A. D. On the steady flow produced by a rotating disc with either surface suction or injection // J. Eng. Math. 1978, 12, p. 207-220
150. Stuart J. T. On the effects of uniform suction on the steady flow due to a rotating disk // Q. J. Mech. Appl. Math. 1954, 7, p. 446-457
151. Evans D. J. The rotationally symmetric flow of a viscous fluid in the presence of an infinite rotating disc with uniform suction // Q. J. Mech. Appl. Math. 1969, 22, p. 467-485
152. Kuiken H. K. The effect of normal blowing on the flow near a rotating disk of infinite extent // J. Fluid Mech. 1971, 47, p. 789-798
153. Дорфман JI.А. Течение вязкой жидкости между неподвижным и обдуваемым вращающимися дисками // Известия АН. Механика жидкости и газа. 1966, 2, с. 86-91
154. Rasmussen H. Steady flow between two porous disks // ZAMP. 1970, 21, p. 187-195
155. Terrill R. M., Thomas P. W. Spiral flow in a porous pipe // Phys. Fluids. 1973, 16, p. 356-359
156. Watson L. T, Li T. Y., Wang C. Y. Fluid dynamics of the elliptic porous slider // J. Appl. Mech. 1978, 45, p. 435-436
157. Wang C. Y., Watson L. T Viscous flow between rotating discs with injection on the porous disc // J. Appl. Math. Phys. (ZAMP). 1979, 30, p. 773-787
158. Wang C. Y. Symmetric viscous flow between two rotating porous discs -moderate rotation // Q. Appl. Math. 1976, 34, p. 29-38
159. Wilson L. O., Schryer N. L. Flow between a stationary and a rotating disk with suction // J. Fluid Mech. 1978, 85, p. 479-496
160. Sparrow E. M., Gregg J. L. A theory of rotating condensation // J. Heat Transfer. 1959, 81, p. 113-120
161. Wang C. Y. Melting from a horizontal rotating disk // J. Appl. Mech. 1989, 56, p. 47-50
162. Пухначёв В.В. Неустановившиеся движения вязкой жидкости со свободной границей, описываемое частично инвариантными решениями уравнений Навье-Стокса // Новосибирск: ИГ СО АН СССР. Динамика сплошной среды. 1972, 10, с. 125-137
163. Лаврентьева О.М. Течение вязкой жидкости в слое на вращающемся плоскости // Прикладная механика и техническая физика. 1989, 5, с. 41-48
164. Rott N., Lewellen W. S. Boundary layers due to the combined effects of rotation and translation // Phys. Fluids. 1967, 10, p. 1867-1873
165. Wang С. Y. Shear flow over a rotating plate // Appl. .Sei. Res. 1989, 46, p. 89-96
166. Wang C. Y. Fluid dynamics of the circular porous slider // J. Appl. Mech. 1974, 41, p. 343-347
167. Berker R. An exact solution of the Navier-Stokes equation the vortex with curvilinear axis // Int. J. Eng. Sei. 1982, 20, p. 217-230
168. Berker R. Integration des equations du mouvement d'un fluide visqueux incompressible. Berlin: Springer-Verlag. Handbuch der Physik (ed. S. Flügge). 1963, VIII/2, p. 1-384
169. Berker R. Sur Quelques Cas d'Intégration des Equations du Mouvement d'un Fuide Visquex Incompressible. Paris-Lille: Taffin-Lefort. 1936
170. Abbott T. N. G. Walters К. Rheometrical flow systems. Part 2. Theory for the orthogonal rheometer, including an exact solution of the Navier-Stokes equations // J. Fluid Mech. 1970, 40, p. 205-213
171. Erdogan M. E. Flow due to eccentric rotating a porous disk and a fluid at infinity // J. Appl. Mech. 1976, 43, p. 203-204
172. Rajagopal K.R. A class of exact solutions to the Navier-Stokes equations // Int. J. Eng. Sei. 1984, 22, p. 451-458
173. Erdogan M.E. Flow induced by non-coaxial rotation of a disk executing non-torsional oscillations and a fluid rotating at infinity // Int. J. Eng. Sei. 2000, 38, 175-196
174. Мелешко C.B., Пухначёв В.В. Об одном классе частично инвариантных решений уравнений Навье-Стокса // Прикладная механика и техническая физика. 1999, 40, 2, с. 24-33
175. Craik A. The stability of unbounded two and three-dimensional flow subject to body forces: some exact solutions // J. Fluid Mech. 1989, 189, p. 275-293
176. Craik A., Criminale W. Evolution of wavelike disturbances in shear flow: a class of exact solutions of the Navier-Stokes equations // Proc. Royal Soc. London A. 1986, 406, p. 13-36
177. Aristov S.N., Gitman I.M. Viscous flow between two moving parallel disk: exact solutions and stability analysis // J. Fluid Mech. 2002, 464, p. 209-215
178. Fabijonas B.R., Holm D.D. Multi-frequency Craik-Criminale solutions of the Navier-Stokes equation // J. Fluid Mech. 2004, 506, p. 207-215
179. Le Dizes S., Leblanc S. Note on "Multi-frequency Crait-Criminale solutions of the Navier-Stokes equation" by B.R. Fabijonas and D.D. Holm // J. Fluid Mech. 2006, 550, p. 43-50
180. Нетреба C.H. О спиральных течениях вязкой несжимаемой жидкости // Метеорология и гидрология. 1988, 4, с. 15-24
181. Stow S.R., Duck P.W., Hewitt R.E. Three-dimensional extension to Jeffery -Hamel flow // Fluid Dyn. Res. 2001, 29, p. 25-46
182. Burgers I. M. A mathematical model illustrating the theory of turbulence // Adv. Appl. Mech. 1948, 1, p. 171-199
183. Sullivan R. D. A two-cell vortex solution of the Navier-Stokes equations // J. Aerosp. Sci. 1959, 26, p. 767-768
184. Краснов Ю.К. Эволюция «смерчей». M.: Наука. Нелинейные волны, структуры и бифуркации. 1987, с. 174-189
185. Гольдштик М.А. Один класс точных решений уравнений Навье Стокса // Прикладная механика и техническая физика. 1966, 2, с. 106-109
186. Marques F., Sanchez J., Weidman P.D. Generalized Couette Poiseuille flow with boundary mass transfer // J. Fluid Mech. 1998, 374, p. 221-249
187. Terrill R.M. Flow though a porous annulus // Appl. Sei. Res. 1967, 17, 3, p. 204-222
188. Горбацкий В.Г. Газодинамические неустойчивости в астрофизических системах: Учеб. пособие. СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 1999. - 168 с.
189. Skalak F. М., Wang С. Y. On the nonunique solutions of laminar flow through a porous tube or channel // SIAM .J. Appl. Math. 1978, 34, p. 535-544
190. Yuan S. W., Finkelstein A. B. Laminar pipe flow with injection and suction through a porous wall // Trans. ASME. 1956, 78, p. 719-724
191. Terrill R. M. An exact solution for flow in a porous pipe // J. Appl. Math. Phys. (ZAMP) 1982, 33, p. 547-552
192. Berman A. S. Laminar flow in an annulus with porous walls // J. Appl. Phys. 1958, 29, p. 71-75
193. Prager S. Spiral flow in a stationary porous pipe // Phys. Fluids. 1964, 7, p. 907-908
194. Brady J. F., Acrivos A. Steady flow in a channel or tube with an accelerating surface velocity. An exact solution to the Navier-Stokes equations with reverse flow//J. Fluid Mech. 1981, 112, p. 127-150
195. Аристов C.H. Стационарный цилиндрический вихрь в вязкой жидкости // Доклады Академии наук. 2001, 377, с. 477-480
196. Johnson E.C., Lueptow R.M. Hydrodynamic stability of flow between rotating porous cylinders with radial and axial flow // Phys. Fluids. 1997, 9, p. 3687-3696
197. Banks W.H.H., Zaturska M.B. Swirling flow in a porous pipe with an accelerating wall // Acta Mech. 1996, 119, p. 1-12
198. Zaturska M.B., Banks W.H.H. Flow in a pipe driven by suction at an accelerating wall // Acta Mech. 1995, 110, p. 111-121
199. Zaturska M.B., Banks W.H.H. Suction-driven flow in a porous pipe // ZAMM. 1995, 75, p. 21-30
200. J.M.Burgers. The nonlinear diffusion equation. Dordrecht, Holland: D. Reidel Publisher Company, 1974
201. Дж. Уизем. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1978
202. С.И. Свинолупов, Об аналогах уравнения Бюргерса произвольного порядка, ТМФ 65, 303 (1985).
203. Н.Х. Ибрагимов, Группы преобразований в математической физике, М.: Наука, 1984.
204. А.В. Михайлов, А.Б. Шабат, Р.И. Ямилов, УМН 42, 3 (1987).
205. В.Э. Адлер, А.Б. Шабат, Р.И. Ямилов, ТМФ 125, 355 (2000).
206. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. М:Наука (1980). 319 с.
207. Журавлев В.М., Никитин А.В., Нелинейные уравнения, связанные с уравнениями теплопроводности и Д'Аламбера с помощью подстановок типа Коула-Хопфа, Нелинейный мир,, N 9, 603 (2007)
208. Б.А. Урюков, Аналогия между диффузией и гидродинамикой, Теплофизика и аэромеханика. , N 3, 421 (1999)104
209. В.М. Журавлев, Д.А. Зиновьев, Нелинейные уравнения, линеаризуемые с помощью обобщенных подстановок Коула-Хопфа, и точно интегрируемые модели одномерных течений сжимаемой жидкости, Письма в ЖЭТФ, том 87, вып. 5,314-318, (2008)
210. В.М. Журавлев, Д.А. Зиновьев, Метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа в размерности 1+2 и интегрируемые модели двумерных течений сжимаемой жидкости, Письма в ЖЭТФ, 88, № 3, с. 194-197, (2008)
211. А.Г. Куликовский, Е.И. Свешникова, А.П. Чугайнова. Математические методы изучения разрывных решений нелинейных гиперболических систем уравнений. Лекционные курсы НОЦ/ Математический институт им. В.А. Стеклова РАН (МИАН) Вып. 16 М.: МИАН, 2010, 121 с
212. Каплан С.А. Межзвездная газодинамика. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1958. - 196 с.
213. С.И. Вайнштейн, A.M. Быков, И.Н. Топтыгин. Турбулентность, токовые слои и ударные волны в космической плазме. Наука, 1989. 310 с
214. Журавлев В.М, ТМФ, 158, № 1, 58 (2009)
215. В.М. Журавлев. Сб. Инновационные технологии, Ульяновск, УлГУ, 2010. с. 77-93
216. Н.М. Рыскин, Д.И. Трубецков. Нелинейные волны. М.: Наука, 2000. 272 с.
217. Б. Л. Рождественский, Н. Н. Яненко. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: л "Наука", 1978
218. А.В. Гуревич, К.П. Зыбин Крупномасштабная структура Вселенной. Аналитическая теория. Успехи физических наук, т. 165, № 7 (1995)
219. А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев, А. И. Журов. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005
220. Zhuravlev V.M, Zinov'ev D.A. The application of generalized Cole-Hopf substitutions in compressible-fluid hydrodynamics. Physics of Wave Phenomena, Volume 18, Number 4, October-December 2010, p. 245-250.
221. Zhuravlev V.M., Zinov'ev D.A. Nonlinear waves in self-gravitating compressible fluid and generalized Cole-Hopf substitutions. Physics of Wave Phenomena, Volume 19, Number 4, October-December 2011, p. 313-317.1. Благодарности.
222. Автор выражает глубокую признательность и огромную благодарность своему Учителю и научному руководителю профессору Виктору Михайловичу Журавлеву за многолетнюю совместную творческую работу.
223. Автор выражает огромную благодарность заместителю директора Института астрономии РАН профессору Бисикало Дмитрию Валерьевичу за интерес к данной работе, помощь в решении организационных вопросов и поддержку.
224. Огромную благодарность автор выражает профессору Юрию Петровичу Рыбакову за ряд ценных указаний и консультаций, а также за оказанную моральную поддержку.
